2. SLAGANJE SILA Sile se nazivaju sučeljnim ako se njihovi pravci sijeku u jednoj tački. Sile mogu biti iste napadne linije i tada tada se one zovu zovu kolinearne sile. A ako su raznih pravaca tada se zovu kose sile. GRAFIČKO ODREĐIVANJE REZULTANTE a) Dvije kolinearn kolinearne e sile istog intenzitet intenziteta a a suprotni suprotnih h smjerova smjerova
Uslov ravnoteže tijela je b) Dvije kolinearn kolinearne e sile različitog različitog intenziteta intenziteta i suprotnih suprotnih smjerova smjerova
Ovo tijelo će se kretati jednakoubrzanim kretanjem u smjeru veće sile. Dejstvo sila možemo zamjeniti dejstvom sile . Silu nazivamo rezultantom sila
. A sile
nazivamo komponentama
rezultante . Veličina (intenzitet) rezultante u ovom slučaju jednaka je razlici veličina komponenti .
Grafičkom metodom rezlutantu način.
sila
možemo dobiti na sljedeći
Prvo Prvo oda odabe bere remo mo raz razmj mjer eru u za sil silu u . Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri. Nacrtamo prvo silu Početak sile
. Iz kraja te sile, tačka B' nadovezujemo silu
, tačka A' spajamo sa krajem sile
.
, tačka D'. Na taj
način smo dobili reziltantu sila . Veličinu (intenzitet) sile računamo tako da duž A'D'pomnožimo sa razmjerom .
Smjer rezultante
uvijek je okrenut u smjer veće komponente. U ovom
slučaju to je sila . Ovdje važi komutativni zakon tj. da red slaganja (nadovezivanja) sila n utiče na rezultat. PRIMJER 1: Na materijalnu tačku A dijeluju kolinearne sile suprotnih smjerova. Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitičkom metodom (računska) i b) Grafičkom metodom.
,
Grafičkom metodom rezlutantu način.
sila
možemo dobiti na sljedeći
Prvo Prvo oda odabe bere remo mo raz razmj mjer eru u za sil silu u . Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri. Nacrtamo prvo silu Početak sile
. Iz kraja te sile, tačka B' nadovezujemo silu
, tačka A' spajamo sa krajem sile
.
, tačka D'. Na taj
način smo dobili reziltantu sila . Veličinu (intenzitet) sile računamo tako da duž A'D'pomnožimo sa razmjerom .
Smjer rezultante
uvijek je okrenut u smjer veće komponente. U ovom
slučaju to je sila . Ovdje važi komutativni zakon tj. da red slaganja (nadovezivanja) sila n utiče na rezultat. PRIMJER 1: Na materijalnu tačku A dijeluju kolinearne sile suprotnih smjerova. Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitičkom metodom (računska) i b) Grafičkom metodom.
,
a) Anali Analitič tički ki (raču (računs nski) ki) : b) Graf Grafič ički ki : Prvo odaberemo razmjeru, u ovom slučaju je najpogodnija Zatim nacrtamo silu
u toj razmjeri i to će na crtežu iznositi 5cm.
Na kraj prve sile nadovežemo drugu silu pa će ta dužina iznositi 2cm
, takođe u istoj razmjeri
Spajanjem tačaka A' i D' dobićemo rezultantu čiju veličinu (intenzitet) određujemo tako da pomnožimo duž A'D' sa razmjerom .
Smjer rezultante ovom slučaju
je okrenut u smjeru veće komponente, a to je u
.
c) Dvije kolinearn kolinearne e sile sile istih istih smjero smjerova va Postupak dobivanja rezultante sila je vrlo sličan predhodnim, s tim što se u ovom slučaju vrši sabiranje komponenti pa je :
PRIMJER 2 : U tačkama B i C užeta, učvršćenog u tački A obješeni su tereti . Kolika sila djeluje u tački A. a) Ra Raču čun nski ski b) Graf Grafič ički ki
Slaganje sistema sučeljnih sila a) Slaganje Slaganje pomoću pomoću parale paralelogr lograma ama
Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti, one imaju rezultantu. Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3. aksioma koja glasi: Rezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama. Intenzitet rezultante je: – grafičko određivanje rezultante. Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante :
b) Slaganje Slaganje pomoću pomoću troug trougla la ssila ila Umjesto da crtamo čitav paralelogram
Rezultantu trougla.
sila
možemo dobiti i na brži način, pomoću
– Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila.
PUNI RAVNI NOSAČI Vrste punih ravnih nosača 1. Obični nosač (prosta greda)
2. Uklješteni nosač (konzola)
3. Nosač (greda) sa prepustima
4. Gerberov nosač
Vrste oslonaca a) Pokretni oslonac :
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R. Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca.
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce. Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka . Kada nađemo onda računamo otpor R.
I njegov položaj c) Uklještenje – uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka : – moment uklještenja ili reakcija momenta.
Vrste opterećenja
Opterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina: 1. Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača : a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja pravougaonikom)
-
neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2. Prema načinu dejstva opterećenja Sile najčešće djeluju upravno na osu nosača, a mogu biti i kose i ekscentrične, a mogu djelovati i u vidu spregova.
Sile upravne na osu nosača
Ekscentrično horizontalna sila vertikalna sila
Kose sile
Ekscentrično
Sile u vidu sprega ZADATAK : 1 Data je greda prema skici. Odrediti reakciju u osloncima.
a) Analitički :
b) Grafički :
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri:
Zatim crtamo plan sila. Prvo nacrtamo silu
i odaberemo pol P.
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P. Tako dobijemo krak 1. i 2. koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1, a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačku povučemo krak 2. Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak S Krak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A. ZADATAK : 2 Data je greda prema skici, opterećena reakciju u osloncima ako je a = 1m.
. Odrediti
a) Analitički:
b) Grafički:
ZADATAK : 3 Data je greda prema skici. Odrediti reakciju u osloncima.
a) Analitički :
b) Grafički :
ZADATAK : 4 Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima.
a) Analitički :
b) Grafički :
ZADATAK : 5 Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač.
a) Analitički :
b) Grafički :
ZADATAK : 6 Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač.
a) Analitički :
b) Grafički :
ZADATAK : 7 Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač. F=3 KN L=1m
a) Analitički :
b) Grafički :
ZADATAK : 8 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu.
ZADATAK : 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu.
a) Analitički :
b) Grafički :
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače. 1.
2.
3.
4.
PRIMJER 4 :
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC, čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30° i 60°. Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima.
F1 = MN · UF = 2 cm · F2 = NK · UF = 3,5 cm ·
= 60 KN = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze.
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze. Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla. 0°
30°
45°
60°
90°
120° 135° 150° 180°
sin
0
0,5
0,70 7
0,86 6
1
0,86 6
0,70 7
0,5
0
cos
1
0,86 6
0,70 7
0,5
0
-0,5
0,70 7
0,86 6
-1
tan
0
0,57 7
1
1,73 2
∞
1,73 2
-1
0,57 7
0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE X=F· cosα Y=F·
-
Projekcije sile na X i Y ose.
X i Y – su skalarne veličine PRIMJER 5 : Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30°.
X = F · cos 30° = 10 · 0,866 X = 8,66 N Y = F · sin 30° = 10 · 0,5 Y = 5 N
PRIMJER 6 : Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F 1 = 40N, F2 = 20 N, F3 = 10 N i F 4 = 30 N, čije napadne linije zaklapaju sa osom O x uglove α1 = 0°, α2 = 30°, α3 = 90° i α 4 = 135°.
X1 = F1 · cosα1 = F1 · cos 0° = 40 · 1 = 40 N X2 = F2 · cosα2= F2 · cos 30° = 20 · 0,866 = 17,4 N X3 = F3 · cosα3 = F3 · cos 90° = 10 · 0 = 0 X4 = F4 · cosα4 = F4 · cos 135° = 30 · (-0,707) = -21,3 N XR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 17,4 + 0 – 21,3 = 36,1 N Y1 = F1 · sinα1 = F1 · sin 0° = 40 · 0 = 0 Y2 = F2 · sinα2 = F2 · sin 30° = 20 · 0,5 = 10 N Y3 = F3 · sinα 3 = F3 · sin 90° = 10 · 1 = 10 N Y4 = F4 · sinα 4 = F4 · sin 135° = 30 · 0,707 = 21,3 N YR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 21,3 = 41,3 N FR =
PRIMJER 7 : Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α 1 = 30° i α 2 = 60°, ako je u tački A obješen teret G=100 KN.
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 ·
G= G= G= G = 2F1 ⇒ F1 = F1 = 50 KN
F2 = 50 · F2 = 87 KN
Napomena: Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate.
ZADATAK 8. O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o, obješena o konac. Ugao koji zatvara konac sa zidom je α=30⁰ , a težina kugle G=200N. Odrediti silu u koncu i pritisak kugle na zid.
a) Grafički:
N= BC·UF=1,15 cm· S= AC·UF=2,3 cm ·
115N 230N N=115N S=230N b)Analitički:
N=S · cos60⁰
S · cos30⁰=G S=
231N
N= 231·0,5= 115,5N
ZADATAK: 9 Lopta poluprečnika R=30 cm ,težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α 1=30⁰, α2=60⁰ . Kolike potiske F A i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni.
b)Analitički:
69,26N 39,988N ZADATAK: 10 Lopta poluprečnika R=10cm ,težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R 1=30cm. Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B.
58N 116N
b)Analitički:
ZADATAK: 11 Kolika mora biti sila F, paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN, na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰.
Izrada a)
Grafički:
b) Analitički:
ZADATAK: 12 Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N. Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰, kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge?
a)
Grafički
b) Analitički
ZADATAK: 13
Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni. Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid, naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A.
a)Grafički
Analitički
FB · cos30° - FN1 · cos 60° = 0 FB = FN1 · FB · sin30° + FN1 · sin60° - G1 =0
FN1 ·
· sin30° + FN1 · sin60° - G1 =0
FN1 ·
· sin30° + sin60°) = G1
FN1 = FN1 = FB = FN1 ·
= 8,658 ·
= 5 KN
FA - FB · cos30° - FN2 · cos 60° = 0 FA = FB · cos30° + FN2 · cos 60° FN2 · sin 60° - FB · sin30° - G2 = 0 FN2 · sin 60° = G2 + FB · sin30 FN2 =
=
FN2 = 14,434 KN FA = FB · cos30° + FN2 · cos 60° FA = 5 · 0,866 + 14,434 · 0,5 FA = 4,33 + 7,217 FA = 11,574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNI Moment sile ta tačku
Moment sile koja djeluje na neko tijelo, s obzirom na tačku jest proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka, a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile.
Tačku O zovemo centrom momenta, dok udaljenost a tačke O, od linije sile zovemo krakom sile.
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -). Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu. Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )
Moment sile je takođe vektorska veličina, koja je određena intenzitetom, pravcem, smjerom i momentnom tačkom. Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N ∙ 1m Momentno pravilo Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru momenta njenih komponenti tačku u ravni (Varinjanova teorema).
i
za istu
VERIŽNI POLIGON Pomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka, koje djeluje u istoj ravni.Pomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) ,pravac i smjer rezultante. OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički rad Neka na ploču djeluje tri sile F 1=.... , F2=.... i F3=.... . Potrebno je odrediti vrijednost ,pravac ,smjer i položaj rezultante tih sila.Gradički uraditi na dvolisnicu bez linija.
ZADATAK : 2 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač. SLIKA 1. Reakcije u osloncima
FA = 2 KN
FB = 1 KN
2. Transverzalne sile
I POLJE TxI = FA = 2 KN II POLJE TxII = FA – F = 2 KN – 3 KN = -1 KN 3. Momenti savijanja
I POLJE : MxI = FA · x Za x = 0 : MxI = FA · 0 = 0 Za x = 1m : M xI = FA · 1 m = 2 KN · 1 m = 2KNm II POLJE : MxII = FA · x – F · (x – 1 m) Za x = 1m : M xII = FA · 1 m – F · (1 m – 1 m) = 2 KN · 1 m = 2KNm Za x = 3m : M xII = FA · 3 m – F · (3 m – 1 m) = 2 KN · 3 m – 3 KN · 2 m = 6 KNm – 6 KNm = 0 4. Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm ZADATAK : 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač. 1. Reakcije u osloncima
FA = 1 KN
FB = 2 KN
2. Transverzalne sile
I POLJE TxI = FA = 1 KN II POLJE TxII = FA – F = 1 KN – 3 KN = -2 KN 3. Momenti savijanja
I POLJE : MxI = FA · x Za x = 0 : MxI = FA · 0 = 0 Za x = 2m : M xI = FA · 2 m = 1 KN · 2 m = 2KNm II POLJE : MxII = FA · x – F · (x – 2 m) Za x = 2m : M xII = FA · 2 m – F · (2 m – 2 m) = 1 KN · 2 m = 2KNm Za x = 3m : M xII = FA · 3 m – F · (3 m – 2 m) = 1 KN · 3 m – 3 KN · 1 m = 3 KNm – 3 KNm = 0 4. Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK : 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač. SLIKA 1. Reakcije u osloncima
FA = 1 KN
FB = 1 KN
2. Transverzalne sile
I POLJE TxI = FA = 1 KN II POLJE TxII = FA – F = 1 KN – 1 KN = 0 III POLJE TxIII = FA – F – F2 = 1 KN – 1 KN – 1 KN = - 1 KN 3. Momenti savijanja
I POLJE : MxI = FA · x Za x = 0 : MxI = FA · 0 = 0 Za x = 1m : M xI = FA · 1 m = 1 KN · 1 m = 1 KNm II POLJE : MxII = FA · x – F · (x – 1 m) Za x = 1m : M xII = FA · 1 m – F · (1 m – 1 m) = 1 KN · 1 m = 1 KNm Za x = 2m : M xII = FA · 2 m – F · (2 m – 1 m) = 1 KN · 2 m – 1 KN · 2 m = 2 KNm – 1 KNm = 1 KNm III POLJE : MxIII = FA · x – F · (x – 1 m) – F 2 · (x – 2 m) Za x = 2m : M xIII = FA · 2 m – F · (2 m – 1 m) – F2 · (2 m – 2 m) = 1 KNm Za x = 3m : M xIII = FA · 3 m – F · (3 m – 1 m) – F2 · (3 m – 2 m) = 1 KN · 3 m – 1 KN · 2 m – 1 KN · 1 m = 3 KNm – 2 KNm – 1 KNm = 0 4. Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNm ZADATAK : 5 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač. SLIKA FA = FB = 2 KN Mfmax = 2 KNm ZADATAK : 6 Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosač. SLIKA FA = FB = 2 KN Mfmax = 2 KNm
ZADATAK : 7 Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosač. SLIKA 1. Reakcije u osloncima
FA = 0
FB = 4 KN
2. Transverzalne sile
I POLJE TxI = FA = 0 II POLJE TxII = FA – F1 = 0 – 2 KN = - 2 KN III POLJE TxIII = F – F1 + FB = 0 – 2 KN + 4 KN = 2 KN 3. Momenti savijanja
I POLJE : MxI = FA · x Za x = 0 : MxI = FA · 0 = 0 Za x = 1m : M xI = FA · 1 m = 0 · 1 m = 0 II POLJE : MxII = FA · x – F1 · (x – 1 m) Za x = 1m : M xII = 0 – F1 · (1 m – 1 m) = 0 Za x = 2m : M xII = 0 – F1 · (2 m – 1 m) = - 2 KN · 1 m = - 2 KNm III POLJE : MxIII = FA · x – F · (x – 1 m) + F B · (x – 2 m) Za x = 2m : M xIII = FA · 2 m – F1 · (2 m – 1 m) + F B · (2 m – 2 m) = - 2 KNm Za x = 3m : M xIII = FA · 3 m – F1 · (3 m – 1 m) + F B · (3 m – 2 m) = 0 · 3 m – 2 KN · 2 m + 4 KN · 1 m = 0 4. Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
