Tehnicka Mehanika Teorija Deo OM 2012 Vlado Djurkovic

Wmbep!Q/!]vslpwj~!

UFIOJ_LB!NFIBOJLB! .!PUQPSOPTU!NBUFSJKBMB!.! Ufpsjkb!tb!qsjnfsjnb-!lsbulj!lvst!

! Cfphsbe-!3123/!hpejof!

UNIVERZITET ODBRANE VOJNA AKADEMIJA

Vlado P. \urkovi}

TEHNI^KA MEHANIKA - OTPORNOST MATERIJALA Teorija sa primerima, kratki kurs

Beograd, 2012. godine

dr Vlado P. \URKOVI], redovan profesor Tehni~ka mehanika – deo otpornost materijala, teorija sa primerima-kratki kurs

Recenzenti: Prof. dr Stevan MAKSIMOVIĆ Prof. dr Dragoljub VUJIĆ

Izdava~: Vojna akademija BEOGRAD [tampanje odobrila Komisija za izdava~ku delatnost Vojne akademije u Beogradu, 5. januara 2012. godine

Za izdava~a: puk. Slaviša SAVIĆ, dipl.ing.

Jezi~ki redaktor: Nada RELI], profesor

Tira`: 200 primeraka Štampa: Služba za izdavačku delatnost Vojne akademije u Beogradu, Gen. Pavla Jurišića Šturma br 3, Beograd ISBN 86-xxxx-xxx-x Pre{tampavanje ili fotokopiranje nije dozvoljeno

Predgovor

QSFEHPWPS! Ovaj udžbenik namenjen je kadetima Vojne akademije Univerziteta odbrane, koji izučavaju predmet Tehnička mehanika, kao i studentima tehničkih fakulteta sa namerom da studenti lakše savladaju odgovarajuću materiju. Bez obzira na to što u našoj stručnoj literaturi iz oblasti mehanike, deo otpornost matyerijala, postoji dosta knjiga u kojima se obrađuje ova materija, smatram da će udžbenik biti od koristi ne samo studentima već će koristiti u praksi i stručnjacima koji se susreću sa rešavanjem složenih problema i zadataka mehanike. U izlaganju gradiva išlo se prirodnim putem, po kome su prvo obrađena poglavlja iz otpornosti materijala, a zatim dati odgovarajući primeri. Prilikom pisanja udžbenika autor je pre svega imao nameru da gradivo razjasni sa pojmovne strane. Zato se prvo izlaže gradivo iz teorije u cilju kontinuiranog povezivanja teorije i praktičnog rešavanja zadataka. U pripremi izloženog materijala korišćeni su udžbenici navedeni u literaturi, pri čemu su osnovni bili [11], [13], [14], [16], [24], [26], [29], [34], [35], [38], [40], i [41]. Bez obzira na obilje navedene literature, bilo je nepohodno pristupiti izradi ovog udžbenika, radi lakšeg izučavanja gradiva. Zato udžbenik sadrži proširena poglavlja. Udžbenik daje ne samo teorijski pristup, nego sadrži i dovoljan broj primera i urađenih zadataka, što daje jednu celinu. Otpornost materijala je izložena u deset poglavlja i to: uvod, naponi i deformacije, geometrijske karakteristike preseka, aksijalno naprezanje, smicanje, savijanje, uvijanje, izvijanje, lokalna naprezanja i osnove proračuna. Dat je orginalan pristup u grafičkoj prezentaciji pojedinih analitičkih relacija.

i

Predgovor

Udžbenik sadrži 150 stranica teksta, koje su ilustrovane sa 93 crteža, 44 zadataka i 9 tabela. Tehničku obradu obavio je takođe sam autor. U stvaranju ove knjige značajnu ulogu je imala računarska tehnika. Tekst je pisan i pripreman za štampu u WORD-u, a crteži su urađeni u AutoCAD R14. Sve crteže, kucanje i prelom teksta uradio je redovan profesor dr Vlado P. Đurković, dipl. ing. Iako sam poklonio veliku pažnju konačnom oblikovanju ovog udžbenika, svestan sam mogućih grešaka. Biću zahvalan svima koji mi budu ukazali na propuste i greške kojih, s obzirom na obimnost materije, sigurno ima. Želim da se zahvalim izdavačkoj delatnosti Vojne akademije na podršci izdavanju ovog udžbenika, kao i radnicima Službe za izdavačku delatnost, na njihovom angažovanju oko konačne tehničke obrade i štampanja udžbenika. Autor se zahvaljuje S. Dreci, J. Đurki, R. Šelmiću, T. Nikoliću i drugim saradnicima koji su pomogli da ova knjiga dobije baš ovakvu formu i sadržinu. Takođe, najlepše se zahvaljujem recenzentima profesoru dr Stevanu Maksimoviću, dipl. ing., i prof. dr Dragoljubu Vujiću, dipl. ing. na primedbama i korisnim sugestijama, koje su doprinele da ovaj udžbenik dobije svoj konačan izgled. Posebnu zahvalnost dugujem Nadi Relić, prof., koja je izvršila jezičku redakciju teksta. Beograd, januar 2012. godine Autor

ii

Sadràj

Qsfehpwps .................................................................................. ! TBESABK! ! 2/!Vwpe! 1.1. Predmet i zadatak otpornosti materijala ........................ 1.2. Kratak istorijat otpornosti materijala ............................. 1.3. Osnovni pojmovi .............................................................. 1.3.1. Telo, nosa~i, sile, materijali .............................. 1.3.2. Osnovne hipoteze u otpornosti materijala ....... 1.3.3. Va`ne napomene ............................................. 1.4. Spoljne i unutarnje sile, vrste optere}enja ..................... 1.4.1. Spoljne sile .......................................................... 1.4.2. Unutarnje sile ...................................................... 1.5. Vrste naprezanja ................................................................

1 1 2 4 4 11 13 15 15 16 18

3/!OBQPOJ!J!EFGPSNBDJKF! Naprezanje, napon ............................................................. Deformacije ........................................................................ Dilatacija ............................................................................. Ugaona deformacija ........................................................... Veze izme|u napona i deformacija .................................. Popre~na dilatacija ............................................................. Hukov zakon ......................................................................

20 20 28 29 30 31 36 37

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

4/!HFPNFUSJKTLF!LBSBLUFSJTUJLF!QSFTFLB! 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

Uvod ................................................................................. Moment inercije povr{ine preseka .................................. [tajnerova teorema ............................................................ Rotacija koordinatnog sistema ......................................... Polupre~nici inercije .......................................................... Elipsa inercije ..................................................................... Otporni moment ................................................................

iii

i iii

40 40 40 41 41 43 44 44

Sadràj

5/!BLTJKBMOP!OBQSF[BOKF! 4.1. Uvod ................................................................................... 4.2. Naponi na zatezanje i pritisak .......................................... 4.3. Primeri aksijalnih naprezanja ............................................ 4.3.1. Naprezanja izazvana promenom temperature .. 4.3.2. Aksijalna naprezanja usled sopstvene teìne .....

56 56 57 58 58 59

6/!TNJDBOKF! 5.1. Smicanje ..............................................................................

83 83

7/!TBWJKBOKF! 6.1. Savijanje ............................................................................

93 93

8/!VWJKBOKF! 7.1. Uvijanje .............................................................................

102 102

9/!J[WJKBOKF! 8.1. Uvod ............................................................................... 8.2. Odre|ivanje kriti~ne sile izvijanja. êtiri osnovna slu~aja izvijanja ............................................................... 8.3. Izvijanje {tapova u neelasti~noj oblasti ......................... 8.4. Omega postupak ............................................................. 8.5. Dimenzionisanje {tapova izloènih izvijanju .................

115 115

:/!MPLBMOB!OBQSF[BOKB! 9.1. Uvod ............................................................................... 8.2. Kontaktno naprezanje ....................................................

139 139 139

21/!PTOPWF!QSPSB_VOB! 10.1. Uvod ............................................................................... 10.2. Dopu{teni naponi, stepen sigurnosti .............................. 10.3. Osnovni kriterijumi radne sposobnosti .......................... 10.3.1. ^vrsto}a ............................................................. 10.3.2. Krutost (elasti~nost) ..........................................

142 142 144 145 146 146

22/!MJUFSBUVSB!........................................................................!

148

iv

117 119 122 123

Tehnička mehanika Otpornost materijala - uvod

Đurković Vlado

!!2/!VWPE! !!2/2/!Qsfenfu!j!{bebubl!puqpsoptuj!nbufsjkbmb! Savremena nauka koja proučava razne osobine materijala svih vrsta, tj nauka o realnim materijalima, zove se reologija. U njenom domenu su sve mehanike deformabilnih tela, bilo da su čvrsta, tečna ili gasovita. Razvoj nauke o deformabilnim telima tekao je postepeno. Od idealno krutog tela klasične mehanike, prvo se prešlo na model idealno elastičnog tela. Pod idealno elastičnim telom podrazumeva se telo koje deformisano spoljašnjim silama može da zauzme prvobitan oblik po prestanku dejstva sila. Model ovakvog fizičkog tela proučava teorija elastičnosti. Brz razvoj nauke zahtevao je od teorije elastičnosti, kao složene matematičke nauke, metode rada bliže inženjerskoj praksi. Uvođenjem izvesnih pretpostavki, koje su rezultat izvršenih laboratorijskih ispitivanja, matematičke metode teorije elastičnosti su pojednostavljene. Tako je stvorena „otpornost materijala”, kao nauka koja izučava mehanička svojstva konstrukcijskih materijala, uslove opterećenja i ekonomičnost gradnje. Otpornost materijala omogućuje određivanje otpornosti, krutosti, izdržljivosti i nosivosti, kao i deformacija mašinskih delova s obzirom na opterećenja kojima su oni izloženi u radu mašine i s obzirom na njihove oblike. Otpornost materijala se može smatrati uvodom u mehaniku čvrstog tela tj. delom ove naučne discipline, pa prema tome i definisati naukom koja se bavi proučavanjem unutrašnjih sila i deformacija čvrstog realnog tela izloženog dejstvu spoljašnjeg opterećenja. Usled dejstva spoljašnjeg opterećenja svako čvrsto telo se deformiše, tj. u određenom stepenu menja svoj oblik i zapreminu, a kao posledica toga između čestica u unutrašnjosti tela javljaju se unutrašnje sile. Otpornost materijala je dakle posebna naučna disciplina koja 1


Đurković Vlado

obuhvata inžinjerske metode proračuna: a) čvrstoće; b) krutosti i c) stabilnosti. Čvrstoća je sposobnost konstrukcije da izdrži određeno opterećenje, a da joj veličina naprezanja pri tom ne prevaziđe neku zadatu graničnu vrednost i da pri tom ne dođe do njenog popuštanja. Krutost je sposobnost konstrukcije da se suprostavi spoljašnjim opterećenjima, a da se pri tome ne deformiše preko određene granice. Stabilnost je sposobnost konstrukcije da sačuva svoj prvobitni oblik ravnoteđe, a pri deformacijama koje odgovaraju zadatom opterećenju. U otpornosti materijala se najvećim delom analiziraju unutrašnje sile i deformacije štapova kao elementa neke konstrukcije, uvodeći pri tome neke uprošćene pretpostavke o ponašanju materijala i samih elemenata. Kao posledica uprošćenih pretpostavki o otpornosti materijala rešenja svih problema su manje više približna, ali u širokom području primenljiva i dovoljno tačna za inžinjersku praksu. Teorija elastičnosti, kao deo mehanike čvrstih tela, daje tačnija rešenja u području elastičnih deformacija. Dva osnovna zadatka otpornosti materijala su: a) određivanje unutrašnjih sila i b) određivanje deformacije tela. Zadatak otpornosti materijala sastoji se dakle u iznalaženju jednostavnih proračuna i obrazaca koji treba da omoguće, zavisno od vrste i načina dejstva spoljnjeg opterećenja, izbor materijala i dimenzije pojedinih elemenata, neke inžinjerske konstrukcije garantujući pri tome određenu čvrstoću, krutost i stabilnost toga elementa sa jedne strane i ekonomičnost sa druge strane. 2/3/!Lsbubl!jtupsjkbu!puqpsoptuj!nbufsjkbmb! Osnivačem otpornosti materijala se smatra Galileo Galilei(15641624), jer je prvi u delu „Discorsi e demonstrazioni matematishe intorno a due nuove scienze”, 1618 godine, pored osnovnih dinamičkih problema postavio i pitanje loma materijala. Njegova hipoteza „najvećeg normalnog napona” pri kome dolazi do loma materijala još se i danas primenjuje pri dimenzionisanju. Posle njega čitav niz naučnika dao je 2


Đurković Vlado

svoje priloge u formiranju otpornosti materijala kao naučne discipline koja je danas poznata, kao što su: • Robert Hook (1635-1703) je objavio rad „De potentia restitutiva” (o opruzi), što predstavlja prvi objavljeni rad u kome se raspravlja o elastičnim osobinama materijala; • Francuz Girard (1798. godine) objavio je prvu knjigu o Otpornosti materijala; • Opat Edme Mariotte (1620-1684) – Francuz; • Jacob Bernoulli (1654-1705) – Holanđanin; • Daniel Bernoulli (1700-1782) – Holanđanin; • Leonard Euler (1707-1793) – Švajcarac; • Charles Coulomb (1736-1806) – Francuz; • Simeon Denis Poisson (1781-1840) – Francuz; • Lois M. Navier (1785-1836) održao prvi kurs O. M. – Francuz; • Ademar Baree de Saint-Venant (1797-1886) tvorac moderne Teorije elastičnosti – Francuz; • Louis Augustin Cauchy (1789-1857) – Francuz; • Gabriel Lame (1795-1870) održao prvi kurs Teorije elastičnosti – Francuz; • Emile Clapeyron (1799-1864) – Francuz; • James Maxwell (1831-1879) – Englez; • D. I. Žuravski (1821-1891) konstruktor drvenih mostova – Rus; • Alberto Castigliano (1847-1884) razmatrao statički neodređene nosače – Italian; • Culman C. (1821-1881) primenio Teoriju elastičnosti u praksi – Švajcarac; • Otto Mohr (1835-1918) – Nemac; • Prandtl, Nadal, Michell, Love, Galjerkin, A. N. Verešćagin, ... , – čitav niz inžinjera i naučnika u 20-tom veku radi na problemima Teorije elastičnosti i plastičnosti; • Stefan Timošenko (1878-1972) – Rusija, SAD.

3


Đurković Vlado

2/4/!Ptopwoj!qpknpwj! 2/4/2/!Ufmp-!optb•j-!tjmf-!nbufsjkbmj! Telo koje se proučava u smislu otpornosti materijala neprekidno je, tj. jedna njegova tačka je nepokretno vezana sa prostorom koji okružuje telo. Pri tome dejstvo spoljašnjih sila izaziva pomeranje pojedinih njegovih čestica, jednih u odnosu na druge. Međumolekularne sile, tj. sile koje dejstvuju između pojedinih čestica, održavaju ih na određenom međusobnom rastojanju. Pod dejstvom spoljašnjih sila čestice se međusobno približavaju ili udaljavaju, a samim tim se remeti i ravnoteža među molekularnim silama. Tako spoljašnje sile, dejstvujući na telo, izazivaju u njemu pojavu unutrašnjih sila otpora, odnosno spoljašnje sile deformišu, a unutrašnje sile teže da održe prvobitni oblik i zapreminu tela. Dakle čvrstim realnim telom naziva se materijalni sistem koji je diskretan, sastavljen od molekula između kojih dejstvuju molekularne sile. Međutim, u inžinjerskim razmatranjima u otpornosti materijala pretpostavlja se da je čvrsto telo jedan kontinuum tj., prostor ograničen i ispunjen materijom. U otpornosti materijala, na osnovu eksperimentalnih rezultata, većina materijala, koji se koriste u inženjerskoj praksi, posmatra se jednoobrazno, a pri tom se podrazumeva da su ti materijali sa neprekidnom, homogenom i izotropnom strukturom. Amorfni materijali, kao guma, staklo itd., imaju sasvim nepravilan raspored molekula i zato u svim pravcima imaju iste fizičke i mehaničke osobine. Slično se ponašaju materijali kristalaste strukture, jer su sastavljeni od mnoštva sitnih kristala. Za ovakva tela, kod kojih su fizičke i mehaničke osobine jednake u svim pravcima, kaže se da su izotropna. Tela sastavljena od kristala pravilnog oblika i orijentacije u raznim pravcima pokazuju različite osobine, pa samim tim nisu izotropna. Sa stanovišta geometrijskog oblika čvrsta tela se mogu podeliti zavisno od dimenzija (dužina, širina, debljina) na: štapove, ploče, ljuske i masivna tela (Sl. 1.1). Štapom se naziva telo kod koga je jedna dimenzija (dužina) znatno veća u poređenju sa ostale dve. Štapovi mogu biti pravi i krivi, a isto tako 4


Đurković Vlado

prizmatični i cilindrični, zatim mogu da budu konstantnog ili promenljivog preseka. Osom štapa naziva se linija koja prolazi kroz težišta svih poprečnih preseka štapa (Sl.1.1 a).

Sl.1.1 – Podela čvrstih tela sa stanovišta geometrijskog oblika

Pločom se naziva telo kod koga su dve dimenzije znatno veće u poređenju sa trećom. Ploča je takvo telo koje je ograničeno dvema parapelnim ravnima (debela ploča, tanka ploča, membrana, Sl.1.1 b). Ljuskom se naziva telo kod koga su dve dimenzije znatno veće u poređenju sa trećom, ali koje je ograničeno krivim površinama (Sl.1.1 c). Telom se naziva materijalni sistem kod koga su sve tri dimenzije veličine istog reda (Sl.1.1 d). U otpornosti materijala kao što je pomenuto posmatraju se uglavnom štapovi i to sa pravom osom, kao sastavni elementi neke konstrukcije. Konstrukcije koje su na taj način sastavljene iz jednog ili više štapova nazivaju se: štapnim sistemima, linijskim sistemima, linijskim nosačima ili samo nosačima. Dakle, svako kruto telo koje nosi terete i prenosi ih na oslonce nazivamo nosač (greda). Ako osa nosača i sve spoljašnje sile koje deluju na njega deluju u jednoj ravni, takve nosače nazivamo ravnim nosačima. Ravni nosači mogu biti: 10 − prosti, ako su sastavljeni iz jedne ploče, tj. ako je rastojanje između oslonaca A i B u isto vreme i dužina l nosača (Sl. 1. 2), − složeni, ako su sastavljeni iz više ploča,

5


Đurković Vlado

2 0 − puni ili gredni; to je svako kruto telo oslonjeno na dva oslonca, od kojih je jedan nepokretan, a drugi pokretan, odnosno ako je veza ostvarena samo na jednom mestu, onda se ta veza izvodi ukleštenjem, − rešetkasti − nosač sastavljen od više krutih lakih štapova čije veze smatramo zglobnim. Greda je, dakle, prizmatično telo čija je dužina znatno veća od druge dve dimenzije njenog poprečnog preseka. Za razliku od štapa koji je izložen pritisku ili istezanju, greda se koristi kao konstrukcioni elemenat tamo gde se predviđa da će biti izložena i savijanju. Nosač sa jednim ili dva prepusta naziva se greda sa prepustom, tj. sa prepustima. Konzola je jednim krajem ukleštena. Gerberova greda, ili greda sa zglobom, predstavlja složeni nosač. To su dve grede ili grede međusobno vezane zglobom G . Ovaj nosač može biti izveden i sa više oslonaca i više zglobova. Okviri ili takozvani ramovi su složeni nosači sastavljeni iz više prostih nosača. Sile koje deluju na nosač (sl. 1.2) mogu biti: − koncentrisane; deluju u jednoj tački, a mogu biti vertikalne ili kose, i − kontinualne sile (opterećenja) mogu biti ravnomerno raspoređene (jednoliko raspoređene) po određenoj dužini nosača i tada se predstavljaju površinom pravougaonika. Karakteristika kontinualnog opterećenja je opterećenje po dužnom metru nosača, tzv specifično opterećenje, a obeležava se sa q (Sl. 1.2). Specifično opterećenje q meri se u kN , a u opštem slučaju ono je m promenljivo i zavisi od apscise te se može napisati kao q = f ( x ) , gde je osa x podužna osa nosača. Kod jednoliko raspoređenog kontinualnog opterećenja, specifično opterećenje je konstantno, tj. q = const . Ako se specifično opterećenje menja po linearnom zakonu q = p ⋅ x , gde je p konstantni koeficijent čije su dimenzije kN2 , takvo kontinualno m opterećenje se može predstaviti površinom trougla ili trapeza. Za slučaj neravnomerno raspoređenog kontinualnog opterećenja po određenoj 6


Đurković Vlado

dužini nosača, takvo opterećenje predstavljamo površinom proizvoljnog oblika, koja je ograničena linijom opterećenja q = f x .

af

Sl. 1.2 – Primeri opterećenja grede

Nosači mogu biti opterećeni neposredno ili posredno (ekscentrično vertikalno ili horizontalno opretećenje). Za nosač kažemo da je kombinovano opterećen ako je opterećen svim navedenim oblicima opterećenja. Opterećenja se, dalje, dele prema vremenu trajanja na: − stalna (težina nosača, sile konstantnog intenziteta i položaja) i − promenljiva (uticaj vetra itd.).

Sl.1.3 – Primeri statički određenih nosača

Načini oslanjanja greda ili ramova određuju i njihovu statičku određenost ili neodređenost. Ako je greda (ili ram) oslonjen tako da postoje tri nepoznate reakcije koje se mogu odrediti iz tri jednačine −

∑ X =∑ Y =∑ M =0 , za takvu gredu (ili ram) kažemo da je statički i

i

određena. Ako broj jednačina ravnoteže nije isti kao broj nepoznatih 7


Đurković Vlado

reakcija, nosač (greda ili ram) statički je neodređen.

Sl.1.4 – Primeri statički neodređenih nosača

Sl. 1.5 – Primeri rešetkastih nosača

Rešetkastim nosačima naziva se kinematski stabilan (geometrijski neizmenljiv) sistem štapova koji su međusobno na svojim krajevima povezani zglogovima, koji je oslonjen i pričvršćen preko oslonaca 8


Đurković Vlado

(ležišta) za nepomične tačke na tlu ili nekoj drugoj nepomičnoj konstrukciji (u najmanje dva čvora kod ravnih nosača, odnosno tri kod prostornih, Sl.1.5). Rešetkasti nosači su namenjeni spoljašnjem opterećenju koje dejstvuje u čvorovima rešetke. U tom slučaju u poprečnim presecima štapovima rešetkastog nosača javljaju se samo normalne sile (zatežuće ili pritiskujuće). Dakle, usled dejstva spoljašnjeg opterećenja štapovi rešetkastih nosača se izdužuju odnosno skraćuju, a time čvorovi pomeraju tj. rešetka se deformiše, štapovi zauzimaju novi položaj ali ostaju pravi. Okvirima (ramovima) naziva se geomerijski stabilan (geometrijski neizmenljiv) sistem od dva ili više štapova (nosača) koji su međusobno kruto vezani, koji je oslonjen i pričvršćen preko oslonaca (ležištanajčešće kruta ukleštenja) za nepomične tačke na tlu ili neku drugu konstrukciju (Sl. 1.4, 1.6). Okviri su namenjeni spoljašnjem opterećenju proizvoljnog pravca koje dejstvuje u proizvoljnim tačkama štapova iz kojih je sastavljen. Ako spoljašnje opterećenje dejstvuje u jednoj glavnoj ravni okvira u poprečnim presecima tog okvira javljaju se momenti savijanja, poprečne i normalne sile (ako je sistem prostoran onda i u drugoj glavnoj ravni svakog štapa javljaju se takođe momenti savijanja i poprečne sile, a pored toga i momenti torzije ili uvijanja).

Sl. 1.6 – Primer okvirnog nosača pre i posle dejstva opterećenja

Usled dejstva spoljašnjeg opterećenja štapovi okvira se iskrivljuju, odnosno produžuju ili skraćuju zbog čega se čvorovi pomeraju (zaokreću ili linearno pomeraju, sl.1.6). U otpornosti materija se prihvata definicija pojma sile koja je data u mehanici apsolutno krutog tela, sa tom razlikom što se ova definicija proširuje i na unutrašnjost čvrstog tela, izloženog dejstvu spoljašnjeg 9


Đurković Vlado

opterećenja. Prema poznatoj definiciji silom se naziva uzajamno mehaničko dejstvo između fizičkih tela pri čemu se jačina tog dejstva tj. veličina sile dobije kao merni broj upoređujući tu silu sa silama unapred određenih veličina. Proširenjem ove definicije na čestice čvrstog tela dolazi se do pojma unutrašnjih sila. Dakle, u otpornosti materijala, sile se mogu podeliti na spoljašnje i unutrašnje sile. Spoljašnjim silama i opterećenjem nazivaju se sve sile koje se prenose na spoljnu konturu tela, kao i zapreminske sile koje su raspoređene po čitavoj masi tela. Površinskim silama nazivaju se one sile koje se kao posledica dejstva drugih tela prenose na spoljnu konturu posmatranog tela. Ove sile mogu se prenositi na spoljnu konturu posmatranog tela kao koncentrisane sile ili kontinualna (raspodeljena) opterećenja. Koncentrisanim silama nazivaju se sile koje se prenose na konturu posmatranog tela preko veoma malih površina koje se mogu po veličini zanemariti. Zapreminskim silama nazivaju se one sile koje su raspoređene po čitavoj masi tela i vezane za čestice te mase tj. sile koje dejstvuju na njegove unutrašnje tačke (npr. sopstvena težina, sile inercije koje se javljaju pri kretanju tela sa ubrzanjem). Unutrašnjim silama nazivaju se sile uzajamnog dejstva čestica materije u samom telu. U otpornosti materijala posmatraju samo one unutrašnje sile koje su nastale usled dejstva spoljašnjih sila ili nekih drugih spoljašnjih uticaja, kao npr. temperature, ne ulazeći u analizu sila privlačenja između čestica materije (molekularnih sila zahvaljujući kojima tela imaju čvrstu strukturu tj. oblik i zapreminu). U otopornosti materijala se ne razmatraju one unutrašnje sile koje su nastale kao posledica tehnologije (npr. neravnomerno hlađenje livenih elemenata, pri zavarivanju, skupljanje betona i dr.). Uopšteno, unutrašnje sile, u tačkama nekog čvrstog tela izloženog spoljašnjim silama menjaju se od tačke do tačke zavisno od vrste i veličine tog opterećenja, materijala tela i od oblika i dimenzija posmatranog čvrstog tela. Svi materijali koji se primenjuju u inžinjerskim konstrukcijama mogu se načelno podeliti u dve grupe: • žilave kod kojih slom nastupa pri znatnim deformacijama (čelik, mesing, aluminijum i dr.) i

10


Đurković Vlado

•

krte materijale kod kojih slom nastupa pri vrlo malim deformacijama (liveno gvožđe, kamen, beton, staklo i dr.). Žilavi materijali su po pravilu podjednako dobro otporni na zatezanje i pritisak, dok su krti veoma dobro otporni na pritisak, a veoma slabo ili nikako na zatezanje. 2/4/3/!Ptopwof!ijqpuf{f!v!puqpsoptuj!nbufsjkbmb!

U otpornosti materijala, za različite slučajeve opterećenja tela, utvrđuju se matematički odnosi između spoljašnjih sila, unutrašnjih sila (napona) i deformacija i ovi se odnosi koriste za rešavanje raznih problema. Složeni oblici tela, raznovrsna fizičko-mehanička svojstva materijala predstavljaju ozbiljne teškođe da se teorijskim putem formulišu navedeni odnosi uzimajući pri ovom faktore koji karakterišu realna tela. Radi ovoga uveden je niz hipoteza koje idealizuju realno telo, što u znatnoj meri olakšava i uprošćuje utvrđivanje navedenih odnosa. 2/!Ijqpuf{b!p!ofqsfljeoptuj!nbufsjkf! Po ovoj hipotezi se smatra da su tela potpuno ispunjena materijom i da predstavljaju neprekidnu sredinu, što je u suprotnosti sa tumečenjima savremene fizike o strukturi materije prema kojoj su realna tela sastavljena od materijalnih čestica između kojih postoji slobodan prostor. Ova hipoteza dozvoljava da se na beskonačno malom zapreminskom elementu tela primene zakoni u diferencijalnom obliku, a zatim da se na celoj zapremini tela, kao neprekidne sredine, sprovedu operacije integralnog računa. 3/!Ijqpuf{b!p!j{puspqoptuj!nbufsjkbmb! Po ovoj hipotezi se smatra da je materijal tela izotropan tj. da poseduje jednaka elastična svojstva u svim pravcima. 4/!Ijqpuf{b!p!ipnphfoptuj!nbufsjkbmb! Po ovoj hipotezi se smatra da tela imaju jednoliku strukturu po čitavoj zapremini, pa su time i mehanička svojstva u svim tačkama tela ista.

11


Đurković Vlado

5/!Ijqpuf{b!p!nbmjn!efgpsnbdjkbnb! Po ovoj hipotezi deformacije posmatranog tela su vrlo male u odnosu na njegove dimenzije. Pri primeni statičkih uslova ravnoteže zanemaruju se, na osnovu ove hipoteze, promene položaja sila koje su izazvane deformacijom tela. Ova hipoteza omogućava da se koristi princip superpozicije, koji se formuliše na sledeći način: rezultat dejstva sistema spoljašnjih sila na telo jednak je sumi rezultata dejstva pojedinih sila nezavisno od reda nanošenja. Na osnovu matematičkih analiza o malim veličinama, kojima pripadaju deformacije, mogu se, ako u nekom izrazu figurišu deformacije raznog reda veličina, zanemariti sve vrednosti deformacija višeg reda i zadržati samo vrednosti deformacija nižeg reda. U izvesnim obrascima dakle, moguće je zanemarivanje malih veličina višeg reda u odnosu na male veličine prvog reda. 6/!Ijqpuf{b!p!{bnfoj!tuwbsoph!pqufsf~fokb! flwjwbmfouojn!tjtufnpn!tjmb! Pri izučavanju deformacija tela kao celine, ako nas pri tome ne interesuju lokalne deformacije, možemo opterećenje koje deluje na jedan mali deo površine tela zameniti ekvivalentnim sistemom sila, koji se u opštem slučaju svodi na glavni vektor i glavni moment. To je tzv. princip superpozicije dejstva, premo kom je dejstvo više sila jednako zbiru dejstva pojedinih sila. Ovaj stav je poznat kao San-Venanov princip. Ovakva zamena ima uticaja na veličinu i formu lokalne deformacije, dok je bez uticaja na deformacije u tačkama dovoljno udaljenim od mesta delovanja sila. 7/!Ijqpuf{b!p!fmbtuj•ojn!efgpsnbdjkbnb! Po ovoj hipotezi smatramo da tela koja su izložena dejstvu sistema spoljašnjih sila dobijaju elastične deformacije. 8/!Ijqpuf{b!sbwoji!qsftflb! Zamišljeni ravni presek tela pri deformaciji ne ostaje u opštem slučaju ravan, već dobija oblik neke krive površine. Međutim, postoje mnogi praktični slučajevi kod kojih presek ostaje ravan. Ova činjenica je dovela 12


Đurković Vlado

do hipoteze ravnih preseka koja predpostavlja da zamišljeni ravni presek pre deformacije tela ostaje ravan i nakon deformacije. Na primer, kod štapa svaki poprečni presek ostaje ravan i upravan na osu štapa i posle deformacije. Ovaj stav poznat je kao Bernulijeva hipoteza. Zahvaljujući ovoj hipotezi znatno su uprošćena teorijska razmatranja niza zadataka u otpornosti materijala. 2/4/4/!Wbaof!obqpnfof!

U otpornosti materijala gde se posmatraju čvrsta tela u stanju elastične ravnoteže moguće je primeniti sve aksiome i zakone statike izuzev:

Sl. 1.7 – Primer nemogućnosti primene sile kao kliznog vektora

a) aksima o apsolutno krutom telu po kome je sila klizni vektor. Znači, u otpornosti materijala nije dozvoljeno pomeranje sila duz pravca dejstva pošto se time menja karakter i veličina deformacija. Primer je dat Sl. 1.7. b) zakona o zameni sistema sila drugim sistemom istog dejstva. Znači, u otpornosti materijala nije moguće primeniti ovaj zakon pošto se u tom slučaju menja karakter i veličina deformacija. Primer je dat Sl. 1.8.

13


Đurković Vlado

Sl. 1.8 – Primer nemogućnosti zamene sistema sila drugim sistemom istog dejstva

14

Tehnička mehanika Otpornost materijala - sile

Đurković Vlado

2/5/!Tqpmkof!j!!vovusbokf!tjmf-!wstuf!pqufsf~fokb! 2/5/2/! Tqpmkof!tjmf! U Statici je sila definisana kao mehanička mera dejstva jednog tela na drugo. U prirodi nema izolovanih tela, već postoji skup tela koji uzajamno deluju jedno na drugo. Ako se uoči jedno telo, na njega će delovati ostala tela ograničavajući njegovo kretanje, tj. ostala tela delovaće kao veze. Prema aksiomu o vezama, telo se može posmatrati kao slobodno ako se veze uklone i zamene njihovim uticajem. Njihov uticaj su sile koje deluju na posmatrano telo na taj način što ga deformišu. Za posmatrano telo ovaj sistem sila su spoljne sile ili opterećenje.

Sl. 1.9 – Opterećenja u vremenu

Podrobnije o silama (opterećenjima), bez zavisnosti od vremena, dato je u statici. Ako se opterećenje posmatra u vremenu, po svom karakteru može biti: • mirno ili statičko kada opterećenje raste do određene vrednosti a zatim se tokom vremena ne menja (sl. 1.9 a), i • promenljivo kod koga se intezitet menja tokom vremena. Promenljivo opterećenje može biti udarno i bezudarno. Udarno opterećenje je ono kod koga u malom vremenskom intervalu intenzitet poraste višestruko (sl.1.9 b). Bezudarno opterećenje može biti jednosmerno promenljivo i naizmenično promenljivo. Kod jednosmerno promenljivog opterećenja intenzitet opterećenja se menja od nule do maksimalne vrednosti pri čemu se smer opterećenja ne menja (sl. 1.9 c). Naizmenično prome15


Đurković Vlado

nljivo opterećenje je takvo čiji se intenzitet menja u granicama od maksimalne do minimalne vrednosti pri čemu se smer opterećenja naizmenično menja (sl.1.9 d). 2/5/3/!Vovusbokf!tjmf! Najsitniji delići materije, koji imaju osobine materije, su molekuli. To znači da se posmatrano telo sastoji iz velikog broja molekula. Molekuli deluju uzajamno jedni na druge međumolekularnim silama koje zavise od međusobnog rastojanja i od mehaničkih osobina materije tela. Na čvrsto telo određenog oblika na koga ne deluje nikakvo opterećenje međumolekularne sile su u ravnoteži. Kada se ono izloži dejstvu uravnoteženog sistema spoljnih sila, počeće da se deformiše. Deformacije izazivaju promenu položaja molekula, tj. počeće da se menjaju njihova međusobna rastojanja što će uticati na promenu međumolekularnih sila koje se suprotstavljaju spoljnim silama. Deformacije će prestati onog trenutka kada se uspostavi ravnoteža unutrašnjih i spoljašnjih sila. Ukoliko se ravnoteža ne uspostavi deformacije će se povećavati dok ne dođe do loma. Po prestanku dejstva opterećenja molekuli teže da se vrate u prvobitan položaj tj. teže da telu vrate prvobitan oblik. Pri deformaciji tela molekuli imaju različita pomeranja u telu što podrazumeva i različite međumolekularne sile. To znači da unutrašnje sile zavise od položaja. Određivanje sila na ovaj način je vrlo komplikovano, jer zahteva vrlo složen matematički aparat, tako da za tehničku praksu nije prihvatljiv. Zato se u mehanici čvrstih tela unutrašnje sile drugačije definišu. Čvrsto telo koje je u ravnoteži pod dejstvom uravnoteženog sistema spoljašnjih sila zove se napregnuto telo. Kako je čvrsto telo u ravnoteži pod dejstvom uravnoteženog sistema spoljašnjih sila, primenom aksioma 5, može se smatrati krutim i analizirati njegova ravnoteža. Za izradu delova konstrukcija koriste se različite vrste materijala kao što je liveno gvožđe, razne vrste čelika, legure bakra, legure aluminijuma, beton, drvo itd. U poslednje vreme se sve više koriste kompozitni materijali. Svi ovi materijali, zbog svoje strukture, imaju različita mehanička svojstva pa je i ponašanje napregnutih tela od različitog materijala različito. Postoje slučajevi da se telo od jednog materijala 16


Đurković Vlado

ponaša različito u pojedinim oblastima naprezanja. Ovo pretstavlja teškoću u proučavanju ponašanja napregnutog deformabilnog tela, zato je uvedena klasifikacija materijala u zavisnosti od njegovih mehaničkih osobina. Materijal koji ima ista mehanička svojstva u svakoj tački zapremine je homogeno telo u mehaničkom smislu. Ako se mehaničke karakteristike materijala menjaju od tačke do tačke zapremine tela, onda je to nehomogeno telo. Ako su mehaničke karakteristike materijala, u bilo kojoj tački zapremine tela, iste u svim pravcima onda je to izotropano telo. Materijal koji nema iste mehaničke karakteristike u svim pravcima posmatrane tačke tela, je anizotropano telo. Materijal koji ima različite mehaničke osobine u dva međusobna upravna pravca je ortotropno telo. Primer ovakvog materijala je hladno valjani čelični lim, čiji su se kristali izdužili u pravcu valjanja, tako da u pravcu valjanja ima najbolje mehaničke karakteristike a u poprečnom pravcu najlošije. Neka se čvrsto telo izloži uravnoteženom sistemu spoljnih sila. Ovo dejstvo će prouzrokovati deformaciju tela. Ako prestane dejstvo sistema spoljašnjih sila mogu nastupiti dva slučaja: • da svaka tačka zauzme svoj prvobitni položaj, tj. da deformacije iščeznu, i • da tačke tela ne zauzmu svoj prvobitni položaj, tj. da deformacije ostanu trajne. U prvom slučaju telo je elastičano, a u drugom slučaju je neelastičano. Čelik, kao najrasprostranjeniji materijal za gradnju u mašinstvu, može se pod određenim uslovima smatrati elastičnim, homogenim i izotropnim materijalom.

17

Tehnička mehanika Otpornost materijala – vrste naprezanja

Đurković Vlado

2/6/!Wstuf!obqsf{bokb! Čvrsto telo, odnosno posmatrani konstruktivni element, pod dejstvom uravnoteženog sistema spoljašnjih sila (opterećenja), zove se napregnuto telo. U zavisnosti od vrste i načina dejstva opterećenja, u telu će se javiti odgovarjuće naprezanje. Postoji pet vrsta osnovnih naprezanja i to: • aksijalno naprezanje, • naprezanje na smicanje, • naprezanje na uvijanje, • naprezanje na savijanje i • izvijanje.

Sl. 1.10 – Vrste naprezanja

Aksijalno naprezanje nekog konstruktivnog elementa biće izazvano dejstvom opterećenja duž ose samog elementa. Ovakvo naprezanje može biti na zatezanje ako na element dejstvuju zatežuće sile (Sl. 1.10 a) i na pritisak ako dejstvuju sile na pritisak (Sl. 1.10 b). 18

Tehnička mehanika Otpornost materijala – vrste naprezanja

Đurković Vlado

Ako sile dejstvuju poprečno na konstruktivni element u jednoj ravni (Sl. 1.10 c), tj. žele da dva susedna poprečna preseka pomere (smaknu) jedan u odnosu na drugi takvo naprezanje se zove naprezanje na smicanje. Naprezanje na uvijanje konstruktivnog elementa izazivaju spregovi čija je ravan dejstva upravna na njegovu osu (Sl. 1.10 d). Naprezanje na savijanje konstruktivnog elementa izazivaju spregovi koji dejstvuju u ravni u kojoj leži njegova osa (Sl. 1.10 e). Pri dejstvu aksijalnog opterećenja na pritisak može doći do toga da konstruktivni element izgubi prvobitni oblik ravnoteže (Sl. 1.10 f), pravolinijski element postaje krivolinijski, tj. izvija se. Deformacija pri izvijanju je slična kao kod savijanja. Ovo su osnovne vrste naprezanja koja su izazvana odgovarajućim opterećenjem. Međutim, kod realnih konsgruktivnih elsmenata često su opterećenja takva da izazivaju istovremeno više vrsta naprezanja. Na primer, kod ekscentričnog pritiska ili zatezanja javlja se istovremeno aksijalno naprezanje i savijanje, kod teških vratila javlja se istovremeno uvijanje, savijanje i smicanje itd.

19

Tehnička mehanika Otpornost materijala – napon

Đurković Vlado

3/!OBQPOJ!J!EFGPSNBDJKF! 3/2/!Obqsf{bokf-!obqpo! U mehanici se proučavaju kruta tela kao idealizacija realnih tela u prirodi. Takva tela imaju osobinu da rastojanje dveju proizvoljnih čestica (tačaka) za vreme dejstva spoljašnjih opterećenja ostaje nepromenjeno. To je, dakle, apstraktan pojam uveden da bi se proučilo kretanje realnih tela. Realna tela, medutim, pod dejstvom spoljašnjih opterećenja se deformišu, to jest, menjaju oblik i zapreminu, pa se i rastojanja izmedu čestica menjaju. Takva tela se nazivaju čvrsta (deformabilna) tela.

A

A Fu

G Sl. 2.1 – Spoljašnje i unutrašnje sile

Spoljašnja opterećenja koja deluju na čvrsto telo teže da ga deformišu. Materijal tela se, shodno Njutnovom zakonu akcije i reakcije, dejstvom medumolekularnih unutrašnjih sila suprotstavlja spoljašnjim silama. Molekuli tela se tako pomeraju da se ostvari ravnoteža između spoljašnjih i unutrašnjih sila. Stanje tela (elementa), koje nastaje dejstvom spoljašnjeg opterećenja i odgovarajućih unutrašnjih otpora naziva se naprezanje. Ako je, na primer, na kraju užeta obešen teret 20


Đurković Vlado

težine G, onda se u užetu uspostavlja unutrašnja sila Fu , koja je, ako se zanemari masa užeta, po intenzitetu jednaka težini G (Sl. 2.1). Da bi se stekla jasnija predstava o veličini unutrašnjih sila, primenjuje se metoda fiktivnog (zamišljenog) preseka. Zamislimo da smo telo presekli po preseku K-K (sl. 2.2) i odstranili desni deo. Da bi levi deo bio u ravnoteži, mora uticaj desnog, odsečenog dela, da se zameni unutrašnjim silama, pri čemu rezultanta spoljašnjih sila mora da je kolinearna i jednaka po intenzitetu rezultanti unutrašnjih sila. Intenzitet G unutrašnjih sila definiše sile preko vektora ukupnog napona ( p ) , koji je jednak (Sl. 2.2. a i Sl. 2.3a) G G G ∆F dF p = lim = , Pa. ∆A→0 ∆ A dA

Sl.2.2 – a) Ukupni napon, b) normalni i tangentni napon.

Vektor ukupnog napona može se razložiti na normalni i tangentni napon (Sl. 2.2 bG ) G G p = σn n + τt G G gde su n i t odgovarajući jedinični vektori. Normalni napon je upravan na poprečni presek i jednak je F σn = n . A Tangentni napon (napon smicanja), deluje u ravni preseka i jednak je 21


Đurković Vlado

FT , A G gde su Fn i FT – intenziteti normalne i tangentne komponente sile F . τ=

Ako se kroz posmatranu tačku O povuče druga presečna ravan, onda će površina preseka imati drugačiji oblik i normalu drugog pravca. Raspodela unutrašnjih sila po novom preseku biće drugačija, pa i rezultanta unutrašnjih sila na maloj površini u okolini tačke O. Samim tim i ukupni napon u tački O za novu površinu preseka biće drugačiji, Zbog toga se mora naznačiti u indeksu normala površine preseka na kojoj deluje ukupni napon (Sl. 2.3 c). Kroz jednu tačku može se povući bezbroj ravni i na svakoj od njih deluje drugi ukupan napon. Ukupni napon u svakoj presečnoj ravni predstavlja stanje napona u tački. Na prvi pogled izgleda da je praktično nemoguće odrediti stanje napona u tački, ali može se pokazati da ako se poznaju ukupni naponi na tri uzajamno upravne presečne ravni koje prolaze kroz posmatranu tačku, onda se može odrediti ukupan napon za bilo koju presečnu ravan koja prolazi kroz posmatranu tačku. Ako su vektori koji određuju stanje napona u tački raspoređeni u prostoru onda je to prostorno stanje napona, a ako su u ravni onda je to ravno stanje napona i kada su kolinearni (istog pravca) onda je to linearno stanje napona.

Sl. 2.3 – a) Proizvolja ravan preseka tela b) Presek K-K tela u ravni π , c) Proizvoljna presečna ravan i koordinatni sistem u tački O. 22


Đurković Vlado

Jedinica za merenje napona, u međunarodnom sistemu jedinica (SI), je paskal, i obeležava se sa Pa. To je napon koji se dobije kada se sila od 1N N podeli sa površinom od 1m 2 , tj 1Pa = 1 2 . Paskal je, u poređenju sa m naponima koji se javljaju u inžinjeriskim konstrukcijama, vrlo mala veličina. Zato se upotrebljava milion puta veća jedinica megapaskal N MPa. Vrlo često se u praksi napon izražava u , iako ta jedinica nije u mm 2 N međunarodnom sistemu jedinica. Veza između MPa i je: mm 2 N 1MPa = 1 . mm 2 Neka se dato napregnuto telo preseče proizvoljnom ravni koja prolazi kroz tačku O (Sl. 2.3 b) i postavi koordinatni sistem l , m , n sa koordinatnim početkom u njoj tako da osa n bude normalna na površinu preseka, a ose l i m da leže u ravni preseka. Ukupan napon u tački O koji G deluje na površini preseka čija je normala n biće pn . Uobičajeno je da se vektor ukupnog napona razloži u dve komponente: u komponentu u G G pravcu normale σn i komponentu čije je dejstvo u ravni preseka τn . G Komponenta σn , koja deluje u pravcu normale, zove se normalni G napon, a komponenta u ravni preseka τn zove se smičući ili tangencijalni napon. Tangencijalni napon se razlaže u dve komponente u pravcu ose l , G G τn l , i u pravcu ose m , τn m . Znači, prvi indeks kod tangencijalnog napona

označava normalu površine u kojoj deluje, a drugi indeks označava pravac G delovanja. Tako na primer τ x y označava tangencijalni napon u posmatranoj tački, koji deluje na površini čija je normala osa x , a deluje u pravcu ose y . Ako se izdvoji elementarna zapremina napregnutog tela u okolini tačke O u obliku paralelopipeda ( dx, dy , dz ) , (Sl. 2.4), onda će se na njegovim stranicama javiti odgovarajuće komponente napona, da bi izdvojeni element bio u ravnoteži. Pošto njegove stranice leže u trima 23


Đurković Vlado

upravnim ravnima to će komponente ukupnog napona na njima definisati naponsko stanje u tački O . Komponente napona mogu da se napišu u obliku tenzora: ⎧ σx τx y τx z ⎫ {σi j } = ⎪⎨τ y x σ y τ y z ⎪⎬ . ⎪τ ⎪ ⎩ z x τz y σz ⎭ Može se pokazati, iz uslova ravnoteže, da su tangencijalni naponi na dvema upravnim površinama jednaki i usmereni ka liniji preseka površina ili od nje: τx y = τ y x , τ y z = τz y i τz x = τx z . z

x

y

y

y x

Sl. 2.4 – Elementarna zapremina napregnutog tela u okolini tačke O u obliku paralopipeda

Dobijena zavisnost se zove stav o konjugovanosti tangencijalnih napona. Na osnovu toga, za poznavanje naponskog stanja u tački potrebno je poznavati šest umesto devet komponenti (jer je tenzor napona simetričan u odnosu na glavnu dijagonalu). Postoje uzajamno upravne ravni u kojima nema tangencijalnih napona već samo normalnih. U tom slučaju ukupni i normalni naponi se poklapaju. Ovi naponi se zovu glavni naponi, a pravci u kojima oni deluju zovu se 24


Đurković Vlado

pravci glavnih napona i obeležavaju se indeksima 1, 2 i 3. Pa tenzor napona ima oblik: ⎧σ1 0 0 ⎫ {σi j } = ⎪⎨ 0 σ2 0 ⎪⎬ , pri čemu je σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , Sl. 2.5. ⎪0 0 σ ⎪ ⎩ 3⎭

Sl. 2.5 – Pravci glavnih napona

Ravno stanje napona u nekoj tački napregnutog tela, kako je već rečeno, je takvo stanje u kome vektori ukupnih napona za sve presečne ravni leže u jednoj ravni. Ovakvo stanje napona nastaje ako je ploča napadnuta uravnoteženim sistemom spoljnih sila u ravni ploče. U ovakvim slučajevima može se praktično smatrati da su ukupni naponi u presecima paralelnim sa srednjom ravni ploče jednaki nuli.

Sl. 2.6 – Ploča i uravnoteženi sistem sila u ravni ploče

Na (Sl. 2.6) prikazana je ploča napadnuta uravnoteženim sistemom spoljnih sila u ravni ploče, postavljene tako da je srednja ravan ploče paralelna sa koordinatnom ravni xy . Kako na površinama paralelnim 25


Đurković Vlado

sa srednjom ravni ploče, čija je normalna osa z , nema ukupnog napona pa će komponente σ z , τ z x , i τ z y biti jednake nuli, pa će tenzor napona za ravno stanje napona biti dat izrazom 1 1 σn = ( σ x + σ y ) + ( σ x − σ y ) cos 2ϕ + τ sin 2ϕ 2 2 1 τn l = ( σ x − σ y ) sin 2ϕ − τ cos 2ϕ . 2 Ako isečemo elementarni paralelopiped u okolini tačke O dimenzija dx , dy i δ onda će na stranicama dx δ i dy δ biti ukupni naponi dati komponentama σ y , σ x i τ (Sl. 2.7). Na ovoj slici elementarni paralelopiped je prikazan u ravni x y tako da su stranice dx δ i dy δ prikazane samo linijama dx i dy .

Sl. 2.7 – Ploča u ravni i naponi na njoj

Analiza naponskog stanja svodi se na proučavanje promene napona u zavisnosti od položaja preseka kroz tačku, a krajnji cilj je da se odrede ekstremne veličine normalnih i smičućih napona, kao i položaj preseka u kojima se oni javljaju. Ako se uzme proizvoljan presek čija normala n zaklapa ugao ϕ sa x osom, na kome su komponente napona σn i τ n l . Postavljanjem uslova ravnoteže dolazi se do jednačina: 26


Đurković Vlado

1 1 σ x + σ y ) + ( σ x − σ y ) cos 2ϕ + τ sin 2ϕ , (a) ( 2 2 1 τn l = ( σ x − σ y ) sin 2ϕ − τ cos 2ϕ . (b) 2 Iz prve jednačine (a) proizilazi da je ekstremna vrednost normalnog napona na površinama čije normale zaklapaju uglove ϕ = α1 i ϕ = α2 , čiji je tangens: 2τ , tg 2α = σx − σ y a vrednosti napona su: 2 1 1 σ1,2 = ( σ x + σ y ) ± σ x − σ y ) + 4τ 2 . ( 2 2 Pravci 1 i 2 su pravci glavnih napona, koji su međusobno upravni, a naponi σ1 i σ2 su glavni naponi tako da je σ1 = σ max najveć i , a σ2 = σ min najmanji normalni napon. Na površinama gde deluju ovi naponi nema smičućih napona. Takođe, iz druge jednačine (b) proizilazi da je ekstremna vrednost smičućeg napona površinama čije normale zaklapaju uglove ϕ = β1 i ϕ = β2 , čiji je tangens: σ − σy tg 2β = − x , 2τ a odnos uglova α i β je: π π β1 = α1 + ; β 2 = α2 + . 4 4 Površine na kojima je najveći smičući napon zaklapaju ugao od 45° sa ravnima na kojima je najveći normalni napon. Na površinama na kojima je najveći smičući napon postoji i normalni napon. Vrednost najvećeg smičućeg i normalnog napona na tim površinama je: 2 1 1 τ max σ x − σ y ) + 4τ2 i σn = ( σ x + σ y ) . ( min = ± 2 2 σn =

27

Tehnička mehanika Otpornost materijala – deformacije

Đurković Vlado

3/3/!Efgpsnbdjkf! Pod uticajem spoljnih sila čvrsto telo se kreće i istovremeno, u većoj ili manjoj meri menja svoj prvobitni oblik, tj. deformiše se. Pomeranje proizvoljne tačke tela može da se razdvoji na pomeranje usled kretanja tela kao krutog tela i na pomeranje usled deformacije čvrstog tela. U otpornosti materijala razmatraće se deo pomeranja tačke tela usled deformacije tela.

Sl. 2.8 – Položaj proizvoljne tačke M čvrstog tela

Položaj proizvoljne tačke M čvrstog tela određen je vektorom G položaja r (Sl. 2.8). Ako se telo izloži dejstvu uravnoteženog sistema spoljašnjih sila, usled čega će se telo deformisati, tačka M preći će u G položaj M ' koji je određen vektorom položaja r ' . Promenu položaja G tačke određuje vektor pomeranja s . Poznavanje pomeranja tačaka tela (konstruktivnog elementa) pri deformaciji daje jasnu sliku o ponašanju samog tela pri deformaciji. Međutim matematički prikaz ponašanja čvrstog tela pod dejstvom spoljnih sila zahteva da se definiše deformacija u okolini tačke. Da bi se 28


Đurković Vlado

ona opisala uvode se pojmovi dilatacija i ugaona deformacija, ili klizanje, ili smicanje. 3/4/!Ejmbubdjkb! Dato je telo i u njemu tačka O, a blizu nje na rastojanju l tačka N G koja se nalazi na osi n (Sl. 2.9). Posle deformacije tačka O se pomera u O ' tačka N u N ' . Sada je rastojanje O ' N ' = l ' .

Sl. 2.9 – Uočene tačke O i N na telu

Promena prvobitne dužine obeležava se sa ∆ l i iznosi ∆ l = l '− l . Znači rastojanje posle deformacije je promenilo dužinu za ∆ l . Za ocenu veličine deformacije zgodnije je izraziti promenu dužine u odnosu na prvobitnu dužinu. Takav odnos zove se srednja dilatacija duži ON : sr εON =

∆l . l

Granična vrednost kada se tačka N približava tački O, tj. kada l teži G nuli, je dilatacija u tački O i pravcu n . Obeležava se sa ε n :

εn = lim l →0

∆l . l 29


Đurković Vlado

Dilatacija je bezdimenzionalna veličina. Međutim, vrlo često se izražava u dimenziji metara po metru, ili u procentima. Dilatacija zavisi od položaja tačke i od pravca povučenog kroz tačku, pa je funkcija koordinata tačke i uočenog pravca kroz tačku. 3/5/!Vhbpob!efgpsnbdjkb!

Neka su u tački O data dva uzajamno upravna pravca n i l , kao i tačke N i L na tim pravcima u blizini tačke O, (Sl. 2.10).

Sl. 2.10 – Dva uzajamna pravca n i l te tačke N i L tela

Posle deformacije tačka O pomeriće se u O ' tačka N u N ' , i tačka M u M ' . Prilikom pomeranja došlo je do promene pravog ugla između datih pravaca. Granična vrednost promene prvobitno pravog ugla kada tačke M i N teže tački O naziva se ugaona deformacija, ili ugao smicanja, ili klizanje i obeležava se slovom γ i indeksima pravaca između kojih je došlo do promene prvobitno pravogugla, tj.: ⎛π ⎞ γ n l = lim ⎜ − )N ' O ' L ' ⎟ . OL→0 2 ⎠ ON →0 ⎝

Ugaona deformacija zavisi od uočenih pravaca kroz tačku i od položaja tačke, tj. od koordinata tačke.

30

Tehnička mehanika Otpornost materijala – veza između napona i deformacija

Đurković Vlado

3/6/!Wf{f!j{nf}v!obqpob!j!efgpsnbdjkb! Pojmovi i jednačine izvedene u analizi napona i deformacija su često geometrijskog karaktera, nezavisno od fizičkih osobina materijala od kojeg je deformabilno telo sačinjeno. Ponašanje napregnutog tela zavisi baš od fizičkih osobina materijala. Naime, deformacije nisu nezavisne od napona, a njihovu zavisnost određuju fizičke osobine materijala napregnutog tela. Kako su materijali koji se primenjuju u inženjerskim konstrukcijama različiti po svojim fizičkim osobinama, to su u Otpornosti materijala uvedena ograničenja u odnosu na materijal. Otpornost materijala razmatra homogeno, izotropno i idealno elastično telo. Ovako idealizovano telo omogućuje da sve veze između napona i deformacija budu iskazane relativno jednostavnim matematičkim vezama. Kod idealnog tela uzimamo da su te veze linearne. Ova uprošćenja omogućavaju da poznavajući spoljna opterećenja nekog konstruktivnog elementa, na jednostavan način odredimo naponsko i deformaciono stanje svake tačke elementa.

Sl. 2.11 – Standardna epruveta za ispitivanje

Eksperimentalno određivanje veza između napona i deformacija vrši se za svaki materijal, tako što se epruveta (Sl. 2.11), od materijala za koji se uspostavlja ova veza, izlaže aksijalnom naprezanju na istezanje 31


Đurković Vlado

ili pritisak. Oblik, dimenzije i vrsta obrade epruvete određena je SRBS (nekadašnji JUS) standardom. Epruveta ima kružni (Sl. 2.11 a) ili pravougaoni poprečni presek (Sl. 2.11 b), zavisnosti od oblika materijala. Ako se radi o limu onda epruveta ima pravougaoni poprečni presek, a za deblje materijale ima kružni poprečni presek. Dužina l0 , koja se nalazi između repernih tačaka zove se merna dužina. Na njoj se meri izduženje i promena poprečnog preseka prilikom delovanja aksijalnog naprezanja. Ispitivanje se izvodi na uređaju za zatezanje koji odmah crta dijagram između napona i dilatacije ( σ, ε dijagram). Ovaj dijagram je različit za različite materijale. Na slici (Sl. 2.12 a) pa do (Sl. 2.12 d) dati su dijagrami σ, ε za: meki čelik (Sl. 1.12 a), liveno gvožđe (Sl. 2.12 b), bronzu (Sl. 2.12 c) i beton (Sl. 2.12 d). Iz dijagrama σ, ε se vidi da se meki čelik podjednako ponaša na istezanje i pritisak, dok liveno gvožđe, bronza i beton bolje podnose pritisak nego istezanje.

Sl. 2.12 – Standardni dijagram σ, ε za različite materijale 32


Đurković Vlado

Prilikom istezanja čelične epruvete na σ, ε dijagramu imamo šest karakterističnih tačaka (Sl. 2.13 i Sl. 2.14):

0 Sl. 2.13 – Dijagram σ , ε i karakteristične tačke

•

•

•

Tačka P (granica proporcionalnosti). Kada epruvetu stavimo u čeljusti mašine i izložimo zatezanju, napon raste od nule pa do vrednosti σ P , deformacije rastu od nule proporcionalno naponu. U tom delu dijagrama veza između napona i deformacije je linearna i ako bi prestalo dejstvo napona isčezle bi i deformacije. Dakle ako bismo štap rasteretili, primetili bismo da se on u potpunosti vraća u svoje prvobitno stanje, tj. da deformacije po prestanku opterećenja potpuno nestaju. Ovakve se deformacije nazivaju elastične deformacije. Napon σ P je napon na granici proporcionalnosti. Tačka E (granica elastičnosti). Sa povećanjem napona do vrednosti σ E povećava se i deformacija, ali više ne linearno. Ako bi prestalo dejstvo napona deformacija bi iščezla, što znači da su deformacije elastične. Napon σ E se zove napon na granici elastičnosti. Tačka V (granica razvlačenja). Od tačke E nadalje deformacije sve brže rastu, sve do tačke V , kada pri naponu σ V štap prestaje da pruža otpor daljem razvlačenju, materijal kao da je počeo da teče, dilatacija raste, a napon ostaje približno isti do tačke T . Napon σ V naziva se granica razvlačenja. Uslovna (tehnička) granica 33


•

Đurković Vlado

razvlačenja je napon RP koji izaziva trajno izduženje od 0,2% . Tačka T (gornja i donja granica tečenja). Pošto je dostignuta granica tečenja materijal opet počinje da pruža otpor razvlačenju, dilatacija raste uz povećawe napona. ovu pojavu nazivamo očvršćenje materijala. Ako napon povećavamo preko granice elastičnosti pojaviće se plastične deformacije. Povećanjem napona do tačke T = TH , materijal prestaje da daje otpor razvlačewu, pa kažemo da je materijal počeo da teče. Deformacija raste uz pad napona sve do tačke TL . Tačka TH je gornja granica tečenja, a TL je donja granica tečenja. Naponi na ovim granicama su: ReH − gornja granica tečenja i ReL − donja granica tečenja.

Sl. 2.14 – Dijagram zatezanja za meki čelik: a) ( F , ∆ l ) – zapisan na kidalici, b) ( σ, ε ) – sveden na napon i relativno izduženje

•

•

Tačka M (Zatezna čvrstoća). Daljim povećanjem deformacije dolazi do povećanja napona, tj. dolazi do tzv. ojačanja (očvršćenja) materijala sve do tačke M . Veličina napona u tački M zove se zatezna čvrstoća i obeležava se sa Rm ili σ M . Zatezna čvrstoća je najveći napon koji materijal može da podnese. Tačka S (Tačka kidanja ili sloma materijala). Zatim nastaju 34


Đurković Vlado

deformacije uz smanjenje napona sve do kidanja epruvete. Napon koji odgovara tački S naziva se napon pri slomu i obeležava sa σ S . Na čitavom delu dijagrama od tačke E pa na dalje možemo primetiti da, ako štap rasteretimo, on se ne vraća u prvobitno stanje, već rasterećenje ide paralelno liniji OP , dakle, od ukupne deformacije jedan deo se vraća (elastična deformacija), dok drugi deo (plastična deformacija) trajno ostaje. Kao što vidimo, isti materijal se može ponašati i kao elastičan i kao plastičan, u zavisnosti od toga koliki su naponi. Prelaskom granice elastičnosti na spoljnoj površini epruvete javljaju se tanke naprsline pod uglom od π u odnosu na podužnu osu epruvete, 4 tj. u pravcu ekstremnih napona, koje se nazivaju Lidersovim linijama.

35

Tehnička mehanika Otpornost materijala – poprečna dilatacija. Hukov zakon

Đurković Vlado

3/7/!Qpqsf•ob!ejmbubdjkb! Ako se štap dužine l , čiji je poprečni presek krug prečnika d , izloži dejstvu optrećenja koje izaziva aksijalno naprezanje na zatezanje (Sl. 2.15), on će imati promenu dužine za veličinu (izduženje) ∆ l = l1 − l , a u isto vreme poprečni presek će i dalje ostati krug ali će mu se prečnik smanjiti za veličinu, koja se naziva suženje ∆ d = d1 − d . Znači pojaviće se u bilo kojoj tački preseka uzdužna dilatacija (relativno izduženje) ∆l , ε= l a u isto vreme i dilatacija u poprečnom pravcu koja se zove poprečna dilatacija ili kontrakcija ili relativno suženje ε p , Ona je u svim pravcima poprečnog preseka ista jer je smanjenje prečnika u svim pravcima isto, a njena veličina je: ∆d . εp = d

F

F 1 1 Sl. 2.15 – Štap pre i posle izduženja

Poprečna dilatacija je negativna pri naprezanju na zatezanje jer je ∆ d < 0 , a pozitivna je pri naprezanju na pritisak jer se prečnik povećava i tada je ∆ d > 0 . Uočeno je da poprečna dilatacija nije nezavisna od uzdužne dilatacije i od materijala štapa. Ovu pojavu je prvi uočio Poason i postavio zavisnost između poprečne i uzdužne dilatacije za materijale koji se razmatraju u otpornosti materijala. Ta zavisnost je data sledećim izrazom: 36


Đurković Vlado

ε p = −µ ⋅ ε ,

gde je µ − koeficijent proporcionalnosti koji se zove Poasonov koeficijent. On je bezdimenziona veličina, a njegova brojna vrednost zavisi od materijala i ne prelazi 0,5, tj., 0 ≤ µ ≤ 0,5 . Za krte materijale ima niže vrednosti. Njegova vrednost za čelik je µ = 0,33 . 3/8/!Ivlpw!{blpo!

Na osnovu pretpostavki uvedenih u Otpornosti materijala, telo koje poseduje te osobine je idealno. Veza između napona i deformacija je linearna (Sl. 2.13). Sa Sl. 2.16 a je veza između koordinata tačke A : σ = ε ⋅ tg α

Sl. 2.16 – Dijagrami normalnih i tangencijalnih napona u zavisnosti od deformacija i ugla smicanja

Kako je ugao α konstantan pa i tg α , α zavisi od materijala. Sa dijagrama σ − ε , Sl. 2.13 i Sl 2.16 a, je na delu OP σ tg α = = E = const. ε Ova veličina se zove modul elastičnosti materijala, ili tzv. Jungov N ⎞ ⎛ N , pa je: modul, a obeležava se slovom E ⎜ 2 , 2 ⎟ ⎝ cm mm ⎠ 1 σ = E ⋅ ε ili ε = σ . E Ovu zavisnost je prvi uspostavio engleski naučnik Robert Huk. Na isti način je veza između τ i γ , Sl. 2.16 b: 37


Đurković Vlado

1 τ. G N ⎞ ⎛ N gde je G ⎜ 2 , – elastična konstanta koja se zove modul klizanja, 2 ⎟ ⎝ cm mm ⎠ a njena vrednost zavisi od vrste materijala. Za jedan određeni materijal postoji zavisnost između modula elastičnosti, Poasonovog koeficijenta i modula klizanja: E , G= 2 (1 + µ ) što je dato u Tabeli 2.1. Elastična svojstva nekog idealnog tela su potpuno određena sa dve elastične konstante, dok se treća može izračunati koristeći izraz τ = G ⋅ γ , τ odnosno γ = . G Modul elastičnosti i modul klizanja imaju dimsziju napona, dok je Poasonov koeficijent bezdimenziona veličina. Ova veza je linearno stanje napona. Za ravno naponsko stanje napon σ x izazvaće dilataciju u pravcu x i y ose: 1 µ ε,x = σ x , ε,y = −µ ε,x = − σ x , E E 1 µ a napon σ y dilatacije: ε,,y = σ y , ε,,x = µ ε,,y = − σ y , E E Sabiranjem dilatacija u pravcu x i y ose od napona σ x i σ y i uz τ = G ⋅ γ ili γ =

jednačinu τ = G ⋅ γ veza između napona i deformacija je: 1 1 τ ε x = ( σ x − µσ y ) , ε y = ( σ y − µσ x ) i γ = . E E G Ove jednačine izražavaju Hukov zakon za ravno naponsko stanje. Ako se radi o glavnim pravcima onda treća jednačina otpada, jer nema smičućih napona: 1 1 ε1 = ( σ1 − µσ2 ) , ε2 = ( σ2 − µσ1 ) . E E

38


Đurković Vlado

Tabela 2.1. Karakteristike nekih konstruktivnih materijala Materijal

Čelici za cementaciju SRPS C.B9.020 Čelici za poboljšanje SRPS C.B9.021 Čelici za opruge SRPS C.B0.551 Tempirani liv SRPS C.J2.021 Ugljenični čelici, konstrukcioni, obični SRPS C.B0.501 Čelici za noseće konstrukcije SRPS C.B0.501 Čelici za zakovice SRPS C.B0.506 Čelični liv SRPS C.J3.011 . . Sivi liv SRPS C.J20.020 Tehničko drvo

Modul elastičnosti – E

Modul klizanja – G

Poasonov koeficijent– µ

⎡ N ⎤ ⎢⎣ mm 2 ⎥⎦ 2,1 ⋅ 105

⎡ N ⎤ ⎢⎣ mm 2 ⎥⎦ 0,81 ⋅ 105

0,3

2,1 ⋅ 105

0,81 ⋅ 105

0,3

2,1 ⋅ 105

0,81 ⋅ 105

0,3

(1,6 − 1,7 ) ⋅105

........

0,3

( 2 − 2, 2 ) ⋅105

( 0,77 − 0,85) ⋅105

0,3

( 2 − 2, 2 ) ⋅105

( 0,77 − 0,85) ⋅105

0,3

( 2 − 2, 2 ) ⋅105

( 0,77 − 0,85) ⋅105

0,3

( 2,05 − 2,15) ⋅105

( 0,79 − 0,83) ⋅105

0,3

( 0, 95 − 0,55) ⋅105 (1,15 − 0,90 ) ⋅105 (1, 25 − 1,05) ⋅105

( 0,37 − 0, 21) ⋅105 ( 0, 44 − 0,35) ⋅105 ( 0, 48 − 0, 40 ) ⋅105

........ ........ 0,23 – 0,30

0,108 ⋅ 105

........

........

(1,1 − 1,3) ⋅105

(1,6 − 1, 7 ) ⋅105

0,3

( 0, 9 − 1, 4 ) ⋅105

(1,6 − 1, 7 ) ⋅105

0,28 – 0,40

0,72 ⋅10

0, 27 ⋅ 10

0,26 – 0,33

0,100 ⋅10

5

Bakar SRPS C.D1.002 Mesing i spec. mesing Aluminijum i Al-legure za gnječenje

5

39

5

Tehnička mehanika Otpornost materijala – geometrijske karakteristike preseka

Đurković Vlado

4/!HFPNFUSJKTLF!LBSBLUFSJTUJLF!QSFTFLB! 4/2/!Vwpe! Statički moment preseka površine A u odnosu na neku osu (Sl. 3.1) jednak je zbiru proizvoda elementarnih površina tog preseka i udaljenosti njihovih težišta od izabrane ose.

Sl. 3.1 – Elementarna površina preseka

Npr. u odnosu na x − osu (Sl. 3.1) iznosi: S x = ∫ y dA ≈ ∑ yi Ai ,

(3.1)

i jednak je proizvodu površine A i udaljenosti y0 njenog težišta T od x ose S x = y0 A . Statički moment preseka površine u odnosu na osu koja prolazi kroz težište jednak je nuli. 4/3/!Npnfou!jofsdjkf!qpws|jof!qsftflb! Aksijalni moment inercije površine preseka je zbir proizvoda elementarnih površina i kvadrata udaljenosti njihovih težišta od izabrane ose (Sl. 3.1). Npr. od x ili y ose:

I x = ∫ y 2 ⋅ dA ≈ ∑ yi2 Ai , A

I y = ∫ x 2 ⋅ dA ≈ ∑ xi2 Ai . A

40

(3.2)


Centrifugalni moment inercije površine preseka međusobno upravnih osa x i y je:

I xy = ∫ xy ⋅ dA ≈ ∑ xi yi Ai .

Đurković Vlado

A za par (3.3)

A

Polarni moment inercije poprečnog preseka je zbir proizvoda elementarnih površina i kvadrata udaljenosti njihovih težišta od izabranog pola, tačka ( O ) , Sl.3.1, gde važi: ρ 2 = x 2 + y 2 ,

I O = ∫ ( x 2 + y 2 ) ⋅ dA = ∫ x 2 ⋅ dA + ∫ y 2 ⋅ dA = I x + I y . A

A

(3.4)

A

Sl. 3.2 – Elementarna površina preseka i paralelne koordinatne ose

Moment inercije preseka je uvek pozitivan. 4/4/!\ubkofspwb!ufpsfnb! Štajnerova ili Hajgensova teorema govori o vezi između momenata inercije za osu koja prolazi kroz težište površine i momenta inercije za neku proizvoljnu osu paralelnu sa prvom (težišnom) osom (Sl. 3.2). Aksijalni moment inercije preseka u odnosu na osu koja je paralelna sa osom kroz težište iznosi: Iu = I x + a2 A , I v = I y + b2 A . (3.5) 4/5/!Spubdjkb!lppsejobuoph!tjtufnb!!!! Koordinatni sistema Oxy zaokrenimo oko tačke O za ugao ϕ u položaj Ouv prikazan na Sl. 3.3. 41


Đurković Vlado

Sl. 3.3 – Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema

Ako su momenti inercije I x , I y , I xy neke površine A , za ose x , y poznati, potražimo u tom slučaju vrednosti momenata inercije I u , I v , I uv uza ose u i v koje su dobijene rotacijom osa x , y za neki ugao ϕ . Veza između osa koordinata dva koordinatna sistema sa istim koordinatnim početkom u tački O , a za koji su zaokrenuti za ugao ϕ jedan u odnosu na drugi, je: u = x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ ; v = − x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ . Po definiciji je I u = ∫ v 2dA , I v = ∫ u 2dA , I uv = ∫ u ⋅ v ⋅ dA , A

A

A

a nakon uvrštavanja izraza(3.5) dobija se: I u = I x ⋅ cos2 ϕ + I y ⋅ sin 2 ϕ − 2 I xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ , I v = I x ⋅ sin 2 ϕ + I y ⋅ cos2 ϕ + 2 I xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ ,

I uv = ( I x − I y ) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + I xy ⋅ ( cos2 ϕ − sin 2 ϕ ) . 1 + cos 2ϕ 1 − cos 2ϕ , sin 2 ϕ = , 2 2 dobijaju se izrazi za aksijalne i centrifugalne momente inercije preseka, za ose zarotiranog koordinatnog sistema: Uz pomoć obrazaca: cos2 ϕ =

42


1 1 I x + I y ) + ( I x − I y ) ⋅ cos 2ϕ − I xy ⋅ sin 2ϕ , ( 2 2 1 1 I v = ( I x + I y ) − ( I x − I y ) ⋅ cos 2ϕ + I xy ⋅ sin 2ϕ , 2 2 1 I uv = ( I x − I y ) ⋅ sin 2ϕ + I xy ⋅ cos 2ϕ , 2 a polarni moment inercije, biće: I O = I u + I v = I x + I y ⇒ I max + I min = I x + I y ,

Iu =

Đurković Vlado

(3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

što predstavlja prvu invarijantu inercije. Centrifugalni moment inercije može se izračunati i korišćenjem tzv., druge invarijante tenzora inercije: razlika proizvoda momenata inercije za bilo koje dve međusobno upravne ose i kvadrata centrifugalnog momenta inercije za iste te dve ose je invarijantna I u ⋅ I v − I uv2 = I x ⋅ I y − I xy2 , što primenjeno na glavne ose, postaje I max ⋅ I min = I x ⋅ I y − I xy2 .

(3.10)

4/6/!Qpmvqsf•ojdj!jofsdjkf!!! Pod poluprečnikom inercije za neku osu podrazumevamo veličinu određenu izrazom, Sl.3.4:

Sl. 3.4 – Poluprečnici inercije i elipsa inercije poprečnog preseka

i=

I ; I >0. A

(3.11) 43


Ova veličina za ose x i y ima oblik ix = odnosno za bilo koje ose oblik je iu =

Đurković Vlado

Ix , iy = A

Iu , iv = A

Iy A

,

Iv , A

a za glavne težišne ose I I (3.12) i1 = 1 = imax , i2 = 2 = imin . A A Ose 1 i 2 se nazivaju glavnim osama inercije, a odgovarajući momenti inercije glavnim momentima inercije. Ukoliko je koordinatni početak u težištu (centru) poprečnog preseka, ose 1 i 2 se nazivaju glavne težišne (centralne) ose inercije, a momenti inercije I1 i I 2 su glavni težišni (centralni) momenti inercije. Odnosno, glavni težišni koordinatni sistem je onaj težišni koordinatni sistem za čiji je par osa centrifugalni moment inercije jednak nuli, a aksijalni momenti inercije imaju maksimalne vrednosti. 4/7/!Fmjqtb!jofsdjkf!!! Elipsa inercije je određena jednačinom, Sl.3.4: u2 v2 + =1. (3.13) i22 i12 Elipsa inercije prati oblik konture poprečnog preseka, odnosno prostire se u pravcu prostiranja površine poprečnog preseka. 4/8/!Puqpsoj!npnfou!!! Od velikog značaja za proračune su tačke u poprečnom preseku koje su najudaljenije od težišnih osa x i y , Sl.3.5.

44


Đurković Vlado

Sl. 3.5 – Najudaljenije tačke preseka od osa x i y

Količnici I Ix = Wx i y = W y (3.14) ymax xmax se nazivaju otpornim momentima preseka za osu x i y , a takođe se mogu nazvati geometrijskom karakteristikom poprečnog preseka. Polarni otporni moment je tada: I WO = O , ρ max a za kružni poprečni presek postaje: I I WO = O = O ; D = 2 R , R D/2

45

(3.15)

(3.16)


Đurković Vlado

[bebubl! 4/2/ Za dati poprečni presek (Sl. 3.6) odrediti glavne težišne (centralne) momente inercije ( I1 = I max i I 2 = I min ) i nacrtati elipsu inercije.

Sl. 3.6 – Popčni presek

Rešenje: − Određivanje površine poprečnog preseka (Sl. 3.7 a): A = A1 + A2 + A3 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 . − Određivanje položaja težišta: Aiξ i a 2 ⋅ − a + a 2 ⋅ a + a 2 ⋅ a 3 2 3 = 1 a = 0,167a , = ξT = 2 6 a 3 Ai

ηT

∑ ∑ ∑ Aη = ∑A i

i

i

a 2 ⋅ 2 2a + a 2 ⋅ a + a 2 ⋅ − 1 2a 3 2 3 = 7 a = 0,387a . = 2 18 3a

a

f

Koordinate težišta su: T ξ T = 0,167a; η T = 0,389a − Određivanje momenata inercije za težišne ose: I x = I ξ − A ⋅ η 2T , I y = Iη − A ⋅ ξ 2T , I xy = I ξη − A ⋅ ξ T η T Momenti inercije za određene površine (1, 2 i 3) iz tablica su: 3 3 4 a ⋅ 2a a ⋅ 2a a Iξ = I ξ1 + I ξ 2 + Iξ 3 = + + = 3a 4 , 4 3 12 3 3 4 2a ⋅ a 2a ⋅ a a I η = I η1 + I η 2 + I η 3 = + + = 0,667a 4 , 12 3 12 2 2 4 2 2 I ξη = I ξη1 + I ξη 2 + I ξη 3 = − a ⋅ 2a + a − a ⋅ 2a = −0,417a 4 , 8 4 24

a f af

a f af

46


Đurković Vlado

Potrebni momenti inercije za težišne ose su: 2 I x = I ξ − A ⋅ η 2T = 3a 4 − 3a 2 ⋅ 0,389a = 2,546a 4 ,

a

a

f

I y = Iη − A ⋅ ξ 2T = 0,667a 4 − 3a 2 ⋅ 0,167a

a

f

2

= 0,584a 4 ,

fa

f

I xy = I ξη − A ⋅ ξ T η T = −0.417a 4 − 3a 2 ⋅ 0,167a ⋅ 0,389a = −0,611a 4 . − Određivanje ugla zaokreta osa 2 ⋅ −0,611a 4 2 I xy tg 2ϕ = − =− = 0,623 , Ix − Iy 2,546a 4 − 0,584a 4

c

2ϕ = 31,9230

h

⇒ ϕ 1 = 15,962 0 , ϕ 2 = ϕ 1 + 900 = 105,962 0 .

Rotiranje osa I x > I y sledi da je osa x → 1 (za ϕ 1 = 15,962 0 ) i

sledi da je osa 1 → 2 (za ϕ 2 = ϕ 1 + 900 ) .

Sl. 3.7 – a) Usvojene površine preseka; b) Glavne ose inercije 47


Đurković Vlado

af af

− Glavni centralni momenti inercije za glavne centralne ose u i v su: 2 2 I1,2 = I u ,v = I max,min = 1 I x + I y ± 1 I x − I y + 4 I xy , 2 2 2 2 = 1 2,546a 4 + 0,584a 4 ± 1 2,546a 4 − 0,584a 4 + 4 −0,611a 4 , 2 2 4 4 = 1,565a ± 1156 , a , 4 I 2 = 0,409a 4 I1 = 2,721a , − Poluprečnici glavne centralne elipse su: I I 2,721a 4 i1 = 1 = imax = max = = 0,952a , A A 3a 2 I I 0,409a 4 i2 = 2 = imin = min = = 0,369a . A A 3a 2 − Provera: I − Invarijanta I max + I min = I x + I y

b

c

b

g

h

g

c

h c

2,721a 4 + 0,409a 4 = 2,546a 4 + 0,584a 4 , 3,13a 4 = 3,13a 4 . II − Invarijanta 2 I max ⋅ I min = I x ⋅ I y − I xy

c

h

2

2,721a 4 ⋅ 0,409a 4 = 2,546a 4 ⋅ 0,584a 4 − −0,611a 4 , 1128 , a 8 = 1128 , a8 .

48

h


Đurković Vlado

Tabela 3.1. Momenti inercije površine preseka I x i momenti otpora Wx

49


Đurković Vlado

Tabela 3.2. Težišta, površine, momenti inercije i otporni momenti ravnih površina

50


51

Đurković Vlado


52

Đurković Vlado


53

Đurković Vlado


54

Đurković Vlado


55

Đurković Vlado

Tehnička mehanika Otpornost materijala – aksijalno naprezanje

Đurković Vlado

5/!BLTJKBMOP!OBQSF[BOKF! 5/2/!Vwpe! Ako je noseći element prav i ako je opterećen uravnoteženim sistemom sila čije se napadne linije poklapaju sa osom elementa, onda je to slučaj aksijalnog naprezanja. Elementi koji su napregnuti duž svoje ose zovu se štapovi. Konstrutivni elementi koji su izloženi čisto aksijalnom naprezanju su: štap rešetke, klipnjača motora sa unutrašnjim sagorevanjem (Sl. 4.1 a), tegleći uređaj na vagonu (Sl. 4.1 b), odnosno njegovi elementi: 1-tegljenica, 2-kuka tegljenika, 3-vešalica, 4-vreteno i 5stremen (Sl. 4.1 v) i drugi elementi konstrukcija.

Sl. 4.1 – Primeri aksijalnog naprezanja

Aksijalno naprezanje može biti na zatezanje ili na pritisak u zavisnosti od dejstva spoljnih sila. Napon na zatszanje je pozitivan a na pritisak negativan. 56


Đurković Vlado

Poprečni presek ovih elemenata može biti konstantan po celoj dužini, ili promenljiv. Naprezanje može biti izazvano konstantnom aksijalnom silom duž ose elementa, ili aksijalnom silom koja je promenljiva duž ose elementa. Primeri aksijalnog opterećenja gde je sila promenljiva duž ose elementa je opterećenje od sopstvene težine štapa pričvršćenog na gornjem kraju, centrifugalna sila koja deluje na lopaticu koja nastaje usled obrtanja pri radu turbine, itd. 5/3/!Obqpoj!ob!{buf{bokf!j!qsjujtbl! KadaG je štap uklješten na jednom kraju, a na drugom opterećen silom F (Sl. 4.2 a), čiji se pravac (napadna linija) poklapa sa podužnom osom štapa, on je izložen aksijalnom naprezanju – zatezanju. Tom prilikom dužina štapa se povećava, poprečni presek smanjuje. Isti slučaj aksijalnog naprezanja – zatezanje nastaje i kada je štap opterećen dvema aksijalnim, kolinearnim silama suprotnog smera, kao na Sl. 4.2 b.

Sl. 4.2 – Aksijalno naprezanje: a),b) - zatezanje, c),d) - pritisak.

Ako je štap (stub), čiji je poprečni presekG „dovoljno veliki” u odnosu na dužinu štapa, izložen aksijalnoj sili F (Sl. 4.2 c), štap će biti aksijalno napregnut – na pritisak. Istom naprezanju je izložen i štap opterećen dvema aksijalnim, pritiskujućim silama suprotnog smera, kao na Sl. 4.2 d. U ovom slučaju dužina štapa se smanjuje, a poprečni presek se povećava. Poprečni presek štapa u ovom slučaju je izložen normalnom naponu F F σz = , σ p = , (4.1) A A gde indeksi označavaju: z – zatezanje, p – pritisak. 57


Đurković Vlado

5/4/!QSJNFSJ!BLTJKBMOPH!OBQSF[BOKB! 5/4/2/!Obqsf{bokb!j{b{wbob!qspnfopn!ufnqfsbuvsf! Posmatrajmo pojavu, već opisanu u fizici, da tela pri promeni temperature menjaju dimenzije. Ovo važi i za elemente konstrukcija. Posmatraćemo homogeni idealno elastičan štap, dužine l i poprečnog preseka A , koji je izložen temperaturnoj promeni ∆t (Sl. 4.3).

Sl. 4.3 – Štap izložen homogenom temperaturnom polju

Povišenje temperature izaziva povećanje dimenzija tela, a sniženje temperature − smanjenje dimenzija. Pri tome se različiti materijali različito ponašaju. Pri porastu temperature od t1 do t 2 , tj. za veličinu ∆t = t 2 − t1 , dužina štapa l promeni se za veličinu: ∆lt = α t ⋅ t 2 − t1 ⋅ l = α t ⋅ ∆t ⋅ l , (4.2)

b

gde je α t

g

LM 1 OP − koeficijent linearnog širenja materijala pri povišenju NKQ

temperature za 1K . Vrednosti koeficijenta linearnog širenja za pojedine materijale date su u tabeli 4.1. Relativna deformacija usled promene temperature se određuje obrascem: ∆l (4.3) ε t = t = α t ⋅ ∆t . l Ako je štap obostrano uklešten, tako da ne može da se širi, u poprečnom preseku se javlja napon σ t = E ⋅ ε t = E ⋅ α t ⋅ ∆t , (4.4) kao i na mestima ukleštenja sila: F = σ t ⋅ A = E ⋅α t ⋅ ∆t ⋅ A . (4.5) 58


Đurković Vlado

Tabela 4.1 Koeficijent linearnog širenja za pojedine materijale

αt

Materijal gvožđe

LM 1 OP NKQ

Materijal bakar

12,00 ⋅ 10−6 12,00 ⋅ 10−6 23,80 ⋅ 10 −6 23,00 ⋅ 10−6

ugljenični čelik aluminijum duraluminijum

bronza mesing cink

αt

LM 1 OP NKQ

17,00 ⋅ 10−6 17,00 ⋅ 10−6 19,00 ⋅ 10−6 19,00 ⋅ 10−6

U slučaju da je između oslonaca i štapa zazor veličine δ (Sl. 4.4), onda je izduženje od temperaturne promene i skraćenje od sile jednako zazoru δ : ∆ lt + ∆ l = δ .

Sl. 4.4 – Štap sa zazorom izložen širenju

G Zamenom izraza za ∆lt i ∆l i rešavanjem po sili F , biće:

FG H

F = E ⋅ A ⋅ α t ⋅ ∆t −

IJ . lK

δ

(4.6)

5/4/3/!Bltjkbmop!obqsf{bokf!vtmfe!tpqtuwfof!ufajof!

Posmatraćemo štap dužine l i promenljivog poprečnog preseka, vezan gornjim krajem (Sl. 4.5). Ukupna težina dela štapa ispod preseka Gz , pri konstantnoj specifičnoj težini γ , iznosi:

z

z l

z l

Gz = γ ⋅ dV = γ ⋅ Az ⋅ dz =γ Az ⋅ dz . V

z

z

Prema Sl. 4.5, napon u preseku na rastojanju z je:

59

(4.7)


z

Đurković Vlado

l

σz =

σz Az

γ Az ⋅ dz =

z

.

Az

(4.8)

Sl. 4.5 – Štap opterećen sopstvenom težinom na istezanje

z l

Izduženje štapa na osnovu jednačine ∆l =

z l

∆l =

0

Gz ⋅ dz γ = E ⋅ Az E

z l

0

0

Aξ ⋅ dξ Az

⋅ dz .

F ⋅ dz F ⋅ l je: = A⋅ E A⋅ E

(4.9)

Ako je poprečni presek konstantan, tj. Az = A = const . , onda će težina biti: Gz = γ A ⋅ l − z , (4.10) a napon u preseku na rastojanju z : γ A l−z σz = =γ ⋅ l−z . (4.11) A Dužina štapa pri kojem je napon jednak zateznoj čvrstoći (jačina materijala na kidanje) naziva se kritična dužina i obeležava se sa lk , tj.:

b g b g b g

σ j = γ ⋅ lk , odakle je: lk =

σj . γ

(4.12)

Na osnovu formule (4.12) može se reći da je kritična dužina štapa dužina pri kojoj nastupa kidanje štapa. γ ⋅ l2 G ⋅l Izduženje štapa konstantnog preseka biće: ∆l = = . (4.13) 2E 2 EA 60

Tehnička mehanika Otpornost materijala - aksijalno naprezanje

[bebubl! 5/2/ Za dati {tap (Sl. 4.6 a, odrediti napone u popre~nim presecima. Dato je: A1 = 6 cm2 , A2 = 3 cm2 , A1 =2, A2 F = 96 kN .

Đurković Vlado

Sl. 4.6 a.

Sf|fokf; − Broj nepoznatih: n: FA , FB = 2 ,

b

− Broj jedna~ina: S:

g

d∑ Z i = 1 , i

− Broj dodatnih jedna~ina je: n − S = 2 − 1 = 1. − Jedna~ine su: 10 ∑ Zi = 0 , − FA + F − FB = 0 ,

(a)

b g bg

2 0 ∆l = 0 , ∆l FB + ∆l F = 0 , F ⋅ 2a FB ⋅ a F ⋅ a E A1 − B − + = 0 /⋅ , E A1 E A2 E A1 a A FB ⋅ 2a − FB ⋅ a 1 + F ⋅ a = 0 , A2 A 2 FB − FB 1 + F = 0 , A2

FG H

− FB 2 +

FB =

IJ K

A1 + F = 0, A2

F A 2+ 1 A2

=

96 = 24 kN , 2+2

61

(b)


Iz jedna~ine (a) sledi: − FA + F − FB = 0 , F − FB = FA , 96 − 24 = FA , FA = 72 kN . Odre|ivawe napona u presecima: F 72 kN = 12 2 , σa = A = A1 6 cm F 24 kN =4 2 , σb = B = A1 6 cm F 24 kN =8 2 . σc = B = A2 3 cm

Đurković Vlado

Sl. 4.6 b.

[bebubl! 5/3/ [tap je u~vr{}en na oba kraja prema Sl. 4.7. Odrediti napone u preseku A1 pri temperaturnoj promeni ∆T = 300 C . Dato je: a = 20cm , b = 10cm ,

Sl. 4.7.

c = 20cm , A1 = 1cm2 , A2 = A3 = 2 cm2 , α = 125 ⋅ 10−7 , kN E = 2 ⋅ 104 . cm2 Sf|fokf; − Broj nepoznatih: n: FA , FB = 2 ,

b

− Broj jedna~ina: S:

g

d∑ Z i = 1 , i

− Broj dodatnih jedna~ina je: n − S = 2 − 1 = 1.

62


Đurković Vlado

− Jedna~ine su: 10 ∑ Zi = 0 , − FA + FB = 0 ,

(a)

2 0 ∆l = 0 , ∆l FB + ∆l ∆ T = 0 ,

(b)

b g b g

FB ⋅ a FB ⋅ b FB ⋅ c + + + α ⋅ l ⋅ ∆t = 0 , E A2 E A1 E A3 FB

FG a + b + c IJ + α ⋅ l ⋅ ∆t = 0 , HEA EA EA K 2

FB = −

1

3

α ⋅ l ⋅ ∆t , a b c + + E A2 E A1 E A3

Sl. 4.8.

b

g IJ K

125 ⋅ 10−7 20 + 10 + 20 ⋅ 300 FB = − , 1 20 10 20 + + 1 2 E 2 −7 125 ⋅ 10 ⋅ 50 ⋅ 300 ⋅ 2 ⋅ 104 FB = − = −12,5 kN . 10 + 10 + 10 Odre|ivawe napona u preseku A1 : F −12,5 kN σ1 = B = = −12,5 2 . A1 1 cm Napomena: Znak za napone treba da prati znak aksijalne sile.

FG H

b

g

63


Đurković Vlado

[bebubl! 5/4 Nacrtati dijagrame Fa , σ , ∆l i ε {tapa aksijalno optere}enog (Sl. 4.9 a) ako su: F = 2kN , A = 4cm2 , a = 0,8m i kN E = 2 ⋅ 108 2 . m

Sl. 4.9.

Sf|fokf; Iz uslova ravnoteè: ∑ Z = FA − 6 F + 2 F = 0

odre|ujemo nepoznatu reakciju oslonca A : FA = 4 F = 8kN . Za odre|ivawe aksijalnih sila imamo dva poqa: AB i BC (Sl. 4.9 b): Fal = FA = −8kN = const . , za 0 ≤ z1 ≤ 0,8m , Fad = 2 F = 4kN = const . , za 0,8 ≤ z2 ≤ 1,6m . Ovim aksijalnim silama odgovaraju konstantni naponi (Sl. 4.9 c): F kN 8 poqe AB : σ = a = − = −1 2 = const . , cm 2A 8 kN Fa 4 poqe BC : σ = = = 1 2 = const . . cm 2A 4 Relativno pomerawe preseka B (Sl. 4.9 d), u odnosu na nepokretni ukle{teni presek, iznosi: Fa ∆a1 = a = −0,4 ⋅ 10−2 cm E ⋅2 A a relativno pomerawe preseka C , u odnosu na presek B , iznosi:

64


Đurković Vlado

Fa a = 0,4 ⋅ 10−2 cm , E ⋅2 A tako da apsolutno pomerawe preseka C , tj. pomerawe u odnosu na ukle{teni presek, jednako je: ∆l = ∆a1 + ∆a2 = −0,4 ⋅ 10−2 + 0,4 ⋅ 10−2 = 0 . Preostaje da se sra~unaju relativna izduèwa u ovim poqima (Sl. 4.9 e). Za wih nalazimo: ∆a 0,004 ∆a 0,004 ε= 1 =− = −0,005 , ε = 2 = = 0,005 . a 0,8 a 0,8 ∆a2 =

[bebubl!5/5/ Nacrtati dijagrame Fa , σ , ε i ∆l homogenog {tapa G AB , duìne l , optere}enog sopstvenom teìnom G i preseka A cm2 (Sl. 4.10 a). Sf|fokf; Reakcija ukle{tewa jednaka je teìni {tapa: FA = G = γ ⋅ A ⋅ l , gde je γ − specifi~na teìna {tapa. Zakon promene aksijalne sile odredi}emo metodom preseka (Sl. 4.10 b), u preseku na udaqenosti z od ukle{tewa, iz uslova ravnoteè: ∑ Z = Fa − FA + γAz = 0 , tako da je: Fa = γAl + γAz = γA l − z ,

b g

za 0 ≤ z ≤ l (Sl. 4.10 c).

Sl. 4.10.

Napon u preseku na udaqenosti z iznosi: 65


Đurković Vlado

b g

Fa = l − z γ , za 0 ≤ z ≤ l (Sl. 4.10 d). A Prema ovom zakonu, zakon promene dilatacije (Sl. 4.10 e) ima oblik:

σ=

ε=

σ

γ

b g

l−z . E E Preostalo je da odredimo zakon pomerawa preseka u odnosu na ukle{teni presek. Prema obrascu za izduèwe, imamo:

z z

=

∆l = ε ⋅ dz = 0

γ E

zb z

0

g

γ

bl − z g 2E γ l − bl − z g = 2E

l − z dz = −

2

2

2 0

2

=

, (Sl. 4.8 d)

[bebubl! 5/6/ Nosa~ ABC tereta teìne G = 10kN sastoji se od {tapova AB i BC (Sl. 4.11 a). Veze u ta~kama A , B i C su zglobne. kN kN Oba {tapa su od ~elika, za koji su: σ de = 1,2 ⋅ 105 2 , σ dc = 1,0 ⋅ 105 2 m m kN i E = 2 ⋅ 108 2 . m Dimenzionisati {tapove i odrediti vertikalno pomerawe ~vora B .

Sl. 4.11. 66


Đurković Vlado

Sf|fokf; Iz uslova ravnoteè ~vora B nalazimo sile u {tapovima AB i BC (Sl. 4.11 b): ∑ X = S2 − S1 cosα = 0 ,

∑ Y = S sin α − G = 0 , 1

odakle je: G S1 = = 10 5 = 22,35kN , sin α S2 = G ⋅ ctg α = 20kN . [tap AB je optere}en na pritisak, a {tap BC na istezawe. Prema obrascu za povr{inu, wihovi preseci treba da budu: S S AAB = 2 = 20 ⋅ 10−5 m2 , ABC = 1 = 18,6 ⋅ 10−5 m2 .

σ dc

σ de

Da bismo izra~unali vertikalno pomerawe ~vora B , odredimo poloàj B1 ta~ke B pod optere}ewem. Ovo ~inimo zami{qaju}i da smo u ta~ki B rastavili {tapove im izduèwa, odnosno G i dozvolili G skra}ewa, pod dejstvom sila S1 i S2 (Sl. 4.11 c). Tako nalazimo poloàje B , i B" i izduèwa (odnosno skra}ewa): Sl Sl ∆l1 = 1 1 = 1,34 mm , ∆l2 = 2 2 = 0,5mm . E1 ABC E2 AAB Daqe, iz ta~aka B , i B" treba povu}i normale na {tapove i u wihovom preseku odrediti poloàj B1 ta~ke B . Ove normale zamewuju lukove, polupre~nika AB , i BB" , povu~ene iz centara A i C . Ovakva zamena se vr{i ~esto u otpornosti materijala, jer je deformacija {tapova mala pri upore|ivawu sa wihovim dimenzijama. U na{em primeru za vertikalno pomerawe ta~ke B imamo: BB , BB" ∆l1 ∆l ∆l y = Bb + B1a = + = + 2 = ∆l1 5 + 2 ∆l2 = 4 mm . sin α tg α sin α tg α [bebubl! 5/7/ [tap AB , duìne Gl i popre~nog preseka A , u preseku m − n optere}en je silom F (Sl. 4.12). Odrediti reakcije obostranog ukle{tewa {tapa. 67


Đurković Vlado

Sf|fokf; Zadatak je jedanput stati~ki neodre|en, jer imamo jednu stati~ku jedna~inu, ∑ z = 0 , a dve nepoznate veli~ine, FA i FB . Drugu jedna~inu moèmo dobiti geometrijskim putem. Naime, G osloba|awem kraja A od veze, silu FA progla{avamo aktivnom silom,G paGje ukupno pomerawe kraja A jednako nuli pod dejstvom sila F i FA .

Sl. 4.12.

bF

g

− F l2 FA l1 + = 0. EA EA l Iz ovog uslova nalazimo: FA = 2 F , l1 + l2 Taj uslov je:

∆l =

A

da bismo iz uslova ravnoteè:

∑Z = F

A

odredili i nepoznatu reakciju FB : FB =

+ FB − F = 0

l1 F. l1 + l2

[bebubl! 5/8/ (Sl. 4.13). Tri {tapa AB , DB i CB me|usobno su vezana zglobom B , a drugim krajevima, u ta~kama A , D i C , zglobovima za plafon. Svi {tapovi leè u jednoj ravni. U ta~ki B je obe{en teret teìne F = 10kN . Sredwi {tap je duìne l1 = 0,5m , a bo~ni sa wim obrazuju uglove α = 450 . Bo~ni {tapovi su od mesinga, kN kN za koji su: σ de = 8,10 2 i E2 = 108 2 . Sredwi {tap je od ~elika, za m m

68


Đurković Vlado

kN kN i E1 = 2,1⋅ 108 2 . Povr{ina preseka sredweg 2 m m 2 {tapa je A1 = 1cm , a bo~nog je A2 = 2cm2 . Odrediti sile i napone u {tapovima. koji su: σ de = 1,3

Sl. 4.13.

Sf|fokf; Posle osloba|awa od veza, tj. uklawawa G' G G " {tapova, wihove uticaje na ta~ku B zamewujemo silama F2 , F1 i F2 (Sl. 4.13 b). Za ove tri nepoznate imamo dva uslova ravnoteè, jer sve tri sile leè u jednoj ravni. Tako je ovaj zadatak jedanput stati~ki neodre|en, pa je neophodno formirati jo{ jednu jedna~inu iz geometrijskih rasu|ivawa. Umesto dva uslova ravnoteè, iskoristi}emo uslov simetrije i jedan uslov ravnoteè. Iz uslova simetrije imamo jednakost: F2' = F2" = F2 , a iz uslova ravnoteè jedna~inu: ∑ Z = 2 F2 cosα + F1 − F = 0 . Da bismo formirali geometrijski uslov, zami{qamo da smo {tapove oslobodili veze u ta~ki B i dozvolili im izduìvawe pod datim optere}ewem. Pri tome se {tap DB izduìo za veli~inu: Fl BB1 = ∆l1 = 1 1 . (a) E1 A1 Izduèwa {tapova AB i BC su jednaka i zbog jednakosti materijala i zbog wihovih preseka. S obzirom na to da su posredi male deformacije, moè se uzeti da je AE = AB , pri ~emu je ta~ka E 69


Đurković Vlado

dobijena spu{tawem normale iz ta~ke B na pravac AB1 . Tako je odre|ena deformacija levog {tapa EB1 , kao i desnog, i ona iznosi: EB1 = BB1 cosα . (b) Sa druge strane, deformacija EB1 {tapa AB vr{i se pod dejstvom G sile F2 i iznosi: Fl EB1 = 2 2 . (c) E2 A2 Zamenom jednakosti (a) i (c) u (b) dobijamo traènu dopunsku jedna~inu, u obliku: F2 l2 F1 l1 cos α = . (d) E2 A2 E1 A1 Ovoj jedna~ini pridodajemo formirani uslov ravnoteè i iz tih dvaju jedna~ina nalazimo: F cos2 α F ≈ 2,93kN . F1 = ≈ 5,86 kN , F2 = 1 + 2 cos2 α 1 + 2 cos2 α Traèni naponi u popre~nim presecima {tapova su: F kN F kN σ ~l. = 1 = 5,86 2 , σ mes. = 2 = 1, 465 2 . A1 cm A2 cm [bebubl! 5/9/ êli~ni {tap, promenqivog preseka, ukle{ten je izme|u dva zida (Sl. 4.14). Odrediti napone u popre~nim presecima oba dela ako se temperatura povisila od t1 do t2 .

Sl. 4.14. Sf|fokf; Ukupno {irewe {tapa iznosi: ∆lt = α t ⋅ t 2 − t1 l2 + l1 .

b

gb

g

70

(a)


Đurković Vlado

Kako zidovi ne dozvoqavaju {irewe {tapa, oni }e na {tap vr{iti pritisak silom F , skra}uju}i ga za duìnu ∆l , koliko bi se izduìo da nije ukle{ten. S obzirom na razli~itost preseka i jednakost materijala, oba dela {tapa, ovo izduèwe iznosi: F ⋅ l1 F ⋅ l2 ∆l = = (b) A1 ⋅ E A2 ⋅ E i mora da bude jednako izduèwu (a). Izjedna~avaju}i izduèwa (a) i (b), nalazimo silu:

F=

b

gb

α t ⋅ t2 − t1 l1 + l2

FG H

1 l1 l + 2 E A1 A2

IJ K

g,

kao i napone:

σ1 =

F , A1

σ2 =

F . A2

71


Đurković Vlado

[bebubl!5/:/ Nacrtati dijagrame aksijalnih sila, normalnih napona i pomerawe po duìni datog {tapa (Sl. 4.15). Uticaj sopstvene teìne {tapa zanemariti.

Sl. 4.15.

Sf|fokf/ 10 Aksijalne sile: Nepoznata veli~ina otpora podloge: FA . Stati~ki uslov ravnoteè ∑ F = 0 daje:

FA + 3F − F = 0 , FA = −2 F . 0 2 Normalni naponi su: F σ= , A F 2F F σI = − A = − =− , 2A 2A A

72


Đurković Vlado

− FA + 3F −2 F + 3F F = = , 2A 2A 2A F σ III = . A F⋅L 30 Pomerawe po duìni {tapa: ∆l = E⋅A F⋅L 2F ⋅ L =− . I deo {tapa AB , ∆l1 = − E ⋅2 A E⋅A F⋅L 1 F⋅L = ⋅ . II deo {tapa BC , ∆l2 = E ⋅2 A 2 E ⋅ A F ⋅2L F⋅L = 2⋅ . III deo {tapa CD , ∆l3 = E ⋅2A E⋅A Ukupno izduèwe {tapa: ∆ l = ∆ l1 + ∆ l2 + ∆ l3 , F⋅L 1 F⋅L F⋅L ∆l = − + +2 , E⋅A 2 E⋅A E⋅A 3 F⋅L ∆l = ⋅ . 2 E⋅A

σ II =

d i d i d i

[bebubl!5/21/ Parovodna ~eli~na cev, duìne L = 30m , montira se pri t1 = 288K . Kada se kroz wu propusti para, temperature t2 = 453K , za koliko }e se cev izduìti ako je jedan kraj slobodan? 1 . Koeficijent linearnog {irewa je α = 125 ⋅ 10−7 K

LM OP N Q

Sf|fokf/ Izduèwe cevi je jednako: ∆ L = L ⋅α ⋅ ∆t ,

b

g

∆ L = 30 ⋅ 125 ⋅ 10−7 ⋅ 453 − 288 , ∆ L = 6,9 ⋅ 10−2 m . [bebubl! 5/22/ Data je konstrukcija kao na slici (Sl. 4.16 a). [tap AC , kru`nog popre~nog preseka, od ~elika, sa dozvoqenim 73


Đurković Vlado

naponom σ d 1 = 160MPa i modulom elasti~nosti E1 = 200 GPa , zglobno je vezan za {tap BC , a optere}en je silom F u ta~ki C . [tap BC je kvadratnog popre~nog preseka, od drveta, sa dozvoqenim naponom σ d 2 = 4 MPa i modulom elasti~nosti E2 = 10GPa . Odrediti: a) potrebne dimenzije popre~nog preseka, b) horizontalno i vertikalno pomerawe zgloba C .

Sl. 4.16 a.

Sf|fokf/

Fi ≤ σ di Ai Sa slike 10.16 b je: F1 = ctgβ ⇒ F1 = F ⋅ ctgβ , F F F = sin β ⇒ F2 = , sin β F2 2 tgβ = β = 33,69 0 , 3 F1 = 60 ⋅ ctg 33,69 0 = 60 ⋅ 1,5 = 90kN , 60 60 F2 = = = 108,17 kN , 0 sin 33,69 0,555

a) σ max ≤ σ d i

74


A1 = A2 = A1 =

F1

=

90 ⋅ 103 = 5,625 ⋅ 10−4 m2 , 160 ⋅ 106

F2

=

108,17 ⋅ 103 = 270,425 ⋅ 10−4 m2 , 4 ⋅ 106

σ d1 σ d2 d12π

d1 =

4

Đurković Vlado

= 5,625 ⋅ 10−4 m2 ,

4 ⋅ 5,625 ⋅ 10 −4

π

= 2,68 ⋅ 10−2 m2 ,

A2 = a = 270,425 ⋅ 10−4 m2 , a = 16,4 ⋅ 10 −2 m . 2

Sl. 4.16 b. Sl. 4.16 c.

b) Kru`nu liniju po kojoj bi se zaokrenuo {tap aproksimiramo tangentom po{to su pomerawa vrlo mala (Sl. 4.16 c). δ cH = ∆ L1 ,

δ c = C ' C ''' = C ' D + DC ''' = V

∆ L1 =

∆ L2 + ∆ L1ctgβ , sin β

F1 L1 90 ⋅ 103 ⋅ 3 = = 0,24 ⋅ 10−2 m , −4 9 E1 A1 200 ⋅ 10 ⋅ 5,625 ⋅ 10

75


∆ L2 = −

Đurković Vlado

F2 L2 108,17 ⋅ 103 ⋅ 3,605 =− = −0,144 ⋅ 10−2 m , E2 A2 10 ⋅ 109 ⋅ 270,425 ⋅ 10 −4

δ c = ∆ L1 = 0,24 ⋅ 10−2 m , H

0,144 ⋅ 10−2 + 0,24 ⋅ 10−2 ctg 33,69 , sin 33,69 = 0,6196 ⋅ 10−2 m ≈ 0,62 ⋅ 10−2 m .

δc = V

δc

V

[bebubl! 5/23/ Pod dejstvom datog optere}ewa, {tap se izduì za 2mm (Sl. 4.17). Odrediti veli~inu optere}ewa F , ako su poznati moduli elasti~nosti E Al = 75GPa i E Br = 110GPa , rastojawa a1 = 0,1m , a2 = 0,1m i a3 = 0,1m , kao i povr{ine A1 = 4 ⋅ 10−4 m2 i A2 = 25 ⋅ 10−4 m2 .

Sl. 4.17.

Sf|fokf; ∆ l = ∆ a1 + ∆ a2 + ∆ a3 = 0,02 cm , F ⋅ a1 F ⋅ 0,1 2 = = 0,167 ⋅ 10 −8 ⋅ F , ∆a1 = −4 9 E1 ⋅ A1 2 ⋅ 75 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10 F ⋅ a2 F ⋅ 0,1 = = 0,333 ⋅ 10−8 ⋅ F , ∆a2 = 9 −4 E1 ⋅ A1 75 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10 F ⋅ a3 F ⋅ 0,1 = = 0,0364 ⋅ 10−8 ⋅ F , ∆a3 = 9 −4 E2 ⋅ A2 110 ⋅ 10 ⋅ 25 ⋅ 10

b

g

F ⋅ 0,167 + 0,333 + 0,0364 ⋅ 10−8 = 2 ⋅ 10−3 , F = 372,8kN .

76


Đurković Vlado

[bebubl! 5/24/ Odrediti pomerawe zgloba C u op{tim brojevima ako su {tapovi AC i BC istog popre~nog preseka i od istog materijala (Sl. 4.18).

Sl. 4.18.

Sf|fokf;!10 20

∑F

y

∑F

x

= 0 ; FA cos 600 − FB cos 300 + F = 0 ,

= 0 ; FA sin 600 − FB sin 300 = 0 ,

FB = 3FA . 3 F 30 A − FA + F = 0 , 2 2 F 3 FA = , FB = F. 2 2 3 a, 2 a L2 = BC = a ⋅ sin 300 = , 2 3 ⋅ F ⋅a F ⋅L ∆ L1 = A 1 = , 4⋅ E ⋅ A E⋅A 3 ⋅ F ⋅a 6 F ⋅a F ⋅L ∆ L2 = B 2 = ⋅ , ∆ = ∆ L12 + ∆ L22 = . 4⋅ E ⋅ A 4 E⋅A E⋅A L1 = AC = a ⋅ cos 300 =

77


Đurković Vlado

[bebubl!5/25/ êli~na ìca (Sl. 4.19 a), pre~nika d = 1mm i duìne 2 L = 2 m , horizontalno je zategnuta i na krajevima u~vr{}ena, u sredini optere}ena teretom F , koji se postepeno pove}ava. Kada je izduèwe ìce dostiglo 0,5% , ona se prekinula. Kolika je u tom trenutku sila F , koliki je napon i koliko se pomerila ta~ka C ? Zanemariti teìnu ìce i smatrati da su u woj do momenta kidawa bile samo elasti~ne deformacije.

,

Sl. 4.19 a.

∆L 5 = 0,5% = , L 1000 F1 = F2 − sile u ìci u momentu kidawa, F ⋅L ∆L ∆ L = 1 ⇒ F1 = F2 = E ⋅ A ⋅ , E⋅A L

Sf|fokf; ε =

c

h

2

1⋅ 10−3 π 5 d 2π 5 , F1 = F2 = 200 ⋅ 10 ⋅ ⋅ = 200 ⋅ 109 ⋅ ⋅ 4 1000 4 1000 F1 = F2 = 0,75kN . 9

Sl. 4.19 b.

F = 2 F1 sin α = 2 F1 ⋅ 1 − cos2 α ,

78


Đurković Vlado

1 AC L , = = AC ' L + ∆ L 1 + ∆ L L 1 1 cos α = = , 5L , 1 005 1+ 1000 cos α =

F 1 IJ 1− G H 1,005K

F = 2 ⋅ 0,75 ⋅

σ=

2

= 0,156kN ,

F1 F 0,785 ⋅ 103 = 21 = = 1GPa . −3 2 A d π 1⋅ 10 π 4 4

c

h

Pomerawe: CC ' =

b L + ∆ Lg − L , FG1000 + 1000 5 IJ − 1000 = 10 ⋅10 H 1000 K 2

2

2

AC ' − AC =

2

2

CC' =

2

−2

m.

[bebubl! 5/26/ Za {tap koji je optere}en, kao {to je prikazano na Sl. 4.20, odrediti pomerawe ta~ke B , ako su E = 200GPa , l1 = 0,5m , l2 = 1,2 m , F1 = 40kN , F2 = 70kN i A = 20 ⋅ 10−4 m2 .

Sl. 4.20. 79


Đurković Vlado

Sf|fokf; F L − L1 F − F1 ⋅ L1 ∆B = 2 2 , + 2 E⋅A E⋅A 70 ⋅ 103 1,2 − 0,5 70 − 40 ⋅ 103 ⋅ 0,5 ∆B = + , 200 ⋅ 109 ⋅ 20 ⋅ 104 200 ⋅ 109 ⋅ 20 ⋅ 104 ∆ B = 0,016 ⋅ 10−2 m .

b

g b

b

g

g b

g

[bebubl! 5/27/ Dimenzionisati {tap prikazan na Sl. 4.21, ako je σ dz = 145MPa , a ∆ Bd = 0,072 ⋅ 10−2 m . Modul elasti~nosti iznosi E = 200GPa , geometrijske karakteristike i optere}ewa dati su redom: l1 = 0,4 m , l2 = 0,6m , l3 = 0,8m , l = 1,8m , F1 = 100kN , F2 = 150kN , F3 = 120kN , a povr{ina A = 20 ⋅ 10−4 m2 .

Sl. 4. 21.

80


Đurković Vlado

Sf|fokf; − Odre|ivawe otpora podloge: ∑ Fx = 0 ⇒ − FA − F3 + F2 + F1 = 0 ,

FA = F3 + F2 + F1 = 100 + 150 − 120 = 130kN ,

− Sila koja deluje na delu BE : FBE = F1 = 100kN . − Na delu ED : FED = F1 + F2 = 100 + 150 = 250kN . − Sila na delu DA : FDA = F1 + F2 − F3 = 100 + 150 − 120 = 130kN . Za prora~un po kriterijumu ~vrsto}e merodavna je sila na delu ED , FED = 250kN . FED ≤ σ dz max σ = A F 250 ⋅ 103 d 2π −4 2 A = ED = = , ⋅ m 17 24 10 , A = , σ dz 145 ⋅ 106 4

d=

4A

π

=

4 ⋅ 17,24 ⋅ 10−4

π

= 4,685 ⋅ 10−2 m .

− Prora~un s obzirom na deformaciju: ∆ B ≤ ∆ Bd

b

g

b

g

F + F2 ⋅ L2 F + F2 − F3 ⋅ L3 F1 ⋅ L3 + 1 + 1 = ∆ Bd , E⋅A E⋅A E⋅A 1 A= F1 ⋅ L3 + F1 + F2 ⋅ L2 + F1 + F2 − F3 ⋅ L3 , ∆ Bd ⋅ E 1 100 ⋅ 103 ⋅ 0,8 + 250 ⋅ 103 ⋅ 0,6 + 130 ⋅ 103 ⋅ 0,4 , A= −2 0,072 ⋅ 10 ⋅ 200 ⋅ 109 A = 19,583 ⋅ 10 −4 m2 ,

b

d=

4A

π

=

Usvaja se d =

4 ⋅ 19,583 ⋅ 10 −4

π 4A

π

g

b

= 4,99 ⋅ 10−2 m .

= 5 ⋅ 10−2 m .

81

g


Đurković Vlado

[bebubl! 5/28/ Štap dat na Sl. 4.22 uklešten je na gornjem kraju na temperaturi t1 = −150 C , pri čemu je između donjeg kraja štapa i nepomične ravni bio ostavljen zazor od ∆ = 0,04 ⋅ 10 −2 m . Posle ukleltenja štap se zagreva na temperaturi t 2 = 850 C . Koliki je napon u štapu ako su 1 1 α ~ = 12,5 ⋅ 10−6 , E ~ = 200GPa , α Cu = 16,5 ⋅ 10−6 i ECu = 100GPa ? K K

Sl. 4.22.

Sf|fokf; − Stati~ki uslov ravnoteè:

∑F

x

= FA − FB = 0 ,

FA = FB .

− Deformacioni uslov ravnoteè: ∆ Lt~ + ∆ LtCu − ∆ LFB ~ − ∆ LFBCu = ∆ ,

FG F ⋅ L + F ⋅ L IJ = ∆ , H E ⋅ A E ⋅ AK L 2 ⋅ E ⋅ ∆t ⋅ b∆α + ∆α g − 2 ⋅ E ⋅ ∆ OP , F = A⋅ M 3 3L Q N ∆t = t − t = 85 − b−15g = 100 C L 2 ⋅100 ⋅10 ⋅100 ⋅ b12,5 + 16,5g ⋅10 − 2 ⋅100 ⋅10 ⋅ 0,04 ⋅10 OP , F = A⋅ M 3 3 ⋅ 0,2 N Q

α ~ ⋅ ∆ t ⋅ L2 + α Cu ⋅ ∆ t ⋅ L1 −

B

2

~

Cu

~

B

1

Cu

Cu

Cu

0

2

1

−6

9

6 A ⋅ 107 FB =− = −60MPa . FB = 6 A ⋅ 10 N , σ = − A A 7

82

9

−2

Tehnička mehanika Otpornost materijala – smicanje

Đurković Vlado

6/!TNJDBOKF! Transverzalne sile koje deluju upravno na podužnu osu štapa (Sl. 5.1), teže da pomere poprečni presek u odnosu na „najbliži” presek i promene njegov oblik, odnosno teže da „smaknu” poprečni presek. Takvo naprezanje se naziva smicanje. U praksi se javlja često, na primer: sečenje limova makazama, prosecanje limova, kod zavarenih konstrukcija.

Sl. 5.1 – Smicanje

Napon smicanja deluje u ravni poprečnog preseka i određuje se po formuli

τ=

F , Pa. A

(5.1)

83


Đurković Vlado

[bebubl! 6/2/ Zavrtwem su vezana dva lima, zategnuta silom F = 8kN (Sl. 5.2). Debqina spojenih limova je δ = 8mm , dozvoqeno kN naprezawe na smicawe zavrtwa je τ ds = 6 i dozvoqeno mm2 kN . Izra~unati potreban naprezawe na gwe~ewe lima je σ dc = 20 mm2 pre~nik zavrtwa.

Sl. 5.2.

Sf|fokf; Potreban pre~nik zavrtwa nalazimo iz jednakosti: d 2π F A= ≥ , τ ds 4 odakle je: 4F 4 ⋅8 ≈ 1,3cm . d= = 3,14 ⋅ 6 πτ ds Na gwe~ewe se proveravaju spojeni limovi. Merodavna povr{ina lima izloèna pritisku je polucilindri~na (Sl. 5.2 b), visine δ (debqine lima). Na woj je neravnomerno raspore|en napon i zato se uzima eksperimentalno utvr|en najve}i napon. Otuda je najve}i dozvoqeni napon na gwe~ewe obi~no 2,5σ de i za svaki materijal se daje u tablicama. Pri tome se kao merodavna povr{ina uzima povr{ina projekcije polucilindri~ne povr{ine, tj. povr{ina aba1b1 i naprezawe na gwe~ewe proverava se po obrascu: F 8 kN σc = = = 7,69 2 < 20 = σ dc . δ ⋅ d 0,8 ⋅ 1,3 cm 84


Đurković Vlado

O~evidno je da je dobijeni napon σ c mawi od dozvoqenog napona σ dc i smatra se da je provera zadovoqena. [bebubl! 6/3/ Odrediti veli~inu dozvoqene sile kojom se sme opteretiti osnovica zadate veze tako da bude zadovoqen kriterijum ~vrsto}e za smicawe, ako je dozvoqeni tangencijalni napon za smicawe τ d = 80MPa (Sl. 5.3). Za tako dobijenu silu odrediti: a) debqinu lima " t " i " t1" ako je dozvoqeni napon za bo~ni pritisak po omota~u rupe σ dρ = 260MPa , b) {irinu limenih traka " b" ako je dozvoqeni normalni napon materijala traka za zatezawe σ dz = 110MPa , c) udaqenost osnovice od kraja limenih traka " e" ako je dozvoqeni tangencijalni napon materijala traka za smicawe τ d = 80MPa .

Sl. 5.3.

Sf|fokf; a) Kriterijum ~vrsto}e za smicawe osnovice: F τ = ≤ τd , d 2π 2⋅ 4

85


c

Đurković Vlado

h

1,6 ⋅ 10−3 ⋅ π d 2π F = τd = ⋅ 80 ⋅ 106 = 32,15kN . 2 2 Debqine limova " t " i " t1" F σρ = ≤ σ dρ , t ⋅d F 32,15 ⋅ 103 t= = = 0,77 ⋅ 10−2 m = 0,8 ⋅ 10−2 m , 6 −3 σ dρ ⋅ d 260 ⋅ 10 ⋅ 16 ⋅ 10 t 0,8 ⋅ 10−2 = = 0,4 ⋅ 10−2 m . 2 2 Konstruktivno usvajamo: t1 = 0,5 ⋅ 10−2 m . t1 =

b) [irina lima " b" F σx = ≤ σ dz , t⋅ b−d

b g

b=

F

σ dz ⋅ t

+d =

32,15 ⋅ 103 + 16 ⋅ 10−3 = 5,25 ⋅ 10−2 m = 5,3 ⋅ 10−2 m . −3 6 110 ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ 10

c) Udaqenost " e" F τ = +d ≤ τd , d 2⋅ e − ⋅t 2 F 32,15 ⋅ 103 16 ⋅ 103 d e= + = + = 3,31⋅ 10−2 m = 3,4 ⋅ 10−2 m . −3 6 2 ⋅ t ⋅ τ d 2 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 80 ⋅ 10 2

FG H

IJ K

[bebubl!6/4/ Za datu vezu i optere}ewe (Sl. 5.4 a) izvr{iti kontrolu napona za zakovice i limene trake. Poznato je: τ d = 100MPa , σ dρ = 240MPa , σ dz = 140MPa .

86


Đurković Vlado

Sl. 5.4 a.

Sf|fokf;!

F 4 ⋅ 550 ⋅ 103 = 97,3MPa < 100MPa , = d 2π 9 ⋅ 2 ⋅ 20 ⋅ 10−3 2 ⋅ π n ⋅i ⋅ 4 F 550 ⋅ 103 = = = 190,0MPa < 240MPa . n ⋅ t ra~ ⋅ d 9 ⋅ 16 ⋅ 10−3 ⋅ 20 ⋅ 10−3

a) Zakovice τ =

σρ

c

Sl. 5.4 b.

b) Limene trake − Sredwi lim 87

h


Đurković Vlado

9 F 550 ⋅ 103 σ x b1−1g = 9 = = 143MPa ≈ 140MPa , 280 − 2 ⋅ 20 ⋅ 10−3 ⋅ 16 ⋅ 10−3 An1

b

g

7 F 7 ⋅ 550 ⋅ 103 σ x b2 −2 g = 9 = = 121MPa < 140MPa , An2 9 ⋅ 280 − 3 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 ⋅ 16 ⋅ 10 −3

b

g

4 F 4 ⋅ 550 ⋅ 103 9 σ x b 3− 3 g = = = 76,5MPa < 140MPa . An3 9 ⋅ 280 − 4 ⋅ 20 ⋅ 10−3 ⋅ 16 ⋅ 10−3

b

g

− Podvezice Kako je 2t1 > t , sledi da kontrolu napona nije potrebno provoditi jer je ve} provedena za sredwi lim pa su, prema tome zadovoqeni i kriterijum za podvezice.

[bebubl!6/5/ Dimenzionisati prikazani sklop (Sl. 5.5), ako su: − dozvoqeni napon na zatezawe σ dz = 160MPa , − dozvoqeni napon na smicawe τ d = 120MPa , − dozvoqeni napon na povr{inski pritisak σ dρ = 320MPa . Sf|fokf; − Zatezawe σ =

F F = ≤ σ dz . A1 b − d ⋅ 4t 2

b g

F ≤ τd , d 2π 6⋅ 4 4⋅ F 2 ⋅ 600 ⋅ 103 d= = = 3,26 ⋅ 10−2 m . 6π τ d 3π ⋅ 120 ⋅ 106

− Smicawe τ =

F = A2

88


Đurković Vlado

Sl. 5.5.

− Povr{inski pritisak F F σρ = = ≤ σ dρ , A3 4 ⋅ d ⋅ t2

t2 =

F 4 ⋅ d ⋅ σ dρ

=

600 ⋅ 103 = 1,44 ⋅ 10−2 m . −2 6 4 ⋅ 3,26 ⋅ 10 ⋅ 320 ⋅ 10

Iz prvog uslova je: F 600 ⋅ 103 b= +d = + 3,26 ⋅ 10−2 = 9,77 ⋅ 10−2 m . 6 −2 4 ⋅ t 2 ⋅ σ dz 4 ⋅ 1,44 ⋅ 10 ⋅ 160 ⋅ 10 − 3t1 = 4t2 , 4 4 t1 = ⋅ t2 = ⋅ 1,44 ⋅ 10−2 = 1,92 ⋅ 10−2 m . 3 3 − Usvajamo: d = 3,3 ⋅ 10 −2 m , t1 = 2 ⋅ 10−2 m ,

t 2 = 1,45 ⋅ 10−2 m , b = 10 ⋅ 10−2 m . [bebubl! 6/6/ Izvr{iti kontrolu napona u prikazanom sklopu (Sl. 5.6), ako su: − dozvoqeni napon na zatezawe σ dz = 160MPa , − dozvoqeni napon na smicawe τ d = 110MPa , 89


Đurković Vlado

− dozvoqeni napon na povr{inski pritisak σ dρ = 320MPa .

Tako|e su date dimenzije: d 0 = 16mm , t = 8mm , D = 50mm i d = 14mm . Sf|fokf;

F F 4 ⋅ 30 ⋅ 103 = 149,3MPa < 160MPa , = 2 = −3 2 A1 d 0 π 16 ⋅ 10 4 F F 30 ⋅ 103 = = = = 104,2 MPa < 160MPa . A2 t D − d 8 ⋅ 10−3 ⋅ 50 − 14 ⋅ 10−3

− Zatezawe σ z1 =

σz

2

b

c

g

h

b

g

Sl. 5.6.

2 ⋅ 3 ⋅ 103 F = 97,5MPa < 110MPa , = −3 2 d 2π ⋅ ⋅ 14 10 π 2⋅ 4 30 ⋅ 103 F F τ2 = = = = 104,2 MPa < 110MPa . 8 ⋅ 10−3 50 − 14 ⋅ 10−3 A4 2 ⋅ t D − d 2 − Povr{inski pritisak F F 30 ⋅ 103 σρ = = = = 267,9 MPa < 320MPa . A5 d ⋅ t 14 ⋅ 10−3 ⋅ 8 ⋅ 10−3 − Smicawe τ 1 =

F = A3

b

c

g

h

b

g

90


Đurković Vlado

Sl. 5.7.

[bebubl! 6/7/ Izvr{iti kontrolu napona u kosom ugaonom {avu zadane veze (Sl. 5.8), ako su: dozvoqeni napon na zatezawe σ dz = 145MPa , a debqine limova t1 = 6mm i t = 10mm .

Sl. 5.8.

Sf|fokf; τ d{ = α θ ⋅ β ⋅ σ dz = 0,79 ⋅ 1⋅ 145 = 114,55MPa , L=

b 150 ⋅ 10−3 = = 212 ⋅ 10−3 m , sin 450 0,707 91


Đurković Vlado

l = L − 2a = 212 ⋅ 10−3 − 2 ⋅ 4 ⋅ 10−3 = 204 ⋅ 10−3 m , F 80 ⋅ 103 τ{ = = = 98MPa < τ d{ . a ∑ l 4 ⋅ 10−3 ⋅ 204 ⋅ 10−3

92

Tehnička mehanika Otpornost materijala – savijanje

Đurković Vlado

7/!TBWJKBOKF! Kada je nosač – prosta greda AB (Sl. 6.1), na osloncima opterećena spregovima jednakih intenziteta i suprotnih smerova, koji deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi kroz podužnu osu grede, nastaje savijanje grede. Ovakvo savijanje spregovima naziva se čisto savijanje.

Sl. 6.1. – Savijenje grede

Geometrijska osa grede, koja je bila prava linija, postaje kružni luk i naziva se elastična linija. Vlakna se deformišu tako da se neka izdužuju (normalni naponi zatezanja), a druga skraćuju (normalni naponi pritiska). Vlakna koja ne menjaju svoju dužinu obrazuju neutralnu površinu, a elastična linija predstavlja presek ove površine i ravni savijanja, pa se naziva i neutralna osa. U slučaju kada je greda izložena dejstvu transverzalnih sila (Sl. 6.1), takođe nastaje savijanje, ali se pored normalnog napona javlja i tangentni napon smicanja. Ovakva vrsta savijanja naziva se savijanje silama. Maksimalni normalni napon biće u tačkama koje odgovaraju krajnjim vlaknima M M σ x max = max = x , (6.1) Ix Wx ymax 93


Đurković Vlado

gde je: M x – moment savijanja oko ose x, koja je upravna na ravan yAz , I x – aksijalni moment inercije poprečnog preseka za x-osu, ymax – rastojanje najudaljenijeg vlakna od neutralne ose, Wx – aksijalni otporni moment za x-osu, tj. Kao što u dinamici moment inercije predstavlja veličinu koja karakteriše sposobnost tela da zadrži svoje stanje, odnosno meru njegove inertnosti, tako i u otpomosti materijala moment inercije i otporni moment preseka su veličine koje zavise od geometrije poprečnog preseka i karakterišu sposobnost grede u datom preseku da se suprostavi savijanju ili uvijanju. Za kružni poprečni presek je:

Ix =

π 4 d π 3 d (m 4 ) , ymax = (m) , Wx = d (m 3 ) . 64 2 32

(6.2)

U slučaju kada transverzalne sile deluju pod uglom u odnosu na vertikalnu ravan yAz, nastaje slučaj kosog savijanja, pa se razmatra savijanje u kosoj ravni usled rezultujućeg momenta savijanja

M r = M x2 + M y2 , Nm.

(6.3)

I savijanje se često javlja kod elemenata i konstrukcija u praksi: kod osovina, vratila, postolja, mostova i dr.

94


Đurković Vlado

[bebubl! 7/2/ Odrediti najveću dozvoljenu silu F koja dejstvuje na sredini čelične grede pravougaonog preseka. Poznato je l = 3m , kN b = 6cm , h = 12 cm i σdf = 10 2 . cm Sf|fokf;!Najveći napadni moment je u sredini grede (Sl. 6.2) i iznosi F ⋅l . M f max = 4

Sl. 6.2. – Greda opterećena koncentrisanom silom i njen poprečni presek

Izdržljivost proveravamo po obrascu: σ =

M f max Wx

≤ σdf , tako da je

F ⋅l 2 2 4 ≤ σ , ili F ≤ 4 ⋅ σdf ⋅ b ⋅ h = 4 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ 12 = 19, 2 kN . df b ⋅ h2 6 6 3 ⋅ 100 l 6 [bebubl! 7/3/ Odrediti prečnik srednjeg dela grede sa prepustima, na koju dejstvuju sile intenziteta F = 20 kN , ako su dužine prepusta kN a = 15cm i dozvoljeno naprezanje na savijanje σdf = 10 2 . cm Sf|fokf;! Srednji deo grede je opterećen na čisto pravo savijanje sa momentom savijanja (Sl. 6.3) M f = F ⋅ a = 20 ⋅ 15 = 300 kNcm = const.

tako da je

95


Wx =

Mf σdf

=

Đurković Vlado

300 = 30cm 2 , 10

a kako je (iz tablica za dati poprečni presek) Wx ≈ 0,1d 3 , sledi da je d=

3

30 = 6,69 ≈ 7 cm . 0,1

Sl. 6.3. – Greda sa prepustima opterećena koncentrisanim silama istog intenziteta i dijagram momanata savijanja

[bebubl!7/4/!Za nosač prikazan na slici 6.4 a treba: a) analitičkim putem odrediti reakcije oslonaca, b) po poljima naći jednačine momenata savijanja, transverzalnih i aksijalnih sila, kao i posebne vrednosti ovih veličina na karakterističnim mestima; naći ekstremne vrednosti momenata, kao i maksimalnu vrednost momenta, c) nacrtati statičke dijagrame: momenata savijanja, transverzalnih i aksijalnih sila, d) dimenzionisati nosač kvadratnog poprečnog preseka ( a = ? ) , ako

je poznato: F = 1,5 kN , q = 1

kN N . , a = 1m , σ d = 900 m mm 2

Sl. 6.4 a

Sl.6.4 b 96


Đurković Vlado

Sf|fokf;! a) REAKCIJE OSLONACA: Da bismo odredili reakcije oslonaca, oslobodimo se veza, kao što je prikazano na Sl. 6.4 b, i postavimo jednačine ravnoteže iz kojih ćemo odrediti nepoznate reakcije FA i FB . Postavićemo momentnu jednačinu ravnoteže, tj.: M A = − F ⋅ 6a + FB ⋅ 5a − Fq2 ⋅ 2a + 2a − Fq1 ⋅ 2 2a = 0 , 2 3 q ⋅ 2a gde su: Fq1 = sila od trouglastog kontinualnog opterećewa i 2 Fq2 = q ⋅ 2a sila od pravougaonog kontinualnog opterećewa. Nakon rešavawa, dobijamo: FB = 3,27 kN . Yi = YA − 1 q ⋅ 2a − q ⋅ 2a + FB − F = 0 , daje YA = FA = 1,23 kN . 2 Proverimo tačnost izračunavawa postavqajući jednačinu: M D = FA ⋅ 4a − 1 q ⋅ 2a ⋅ 1 2a + 2a − q ⋅ 2a ⋅ 2a − FB ⋅ a + F ⋅ 2a = 0 , 2 3 2 a nakon uvrštavawa vrednosti dobija se 0 ≡ 0 . Prema tome, reakcije oslonca su: FA = 1,23 kN , i FB = 3,27 kN , a rezultati su dobijeni sa pozitivnim predznakom, što znači da su isti pretpostavqeni i stvarni smerovi reakcija.

∑

e

j

∑

∑

e

j

b) ANALIZA NOSAČA PO POLJIMA:

Sl. 6.5.

I − POLJE 0 ≤ x1 ≤ 2a

97


Đurković Vlado

Potražimo moment savijawa u proizvoqnoj tački u poqu trouglastog kontinualnog opterećewa (Sl. 6.5). Usvojimo proizvoqan presek n − n na rastojawu x1 od oslonca A . Moment savijawa: M zl = FA ⋅ x1 − Fq' ⋅ 1 x1 , gde je Fq' = 1 q '⋅x1 sila od trouglastog 2 2 kontinualnog opterećewa do preseka. Specifično opterećewe q' u nekom preseku x1 ćemo odrediti iz sličnosti trouglova, tj. q q : 2a = q ' : x1 , odnosno q ' = x . 2a 1 q 3 Prema tome je: M zl = FA ⋅ x1 − x1 = 1,23 ⋅ x1 − 1 x13 . 12a 12 Za x1 = 0 je M z = 0 , tačka A , za x1 = a je M z = 11466 , kNm , tačka K , za x1 = 2a je M z = 1,81 kNm , tačka E . q 2 dM zl x1 = 1,23 − 1 x12 . = FA − Transverzalna sila: FT = dx1 4a 4 Za x1 = 0 je FT = FA = 1,23 kN , tačka A , za x1 = a je FT = 0,98 kN , tačka K , za x1 = 2a je FT = 0,23kN , tačka E . Aksijalna sila: Fak . = 0 .

II − POLJE 0 ≤ x2 ≤ 2a Potražimo moment savijawa u proizvoqnoj tački u poqu pravougaonog kontinualnog opterećewa. Usvojimo proizvoqan presek m − m na rastojawu x2 od tačke D . Ovde koordinata x2 ide ulevo radi jednostavnosti izraza momenta savijawa. Moment savijawa je: M zd = − F ⋅ 2a + x2 + FB ⋅ a + x2 − Fq'' ⋅ 1 x1 , 2 gde je Fq'' = q ⋅ x2 sila od pravougaonog kontinualnog opterećewa do preseka.

a

f

a

f

98


Đurković Vlado

Nakon uvrštavawa vrednosti, jednačina momenta savijawa glasi: M zd = 0,27 + 1,77 ⋅ x2 − 0,5 ⋅ x22 . Za x2 = 0 je M z = 0,27 kNm , tačka D , za x2 = a je M z = 1,54 kNm , tačka H , za x2 = 2a je M z = 1,81 kNm , tačka E .

dM zd = −1,77 + x2 . dx2 Za x2 = 0 je FT = −1,77 kN , tačka D , za x2 = a je FT = −0,77 kN , tačka H , za x2 = 2a je FT = 0,23kN , tačka E . Položaj ekstremnog momenta savijawa u drugom poqu ćemo odrediti iz uslova da je prvi izvod momenta savijawa po koordinati x2 (sa predznakom minus zbog usmerewa ose x ) jednak nuli, odnosno da je transverzalna sila u drugom poqu jednaka nuli. FT = −1,77 + x2 = 0 daje x2 = 1,77 m . Sada je ekstremna vrednost momenta savijawa u drugom poqu: M ex. = 0,27 + 1,77 ⋅ 1,77 − 0,5 ⋅ 1,77 2 = 1,836 kNm . Aksijalna sila: Fak . = 0 . Momenti savijawa po tačkama su: M Bd = − F ⋅ a = −1,5 ⋅ 1 = −1,5kNm , M Dd = − F ⋅ 2a + FB ⋅ a = −1,5 ⋅ 2 ⋅ 1 + 3,27 ⋅ 1 = 0,27 kNm . Maksimalni apsolutni moment savijawa duž celog nosača je u drugom poqu: M f max = 1,83 kNm . Transverzalna sila: FT = −

99


Đurković Vlado

c) STATIČKI DIJAGRAMI:

Slika 6.6.

d) DIMENZIONISANJE

Dimenzionisanje vršimo na osnovu obrazaca: σ = izračunati maksimalni moment na nosaču M f max momenat traženog poprečnog preseka je Wx =

100

M f max

≤ σdf , gde je Wx = 1,836 kNm , a otporni

a3 (iz tablica), a za čelik 6


Đurković Vlado

Č.5441 je dozvoljeni napon σ d = 900 Dakle na osnovu σ =

M f max Wx

N . mm 2

sledi da je:

N 1,836 ⋅ 103 ⋅ 103 Nmm = , a3 mm 2 6 3 4 9a = 6 ⋅ 1,836 ⋅ 10 mm3 ,

900

a=

3

6 ⋅ 1,836 ⋅ 104 3 = 1, 224 ⋅ 104 ≈ 23mm . 9

101

Tehnička mehanika Otpornost materijala – uvijanje

Đurković Vlado

8/!VWJKBOKF! Ako se cilindar, koji je na jednom kraju uklješten a na drugom slobodan (konzolni nosač, konzola), optereti na slobodnom kraju cilindra, u ravni poprečnog preseka, spregom sila T (Sl. 7.1), nastaje naprezanje koje se naziva uvijanje (torzija). Na mestu uklještenja delovaće moment uklještenja TA , koji je takođe spreg, istog momenta kao i moment uvijanja, ali suprotnog smera. Ovi spregovi uvijaju susedne poprečne preseke oko uzdužne ose konzole.

Sl. 7.1 – Uvijenje (torzija)

Da bi se slikovito prikazale deformacije koje nastaju pri uvijanju, po omotaču cilindra se nacrta mreža izvodnica i krugova. Pod dejstvom spregova izvodnice cilindra transformišu se u zavojne linije, a pravougaonici na mreži u paralelograme. Deformacije uvijanja imaju ove karakteristike: • • •

osa cilindra, koja se naziva i osa uvijanja ne deformiše se; normalni poprečni preseci ostaju ravni, normalni na osu cilindra, zadržavajući prvobitni oblik; ugao zaokretanja poprečnog preseka u odnosu na uklještenje je srazmeran rastojanju posmatranog preseka od mesta uklještenja.

Pri uvijanju cilindra, u njegovim poprečnim presecima nastaju samo tangencijalni naponi, dok su normalni naponi zanemarljivo mali. Najveći tangentni napon određuje se po formuli: 102


τ max =

Đurković Vlado

Mu , W0

(7.1)

gde je: M u – moment uvijanja (torzije), koji predstavlja algebarski zbir svih obrtnih momenata levo ili desno od posmatranog preseka, W0 – polarni otporni moment, tj., analogno aksijalnom otpornom momentu, koji defmiše otpornost poprečnog preseka na savijanje, odnosno polarni otporni moment predstavlja veličinu koja karakteriše otpornost poprečnog preseka prema uvijanju. Za kružni poprečni presek, prečnika d je:

W0 =

π I0 I0 π = , I 0 = d 4 , W0 = d 3 . r d 32 16 2

(7.2)

Uvijanju su izloženi mnogi elementi transportnih sredstava: vratila u prvom redu, pa zatim spojnice, zavrtnji i dr.

103


Đurković Vlado

[bebubl! 8/2/! Odrediti snagu koja se prenosi preko vratila (sl. 7.2), ako je ugao uvijanja vratila, meren po dužini 1,5m , jednak 0,50 . Prečnik vratila je d = 100mm , a wegov broj obrtaja n = 500min −1 i modul N . klizanja G = 8 ⋅ 106 cm2

Sl. 7.2 – Vratilo koje prenosi snagu

Sf|fokf; Prethodno posmatrajmo kaišni prenosnik prikazan na slici. Kaišnik na rotoru elektromotora je vodeći, a kaišnik na vratilu G Gje vođeni. Pri radu elektromotora, u kaišu se javljaju zatezne sile T1 i T2 . Razlika ovih sila T1 − T2 = F predstavlja obimnu silu, tako da je obrtni moment (moment torzije): Mt = F ⋅ R . Sa druge strane, snagu motora izračunavamo po obrascu: P = Mt ⋅ω , π ⋅n min −1 ugaona brzina obrtanja, tako da traženi obrazac gde je ω = 30 iznosi: G I 0ϕ π n P= ⋅ , l 30 104


Đurković Vlado

Mt ⋅ z za određivanje momenta torzije. G ⋅ IO πd4 i Daqe, treba izvršti zamenu polarnog momenta inercije I O = 32

gde je iskorišćen obrazac ϕ =

ugla ϕ =

ϕ 0π 180

. Posle zamene brojnih podataka u gornjem obrascu,

nalazimo da vratilo predaje snagu P = 239,24 ⋅ 103

Nm = 239,24 KW . s

[bebubl! 8/3/! Konstruisati dijagrame: momenta uvijawa, tangencijalnog napona po dužini i prečniku štapa i uglova obrtawa preseka za štap prikazan na slici 7.3 a. Sf|fokf; Moment ukleštenja određujemo iz uslova ravnoteže: ∑ Mz = − M A + 3M − M = 0 ,

odakle je: M A = 2 M . Razlikujemo dva polja različitih momenata torzije (Sl. 7.3 b): M t = 2 M = const . za 0 ≤ z ≤ l i M t = − M = const . za l ≤ z ≤ 2l . Tangencijalni napon u preseku na rastojanju r od ose štapa izračunaćemo po obrascu: M τ = t r. IO U presecima prvog polja imamo: M ⋅r τ = t = 2 M 4⋅ r = 4 M4 ⋅ r , za 0≤ z≤l i 0≤r ≤ R. IO πd πd 4 Najveći tangencijalni napon je za r = R = d i iznosi: τ max = 4 M3 = k , πd gde je k − uvedena brojna vrednost da bi se lakše crtao dijagram. U presecima drugog polja imamo:

105


τ=

Đurković Vlado

Mt ⋅ r = M ⋅ r4 = 32 M ⋅r , IO πd4 π d 2 2

za

ej

R|l ≤ z ≤ 2dl S|0 ≤ r ≤ 2 T

d : τ max = 16 M3 = 4 k . 2 πd Dijagram tangencijalnog napona po dužini štapa prikazan je na sl. 7.3 c, a prečnicima na sl. 7.3 e,f. Za konstrukciju dijagrama ugla uvijanja (Sl. 7.3 d) koristimo se M ⋅z obrascem: ϕ = t . G ⋅ IO U poqu AB imamo: ϕ = 2 M ⋅ z 4 = 4 M 4 ⋅ z . Gπ d Gπ 2d 32 Za z = 0 , ϕ = 0 i za z = l (presek C ): 2 M ⋅l = p, ϕ1 = Gπ d 4 gde je p − brojna vrednost, uvedena da bi se dijagram lakše konstruisao. U polju CB , u odnosu na uklešteni deo, ugao uvijanja iznosi: ϕ = ϕ1 + ϕ 2 , gde je M z−l 32 M z − l Mt , za l ≤ z ≤ 2l , ϕ2 = ⋅ z−l = − =− 4 G ⋅ IO Gπ d 4 Gπ d 2 2 ugao relativnog obrtanja proizvoljnog preseka ovog polja u odnosu na presek C . Razlika z − l je rastojanje preseka polja tačke C , jer ovo rastojanje se meri od tačke A . Tako, za ugao uvijanja preseka desnog polja imamo: 4 M ⋅ l 32 M ϕ= − z − l = p − 8p z − l . Gπd 4 Gπd 4

i maksimalni tangencijalni napon za r =

a f

a f ej

a f

a f

b g

b g

b g

106


Đurković Vlado

Sl. 7.3 – Uklešten štap na koji deluju momenti torzije

Za z = l imamo: ϕ = ϕ 1 = p i za z = 2l , ϕ = −7 p . [bebubl!8/5/ Čelično vratilo (Sl. 7.4) prečnika d = 8cm uklešteno je krajevima A i B . U preseku C na rastojawu a = 0,5m od ukleštenog preseka A i na rastojawu b = 1m od desnog ukleštenog preseka, B , dejstvuje spreg sila momenata M = 7,5kNm . Odrediti napone i uglove uvijanja vratila. Sf|fokf; Pretpostavimo da će uklešteni preseci biti opterećeni momentima M A i M B .

107


Đurković Vlado

Sl. 7.4 – Obostrano uklešteno čelično vratilo na koje deluje moment torzije

Za ove dve nepoznate veličine imamo jedan statički uslov ravnoteže: (a) ∑ Mz = M A + MB − M = 0 , pa je problem očevidno jedanput statički neodređen. Druga jednačina sledi iz geometrijskih razmatranja deformacije vratila na mestu C . Pri tome, ugao uvijanja preseka C može biti određen dvojako, tj. prema momentima torzije leve i desne strane od preseka C , po obrascima: M ⋅a M ⋅b ϕ= A iϕ= B . G ⋅ IO G ⋅ IO Iz jednakosti ovih obrazaca sledi da je: M A ⋅ a M B ⋅b , (b) = G ⋅ IO G ⋅ IO tako da je druga jednačina sa nepoznatim momentima ukleštenja oblika: MB ⋅b = M A ⋅ a . Iz jednačina (a) i (b) nalazimo: b a MA = M = 5 kNm i MB = M = 2,5 kNm . a +b a +b 108


Đurković Vlado

Najveći tangencijalni napon javlja se u presecima levog dela i iznosi: M τ = A = 5 ⋅ 100 = 0,62 kN2 , π ⋅ 83 WO cm 16 a ukupan ugao uvijanja M ⋅a ϕ = A = 1 rad ≈ 0,450 . GI O 128

LM OP N Q

[bebubl! 8/6/ Štap kružnog poprečnog preseka (Sl. 7.5) na jednoj strani je kruto uklešten, a na drugoj slobodan. Prečnik štapa je d = 15mm , a dužina l = 0,2 m . Štap je opterećen momentom M t = 60Nm , pa se uvije tako da se tačka A na konturi preseka na

slobodnom kraju pomeri u položaj A1 , a dužina luka je AA1 = 0,22 mm . Odrediti: a) maksimalni tangencijalni napon, b) ugao ugaonog zaokreta preseka na slobodnom kraju u odnosu na presek na mestu ukleštenja, c) ugao klizanja na vawskoj površini štapa, d) modul klizanja materijala štapa. Sf|fokf;! M M 16 ⋅ 60 = 90,6MPa . a) τ max = t = 3 t = Wp d π 15 ⋅ 10−3 ⋅ π 16

c

h

Sl. 7.5 – Uklešteno vratilo na koje deluje moment torzije 109


Đurković Vlado

AA1 2 AA1 2 ⋅ 0,22 = = = 0,0293rad , d 15 d 2 1800 ϕ = 0,0293 ⋅ = 1,680 = 1041' .

b) ϕ =

π

AA1 0,22 = = 0,0011rad , 200 l 1800 γ = 0,0011⋅ = 0,630 = 0037' .

c) γ =

d) ϕ =

Mt ⋅ l , G⋅Ip

π

Mt ⋅ l Mt ⋅ l 32 M t ⋅ l 32 ⋅ 60 ⋅ 0,2 = = = , 4 4 d π ϕ ⋅ d π 0,0293 ⋅ 15 ⋅ 10−3 4 ⋅ π ϕ ⋅ Ip ϕ⋅ 32 G = 82,4GPa . G=

c

h

[bebubl! 8/7/ Za zadato vratilo (Sl. 7.6) i opterećenje torzionim momentima potrebno je: a) nacrtati dijagram M t , b) dimenzionisati vratilo na osnovu kriterijuma čvrstoće, ako je τ d = 20MPa , c) odrediti uglove zaokretawa između preseka za pojedine delove vratila, d) dimenzionisati vratilo kao stepenasto na osnovu kriterijuma čvrstoće ako je τ d = 20MPa i G = 80GPa . Sf|fokf;!a) Dijagram momenata torzije dat je na Sl. 7.6 a.! !

110


Đurković Vlado

Sl. 7.6 – Uklešteno vratilo na koje deluje momenat torzije

b) Vratilo u varijanti konstantnog preseka M t merodavno = 0,5kNm d = 1,72 ⋅ 3

c) ϕ BC =

ϕ CA =

ϕ AD =

Mt

τd

M tBC ⋅ l = G⋅Ip M ⋅l = G⋅Ip CA t

Mt ⋅ l = G⋅ Ip AD

ϕ BA = ϕ BC + ϕ CA

0,5 ⋅ 103 ≅ 5 ⋅ 10−2 m . 6 20 ⋅ 10

= 1,72 ⋅ 3

0,25 ⋅ 103 ⋅ 1 80 ⋅ 109 ⋅

c

π ⋅ 5 ⋅ 10−2

32 0,5 ⋅ 10 ⋅ 1

h

4

= 0,0051rad ,

4

= 0,0102 rad ,

3

80 ⋅ 109 ⋅

c

π ⋅ 5 ⋅ 10−2

h

32 −0,5 ⋅ 103 ⋅ 1

80 ⋅ 109 ⋅

c

π ⋅ 5 ⋅ 10

h

−2 4

= −0,0102 rad ,

32 = 0,0051 + 0,0102 = 0,0153rad .

d) Vratilo u stepenastoj varijanti:

111


Deo BC d1 = 1,72 ⋅ 3 Deo CA d 2 = 1,72 ⋅ 3 Deo AD

Mt

τd Mt

τd

Đurković Vlado

0,25 ⋅ 103 = 1,72 ⋅ = 4 ⋅ 10−2 m , 6 20 ⋅ 10 3

= 1,72 ⋅ 3

0,5 ⋅ 103 = 5 ⋅ 10−2 m , 20 ⋅ 106

d 3 = d 2 = 5 ⋅ 10−2 m .

[bebubl! 8/8/! Čelični štap (Sl. 7.7 a) prečnika d = 80mm , obostrano je kruto uklešten i opterećen spoqnim torzionim spregom M t = 7,5kNm .

Izvršiti kontrolu napona. Takođe, odrediti ugao zaokreta preseka kroz tačku D u odnosu na presek kroz tačku B ako su G = 80GPa i τ d = 60MPa .

Sl. 7.7 a – Čelični štap obostrano kruto uklešten i opterećen torzionim spregom

Sf|fokf;! ∑ Mz = 0 ,

ϕ BA = 0 ,

M A − Mt + M B = 0

(a)

M B − Mt ⋅ a M B ⋅b + = 0. G⋅ Ip G⋅Ip

(b)

b

g

112


Đurković Vlado

Sl. 7.7 b – Dijagram momenta torzije duž štapa

b

g

Dalje sledi: M B ⋅ b + M B − M t ⋅ a = 0 , odakle je: M ⋅ a 7.5 ⋅ 0,5 MB = t = = 2,5kNm . a +b 0,5 + 1 Iz (a) sledi: M A = M t − M B = 7,5 − 2,5 = 5kNm ,

τ max

ϕ DB

Mt 5 ⋅ 103 = 50MPa < τ d = 60MPa , = = 3 Wp 80 ⋅ 10−3 ⋅ π

c

h

16 M A − Mt ⋅ b = = G⋅Ip

b

g

2,5 ⋅ 103 ⋅ 1

c80 ⋅10 h ⋅ π −3 4

80 ⋅ 109 ⋅

⋅

180

π

≅ 0,450 = 0027' .

32

[bebubl! 8/9/ Čelični štap (Sl. 7.8), dužine l = 4m , pravougaonog poprečnog preseka, dimenzija b = 100mm , h = 220mm , na jednom kraju je kruto uklešten dok na drugom kraju deluje torzioni moment M t = 25kNm . Izračunati maksimalni tangencijalni napon τ max i ugao uvijanja ϕ BA ako je G = 80GPa .

113


Đurković Vlado

Sf|fokf;!

Sl. 7.8 – Uklešteni štap, poprečni presek i dijagram tangencijalnog napona

Mt , α ⋅ h ⋅ b2

h 22 = = 2,2 , b 10 0,2 α = 0,246 + 0,258 − 0,246 ⋅ = 0,251 (interpolacijom), 0,5

τ max =

b

g

25 ⋅ 103 Mt ⋅ l = 45,3MPa , ϕ BA = , 2 0,251⋅ 0,22 ⋅ 0,1 G ⋅ β ⋅ h ⋅ b3 0,2 β = 0,229 + 0,249 − 0,229 ⋅ = 0,237 , 0,5

τ max =

b

ϕ BA =

g

25 ⋅ 103 ⋅ 4 = 0,0239 rad = 1,37 0 = 1022' . 9 3 80 ⋅ 10 ⋅ 0,237 ⋅ 0,22 ⋅ 0,1

114

Tehnička mehanika Otpornost materijala – izvijanje

Đurković Vlado

9/!J[WJKBOKF! 9/2/!Vwpe! Kada je štap, čije su dimenzije poprečnog preseka male u odnosu na dužinu (vitki štapovi), izložen aksijalnim silama pritiska, nastaće izvijanje vlakana, a takvo naprezanje naziva se izvijanje. Štap menja svoj oblik, a osa štapa postaje kriva linija (Sl. 8.1).

Sl. 8.1 – Izvijanje štapa

Kod izvijanja štapova obično se rešavaju dva problema: a) određuje se kritična sila izvijanja štapa (najmanja sila, pri kojoj počinje nestabilnost prvobitnog oblika ravnoteže, odnosno kada ugibi postaju „veoma veliki”), b) određuju se dimenzije poprečnog preseka. Postoje posebni postupci i formule za rešenje ovih zadataka, u zavisnosti od toga da li je izvijanje u elastičnom području (Ojlerovi obrasci) ili u neelastičnom području (Tetmajerovi obrasci, omega postupak). Na izvijanje treba proveriti tanke, a duge štapove, kao što su različiti stubovi, tornjevi, strele kranova itd. Do sada smo razmatrali probleme dimenzionisanja na osnovu dva kriterijuma i to: • da se obezbedi čvrstoća konstruktivnog elementa i spreči njegov lom i • da se obezbedi potrebna krutost konstruktivnog elementa. 115


Đurković Vlado

Pored zadovoljenja ova dva kriterijuma, mora se razmotriti i njihova stabilnost. Stabilnost je sposobnost konstruktivnog elementa da prilikom preuzimanja spoljašnjeg opterećenja ne dođe do nagle promene prvobitnog oblika, što najčešće dovodi do loma elementa ili čitave konstrukcije. Problem nestabilnosti može se javiti kod štapova, grednih elemenata, lukova, ploča i ljuski. Mi ćemo razmotriti samo problem stabilnosti štapova izloženih pritisku, tj izvijanje pritisnutih štapova.

Sl. 8.2. – Stanje ravnoteže deformabilnog štapa aksijalno opterećenog na pritisak

Analogno ispitivanju ravnoteže u klasičnoj mehanici, govori se o stabilnosti ravnoteže pritisnutog štapa (Sl. 8.2 a). Ako pravolinijski štap opterećen silom F < Fkr (Sl. 8.2 b), izvedemo iz položaja ravnoteže, a on ponovo zauzme prvobitan ravnotežni položaj nakon prestanka dejstva sile, štap je u stabilnoj ravnoteži, a to znači da su spoljašnje i unutrašnje sile u stabilnoj ravnoteži. Ako je sila koja opterećuje štap jednaka kritičnoj F = Fkr (Sl. 8.2 b), tada će po prestanku dejstva sile štap ostati u položaju otklona za ugib ν (sl.7.1c), kažemo da se štap nalazi u indiferentnom položaju ravnoteže. Kada je štap pritisnut asijalnom silom koja je veća od kritične sile F > Fkr (Sl. 8.2 b), po prestanku dejstva te sile ugib će naglo rasti sve do loma štapa. To znači da se štap nalazi u nestabilnom (labilnom) položaju ravnoteže, tj štap će se izviti. 116


Đurković Vlado

9/3/!Pesf}jwbokf!lsjuj•jof!tjmf!j{wjkbokb/! !!!!!!!_fujsj!ptopwob!tmv•bkb!j{wjkbokb! Kritična sila izvijanja je najveća vrednost aksijalne sile koju štap može da izdrži a da ne dođe do izvijanja. U konstrukcijama se ne smije dozvoliti da sila opterećenja dostigne vrednost kritične sile, tj ona mora biti znatno manja. Dozvoljena sila opterećenja na pritisak dobija se deljenjem kritične sile propisanim koeficijentom sigurnosti, tj. F (8.1) Fd = kr , ν gde je ν − koeficijent sigurnosti. Određivanje kritične sile izvijanja svodi se na određivanje one sile pri kojoj su jednako mogući prav i izvijen oblik štapa. Vrednost kritične sile izvijanja zavisi od načina oslanjanja štapa, geometrije poprečnog preseka i materijala. Ojler je prvi uočio problem izvijanja, pa se zato kritična sila izvijanja, često i zove Ojlerova sila. Veličine kritičnih sila za razne načine vezivanja krajeva štapova izračunao je Ojler. Ta četiri slučaja prikazana su na Sl. 8.3 a,b,c,d.

2

r=

a)

r =2

r= 2

r= 2

c)

b)

d)

Sl. 8.3 – Četiri slučaja izvijanja

Kritičnu silu, prema Ojleru (Ojlerova jednačina za elastično izvijanje), određujemo po formuli:

117


Đurković Vlado

E ⋅ I min , (8.2) lr2 gdje je lr − redukovana ili slobodna dužina (dužina izvijanja) štapa naznačena na Sl. 8.3, koja zavisi od načina pričvršćenja krajeva štapa, I min − je manji glavni centralni moment inercije preseka. Obrazac za kritičnu silu izvijanja dobijen je za rastojenje, ugib štapa, moment savijanja u presjeku, a na osnovu diferencijalne jednačine elastične linije štapa. Za različite veze štapova data je redukovana dužina savijanja štapa. Četiri osnovna slučaja oslanjanja štapa, (Sl. 8.3) su: • lr = l , za štap, zglobno oslonjen na oba kraja (Sl. 8.3 a), Fkr = π 2

• • •

lr = 2l , za štap sa jednim uklještenjem i jednim slobodnim krajem (Sl. 8.3 b), l lr = , za štap uklješten na oba kraja (Sl. 8.3 c), 2 2 lr = l , za štap sa jednim uklještenjem i jednim slobodno 2 oslonjenim krajem (Sl. 8.32 d).

Smisao redukovane dužine prikazan je na Sl. 8.3, a predstavlja dužinu između prevojnih tačaka elastične linije. Teorijski može da se pokaže, a eksperimentima potvrdi, da je kritična sila izijanja najmanjem momentu inercije preseka šrapa i modulu elestičnosti, a obruto proporcionalna dužini štapa u zavisnosti od načina njegovog oslanja. Kritična sila izvijanja je; π 2 ⋅ E ⋅ I min , • za prvi slučaj oslanjanja štapa Fkr = l2 π 2 ⋅ E ⋅ I min • za drugi slučaj oslanjanja štapa Fkr = , 2 ( 2l ) •

za treći slučaj oslanjanja štapa Fkr =

118

π 2 ⋅ E ⋅ I min ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

,


•

Đurković Vlado

za četvrti slučaj oslanjanja štapa Fkr =

π 2 ⋅ E ⋅ I min

. 2 ⎛ 2 ⎞ l⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ Odavde sledi dozvoljeni napon izvijanja kao: F F σ F EI E σdi = = kr = kr = kr = π 2 2 min = π 2 2 , (8.3) π lr ⋅ A λ A ν⋅ A ν A gde je ν − koeficijent sigurnosti koji se kreće u širokim granicama od ν = 1,5 do ν = 5 pa i više, zavisno od: vrste materijala, vitkosti štapa, vrste konstrukcije i sastava opterećenja. Ove dve jednačine tj, E ⋅ I min E Fkr = π 2 , σ di = π 2 2 , (8.4) 2 lr λ važe samo za elastično područje pri opterećenju na pritisak, tj. pri vitkosti čelika λ > 105 . Stvarna sila kojom se može opteretiti nosač, određuje se pomoću stepena sigurnosti ν F (8.5) F = Fd = kr . ν Stepen sigurnosti ν iznosi za:

sivi liv čelik drvo

ν=8 ν=5 ν = 6,...,12

9/4/!J{wjkbokf!|ubqpwb!v!offmbtujopk!pcmbtuj!

Kada je vitkost štapa manja od granične vrednosti ( λ < λ p ), za odgovarajući materijal, tj. kada je kritičan napon veći od granice proporcionalnosti, ( σkr ≥ σ p ), Ojlerova formula ne važi, pa se primenjuju se empijski obrasci. Ludvig von Tetmajer (1850-1905), švajcarski profesor i direktor laboratorije za ispitivanje materijala Ciriške Politehnike, na osnovu eksperimenata sa čeličnim stubovima postavio je linearnu zavisnost 119


Đurković Vlado

između kritičnog napona izvijanja σkr i vitkosti λ u obliku σkr = B − C ⋅ λ , (8.6) gde su B i C konstante koje zavise od vrste materijala a date su u Tabeli 8.1. Tabela 8.1 Vitkost u neelastičnoj oblasti od λ T do λ P

N ⎤ ⎡ σkr ⎢ MPa ≡ mm 2 ⎥⎦ ⎣

^.0360

60 − 100

289 − 8,2 λ

^.0460

60 − 100

320 − 10λ

^.0561

60 − 100

589 − 38λ

10 − 80

776 − 12 λ + 5,3

Modul elastičnosti Materijal

Sivi liv Čelični liv

⎡ N ⎤ E⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦

100.000

Aluminijske legure Drvo

λ2 100

λ P < 112

303 − 1,29 λ

λ P < 112

303 − 1,29 λ

210.000

λ P < 105

310 − 114 , λ

210.000

λ P < 89

335 − 0,62 λ

210.000

λ P < 86

470 − 2,3λ

720.000

λ P < 80

338 − 2,8λ2

10.000

λ P < 100

29,3 − 0,194 λ

200.000

Gvožđe vareno Gvožđe tpljeno (Čelik – meki) Čelik - tvrd (Čelik topljen) Čelik - CrNi

Kritični napon

Izraz za kritični napon u obliku σkr = B − C ⋅ λ veoma se dugo koristio pri dimenzionisanju štapova opterećenih na izvijanje. Međutim, znatno bolju aproksimaciju eksperimentalnih rezultata dobijamo ako koristimo izraz: (8.7) σkr = B − C ⋅ λ m .

120


Đurković Vlado

Za m = 2 dobijamo parabolu Dzonson–Ostenfelda (JohnsonOstenfeld) u obliku σkr = B − C ⋅ λ 2 . (8.8) Za dozvoljeno opterećenje F σ A (8.9) F = Fd = kr = kr , ν ν u mašinstvu, ν − koeficijent sigurnosti, obično iznosi u elastičnom području ν = 5,...,10 , a u u neelastičnom području ν = 3,...,8 . Jednačina (8.6) se naziva i Tetmajerova prava, a važi za vitkost štapova u granicama: λT < λ < λ P , (8.10) gde je λ T − vitkost štapa koja odgovara vitkosti štapa na gornjoj granici tečenja. Za slučaj λ < λ T , merodavna je granica gnječenja, što znači da nema izvijanja, već se javlja napon pritiska: F σ= . (8.11) A Zavisnost kritičnog napona izvijanja od vitkosti može se predstaviti pomoću dijagrama, Sl. 8.4. kr

T

kr

E P p

0

oblast oblast kr ~istog neelastipritiska ~nog oblast izvijanja elasti~nog izvijanja T

p

Sl.8.4 – Zavisnost kritičnog napona izvijanja od vitkosti 121


Đurković Vlado

9/5/!Pnfhb!qptuvqbl!

U oblasti proračuna vlada dosta velika šarolikost izraza za izračunavanje vrednosti kritičnog napona izvijanja ugrađenih u propise stranih država. Jedan od jednostavnijih načina izračunavanja vrednosti kritičnog napona izvijanja pritisnutih štapova koji se vrši prema stvarnoj pritisnoj sili je omega postupak. Po omega postupku dozvoljeni napon pri izvijanju σdi uzima se ω puta manji od dozvoljenog napona na pritisak σd p , tj.,

σd p

F ≤ σd p , (8.12) A ω gde je ω − (koeficijent izvijanja), tj. koeficijent koji zavisi od vrste matrijala i vitkosti štapa, a dat je u Tabeli 8.2 za razne materijale.

σd i =

⇒ σd i ⋅ ω ≤ σd p , odnosno σd i = ω⋅

Tabela 8.2 Koeficijent izvijanja ω

„Postupak ω (omega postupak)” se koristi za čelične i drvene konstrukcije. U elastičnom području, Sl. 8.4, je pri ω − koeficijentu izvijanja, stepen sigurnosti ν = 2,5 a u neelastičnom području je ν = 2,5 . 122


Đurković Vlado

Veličinu ω određujemo iz odnosa ω = Znajući da je σdi = A=

F ω⋅ F . = σ di σd p

σd p σd i

> 1.

F , sledi površina poprečnog preseka A

(8.13)

Napomena: Navedeni postupci dimenzionisanja su primenljivi za jednodelne vitke štapove. 9/6/!Ejnfo{jpojtbokf!|ubqpwb!j{mpafoji!j{wjkbokv!

Izvijanje štapa zavisi od karakteristika materijala i od vitkosti štapa. Kao kao što smo videli postoje tri oblasti izvijanja (Sl. 8.4) i to: • oblast elastičnog izvijanja ( λ ≥ λ P ) , kada važe Ojlerove formule,

•

oblast neelastičnog izvijanja ( λ T > λ > λ P ) , kada važe Tetmajerovi

•

obrasci, oblast čistog pritiska ( λ < λ T ) , i kada se proračuna vrši na pritisak.

123


Đurković Vlado

Tabela 8.3 – Koeficijent ω za Č.0360

124


Đurković Vlado


125


Đurković Vlado


126


Đurković Vlado

[bebubl!9/2/ Za štap dužine l = 6m , od livenog gvožđa, prstenastog N , ako su oba kraja preseka sa D = 20cm i d = 18cm , kao i E = 107 cm2 zglobno vezana, uz koeficijent sigurnosti ν = 5, odrediti dozvoljeno opterećenje (Sl. 8.5). Iz tablica je poznato da je za liveno gvožđe λ = 80 . Sf|fokf; Geometrijski podaci za prstenasti presek su: πD 2 π d 2 A= − = 314 − 254 = 60cm2 , 4 4 2 πD π d 2 I= − = 7854 − 5153 = 2701cm4 , 64 64 2701 I = = 6,71cm . i= 60 A Fkr A r= B

Sl.8.5 – Štap zglobno vezan na oba kraja

Za zglobno vezane krajeve je lr = l = 6m , a vitkost je l λ r = r = 600 ≈ 90 > 80 , i 6,71 pa je očevidno moguće izvršiti proračun po Ojlerovom obrascu. Kako je koeficijent sigurnosti ν = 5, dozvoljeno opterećenje je: F π 2 E ⋅ I min = 148kN . Fd = kr = ν ν ⋅ lr2 Da je λ r bilo manje od 80 , kritičnu silu ne bismo mogli da odredimo po Ojlerovom obrascu; koristili bismo se tablicama koeficijenata ϕ . 127


Đurković Vlado

Kada je u pitanju presek za koji je I1 ≠ I 2 , bira se manji, minimalan, jer će oko njegove ose doći do izvijanja. Nemamo mogućnosti da se dalje upuštamo u ovu veoma delikatnu problematiku. [bebubl! 9/3/ Štap kružnog preseka opterećen je kao na slici 8.6. Izvršiti dimenzionisanje ako su: E = 210GPa , l = 2,1m , ν = 3,5 i σ dp = 70MPa , a materijal topljeno gvožđe. Sf|fokf;!Po Ojleru je: ν Flr2 3,5 ⋅ 100 ⋅ 103 ⋅ 2,12 = 74,47 ⋅ 10−8 m4 , I min = = Eπ 2 210 ⋅ 109 ⋅ π 2 R 4π I min = = 74,47 ⋅ 10−8 m4 , 4 R = 3,12 ⋅ 10 −2 m .

Sl.8.6 – Štapi opterećenje

Provera vitkosti: l λr = r imin lr = l = 2,1m − za ovaj slučaj oslanjanja, R imin = = 1,56 ⋅ 10−2 m , 2 2,1 λr = = 134,6 , 1,56 ⋅ 10−2 λ p = 135 − vitkost na granici proporcionalnosti (tablice Rašković, za topljeno gvožđe),

128


Đurković Vlado

λ r > λ p − proračun je dobar, nalazimo se u elastičnom području, te važi Ojlerova teorija izvijanja. [bebubl!9/4/ Stub standardnog I profila od topljenog gvožđa, dužine l = 1,2 m , opterećen je kao na slici 8.7. silom F = 40kN . Stub je postavljen tako da se izvijanje javlja oko ose x . Dimenzionisati stub ako su: E = 210GPa , ν = 10 i ν k = 310MPa . Odrediti kritičnu silu izvijanja. Sf|fokf; Po Ojleru je: ν Flr2 10 ⋅ 40 ⋅ 103 ⋅ 1,2 2 = 27,79 ⋅ 10−8 m4 . I min = = Eπ 2 210 ⋅ 109 ⋅ π 2

Sl.8.7 – Stub standardnog I profila i opterećenje

Iz tablica odgovara INP14 sa I x = 35,2 ⋅ 10−8 m4 , i x = 1,4 ⋅ 10−2 m , A = 18,3 ⋅ 10−4 m2 . Provera vitkosti: l 1,2 λr = r = = 85,71 < λ p = 105 . imin 1,4 ⋅ 10−2 Pošto je λ r < λ p , to znači da se nalazimo u oblasti neelastičnog izvijanja, pa ćemo primeniti Tetmajerov postupak. Za topljeno gvožđe je kritični napon jednak: σ k = 311 − 114 , λ r = 311 − 114 , ⋅ 85,71 = 213,29 MPa . Kritična sila izvijanja je: Fk = A ⋅ σ k = 18,3 ⋅ 10−4 ⋅ 213,29 ⋅ 106 = 390,32 kN . 390,32 F Sada stepen sigurnosti iznosi: ν = k = = 9,758 < 10 , 40 F

129


Đurković Vlado

što je manje od zadatog stepena sigurnosti ν = 10 . Probaćemo sada većim profilom INP16 : I x = 54,7 ⋅ 10−8 m4 , i x = 1,55 ⋅ 10−2 m , A = 22,8 ⋅ 10−4 m2 . l 1,2 λr = r = = 77,42 < λ p = 105 , imin 1,55 ⋅ 10−2 σ k = 311 − 114 , λ r = 311 − 114 , ⋅ 77,42 = 222,74 MPa , Fk = A ⋅ σ k = 22,8 ⋅ 10−4 ⋅ 222,74 ⋅ 106 = 507,8 kN , F 507,8 ν= k = = 12,7 > 10 . (zadat stepen sigurnosti je ν = 10 ). 40 F [bebubl! 9/5/! Proveriti da li će poluga AB klipne pumpe (Sl. 8.8) izdržati opterećenje na izvijanje ako su: l = 1m i kružni presek A = 3,14 ⋅ 10 −4 m2 , a prenosi maksimalnu silu F = 15,7 kN . Stepen sigurnosti ν = 4 , E = 210GPa , a materijal poluge je čelik. A O

B

Sl.8.8 – Klipna pumpa

Sf|fokf; Prečnik poluge, kao i momenat inercije preseka, jednak je:

d=

4A

π

=

4 ⋅ 3,14 ⋅ 10−4

c

π

= 2 ⋅ 10−2 m ,

h

−2 4

2 ⋅ 10 π d 4π I min = = = 0,78 ⋅ 10 −8 m4 , 64 64 −8 I min 0,78 ⋅ 10 r 1⋅ 10−2 −2 imin = = 0,5 ⋅ 10−2 m ), = 0,5 ⋅ 10 m , (ili imin = = = −4 A 3,14 ⋅ 10 2 2

130


Đurković Vlado

1 = 200 > λ p = 89 . imin imin 0,5 ⋅ 10−2 Znači da se nalazimo u području elastičnog izvijanja, te važi Ojlerova teorija. Kritična sila iznosi: π 2 E I min 3,14 2 ⋅ 210 ⋅ 109 ⋅ 0,78 ⋅ 10−8 Fk = = = 16,16 kN . 12 lr2 Sila koju sigurno može da izdrži poluga, a da ne dođe do izvijanja, F 16,16 = 4,04 kN , što znači da u ovom slučaju iznosi: F = k = ν 4 maksimalna sila F = 15,7 kN prekoračuje dozvoljeno opterećenje.

λr =

lr

=

l

=

[bebubl! 9/6/ Čelični štap poprečnog preseka ZNP 20 opterećen je kao na slici 8.9. Odredi veličinu sile pritiska kojom se štap može opteretiti, ako je koeficijent sigurnosti za ovaj materijal ν = 3,5 , a E = 210GPa .

Sl.8.9 – Čelični štap opterećen silom

Sf|fokf; Iz tablica za ZNP 20 je: I min = 147 ⋅ 10−8 m4 , imin = 1,95 ⋅ 10−2 m . Za ovaj slučaj pričvršćenja štapa je lr = 2 ⋅ l = 4m , pa je vitkost štapa: 2⋅2 l λr = r = = 205 > λ p = 89 . imin 1,95 ⋅ 10−2 Prema dobijenom koeficijentu izvijanja vidimo da ovaj štap spada u štapove velike vitkosti (Područje Ojlera), pa kritična sila iznosi: π 2 E I min 3,14 2 ⋅ 210 ⋅ 109 ⋅ 147 ⋅ 10−8 Fk = = = 190,4 kN . 42 lr2 131


Đurković Vlado

Sila kojom možemo opteretiti ovaj štap biće: F 190,4 F= k = = 54,4 kN . 3,5 ν [bebubl!9/7/ Drveni stub kvadratnog poprečnog preseka opterećen je kao na slici 8.10. Dimenzionisati stub ako je E = 10GPa , a koeficijent sigurnosti ν = 6 . Sf|fokf;! Budući da ne poznajemo dimenzije poprečnog preseka stuba, pretpostavimo da ćemo proračun vršiti po formulama Ojlera, a naknadno kontrolu područja u koje spada: ν Fl 2 6 ⋅ 80 ⋅ 103 ⋅ 4 2 I min = 2 r = 2 = 7781,5 ⋅ 10−8 m4 , ( lr = l = 4m ), 9 π E π ⋅ 10 ⋅ 10 4 a I min = = 7781,5 ⋅ 10−8 m4 , 12

a = 4 12 ⋅ 7781,5 ⋅ 10−8 = 17,48 ⋅ 10−2 m .

4m

=80kN

Sl.8.10 – Čelični štap i opterećenje

Usvajamo a = 18 ⋅ 10−2 m , pa je sada vitkost štapa: l l 4 = = 76,9 < λ p = 100 , za drvo. λr = r = imin 0,289 ⋅ a 0,289 ⋅ 18 ⋅ 10 −2 Pošto smo dobili λ r < λ p , znači da se nalazimo u području neelastičnog izvijanja, te prethodni proračun nije dobar. Treba ga ponoviti po Tetmajeru. Pri tome ćemo koristiti dobijenu vrednost: a = 18 ⋅ 10−2 m . Kritični napon će biti: σ kr = 29,3 − 0,194λ r = 29,3 − 0,194 ⋅ 76,9 = 14,38 MPa , 132


Đurković Vlado

c

Fkr = σ kr ⋅ A = 14,38 ⋅ 106 ⋅ 18 ⋅ 10−2

h

2

= 465,9 kN .

Sila kojom smemo opteretiti štap je: 465,9 F F= k = = 77,65 kN < 80 kN . ν 6 Izračunata sila je manja od zadate sile, što ne sme biti. Zato je potrebno povećati dimenzije štapa, npr. na a = 19 ⋅ 10−2 m . Tada će biti: l l 4 λr = r = = = 72,85 , imin 0,289 ⋅ a 0,289 ⋅ 19 ⋅ 10−2 σ kr = 29,3 − 0,194λ r = 29,3 − 0,194 ⋅ 72,85 = 15,16 MPa ,

c

Fkr = σ kr ⋅ A = 15,16 ⋅ 106 ⋅ 19 ⋅ 10−2 F=

Fk

ν

=

h

2

= 547,27 kN ,

547,27 = 91,2 kN > 80 kN . 6

[bebubl! 9/8/ Dimenzionisati štap DO = 1,5 m , upravljačkog mehanizma prikazanog aviona (Sl. 8.11), ako su F1 = 0,3 kN i F2 = 0,2 kN , a materijal dural sa σ dz = 180 MPa , σ dp = 200MPa i

d = 0,85 , a D stepen sigurnosti je ν = 1,5 . Napon na granici proporcionalnosti σ p = 270 MPa . E = 80GPa . Poprečni presek poluge je prstenast sa α =

Sf|fokf;! 10 Prvo ćemo polugu DC proračunati na zatezanje. Zatežuća sila Fz iznosi: AB 0,5 Fz = F1 ⋅ = 0,3 ⋅ = 3kN . 0,05 BC Na osnovu kriterijuma čvrstoće, površina poluge je: 3 ⋅ 103 F A= z = = 0,166 ⋅ 10−4 m2 , σ dz 180 ⋅ 106

133


D=

Đurković Vlado

4A 4 ⋅ 0,166 ⋅ 10−4 = = 0,87 ⋅ 10−2 m ≈ 0,9 ⋅ 10−2 m . 2 2 π 1− α π 1 − 0,85

c

h

c

h

2 0 Sada ćemo polugu DC dimenzionisati na izvijanje usled pritiskujuće sile Fpr . Fpr = F2 ⋅

AB 0,5 = 0,2 ⋅ = 2 kN . 0,05 BC

Sl.8.11 – Upravljački mehanizam aviona

Po Ojleru je: ν Flr2 1,5 ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 1,52 = = 0,85 ⋅ 10−8 m4 , I min = 2 9 2 80 ⋅ 10 ⋅ π E ⋅π

134

I min =

D 4π 1− α 4 , 64

c

h


D=4

Đurković Vlado

64 ⋅ I min 64 ⋅ 0,85 ⋅ 10−8 = = 2,45 ⋅ 10−2 m , 4 4 4 π 1− α π 1 − 0,85

c

h

c

h

D = 2,5 ⋅ 10−2 m . Provera vitkosti: Vitkost na granici proporcionalnosti ćemo dobiti iz uslova da je kritični napon jednak naponu na granici proporcionalnosti. π 2E σk = 2 =σ p,

λp

λk =

π 2E π 2 ⋅ 80 ⋅ 109 = = 54 , σp 270 ⋅ 106

Vitkost štapa je: l λ= r , imin D 2,5 ⋅ 10−2 1+ α 2 = 1 + 0,852 = 0,82 ⋅ 10−2 m , 4 4 l 1,5 λ= r = = 182,86 . imin 0,82 ⋅ 10−2 Pošto je λ > λ p , znači da se nalazimo u području elastičnog izvijanja, imin =

pa je proračun po Ojleru dobar. Konačno usvajamo: D = 2,5 ⋅ 10−2 m . [bebubl! 9/9/ Pri sletanju aviona, na tri tačke (Sl. 8.12) javljaju se: horizontalna sila H = 16kN , vertikalna sila G = 180kN i moment M = 12 kNm . Dimenzionisati nosač nosnog točka kruto vezanog za trup, d prstenastog preseka sa α = = 0,85 , od ^.0561 sa σ dp = 150 MPa . Pri D dimenzionisanju koristiti " ω " postupak.

135


Đurković Vlado

Sl.8.12 – Avion pri sletanju i opterećenje

Sf|fokf;! Aksijalnu silu u nosaču računamo iz statičkog uslova ravnoteže: ∑ M B = FA ⋅ 4,8 − H ⋅1,8 − M − G ⋅1,2 = 0

16 ⋅ 1,8 + 12 + 180 ⋅ 1,2 = 53,5kN . 4,8 Na osnovu kriterijuma čvrstoće i pretpostavljenog ω = 3 jeste: ω ⋅ F 3 ⋅ 53,5 ⋅ 103 A= = = 10,7 ⋅ 10−4 m2 , A = π ⋅ R 2 1 − α 2 , odakle je: 6 σ dp 150 ⋅ 10 FA =

c

R=

10,7 ⋅ 10−4 A = 3,5 ⋅ 10−2 m . = 2 2 π ⋅ 1− α π ⋅ 1 − 0,85

c

c

h

Provera napona:

c

h

h c

h c1 − 0,85 h = 10,7 ⋅10 π ⋅ R c1 − α h R = c1 + α h = 4π ⋅ R c1 − α h 2

A = π ⋅ R 2 1 − α 2 = π 3,5 ⋅ 10−2 I min = A

imin =

4

2

2

lr

=

imin ω = 3,19 ,

−4

m2 ,

4

2

2

2

=

λr =

h

3,5 ⋅ 10−2 2

2⋅l 2 ⋅ 1,2 = = 104,3 , imin 2,3 ⋅ 10−2

136

c1 + 0,85 h = 2,3⋅10 2

−2

m,


ω⋅F

Đurković Vlado

3,19 ⋅ 53,5 ⋅ 103 = 159,5 MPa > σ dp = 150MPa . A 10,7 ⋅ 10−4 Proba sa R = 3,6 ⋅ 10−2 m ,

σ=

=

c

A = π 3,6 ⋅ 10 −2

h c1 − 0,85 h = 11,3⋅10 c1 + 0,85 h = 2,36 ⋅10 2

−4

2

m2 ,

3,6 ⋅ 10−2 2 −2 m, 2 2⋅l 2 ⋅ 1,2 = = 101,7 , λr = imin 2,36 ⋅ 10−2 ω = 3,03 , ω ⋅ F 3,03 ⋅ 53,5 ⋅ 103 = 143,45 MPa < σ dp = 150MPa . σ= = A 11,3 ⋅ 10−4 Dimenzionisanje je završeno sa R = 3,6 ⋅ 10−2 m . imin =

[bebubl! 9/:/ Odredi koliku silu F može da nosi štap AB , pod uslovom da ne dođe do njegovog izvijanja, ako je materijal ^.0561 sa σ dp = 150 MPa , a R = 5,5 ⋅ 10−2 m (Sl. 8.13). Sf|fokf; Na osnovu kriterijuma čvrstoće je: F =

c

h

A ⋅ σ dp

ω

2

5,5 ⋅ 10−2 π R 2π A= = = 47,51⋅ 10−4 m2 , 2 2

c

I x = 0,1097 R 4 = 0,1097 5,5 ⋅ 10−2 imin =

h

4

= 100,38 ⋅ 10−8 m4 ,

100,38 ⋅ 10−8 Ix = = 1,45 ⋅ 10−2 m . 47,51⋅ 10−4 A

137

,


Đurković Vlado

Sl.8.13 – Štap sa opterećenjem i poprečnim presekom

Za ovaj slučaj pričvršćivanja štapa je: lr = 2 l = 0,7 ⋅ l , pa je vitkost 2 jednaka: l 0,7 ⋅ l 0,7 ⋅ 3 = λr = r = = 144,82 . imin imin 1,45 ⋅ 10−2 Iz tablica je ω = 6,14 , pa sila F koju može da nosi ovaj štap, a da ne dođe do njegovog izvijanja jednaka je: A ⋅ σ dp 47,51⋅ 10−4 ⋅ 150 ⋅ 106 F= = = 116kN . 6,14 ω

138

Tehnička mehanika Otpornost materijala – lokalno i kontaktno naprezanje

Đurković Vlado

:/!MPLBMOB!OBQSF[BOKB! :/2/!Vwpe! Računske vrednosti osnovnih napona koje se dobijaju primenom formula otpornosti materijala, nazivaju se nominalni naponi. Tom prilikom se uvode pretpostavke da se proračunavaju idealno glatki prizmatični štapovi i grede koji nemaju nagle promene poprečnog preseka, a prescci su relativno udaljeni od mesta dejstva opterećenja. Precizno izmerene vrednosti napona u pojedinim elementima, medutim, pokazuju znatna odstupanja od nominalnih vrednosti na mestima promene oblika i/li površine, na mestima kontakta dvaju pritisnutih tela, zatim tamo gde je materijal izrazito nehomogen i dr. :/3/!Lpoubluop!obqsf{bokf! Kontaktna naprezanja spadaju u lokalna naprezanja koja nastaju na dodirnim površinama dvaju uzajamno pritisnutih tela. Značajna su kod proračuna mnogih elemenata: zupčanih prenosnika, kotrljajnih ležaja, sklopa točak šina i slično. Razlikuju se dva oblika kontaktnih naprezanja: • dva elementa se dodiruju po konačnim površinama (Sl. 9.1 a) i (Sl. 9.1 b), • dva elementa se dodiruju u jednoj tački (Sl. 9.1 v) ili duž jedne linije u neopterećenom stanju, a u opterećenom stanju se dodiruju po maloj površini nastaloj usled lokalnog deformisanja na mestu dodira (Sl. 9.1 g). Kada se dva idealno glatka elementa, koja se u neopterećenom stanju dodiruju po konačnoj paralelnoj ravnoj površini, opterete silom F u pravcu normale na dodirnu površinu, tada je radni napon−površinski pritisak u bilo kojoj tački površine jednak F p= . A (9.1) Dodir ispupčene i izdubljene (konveksne i konkavne) ravne površine može biti takav da se jedna u drugu potpuno uklapaju tj. da je d = D ili 139


Đurković Vlado

d > D ili d ≤ D . Pritisak je u prvom slučaju ravnomerno raspoređen na dodiru a vektori pritiska su normalni na površinu i imaju vrednost p = F / db. (9.2)

Sl. 9.1 – Kontaktni pritisak na mestu dodira: a) dve paralelne ravne površine, b) dodir ispupčene i izdubljene ravne površine, v) dve kugle i g) dva valjka

Ako je naleganje labavo tj. ako je prečnik konkavne površine veći, raspodela pritiska je neravnomerna (Sl. 9.1 b). Najveći je u pravcu dejstva sile i iznosi F pmax = 1, 27 , db (9.3) a u ostalim tačkama manji, npr. pri uglu ϕ je pϕ = pmax sin ϕ .

Ako se dva elementa dodiruju u jednoj tački, ili duž jedne linije u neopterećenom stanju, kontaktni naponi se određuju metodom teorije elastičnosti (Hercove jednačine) pri sledećim pretpostavkama: u zoni kontakta nastaju samo elastične deformacije; dimenzije površine kontakta su male u poređenju sa poluprečnikom krivine dodirnih površina; sile pritiska su normalne na površinu, postoje samo normalni naponi. 140


Đurković Vlado

Pri tim pretpostavkama, normalni naponi po površini kontakta raspoređuju se po zakonu površine elipsoida, a površina kontakta ima, u opštem slučaju, oblik elipse kod dodira kugli, a pravougaonika kod dodira valjaka. Dimenzije površina dodira određuju se, takođe, pomoću Hercovih obrazaca. U slučaju dveju kugli pritisnutih silom F (Sl. 9.1 v), poluprečnika s2 i s3 maksimalni pritisak je pmax = 0,388 3 F

E2 , ρ2

(9.4) a u slučaju dva valjka pritisnuta silom F (Sl. 9.1 g), maksimalni napon pritiska je FE pmax = 0, 418 , ρb (9.5) pri čemu se srednji poluprečnik ρ i srednji modul elastičnosti E određuju po formulama: 1 1 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ = + , = ⎜ + ⎟. ρ r1 r2 E 2 ⎝ E1 E2 ⎠ Delovi u dodiru mogu biti međusobno nepokretni, mogu da klizaju i da se međusobno kotrljaju. Kritična stanja i kritični naponi su različiti za ove slučajeve a oni će se analizirati u mašinskim elementima. Dopuštene vrednosti površinskog pritiska se odreduju na osnovu tvrdoće materijala. Tvrdoća materijala može da se odredi različitim postupcima. Najčešće korišćeni postupak je Brinelov postupak, kojim se tvrdoća materijala određuje na osnovu veličine otiska koji merno telo – kuglica odredenog prečnika, pod pritiskom određene sile utisne na uzorak čija se tvrdoća ispituje. Tako određena tvrdoća se izražava u jedinicama Brinela, HB. Postupak Rokvela za merenje tvrdoće je principijelno isti, ali je merao telo u obliku kupe (jedinice C po Rokvelu – HRC) ili oblika kuglice (jedinice B po Rokvelu – HRB).

141

Tehnička mehanika Otpornost materijala – osnove proračuna

Đurković Vlado

21/!PTOPWF!QSPSB_VOB! 21/2/!Vwpe! Mašinske konstrukcije i elementi se proučavaju s ciljem da se za određene radne uslove odrede dimenzije delova ili da se izaberu standardni delovi iz odgovarajućih familija. Takođe se korišćenjem istih metoda proverava sigurnost odnosno sposobnost mašinskih delova da u datim uslovima izvršavaju predviđene funkcije. Proračun se vrši uglavnom na osnovu potrebe sigurnost u radu odnosno na osnovu potrebne čvrstoće delova (najpouzdaniji je na osnovu pouzdanosti). Osim ovih, mogući su i drugi proračuni analize ali proračun prema stepenu sigurnosti je najšire u primeni. Ovaj proračun se sastoji u upoređivanju kritičnog radnog napona za odgovarajuće naprezanje odnosno opterećenje. Naprezanje je stanje mašinskog dela koje nastaje dejstvom spoljašnjih sila. Karakteriše se pojavom deformacija i unutrašnjim otporom. Napon je veličina koja karakteriše intenzitet unutrašnjih sila u nekoj tački zamišljenog preseka mašinskog dela. To je dakle fiktivna veličina. Deformacije mašinskih delova mogu biti elastične (povratne) i plastične (nepovratne). Čvrstoća mašinskih delova je sposobnost izdržavanja opterećenja ili sposobnost suprostavljanja razaranju pod dejstvom opterećenja. Izražava se kroz određene napone ( σ, τ ) . Čvrstoća može biti zapreminska i površinska. Najopštiji kriterijum čvrstoće je stepen sigurnosti: ν = kritični napon radni napon Krutost je sposobnost suprostavljanja elastičnim deformacijama pod 142


Đurković Vlado

dejstvom radnog opterećenja. Tvrdoća je sposobnost odupiranja prodiranju. Pod radnom sposobnošću mašinskog dela podrazumeva se: čvrstoća, krutost i elastičnost, statička i dinamička stabilnost kao i otpornost prema štetnom zagrijavanju. Sledeći zahtev je stabilnost. Na bilo koji mehanički sistem uvek deluju različite poremećajne veličine (slučajnog karaktera), koje mogu narušiti namensko funkcionisanje sistema (konstrukcije). Pravilno projektovani sistem treba namenski funkcionisati, tj. stabilno raditi nezavisno od delovanja spoljašnjih uticaja. Stabilnost sistema (konstrukcije) je uslov njegovog normalnog rada. Postoje različiti kriterijumi i metode proračuna stabilnosti konstrukcija (naročito kranova). Pod dejstvom spoljašnjih sila konstrukcija se deformiše i pri tome dobija određeni ravnotežni oblik koji odgovara uspostavljenoj ravnoteži između spoljašnjih i unutrašnjih sila. Ako nekim dodatnim spoljašnjim uticajem (udarom, povremenim dejstvom sile) poremetimo određeni ravnotežni oblik konstrukcije, pa nakon prestanka dejstva te sile konstrukcija zauzme svoj prvobitini oblik ravnoteže, onda kažemo da je konstrukcija stabilna. Naprotiv, ako se konstrukcija po prestanku dejstva dodatnog spoljašnjeg uticaja ne vrati u svoj prvobitni ravnotežni oblik, već dobije novi ravnotežni oblik, tada kažemo da je konstrukcija nestabilna (to možemo videti na vitkom centrično pritisnutom štapu). Pored navedenih bitnih zahteva, od konstrukcije se traži da budu i ekonomične, a ponekad se uslovljavaju njena rešenja ograničenjem sopstvene težine, u vazduhoplovstvu naročito. Zahtevi sigurnosti i ekonomičnosti protivureče jedni drugima. Prvi zahtevi vode ka povećanju utroška materijala, a drugi ka smanjenju. Problem koji se ovde postavlja je da se nađe takvo rešenje konstrukcije koje će obezbediti punu sigurnost u uslovima normalne eksploatacije i istovremeno ekonomično rešenje sa utroškom minimalne količine materijala. Otpornost materijala oslanja se na teorijska i eksperimentalna istraživanja. Teorijskim putem izvode se osnovni proračunski obrasci za rešavanje određenih zadataka, dok se eksperimentalnim putem određuju osnovne mehaničke karakteristike materijala i proveravaju teorijski 143


Đurković Vlado

izvodi. Tako svaki proračunski obrazac izveden teorijski moguće je u praktičnim proračunima primeniti samo onda ako je njegova valjanost eksperimentalno potvrđena. Eksperimentalna istraživanja se vrše u posebnim laboratorijama za ispitivanje materijala i konstrukcija, pri čemu se koriste razni merni instrumenti, od mehaničkih do elektronskih, sa različitim opterećenjima (statička, dinamička, statičak pri promeni temperarture, dugotrajna statička i druga). U otpornosti materijala koriste se osnovne postavke mehanike apsolutno krutog tela (ne sve), fizike i matematike. 21/3/!Epqv|ufoj!obqpoj-!tufqfo!tjhvsoptuj Naponi koji se dobijaju proračunom elementa (obično u fazi projektovanja) nazivaju se računski naponi. Radni naponi su stvarni naponi u elementu koji je proizveden i ugrađen u mašini, gde obavlja predviđenu fimkciju. Da bi se obezbedio normalan rad elemenata i čitavog transportnog sredstva u predviđenom veku trajanja, neophodno je da i računski i stvarni – radni naponi ne prelaze neku dopuštenu vrednost ( σd , τ d ). No, i dopušteni naponi moraju da budu znatno manji od eksperimentom određenih graničnih napona, јеr se, рге svega, laboratorijski i eksploatacioni uslovi znatno razlikuju. Osim toga, mnogi faktori koji utiču na napon (opterećenje, materijal, i dr.) imaju slučajan i često nepredvidljiv karakter. Takođe mora da se uzmu u obzir uslovi rada, potreban vek trajanja, veličina tolerancija i kvalitet obrade, funkcija i odgovomost elementa i mašine – transportnog sredstva u koje se ugrađuje element. Neki uticajni faktori i ne mogu da se uračunaju, ili zato što je to nemoguće ili što bi proračun bio veoma složen. Zbog svega toga uvodi se određeni stepen sigurnosti. Predviđeni vek trajanja mašina je veoma različit: pogonske grupe torpeda i raketa rade samo nekoliko minuta ili sekundi, dizalice oko 10.000 časova, mašine alatke do 50.000 časova, termocentrale i hidrocentrale preko 100.000 časova. Za konstrukcije čije bi razaranje bilo posebno opasno po ljudske živote (dizalice, liftovi, kotlovi, rudarske mašine i sl.) stepen sigurnosti, pa i metod proračuna je propisan državnim propisima i standardima. 144


Đurković Vlado

Dopušteni naponi se određuju po formulama: [ σ] , τ = [ τ] , σd = (10.1) d ν ν gde su: [ σ] , [ τ] – merodavne mehaničke karakteristike materijala tj., kritični (granični) naponi, za normalne, odnosno tangencijalne napone, ν − stepen sigurnosti elementa. Osim ovog stepena sigurnosti, koji definiše odnos kritičnog i dopuštenog napona, značajan je, posebno za izvedene konstrukcije jer obezbeđuje sigurnost elementa protiv loma, i stepen sigurnosti koji je određen odnosom kritičnog i radnog napona [σ] = σkr. , S = [ τ] = τkr . . S= (10.2) σ σ radno τ τ radno U praksi, sa stepenom sigurnosti proračuni se izvode na jedan od načina: a) element ili konstrukcija se konstruiše na osnovu iskustva primenom empirijskih i statičkih obrazaca i proverava da li dinamički stepen sigurnosti zadovoljava, b) na bazi datih uslova se bira odgovarajući stepen siguraosti i određuje dopušteni napon, pa se zatim određuju osnovne dimenzije elementa ili konstmkcije. Vrednost stepena sigurnosti zavisi od navedenih činioca i rasipa se u širokom opsegu, ali se može uzeti prosečna vrednost 2...3. Merodavna mehanička karakteristika materijala – kritični napon, određuje se u zavisnosti od karaktera opterećenja i vrste materijala. Pri statičkom (mirnom) opterećenju, treba razlikovati ove slučajeve. • Materijal je nehomogen i krt, pa se za kritični napon uzima zatezna čvrstoća (jačina kidanja) σ M ( Rm ) ili odgovarajuća čvrstoća, prema vrsti napona, tj., [ σ] = σ M . •

Materijal je plastičan, pa se za kritični napon usvaja napon tečenja σT ( ReH ) , tj., [ σ] = σT .

21/4/!Ptopwoj!lsjufsjkvnj!sbeof!tqptpcoptuj!efmpwb!

U toku eksploatacije, elementi i transportno sredstvo u celini, treba da imaju projektovanu radnu sposobnost i pouzdanost, to jest treba da 145


Đurković Vlado

zadrže svoje eksploatacione parametre vršeći zadatu funkciju u predviđenom veku trajanja. Radna sposobnost i pouzdanost elemenata je određena sledećim kriterijumima (uslovima): čvrstoćom, krutošću (elastičnošću), statičkom i dinamičkom stabilnošću, habanjem (trošenjem), zagrevanjem. Na osnovu ovih kriterijuma elementi se proračunavaju, što ima za cilj određivanje dimenzija i materijala elemenata. 21/4/2/!_wstup~b!

To je osnovni kriterijum radne sposobnosti elemenata i konstrukcije, a predstavlja svojstvo materijala da primi spoljna opterećenja bez deformacija, promena oblika i posebno loma. Neophodna čvrstoća se postiže ispravnim određivanjem oblika, dimenzija i materijala elemenata. Najrasprostranjeniji metod proračuna je poredenje računskih, normalnih i tangentnih napona ( σ, τ ) sa dopuštenim (dozvoljenim) naponima σd τd to jest: σ ≤ σd , τ ≤ τd , (10.3) pri čemu se dopušteni naponi određuju prema već izloženom postupku. 21/4/3/!Lsvuptu!)fmbtuj•optu*!!!!!!!!!! Krutost je sposobnost elemenata i konstrukcije da se suprotstavi deformacijama, to jest da zadrži postojeći oblik pod dejstvom opterećenja. Veličina suprotna krutosti je elastičnost. U mnogim elementima i konstrukcijama naponi su znatno manji od dopuštenih, ali znatno veće dimenzije su diktirane uslovima krutosti (na primer: opruge, gibnjevi i dr.). Kod mnogih elemenata javljaju se štetne posledice ako nemaju dovoljnu krutost. Na primer, kod zupčastog para koji nema dovoljnu krutost opterećenje se neravnomerno prenosi po širini zubaca. Ili, kod nedovoljno krutih vratila može da dode do oštećenja ležišta. S druge strane, kod nekih elemenata zahteva se manja krutost (veća elastičnost) da bi se smanjili naponi i povećala izdržljivost. Pri proračunu krutosti uzima se u obzir sopstvena krutost elementa (zapreminska deformacija elementa) i/li kontaktna krutost (deformacija 146


Đurković Vlado

površinskih slojeva). Za ocenu sopstvene krutosti služi koeficijent krutosti, koji predstavlja odnos sile i deformacije (linearai koeficijent krutosti – cl ) ili odnos momenta prema ugaonoj deformaciji (ugaoni koeficijent krutosti – cu ). Veličina recipročna koeficijentu krutosti je l koeficijent elastičnosti ( ϕ = ). Na primer, koeficijent krutosti štapa c konstantnog poprečnog preseka A i dužine l , koji je pritisnut aksijalnom silom F je: F σA εE A E A N cl = = = = , , (10.4) λ ∆l ∆l l m gde je λ – deformacija odnosno skraćenje štapa, a E – modul elastičnosti materijala. Koeficijent krutosti cilindra prečnika d i dužine l , koji je opterećen momentom uvijanja Tu = M u je T Nm cu = u , , (10.5) α rad gde je α − ugao uvijanja cilindra.

147

Tehnička mehanika Otpornost materijala - literatura

Đurković Vlado

22/!MJUFSBUVSB!! [1] Baziljević V., Otpornost materijala, ″Građevinska knjiga″, Beograd, 1976. [2] Banić M., Jojić K., Nedeljković V., Radaković D., Ružić D., Čukić R., Priručnik iz otpornosti materijala, ″Mašinski fakultet″, Beograd, 1978. [3] Brčić V., Otpornost materijala, ″Naučna knjiga″, Beograd,1975. [4] Boleantu L., Curs de rezistenta materialelor, Traian Vuia Timisoara, 1976. [5] Beljaev: Sbornik zadač po soprtivleniju materijalov, Nauka, Moskva, 1966. [6] Banić M., Jojić K., i drugi: Priručnik iz otpornosti materijala, Mašinski fakultet, Beograd, 1978. [7] Buzdugan G. H. i drugi: Culegere de probleme din rezistenta materialelor, Institutul politehnik ″Gheorghe gheorghiudej″ Bucuresti, 1972. [8] Case end Chilver, Strength of materials and structures, Ednjard Arnold London, 1971. [9] Dobre I., Curs de rezistenta materialelor, Traian Vuia Timisoara, 1979. [10] Đurić S., Teorijska mehanika i otpornost materijala, kratki kurs, Vojna akademija rodova KoV i intendanske službe, Beograd, 1976. [11] Đurka J., Dreca S., Zbirka zadataka iz otpornosti materijala, Školski centar RV i PVO, Vojna akademija RV i PVO, Rajlovac, 1982. [12] Đurka J., Otpornost materijala, VTVA Rajlovac, 1981. [13] Đurković P. V., Rusov L. S., Tehnička mehanika 1 - teorija sa primerima, Generalštab vojske Srbije i Crne Gore, Uprava za školstvo i obuku, Vojna akademija, Beograd, 2003.

148


Đurković Vlado

[14] Jensen Alfred, M.S. in C.E. Emeritus Professor of Engineering University of Washington, Statics and Strengh of Materials, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York, Toronto, London, 1962. [15] Fedos}ev V.I., Soptjvleniv materialov, Nauka, Moskva, 1976. [16] Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, JR Mechanics of Materials, SI Metric Edition, McGraw-Hill Ryerston Limited, Toronto, Montreal, New York, Auckland, Bogota, Cairo, Guatemala, Hamburg, Lisbon, London, Madrid, Mexico, New Delhi, Panama, Paris, San Juan, Sao Paulo, Singapore, Sydney, Tokio, 1987. [17] Hlitčijev J., Vrečko M., Nauka o čvrstoći, Prosveta, Izdavačko preduzeće Srbije, Beograd, 1947. [18] Gastev V.A., Kratki kurs otpornosti materijala, „Građevinska knjiga”, Beograd 1966. [19] Katedra za otpornost konstrukcija, Otpornost materijala – tablice, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet, Beograd, 2000. [20] Kojić M., Golubović D., Otpornost materijala, ″Naučna knjiga″, Beograd, 1978. [21] Ka~urina V.K., Sbornik zada~ po soprotivleninj materialov Nauka, Moskva, 1970. [22] Mandić J., Otpornost materijala – VI šesto izdanje, ″Naučna knjiga″, Beograd 1992. [23] Mandić J., Zbirka rešenih zadataka iz otpornosti materijala – peto izdanje, „Naučna knjiga”, Beograd 1992. [24] Milovančević M., Anđelić N., Otpornost materijala, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet, Beograd 2006. [25] Mirlonjbov i dr.: Posebie k re{ehinj zada~ po soprotivleninj materialov, V}is{alj {kola, Moskva, 1969. [26] Nikolić T., Otpornost materijala, ″CENERG″, Zrenjanin, 1995.

149


Đurković Vlado

[27] Predavanja prof. S. Kebeljića u VTVA Rajlovac 1966/67 i 1967.68 školske godine. [28] Predavanja prof. K. Jojić u VVTA Beograd 1971/72 školske godine. [29] Predavanja prof. M. Milovančević u Mašinskom fakultetu Beograd, 2003/04 školske godine. [30] Rašković D., Otpornost materijala, ″Naučna knjiga″, Beograd, 1971. [31] Rašković D., Zbirka zadataka iz otpornosti materijala, ″Naučna knjiga″, Beograd, 1985. [32] Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, „Građevinska knjiga”, Beograd, 1971. [33] Ružić D., Čukić R., Otpornost materijala, Mašinski fakultet, Beograd, 1993. [34] Ružić D., Čukić R., Otpornost materijala – uputstvo za izradu grafičkih radova, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet, Beograd, 2000. [35] Ružić D., Čukić R., Dunjić M., Milovančević M., Anđelić N., MiloševićMitić V., Otpornost materijala – tablice, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet, Beograd, 2007. [36] Singer F. L., Strength of materials, New Jork university, New Jork, 1981. [37] Šapiro i drugi: Sbornik zadač po suprotivleniju materijalov, Visšaja škola, Moskva, 1970. [38] Timošenko S., Otpornost materijala, prvi deo – elementarna teorija i primeri, Izdavačko preduzeće, „Građevinska knjiga”, Beograd, 1972. [39] Timošenko S., Istorija otpornosti materijala, „Građevinska knjiga”, Beograd, 1965. [40] Vojnović B., Ninković J., Terzić N., Zbirka rešenih zadataka iz otpornosti materijala, Mašinski fakultet, Sarajevo, 1977. [41] Šelmić R., Elementi transportnih sredstava i uređaja, Univerzitet u Beogradu, Saobraćajni fakultet, Beograd, 1999. 150

LIKOVNO REŠENJE KORICA Željko HRČEK

KOREKTOR Jelena PETKOVIĆ

TEHNIČKA OBRADA Vlado ĐURKOVIĆ Snežana ARANĐELOVIĆ - RADMANOVIĆ

Štampa: Sekcija za pripremu, štampanje i umnožavanje

Tehnicka Mehanika Teorija Deo OM 2012 Vlado Djurkovic

Recommend Documents