Taxas Relacionadas (Exercícios Resolvidos)

Caderno de Exercícios

Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista sta / BA

Exercícios Resolvidos: Taxa Relacionada Contato: Contato:

nibbledi nibblediego@ ego@gmai gmail.co l.com m

Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 07/01/2013 - Atualizado em 08/08/2017

Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de seis passos: 1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido; 2. encontramos uma relação geral entre os dados que após a derivada da relação forneça o valor desejado; 3. substituímos na relação os valores que são constantes; 4. derivamos a relação implicitamente; 5. evidenciamos o resultado desejado; 6. realizamos as substituições necessárias para obter a resposta. Dica: As vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda bastante a entender entender melhor a questão. questão. Embora Embora dependendo dependendo da sua habilidade habilidade isso possa ser dispensável.

Exemplo 01

Uma Uma pipa pipa esta voand voando o a uma uma altu altura ra de 40m. 40m. Uma Uma cria crianç nça a es esta ta empin empinad ado o a de tal forma que ela se mova mova horizo horizonta ntalme lmente nte a uma veloci velocidad dade e de 3m/s. 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Solução: 10 Passo:

Dados: y = 40 m z = 50 m dx/dt = 3 m/s dz/dt = ? Com base no problema e nos dados fornecidos construímos um triângulo retângulo com as seguintes medidas.

1



50 m

40 m

x = 30 m Onde o valor de  foi determinado pelo teorema de Pitágoras ( 2 = 50 2 − 402 ). 2◦ Passo:

O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio teorema de Pitágoras. z 2 =  2 + y 2

Note que se derivarmo derivarmoss essa relação relação obteremos obteremos dz/dt. Que é o que desejamos desejamos saber. 3◦ Passo:

No problema problema a pipa se move apenas horizontalmen horizontalmente. te. Assim a altura da pipa (y) se mantém sempre constante. z 2 =  2 + 40 2

⇒ z 2 =  2 + 1600 Já o z (tamanho (tamanho da linha), e o  (distancia horizontal entre a pipa e o menino), não são constantes. 4◦ Passo:

Agora deriva-se a relação anterior implicitamente em relação ao tempo. dz

2 z

dt

= 2 

d dt

+ 0

A derivada ocorre em relação ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direção pode ser descrito em função do tempo. 5◦ Passo:

Agora que evidenciamos dz/dt. dz dt

2 

d

dt 2 z

=

2



6◦ Passo:

E finalmente substituímos x, y e dx/dt para obter o valor desejado. dz

=

dt

2(30 )( 3) 2( 50 )

dz

⇒

dt

dz

⇒

dt

=

=

180 100

9 5

m/ s

Exemplo 02

Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m? Solução: 1◦ Passo:

Dados: h=4 r=4 dA dt dV dt

é o que desejamos saber. = 10 m 3 /h

2◦ Passo:

Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que será pedido é a da área do circulo. A = πr π r 2 3◦ Passo:

O raio do cone varia com a altura. altura. E a altura altura por sua vez também também varia a medida que a areia é despejada, assim não existe valores constantes na relação A = πr 2 . Logo podemos pular o passo 3. 4◦ Passo: dA dt

= 2 πr

3

dr dt



5◦ Passo:

O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto já esta feito passamos para o passo 6. 6◦ Passo:

Como r = 4 então: dA

dr = 2 · 4π dt dt dA

dr = 8 π dt dt

⇒

O fato interessante é que o problema não nos dá o valor de dr/dt, pelo menos não diretamente. Sabe-se que o volume de um cone é dado por: V =

1 3

πr 3

Derivando a expressão implicitamente se têm: dV dt

1

=

3

dV

⇒

dt dr

⇒

dt

π 3r 2

= πr π r 2

dr dt dr dt

1 dV

=

πr 2 dt

substituindo o valor de r dr dt

=

5 8π

m2 / h

Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6 ◦ passo. dA dt

= 8 π

dA

⇒

5

 

dt

8π

m2 / h

= 5 m 2 / h

4



Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada. Exemplo 03

Uma escada de 6 m de compriment comprimento o está apoiada em uma parede parede vertical. vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo? Solução:

Dados:



x = 2 5 m y=4m z=6m dx/dt= 0.6 m/s dy/dt = ? Com base nos dados construímos construímos um triângulo com as seguintes seguintes medidas. medidas.

6m

4m



x = 2 5 m Onde  foi obtido através do teorema de Pitágoras. A fórmula que fornecerá o valor desejado será o teorema de Pitágoras. 2 + y 2 = z 2

Como a escada não pode alterar seu comprimento então z é constante e igual a 6. 2 + y 2 = 36

Derivando implicitamente. 2 

⇒ 2( 2

dy + 2 y = 0 dt dt



5m) 0.6m/ s + 2 ( 4m)

⇒ 2.4 Evidenciando dy/dt

d



5m2 / s + 8 m

5

dy dt

dy dt

= 0

= 0



dy dt

= − 0.3



5m/ s

Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo). Exemplo 04

Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m3 /min calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m? Solução:

Dados: h=4m r=2m dV

= 0.001 m3 /min

dt

Queremos descobrir

dh dt

quando h = 1 m.

A equação que irá relacionar dh/dt aos dados será: V =

1 3

πr 2 h

Derivando implicitamente. dV

dh = π 2r h + r 2 3 dt dt dt 1

dr





Pelo problema sabe-se que: h r

=

4 2

⇒ h = 2 r

Da igualdade anterior ainda temos que: dh dt

= 2

dr dt

dr

⇒

dt

=

dh 2dt

Substituindo dr/dt = dh/2dt e também h = 1r em dv/dt chega-se:

6


dV dt

=

dV

⇒

dt

1 3

⇒ ⇒

2dt

h2 dh

π

2 dt

dV

3

dt

dt

=

dh π 3 dt 1

= π

dt

4

h2 π dt

dt

4

h2

dV

=

2

dh

·

dh

⇒

3

2

1

4

⇒

1

h

dh

h2

dV

⇒

h

dh = π dt 3 dt

dV

2

          

π 2

=


=

+

+

+

h

2

dh

dt

h2 dh

4 dt

h2 4

h2

dh dt dV

4

·

h2 π dt

Finalmente quando h = 1 m temos: dh dt

=

4 10 3 π

m/mn

Exemplo 05

Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de 0.005 0.005 cm/min. cm/min. Deter Determin mine e a taxa taxa á qual qual a área área de uma das faces varia varia quando quando o diâmetro é 30 cm. Solução:

Dados: dD/dt = 0.005 cm/min dA/dt = ? D = 30 cm Tomando Tomando a relação A = π r 2 que é fórmula fórmula para área do círculo. círculo. E derivando a implicitamente temos: 7

Caderno de Exercícios dA

= 2 πr

dt


dr dt

Sabe-se que o diâmetro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) então: dD dt

= 2

dr dt

⇒ 0.5

dD dt

=

dr dt

Assim: dA dt



= 2 π ( D/ 2) 0.5

dA

⇒

dt dA

⇒

dt



= πD π D 0.5

dD

dD dt

dt





= 30 π (0.5( 0.005 ))

dA

⇒

dt

= 0 .075 π (cm2 / mn )

Exemplo 06

Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm? Solução:

Dados: dr/dt = -2 cm/min dv/dt = ? r = 25 cm. A fórmula do volume da esfera é: V =

4 3

πr 3

Derivando implicitamente. dV dt

=

dV

⇒

dt

4 3

π 3r 2

= 4 πr 2

8

dr dt dr dt



Finalmente substituindo os valores dV dt

= 4 π (25 ) 2 (− 2) cm c m3 / mn

dV

⇒

dt

= − 5000 π cm 3 / mn

Exemplo 07

A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre é igual ao raio da base. base. Se a altura altura da pilha aumenta aumenta a uma razão razão de 15 cm/min. cm/min. Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm. Solução:

Dados: h=r dh/dt = 15 cm/min dv/dt = ? h = 25.

V =

1 3

πr 2 h

Derivando implicitamente. dV dt

=

1 dr dh π 2r h + πr 2 dt dt 3 3 1

Como h = r então dr/dt = dh/dt e assim: dV

dr dh = π 2r h + r 2 3 dt dt dt 1

dV

⇒





dh = π 2h h + r 2 3 dt dt dt dV

⇒

dt

1

=

dh



dh 2h2 + h 2 π 3 dt 1



9







dV

⇒

dt dV

⇒ dV

⇒

dt

= π 15 15 ( 25) 2

= π 15 15( 25 ) 2 = 9375 π

dV

⇒

dt

dh π 3h2 3 dt 1

=

dt

= 9375 π cm 3 / mn

Exemplo 08

Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos? Solução:

Dados: dr/dt = 3 m/s dA/dt = ? t = 10s A = πr π r 2 dA

⇒

dt

= 2 πr

dr dt

Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m. dA dt

= 2 π ( 3 · 10 )( 3) = 180 π m2 / s

Exemplo 09

Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m 3 /min. Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m? Solução: V =

4 3

πr 3

10



d dt

= 4 πr 2

dr dt

3 (m3 / mn ) = 4 π (1 m )2

dr dt

=

3 4π

dr dt

(m/mn)

Como 2r =Diâmetro =Diâmetro então: 2

dr dt

=

dD dt

e portanto: dD dt

=

3 2π

(m/mn)

Exemplo 10

Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam aproximam um do outro outro no instante instante em que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km? Solução:

Dados: dx/dt = 90 dy/dt = -60 dz/dt = ? x = 0.2 Km y = 0.15 Km 60 km/h

90 km/h

11



Neste caso desejamos saber

dz dt

quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.

Para isso usaremos o teorema de Pitágoras: 2 + y 2 = z 2 derivando implicitamente. 2 

d

dy dz + 2 y = 2 z dt dt dt

e simplificando 

d

dy dz + y = z dt dt dt

substituímos os valores de dx/dt e dy/dt dz

2 (90 ) + 2 y ( 60 ) = 2 z

dt

e evidenciamos o dz/dt. dz dt

=

0.2( 90 ) + (0.15 )( − 60 )

z

Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto: dz dt

= − 108 Km/h

Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores). V z =



60 2 + 90 2

≈ 108 .167 km/h

Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação implícita. Exemplo 11

Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta p − 20 p − 3  + 105 = 0

Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil caixas?

12



Solução:

Queremos descobrir chega-se à:

dp dt

quando x = 5. Derivando Derivando a expressão expressão implicitame implicitamente nte

d +  p dt dt



dp



dp

⇒

dt

− 20

dp dt

(  − 20 ) +

d dt

−3

d dt

+ 0 = 0

( p − 3) = 0

d dp

⇒

dt

=

−

( p − 3) dt  − 20

Quando  é igual 5 p é igual à 6 p( 5) − 20 p − 3( 5) + 105 = 0 p( 5) = 6

A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como  é uma unidade em milhares usaremos

d dt

=−

250 10 3

.

Assim: dp dt

=

0.25 ( 6 − 3)

( 5 − 20 )

= − 0.05

Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia. Exemplo 12

Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual deve deverá rá ser ser a velo veloci cida dade de angu angula larr (de (de giro giro)) do holo holofo fote te,, no no inst instan ante te em que que a dist distân ânci cia a horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m? Solução:

1220 m

13


Queremos encontrar

Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista sta / BA dθ dt

quando  = 610 m. E como t g θ = sec 2 θ

dθ dt

=−

1220



então:

1220 d

2

dt

d

Substituindo = − 152 .4 na equação anterior e dividindo por sec 2 θ, iremos dt obter dθ dt

=

185 .928

2 sec 2 θ

Quando x = 610, tg θ = 2 e sec2 θ = 5. dθ dt

=

185 .928 610 2 · 5

dθ

⇒

dt

1

≈

10

rd/s

Exemplo 13

Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.

1m 10m

1.5m

3m

5m

4m

A figura acima mostra as medidas medidas e forma forma da piscina. piscina. Se a piscina piscina for enchida 3 a uma taxa de 0.1 m /min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m? Solução:

14



Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então somente somente a área cuja seção transversal transversal é um trapézio trapézio estará sendo sendo usada. Assim vamos considerar considerar apenas apenas essa parte da piscina. piscina. Essa parte é representa representada da pelo desenho a seguir. y 4m

x 1.5m 2m 3m Área do trapézio: A =

BseMor + BseMenor 2

(  + 3 + y ) + 3

A =

2

h

h

Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio determinado: = 5 A V =

= 5 V =

(  + 3 + y ) + 3 2

h

= 1 .875 h2 + 5 h2 + 15 h V =

Derivando implicitamente dV dt

= 3 .75 h

dV dt

=

dh

+ 10 h

dt

dh dt

dh dt

+ 15

( 13.75 h + 15 )

Substituindo a taxa e h = 1 m. 0.1 =

dh dt dh dt

( 13.75 ( 1) + 15 )

=

2 575

15

m

dh dt



Exemplo 14

Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3 /min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro. Solução:

4 m = 400 cm

5.8 m = 600 cm 2 m = 200 cm

A variação do volume de água é dada pela fórmula dV dt

Onde

d e dt

=

d e

−

dt

d s dt

é a taxa de variação de entrada da água e

d s

saída da água, que é igual á 10 1 0.000 cm 3 /min.

dt

a taxa de variação da

Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é: 1

V =

Pelo desenho é fácil verificar que

= V =

1 3

h r

3

πr 2 h

6

=

4

2h

 

π

que resulta em r = 2

3

h =

4πh 3

onde derivando implicitamente obtemos: dV dt

Como

dV dt

=

d e dt

d s

−

t

=

4πh 2 dh 9

então: 16

dt

27

2 3

h. Assim:



d e

−

dt d e

⇒ ⇒

dt

d e dt

=

dt

4π · 200 2 9

=

dt

9

4π · 200 2



9

· 20

4π · 200 2

− 10.000 =

d e

⇒

d s

· 20



· 20

+ 10 .000

≈ 1.127 .010 , 7cm3 / mn

logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6 cm3 /min Exemplo 15

Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centr centro o da pista. pista. Qual Qual a taxa taxa de variação variação da distân distância cia entre entre os dois quando quando esta distância era 200 m? Solução:

Observe o esquema a seguir 200m y

z θ

x

O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então não podemos usar o teorema de Pitágoras. Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois: z 2 =  2 + y 2 − 2 y · cosθ

Derivando implicitamente e levando em conta que (ou seja, são constantes) constantes) chega-se á: dz

2 z

dt

= 0 + 0 + 2 y (senθ )

dz

⇒ 2 z

dt

= 2 y (senθ)

17

x

dθ dt

dθ dt

e y não variam no tempo



dz

⇒ z

dt

= y ( senθ)

dθ dt

Substituind Substituindo o o valor de  , y e z .

200

dz dt

= 200 · 100 (senθ )

dz

⇒

dt

= 100 ( senθ )

dθ dt

dθ dt

Da física sabemos que S = r θ logo: dS dt

= r

dθ dt

dS

⇒

dt

1

·

r

=

dθ dt

.

Substituindo esse último valor em dz/dt dz dt

= 100 (senθ )

dz

⇒

dt

=

100

r



dS 1 dt

(senθ )

·

r



dS dt

Como r = 100 m então dz dt

=

100 100

dz

⇒

dt

( senθ )

= (senθ)

dS dt

dS dt

Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo θ será de: 200 2 = 200 2 + 100 2 − 2 · 200 · 100 cos ( θ)

⇒ 200 2 = 100 2 + 200 2 − 4 · 104 cos (θ) 1

⇒ cos (θ) = ⇒ θ ≈ 75, 5◦ 4

Assim:

18



dz dt dz

⇒

dt

= sen ( 75 , 5◦ ) ·

dS dt

= sen ( 75 , 5◦ ) · 7 ≈ 6, 78 m/ m / s

Exemplo 16

A equação de demanda de uma determinada camisa é 2 p + 65 6 5 p − 4950 = 0, onde  centenas de camisas são demandadas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda. Solução:

A equação é a seguinte: 2 p + 65 p − 4950 = 0

Não há constantes no problema, pois tanto  como p variam com o tempo. Deste modo não há substituições a fazer. Derivando a equação implicitamente chega-se à:

2

Como p = 30 e

dp dt

dp d dp + 65 = 0  + 2 p dt dt dt

= 0 .2 então:

2( 0.20)  + 2 (30 )

d

⇒

dt

=−

d dt

+ 65 ( 0.20 ) = 0

65 ( 0.20) + 2 (0.20 )  2 · 30

Para descobrir o valor de  usamos a equação inicial. 2 p + 65 p − 4950 = 0

⇒ 2(30)  + 65 (30) − 4950 = 0 ⇒  = 50 Portanto d dt

=−

65( 0.20 ) + 2 ( 0.20 )( 50) 2 · 30

19

= − 0.55



Decresce a taxa de 55 camisas por semana. Exemplo 17

Uma lâmpada está pendurada pendurada a 4,5m de um piso horizontal. horizontal. Se um homem com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de 1,5m/s:

a) Qual a velocidade de crescimento da sombra? b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo? Solução:

Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.

Lâmpada

w

k

O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:  é a distância horizontal do homem a lâmpada;

é o comprimento da sombra; k é é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontald/dt é mente; a taxa de crescimento da sombra. dk/dt a Por semelhança de triângulos (  + k ) 4, 5

=

20

k 1, 80





⇒

k

= 1 , 5

⇒  = 1 , 5k Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo(t): 0,6(dw/dt) = 0,4(dk/dt)

⇒ dk/dt = 0,6

( d/dt ) 0, 4

= 1 .5 m/s então Como d/dt =

dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta). A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de crescimento da sombra. d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt

⇒ d(w + k)/dt = 1,5 + 1 ⇒ d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) Respostas: (a) 1,0 m/s (b) 2,5 m/s Exemplo 18

Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros metros de uma rodovi rodovia a que segue segue em linha linha reta por um longo trecho trecho.. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de emergê eme rgênci ncia. a. O policial policial mira mira o canhão canhão do radar no telefon telefone e de eme emergê rgênci ncia. a. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele naquele trecho da rodovia é de 80km/h. 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista? motorista? Solução:

O problema acima é esquematizado na figura abaixo:

21


Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista sta / BA 12m

Radar

16m Telefone Telefone

z 2 =  2 + y 2

Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante. z 2 = 12 2 + y 2

⇒ z 2 = 144 + y 2 Derivando implicitamente. dz

2 z

dy = 0 + 2 y dt dt

e evidenciando dy/dt dy dt

=

dy

⇒

dt

2 z ( dz/dt ) 2 y

=

z (dz/dt ) y

e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado. dy dt

=



12 2 + 16 2 · 70 16

= 87 .5

Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser que o motorista tenha uma boa desculpa ele deve ser multado. Exemplo 19

Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distân distância cia de uma câmera câmera de televisã televisão o montad montada a no nível do chão. À medida medida em que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmera faz com o chão. Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:

22



(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmera? (b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do balão, com que velocidade a câmera está girando? Solução de A:

Considere o esquema Balão y

z θ

Lânterna

x

Usando Pitágoras z 2 + y 2 + 100 2 dz

⇒ z

dy + y dt dt

Quando y = 75 por Pitágoras conclui-se que z = 125, então:

125

dz dt

+ 75 ( 6)

dz

⇒

dt

= 3 .6

Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s Solução de B:

Para resolver o item (b), podemos usar a função seno para obter uma equação que relaciona as varáveis d (distância horizontal entre a câmera e o balão), h (distância vertical entre o balão e o solo) e θ (angulo da câmera com a horizontal). Assim temos que: sen ( θ) =

⇒ sen (θ) =

y z y



23

100 2 + y 2



Fazendo a derivada da função e evidenciando d θ/dt dθ dt

=

dy/dt cos (θ)( 104

+ y 2 )



10 4 + y 2 −

y 2



10 4 + y 2



( 1)

Em 5 segundos a 6m/s o balão percorre 30m ( y = 30 ). Como sempre pre  omo x é sem 4 2 igual a 100 pelo teorema de Pitágoras z = 10 + 30 = 10 109. De mod modo o que que cos(θ) =

100



10 109

a solução.

=



10



109

dθ dt

. Finalmente substituindo estes valores em (1) chegamos



6 109

=

109 · 10 3

dθ

⇒

dt

dθ

⇒

dt

=

=



10900 −

6 10

6 109

9 · 10 2



10900



54

− 2

109 · 10 2

= 0 .055 Rad/s

Exemplo 20

Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida tida focali focalizad zada a na direçã direção o do homem. homem. Qual Qual a veloci velocidad dade e de rotação rotação da lâmpad lâmpada a quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada? Solução de A:

Considere o esquema: x=15m

y

Homem

z=20m θ

Lâmpada 24




tg (θ) =


 y

Derivando implicitamente dθ/dt

=

cos 2 ( θ)

(d/dt ) y − (dy/dt ) 

y 2

Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim: dθ/dt

=

cos 2 ( θ)

(d/dt ) y

y 2

( d/dt )

=

y

(1)

Pelo teorema de Pitágoras 20 2 02 = 15 2 + y 2 . Que resulta em y 2 = 175 Substituindo esse valor em (1) e explicitando dθ/dt dθ dt

=

( d/dt )



175

· cos 2 (θ)

Como dx/dt = 4 e cos (θ) = dθ dt

=

4



175

   175

·

20



175

20

2

≈ 0.13

Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s

25



Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercialCompartilhaIgual 4.0 Internacional.

Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo mes mo.. Para saber, saber, bem como ter acesso acesso a vários vários outros outros exer exercíc cícios ios resolvid resolvidos os de matemática, acesse: www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. .ƒcebook.com/theNmberType

nbbedego@gm.com

.nmber.890m.com

26

Taxas Relacionadas (Exercícios Resolvidos)

Recommend Documents