Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica atica Prof. Miguel Walke Walkerr Ure˜ na na
Dpto. Matem´ atica atica Aplicada Aplicada MA-1002: MA-1002: C´ alculo alculo 2 Ciclo 2-2014
Tema 5. Series Ser ies Nu Num´ m´ erica eri cass [ versi´ versi´ on o n 0.5, 0.5, compil compilado ado el 8/8/20 8/8/2014] 14]
Contenidos 1 In Intr trodu oducc cci´ i´ on a las series num´ on ericas ericas
2
2 Criteri Criterios os de conv converge ergenci ncia a 2.1 Series Geom´ etricas y propiedades de las series etricas series . 2.2 Ser Series ies Tele elesc´ sc´ opicas . . . . . . . . . . . . . . . . opicas 2.33 Co 2. Cond ndic ici´ i´ on necesaria . . . . . . . . . . . . . . . on 2.4 Cri Criter terio io de la integ integral ral y error error de de una suma suma . . . 2.55 p2. p-se seri ries es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.66 Co 2. Comp mpar arac aci´ i´ on direc on directa ta . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Criterio del l´ l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Aplic Aplicando ando Desar Desarrollos rollos Gener Generalizado alizadoss . . 2.8 Con Conve verge rgenci nciaa abso absoluta luta . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Ser Series ies Alt Altern ernada adass . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Criter Criterios ios de la Raz´ on y de la Ra´ız ız . . . . . . . 2.10. 2. 10.11 La f´ ormula de Stirling . . . . . . . . . . ormula 2.11 Criter Criterio io de Raabe Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 11 13 15 19 23 28 34 38 39 42 43 45
Referencias
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46
´ricas Tema Tem a 5. Ser Series ies Numericas e
1
2
Intr Introd oduc ucci ci´ on o ´n a las series serie s num´ ericas erica s
Definici´ on o n 1.1 1.1 (Seri (S eriee Num´erica) eri ca).. Sea (a (an )n∈IN una sucesi´ sucesi´ on on real, real, enton entonces ces la Serie Ser ie Num´erica eri ca de t´ermino ermi no general gene ral “an ” corresponde corresp onde al l´ımite m
S = lim
m→∞
lo cual se suele denotar como
an
n=0
+∞
S =
an
n=0
Tambi´en en es una serie se rie num´erica eri ca +∞
m
a n = li m
m→∞
n=k
an
n=k
Adem´ as, as, la suma la suma parcial de la serie n serie num um´´eri er ica S es S es la sucesi´on on de sumatorias m
S m =
an
n=0
que corresponde a la suma de los t´erminos a erminos a n hasta ha sta el ´ındice ındi ce n = m = m.. En tal caso el resto el resto o o “cola” “ cola” de la serie num´erica erica S es +∞
Rm = S
− S m =
an
n=m+1
que corresponde a la diferencia entre el l´ımite S y y la suma parcial S parcial S m . Ejemplo 1.1. La serie +∞
S = =
n=0
es la l a serie se rie de t´ermino ermino general a n =
2n . 5n+1
2n 5n+1
Definici´ on on 1.2 (Convergencia 1.2 (Convergencia de la serie). serie). La L a serie seri e num´erica eri ca +∞
S = =
an
n= k
es llamada llama da serie num´erica erica convergente si convergente si existe y es finito el l´ımite m
lim S m =
m→+∞
li m
m→+∞
an
n= k
En tal caso el valor num´erico erico del d el l´ımite ımite anterior es llamado lla mado valor de convergencia convergenci a o “suma “s uma de la serie”. seri e”. Si el l´ımite es infinito o no existe, se dice entonces que la serie num´ erica S erica S es divergente es divergente.. En otras ot ras palabra p alabras, s, la l a serie ser ie num´erica S erica S es es convergente si y solo si la sucesi´on on S m es convergente.
´ricas Tema Tem a 5. Ser Series ies Numericas e
3
Ejemplo 1.2. Conside C onsidere re la serie num´erica erica +∞
= S =
+ . . . n = 1 + 2 + 3 + 4 + .
n=1
Note que
m
n = 1 + 2 + 3 +
n=1
entonces
m(m + 1) · · · + m = m = 2
m(m + 1) =+ m→+∞ 2 Por lo l o tanto la serie num´erica S erica S es es divergente. S =
li m
∞
Ejemplo 1.3. Conside C onsidere re la serie num´erica erica +∞
S =
−
( 1)n
n=0
en tal caso
S 0 = 1 S 1 = 1
−1=0 S 2 = 1 − 1 + 1 = 1 S 3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 .. .
o sea que S m =
1 0
si m es par si m es impar
como la sucesi´ on on S m es divergente, entonces S entonces S es es una serie num´erica erica divergente. Ejemplo 1.4. Resuelva los siguientes ejercicios: (a) Demuestr Demuestree por inducci´ on on que
m
S m =
n=1
1 =1 2n
− 21m
(b) Determine Determine la convergen convergencia cia de la serie +∞
S =
1 2n n=1
Soluci´ on: on: (a) Por inducci inducci´ on o´n sobre m = 1, 2, . . . m = 1 1
1 1 1 = = 2n 21 2 n=1
∧
− 1
1 2m
m=1
=1
− 12 = 21
´ricas Tema Tem a 5. Ser Series ies Numericas e
m
4
→ m + 1
La hip´ otesis otesis de inducci´on on y lo que hay que demostrar son de manera correspondiente:
Tenemos que
m
h.i : h.i :
1 =1 2n
n=1 m+1
h.q.d : h.q.d :
S m+1 =
n=1
m+1
S m+1 =
S m =
− 21m
1 =1 2n
m
− 2m1+1
1 1 1 h.i = + =1 2n n=1 2n 2m+1
n=1
− 21m + 2m1+1
luego S m+1 = 1
−
1 2m
· −
1 = 1 2
1
− 21m · 21 = 1 − 2m1+1
Se concluye por inducci´on on matem´ atica, que para todo natural m atica, m
n=1
(b) Note que
m
S =
li m
m→+∞
n=1
1 =1 2n
≥1
− 21m
−
1 = l im 1 2n m→+∞
1 = 1 2m
−0 =1
existe y es finito, por lo tanto la serie num´erica S erica S es es convergente. Adem´ as el valor de convergencia de la serie S as serie S es es 1.
Ejemplo 1.5 ( 1.5 (Una Una serie num´erica erica para e para e)). Recordemos que la funci´on e on e x tiene f´ ormula ormula de Taylor x 2 e = 1 + x + x + + 2! x
···
xm eθ xm+1 + + , θ m! (m + 1)!
∈ V (0, (0, x)
Tomando x Tomando x = = 1 y cambiando de lado el resto de la f´ormula ormula obtenemos 1 1 1 + 1 + + + 2 3!
···
1 + = e m!
−
eθ , θ (m + 1)!
(0, 1) = [0, [0, 1] ∈ V (0,
En otras palabras, tenemos que m
S m =
n=0
1 = e n!
θ
e , θ ∈ [0, [0, 1] − (m + 1)!
es la suma parcial de la serie num´ erica erica +∞
S =
n=0
1 n!
´ricas Tema 5. Series Nume
5
Luego S = e
−
eθ ∞ (m + 1)!
Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 0 ≤ lim m + →
eθ lim , θ m→+∞ (m + 1)!
∈ [0, 1]
e = 0, entonces ∞ (m + 1)!
≤ mlim+ →
S = e
− 0 = e
As´ı tenemos una serie num´erica convergente de l´ımite e: +∞
n=0
1 = e n!
Ejemplo 1.6 (Una serie num´erica para π). Recordemos que la funci´on arctan(x) tiene f´ ormula de Taylor 3
arctan(x) = x
− x3
+
x5 5
m
2m+1
− · · · + ( −1)2m +x 1
+
( 1)m+1 x2m+3 , (2m + 3)(1 + θ)m+2
−
θ
∈ V (0, x2)
Tomando x = 1 obtenemos la f´ ormula 1
(−1)m (−1)m+1 = arctan(1) − , − 13 + 15 − · · · + 2m + 1 (2m + 3)(1 + θ)m+2
θ
∈ [0, 1]
O lo que es lo mismo m
−
1)m+1 , − (2m +(−3)(1 + θ)m+2
( 1)n π = 2n + 1 4
( 1)m+1 lim , m→+∞ (2m + 3)(1 + θ)m+2
n=0
( 1)n π = 2n + 1 4
θ
∈ [0, 1]
Entonces +∞
−
n=0
Como θ Luego
∈ [0, 1] =⇒ 0
Por lo tanto
≤
1 1 + θ
−
−
≤ 1 =⇒ ∀m ∈ IN,
1 (1 + θ)m+2
− +∞
n=0
( 1)n π = 2n + 1 4
− 0 = π4
Al final tenemos la siguiente serie num´erica convergente a π +∞
−
( 1)n
n=0
∈ [0, 1]
≤ 1
( 1)m+1 1 = (2m + 3)(1 + θ)m+2 (2m + 3)(1 + θ)m+2
−
θ
4 = π 2n + 1
1 ≤ 2m + −−−−−→ 0 3 m + →
∞
´ricas Tema 5. Series Nume
2
6
Criterios de convergencia
2.1
Series Geom´ etricas y propiedades de las series
Criterio 2.1 (Series Geom´etricas). Si r
∈ IR es una constante, entonces la serie num´erica S = 1 + r + r 2 + r 3 + ·· · + r n + . . .
etrica . es llamada Serie Geom´ Luego S es convergente si y solo si r < 1, o sea que S es divergente si y solo si r Si r < 1, entonces 1 S = 1 r
| | ≥ 1.
| |
| |
−
Nota 2.1. Para todo r
∈ IR \ {0, 1} se cumple que m
1
n
r =
n=0
− rm+1 1−r
por lo tanto, para todo r = 0, 1
+∞
S =
rn =
n=0
Entonces
1
lim
m→+∞
− 1
+∞
n
r =
n=0
Adem´ as r = 0 =
⇒
1 + r + r 2 +
Lo cu´al verifica el criterio 2.1
rm+1
−r 1 1 r +
− ∞
=
1 0 1 r 1 1 r
− − −∞ −
, si r < 1
| | , si r ≥ 1 , si r ≤ −1
· ·· + rm + ·· · = 1 = 1 +1 0 .
Ejemplo 2.1. La serie +∞
S = es una serie geom´etrica convergente, pues +∞
S =
2n 5n n=0
n
n=0
luego S =
2 5
∧
2 < 1 5
1 5 = 1 2/5 3
−
, si r < 1
| |
, si r > 1 , si r
≤ −1
´ricas Tema 5. Series Nume
7
Ejemplo 2.2. La serie
+∞
23n S = 5n n=0
es una serie geom´etrica divergente, pues +∞
S =
+∞
n
23 5
n=0
8 5
=
n=0
n
8 > 1 5
∧
Teorema 2.1. Considere una sucesi´ on real (an )n∈IN , en tal caso para toda constante k que +∞
+∞
⇐⇒
an es convergente
n=0
o lo que es lo mismo
∈ IN se cumple
an es convergente
n=k
+∞
+∞
⇐⇒
an es divergente
n=0
an es divergente
n=k
Nota 2.2. El teorema anterior es justificado por la igualdad m
k−1
m
an =
an +
n=0
n=0
n=k
+∞
k−1
+∞
an
pues al aplicar l´ımites se obtiene
an =
an +
n=0
n=0
Teorema 2.2 (Cambio de ´ındice). Para todo k,
n=k
∈ IN y dada una sucesi´ on (an)n IN se cumple que ∈
+∞
+∞
an =
n=k
o lo que es lo mismo
an
an+
n=k −
+∞
+∞
an =
n=k
an−
n=k+
Nota 2.3. Para todo r = 0, 1 y dado k > 0, se cumple que
m
m−k
n
r =
n=k
n=0
m−k
r
n+k
= r
k
·
n
r = r
n=0
k
r m k+1 rk − r m+1 − · 1−r = 1−r 1
luego si r < 1, se cumple que
| |
+∞
n=k
rk
n
r =
1
−r
−
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Ejemplo 2.3. La serie num´erica
+∞
7n S = 52n n=3
es serie geom´etrica convergente pues +∞
S =
7 25
n=3
luego
3
· 7 25
S =
1
n
−
7 < 1 25
∧
1 73 25 73 343 = 3 = = 7/25 25 18 18 252 11250
·
·
Nota 2.4 (Serie Geom´etrica Alternada). Si r > 0 entonces la serie num´erica +∞
S =
−
( 1)n r n
n=k
es llamada Serie Geom´ etrica Alternada, en tal caso es convergente si y solo si r < 1 y divergente si y solo si r 1. Cuando r < 1 se cumplen las igualdades
≥ | |
+∞ n=0
+∞
1 ( 1) r = 1 + r
−
n n
( 1)k rk ( 1) r = 1 + r
−
∧
n=k
−
n n
Ejemplo 2.4. La serie num´erica +∞
S =
( 1)n 2n 9n n=1
−
·
es una serie geom´etrica alternada convergente pues 2/9 < 1, cumpli´endose que +∞
S =
n
− · 2 9
n
( 1)
n=1
=
− 29 · 1 +12/9 = − 29 · 119 = − 112
Teorema 2.3. Sean (an )n∈IN y (bn )n∈IN sucesiones reales y sea α Si se cumple que +∞
+∞
an es convergente
n=0
∨
entonces tenemos la igualdad
∈ IR.
bn es convergente
n=0
+∞
+∞
n=0
[ α an + bn ] = α
·
+∞
an +
n=0
Nota 2.5. Sean (an )n∈IN y (bn )n∈IN sucesiones reales y sea α
n=0
∈ IR.
bn
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(a) +∞
+∞
+∞
⇒
an es convergente
∧
n=0
bn es convergente =
n=0
[α an + bn ] es convergente
n=0
En tal caso +∞
+∞
[α an + bn ] = α
n=0
+∞
an +
n=0
bn
n=0
(b) +∞
+∞
+∞
⇒
an es convergente
∧
n=0
bn es divergente =
n=0
[α an + bn ] es divergente
n=0
Ejemplo 2.5. Analice la convergencia de la serie +∞
3 4n 1 S = 3n+2 n=2
· −
Calcule la suma en caso de ser convergente. Soluci´ on: Note que +∞
S =
3 4n 1 32 3n n=2
· − · − · · · − · +∞
=
4n 3 3n
n=2
1 = 3
+∞
n=2
4 3
1 9 3n
n
1 9
+∞
n=2
1 3n
que es la suma de una serie geom´etrica divergente y de una serie convergente, pues 4/3 > 1 y 1/3 < 1, Luego S es una serie num´erica divergente. Ejemplo 2.6. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
2n−2 + ( 1)n+1 + 6 5n+1 n=3
−
Calcule la suma en caso de ser convergente. Soluci´ on: Tenemos que +∞
2n−2 ( 1)n+1 6 + + 5n 5n 5n
− · − · · − ·
1 S = 5 1 = 5
n=3
1 22
+∞
n=3
2 5
n
+∞
( 1)n +6 n 5 n=3
+∞
1 5n n=3
´ricas Tema 5. Series Nume
10
es suma de series geom´etricas convergentes, pues 2/5 < 1 S =
1 5
· · · − · · · · 1 22
2 5
3
1 1 2/5
∧
1/5 < 1, luego
1)3
− ( −53 · 1 +11/5 + 6 · 513 · 1 −11/5
1 2 5 1 5 1 5 = + + 6 5 53 3 53 6 53 4 1 2 1 3 = 3 + + 5 3 6 2 7 = 3 53
· ·
·
Ejemplo 2.7. Halle una representaci´ on fraccionaria del n´ umero peri´odico 4.175 = 4.175175175 . . . Soluci´ on: Tenemos que 4.175 = 4 + 0.175 + 0.000 175 + 0.000000175 + . . . 175 175 175 = 4+ + + + . . . 2 1000 1000 10003 +∞ 1 = 4 + 175 1000n
·
= 4 + 175 175 999 4171 = 999
n=1
1 1 · 1000 · 1 − 1/1000
= 4+
´ricas Tema 5. Series Nume
2.2
11
Series Telesc´ opicas
Criterio 2.2 (Series Telesc´ opicas). Si (bn )n=k, k+1, k+2,... es una sucesi´ on real, entonces la serie num´erica +∞
S =
bn
n=k
− bn+1
opica . es llamada Serie Telesc´ Luego S es convergente si y solo si existe y es finito el l´ımite
lim bm
m→∞
Adem´ as se cumple que +∞
bn
n=k
− bn+1
= b k
− mlim+ →
∞
bm
Nota 2.6. Si (bn )n=k, k+1, k+2,... es una sucesi´on real, entonces para todo m
∈ IN se cumple que
m−1
n=k
bn
− bn+1
= bk
− bk+1
+ bk+1
− bk+2 + bk+2 − bk+3 + bk+3 − bk+4 + . . . · ·· + bm 3 − bm 2 + bm 2 − bm 1 + bm 1 − bm = b k + − bk+1 + bk+1 + − bk+2 + bk+2 + − bk+3 + bk+3 + . . . · · · + − bm 2 + bm 2 + − bm 1 + bm 1 − bm = b k + 0 + 0 + ·· · + 0 − bm = b k − bm −
−
−
−
−
−
−
−
Note entonces que m−1
m−1
bn
n=k
− bn+1
= b k
− bm
Se concluye de lo anterior que, si b∞ =
∧
n=k
− bn
bn+1
− bn
n=k
= b m
− bk
lim bm entonces
m→+∞
+∞
bn+1
+∞
bn
− bn+1
= b k
−b
∧
∞
n=k
Ejemplo 2.8. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n=4
1 n + 3
−
1 n + 4
En caso de ser convergente calcule la suma. Soluci´ on: Note que si bn =
1 = n + 3
⇒
bn+1 =
1 n + 4
= b∞
− bk
−
´ricas Tema 5. Series Nume
12
por lo tanto S es una serie telesc´opica convergente pues +∞
S =
bn
n=4
− bn+1
= b 4
−
1 b∞ = n + 3
n=4
1 1 = ∞ m + 3 7
− 0 = 71
− mlim+ →
Ejemplo 2.9. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
2n + 5 S = ln 2n + 3 n=5
En caso de ser convergente calcule la suma. Soluci´ on: Por propiedades de los logaritmos, tenemos que +∞
S =
ln(2n + 5)
n=5
− ln(2n + 3)
Note que si bn = ln(2n + 3) =
⇒
bn+1 = ln[2(n + 1) + 3] = ln(2n + 5)
por lo tanto S es una serie telesc´opica convergente pues +∞
S =
bn+1
n=4
− bn
= b ∞ =
− b5
lim ln(2m + 3)
m→+∞
=+
∞ − ln(13) = +∞ Entonces la serie es divergente.
− ln(2n + 3) n=5
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2.3
13
Condici´ on necesaria
Criterio 2.3 (Criterio de la Condici´ on Necesaria). Sea (an )n∈IN una sucesi´ on real, entonces: +∞
an es Convergente =
⇒
n=0
an es Convergente
∧
lim an = 0
n→+∞
O lo que es lo mismo: +∞
an es Divergente
⇒
lim an = 0 =
∨
n→+∞
an es Divergente
n=0
Nota 2.7. El criterio de la condici´ on necesaria es un criterio de divergencia nada m´ as, es decir que no determina si una serie num´erica es convergente. Note entonces que si (an )n∈IN una sucesi´on real convergente, entonces +∞
lim an = 0 =
n→+∞
⇒
No hay criterio para determinar la convergencia de
an .
n=0
Nota 2.8 (Sobre la condici´ on de Cauchy). Dada (an )n∈IN una sucesi´on real, sean S =
+∞
m
an
S m =
∧
n=0
an
n=0
Tenemos que S es convergente
⇐⇒ S m es una sucesi´on convergente ⇐⇒ ∀ p ∈ IN, mlim+ S m+ p − S m = 0 ( Cond. Cauchy ) ⇐⇒ ∀ p ∈ IN, mlim+ am+1 + am+2 + · · · + am+ p = 0 →
∞
→
∞
Como consecuencia se tiene que S es convergente =
⇒ =⇒
lim am+1 = lim
m→+∞
m→+∞
lim an = 0
n→+∞
lo cual corresponde a la condici´ on necesaria. Ejemplo 2.10. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n sen(4/n)
n=2
Soluci´ on: El coeficiente general de la serie num´ erica S corresponde a an = n sen(4/n)
S m+1
− S m = 0
´ricas Tema 5. Series Nume
entonces
14
lim an = lim n sen(4/n)
n→+∞
n→+∞
sen(4x) , siendo x = 1/n x x→0+ sen(4x) = 4 lim 4x x→0+ =4 1 = lim
· · 0 =4=
Se concluye entonces que S es divergente, pues no satisface la condici´on necesaria.
Ejemplo 2.11. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n + 2 n + 3
ln
n=0
Soluci´ on: El coeficiente general de la serie num´ erica S corresponde a
n + 2 an = ln n + 3
=
⇒
n + 2 n→+∞ n + 3 n + 2 = ln lim n→+∞ n + 3 = ln[1]
lim an = lim ln
n→+∞
=0 Luego el criterio de la condici´ on necesaria NO concluye nada! ( NO hay criterio ). Por otro lado note que S es una serie telesc´opica de manera tal que +∞
S =
ln(n + 2)
n=0
= ln(0 + 2) =
− ln(n + 3)
− mlim+ →
∞
ln(m + 2)
−∞
En este caso tenemos que S es una serie num´ erica que SI satisface la condici´ on necesaria pero S es divergente
´ricas Tema 5. Series Nume
2.4
15
Criterio de la integral y error de una suma
Criterio 2.4 (Criterio de la Integral). Dado k IN, sea (an )n=k, k+1, k+2,... una sucesi´ on num´erica real positiva y decreciente y sea f : [k, + [ 0, + una funci´ on continua y decreciente tal que n k, k + 1, k + 2, . . .
{
∈ ∞→ ∞ ∧
}
∀ ∈
+∞
S =
an
f (n) = an
n=k
Entonces S es convergente si y solo si la integral
+∞
I =
f (x) dx
k
es una integral impropia de primera especie convergente. Se puede escribir que +∞
+∞
∼ an
f (x) dx
k
n=k
para expresar que la serie S y la integral I tienen la misma naturaleza ( ambas convergen o ambas divergen ). Adem´ as tenemos que, para todo natural k
≥
+∞
+∞
+∞
≤
an
n= +1
f (x) dx
≤
an
n=
Luego se cumple que +∞
0
≤ Rm = S − S m =
+∞
an
n=m+1
≤
f (x) dx
m
Ejemplo 2.12. Estudie la convergencia de la serie num´ erica +∞
S = Soluci´ on: Tenemos que f (x) =
1 x ln5 (2x)
1 n ln (2n) n=3
5
− 1 =⇒ ∀ n ∈ IN, f (n) = an
−1
es el t´ermino general de S
´ricas Tema 5. Series Nume
16
Claramente f (x) es continua en [3, + [, pues x Luego
∞
+∞
dx x ln (2x)
− ∼
I =
5
3
+∞
=
ln(6) +∞ ln(6)
≥ 3 > 0 y ln5(2x) − 1 = 0 ⇐⇒
−1
2du , donde u = ln(2x) u5 1 du u5
du =
⇐⇒
x = e/2 < 3.
dx 2x
que es una p-integral convergente, pues p = 5 > 1
Se concluye que la integral I es convergente, entonces la serie num´erica S es convergente por el criterio de la integral. Definici´ on 2.1 (Error de la suma). Considere una serie num´erica +∞
S =
an
n=k
y sea
+∞
Rm = S
− S m =
an
n=m+1
el resto de la serie num´erica, entonces el error cometido al calcular S m corresponde al valor ε = Rm
| |
y expresa “cuanto dista” la suma parcial S m del valor num´erico de la serie num´erica S cuando esta es convergente. Nota 2.9. Si (an )n=k, k+1, k+2,... una sucesi´ on num´erica real positiva y decreciente y sea f : [k, + [ una funci´on positiva, continua y decreciente tal que n k, k + 1, k + 2, . . .
∀ ∈ {
+∞
S =
an
n=k
}
f (n) = a n
∧
Si S es convergente entonces el error ε cometido al calcular la suma parcial S m cumple que +∞
ε = Rm
|
|≤
f (x) dx
m
O sea que la integral nos proporciona una cota para el error. Tambi´en se cumple que +∞
S m +
+∞
f (x) dx
m+1
≤ S ≤ S m +
f (x) dx
m
Teorema 2.4. Considere una serie num´ erica y su suma parcial respectivamente S =
+∞
m
n=k
y sea Rm = S
an
∧
S m =
an , m
n=k
≥k
− S m el resto de la serie num´erica S , entonces S es Convergente ⇐⇒ lim Rm = 0 m + →
∞
∞ → IR
´ricas Tema 5. Series Nume
17
Nota 2.10. Dada la serie num´erica y su respectiva suma parcial S =
+∞
m
an
n=k
si Rm = S
S m =
∧
an , m
n=k
− S m es el resto de la serie num´erica S , entonces lim Rm = lim S − S m = S − lim m + m + m + →
∞
→
∞
Ejemplo 2.13. Considere la serie num´erica
→
+∞
S =
n=3
∞
≥k
S m = S
− S = 0
1 n4
Resolver los siguientes problemas (a) Verifique que S es una serie num´erica convergente. (b) Halle una cota del error cometido al calcular S 8 . (c) Aproxime el valor num´erico de S , sumando los dos primeros t´erminos de la serie num´ erica y acote el error cometido. (d) ¿Cu´ antos t´erminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100 000? Soluci´ on: (a) Es claro que 1/x4 es una funci´on continua, positiva y decreciente en [3, + [.
∞
Luego S es una serie num´ erica convergente por el criterio de la integral, pues +∞
∼
S
3
dx , x4
que es una p-integral convergente ( p = 4 > 1)
(b) El error cometido al calcular S 8 corresponde a +∞
ε8 = R8
|
|≤ 8
= = =
≈
−1
3x3
dx x4
+∞ 8
−0 + 3 ·183 1 1536 0.000651
(c) La suma de los primeros dos t´erminos de S corresponde a a3 + a4 = S 4 =
1 1 256 + 81 337 + = = 34 44 81 256 20736
·
≈ 0.016251929012346
´ricas Tema 5. Series Nume
18
El error cometido corresponde a
+∞
ε4 = R4
|
|≤
dx x4
4
= =
−1
3x3
+∞ 4
−0 + 3 ·143
1 192 = 0.0052083 =
(d) Para que el error ε sea menor que 1/100 000 = 1/105 , es suficiente que +∞
ε = Rm
|
|≤
m
= = <
−1
3x3
dx x4
+∞ m
−0 + 3 ·1m3 1 105
entonces 3 m3 > 10 5
⇐⇒
m>
105 3
3
≈ 32.18
( Con ayuda de la calculadora )
Se concluye que S 33 aproxima a S con un error menor que 1/105 . Como el ´ındice n de la serie comienza en n = 3, entonces es necesario sumar al menos 33 t´erminos de la serie.
− 2 = 31
Otra manera de estimar un valor para m es haciendo
3
105 = 102 3
3
1 < 100 30
3
1 100 102 = < = 34 27 3 3
entonces podemos tomar m = 34 > de lo cu´al se sigue que con 34
105 3
− 2 = 32 t´erminos el error es menor que 1/105.
´ricas Tema 5. Series Nume
2.5
19
p-series
Criterio 2.5 (p-series). Una serie num´erica de la forma +∞
S =
1 (n n0 ) p
−
n=k
es llamada p-serie siempre que n0 < k. En tal caso S Convergente
p > 1
⇐⇒
Note que S Divergente
⇐⇒ p ≤ 1
Ejemplo 2.14. La serie +∞
S =
n=1
es una p-serie convergente, porque p = 2 > 1.
1 n2
Nota 2.11. +∞
1 π2 = n2 6 n=1
Ejemplo 2.15. La serie +∞
S =
n=1
es una p-serie divergente, porque p = 1.
1 n
Nota 2.12 (Serie arm´onica). La p-serie divergente +∞
S =
n=1
1 n
es llamada tambi´en serie arm´ onica. Note que por el criterio integral +∞
1 n
+∞
∼
n=1
1
Ejemplo 2.16. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie +∞
S =
+∞
=+
∞
1
+∞
1 1 = (n 4)5 n=6 (n 4)5/3
3
n=6
dx = ln(x) x
−
es una p-serie Convergente, porque p = 5/3 > 1.
−
´ricas Tema 5. Series Nume
20
Ejemplo 2.17. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie +∞
S =
+∞
1 1 = (n 4)3 n=6 (n 4)3/4
4
n=6
−
−
es una p-serie Divergente, porque p = 3/4 < 1. Ejemplo 2.18. Muestre que la siguiente serie es convergente, +∞
S =
n=6
2n+1 + n2 6n + 9 2n (n 3)2
− −
y calcule su valor de convergencia con ayuda de la nota 2.11. Soluci´ on: Por el criterio de la integral, y luego tomando en cuenta que α, 2x
∀
+∞
∼
S
6
2x+1 + x2 6x + 9 dx 2x (x 3)2
− −
+∞
∼ 6
+∞
=
6
2x dx 2x x2 dx que es p-integral convergente x2
·
entonces S es Convergente por el criterio de la integral. Para el c´ alculo tenemos que +∞
2n+1 + n2 6n + 9 2n (n 3)2
− − n=6 + 2n+1 + (n − 3)2 = 2n (n − 3)2 n=6
S =
∞
+∞
=
n=6 +∞
=
n=6
2n+1 (n 3)2 + 2n (n 3)2 2n (n 3)2
− −
−
2 (n
−
nα ∧ x − 3 ∼ x
1 + n 2 3) 2
´ricas Tema 5. Series Nume
21
entonces S es suma de una p-serie convergente y de una serie geom´etrica convergente: +∞
S = 2
+∞
1
n=6 +∞
(n
+∞
+
3)2
1 =2 + n2 n=3 =2
1 2n n=6
− · − · − · − − 1 n2 n=1
6
1 2
1 1 1/2
2
1 n2 n=1
1 π 2 =2 1 6 4 π2 5 1 = + 3 2 32 2 π 79 = 3 32
+
1 25
+
por cambio de ´ındice y suma geom´etrica
1 2 26
·
por la nota 2.11
− −
Nota 2.13. A continuaci´ on las sumas de algunas p-series convergentes +∞
n=1
+∞
1 π4 = n4 90
n=1
1 π6 = n6 945
Ejemplo 2.19. +∞
n=1
1 1 = 4 4 (2n) 2
+∞
·
n=1
1 1 π4 π4 = = n4 16 90 1440
·
Ejemplo 2.20. Analice la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
1 (2n + 1)2 n=0
Soluci´ on: Note que +∞
S =
n=1
1 22
· (n −
es una p-serie convergente pues p = 2 > 1.
1 = 2 1/2) 4
+∞
·
n=1
(n
−
1 1/2)2
Nota 2.14. A continuaci´ on las sumas de algunas p-series convergentes +∞
n=0
+∞
1 π2 = (2n + 1)2 8
n=0 +∞
1 π6 = (2n + 1)6 960 n=0
1 π4 = (2n + 1)4 96
´ricas Tema 5. Series Nume
22
Nota 2.15. Con ayuda del software wxMaxima podemos obtener la suma de una serie num´ erica. Por ejemplo, despu´ es de cargar el paquete “simplify_sum ” haciendo
(%i1) load(simplify_sum); (%o1)
”/usr/share/maxima/5.24.0/share/contrib/solve rec/simplify sum.mac” +∞
El siguiente c´ odigo calcula la suma de serie
(%i2)
sum( 1/(2*n+1)^6, n,0,inf ); simplify_sum(%); ∞
(%o2)
(%o3)
1 : 6 (2n + 1) n=1
n=0 π6
960
1 (2n + 1)6
´ricas Tema 5. Series Nume
2.6
23
Comparaci´ on directa
Criterio 2.6 (Criterio de Comparaci´ on Directa). Sean (an )n∈IN y (bn )n∈IN sucesiones reales positivas, entonces an
(a)
≤ bn ∧
an
(b)
+∞
+∞
⇒ ⇒
bn es Convergente =
n=0 +∞
≥ bn ∧
an es Convergente
n=0 +∞
bn es Divergente
=
n=0
an es Divergente
n=0
En cualquier otro caso no hay criterio. Teorema 2.5. Sean (an )n=k, k+1,... y (bn )n=k, k+1,... sucesiones reales, entonces +∞
∀n ≥ 0, an ≤ bn
+∞
≤ ⇒
=
an
n=k
bn
n=k
Nota 2.16. En el criterio 2.6 de comparaci´ on directa tambi´en se puede escribir +∞
+∞
+∞
≤ ≥
+∞
⇒ ⇒
an
(a)
n=k +∞
n=k +∞
an
(b)
n=k
bn bn
n=k
∧ ∧
n=k +∞
n=k
Siempre que a n , bn 0, n k IN. En cualquier otro caso no hay criterio.
≥ ∀ ≥ ∈
Nota 2.17. Recordemos algunas desigualdades: 1. a
≤ b ⇐⇒ a + x ≤ b + x 2. ∀x > 0, a ≤ b =⇒ ax ≤ bx 3. ∀x > 0, a + x > a ∧ a − x < a 1 1 4. a ≤ b ⇐⇒ ≥ , siempre que a, b =0 a b 5.
∀x > 0 ∧
a > 0,
1 1 < a + x a
∀x > 0 ∧ a > x, a −1 x > a1 7. f (x) ∧ a ≤ b =⇒ f (a) ≤ f (b) 8. f (x) ∧ a ≤ b =⇒ f (a) ≥ f (b) 1 1 9. ∀u ∈ IR, ln(u) < u ⇐⇒ > ln(u) u 6.
bn es Convergente =
an Convergente
n=k +∞
bn es Divergente
=
n=k
an es Divergente
´ricas Tema 5. Series Nume
24
Ejemplo 2.21. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n=1
1 n2 + 6n + 8
En caso de ser convergente calcule la suma. Soluci´ on: Note que
1 1 < n2 + 6n + 8 n2
n2 + 6n + 8 > n2 =
⇒
luego se tiene que +∞
S =
n=1
1 n2 + 6n + 8
+∞
≤
n=1
1 , n2
que es una p-serie convergente ( p = 2 > 1 )
entonces S es una serie num´erica convergente por el criterio de comparaci´ on directa. Para calcular note que n2
1 1 = + 6n + 8 (n + 2)(n + 4) 1 n + 4 (n + 2) = 2 (n + 2)(n + 4) 1 1 1 = 2 n + 2 n + 4
−
·
·
−
entonces 1 S = 2 1 = 2 1 = 2
+∞
n=1 +∞ n=1 +∞ n=1
1 n + 2 1 n + 2 1 n + 2
−
1 n + 4
−
1 1 + n + 3 n + 3
−
1 1 + n + 3 2
−
+∞
n=1
1 n + 4 1 n + 3
−
1 n + 4
1 +
que es una suma de series telesc´opicas convergentes, al final
1 1 S = 2 1+2 1 1 = + 6 8 7 = 24
1 +
− ∞
1 + 2
1 1+3
Ejemplo 2.22. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
− ∞
√ 3
n=5
1
n2
−2
´ricas Tema 5. Series Nume
Soluci´ on:
+∞
S =
√ 3
n=5
+∞
1
n2
25
−2
1
≥ √ 3
n=5
que es p-serie divergente ( p = 2/3 < 1 ).
n2
Entonces S es divergente por comparaci´on directa.
Ejemplo 2.23. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
arctan(5 + n)
√ 4
n=5
Soluci´ on: Como arctan(5 + n) +∞
S =
√ 6 4
≤ π/2 ∧
arctan(5 + n)
√ 4
n=5
√ ≤ n6 + 2 n
π 2
√
n6 + 2 n
√ √ n6 4
n +2 n> +∞
1
· √ 4
n=5
que es p-serie convergente ( p = 6/4 > 1 )
n6
Entonces S es convergente por comparaci´ on directa.
Ejemplo 2.24. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n + 4 n ln(n)
√
n=2
Soluci´ on: Recordemos que ln(n) < n siempre, entonces +∞
S =
n=2 +∞
1 n
√
n=2
n + 4 n ln(n)
√
+∞
n + 4 n n
≥ √ n=2
·
+∞
+∞
n 1 = n n n=2 n
≥ √ n=2
·
√
es una p-serie divergente ( p = 1/2 < 1 ), entonces S es divergente por comparaci´on directa.
Notas 2.18. Recordemos que, dadas dos sucesiones an , bn , n
∈ IN
1. Se dice que a n y b n son equivalentes si y solo si an =1 x→+∞ bn lim
∼
se denota a n = b n 2. Si existe y es finito el l´ımite
an = α = 0 n→+∞ bn lim
se escribe an
∼ bn
lo cual se puede leer como que “an y bn son similares”.
´ricas Tema 5. Series Nume
26
3. Se dice que a n es “m´ as r´apido” que b n o que bn es “m´ as lento” que a n si y solo si an =+ n→+∞ bn lim
bn =0 n→+∞ an lim
∞ ⇐⇒
se denota a n
bn ⇐⇒ bn an 4. ∀ p > 0, ln(n) n p 5. Si p 1 < p2 , entonces n p n p 6. Para todo p ∈ IR y para todo r > 1 se cumple que 1 1 7. an bn ⇐⇒ an bn 1
2
n p
rn n! nn
Nota 2.19. Dados (an )n=k, k+1,... y (bn )n=k, k+1,... sucesiones reales (a) Si n
∀ ≥ k, an bn entonces existe α > 0 tal que an
≤ α · bn
+∞
+∞
⇒
≤ α
·
+∞
+∞
⇒
≥ α
·
=
an
n=k
bn
n=k
(b) Si n
∀ ≥ k, an bn entonces existe α > 0 tal que an
≥ α · bn
=
an
n=k
bn
n=k
(c) Si n
∀ ≥ k, an ∼ bn entonces existen α, β > 0 tal que +∞
α bn
· ≤ an ≤ β · bn =⇒
α
+∞
+∞
≤ ·
·
bn
n=k
an
n=k
≤ β
bn
n=k
Ejemplo 2.25. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S = Soluci´ on: Como n + 4 > n
∧
n5
n + 4 n5 3 n=3
−
− 3 < n5 entonces +∞
S =
n=3
n + 4 n5 3
−
+∞
n = n5
+∞
≥ n=3
n=3
1 n4
+∞
1 es una p-serie convergente NO hay criterio para una comparaci´on directa. 4 n n=3 Por otro lado note que n + 4 1 n + 4 1 = α, < α = n5 3 n4 n5 3 n4 Como
−
∼
⇒∃
−
·
´ricas Tema 5. Series Nume
27
En este caso puede ser α = 3, podemos demostrar que n + 4 3 < n5 3 n4
−
Al final
+∞
S =
n=3 +∞
Como Directa.
n + 4 n5 3
− ≤ 3
+∞
·
n=3
1 n4
1 es una p-serie convergente entonces S es convergente por el Criterio de Comparaci´ on 4 n n=3
´ricas Tema 5. Series Nume
2.7
28
Criterio del l´ımite
Criterio 2.7 (Criterio del L´ımite). Sean (an )n=k, k+1,... y (bn )n=k, k+1,... sucesiones reales positivas, tales que an L = lim n→+∞ bn (a)
∃L = 0 y es finito
=
⇒
+∞
+∞
an
∧
n=k
bn
tienen el mismo comportamiento
n=k
( Ambas convergen o ambas divergen ) +∞
+∞
∼ ⇒ ⇒ an
se denota
n=k +∞
L = 0
(b)
bn es Convergente =
n=k +∞
L = +
(c)
∞ ∧
n=k
+∞
∧
bn
bn es Convergente
n=k +∞
bn es Divergente
n=k
=
an es Divergente
n=k
En cualquier otro caso no hay criterio. Nota 2.20. Otra manera de escribir el criterio 2.7 del l´ımite es la siguiente +∞
an
(a)
∼ bn
=
an
⇒
n=k
+∞
an
bn ∧
(b)
an
(c)
bn ∧
+∞
∼
bn
n=k +∞
⇒ ⇒
bn es Convergente =
n=k +∞
bn es Convergente
n=k +∞
bn es Divergente
=
n=k
an es Divergente
n=k
Ejemplo 2.26. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n=3
Soluci´ on: Tomemos las sucesiones an = entonces
n + 4 n5 3
−
n + 4 n5 3
−
∧
bn =
1 n4
an n + 4 n5 + 4n4 4 lim = lim 5 =1=0 n = lim n→+∞ bn n→+∞ n n→+∞ n5 3 3 Entonces por el criterio del l´ımite
− ·
+∞
∼
S
n=3
1 n4
−
que es una p-serie convergente, pues p = 4 > 1.
Se concluye que S es convergente.
´ricas Tema 5. Series Nume
Nota 2.21. Si cuando n
29
→ +∞ an
bn =⇒ α · an + β · bn ∼ bn
siempre que β = 0, pues
α an + β bn a n = α + β bn bn
·
·
−n−−−− → 0 + β = β = 0 +
·
→
∞
Nota 2.22. Sean (an )n=k, k+1,... sucesi´on real tal que an =
P (n) h(n) Q(n)
·
donde P, Q son expresiones radicales con grados Grado[P (n)] = p1
∧ Grado[Q(n)] = p2
mientras que h(n) es una expresi´on no radical ( log, sen, arctan, . . . ). Se sugiere tomar n p1 1 bn = p = p − p n2 n2 1 Al analizar el l´ımite se obtiene an P (n) h(n) 1 = lim = α n→+∞ bn n→+∞ Q(n) bn
·
L = lim donde
·
· n lim+
P (n)/Q(n) P (n) = 0, pues n→+∞ bn Q(n)
α = lim
→
∞
h(n)
∼ bn
Nota 2.23. Recuerde que p1 < p2 =
⇒
n p1
n p
cuando n
2
→ +∞
Ejemplo 2.27. Determine la convergencia de la serie num´erica
√ +∞
S =
n=2
Soluci´ on: Note que
2n3 1 + n + 2 5n4 3n
−
−
√ 2n3 − 1 + n + 2 √ n3 1 1 ∼ an = = = 5n4 − 3n n4 n4 3/2 n5/2 √ 2 1 an bn = 5/2 =⇒ lim = = 0 n + bn 5 n −
Entonces
→
∞
Por el criterio del l´ımite +∞
∼
S
n=2
1 n5/2
que es p-serie convergente, pues p = 5/2 > 1.
Luego S es una serie num´erica convergente.
´ricas Tema 5. Series Nume
30
Ejemplo 2.28. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
n=0
Soluci´ on: Note que
√ 4n + 3 √ n + n2 − 1 3
√ 4n + 3 n1/2 1 √ an = ∼ n = n1/2 n + n2 − 1 3
Entonces
bn =
1 n1/2
=
⇒
an = n→+∞ bn lim
√
4=2=0
Por el criterio del l´ımite +∞
S =
n=0
√ 4n + 3 + √ ∼ n + n2 − 1
∞
∼
3
n=1 +∞
√ 4n + 3 √ n + n2 − 1 3
1
que es p-serie divergente, pues p = 1/2 < 1.
n1/2 n=1
Luego S es una serie num´erica divergente. Nota 2.24. Para todo p
∈ IR 1 ≤ α < β =⇒
n p
αn β n
cuando n
→ +∞
Ejemplo 2.29. En caso de ser convergente, calcule el valor num´erico de la serie num´erica +∞
3n+1 + n2 + n 2 S = 3n (n2 + n 2) n=2
Soluci´ on: Note que
−
−
3n+1 + n2 + n 2 an = 3n (n2 + n 2)
Entonces bn =
1 = n2
⇒
lim
n→+∞
Por el criterio del l´ımite
− ∼ 3n = 1 3n · n2 n2 − an 3n+1 n2 + n4 + n3 − 2n2 = lim =3 =0 n + bn 3n (n2 + n − 2) →
∞
+∞
1 n2 n=2
∼
S
que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.
Luego S es una serie num´erica convergente. Notemos ahora que 3n+1 + n2 + n 2 3n+1 n2 + n 2 = n 2 + 3n (n2 + n 2) 3 (n + n 2) 3n (n2 + n 2) 3 1 = + n (n 1)(n + 2) 3
−
−
−
−
− −
´ricas Tema 5. Series Nume
31
Note que +∞
S 1 =
(n n=2
−
3 1)(n + 2)
+∞
+∞
1 n2 n=2
∼
∧
S 2 =
1 1 1 1 = = 3n 9 1 1/3 6 n=2
· −
son series convergentes por criterio del l´ımite y geom´etrica respectivamente, entonces S = S 1 + S 2 . Tenemos que S 1 es combinaci´ on de sumas telesc´ opicas convergentes +∞
S 1 =
− − − − − − − − − − − − − 1
n
n=2 +∞
=
n
1
1 + n
1
n
n=2
=
1
1 1 + n n
1
n=2 +∞
=
1
1 n + 2
1
2
1 +
−1
1 1 = 1 + + 2 3 11 = 6
∞
+
1 1 + n + 1 n + 1
+∞
1 n
n=2
1 + n + 1
1 2
1 +
S =
11 1 + =2 6 6
∞
Finalmente
1 n + 2
+
+∞
1 n + 1
n=2
1 2+1
1 n + 2
1 +
∞
Ejemplo 2.30. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S = Soluci´ on: Sean an =
arctan(3n) n2 5 n=0
arctan(3n) n2 5
Entonces
−
−
∧
bn =
1 n2
an n2 arctan(3n) π lim = lim = 1 arctan(+ ) = = 0 2 n→+∞ bn n→+∞ n 5 2 Por el criterio del l´ımite
−
+∞
arctan(3n) n2 5 n=1
∼
S
−
·
∞
+∞
1 n2 n=1
∼
que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.
Entonces S es convergente.
Ejemplo 2.31. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
√
n + 3 n4 + 2n 1 n + 1 S = ln n + 3 6n3 + 5n + 7 n n=0
√
− ·
´ricas Tema 5. Series Nume
32
Soluci´ on: Note que
√
√ 2n √ 2 − ∼ √ = √ 7n 7
n + 3 n4 + 2n 1 an = = 6n3 + 5n + 7 n Entonces bn = Como
6
4 73
6
4 73
√
n
=
⇒
n
3
3
an lim =1 n→+∞ bn
· n lim+ →
∞
ln
=
6
4 73
n
n + 1 = 1 0 = 0 n + 3
·
< 1, entonces la serie +∞
n
6
n=0
4 73
es una serie geom´etrica convergente.
Luego S es convergente por el criterio del l´ımite.
Ejemplo 2.32. Determine la convergencia de la serie num´erica
√ · +∞
S =
n ln(2 + n) n + 5
n=0
Soluci´ on: Note que an = Entonces bn =
1 n1/2
=
⇒
√ n n + 5
∼=
√ n n
=
1 n1/2
an = lim ln(2 + n) = + n→+∞ bn n→+∞ lim
∞
Como p = 1/2 < 1 entonces +∞
1
n1/2 n=1 Luego
es p-serie divergente.
√ · ∼ +∞
S
n=1
n ln(2 + n) es serie divergente por el Criterio del Limite. n + 5
As´ı S es una serie num´erica divergente.
Ejemplo 2.33. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
ln(2 + n) n2 n=2
Soluci´ on: Si tomamos an =
ln(2 + n) n2
∧
bn =
1 = n2
⇒
an = lim ln(2 + n) = + n→+∞ bn n→+∞ lim
∞
´ricas Tema 5. Series Nume
33
Como p = 2 > 1 entonces +∞
1 n2 n=2
es p-serie convergente =
El Criterio del L´ımite NO se puede aplicar!
⇒
Por otro lado, tenemos que por el criterio integral +∞
ln(2 + n) S = n2 n=2
Si hacemos u = ln(2 + x) =
⇒
x = eu
+∞
∼ 2
dx = e u du, entonces
−2 ∧
+∞
I =
ln(4)
Note que
ln(2 + x) dx = I x2
u eu du (eu 2)2
−
+∞
u eu u eu u = = = (eu 2)2 (eu )2 eu
∼
−
Note que a > 1, u Tenemos as´ı que
∀
u du eu
∼
I
⇒
ln(4)
au, en particular u < 2u para todo u ≥ ln(4). +∞
u du eu
ln(4)
+∞
≤
ln(4)
2u du = eu
+∞
u
ln(4)
2 e
du
que es una integral impropia exponencial convergente, pues 2e < 1. +∞ u Entonces du converge por el criterio de comparaci´on directa para integrales impropias. u ln(4) e Finalmente I es convergente = S es serie convergente.
⇒
Ejemplo 2.34. Determine la convergencia de la serie num´erica
√ · +∞
S =
n n + 3 ln n + 5 n + 1 n=0
Soluci´ on: Note que an = Entonces bn =
1 n1/2
=
⇒
√ n n + 5
∼=
√ n n
=
1 n1/2
an n + 3 lim = lim ln = ln(1) = 0 n→+∞ bn n→+∞ n + 1
Como 1/2 < 1 entonces +∞
1
n1/2 n=0
es p-serie divergente =
⇒
El Criterio del L´ımite NO se puede aplicar!
“ Ver la soluci´ on final en el Ejemplo 2.36. ”
´ricas Tema 5. Series Nume
2.7.1
34
Aplicando Desarrollos Generalizados
Notas 2.25 (Sobre Desarrollos Generalizados). 1. Recordemos que f (x) = O[g(x)] cuando x
f (x) =0 x→a g(x)
→ a ⇐⇒
lim
Por defecto a = 0, adem´ as de que a puede cambiarse por a+ , a− , +
∞ o −∞.
2. En el caso de sucesiones vamos a decir que an = O(bn ) 3. Si f (x) = P (x) + O(xα ) para alg´ un α an = f (1/n), n IN satisface
∈
an =0 n→+∞ bn lim
⇐⇒
∈ IR+ es un desarrollo generalizado, entonces para la sucesi´on
an = f (1/n) = P (1/n) + O(1/nα ) En general, si ρ(n) converge a 0 cuando n + y si ρ(n) decreciente para n suficientemente grande, entonces f [ρ(n)] = P [ρ(n)] + O[ρ(n)α ]
→ ∞
|
−
|
Ejemplo 2.35. Considere la sucesi´ on 3n + 4 an = arctan 3n + 1
1
Note que
3n + 4 3n an = arctan 3n + 1
− −1
3 = arctan 3n + 1
Recordemos el desarrollo limitado 3
− x3
arctan(x) = x Como x =
3 3n + 1
+ O(x5 )
0 cuando n → +∞ entonces 3 an = 3n + 1 3 = 3n + 1
− −
3 1 3 33 +O 3 3n + 1 (3n + 1)3 9 1 + O (3n + 1)3 (3n + 1)3
Nota 2.26. 1. Recuerde que an
an = 0 y es finito. ∞ bn
∼ bn ⇐⇒ Existe n lim+ →
2. Recuerde tambi´en que por el criterio del l´ımite +∞
an , bn > 0
∧ an ∼ bn
+∞
∼ ⇒
=
an
n=0
n=0
bn
´ricas Tema 5. Series Nume
35
⇒ an ∼= bn =⇒ an ∼ bn.
3. Si a n = b n + O(bn ) =
4. Si a n > 0 y a n = b n + O(bn ), entonces +∞
+∞
∼ an
n=0
bn
n=0
Como consecuencia del criterio del l´ımite. 5. Si a n
∼ bn =⇒ un · an ∼ un · bn. 6. Si an ∼ bn y si G(x) es una aplicaci´on mon´ otona y definida en el rango de an , entonces G(an ) ∼ G(bn ). Ejemplo 2.36 (Ver ejemplo 2.34). Determine la convergencia de la serie num´erica
√ · +∞
S =
n n + 3 ln n + 5 n + 1 n=0
Soluci´ on: Note que
n + 3 n + 1 + 2 2 ln = ln = ln 1 + n + 1 n + 1 n + 1
Recordemos que ln(1 + x) = x + O(x), luego 2 x = n + 1
decreciente
0 −−−−−−−→ n + →
Luego
∞
⇒ ∼ √ ·
=
√ n
· ln n + 5 Entonces
n + 3 n 2 = n + 1 n + 5 n + 1
√ ∼ · ∼ +∞
S
n n + 3 ln n + 5 n + 1 n=1
n + 3 2 2 2 ln = ln 1 + = + O n + 1 n + 1 n + 1 n + 1
+∞
1
1/2
∼ nn2
=
1 n3/2
que es p-serie convergente ( p = 3/2 > 1 ).
n3/2 n=1
Ejemplo 2.37. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
√ · √ n=2
Soluci´ on: Como sen(x) = x + O(x) y x = 1/ n + 1
√
1 n + 1
0 cuando n
+ , entonces
√ → √ → √ ∞ ∼ √ · √ ∼ sen
Por lo tanto
1 sen3 n
3
+∞
S
n=2
1 3 n
1 = n + 1 1 n + 1
1 +O n + 1
3
+∞
n=2
1 n + 1
1
n1/3 n3/2
·
+∞
=
n=2
1 n11/6
que es una p-serie convergente, pues p = 11/6 > 1, luego S es convergente por el criterio del l´ımite.
´ricas Tema 5. Series Nume
36
Ejemplo 2.38. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
1
n=4
Soluci´ on: Recordemos que cos(x) = 1 1
−
−
− cos(1/n) 3n − 2
x2 + O(x2 ), como x = 1/n 2
1 cos(1/n) = 2 + O(1/n2 ) = 2n
⇒
→ 0 cuando n → +∞
+∞
+∞
∼
1/(2n2 ) 1 = 3n 2 6n3 4n2 n=4 n=4
S
−
−
+∞
1 n3 n=4
∼
que es una p-serie convergente ( p = 3 > 1 ), entonces S converge por el Criterio del l´ımite.
Ejemplo 2.39. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
1 arctan 2 n + 9n + 21
n=0
Calcule en caso de convergencia. Soluci´ on: Recordemos que arctan(x) = x + O(x), entonces
1 1 1 arctan 2 = 2 + O 2 n + 9n + 21 n + 9n + 21 n + 9n + 21
Entonces +∞
∼
S
n=0
1 n2 + 9n + 21
+∞
∼
n=1
1 que es p-serie convergente ( p = 2 > 1 ). n2
Entonces S es una serie num´erica convergente. Para el c´ alculo notemos primero que
1 1 arctan 2 = arctan 2 n + 9n + 21 1 + n + 9n + 20 1 = arctan 1 + (n + 4)(n + 5) (n + 5) (n + 4) = arctan 1 + (n + 4)(n + 5)
−
Recordemos que tan(a
− tan(b) − b) = 1tan(a) + tan(a)tan(b)
Entonces si tomamos tan(a) = (n + 5) y tan(b) = (n + 4) obtenemos que (n + 5) (n + 4) = tan(a 1 + (n + 4)(n + 5)
−
− b) = tan
arctan(n + 5)
− arctan(n + 4)
´ricas Tema 5. Series Nume
Por lo tanto
37
1 arctan 2 = arctan(n + 5) n + 9n + 21
− arctan(n + 4)
Finalmente vemos que S es una serie telesc´opica +∞
S =
arctan(n + 5)
n=0
− arctan(n + 4)
= arctan(+ ) arctan(0 + 4) π = + arctan(4) 2
∞−
Nota 2.27. Para todo α, β
∈ IR se cumple la igualdad β − α arctan = arctan(β ) − arctan(α) 1 + α · β
´ricas Tema 5. Series Nume
2.8
38
Convergencia absoluta
Criterio 2.8 (Convergencia Absoluta). Sea (an )n=k, k+1,... una sucesi´ on real y sean S =
+∞
+∞
|
an
n=k
∧
A =
an
n=k
|
si la serie num´erica A es Convergente, entonces S es Convergente. En tal caso se dice que S converge absolutamente. Si S es Convergente y A es Divergente, entonces se dice que S converge condicionalmente. Ejemplo 2.40. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
cos(n π/4) n3 + 2 n=0
√
Soluci´ on: Tenemos que, como cos(u)
|
+∞
A =
√
n=1 +∞
1
√
| ≤ 1 siempre +∞
| √
cos(n π/4) cos(n π/4) = n3 + 2 n3 + 2 n=1
| ≤ + √ 1 ≤ + √ 1 3 n3 + 2 ∞
∞
n=1
n=1
n
es una p-serie convergente, pues p = 3/2 > 1, entonces A es convergente por el criterio de 3 n n=1 Comparaci´ on Directa. +∞ cos(n π/4) Como A es convergente, entonces S es una serie absolutamente convergente. 3+2 n n=1
∼
√ ∴
S es convergente
´ricas Tema 5. Series Nume
2.9
39
Series Alternadas
Criterio 2.9 (Serie num´erica alternada). sea (an )n∈IN una sucesi´ on num´erica real positiva y sea +∞
S =
−
( 1)n an = a 0
n=0
− a1 + a2 − a3 + . . .
La serie num´erica S es llamada Serie Num´ erica Alternada , y es convergente si se cumplen las siguientes dos condiciones. (a)
lim an = 0
n→+∞
(b) La sucesi´ on an es decreciente. Este criterio es llamado criterio de las series alternadas o Criterio de Leibniz . Adem´ as se cumple que ε = Rm am+1
| |≤
+∞
donde Rm = S
− S m =
( 1)n an es la cola de la serie y ε el error cometido al calcular S m .
n=m+1
−
Ejemplo 2.41. Considere la serie num´erica +∞
( 1)n S = n n=2
−
Resuelva los siguientes problemas:
(a) Verifique que la serie num´erica S converge condicionalmente. (b) Aproxime el valor num´erico de S sumando los 3 primeros t´erminos de la serie y halle una cota del error cometido. (c) ¿Cu´ antos t´erminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100? Soluci´ on: (a) S es una serie num´erica alternada convergente, pues 1 =0 n→+∞ n lim
∧
1 n
Note adem´ as que +∞
+∞
( 1)n = n
−
n=2
n=2
1 n
es p-serie divergente ( p = 1 )
Entonces S converge condicionalmente.
(b) Sumar tres t´erminos significa sumar los t´erminos de ´ındice 2, 3 y 4: 4
≈ S 4 =
S
( 1)n 1 = n 2 n=2
− 31 + 41 = 125 = 0.416
−
Usando el criterio de las series alternadas con a n = 1/n, el error cometido corresponde a
| | ≤ a5 = 51 = 0.2
ε4 = R4
´ricas Tema 5. Series Nume
40
(c) Para que el error ε sea menor que 1/100, es suficiente que 1 m + 1
ε = Rm =
| |
1 ⇐⇒ ≤ 100
m + 1 > 100
⇐⇒
m > 99
entonces S 100 nos garantiza un error menor que 1/100. Como el ´ındice de la serie comienza en n = 2, hay que sumar 100 parcial. Nota 2.28. La serie num´erica
+∞
S =
− 1 = 99 t´erminos de la suma
( 1)n n
−
n=1
es llamada serie arm´ onica alternada y es convergente condicionalmente, adem´ as +∞
( 1)n = n
−
n=1
− ln(2)
Esto pues como m+1
ln(1 + x) =
n=1
m+1
ln(2) =
n=1
entonces
−
1 < 1 = 1 + θ
⇒
−
( 1)n ( 1)m+1 + , θ n (m + 2)(1 + θ)m+2
+∞
( 1)n = n n=1 Como
( 1)n+1 xn ( 1)m+1 xm+2 + , θ n (m + 2)(1 + θ)m+2
− − − −
−
∈ V (0, x)
∈ V (0, 1) = [0, 1]
( 1)m+1 ln(2) + lim , θ m→+∞ (m + 2)(1 + θ)m+2
−
lim
m→+∞ +∞
n=1
( 1)m+1 (m + 2)(1 + θ)m+2
−
( 1)n = n
− ⇒
=
− ln(2)
≤
∈ [0, 1]
1 =0 m→+∞ m + 2 lim
En el u ´ ltimo ejemplo tenemos la serie
+∞
+∞
( 1)n ( 1)n = +1 n n n=2 n=1
− − =
− ln(2) + 1
≈ 0.30685
Nota 2.29 ( p-series alternadas). En general las series alternadas de la forma +∞
( 1)n n p n=1
−
son convergentes siempre que p > 0.
´ricas Tema 5. Series Nume
41
Notas 2.30. A continuaci´ on las sumas de algunas p-series alternadas +∞
+∞
( 1)n+1 π2 = n2 12 n=1
( 1)n+1 7 π4 = n4 720 n=1
−
− +∞
( 1)n+1 31π 6 = n6 30240
−
n=1
Ejemplo 2.42. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
−
( 1)n sen(1/n)
n=2
Soluci´ on: S es una serie convergente, pues Tenemos que
∀ n ≥ 2, sen(1/n) > 0. lim sen(1/n) = sen(0) = 0
n→+∞
Adem´ as
− x12 · cos(1/x) < 0, ∀x ≥ 2 =⇒ ∀x ≥ 2, sen(1/x) Luego la sucesi´on sen(1/n) 0, entonces S es una serie alternada convergente. [sen(1/x)] =
Ejemplo 2.43. Determine la convergencia de la serie num´erica +∞
S =
−
( 1)n+1
n=2
arctan(1/n) 5 + 3 n2 + 4
√
Soluci´ on: S es una serie convergente, pues arctan(1/n) > 0 5 + 3 n2 + 4
√
Tenemos que
arctan(1/n) arctan(0+ ) lim = = 0+ 3 2 n→+∞ 5 + + n +4
√
Adem´ as arctan(n)
∞
1 n
=⇒ arctan(1/n) √ Adicionalmente 5 + n2 + 4 , entonces an por ser producto de sucesiones decrecientes. ∧
3
Se concluye que S es una serie alternada convergente.
´ricas Tema 5. Series Nume
2.10
42
Criterios de la Raz´ on y de la Ra´ız
Criterio 2.10. Sea (an )n=k, k+1, k+2,... una sucesi´ on real y sean +∞
S =
an
n=k
entonces (a) Criterio de D’Alambert:
Tambi´en llamado “criterio de la raz´ on”, establece que si L = lim
n→+∞
entonces i. L < 1 =
S es Convergente Absolutamente
ii. L > 1
S es Divergente
⇒ =⇒
an+1 an
iii. NO hay criterio si L = 1 (b) Criterio de Cauchy:
Tambi´ en llamado “criterio de la ra´ız”, establece que si L = lim
n→+∞
| | n
an
entonces i. L < 1 =
S es Convergente Absolutamente
ii. L > 1
S es Divergente
⇒ =⇒
iii. NO hay criterio si L = 1 Ejemplo 2.44. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
n=2
3n (n + 1)!
Soluci´ on: 3n an = = (n + 1)!
an+1 3n+1 (n + 1)! = (n + 2)! 3n an 3 (n + 1)! = (n + 2)(n + 1)! 3 = 0 < 1 n + 2 n→+∞ entonces S es una serie convergente por en criterio de la raz´on.
⇒
·
−−−−−→
Nota 2.31. Notemos que α = 0 y k
∀ lim
n→+∞
∀ ∈ IR α n
1+
n
= e α
∧
lim
n→+∞
√ α n + k = 1 n
´ricas Tema 5. Series Nume
43
Ejemplo 2.45. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
1 1+ n
n=2
−n2
Soluci´ on: an =
−n2
1 1+ n
√ an = =⇒ n
−n
1 1+ n
−1
→e
< 1
entonces S es una serie convergente por en criterio de la ra´ız.
Ejemplo 2.46. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
(2n)! 3n (n!)2 n=2
Soluci´ on: an+1 (2n + 2)! 3n (n!)2 = n+1 an 3 [(n + 1)!]2 (2n)! (2n + 2)(2n + 1)(2n)! (n!)2 = 3 (n + 1)2 (n!)2 (2n)! 1 4n2 + 6n + 2 4 = > 1 3 n2 + 2n + 1 n→+∞ 3 entonces S es una serie divergente por en criterio de la raz´on. an =
(2n)! = 3n (n!)2
⇒
·
·
·
2.10.1
−−−−−→
La f´ ormula de Stirling
Teorema 2.6 (F´ ormula de Stirling). Cuando n
→ +∞ ∼ n n √
n! =
Es decir que lim
2π n
e
n!
n→+∞
(n/e)n
√ 2π n = 1
En tal caso, si an = G(n, n!) es una sucesi´on positiva ( no nula ) entonces +∞
n=0
+∞
G(n, n!)
√ ∼ G n,
n=0
n e
n
2π n
Ejemplo 2.47. Use la f´ormula de Stirling para analizar la convergencia de la serie +∞
S =
nn n! 5n n=2
·
´ricas Tema 5. Series Nume
44
Soluci´ on: Usando la f´ ormula de Stirling, tenemos que +∞
S =
n=2
Tenemos que
+∞
nn n! 5n
+∞
nn e = (n/e)n 2π n 5n n=2 5 n=2
∼ · e 5
n
n
√
1 2π n
n
· √
·
· √ 2π1 n = 5e · √ 1 → 5e · √ 11 = 5e < 1 2π n
n
Entonces por aplicaci´ on de la f´ ormula de Stirling y el criterio de la ra´ız, S es convergente.
Ejemplo 2.48. Use la f´ormula de Stirling para analizar la convergencia de la serie +∞
S =
n=2
(2n)! 3n (n!)2
Soluci´ on: Usando la f´ ormula de Stirling, tenemos que
∼ √
n n! = e
n
2π n
2n
∼ 2n e
(2n)! =
∧
√
4π n
Luego +∞
(2n)!
√ ∼ · √ · √ · √
S =
n=2 +∞
3n (n!)2
n=2 +∞
=
n=2 +∞
=
n=2 +∞
=
n=2
2n e
2n
2n e
2n
4π n
·
1 3n
·
1 4πn n 3
·
4 3
n
2 πn 2πn
4 3
n
1 πn
(n/e)n
√ 2 π n
e n
· 2 π1 n
·
2n
2
Finalmente, como
· √ n
4 3
n
1 4 = πn 3
1 4 1 4 √ · √ −−−−−→ · = > 1 3 3 1 πn n +
n
→
∞
Entonces por aplicaci´ on de la f´ ormula de Stirling y el criterio de la ra´ız, S es divergente.
´ricas Tema 5. Series Nume
2.11
45
Criterio de Raabe
Criterio 2.11 (Criterio de la Raabe). Sea (an )n=k, k+1,... una sucesi´ on real y sea +∞
S =
an
n=k
L = lim n
∧
n→+∞
entonces (a) L > 1 =
S es Convergente Absolutamente
(b) L < 1
S es Divergente
⇒ =⇒
· − 1
an+1 an
(c) NO hay criterio si L = 1 Nota 2.32 (El doble Factorial). Para todo n n!! = En tal caso n!! =
∈ IN se define el doble factorial de n como 1 , si n ≤ 1 (n − 2)!! · n , si n > 1
·
1 3 5 7 . . . (2k 1 2 4 6 . . . (2k
· · · · · · ·
− 1) · (2k + 1) − 2) · (2k)
, si n = 2k + 1 , si n = 2k
Ejemplo 2.49. Analice la convergencia de la serie +∞
S =
n=1
(2n 1)!! 2n n!
− ·
Soluci´ on: an =
(2n 1)!! = 2n n!
− ·
⇒
an+1 (2n + 1)!! 2n n! = n+1 an 2 (n + 1)! (2n 1)!! 3 5 . . . (2n 1) (2n + 1) n! = 2 (n + 1) n! 3 5 . . . (2n 2n + 1 = 1 2 (n + 1)
· · · − · · − · · · → ·
· · ·
− 1)
entonces el criterio de la raz´on NO concluye nada. Consideremos entonces el criterio de Raabe lim n
n→+∞
· − 1
a n+1 an
· − ·
2n + 1 = lim n 1 n→+∞ 2 (n + 1) 2n + 2 (2n + 1) = lim n n→+∞ 2 (n + 1) 1 n = lim 2 n→+∞ n + 1 1 = < 1 2
·
·
−
·
entonces S es una serie divergente por en criterio de Raabe.
