TAXAS RELACIONADAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS/ RESOLVIDOS Prof: Kennedy Scopel Créditos: Profª Cinthia C L Caliari
1) Se y
2) Se x
x 3 2 x e dx / dt 5 , encontre dy / dt quando x 2 2
y 2 36 e dy / dt 3 , encontre dx / dt quando y 4 2
3) Se z
x 2 y 2 e dx / dt 2 e dy / dt 3 , encontre dz / dt quando
x 5 e y 12 4) Ar está sendo bombeado para dentre de um balão esférico e seu volume 3
cresce à taxa de 100 cm / s .Qual a velocidade com que o raio cresce quando o diâmetro for 50cm? 5) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da base 2m e a altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque 3
à taxa de 2 m / min , encontre a taxa pela qual o nível de água estará elevando quando a água estiver a 3 m de profundidade. 6) O carro A segue em uma estrada (leste-oeste), em direção a oeste a 90 km/h e o carro B segue em uma estrada (norte-sul), rumo ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a interseção das duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60m e o carro B está a 80m da interseção? 7) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16 cm 2 ?
8) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8cm/s e sua largura está crescendo a uma taxa de 3cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo? 9) Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa 3
de 3 m / min . Quão rápido estará aumentando a altura da água?
10) O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 mm? 11) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km da estação. 12) Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 Km de um ponto de observação. Após 20 s, sua velocidade de subida é de 700m/s e ele está a altura de 12Km. Determine a velocidade com que ele se distancia do ponto de observação. 13) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a taxa de 1 cm 2/min, encontre a taxa segunda a qual o raio decresce quando o diâmetro é 10 cm. 14) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm 2/min. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é de 10 cm e a área, 100 cm2? 15) Uma criança está empinando uma pipa que move-se horizontalmente a 4 m/s. Supondo que a pipa permaneça a 80 m de altura, sobre o nível do solo. Desprezando a altura da criança, qual é a velocidade com que a linha está sendo dada no momento em que a distância dela até a pipa é de 100 m?
16) Um tanque cilíndrico, de 2m de raio, está recebendo óleo à taxa de 3m3/min. A que taxa o óleo sobe no tanque? 17) Uma quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m 3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 18) Um homem começa a andar para o norte a 8 m/min de um ponto P. Cinco minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhada para o oeste a uma velocidade de 10 m/min partindo de um ponto localizado 270 m a leste de P. Quinze minutos após a mulher ter iniciado a caminhada, eles estarão se afastando ou se aproximando? A que taxa? 19) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?
20) A equação da oferta de um certo produto é x 1000 3 p2 20 p
onde x
unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de variação na oferta se o preço corrente for de R$20,00 por unidade e se o preço estiver crescendo a uma taxa de R$0,50 ao mês.
1) Se y
dy dt
x 3 2 x e dx / dt 5 , encontre dy / dt quando x 2
3 x 2
2) Se x
2
dx dt
dt
2
dx dt
dy dt
3.2 2.5 2.5
dy dt
70
y 2 36 e dy / dt 3 , encontre dx / dt quando y 4
Quando y
2 x
dx
4 , temos que x 2 42 36 x 2 20 x 2 5
2 y
dy dt
0 x
dx dt
y
dy dt
0 2 5
dx dt
4.3 0 2 5
dx dt
12
dx dt
12 dx 6 5 dt 5 2 5
x 2 y 2 e dx / dt 2 e dy / dt 3 , encontre dz / dt quando
2
3) Se z
x 5 e y 12 Quando x
2 x
dx dt
5 e y 12 , temos que z 2 25 144 z 2 169 z 13
2 y
4) V
4
dt
2 z
dz
dV
r
3
dy
Temos que:
3
dV dt
dt
dt
x
4
dx dt
.3r 2
3
y
dr dt
dy dt
z
dV
dt
dz dt
5.2 12.3 13
4 r 2
dr dt
100 cm3 / s , d 50cm r 25cm ,
Assim: 100 4 (25)
2
dr dt
dr dt
100 4 .25.25
1 25
dr dt
cm / s
5)
V
3
2
r h .
Por semelhança de triângulos,
4 h
2 r
2r h r
Então, podemos substituir: 2
h V h h3 3 2 12
Derivando:
Como:
dV dt
dV dt
12
3h 2
dh dt
dV dt
2 m3 / min , h 3m ,
4
dh dt
h2 ?
dh dt
.
h
2
.
?
dz dt
dz dt
46 13
2
4
.9.
dh dt
dh dt
8
m / min
9
6) Como os carros A e B estão em movimento, as distâncias x, y e z modificam com o tempo. Assim, temos:
dx dt
90km / h ,
dy dt
100km / h ,
dz dt
?
Observe que as velocidades são negativas, pois as distâncias estão diminuindo. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo acima, temos: x Derivando: 2 x
dx dt
2 y
dy dt
No momento em que x
2 z
dz dt
x
dx dt
y
dy dt
z
2
y 2 z 2 .
dz dt
60m 0,06km , y 80m 0,08km , podemos
calcular z:
x 2 y 2 z 2 602 802 z 2 z 100m 0,1km Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos:
0,06.90 0,08.100 0,1
dl
7) Temos que:
A l 2
dA dt
dt
dt
6cm / s ,
2l
dl dt
dc
8) Temos que:
dz
dt
dA dt
0,1
dA dt
dz dt
dz dt
134km / h
? , quando A 16cm 2 l 4cm
2.4.6
8cm / s ,
13,4
dl dt
dA dt
48cm 2 / s
3cm / s ,
dA dt
? , quando c 20cm e
l 10cm . A c.l
dA dt
9) Temos que:
dc dt
dV dt
.l
dl dt
.c
3m3 / min ,
dA dt
8.10 3.20
dh dt
? , se
r 5m .
dA dt
140cm2 / s
V r 2 h 25 h
10)
dr dt
4mm / s ,
dV dt
dV
4
dV
25600 mm / s
dt
11)
3
dx dt
3 r
dV dt
800km / h ,
dh dt
3 25
dh dt
dh
dV
dt
3 25
m / min
? , se r 40mm .
dt
V
25
4 3
3r 2
dz dt
dr dt
dV dt
? , quando
4 r 2
dr dt
4 40 .4 2
dt
z 3km .
Observe que a altura (2 km) do avião permanece constante, então, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: x
2
22 z 2 .
Derivando: 2 x
dx dt
2 z
dz dt
x
dx dt
z
dz dt
No momento em que z 3km , podemos calcular x:
x 2 22 32 x 2 5 x 5 km Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos:
5.800 3
dz dt
dz dt
800 5 3
12)
dz dt dy dt
596,3 km / h
700m / s ,
dz dt
?,
quando
y 12 km 12000m . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 9
2
Derivando: 2 y No momento em que y
y 2 z 2 .
dy dt
2 z
dz dt
12km , podemos calcular z:
y
dy dt
z
dz dt
122 92 z 2 z 2 225 z 15 km Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos:
12000.700 15000
13)
dA
dt
1cm2 / min ,
dt
A 4 r 2
14)
dz
dh dt
dA dt
8 r
dz dt
dr
dt
dr dt
? , se
r 5cm .
1 40
dA
1 cm / min e
560 m / s
dt
dr dt
2 cm2 / min ,
dr dt
db dt
1 40
cm / min
? quando
h 10cm e
A 100cm
2
A
b.h
2
h 10cm
Quando
A
b.h
2
100
Então: 2
15)
dx dt
dh 1 db h b dt 2 dt dt
dA
b.10
2
A 100cm2 ,
e
temos
que
b 20cm
1 db
db db 10 1,6cm / min 10 1.20 2 5 dt dt 2 dt
4m / s ,
dz dt
? , quando
z 100m . 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 80 Derivando: 2 x
dx dt
2 z
dz dt
No momento em que
x
dx dt
x 2 z 2 .
z
dz dt
z 100m , podemos
calcular x:
x 2 802 1002 x 2 3600 x 60m
Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos:
dz
60.4 100
dt
dz
dt
240 100
dz dt
2,4 m / s
16) Como o raio de um cilindro é uma constante, podemos substituí-lo direto na fórmula, assim:
dV
V r h V 4 h e sabendo que 2
dV dt
4
17) V
dh dt
3
3 4
dh dt
dh dt
dt
3
4
2 r h ., como h 2 r r
3 m3 / min
m / min
h
2
Então, podemos substituir: 2
h V h h3 3 2 12
Derivando:
Como:
10
4
dV dt
dV dt
12
3h 2
dh dt
dV dt
10 m3 / min , h 8m ,
.64.
dh dt
dh dt
10 16
dh dt
4
dh dt
h2
dh dt
.
? 5
8
m / min
18)
Cinco minutos após o homem começar a caminhar, ele estará 40m a norte do ponto P.
Nesse momento a mulher começa a caminhar para oeste. Ela está 270m a leste de P.
Quinze minutos depois, o homem estará 160m a norte de P e a mulher estará (270-150) 120m a leste de P conforme a figura abaixo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: x
2
y 2 z 2 . Derivando:
2 x
dx dt
2 y
dy dt
2 z
dz dt
x
No momento em que
dx dt
y
dy dt
z
dz dt
x 120m e y 160m ,
podemos calcular z:
1202 1602 z 2 z 2 40000 z 200m dx
Sabendo que
e
dy dt
10m / s (negativo, pois está se aproximando do ponto P)
dt
8m / s (positivo pois está se afastando do ponto P), podemos substituir
cada um dos valores na derivada acima e teremos:
120.(10) 160.8 200
dz dt
200
dz dt
80
dz dt
0,4m / s
Como a velocidade entre eles é positiva, eles estão se afastando.
dV
19)
dt
V
4 3
?,
dt
dt
r 3
dx
20)
dr
dV dt
dp
?,
0,001cm / dia , se r 5cm .
dt
4 r 2
dr dt
dV
dt
4 52.0,001
dt
dx dt
1
1 / 2
1000. .3 p 20 p 2
2
dt
0,1 cm 3 / dia
0,50 R$ / mes , se p R$ 20,00 .
x 1000 3 p 2 20 p x 1000 3 p 2 20 p
dx
dV
3.20 20.20
1/ 2
dp dx dp 6 p 20 dt dt dt
5006.20.0,50 20.0,50 2
dx dt
35000 40
dx dt
500 6 p
dp dt
20
3 p 2 20 p
875unid / mes
dp
dt
