Tecnicas de Integracion

TECNICAS DE INTEGRACION (pág. 354) 1. Tres estudiantes de ateáti!as "an #rdenad# una pi$$a de 14 pu%gadas. En %ugar de !#rtar en &#ra tradi!i#na%' de!iden "a!er !#rtes para%e%#s' !## se e en %a &igura. Deid# a sus !#n#!iient#s de ateáti!as' pueden deterinar d*nde !#rtar  de #d# +ue !ada un# #tenga %a isa !antidad de pi$$a. ,D*nde se "a!en %#s !#rtes-

. Ea%u/

∫ 

7

−

dx

0n !ain# dire!t# seria epe$ar !#n &ra!!i#nes par!ia%es' per# es# sera deasiad# !#p%e2#. Ensae una sustitu!i*n.

3. Ea%u/

∫  0

3

1

− x − 1 − x 7

7

3

dx

4. #s !entr#s de d#s dis!#s !#n radi# 1 están apartad#s una unidad. En!uentre e% área de %a uni*n de e%%#s.

5. 0na e%ipse es !#rtada p#r un !r!u%# de radi#

. E% e2e a#r de %a e%ipse !#in!ide

!#n un diáetr# de% !r!u%#'  e% e2e en#r tiene %#ngitud

. Deuestre +ue e% área de

%a parte restante de% !ir!u%# es %a isa +ue e% área de una e%ipse !#n seie2es

− .



. 0n "#re parad# ini!ia%ente en e% punt# !aina a %# %arg# de un ue%%e 2a%and# un #te ediante una !uerda de %#ngitud . E% "#re antiene %a !uerda re!ta  tensa. a trae!t#ria +ue sigue e% #te es una !ura %%aada tra!tri6  tiene %a pr#piedad de +ue %a !uerda es siepre tangente a %a !ura (/ase %a &igura). a) Deuestre +ue si %a trae!t#ria seguida p#r e% #te es %a grá&i!a de %a &un!i*n

 y = f x

' ent#n!es

 f ′ ( x )

) Deterine %a &un!i*n

 y = f x

.

=

dy

=

−

L

−x

7. 0na &un!i*n

está de&inida p#r 

 f ( x )

=

En!uentre e% a%#r ni# de

8. Si

cos t cos

( x − t ) dt

.

es un enter# p#siti#' deuestre +ue

0

≤ x ≤ 2π 

( ln x )

n

∫ ( − x )

n

n

dx = ( −1) n !

9. Deuestre +ue 1

1

2

0

Sugeren!ia: epie!e p#r de#strar +ue si

 I k +1 =

dx =

2

n

( n !)

+

2n 1 !

den#ta %a integra%' ent#n!es

+

I k 

1;. Sup#nga +ue

es una &un!i*n p#sitia ta% +ue

a) ,C*# se re%a!i#na %a grá&i!a de su!ede !uand#

 y = f x sen nx

es !#ntinua.

!#n %a grá&i!a

 y = f x

 - ,
lim

) =aga una !#n2etura en !uant# e% a%#r de% %iite

f ( x ) sennxdx

>asánd#se en %a gra&i!as de% integrad# !) ?#r %a integra!i*n p#r partes' !#n&ire %a !#n2etura +ue "i$# en e% in!is# ). @0ti%i!e e% "e!"# de +ue' puest# +ue

"a una !#nstante B ta% +ue

 f x

≤ x ≤1

para

.

 f x

 !#ntina'

t   bx + a − x dx 1 ( ) ∫  1

11. Si

' en!uentre

lim t → 0

0

t 

1. Gra&i+ue

 f ( x

= sen

e

+

x

  uti%i!e %a grá&i!a para estiar e% a%#r de ta% +ue

es un á6i#. Despu/s en!uentre e% a%#r e6a!t# de

∞

13. Ea%u/

14. Ea%u/

∫  

−1 1

 x 4

+ x ÷ 6

 f ( x )

+ue a6ii$a esta integra%.

dx .

tan xdx

15. E% !ir!u%# !#n radi# 1 +ue se uestra en %a &igura' t#!a %a !ura En!uentre e% área de %a regi*n +ue está entre %as d#s !uras.

 y = 2 x

 d#s e!es.

1. 0n !#"ete se dispara erti!a%ente en %nea re!ta +ueand# !#usti%e a una ra$*n !#nstante de

i%#gra#s p#r segund#. Sea

e% instante '  sup#nga +ue %a e%#!idad

v = v t 

 %a e%#!idad de% !#"ete en

de% gas de sa%ida es !#nstante. Sea

 M = M t 

 %a asa de% !#"ete en e% instante '  n#te +ue B disinue !uand# se +uea e% !#usti%e. Si se despre!i#a %a resisten!ia de% aire' se dedu!e de %a segunda

 F = M

v

− ub

%e de Net#n +ue D#nde %a &uer$a

=−

. As

 M

v

− ub = −Mg 

Sea

=

%a asa de !#"ete sin !#usti%e'

t  =

+

asa es

a) Sustitua

%a asa ini!ia% de% !#usti%e 

. Ent#n!es' "asta +ue se ag#ta e% !#usti%e en e% tiep#

=

− =

2

' %a

t 

.

−

t 

0ti%i!e %a !#ndi!i*n ini!ia%

  en %a e!ua!i*n 1  resue%a %a e!ua!i*n resu%tante para

v

0 =0

 para ea%uar %a !#nstante.

t  = ) Deterine %a e%#!idad de% !#"ete en e% tiep# !#usti%e ag#tad#.

!) Deterine %a a%tura de% !#"ete !#usti%e.

 y = y t 

2

. Esta se %%aa e%#!idad de

  e% tiep# en +ue se +uea t#d# e%

d) =a%%e %a a%tura de% !#"ete en !ua%+uier tiep# .

.

?RO>BAS SIN EN0NCIADO