TD + - Géométrie des masses
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Demi-circonférence y
Soit une demi-circonférence de rayon R, de centre O et de masse linéique NB :
y est
.
vertical ascendant.
Q1. Déterminer la position du centre de gravité G.
O
x
Demi-disque y
Soit un demi-disque de rayon R, de centre O et de masse surfacique NB :
y est
.
vertical ascendant.
O
x
Q1. Déterminer la position du centre de gravité G.
Demi-sphère y
Soit une demi-sphère de rayon R, de centre O et de masse volumique NB :
y est
.
vertical ascendant.
O
x
Q1. Déterminer la position du centre de gravité G.
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TD + - Géométrie des masses
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Barrage poids Un barrage poids en béton, de section droite triangulaire, repose sur le sol et réalise une retenue d’eau de hauteur h. z
eau
h barrage
x
O a
NB : O se situe au milieu du barrage dans le sens de la largeur (suivant
y ).
Q1. Donner la surface S d’une section du barrage. Retrouver ce résultat en intégrant un petit élément de surface : S ds . s
Q2. Déterminer la position du centre de gravité G.
Disque percé On considère un solide homogène d’épaisseur négligeable, de masse surfacique ρ et de masse totale m. Il est schématisé sur la figure ci-contre et comprend : • un disque plein de centre A et de rayon R ; • un disque creux de centre B et de rayon r , excentré par rapport au premier disque d’une distance e.
1. Déterminer la position du centre de masse G de ce solide. A, z ). Pour cela, on dispose de 2. On souhaite ramener le centre de masse de l’ensemble sur l’axe ( deux masses ponctuelles additionnelles P 1 et P 2, de masses respectives m1 et m2 . Déterminer les conditions à poser sur les coordonnées de ces deux points afin d’atteindre l’objectif proposé.
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TD + - Géométrie des masses
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Sphère er
Q1. Retrouver le résultat du 1 exercice (demi-circonférence) par le théorème de Guldin.
Q2. Retrouver le résultat du 2 théorème de Guldin.
ème
exercice (demi-disque) par le
Tore Q1. Déterminer la surface et le volume d'un tore de rayons r et R.
Inertie d'un solide extrudé par rapport à son plan de symétrie Q1. Calculer le moment d’inertie du solide extrudé ci-contre par rapport au plan (G, x , y ) .
y z dz
Surface : S
z G
h/2 h/2 x Page 3 sur 4
TD + - Géométrie des masses
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Inertie d'un cylindre z
R
dr Q1. Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R
r
et de hauteur h par rapport à l'axe (G z ). G
h
x
y
z
R
Q2. Déterminer le moment d'inertie A par rapport à l'axe (G x ).
dz h/2 z G
h/2 x
Q3. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
y
Inertie d'un parallélépipède
z Q1. Déterminer le moment d'inertie A par rapport à l'axe
c
(G x ). En déduire les moments d’inertie B et C.
G
y a
Q2. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
x
b
Inertie d'une sphère z
Q1. Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de ra yon R par rapport à un repère situé en son centre.
R dr G
r
Q2. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
x
y Page 4 sur 4
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Demi-circonférence Q1. y
Par symétrie y G 0
v
R.d
dl
OQ.dl
L.OG
l
L.xG
u
x.dl
d
l
.R.xG R.cos .R.d
dl Q
O
2
x G
x
.R.xG R .sin 2
2.R
Toujours vé rifier que le ré sul tat obtenu est h omogè ne àune longueur .
DEMI-DISQUE Q1. Par symétrie y G 0 S.OG
y v
OQ.ds
ds
dr .r .d
s
2
.R
. xG
2
r .cos r .d
r ,
r 2.dr . cos .d 2 r car les 2 variables r et sont indépendantes 3 R .R 2 r . x G . sin 2 3 2 2 0 .R 2 R 3 . x G .2 .R 2
d
. xG
2
x G
u
ds Q
x
O
3
4.R 3.
Toujours vé rifier que le r é sul tat obtenu est homogè ne àune longueur .
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TD + Corrigé - Géométrie des masses
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DEMI-SPHÈRE Q1. V .OG
OQ.dv
Z
v
u
3
2..R 3
.OG
r .u.r 2 .sin .d.d .dr
r ,,
Q
d
r 3 .dr . cos .z sin .(cos .x sin .y ) .sin .d.d r , 4 R 2..R3 r .OG . cos .sin .z sin2 .(cos .x sin .y ) .d .d 4 3 0 , 2..R 3 .OG 3
2..R3 .OG 3 OG
sin 2 .z 1 cos 2 .(cos .x sin .y ) .d .d . 4 , 2 2
3.R . .(cos .x sin .y ) .d OG 8. 2 OG
OG
donc
3.R . sin .x 16
cos .y 2
O
r
X
Y
R 4
3.R cos 2 sin 2 .d . . z .(cos . x sin . y ) 2 8. 4 4 0 0
d
Attention aux bornes d'intégration : r varie entre 0 et R varie entre 0 et varie
entre
2
et
2
2
3.R .2.x 16 OG
3.R .x 8
Toujours vé rifier que le ré sul tat obtenu est h omogè ne àune longueur .
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TD + Corrigé - Géométrie des masses
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Barrage poids Q1. Surface du triangle S
ah
2
On peut retrouver ce résultat par : S
ds
S
dx.dz
S
dx dz
x, z
s
x
z
S
x 0a . z 0h
S a h
ce
qui
est
complètement
faux
Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.
Pour un x fixé z varie de 0 à
h a
a
Pour un z fixé x varie de 0 à a .z
. x h
h
équation de la droite enveloppe z
h a
.x h
ou
x
a
h
.( z h) a
a h
.z
z
eau dx
h
Q
dz
barrage
O
x
a
Donc : S
dx.dz
S
x,z
S dz .dx 0 0 h a .x h .dx a S z 0 0 a h .x h .dx S a 0
a a.z
S dx .dz 0 0 a h a .z S x h .dz 0 0 h a S a .z .dz h 0 h
a
a
a2
2
ha
h
h
h x 2 h x S a 2 0 S
dx.dz x,z
h. x h a a
h
a z 2 S a z . h 2 0
S
ha 2
S
ah
a h2 . h 2
S
ah 2
Q2. V .OG OQ.dv v
l.
a.h
2
.OG
( x.x y .y z.z ).dx.dy .dz x,y ,z
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TD + Corrigé - Géométrie des masses
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l
2 y 2 a.h l. .OG x.y .x .y z.y .z dx.dz 2 2 l x,z 2
l.
a.h
2
.OG
x.l.x z.l .z .dx.dz x,z
h
. x h
a z .OG x.z.x .z dx 2 2 0 x h ( . x h)2 h a.h .OG x.( .x h).x a .z .dx 2 2 a x 2
a.h
a
h ( . x h)3 3 2 h x a a a.h x h. ).x .OG ( . . .z 2 2 3.h 2 a 3 0 a.h
2
.OG
OG
(
h a
.
a
h
3
3
a3
3
.x .z
h.
a2
2
).x
a (h)3 3.h
.
2
.z
Toujour s vé rifier que le ré sul tat obtenu est homogène àune longueur .
Disque percé
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