Fase 3 - Diseño y Construccion Diferentes Tecnicas de Integracion

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIAS E INGENIERIA ICBTI CURSO DE CALCULO INTEGRAL .

TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2: FASE 3 - DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LAS DIFERENTES TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

PRESENTADO POR: JOAQUIN MONTEALEGRE RODRIGUEZ CODIGO No. 11.810.716 GRUPO: 100411_58

PRESENTADO A: KATHERINE CAMPOS TORRES TUTORA

QUIBDO, CHOCO  –  MAYO DE 2017.

Ejercicios propuestos Fase 3

 Diseño y construcción

–

Primera parte (punto 1 al 4) Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

1

3.

 0

dx 1 x

2. Solución

∫ √ − =2 Pasos



 √ 11  

Calcular la integral indefinida



 √ 11 

∫ √ − =2√ 1 



 Aplicar integración por sustitución: Sustituir

=1

∫  .′ = ∫ , =

 = 1   =1  Aplicar la regla de la suma/diferencia:   ≠ ′ =  ′ ≠ ′ =  1    1 = 0 

 1  Derivada de una constante:

=0   = 1    

  = 0 

Aplicar la regla de derivación:

=1 =01

  = 1 

Simplificar:

= 1 ⟹=1 ⟹=1 =  √ 1 1 =  √ 1  Sacar la constante:∫  . =  . ∫  =  √ 1  1 = − √  =−   Aplicar la regla de potencia:∫    = + ,≠1 − 1  =   1 1 2

Sustituir en la ecuación:

 − 1 +

=1

=   1 1 2 Simplificar

= 2√ 1  Agregar una constante la solución:

= 2√ 1 +C Calcular límites:

=02 =2

Simplificar:

∫01 √ 11  : ∫01 √ 11  = 0 2

Segunda parte (punto 5 al 8)

Integral Indefinida - Integral Definida Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

7.

dx



25  x

2

2. Solución

1 =arcsin  √25  5 Pasos

1   √1        = √ √  sin

 Aplicar integración por sustitución:

∫  .′ = ∫ , =

5cos  =  2525  Sacar constante: ∫  .  =  . ∫  cos =5.  2525 

 2525 = √ 25   1

cos =5. √ 25 1

Usar la siguiente identidad:

= 5 .  cos √ 25 

1 =

 =(), cos≥ 0

cos  = 5 . cos√  25 Simplificar 

= 5 . ∫   Integral de una constante:

= 5 .   Sustituir en la ecuación

5 . 15 15 

∫ =

=arcsin15 

Simplificar:

=5 =5

 Agregar una constante a la solución

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen otros métodos para resolver integrales como integración por partes, integración por fracciones parciales, también métodos para resolver integrales de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas. Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada 5 x

10.

  x

2

2 4

dx

10. Solución

1  5  4|  51  = ℎ  1|   4 2 2 2 Pasos

 52  4  Aplicar la regla de la suma/diferencia:

=  254   2 14 

  ≠  = ∫  ≠ ∫ 

5  52  =  4 2 1| 4|  54  Sacar constante:

=5.  4 

∫  .  =  . ∫ 

 Aplicar integración por sustitución:

 =  4  = 2 Sustituir  =   4  = 2 

∫ () .′ = ∫ , =

 =  4  Aplicar la regla de la suma/diferencia:  ≠ ′ =  ′ ≠ ′ =    4   = 2      Aplicar la regla de potencia:    =. − = 2− Simplificar

= 2  4 = 0  4  Derivada de una constante:

=0 =20 Simplificar

= 2 ⟹=2 ⟹= 21  =   . 21  =  21   =5. 21 

  = 0 

Sacar constante:

= 5 . 12 . 1 

∫  .  =  . ∫ 

 Aplicar la regla de integración:

= 5. 12 1||

Sustituir en la ecuación:

= 5 . 12 1| 4|

∫  =1||

 =  4

Simplificar

= 52 1| 4| =   14 = 12 ℎ2   14  √  Para   ≠    =   √   Aplicar integración por sustitución:

=2 = Sustituir: =2  = 2   =2  Sacar constante: .′ =. ′ = 2   Aplicar la regla de derivación:

= 2 .1 Simplificar

=2

∫ () .′ = ∫ , =

   = 1

⟹=2 =  211  . 2 =  211  Sacar constante: ∫  .  =  . ∫   = 12  .   11    1 =  1 = 12 . 1 1  Sacar constante: ∫  .  =  . ∫   = 12  11   Aplicar regla de integración: ∫ − + =arctanh = 12  ℎ  Sustituir en la ecuación  =   = 12 arctanh 12  Simplificar

= 12  ℎ2 = 52 1| 4| 12 ℎ2 Simplificar

= 12  ℎ2 52 1| 4|

Agregar una constante a la solución

= 12  ℎ2 52 1| 4|