TEMA 3: DETERMINANTES (ENUNCIADOS) EJERCICIO 1: Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arriba a abajo son F 1, F2, F3 y F4 y
0 0 1 0 0 0 0 1 cuyo determinante vale 2. Sea B = . Calcular razonadamente: 0 1 0 0 1 0 0 0 1) El determina determinante nte de la matriz matriz A B [1 punto] punto] 2) El determina determinante nte de la matriz matriz 3 A [0,5 puntos] puntos] 3) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto] EJERCICIO 2: Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante determinante vale 2. a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el determinante de la matriz A 1 caso de que esta matriz inversa exista [1,5 puntos]. puntos]. b) Sea ahor ahoraa la matri matrizz cu cuya yass co colu lumn mnas as son: son: C1+C2 , C2+C3 , C3 C1. Razonar la existencia existencia o no existencia existencia de la matriz inversa de la misma [1 punto] EJERCICIO 3: a 2 Sea la matriz A = ab ab
ab a
2
b
2
2 b 2 a ab
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, Sarrus, calcular el determinante determinante de dicha matriz. [1,5 puntos] a b) Estudiar el rango rango de A en el caso en que que b [1 punto] = −
EJERCICIO 4:
Sean A y B las matrices siguientes:
1 0 1 A = 0 2 0 1 1 0
0 1 1 B = 1 1 0 0 0 2
Es fácil comprobar que ambas tienen el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + λB según según los valores valores del parámetro parámetro λ. [2,5 puntos]
TEMA 3: DETERMINANTES DETERMINA NTES (ENUNCIADOS Y SOLUCIONES) EJERCICIO 1: Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arriba a abajo son F 1, F2, F3 y F4 y
0 0 1 0 0 0 0 1 cuyo determinante vale 2. Sea B = . Calcular razonadamente: 0 1 0 0 1 0 0 0 1) El determina determinante nte de la matriz matriz A B [1 punto] punto] 2) El determina determinante nte de la matriz matriz 3 A [0,5 puntos] puntos] 3) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto] SOLUCIÓN: Calculemos el determinante de B: B
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
=
(1) = 1⋅
0
0
1
0
1
0
1
0
0
( 2) = 1⋅
0
1
1
0
=1
(1) y (2): desarrollando por los adjuntos de la primera primera fila 1)
A
B
A
⋅ = ⋅
B
= ⋅(−) =− 2
1
2
2) Si multiplicamos todos los elementos elementos de una línea por un número, número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número. En nuestro caso, cada una de las cuatro líneas (filas o columnas) se multiplica por tres, 3A 8 1 .2 1 6 2 luego el determinante quedará multiplicado por 3 4: =
=
3) 2F1
+F2
F2 − 3F4 F3
+F 1
2 F1 =
F2 − 3F4 F3
F1 +
F2 +
F2 − 3F4 F3
+F 1
2F1 =
F2 − 3F4 F3
2 F1 +
F2 − 3F4 F1
F2 +
F2 − 3F4 F3
F2 F − +
3F F1
EJERCICIO 2: Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante determinante vale 2. a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el determinante de la matriz A 1 caso de que que esta matriz inversa inversa exista exista [1,5 puntos]. puntos]. b) Sea ahor ahoraa la matri matrizz cu cuya yass co colu lumn mnas as son: son: C1+C2 , C2+C3 , C3 C1. Razonar la existencia existencia o no existencia existencia de la matriz inversa de la misma [1 punto] SOLUCIÓN: Sea B
=
( C1
C2
C3
)
y
B
2
=
a) (1)
A
C2
=−
3
=− ⋅
C1
C3 C2
C2
+
C3
3C1 3
=− ⋅
B
=
3C1
C2
−
6
=−
Propiedades aplicadas: (1) “Si en un determinante determinante se cambian cambian entre entre sí dos líneas, el determinant determinante e cambia de signo”, aplicada dos veces con lo que el determinante no varía el signo. (2) “Si se multiplican (o dividen) dividen) los elementos de una una línea por un número, número, el determinante queda multiplicado (o dividido) por ese número” (3) “Si a una columna se le suma suma una combinación lineal lineal de otras columnas, el determinante no varía” Puesto que A
b)
1
− = == ⋅ ⋅ − = =−
A
A
1
I
1
1
1
A
6
A
A
1
−
La prim primer era a colu colum mna es la dife difere renc ncia ia de la seg segunda nda y la terc tercer era: a: C1 + C 2 = C 2 + C3 − C 3 + C1 por lo que el determinante de la matriz será 0 al ser una columna combinación lineal de las otras ⇒ La matriz no tiene inversa.
C3
C2
+
EJERCICIO 3: a 2 Sea la matriz A = ab ab
ab a
2
b
2
2 b 2 a ab
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, Sarrus, calcular el determinante determinante de dicha matriz. [1,5 puntos] a b) Estudiar el rango rango de A en el caso en que que b [1 punto] = −
SOLUCIÓN: a) a
2
a b
a b a b
a
2
b
2
= a 2 ⋅ (a 2 − b 2 )
a b b
2
a
2
a
(1)
a
=
b b
a b a
2
b
2
a b b
2
a
2
F2
2
b ⋅ F1 −
, F3
b ⋅ F1 −
(4) y (5) Desarrollo por los elementos elementos de la primera columna
b) Para
b
a 2 − a 2 − a 2 2 2 2 − a y como los tres vectores a a a , la matriz A es: 2 2 2 − a a a
=−
fila son linealmente dependientes, el rango de la matriz es 1.
a
=
Propiedades aplicadas: (1) y (2) sacar factor común a “a” en la primera columna columna y en en la primera fila. (3)
1
( 2)
2
b b
EJERCICIO 4:
1 0 1 A = 0 2 0 1 1 0
Sean A y B las matrices siguientes:
0 1 1 B = 1 1 0 0 0 2
Es fácil comprobar que ambas tienen el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + λB según según los valores valores del parámetro parámetro λ. [2,5 puntos] SOLUCIÓN: 1 A +λ B = λ 1
1 +λ
λ
2
+λ
2λ
1
Veamos para qué valores de λ
1 λ
2
1 !
+ λ
1
1
0
=
4λ + 2λ 2
1
1
0
0
1
3
!
2
+ λ + λ −
2
−
2λ − λ − λ 2
−
2λ 3
1
0
2
1 =0
⇒
(λ −1)
(λ −1) (1 +λ ) (1 −λ ) =0
2
− λ +
)
1
⇒ λ =1
=
0
⇒
, λ =− 1
Se tiene: Para A
λ ≠ −1 y λ ≠1 :
λ B +
0 ≠
r g ⇒
(A
)
λ B +
3 =
2λ 3
=−
1
⇒ − λ + λ + λ −
⇒
el rango es máximo, es decir 3:
2λ
1 !
!
λ
1 + λ
1
1
.
0
+
2λ 2
+
2λ − 2
=
2⋅
(
3
2
− λ + λ +
A
Para
A
= −1 :
+λ B =A
menor
λ
Para
1 −B = −1 1
1 −
1
1
1
λ
1 1
0 ⇒ rg (A +λ B ) =2 pues el −2 0
2 ≠ 0 = −
=1 :
+λ B =A +B
menor
−1
1
1
1
3
1 =1 1
2 ≠ 0 =
1
2
3
0
1
2
⇒ rg
(A +λ B ) =2
pues el
