´ ´n Metodos etodos de Integr Integra acion o
Contenido 1
Intr Introd oduc ucci ci´ ´ on on
1
2
Integrales Simples
3
3
Dos M´ etodos Fundamentales
5
3.1 Sust Sustit ituc uci´ i´ on o Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Inte Integr grac aci´ i´ on por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Inte Integr grac aci´ i´ on de Funciones Trigonom´ etricas
4.1 Integ Integral rales es de la form formaa 4.2 Integ Integral rales es de la form formaa 4.3 Integ Integral rales es de la form formaa 4.4 Integ Integral rales es de la form formaa 4.5 Integ Integral rales es de la form formaa 4.6 Integ Integral rales es de la form formaa 4.7 Integ Integral rales es de la form formaa
sen nx sen mxdx o
sen n x dx y
5 8 11
cosn xdx. . . . . . . . . . . . . . . 11
sen m x cosn xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
tann xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 secn xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 tanm x secn xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 sen nx cos mxdx con n = m. . . . . . . . . . . . 17
cos nx cos mxdx con n = m. . . . . . . . . . . . 18
5
Inte Integr grac aci´ i´ on por Sustituciones Trigonom´ etricas
19
6
Inte Integr grac aci´ i´ on de Funciones Racionales
25
7
Fun unci cion ones es Hiper Hiperb´ b´ olicas y Sustituciones Hiperb´ olicas olicas
33
8
Integrandos Racionalizables
37
8.1 8.1 8.2 8.2 8.3 8.4
Func uncione ioness Funcion iones Funcione uncioness Funcione uncioness
rac racio ion nales ales de pote potenc ncia iass fra fracc ccio iona narrias ias racional onalees de senos y cosenos . . . . racion racionales ales del tipo tipo R(x, 1 x2 ) . . racion racionales ales del tipo tipo R(x, x2 1) . .
√ − √ − v
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
37 38 39 40
vi
Contenido
8.5 9
√
Funciones unciones racionales racionales del tipo R(x, x2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
103 Integrales
10 Respuestas
43 47
1. Intr Introduc oducci´ ci´ on on La definici´ on de la integral de una funci´ on on on continua f en un intervalo [a, [a, b] como el l´ımite ımi te de las la s sumas parciales de particiones rectangulares, en s´ımbolos n
b
f ( f (x) dx = lim lim
f (αi )∆x )∆xi , →∞ i=1 f (
n
a
no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tan precisa precisa como lo son el conjunto conjunto de reglas para resolver resolver derivadas. derivadas. Es el Teorema eorema Fundab
mental del C´ alculo alculo que nos da una mejor heur´ heur´ıstica para calcular el valor de
f ( f (x) dx, dx,
a
la cual es el punto de partida de los m´ etodos etodos expuestos aqui: h´ allese allese una funci´on on g tal que b
g (x) = f ( f (x); luego
a
f ( f (x) dx = g (b) g (a). La funci´on on g es unica u ´ nica salvo constante aditiva
−
y est´a definida para todos los valores de x donde f ( f (x) est´ a definida. Por todo esto y por ser nuestro ob jetivo en estas notas elaborar elab orar m´etodos etodos para hallar g, obviaremos los l´ımi ım ites te s b
a calcular el valor de de integraci´ on a y b (por lo que tampoco nos interesar´
f ( f (x) dx) dx) y,
a
en general, trabajaremos con la integral indefinida
f ( f (x) dx
cuya soluci´ on on tiene la forma g (x) + C , donde g es una funci´on on que satisface g (x) = f ( f (x) (y es esta ultima u ´ ltima condici´ on la que utilizamos para verificar que, en efecto, g es una soluci´on on on de la integral.) El proceso de hallar una soluci´on on para una integral es lo que se denomina integrar on on una funci´ on o simplemente integraci´ on . En la expresi´
f ( f (x) dx = g (x) + C , la funci´ on on
f ( f (x) se llama integrando, la funci´ on on g (x) se llama primitiva o antiderivada de f y C es on , la cual olvidaremos escribir en general (y muchas veces por la constante de integraci´ razone razoness de espaci espacio). o). Sin embargo embargo,, se debe tener tener siempr siempree presen presente te que son infinita infinitass las soluciones de una integral indefinida y cualquier par de ellas difieren en una constante. b
El s´ımb ımbolo ol o
f ( f (x) dx se atribuye a la inventiva de Leibniz (1646–1716), quien quiso
a
represen representar tar con ´este este una suma infinita infinita de rect´ angulos, cada uno de altura dada por el angulos, 1
´n Introduccion o
2
peque˜ na o de valor infinitesimal dx. valor de la funci´on on f y base infinitamente peque˜ dx. El us uso que Leibniz dio a estos dx fue m´as as que notacional: ´el el consider´ o dx como una variable a valores infinitesimales positivos (en el sentido de ser un n´ umero positivo menor que umero cualquier cualquier n´ n umero u ´ mero finito positivo) y oper´ o con ´este este de igual manera que con cualquier otra cantidad num´ erica erica para obtener muchas de las f´ ormulas ormulas del c´ alculo diferencial e integral alculo 1 que conocemos hoy . Este Este uso uso de de dx como cantidad infinitesimal, si bien como recurso notacional resulta ser tremendamente clarificador de muchas f´ormulas ormulas del C´ alculo, alculo, fue controversial troversial por p or que en su ´epoca, epoca, y hasta mediados del siglo XX, careci´ o de fundamentaci´on on matem´ atica a tica.. Es en el el a˜ no 1965 cuando se logra reconciliar la consideraci´on no o n de dx como cantidad infinitesimal con el rigor de las matem´aticas: aticas: el matem´ atico Abraham Robinson atico (1918–1974) demostr´ o formalmente la posibilidad de extender el conjunto de los n´umeros umeros 2 reales a un conjunto que incluya las cantidades infinitas e infinitesimales . En vista de estos resultados podemos tranquilamente considerar dx a la manera de Leibniz, y es as´ as´ı como lo haremos aqui. Esto es, consideramos dx como una variable que toma valores infinitesimales positivos, y su uso en la deducci´ on on de f´ormulas ormulas para integrar queda matem´ aticame aticament ntee justific justificado ado (por ejempl ejemplo, o, en la secci´ secci´ on on 3.1 cuando cuando escrib escribimos imos du = g (x) dx, dx, o los du y dv en las integrales por partes en la secci´on on 3.2). 3.2). Como Como bono extra, esperamos que del conocimiento de este avance de la matem´ atica atica moderna, el lector pueda librarse del trauma que le resulta resulta al intentar intentar responder la pregunta: pregunta: ¿Por qu´ e dx = 1?3 . Respuesta: ¡Muy simple! porque se est´a dividiendo una cantidad infinitesimal dx no nula por s´ı misma. misma . Otro Otro punto punto que merece merece ser aclarado aclarado es el siguie siguient nte. e. Cuando Cuando hablamos hablamos de “resol “resolve verr la integral para una funci´ on on f ”, f ”, lo que se est´a pidiendo en realidad es hallar una primierminos erminos de funciones elementales (e.g. composiciones tiva g para f que se exprese en t´ composiciones finitas de funciones funcione s aritm´ a ritm´eticas, eticas, trigonom´ trigo nom´etricas, etrica s, logar´ıtmicas, ıtmic as, exponencial expon enciales, es, radicales radica les y otras otras de igual estilo) estilo).. El que esto sea posible posible no est´ a garantizado por ning´ un un teorema para funciones continuas y, m´ as a s a´ un, se ha demostrado que existen funciones continuas un, elementales que no admiten primitivas en t´ erminos erminos elementales; por ejemplo, la l a funci´ on on 2 x − f ( f (x) = e . Estas razones establecen la filosof´ filosof´ıa directriz de los m´etodos etodos de integraci´ on: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases seg´un un un patr´on on general general que sabemos resolver resolver mediante mediante una operaci´ on on espec´ıfica; ıfica; cualquier cualqui er otra funci´ on on que no presente presente las caracter caracter´´ısticas ısticas de los elementos elementos de alguna de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un n´ umero umero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el ´exito exito de este procedimiento no est´ a garantizado y depende en gran medida de la destreza que s´olo se adquiere con la pr´actica. actica. En este sentido integrar es un arte.
1
V´ ease ease la obra de C. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development , Dover 1959, para un excelente recuento de esta parte de la historia de la matem´ atica. atica. 2 Ver A. Robinson, Non-standard Analysis , North–Holland, Amsterdam, 1966. 3 Esta es una pregunta que consuetudinariamente me hacen los estudiantes de c´ alculo. alculo.
2. Integ Integral rales es Simples Simples Comenzamos con una lista de las funciones que admiten una primitiva simple; estas son las que podemos obtener como una aplicaci´on on inmediata del Teorema Fundamental del C´ alculo alculo y nada m´ as. (Esto es una verdad a medias: las integrales 12 a 15 no entran dentro as. de este patr´on; on; pero las incluimos aqui para completar la lista de integrales cuyo integrando es una funci´on on simple. En la secci´ on 3.1, ejemplo 3.1.6, daremos una justificaci´ on on on de ellas.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
√ −
k dx = kx + C , para todo n´ umero umero real k . xα dx = 1 x
xα+1 α+1
+ C , para todo n´ umero umero real α =
−1.
dx = ln x + C
||
ekx dx =
ekx k
akx dx =
akx k ln a
sen x dx =
+ C , para todo n´ umero umero k = 0.
+ C , para a = 1 y k = 0.
− cos x + C .
cos x dx = sen x + C
sec2 x dx = tan x + C csc2 x dx =
− cot x + C
(sec x)(tan x) dx = sec x + C (csc x)(cot x) dx =
− csc x + C tan x dx = ln | sec x| + C = − ln | cos x| + C cot x dx = − ln | csc x| + C = ln | sen x| + C sec x dx = ln | sec x + tan x| + C csc x dx = − ln | csc x + cot x| + C 1 dx = arcsen x + C = − arccos x + C , para |x| < 1 1 x 1 dx = arctan x + C = − arccot x + C 1+x 1+x 2
2
3
4
Simples
18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
25.
1 x x2 1
√ − − √ ±√ − −
dx = arcsec x + C =
||
− arccsc |x| + C , para |x| > 1
senh x dx = cosh x + C
cosh x dx = senh x + C sech 2 x dx = tanh x + C csch 2 x dx = 1 1+x 1+x2
√ 1 + x2 ) + C √ dx = arccosh x + C = ln(x ln(x ± x2 − 1 ) + C , para |x| > 1.
ln(x + dx = arcsenh + C = ln(x
1 x2 1
1 1 x2
coth x + C
arctanh x =
1 2
1+x ln 1+x 1−x , si x < 1
arccoth x =
1 2
ln xx+1 −1 ,
dx =
|| si |x| > 1
Anexo a esta tabla de integrales se tienen las siguientes propiedades de la integral que deben saber manejarse maneja rse tambi´en. en. Propiedad 1:
[f ( f (x)
± g(x)] dx =
f ( f (x) dx
±
g (x) dx
Ejemplo 2.1
[e
2x
3
+ x ] dx =
e
2x
dx +
x3 dx =
e2x x4 + + C 2 4
Propiedad 2:
Ejemplo 2.2
kf ( kf (x) dx = k
3 dx = 3 1 + x2
f ( f (x) dx, para todo k
∈ R.
1 dx = 3 arctan arctan x + C 1 + x2
3. Dos M´ etodos eto dos Fundame undamentales ntales Los m´etodos eto dos de d e sustit sus tituci uci´ on o´n e integraci´ on por partes son la base de todos los dem´ on as as m´eto et odos. do s. Aquellos Aquellos son, en esencia, esencia, una combinaci´ combinaci´ on de uno de estos dos, o ambos, m´as on as alg´ un un truco algebraico.
3.1 3.1
Sust Sustit ituc uci´ i´ on o Cambio de Variable on
Si una integral tiene la forma
f ( f (g (x))g ))g (x) dx
el m´etodo etod o de sustituci´ sustit uci´on on o cambio de variable consiste en tomar u = g (x) de donde du = g (x) dx. Se resuelve
on on (llam´ (ll am´emosla emo sla F ( f ( f (u) du y luego de hallada la soluci´ F (u) + C ) se vuelve a
poner todo en t´erminos ermino s de d e x sustituyendo u por g (x); es decir,
))g (x) dx = F ( f ( f (g (x))g F (g (x)) + C.
(3.1)
La justificaci´ on on de ´este este m´etodo etodo se basa en la regla de la cadena cadena para la derivada derivada de funciones funciones compuest compuestas: as: Si f y g son derivables y la composici´on o n de f con g est´a bien definida, entonces, si F es una primitiva de f , f , se tiene (F ( F (g (x))) = F (g (x))g ))g (x) = f ( f (g (x))g ))g (x), por lo tanto, F ( F (g (x)) es una primitiva de f ( f (g (x))g ))g (x), de donde se obtiene (3.1). Ejemplo 3.1.1
√ 3
1 + 3 sen sen x cos x dx. dx. Hacemos la sustituci´on: on: u = 1 + 3sen x, y as´ı
du = 3 cos cos x dx. dx. La integral nos queda: 1 3
1 43 u du = u + C 4 1 3
5
´todos F undamentales Metodos e undamentales
6 y, por lo tanto,
4
√
(1 + 3 sen sen x) 3 1 + 3 sen sen x cos x dx = + C. 4
3
Ejemplo 3.1.2
x3 dx. dx. Hacemos la sustituci´ on on u = x4 + 6 y du = 4x3 dx. dx. As´ı 5 4 x +6
√
x3 1 dx = 5 4 x4 + 6
√
1 1 du = 5 4 u
√
√ −
Ejemplo 3.1.3
x x
−1
u
5
du =
4 5 45 5 u + C = (x4 + 6) 5 + C. 16 16
5 dx. dx. Hacemos la sustituci´on: on: u =
y dx = 2u du. du. La integral nos queda: 2
(u + 5)u 5)u2u du = 2
√ x − 5, de donde x = u2 + 5
2 10 (u4 + 5u 5u2 ) du = u5 + u3 + C. 5 3
Retornando a la variable x se concluye que
√ − x x
2 5 dx = (x 5
−
10 5) + (x 3 5 2
− 5)
3 2
+ C.
A continuaci´ on on tenemos tres f´ormulas ormulas generales de integraci´on on que son consecuencia inmediata del m´ etodo etodo de sustituci´ on on o cambio cambio de variable. ariable. (En todos los casos considere considere u = f ( f (x).) F´ ormula ormula general 1:
−
f n (x)f (x) dx =
Ejemplo 3.1.4
(b) (c)
sen 4 x sen x cos x dx = + C 4
(a)
1 dx = (ln3 x)x
−1
3
arcsen x dx = 1 x2
√ −
f n+1 (x) + C, para n = n+1
arcsen x
(ln
3
1
√ 1 −
( arcsen arcsen x)2 dx = + C 2 x2
1 ln−2 x x) dx = + C x 2
−
F´ ormula ormula general 2:
Ejemplo 3.1.5
(a)
f (x) f (x) ef ( f (x) dx = ef ( + C
1 e x dx = 2 x2
1 2 2 ex 2x dx = ex + C 2
´n Sustitucion o
(b)
√ √ e
7
x
x
dx = 2
√ √ e
1
x
2 x
√ x
dx = 2e
+ C
F´ ormula ormula general 3:
f (x) dx = ln f ( f (x) + C f ( f (x)
(a)
Ejemplo 3.1.6
(b) (c)
e
tan x dx =
x
x
+1
dx = ( 1)
−
|
x
− − e
dx = − ln |e−x + 1| + C − x e +1
x x1 + (1) (1) ln x dx = ln 3 + x ln x + C 3 + x ln x
1 + ln x dx = 3 + x ln x
e
− −
|
|
sen x dx = ( 1) cos x
−
|
sen x dx = cos x
−
− ln | cos x| + C
(De manera an´aloga aloga se resuelve la integral de cot x.) (d)
sec x + tan x sec x dx = sec x dx = sec x + tan x = ln sec x + tan x + C
|
|
sec x tan x + sec2 x dx sec x + tan x
La soluci´ solucion o´n anterior es la que se ense˜na na con m´as as frecuencia en los cursos de c´alculo alculo para la integral de sec x, y es la que m´as as r´ apidamente apidamente se olvida. A mi parecer esto es as´ as´ı porque p orque el truco de multiplica multiplicarr y dividir el integrando integrando por secx sec x +tan x es muy poco natural. Por eso dar´e a continuac conti nuaci´ i´ on on otra soluci´ on on m´ as natural de esta integral, aunque tal vez al lector no as le resulte en este momento as´ as´ı puesto que se utiliza la l a siguiente separaci´ on on de una fracci´on on de polinomios en otras m´ as as simples: simples: 1 (1 + a)(1
−
1 = a) 2
1 1 + 1+a 1 a
−
Sin embargo, luego de leer el cap´ cap´ıtulo 6, el lector podr´ p odr´ a juzgar mejor sobre la naturalidad de esta soluci´on. on. Ejemplo 3.1.7
sec x dx = = = =
1 cos x cos x dx = dx = dx cos x cos2 x 1 sen 2 x cos x 1 cos x cos x dx = + dx (1 + sen x)(1 sen x) 2 1 + sen x 1 sen x 1 1 1 + sen sen x (ln 1 + sen x ln 1 sen x ) + C = ln + C 2 2 1 sen x 1 1 + sen x 1 + sen x 1 (1 + sen x)2 ln + C = ln + C 2 1 sen x 1 + sen x 2 1 sen 2 x
|
−
− |− | − ·
|
−
− −
−
´todos F undamentales Metodos e undamentales
8
1 (1 + sen x)2 1 + sen x = ln + C = ln + C 2 2 cos x cos x = ln sec x + tan x + C.
|
|
u ´ltima soluci´ on de la integral de la secante apareci´ on o publicada Una nota hist´ orica: orica: Esta ultima por primera vez en la obra Geometrical Lectures de Isaac Barrow (1630–1677). (1630 –1677). El inter´ es es suscitado suscitado en la ´epoca epoca de Barrow Barrow por resolver resolver esta integral integral se debi´ o a su utilidad en el trazado de mapas geogr´ aficos, descubierta por Edward Wright (1561–1615), quien deteraficos, min´ o que para trazar con exactitud en un mapa el paralelo de latitud θ, se debe tomar como distancia de este al ecuador la integral de la secante de θ. 1 Ejercicio 3.1.1 Halle las primitivas de cosecante y cotangente.
3.2 3.2
Inte Integr grac aci´ i´ on on por Partes
La f´ ormula ormula de derivaci´ derivaci´on on para el producto de dos funciones nos proporciona de una f´ormula ormula u util ´til para resolver integrales cuyo integrando es el producto de dos funciones de naturaleza distintas. Sean f y g funciones sobre la misma variable x y derivables. Entonces (f ( f (x)g (x)) = f (x)g (x) + f ( f (x)g (x), por lo que f g es una primitiva de f g + f g ; es decir, f ( f (x)g (x) =
(f ( f (x)g (x)) dx =
f (x)g (x) dx +
f ( f (x)g (x) dx,
de donde se obtiene la siguiente f´ormula, ormula, que es lo que se conoce como la regla de integraci´ on on por partes,
f ( f (x)g (x) dx = f ( f (x)g (x) −
f (x)g (x) dx.
Esta f´ormula ormula nos dice que la integral de un producto de dos funciones, una f ( f (x) y la otra la derivada de una g (x), no es mas que el producto de f por g menos la integral del producto de la derivada de f por la funci´on on g . Una manera de desglosar los c´alculos alculos y recordar esta regla de integraci´ on consiste en lo siguiente: dado el problema de resolver on hacemos
f ( f (x)g (x) dx, dx,
u = f ( f (x) y dv = g (x) dx, por lo que du = f (x) dx y v = g (x) Luego
f ( f (x)g (x) dx =
u dv = u v
= f ( f (x) g (x)
·
1
· − · −
v du
g (x)f (x) dx
geography to mathematics: history of the integral integral Ver V. F. Rickey, P. M. Tuchinsky, An application of geography 3 (162–166) 1980
of the secant , Math. Magazine, 53
9
Por Partes
Ejemplo 3.2.1
x2 e2x dx. dx. Hacemos u = x2 dv = e
As´ı
2 2x
x e
·
du = dx y v = 12 e2x ). Tenemos
Finalmente,
2x
xe
Ejemplo 3.2.2
dx
dx = u v
Volvemos a integrar por partes
2x
x e
v=
1 e2x dx = e2x 2
1 v du = x2 e2x 2
− ·
−
xe2x dx
xe2x dx tomando u = x y dv = e2x dx (en consecuencia
1 dx = xe2x 2
2 2x
du = 2x dx
⇒ ⇒
−
1 2x 1 e dx = xe2x 2 2
1 2 2x dx = x e 2 1 2 = e2x x 2
−
−
− 14 e2x
xe2x dx
1 1 x+ 2 4
+ C
ex cos x dx. dx. Tomemos u = cos x
⇒ ⇒
dv = ex dx Entonces
du =
sen x dx
v=
ex dx = ex
−
ex cos x dx = ex cos x +
Volvemos a integrar por partes
ex sen x dx
ex sen x dx tomando
u = sen x x
dv = e dx
⇒ ⇒
du = cos x dx v = ex
para luego obtener
x
x
e cos x dx = e cos x +
ex sen x dx
= ex cos x + ex sen x
−
ex cos x dx
Hemos obtenido, en el lado derecho de la igualdad, la misma integral que dese´ abamos abamos calcular calcular pero con signo opuesto. Sumando Sumando dividiendo dividiendo entre 2 obtenemos obtenemos
ex cos x dx a ambos lados de la igualdad y
1 ex cos x dx = ex (cos x + sen x) + C 2
´todos F undamentales Metodos e undamentales
10 Ejemplo 3.2.3
cos(ln x) dx. dx. Sea u = cos(ln x) dv = dx
Luego
⇒ ⇒
du =
sen (ln x) dx − x1 sen
v=x
cos(ln x) dx = x cos(ln x) +
sen sen (ln x) dx
Integrando nuevamente por partes con u = sen(ln x) y dv = dx se obtiene
cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen sen (ln x)
−
cos(ln x) dx
Otra vez se presenta el fen´omeno omeno que observamos observamos en el ejemplo ejemplo anterior: anterior: aparece aparece en el lado lado derec derecho ho de la igualdad igualdad la integ integral ral que comenzam comenzamos os a integ integrar rar . . . y ya sabemos sabemos que hacer ha cer.. As´ı, ı, 1 cos(ln x) dx = (x cos(ln x) + x sen sen (ln x)) + C. 2
En este momento podr p odr´´ıamos preguntarnos si importa c´ omo omo se eligen u y dv, dv , cuando se intenta resolver una integral por la f´ormula ormula de integraci´ on on por partes. partes. Si nos tom´ asemos asemos x la molestia de integrar en el ejemplo 3.2.2 tomando u = e y dv = cos x dx, dx, entonces obtendr´ obtendr´ıamos la misma soluci´ on. on. Inten Intente te ahora integr integrar ar en el ejemplo ejemplo 3.2.1 tomando tomando x 2 u = e y dv = x dx; dx; se ver´a entonces que el proceso de integraci´on on ¡no tiene tiene fin! Para Para auxiliar al lector en la correcta elecci´ on on de qui´en en debe ser u y qui´ ui ´en en dv existen diversos recursos mnemot´ecnicos ecnicos en forma de poemas p oemas o rezos, para ninguno de los cuales conozco una demostraci´ on on matem´ atica atica de su infalibilidad y, por eso, me limitar´ li mitar´e a recomendar que use su ingenio ingenio y practique practique el m´ etodo etodo de integraci´ integraci´ on por partes lo suficiente como para on desarrollar su propio criterio de elecci´on. on. Un tipo de funciones que invitan a ser integradas por partes son las inversas de funciones trigonom´etricas etricas y las logar´ logar´ıtmicas, ya que sus derivadas derivadas son funciones algebraicas. dx. Ejemplo 3.2.4 En estos ejemplos u es todo el integrando y dv = dx. (a)
arctan x dx = x arctan x
= x arctan x
(b)
− 12 ln(1 + x2) + C
arcsen x dx = x arcsen x
ln x dx = x ln x
= x arcsen x +
(c)
−
− − 1
− √
x2 + C x
x dx (sustituci´ on on w = 1 + x2 ) 2 1+x
x
dx 1 − x2
1 dx = x ln x x
(sustituci´ on on w = 1
− x + C
− x2)
4. Integ Integrac raci´ i´ on on de Funciones Trigonom´ etricas En este cap´ cap´ıtulo estudiaremos m´etodos etodos para resolver integrales de productos y potencias de funciones funci ones trigonom´ tri gonom´etricas. etricas . Todos odo s consisten, consis ten, esencial e sencialmente, mente, en e n el m´etodo eto do de sustituci sus tituci´ on o´n junto con algunas identidades trigonom´etricas. etricas. Las identidades trigonom´etricas etricas fundamentales que debemos recordar son sen 2 x + cos2 x = 1
(4.1)
sen( x) =
− − sen x cos(−x) = cos x
(seno es una funci´on impar)
(4.2)
(coseno es una funci´on par)
(4.3)
y las identidades de la suma de dos ´angulos angulos sen(x sen(x + y) = cos(x cos(x + y) =
sen x cos y + sen y cos x
(4.4)
· · cos x · cos y − sen x · sen y
(4.5)
Cualquier otra identidad que sea necesaria se deduce a partir de estas, y asi lo veremos en la medida que se necesite. El lector debe esforzarse por aprender la manera de obtener las nuevas nuevas identidades identidades a partir de (4.1)–(4.5) en vez de memorizarla memorizarlas. s. Por ejemplo ejemplo (y a manera de calentamiento), las f´ ormulas para la resta de dos ´angulos ormulas angulos se pueden deducir asi: sen(x sen(x
− y) y
cos(x cos(x
4.1 4.1
− y)
=
sen (x (x + ( y )) = sen x cos( y) + sen sen ( y) cos x (por (4.4))
=
sen x cos y
−
·
·
− sen y · cos x
−
− ·
(por (4.2) y (4.3))
= cos(x + ( y)) = cos x cos( y )
−
·
= cos x cos y + sen x sen y
·
·
Inte Integr gral ales es de la form forma a
− − sen x · sen(−y)
(por (por (4.5 (4.5)) ))
(por (4.2) y (4.3))
sen n x dx y
cosn xdx.
Caso 4.1.1 n es par. Usamos las identidades
sen 2 x =
1
− cos2x cos2x 2
y 11
cos2 x =
1 + cos cos 2x 2
(4.6)
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
12 las cuales se deducen combinando las identidades: cos2x cos2x = cos2 x
− sen 2x
(tome x = y en (4.5 (4.5)) )) y
sen sen 2 x + cos2 x = 1
de la siguiente manera
y
cos2x cos2x = cos2 x
− sen 2x = (1 − sen 2x) − sen 2x = 1 − 2sen 2x
cos2x cos2x = cos2 x
− sen 2x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos cos2 x − 1.
Luego de realizada la sustituci´ on on trigonom´etrica etrica adecuada, se desarrolla el polinomio de senos senos o coseno cosenoss y se resuelv resuelven en cada uno de los sumando sumandos: s: los de potenci potenciaa par por este m´etodo etodo y los l os de potencia impar por el m´etodo etodo que se explica en el caso 4.1.2. Ejemplo 4.1.1
4
sen x dx =
2
2
(sen x) dx =
2
− 1
cos2x cos2x 2
dx
1 (1 2cos2x 2cos2x + cos2 2x) dx 4 1 1 1 dx cos2x cos2x dx + cos2 2x dx 4 2 4 1 1 1 1 + cos cos 4x x sen2x sen2x + dx 4 4 4 2 1 1 1 1 x sen2x sen2x + x + sen4x sen4x + C 4 4 8 32
= = =
−
−
− −
=
Ejemplo 4.1.2
2
cos x dx =
1 + cos cos 2x 1 1 sen2x + C dx = x + sen2x 2 2 4
on on trigonom´ trig onom´etrica etrica en dos factores: fac tores: uno Caso 4.1.2 n es impar. Descomponemos la funci´ de potencia n 1 y el otro de potencia 1. Luego empleamos empleamos la identidad identidad sen 2 x +cos2 x = 1 y el m´etodo etodo de cambio de variable.
−
Ejemplo 4.1.3
3
sen x dx = =
2
sen x sen x dx =
− cos x
−
(1
− cos2 x)sen x dx
cos2 x sen x dx
La ultima u ´ltima integral la resolvemos con el cambio de variable u = cos x y du =
As´ı
−
2
cos x sen x dx =
sen 3 x dx =
u2 du =
3
u3 cos3 x = + C 3 3
− cos x + cos3 x + C
− sen x dx: dx:
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
13
Ejemplo 4.1.4
5
cos x dx = =
4
cos x cos x dx =
(1
=
(1
− sen 2x)2 cos x dx
− 2sen 2x + sen 4x)cos x dx
sen x
− 2
2
sen x cos x dx +
sen 4 x cos x dx
tomando u = sen x y du = cos x dx concluimos
5
cos x dx =
sen x
=
sen x
=
4.2 4.2
− 2
2
u du +
u4 du
− 23 u3 + 15 u5 + C 2 1 sen x − sen 3 x + sen 5 x + C 3 5
Inte Integr gral ales es de la form forma a
sen m x cosn xdx.
Utilizamos simult´ simult´ aneamente las dos identidades (4.6) aneamente Caso 4.2.1 n y m son pares. pares. Utilizamos deducidas en 4.1.1 para obtener integrales s´ olo de cosenos y proceder con cada una con el olo m´etodo etod o que qu e convenga co nvenga de la secci´on on 4.1. Ejemplo 4.2.1
2
− − − 1
2
sen x cos x dx =
cos2x cos2x 2
1 + cos cos 2x dx 2 1 1 cos2 2x) dx = dx 4 8
1 (1 4 1 1 x sen4x sen4x + C 8 32
= =
(1 + cos cos 4x) dx
−
Ejemplo 4.2.2
2
4
sen x cos x dx = = = = =
2
− − − − − − − 1
cos2x cos2x 2
1 + cos cos 2x 2
dx
1 (1 cos2x cos2x)(1 )(1 + 2 cos cos 2x + cos2 2x) dx 8 1 dx + cos2x cos2x dx cos2 2x dx 8 1 1 1 + cos cos 4x x + sen2x sen2x dx (1 8 2 2 1 1 1 x sen4x sen4x + sen 3 2x + C. 16 64 48
−
3
cos 2x dx
sen 2 2x)cos2x )cos2x dx
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
14
Observaci´ on on 4.2.1 Alternativ Alternativamen amente te estas integrale integraless pueden pueden resolverse resolverse expresando expresando seno en t´ erminos erminos de coseno (o coseno en t´ erminos erminos de seno) mediante la identidad sen 2 x + cos2 x = 1, se transforma transforma as´ as´ı a una suma de integrale integraless de una sola de las funciones funciones trigonom´ trigonom´ etricas etricas que se consideran y se resuelven seg´un un los casos de la secci´on o n 4.1. 4.1. En la pr´ pr´ actica esto resulta ser m´as actica as ineficiente que la sustituci´on on simult´ anea explicada antes, puesto que aumenta las potencias en vez anea de disminuirlas. Caso 4.2.2 n o m impar. Se realizan las operaciones expuestas en el caso 4.1.2 para la
funci´ on on de potencia impar. Ejemplo 4.2.3
3
5
cos x sen x dx = =
cos2 x cos x sen 5 x dx
(1
−
sen 6 x sen x)cos x sen x dx = 6 2
5
−
sen 8 x + C 8
(complete usted los pasos intermedios). Ejemplo 4.2.4
3
2
sen x cos x dx = =
4.3 4.3
sen 2 x sen x cos2 x dx 5
(1
Inte Integr gral ales es de la form forma a
Para todo n
3
− cos2 x)sen x cos2 x dx = cos5 x − cos3 x + C.
tann xdx.
≥ 2, realizamos realiz amos la descomposici´ descomp osici´on on
tann x = tan2 x tann−2 x,
sustituimos tan2 x por sec2 x 1 y resolvemos por el m´etodo etodo de cambio de variable. (Re2 2 cuerde que tan x + 1 = sec x, la cual se obtiene dividiendo (4.1) por cos2 x.)
−
Ejemplo 4.3.1
3
tan x dx = =
2
tan x tan x dx =
(sec2 x
− 1)tan x dx
tan2 x + ln cos x + C. 2
|
|
Ejemplo 4.3.2
4
tan x dx = =
2
2
−
tan x tan x dx =
(sec2 x
tan2 x sec2 x dx
(sec2 x
− 1)tan2 x dx 3
− 1) dx = tan3 x − tan x + x + C.
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
4.4 4.4
15
Inte Integr gral ales es de la form forma a
secn x dx.
on on Caso 4.4.1 n es par. Se realiza la descomposici´ secn x = sec2 x secn−2 x, se utiliza la identidad sec2 x = tan2 x + 1 y el m´etodo etodo de cambio de variable. Ejemplo 4.4.1
sec4 x dx = =
sec2 x sec2 x dx = 2
sec x dx +
(1 + tan2 x)sec2 x dx
tan2 x sec2 x dx = tan x +
tan3 x + C. 3
on on Caso 4.4.2 n es impar. Se realiza la descomposici´ secn x = sec2 x secn−2 x y se integra por partes. as populares en cualquier curso as Ejemplo 4.4.2 (La siguiente es una de las integrales m´ de C´alculo.) alculo.)
3
sec x dx =
sec x sec2 xdx.
Sean u = sec x dv = sec2 x dx
⇒ ⇒
du = sec x tan x dx v = tan x
entonces
3
sec x dx = sec x tan x = sec x tan x = sec x tan x
sumando
− − −
tan2 x sec x dx
(sec2 x 3
− 1)sec x dx
sec x dx +
sec x dx
sec3 x dx a ambos lados de la igualdad y dividiendo entre 2 concluimos:
sec3 x dx =
1 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C. 2
|
|
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
16 Las integrales de la forma
n
cot x dx y
cscn x dx
se resuelven de manera an´aloga aloga a los casos 4.3 y 4.4, empleando por supuesto las identidades trigonom´etricas etricas apropiadas y recordando que (cot x) = Por ejemplo ejem plo,, resu´elvase elvase
− csc2 x
y (csc x) =
4
cot 3x dx y
csc6 x dx. dx.
Nota: En el cap´ cap´ıtulo 7 se deduce una f´ormula ormula general para
4.5 4.5
Inte Integr gral ales es de la form forma a
− csc x cot x. secn x dx utilizando utiliz ando otros m´etodos. etodos .
tanm x secn xdx.
on on Caso 4.5.1 n es par. Hacemos la siguiente descomposici´ n− − 2 2 sec x = sec x sec x = (sec x) sec2 x
n
2
n 2
2
= (tan2 x + 1)
n−2
sec2 x
2
y luego realizamos un cambio de variable z = tan x de manera que la integral original se transforma en una integral polin´omica omica sencilla. Ejemplo 4.5.1
tan2 x sec4 x dx = =
tan2 x sec2 x sec2 x dx tan2 x(tan2 x + 1) sec sec2 xdx.
Sea z = tan x, por lo tanto, dz = sec2 x dx. dx. Entonces,
2
4
tan x sec x dx = =
z5 z3 z (z + 1) dz = + + C 5 3 tan5 x tan3 x + + C. 5 3
2
2
on on Caso 4.5.2 m es impar. Hacemos la siguiente descomposici´ tanm x secn x = tanm−1 x secn−1 x tan x sec x 2
m−1
= (tan x) = (sec2 x
2
secn−1 x tan x sec x m−1
− 1)
2
secn−1 x tan x sec x
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
17
y luego realizamos un cambio de variable u = sec x de manera que la integral original se transforma en una integral polin´omica omica sencilla. Ejemplo 4.5.2
3
3
tan x sec x dx = =
tan2 x sec2 x tan x sec x dx
(sec2 x
sec2 x tan x sec xdx. − 1) sec
Sea u = sec x; por lo tanto du = sec x tan x dx. dx. Luego
3
3
(u2
tan x sec x dx =
sec5 5
=
5
3
u u − 1)u − 1)u2 du = 5 3
+ C
3
− sec3 x + C.
l a integral original en t´erminos erminos de Caso 4.5.3 n es impar y m es par. par. Expresamos la sec x s´olamente olamente por medio de la transformaci´ on on m
tanm x = (tan2 x) 2 = (sec2 x
m
− 1)
2
para luego resolver por el m´etodo etodo de integraci´ on por partes como se hizo en 4.4.2. on Ejemplo 4.5.3
tan2 x sec x dx = = =
Ejercicio 4.5.1 Resolver
4.6 4.6
(sec2 x
−
− 1)sec x dx = sec3 x dx sec x dx 1 (sec x tan x + ln | sec x + tan x|) − ln | sec x + tan x| + C 2 1 (sec x tan x − ln | sec x + tan x|) + C. 2 tan4 x sec3 x dx. dx.
Inte Integr gral ales es de la form forma a
sen nx cos mx dx con n = m.
Utilizamos Utilizamos la identidad identidad 1 sen nx cos mx = (sen(n (sen(n + m)x + sen(n sen(n 2
− m)x)
la cual se obtiene al sumar las identidades sen(n sen(n + m)x = sen(n sen(n m)x =
−
sen nx cos mx + sen mx cos nx sen nx cos mx sen mx cos nx.
−
´ Funciones Funciones Trigonom Trigonometricas etricas
18 Ejemplo 4.6.1
1 (sen9x (sen9x + sen( 1)x 1)x) dx 2 1 cos9x cos9x cos x + C. 2 9
sen4x sen4x cos5x cos5x dx = =
4.7 4.7
−
−
Inte Integr gral ales es de la form forma a
sen nx sen mxdx o
cos nx cos mxdx con n = m.
Utilizamos las identidades sen nx sen mx = cos nx cos mx =
1 (cos(n (cos(n 2 1 (cos(n (cos(n 2
− m)x − cos(n cos(n + m)x) − m)x + cos(n cos(n + m)x).
(4.7) (4.8)
las cuales se obtienen de las identidades b´asicas asicas cos(n cos(n + m)x = cos nx cos mx cos(n cos(n
− m)x
− sen mx sen nx
= cos nx cos mx + sen mx sen nx.
Sumando (4. (4.9) + (4. (4.10) obtenemos (4.8), restando (4. (4.10)
− (4. (4.9) obtenemos (4.7).
Ejemplo 4.7.1
sen10x sen10x sen2x sen2x dx = =
1 (cos8x (cos8x 2 1 sen8x sen8x 2 8
− cos12x cos12x) dx −
sen12x sen12x 12
+ C.
Ejemplo 4.7.2
cos( 5)x 5)x cos3x cos3x dx =
−
=
1 (cos( 2)x 2)x + cos cos 8x) dx 2 1 sen2x sen2x sen8x sen8x + + C. 2 2 8
−
(4.9) (4.10)
5. Integ Integrac raci´ i´ on por Sustituciones on Trigonom´ etricas Si un integrando contiene una expresi´on on de la forma
− a2
b2 x2 ,
a2 + b2 x2 o
b2 x2
− a2
donde a > 0 y b > 0, una sustituci´on on trigonom´etrica etrica adecuada transforma la integral original en una que contiene funciones trigonom´etricas, etricas, m´ as as f´acil acil de resolver en general. Las sustituciones adecuadas son: Si se tiene
√ a2 − b2x2 √ (ii) a2 + b2 x2 √ (iii) b2 x2 − a2 (i)
hacemos x =
a b
sen t;
hacemos x =
a b
tan t;
hacemos x =
a b
sec t.
Para devolver el cambio hacemos uso de la definici´on on geom´etrica etrica de las funciones trigonom´etricas: etricas : en un tri´angulo angulo rect´ angulo angulo si t es la medida del ´angulo angulo de uno de los catetos cateto opuesto cateto adyacente a la hipotenusa, hipotenusa, entonces entonces sen t = , cos t = , y las dem´ as as hipotenusa hipotenusa funciones trigonom´etricas etricas se definen combinando adecuadamente estas dos (e.g. tant tan t = sen t cateto opuesto opuesto = ). Los detalles se ilustran en los siguientes ejemplos. cos t cateto adyacente Ejemplo 5.1
√ − 9
x2
dx. x Sea x = 3 sen sen t; en consecuencia, dx = 3cos t dt. dt. Luego,
√ − 9
x
x2
√ − √ − −
9sen 2 t 3cos t dt 3sen t 1 sen 2 t cos2 t = 3 cos t dt = 3 dt sen t sen t 1 sen 2 t = 3 dt = 3 (csc t sen t) dt sen t = 3(cos t ln csc t + cot t ) + C.
dx =
9
− | 19
|
−
´ Sustituciones Trigonometricas etricas
20
Ahora retornamos retornamos a la variable ariable original de la siguiente siguiente manera: Si x = 3sen t entonces x angulo angulo rect´ angulo angulo con uno de sus ´angulos angulos de medida t 3 = sen t; por lo tanto, en un tri´ el cateto opuesto al angulo a´ngulo t tiene longitud longitud x y la hipotenusa hipotenusa longitud 3. El otro cateto, de acuerdo con el Teorema de Pit´agoras, agoras, es entonces 9 x2 . As´ As´ı se tiene la siguiente figura:
√ −
3 t 9 x2
x
√ −
angulo corrrespondiente on x = 3 sen Este es el tri´ sen t√ . A partir part ir de ´este este se deducen ded ucen √ 9−ax2la ecuaci´ 9−x2 3 las siguientes igualdades: cos t = 3 , csc t = x y cot t = x . Concluimos Concluimos entonces entonces que
√ − 9
x
x2
dx = 3
√ − 9
x2
3
− ln
3 + x
√ 9 − x2 x
+ C.
Ejemplo 5.2
dx . x 4 + x2
√
Sea x = 2tan t; en consecuencia, dx = 2 sec sec2 tdt. tdt. Luego, dx x 4 + x2
√
= = =
1 2 1 2
sec2 tdt tan t 1 + tan2 t sec t 1 dt = csc tdt tan t 2
√
− 12 ln | csc t + cot t| + C.
Retornamos Retornamos a la variable ariable original: si x = 2 tan tan t entonces pondiente a esta ecuaci´on on es
x 2
= tan t. El tri tri´ angulo a´ngulo correscorres-
´ Sustituciones Trigonometricas etricas
21
t
√ 4 + x2
x
2 por lo tanto csc t =
√
4+x 4+x2 x
y cot t = x2 . Finalmente, dx = x 4 + x2
√
−
1 ln 2
Ejemplo 5.3
√
√
dx
x2 25 Sea x = 5 sec sec t , entonces dx = 5 sec sec t tan t dt. dt. As´ı
√
dx
x2
=
− 25
=
4 + x2 2 + + C. x x
−
.
5sec t tan t dt 25 sec sec2 t 25
√
− sec t dt = ln | sec t + tan t| + C.
Volvemos a la variable original: si x = 5sec t entonces 2 sec2 t 1 = x25 1. Por lo tanto,
−
−
√
dx
x2
−
x = ln + 5 25
x 5
= sec t. Por otra parte, tan2 t =
√ x2 − 25 5
+ C.
(Observe que no fue necesario dibujar el tri´angulo rect´ angulo correspondiente a la ecuaci´on angulo on x = 5sec t para expresar la soluci´on on final en t´ erminos erminos de la variable x ; simplemen simplemente te utilizamos una conocida identidad que relaciona la tangente con la secante. Debe entonces quedar quedar claro que dibujar dibujar el tri´ tri´angulo, angulo, correspondien correspondiente te a la sustituci´ sustituci´ on on trigon tri gonom´ om´etrica etri ca realizada, realizada, es un artificio artificio eficaz pero no ´unico unico y, a veces, no es el mejor auxilio para devolver los cambios.) Si la expresi´on on en el radical es un polinomio de segundo grado, ax2 + bx + c, lo transformamos en una resta de cuadrados mediante la completaci´on on de cuadrados: ax2 + bx + c =
b x+ 2a
2
−
b2
− 4ac
4a2
.
´ Sustituciones Trigonometricas etricas
22 Ejemplo 5.4
− 3
Completamos cuadrados:
2x
− x2 dx.
−x2 − 2x + 3 = −(x2 + 2x 2x − 3) = −((x ((x + 1)2 − 4) = 4 − (x + 1)2 Por lo tanto,
− 3
2x
−
x2 dx
=
− 4
(x + 1)2 dx
y esta ultima u ´ ltima tiene la forma de las integrales integrales estudiadas estudiadas previamente. previamente. Hacemos Hacemos la sustituci´ on on x + 1 = 2sen θ dx = 2 cos cos θdθ.
⇒
Luego,
− 4
(x + 1)2 dx =
− 4
4sen 2 θ2cos θ dθ
2
= 4
cos θ dθ = 2
(1 + cos cos 2θ)dθ = 2θ + sen2θ sen2θ + C.
Regresamos Regresamos a la variable variable original. Tenemos enemos senθ sen θ = Por Por otra parte parte,, sen 2θ = 2 sen sen θ cos θ y cos θ =
− 1
sen 2 θ
=
x+1 2
− 4
, por lo que θ = arcsen arcsen
x+1 2
.
(x + 1)2 2
(a esta identidad se pudo tambi´ en en haber hab er llegado utilizando el tri´ angulo rect´ angulo angulo correspondiente a la ecuaci´on on x + 1 = 2sen θ ). En consecuencia,
− 3
2x
− x2 dx = 2 arcsen arcsen
Ejemplo 5.5
x+1 2
1 + (x + 1) 2
− 4
(x + 1)2 + C.
dx (5 + 2x 2x + x2 )3
Completamos cuadrados: x2 + 2x 2x + 5 = (x (x + 1)2 + 4 y trabajamos trabajamos con la integr integral al dx ((x ((x + 1)2 + 4)3
Sea x + 1 = 2 tan tan θ, por lo tanto, dx = 2 sec sec2 θdθ. θdθ . Entonces dx ((x ((x + 1)2 + 4)3
= =
1 4
2sec2 θ
1 dθ = 4 (4tan2 θ + 4)3 1 cos θ dθ = sen θ + C. 4
dθ sec θ
Volvemo olvemoss a la variab variable le original. original. El tri´ angulo angulo rect´ angulo correspondiente a la ecuaci´ angulo on on x+1 tan θ = 2 es
´ Sustituciones Trigonometricas etricas
23
(x + 1)2 + 4 θ
x+1
2 del cual cual se deduce deduce que sen θ =
x+1
(x + 1)2 + 4
dx 1 = 4 (5 + 2x 2x + x2 )3
. Finalmente
x+1 (x + 1)2 + 4
+ C.
24
´ Sustituciones Trigonometricas etricas
6. Integ Integrac raci´ i´ on on de Funciones Racionales Nos ocuparemos ahora de la integral de funciones de la forma
p(x) , donde q (x)
p( p(x) = xm + β m−1 xm−1 + q (x) =
· · · + β 0 y xn + αn−1 xn−1 + · · · + α0 (con αi , β j ∈ R);
es decir, p(x) es un polinomio de grado m y q (x) es un polinomio de grado n. Observ Observee que, en ambos polinomios, se asume el coeficiente coeficiente del t´ ermino ermino de mayor grado es 1; esto siempre puede tenerse mediante una simple factorizaci´on. on. Adem´ Adem´ as as el caso interesante se presenta cuando m < n; porque si m n, efectuamos la divisi´ on on de polinomios para expresar p(x)/q (x) como s(x) + r(x)/t( /t(x), donde r (x) es un polinomio de menor grado que t(x). Para dividir polinomios utilice el m´etodo etodo que m´ as le convenga (siempre que sea maas tem´ aticamente aticamente v´ alido); alido); uno que a m´ı me agrada consiste en factorizar factorizar el denominador denominador y, sucesi sucesiv vame ament nte, e, constr construir uir en el numer numerado adorr los factor factores es del denomin denominado ador, r, uno a uno, uno, haciendo haciendo las cancelaciones cancelaciones necesarias necesarias,, hasta obtener un numerador numerador de menor grado que el denominador denominador.. Los siguiente siguientess ejemplos ejemplos sencillos sencillos ilustran ilustran esta situaci´ on. on.
≥
Ejemplo 6.1
x dx. dx. Observamos que x+1 x x+1 1 = =1 x+1 x+1
−
Por lo tanto,
Ejemplo 6.2
− dx
dx =x x+1
− ln |x + 1| + C
x3 + 1 dx. dx. Resolvem Reso lvemos os as´ı x 2
x3 + 1 x 2
−
x dx = x+1
− x +1 1
−
= =
x2 (x
− 2) + 2x 2x2 + 1 2x(x − 2) + 4x 4x + 1 = x2 + x−2 x−2 4(x 4(x − 2) + 8 + 1 9 x2 + 2x 2x + = x2 + 2x 2x + 4 + x−2 x−2 25
26
Funciones Funciones Racionales Racionales
Luego
x3 + 1 x3 dx = + x2 + 4x 4x + 9ln x x 2 3
| − 2| + C.
−
Ahora, si m < n, n , descomponemos p( p(x) q (x)
= + +
p(x) en una suma de fracciones simples , esto es q (x)
A1,l1 Ak,1 A1,1 k, 1 + + + + + (x a1 )l1 (x a1 ) (x ak )lk B1,1 x + C 1,1 B1,r1 x + C 1,r1 + + + (x2 + 2b 2b1 x + c1 )r1 (x2 + 2b 2b1 x + c1 ) Bs,1 Bs,rs x + C s,r s,1 x + C s,1 s,1 s,rs + + 2 r 2 (x + 2b 2bs x + cs ) s (x + 2b 2bs x + cs )
···
−
− ···
···
−
· · · + (xA−k,la1) k
···
···
donde los denominador denominadores es de cada fracci´ on son los factores lineales o cuadr´aticos on aticos (y potencias de estos) que resultan de la factorizaci´on on de q (x) (siendo li y r j las multiplicidades respectivas de estos factores en q (x)). Que tal descompo descomposic sici´ i´ on es posible siempre es un on importante teorema del algebra a´lgebra cuya demostraci´on on dejamos dejamo s para el final de ´este este cap´ cap´ıtulo, ıtulo , ´ y que utiliza, a su vez, el no menos importante teorema fundamental del algebra (que no 1 demostraremos aqui ) seg´ un el cual todo polinomio, con coeficientes reales, puede facun torizarse en un producto de polinomios de grado 1 o 2, irreducibles y con coeficientes reales. De acuerdo con lo antes escrito, estamos asumiendo entonces que nuestro polinomio q (x) viene dado en la forma q (x) = (x
− a1)l · · · (x − ak )l (x2 + 2b 2b1 x + c1 )r · · · (x2 + 2b 2bs x + cs )r k
1
donde los factores de grado 2 son irreducibles en Observaci´ on on 6.1 La irreducibilidad en 2 c b > 0.
R
s
1
R.
de x2 + 2bx + c se deduce verificando la desigualdad
−
Se tienen cuatro casos. Caso 6.1 Los factores de q (x) son todos lineales y ninguno se repite. Es decir,
q (x) = (x
− a1)(x )(x − a2 ) · · · (x − an ),
con ai = a j , siempre que i = j.
En ese caso escribimos p( p(x) q (x)
= =
A1 A2 An + + + x a1 x a2 x an A1 (x a2 ) (x an ) + + An (x (x a1 )(x )(x a2 ) (x
−
−
− ··· − ··· − ··· − a1) · · · (x − an−1) − − · · · − an )
(6.1)
donde A1 , A2 , . . . , An son n´ umeros reales que se determinan igualando numeradores y umeros resolviendo las ecuaciones que se obtienen, para distintos valores arbitrarios de x, como se ilustra en el siguiente ejemplo. 1
Ver M. Spivak, Calculus , editorial Revert´ e S.A., 1978, para una demostraci´ on de ese resultado
27
Funciones Racionales
Ejemplo 6.3
x+1 dx. dx. Factorizamos el denominador: x2 4
−
q (x) = x2
− 4 = (x − 2)(x 2)(x + 2)
(factores (factores lineales lineales distintos) distintos)
De acuerdo con lo explicado escribimos x+1 A B A(x + 2) + B (x 2) = + = (x 2)(x 2)(x + 2) x2 4 x 2 x+2
−
−
−
−
Como los denominador denominadores es son iguales, iguales, igualamos igualamos numerador numeradores es x + 1 = A(x + 2) + B (x
− 2)
y asignando valores arbitrarios a x (preferiblemente que anulen alg´un un factor) factor) obtenemos obtenemos para x =
−2 ⇒ para x = 2 ⇒
1 4 3 A= 4
B=
por lo tanto
x+1 dx = x2 4
−
=
A x
dx +
B 3 dx = x+2 4
−2 3 1 ln |x − 2| + ln |x + 2| + C 4 4
dx x
−
1 + 2 4
dx x+2
Observaci´ on on 6.2 Otra manera de calcular los coeficientes A1 , . . . , An se basa en la siguiente observaci´on on sobre la derivada de q (x). Puesto que q (x) = (x
− a )(x )(x − a ) · · · (x − an ) 1
2
donde ninguno de los factores se repite, su derivada tiene la forma q (x) = (x n
=
− a ) · · · (x − an) + (x ( x − a ) · · · (x − an ) + · · · + (x (x − a ) · · · (x − an (x − aj ) 2
1
1
i=1 j = i
Por otra parte, si A1 A2 + + x a1 x a2
−
−
· · · + x −Anan
p(x) q (x)
=
entonces, multiplicando ambos lados por q (x), tenemos tenemos A1
(x
j =1 =1
− aj ) + A
2
j =2 =2
(x
− aj ) + · · · + An
(x
n j=
− aj ) = p(x)
−1 )
28
Funciones Funciones Racionales Racionales
Observando que, para cada i = 1, . . . , n, n, el producto de factores lineales que acompa˜na na a Ai es exactamente el i–´esimo esi mo sumando sum ando de q (x), concluimos que, para cada i = 1, . . . , n, n, Ai
=
p(ai ) p(ai ) = (ai aj ) q (ai )
i j=
(6.2)
−
es decir, el valor de Ai es igual al cociente de p sobre q , ambos evaluados en ai , la i–´esim es imaa ra´ız del de l polinomio q . Esta Esta f´ formula o´rmula para calcular los coeficientes Ai puede ser m´as as ventajosa que resolver sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales, lineales, en particular particular si q (x) es un polinomio de grado muy grande. Como ejemplo calculemos los coeficientes A y B del ejemplo anterior utilizando esta f´ormula. ormula. Tenemos que q (x) = 2x y, por lo tanto, A = p(2)/q (2)/q (2) = 3/ 3/4 y B = p( 2)/q 2)/q ( 2) = 1/ 1/4. Finalmente Finalmente,, t´engase engase en cuenta cu enta que qu e en la deducci´on de la f´ormula ormula (6.2) se utiliz´o el que q (x) es un producto de factores lineales todos distintos y, por lo tanto, esta f´ormula ormula no sirve para calcular los Ai de los casos que siguen a continuaci´on. on.
−
−
repiten. Supongamos Supongamos que Caso 6.2 Los factores de q (x) son todos lineales y algunos se repiten. (x a) es un factor que se repite k veces. veces. Entonces, Entonces, correspondien correspondiente te a ese factor habr´a, a, en la descomposici´on on (6.1), la suma de las k fracciones simples
−
A1 A2 + + (x a)k (x a)k−1
−
−
· · · + (xA−k−a1)2 + (xA−k a)
donde A1 , . . . , Ak son n´ umeros reales. Luego se procede como en el caso anterior. umeros Ejemplo 6.4
x3 + 1 dx. dx. Escribimos (x + 2)(x 2)(x 1)3
x3 + 1 (x + 2)(x 2)(x 1)3
−
−
= =
A B C D + + + x + 2 x 1 (x 1)2 (x 1)3 A(x 1)3 + B (x + 2)(x 2)(x 1)2 + C (x + 2)(x 2)(x 3 (x + 2)(x 2)(x 1)
−
−
−
−
−
−
igualamos numeradores x3 + 1 = A(x
− 1) + D(x + 2)
− 1)3 + B(x + 2)(x 2)(x − 1)2 + C (x + 2)(x 2)(x − 1) + D(x + 2)
y observamos que f´acilmente acilmente se obtienen A = 7/27 y D = 2/3 si evaluamos la ecuaci´ on on anterior en x = 2 y x = 1 respect respectiv ivame ament nte. e. Para Para obtener obtener los otros otros dos coeficien coeficientes tes evaluamos x en 0 y en 1 (y damos los valores hallados a A y D), lo cual da las ecuaciones
−
B
− C 2B − C
=
dx 7 + x+2 9
− 272
19 27 de estas ultimas u ´ ltimas se obtiene B = 7/9 y C = 23 23/ /27. Por lo tanto,
x3 + 1 dx = (x + 2)(x 2)(x 1)3
−
=
7 27
=
dx x
23 + 1 27
dx 2 + (x 1)2 3
dx (x 1)3
− − −
− 7 7 23 ln |x + 2| + ln |x − 1| − 27 9 27
1
x
−1
1 3
1
x
−1
2
+ C
29
Funciones Racionales
Observaci´ on on 6.3 En este e ste caso c aso tambi´en en los l os coefici c oeficientes entes A1 , . . . , Ak , que acompa˜ nan nan a las fracciones simples correspondientes a cada potencia del factor (x ( x a) que se repite k veces, pueden calcularse por una f´ormula ormula que envuelve la derivada de una funci´on. on. Veam eamos os como como.. Si q (x) se k descompone en (x (x a) h(x), con h(a) = 0, entonces
−
−
p( p(x) p(x) A1 A2 = = + + q (x) (x a)k h(x) (x a)k (x a)k−1
−
Multiplican Multiplicando do por (x
−
−
· · · + (xA−k a) + hr((xx)) .
− a)k obtenemos:
p( p(x) = A1 + A2 (x h(x)
− a) + · · · + Ak (x − a)k
−1
+ (x (x
− a)k hr((xx)) .
p(a) d p( p(a) 1 dk−1 De aqui se deduce que A1 = , A2 = , . . . , Ak = h(a) dx h(a) (k 1)! dxk−1
−
p( p(a) . h(a)
on o n de q (x) contiene factores cuadr´aticos aticos irreducibles que no se Caso 6.3 La factorizaci´ repiten. repiten. En este caso al descomponer descomponer p(x)/q (x) en una suma de fracciones simples, por cada factor cuadr´ atico atico irreducible de q (x), digamos digamos x2 + 2bx + c, corresponde una fracci´on on cuyo denominador es el factor cuadr´atico atico y numerador un polinomio de grado 1 con coeficientes ficientes indetermina indeterminados; dos; es decir, decir, una fracci´ fracci´ on on de la forma: x2
Ax + B + 2bx 2bx + c
Luego se procede a igualar numeradores y resolver las ecuaciones correspondientes para determinar los coeficientes reales, como en el caso anterior. Ejemplo 6.5
x3 + x + 1 dx. dx. Descomponemos el integrando en fracciones simples x4 81
−
x3 + x + 1 x4 81
−
=
(x
−
x3 + x + 1 A B Cx + D = + + 3)(x 3)(x + 3)(x 3)(x2 + 9) x 3 x+3 x2 + 9
−
y obtenemos obtenemos x3 + x + 1 = A(x + 3)(x 3)(x2 + 9) + B (x Para x = 3, x = D = (27A (27A 27 27B B
−
− 3)(x 3)(x2 + 9) + (Cx (Cx + D)(x )(x2 − 9)
−3, x = 0 y x = 1 se tiene, respectivamente, A = 31 31//108, B = 29 29//108, − 1)/ 1)/9 = −1/18 y C = (40A (40A − 20 20B B − 8D − 3)/ 3)/8 = 4/9. Por lo tanto
x3 + x + 1 dx = x4 81
−
=
31 dx 29 dx 4 x dx + + 108 x 3 108 x+3 9 x2 + 9 31 29 2 ln x 3 + ln x + 3 + ln x2 + 9 108 108 9
− | − |
|
|
|
1 dx 2 18 x +9 1 x arctan + C 54 3
− |−
(Para la integraci´ on on de x2x+9 h´ agase agase la sustituci´ on on u = x2 + 9; y para la de x21+9 utilice el m´etodo etod o de sustituci´ sustit uci´on on trigono t rigonom´ m´etrica etrica o vea la tabla t abla de integrale i ntegraless simples sim ples en el cap´ cap´ıtulo 2.)
30
Funciones Funciones Racionales Racionales
on on de q (x) contiene factores cuadr´aticos aticos irreducibles que se repiten. Caso 6.4 La factorizaci´ Supongamos que x2 + 2bx 2 bx + c es un factor de q (x) que se repite k veces, entonces en la descomposici´on on de p(x)/q (x) en suma de fracciones simples debe tenerse, correspondiente 2 al factor (x (x + 2bx 2bx + c)k , la suma de las siguientes k fracciones: A1 x + B1 A2 x + B2 + + (x2 + 2bx 2bx + c)k (x2 + 2bx 2bx + c)k−1
+ Bk · · · + x2A+k x2bx 2bx + c
donde A1 , B1 , . . . , Ak , Bk son n´ umeros reales a ser determinados como en los casos umeros anteriores.
Ejemplo 6.6
x 1 dx. dx. Reducimos a fracciones simples x(x2 + 2x 2x + 3)2
−
x(x2
x 1 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 + 2x 2x + 3) x (x + 2x 2x + 3) x + 2x 2x + 3
−
igualando numeradores se sigue que x
−1
= A(x2 + 2x 2x + 3)2 + (Bx (Bx + C )x + (Dx (Dx + E )x(x2 + 2x 2x + 3) = x4 (A + D) + x3 (4A (4A + 2D 2D + E ) + x2 (10A (10A + B + 3D 3D + 2E 2E ) + x(12A (12A + C + C + 3E 3E ) + 9A 9A
igualando coeficientes y resolviendo simult´ aneamente aneamente obtenemos A = C = 1/3, D = 1/9 y E = 2/9. Por lo tanto,
x 1 dx = 2 x(x + 2x 2x + 3)2
−
1 9
−
dx 1 + x 3
x+1 1 dx + 2 2 (x + 2x 2x + 3) 9
−1/9, B
x2
= 1/3,
x+2 dx + 2x 2x + 3
x+1 dx, dx, multiplicamos numerador y denominador por 2 y hace(x2 + 2x 2x + 3)2 mos la sustituci´ on on u = x2 + 2x 2x + 3 (por lo tanto du = (2x (2x + 2) dx) dx). As´ı Para resolver
x+1 dx = (x2 + 2x 2x + 3)2
1 2
=
−
y para resolver
2x + 2 1 dx = (x2 + 2x 2x + 3)2 2 1 1 = 2u 2(x 2(x2 + 2x 2x + 3)
x+2 dx = x2 + 2x 2x + 3
du u2
−
x+2 dx (x + 1)2 + 2
utilizamos el m´etodo etodo de sustituci´ on on trigonom´ trigo nom´etrico, etrico, tomando tomand o x + 1 = 2 2sec θ dθ, dθ, lo cual nos da el resultado final
√
√ 2 2
arctan
√ − x+1 2
ln
√ 2 (x + 1)2 + 2
√ 2tan θ y dx =
31
Funciones Racionales
Finalmente
− | |− √ √ −
x 1 dx = 2 x(x + 2x 2x + 3)2
1 ln x 9
−
1 6
1 2 x + 2x 2x + 3
2 x+1 arctan 18 2
+
√ 2
1 ln + C 9 (x + 1)2 + 2
Nota adicional adicional Veamos una demostraci´on on del teorema teorema que fundament fundamentaa los m´ etodos etodos de este cap´ıtulo; ıtu lo; a sabe s aberr p(x) Teorema de Descomposici´ on en Fracciones Simples: Sea on una funci´ on on racional, donde q (x) p( p(x) y q (x) son polinomios con coeficientes reales, grado de p(x) < grado de q (x) y q (x) tiene la siguiente factorizaci´on on en factores lineales y cuadr´aticos aticos irreducibles con multiplicidades respectivas lj (1 j k) y rj (1 j s):
≤ ≤
q (x) =
≤ ≤ (x − a )l · · · (x − ak )l (x 1
k
1
2
+ 2b 2 b 1 x + c1 ) r
1
2
· · · (x
+ 2b 2 b s x + cs ) r
(6.3)
s
p(x) se puede expresar como la suma de todas las expresiones obtenidas de la siguiente q (x) manera: por cada factor (x ( x a)l de q (x) se tiene una expresi´on on de la forma
Entonces
−
A1 A2 + + l (x a) (x a)l−1
−
−
· · · + (x A−l a)
(6.4)
con A1 , . . . , Al , n´ umeros reales; y por cada factor (x umeros ( x2 + 2bx + c)r se tiene una expresi´on on de la forma B1 x + C 1 B2 x + C 2 + + (x2 + 2bx 2bx + c)r (x2 + 2bx 2bx + c)r−1
+ C r · · · + (xB+r x2bx 2bx + c)
(6.5)
2
(Los dos tipos de fracciones que constituyen las expresiones generales anteriores se llaman simples.) Demostraci´ on: on: Lo primero que haremos haremos es extender extender la descomposici´ descomposici´ on on (6.3) de q (x) al conjunto
de los n´ umeros umeros complejos2 . En ese caso cada factor factor cuadr´atico atico irreducible x2 + 2bx 2bx + c tiene por ra´ıces ıc es un n´umero umero complejo α + iβ y su conjugado α iβ y, en consecuencia, q (x) se descompone en factores factores lineales asi:
−
q (x)
=
···
(x (x
− a )l · · · (x − ak )l (x − (α + iβ ))r (x − (α − iβ ))r · · · − (αs + iβ s))r (x − (αs − iβ s ))r 1
k
1
s
1
1
1
1
1
(6.6)
1
s
Veamos ahora que, para cada uno de los factores de q (x) en (6.6), se tiene una expresi´on on de la forma (6.4). Sea (x (x ξ ) uno de estos factores lineales y m su multiplicidad. Entonces q (x) = (x ξ )m h(x) con h(ξ ) = 0 y escribimos
−
−
p( p(x) q (x) 2
=
p(ξ ) p(x)h(ξ ) p( p(ξ )h(x) + m (x ξ ) h(ξ ) h(ξ )(x )(x ξ )m h(x)
−
− −
Asumir´ e que el lector conoce cono ce los n´ umeros complejos y sus propiedades; pero, en caso de duda, puede umeros op. cit. cit., todo lo necesario hallar en M. Spivak, op. necesario para demostrar demostrar las afirmacione afirmacioness que har´ e sobre estos n´ umeros umeros aqui.
32
Funciones Funciones Racionales Racionales
h(x) Claramente ξ es una ra´ ra´ız del polinomio poli nomio p(x)h(ξ ) p( p(ξ )h(x) = h(ξ ) p( p(x) y, por lo tanto, h(ξ ) p( p(x)h(ξ ) p( p(ξ )h(x) = h(ξ )(x )(x ξ ) p1 (x), donde p1 (x) es un polinomio de grado menor que el grado de q (x) menos 1 (ya que
−
−
−
p1 (x) =
1 (x
− ξ )
p( p(x)
−
h(x) h(ξ )
y el polinomio de la derecha es de grado menor que el grado de q (x)/(x Luego p( p(x) q (x)
=
p(ξ )/h( /h(ξ ) + (x ξ )m (x
−
−
−
(6.7)
− ξ )). )).
p1 (x) ξ )m−1 h(x)
Sea A1 = p(ξ )/h( /h(ξ ) y asi tenemos la primera fracci´on on simple de la expresi´on on correspondiente al m factor (x (x ξ ) . Repetimos Repetimos el procedimiento procedimiento anterior anterior con los polinomios p1 (x) y (x ξ )m−1 h(x) para obtener la siguiente fracci´on on simple, y asi sucesivamen sucesivamente te hasta obtenerlas obtenerlas todas.
−
−
El pr´oximo oximo paso es analizar la descomposici´on on en fracciones simples, obtenida anteriormente, correspondiente a las ra´ ra´ıces complejas de q (x). Sea Sea α + iβ una ra´ ra´ız compleja complej a de q (x) con multiplicidad r. Vimo Vimoss que el conjuga conjugado do de α + iβ , el n´ umero umero α iβ , es tambi´ ta mbi´en en ra´ız ız de q (x) con 2 igual multiplicidad r y (x (α + iβ ))(x ))(x (α iβ )) )) = x + 2bx 2 bx + c, con b = α y c = α2 + β 2 , es el correspondiente factor cuadr´atico, atico, con coeficientes reales, cuyas ra´ıces ıces son α + iβ y α iβ . ¯ Pongamos ξ = α + iβ y ξ = α iβ . Entonces, seg´ un lo hecho anteriormente, el factor (x un ( x ξ )r da origen a la expresi´on on
−
− −
−
−
−
A1 A2 + + r (x ξ ) (x ξ )r−1
−
y el factor (x (x
−
−
−
· · · + (xA−r ξ )
− ξ ¯)r da origen a la expresi´on on B1 B2 + r ¯ ¯)r−1 + (x ξ ) (x ξ
−
−
· · · + (xB−r ξ ¯)
Afirmamos que, para cada j = 1, 1 , . . . , r, r, el n´ umero umero Bj es el conjugado de Aj , en notaci´on on Bj = A¯j . Esto es asi puesto que, para cada j , Aj y Bj se obtienen al evaluar el mismo cociente de polinomios pj −1 (x) ¯, respectivamente (y donde p0 = p, p1 se obtiene como en (6.7), etc.). Luego en ξ y ξ h(x) Aj A¯j gj (x) + = 2 j j ¯ (x ξ ) (x + 2bx 2bx + c)j (x ξ )
−
−
donde gj (x) es de grado j y con coeficientes reales. En consecuencia gj (x) = (x2 +2bx +2 bx+ + c)gj 1 (x)+ s(x), donde s(x) es un polinomio de grado 1 con coeficientes coeficientes reales. Sea entonces entonces s(x) = Dj x + E j , con Dj y E j reales; en consecuencia,
≤
Aj A¯j Dj x + E j gj 1 (x) + = 2 + 2 j j j ¯ (x ξ ) (x + 2bx 2bx + c) (x + 2bx 2bx + c)j −1 (x ξ )
−
−
Si repetimos las cuentas esta vez con la fracci´on on gj 1 /(x2 + 2bx 2 bx + c)j −1 (y esto para cada j ) obtenemos la descomposici´on on asociada aso ciada a los factores cuadr´aticos aticos de q (x) deseada. deseada. Esto concluye concluye la demostraci´ on on del teorema. 2
7. Funcione uncioness Hiperb´ Hiperbolicas ´ olicas y Sustituciones Hiperb´ olicas olicas Las funciones seno y coseno hiperb´olicos olicos se definen por senh x =
ex
− e−x
y cosh x =
2
ex + e−x 2
(7.1)
Por analog´ıa ıa con las funciones trigonom´etricas etricas se definen la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante, respectivamente, como ex e−x ex + e−x 2 sech x = x e + e−x
tanh x =
−
, y
ex + e−x , ex e−x 2 csch x = x e e−x
coth x =
− −
(7.2) (7.3)
A partir de estas definiciones se pueden verificar las siguientes f´ormulas ormulas de diferenciaci´on: on: d senh x = cosh x , dx d tanh x = sech 2 x y dx
d cosh x = senh x , dx d coth x = csch 2 x dx
−
De estas ecuaciones se obtienen las integrales inmediatas
cosh x dx = senh x
,
sech 2 x dx = tanh x y
senh x dx = cosh x , csch 2 x dx =
− coth x
Tambi´en en util u tiliza izando ndo las f´ ormulas (7.1) se verifican identidades fundamentales como ormulas cosh2 x
− senh 2x = 1
(7.4)
cosh(x cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
(7.5)
senh(x senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x
(7.6)
Estas identidades se pueden combinar de igual manera que se hizo con sus an´alogas trigonom´etricas etricas para obtener otras identidades como cosh2 x =
cosh cosh 2x + 1 2
y 33
senh 2 x =
cosh2x cosh2x 2
−1
´ licas Funciones Funciones y Sustitucione Sustituciones s Hiperb Hiperbolicas o
34
y utilizar estas ultimas u ´ ltimas para resolver integrales de la forma
n
cosh x dx y o
senh n x dx
coshn x senh m x dx
Podemos proseguir as´ as´ı y desarrollar m´etodos etodos paralelos a los desarrollados en las secciones (4.1) a la (4.7) del cap´ cap´ıtulo 4 para resolver todo tipo de integrales de funciones hiperb´ olicas. olicas. No lo haremos haremos aqui y sugerimos sugerimos al lector que desarrolle desarrolle esos m´ etodos etodos como ejercicio. ejercicio. T´engase engase en cuenta, sin embargo, que muchas veces es m´ as efectivo sustituir las funciones as hiperb´olicas olicas que aparecen aparecen en una integral integral por sus definiciones definiciones en t´ erminos erminos de ex , obteniendose asi integrales de polinomios en ex que resultan f´aciles aciles de resolver. Ejemplo 7.1
1 + senh x dx = 1 + cosh x
= =
1+
ex e−x 2 ex +e−x 2
−
dx =
(2 + ex e−x )ex dx (2 + ex + e−x )ex
−
1+ (2 + ex e−x )ex dx (sustituci´ on on u = ex ) 2ex + e2x + 1 2u + u2 1 du u(u + 1)2
−
−
y esta ultima u ´ ltima es una integral integral que podemos resolver resolver usando usando los m´ etodos etodos expuestos expuestos en el cap ca p´ıtul ıt uloo 6. La analog´ analog´ıa de las funciones funciones hiperb´ hiperbolicas o´licas con las trigonom´ trigonom´ etricas etricas resulta resulta de mejor utilidad no para calcular integrales de funciones hiperb´olicas olicas (por todo lo antes dicho) sino, m´ as bien, para calcular integrales de otras funciones (e.g. radicales) cuyas formas suas gieren alguna identidad identidad de funciones funciones hiperb´ olicas y la consecuente sustituci´on olicas on hiperb´olica olica adecuada. Para ilustrar lo que queremos decir considere, por ejemplo, integrar b2 x2 a2 . La expresi´ on on b2 x2 a2 sugiere utilizar la sustituci´ on on x = ab cosh u junto con la identidad (7.4) para eliminar la ra´ ra´ız y obtener
√
−
b2 x2
− a2 dx
= = =
a a2 2 2 2 senh u a cosh u a du = senh 2 u du b b 2 2 a senh2u senh2u u a = ( senh senh u cosh u u) b 4 2 2b a2 x x2 1 arccosh x + C 2b
b2 x2
−
a2 dx
−
− − −
recordando recordando que arccosh arccosh x = ln(x ln(x +
−
−
√ x2 − 1) podemos expresar la soluci´on on anterior como
a2 = x x2 2b
−
1
− ln(x ln(x +
− x2
1) + C
´ licas Funciones Funciones y Sustitucione Sustituciones s Hiperb Hiperbolicas o
35
√
An´ alogamente, alogamente, para integrar integrar b2 x2 + a2 considere el cambio x = ab senh u, y para integrar a2 b2 x2 considere x = ab tanh u (para esta ultima u ´ltima se usa 1 tanh2 u = sech 2 u). Los detalles los puede desarrollar el lector gui´andose andose con lo realizado en el cap´ıtulo ıtulo 5. 1 1 + x (Recuerde (Recuerd e tambi´ ta mbi´en en que arcsenh x = ln(x ln(x + x2 + 1); arctanh x = ln , si 1 < 2 1 x 1 1+x x < 1; arccoth x = ln , si 1 < x < 1. Todas estas f´ ormulas ormulas se deducen f´acilmente acilmente 2 1 x de las definiciones de las funciones hiperb´olicas olica s en t´erminos ermino s de la funci´on on exponencial.) exponencial.) Ilustraremos la utilidad de las sustituciones hiperb´ olicas olicas hallando una f´ ormula ormula para n integrales del tipo sec x dx, dx, para cualquier entero n 1.
√ −
−
−
−
√ que du = sec x tan x dx = u u2 − 1 dx y se tiene sec x dx
−
≥
Ejemplo 7.2 Comencemos con n = 1, es decir
−
du u2 1
√ −
u=sec x
= =
u=cosh v
=
sec x dx. dx. Tomam omamos os u = sec x, por lo
senh v dv
cosh2 v
dv = v = arccosh u = ln(u ln(u +
Generalizamos a continuaci´ on para cualquier entero n. on
1
− − u2
1) = ln(sec x + tan x)
Ejemplo 7.3 Al igual que en el ejemplo anterior, hacemos sec x = u seguida de la susti-
tuci´ on on hiperb´olica olica u = cosh v para obtener
n
sec x dx
sec x=u
=
un u2 1
=
1
2n 1
u=cosh v
(e + e
n 1
1
du
v
2n 1
=
1
√ − − − − − − − − − − − − − n
=
v n 1
)
1
k
k=0
coshn
dv =
(2k ev(2k
1
vdv
n 1
1
2n 1
n+1)
k=0
n
1
k
ekv e−(n−1−k)v dv
dv
(7.7)
Sea α = 2k n +1. Si n es par, entonces 2k 2k = n 1 y, por lo tanto, α = 0 cualquiera sea k. Esto significa que (7.7) es, en efecto, una suma de integrales de la funci´on on exponencial exponencial y en ese caso resulta ser igual a
−
−
n 1
− − −
1 2n
n
1
k=0
pero arccosh arccosh u = ln(u ln(u + nos queda igual a
1 eαv 1 = n− 1 k α 2
n 1
1 eα arccosh u k α
− − k =0
n
√ u2 − 1) = ln(sec x + tan x) y, por lo tanto, la ultima u ´ltima ecuaci´ on on n 1
− − −
1 2n
1
k=0
n
1 (sec x + tan x)2k−n+1 k 2k n + 1
−
(7.8)
´ licas Funciones Funciones y Sustitucione Sustituciones s Hiperb Hiperbolicas o
36 Si n es impar, entonces k = (n (7.7) nos queda
− −
1 2n
=
1
1 2n
1
− − − −
n 1 v+ (n 1)/ 1)/2
− −
− 1)/ 1)/2 es un entero para el cual α es 0. En este caso
n 1
n
k=0 n−1 2k=
1 eαv k α
n 1 ln(sec x + tan x) + (n 1)/ 1)/2
− −
Tenemos asi una f´ ormula ormula general para hiperb´olic o licas as:: si n es par,
n 1
k=0 n−1 2k=
n
(7.9)
1 (sec x + tan x)2k−n+1 k 2k n + 1
−
secn x dx deducida con auxilio de las funciones
secn x dx se calcula mediante la ecuaci´ on o n (7.8); y, si n es
impar, utilizamos la ecuaci´ on on en (7.9). Observe que tambi´ en en se tiene entre las l´ıneas de un la demostraci´ on on anterior una f´ormula ormula para du que el lector podr´ıa ıa intentar u2 1 escribi escr ibirr expl´ıcitam ıci tamente. ente.
√
ormula ormula para Ejercicio 7.1 Halle una f´ potencias enteras de la secante
−
cscn x dx an´ aloga a loga a la f´ ormula ormula anterior para
Las sustituciones hiperb´olicas olicas se ver´an an otra vez en el cap´ cap´ıtulo 8.
8. Integ Integran randos dos Raciona Racionaliza lizables bles En este cap´ cap´ıtulo estudiamos algunas integrales de funciones que, mediante un cierto cambio de variable, pueden reducirse a integrales de funciones racionales que resolvemos luego utilizando utili zando los m´etodos etod os expuestos expuesto s en el cap´ cap´ıtulo 6. p(x) Recordemos que una funci´on on racional es un cociente de polinomios . Si deno denotataq (x) mos esta funci´on on por R(x) y si f ( f (x) es cualquier otra funci´on, on, entonces R(f ( f (x)) es una f ; esto es, un cociente de polinomias en la variable f ( f (x). funci´ on racional de la funci´ on f ; An´ alogamente, alogamente, R(f ( f (x), g (x)) denota una funci´ on racional en las dos variables f ( on f (x) y g (x); es decir, un cociente de dos polinomios que toman por variables las funciones f y g, y, en general, R(f 1 (x), . . . , fn (x)) denota una funci´on on racional de las funciones f 1 , . . . , f n . El problema que nos interesa resolver es el siguiente: dada una funci´on on racional de una o m´ as as funciones, R(f 1 (x), . . . , fn (x)), transformarla mediante alguna sustituci´ on on en una funci´on on racional R(u), es decir, un cociente de polinomios.
8.1
Funcion unciones es racion racionale aless de potencia potenciass fraccion fraccionari arias as
Si se tiene una funci´on on racional de la forma R(x1/n1 , x1/n2 , . . . , x1/nk ), un cociente de potencias potencias fraccionari fraccionarias as de la variable ariable x, entonces la sustituci´ sustit uci´on on x = zm donde m es el m´ınimo ıni mo com com´ un u´n m´ ultiplo (m.c.m.) de los denominadores de los exponentes, ultiplo transforma la funci´ on en un cociente de polinomios en z . Este on Este hecho hecho es f´ acil acil de verificar (¡ver (¡ verif´ if´ıquel ıq uelo! o!). ). Ejemplo 8.1.1
x dx = 3+ x
√
x1/1 dx (m.c.m. de los denominadores = 2) 3 + x1/2
Sea x = z 2 , por lo tanto, dx = 2z 2 z dz. dz . Luego
2z 3 dz = 2 3+z z3 3 2 = 2 z + 9z 9z 3 2
x dx = 3+ x
√
−
z
2
− 3z + 9 −
− 27ln |3 + z 37
|
27 3+z
dz
+ C (retornamos z = x1/2 )
38
Integrandos Racionalizables
= 2
8.2
x3/2 3
−
3 x + 9x 9x1/2 2
− 27ln |3 + x1/2|
+ C
Funci uncione oness racio raciona nales les de de senos senos y coseno cosenoss
Si se tiene una funci´ on on racional de la forma R(sen x, cos x), se lleva a una funci´ on on racional mediante la sustituci´ on on x z = tan 2 Esto resulta asi ya que se tendr´a x = 2 arctan arctan z y, en consecuencia, dx =
2 dz 1 + z2
Utilizando Utilizando la identidad identidad cos 2y = 2 cos cos2 y cos x = =
− 1 y tomando y = x/2 x/2 tenemos x 2 2 − −1 2 co c os2 − 1 = 1 = 2 sec2 (x/2) x/2) 1 + tan2 (x/2) x/2) 2 1 − z2 −1 = 1 + z2
1 + z2
An´ alogamente alogamente,, a partir de la identidad identidad sen 2y = 2 sen sen y cos y y tomando y = x/2 x/2 tenemos 2sen(x/ 2sen(x/2)cos 2)cos2 (x/2) x/2) 1 sen x = 2 se sen (x/ (x/2)cos( 2)cos(x/ x/2) 2) = = 2tan(x/ 2tan(x/2) 2) 2 cos(x/ cos(x/2) 2) sec (x/2) x/2) 2tan(x/ 2tan(x/2) 2) 2z = = 2 1 + tan (x/2) x/2) 1 + z2 En resumen, si se tiene una funci´on on racional de la forma R(sen x, cos x), entonces con la sustituci´ sustituci´ on on z = tan(x/ tan(x/2) 2) se obtiene lo siguiente:
R(sen x, cos x) dx =
R
2z 1 z2 , 1 + z2 1 + z2
−
2 dz 1 + z2
Ejemplo 8.2.1
2 dz 1+z 1+z 2
dx = 5 + 4 cos cos x
= =
2 dz = 9 z2
− − − − − | − | | | 1 3
dz
5+4
1 z2 1+z 1+z 2
=
(3
dz (complete los pasos de la descom3 z 3 + z posici´on on en fracciones simples) 1 1 1 3+z ln 3 z + ln 3 + z + C = ln + C 3 3 3 3 z +
1 3
−
2 dz z )(3 + z )
devolviendo el cambio se concluye
dx 1 3 + tan(x/ tan(x/2) 2) = ln + C 5 + 4 cos cos x 3 3 tan(x/ tan(x/2) 2)
−
39
Integrandos Racionalizables
Ejemplo 8.2.2 Volvemos a integrar una de nuestras funciones favoritas:
dx (1 + z 2 )2 dz 2 dz sec x dx = = = cos x (1 z 2 )(1 + z 2 ) 1 z2 1 1 1+z = + dz = ln ln + C 1+z 1 z 1 z 1 + tan(x/ tan(x/2) 2) = ln + C 1 tan(x/ tan(x/2) 2)
− − −
Pero
− −
1 + tan(x/ tan(x/2) 2) cos(x/ cos(x/2) 2) + sen sen (x/2) x/2) = 1 tan(x/ tan(x/2) 2) cos(x/ cos(x/2) 2) sen(x/ sen(x/2) 2) (cos(x/ (cos(x/2) 2) + sen(x/ sen(x/2))(cos( 2))(cos(x/ x/2) 2) + sen(x/ sen(x/2)) 2)) = (cos(x/ (cos(x/2) 2) sen(x/ sen(x/2))(cos( 2))(cos(x/ x/2) 2) + sen(x/ sen(x/2)) 2)) 1 + 2 cos( cos(x/ x/2)sen( 2)sen(x/ x/2) 2) 1 + sen x = = = sec x + tan x cos2 (x/2) x/2) sen 2 (x/2) x/2) cos x
−
−
−
−
por lo tanto
8.3 8.3
sec x dx = ln sec x + tan x + C.
|
|
√ Funci uncion ones es raci racion onal ales es del del tipo tipo R(x, 1 − x2 )
√ − x2) se puede llevar a una funci´on on racional de
Una funci´on on racional de la forma R(x, 1 dos maneras:
(a) Mediante Mediante la sustituci´ on on trigon tri gonom´ om´etrica etri ca x = cos z, lo cual nos da
−
− R(x,
1
1
x2 = sen z , dx =
x2 ) dx =
−
− sen z dz; dz ;
R(cos z, sen z )sen z dz
una integral de funci´ on on racional racional de senos y cosenos cosenos que resolvemos resolvemos por el m´ etodo etodo explicado en 8.2. (b) Si escribimos escribimos
z=
− 1
−
x2 = (1 + x)
1 x , esto sugiere la sustituci´ on: on: 1+x
1 x 1 z2 2 4z , de donde x = , 1 + x = y dx = dz. 1+x 1 + z2 1 + z2 (1 + z 2 )2
−
−
−
40
Integrandos Racionalizables
Luego
− − − − R(x,
=
una funci´ funci´on on racional. racional.
x2 ) dx =
1
1 z2 2z , 1 + z2 1 + z 2
R
1 x 1+x
R x, (1 + x)
dx
4z dz (1 + z 2 )2
Ejemplo 8.3.1 La forma de la siguiente integral inmediatamente sugiere utilizar el
m´eto et odo (b)
√ −
1 x2 dx = x(1 + x)
=
8.4
(1 + x) x(1 + x)
− − − 1 x dx = 1+x
1 + z2 4z 2 dz = 1 z 2 (1 + z 2 )2
−
−
1 x
1 x dx 1+x
− 1 x 1+x
sea z =
z2 (un integrando racional que resoldz 1 z4 vemos por los m´ etodos etodos del cap. 6)
4
−
√ Funci uncione oness raci racion onal ales es del del tipo tipo R(x, x2 − 1)
√ − 1) se puede llevar a una funci´on on racional de
Una funci´on on racional de la forma R(x, x2 tres maneras: (a) Mediante Mediante la sustituci´ on on hiperb´olica olica x = cosh z, obteni´ obt eni´endose endo se asi, asi ,
− x2
− x2
R(x,
1 = senh z , dx = senh z dz; dz ;
1) dx =
R(cosh z, senh z ) senh senh z dz
Esta ultima u ´ ltima integ integral ral se resuel resuelve ve colocando colocando las definic definicione ioness de senh senh z y cosh z en z z t´ermi er mino noss de e y haciendo la sustituci´ on on y = e (recordemos lo visto en el cap´ cap´ıtulo 7). (b) Si escribimos escribimos z=
− x2
1 = (x ( x + 1)
−
x 1 , esto sugiere la sustituci´ on: on: x+1
x 1 1 + z2 2 4z , de donde x = , 1+x = y dx = dz. 2 2 x+1 1 z 1 z (1 z 2 )2
−
−
Luego
− R(x,
=
una funci´ funci´on on racional. racional.
x2
R
−
1) dx =
R x, (x + 1)
1 + z2 2z , 1 z2 1 z 2
−
−
−
−
4z dz (1 z 2 )2
−
x 1 x+1
dx
41
Integrandos Racionalizables
(c) Mediante Mediante la sustituci´ sustituci´ on on trigon tri gonom´ om´etrica etri ca
− − x2
x = sec z, por lo que Asi,
R(x,
x2
1 = tan z y dx = tan z sec z dz.
1) dx =
R(sec z, tan z )tan z sec z dz
la cual es una integral de funci´on on racional de senos y cosenos que se resuelve por el m´etodo etod o explicado explica do en 8.2. etodo etodo (c) Ejemplo 8.4.1 Resolvemos la siguiente integral por el m´
dx 1 (x2
√ x2 x2 − −
− 1)3/2
= = =
tan z sec z dz = 2 sec z tan z tan3 z
sec z dz tan2 z
sec2 z
− − sec z dz = ln | sec z + tan z | + C ln |x + x2 − 1| + C
(Para (Para obtener obtener la ultima u ´ ltima igualdad utilice el tri´ angulo angulo trigonom´etrico etrico correspondiente a 2 2 x = sec z - ver cap´ cap´ıtulo 5 - o utilice la identidad tan z + 1 = sec z .)
8.5 8.5
√ Funci uncion ones es raci racion onal ales es del del tipo tipo R(x, x2 + 1) √
Una funci´on on racional de la forma R(x, x2 + 1) se puede llevar a una funci´on on racional de dos maneras: (a) Mediante Mediante la sustituci´ on on trigon tri gonom´ om´etrica etri ca x = tan z, por lo que para luego obtener
x2 + 1 = sec z, dx = sec2 z dz
x2 + 1) dx =
R(x,
R(tan z, sec z )sec2 z dz
una integral del tipo 8.2.
(b) Mediante Mediante la sustituci´ on on hiperb´olica olica x = senh z, obteni´ obt eni´endose endo se asi, asi ,
R(x,
x2 + 1 = cosh z , dx = cosh z dz; dz ;
x2 + 1) dx =
R(senh z, cosh z )cosh z dz,
que se resuelve como se explica en 8.4 (a (a).
42
Integrandos Racionalizables
Ejemplo 8.5.1
x2 dx = x2 + 1
√
= = =
senh 2 z cosh z dz = senh 2 z dz cosh z cosh2z cosh2z 1 1 senh2z senh2z dz = z + C 2 2 2
−
1 (x x2 + 1 2 1 (x x2 + 1 2
−
− arcsenh x) + C − ln(x ln(x + x2 + 1)) + C
9. 10 103 3 Inte Integr gral ales es Resolver
1. 4.
7. 10 10..
13 13.. 16 16..
19 19..
22 22..
25 25.. 28 28..
sen xesec x dx cos2 x
2.
arcsen x dx 1 x2
5.
√ − − − √ − √
x7 + x3 dx x4 1
8.
cos x dx 1 + sen 2 x
11 11..
1 + ex dx 1 ex
14 14..
1
17 17..
sen x dx
e2x dx 3 1 + ex
20 20..
− 2x1/3 + 1 dx
23 23..
1
dθ tan2 θ
26 26..
(eu
du e−u )2
29 29..
x2/3
x+1
−
−
cos2x cos2x dx 1 + sen sen 2x
3.
tan x dx cos2 x
6.
1 4x + 8x 8x2 8x3 dx x4 (2x (2x2 2x + 1)2
9.
cot θ dθ ln( ln( sen sen θ)
12 12..
cos x dx
15 15..
− − − √ − − − (a2
dx x2 )3/2 dx
x6
1
18 18..
21 21..
dx x(x2 + 1)2
24 24..
(x + 1) dx x3 x2
27 27..
4 dx x3 + 4x 4x
30 30..
43
cos x dx 1 + sen x
√ √ − − − √ −
dx x2 + 2x 2x + 2
x3
(3x (3x 7) dx 6x2 + 11x 11x
−6
x2/3 (x5/3 + 1)2/3 dx dx sen x cos x
sen x dx cos2 x 5cos x + 4 dy y(2y (2y 3 + 1)2
ln x
1 dx
x dx 4x + 3 x2 + 4x dx 5x2 + 8x 8x + 5
44
103 Integrales Integrales
31 31..
34 34..
37 37..
40 40..
43 43..
46 46..
49 49..
52 52.. 55 55.. 58 58.. 61 61..
64 64.. 67 67..
70 70..
√ − √ − √ − − √
x2 a2 dx x
32 32..
dx x(1 + 3 x)
35 35..
e4t dt (1 + e2t )2/3
38 38..
x arcsen x dx
41 41..
x dx (x 1)2
44 44..
dy
(2y (2y + 1)
ln(x ln(x +
y2
+y
47 47..
1 + x2 ) dx 50 50..
x+ x+1 dx x+2
53 53..
du e4u + 4e 4e2u + 3
56 56..
arcsec x dx
59 59..
dx 1 + cos2 x
62 62..
x2 sen(1
ln(x ln(x +
ln(x ln(x +
x2
x) dx
65 65..
1) dx 68 68..
x) dx
71 71..
− √ − − − √ − √ √ − − x
e cos2x cos2x dx
cot θ dθ 1 + sen 2 θ dx
x1/5
1+
x4/5
(x3 + x2 ) dx x2 + x 2
(2e (2e2x 3e2x
ex ) dx 6ex 1
33 33..
36 36..
39 39..
42 42..
45 45..
dx a2 x2
48 48..
x tan2 x dx
51 51..
x cos2 x dx
54 54..
x ln x + 2 dx
57 57..
8 dx x4 + 2x 2x3
60 60..
x2
2
x3 ex dx
63 63..
x3 dx (x2 + 1)2
66 66..
dt 1
69 69..
t
x
1
− x4
t2
dx
72 72..
dx x(3 x + 1)
√ √ − − − − − √ − √ √ √
z 5 dz 1 + z2
x sec2 x dx x3 + 1 dx x3 1
(x + 1) dx (x2 + 2x 2x 3)2/3 (1
x2 )3/2 dx
arctan x dx x2 4 + 3x 3x dx 4 3x
(x + 1)2 ex dx x dx x4 16
cos x dx 4 cos2 x
x 2x + 1 dx arcsen x dx t2 dt 1 + t6
45
103 Integrales Integrales
√
73 73..
74 74..
x sen 2 (2x (2x) dx
77 77..
1 (1 + x)2
−1
−
1 x dx 1+x
3
85 85.. 88 88..
83 83..
dx x3 + 1
86 86..
t
89 89..
e
91 91..
94 94..
dt
2t3 + 11t 11t + 8 dt t3 + 4t 4t2 + 4t 4t
dx x4
−x √ arcsen 2θ dθ √ 1 − 2θ (2x (2x2 − x + 2) dx
97 97..
100. 100.
80 80..
x3 dx 1 x2
√ − √
82 82..
103.. 103
dx
e2x
76 76..
79 79..
ex
x5 + 2x 2x3 + x
2 + 2 cosh cosh x senh x dx 2 + cosh x + senh x
−
92 92..
95 95..
98 98..
101. 101.
− − √ √ √ − − √
arccosh x dx x2 1
75 75..
tan x dx tan x + sec x
78 78..
dx sen x cos x
81 81..
dx x(2 + ln x)
84 84..
e2x dx 4 ex + 1
87 87..
sen x + 1 dx
90 90..
dr 3 4r
r2
93 93..
cot2 3x dx sen 4 3x
96 96..
tan x dx
99 99..
dx 9cos2 x 16 sen sen 2 x
−
102. 102.
− √ − − − − − − ∈ 1
x2 arcsen x dx dt e2t + 1
sec x dx (cos2 x + 4 sen sen x
5)
cos2x cos2x 1 dx cos2x cos2x + 1
2cos x 5sen x dx 3cos x + 4 sen sen x sen 4 3x cos2 3x dx
(2y (2y2 + 1) dy y 3 6y2 + 12y 12y 8 cot3t cot3t dt sen 2 3t 1/4
xn ln xdx, n
R
dx cosh x + senh x
46
103 Integrales Integrales
10. Respue Respuesta stass (Todas (Todas las respuestas deben deb en estar seguidas del t´ermino ermino + C ; ´este este se omite para ahorrar espacio.)
√
1.
esec x
2.
1 ln 1 + sen sen 2x 2
4.
1 ( arcsen arcsen x)2 2
5.
1 tan2 x 2
8.
− 3x1 − 2x 4−x−2x2+1 −4 arctan arctan(2 (2x x − 1)
9.
ln ln sen θ
12 12..
9 5/3 (x + 1)5/3 25
15 15..
ln tan x
7.
x4 1 + ln x4 4 2
| − 1|
10 10..
arctan( arctan( sen x)
11 11..
13 13..
−2ln(1 − ex) + x
14 14..
2cos x 1 sen x
√ −
16 16..
3(x 3(x2/3 4x1/3 ) 2 (x1/3 +1)4
−
22 22..
25 25..
28 28..
20 20..
−
ln
√ x
+
/ −x / +1 √ 33 arctan( √ 23 (x1/3 − 12 )) 2 3
− −
1 3
1 1 + tan θ 1 ln + θ 4 1 tan θ 2 1 2
1
e2u
−1
23 23..
26 26..
29 29..
2
√ − x2 a2 2
−√ − x 3 1 x2
−
1 + 2ln 1 x
1 x
√
ln 47
1 3
21 21..
x x2 + 4
24 24..
(x
x2 + 2x 2x + 2
− 2)(x 2)(x − 3) (x − 1)2
|
− −
1 1 ln 3 4
cos x cos x
2y 3 + 2y 3 +1 (6y (6y3 + 3) 1
ln
−
2
− 1 +x x2 )
|
2
arctan
1 x2 (ln 2 1 + x2
ln
18 18..
−1) (x −x+1) ln ((xx+1) 2 (x2 +x+1)
√ 3
2 1 + sen x
|
x a2
1 12
3.
6. ln x + 1 +
| | √ √ cos √ x 2 x sen x + 2 cos
6
+
|
3
17 17..
3(1 + ex )2/3 10(2e 10(2ex 3)−1
19 19..
|
(x
− 1)ln √ x − 1 − x2
27 27..
1 (x + 3)3 ln 2 x+1
30 30..
1 5x + 4 arctan 3 3
|
48
Respuestas
√ a arctan x a−a
31 31..
x
2
√ ln (1 + x)3 √ 3 1 + e2t 8(e 8(e2t − 3)−1 √ 1 − x2 + 1 ( x 4 (2x (2x2 − 1) arcsen arcsen x )
37 37..
40 40..
3
3
| − 1| − x −1 1
43 43..
ln x
arctan(2 y2 + y )
46 46..
√ − √ √ x+1+2 x+1 − 2 ln |x√ + 1| − 2 arctan arctan x + 1
x ln(x ln(x + 1 + x2 ) 1 + x2
52 52..
55 55..
2
34 34..
49 49..
√ x2 − a2 −
1 3 + e2u (ln + 4u 4u) 12 (1 + e2u )3
58 58..
x arcsec x ln( x + x2
61 61..
1 tan x arctan 2 2
64 64..
67 67..
70 70.. ln
|− √ || − 1)
√
√ (x2
− 2) cos(1 cos(1 − x) + 2x sen(1 − x) √ x ln(x ln(x √ + x2 − 1) − x2 − 1 √ (x + x)x ) √ − x + √ x
1+
x
32 32..
ex (cos2x (cos2x + 2 sen sen 2x) 5
|x√ |
33 33..
ln
35 35..
| sen θ| ln √ 1 + sen 2 θ
36 36..
8 4z 2 + 3z 3z 4 15(1 + z 2 )−1/2
38 38..
5 (1 + x4/5 )1/2 2
39 39..
x tan x + ln cos x
x2 + ln((x ln((x + 2)4/3 (x 2
41 41..
44 44..
1 3
√ ln |
ex
47 47..
50 50..
53 53..
2/3
− 1)
)
−√ 1 + e2x − 2ex − 13 | + 2 2x x 3 3e − 6e − 1 √ a2 − x2 − a2x
x tan x
−
x2 + ln cos x 2
|
|
x2
x sen2x sen2x cos2x cos2x + + 4 4 8 1 2 4 (x
− 4)ln(x 4)ln(x + 2) −
(1 + 3 x)2
−
|
x
42 42..
x + ln
45 45..
3 2 (x + 2x 2x 2
48 48..
1 (5x 8 (5x
54 54..
ln
x
− 3)1/3
−32x3)√ 1 − x2 + 8
51 51..
−1
|
arcsen x
x √ 1|x+| x2 − arctan x 8 3
− −
arctan 4 3x 3
−
4+3x 4+3x 4 3x
4+3x 4+3x 4 3x
57 57..
(x2 + 1)e 1)ex
59 59..
2(x 2(x−1 x−2 ) ln x/( x/(x + 2)
60 60..
1 x2 4 ln 2 16 x +4
62 62..
1 2 (x 2
63 63..
ln | sen x| + √ 3 + sen 2 x|
56 56..
65 65..
68 68..
x2 8
|
2
− 1)e 1)ex
1 ln(x ln(x + 1) + 2 x +1
1 2
2
| 1− √ 1 − t2| −
ln t
2
71 71..
−
|
1 2
+
x 2
arcsen t
1 arctanh x2 2
66 66..
69 69..
72 72..
−
1 (3x (3x 15
−
− 1)(2x 1)(2x + 1)3/2 √ x − x2 − 1 2 √ 1 − (1 2x) arcsen arcsen x 2 1 arcsenh t3 3
49
Respuestas
73 73..
76 76..
arccosh e 1 2 4x
−1 18 sen4x sen4x − cos4x cos4x
32
79 79..
x
− − 3 8
1 x 1+x
74 74..
75 75..
77 77..
sec x
78 78..
ln( e2t + 1
81 81..
ln[(1 sen x)1/2 (1 + sen x)−1/10 (2 sen x)−4/9 ] + 1/(6 3sen x)
4/3
− 13 (1 − x2)1/2(2 + x2)
83 83..
85 85..
√ √ x+1 + x −x+1 x−1 √ 1 arctan 2√
86 86..
3
6
2
3
88 88..
91 91..
94 94..
97 97..
99 99..
101.. 101
3
√
√ t
2e ( t
− 1)
−
−
1 ln 1 3
1 x3
√ −√ 1 − 2θ√ arcsen 2θ +
2θ
xn+1 ln x n+1
si
xn+1 (n+1)2
− 1 n=
−
1 4 + 3 tanx tan x ln 24 4 3tan x
cot(x cot(x
π 4)
− |
−
4 x (e + 1)3/4 (3e (3ex 21
− 4)
2sen x + 1 2 x + 1 cos cos x + 1
√
− 1) − t
−
84 84..
|
√
−
−
ln 2 + ln x
|
√ − −
√ −
87.
90 90..
x 3 5
− tan x
ln 3cos x + 4 sen sen x (2/ (2/5)x 5)x
|
|
−
x 16
12x − sen19212x
− (sen 36x)/144 | − | − y−8 2 − − 2)2
92 92..
arcsen
r+2 7
93 93..
2 ln y 2 9/2(y 2(y
95 95..
− 1511 (cot3x (cot3x)5 − 9 (cot3x (cot3x)3
96 96..
2 arcsec 2sen3t 2sen3t 3
√ 2
98 98..
o
π 4)
√ ln | csc(x csc(x −
89.
2t2 +4t +4t 15 + t+2 t2 ln (t+2)10
− tan x + x
1 2
80 80..
82 82..
ln
1 x2 2 4 arcsen x 4 + 1 x2 arcsen x 2x 1
2 ( arccos arccosh h x)3/2 3
102.. 102
√
−√ √
|
|
−
tan x 2tan x+1 tan x+ 2tan x+1
√ 42/ln2tan(√ 2tan x 1) ++ √ 2/2tan(√ 2tan x + 1) 1 2
2
ln x si n = 1
100.. 100
−2
103.. 103
1 + tanh(x/ tanh(x/2) 2)
ln
− x2
x2 +1
x 2(x 2(x2 +1)
− 1/2 arctan arctan x 2 x 7 [8ln |3 − tanh 2 | − 3 ln |1 − tanh xx2 | + 5ln |1 + tanh 2 | − 4/(1 + tanh x2 )]
50
Respuestas
51
