TRAVAUX DIRIGES DE VIBRA IB RATIONS TIONS DES SYSTEMES SYSTEMES DISCRETS MS122
2007-2008 Systèmes réducti bles à 1 degré de liberté Exercice 1
On veut vérifier l’effet d’une charge inertielle additionnelle sur la réponse de la suspension d’un petit véhicule. A ce stade, on simplifie le problème en ne considérant qu ‘un bras de suspension, comme représenté sur la figure cidessous. Le corps OA représente le bras de suspension, articulé par un pivot en O et libre en A. En B, on attache l’ensemble ressort-amortisseur, raideur K, amortissement visqueux C (l’amortisseur transmet une force F = - C VB , VB vitesse de B ).
A
B
O l
θ
-F y c
k
OA=L OB=l
Les liaisons sont sont parfaites, le bras de suspension suspension est indéformable et et son moment d’inertie relatif à l’axe z passant par O est noté I O. Les cotes utiles sont indiquées sur le dessin. On ne considère que les petits mouvements représentés par θ autour de la position d’équilibre statique θ = O. 1ère étude. étude. Mouvements Mouvements li bres du bras de suspension (F = O )
1- écrire les équations équations du mouvement mouvement du bras OA, en supposant θ <<1. 2- Exprimer la solution solution générale du du mouvement libre du bras. 3- Déterminer la valeur de C pour qu’on soit soit en régime d’amortissement d’amortissement critique. 4- Ecrire la solution si l’amortissement est est nul. 5- AN : Io= 0,065 MKSA K = 3 . 10 4 MKSA l = 0,4 m . Exprimer les solutions correspondant à ces données, dans les cas d’amortissement critique et sans amortissement. 2ème étude. Mouvement Mouvement avec charge addit ionn elle.
On ajoute une masse ponctuelle M à l’extrémité libre A du bras de suspension (schématisant une roue). 1- écrire les équations du mouvement du bras OA, pour θ <<1. 2- exprimer la solution des mouvements libres quand on choisit un amortissement correspondant à la valeur d’amortissement critique de la 1ère étude. 1
3- écrire la solution si l’amortissement est annulé. 4- AN : en reprenant les valeurs valeurs précédentes augmentées de L = 0,5 m, déterminer les solutions de 2 et 3.
M = 0,5 MKSA, MKSA,
3ème étude. Comparaison.
On se donne les conditions initiales suivantes : t = 0 : θ= 0,1 rad , vitesse nulle Présenter les 4 solutions, dans un tableau de synthèse, des mouvements libres, avec et sans masse additionnelle, avec amortissement critique calculé dans la première étude et sans amortissement, pour les données numériques précédemment définies. Tracer l’allure des réponses dans les 4 cas pendant les 50 premières millisecondes. 4ème étude. Mouvement Mouvement f orcé.
Dire comment on peut exploiter les études précédentes quand le système est excité par une force quelconque F agissant sur la roue en A. Exercice 2
On cherche à déterminer la valeur optimale du coefficient d’amortissement visqueux C du système de fermeture automatique d’une porte battante d’auditorium représentée sur la figure ci-dessous. K, C
θ
L
L
Les dimensions utiles de la porte sont les suivantes : Largeur L = 1.2 m Masse M = 85 kg 1 - Calculer le moment d’inertie I de la porte par rapport à son axe de rotation et montrer qu’il vaut 40.5 kg.m² La charnière (axe de rotation) de la porte est pourvue :
d’une raideur raideur à la torsion K = 22 Nm/rad qui exerce un couple résistif résistif proportionnel à l’angle θ d’ouverture de la porte d’un coefficient coefficient d’amortissement d’amortissement C à déterminer déterminer et qui exerce exerce un couple résistif résistif proportionnel à la vitesse angulaire θ d’ouverture de la porte.
2 – Par application du théorème du moment dynamique, établir l’équation du mouvement de la porte. 3 – Ecrire cette équation sous la forme : θ + 2ξω0θ + ω02θ = 0 . 4 - Exprimer la pulsation propre ω0 et calculer sa valeur. En déduire la valeur de la fréquence propre. 5 - Exprimer le facteur d’amortissement ξ. On souhaite que la porte se referme sans oscillation sous les actions combinées des couples exercés par K et C. 6 – Quelle valeur minimum faut-il donner à ξ ? 7 - Calculer la valeur numérique de C réalisant cette condition. 2
3- écrire la solution si l’amortissement est annulé. 4- AN : en reprenant les valeurs valeurs précédentes augmentées de L = 0,5 m, déterminer les solutions de 2 et 3.
M = 0,5 MKSA, MKSA,
3ème étude. Comparaison.
On se donne les conditions initiales suivantes : t = 0 : θ= 0,1 rad , vitesse nulle Présenter les 4 solutions, dans un tableau de synthèse, des mouvements libres, avec et sans masse additionnelle, avec amortissement critique calculé dans la première étude et sans amortissement, pour les données numériques précédemment définies. Tracer l’allure des réponses dans les 4 cas pendant les 50 premières millisecondes. 4ème étude. Mouvement Mouvement f orcé.
Dire comment on peut exploiter les études précédentes quand le système est excité par une force quelconque F agissant sur la roue en A. Exercice 2
On cherche à déterminer la valeur optimale du coefficient d’amortissement visqueux C du système de fermeture automatique d’une porte battante d’auditorium représentée sur la figure ci-dessous. K, C
θ
L
L
Les dimensions utiles de la porte sont les suivantes : Largeur L = 1.2 m Masse M = 85 kg 1 - Calculer le moment d’inertie I de la porte par rapport à son axe de rotation et montrer qu’il vaut 40.5 kg.m² La charnière (axe de rotation) de la porte est pourvue :
d’une raideur raideur à la torsion K = 22 Nm/rad qui exerce un couple résistif résistif proportionnel à l’angle θ d’ouverture de la porte d’un coefficient coefficient d’amortissement d’amortissement C à déterminer déterminer et qui exerce exerce un couple résistif résistif proportionnel à la vitesse angulaire θ d’ouverture de la porte.
2 – Par application du théorème du moment dynamique, établir l’équation du mouvement de la porte. 3 – Ecrire cette équation sous la forme : θ + 2ξω0θ + ω02θ = 0 . 4 - Exprimer la pulsation propre ω0 et calculer sa valeur. En déduire la valeur de la fréquence propre. 5 - Exprimer le facteur d’amortissement ξ. On souhaite que la porte se referme sans oscillation sous les actions combinées des couples exercés par K et C. 6 – Quelle valeur minimum faut-il donner à ξ ? 7 - Calculer la valeur numérique de C réalisant cette condition. 2
8 - Considérant cette valeur de C, dans quel régime libre le mouvement se situe-t-il ? Rappeler alors l’expression θ(t) du mouvement de la porte.
Θ0= 70°, 9 - En déduire l’expression exacte de θ(t) La position initiale de la porte
sa vitesse initiale est
Ω0 = 0.3 rad/s
10 – A quel instant t 1 la position de la porte atteint-elle θ(t1) = 3° ? On ne demande qu’une valeur approchée. On conserve les valeurs précédentes de K et C, Mais pour assurer une meilleure isolation phonique, la porte est couverte d’un revêtement spécial, réparti uniformément, qui augmente la masse de la porte de 10%. On note ω’0 la nouvelle pulsation propre, et ξ’ le nouveau facteur d’amortissement. 11 – Situer ω’0 par rapport à ω0 et calculer sa valeur. 12 – Situer ξ’ par rapport à ξ et calculer sa valeur. 13 – Quel type de régime libre la nouvelle porte présente-t-elle ? 14 – Rappeler et représenter la forme θ’(t) du mouvement libre de la nouvelle porte. Exercice 3
Une bouée cylindrique de diamètre D = 1.35 m, de masse M = 1250 kg, flotte à la surface de l’eau ( ρ0 = 1026 kg/m 3). Sous l’action des mouvements de la surface, la bouée peut rentrer en oscillations suivant un mouvement vertical. Le rappel élastique de cet oscillateur est fourni par la poussée d’Archimède Π. Soit X la distance entre la partie inférieure de la bouée et la surface moyenne de l’eau. On donne l’accélération de la pesanteur g = 9.81 m/s²
X D
1 - Exprimer la poussée poussée Π(X). 2 – En déduire l’expression de la raideur équivalente k du système. Donner sa valeur numérique. 3 – Exprimer la pulsation propre d’oscillation de la bouée ( ω0). Donner sa valeur numérique ainsi que celle de la fréquence propre f 0c orrespondante. La force résistive de frottement visqueux exercée par l’eau sur la bouée peut être approchée par l’expression Fv = − ρ0.S.C.v où S est la section de la face inférieure de la bouée, C un coefficient de viscosité surfacique et v la vitesse verticale On considère désormais la position relative x = X - X st, où Xst est la position d’équilibre statique de la bouée 4 – Ecrire l’équation sur x du mouvement libre vertical de la bouée. 5 – On donne C = 3.5 m.s -1. En déduire le régime des oscillations libres de la bouée. On note ξ le facteur d’amortissement. 6 – Calculer l’expression et représenter la fonction x(t) pour une vitesse initiale nulle et une position initiale égale à x 0. Exprimer l’amplitude et la phase du mouvement en fonction des conditions initiales et du facteur d’amortissement ξ. 7 – Quelle période de houle fait entrer le système en résonance ? 3
Exerci ce 4 : Acc éléromètre
Pour déterminer les caractéristiques vibratoires d’une structure, on utilise un accéléromètre piézoélectrique à compression (figure 1) Ressort
c
Masse sismique
m
Cristal piezo électrique k
Base
γ (t )
Figure 1
x (t )
Figure 2
La structure présente au point de mesure une accélération γ(t) horizontale. On fixe donc l’accéléromètre rigidement (vissage ou collage) et en position horizontale. Le système structure/accéléromètre peut être alors modélisé par la figure 2, où k et c sont respectivement la raideur équivalente et le coefficient d’amortissement équivalent de l’accéléromètre. Le déplacement de la masse sismique m est noté x(t). 1 – Justifier qu’en se plaçant dans le repère lié à la structure, animée d’un mouvement vibratoire d’accélération γ(t), l’équation du mouvement de la masse sismique m de l’accéléromètre s’écrit. mx + cx + kx = −m γ
ωo2 = k / m la pulsation propre de l’accéléromètre ξ = c / 2 m ωo son facteur d’amortissement 2 – Déduire de 1 l’expression de l’accélération γ(t) de la structure en fonction de x(t), de ses dérivées, et de ξ et ωo. On note
Sous l’effet du déplacement x(t) de la masse sismique, le cristal piézo-électrique délivre une tension électrique proportionnelle u(t) telle que : u(t) = α x(t). On suppose que la structure étudiée est en vibration harmonique avec
γ(t) = Γ(Ω) cos(Ωt) 3 – Donner alors l’expression de la tension mesurée à la sortie de l’accéléromètre. On précisera l’amplitude U(Ω) et la phase Φ(Ω). 4 – La fonction de réponse en fréquence ou sensibilité dynamique de l’accéléromètre est définie par A(Ω) = U(Ω) / Γ(Ω) Exprimer A(Ω). La courbe de la figure 3, fournie par le constructeur de l’accéléromètre, représente en décibels (dB) la fonction A(Ω).
4
15 10
A(Ω) (dB) = 20log10
A( Ω) A(0)
5 0 -5 -10 -15 -20
1
10
100
1000
10000
100000
Frequence (Hz) (Echelle Logarithmique) Figure 3
Sachant que l’accéléromètre est exploitable sur la bande de fréquence où la sensibilité dynamique est constante, donner une valeur approchée de la limite supérieure du domaine d’utilisation de cet accéléromètre On s’intéresse aux caractéristiques de l’accéléromètre au voisinage de la résonance. La figure 4 fait un gros plan de la sensibilité dynamique A(Ω) autour de la fréquence de résonance. 12
A(Ω) (dB)
10 8 6 4 2 0 -2
5000
15000
25000
35000
45000
Fréquence (Hz) (Echelle linéaire) Figure 4
5 – A partir de la figure 4, en utilisant la méthode de la largeur à -3dB, donner des valeurs approchées de la pulsation propre ωo et de l’amortissement ξ.
5
Exercice 5 : Etude dynamique d’une passerelle piétonnière
On cherche à évaluer les caractéristiques vibratoires fondamentales de la passerelle piétonnière de la figure 1 en utilisant un modèle à un degré de liberté (figure 2) L
m
k
Figure 1
c
Figure 2
Dans cette étude, on considère deux étapes. La première intervient à l’origine du projet de construction, en phase de conception. La deuxième qui intervient après la construction, consiste à vérifier expérimentalement les caractéristiques dynamiques de la structure. Etape 1 : Phase de conception préliminaire
Dans cette première phase, on se propose de modéliser la passerelle piétonnière comme un système vibrant à un degré de liberté. Il s’agit premièrement de déterminer des valeurs approchée des masse et r aideur dynamiques (m, k). Pour cela on utilise les caractéristiques des matériaux constitutifs (béton armé) et la géométrie de la passerelle On choisit en outre, pour représenter cette dernière, un modèle de poutre déformable en appui simple à ses deux extrémités (figure 2). A partir des caractéristiques géométriques de la passerelle et des constantes du béton armé, on obtient pour la poutre modèle les données suivantes : - Masse par unité de longueur ρ - Module d’Young E - La longueur L - Le moment quadratique de section droite : I Le point dont on cherche à déterminer le déplacement dynamique x(t) est le centre de la passerelle. 1 – Pour déterminer la masse dynamique m, c'est-à-dire celle qui régit la vibration (à ne pas confondre avec la masse statique M = ρL), on utilise la théorie de la statique des poutres et on évalue une énergie cinétique maximum par l’expression suivante : 17 ρLV 2 70 où V est l’amplitude de la vitesse d’oscillation de la poutre. En déduire la masse dynamique m de la passerelle 2 - Pour déterminer une valeur approchée de la raideur dynamique k, on fait encore appelle à la statique des poutres. On considère le déplacement statique X st du centre de la poutre soumise à son poids dynamique. Il est donné par : Ec
=
17 L4 ρg X st = 35 48EI 6
En déduire l’expression de la raideur k. 3 – Donner ensuite l’expression de la pulsation propre ω0 en fonction du rapport : R
=
4 – Application numérique : On donne R = 2.53
EI . ρL4
et
48 x 35 = 9.94 17
En déduire une valeur approchée de la fréquence propre f 0 de vibration de la passerelle. Etape 2 : Phase de vérification expérimentale :
Après construction de la passerelle, l’ingénieur dynamicien installe un accéléromètre au centre de la passerelle pour en vérifier les caractéristiques dynamiques. Il utilise vérin pneumatique pour placer la structure hors de sa position statique et la relâcher instantanément. L’accéléromètre enregistre le signal suivant. 1 0.8 ) ² s / m ( n o i t a r é l é c c A
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 Tem s s
5 – En terme d’amortissement quel type de structure constitue la passerelle ? 6 – En utilisant le décrément logarithmique entre 0 et 2.5 s, mesurer le coefficient d’amortissement ξ de la structure. (On donne ln(2) = 0.7) 7 – Mesurer ensuite la fréquence propre de la structure. Le calcul étudié à l’étape 1 est-il correct ? 8 - Rappeler pour le cas de cette structure, l’expression du déplacement libre x(t). On note ωd la pseudo pulsation. 9 – En déduire celle de l’accélération γ(t) et donner un ordre de grandeur de l’amplitude maximum du déplacement de la structure pendant l’essai. La passerelle est destinée à subir le passage de piétons dont la marche engendre une excitation d’amplitude P et de fréquence fondamentale F = 2 Hz. (2 pas/s). On note Ω = 2 πF. La masse des piétons est négligée. 10 – Rappeler l’expression de l’amplitude du déplacement forcé induit par cette excitation (on ne considère que la composante fondamentale). Calculer un ordre de grandeur de cette l’amplitude 11 – Comment la prise en compte de la masse des piétons modifierait-elle ces résultats.
7
Excitateur Dynamique
Pour étudier les caractéristiques dynamiques d’une structure, on utilise excitateur constitué d’un moteur électrique dont l’axe porte un disque percé d’un trou à une distance r de son axe de rotation (figure 1).
Moteur
r
x
θ Support rigide Structure (M, k, c)
Structure (M, k, c)
La structure a une masse M très supérieure à la masse de l’excitateur. Ses caractéristiques élastiques sont notées k pour la raideur et c pour l’amortissement visqueux. On note m’ la petite masse ôtée du disque. L’ensemble est fixé à la structure par un support rigide de sorte que la force d’inertie verticale induite par la rotation du disque est intégralement transmise à la structure On note : x(t) la position verticale de l’axe du moteur, x’(t) la coordonnée verticale du trou,
θ
l'angle entre le rayon passant par le trou et la verticale,
Ω α
la vitesse de rotation du moteur, l’accélération de rotation du moteur,
Ω = θ , α = θ .
1. Calculer la composante verticale de l’accélération au niveau du trou x '(t) . 2. Le trou devant être considéré comme un retrait de masse, en déduire la force d’inertie verticale F(t) subie par la structure : 3. Montrer que l’équation différentielle du mouvement système moteur-structure s’écrit finalement : (M − m')x + cx + kx = −m'r( Ω2 cos Ωt + α sin Ωt) 4. Quelle est la pulsation propre ωο de l’ensemble excitateur-structure ? Peut-on dire que l’on étudie bien les propriétés de la structure ? Pourquoi ? Dans la suite on considère le régime stationnaire c'est-à-dire lorsque le moteur a atteint une vitesse de rotation Ω constante (et donc α = 0). 5. Simplifier l’équation du mouvement et la mettre sous la forme : Identifier ξ et A o
x + 2ξωo x + ωo 2 x
= A o Ω2 cos Ωt .
6. Calculer l’expression de l’amplitude X(Ω) du déplacement de la structure en fonction de la fréquence. 7. Vers quelle valeur tend X(Ω) lorsque Ω >> ωo. Les courbes jointes représentent X(Ω/2π), mesuré lorsque r = 5 cm et m’ = 10 g. (Noter que les échelles sont différentes sur les deux graphes)
8. Déduire de 7 que la structure a une masse M = 500 kg. 9. Mesurer une valeur approchée de ωoe t en déduire celle de k. 8
10. Mesurer l’amortissement ξe t en déduire la valeur de c.
Remarque : les questions 1 à 3 ne sont pas nécessaires à la suite du problème. On utilise le résultat de la question 3 pour les suivantes. Les questions 9 et 10 peuvent être traitées indépendamment des précédentes
9
Etude vibratoire d’un ascenseur
Un ascenseur est constitué d’une cabine de masse M suspendue à un treuil par l’intermédiaire d’un câble. La raideur k du câble dépend de sa longueur variable L. On donne M = 1000 kg Pour le câble, la section droite est S = 3.14 cm 2, la masse est négligeable et le module d’Young est E = 1,03 x 1011 Pa. On donne ES/M = 180² SI
L
Evaluation d es caractéristiques pr opres du système
1. Si l’on suppose une répartition uniforme de la contrainte dans la section droite du câble, montrer que l’allongement du câble sous le seul effet du poids de la cabine s’écrit MgL ∆L st = ES 2. En déduire la raideur k du câble en fonction de L
x
M
3. Exprimer la fréquence propre ω0 du système en fonction de L. Dans un immeuble de 10 étages, la longueur du câble varie de 36 m à 1 m 4. Donner les valeurs numériques de l’intervalle critique des vitesses de rotation du treuil. 5. Comment cet intervalle est-il modifié par la présence de passagers ? Evaluation des efforts sur le câble
A chaque démarrage ou arrêt du treuil, une vibration libre verticale de la cabine apparaît. On souhaite étudier cette vibration pour connaître l’effort subi par le câble.On considère un arrêt alors que la cabine se déplace à la vitesse constante v 0. Le câble a la longueur L. 6. Si on néglige l’amortissement, rappeler l’expression générale de x(t) le déplacement vibratoire de la cabine. 7. Préciser son amplitude X en fonction de v0. 8. En déduire la contrainte dynamique maximum σmax subie par le câble en fonction de son allongement relatif maximum X/L. Cas d’o scillations forcées
On envisage une perturbation sismique qui transmettrait à la cabine, par l’intermédiaire du câble, une force harmonique verticale de fréquence angulaire Ω. 9. Si on considère un amortissement faible de la structure du câble, rappeler l’expression x p(t) du mouvement permanent de la cabine. 10. Décrire et commenter en fonction de Ωl ’amplitude de ce mouvement permanent. Les 3 parties sont indépendantes et certaines questions peuvent être traitées indépendamment du reste.
10
Systèmes réducti bles à 2 ou 3 degrés de libert é Exerci ce 1 – Oscil lation s for cées du sys tème à 2ddl asymétriq ue F2
F1 c2
c1
M 2
M 1
k 2
k 1
x
Les déplacements sont comptés à partir de la position d’équilibre statique 1 - Etablir les équations du mouvement des masses M1 et M2 2 - Donner la solution dans le cas d'une excitation harmonique telle que : F1 = f .sinωt
et
F2 = 0.
Exercice 2 - Oscillations forcées d'un système pendulaire mobile K
2L
F(t)
y
Exercice 3 – Roue à rayons
Ω c1
1 - En utilisant les équations de Lagrange, établir les équations du mouvement du modèle de système pendulaire ci-contre. 2 – Linéariser ces équations et donner leur solution dans le cas d'une excitation harmonique.
M x
k 1 k 2
Une roue à 4 rayons équipée de son moyeu est modélisée par le système ci-contre. Celui-ci est constitué d’une couronne de moment d’inertie I par rapport à son centre, à l’intérieur de laquelle est attachée une masse ponctuelle M par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k 1 et d’un amortissement visqueux de coefficient C 1 dans la direction Ox et d’un ressort de raideur k2 dans la direction Oy. La couronne est animée d’une vitesse de rotation constante. Les coordonnées généralisées sont les coordonnées x et y de la masse M dans le repère tournant lié à la couronne.
1 - Calculer l’énergie cinétique de l’ensemble (masse + couronne) et décomposer cette énergie en énergie cinétique relative T2, énergie cinétique mutuelle T1 et énergie cinétique d’entraînement T0. 2 - Calculer l’énergie potentielle et la fonction de dissipation. 3 - Ecrire les équations de Lagrange.
11
Exerci ce 4 - Coupl age gyro scop iqu e.
Le système est constitué de deux armatures S 1 et S2 et d’un gyroscope S. Le solide S 2 peut tourner librement autour de l’axe Oz1 du repère Ox1y1z1 lié au bâti. Le solide S1 est articulé autour de S 2 et peut tourner librement autour de l’axe Oy lié à S 2. Le gyroscope S peut tourner à une vitesse constante Ω autour de son axe Ox solidaire de S1 et orthogonal à Oy. Les deux armatures et le gyroscope ont le même centre d’inertie O. La position du système est repérée par les angles :
z1 z
θ
y
(S)
φ y1
Ω
(S 1 )
Φ = (y1, y) et Θ = (z 1, z).
(S 2)
On note J et C les moments d’inertie respectifs de S par rapport à son axe de révolution et à un axe perpendiculaire, C1 et A 1 les moments d’inertie respectifs de S 1 par rapport à Oz et aux deux axes perpendiculaires Ox et Oy, C2 le moment d’inertie de S 2 par rapport à Oz 1.
x
x1
On note enfin K1 la raideur à la torsion de la liaison S 1/S2 et K 2 la raideur de la liaison S 2/Bâti.1. 1 - Calculer les énergies cinétique et potentielle de l’ensemble (S1+S2+S) 2 - En utilisant les équations de Lagrange, écrire les équations différentielles du mouvement. 3 - Linéariser ces équations et mettre en évidence les deux matrices symétriques et la matrice antisymétrique dite de couplage gyroscopique. On pose : ωi =
Ki Ii
ξ=
G I1I2
x =
ξ ω1 ω2
β=
ω1 -ω2 ω1 ω2
y =
ω ω1 ω2
2 − 1) y ( 4 - Montrer que les fréquences propres du système vérifient l’équation : x 2 = y2
2
− β2
5 - En déduire l’effet du couplage gyroscopique sur le système. Exerci ce 5 – Prin cipe de l’absor beur dynami que passif p ar masse accor dée
On considère un portique simple constitué d’un solide indéformable de masse m 1 et de deux lames identiques, de masse négligeable devant m 1. Tous les encastrements sont supposés parfaits et les sollicitations extérieures sont représentées par un effort e1(t) dirigé suivant l’axe x. Dans ces conditions et pour la bande de fréquence étudiée, le système se comporte comme un système à un degré de liberté schématisé sur la figure ci-contre (x1(t) déplacement de m1). Les caractéristiques du portique sont les suivantes :
m1 L, b, h
x
c1
e 1 (t )
m 1
k1
x 1 (t )
Matériau : Acier :
x
Masse volumique ρ = 7840 kg/m 3 Module d'Young E = 2. 1011 Pa 12
Dimensions : Mobile m1 : 50.8 x 50.4 x 135 mm 3 Lames : Longueur L = 150.4 mm Largeur b = 50.4 mm Epaisseur h = 4.5 mm A – Etude théor iq ue
Lorsqu’une force statique F est appliquée à la masse m 1, le déplacement d résultant est donné par la relation suivante :
d
Fx
FL3 bh3 d= avec I = . 24EI 12 0 - En déduire la raideur k 1 du portique
x
1 Etude du portiq ue seul
1.1 Quelle est la fréquence propre f 1 du système ? Calculer sa valeur numérique en Hertz. 1.2 Expliciter la fonction de réponse en fréquence H(Ω) (déplacement/effort) en fonction de la pulsation propre ω1 et de la masse m 1 . Tracer l’allure du graphe du module de H( Ω). 2 - Etude du portique muni d’un absorbeur dynamique Dans toute cette partie, l’amortissement sera négligé ( C1 = 0). m 2
k2
m 1
k2 k1
m 2
m 1
k1
x
x 1 (t)
x
x 2 (t)
Afin de limiter les déplacements de m 1 à la résonance, on rajoute un absorbeur dynamique que l’on modélisera par un système masse-ressort (m 2,k2). 2.1 Ecrire les équations du mouvement. 2.2 Déterminer l’équation g(Ω2) = 0 dont les solutions sont les carrés des deux pulsations propres Ω1 et Ω2 ( Ω1 < Ω2) du système. Expliciter g( Ω2) en fonction de m1, m 2, α = m 1/m2 et de ω1 et ω2, pulsations propres respectives des systèmes (m 1, k1) et (m2,k2) seuls. On suppose ω1 < ω2 Tracer l’allure de la courbe g( ω2). En considérant les signes de g( ω12) et g(ω22), en déduire que :
Ω1 < ω1 < ω2 < Ω2. 2.3 Expliciter les fonctions de réponse en fréquence (déplacement/effort) H 11(ω) et H21(ω). Calculer la valeur ωa de ω qui annule H 11(ω). f a =
a/2
est la fréquence d’anti -résonance du système.
Tracer l’allure des modules de H 11(ω) et H21(ω) 2.4 Quelle relation doivent vérifier ω1 et ω2 pour que l’absorbeur dynamique donne un déplacement de la masse m1 nul pour la fréquence f = f 1 = ω1/2π ? La valeur de k2 étant fixée, quelle valeur donner à m 2 pour obtenir le même résultat ? 13
2.5 L’absorbeur est dimensionné de façon à ce que les relations du 2.4 soient vérifiées. Expliciter alors Ω1 et Ω2. Sachant que k 2 = 150000 N/m, calculer numériquement les deux fréquences propres F1 = Ω1/2π et F 2 = Ω2/2π . B – Etude expérimentale Dans toute cette partie, l’amortissement est pris en compte. 1 - Etude du port iqu e seul
1.1 - On reprend le calcul du A-1.
-50 -60
H(f1 ) 1 Montrer que = . H(0) 2ξ
dB
20 log10(|H(f)|)
-70 -80 -90
En supposant ξ suffisamment petit devant 1 pour que l’on puisse confondre la fréquence de résonance et la fréquence propre f 1, déduire du diagramme de Bode de H(f) (N dB = 20 log 10⎮H(f)⎮) obtenu expérimentalement , les valeurs effectives de f 1 et ξ.
-100 -110 -120 -130 -140
25
50
Hz 75 100 125 150 175 200 225 250
Diagramme de Bode de H(f)
2 - Etude du po rtique muni d’un absorbeur dynamique
L’absorbeur utilisé expérimentalement n’a pas exactement les caractéristiques définies dans la partie analytique. On mesure le diagramme de Bode en amplitude et en phase de H 11(f). Déterminer les deux fréquences de résonance et la fréquence d’antirésonance. Déterminer le niveau N en dB de ⎮H11⎮à l’antirésonance. En déduire le rapport du déplacement de m 1 sans absorbeur à celui avec absorbeur lorsque l’excitation est harmonique de fréquence f 1. Conclure quant à l’efficacité de l’absorbeur. Conclure sur la validité de la modélisation simplifiée de la Fig. I I-4. Exercice 6 - Modèle d’1 bâtiment à 2 étages
Une structure plane à deux étages est représentée sur la figure 1. Elle modélise un bâtiment réel dont seul le comportement dans le plan de la figure 1 est analysé. Il peut s’agir par exemple d’étudier la réponse du bâtiment à un séisme. B1
B2
d
y
A1
A2
O1
O2
Fx
x
x
Figure 1
Les éléments A1 A2 et B 1B2 sont des planchers indéformables, de masse M, les éléments O 1 A1, O2 A2, A1B1, A2B2 sont des poteaux élastiques, de longueur l, de section circulaire constante caractérisée par un moment quadratique I, et élaborés dans un matériau de module d’Young E, dont on néglige la masse devant celle des planchers. 14
Les conditions aux limites sont supposées correspondre à des encastrements parfaits en O 1, A 1, B 1, O2, A2, B2. Dans ces conditions, le déplacement d du plancher A 1 A2 sous l’effet d’une force F appliquée en A1 est décrit par : Fl3 d= 24EI 1.1 - En supposant qu’on ne s’intéresse qu’aux vibrations libres de ce « bâtiment » associées à la flexion des poteaux dans le plan (x,y), expliquer comment on peut schématiser, en négligeant tout effet de la pesanteur, le comportement vibratoire de cette structure par un système de deux masses reliées par deux ressorts linéaires de raideur constante. 1.2 - Préciser la valeur des masses en fonction de M, la raideur des ressorts en relation avec l, E, I et les conditions aux limites de ce modèle. 1.3 - Faire un schéma. 2 - On considère un système masses–ressorts (m, k) tel que représenté figure 2. Aucune pesanteur n’agit, les ressorts ont une masse négligeable et on observe les petits mouvements du système écarté de sa position d’équilibre stable et relâché. On note x 1 et x 2 les déplacements des masses relativement à cette position statique selon la seule direction x.
m
k
m
k
x
Figure 2
2.1 - Ecrire les équations du mouvement libre des deux masses ; 2.2 - Calculer les pulsations de chacun des deux modes propres. Les exprimer en fonction de ω0 = k / m ; 2.3 - Calculer les modes propres ; 2.4 - Représenter par un schéma des conditions initiales correspondant à l’excitation du seul mode propre à la plus basse fréquence. 3 - Ap pl ic ati on au b âti men t : On se donne les valeurs suivantes : M = 893 kg l = 2,8 m I = 36.10-6 m 4 E = 2.1011 MKSA Calculer la raideur k utilisée en 2 ; calculer les fréquences des deux modes propres. Les comparer à la fréquence propre d’un bâtiment similaire qui n’aurait qu’un seul étage. Commenter.
15
7 - Etude d’un e poutre sus pendue
a A
B
P
y G
θ k
k O
x
Certains systèmes complexes peuvent être modélisé simplement par la figure ci-contre. Le modèle est constitué d’une poutre droite rigide suspendue élastiquement par ses extrémités (exemples : le châssis d’une voiture, un plancher, un élément de construction, tablier de pont). La poutre de longueur 2L homogène de masse M, présente un moment d'inertie Iz par rapport à l’axe z.
Elle est suspendue en ses extrémités A et B à un bâti fixe par des supports élastiques identiques, de masse négligeable et de raideur k. Une masse m, considérée comme ponctuelle, est fixée sur le plateau à une distance a du centre d’inertie. 1 - Oscillations libres.
La masse m est repérée par GP = a; on suppose les déplacements verticaux de faible amplitude et les déplacements horizontaux négligeables. 1.1 - Calculer l'énergie potentielle du système en fonction de y G et θ, respectivement déplacement vertical du centre d'inertie et rotation de la tige autour de l'axe z. En déduire la position d'équilibre statique. 1.2 - On note yG et θ' les écarts par rapport à cette position d'équilibre statique. Calculer les énergies cinétique et potentielle du système (tige AB + masse m) en fonction des variables yG' et θ'. En déduire les matrices d’inertie et de raideur. 1.3 - Dans le cas où la masse m est au centre de la poutre, préciser les fréquences propres, les modes propres et la configuration du système hors équilibre. 2 - Excitati on harmon ique.
On impose en P une force sinusoïdale : F = F0 sin(ωF t)y 2.1 - Ecrire les équations du mouvement. 2.2 - Quand la masse est au centre du plateau, calculer les déplacements des extrémités A et B. 8 - Etude d’un e plate forme sus pendue
Une plaque rectangulaire ABCD de cotés 2a et 2b, de masse M repose sur le sol par l'intermédiaire de 4 ressorts identiques de raideur k. On appelle Oxyz le repère lié à la plaque lorsque les ressorts ne sont pas déformés. Sous l'action de la pesanteur, la plaque prend une position d'équilibre statique qui conduit à une compression identique des 4 ressorts. On note I et J les moments d'inertie de la plaque par rapport aux axes Gx et Gy où G est le centre d'inertie de la plaque. On se propose d'étudier les petits mouvements autour de cette position d'équilibre.
y
z
y Position ressorts non déformés
O
x
C Position d'équilibre
2b
B G
x
D A 2a
16
Les mouvements sont repérés par trois paramètres :
• le pompage z (déplacement vertical du centre d'inertie de la plaque), • le tangage θ et • le roulis ϕ
Q : Q = ϕx + θy .
et composent la rotation de la plaque :
On suppose que les mouvements de translation suivant x et y ainsi que les rotations d'axe Oz sont bloqués par la nature de la suspension. 1 - Déterminer (z0 , ϕ0 , θ0 ) la position d'équilibre statique du système. 2 - Exprimer les déplacements verticaux des sommets de la plaque. En déduire l'énergie potentielle du système plaque/ressorts pour une position quelconque ( z, ϕ, θ) . Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme : U = cz + dz 2 + eϕ2 + fθ2 . Retrouver à partir de cette expression la position d'équilibre statique. 3 - On introduit les écarts par rapport à la position d'équilibre statique : z' = z − z0 ,
ϕ ' = ϕ − ϕ0
,
θ ' = θ − θ0
.
Montrer que l'énergie potentielle peut s'écrire sous la forme : U = U0 + dz'2 + eϕ '2 + fθ '2 . Montrer qu'il s'agit en fait une propriété générale des systèmes pesants suspendus élastiquement et non d'une conséquence de la géométrie particulière de la suspension. 4 - Déterminer les matrices de raideur et d'inertie. Montrer que les mouvements de pompage, roulis et tangage sont les modes propres du système. Déterminer les pulsations propres associées. 5 - On place en A et B une surcharge m. Déterminer la nouvelle position d'équilibre statique. Est-ce que l'énergie potentielle exprimée en termes d'écarts a changé ? Que peut-on dire des nouveaux modes propres du système ainsi perturbé ? Que se passe-t-il si l'on place les deux masses en B et C ou une seule masse en A ? 6 - Expliciter les fréquences propres dans le cas où les deux masses sont en A et C. 7 - Outre les deux masses placées en A et C, on exerce en A une force de la forme :
F
= F0 c o s ωt
z.
Calculer la puissance fournie au système et en déduire les efforts généralisés associés aux variables z', ϕ' et θ' . Ecrire la solution d'oscillations forcées correspondante.
17
Excitation périodique
Exerci ce 1 :
Une structure à un degré de liberté (k,c,m) est excitée par un chargement périodique f(t) à partir de sa position au repos. I. Analyse de l’excitati on
La fonction périodique, de période T est définie de la façon suivante : 2πt T pour 0 ≤ t ≤ f(t) = 0 pour T 2 1. Donner sa représentation en fonction du temps. 2. Représenter f(t) en séries de Fourier sous la forme : f(t) = f0 sin
f(t) = a0 +
∞
∑ n=1
an cos
2πnt + T
∞
∑b n =1
n
sin
T ≤ t≤ T 2
2πnt T
Calculer an et b n pour tout n>0 et expliciter les termes de la série jusqu’à n=7 ; (on pourra poser 2π Ω = ). Tracer pour Ω = 1 rad/s et f 0 = π l’expression de f(t) en série de Fourier jusqu’à n=3, n=5, T n=7. II. La str uct ure est non amor tie.
(On pose Ω =
2π 3 3 k ). = ω0 = T 4 4 m
Déterminer la réponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de l’excitation en régime établi. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) représentée par Fourier jusqu’à n=1, n=3, et n=5. III. La str uct ure est amort ie.
2m ω ). Déterminer la réponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de 3 0 l’excitation en régime établi. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) représentée par Fourier jusqu’à n=1, n=3, et n=5. (On pose c =
Exercice 2 : Vibrations périodiques d’un m oteur monocyl indre
On considère le moteur monocylindre représenté sur la figure 1. Lorsqu’un tel moteur est mal équilibré, son fonctionnement engendre une force périodique qui provoque la vibration du bloc moteur. Pour l’étude de ces vibrations forcées, il faut connaître la nature exacte de la force perturbatrice ; en particulier, il est important de connaître sa période relativement à la période naturelle du système. Partie 1 : Etude des forces excitatrices Dans l’analyse de la force perturbatrice, on peut avec une précision suffisante représenter la bielle par deux masses élémentaires, l’une (M 1) située au niveau du vilebrequin, l’autre (M 2) au niveau du piston. Toutes les autres masses non équilibrées et en mouvement peuvent aisément être réduites à ces deux mêmes points, seuls finalement à être pris en considération.
18
Dans ce modèle à un degré de liberté, la composante horizontale des forces perturbatrices est négligée. Donc seule intervient leur composante verticale. On note : l : la longueur de la bielle,
Piston
Bielle
α l’angle de la bielle avec la verticale r : le rayon du vilebrequin
Ω : la vitesse angulaire du vilebrequin Pivot
1 - Soit F1 la force d’inertie liée au mouvement de la masse M 1, justifier qu’elle vaut F1 = −M1 Ω2 r cos Ωt Soit u(t) la position de la masse M 2 mesurée par rapport à la position du piston au point mort haut (position la plus haute du piston). 2 – Exprimer u en fonction de α, r, l et Ω. 3 – Exprimer par ailleurs α en fonction de Ωt (Relation holonome). 4 - Par un développement limité au 1 er ordre de cos α, en déduire finalement que u(t) s’écrit :
Ax e vi leb req ui n
Bloc moteur
Figure 1
r 2 2 u(t) = r ( 1− cos Ωt ) + sin Ωt 2l 5 – Montrer alors que la force d’inertie verticale due à la masse M2 s’écrit : r ⎛ ⎞ F2 = −M2 Ω2 r ⎜ cos Ωt + cos2Ωt ⎟ l ⎝ ⎠ 6 – Ecrire la force d’inertie globale (F 1+ F2) subie par le bloc moteur comme la somme de deux termes de fréquences différentes. Partie 2 : Etude de la vibration permanente On note M la masse totale du moteur, k la raideur de ses supports élastiques (" silent blocks "). L’amortissement est négligé. 7 – Exprimer la fréquence naturelle de vibration ω0 du moteur. 8 - En utilisant le résultat de la partie 1 en déduire l’expression de deux vitesses critiques de rotation du moteur (Ω1, Ω2). 9 – Ecrire l’équation différentielle du mouvement vibratoire du bloc moteur lorsque le vilebrequin est animé de la vitesse angulaire Ω. On notera x la position du bloc par rapport à sa position à l’arrêt. 10 – Donner sans démonstration l’expression de la vibration permanente du bloc moteur. Elle est composée de deux termes correspondants à ceux obtenus à la question 6. Application numérique : On donne : M = 20 kg, M1 = 0.2 kg, M 2 = 0.7 kg
Ω = 5000 tours/min 19
r = 5 cm, l = 15 cm 11 – Calculer la raideur k des supports pour que Ω soit égale à 5 fois la fréquence naturelle ω0. 12 - Quelle est alors l’amplitude maximum du mouvement vibratoire du bloc moteur. Excitation s Quelconq ues –Transfo rmée de Laplace Exerci ce 1 :
1.1 - Rappeler l'équation du mouvement d'un système à 1 ddl amorti, soumis à une force F(t) quelconque. 1.2 - Écrire la transformée de Laplace de cette équation. Une machine de 200 kg est installée sur une surface élastique de raideur équivalente k = 2 ×105 N/m, sans amortissement. Au cours de son fonctionnement, la machine est soumise à une force constante de 2000 N pendant 3 s. 1.3 - Écrire l'équation du mouvement de la machine et sa transformée de Laplace 1.4 - Exprimer la force F(t) en utilisant l'échelon de Heavyside et calculer sa transformée de Laplace. 1.5 - En déduire x(s), transformée de Laplace de la position de la machine. 1.6 - Décomposer x(s) en fractions simples. 1.7 - En déduire x(t). 1.8 - A quoi se réduit cette expression après l'excitation (t > 3s). 1.9 - A quelle condition le régime permanent résultant de la force F est-il éliminé ? 1.10 - Décrire le mouvement et donner son amplitude maximum. Exerci ce 2 :
De nombreux systèmes et structures mécaniques sont sujets à des excitations par l'intermédiaire de leur support. On modélise une suspension de voiture par un système à 1ddl sous-amorti (m, k, c) L'excitation est fournie par le passage d'une butte et résulte en une impulsion rectangulaire de vitesse de durée t0. 2.1 - Écrire l'équation du mouvement vertical de la voiture résultant de cette excitation. 2.2 – En utilisant les propriétés de la TL, en déduire le mouvement vertical du châssis. Exercice 3 (Juin 200)
L'objectif du problème est une modélisation simple de la réponse d'une automobile au franchissement d'un ralentisseur. Cette réponse est étudiée du point de vue du passager, c'est à dire dans un repère lié au véhicule. L'automobile est modélisée par une poutre homogène de masse M et de longueur 2 L , supportée à ses deux extrémités par des suspensions identiques caractérisées par une raideur k et un amortissement c . Les roues et les pneumatiques sont supposés indéformables et de masse négligeable en sorte que les variations de la route sont intégralement transmises aux suspensions. Ce modèle induit deux degrés de liberté. On choisit comme coordonnées généralisées le déplacement vertical z du centre d'inertie G de la poutre et la rotation de la poutre autour de G, comptés à partir de la position d'équilibre statique. Dans un souci de simplification, on considère, dans un premier temps, une route plane. 20
1 – Déterminer les matrices d'inertie, de raideur et de dissipation du système. 2 – En déduire les pulsations propres ωz et ωθ
z
B
A
v
θ
G
zr
2L
h 0
AN : M = 1500 kg, k = 2 × 104 N/m. 3 – Déterminer et représenter les modes propres associés.
x
k
c
4 – Discuter ces résultats en expliquant l'influence de l'amortissement.On prend c = 2000 kg/s. On considère maintenant que les variations de la hauteur zr (t) de la route se traduisent par les efforts F A(t) et FB(t) transmis au châssis par l'intermédiaire des suspensions respectivement en A et B. 5 – Montrer que le vecteur des efforts généralisés s'écrit :
⎛ Qz ⎞ ⎛ α z (FA + FB ) ⎞ ⎜Q ⎟ = ⎜ α F − F ⎟ ⎝ θ ⎠ ⎝ θ ( A B ) ⎠ Préciser les coefficients αz et αθ 6 – Écrire les équations du mouvement et les mettre sous la forme : qi + 2ξiωiq i + ωi2qi = βiQi Préciser les expressions de ξz, ξθ, βz, et β θ en fonction des paramètres du système. On suppose que les efforts F A(t) et FB(t) transmis au châssis sont directement proportionnels à la hauteur zr (t) de la route, c'est à dire qu'on pose : F(t) = γzr (t). Le ralentisseur de hauteur h franchi par l'automobile est modélisé par une distribution de Dirac de hauteur h : zr (x) = h × δ(x) On prend comme origine des temps l'instant où la première roue rencontre le ralentisseur. On note t 0 = 2L/v. On suppose toutes les conditions initiales nulles 7 – Exprimer les fonctions d'excitation des deux extrémités du châssis F A(t) et FB(t). 8 – En déduire les efforts généralisés résultants : Q z(t) et Qθ(t) et représenter leur allure. Calculer leur transformée de Laplace : Q z(s) et Qθ(s) 9 – A partir des équation établies 6), expliciter les transformées de Laplace z(s) et θ(s) des fonctions z(t) et θ(t) qui décrivent le mouvement du châssis sous l'effet du franchissement du ralentisseur. 10 – Calculer les fonctions z(t) et θ(t) et comparer leur allure. Discuter en fonction de v. Formulaire :
Les racines de s 2 + 2ξωs + ω2 = 0 où
1 ( s − s1 )( s − s 2 )
=
sont : s 1 = - ξ + i ωd
s 2 = - ξ - i ωd
ωd = ω 1 − ξ2
⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ − 2iωd ⎝ s − s1 s − s 2 ⎠⎟ 1
δ( t − a ) ↔
et
Transformées de Laplace :
e at
↔
f ( t − a ) u( t − a ) ↔
e − as 1 s−a e
− as
f ( s)
21
Analy se Modal e d'un système à 3 degrés de liberté
1 - Déterminer les pulsations et modes propres du système à 3 ddl de la f igure suivante. x1 k
x2 2k
x3 k
m
m
2k
m/ 2
2 - Montrer l'orthogonalité des modes propres. 3 - Normaliser les modes propres par rapport à la matrice d'inertie. 4 - Décomposer le vecteur y = [1 4 -2] sur la base des modes propres normalisés. Le troisième bloc du système est soumis à la force f(t) représentée ci-dessous. On prend m = 10 kg et k = 1000 N/m f(t) 4000
1. 2
t(s)
5 - Ecrire la matrice modale et les équations découplées du mouvement en fonction des coordonnées principales. 6 - En utilisant la transformée de Laplace ou l'intégrale de convolution, résoudre ces équations pour obtenir les expressions des coordonnées principales en fonction du temps 7 - En déduire les expressions des coordonnées généralisées en fonction du temps. 8 - On rajoute un amortissement proportionnel tel que C = (c/k) M. Déterminer les nouvelles équations découplées en coordonnées principales. Calculer les coordonnées généralisées en fonction du temps.
22
Annales An nal e : Décembr e 2002 O
Question préliminaire
y
Pour le pendule simple (P), OA, de la figure 1, dans le référentiel galiléen plan orthonormé direct (o, x, y), de masse m, de longueur l, placé dans le champ de la pesanteur d’accélération g = gx , (g>0), avec liaison parfaite en O, montrer que le potentiel de la pesanteur V peut s’écrire, lorsque | θ(t)| << 1, V(θ) = m g l
θ
g l
θ x
2
2
Figure 1
NB : On utilise le développement limité de cosinus : cos θ = 1 −
θ
2
2
A
+ ε(θ)
Problème
On étudie les petits mouvements autour de la position d’équilibre stable du système (S) de la figure 2 : trois pendules simples (P) couplés par deux ressorts de type R’ et reliés à un bâti fixe par deux ressorts de type R∗. O1
Figure 2
O2
O3
y
g B1
B2 R’
θ1
x
R’
θ2
A1
R
B3
θ3
A2
OiAi = l
A3
R
OiBi = l/2
Les paramètres sont θi = ( x , Oi Ai ) 1 ≤ i ≤ 3 et on désignera par Θ le vecteur colonne tel que
T
Θ = ( θ1,
θ2, θ3)
1 – En présence de la seule pesanteur, ( g = gx ), montrer que les forces extérieures à S dérivent du potentiel : mgl ⎡ 2 θ1 + θ2 2 + θ32 ⎤⎦ ⎣ 2 2 – Montrer que l’énergie potentielle des quatre ressorts R est W(θ1, θ2 , θ3 ) =
⎤ k 2 ⎡ 2 ( θ2 − θ1 ) ( θ3 − θ2 ) 2 E(θ1, θ2, θ3 ) = l ⎢ θ1 + + + θ3 ⎥ 2 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ 2
2
3 – Calculer l’énergie cinétique T du système (S) sous la forme :
∗
Caractéristique des ressorts de type R : de raideur k, sans masse, de longueur naturelle l0 Caractéristique des ressorts de type R’ : de raideur 2k, sans masse, de longueur naturelle l0
23
2T = m l2 ⎡⎣θ 1 2 + θ 2 2 + θ 3 2 ⎤⎦ 4 – Ecrire les équations de Lagrange du système (S) sous la forme : + K Θ = 0 MΘ
(1)
en identifiant la matrice de raideur K, lorsque la matrice des masses M s’écrit : M = m l2 13 5 – On pose ω2 ≡
où
⎛ 1 0 0⎞ 13 = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
k g , ω > 0 et α ≡ 2 . écrire le système différentiel (1) sous la forme : m lω + ω2 X Θ = 0 Θ
(2)
où X est une matrice à identifier. 6 - On cherche les solutions de (2) sous la forme : Θ = eiΩt X avec
T
X = [ X1, X 2, X 3 ] ; X i ∈ , 1 ≤ i ≤ 3 ;
et on pose : Ω = ωs Montrer que l’équation aux pulsations propres de (2) admet la solution s2 = T
3 + α , et qu’alors 2
X = [1, 0, − 1] e st une colonne propre possible.
7 – Dans la suite on prend α = 0. Montrer qu’alors deux autres valeurs de s sont s 2 = 2 et s 2 = 1/2. Quels sont les colonnes propres possibles associées ? 8 – On désigne par L la matrice orthogonale : 1 ⎛ 12 3 ⎜ L = ⎜ 0 − 13 ⎜ 1 ⎜ − 2 13 ⎝
⎞ ⎟ 2 3 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 6 ⎠ 1 6
Représenter schématiquement les modes propres du système (S). De quelles équations différentielles découplées sont solutions les Q i(t) (1 ≤ i ≤ 3) définis par le changement de variables :
Θ = LQ
(3)
T
Q = [Q1, Q2 , Q3 ]
9 – Aux forces extérieures de pesanteur, on ajoute les forces extérieures à (S) définies par les forces d’excitation :
F1( t ) y appliquée en A 1, F2( t ) y appliquée en A 2, F3( t ) y appliquée en A 3 . 24
Ecrire les équations du système (S) sous la forme : + ω2 X Θ = Φ(t) Θ
(4)
on identifiera Φ 10 – Par le changement de variables (3), écrire l’équation (4) sous la forme : + ω2 D Q = Ψ(t) Q
(5)
où l’on identifiera la matrice diagonale D et la colonne Ψ(t) . 11 – Trouver la solution de l’équation (5) correspondant aux données : ( β > 0 donné) F1(t) = cos βt,
F3(t) = cos βt.
F2(t) = 0,
Θ(0) = 0 Θ(0) =0 = ⎡Q N.B. On désignera par Q ⎣ 1 ,Q2 , Q3 ⎤⎦ cette solution.
12 – Que devient Q lorsque β = ω 2 ? (t) lorsque β = ω 2 . Etudier la limite quand t → ∞ , de Q
Interprétation physique.
Septembr e 2003 O
y
g
1
6
G1
θ
x G2
2
4
Equilibre statique tel que :
A
OG1 = G1G2 = G2 A = lu AG3 = l x
5
q = q0
G3
3
Données : 1 : Tube indéformable, M 1 = Masse, I 1 = Mt d’inertie /Oz, G 1 = Centre de masse 2 : Piston + Tige, M2 = Masse, I 2 = Mt d’inertie /G 2z, G2 = Centre de masse 3 : Charge inertielle, pouvant se déplacer parallèlement à x exclusivement, par une liaison glissière sans frottement ; G3 = Centre de masse 4 : Ressort linéaire de raideur k 2 25
5 : Ressort linéaire de raideur k 3 6 : Liaison 1/0, pivot tournant élastique,sans frottement, de raideur à la torsion k 1. Une suspension est représentée sur la figure ci-contre. On se propose de déterminer l’influence de l’angle θ0, réglable par un mécanisme non représenté, sur les fréquences propres du système non amorti, oscillant autour d’une valeur préréglée de θ0.Les variables associées aux petits déplacements sont notées : q : variation angulaire de l’ensemble 1+2+4 autour de la valeur θ0, position d’équilibre statique, u : déplacement du centre de masse G 2 de 2, selon la direction u, compté à partir de sa position statique x : déplacement du centre de masse G 3 de 3, à partir de sa position statique. 1- Calculer l’énergie cinétique du système et en extraire la matrice des masses généralisées. 2- Calculer l’énergie potentielle du système et en extraire la matrice des raideurs généralisées. 3- En déduire l’équation des petits mouvements, en l’absence de sollicitations extérieures permanentes. 4- Etude de la réponse libre : i)
calculer les pulsations propres dans le cas où θ0 = π/2
ii)
idem pour θ0 = 0
iii) idem pour θ0q uelconque Commenter. 5- Etude de l’influence de θ0 sur les pulsations précédentes. Cette étude est conduite uniquement dans un cas numérique. Les valeurs utiles sont : k 2 = k 3 = 10 3 π2 MKSA
M2 = M 3= 250 kg
Pour les deux valeurs extrêmes de θ0, π/2 et 0, calculer les valeurs numériques des deux fréquences propres dépendant de θ0. Commenter. 6- Représenter les modes propres dans le cas où θ0 = π/2.
Novembr e 2003
Soit l’amortisseur [A] décrit dans la figure 1 ; il est constitué par un ressort de raideur k, de longueur naturelle l , immergé dans un liquide visqueux, de viscosité « apparente » η . F a
O
u
Figure 1
x
u l
En désignant par u le déplacement du point a et par Fx la force extérieure appliquée en a, le point O étant fixe (rotule parfaite), la relation caractéristique de [A] est : du = k u + η u dt Il s’agit d’étudier les vibrations du système mécanique [S] de la figure 2 dans le repère galiléen orthonormé direct {O, x, y, z} . F=ku+η
26
y
C
O’
[A]
Figure 2 2l
α
β
B
A G
Y
[A]
h
A 0
[A]
h
B0
O
x
G0 2a
[S] est constitué de trois amortisseurs de type [A] décrit ci-dessus et de deux barres AB et O’C . Les paramètres du système sont :
α ≡ ( x,O'C )
compté autour de z ,
β ≡ ( x,GB )
compté autour de z ,
Y ≡ G0 G compté selon y .
Les amortisseurs placés en A 0 A et B0B sont encastrés en A 0 et B 0, les liaisons en A, B, G, C et O’ sont des rotules parfaites. Barre AB : homogène, de masse µ, de longueur 2h de centre d’inertie G, milieu de AB Barre O’C : homogène, de masse m, de longueur 2a. La masse des amortisseurs [A] est négligeable devant m et µ et la pesanteur est négligée. Dans toute la suite du problème, α, β, y, sont supposés « petits » avec : Y=l+y (α, β << 1 ; y << a ). 1 – Montrer que l’énergie cinétique T du système [S] s’écrit : 4 µ 2T = m a2 α 2 + µ y 2 + h2 β 2 3 3 A – Pr emi ère p art ie : Vib rat io ns lib res d u s ystèm e [S] s ans amo rt iss ement ( = 0)
2 – Etablir successivement que : -
l’énergie potentielle de l’amortisseur B 0B est :
1 2 k ( y + h β) 2
-
l’énergie potentielle de l’amortisseur A 0 A est :
1 2 k ( y − h β) 2
Calculer l’énergie potentielle de l’amortisseur GC. 3 – Etablir les équations de Lagrange des vibrations libres de [S]. Après simplification, mettre les équations du mouvement sous la forme :
⎡α ⎤ ⎡α ⎤ M ⎢⎢ β ⎥⎥ + K ⎢⎢ β ⎥⎥ = 0 ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦
(1)
où on identifiera les matrices K et M. 27
4 – Montrer que ω =
6k
µ
, est une pulsation propre de (1)
et donner le mode propre associé. 5 – Etablir les équations de Lagrange sur α et y/a ≡ γ
⎡α ⎤ ⎣ ⎦
sous la forme :
⎡α ⎤ ⎣ ⎦
M' ⎢ ⎥ + K ' ⎢ ⎥ = 0 γ γ 6 – On pose Ω2 =
k
µ
(2)
e t on suppose dans cette question µ =
2m . 3
Calculer les modes propres de (2). On cherchera les pulsations propres sous la forme : ω = m Ω. ; m réel. B – Deuxième parti e : Vibr ations f orc ées du sys tème [S] sans amorti ssement (η = 0; µ = 2 m/3)
Dans cette partie, la seule excitation extérieure est une force Φ appliquée en G, donnée par :
Φ = Φ(t)y , Φ(t) = Ψ cos ξ t ;
Ψ , ξ réels donnés > 0
7 – Ecrire les équations des vibrations forcées de [S] et les résoudre en posant ξ = s Ω 8 – Résoudre les mêmes équations lorsque s = 1. On cherchera α sous la forme :
α(t) = α0 t sin Ωt où α0 est un réel à déterminer.
C – Troisi ème partie : Vibr ations f orc ées du sy stème [S] ( η ≠ 0 ; µ = 2m/3)
9 – Ecrire les équations de Lagrange (3) des vibrations libres du système [S] amorti. 10 – En posant ω =
6k
µ
et λ =
3η
µ
,
calculer la solution partielle de (3), relative à β, notée β0(t) lorsque : d β0 β0(0) = 0, (0) = 1 λ < ω. dt
11 – La seule excitation extérieure est un couple moteur Γ(t) agissant sur la barre AB, appliquée en G et donnée par :
Γ(t) = Γ(t) z ,
Γ(t) = Γ0 cos ξ t ;
ξ = s Ω
Calculer la réponse Q1(t) sous la forme : t
β1(t) = Γ1 ∫0 β (u) cos ξ(t − u) du 0
Préciser Γ1. 12 – Calculer β1(t) lorsque ξ = ω . Que se passe-t-il lorsque Q → 0 ?
28
Av ri l 2005
On étudie le comportement en oscillation d’un train de trois voitures de chemin de fer identiques ( , et ) de masse m = 1500 kg et accouplées par deux systèmes de liaison identiques modélisés par une raideur k = 4.2 x 107 N/m. k
m
k
m
m
Partie 1 : Oscillations li bres
On note x1, x 2, x 3 les positions respectives des 3 voitures par rapport à un point situé en leur centre lorsque les deux liaisons k ne travaillent pas. 1 – Ecrire les énergies cinétiques et potentielles T, U 2 – Identifier les matrices de raideur K et d’inertie M On adoptera les notations :
ω : pulsation des mouvements harmoniques, λ = ω2
et
φ = ωo 2 = k m
3 – Montrer que l’équation qui donne les fréquences propres s’écrit :
λ ( λ 2 − 4φλ + 3φ2 ) = 0 (On ne passera pas plus de 10 minutes à répondre à cette question qui n’est pas indispensable à la suite du problème)
4 – En déduire les expressions et valeurs numériques des 3 fréquences propres du système (ω1, ω2, ω3). 5 – Calculer les modes propres associés (V1, V2, V3). Représenter et discuter leur forme On considère les conditions initiales suivantes : m
vo
k
m
k
m
La voiture est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse vo = 1 m/s roule vers les autres voitures immobiles. A l’instant t = 0, le contact se produit et les trois voitures restent accouplées. 6 – Montrer que le mouvement du système est alors décrit par la relation :
⎡ x1(t) ⎤ ⎢ x (t)⎥ = (At + B) V + C V sin(ω t + ϕ ) + D V sin(ω t + ϕ ) 1 2 2 2 3 3 3 ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ x3 (t)⎥⎦ 7 – Donner les 6 équations qui permettent d’obtenir les valeurs numériques de A, B, C, D, ϕ2, et ϕ3. Parti e 2 : Oscill ations f orcées
Le train est désormais en roulement à la vitesse constante v. L’un des essieux de la voiture deux est grippé de telle sorte qu’il en résulte une force harmonique longitudinale d’amplitude F2e t de pulsation Ωt elle que : Ω = v / R, où R est le rayon des roues. 8 – Ecrire le système matriciel qui détermine les amplitudes X 1, X2, X3d es mouvement des 3 voitures 9 – Déterminer la fonction de transfert H 2(Ω) = X2/F2 29
10 – En déduire 2 vitesses de roulement caractéristiques du mouvement de On donne la courbe de la fonction de transfert H 2a vec β = Ω/ω0
Av ri l 2006
On étudie le modèle conservatif décrit par la figure ci-dessous.
k
x1 2m
2k
x2
k
m
x3 3m
Dans ce problème et les déplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur n’est pas prise en compte. Partie 1 : Oscillations li bres
On note x1, x2, x3 les positions respectives des 3 mobiles par rapport à leur position d’équilibre statique. 1 - Ecrire les énergies cinétique et potentielle, T et U. 2 – Identifier les matrices de raideur K et d’inertie M On adoptera les notations :
ω: pulsation des mouvements libres harmoniques, ωo = k m et
β = ω/ω0
3 – Ecrire l’équation matricielle du mouvement libre en fonction de B = β2. 4 – En déduire l’équation du 3ème degré en B dont les racines donnent les pulsations propres du système. On donne les racines de cette équation en valeurs approchées : B1~ 0.3², B 2~ 0.9², B 3~ 2² 30
5 – En déduire les 3 pulsations propres du système (ω1, ω2, ω3) en fonction de ω0. 6 – Quelles équations faut-il écrire pour obtenir les modes propres (V 1, V2, V3) En résolvant ces équations, on obtient en valeurs approchées :
⎡1⎤ V1 ⎢⎢1.4 ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎡ 1 ⎤ V2 ⎢⎢ 0.7 ⎥⎥ et ⎢⎣ −0.5 ⎥⎦
⎡ 1 ⎤ V3 ⎢⎢ −2.4 ⎥⎥ ⎢⎣ 0.2 ⎥⎦
7 – Rappeler les relations entre les modes propres V i, V je t les matrices d’inertie M et de raideur K. 8 – A l’aide des valeurs approchées, vérifier numériquement l’orthogonalité des modes V1 et V 2. Parti e 2 : Cas du déplacement imp osé
On impose au mobile de masse 3m un déplacement de la forme : x3(t) = X3 sin( Ωt). Le système se réduit donc à 2 degrés de liberté x1 et x2. Le déplacement x3r ésulte de l’application à ce mobile d’une force extérieure inconnue notée F(t). 9 – En utilisant les matrices K et M trouvées en 2, écrire l’équation matricielle du mouvement forcé. 10 – Montrer que cette équation se réduit à : 0 ⎤ ⎡2m 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 3k −2k ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ + = ⎢ 0 m⎥ ⎢x ⎥ ⎢ −2k 3k ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢kX sin Ωt ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 3 ⎦
11 – Quelle est alors la forme générale de x1(t) et x2(t) ? 12 – En déduire, en fonction de la fréquence d’excitation Ω, les expressions des fonctions de transfert H1(Ω) = X1/X3 et H 2(Ω) = X2/X3. Tracer leur allure. 13 – En utilisant le résultat de la question 9, donner l’expression de la force F(t). 60
20*log10(abs(H1(x))) 20*log10(abs(H2(x)))
50 40 30
B d
20 10 0 -10 -20 -30 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Pulsation réduite beta
31
Université P. et M. Curie
Master 1ère année MIS-MFE
Année 2006-2007
Dynamique des systèmes discrets
Tous documents et calculatrice interdits, durée 2h
Réponse vibratoire de la guitare aux basses fréquences 1 Aux fréquences inférieures à environ 300 Hz, le comportement vibratoire de la caisse d’une guitare acoustique, et donc le spectre des sons qu’elle émet, peu être étudié à l’aide du modèle représenté sur la figure ci-dessous. F(t) A 1
m1
x 1
A 2 m2
x 2
k 1 Cavité
caisse rigide et immobile Fig.
1 – Modèle de la guitare
Une partie de la table de bois de masse m 1 et d’aire A1, sur laquelle sont fixées les cordes est supposée vibrer comme un piston dont le déplacement est noté x 1 . L’élasticité de la table s’oppose au déplacement x 1 par une force −k1 x1 (le ressort équivalent est représenté fixé sur le dos de la guitare par commodité). On considère une masse d’air m 2 située au niveau de l’ouverture circulaire, d’aire A 2 , qui relie l’air ambiant à la cavité de la guitare. Le mouvement de cette masse est décrit par x2 . La variation de pression ∆ p à l’intérieur de la cavité est reliée à sa variation de volume ∆V = A 1x1 + A2x2 par la relation ∆ p = −µ∆V, avec µ > 0. Ces variations de pression ∆ p s’opposent aux mouvements des masses m1 et m2 par des forces A1 ∆ p et A2 ∆ p, respectivement. On supposera de plus que des amortissements visqueux génèrent des forces −c1 ˙x1 et −c2 ˙x2 qui s’opposent au mouvement de m1 et m2 , respectivement. 1. Adapté de Simple model for low-frequency guitar function, O. Christensen and B.B. Vistisen, JASA 68, 1980
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