Sead SAKIC ,
prof.
mas in stv~
v
TEHNICKA MEHANIKA ZBIRKA ZADATAKA ZA UCENIKE SREDNJ IH SKOlA
,4:=200'" 1.em U. 1m
l..°1cm
.... ,.
J '.
1996.
Sead SAKIC, prof. masinstva ZBIRKA ZAOATAKA IZ TEHNICKE MEHANIKE - prvo izdanje -
Recenzenti : Nedzad Mrsi6, dipl.inz.masinstva Mehmed Moranjki6, dipl.inz.masinstva
Izdavac: OJL "OENFAS" Tuzla
Graficka obrada: Ozevad Alici6
Stampa: OJL "OENFAS" - Tuzla
Za stampariju: Suljo Hasanovi6
Tiraz 1500
Tuzla, 1996.
Sead SAKIC,
prof. masinstva
ZBIRKA ZADATAKA IZ TEHNICKE MEHANIKE ZA UCENIKE SREDNJIH SKOlA STATIKA OTPORNOST MATERIJAlA KINEMATIKA D1NAMIKA (Rijeseni zadaci i zadaci za vjezbanje)
PREDGOVOR Predmet TEHNICKA MEHANIKA je jedan ad fundamentalnih predmeta u nekim strucnim i tehnickim skalama . Nastavni sadriaji avag predmeta predpastavljaju uspjesnu rea/izaciju sama rjesavanjem prakticnih zadataka. Tehnicka mehanika abuhvata cetiri ablasti kaje se izucavaju u strucnim skalama ita .· statiku, cvrstacu materijala, kinematiku i dinamiku. Nedastatak udzb enika i adgavarajucih prirucnika nametnua je patrebu za avakvam zb irkam zadataka u kajaj su abuhvacene sve cetiri ab lasti. Zb irka zadataka uraaena je prema nastavnam planu i programu masinske strucne i masinske tehnicke skale. Indentican program je u jas nekalika strucnih i tehnickih skala , taka da se Zbirka maze karistiti u sljedecim strucnim ska lama. 1. 2. 3. 4. 5.
Masinska strucna skala, I razred, Saabracajna strucna ska la, I razred, Metalurska-vatrostalna strucna skala, I razred, Rudarska strucna skala, I razred, Zeljeznicka strucna skala, I razred.
te tehnickim skalama: 1. 2. 3. 4. 5.
Masinska tehn icka skala, I, /I i /II razred, Saabracajna tehn icka skala, I razred, Rudarska-gealaska tehnicka skala, /I razred Zeljeznicka-saabracajna skala, I i /I razred Metalurska tehnicka skala, I razred Autar
SADRZAJ 1.STATIKA
1.1. Kolinearne sile .
1
1.2. Suceljene sile raznih pravaca ...... .... ..... ....... .. ...... .. ............ .. ......... ............. .
2
1.3. Rastavljanje sile na dvije komponente
6
1.4. Ravnoteza sila ........
9
1.5. Sistem proizvolj nih sila u ravni ........................... ... ................ ..... .... .. ......... .. 15 1.6. Siaganje paralelnih sila ....... .... .
....................... ........ .. ..... .... .. ....... .. ... .. ...... 16
1.7. Siaganje proizvoljnog sistema sila .. . .............. .... .............. .. .. ..................... 1.8. Odredivanje tezista ............. .
22
.. ..................... 26
1.9. Papus - Guldinove teoreme .. .. .. ..... .. ................. ...... ........... ... ........ .................. 30 .. .. ..... ....... ....... ..... .... .. . .... .......... .. ........ 33
1.10. Nosaci (puni ravn i) ..... 1.11 . Resetkasti nosaci ........ . ........ ........
.................... .... ... ........ .... .... .. .............. 48 ........ .... ... ........................... 52
1.12. Zadaci za vjezbanje (nosaci) . .. .. .... .... ... .....
1.13. Trenje .. ... ...... .... . .. . .. .... ....... .. .. .......... ... .......... .......... .. ...... .. .... ............ 55 1.14. Proste masine ............ .. ..... .. ... ..
.. ................................ ... ...... . 59
2. CVRSTOCA (OTPORNOST) MATERIJALA 2. 1. Aksijalna naprezanja 2.2. Smicanje .. ... ...... .. ..
.................... ....... ... ..... .. ................. ... .. ...... ... .. ....... ... 63 ........... .. ....... ........ ... .. . .... ...... . 73
2.3. Geometrijske karakteristike poprecnih presjeka nosaca . .. .. ... ........ .. .............. 78 2.4 . Savijanje ..... ........ .... .. .... ........ .. .. .... .. ........ .... .. . ....... ........... .............. ...... ... .. ... ... 85 2.5. Staticki neodredeni nosaci ......... .... ....... ..... .. ............................... .. .. ... .. ........... 94 2.6 . Uvijanje - torzija .. .. .. .... .. ... ..... .. ...... ... ........ .... .... .. ... ...... .... .... ..... ... .. ..... .. ... ..... 96 2.7 . Izvijanje .... ... .......... .. .. .... ......... ..... ... ................... .......... ........... ...... ... .... ...........
98
2.8. Siozeno naprezanje .... .. ............. ....... ...................... ....... ...... ...... .... ..... .. ... .. ..... 103
I
3. KINEMATIKA 3.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje ....................................... .. ............................. 110 3.2. Jednako ubrzano i jednako usporeno pravolinijsko kretanje ... .. ...................... 111 3.3. Kruzno kretanje .... ........................................... ................................ .. ... .......... 114
3.4. Oscilatorno kretanje ......................... .... ............. ....... .... .. ............ ........... .... ...... 117 3.5. Siozeno kretanje ............ ....... .. ........................ :..................... .............. ........ .... 118 3.6. Translatorno i rotaciono kretanje krutog tijela ............................................. ... . 120
3.7. Ravno kretanje. Kretanje stapa u ravni ... ... ....... ... .. .......................... .... ........... 123 3.B. Mehanizmi ....... ...... ... ...... ........ .... ..... .......... .... ........................... ..... .............. ... 125 4.DINAMIKA 4.1. Rad i snaga ..... .... ...... ..... ................................................ ... ..................... ........ 128 4.2. Impuls sile i kolicina kretanja .. ..... .......... ....... ... .. ........................... .. .... .. ........ .. 131
4.3. Energija ....... .. ......... .. .................. ... ..... ..... .... ... ... ....... .. ................ ... ..... .. .. ........ 134 4.4. Centrifugalna i centripetalna sila .......... .. ..... .... .... ..... ..... ........... .. .... ... .............. 135
4.5. Dalamberov princip ..... .. ..... ..... ..... ...................................... ............................. 138 4.6. Dinamika rotirajuceg tijela ......... ... .. .... ....... ... .... ... ... ... ...................................... 140
4 .7. Dinamika oscilatornog kretanja .................. ................. ... .. ......... ........ ..... ......... 143 Tabele ...................... ......... .................... ..................... .. ........ .. ..... ... .. ·.............. 144 Literatura ......................... ................................ ........ .......... ......... ..... ............ .. . 148
1. STATIKA
(
1. STATIKA 1.1. Kolinearne sile 1.1.1. Ta cku A napadaju dvije kolinearne sile (s1.1) istog smjera : F,=40N i F,=20N . Odredi rezultantu!
~
A
ocrl_ _ _ _ _ _
.~
~~I-,_ _---:f,F~:J. ...
~I
1_.
10 N UF=1cm
FR=F ,+ F, FR=40 + 20 = 60 N
sl.1
1.1.2. Tacku A napadaju kolinearne sile (sI.2) : F,=50N ; F,=40N ; F,= - 20N ; F.= 20N ; Fs= -30N . Odredi rezultantu!
-.
.~
~
A~____________r-~~1~______~~__h~~
i!: '(
I, I F
--
... Fsii.--_---..:.,==-.---'I
-i;
~J sl.2
FR=F, + F, + F, + F. + Fs FR= 50 + 40 + (-20) + 20 + (-30) = 60 N FR = 60 N
1.1.3.
Materijalnu tacku N napadaju kolinearne sile suprotnih smjerova: F,=300N ; F,= -400N ; F,= 200N ; F,= -600N ; Odredi rezultantu!
1.1 .4.
Potisna sila rakete je F, a njena tezina G. Kolika je rezultujuca sila FRkoja prouzrukuje start rakete?
1.
1.2. Suceljene 1.2.1.
sile razni h pravaea
Tacku M napadaju sile F,=60N i F,=40N, koje zaklapaju ugao 0.=600. Odred i ve licinu , pravac i smjer rezu ltante !
_._...._---_..__- ........
.-_..
...
-..",..",;
u =10 N F
1 em
/ / M
. p,,,'e'og,,m ,ii,
~~----------------~
;:;
sl. 3
Trokut sila
sl.4 Analiticka metoda:
- .-
..-.--
sl.5
2.
.--.-.. -----,,;.~
X XR
Y,=F, . Sina,=60 . 0 = 0 Y,=F, . Sina,=40 . 0,866 = 34,64 N Fy=Y, + Y,= 0 + 34,64 N Fy=34,64 N X,=F, cosU, =60 . 1 = 60 N X,=F, cosU,=40 . 0,5 = 20 N Fx=X, + x,= 60 + 20 = 80 N FR=Y F/ + F: = Y34 ,64' + 80'
= Y7600
FR=87 N
1.2.2. Odredi analitickim i grafickim putem rezultantu (i njen polozaj) datih sila (51.6) koje djeluju na jed nu tacku:F,=200N , F,= 400N, F,=100N , F,= 300N . Date sile 5 osom X zaklapaju ug love: U,=4So, 0.,=90°, 0.,=180°, 0.,=3150. Rjesenje : a) Analiticka metoda: FR=Y F: + Fy' Fx=X, 7" X, + X, + X, Fy=Y, + y, + y, + y,
Y2
X,=F , . cos 45°= 200 · -
= 141N 2 X2 =F, . cos 90°= 400 . 0 = 0 X3=F,' cos 180°= 100 · (-1) = -100 N
Y2
X,=F ' cos31So=300'-=212N
2
4
Y,=F, . sin 45°= 200 · Y2 = 141 N 2
Y3=F,' sin 180°= 100· 0 = 0 Y. =F,· sin 315°= 300 . (-
Y2) = -212 N .2
3.
Fx=141 - 100 + 212 = 253 N Fy=141 + 400 - 212 = 329 N 2
FR=YF: + F/ =Y253 + 329 2 = 415 N tg
a
=
~ Fx
= 329 = 1 30 253 •
;
a
= 52°24'
sl.6
a) Graficka metoda:
Odaberemo po volji tacku 0 i redom nanesimo sile F" .F 2 • F3 , iF. paralelno sa zadanim silama u unaprijed odabranom mjerilu, na pro
4.
...
f:
sl.7
o
1.2.3. Na camac sa jedrima (A) djeluje vjetar silom F,=400N, a tok rijeke silom F,= 600N . Pravac djelovanja vjetra i pravac toka rijeke zaklapaju ugao od a. = 45° (sI.8). Pod dejstvom koje sile FRce se kretati jedrilica i pod kojim uglom u odnosu na tok rijeke?
sl.8
5.
1.2.4 . Analitickim i grafickim putem odredi rezultantu (i njen polozaj) si la koje napadaju tacku N : F,= SON, F,=30N, F3=70N , 0 0:,=0°, 0:,=60°, 0:3=270 ? 1.2.5.
A
Na praveu AS nalazi se tacka M. Na tacku M pocnu djelovati sile F,= 1000N i F,=600N . Za koliki ugao ce se otkloniti pravae kretanja tacke M u odnosu na pravae AS?
M
()-------- -_..-
1.3.
.. .. . .. - -.- . - -- - -. -- .. .-. . - - - . . -
.. - -- -- • . - -.. 0
t
R astav ljanje sile na dv i je kompon ente
1.3.1. Dva stapa AS i Be (s1.9) veza ni su meausobno u zglobu S, a u zglobovima A i C ia vertikalan zid. Odrediti sile u stapovimal
U =1000 N F 1 em
Fe= em · UF=2 , 8 .1000 .1 = 2800N FA= em .
U~~2 .1000 = 2000N 1
Analiticka metoda: F =_G_= 2000 e eos45°
Vi
= 2836N
2 FA= G . tg4So=2000 . 1= 2000N
6.
Teret G visi na dva kanapa AS i AC (s\'1 0) . Odrediti sile u kana pima aka je apterecenje kaa prema sl.1 O!
1.3.2.
U=~ F 1 em
B
$;20N sL10
Analiticka metoda: ~=_G_
sin200
sin1000
7.
1.3.3. Na vrhu resetkaste konstrukeije (sl. 11) djejstvuje horizontalna sila F = 2S0N. Odredi sile u stapovima ab i be konstrukcije. (J.
-
F
sl.11
1.3.4 . Dizaliea dize teret G = SOOO N (sI.12) . Odrediti sile u stapovima AB i BC, ako stap AB sa vertikalnim zidom zaklapa ugao od 30°, a stap BC od 60°
/
8
sl.12 1.3.S. Teret G = 300 N objesen je u tacki C 0 uze AB (sI.13). Potrebno je rastaviti silu G na dvije komponente u praveima uzeta AC i CB ako su dati uglovi ex. = 60° i ~ = 4So.
sl.13
8.
1.4.
Ravnoteza sila Ravnoteza tri sile koje leze u istoj ravni
1.4.1.
Stap duzine AB, tezine G, vezan je zglobom u tacki A , dok se na drugom kraju u tacki 0 oslanja na zid (51.14) . Odredi sile u zglobu A i tacki 0 zida!
51.14
Tezinu stapa G nacrtamo u razmjeri UF , a zatim je rastavimo na poznate pravce reakcija u tacki A i tacki 0 (tri sile sijeku s~ u ~dnoj tacki i Cine zatvoren trokut sila) . Dobijene duzine vektora FAi Fo pomnozimo sa razmjerom za silu UFo 1.4.2. Izracunati sile F, i F, u zicama AB i AC, koje su u tacki A meausobnog spoja opterecene teretom G 1500 N. Zice sa horizontalom koja prolazi kroz tacku A (51.15) zaklapaju uglove ito: zica AB ~ 30°, a zica AC ~ 60°
=
Graficka metoda: a.,
U =300 N F
c
51.15
b 9.
1 em
F, = bc . UF =2 ,5cm . 300 N =750 N 1 cm
F2 = ac' UF =4,3cm . 300 N =1290 N 1 cm
Analiticka metoda : Koristeci se uslovima ravnoteze: LY,=O
dobijamo dvije jednacine koje nam omogucavaju odredivanje velicine sila F, i F2 • LX;=O; F, cos 30° - F2 cos 60° = 0 LY,=O ; F, sin 30° + F2 sin 60° - G = 0 Iz prvog uslova ravnoteza (LX.=O) dobijamo zavisnost izmedu sila F, i F2 : _
F, - F2
cos 60° _ ~ . _ 300 - , ~ F2 - 0,575 F2 . cos v3
2 Zamjenom vrijednosti za F, u jednacini drugog uslova ravnoteze (LY;=O) dobijamo velicinu sile F2 : 0,575 F2 sin 30° + F2 sin 60° - G = 0 0,575 ' 0,5 F2 +
Vi
F2 = 1500
2
F2 = 1293 N F, = 0,575 F2 = 0,575 . 1293 = 743 N 1.4.3.
Celicna kugla tezine G = 100 N, oslanja se na dvije glatke kose ravni OA i 08 koje sa horizontalom zaklapaju ~ 60~ ~ 300 kako to pokazuje s1.16. Izracunati sile reakcije kojima se ravni 08 i OA odupiru pritiscima kugle.
10.
Graficka metoda:
U = 20 N F 1 cm A
c sl.16 Fo.= bc . U =44 cm . 20 N = 88 N F, 1 cm 20N Fi5li= ac · UF =2,5 cm . -1- = 50 N cm
G
b
Ana liticka metoda:
LY,=O Fo. . sin 60°· Fi5li sin 30°· G =0
c
,
F
F cos 30° (. . d •. ) 0.= i5li cos 600 IZ prve Je naclne
30° . 60° F . 30° Fi5li. cos cos 600 . Sin + Os sin =G
G F- = 08
G
(COS 30° . sin 600+sin 300) cos 60°
=
100
("2 1
2 13
2
Fo.= 50 N . -1- = 50 ·13= 86,S N
2
11 .
100 2
13
13
1
·-2-+2)
1.4.4. Metalni stap AB, pricvrscen je za vertikalni zid pomocu zg loba u tacki A i zicom u tacki C (sl.17). Stap i zica sa zidom cine ugao od 600. Odrediti otpor oslonca u zglobu i silu u zici, ako je tezina stapa G = 100 N i ako ana djeluje na sredin i stapa .
25 N UF = 1 em
A /'
sl.17 FA = be . UF=3 ' 45· 25 1 = 86 N Fee= ac . UF=2" 2 5 = 50 N 1
b
Analiticka metoda: Posto je graficko rjesenje pravougli trougao sila sa uglom u tjemenu od 60°, mozemo racunskim putem preko sile G izracunati trazene velicine sila . sin 60° =
~
V3
FA= G · sin 60° =100 . _-= 86 ,5 N 2 cos
F-
600 - ~
-G
1 F- = G · cos 60° =100 .- = 50 N 2
9C
1.4.5. Na glatkoj povrsini AB koja sa horizontalom zaklapa ugao a =300, lezi kugla koja je uzetom pricvrscena za drugu vertikalnu povrsinu u tacki C. Odrediti silu pritiska Fn kugle na podlogu , kao i silu u uzetu Foe, ako je uze paralelno sa povrsinom AB i ako je tezina kugle G=60 N, (sl. 18).
12.
sl.18
=
=
1.4.6. Kran (dizalica) se sastoji od dva stapa: AC 1,2 m i BC 1,6 m. Stapovi su pricvrsceni za zid u tackama A i B, pri cemu je njihevo medusobno rastojanje AB 2,4 m. U tacki C objesen je teret G = 30 000 N (sI.19) . Odredi sile u stapovima F 1 iF,.
=
sl.19
13.
1.4.7. Stap AB pricvrscen je za nepomican zglob A (sI.20). Na sredini u tacki T stapa objesen je teret G = 2500 N. Za drugi kraj stapa vezano je uze (u tacki B) , koje je prebaceno preko nepomicnog kotura u tacki C, a optereceno silom F koja je potrebna da bi stap odrfavala u polozaju koji je prikazan na sl. 20 tj. pod uglom a.. Odrediti velicinu i smjer sile u uzetu kao i otpor oslonea , ako je: a. 45°, a dio uzeta BC paralelom sa horizonta lnom ravn i.
=
sl.20
=
1.4.8. Lje stvi ee AB, duzine 3 m , tezine G 200 N, oslanjaju se na vertikalan gladak zid u tacki Ai hrapav pod u tacki B. Izracunati reakeije veze u ovim tackama, ako pravae Ijestviee zaklapa sa horizontalom ugao a. 45°(sI.21).
=
/A
/
sl.21 1.4.9.
Lampa tezine 15 N (sI.22) objesena je u tacki C 0 sredinu uzeta AB . Krajevi uzeta vezan i su za kuke koje se nalaze na istoj visini. Kolike su sile u dijelovima uzeta AC i BC; ako je AC = BC = 10em. U ravnoteznom polozaju zbog opterecenja - tezine lampe G , tacka C je za 8 em niza od prave AB. A B
sl.22
14.
1 .5.
Sistem proizvoljnih sila U r~"n l
1.5.1. Izracunati momenat sile F koja djeluje po osnoviei ravnokrakog trougla AB , za momentne tacke A, B i C. Osnoviea trougla AB = 6em, krak AC = BC = Scm , a sila iznosi F = 200 (sI.23). C I
I I
:1, I
I
1\
:
F
/3
sl.23 M: = 0 ; M~ = 0 ; M~ = - F . h = - 200 . 4 = - 800 Nem 1.5.2.
Izracunaj momente sila F I iF, za momentnu tacku 0, ako je F I = 30 N,
F, = 40 N! Sile napadaju zajednicku tacku A , a medusobno zaklapaju 0
ugao od 90 (sI.24) h, = 4 em ; h, = 2,5 em. Velicinu kraka h odredi graficki sa erteza, kao i velicinu rezultante F.!
U=~
U= 1 em L 1em
F
h
1 em
"", I
...
- '
--
sl.24 M, = F, . h, = 30 · 4 = 120 N em M, = F,' h, = 40 · 2,5 = 100 N em M.
=F•. h =50 · 4,4 = 220 N em
15.
-
,
~
1.5.3. Izracunaj kolikim ce se momentom M. obrtati tocak polu precnika R = 2,5 m na koga djeluju sile F,= 400 N i F,= 200 N u tacki kao na sl. 25 .
'I
F, ~:
' J -1, 5m
~I
Ij
\
y..,/"
l
,/' J( - -- --- - .- .. - c p . - - - - - i - - ->
sl.25
~
M. = M, + M, = F, . 2 - F, ' 1,5 = 400 · 2 - 200 · 1,5
= 500 Nm
1.5.4. Duz ivica pravougaone ploce ABeD (sI.26) djeluju sile F, = 600 N, F, = 1000 N, F, = 500 N i F. = 200 N. Izracunati moment rezultante ovih sila za tacku E. M. = M, + M, + M, + M. = F, . I, + F, . I, + F, . I, - F•. I.
=600 . 2 + 1000 . 0 + 500 . 1 - 200 - 5 MR=700 Nm
M.
___ " __
P.:.~
__ _
---I
sl.26
1.6 . Slijeganje paralelnih sila 1. 6.1 . Na tijelo u tackama N, i N, djeluju dvije paralelne sile istih smjerova , F, = 80 N, F, = 40 N. Ako je rastojanje izmedu napadnih linija sila I = 1,4 m, odrediti velicinu rezultante, kao i polozaj njene napadne linije (sI.27).
16.
u = 20 N
--.,.-_
...... . ~.-
~
/' !
11 \ ---..
-~
-
.•......
NI
x~._..JJ_"~
l
--
. ,
N'J.
\
m
'--
.-
0,5 m 1 em
............ ...
..
C
;
u=
1 em
F
)
F2.. ,,/ /
.- '
.
-- -.... _---_......
'
.F,
FR= F,+ F2 = 80 + 40 = 120 N
Koristimo momentno pravilo:
F.·X =F,·0+F2 · 1,4
X=~= 40 '1,4 F. 120
X =0,466 m
17.
1.6.2. Odredi velicinu i polozaj rezultante dviju paralelnih sila suprotnih smjerova : F, = 60 N i F, =180 N (sI.28). Rastojanje izmedu napadnih tacaka N, iN" N;N, I 10 em .
==
u= F
_.- ....
- . .'
- ...: -- .......
40 N 1 em
u= l
4 em 1 em
~
\.
./ ..,r"
- 1~- sl.28
Rezultantu dvije paralelne sile suprotnih smjerova nalazi se sa strane vece sile na udaljenosti X.
FR= F,- F, = 180 - 60
=120 N
FR· X = F, . I F, . I X =-F--
60· 10
=~=
5 em
R
1.6.3. Graficki i racunski odredi velicinu, smjer i polozaj napadne linije rezultante dviju paralelnih sila, istih smjerova, ako je F, = 100 N, F, = 160 N, a N,N, = 20 em (sI.29)!
18.
u= ,
F2
U = 5 em L 1 em
40 N 1 em
~
I I \
\ \
\ \
1
\ \ I
\ C
#,.
p
I I
Hz.
::, .-. ~\
Ii
-
-
--
I
\
I
\
-1--. \
I
F, ~
F,
-
rR
Fz
sl.29
Najprije izracunajmo rezultantu sila:
=100 + 160 =260 N
FR = F, + F,
Zatim napisimo momentne jednacine sila F, i F, za tacku C:
F, . P = F,'
q
P + q =N,N,
19.
Iz ovog sistema jednacina izracunavamo velicine p i q, na osnovu Kojih odredujemo polozaj napadne linije rezultante: 100 P = 160 q 1,6
P + q = 20 q + q = 20 2,6
q =20 20
q =2,6= 7,7 em p = 20 - q = 20 - 7,7 = 12,3 em 1.6.4. Graficki i racunski odredi velicinu , smjer i polozaj sila suprotnih smjerova, ako je F, = 80 N ; F, = 200 N, a N,N, = 15 em (sI.30) .
F,
r----------1----~-.-
- ,,-
sl. 30
20.
FR= F, - F, , jer je F, > F, FR= 200 - 80 = 120 N Momente jednacina si la F, i F, za tacku C je :
F, . P = F, ' q N, N, = P - q 80 P = 200
q
p
=25 q
p- q =15
2,5 q-q = 15 1 ,5
q = 15 q = 10 em p = 15 + q = 15 + 10 = 25 em
1.6.5. Na stapu koj i je objesen 0 dva paralelna uzeta AE i BO, visi u tacki C, teret tezine G = 900 N (sI.31). Odrediti sile u uzadima, ako je AC=p=40 em i BC = q = 60 em! Tezinu stapa zanemariti. /.
D
~ A
p -~-
Fg
t::=*=====1' sl.31
Zbir sila FAi Fe jednak je rezultanti G. FA+ Fe = G Momentna jednacina za tacku C je: 40 FA= 60 Fe
3
FA= Z- Fe Zamjena vrijednosti za FA=
~
Fe, U prvoj jednacini dobijamo:
3
Z-FA+F. =G 2,5 Fe=G G 900 Fe =2,5 = 2;5= 360 N FA = G - Fe = 900 - 360 = 540 N
21.
1.6.6. 0 gredu koja je pricvrscena za dva stapa A i S (sI.32) treba objesiti teret G = 4000 N. Rastojanje izmedu stapova iznosi [= 4m . U kojoj tacki C treba objesiti teret G da opterecenje manje optereeenog stapa S, ne prede 750 N.
sl.32 1.6.7. Graficki i racunski odrediti velicinu i polozaj napadne linije rezultante dviju paralelnih sila istih smjerova. Sile su F, 380 N, a F, 640 N ; rastojanje izmedu napadnih linija sila N,N, 25 em.
=
1.6.8.
=
=
Graficki i analiticki odredi polozaj napadne linije rezultante paraleln ih sila istih smjerova, ako je F. 650 N ; F, 360 N i NJJ, 16 em!
=
=
=
1.7. Siaganje proizvoljnog sistema sila (primj ena veriznog poligona) 1.7. 1. GrafiCkom metodom odredi velicinu i polozaj rezultante zadatog sistema proizvoljnih sila (sI.33).
Polotaj sila
sl.33
22.
Poligon sila
1.7.2. Grafickom metodom odrediti velicinu i polozaj rezu ltante sistema sila kao na sl. 34. (Velicine sila i njihov polozaj uzeti sa slike).
i=i
I
,
f-+-+--+-- -'----:-
-,·t ~~ t
I ......
- ' ,'- -·--T-·" ,
_..:...:-1----,
1~ t:ti-t-~J
;1
sl.34 1,7.3.
Na tijelo djeluje tri sile F" F, i F, u napadnim tackama prema sl. 35, Naci velicinu, pravac i smjer rezultante , kao i polozaj njene napadne linije u planu polozaja sila! F, = 20 N ; F, = 50 N i F, = 30 N.
: U
Cl[!J ,-_- F~~ _.. '1'\C, "',l l,: ~: . ~t Cm .~- ~ d F. l . ' --. ....lSi,y' .-. ...... ..\'i-..
! / ;
'.
.~
i
; ,
I
\:
i ._; ,
' ';•
I
•
... '.. I._j" ::! F. ! ' -,
, .
-:-,.; A
I
.•
y, = F, sin 45° y, = .. F2
X, = 0
X,
=F, cos 0° =LX, = X, + X3 V2 = 20 . - = 14 1 N 2
i
sl.35
x, =F, cos 45°
XR
!
.. ~-, yR ;
o
X,
v
Y3 = 0
=LY, =1, + Y3 V2 y, = 20 ' 2 = 14,1 N
YR
'
X3 = 30 . 1 =30 N
y, = - 50 N
XR =14,1 +30=44,1N
YR= 14,1 .. 50 = -35,9 N
FR=V X.' + yo'
=V44, l' + (.. 35,9)'
FR= 57 N 23.
Moment rezultante za tacku 0 giasi:
M~ = M ~ + Mci + Mci Mci = X, . 2 - y, . 1 = 14 ,1 . 2 - 14,1 . 1 Mci =14 ,1Nem M;; = F2 . 4 = 50 . 4 = 200N em M;; = F, . 2 = 30 . 2 = 60N em
F. . d = 14,1 + 200 + 60 =274 ,1N em - 274 ,1 d57 d =4,8 em (udaljenost pravea rezultante od tacke 0) Da bi se odredio polozaj napadne linije rezultan te u planu polozaja sila potrebno je da izracunamo odsjecke OA i 08 sto ih cini napadna linija rezultante na X, odnosno Y - osi. M~ 2741 OA = ~ = f-3t.9)= 7,6 em
M~ 2741 08 = ~ = 441= 6,2 em
-
R
tgaR =
,
YR - 35 9 ---x = 441 = -0 ,81 R
,
1.7.4. Odrediti velicinu, pravae i smjer rezultante sila: F, = 10 N, F2 =30 N, F , 15 N i F, 40 N (s1.36).
=
=
- _ ._. -
..
_ - ._ -_ .__ ... _----..
~ a)
~~-- --i-
~--+.-L-! I i
1
o
i
•
I
sl.36 a
24.
b)
- . - £..J-------,,:j..-~------.-.. -- ' - -" - _ .'-'-. -- I 1---+---+-- ----1I~ - --
.. -
j ........ .~ --+-.......- --!
o
sl. 36 b 1.7.5. Homogena greda AB = 21= 8m, tezine G = 500N oslanja se u tacki A na gladak horizontalan zid i na ve rtikalni ispust C. U tacki B oslanja se na strmu rava n koja sa horizontalom zaklapa ugao od 60° (sI.37). Greda sa horizontalom zaklapa ugao od 300. Odrediti otpore u osloncima grede.
x
~
sl. 37 Sila F. lezi na osi y, a sila Fe na osi X. Napisimo jednacine za racunske us love ravnoteze : a = 2 (cos300
b = 2 (sin300 X, = F. cos 30°
LY, =O ; F. -G+y. =O LM. = 0 ; G · ( cos300 - X• . b - Y• . a = 0
25.
Yb = F. sin300
Iz momenta jednacine mozemo izracunati silu Fa: GI cos 30° - Fa cos 30° . 21 sin300 - F. sin300 . 21 cos300 = 0/: 1 cos300 G - FB • 2 sin300 - F. 2 sin300 = 0
G = 4F. sin300 G F. = - - - 4 sin300
500 --14· -
= 250N
2
Iz prve i druge jednacine ravnoteze mozemo da izracunamo i ostale nepoznate sile Fe i FA' Najprije izracunajmo vrijednosti komponenata Xa i Ya:
V3
X. = F. cos30o = 250 . - = 216,25 N 2 Y. = FBsin300 = 250 ·
J.- = 125 N 2
Iz prve jednacine: Fe = X. = 216,25 N, a iz druge jednacine FA= G - Ya= 500 -125 = 375 N
1.8. Od red i van j e t e
zi 5 t a
1.8.1. Analiticki i graficki odredi teziste izlomljenih homogenih linija (sl.38a i 38b).
y
Zcrn
/'
---.....-.........-.*--'.
Ii I,
I I 'I
~
~ ~ " 4
~
i I
iI
I .ot---+-.a...-.t---~~
X
sl. 38a
26.
I, = 2 , I, = 6 , I, = 3
I = I, + I, + I, = 2 + 6 + 3 = 11
X, = 1 , X, = 2 , X, = 3,5 Y, = 6 , y, = 3 , y, = 0
X= T
YT =
I, X, + I, X, + I,X,
2 . 1 + 6 . 2 + 3 . 3,5 24 5 -------=..=....:..L.::- = 22 em 11 11 '
I _-'. / , ~y.!.... , +--'.I,..!.y,--, +........;!.I,~y'c-
I
2·6+6 .3+3.0 11
-
- -
30 = 2 7 em 11'
51. 38b
X, = 0
X,
= 1,5
y, = 1,5
I,
=3 y, = 1,5
I, = 3em dn 1, = T=4,7em
y,
X, = 3 + l...!:.. n = 3 + 0 '95 = 3 ,95
= 3 em
I = I, + I, + I, = 3 + 3 + 4,7 = 10,7
XT = YT =
I, X, + I, X, + l,X, _ 3 . 0 + 3 . 1,5 + 4,7 ' 3,95 I 10,7 =2,1 em I, y, + I, y, + I, y, I
3·1 ,5+3 · 3+4,7'1,5
---'------:-::--::-----'----'--- = 1,9 em 10,7
27.
2 em' U= 5 1 em
I
i I
~I
\,1
1-<)1
i
!
sl. 39
}/
S, = 5 em'
X, = 0,5 em
Y, = 2,5 em
S, = 3 em'
X, = 2,5 em
y, = 4 ,5 em
S3 = 5 em'
X3 = 3,5 em
Y3 = 0,5 em
x =S, X, + S, X, + S3X3 T
YT=
5 . 0,5 + 3 . 2,5 + 5 . 3,5 13
= 2,1 em
5 . 2,5 + 3 . 4,5 + 5 . 0,5 13
=2,2em
S
S, Y, + S, y, + S3Y3 S
SJ /
1.B.3. Odrediti polozaj tezista tijela sastavljenog od valjka poluprecnika r = 20 em a visina h = 40 em i pravog stozca osnove poluprecnika r = 20 em, a visin~ h, = 60 em (sI.40) Ovo tijelo je sastavljeno od valjka cija je zapremina V, = r'rr . h = 20' rr . 4 = 16000 rr em'
1 3
1 3
i stozea zapremine V, = - r'rr · h, = - 20' rr · 60 = BOOOrr em 3 . Zamisljamo da sile V1 i V2 djeluju u tezistima T1 i T2. Linija T1 T2 je osa simetrije, a posto je teziste na njoj, potreban je jos same jedan podatak.
2B.
Graficko rjesenje : Osu simetrije tijela ertamo u razmjeri U = 20 em a sile u razmjeri U = BOOO ITem' L 1 em v 1 em Crtamo veriini poligon za pravae sile koji je upravan na osu simetrije 0 ,. U presjeku T teiisne linije i osi simetrije je teiiste sloienog tijela . Analticko rjesenje : Koo rdinatni sistem uzecemo tako da se koordinatni pocetak poklapa sa ta ckom T" osa 0 , sa osom simetrije na kojoj se nalazi teiiste T sloienog tijela . Udaljenost YTteiista T od koordinantnog pocetka data je obraseem :
°
sl. 40
LV · Y LV
Y =---= T
v,Y, + v,Y, v , + v,
16000IT . 20 + BOOOIT . 60 - 33 3 em 16000IT + BOOOIT '
1.B.4. Graficki i analiticki odrediti poloi aj teiista sloienih homogenih linija datih na sl. 41.
A1------r-i
4=---------,0 1 - - - - 3 ..
sl. 41
29.
1.8.5. Graficki i analiticki odrediti polozaj tezista 510zenih povrsina datih na 51. 42.
d) ~
-~ -
~
L
JO
51. 42 1.8.6 . Graficki i analiticki odrediti polozaj tezista 510zenih tijela datih na 51. 43 1
51. 43 1.9. Pap
Y
U
5 • G u I din
0
vet e
0
rem e
1.9.1. Izr?cunati povrsinu na5talu obrtanjem 510zene linije oko 05e y (51.44) x, = 2 em I, = 4 em
x, = 4 em
I, = 3 em
1 = I, + I, = 4 + 3 = 7 em
I, X, +I,X, 1
X, =
2,85 em
i--o-_ _ _ _ ._.~-"' c ___ ,...,~... 51. 44
4 · 2+3 ·4 7 S = 21t · XT ·1 S=2 · 3,14 · 2,85 · 7
S
30.
=17,9 em'
I .~ r
~!~,
I I
I
i
1.9.2. Izracunati povrsinu nastalu obrtanjem sloiene linije oko ose y (sl. 45).
II = 20 em I,
=r7t =15·3,14 =47,1
em
I = II + I, = 20 + 47,1 = 67 ,1 em XI
~~_. ~ocm-t
I
sl. 45
=20 em
x, =30 + ~ =30 + 9,5 =39,5 em x= T
XT
II XI + I, X, I
20 · 20 + 47 ,1 · 39,5 67,1
=33,6 em
S=21t·X T ·1 =2 · 3 ,1 4 · 33 ,6 · 67,1
S = 14158 em' 1.9.3. Izracunaj povrsinu nastalu obrtanjem homogenih linija oko ose y kao sto pokazuje sl. 46.
y
y
3.
sl. 46
31.
1.9.4 . Izracunati zapreminu na5talu abrtanjem pavrsine (51. 47) aka y a5e.
'/# 15'· 3,14 S ' = r'1t= 2 2
353
em
'
s, = 40 . 30 = 1200 em'
I
s = s' -s' = 1200 - 353 = 847 em'
!
4r X, = 31t + 15 = 21 ,3 em
I, 15' , 40 ._./"'_._-- I 51. 47
X,
XT =
=35 em
s, X, - S , X, S
1200·35 - 353 · 21 ,3 847
XT = 58,4 em
v =21t · s · X
T
V=2·3,14·847·58,4
v = 310640 em' 1.9.5. Izracunati zapreminu na5talu abrtanjem pavrsine aka y a5e date na 51. 48 ..
y
a
51. 48
32.
1.10 .
Nos a
ci
(puni ravni)
1.10.1. Nosac AS = I = 10m , opterecen silama F, = 4000 N, F, = 6000 N i F, = 2000 N (51.49) Odrediti otpor oslonaea FAi Fa, maksimalni napad ni moment i transverzalnu silu u kriticnom presjeku .
-
U = 2000 N F 1 em
a
F, 7
b
2
F, b).
~I
Fa
~ l/Wl.lllJLLmLLlllllJ..lJ..I.F..~2"""""rrTT",..,J,...TTT1"..,-riB'1
~
51. 49
33.
c
Fj
i-(j~-,---!.H~_---I
Analiticka metoda: Odredivanje otpora oslonaea :
~Y=O FA - F, - F, - F, + Fe = 0 FA + F. = F, + F, + F, = 4000 + 6000 + 2000 = 12000 N
~M.
=0
FA· 10 - F, · 8- F,· 5 - F,· 2
=0
1OF A = 4000 . 8 + 6000 . 5 + 2000 . 2 FA=
32000 + 30000 + 4000 10
FA= 6600 N
=12000 - FA=12000 - 6600
Fe
Fe = 5400 N Odredivanje maksimalnog momenta:
M, = FA· 2 = 6600 · 2 = 13200 Nm
M,
=FA· 5 - F, . 3 =6600 · 5 - 4000·3 =21000 Nm
M, = FA . 8 - F, . 6 - F, . 3 = 6600 . 8 - 4000 . 6 - 6000 . 3 = 10800 Nm
Mm"
=M, =21000 Nm
Odredivanje transverzalnih sila:
= FA- F, =6600 - 4000 =2600 N = FA- F, - F, =6600 - 4000 - 6000 =- 3400 N FTJ =FA- F, - F, - F3 =6600 - 4000 - 6000 - 2000 =- 5400 N
Fn FT ,
Maksimalni moment smo mogli odrediti i na ovaj nacin:
Mm"
=U
L .
UF • H . Ym.,
_ 2m Mma. - 1 em
2000 N
.1Cri1. 3,25 em . 1,6 em
Mm.. '" 21000 Nm
34.
1000 N U,= Ur=~
1~ em
b
a p
aU' sl. 50
35.
1.10.2 . Zadata je greda AS = I = 4 m (sl .50) opterecena kosom silom F, = 4000 N, na sredini nosaca , cija napadna linija sa x - osom zaklapa ugao od 135 0 Odrediti otpore oslonca , nacrtati dijagram napadnog momenta , transverzalnih i aksijalnih sila! Izracunati maksimalni moment (M sm,,)! Graficka metoda : Za graficko izracunavanje otpora oslonca FA i Fa mozemo se koristiti uslovom da tri sile budu u ravnotezi. Posto je pokretni oslonac u osloncu B, to je pravac napadne linije si le Fa poznat . Produ zimo napadnu liniju sile F, ona ce sjeci napadnu liniju sile Fa U tacki K. Oa bi tri sile FA' Fa iF bile u ravnotezi , moraju se sjeci u jednoj tacki. Analiticka metoda :
LX
LY
Koristeci se uslovom ravnoteze : =0; = 0 i LM = 0, napisemo tri jednacine , iz kojih izracunavamo tri nepoznate ve licin e: XA, YA i Fa. Otpor oslonca FA izracunavamo primjenom Pitagorine teoreme . Prethodno izracunavamo komponente sile F, u pravcu X i Y - ose . X = Y = F . sin45° = 4000 · 0,7 = 2800 N
LX= 0
; -XA+ X = 0 ; XA = X = 2800 N
LMA = 0 ; -Fa' 4 + Y . 2 = 0 F =~= 2800 · 2= 1400 N a
LY = 0
4
4
; YA - Y + Fa = 0 YA= Y - Fa = 2800 - 1400 = 1400 N FA= Y X.' + Y.' = Y2800' + 1400' = 3100 N
Konstrukcijom veriznog poligona u stvari dobijamo odmah i dijagram napadnog momenta. Najveci moment savijanja: Msmax je ispod sile F, odnosno njene Y - komponente. Mmax = FA. h = Fa . ~= YA. ~= 2 1400· 2 = 2800 N 2 1.10.3. Prostu gredu duzine 1= 6 m, napadaju: jedna vertikalna sila F, = 1500 N, i jedna kosa sila F, = 4000 N, (sl. 51). Sila F, s X - osom zaklapa ugao
a. =60°
Iz uslova ravnoteze odredujemo otpor oslonca:
LX = 0 LY=O ;
X, - Xa = 0 FA+Y a =F,+Y ,
36.
U = 1000 N F
~
~=~
---:;-em-
~tc~~h~
~
2m
L
U=
~ 1cm
2m
a
a'
Ifl l
F,
1
b
2
s
Yz
p
3
>; H
_----L..._ _
JWill1UillUil~", sl. 51
37 .
LM. = 0
; FA" - F, · 4- Y, . 2 = 0
Razlaganjem sile F, dobijemo njene komponente: X, i Y,.
x, = F, . eos60o = 4000 · 0,5 = 2000 N Y, = F, . sin600 = 4000 . 0,87 = 3480 N Iz momentne jednacine mozemo izracunati otpor oslonea FA' F = 4F , + 2Y, =4 . 1500 + 2 . 3480
A
Iz jednacine
,
6
2160 N
LY = 0 izracunavamo komponentu Y•. Y. =F , +Y, -F A Y. = 1500 + 3480 - 2160 Y. = 2820 N
Iz dijagrama transverzalnih sila vidimo da transverzalna sila mijenja znak u presjeku ispod si le F" sto znaci da u tom presjeku vlada najveci napadni moment: Msm.,. Msm •• = Y. · 2 = 2820 . 2 = 5640 Nm Graficki vrijednost maksimalnog momenta izracunavamo koristeci se jednacinom:
1000 N 1m Fsm •• = 1 em . 1Cril
. 2,6 em·
2 em = 5600 Nm
1.10.4. Prosta greda duzine , = 6 m, opterecena je kontinualnim opterecenjem q = 1000 N/m . Odrediti reakeije FAi F.,maksimalni moment savijanja Msm... te moment savijanja i transverzalnu silu u presjeku n - n (sl. 52)! F = F =.!L.i = 1000 . 6 = 3000 N A
•
2
2
q . ,' 1000 · 6' Msm •• = -8- = - -8- = 4500 Nm Fsn-n = FA. 2,3 - q . ~, 3'= 6900 - 2645 = 4255 Nm Frn .n = FA- q . 2,3 = 3000 - 1000 . 2,3 = 700 N
38.
=--
UF =---;;--:-:1 1 em
1.10.5. Prosta greda opterecena je kombinovanim opterecenjem kao na sl. 53, pri cemu je 1 = 450 N/m, F, = 300 N, a F, = 750 N. Konstruisati dijagram napadnog momenta i dijagram transverzalnih sila. Odrediti kriticni presjek i izracunati maksimalni moment. . Analiticko rjesenje:
LY=O
FA- F, - F, - F, + Fa =0 FA+ Fa = F, + F, + F, = 3000 + 750 + 1350 = 2400 N Iz drugog uslova ravnoteze LMa = 0 izracunavamo otpor oslonea FA:
39.
6 FA- 5F , - 3F, - 2,5 F, = 0 5F, + 3F, + 2,5 F, 6 FA
1500+2250+3375 7125 =-6-= 1187,5 N 6
Fe = 2400 - FA= 2400 - 1187,5 = 1212,5 N Iz dijagrama tran sverzalnih sila vidimo da transverzalna sila mijenja znak u presjeku grede is pod sile F,. U ovom presjeku napadni moment ima maksimalnu vrijednost:
Msm" = FA. 3 - F, . 2 - q . 0,5 Msm.. = 1187,5 · 3 - 300 · 2 - 450 · 0,5 Msm.. = 3562,5 - 600 - 225 Msm.. = 2737,5 N ·m Grafickim izracunavanjem maksimalni moment iznosi :
F
Sm..
= ~ . 200 N . 4,25 em . 3,25 em = 2730 Nm 1 em 1 em
1.10.6. Odrediti otpore oslonaea proste grede AB = I = 4m opterecene spregom momenta M = - F . r = -800 Nm (sl. 54), ako je F = 400 N, a r = 2 m. Tacka C napadnog momenta sprega je udaljena za a = 2,5 m od otpora oslonea FA . Naertati momentno polje i polje poprecnih sila! Analiticko rjesenje:
2: MA= M - Fe . , = 0 M -800 Fe =-'- =-4-
= -200 N
2: Me = M + FA. , = 0 F -~- -(-800) - 200 N
. -
,
-
4
-
40.
U =200 Nm M 1 em
u= F
200 N 1 em
...
F
'-'---'9I . ~ I
/
/
/ 3/ /
/
j~
,/
/ 1
o
sl. 54
1.10.7. Izracunati otpore oslonaea proste grede AS = I = 4m opterecene ve rtika lnom ekseetricnom silom F = 500 N, ako je a = 1m i e = 1,5 m (sl. 55) . A naliticko rjesen je: Redu kovanjem sile F na tacku C dobija se ta sila u tacki C i spreg , ciji je moment M = F . e = 500 . 1,5 = 750 Nm . Iz uslova ravnoteze dobija se:
~ MA=- F • . I + F . a + M =0 F = F· a + M = 500 · 1 + 750= 312 5 N • I 4 '
~ M.
=FA. I - F(/ - a) + M =0
FA =
F(l-a)-M 500(4-1)-750 I 4 =187 ,5N
41 .
u
U= L
F
UF
1m 1 em
7
200 N 1 em
1
-~ - -
0
2-
/"
Fs
sl. 55
1.10.8. Presta greda AS = 1= 4m opterecena je vertikalnom silom F, = 400 N, spregom ciji je moment M = 300 Nm i horizontalnom ekseetricnom silom F, = 300 N. Ako je a = 1m, e = 0,5 m odredi otpore oslonaea FA i Fe (sl. 56).
sl. 56
,
L MA= F, . a + M + F, . e - Fe . 1=0 F F' · a+M+F 1 ·e I
e
400 · 1 + 300 + 300 . 0,5 4 =212,5N
L Me = YA . 1- 3 a F, + M + F, . e = 0 YA=
3aF -M-F ·e ' I 1
LX = F, - X. = 0 42.
3 . 1 . 400 - 300 - 150
4
187,5 N
X. = F, = 300 N FA= " X.' +
y: = '-/300' + 187 ,5' =353 N
=
1 10.9. Konzola AS I = 2,5 m optereeena Je silama F, = 3 kN i F, = D,S kN (sl. 57) . Odredlti otpor uklJestenja sile FAi moment ukljestenJa M•.
u= l
m
0,5 m 1 em
1m
7
.L..J~2~_=--_-=:::::::~ p
3,
F 51. 57 Analiticko rjesenje :
~Y=FA -F , -F, =O F. = F, + F2 = 3 + 0,5 = 3,5 kN
43,
S
H
M,
=-Msmu =-(F, . 1,5 + F, . 2,5) =-(3 . 1,5 + 0 ,5
2,5)
=-5,7 5 kNm
Radi kontrole vrijednosti izracunatog momenta njegovu vrijedno5t mozemo izracunati i grafickom metodom :
M A
=-M Smu = 0,5 m 1 em
. 11 kN . 3,8 em . (-3,05 em) em
=- 5,78 kNm
1.10.1 0. Konzola (sl. 58) opterecena je kombinovano . Odrediti maksimalni moment i naertati momentno polje i polje tran5verzalnih sila!
U= ~ 1 1 em
.j i
I· iI
2,..,
U = 400N F 1 em
..J.
I
I
!i
51. 58
Maksimalni moment se izracuna tako da 5e saberu momenti sila sa de5ne 5trane tacke A: Ms.n.,
=3q . 1,5 + F . 5 =3 . 400 . 1,5 + 600 · 5 =4800 Nm 44.
.
Koristeci graficke parametre maksimaln i moment se racuna prema : m . 400 MSma. -- UL· UF · H . Ym.. -- 11em 1 emN . 4,25 em . 2,8 em MSm..
=4760 Nm
1.10.11 . Gredu sa prepustima napadaju koneetrisane sile F, = 2 kN , F, = 6,2 kN i F, = 4 kN (51. 59). Raspon grede je { = 10m, a duzina prepusta X, = X, =2 m. Odredditi otpore oslonaea FAi Fe, maksimalni moment savijanja MSm" , te naertati momentno polje i polje transverzalnih sila !
2m UL = 1 em
U=~ F 1 em
45.
Analiticko rjesenje :
F. + FB = F, + F, + FJ = 2 + 6,2 +4 = 12,2 kN
F. + 10 - F, . 12 - F,· 6 + FJ FA -
·
2=0
F1 2+ F 6 - F 2 212+62 · 6 -4·2 ' 10' J 10 = 5,32 kN
FB= 12,2 - FA = 12,2 - 5,32 = 6,88 kN Opas·an presjek na gredi nalazi se ispod jedne od sila , sto znaci u tacki A, tacki 2 iii tacki B. Racunajuci apsolutne vrijednosti momenta za te tacke dobit cemo maksimalni moment savijanja. MA= - F, . 2 = - 2 . 2 = - 4 kNm M, = - F, . 6 + FA· 4 = - 2 · 6 + 5,32· 4 = 9,28 kNm MB = FJ
•
2 = 4 . 2 = 8 kNm
MSmax = M, = 9,28 kNm 1.10.12. Greda sa prepustima opterecena je koncetrisanim silama F, = 280 N i F, = 400 N i kontinualnim, ravnomjerno rasporede nim opterecenjem q = 150 N/m (51. 60) Izracunaj reakcije FAi FB, maksimalni moment savijanja Msmaxo te nacrtaj momentno polje i polje transverzaln ih si la! Analiticko rjesenje :
FA+ FB= F, + F, + 3, = 280 + 400 + 3 . 150 = 1130 N LMB = 0 -F, . 5 + FA· 4 - F, . 3 + 3,· 0,5 = 0 F, . 5 + F, . 3 - 3, · 0,5 4
280 . 5 + 400 . 3 + 3 . 150 . 0,5 4
F. = 706 N FB= 1130 - F. = 1130 - 706 = 424 N Transverzalne sile mijenjaju svoj znak u tackama A, B i na udaljenosti X od oslonca A. Izracunavanjem momenta u ovim tatkama i njihovim poredenjem , dobit cemo maksimalni moment savijanja.
46.
q-150 N/m
F, D~~~-+__~~~~~~
= 200 m
U L
UF=
1 em
1m
TCm
F,
p
sl. 60
M,
=- F, . 1 =- 280 . 1 =-280 Nm
Me = q . 0,5 = 150 . 0,5 = 75 Nm Vrijednost velicine X dobijemo iz uslova da je zbir transverzalnih sila, sa lijeve iii sa desne strane tog presjeka, jednak nuli:
FT= 0
(uzet cemo sa lijeve strane)
'47 .
=0 + F. - F, - Xq + 2q =0
-F I + FA- F, -(X - 2) . q -F I
-F I + FA- F, + 2q
q
X=
-280 + 706 - 400 + 300
q
X =2 ,17m Mx = - F, ' 3,17 + FA' 2,17 - F,' 1,17 - O,17q '
o'r
Mx =177Nm Prema tome je :
Msm" = MA= -280 Nm 1.11,
Resetkast i nosaci
=
1.11 .1. Dizalica na 51. 61 opterecena je silom F 1 kN. Odrediti reakcije F. i Fa, te sile U stapovima grafickom Kremoninom metodom i Riterovom racunskom metodom .
j,
.tf-.. ___Lt!L-+-_.__ -.~.--- -;
s = 2n - 3 =2 . 4 - 3 =5 stapova
~; ; , $~ /:/l~:IkN -.! .t-n'"- - ~
i
I
.
/I
~ (PJ
,/ /
//
Up:: 0,8 HI ~~m
/
UJ.,. :: •a,s1"1 icm Kremonin ~ plansila
-6, // I '.,,~F;3 /
51. 61 6r~i
f
ifa.»4. ~ ...el,'.,: + J',"e
2,"(;
2
~
~
- 2,2-- 2.,'2
2."
48 .
I
!)
+ 01,5
F
+Fs
'
Riterova metoda (51 . 62) U = 0,5 m l 1 em
c
I, = 2,5 m 12= 1,8 m I, = 0,75 m
i5=0,95 m I. = 0,70 m 17
= 0 ,57 m
_ Velicine ( I ) mjerimo sa slike: mnozimo sa razmjerom U l .
51. 62
=°
Ova metoda se koristi uslovom ravnoteze LM na izdvojene dijelove resetke , zato se zove metoda momenata. Zove se jos i metoda presjeka , jer da bi se izracunala sila u jed nom takvom stapu , treba presjeci eijelu resetku obuhvatajuci pri tome doticni stap.
LMo
=F . i2- F, . I, = ° F,
LM.
(Momenti sila F2 , F3 i F, su jednaki nuli)
12
°1 8
= F . -I = 1 ' 75 =2,40 kN ,
°
= F . I, + F, . 15 = F,
(Momenti sila F, i F3 su jednaki nuli)
I,
=-F · -[ =1 . °95 =2,63 kN 2,5
5
LME = F . 1,5 + F3 . I. =
'
°
(Momenti sila F, i F, su jednaki nuli)
.=
F3 = -F · 1,5 /
1·
6'~
=2,14 kN
'
Za izracunavanje sile F2 uzet cemo presjek KL resetke i momentnu tacku E: LME
=F· 1,5 + F
2 •
°
I, =
F2 =-F·
1c.5 = 1 . 0\57 = -2,63 kN 1,
'
49.
Za izracunavanje sile F, uzet cemo presjek PR i momentnu tacku E:
LM E=F . 1,5 - F, . 1 =0 F =F .
,
1.11 .2.
12 1 =1.
11,5 = 1,5 kN
Resetkasti nosac opterecen je silama F 1 = 1,5 kN, F2 = 2,5 kN i F = 4 kN (sl. 63) . Odrediti si le u stapovima grafickom Kreminovom J metodom , a sile u stapovima 4,5 i 6 Riterc;:>vom analitickom metodom .
3m
3m
3m
3m
u. .fkN
KREMONIN PLAN SILA
F
@
U.
L
F.3
®
If sl. 63
50.
Tem
d..!!!..-. 1em
Reakcije F. i Fe odredimo analiticki i ucrtamo ih u razmjeri u poligon sila_
Ly = FA- F, - F2 - F, + Fe = 0 F. + Fe = F, + F2 + F, = 1,5 + 2,5 + 4 = 8 kN F. + Fe = 8 kN LMe = FA - 12 - F, - 9 - F2 - 6 - F, - 3 = 0 F = •
F -9 + F -6 + F -3
'
2
1,5 - 9 + 2,5 - 6 + 4 - 3
,
12
12
FA=3,4kN FA= 8 - FA= 8 - 3,4 = 4,6 kN Riterova metoda
(5 1.
64)
U =~ 1 cm L
51.
U=~ 1 cm F
64
Iz momentne jednacine za lacku III , dobijamo vrijednosl sile u slapu 4: LMe = O ;
F. - 3 +Fu.- 2 =O
Fu. =-tFA =-~ L M1V =O ;
- 3,4=-5,1kN
FA - 6-F, - 3-F U6 -2=O
F - 6-F , -3 = 3' 4- 6- 1 ,5-3 = 7 95 kN FU6 - A 2 2 '
51 _
LM" =0
;
FA' 3 - Fl)6 . 2 - FU5 . h
=0 (h - izmjerimo sa crteza)
FA. 3 - FU6 • 2 _ 3,4 ' 3 - 7,95 . 2 h 1,65 FU5 = -3,45 kN
1.12.
Zadaci za vjezbanje (nosac ·i)
1.12.1. Izracunati otpore oslonaca , maksimalni moment savijanja i transverzalne sile za grede kao na 51. 65 . Nacrtati momentno polje i polje transverzalnih sila l
/
1f-18J1oJ, 1=;= 620N ,~__~~__~____~B
2m
\ Ff
.2m
Fz=1, kN 3kN ·
Ff=185N r:: . -______~----~I I,m
·7,5m
~
3m
b)
F,-:.2~N
F;::: 4/dJ
F=4,5kf.l 2
B ,
Fa
I
4m Jm it,S ",
d)
e)
.1'
2m
J
2kNlm
2,5 k. N/m
4m -F)
9)
7,5 kNjm
Fi- ~2kN
2k.HJ..n /'."
B
i)
J.. ) . sl. 65
1.12.2. Za zadate konzole na sl. 66 odrediti silu ukljestenja FA' maksimalni moment savijanja , te naertati dijagrame momentnog polja i transverzalnih sila , a za zadatke pod (e) i (d) i horizontalnih sila.
F, ::.IH-I
F;; lo()o N
A. I.I--_~ fTl
F;-:.lkN
i=f*H/.,
'I
i!
I
4.
/i-../kf.l
b)
1
m
"---i
a)
n---2_""_,_~_~ c)
J ;
~4m---l .--..----.-.£..~-,--.-----. d)
.' -51. 66
53.
1.12.3. Odrediti otpore oslonaca FAi F. silom F, ( sl. 67).
gre~e · opterece ne
r-.1 = 200N
F :;;00'" f
J i"
. ~
A /
spregom (M) i
/'
20",., F ·. _--____ ..40 ('m ....e
---- ..
-~ ~--..........
~.
-' , .
-i
60c'u<, .
.
. ----'
sl. 67 1.12.4. Odrediti otpore oslonaca FA iF. grede opterecene spregom vertikalnom ekscentricnom silom F, i vertikalnom silom F, (sl. 68) .
,B
r -_..._-. - _. _. . . sl. 68 1.12.5. Odrediti sile u stapovima resetkastog nosaca (sl. 69), koristeci se Kremoninom i Rihterovom metodom.
3m
sl. 69
54.
1.12.6. Odrediti sile u stapovima resetkastog nosaca (51. 70) koristeci se Kremon inom metodom .
.... .
7", _ __ _
_ ____5"_m~_ _
c) 51. 70
1.13.
Trenje
1.13.1. Za ravnomjerno pokretanje tijela tezine G = 1500 N (51. 71) na horizontalnoj podlozi potrebna je sila F = 375 N. Koliki je koeficijent trenja il i ugao trenja p izmedu tijela i podloge?
G:;: {5'I>O# F~376- N
/
51. 71 U ovom slucaju za ravnomjerno pokretanje tijela potrebno je savladati samu silu trenja Fil. F"=il·FN~F
FN= G = 1500 N
F" =ilG~F
Odavde slijedi : F 375 il = tgp = G = 1500= 0,25 tgp =0,25,
P = 14°
55.
1.13.2. Teret tezine G = 500 N treba pomjeriti u vrh strme ravni (sl. 72) koja s horizontom zakla pa ugao a. = 30° . Odrediti vrijednost sile F paralelne s kosinom (strmom ravninom), kojom treba djelovati na teret, a koja je potrebna za pomjeranje tog tereta uz kosinu . Koeficijent trenja pri kretanju tereta po kosini iznosi 11 0,4.
=
sl. 72 Rjesenje:
Iz slike 72 proizilazi da je :
G = 500 N
F .::: FI1+ G· sina.
a. = 30°
FI1 = I1Gsina. = 0,4 . 500 . 0,866 = 174 N
11 =0,4
Gsina. = 500 . 0,5 = 250 N
F=?
F= 174+ 250=424N 1.13.3. Kolika je sila F potrebna za podizanje masinskog dijela, tezine G = 15000 N po celicnim nosacima koji sa horizontalom zaklapaju ugao a. = 15° (koristi sl. 72) . Kol(ka ce sila Fo biti potrebna za stavljanje elementa u pokret? Koeficijenti trenja su 110= 0,1 5 i 11=0 ,1. Rjesenje: Prvo iznalazimo uglove trenja pomocu trigonometrijskih funkcija .
11 = tgp = 0,1 P = 5°40' 110= tgpo= 0,15 Po= 8°30'
56.
Silu za podizanje tereta uz kosu ravan jed nolikim kretanjem izracunavamo pomocu obrasca:
F=G
sin(a + Pl sin 20°40' 0,353 cosp = G cos 5040' = 15000 0,995
Istim obrascem izracunavamo i silu Fo, same umjesto uzimamo Po: Fo = G
sin (a + po) sin 23°30' 0,399 cospo G cos 8030' = 15000 0989
= 5220 N
P
= 6000 N
1.13.4. Kolika je vucna sila F potrebna za kretanje tijela tezine G = 20000 N po drvenom horizontalnom podu pomocu celicnih valjaka poluprecnika R 5 cm , tezine G , 200 N? Sila F djeluje u visini vrha valjka ; f, 0,005 cm izmedu tijela i valjka , a f, 0,1 cm izmedu valjka i poda .
= =
Rjesenje :
=
=
Kotrljanju se protive momenti izmedu predmeta i valjka: M, = G . f, = 20000·0,005 = 100 Ncm, i izmedu valjka i poda :
M, = (G + G,) . f, = 20200 . 0,1 = 2020 Ncm . Ove momente, u slucaju jednolikog kretanja , uravnotezava moment vucne sile F: M
= F · 2R
i mozemo napisati:
M = M, + M" iii 2RF = 100
+ 2020 = 2120 Ncm ,
odakle je vucna sila : F - _~L2120 - 212 N - 2R- 10 . 1.13.5. Izracunati vucnu silu voza tezine G = 2000 kN pri usponu nagiba v = 15 %0. Kolika je vucna sila u horizontali, a kolika niz strmu ravan? Rjesenje : Za kretanje uz strmu ravan primjenicemo obrazac F
=G (V '!'
F = G (V +
~,
), uzimajuci za ~ vrijednost 0,005:
~,)
= 2000 (0,015 + 0,005) = 40 kN
57.
=0, i onda je : =G · 1-1, =2000 · 0,005 = 10 kN;
u horizontali je V
F'
a za kretanje niz strmu ravan sila kocenja je:
F"
=G ( V - 1-1, ) =2000 (0,015 - 0,005) =20 kN .
1.13.6. Kol ika je sila F potrebna za kretanje kliza njem predmeta , tezine G 4000 N, jednolikim pravolinijskim kretanjem po horizontalnom pod u, ako je koefieijent trenja ~L 0,56? ( F 2240 N)
=
=
=
=
1.13.7. Kolikom silom F konj vuce saoniee , tezine G 7500 N, po snijegu u horizontalnom jednolikom kretanju ako je ~ = 0,04? (F = 300 N)
1.13.8. Kolika je sila F potrebna za podizanje celicnog masinskog dijela, tezine G 20 kN, jednolikim kretanjem uz kosu ravan od celicnih nosaca duzine I 6m koji su na jednom kraju izdignuti za 1m , ako je ~ 0,22, i : a) ako je sila F paralelna sa kosom ravni (F 7,67 kN) (F = 8 kN) b) ako je sila F horizontalna
=
=
=
=
= =
1.13.9. Ko likom silom F treba pridrzavati masinski dio , tezine G 80 kN, pri spustanju jednolikim kretanjem po nosacima duzine I 8 m , koji su na jed nom kraju uzdignuti za 1m, ako je ~ = 0,20 ? (F 4,5 kN).
=
1.13.10. Kolika je sila F potrebna za kotrljanje valjka od livenog gvozda tezine G 24 kN, precnika D 60 em, po horizontali , ako sila djeluje horizontal no u visini ose valjka , a koefieijent otpora pri kotrljanju f = 4 mm ? (F = 320 N) .
=
=
1.13.11. Kolikaje vucna sila kod vozila, tezine G
1-1 =0,01
=200 kN, otpora voznje
: a) po horizontali b) uz i niz strmu ravan uspona 40 %o?
58.
1.14.
Proste
mas
ne
1.14.1. Izracunati velicinu sile F koja treba da djeluje horizontalno u tacki B ugaone poluge ABC (sl. 73) da bi bilo ravnoteze, ako u tacki A djeluje vertikalno teret G = 200 N.
u=
Graficko rjesenje:
F B -.---- -_.. _ ----......---.;...-
F
100 N 1 em
F
G
A sl. 73 Racunsko rjesenje: Koristicemo LM = 0 uzimajuci za momentn u tacku oslonae C:
L Me = F . 20 - 200 . 35 = 0 F = 20~O 35
350 N.
Fe= V G' + F' = V200' + 350' = 403 N 1.14.2. Prava prizmaticna poluga AB (sl. 74), duzine I = 60 em , tezine G = 200 N,nosi na svoja dva kraka terete G, = 500 N i G, = 1100 N. Gdje treba da bude oslonae D da bi poluga bila u ravnotezi?
A F=======C::;:::==:!:D===~ B
x
sl. 74
59.
Rjesenje:
Na ovu polugu djeluju njena tezina G usredini C poluge, tereti G, i G, na krajevima i otpor Fo u osloneu D. Posto je polozaj oslonea D nepoznat, njegovo rastojanje od kraja B obiljezicemo sa X. Primjenicemo uslov ravnoteze uzimajuci D za momentnu tacku:
L Mo = G,X - G (+-X) - G, (/- X) = 0 G,X - Gt+ GX - G,l + G,X = 0
G X (G, + G + G,) -/ (2+ G,)= 0
X
/ (~ + G,) =G, + G + G,
60 . 600 1800
20 em
1.14.3. Ko lika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 1200 N Arhimedovom koturacom koja ima ukupno 2n = 10 koturova? Rjesenje: F=G
.1.. = 1200 .1.. = 120 N 2n
10
1.14.4. Kolika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 2000 N poteneijalnom koturacom koja ima n = pokretna kotura? Rjesenje: F = £ = 2000 = 125 N
2"
2'
1.14.5. Kolika je sila potrebna za podizanje tereta G = 6000 N difereneijalnom koturacom poluprecnika R = 15 em i r = 14 em? Rjesenje: F=£ (R-r) = 6000 (15-14)=200N 2r 2 . 15 1.14.6. Koliki se teret G moze podici vitlom ciji je poluprecnik valjka R = 10 em , duzine ruciee l = 30 em, ako na jednu rucieu djelujemo silom F, = 120 N, a na drugu silom F, = 150 N (sl. 75)? r,
r,
60.
Rjesenje:
Primjenjujemo uslov ravnoteze
LM = 0 za osu obrtanja:
L Me =F, . / + F, . / - G . R =0 G-
F, · [ + F, ./ R
=
120 · 30 + 150 . 30 = 81 0 N 10
1.14.7. Izracunati kol ika je sila F potrebna za utiskiva nje potpuno glatkog klina, ce la sirine b = 10 em, a duzine tijelo koje daje otpor Q = 2000 N ( 51. 76) .
l =25
em , u
Rjese nje:
F = Q . .Q. = 2000 . 1.Q = 800 N [ 25 1.14.8. Dvokratkom polugom cij i je krak sile a = 90 em , a kra k tereta b = 15 em podize mo teret G = 3000 N. Kolika mora biti sila F? (F = 500) 1.14.9. Koliki te ret G mozemo podi6i silom F = 300 N dvokrakom polugom ciji je kra k sile f = 120 em , a krak tereta q = 20 em ? (G = 1800 N). 1.14.10. Kolikaje sila F potrebna da ·drZi ravnotezu teretu G = 5000 N na Arhimedovoj koturaci sa cetiri para koturova? (F = 625 N).
1.14.1 1. Kolika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 4000 N pomo6u poteneijalne koturace sa dva pomicna kotura? (F = 1000 N).
"'--_ _ _ _ _ _ _ _~_ _ _ 61.
1.14.12. Koli ka je sila F potrebna za podiza nje tereta G = 400 N pomocu vitia ciji je dobos poluprecnika r. = 6 em , a duzina ruciee I = 30 em? (F = 80 N). 1.14. 13. Koliki teret G mozemo podici silom F = 50 N difereneijalnom koturacom poluprecnika R = 18 em i r = 17 em? (G = 1800 N).
1.14.14. Kolika je sila F, paralelna sa kosom ravni, potrebna za odrzavanje ravnoteze tereta G =3000 N na glatkoj kosoj ravni cija je duzina
I = 3m,
a visina h = 0,4 m? (F = 480 N).
1.1 4.15 . Koliki teret G mozemo odrZati u ravnotezi na glatkoj kosoj ravni duzine I = 4m i visine h = 0,5 m silom F = 120 N paralelnom sa kosom ravni ? (G = 960 N).
62.
2. CVRSTOCA MATERIJALA
2.1. A k si j a I naN apr e zan j a 2.1.1. Bakrena ziea duzine 300m, presjeka 50 mm', opterecena je silom od 8000 N. Koliko je apsolutno produ ljenje zi ee ako je za bakrenu zieu E = 1,1 . 10' N/em' ? Rjesenje: /). [
= ~ = 8000 . 30000 S·E
43 ,6 em = 436 mm
0,5 - 1,1 ' 10'
2.1.2. Cilindricna poluga od dur-aluminijuma, precnika do = 20m m, jednim svojim krajem je ukljestena, a na drug om opterecena zatezucom silom F = 50 kN. Odredi za koliko ce se smanjiti precnik poluge pri njenoj deformacij i usljed opterecenja (F). Dato je: modul elasticnosti du r-a luminija je E 0,7 _ 10' kn/em' i Pu esson ov koeficijent 11 = 0,36.
=
Rj esenje : Iz obrasea:
11 = F
£ =- -
S FE
SE
, slijed i:
= £ - speeificno izduzenje 50
=
S·E
/).[ =~
, - 22,75 . 10'"
0,7 .10, .3,14 ' 2
4 Poprecnu deformaciju poluge E, racunamo iz izraza za Puasonov koeficijent, dakile:
I-l = - ~'
Odavde je £, = -
I-l . £
£,= - 0,36 · 22 ,75 · 10'" = - 8,2 - 10" Posto je:
~d= E, . do = - 8,2 - 10" . 2 = - 16,4 . 1 0'" em Dakle, precnik poluge se smanji za ~l 2.1 .3. ~ tap duzine
=16,4 . 10'" em
1= 1m poprecnog presjeka 60 x 10 mm pod dejstvom = 0,02 em . Izracunati suzavanj e
spoljne sile izduzi se za ~
poprecnog presjeka ~a i ~b ako je Puasonov broj
63.
11 =0,3.
Rjesenje: Prvo racunamo speeificno Izduzenje e .
Poprecnu deformaeiju e , racunamo iz izraza:
II-,... - ~ E e, = -
11 . e = - 0,3 . 0,0002 = - 0,00006.
Posto je: 6 a e, =--ae,
' 6 a= a . e, = 60 · (-0,00006) = - 0,0036 mm
= ~b
6 b= be,= 10 (-0,00006) = - 0,0006 mm
2.1.4.
Koliki je modul elasticnosti zeljeza ako se stap duzine 43 em presjeka 3 em' pri opterecenju od 30000 N produzi za 0,02 em?
2.1.5.
Celicna ziea promjera d = 4mm, duzine I = 10m ,opterecena je silom F = 1,5 kN , E = 2,2 . 10' N/em' . Odredite : a) naprezanje u ziei, b) apsolutno produzenje ziee .
2.1.6.
Kolika je apsolutno produzenje celicne poluge (E = 2,1 . 10' N/em' ) Kruznog presjeka duzine I = 500 mm ako je nategnuta aksijalnom silom tako da u njoj vlada naprezanje er = 7000 N/em' ?
2.1.7 .
Koliko je apsolutno produzenje celicne ziee duzine I = 2 m, promjera 1 mm, ako je opterecena je silom F = 500 N. E = 2,2 . 10' N/em' ,
2.1. 8.
Dimenzion isati celicnu sipku kvadratnog presjeka , opterecenu aksijalnom zateznom silom F = 250 kN ako je dozvoljeni napon ered = 10000 N/em'. er =~= 250000 ered 10000
a
25 em'
=Vs =V2s
a = 5 em
64.
2.1.9.
izracu nati nosivost ianca (51. 77) sa karikama precnika d = 2 em ako je dozvoijeni napon aed =15 kN/cm'. Rjesenje: Teret F raspodjeijuje se na obje grane ianca. Prema tome, ako se sa (S) obiljezi poprecni presjek jedne grane ianca , moze se napisati :
F=2 . s.aed=2 d' rc
4
aed=2.2'. 3,14 15 =F=94 ,2kN .
4
2.1.10. Ceiicna sipka duzine 1= 0,7 m, kvadratnog poprecnog presjeka , ivice a = 2 em izduzi se pod dejstvom aksijaine siie F, = 30 kN za !11 = 0,25 mm , a prekid materijaia nastane pod dejstvom sile F, = 132 kN . izracunati: a) specificno izduzenje £; b) stvarni napon ae ; c) modui eiasticnosti E;
d) jacinu materijaia
Rjesenje : a) specificno izduzenje:
(' =M= 0,025 = 0 000357 I 70 '
c.
b) stvarni napon : = 30000 = 7500 N/cm" ae = £L S 4 ' c) modui eiasticnosti :
a
750
E =£=0,000357
2,1· 10' N/cm' ;
d) jacina materijaia:
a =£L= 132000 = 33000 N/cm' S 4 M
65.
am .
2.1.1 1.
Koliku aksijalnu pritisnu silu moze sa sigu rn oscu prim iti stub male relativne duzine datog poprecnog presjeka (sl. 78) od livenog celika ako je O"ed =12000 N/em' ?
--
I. 33cmm
I
Rjesenje :
J
F = s . O"ed = 2.268000 N
Ibmm
S = 33 . 33 - 30 . 30
---
limn)
S = 1089 - 900
E E.
S = 189 em'
~ i ~i
~r sl. 78
2.1.12.
Dimenzionisati stub male visine izlozen aksijalnoj pritisnoj sili F = 80 kN ako je pravougaonog poprecnog presjeka sa odnosom strana alb = 2/3, a O"ed = 800 N/em' . Rjesenje: S = -.E.... = 80000 = 100 ' O"ed 800 em S
=a· b
a =b
~
S-~b' - 3 b=
y 3 ~ S = y3iOO=~=12,2em
a =~ 3 . 12 ' 2 "" 8 ,1 em
2.1. 13.
Dimenzionisati stub male visine izlozen aksijalnoj pritisnoj sili F = 40 kN ako je prstenastog poprecnog presjeka , odnosno precnika dID = 1/4, a O"ed = 8000 N/em' .(sl. 79)
66.
~.
1--
i
, I
51. 79
Rjesenje:
8
=L= cred
8
= D'n_ d'n 4
4
_ D' n
8-
y
64 . 8 D = 15 .n
40000 = 5 em' 8000 '
(~)'n _ D'n
4 -4
Y
. d =JL 4
D'n 1 _ D'n
64 · 5 = 15 · 314 = 2,5em
d=~ =~=06em 4 4 '
2.1.14.
Koliki je premjer celicne ziee cvrstoce 18 . 10' N/em' ako pukne pri opterecenju od 8,82 kN?
2.1 .15.
Koliko je specificno izduzenje stapa ako mu je pocetna duzina 30 em, a uzduzno preduzenje 5,4 mm?
2.1.16.
Koliki je unutrasnji promjer prstenastog stuba opterecenog na sabijanje (tiak) silom od 400 kN ako je vanjski promjer 140 mm, a cred = 5000 N/em' ?
2.1.17.
Kolikim se teretom moze opteretiti zidani stub od opeke presjeka 51 x 51 em ako normalno naprezanje u njemu ne smije biti vece od 50 N/em' ?
67.
1
-4-4.16-4(1- 16)
2.1.18. Horizonta lna celicna motka (sl. 80) duga 7 m visi na dva celicna uzeta promjera d, = 10 mm, d, = 20 mm . Uzeta su duga 3m . Motka je opterecena silama F, =30 kN i F, = 10 kN prema slici . Odrediti sile u uzadima F5 1 i F5" preduljenja 11/, i 111, i naprezanja Ge, i Ge, u uzetima .
//
/
/
// /
eh
dt
IFs,
)F;,
----.
2M I
~
F,
F7..-
I
-~'-1-
sl. 80 2.1.19. Stapovi naerlane konstrukeije su od celika (sl. 81 ) i istog poprecnog presjeka od 40 em' . Sila F = 100 kN . Odredite naprezanje u stapovima .
/
sl. 81
68.
/
/
/
2.1.20.
Dimenzion isati element duzine I = 30 m kruznog poprecnog presjeka opterecen aksijalnom zateznom silom F = 200 kN ako je dozvoljeni napon
2.1.21.
200000 = 10000 - 3000 . 0,0785 = 20,48 em'
8 -
·Y
d' rc 8=4
1~ V4 . 20 48 ; d= ~~-rc- = ~= 5em
Pri kojoj ce se duzini prekinuti vertikalno objeseno cel icno uze jacine pri kidanju
60000
I, = y =0,0785= 764000 em 2.1.22.
= 7,64 km
Pri kojoj ce se visini h, srusiti od sopstvene tezine zid cija je jacina materijala
2.1.23 .
Y= 16 N/dm' ?
160
h' =y = 0,016 = 10000 em = 100 m
Koliko je korisno opterecenje okruglog celicnog stapa promjera d = 5 em, dugog I = 240 m.
=8000 N/em', y = 78,5 N/dm' ?
Rjesenje: Vlastita tezina stapa: G = 8 · / . Y=
O,5'~ 3,14
. 2400.78,5 = 37000 N
Nosivost stapa: 5'rc F = 8 .
F,,, = F · G = 157000 - 37000 = 120000 N 2.1.24.
Okrugao celicni stap dug 240 m mora nositi koristan teret od 120 kN.
69.
Rjesenje:
Kod jed nolikog oblika slap bi morae imal i presj ek :
s=
120000 8000 - 2400 . 0,785
FK cred- I·y
, 19,6 em
d' rr S =-4-= 19,6 d = 5 em a tezina : G = S .I
. Y = 0,196 . 2400 . 78 ,S = 36,895 N
Kod l ijela jednakog olpora smanjeno je dopusleno naprezanje za svaki dio duzine t = 60 m = 6000 em , pa je: cr' ed =cr ed -/ .
Y = 8000 - 471
= 7529 N/em'"" 7530 N/em'
, dl(=5~m
1. dio :
_Q ~ '-a '
S = ,
Fk.,
_
cr ~d
120000 7530
d,'rr S, = -4- = 15,9
15,9 em'
,o):Mrt.. D
~
--.:C'I
G, = 7500 N
I
1i
2. dio: = Fk., + G, = 120000 + 7500 = 1695 em' cr 'ed 7530 '
S ' = d,'rr 4 = 16 ' 95
S; ;
I
d, = 4,5 em
G, = S, · [' . y = 0,159 . 600 . 78 ,S
S,
-f
~
dz ::.It,C",.,
~, !l
~:
(:1
~I
~
-----+--4----1.
; d 2 = 4, 6 em
Y= 0,1695 . 600 . 78,S = 7970 N
70.
-+ -+ I
p.k"l. :::.12okN sl. 82
G, = S 2' I ' .
~!
""' ;
3. dio:
S, = S
,
G,
F,,, +G , +G,
120000 + 7500 + 7970 7530
-'--'-'--'--......:....:....:....---'-~-=-
(J ' ed
= d,'n; =18 4
= 18 em'
d, = 4.8 em
= S3' /' . Y= 0.18 . 600 . 78.5 = 8500 N
4. dio:
S, =
F,,, + G,+G, +G,
S = d,'n; '
4
= 19 .1
G, = S. /' .
120000 + 7500 + 7970 + 8500 , = 19.1 em 7530
; d, = 5 em
y = 0.191
. 600 . 78 .5
= 9000 N
Ukupna tezina tijela jednake cvrstoce: G
= 7500 + 7970 + 8500 + 9000 =32970 N
Usteda na tezini je : 36895 - 32970 = 3925 N
2.1.25. Koliki mora biti promjer stapa kruznog presjeka duzine 40 m ako je na kraju opterecen silom od 10 kN uzevsi u obzir tezinu materijala specificne tezine y = 78.5 N/dm'. ako je (Jed = 7000 N/em' ?
2.1.26. S kolikom se aksijalnom silom smije opteretiti stap kruznog presjeka promjera 12 mm. duzine 200 m. ako je (Jed = 7000 N/em'. a y = 78.5 N/dm' ?
2.1.27 . Kolika je kriticna duzina ziee ako je a y = 78 .5 N/dm' ?
71 .
(J M =
30000 N/em'.
2.1.28 . Celicni slap poprecnog presjeka S = 10 cm' ucvrscen je izmedu nepomicnog oslonca A i B na lemperaluri I, = 20°C (sl. 83). Izracunati velicine sila kojima slap priliskuje na oslonce i normalni napon koji ce naslupili u malerijalu ako se slap zagrije do temperalure I, = 40°C. Toplolni koeficijenl islezanja a = 11 x 10", a E = 21 . 10· N/cm'. Rjesenje: F
=S
.E.
a
(I, - I,)
F
F=10 · 21 · 106 · 11 · 10" (40 -20) ($
F = 46200 N
a =E.a
sl. 83 (I, - I,)
a
= 21 . 106 . 11 . 10.6 (40 - 20)
a
= 4620 N/cm'
2. 1.29. Okrugla celicna molka promjera 40 mm , duga 2 m, okrece se oko jednog kraja. Odredile : a) cenlrifugalnu silu pri kojoj ce se molka slomili ako je a M= 40000 N/cm' ; y = 78,5 N/dm', b) pri kojem broju okrela dolazi do loma?
(n =-1-fg· aM) I· IT.
Y
2.1.30. Koliko je zbog cenlrifugalne sile naprezanje u vijencu remenice promjera 3000 mm ako remenica cini n = 300 °/min , a y = 72 N/dm' ?
2.1.31. Koliko je zbog cenlrifugalne sile naprezanje u brusnoj ploci promjera 1000 mm , debeloj 300 mm , ako ona cini 120 c/min, a y = 24 N/dm'? Pri kojem ce se broju okrela brus rasprsnuli ako je a M= 500 N/cm'?
(a
v
=_1 3
.gl . v'N/cm' )
72.
;
(n =_1_~3aM· g) rIT.
Y
2.1.32. Ko lika mora biti debeo lim parn og kotla promjera D = 1,8 m ako je 'p = 0,7 , cvrstoca lima a ... = 36000 N/em' , koefieijent sigurn osti v = 4,5, a pritisak (tla k) u kotlu p = 100 N/em' ? Rjesenje: Deblj ina lima
b= ( ~ + 2 'p ·a od
a
= od
aIJ . .
1 . 10 ' )
= 36000 = 8000 N/em'
4 ,5
180 . 100 b = 2 . 0,7. 8000 + 0,001 = 1,6 em 2. 1.33. Promjer celicne cijevi za dovod pare je 400 mm . Debljina stijene cijevi je 9 mm . Spoj izmedu dvije eijevi je ucinjen pomocu 16 vijaka promjera 118" . Kolik o je naprezanje u eijevi usljed pritiska (tlaka) pare od p = 120 N/em' : a) u poprecnom presjeku cijevi , b) u uzduznom presjeku, e) u vijeima . 2.1.34. Kolika mora biti debljina stijene parnog cilindra promjera 600 mm ako je pritisak (tlak) u eilindru p = 50 N/em' , a aed = 1000 N/em ' ?
2.2. 2.2.1.
Smieanje
Jednorezna zakoviea opterecena je na odrez (smik) silom od 30 kN . Koliki mora biti njezin promjer ako je dopusteno naprezanje na smieanje 1'sd = 9000 N/em' ?
Rjesenje: F
"[ Sd=~
4
frt
30000 d=2 - = 2 314.9000 = 2 em = 20 mm 1'[ ·1'sd
73 .
2.2.2.
Ova pljosnata ze ljeza (sl. 84) debela 6 mm treba spojiti s dvije zakoviee tako da mogu podn ijeti opterecenJe od 20 kN. a) promjer zakoviee ako je T Sd = 9000 N/em' , b) sirinu pljosnatog zeljeza ako je dopusteno naprezanje na istezanje (vlak) (Jed = 10000 N/em'.
Izracunajte:
sl. 84 Rjesenje:
F
T Sd
a)
b)
i k
(J
ed
F S
F
(Jed
20000 = - - -= 2 em' 10000
=0,6 (b - 1,2)
b = S + 0,72 0,6
2.2.3.
4
=-
S= -
S
i= 2 ;k = 1
= - --d"'"'-rr-
4,5 em = 45 mm
Strojem za probijanje (staneom) mora se iz lima debelog 6 mm prosijeeanjem dobiti oblik prma sl. 85. Ko lika je za to potrebna sila ako je cvrstoca lima na istezanje (vlak) (J M = 40000 N/em' ?
74 .
Rj esenje : Buduei da je 't M
't M
=0,8
=0,8 (JM
40000
=32 000 N/em'
Opseg lima (0) vee gotovog oblika je:
0 = 15 + 5 + 7,5 +10 + 5 + 10 + 2,5 + 2,5'
n
0 = 62 ,85 em Povrsina lima koja se prosijeea je:
S
=0
. b = 62,85 . 0,6 = 37,7 em'
1---150
Sila potrebna za probijanje je: F
='t
M .
S
=32 000 . 37,7 = 1.206400 N =1206,4 kN
sl. 85
2.2.4 . Ekseentar-presom, koja proizvodi pritisak od 400 kN, mora se probijati ce li cn i lim (s l. 86) cvrstoee 't M 36000 N/em'. Koja se najveea debljina lima moze probijati kod kruznih 1 kvadratnih oblika ako patriea od alatnog celika cvrstoee (J M 88000 N/em' mora raditi s koeficijentom v 2?
=
=
=
sl. 86 Rjesenje : Dopusteno naprezanje na patrieu : (J 10
=(Jv M = 88000 =44000 N/em' 2
Najveea povrsina probijanja dobije se iz izraza :
Smax Fmax 400000 36000
=-=t;;=
5 ' =11 ,em
75 .
Kod kruznih oblika je povrsina probijanja : Smax
= dTr . b
gdje je b debljina lima, a d promjer kruzne patrice. Iz izraza za naprezanje na tlak patrice: S
= Fmax = 400000 = 9 1 ' aid 44000 , em
d' Tr S =- 4 - = 9,1 d = 3,41 em Najveca debljina lima pri kruznom probijanju: Smax 11,5 b = dTr = 3,14 . 3, 14 - 1,03 em
Pri probijanja kvadratnih oblika povrsina probijanja je: Smax = 4· a . b Iz izraza za naprezanja na tlak patrice znamo da je S = 9,1 em' , pa je prema tome:
S
=a'
a=
'V9:1 = 3,01 em
Najveca debljina lima pri probijanju kvadrata : Smax 11 ,5 b = 4 . a = 4 . 3 01 = 0,92 em
22.5 . Poluga od pljosnatog celika s otvorom za svornjak prema sl. 87 prenosi silu od 120 kN; aed = 8000 N/em'. Debljina motke a = 1,5 em. Odredite sirinu motke b i promjer svornjaka.
76.
2.2.6. Kol iki je promjer svornjaka (sl. 88) koj i spaja dvije motke opterecene silom od 40 kN ako je L sd = 6500 N/cm'.
"OM
sl. 88
2. 2.7.
Strojem za probijanje treba isijecati iz lima debelog 8 mm plocice oblika prema sl. 89. L M = 32000 N/cm'. Ko lika je sila potrebna za probijanje?
sl. 89
2.2.8. Zatik prema sl. 90 opterecen je silom od 50 kN. Odredite njegov promjer d i visinu glave h ako je
sl. 90
77.
2.3.
Geomet rijske karakterisitike poprecnih presjeka nosaca
2.3.1. Koliki je vlastiti aksija lni moment inereije i moment otpora pravokutnika sirokog b =6 em i visokog h = 10 em s obzirom na os Xis obzirom na os y? Rjesenje: 3
Ix = -
, bh 6 · 103 = - - - = 500 em 12 12
b · h3 10 .6 3 , Iy =12 =-1-2- = 180 em Wx = ~ =
~ = 100 em 6
Wy = .b..:...Q'=
~= 60 em
6 6
3
3
6
2.3.2 . Odredite vlastiti aksijalni moment inereije i moment otpora kvadrata sa strani eom a = 160 mm iz koga je eentricno izrezan krug promjera d = 120 mm (sl. 91) Rjesenje:
, 12
Ix=ly=~
Ix
d' ''''
_ 16' 12
,e -"64-
12' 1! 64
=ly =4444 em'
Ix = Iy = ~ - 4444 = 555 5 em 3 Ym.. 8 '
sl. 91
2.3.3. Odredite aksijalni moment inereije i aksijalni moment otpora pravokutnika s obzirom na njegovu dijagonalu (sl. 92) . Rjesenje: Kako nam je poznat aksijalni moment inereije trokuta s obzirom na njegovu bazu , a pravokutni se sastoji od dva trokuta, to je:
78.
,,' , bh / ct
dh "
id = 2
h'
'12
=h cot>
eop =
~
1
h'b '
1
id =6d(-d-) =6 d
h' b'
7
' paje sl. 91
Kako je povrsina pravokutnika S = h . b, to je id
S'
= 6d'
em'
Aksijalni moment otpora pravokutnika s obzirom na dijagonalu jest
_ _IdWd --~ h' b
h (j
h' b Wd =6Ciem' 2 .3.4 . Odredite vlastiti moment inercije polukruga (sl. 93) .
sl. 93 Rjesenje: Teziste polukruga nalazi se 'na osi y na udaljenosti Yo =
1;. Aksijalni moment inercije polukruga s obzirom na I; jednak je polovini momenta inereije kruga, tj.
od ose os
~
79.
r'1[
1~ = 8
pa je vlastiti moment inereije polukruga iz izraza I~ = Ix + s . Yo'
Ix = I~ - s . Yo' Ix = r' 1[ _ ( 1[ (~)' 8
2
Ix = 0,11 r' 2.3 .5.
31[
em'
Izracunajte moment inereije i moment otpora naertanog profila s obzirom na tezisnu os x - x (sl. 94).
Rjesenje: Posto se tezista povrsina 81 i 82 nalaze na istoj osi X - X, to mozemo odgovarajuce momente inereije jednostavno zbrojiti
1i-
4 · 22' 18 5' Ix = lx, + lx, = -1-2- + = 3735 em'
Wx
3735 = -Ix- = - = 340 em'
Ym"
11
sl. 94
2.3 .6. Izracunajte moment inereije i moment otpora naertanog profila (sl. 95) s obzirom .na tezisnu os x - x. Rjesenje: 1
16 '210'= 9333,3 em' 1
Ix
9333,3
Ix= 16 }O'
Wx = - - = - - = 933 3 em' Ym" 10 '
sl. 95
80.
2.3.7. Odredite moment inercije i moment otpora za tezis nu osu sloze ne povrsine prema sl. 96.
51. 96 Rjesenje: lik je simetrican i teziste mu se nalazi na simetrali koja je os y. Stoga je Xo= O. Teziste lika nab cemo prema poucku 0 momentu povrsine tj .: S . Yo = S,Y, + S,Y, + S,Y,
s " =
y
I y,
90 em'
~
33 em
s, - lOOem'
y, - 20 em
,,- 220 em'
5 em
S=4\Oem'
I
y. =
,y
I
I
_I
,!
s,y, - 2970 em'
I
s,y, - 2000 em'
i
s.y, = 1100 em'
,
tsy - 6070 em' :Esy 6070
,
Y.- S Y. -
81 .
=
ill
14,8 em
! I I
•
CO"
IiK d , 0U1<.:J 1
: " :, , teziste T. povuci cemo eentralnu os X eijelog udalJenost pojed inih osi do ove eentralne osi, tj .:
a,= 18,2 em
a2=5,2 em a 3=9,8 em
Nakon toga izracunajmo momente inereije pojedi nih likova 5 obzirom na eentralnu os eijelog lika po Stajnerovu poucku, tj .: 15 · 6' lx, = -1-2- + 15 . 6 . 18,2' = 30081,6 em' 5 ·20' lx, = -1-2- + 5 . 20 . 5,2' = 6037 ,3 em' lx, = 221'21 0\
22·10·9 ,8' = 22962,1 em'
Ix = lx, + lx, + lx, = 30081 ,6 + 6037,3 + 22962 ,1 Ix = 59081 em'
Moment otpora: Ix 59081 Wx = - - = - - - = 2787 em' Ym" 21 ,2
2.3.8.
Odredite aksijalni moment inereije i aksijalni moment otpora kvadrata 5 obzirom na njegovu dijagonalu (51. 97). .
h'· Y,
V2a
51. 97
82 .
2.3.9. Odredite moment illereije i moment otpora naertanih profila 5 obzirom na tezis nu 05 x - x (51. 98 ; 99).
xJ-----~~-----x
<:> x -!~"-'I----X ~
51. 98
51. 99
2.3. 10. Odredite moment inereije Ix i moment otpora Wx profila (51. 100), koji 5e sastoji od C 22 (citaj U zeljeza broj 22) i od zeljeza L 50 . 50 · 6. Iz tabli ee za profilna zeljeza izvad imo potrebn e podatke:
Rjesenje : za L 50 · 50 · 6 S, = 5,69 em' e = 1,45 em Ix = 12,8 em'
i
I
a
~
za U22 S2= 37,4 em' e=2 ,14em Ix = 2690 em' sl. 100 Teziste sastavljenog profila naci cemo prema izrazu : 5,69' 20,55 + 37,4 . 11 ---''-----'----'---- - 12,2 em 5,69 + 37,4 yo= 12,2 em a, = 8,4 em
a, = 1,2 em 83 .
Moment inereije Lprofila s obzirom na eentralnu os sloienog profila: lx, = 12,8 + 5,69 . 8,4' lx, = 414,3 em'
Moment inereije U profila s obzirom na eentra lnu os sloienog profila:
=2690 + 37,4 . 1,2' lx, = 2744 em' lx,
Moment inereiJe sloienog profi la: Ix = lx, + lx,
=414 ,3 + 2744 =31 58,3 em'
Moment otpora: Ix 3158,3 W x = - - = - -Ymn 12,2 W x = 258,8 em' 2.3. 11 . Koliki je moment inereije i moment otpora naertanog profila s obzirom na os x - x (sl. 101).
12
100
sl. 101
84.
12mm
2.3. 12. Na 51. 102 pri kazan je poprecni pre5jek traverze jedne diza lice . Izracunajte momente inercije 5 obzirom na 05U X na 05U y - y.
- X
i 5 obzirom
51. 102
2 .3.13. Izracu najte momente inercije Ix i Iy, te momente otpora W x i Wy slozenih profila prema 51. 103 ; 104; 105. Potrebne podatke uzmite iz tablica za profil na zeljeza .
)(~""-f-""--,x
y
sl. 103
2 . 4.
51. 104
51. 105
Savijanje
2.4 .1. Greda je oslonjena na dva o51onca i opterecena kao na 51. 106. (F , = 1500 N, F, = 3500 N, F, = 2000 N) duzine I = 10 m, a, = 2 m, a, =4,5 m, a, =7 m. Kolike 5U dimenzije grede ako je ista pravougaonog pre5jeka 5 odnosom b : h = 5 : 7 i ako je dozvoljeno naprezanje na 5avijanje 0'" = 8kN/cm' ?
85 .
F, A ~,-----;------~~------~------~B
51. 106 Rjesenje : a) Reakeije u osloneima
LM =0 A
F
=
F" 8,+ F2 " 82 +F 3 "a 3
1500 . 2 + 3500 . 4,5 + 2000 . 7
I
B
10
Fa =3275 N
FA= F, + F2 + F, - Fa = 1500 + 3500 + 2000 - 3275 FA =3725 N b) Maksimalni moment savijanja Tran sverzalna sila mijenja predznak ispred sile F2 , te se tu nalazi opasan presjek, a ujedno i maksimalni moment savijanja :
M,rnax
= M =FA. a, - F,(a, - a,) "
M,rnax = 3725 . 4,5 - 1500 . (4,5 - 2) M,rnax = 16762 - 3750 Mlrnax = 13012 Nm
=1301200 Nem
e) Otporni moment presjeka : W
= M'm" cr Id
_1301200=1627 ' 8000 ' em
86.
W --~ 6
b : h=5 : 7
5 b=7 h +h - h'
5
W=--6- =T2 h'
_ h-
~ 452
2 . W _- 11~ 45 - 162,7 "= 11 ,1 em
5
b =7 - 11 ,1 = 7,9 em 2.42
Okrug la ce licna motka mora se upotrijebiti kao konzola koja je opterecena silom od 8 kN (51. 107). Koliki mora biti promjer motke ako je a Id = 12000 N/em' ?
F=8kN
{~160mm---
51. 107
Rjesenje: MI = F - I = 8000 - 16 = 128000 N - em
MI 128000 , W =cr.=12500 = 10,7 em Id
W= 0,1 d'
d=
VlfVW
W 10,7 (f,1=O,T=4,74em
87 _
Uzet cemo motku promjera d = 50 mm , pa je moment otpora W=0,1 d' =0 ,1 · 5' = 12,5cm' Najvece stva rn o naprezanje:
a1-- ~ W 2.4.3.
128000 = 10240 N/cm' 12,5
Nosac na dva oslonca duzine 2,25 m djelimicno je kontinuirano optere cen Fq = 45 kN . Koliki je moment otpora ako a id = 8000 N/cm' (sl. 108)?
Rjesenje: Poprecna sila u bilo kojem presjeku kominuiranog optecenja na udaljenosti X od lijevog oslonca iznosi : F, = FA- q(x - m)
gdje je (q) specificno opterecenje po duznom metru . Tamo gdje poprecna sila jednaka nuli iii gdje mijenja svoj predznak nalazi se opasan presjek, pa postavljamo da je: FA- q(x -m ) =O FA X = - - +m
FA
q
a moment savijanja za taj presjek: Mlma ,
_ -
(x - m)' FA· X - q - -2
• I '·· U nasem s ucaJu Je
q =45000 -[-
= 45000 N/m
88.
Rea keije: F = Fq . b = 45000 . 0,75 = 15000 N A / 2,25 F = Fq . a _ 45000 . 1,5 = 30000 N B / 2,25 Sada odredujemo X: 15000 . X =45000 + 1 = 1,33 m, pa Je
M,ma. = 15000 . 1,33 - 45000 . 0,33'= 15500 Nm = 1550000 Nem 2 Moment otpora:
W =M
,ma
•
a'd
2.4.4.
= 1550000 = 193,75 em' 8000
Dvokraka poluga koja se moze okretati oko osovine 0 opterecena je na jednom kraju silom od 40 kN (sl. 109). Izracunajte :a) visinu h poprecnog kvadratnog presjeka x _ x poluge ako je
a'd = 5000 N/em' ,
b) visinu h poprecnog pravokutnog presjeka y _ y poluge ako je sirina b =
t
h,
e) najvece naprezanje u presjeku 0 = 0
89.
2.4.5 . Drvena konzola pravokutnog presjeka (s l. 110) duga I ::: 0,8 m, kontinuirano je opteretena sa q ::: 30 kN/m ; b : h ::: 5 : 7 ; a rd ::: 1000 N/cm' . Odredite b i h i najvete stvarno naprezanje.
q = 30kN(m
" - -...... . : __ I .. -
1=(),8m. •
sl. 11 0
2.4 .6. Kolika mora biti visina poprecnog presjeka spiralnog pera (sl. 11) ako na nj djeluje sila od 6500 N, a a rd ::: 50000 N/cm' ?
sl. 111
2.4.7. Vagonska osovina kruznog presjeka opteretena je na svakoj strani silom od 70 kN (sl. 112). Koliki mora biti premjer osovine ako je a rd ::: 5000 N/cm'? Nacrtajte momentnu plohu i dijagram poprecnih sila!
90 .
~----~ f500--------~
sl. 112
2.4 .8. Celicna konzola krui:nog poprecnog presjeka duga I = 120 em , opterecena je na kraj u silom od 40 kN ; cr'd = 4000 N/em'. Odrediti promjer konzole u opasanom presjeku i promjere za X, = 200 mm , X, = 300 mm i X, = 600 mm ra cunajuci od slobodnog kraja ko nzole (sl. 113).
,sl. 113
2.4 .9. Greda (sl. 114) duga 4 m opterecena je silom od 50 kN po sredini; cr'd = 10000 N/em'. Na osnovu usvojenog I profila nosac treba pojacati lame lama tako da zadovolji nosenje date sile u opasnom presjeku .
91 .
.'"
sl. 114 Rjesenje: Najveci moment savijanja : Mtm3x = ~ 4
50000 · 4 = 50000 N = 5 000000 Nem 4 m .
Prema tome nosac mora imati moment otpora : W
Mtm3x (Jtd
5.000000 - 500 3 10000 em
Upotrijebimo Ii nosac 122, vidjet cemo iz tabliee da 3 je njegov moment otpora premalen , jer iznosi Wo=278 em . Razlika ;:.,W izmedu potrebnog momenta c:>tpora (W) i momenta otpra (Wo), koji smo upotrijebili , moramo nadoknaditi lamelama kojima cemo nosac pojacati s obje strane opasnog presjeka : Stoga je : ;:"W=W-Wo
;:.,W = 500 - 278 = 222 em
3
Debljina nosaca 122 je prema tabliei (na kraju Zbirke) t = 1,22 em, sirina b = 9,8 em, a visina h = 22 em. Mi cemo uzeti jedan par lamela debelih S = 1,2 em i sirokih b = 10 em, pa je njihov moment otpora :
W L = b . s . h = 10 . 1,2 . 22 = 264 em 3 a ukupni moment otpora poprecnog presjeka nosaca s lamelama je: Wx = 278 + 264 = 542 em
92.
3
Duzin u lamela (\,) izracunat cemo ovako : nosac bez lamela moze biti opterecen momentom savijanja:
Ako je X udaljen ost presjeka , koji je pojacan lamelama, do oslonea i ako u tom podrucju nema sila , onda je :
Me = FA· X =We· a'd X - We · a 'd FA
, a duzina lamela (A)
A =/- 2X U nasem slucaju reakcija FA= 25000 N, We = 278 em' a 'd = 10000 N/em' : pa je:
X =278 · 10000 111,2 em 25000 A =4-2 . 1,112=1 ,8m Srafirana povrsina momentne plohe na sliei oznacava moment savijanja koj i nosac bez lamale ne moze izdrZati. 2.4.10. Ko nzola (sl 115) duga 3m opterecena je na kraju silom od 40 kN, a id = 10000 N/em'. Poprecni presjek nosaca je 134. Nosac treba pojacati parom lamela sirokih b = 14 em i debelih s = 1 em . Odrediti duzinu lamela!
F=40kN
J34
sl. 115 Rjesenje: Iz tabliee profilnih nosaca naci cemo za 134 da je
We = 923 em'. Najveci moment savijanja Mfm... = F . / = 40000 . 3 = = 120000 Nm = 12 . 10' Nem , pa nosac mora imati moment otpora W otpora je:
121·0~ 0'
= 1200 em' . Razlika momenta
!1w = W - We = 1200 - 923 = 277 em' 93.
Moment otpora jednog para lamela je : WL = b . s . h = 14 . 1 . 34 = 476 em' a ukupni moment otpora je:
Wx = 923 + 476 = 1399 em'
x - Wo· cr -
F
ld
-
923 . 10000 40000
231
em
Duzina lamela:
A= I - X = 300 - 231 2.5.
= 69 em
Staticki neodredeni nosaci
2.5.1 . Odrediti reakcije i reakeioni moment konzole s jednolikim opterecenjem i jednim pomicnim osloneem (sl. 116) ako je duzina konzole I = 3 m; q = 200 kN/m . Odredi dimenzije 2 poprecnog presjeka koji je kvadrat, a cr,. = 10000 N/em , Rjesenje:
~
qN/m
8) t11rdlmIWIIIIII~llllllijllllllllllll~ _ _ {
bJ
, ~
·A
cJ
-1
I~=&
: :IIIIIIIIIIIIIIIIIJIIJIIIIIIIIIIIIII!llIIIIIIIIIIIllW
dJ
~
sl. 116
3 .l =_3_200 ·3=1 800=225kN Fy = F B =8 q 8 8
5 5 3000 =-200 · 3 = - - = 375 kN FA =-q·1 8 · 8 8
94.
-----
----------
Reakeioni moment: M = __3_ q . /' = - _1-200 - 3' = - 225 kNm
8
A
W=~ 6
8
225· 10' 10'
2250 em'
a
=~
=1 6 . 2250 = -Y 13500 =
a
= 24 em
2.5.2. RIJeSite nosac na tri oslonca (sl 117) kontinuirano optereeen ako Je / =6 m, q =4 kN/m Naertajte momentnu plohu i dijagram poprecnih sila!
sl. 117
Rjesenje ' FB = - } q . I =
+.
4 . 6 = 15 kN
3 3 FA= Fe = 16 q ./ = 16- 4 . 6 = 4,5 kN
95.
U dijagramu momenta, momentna ploha omedena paralelom predstavlja kontinuirano opterecenje , a momentna ploha omedena trokutom predstavlja momente od reakeije Fs' Razlika ovih momenata daje moment u tacki B. 5 ~ , Me =32 ' ql' ql' =32 = 4~26
+
Me = 4,5 kNm 2.6.
Uvijanje· t orzija
2.6.1. Izracunaj precnik vratila kruznog presjeka koji prenosi snagu P = 184 kW pri broju obrtaja n = 125 °/min ako je 'I'd = 7 kN/em ' . Rjesenje : Precnik vratila odredujemo po obraseu: 3
d = 1 72 \1 955 · P = 1 72 , ~ n· 'I'd '
3,-----
955 · 184 125 · 7
d=10,08em
2.6.2. Koliki je precnik vratila elektromotora od 5 kW koje se obrce sa n = 1500 °/min? Dozvoljeno naprezanje na torziju je 'I'd = 3,5 kN/em' . Rjesenje : Mt = 955
~
= 95515500
Mt = 3,184 kNem Kako je 'I'd =
=~= 3,184
W o
d=
~'o 'I'd
3,5
= 0 91 em 3 '
3W, ~3 Wo = 0,2
0,91 = 1 65 em 0,2 '
96.
2.6.3. Ko liki promjer mora imati okrugla motka od Ijevanog ze ljeza koja je opterecena momentom torzije od 8000 Nm i koliki je kut zakretanja , ako je motka duga 12 m, a 1:" =6000 N/em', G = 83 · 10' N/em' ? Rjesenje :
d=
11 ~ = 11 5 . 8 .1 0' I "C" I 6 · 10'
= 8,7 em = 90 mm
Polarni moment inereije: I, = 0,1 d' = 0,1 . 9' = 656 em' Kut zakretanja:
-ro =
1~o
.
GM'.' 11 =
,
I"
1~o I"
. 800000 · 1200 8300000 . 656
2.6.4. Dimenzionisati vratilo kruznog prstenastog poprecnog presjeka sa 'f' = dID 1/3 ako je P 500 kW pri n 180 a/min i
=
"C"
=
=
= 2400 N/em'.
2.6.5. Izracunati najveci tangencijalni napon i ugao uvijanja kod vratila duzine L 5,m i precnika d = 90 mm , koje prenosi snagu P = 35 kW pri n = 200 a/min .
=
2.6.6. Odredi vanjski precnik celicnog vratila kruznog prstenastog presjeka koje se prenosi snagu od 53 kW pri n = 120 a/min , ako je
'f' =0,666!
2 .6.7. Na vratilu je smjesteno zupcasto kolo promjera 1,2 m na cijem obodu djeluje sila od 20 kN. Vratilo ima promjer 10 em, a dugo je 5m. Odredite naprezanje u vratilu i kut zakretanja ako je G = 83 · 10' N/em'.
97.
2.7 .
lzvijanje
2.7.1. Kolika je vitkost cilindricnog stapa promjera d kome je duzina jednaka dvostrukom promjeru (51. 118)? >
1
'"
-
-
-
1=2d 51. 118 Rjesenje: Presjek: d'1(
s=T em' Moment inereije:
1m"
d'1(
=I, =64' em
,
Radijus inercije:
.I min = lf1:'" ~ S =
d'1( ·4 64 d' 1(
Vitkost stapa:
A=_I = 2d . 4 = 8 i
d
2.7.2. Treba dimenzionisati stap kruznog presjeka, zglobno vezan na oba kraja, duiine I 4 m i opterecen silom F 100 kN.
=
=
E = 2,1 ·1 0' kN/em', a V = 5. Rjesenje: Iz Ojlerovog obrasea slijedi:
I
=LP= 10010·2,1·10 · 160000 ~ 5 = 381 1(·E
98.
em'
Kako je
d
1=
~d' = 381
em'
, to je
=~ 381n. 64 =7'02 em
Usvajamo : d = 7,5 em ;=
Poluprecnik inereije:
"" =_1 =
Vitkos!:
i
H=~ ~8\.;, -
2,7 em
400 = 148 2,7
Posto je "" > 100, to je primjena Ojlerovog obras'ea moguca .
2.7.3. Drveni stap (sl. 119) kvadratnog presjeka sa stranieama (a), dug je I 6 m, opterecen je s F 100 kN . Izracunajte 10 dimenzije stupa ako je E = 10 kN/m' (10' N/em'), a koe-
=
=
fieijent sigurnosti
v = 7.
sl. 119 Rjesenje: Ovo je drugi slucaj opterecenja pa je nosivost stupa: F = ~=
v
n' . E . I_ 4·
V·
I' 4 . 7 . 36 . 100000 10 . 10 10
ImIn
4 · V · I' · F =-'--',--'---'-n .E
Imln
=1008 · 10 .am' =100800 em' 99.
a'
I
mJn
= - = 100800 12
a=
~ 100800 . 12
a
=33 em
Rad ijus inereije:
. _1n:;;;- _lrT _11a' _1133'
tmin - rS-~12a ' -~12 - ~ T2
i m1n
=9,5 em
Vitkost stapa :
A = _I = i
600 = 63 9,5
Buduci da je vitkost manja od 100, moramo primjeniti Tetmajerovu formulu : a k = (293 - 1,94 a
k
A)· 105 N/m'
= (293 - 1,94 ' 63) . 105 N/m'
a k = 171 . 105 N/m' = 1710 N/em' Kako je dopusteno opterecenje: F dop
=~= v
s ·a
v
K
= a'· a K =167kN>100kN V
vece od zadanog, to je stup dobra dimenzioniran. 2.7.4.
Drveni stup dug 2 m ucvrscen je u zglobovima na oba kraja . Poprecni presjek stupa je pravokutni okvir (sl. 120) presjeka 180 x 60 mm i 120 x 50 mm; E = 1,15'10'0 N/m' (11 , 5 . 105 N/em' ). Kolika je kriticna sila po Ojleru i po Tetmajeru? Rjesenje : Presjek stupa : s
=18 . 6 - 12 . 5 =48 em'
100.
Moment inereije: 18 . 6'
12 · 53
Ix = - 12- - - 1-2 - = 199 em
,
sl. 120 Rad ijus inereije:
i
=1rcmin
~S
=~
199 = 203em' 48 '
Vitkost stupa :
A = _1_ = i
200 = 99 < 100 2, 03
Po Ojleru : 11:' . E . I....
F, -
I'
11:'. 11 ,5 . 10' . 199
= 572 10 N
200'
Po Tetmejeru:
F,
= S . cr,
F, = S (293 -1 ,94 A)' 10' F,
= 48 (293 -1 ,94 · 99) · 10'
F,
= 48480 N
. 10"
(U ovoj formuli za Fk uvrstiti smo (S) u m' , pa je 48 em'
101 .
=48 . 10~ m' )
2.7.5. Stup presjeka I NP, duzine I = 4 m zglobno vezan na oba kraja izlozen izvijanju silom F = 100 kN . Izracunati broj profila ako je /) = 4, a modul elasticnosti 21 . 10' N/em' ! Rjesenje : F · I'·
I mln
V
= n;' . E
100000 . 160000 . 4 10 . 21 . 10'
= 305 em
,
Ovom momentu inereije odgovara I NP 26 sa 1 =365 em' , iy= 2,32 em i S = 53 ,4 em' . Vitkost stapa :
A =_1_ = 400 = 172 > 100 i
2,32
Izbor profila je dobar, jer se nalazimo u elasticnom podrucju , za koje smo primjenili Ojlerov obrazae.
2.7.6 . Kod koje je duzine celicnog stupa kruznog presjeka opterecenje na tlak jednako opterecenju na izvijanje ako je koefieijent sigurnosti v =5? Promjer stupa d = 5 em ; E = 21,5 . 10· N/em',
A~------~--~n----~~t-~ J[
presiek n-n sl. 121
102.
2.7.8. Dimenzionirajte stup od borovine kru i nog presjeka koji je na oba kraja zg lobn o vezan ako je F = 50 kN ; I = 4m ; E = 10· N/cm' ; II = 8 2.7.9. Stup od Ijevanog ieljeza, koji nije ukopan u zemlju (sl. 122) dug 4 m, mora nositi teret od 50 kN . Ko liko mora biti debela stijena stupa presjeka krui nog vije nca kod desetorostrukog osiguranja ako je vanjs ki promjer D = 24 cm , E = 10' N/cm' ?
F=50kN
I
I
,
!
:"'~ d~
:, O=24cm - -' ! " ,LJ.1' .'
sl. 122
2. 8 .
Siozeno naprezanje
2.8.1. Izracunati najvec':e normalne napone u poprecnom presj eku S prizmaticnog stapa datog pra vougaonog poprecnog presjeka (sl. 123), ekscentricno napregnutog silom F = 50 kN , koja je paral elna sa osom stapa, a prolazi kroz tack u poprecnog presj eka: a) N ; b) M ; c) C. Odredite poloi aj neutralne ose i nacrtajte dijagrame normalnog napona za sva tri slu caja l Rjesenje : a) Ako napadna linija sile prolazec':i kroz tacku N, tada c': e naj vec':i normal ni napon biti dui ivica AD i CB, koji imaju vrijednost:
crc. = S
F
( ex, ) =10 50000 ( 1 10 . 10) = 1 +-;, 20 + 100/3 = y
cr cs = 1000 N/cm' F ( e. cr AD = S · 1+T
X)
y
50000 ( 10 . 10 ) = 10 . 20 1 - 100/3 =
cr AD = - 500 N/cm'
103.
sl. 123 Prethodno smo izracunali: ., ly
Iy b' h/12 b' 20' 100 , = S= ~ = 12=12 =Tcm
Na osnovu dobijenih vrijednosti cr CB i crAD nacrtali smo dijagram normalnog napona (sl. 123a). Neutralna osa je paralelna sa osom na odstojanju X· dobijenom obrascem :
., 100/3 10 X =--[-=-"1Q=-T cm .
Iy
b) Ako napadna linija sile prolaze6i kroz tacku M, onda 6e najve6i normalni naponi biti duz ivice AS i CD i ima6e vrijednosti:
cr cr
AB
CD
=
FS
.(1+~)=50000(1+~)=1000N/cm' i'x 10·20 25/3
F. (1 =S
+~) = 50000 (1 - ~) = - 500 N/cm' i'x 10 . 20 25/3 104.
Prethodno smo izracunali: Ix bh' /12 h' 10' 25 ., I x= S=~=12=12=3em Na osnovu dobijenih vrij ed nosti G A. i G CD naertali smo dijagram normalnog napona (sl. 123b). Neutralna osa je paralelna sa osom X i udaljena je od nje za y', koje odredujemo slj edecim obraseem : 25/3 5 c =--:s ="'3 em
. i'x Y= -
e) Ako napadn a linija sile prolazi kroz tacku C, tad a su najveci normalni napon i u tackama CiA:
_ F G, - S
~+ YoY ) · (+ 1 ., -., Iy !x
_50000 ( 10·10 5 · 5) _ , -1(f2o 1 - 100/3 - 25/3 - - 1250 N/em
Polozaj neutralne ose odredujemo njenim dvjema tackama na osama X i y, koje izracunavamo pomocu obrazaea :
. ;'x 25/3 5 Y =- To = - - 5 - =-"'3 em Na osnovu odredenog polozaja neutralne ose i vrijednosti G c i G A naertali smo dijagram napona (sl. 123e). 2.8.2. Izracunati najvece normalne napone u presjeku S kratkog stapa, poprecnog presjeka I NP 50 koji je ekseentricno pritisnut silom F 360 kN koja je paralelna sa osom stapa i prolazi kroz napadnu tacku poprecnog presjeka: a) A; b) B ; e) C. Odrediti polozaj neutralne ose i naertati dijagrame normalnih napona za sva tri slucaja (sI.124).
=
Rjesenje: a) Ako napadna linija sile F prolazi kroz tacku A, tad a ce najveCi normalni napon biti u tackama ivice CK, a najmanji u tackama ivice ED , i imace vrijednost: :
105.
sl. 124
=_~ ' (1+ ~ )=_360000(1+20 '25)=_4600NI
cr CK
I~
S
cr EO =_~ ' (1+ S
180
19,6'
~ )=_ 3600 00(1_20 '25) = 600NI ;'y
180
19., 6'
em
em
'
'
Neutralna osa NO je paralelna sa osom y i udaljena je od nje za :
.
X=-
xi~
o
196' = - 2t)- = - 19,2 em
b) Ako napadna linija sile prolazi kroz tacku S, tada ce najveCi naponi biti u tackama C i E, a najmanji u D i K i imace vrijednosti:
cr =- SF ' (1+ ~ ) = _360000 (1 ;'x 180 EC
cr -
F
OK - - S '
(1+
~)
;'x
=_360000 (1 180
106.
+ 8 . 9,25 ) 3,72'
=_12680 N/em'
_ 8 . 9,25 ) 3,72'
=8640 N/em'
U tablieama smo nasli da je ix =3,72 em Neutra lna Je osa NO, paralelna sa osom X, na razdaljini :
· ;~ 372 2 Y =- -e-= - 8= - 1,73 em e) Ako napadna linija sile F prolazi kroz tacku C, tada ce najveci normalni naponi biti u tackama C i 0 i imace vrij ednosti:
0 0
c
0
=_- SF
(1 + ~ +
=_- SF
(1 + ~ + YoY)
i~ i~
J.ii ) =_360000( 1 + 25 i'x i'x
25 + 9,25 9,25) 19,6' 3,72'
1BO
=}60000(1 1BO
_ 2525 _ 9,259,25) 19,6' 3,72'
=_17560 N/em ' = 13560 N/em '
Polozaj neutralne ose odreden je njenim dvjema tackama na osama x i y, a cije su udaljenosti od koordinatnog pocetka x' i y':
· i' 196' x =- -it =- 25= - 15,6 em ·
i' Yo
Y = - --"-=-
372' ""' -'-=-= - 1' 5 em 9,25
Neutralna osa je NO,. 2.B .3 .
Dimenzionisati konzolu kruznog poprecnog presjeka duzine I, =2 m na cijem slobodnom kraju djeluje ekseentricna sila F = BOOO N sa ekseentritetom I, = 1,2 m ako je 0 1d 10000 N/em' (51. 125).
=
51. 125
107.
Rj esenje :
Izracunamo idealni moment savijanja M, koji pri dimenzion isanju koristimo kao momenat savijanja:
1
M, = 2- (M f
W
r ---
+YM"
1
= ~_ 1732000 _ . , 0" - 10000 - 173,2 em fd
2.8.4.
,-------:-
+ M") =2(BOOO . 2 of Y(BOOO . 2)' + (8000 . 1,2 )'
lId' W = 32
d=
= 17320 Nm
lr.:=~ 173 , 2 . .9~ = 12 eM
Izracunat i liajvtcJ normalne :liipone I' :xesjeku S kuke di?l:lliee, (sl. 126), optc:ecene silom F = 50 kN aka)e d = 10 e'l1, a e = 12 em.
sl. 126
2.B.5. Izracunati najvece normalne napone u presjeku S nosaca I NP 20 ekseentricno opterecenog silom F = 4000 N (sl. 127) ako je e 30 em .
=
2.B.6 . Dimenzionisati drveni nosac AB kvadratnog poprecnog presjeka, ekseentricno opterecen silom F = BOOO (sl. 12B), ako je O"ed = 1000 N/em' . .
108.
2. 8.7. Izracunati najvece napone u presjeku S nosaca sastavljenog od dva profila c::: NP 20 (51. 129), ekseentricno pritisnut silom F =200 kN ako je e =8 em .
/
~_HP 51. 127
51. 128
109.
51. 129
3. KINEMATIKA
P r a v 0 lin i j s k 0
3.1 . Jed n 0 I i k 0
k ret a n j e
3.1.1. Brzi voz za 2 sala i 45 min . prevali pUI od 180 km . Kolika je brzina voza? Rjesenje :
8
=V ' 180
5
V = -1-= 2,75 = 65,4 km/h Da bi dobili brzi nu u m/s poslupicemo na sljedeci nacin: Kako je:
imamo
1 km = 1000 m i 1" = 3600 5, V = 180 . 1000 2, 75 .3600
18,16 m/s
3.1.2. Aulo mobil se krelao dijelom pula od mjesla A do mjesla B brzinom 60 km/h u vreme nu od 3", a zalim je od mjesla B do mjesta C isao brzinom 75 km/h u vre menu 2,5 o. Kolika su raslojanja od A do Bi B do C, koliki je ukupni pUI pres ao? Rj esenje: AB = 8, = V,' I, = 60 · 3 = 180 km BC = 8 , = V, . I, = 75 . 2, 5 = 187,5 km AC = 8 = 8 , + 8 , = 180 + 187, 5 = 367 ,5 km 3.1. 3. Turisla prede pUI do podnozja planine 8 , = 8 km za vrijeme I, = 2 h, a pUI uz planinu 8 , = 6 km za vrijeme I, = 3 h. Kolika je srednja brzina V 5 , na pulu 8 ,? Kolika je V5 , na pulu 8 " a kolika V5 na cijelom pulu? Rjesenje: V 5'
V
5'
= ~= 8 km = 4 km/h I, 2 km
=~=
V = 5
I,
8
I
6 km= 2 km/h
3 km
8 + 8 14 k = -'- -' =---.!!l= 2 8 km/h I , + I, 5 km '
110.
3.1.4. Rendisaljka ima pri radnom hodu brzinu VI = 0,8 mIs , a pri jalovom V, = 2 VI ' Koliko je vremena II polrebno za jedan radni hod i I, za jedan jalov hod pri obradi ploce duzine I = 3m? 3.1.5. Ko liko je vremena polrebno da voz precle pUI s = 80 km slalnom brzinom v = 20 m/s? 3.1 .6. Ova covjeka kren u jedan prema drugom iz lacke A i B meclusobno udaljenih 140 m. Prvi se krece brzinom V1 = 3m/s a drugi brzinom V2 = 4 m/s . Za koje ce se vrijeme sresli i koliki ce : . svaki od njih , prevalili?
1~t:J /J2
3.2. Jednako ubrzano i jednako usporeno pravoli nijsko kretanje 3.2.1 . Zrn o iz puscane eijevi izlazi brzinom V = 700 m/s. Cijev je dugacka 80 em . Koliko je ubrzanje zrna i kako se dugo zrn o krelalo kroz eijev?
Rjesenje : Zrn o se pocelo krelali iz slanja mirovanja , Ij. Vo = 0, pa korislimo obrasee :
1. v = a. I 2.
at' s=2
Iz prve jed nacine: I = jednacinu imamo :
a . (':!"")'
+'
pa uvrslavanjem u drugu
v'
s= __a_=2 2a
_.L_
700' _ 490000 = 306250 I ' a - 2 s - 2 . 0,8 1,6 ms
t=
av
700 =306250= 0,00228 s
111 .
3.2.2 . Voz izlazi sa slanice 5 ubrzanjem a = 0,5 m/s2. Na kojoj udaljenosti od slanice dostiie brzinu od 72 km/h ? Rjesenje : 1000 V(m/s) = V (km/h) · 3600 1000 V = 72 . 3600 = 20 m/s
S obzirom da je Va= 010 je : V
=a · t
s=~ 2
1=~=~=40s a 0,5 _ 0,5.40'_ 400
5 -
2
-
m
3.2 .3. Voz ima pocetnu brzinu Va = 90 km/h i usporenje a = 2 m/s'. Za koliko vremena ce se zaustaviti, i koliko ce biti zaustavni put? Rjesenje: V = Va- a · 1
s=Vt-~ a 2 Kada se voz zaustavi njegova konacna brzina V = 0, te je: Va = a· I t=
( Vo
1000 =90 . 3600 =25 m/s )
~=~= 1255 a 2 '
5 = 25 . 12 5 _ 2 . 12,5'
,
2
5 = 156,25 m 3.2.4. Voz koji se krece brzinom 80 km/h zauslaviti ce se kocenjem na putu od 200 m. Koliko je trajalo kocenje i k01iko je usp0renje?
112.
Rjesenje : 1000 Vo = 80 · 3600 = 22,2 m/s
V=O
V=Vo -a · t=O
vo t=_
Vo =a · t
s _Vo'
-2
a
_ Vo' _ 2V o' -Vo'_ Vo'
2a - ~ -2a
V ' 222' a = 2 Os = 2 . 200 = 1,232 mIs' 22,2 -18 t -- 1,232 s 3.2.5. Koliko je ubrzanje (a) tacke cija je brzina VO = 40 m/s porasla za vrijeme t = 8 s na V = 60 m/s . Koliki je put (S) presla tacka za to vrijeme? 3.2.6. Aulomobil na putu S = 480 m poveca svoju brzinu od Vo = 10 m/s na V = 14 m/s. Koliko je ubrzanje i za koliko je vremena povecana brzina sa Vo na V? 3.2.7.
Tacka se krece pravolinijski sa pocetnom brzinom Vo = 11 m/s i za vrijeme I = 18 s prede puI s = 279 m. Koliko je ubrzanje imala i koliko joj je krajnja brzina?
3.2.8.
Aulomobil smanji brzinu od Vo = 90 km/h na V = 60 km/h na putu s = 20 m. Koliko je bilo usporenje i koliko je vremena Irajalo usporeno kretanje?
3.2.9. Tramvaj vozi brzinom od 36 km/h . Koliko je usporenje ako se kocenjem zauslavi na pulu od 30 m? 3.2.10. Koliko je ubrazanje topovskog zrna koje pri izlazu iz cijevi ima brzinu V = 800 mIs , a duzina cijevi je l = 2m? Koliko se vremena zrno kretalo kroz cijev? 3.2.11 . Izmedu mjesta MiN je razdaljina 20 km . Iz N pode pjesak u smjeru MN brzinom V, = 5 km/h, a iz M u islom smjeru , dva sata kasnije pode biciklista brzinom V, = 15 km/h. Kada ce i gdje biciklista stici pjesaka?
113.
3.3. K r u
zn 0
k ret a n j e
3.3.1. Zamajae poluprecnika r = 30 em obrce se 120 °/min . Kolika je brzina tacke na obodu zamajea? Rjesenje: V - r11: · n_ 0,30'3,14 · 120 - 30 30 - 3,768 m/s
3.3.2. Ko liki broj obrtaja (n) u minuti mora imati lacka krecuci se po kruznoj periferiji poluprecnika r =60 em, da bi imala obodnu brzinu v =2 m/s? 30 v 30 ·2 n = -rn:-= __.=.c:-~_ _ = 31,85 °/s 0,6 '3,14
3.3.3. Zam ajae se pocne obrtati jednako ubrzan o i nakon 5 min. ima 90 c/min . Koliko je obrtaja za maja e nacinio za tih 5 min. i ko liko je ugaono ubrzanje? Rjesenje :
co =~ = 11: . 90 30
30
= 311: rad /s
'p = -a· -I'
2
co = COo + a· CO
a =J!L
= a· t
'p =
l!L . t' _ t_
2
t
= ~ = 311: . 300 = 45011: rad 2 2
Posto jedan obrtaj iznosi 211: radijana , ukupni brej obrtaja je: 'p 450 · 11: . N =~ = 211: = 225 obrtaja.
3.3.4 . Zamajae se obrce jednako ubrzano i povecava broj obrtaja od nO = 100 O/min na n = 120 O/min , za vrijeme 1 = 15 S . Izracunati ugaono ubrzanje!
CO = COo +
a
a ·t
= CO - COp t
114.
TCn
TCno
30 30
TC - 30 ' 15 (n - no)
a
=
a
314 =450(120 - 100)
15
=0,14 rad /s
3.3 .5. Kruzno tocilo polaze6i iz stanja mirovanja i obr6u6i se jednako ubrzano ucini za vrijeme t = 10 S bi'oj obrtaja N = 20 obrtaja . Izracunati ugaono i obimno ubrzanje tacke koja se na lazi na odstojanju R '" 1 ,2 m ad ose okretanja . Koliki je put presla ta cka za to vrijeme? Rjesenje:
i'! obras ca:
o:.t'
N . 2IT = '(J =: -2-
(1.
a
4 IT . 20 =2IT .t'N . 2 =--:;0'=2,51
rad/s' , (ugaono ubrzanje)
=R . a =1,2 . 2,51 =3,02 mIs' , (obimno ubrzanje)
s =~= 3,02·1 00 = 151 m 2
3.36.
.
2
Zamajac koji se kretao ugaonom brzinom CD o = 4IT rad/s zaustavi se za vrijeme t = 5 s. Koliko je bilo ugaono usporenje? Koliki je broj obrtaja N ucin io zamajac za to vrije me? Rjesenje: Krajnja ugaona brzina CD ravna je nuli i na osnovu toga je: CO
=COo - a . tk =0, odakle je
a = COo = 4TC =0 ' 8TC rad/s' 5 tk Ucinjeni broj N obrtaja izracuna6emo pomoc:u srednjeg broja obrtaja n, cija je vrijednost: n - no + n s 2
N-
n .t
_ S_
60
=-1n = -1- . 30 ffio =-1- . 30 . 4 IT =60 0/min 2 2 IT 2 IT 0
-
-
60· ~ 60
.
~= 50brtaJa
115.
3.3.7. Propeler aviona u momentu za ustavljanja motora ima 1200 °/min . Nakon zaustavljanja propeler je nacinio jos 80 obrtaja i stao. Izracunati vrijeme za koje je propeler nacinio 80 obrtaja, ako je njegovo obrtanje bilo jednako usporeno. 3.3.7. Tacka na krugu precnika d =80 mm ima ugaono ubrzanje cx= ~ rad/s' Izracunati koliku ce ugaonu i obimnu brzinu imati poslije vremena t =8 s, ako je pocetna ugaona brzina COo =O. Koliki ce ukupni broj N obrtaja uciniti za to vrijeme? 3.3.8. Vratilo pocinje iz stanja mirovanja da se obrce jednako ubrzano i za prvih 5 sekundi napravi 25 obrtaja . Koliko je ugaono ubrzanje i ugaona brzina nakon tih 5 sekundi? 3.3.9. Zamajac je imao na pocetku ugaonu brzinu 4rt: rad/s. Posto je nacinio 20 obrtaja zamajac je zbog trenja u lezajevima stao. Koliko je njegovo ugaono usporenje?
=
3.3.10. Zamajac za vrije me t =4 s smanji obrtaje od no 160 °/min. na n = 120 °/min . Izracunati velici nu ugaonog usporenja i broj obrtaja N k()je je napravio za to vrijeme. 3.3.1 1. Zamajac precnika d =600 mm se iz slanja mirovanja pocinje obrtali sa konstantnim ugaonim ubrzanjem a =2 rad/s'. Koliko je normalno, tangencijalno i lotalno ubrzanje tacke na obodu zamajca poslije I = 10 s od pocetka obrtanja? Rjesenje:
CO
= a . t =2 . 10 =20 rad/s
an
=0,3 . 20' =120 mIs'
at=r . a =0,3 . 2 =0,6 mIs' Prema tome tolalno ubrzanje je:
a =Ya: + at' =Y120' + 0,6' =
116.
120 mIs'
k ret a n j e
3.4. 0 sci I a tor n 0
3.4.1. Tacka vrsi harmonijsko oseilatorno kretanje ciji je zakon puta dal jednacinom x 8 . cos (2 I) em . Odred ili ampliludu, frekvenciju i period oscilacija.
=
Rjesenje: Ako zadalu jednacinu oseilaeija uporedimo sa jednacinom x
=r cos 2T[ fl, vidjecemo da je amplituda ravn a r = 8 em , a da
je kruzna trekveneija
0)
=2 rad/s.
Period oseilaeija je jednak: 2T[
2T[
T =0) :::2 = 3,14 s Frekvencija oscilacija je:
f - _1___ 1 - - 0 31 8 Hz - T -3,14 - , 3.4.2.
=
Kruzna trekveneija harmonijskih oseilacijaje 0) 161t rad/s, a ampliluda r = 12 em. Kako glasi zakon pula, kolika je frekvencija i period oseilacija? Rjesenje:
x = r cos (0) t) X = 12 . cos (161t I) em Prema jednacini
0)
= 21t t, imamo da je:
0) 161t f = 21t - 21t = 8 Hz
T =_1_=_1_ s f 8 3.4.3. Izracunali kruznu frekveneiju harmonijskih oseilaeija ciji je period
1 T=12,Ss. 3.4.4. Zakon puta harmonijskih oscilaeija tacke je x = 10 . cos (1t . t) em. Kolika je udaljenost x tacke od cenlra oseilovanja u trenutku t
117.
=+
s?
3.5. 5 I 0 zen 0
k ret a n j e
3.5.1. Brod se krec':e brzinom 9 km/h (sl. 130). Kolika je apsolutn a brzina covjeka koji se krec':e po palubi brzinom 1 m/s ako se on krec':e:
a) u praveu i smjeru plovidbe; b) u suprotnom smjeru ; e) upravno na pravae plovidbe?
Rjesenje: oj
sl. 130 1000 Brzina broda je brzina prijen osnog kretanja, tj: Vp = 9 · 3600 = 2,5 m/s a brzina covjeka po palubi je br.::ina relativnog kretanja, tj. V,
= 1 m/s
Apsolutna brzina c':e biti:
a) Va = V, + V p = 1 + 2, 5 = 3,5 mIs , b) Va = V,+ Vp = -1 + 2, 5 = 1,5 mIs , e) Va =VV: + Vp' =V1 ' + 2, 5' = 2,69 m/s.
3.5. 2. Po horizontalnoj podlozi krec':e se klin A (sl. 131 ) nagiba a = 30° brzi nom Vp = 2 m/s . Niz klin klizi tijelo B brzinom V, = 1 m/s . Odrediti apsolutnu brzinu tijela B.
sl. 131
118.
Rjesenje: Va =yV: + Vp' + 2Vr · Vp ' cosU Va =y l ' + 2' + 2 . 1 . 2 . cos 30 Va 3.5.3.
= 2,91
m/s
Kran se krece stalnom brzinom Vp = 1 m/s i podize teret vertikalno navise stalnom brzinom Vr = 0,5 m/s (sI.132). Izracunati velicinu brzinu V kretanje tereta i ugao U· koji ona zaklapa sa vertikalom .
:/,'
r--_ _ _ ,.., D "9----.18
A
sl. 132 Teret vrsi istovremeno dva kretanja sto znaci da ima slozeno kretanje, te je:
Velicinu vektora V mozemo dobiti: V = AD · U = 2 2 em · 0,5 m/s v' 1cm
1 1 m/s '
Pravac brzine V odreden je uglom U · koji ona zaklapa vertikalom : tgU' = ~ = _1_ = 2 ; U'= 63°30' Vr 0,5 3.5.4. Camac ima prema vodi brzinu Vr = 3 mIs, upravnu na tok rijeke cija je brzina V p = 1 m/s. Izracunati: a) velicinu i pravac brzine kretanje camca; b) za koliko ce eamac stici nizvodno ako je sirina rijeke 120 m; c) Koliki je put apsolutnog kretanja camca pri prelasku sa jedne obale na drugu?
119.
3,5,5, Koj im praveem treba da plovi camae koji ima brzinu od motora V, 5 m/s da bi stigao na drugu oba lu upravno na tok rijeke, Siri na rijeke je 150 m, a brzina toka rijeke V p 1 mIs , Kol ika je apsolutna brzina V ca mea i koliko mu je vremena potrebno da prede rijeku?
=
3,5,6,
=
Zee je udaljen od lovea 300 m i bjezi brzi nom V1 = 5 m/s putanjom koja je upravana na to rastojanje , Pod kojim uglom tre ba da puea lovae da bi pogodio zeea ako je brzina zrna V = 500 mIs ,
3.6. Trans latorno i rotaeiono kreta nje krut og tije la 3,6,1. Stap AB (sl. 133) duzine I = 1 m obrce se oko tacke A ugaonom brzinom 0) = 10 rad/s. Odrediti brzinu kraja B stapa i njegovog sredista C,
B vB
VB = AB . 0) = 1' 0) = 1 . 10 = 10 m/s V
'C
c
=AC . 0) = .1.. . 0) ' =0 5 ' 10 = 5 m/s 2 '
Vc UJ
sl. 133 3. 6.2, Pravougaona ploca ABCD (sl. 134) duzine a = 60 em i sirine b =40 em obrce se konstantnom ugaonom brzinom 0) 5 rad/s oko ose koja prolazi kroz tacku A i koja je upravna na ravan ploce, Odrediti brzine tacaka B, C i D ploce.
=
a sl. 134
120,
Rjese nje:
Va =b . CO
=0,4 . 5 =2 m/s
Vc =CO · d
=roYa' + b' =5YO,6' + 0,4' =
Vc = 3,6 m/s Vo =a .
ro =0,6 . 5 =3 m/s
3.6.3. Stap AB duzine I = 80 em , privezan je koneima OA i OB jednake duzine b = 1 m obrce se oko ose koja prolazi kroz tack u 0 i koja je okomita na ravan erteza . Odrediti ugaonu brzin u stapa i brzinu njegovog sred ista C, ako je brzi na tacke A VA=20 m/s (sl. 135). Odgovor:
Vc = 18,5 tn/s
sl. 135
3.6.4.
Stap AB duzine I = 120 em krece se translatorno brzi nom Vc = 10 m/s. U jed nom trenutku stap se pocne okretati oko tacke C koja se nalazi na //2 , ugaonom brzinom CO = 8 rad/s. Odrediti brzinu tacke B stapa u momentu kada stap sa prvobitnim polozajem zaklapa ugao a 30° (sl. 136).
=
B
---------n
8r-:--..;..,......
/0( II I
C,of----
A
I II II
. A - - - _____ -il
121.
sl. 136
Rjesenje : Za tacku B moiemo napisati :
V=Vc+V,f I . CD = 0,6 . 8 = 4,8 m/s v,8c = -Be . CD = "2 Brzi nu VBmoiemo naci prma kosinusnoj teo rem i: V e = YVC' + V BC , + 2VC . V BC . cos U VB = Y 1O' + 4,8' + 2·10·4,8· cos30o = 14,3 m/s 3.6 .5. Kalem poluprecnika R, oko cijeg je srednjeg cilindricnog koaksijalnog dijela , poluprecnika r, obavijen ko nac, kot rlja se bez kl izanja po horizontalnoj ravni kada se kraj konca B pomjera horizontalnom brzinom V o (sl. 137). Odrediti brzinu V kojom se pomjera osa kalema l
__Bo v",
sl. 137 Rjesenje: Sve tacke konca , od A i B, imaju brzinu V o, te prema tome i tacka A kalema ima brzinu Va. Kako je tacka P trenutni pol brzine, brzine tacke A bice:
V,
=Vo =(R - r)CD,
a odavde dobijamo ugaonu brzinu kalema: Vo CO =R _ r Brzinu V ose kalema odredujemo pomocui ugaone brzine CD i rastojanja R tacke 0 do pola P: V V=R · ro=R·_oR-r
122.
3.7 . Ravno kretanje. Kretanje stapa u ravni 3.7.1. Krivaja OA, duzine r, klipnog mehanizma obrce se ugaonom
=
brzinom CD o.' Duzina poluge AB I. Odrediti brzinu klizaca B i ugaonu brzinu CD •• poluge AB, za polozaje, kojima odgevara 'p 0 ° i 'p 90° (sl. 138).
=
=
t..0 _ . _ ~).~ A
r
-
.~L _ _ ~X
16
~
I
A
r
...
r
r~
sl. 138 Rjesenje: Brzina tacke A, ciji je intenzitet V. = r COo. , usmjerena je normalno na pravu OA, a brzina tacke B usmjeren a je duz prave BO. Ovi i dati podaci su dovoljni za odredivanje svih ki nematick ih karakteristika pol uge AB. Pri uglu 'p
=0° normala Bb na pravac Va i normala OB na pravac
V. sijeku se u tacki B. Tacka B je u tom slucaju trenutni pol brzina, a to znaci V. = O. Za taj polozaj je:
V. r CD •• = AB = - , - . COCA Raspored brzina tacaka poluge AB prikazan je na slici. Pri uglu 'p = 90°, brzine V. i VBsu .paralelne i normale na .njih sijeku se u beskonacnosti. Odavde proiziiazi da sve tacke poluge imaju iste brzine , koje su jednake sa V. i da je CO •• = '0 . . 3.7.2. Tocak poluprecnika R kotrlja se po pravolinijskoj sini tako da mu je brzina VC centra C konstanta (sl. 139). Odrediti ubrzanje M tacke, koja se nalazi na njegovom obodu . Rjesenje: S obzirom da je brzina VC konstanta, tacka C je trenutni pol ubrzanja. Trenutni pol brzina nalazi se u tacki P, te je:
Vc CD= PC =
Vc
R
123.
sl. 139 Ka ko je ugaona brzina
0)
nepromjenljiva , ugaono ubrzanje je
a =0, pa se dobija : a tgy = 0)2 =0
,
y =0° ,
Sto znaci da ubrzanja prolaze kroz pol ubrzanja C bez zaokretanja. Na osnovu prethodnog proizilazi:
a M =CM YO)' + 3.7.3.
Stap AB, duzine
a ' =CM
I = 1 m,
.
0)'
= vc' R
krece se tako da mu se krajevi Ai B pomjeraju
duz upravnih pravaca Ox i Oy. Odrediti koordinate Xp i Yp trenutnog pola ubrzanja u trenutku kada je ugao OAB =60° (sl. 140).
y
A
Va
~----------------~B--~ ' ~
sl. 140
124.
3.7.4 . Stap AB, duzine 5 m , oslanja se na ivieu C ispusta i krece se u ravnl erteza tako sto mu donji kraj A klizi po horizonta lnoj ravni , brz "'om VA 4 m/s . Odrediti ugaonu brzinu w i brzinu tacaka B i C stapa, u trenutku kada je ugao 'p 30°, ako je OC 2 m (sl. 141), ito:
=
=
=
a) pomocu plana brzina b) pomocu trenutnog pola brzina
A sl. 141
3.8. M e han i z m i
3.8.1. Koliki je u minutu broj obrtaja vodenog kaisnika pri pr~enosu sa dva kaisnika ako je broj obrtaja vodeceg n, =120 Imin, a poluprecniei vodeceg i vodenog su R, =30 em i R, = 50 em? Koliki je prijenosni odnos? Rjesenje:
. !
n,
R,
50
5
=n, ="'R,= 30 =3"
3.8.2. Prenos se vrsi sa dva para kaisnika ciji su poluprecnici R, = 10 em, R2 = 50 em , R3 = 30 em i R. = 40 em . Koliki je prenosni broj? Koliki ce biti broj obrtaja vodeceg aka vadeni ima n. 180 °/min?
=
Rjesenje:
i
= i, . i,
i,= ~',
=~~ = 5
125.
4 20 i=5 · 3 = 3 Kako je: i =~ , to je broj obrtaja vodeceg kaisnika
n,
. 20 a . n, = I · n, = 3 . 180 = 1200 /mln 3.8.3.
Izracunati minutni broj obrtaja n, vodenog kaisnika, ako su poluprecniei vodeceg i vodenog kaisnika R, = 30 em i R, = 40 em, a minutni broj obrtaja vodeceg kaisnika n, = 100 a/min . Koliki je prenosni broj?
3.8.4. Pogonski kaisnik ima 200 O/min . Prenosni broj i =~ . Koliki je broj obrtaja vodenog kaisnika? 3 3.8.5. Prenos se vrsi sa tri zupcanika, koji imaju brojeve zuba: Z, = 32, Z, =14 i Z, = 8. Koliki je prenosni odnos? Koliki je broj obrtaja vodeceg zupcanika ako vodeni ima n, = 360 a/min? Rjesenje: Za prenosni odnos imamo:
Ovaj odnos mozemo napisati i u obliku :
i=~ n, pa je broj obrtaja vodeceg zupcanika: n, =
i . n3 =
+.
360 = 90 a/min
3.8.6 . Vodeni zupcanik lima 12 a/min , a vodeci IV ima 120 a/min. Koje brojeve zuba treba da imaju zupcaniei ovoga prenosnika pri postojanju posrednog vratila CD (51. 141)? Rjesenje: Prenosni odnos ovog prenosa je: i -~ - 120_ 10 - n, - 12 -
126.
I
n,
A ~
~B
n.
C'-' ,--,
~D
m
II
n" ';::::,F
E'-' ,--, IV sl. 141
Ovaj odnos jednak je proizvodu prenosnlh odnosa i, ii, gdje je:
.
n,
Z, =z,
1.,7, i =~ ,
n,
! =! ,
Z,
= Z.
, paje:
. i, = ~= Z,· Z, = 10 n, z, . Z.
Znaei da brojevi zuba moraju zadovoljiti jednaeinu : Z,· Z, = 10
Z,' Z, 3.8.7. Reduklor brzine, koji sluzi za prenos obrtaja od vratila I na vralilo II, sasloji se od 4 zupeanika, eiji su brojevi zuba Z, = 8, Z, = 40, Z, = 12 i Z, = 60. Odredili prenosni odnos ovog reduklora (sl. 142). Rjesenje:
. . . z, . Z,
1 = I, . I, =
sl. 142 127.
40· 60 Z, . Z, = ~ = 25
4.DINAMIKA
4.1. R a d
snaga
4.1.1. Cilindricni valjak precnika d = 60 cm dovod i u kreta nje covjek koji pritiskuje na rucicu OA, konstant nom silom F = 120N u pravcu AO. Duzina rucice je AO = 1,5 m, a visina tacke A nad horizontalom h = 1,2 m. Odrediti rad koj i se izvrsi kada se valjak prekotrlja za rastojanje s = 5 m (sl. 143). Rjesenje: Kako je sila F usmjerena pod nekim uglom 0. na pravac pomjeranja napad ne tacke 0 sile, to je rad koji izvrsi ta sila jed nak: A = F . s . coso.
h
/
sl. 143 Sa slike vidimo da je: 1
h - yd sinO.
AD
1,2 - 0,3 1,5 = 0,6
Prema tom e je: coso. =Y1 - sin'U = Y1 - 0,6' = 0,8 odnosno: A = 120 . 5 . 0,8 = 480 Nm
4.1.2.
Odrediti rad koji treba izvrsiti da bismo teret tezine G = 20 kN podigli na visinu h = 5m pomjerajuci ga po strmoj hrapavoj ravni koja sa horizontalom zaklapa ugao 0. = 300. Koeficijent trenja je J..I. = 0,5 (sl. 144).
128.
51. 144 Rjesenje: Pri pomjeranju tereta uz ravan vrsi se rad nasuprot jedne komponentne sile teze tereta i rad na savladivanju sile trenja. Duz linije strme ravni djeluju , dakle, dvije sile: G sinai /-lGcosa . Kako su ove sile konstantne , rad je odreden proizvodom iz sile i pomjeranja , tako da je: A = - G · 5 (sin o' + /-lcosa) gdje je
5
=h/sin a. Prema tome je utrosen rad : I A I = G sin ha (sino'
+ /-lcosa)
=G . h (1 + ~lctga)
Kada se uvrste vrijednosti dobijemo: A= 18,7·10' Nm 4.1.3 . Da bi se iskoristio rad vodopada postavljena je turbina ciji je koeficijent korisnog djelovanja 11 =0,8. Omrediti u kilevatima korisnu snagu turbine, aka je protok vodopada u toku svake minute 600 m' vode, koje pada sa visine 6 m. Rjesenje: Tezina jednog kubnog metra vode je 10000 N, a tezina vode koja pad a u JednoJ mlnutl Iznosl: G
=600·10' N
Za jednu minutu izvrsi rad: A
=G . h =600 . 10' . 6 =3600 . 10' Nm
129.
Snagu ra cunamo prema obrascu : P =!:c... = 3600 · 10' = 60 · 10' Nm = 60 · 10' W= 600 kW t 60 s Korisnu snagu teu rb ine dobijemo: P, =
11 . Pu = 0,8 . 600 = 480 kW
4.1.4. Koliki treba da bud e precnik klipa jednocilindricne parne masine pri srednjem pritisku pare na klip p = 40 N/cm' , srednjoj brzini klipa V = 2 mIs , korisnoj snazi masine PK = 50 kW i njenim mehanickom koeficijentu korisnog djelovanja 11 = 0,9? 4.1.5. Vode c': i tocak precnika 0,4 m obrc':e se ugaonom brzinom 0) = 15,7 rad/s i predaje snagu P = 11 kW. Odrediti : 1) Obrtni moment, i 2) Intenzitet sile u kilonjutnima . Rjesenje :
P 11 M=0)=15,7=0,7kNm Intenzitet sile: F
4.1.6.
=~=Q= r 0,2
3 5 kN '
Kotur A dobija obrtanje od vodec':eg kotura B putem kaisa . Vodec':i dio kaisa zategnutje silom T, = 2000 N, a vodeni silom T, 1200 N. Precnik kotura Ajednak je 2r 600 mm . Odrediti u Nm rad koji izvrse date sile za 10 obrtaja kotura A, a takode i snagu koja se prenosi preko kaisa u kW, pri broju obrtaja datog kotura n = 120 a/min (sl. 145).
=
sl. 145
130.
=
Rjesenje: Obrtni moment koji djeluje na kotur A iznosi:
M
=T, . r - T, . r =(T, - T,) r =(2000 - 1200) . 0 ,3 =240 Nm .
Obrtni ugao kotura je 'p
=211: . 10 =62,8 rad ijana.
Rad sile koja djeluje na kotur iznosi: A
=M . 'p =240 . 62,8 =15070 Nm.
Snaga koja se prenosi: P
=M . n = 240· 120 9740
2.9 kW
9740
4.1.7 . Po horizontalnoj pruzi krece se voz tezine 5000 kN . Odrediti snagu koju mora imati lokomotiva, ako se voz krece konstantn om brzinom V = 21 , 6 km/h , a otpor koji se suprostavlja kretanju iznosi 200 N na 10 kN tezine voza. 4.1.8.
Odrediti snag u pumpnog postrojenja koje izbacuje 360 m' vode za cas na visinu H = 30 m. Koeficijent korisnog djelovanja postrojenja je 11 0,75 .
=
4.1. 9. Za podizanje 5 . 10' m' vode na visinu od 3 m sluzi pumpe sa motorom koji razvija snagu od 2 kW. Koliko vremena treba da radi pumpa da bi pomenutu kolicinu vode izbacila na datu visinu , ako je njen koeficijent korisnog djelovanja 11 = O,8? 4.1.1 0. Vratilo predaje snagu P =60 kW. Odrediti broj obrtaja vratila , ako je obrtni momenl na islom M = 1800 Nm.
4.2.
1m puis sile i kolicina kretanja
4.2.1 . Tramvajski vagon se krece po horizontal nom i pravolinijskom kolosjeku brzinom V 36 km/h . Otpor kretanja prolzveden kocenjem iznosi 300 N na 1 kN tezine vagona. Koliko ce se vremena od tren utka pocetka kocenja kretati vagon dok se ne za ustavi?
=
Rjesenje : Pocetna brzina kada je pocelo kocenje je: Vo = 36 km/h = 10 m/s
131.
Otpor izazvan kocenjem , prema uslovima datim u zadatku:
FR=0,3· G Na vagon u pravcu kretanja djeluje samo sila kocenja FR sa smjerom suprotnim njegovom kretanju. Ta sila je konstantna, pa imamo :
~ 9
V
-~ . 9
Vo
=- 0,3 · G · t
Posto je konacna brzina vagona V
=0, imamo:
= - 0' 3G . t , iii' -~ g . VO . t
=~ = 0,3 9
10 = 3,4 5 0,3 ' 9,81
4 .2.2. Tijelo tezine G = 196,2 N krece se pravolinijski po glatkoj horizontalnoj ravn'i brzinom Vo = 0,5 m/s. Odrediti intenzitet i smjer brzine V tijela poslije 3 sekunde od pocetka djelovanja konstantne sile F = 40 N, koja je usmjerena u suprotnu stranu pocetnoj brzini Vo. 4.2.3 . Teretni voz se poceo kretati iz stanja mirovanja i nakon dvije minute dostigao brzinu 57 ,6 km/h. Vucna sila lokomotive iznosi F 1000 kN , a koeficijent trenja je /-L 0,2. Odrediti tezinu voza (51. 146).
=
=
~vvt 51. 146 Rjesenje:
I=K-K" Na voz su za vrijeme t = 120 5 djelovale sile F i F J.I = )J. . G, pa je impuls sile:
I = (F - /-LG) . t
132.
Prirastaj kolicine kretanja je: K - Ko
=mV - mVo =m. V
Prema tome imamo da je: (F - M-G) . t
=~ . V
G _ .,.,--F_·_t.,..:g,,-:-:-
1-1 ' g . t + V 4.2.4.
,a odavde je:
9
1000·120'9,81
02·981120+~ " 3,6
=4680 kN
Iz topa se ispali granata tezine 160 N. Na izlazi iz cijevi granata ima brzinu V = 600 m/s . Ako je duzina eijevi I = 1,5 m odredite: a) vrijeme kretanja granate kroz cijev, b) silu pritiska barutnih gasova u cijevi.
4.2.5. Koliki je momenat kolicine kretanja poslije t = 5 5 materijalne tacke, koja se krece po krugu poluprecnika R = 50 em pod djelovanjem tangeneialne sile F 200 N? Rjesenje :
=
L =M · t
L =F . R . t
= 200 . 0,5 . 5 . 500 Nms
4.2.6. Kolika je tezina G kola koja za vrijeme t = 20 5 dostignu brzinu V 18 km/h Vucnom silom F 3000 N, ako je otpor voznje 1-1
=
4.2.7.
=
=0,008?
Kugliea tezine G, vezana koneem duzine I za nepokretnu tacku A, obrce se oko tacke A sa ugaonom brzinom 0). Kada konae naide na prepreku S, kugliea se pocinje obrtati oko tacke S na odstajanju Odrediti novu ugaonu brzinu 0), u zavisnosti od pocetne ugaone brzine (51. 147).
f>. .
51. 147
133.
l/3.
(Napomena: Poslo su momenli sila koje djeluju na kuglicu u odnosu na osu kroz lacke Ai B okomile na ravan crteza jednake nuli, moment kolicine krela nja se ne mijenja, Ij. LA= Lo).
4.3. Ene r 9 i j a 4.3.1. Odred ili kinelick u energiju lijela koje slobodno pada . lezine G = 50 N. poslije 4 sekunde od pocelka padanJa. Rjese nje:
v =g . Ek = t
, Ie je kinelicka enrgija:
~
. V' = t
~
(g . I)' = t
9~~1
(9 ,81 ' 4)' = 3920 Nm
4.3.2. Odredili ki nelicku energiju lijela granale. G = 10 N, u Irenulku udara u zemlju pri padanju bez pocelne brzine , sa visine od 2000 m. Rjesenje: Odredimo najprije brzinu lijela u Irenulku udara slobodnog pada bez pocelne brzine imamo: V =g .I
•
5
V =~ E =..L k
2
0
zemlju. Iz zakona
=tg · I' , Ieje :
Q . V' 9
= ..L Q
2
9
. 2gs = G . 5
= 10 . 2000 = 20000 Nm
4.3.3. Topovsko zrno lezine 240 N izleli iz usIa lopovske cijevi brzinom 500 m/s . Duzina lopovske cijevi iznosi 2 m. Odredili srednju vrijednosl priliska barulnih gasova na zrno. Rjesenje: E =..L Q k 2 9
. V'
- ..L 240 . 500' = 3.000000 Nm - 2 9.81
Poslo je kinelicka energija jednaka ulrosenom radu imamo: Ek =A=F·s F=
~k = 3.00~000 = 1.500000 N = 1500 kN
134.
4. 3.4. Tijelo duzine G = 80 N slobodno pad a sa visine h = 80 m. Kolika je njegova kolicina kretanja, impuls isle, kineticka energija i potencijalna energija poslije vremena t = 2 s? 4.3.5. Zrno tezine G = 40 N baceno je vertikalno uvis pocetnom brzinom Vo = 500 m/s . Kolika je njegova kolicina kretanja , kineticka energija i potencijalna energija poslije vremena t = 8 s? 4.3.6. Kolika je kineticka enrgija vagona, tezine G := 110 kN , koji se krece brzinom V = 0,8 km/h? 4. 3.7. Lokomotiva tezine G = 1765 kN krece se u trenutku zaustavljanja dovoda pare brzinom Vo = 12 m/s. Odrediti silu otpora ako se lokomotiva zaustavi nakon s = 1880 m.
=
4.3.8. Sila , pokrecuCi tijelo po horizontalnom putu, izvrsi rad A 9600 Nm i pri tome uveca njegovu brzinu od Vo = 4 m/s na V = 6 m/s. Odredi tezinu tijela. 4.4. C e n t r i f u 9 a I n a
4.4.1.
cen t ripetalna
sila
Kamen tezine G = 30 N, ucvrscen za konac duzine L = 1 m, opisuje u vertikalnoj ravni kruznu putanju (sl. 148). Odrediti najmanju ugaonu brzinu kamena pri kOjoj ce se konac prekin uti. Poznato je da se konac kida pod djelovanjem sile od 90 N. Rjesenje :
G
sl. 148 Posmatrajmo najnepovoljniji polozaj kamena, tj. najnizi polozaj u krugu. Na koncu djeluje njegova tezina G i centrifugalna sila Fe. Njima se suprostavlja sila zatezanja u koncu S, tj.:
S
=G + Fe 135.
Da bi konac pukao, mora biti S = 90 N, pa je centrifugalna sila Fe jednaka :
Fe=
S - G = 90 - 30 = 60 N
Posto znamo da je :
Fe= m . [0)2, 0)
= ~ Fe = ~g . Fe = 9,81 ' 60 = m .[ G .I 30 . 1
4 44 rad/s '
4.4.2. Automobil tezine G = 10000 N krece se brzinom V = 10 m/s po konveksnom kolovozu nekog mosta. Poluprecnik krivine kolovoza na sredini mosta iznosi R = 50 m. Odrediti pritisak N automobila na most u trenutku kada prolazi kroz sredinu mosta (51. 149). Rjesenje:
v
51. 149 Reakciju mosta N (koja je ujedno i pritisak automobila na most) jednaka je:
N = G - Fe
v'
G
V'
F =m - = - · e Rg R
N = 10000
(1 - 9 8110'. 50
=
) = 7960 N
20 N, koji visi na konopu duzine I = 1 m, udarem je saopstena brzina u horizontalnom pravcu Vo = 5 m/s. Odrediti brojnu vrijednost zatezne sile S u kanapu neposredno poslije udara.
4.4.3. Teretu tezine G
136.
4.4.4.
Disk tezine G = 200 N obrte se sa n = 300 a/min oko osovine AB duzine L. Teziste diska nalazi se u tacki C, na rastojanju OC = 2 em . Odrediti dinamicke reakcije u lezistima A i B, ako je AO = OB (sl. 150). Rjesenje :
AFR-_ _4-~
t----,li1!!!lB
FeD sl. 150 Dinamicke reakeije u lezistima A i' B bite izazvane zbog djelovanja eentrifugalne sile Fe, koja se moze izracunati prema:
Fc=
Fc
G · R . 1[' . n' 900 . 9 , pa kada uvrstimo vrijednost,
= 200 · 0,02 · 3,14' ·300' 900 . 9,81
= 400 N
4.4.5. Zamajae tezine 5000 N smjesten je na vratilu sa ekseentritetom e = 5 mm . Odstojanja od lezista su a = 20 em , b = 50 em. Odrediti eentrifugalnu silu zamajea ako je n = 300 a/min . Takode odrediti najvete i najmanje vrijednosti ukupnih reakcija u lezistima (sl. 151).
sl. 151
137.
4.5. 0 a I a m b e r
v p r inc i p
0
4.5.1. Tere! !ezine G = 100 N podize se vertikalno navise ubrzanjem a = 5 m/s2 pomocu ko nopca prebacenog preko nepomlcnog ko!ura (51. 152). Odredi!i silu u konopcu. Rjesenje:
51. 152 Na !ere! djeluju sile: !ezina G i reakcija konca S. Ako im jos dodamo inercijalnu silu "Fin koja je pO in!enzi!e!u jednaka m . a, onda mozemo napisati:
iii u skalarnom obliku: G + F in - S = 0
, odakle je :
S = G + F in= G + Q. . a = 100 + J..QQ... . 5 9 9,81 S = 151 N Ako bi se !ere! spus!ao sa is!im ubrzanjem, onda bi sila inercije bila usmjerena vertikalno navise.
U tom slucaju bilo bi: G = S + Fin iii :
S=G_F in=100-~~801'5=49N Ako bi !ere! mirovao na konopcu onda bi S = G = 100 N.
138.
4.5.2. Tijelo tezine G =20 N, vezano za ko nae duzine 1=99,6 em , ciji je drugi kraj nepokretan , opisuje krug na horizontalnom stolu cineci 180 c/min. Odrediti silu koja zateze konopae (sl. 153).
sl. 153 Rjesenje : Na tijelo djeluju sljedece sile: tezina G, otpor podloge N, sila u koneu S, inereijalna sila
r '"' Posto su sile G iN normalne na konae, one nece
utieati na zatezanje konea. Ostaje samo inercijalna sila F i~ koja ima pravae konea , a suprotan smjer normalnom ubrzanju 8;,. F in _ S = 0
Fin =~
g·f
S
4. 5.3.
(~), = 720 30
N
=F in =720 N
Horizon!alna platforma na kojoj lezi tere! G = 100 N, spusta se vertikalno nanize ubrzanjem a = 4 m/s2 . Odrediti pritisak na platformu za vrijeme zajednickog spustanja. (sl. 154) Fin
G
139.
sl. 154
Rjesenje: Na tijelo djeluje tezina G, reakcija platforme N i inercijalna sila Postavimo jednacinu ravnoteie ovih sila: G - N - F,n
N
=0
-rn
, a odavde je :
a =G - F m=G - -G . a = G(1 - - ) =59 2 N 9 g '
4.5.4. Kofa sa vodom , vezana za uie, opisuje krug u verti kalnoj ravni, cineci 30 Dlmin . Kolika treba da je duiina uzeta da se voda ne izlije iz kofe? 4.5.5. Voz tezine G = 3000 kN , prelazeci preko mosta ugiba ga tako da on obrezuje luk poluprecnika R = 2 km . Odrediti pritisak voza na most na njegovoj sredini, ako je brzina voza V = 72 km/h . 4.5.6. U jamu se spusta korpa dizalice tezine G = 2800 N. Za prvih 10 sekundi korpa se spusti 35 metara . Odrediti silu zateza nja u celicnom uzetu na kome visi korpa. 4.5.7. Koji m ubrzanjem treba povuci navise uze 0 koje je objeseno tijelo da bi sila zatezanja u uietu bila dva puta veca od tezine tijela?
4.6. Di n ami k a
r o t ira j u
4.6.1. Izracunati moment inercije
J
ce 9
t ij efa
tankog homogenog stapa tezine
G = 200 N i duzine I = 6 m (sl. 155) : a) za osu Y ; b) za osu Y,; c) za osu y, ,
Y:d I
t-
I t
fY
.~
I
I
....
I sl. 155
.I
Rjesenje: a) Moment inercije za su y, posto ona prolazi kroz srediste stapa, dat je obrascem:
140.
.X
gdje je M - masa, a I - duzina stapa . Zamjenom dobijamo: 1 G I' 1 200 J y =129' =12 9,81
.6
,
=61
N
ms
'
b) Primjenom Stajnerove teoreme - da je moment inereije za bilo koju osu jednak momentu inereije za njoj paralelnu osu koja prolazi kroz eentar sistema, uvecan za polozajni moment inereije:
J Y1 = J yc + d ' M J y1 = J y + (f) ' M , J y1 = ~ MI' + ~ MI' = ~ MI' 12 4 3
J y1 = ~ Q. /' = 245 Nms' 3 9 e) Analog no prethodnom dobijamo:
JY2 =1i MI'
+
(-t)'M =:8 MI'
Jy2 =.l Q/, = 107 Nms' 48 9 . 4.6.2. Odrediti moment inereije homogene tanke kruzne ploce tezine G 100 N i poluprecnika R 2 m, i to: a) za osu Z, koja je normalna na plocu i prolazi kroz eentar: b) za osu Z" koja je paralelna sa Z osom, a udaljeni od nje za R/2 .
=
=
Odgovor:
=20,4 Nms' J Z1 =30,6 Nms'
a) Jz b)
=
4.6.3. Odrediti moment inercije homogenog yaljka poluprecnika R 20 em , duzine I = 60 em , tezine G = 3000 N, za osu Z, koja lezi u izvodnici valjka i osu X, koja prolazi duz precnika osnove. Odgovor:
JZ1 = 18,35 Nms'
J X 1 =39,8 Nms'
141 .
4.6.4. Odrediti moment inereije koeke, strane a = 30 em i tezine G = 981 N, u odnosu na ose simetrije. Odgovor:
4.6.5. Odrediti kineticku energiju diska , precnika 0 = 40 em , tezine G = 20 kN , koj i se obrce oko nepomicne ose sa n = 180 a/min. Rjesenje :
Kako disk vrsi same obrtno kreta nje, njegova kineticka energija je :
1 J ' 1 1 G Ek ="'2 0) =2 2 g
(0 2'~ (nn)' 30 =7200 Nm
4.6.6. Odrediti ki neticku energiju granate 76 - milimetarskog topa u trenutku napustanja eijevi ako je tezina granate G = 65 N, brzina V = 588 m/s i obrce se 180 °/5 . (granatu smatrati homogenim kruznim eilindrom). Rjesenje: Kineticka energija granate sastoji se iz kineticke energije translacije 1-
~
V' i kineticke energije rotaeije: E" =1-J O)'
Pri tome je: CD = 180· 21t rad/s; J =1-
~
. R' ; R =
~ =0, ~76
m
Ukupna kineticka energija granate je : E =-.L Q k
2
9
V' +~ 2
1 -2 G R'O)' = 1.152000 Nm g
4. 6.7. Odrediti kineticku energiju diska poluprecnika 30 em, tezine 100 N, koji se obrce sa 180 a/min oko nepomicne ose , normalne na ravan diska , a na rastojanju e = 15 em od tezista diska. Odgovor:
E, = 122 Nm
142.
4.7.
Dinamika oscilatornog kretanja
4.7.1. Tijelo tezine G = 50 N vrsi harmonijske oscilacije po zakonu X = 2 cos (1t . t). Odrediti zakon promjene oscilatorne sile koja izaziva te oscilacije, kao i njenu maksimalnu i minimalnu vrijednost. Rjesenje: F=m · ax
F = - m · CO'· X U nasem slucaju CO
=1t, pa je :
F = - m . 1t' . 2 cos (7tt) F = - Q. 1t' . 2 cos (7tt)
9
F =- ~ . 1t' . 2 cos (7tt) 9,81
F = - 100 cos (7tt) N Uzeli smo da je 1t' = 9,81 Kako vidimo oscilatorna sila se takode mijenja po zakonu kosinusa, sa istom ugaonom brzinom CO , ali ima suprotan predznak od elongacije X. Najvecu i najmanju vrijednost oscilatorne sile naci cemo po:
Fmax
='! mCO' . R
Fmax -+2Q.. - - 9,81 · 1t' · 2-+100N -4.7.2. Koliki je period oscilacija i ugaone frekvencije, ako tijelo tezine G = 20 N vrsi harmonijske oscilacije usljed djelovanja restitucione sile opruge, koja ima krutost C =5 N/cm? Odgovor:
T = 0,4 s
CO = 17,75 rad/s
143.
TABL ICA XV NORMALNI FRO FILl - a) Kutno' ,zelj ezo je dnakih krakova
-h= - 'momenl - -_.
1 m' = 101 em' 1 em' = 10-3 m'
(,;=
1 m J = 10 ~ em J 1 em J = 10- 6 m l
L
Dimenzije --
1'- --1- --I--I,i:
b,b·d
I
b
I'
mm
d
II
mm
r mm
: ~-Tr' I ;T"I 20· 20·" 2,.';·25·3 2,.';. 2,.'; . 4 2S. 25· 5
r.1,,\ 20
II II
30· 30 · 3
.I:
I
4
4 ,5 3
40· 40· " 40· 40· 5 40· 40· 6
.\: :: k
Ii ;
40
45· 45· 5 45· 45· 7
45
50· 60· 50 · 50·
5 6 7 9
50
55· 55 · 6 55· 55 · 8 55· 55 · 10
55
60· 50, 6 60 · 60 · 8 60· 60·10
69
50· 50· 50 · 50·
46 4 5 6
5 7 5 6 7 9
6 8 10
°'82 1,05 1 0,64 0,82 1, 0,48 0,51 1 0,15 0,19
2
l,4S
2
1,12
15 °' 0,43 0, 19 1 0,42
0,39 0,48
0,28 0,35
0.59 O,SB
1,42 1,85 2,26
1,12 I,4S 1,77
0,73 0,76 0,80
0,79 1,01 1,18
0,45 0,58 0,69
2,5
1,74 2,27 2,78
1,36 1,78 2,18
0,84 0,89 0,92
1,41 1,81 2,16
0,65 0,86 0,04
0,75 0,74 0,72 0,90 ' 0,89 0,88
2,5
2,67 3,87
2,10 3,04
'1,00 ~,08
2,96 4,14
1,18 1,71
1,04
6
3,08 3,79 4,48
2,42 2,97 3,52
1,12 4,48 16 5 1' 1 6,33 '43 1,20
2,'26
1,21 1,20 1,19
7
3,5
4,30 5,86
3,38 4,60
1,28 7,83 1,36 10,4
2,43 3,31
1,35 : 1,33 .
7
3,5
4,80 5,69 6,56 8,24
3,77 4,47 5,15 6,47
1,40 1,45 1,49 1,56'
11,0 12,8 14,6 17,9
3,05 3,61 4,15 5,20
I,SI 1,50 1,46 1,47
6,3'1
17,3
4
8,23 10,1
4,95 6,46 7,90
1,S6
8
1,64 22,1 1,72 26,3
4,40 5,72 6,97
1,66 1,64 1,62
4
6,91 9,03 11,1
5,42 7,09 8,69
1,69 22,8 1,77 29,1 1,85 34,9
5,29 6,88 8,41
1,82 1,80 1,78
3,5
I
!I
6 8 10
I
_I
0,60 0,64
1 ::: : : . : 35·35·6
1 :3-
Za os
0,88 1, 14
3,5
I
I
2
3
52
!
.\ h1-- ~-:-( ~~~y_J 1_1 ~~-,-~cm=S='=?=k=~,m Lc~L ~. __;:=~_~.;~=~ ~ ~
5
1¥ po!l¥T1ier inerc/ie
~-
II ~
inerclje
. W;z=momenl oipora
144.
1,56 1,91
i
l
1,05
iI
! I I
I- ;i ,1----------- - ~:i ';
I i
I iI !
L
Dimenzijc
~
I
b ·b ·d
Ii
b
1£1 --= -,I
~ 'g, ~ ;g ;~ S
r,
d
mm
;~ '
mm
em'
kp/m
em
z. x
os
= Y ,- y
I.
W.
em'
ctn'
I
i.
~: i~: i -~I'!I':T~i T-9-r:-1=:~~0.:,. "1,-~:-iD1:-~0=~='==!~!:~i+'=1=~;=~4=8F=~=:~=~ 1
70 · 70· 70 ·
70· 7 70· 9 70· 11
;~: 15~~ ·: 10~
75 75 · 80· 80 · 80·
80 · 90 ·
'I
I 75
75· 12 SO ·
8
80· 10 80· 12 80 · 14 90 · 9
;~ : ~g: 90 · 100 · 100 · 100. 100 · 110 · 110· 110·
70
g 90 - 16
100· 100· 100 100 · 110110· 110·
10 12 14 20 10 12 14
gg: g~: g 130130130· 140140· 140· ·
12 14 16 13 15 11
80
II
~!
90
I[
I I 100 : 110
10
I
9,40 4,5 : 11,9 i 14,3 5
I'
10
0 I
I :j
16 10 12 14 20 10 J2 14
f
5
I'
11
5,5 '
I'
II 12
6
I
i
:~:1
7'3~ ' ~,97 2,05
9,34 11,2
2,13
~:b~1 ~:~ 1
14,1 11,1 2,21 .16,7 1 13,1 2,29 12,3 9,66 2,26 15, 1 11,9 2,34 )7,9 14,1 2,41 20,6 16, 1 2,4S 15,5 12,2 2,54
~~:~ 26,4 19,2 22,7 26.2 36,2 /.1,2 25,1 29,0
:;:i' 2,SI ~:~~
15
7,5
16 / IS
16
8
15 17 19
17
S,5
46,1 51,8 57, 5
36,2 40,7 45,1
4,49 4,57 4,65
180
16 IS 20
I's
9
55,4 6 1,9 68,4
43,5 48,6 53,7
200
16 18 20
IS
9
61,8 69,1 76,4
48,5 54,3 59,9
! ' 140
!
14
!1 160
I
145_
30,1 2,66 24,7 3,04 29,2 3,02 33,S 3,00 45,8 2,93 30,1 3,36 35,7 3,34 41,0 3,32 39,5 . 3,36 46,0 3,64 52,5 3,63 67,7 3,57
3,64 472 3,72 540 3,80 605 3,92 · 638 4,00. 723 4,OS 805 4,21 845 4,29 949 4,36 1050
7
12 14 16 13 15 17
186 · 177 207 235 311 239 280 319 341 394 446 562
m'~~:~
23,6 27,6 30,9 27,5 31,4 35,3 31,6 35,9 40,1
14
130
II
15,8 12,6 15,5 18,2 20,8 18,0
30,0 34,7 39,3 35,0 40,0 45,0 40,3 45,7 51,0
6,5
g
15 20
~~:;
2,12 2,10 2,08
;~:~ 13,5 1~:g7 2,25 ~:~
33,9 44,2
13
120
!.
8,43 10,6 12,7
71,4 82,4 72,3 87,5 102 115 116
2,S2 2,90 2,98 3,20· 3,07 3,15 3,21 3,36 3,44 3,51 3,70
6
f
i
42,4 52,6 61,8
20,7 15,1 17,8 20,6 28,4 15,6 19,7 22,8 19,9 23,3 26,6 34,7
12
ISO - 160 - 15 160 · 160 - 17 160 · 160 - 19
16 18 20 16 18 20
~!
10 12
14 9
150
180 180· 180 200 · 200200·
I
12
,
150· ISO· 14 150 - 150- 16 150 · 150- 18
180· 180 · 180 · 200 · 200 200 ·
I'
9
1
8
120. 120- 15 120 · 120· 20 130· 130· 130 · 140 · 140140 ·
7 9 11
2,22 2,42 2,41 2,39 2,36 2,74
~:~~ '
50,4 58,2 65,8 63,3 72,3 81,2 78,2 88,7 99,31 95,6 108 118
3,97 3,94 3,92 4,27 4,25 4,23 4,58 4,56 4 ,54 4,88 4,86 4,84
5,02 1680 5,10 1870 5,18 2040
130 145 160
5,51 5,49 5,47
5,52 2340 5,60 2600 ~,68 2850
162 181 199
6,15 6,13 6,11
1100 1230 1350
NORMALNt
!
PROFILI
y
1 m' = lOSem' 1 em' =~ 10-0 m' 1 m ' = 10~em' 1 em' = 10- 6 m'
1>~260mm
1>;!24umm
b :0.41>, fOmm b=Q31>.J5mm d'Q03h-tfjmm d=Q0361> r,...O,6d
r=d
,
'- Dj;"e~zij;
I
~s
!,
-~
o
1 "
I I mm ~T'" 8 10 12
14 16 18 20
:i
I
b
;
d
~.>I
"
i' ~ Co
I 'r
l
42 ,' },91: 5,9 50 4,5 6,8 120 58 1 5,11 7,7 :1 140 , 66 / 5,7 ! 8,6 !I 160 I 74 I 6,3 9,51 ~ 180 i 82 6,9 i 10,4 ~ 200 : 90 1 7,5 1 11,3
i
i
i
I'; 220 1 98 ! 8,1 12,2 1 24 1 240 , 106 : 8,7 13,1 ' 26 1 228600 1 111193 : 9.4 14,1 1 I 10,1 15,2 i 28 30 J 300 125 10,8 162
22
! 320
34 36 38 40
; 340 . 360 I 380 400
I
, !
!
42' /. 425 1 163 15,3 23,0 45 450 1 170 • 16,2 24,3 471/147511781' 17,1 25,6 50 . 500 1185 18,0 27,0 55 550 200 119,0 30,0 60 600 215 21,6 32,4
I
r, 1 nun
S,
, 3,9 2,3 7, 58 4,5 2,7 10, 6 5,1 3,1 14,2 5,7 3,4 18, 3 6,3 3,8 22, 8 6,9 4,1 27, 9 7,5 ' 4,5 33, 5 8,1 8,7 /),4 10,1 10,8 '
131 ll,5 17,3 1 JI,5 137 12,2 18,3 i 12,2 I 143 1 13,0 19,5 1 13,0 I 149 ' ,7 20,S 1 13,7 1 155 113 , 14,4 21,6 14,4 'I'
["
>
,:~:J,~.;:"II
80
32
al
1
'I 100
~
..
..
~
77, 8 86, 8 97, 1 107 118
15, 3 9,2 132 16,2 9,7 147 17,1 10,3 163 18,0 10,8 180 19,0 11,9 213 21,6 13,0 254
-
_
J~_,
--- -----
f-.o
I kP~m 5,95 8,32 11,2 . 14,4 17,9 21,9 26,3
4,9 39, 6 31,1 5,2 1 46, 1 ' 36,2 5,6 53, 4 41,9 6,1 61, 1 48,0 6,5 69, 1 54,2 6,9 7,3 7,8 8,2 8,6
.-_._------_._--, .-. .....- - - -.OS . .._-- -- -- --_ZA .. _-- . - - - - -- - _____ ___ - - ... . . x -x
61,1 68,1 76,2 84,0 92,6 104 115 128 141 167 199
146.
W.
I. em'
--
em'
i.
..
--e",
I. em'
I
--
I
19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214
3060 4250 5740 7590 9800
278 354 442 542 653
12510 15700 19610 '24010 29210
782 923 1090 1260 1460
12,7 . 13,5 14;2 15,0 15,7
36970 45850 56480 68140 99180 139000
1740 2040 2380 2150 3610 4630
16,7 17,7 18,6 19,6 21,6 23,4
I
555 674 818 975 1160
1440 1730 2090 2480 3490 4670
i. em
."=
3,00 4,88 7,41 10,7 14,8, 19,8 26,0
0,91 1,07 1,23 ' 1,40 1,55 1,71 1,87
33,1 41,7 51,0 61,,2 72,2
2,02 2,20 2,32 2,45 2,56
84,7 98,4 114 131 149
2,67 2,80 2,90 . 3,02 3,13
. 6, 29 1 12,2 21,5 35,2 54,7 6,401 7,20 81,3 ll7 8,00\ 8,80 162 9,59 221 10,4 288 11,1 364 451 11,9 3,20 4,01 4,81 5,61
77,8 171 328 573 935 1450 2140
w. em'
1176 203 235 268 349 434
3,30 3,43 3,60 3,12 4,02 4,30
·: ORMAl.:,r
C PROFILI
'II Za [J do ukl/lXivo [.30
1 m· = 10 8 em' 1 em 4 = 10- 1 m 4 1 m l ~= 106 em3 1 em 3 = 10-<1 m 3
,-" 1 1
-- ', ---' ._--- -_.-.--_..
I!
~ !i
.,
b=Q2511-25mm
r =1
,-!
._- -. ---..-- !
D lmcnzij c
I
I
I
g :1
I
;~t
~~
~J~_~ :.I_~m! :: I~~ ~, " II -33 I,
3 Ii 30 4 ' 40 5 i' 50 61 65
/,i!
364 605 925 13 50 1910
60,7 86,4 116 150 191
37,4 42,3 48,3 53,3 58,8
29,4 33,2 37,9 41.8 46,2
2,14 2,23 2,36 2,53 2,70
2690 3600 4820 6280 8030
245 300 371 448 5-35
114 17,5! 17,5 8,75 14 16 : 16 1 8 13,34 16 : 16 111,2 14 1 18: 18
75,8 77,3 79,7 91,5
59,5 60,6 62,6 71,8
2,60 2,40 2,35 2,65
10870 12840 15730 20350 1
679 . 734 826 1020
12
;, 120 I' 140 ~ 160 !I 180 :1 200
55 60 65 70 75
7 7 7,5 8 8,5
I
4,261-';,08 \ 5,331 7,05 1,50 6,68 · 10,6 1,92 9,12 17,7 2,52 14,1 26,5 3,10 19,4 41,2 .3,91 29,3
1,60 1,75 1,84 1,92 2,01
6 6
! 20
6,39 14,1 26,4 57,5 106 206
13,4 16,0 18,8 22,0 25,3
45 50
1 22 .; 220 80 9 t 24240 85 1 9,5 26 ji 2 60 90 10 28 !i 280 95 10 30 ;i 300 100 1 10
8
! I
8
4
8,51 8,51 4,5
I
1\
4,62 43,2 5,45 62,7 6,21 85,3 6,95 114 7,70 148
!i 320
100 100 p8 l 102 ~ 400 110
I: 350
19
~I
2,68 1 0,99 3,08 1,04 3,75 1 1, 13 5,07 1,25 1 6,36 1,331 1 8,49 1,41 11,1 1,59 14,8 1,75 18,3 1.89 22,4 1 2,02 27 .0 12,14
I
8,48 9,22 9,99 10,9 ,11,7
197 248 317 399 495
112,1 ,12,9 114,1 14,9
597 570 613 846
I:
32 35 38 40
.
~:~'~~:-j~; :~ I
17,0 20,4 24,0 28,0 32,2
1 100
16
kp/m
9 9 4,5 1 10 10 5 1O,5 j 10.5\ 5,5 11 , 11 5,5 11,5 : 11,5 6 1 12,5; 12,5: 6, 5 13 ~ 13 6,5 14 . 14 7 15 , 15 7,5 16 t. 16 8
!
7 7\ 3,5 7 , 7 3,5 7 7 3,5 I 7,5 i 7,51 4
!~ ;,5 1
l~
~
G
1,31 1,33 1,37 1,42 1,45 1,55
il 80
I 18
I
.S >N
5,44 4,27 6,21 4,87 7,12 5,59 9,03 7,09 8,64 11,0 \3,5 10,6
3S
5 5
8 10
14
I
~--====----=-~-~~ ~;------oJ
I
33,6 , 2,30. 39,1:5 12,42 47,7 i 2.56 57,2 2,74 67,8 2,90
i
~,8'
80,6 75,0 I' 2,72 178,t1 2,78 102 '3,04
~ ---'-~--'-- -'-----'---"----'-----. -----.- -- .--.-:.--~--'----~-..!-.----'
147.
Literatura:
1. N. Pesto, M. Kremo: Tehnicka mehanika, IP "SVJETLOST", Sarajevo, 1975. 2. A. Rustenpasic: Tehnicka mehanika, "SVJETLOST", Sarajevo , 1981 . 3. V. Mitrovic : Mehanika, kinematika i dinamika, Zavod za izdavanje udzbenika , Beograd, 1964. 4. V. Mitrovic: Repetitorij mehanike , Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo, 1966. 5. V. Mitrovic: Mehanika - statika , Zavod za udzbenike i nastavna sredstva Srbije, Beograd , 1959. 6. J. Maksimovic: Statika , Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo, 1969. 7. V. Mitrovic: Mehanika - otpornost materijala , Zavod za izdavanje udzbenika Srbije, Beograd, 1964. 8. V. Kruz: Nauka
0
cvrstoci, skolska knjiga, Zagreb, 1966.
/ /
/
/
/
I'
/
../l.
L~
_
---
~-
