4 Muestras relacionadas

DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS

ORIENTACIONES TEMA Nº 4 (DISEÑOS 2 GRUPOS RELACIONADOS) RELACIONADOS)

TEMA Nº 4   ANÁLISIS DE DATOS PARAMÉTRICOS PARA DISEÑOS DE DOS GRUPOS (MUESTRAS RELACIONADAS) CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS RELACIONADAS Muestras independientes: n 1 y n 2 2 muestras de sujetos diferentes, extraídos aleatoriamente de sus respectivas poblaciones.

Muestras relacionadas: se trata de los mismos n sujetos observados en condiciones experimentales diferentes, o n pares de sujetos semejantes entre sí (gemelos, hermanos,...) Las muestras relacionadas nos ayudan a reducir la varianza de error . Así, cuanto mayor sea la relación entre ambas muestras, menor será la varianza de la distribución muestral de las diferencias y, por tanto, mayor el estadístico de contraste.

CONTRASTES DE HIPÓTESIS: PARA DOS MEDIAS (PARAMÉTRICOS)

CONOCIDA LA VARIANZA POBLACIONAL DE LAS L AS DIFERENCIAS DESCONOCIDA LA VARIANZA POBLACIONAL DE LAS DIFERENCIAS

PARA DOS MEDIANAS (NO PARAMÉTRICOS)   TEST DE WILCOXON PARA DOS PROPORCIONES

CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA DOS MEDIAS (MUESTRAS RELACIONADAS) Supuestos

  

Hipótesis (similares)

Estadístico Contraste Distribución Muestral

Observaciones independientes Nivel de medida de intervalo o razón Distribuciones normales en la población de diferencias ó bien (n ≥ 30)

VARIANZA POBLACIONAL DE LAS DIFERENCIAS CONOCIDA C. Bilateral H 0 0 : µ µ 1- µ 2 2 = 0 H 1 : µ µ 1- µ 2 2 ≠ 0

VARIANZA POBLACIONAL DE LAS DIFERENCIAS DESCONOCIDA

C. Unilateral Derecho H 0 0 : µ µ 1- µ 2 2 ≤ 0 H 1 : µ µ 1- µ 2 2 > 0

_ Z = (D – µd) / (σ (σd / √ n )

__

Normal Tipificada: (0, 1)

C. Unilateral Izquierdo H 0 0 : µ µ 1- µ 2 2 ≥ 0 H 1 : µ µ 1- µ 2 2 < 0

_ 2 T = (D – µd) / (Ŝ (Ŝ d / √ n )

__

“t” de Student: gl = n-1

Conocida (Z) o desconocida (t) la varianza de la población (valor o valores críticos) Regla decisión

(C. Bilateral)   t ≤ t α / 2; n-2 y t ≥ t 1 - α / 2; n-2 // Z ≤ Z α / 2 y Z ≥ Z 1 - α / 2 (C. Unilateral Izquierdo) t ≤ t α ; n-2 // Z ≤ Z α (C. Unilateral Derecho) t ≥ t 1 – α ; n-2 // Z ≥ Z 1 – α Nivel crítico p   Se rechaza H 0 0 si p < α y se acepta si p > α

Intervalo confianza

R. MEDRANO (TUTOR)

_ __ D ± | Z α /2 /2 | · σ D D / √ n = (Lím. infer y sup) Distribución Muestral Z con N (0,1)

_ __ D ± | t α /2; /2; n– 1 | · S D D / √ n = (Lím. infer y sup) Distribución Muestral Muestral T con (n – 1) gl

Página 1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





PROBLEMAS EJEMPLO (CH diferencia de Medias Relacionadas) Se desea estudiar si los alumnos de la ESO son más variables en cuanto a su nivel de concentración antes y después de haberles sometido a una terapia. Sobre una muestra aleatoria de 7 alumnos se toman medidas del nivel de concentración previo y posterior a la aplicación de la terapia, obteniéndose los siguientes resultados (a mayor puntuación, mayor concentración):

MEDIDA PREVIA MEDIDA POSTERIOR

12 9 11 10 9 6 7 7 5 6 6 5 6 7

Sabiendo que para aplicar el estadístico de contraste se resta la medida posterior de la previa, que la concentración es una variable medida a nivel de intervalo y que se distribuye normalmente en ambas poblaciones, tómese un nivel de significación α = 0,05 y compruebe si los alumnos se concentran más al finalizar la terapia.

Supuestos: Siete alumnos de la ESO (antes y después de la terapia)

relacionadas, relacionadas, ( α α = 0,05), variable medida a nivel de intervalo y se distribuye normalmente en ambas poblaciones. Varianza poblacional desconocida  Diferencia de medias (muestras relacionadas)  Muestras

Hipótesis : La hipótesis alternativa es la hipótesis del investigador. Del planteamiento del problema se deduce de que se trata de un contraste unilateral izquierdo donde:

µ después ≥ µ µ antes  µ después < µ antes H 0 0: : µ  H 1: µ Estadístico de contraste: Medida Previa 12 9 11 10 9 6 7 Σ = 64

Medida Diferencia Posterior Posterior - Previa 7 - 5 5 - 4 6 - 5 6 - 4 5 - 4 6 0 7 0 Σ = 42 Σ = (- 22)

D - D Media Media

(D - D Media ) 2 Media

- 1,86 - 0,86 - 1,86 - 0,86 - 0,86 3,14 3,14

3,4596 0,7396 3,4596 0,7396 0,7396 9,86 9,86 Σ = 28,86

_

Averiguamos la media (D) y la varianza insesgada ( Ŝ2 d ) de las puntuaciones diferencia:

_ __ 2 Ŝ d ) / √ n)  T = (- 3,14) / (4,81 / √ 7) = - 1,7 Desconocida la varianza de la población: T = (D – 0) / ( Ŝ __________________ ______________ ____ _ _ _ 2 √ Σ √ Σ (D i i – D Media Donde: Ŝ ) / (n – 1) y D = Y 1 – Y 2 Media 2 = Σ D i i / n ________ _ 2 Ŝ d = √ 28,86 / 6 = 4,81 y D = (- 22) / 7 = (- 3,14) 2 d =

Regla de decisión: Valor crítico (contraste unilateral (contraste unilateral izquierdo i zquierdo))  - 1,943 (valor crítico T 0, ) 0, 05 y 6 gl Nivel crítico p sólo puede obtenerse el valor aproximado, porque 1,7 no figura en la tabla T de Student para n–1 = 6 gl. El valor 1,7 está entre 0,10 (1,4) y 0,05 y 0,05 (1,9).

__





Intervalo de confianza: Suponemos un contraste bilateral para realizar el intervalo. _ __ 2 D ± | t α /2; n– 1 | · Ŝ d / √ n = (Límite (Límite inferior inferior y superior) // Distribución Muestral Muestra l T con (n – (n – 1) gl (-3´14) ± 1´943 · 4´81 / 2´64  (- 3´14) ± 3´54  (0´4 y 6´68)

 No

contiene el 0, Rechazamos H 0 0

Unos psicólogos hipotetizan que los hombres (H) con más de 20 años son más afectuosos hacia su pareja que las mujeres (M). Extrae una muestra aleatoria de 8 parejas casadas y les mide el grado de afectividad hacia la pareja, obteniendo los datos que aparecen a continuación (a mayor puntuación mayor afectividad hacia la pareja). Se sabe que la puntuación en afectividad es una variable medida a nivel de intervalo que se distribuye normalmente y que las observaciones entre las muestras no son independientes. Se fija alfa en 0´01. Suponemos conocida la varianza de las diferencias ( σ σ2 d = 5).

PAREJAS 1 HOMBRES 13 MUJERES 1

2 5 9

3 6 8

4 9 6

5 10 5

6 7 8

7 11 3

8 8 5

Supuestos : Se sabe que la puntuación en afectividad es una variable medida a nivel de intervalo, que se distribuye normalmente en ambas poblaciones y que conocemos la varianza de las diferencias ( σ σ2 d = 25). Se fija α en 0,04. Según el enunciado  Diferencia de medias (muestras

relacionadas)

Hipótesis : Se plantea un contraste unilateral derecho  H 0 0 : µ H ≤ µ µ M . y H 1: µ µ H > µ µ M Estadístico de contraste:

_ _ D = H – H – M = Σ D i i / n

H 13 5 6 9 10 7 11 8 Media = 8,7

_

_

M 1 9 8 6 5 8 3 5 Media = 5,7

D 12 - 4 - 2 3 5 -1 8 3 Σ = 24

D = 24 / 8 = 8 = 3 // σ 2 d = 5 _ __ _ 2 Z = (D – 0) / ( σ 8) = 3 / 1´77 = 1,69 σ d / √ n)  T = 3 / (5 / √ 8) 

Regla de decisión : : El nivel crítico p (probabilidad de obtener un valor del estadístico, al menos, tan extremo como el hallado) se obtiene a partir del valor muestral del estadístico de contraste (1,69) que buscando en la tabla de la curva normal  p = 1 – P (T ≤ 1´69)  1-0`9545 = 0´0455. El valor crítico para un contraste unilateral derecho y un alfa = 0´01 es   2´33

Conclusión e interpretación: Al nivel de confianza del 99% no existen diferencias significativas. No aceptamos la hipótesis de psicólogo (H 1 ); por tanto, aceptamos H 0 (los hombres no son más afectuosos que las mujeres)

Intervalo de confianza : Suponemos un contraste bilateral para realizar el intervalo.





CH DOS MEDIANAS (MUESTRAS (MUESTRAS RELACIONADAS) PRUEBA DE WILCOXON WI LCOXON Supuestos

 

Hipótesis

Estadístico Contraste

Variable dependiente con un nivel de medida al menos ordinal La distribución de la diferencia de los rangos es simétrica

C. Bilateral H 0 0 : M 1 = M 2 2 H 1 : M 1 ≠ M 2 2

C. Unilateral Derecho H 0 0 : M 1 ≤ M 2 2 H 1 : M 1 > M 2 2

C. Unilateral Izquierdo H 0 0 : M 1 ≥ M 2 2 H 1 : M 1 < M 2 2

1.- Calculamos las diferencias entre las puntuaciones originales. 2.- Asignamos rangos a los valores absolutos de las diferencias. 3.- Sumamos los rangos que proceden de diferencias positivas y los rangos que proceden de diferencias negativas, obteniendo: ∑ R - y ∑ R + El estadístico de contraste “W” es el menor de ∑ R - y ∑ R +

Distribución Muestral

Utilizamos la tabla U de Mann-Whitney-Wilcoxon Conocida (Z) o desconocida (t) la varianza de la población (valor o valores críticos)

Regla decisión

 (C. Bilateral)  W > w n1, n1, n2; α /2 /2 ( C. C. Unilateral Izquierdo)   W < w n1, n1, n2; α (C. Unilateral Derecho)   W > w n1, n1, n2; α

Aproximación A la Normal n ≥ 30

(T ) – [n (n +1) / 4]

Z = ------------------------------- √ n (n+1)(2n+1) n (n+1)(2n+1) / 24

PROBLEMA EJEMPLO Un investigador desea comparar el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa para bajar de peso (dieta) y sin programa para bajar de peso. Dispone de 10 sujetos a los que somete a las dos condiciones experimentales (con dieta y sin dieta). Las puntuaciones se reflejan en la tabla. Sabiendo que la distribución de las diferencias es simétrica, con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede afirmar que hay diferencias en hiperactividad en obesos cuando están o no en un programa de dieta?

Supuestos : Disponemos de dos muestras relacionadas (tamaño pequeño). Sabemos que la distribución de las diferencias en la población es simétrica. Datos medidos, al menos, a un nivel ordinal.

Hipótesis : Planteamos un contraste bilateral  H 0 0 : M 1 = M 2 2 y H 1 : M 1 ≠ M 2 2 Estadístico de contraste:





∑ R + + = (1´5 + 7´5 + 9´5 + 4´5 + 7´5 + 4´5 + 4´5) = 39´5 y ∑ R - - = (1´5 + 9´5 + 4´5) = 15´5 Se toma el valor del más pequeño de los sumatorios   W = 15´5 (Estadístico de Contraste)

Regla de decisión: Con α /2 = 0´05 (contraste bilateral) y n = 10, acudimos a la tabla de Wilcoxon y obtenemos un valor crítico = W 0´025; 0´025; 10 = 9

Conclusión e interpretación: interpretación: Dado que el estadístico de contraste (W = 15´5) > el valor crítico (W = 9) no podemos rechazar la H 0 0 con un nivel de confianza del 95%. Las diferencias en el incremento o disminución de la hiperactividad en personas obesas con dieta o sin dieta, no son significativas. Estadísticamente resultan iguales, iguales, en razón de que pueden ser diferencias dadas al azar.

CONTRASTES DE HIPÓTESIS DOS PROPORCIONES Típico problema Típico problema sobre cambios de opinión (pretest-postest), cuando la variable está dicotomizada .

Supuestos

 

Hipótesis

Estadístico Contraste Distribución Muestral Regla decisión

Intervalo confianza

Variable dependiente dicotómica o dicotomizada que medimos en la misma muestra en dos ocasiones. Muestra con [b + c] Observaciones independientes, donde [b + c] > 25 (b+c) representan a los sujetos cuya puntuación es distinta en las dos ocasiones.

C. Bilateral H 0 0 : π b b = π c c H 1 : π b b ≠ π ≠ π c c

C. Unilateral Derecho ≤ π c c H 0 0 : π b b ≤ π H 1 : π b b > π c c

_______ Z = (b - c) / √ (b + c)

C. Unilateral Izquierdo H 0 0 : π b b ≥ π ≥ π c c H 1 : π b b < π c c

χ 2 = (b – c) 2 / (b + c)

b   (sujetos que puntúan 1 en la primera medida y 2 en la segunda). c   (sujetos que puntúan 2 en la primera medida y 1 en la segunda) Normal tipificada N (0, 1)

Chi Cuadrado con 1 grado de libertad χ 2 < χ 2 1; 1- α α → Mantener H 0 0

( C. C. Bilateral)   Z ≤ Z α / 2 y Z ≥ Z 1 - α / 2

(C. Unilateral Izquierdo)  ≤ Z  Z (C. Unilateral Derecho)   Z ≥ Z 1 – α

α

χ 2 > χ 2 1; 1- α α → Rechazar H 0 0

_______ (P 1 –

P 2 2 ) ± | Z α /2 (b + c) = (Límites inferior y superior) /2 | · √ (b +

PROBLEMA EJEMPLO Una psicóloga desea estudiar si la proyección de imágenes de accidentes de tráfico influye en la forma de conducir. Extrae una muestra aleatoria de 102 sujetos con elevado historial de infracciones de tráfico y observa si cometen o no infracción en una determinada situación situación que propicia el hacerlo (saltarse un semáforo que acaba de cambiar a rojo). Encuentra que 54 no se lo saltan. Tras proyectarles imágenes de accidentes de tráfico, vuelve a observar si los sujetos se saltan o no se saltan el semáforo en las mismas condiciones. Encuentra que 34 de los que no se lo saltaban antes de proyectarles las imágenes se lo saltan después y 5 que se lo saltaban antes, también se lo saltan después. Se desea saber si ha habido un cambio significativo en cuanto a infracciones tras la proyección de imágenes. Utilice alfa = 0,01





Estadístico de contraste:

Si saltan Segunda (SI = 1) Medida No saltan (Después) (NO = 2)

Primera medida (Antes) Si saltan (SI = 1) No saltan (NO = 2) a = 5 b = 34

39

c = 63-20 = 43

d = d = 54-34 = 20

102 – 39 = 63

48

54

102

TOTALES Z = (b (b - c) / c) / √ (b + (b + c)

TOTALES

______ ________ Distribución normal N (0,1) ( 0,1)  (34 – 43) / √ (34 + 43) = ± 1`02 // Distribución

Regla de decisión: Los valores críticos, contraste bilateral, con α /2 = 0,005 y 1- α /2 = 0,995  ± 2´58. El nivel crítico p (probabilidad de obtener un valor del estadístico, al menos, tan extremo como el hallado) se obtiene a partir del valor muestral del estadístico de contraste (± 1´02) que buscando en la tabla de la curva normal  2 [P (Z ≥ 1´02) = 2 · (1 – 0,8461) = 2 · 0,1539  0,3078.

Conclusión e interpretación: Como p (0,3078) > α (0,01)  Aceptamos H 0 0. También como 1´02 (valor muestral del estadístico de contraste) < 2´58 (el mayor de los valores críticos). También 1´02 está entre los valores críticos (- 2´58 y 2´58). Para α = 0´01, podemos afirmar que la proporción poblacional de los sujetos que se saltan el semáforo es la misma antes de la proyección de imágenes que después. 2 2 χ 2 = (b – c) 2 / (b + c)  También con el test de McNemar: χ  χ χ = (34 – 43) / (34 + 43) = 1´05

Para χ χ 2 con un grado de libertad, el valor 1´05 se encuentra entre (0´10 < p < 0´90) por lo que el nivel p crítico > que α (0,01)  Aceptamos H 0 0

4 Muestras relacionadas

Recommend Documents