Funciones Raras en Analisis Real

Juan Jes´ us Dóniz us oniz Labrador

Funciones raras en An´ alisis Real Pathological functions in Real Analysis Trabajo Fin de Grado Grado en Matem´ aticas aticas La Laguna, Septiembre de 2017 Dirigido por Antonio Antoni o Boni Bonilla lla Ram Ram´ ´ ırez

Antonio Antoni o Boni Bonilla lla Ram Ram´ ´ ırez

Departamento de An´ alisis Matem´ atico Universidad de La Laguna 38271 La Laguna, Tenerife

Resumen · Abstract

Resumen El objetivo de estas notas es mostrar diferentes funciones patol´ ogicas como funciones continuas y nulas en los n´ umeros irracionales y positivas en n´ umeros racionales, funciones continuas y no diferenciables en ninguna parte, funciones diferenciables nunca mon´ otonas, funciones nunca nunca anal´ anal´ıticas ıticas de clase infinita, funciones singulares singulares y funciones con derivada acotada y no integr integrable. able.

Abstract The aim of this notes is to show different pathological functions as continuous and zero functions in irrational numbers and positives in rational numbers, continuous nowhere differentiable functions, nowhere here monotone differentiable functions, infinitely differenctiable differenctiable nowhere analytic functions, singular functions and functions with bounded derivative and no integrable.

Contenido

Resumen/Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii on 1.

Func uncion iones es nulas nulas en los irraci irraciona onales les y posi positiv tivas as en los racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.. La Func 1.1 Funci´ i´ on de Thomae . on Thomae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Dife Diferenc renciabil iabilidad idad de la Funci Funci´ón on de Thomae. . Thomae. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4

2.

Funci unciones ones con contin tinuas uas nunca nunca difere diferencia nciables. bles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. In Introduc troducci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on . 2.2. Funci´ on de Weierstrass . on Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Funci´ on de van der Waerden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on

5 5 6 8

3.

Funci unciones ones difer diferenci enciable abless nunca nunca mon´ otonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 otonas. 3.1. In Introduc troducci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 on . 3.2.. La Func 3.2 Funci´ i´ on de Katznelson-Stromberg. . on Katznelson-Stromberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.

Funciones nunca nunca anal´ anal´ıticas de clase C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. In Introduc troducci´ ci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on. 4.2. Funcio unciones nes C ∞ y no anal anal´´ıticas en el origen. origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.. La fun 4.3 funci´ ci´ on de Lerch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 4.4.. La fun 4.4 funci´ ci´ on de Merryfield. . on Merryfield. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 17 19 19

5.

Func uncion iones es sin singu gular lares. es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. In Introduc troducci´ ci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on. 5.2. El conjun conjunto to de Cant Cantor or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.. La fun 5.3 funci´ ci´ on de Cantor. . on Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 23

∞

vi

Contenido

6.

Func uncione ioness cuya cuya derivada derivada es acotada acotada y no integra integrable. ble. . . . . . . . . . 6.1. Int Introducci roducci´ón. on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. El conjunt conjuntoo de Smith - Cantor Cantor - Volte olterra. rra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Funci unci´ oń de Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 6.4. Funci unci´ oń tipo Volterra no oscilante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on

27 27 27 29 35

7.

Ap´ endi ce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . endice. 7.1. 7. 1. Lo Loss n´ numeros u ´meros reales. . reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Funciones deriv derivables. ables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Funci unciones ones integrab integrables les Riemman. Riemman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Suce Sucesione sioness y series funcion funcionales. ales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 41 43 44

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Poster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Introducci´ on on

Dirichlet da un ejemplo de una función on que no es continua en ninguna parte. D(x) =

 

0 si x 1 si

∈ R\Q x∈Q

Esta función on es el ejemplo usual de función on acotada que no es Riemann integrable en cualquier intervalo. Es natural preguntarse si es posible construir un función on integrable Riemann que se anule en los irracionales y que sea positiva en los on de Dirichlet de la racionales. En el a˜ no 1875, K.J.Thomae modificó la Funci´ no siguiente manera:

T ( T (x) =

  

0 si x 1 q

∈ R\Q

si x = pq donde p y q son primos entre si

1 si x = 0

La Función on de Thomae es continua en los números umeros irracionales y discontinua en los racionales, es Riemann integrable, se anula en los irracionales y es positiva en los racionales.

∈

Es un hecho establecido que, dado cualquier conjunto numerable D R, se puede construir una función on continua sobre R de tal modo que ella deja de ser diferenciable precisamente sobre dicho conjunto. Imaginarse la gráfica afica de una una funci´ on continua que no sea diferenciable en ning´ on un un punto de punto de su dominio es una tarea extremadamente extremadamente dif´ dif´ıcil. Lagrange, en 1777, era uno de los que cre´ cre´ıa que toda to da funci´ func ión on continua era diferenciable excepto para ciertos valores particulares. Compartiendo la misma opinión on de Lagrange sobre este punto de vista se encontraba, el también en matemático, atico, Ampere y algunos otros. Riemann,

on on viii Introducci´

sin embargo, sosten´ sosten´ıa puntos puntos de vista diferente diferente para ciertas funciones continuas representadas por series. De hecho, en una conferencia en 1861, afirmó, o, como conjetura, que la función on R, definida por R(x) =

∞ sen( sen(n2 x)



n=1

n2

era contin continua ua pero nunca nunca difere diferenci nciabl able. e. La contin continuid uidad ad es, por supues supuesto, to, una consecuencia fácil a cil de la prueba M de Weierstrass , pero la no-diferenciabilidad, si tal cosa es posible, no es trivial. Riemann jamás as present´ o prueba alguna de su conjetura. Sin embargo, la afirmación on de Riemann accionó la curiosidad y la duda de K. Weierstrass quien, en un intento por demostrarla, se encontró con su primer ejemplo de una función on continua nunca diferenciable. Pero Weierstrass no era el u unico ´ nico que dudaba de la afirmación on de Riemann. En 1916 Hardy demostr´ o que R no era diferenciable en todos los múltiplos ultiplos irracionales de π, pero que era diferenciable en algunos n´ umeros umeros racionales.

−→

Una función on f : R dice nunca mon´ otona si otona si no existe un subinR se dice nunca tervalo cerrado [a, [a, b] con a < b, sobre el cual f es f es mon´ otona. otona. Construir una función on siempre discontinua y nunca monótona otona es muy fácil. acil. Por ejemplo, la función on caracte car acterr´ıstica ısti ca en Q , f= χQ , es de este tipo. Observemos que una función on nunca monótona otona no debe confundirse con una función on que no es monótona o tona en [0, [0, 1]. 1]. ¿Existen funciones continuas nunca monótonas? otonas? La respuesta, como ha de esperarse, es afirmativa. En efecto, teniendo en cuenta el Teorema de diferenciabilidad de Lebesgue , se sigue que toda funci´ on on continua nunca diferenciable en [0, [0 , 1] es una función on continua nunca monótona. otona. En particular, las funciones continuas nunca diferenciables son nunca monótonas. En el transcurso del siglo XVII a los matemáticos aticos les era imposible determinar na r si exist´ exi st´ıan ıa n funciones siempre diferenciables pero nunca monótonas. otonas. Notemos que para que una tal f exista f exista debe ocurrir que los conjuntos

{x : f : f  (x) > 0 > 0 }

y

{x : f : f  (x) < 0 < 0 }

sean densos en [0, [0, 1]. 1]. Dini era uno de los que cre´ cre´ıa que dichas funciones pod po d´ıan existir, mientras mientras que P. du Bois-Reymond ten´ ten´ıa la presunci´ on on de que funciones nunca monótonas otonas no pod po d´ıan ser diferenciables. diferenci ables. En 1887, K¨ opcke opcke a fuerza de coraje y perseverancia dio a conocer, a trav´ través es de una construcción on extremadamente complicada, una función on diferenciable nunca mon´ otona. Nuevas funciones de este tipo fueron dadas por otros matemáticos, otona. aticos,

Introducci´ on on

ix

todas toda s esas construcciones construcci ones segu´ segu´ıan siendo dif´ dif´ıciles y largas (la m´ as as corta constaba de 10 páginas). aginas). Casi 100 a˜ nos nos despu´ es, es, en 1974, Katznelson y Stromberg reviven la invesinvestigaci´ on al construir otra función on on diferenciable nunca monótona otona pero mucho más as simple que la dada por Köpcke. opcke.

→

∈

Recordemos que una función f on f : R ana l´ıtica ıti ca en x en x 0 R si f f admite C es anal un desarrollo en series de Taylor con radio de convergencia positivo en x0 , y es de clase C ∞ si f posee f posee derivada continua de todos los órdenes; ordenes; es decir, si f (n) existe y es continua para todo n todo n N. Debemos recordar que para que la funci´ on on ∞ f f de clase C en un intervalo de R sea anal´ anal´ıtica, no es suficiente suficiente que su serie de Taylor posea, en cada punto, un radio de convergencia positivo; es necesario, adem´ as, que la suma de dicha serie sea igual a f . as,

∈

Por Por supues supuesto, to, toda funci´ funci´ on on anal´ anal´ıtica ıtica es de clase C ∞ ; sin sin em emba barg rgo, o, el rec´ rec´ıproco ıpro co no es, en general, general , v´ alido. alido. Uno de los ejemplos más as sencillos y relativamente simple de una función on de clase de clase C ∞ sobre R que no es anal´ anal´ıtica en ning´ un un punto, punto, fue construido por Mathias Lerch en el a˜ no 1888, y es el siguiente: no f ( f (x) =

∞ cos( cos(ak x)



k =0

k!

con a impar y mayor que 1.

Otro ejemplo, más as reciente y debido a Kent G. Merryfield de una función on infinitam infinitament entee diferenci diferenciable able que no es anal´ anal´ıtica en cualquier cualquier punto punto puede puede ser construido por medio de una serie de Fourier de la siguiente manera. Sea A = 2n : n N el conjunto de las potencias de 2 y definamos x R

{

∈ }

F ( F (x) =



∀ ∈

√ − e k cos( cos(kx) kx).

∈

k A

Una función on f : [a, b] a) b) c) d)

−→ R se dice singular dice singular si si satisface:

f es f es continua en [a, [a, b]. f es f es creciente. f (a) = f ( f (b). Existe Existe un conjunto conjunto de medida medida nula N tal que f  (x) = 0, x [a, [a, b] N.

∀ ∈

\

x

Introducción on

Un ejemplo estandar de función on singular es la función on de Cantor, Canto r, también en llamada la escalera del diablo. El primer ejemplo de una funci´ on derivable con derivada acotada on pero no integrable se debe a Volterra, el cual data de 1881. La construcción on de la función on de Volterra se basa esencialmente en la función f on f dada dada por f por f ((x) = x2 sen( sen( x1 ) si x = 0, y f (0) (0) = 0 cuya derivada está dada por f  (x) = 2xsen( xsen( x1 ) cos( cos( x1 ) si x = 0 y f  (0) = 0. Si se mira superficialmente la construcción o n de la funci´ on de Volterra, puede quedar la impresión on on de que la no integrabilidad de la derivada se debe a que la función o n en la que se basa la construcci´ on, on, oscila infinitas veces alrededor del origen, por esta razón on presentamos en este cap´ cap´ıtulo una funci´ funci´ on on simila similarr a la de Volterr olterra, a, cuya cuya funci funci´ oń base, que se utiliza para on su construcción on tiene una derivada con mejor comportamiento. Las ideas que aplicamos son las mismas que las del ejemplo de Volterra.





−

Para construir las funciones anteriormente mencionadas usaremos un con junto de Cantor generalizado. La no integrabilidad integrabilidad se probar´ a usando la caracterizaci´ on on de las funciones integrables Riemann en términos erminos de sus discontinuidiscontinuidades. Las funciones que construiremos serán an derivables en [0, 1] con derivada discontinua en un conjunto de Cantor generalizado de medida 21.

1 Funciones nulas en los irracionales y positivas en los racionales.

1.1. 1.1.

La Func unci´ on on de Thomae Dirichlet da un ejemplo de una función on que no es continua en ninguna

parte. D(x) =

 

0 si x 1 si

∈ R\Q x∈Q

Esta función on es el ejemplo usual de función on acotada que no es Riemann integrable en cualquier intervalo. Es natural el preguntarse si es posible construir un función on integrable Riemann que se anule en los irracionales y que sea positiva en los racionales. En el a˜ no 1875, K.J.Thomae modificó la Funci´ no on de Dirichlet de la siguiente manera:

T ( T (x) =

  

0 si x 1 q

∈ R\Q

si x = pq donde p y q son primos entre si

1 si x = 0

on de Thomae es continua en los n´ umeros umeros irracionales irracionales Teorema 1.1. La Funci´ y discontinua en los racionales. Sea x 0 = Demostraci´ on. Veamos, en primer lugar, que T es discontinua sobre Q. Sea x p un n´ umero racional irreducible arbitrario. Como el conjunto de los números umero umeros q irracionales es denso en R, podemos elegir una sucesión on de n´ umeros umeros irracionales, (xn )n∞=1 tal que xn x 0 cuando n .

→

→∞

Por definición, on, T ( T (xn ) = 0 para todo n N, mientras que T(x T(x0 )= 1q = 0, es decir, dec ir, l´ımn→∞ T ( T (xn ) = T ( T (x). Esto prueba la discontinuidad de T en x0 Q y como x0 es arbitrario, concluimos que T es discontinua sobre Q.



∈

 ∈

2

1 Funci uncion ones es nulas ulas en los los irra irraci cion onal ales es y posit positiv ivas as en los los raci racion onal ales es..

Para probar que T es continua sobre los irracionales, ser´ a suficiente de+ mostrarlo en los irracionales positivos, I . Tomemos cualquier x1 I+ y sea 1 0 < ε < 1. Elijamos un N un N N tal que N < ε. Nuestro objetivo es determinar un intervalo abierto con centro en x0 , digamos J , que no contenga ning´ un un racional de la forma 1 1 2 1 3 1 2 N 1 , , , , , , , ..., . 2 3 3 4 4 5 5 N

∈

∈ ∈

− −



Figura 1.1. Funci´ on on de Thomae

∈

Supongamos que hemos obtenido el intervalo intervalo J J y y tomemos cualquier x cualquier x J . J . Notemos ahora que: si x es irracional, entonces T ( T (x) = T ( T (x1 ) = 0 y en consecuencia

|T ( T (x) − T ( T (x1 )| = 0 < ε. si x es racional, entonces dicho número umero no es ninguno de los que aparecen en la sucesión on anterior y, en consecuencia, su denominador debe ser mayor que N , N , es decir, x es de la forma pq con q > N y, y, por consiguiente, 1 1 |T ( T (x) − T ( T (x1 )| = |T ( T (x)| = < < ε. q N Esto demuestra la continuidad de T en x1 y la prueba finalizará una vez hayamos construido el intervalo J . El procedimiento para obtener el intervalo abierto J J es el siguiente: comenzamos escogiendo un δ 1 > 0 de modo que el intervalo (x (x1 δ 1 , x1 + δ + δ 1 ) no contenga ning´ un u n n´ umero natural. De inmediato seleccionamos otro δ 2 > 0 tal umero que el intervalo abierto (x (x1 δ 2 , x1 + δ 2 ) no contenga ning´ un un racional de la forma m ı. Siguiendo con este procedimiento, podemos po demos hallar 2 con m y 2 primos entre s´

−

−

1.1 La Funci Funci´ ón de Thomae

3

−

un δ k > 0 tal que el intervalo (x (x1 δ k , x1 + δ k ) no contenga ning´ un un racional de m la forma k , con m y k primos pr imos entre s´ı y k = 1, 2,...,N .

{

}

−

Definiendo δ Definiendo δ = min δ 1 ,...,δ N intervalo J = (x1 δ, x1 + δ ) N , resulta que el intervalo J no contiene ning´ un racional de los que aparecen en la anterior sucesión un o n y la demostraci´ on on concluye. Corolario 1.2. La Funci´ on de Thomae es Riemann integrable, se anula en los irracionales y es positiva en los racionales.

Demostraci´ on. Su conjunto de discontinuidades es Q que tiene medida de Lebesgue cero.

−→

Si bien es cierto que la función on T : R R definida anteriormente es u unicamente ´ nicamente continua en los irracionales, el siguiente resultado nos muestra que R que sea continua s´ es imposible construir una función on f : R olamente olamente en los racionales.

−→ −→

on f : R Teorema 1.3. No existe una funci´ en los racionales.

−→ −→ R que sea continua solamente

Demostraci´ on. Supongamos que existe una función R que es unicaon f : R u ´ nicamente continua en los racionales y sea g sea g la la función on definida como T como T anteriormente. Tomemos un número umero racional cualquiera x0 en (0,1). Como f es f es continua en x0 , existe un δ > 0 tal que (x (x0 δ, x0 + δ ) (0,1) y,

−→ −→

−

⊆

1 |f ( f (x) − f ( f (x0 )| < 2 siempre que

|x − x0| < δ. ⊆

Escojamos ahora a1 y b1 de modo que [a [a1 ,b1 ] (x ( x0 para todo x, y [a [ a1 , b1 ] se cumple que

∈

− δ, x0 + δ ).). Entonces,

1 1 |f ( f (x) − f ( f (y )| ≤ |f ( f (x) − f ( f (x0 )| + |f ( f (y ) − f ( f (x0 )| < + = 1 2 2 .

∈

El siguie siguient ntee paso paso es elegir elegir arbitr arbitrari ariame ament ntee un n´ umero umero irracional irracional y0 (a1 , b1 ) y usar la continuidad de T en y0 para obtener, como en el paso anterior, puntos a2 y b2 tales que [a [a2 ,b2 ] (a ( a1 , b1 ) y

⊆ |T ( T (x) − T ( T (y )| < 1 < 1

∈

para todo x, y [a [ a2 , b2 ]. En particular,

4

1 Funci uncion ones es nulas ulas en los los irra irraci cion onal ales es y posit positiv ivas as en los los raci racion onal ales es..

|f ( f (x) − f ( f (y )| < 1 < 1

;

|T ( T (x) − T ( T (y)| < 1 < 1

∈

para todo x, y [a [ a2 , b2 ]. Repitiendo el argumento anterior pero ahora con el intervalo (a ( a2 , b2 ) en lugar del (0,1), podemos construir ahora un intervalo [a [a3 ,b3 ] (a ( a2 , b2 ) tal que las desigualdades 1 1 f ( f (x) f ( f (y ) < ; T ( T (x) T ( T (y) < 2 2 se cumplan para todo x, y [a [ a3 , b3 ].

⊆

|

− | ∈

|

−

|

Continuando con este proceso indefinidamente, se construye una sucesión on ∞ de intervalos cerrados ([a ([an , bn ])n→1 tal que

⊇ −

⊇

⊇ ⊇ | −

⊇

1. (0, (0, 1) [a [ a1 , b1 ] [a [ a2 , b2 ] ... [a [ an , bn ] ..., 2. l´ımn→∞ longitud ([a ([an , bn ]) = 0, 0, y 1 3. f ( f (x) f ( f (y ) < 2n−2 ; T ( T (x) T ( T (y ) < 2n1−2 para todo x, y [a [ an , bn ].

|

|

|

∈

Por el Teorema de los intervalos encajados de Cantor , existe un unico u ´ nico punto c (0, (0, 1) tal que

∈

∞



{}

[an , bn ] = c .

n=1

Como f y T son T son funciones continuas en ese punto, resulta que c debe ser, al mismo tiempo, tanto racional como irracional. Esta contradicción on revela que dicha función on f no existe.

1.2. 1.2.

Dife Difere renc ncia iabi bili lida dad d de la Fun Funci ci´ on o ń de Thomae.

on de Thomae no es diferenciable en ning´ un punto. Teorema 1.4. La Funci´ Demostraci´ on. Es suficiente ver que T no T no es una función on diferenciable sobre los irracionales. Esto proviene del siguiente hecho: a R Q y para cada n N j 1 1 existe exis te un término ermi no jn . Por definición, on, T ( T ( jnn ) . Z tal que nn a n n Entonces, T ( T ( jnn ) T ( T (a) T ( T ( jnn ) = jn 1 n jn a a n n .

∈

|

| − |≤

∀ ∈ \

− | | − | | − |≥

∈ ≥

∀

Puesto que jnn a cuando n , esta aproximaci´ on on racional de a nos dice que la derivada no puede ser cero. Sin embargo, desde el punto de vista de una aproximación o n irrac rracio ion nal, al, ase asegur guram amos os que que si exis existte debe ebe ser ser cero cero.. ´

→

→ ∞

2 Funciones continuas nunca diferenciables.

2.1. 2.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

∈

Es un hecho establecido que, dado cualquier conjunto numerable D R, se puede construir una función on continua sobre R de tal modo que ella deja de ser diferenciable precisamente sobre dicho conjunto. En efecto, sea D = d1 , d2 ,... un subconjunto numerable de R y sea (x (xn )n∞=1 una sucesión o n de n´ umeros umeros reales positivos tal que

{

∞



xn <

n=1

}

∞.

Podemos tomar, por ejemplo, xn = 21n para n=1, 2, ... Para cada x R definida por consideremos la función on hk : R

−→

hx (t) =

Ahora, la función on g : R

 

∈ R,

1 si 0

t < x, en otro caso

−→ R definida por g(x) =

∞



xn hn (dn )

n=1

que es continua excepto en los puntos de D de D y y entonces la función f on f : [0, [0, 1] dada por

−→ R

x

f ( f (x) =

ˆ

g(t)dt

0

alculo, deja de ser es continua, acotada y, gracias al Teorema Fundamental del C´ diferenciable exactamente en los puntos de D.

6

2 Fun Funci cion ones es con contin tinuas uas nunca unca dife difere renc ncia iabl bles es..

Imaginarse la gr´ afica afica de una función on continua que no sea diferenciable en ning´ un un punto de su dominio es una tarea extremadamente extremadamente dif´ dif´ıcil. Lagrange, en 1777, era uno de los que cre cr e´ıa que qu e toda to da funci´ func i´ on continua era diferenciable excepto on para ciertos valores particulares. Compartiendo la misma opinión on de Lagrange sobre este punto de vista se encontraba, e ncontraba, el tambi´ t ambi´ en en matem´ ma tem´ atico, atico, Ampere y algunos otros. Riemann, sin embargo, sosten´ sosten´ıa puntos de vista diferente diferente para ciertas funciones continuas representadas por series. De hecho, en una conferencia en 1861, afirm´ o, como conjetura, que la función o, on R, definida por R(x) =

∞ sen( sen(n2 x)



n=1

n2

era contin continua ua pero nunca nunca difere diferenci nciabl able. e. La contin continuid uidad ad es, por supues supuesto, to, una consecuencia fácil a cil de la prueba M de Weierstrass , pero la no-diferenciabilidad, si tal cosa es posible, no es trivial. Riemann jamás as present´ o prueba alguna de su conjetura. Sin embargo, la afirmación on de Riemann accionó la curiosidad y la duda de K. Weierstrass quien, en un intento por demostrarla, se encontró con su primer ejemplo de una función on continua nunca diferenciable. Pero Weierstrass no era el u unico ´ nico que dudaba de la afirmación on de Riemann. En 1916 Hardy demostr´ o que ultiplos irracionales de π, pero que era R no era diferenciable en todos los múltiplos diferenciable en algunos n´ umeros umeros racionales.

2.2. 2.2.

Funci unci´ on o ń de Weierstrass

Teorema 2.1. (K. 2.1. (K. Weierstr Weierstrass) ass) Sea b 3 on ab > 1 + 2 π. Entonces la funci´ f ( f (x) =

∞



∈ (0, (0, 1) y a un entero impar tal que

bn cos( cos(an πx) πx)

n=0

es continua y no es derivable en ning´ un punto. Demostraci´ on. Comencemos la continuidad de la función. on. Observe∞ estudiando 1 mos que, como 0 < 0 < b < 1, 1 , bk = < . Si a esto le sumamos que 1 b



−

k=0

∞

sup bn cos( cos(an πx) πx)

∈

x R

|

| ≤ b

n

nos da, aplicando la prueba M de Weierstrass, que

2.2 Funci´ unci´ on de Weierstrass

∞



7

bn cos( cos(an πx) πx )

n=0

converge uniformemente a la función on W ( W (x) =



∞ bn cos( cos(an πx) πx) sobre R.

n=0

La continuidad de W proviene de la convergencia uniforme de series. Ahora es el turno de estudiar la derivabilidad. f ( f (x + h) h

− f ( f (x) =

∞

cos(an π(x n cos(

   b

n=0

m 1

=

−

n

− cos( cos(a

πx) πx) (2.1)

∞

+

+ h)) h

= S m (h) + Rm (h).

n=m

n=0

Por el Teorema del Valor Medio tenemos: n

|cos( cos(a

π(x + h))

n

− cos( cos(a

n

| ≤ a |h|π

πx) πx)

| |

por lo que si h < 1 < 1 m 1

|S

−

am bm 1 am bm πa b = π <π . ab 1 ab 1 n=0

 |≤

m (h)

− −

n n

|

−

|

En lo que resta estimaremos Rm (h) por abajo. υm Escribimos a Escribimos am x = α = α m + υm con α con αm entero y −21 < υm < 12 y sea h sea h = = 1−am , entonces 0 < 0 < h < 2a3m y

an π(x + h) = a n−m am π (x + h) = a n−m π (αm + 1). 1). Como a es impar se sigue que: cos( cos(an πx) πx ) = cos( cos(an−m π(αm + υm )) = cos( cos(an−m πα m )cos( cos(an−m πυm ) = ( 1)αm cos( cos(an−m πυm )

−

y cos( cos(an π(x + h)) = ( 1)a

−

n−m

(αm +1)

= ( 1)αm+1 .

−

De este modo ( 1)αm+1 Rm (h) = h

−

∞



n=m

bn 1 + cos( cos(an−m πυm )

{

}

(2.2)

8

2 Fun Funci cion ones es con contin tinuas uas nunca unca dife difere renc ncia iabl bles es..

y como todos to dos los t´ erminos erminos de la serie son positivos, p ositivos, tenemos bm 2 Rm (h) > > am bm h 3

|

| ||

por lo que



f ( f (x + h) h

Pero

→ ∞



− f ( f (x) ≥ |R

| − |S

m (h)

| >

m (h)

 − 2 3

π ab

−1



am bm .

2 ab > 1 + π 3

→ 0, 0 , se sigue que

y como m entonces h donde f  (x) no existe.

 −  2 3

π ab 1

−

am bm tiende a

∞, de

on on de Weierstrass Figura 2.1. Funci´

Remark: A Remark: A principios del siglo XX, Hardy probó que se sigue obteniendo el mismo resultado para las conclusiones b (0, (0 , 1), 1), a > 1 y ab > 1. 1 .

∈

2.3. 2.3.

Funci unci´ o on ń de van der Waerden.

Tras la publicaci publicaci´ on o´ n de la función on de Weierstras eierstrass, s, much muchos os matem´ matem´ aticos aticos trabajaron en la b´ usqueda usqueda de más as funciones continuas y nunca diferenciables. Aparecen entonces las funciones de Takagi en 1903 y 27 a˜ nos nos m´ as as tarde la función on de van der Waerden, que aparentemente fue publicada sin que se

2.3 Funci´ unción de van der Waerden.

9

percataran de la similitud con la anterior. Ambas funciones toman como punto de partida la función on periódica odica φ definida por φ = dist( dist(x, Z), x R, esto es, m´ın x [x], [x] + 1 x , x R. Aqu´ Aqu´ı, [x] representa a la función on parte entera.

{ −

∈

− } ∈

Se define entonces la función on F a , a > 1, 1 , mediante la serie F a (x) =

∞ φ(ak x)



k =1

ak

,

x

∈ R.

Cuando a Cuando a = = 2 se tiene la función on de Takagi y en el caso de a = 10 hablamos de la función on de van der Waerden. Damos ahora una prueba de la continuidad y la no derivabilidad de la funci´ on de van der Waerden, que puede adaptarse a otros valores de a. on

Figura 2.2. Funci´ on on phi

on de la figura. Se tiene que la funci´ on de van Proposici´ on on 2.2. Sea φ la funci´ der Waerden ∞ φ(10k x) V ( V (x) = , x R, 10k



∈

k =1

es continua en R y no derivable en ning´ un punto. Demostraci´ on. La continuidad de V se sigue del hecho de que φ es continua, y la serie que define a V converge uniformemente en R, pues

∞ φ(10k x)



k=1

10k

∞ 1

 ≤

k=1

10k

<

∞.

Veamos que V no tiene derivada en ning´ un un punto de R.

10

2 Func Funcio ione ness con contin tinuas uas nunca unca dife difere renc ncia iabl bles es..

Sea x R. Para cada m N, tomamos δ m = 10−m−1 , donde el signo se elige de manera que φ sea lineal entre 10m (x + δ + δ m ) y 10m x. N´ otese otese que esto es 1 posible pues 10m δ m ) = 10 .

∈ |

∈

±

|

∈

−→ −→

−→ ∞

Tomamos xm = x + δ m , m N. Es claro que xm x, cuando x, cuando m . Por otro lado, teniendo en cuenta que φ es periódica o dica de periodo 1 y que si k, m N, k m + 1, entonces 10k δ m Z, se sigue que

∈

φ(10k xm

≥ ∈ ) − φ(10 x) = φ(10 φ(10 x + 10 δ ) − φ(10 x) = 0, k

k

k

k

m

k, m

∈ N, k, ≥ m + 1.1.

De aqu´ aqu´ı se obtiene entonces que V ( V (xm ) xm

− V ( V (x) 1 = −x δ

m

∞ 1



k =1

10k

(φ(10k xm )

k

− φ(10 x)), )),

m

∈ N.

Ya que φ es lineal(con pendiente 1 o -1) en el intervalo de extremos 10k x y 10k xm , k = 1,...,m,m N, se tiene que, para cada m N y k = 1,...,m, φ(10k xm

∈ ∈ ) − φ(10 x) = 10 α (x − x) = 10 α δ k

k

k

k

m

k m,

∈ {−1, 1}.

donde αk

De esta forma V ( V (xm ) xm

− V ( V (x) −x =

m



k=1

αk ,

m

∈ N,

y, por tanto, V no es derivable en x, como c omo quer´ıamos ıamo s demos d emostrar trar..

on on de van der Waerden Figura 2.3. Funci´



3 Funciones diferenciables nunca mon´ otonas. otonas.

3.1. 3.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

on f : R R se dice nunca mon´ Definici´ on on 3.1. Una funci´ otona si no existe un subintervalo cerrado [a, b] con a < b, sobre el cual f es mon´ otona.

−→

Construir una función on siempre discontinua y nunca monótona otona es muy fácil. acil. Por ejemplo, la función on caracter´ cara cter´ıstica ısti ca en Q , f= χQ , es de este tipo. Observemos que una función on nunca monótona otona no debe confundirse con una función on que no es mon´ otona otona en [0, [0, 1]. 1]. ¿Existen funciones continuas nunca monótonas? otonas? La respuesta, como ha de esperarse, es afirmativa. En efecto, teniendo en cuenta el on continua Teorema de diferenciabilidad de Lebesgue , se sigue que toda función nunca diferenciable en [0, [0, 1] es una función on continua nunca monótona. otona. En particular, las funciones continuas nunca diferenciables de Weierstrass o de Van der Waerden son nunca monótonas. otonas.

En el transcurso del siglo XVII a los matemáticos aticos les era imposible determinar si s i exist exis t´ıan funciones fun ciones siempre diferenciables diferencia bles pero p ero nunca monótonas. otonas. Notemos que para que una tal f exista f exista debe ocurrir que los conjuntos

{x : f : f  (x) > 0 > 0 }

y

{x : f : f  (x) < 0 < 0 }

sean densos en [0, [0, 1]. 1]. Dini era uno de los que cre´ cre´ıa que dichas funciones pod po d´ıan existir, mientras mientras que P. du Bois-Reymond ten´ ten´ıa la presunci´ on on de que funciones nunca monótonas otonas no pod po d´ıan ser diferenciables. diferencia bles. En 1887, K¨ opcke opcke a fuerza de coraje y perseveranci p erseveranciaa dio a conocer, a través es de una construcción on extremadamente complicada, una función on diferenciable nunca mon´ otona. Nuevas funciones de este tipo fueron dadas por matemáticos otona. aticos como

12

3 Fun Funci cion ones es dife difere renc ncia iabl bles es nunca unca mon´ monótonas. otonas.

Denjoy, Denjoy, Pereno, Hobson, etc. Todas esas construcciones construcci ones segu´ segu´ıan siendo dif´ dif´ıciles y largas (la más as corta constaba de 10 p´ aginas). aginas). Casi 100 a˜ nos nos despu´ después, es, en 1974, Y. Katznelson Katznelson y Stromberg Stromberg reviven reviven la investigación on al construir otra función on diferenciable nunca monótona otona pero mucho m´ as simple que la dada por Köpcke. as opcke.

3.2. 3.2.

La Func unci´ on de Katznelson-Stromberg. on

El objetivo de esta sección on es el de presentar una función on diferenciable en cualquier punto, pero que nunca es monótona. otona. Lema 3.2. Sean r, s

∈ R.

r > s > 0 > 0 , entonces 1. Si r

r r2

2. Si r > 1 y s > 1 , entonces

− s ≤ 2. − s2 r

− ≤ 2 . − − s

r + s 2 r2 s2 2

demostraci´ i´ on o n para para la afirm afirmac aci´ i´ on o n 1. es triv trivia iall pues puesto to que que Demostraci´ on. La demostrac r −s 1 1 2 = r+s < r < r .. Veamos la implicación on 2. directamente. r2 −s2 Si r > 1 y s > 1, entonces

− s)2 + (r(r − 1)(s 1)(s − 1) + r2 + 3s 3s + r 5 < ( < (rr2 − 2rs + s2 ) + (rs (rs − r − s + 1) + r2 + 3s 3s + r 5 < 2 < 2rr2 + s2 − rs + 2s 2s + 1 rs + s2 − 2s < 2r 2 r2 + 2s 2s2 − 4 s(r + s) < 2( < 2(rr2 + s2 − 2) r + s − 2 2 < . r2 + s2 − 2 s 5 < ( < (rr



Lema 3.3. Sea φ(x) = (1 + x )

||

1 b

−a

−1 2

para x

∈ R. Entonces

b

ˆ a

{

φ(x)dx < 4min 4 min φ(a), φ(b)

siempre que a y b sean n´ umeros reales diferentes.

}

3.2 La Funci Funci´ ón o n de Katz Katzne nels lson on-S -Str trom ombe berg rg..

≤ a < b entonces

erdida erdida de generalidad, supongamos 0 Demostraci´ on. Sin p´ aplicando el lema 3.2 3.2 vemos vemos que 1 b

−a

ˆ a

b

√

−√ −

13

2( 1 + b 1 + a) 4 = 4min φ(a), φ(b) . φ(x)dx = dx = < (1 + b) (1 + a) 1+b

√

{

}

≤

Como φ es una función o n par, el caso en el que a < b 0 queda igualmente probado con la misma demostraci´ on. Ahora bien, el caso en el que se verifica on. que a < 0 < 0 < b se resuelve empleando la segunda parte del lema 3.2 3.2.. b

1 b

−a

ˆ a

√

−√ −

2( 1 + b 1+a φ(x)dx = dx = (1 + b) (1 + a)

− 2) < 4min − 2 4min{φ(a), φ(b)}.



Lema 3.4. Sean φ(x) = (1 + x )

||

−1 2

y ψ cualquier funci´ on de la forma

n

ψ (x) =



cj φ(λj (x

j =1

− α )), )), j

donde c1 ,...,cn y λ1 ,...,λn son n´ umeros reales positivos, y α1 ,...,αn

cualquier n´ umero real, entonces b

1 b

−a

ˆ

{

}

ψ (x)dx < 4min 4 min ψ (a), ψ (b) ,

a

cualesquiera que sean a y b n´ umeros reales reales distint dis tintos os entre s´ı. Demostraci´ on. El resultado se obtiene haciendo uso del lema 3.3 que 1 b

−a

b

ˆ

φ(λ(x

a

λ(b α)

1

− α)) = λ(b − α) − λ(a − α)

ˆ

−

φ(t)dt.

λ ( a α)

−



Lema 3.5. Sea (ψn )n∞=1 una sucesi´ on de funciones como las del lema 3.4 3.4.. Para x R y cada n definimos

∈

x

Ψ n (x) =

ˆ

ψn (t)dt.

0

Supongamos que n∞=1 ψn (a) = s < para alg´ un a R. Entonces la serie ∞ F ( F (x) = n=1 Ψ n (x) converge uniformemente en cada subconjunto acotado de R, la funci´ on F es diferenciable en a y F  (a) = s . ∞ ∞ F (x) = n=1 Ψ n (t) y n=1 Ψ n (t) = f ( f (t) < t R, En particular, si F (  entonces F es diferenciable sobre todo R y F = f .

 

∞



∈



∞∀ ∈

14


Demostraci´ on. Sea b tal que b x b, vemos b, vemos que

≤

a

|Ψ (x) n

 ˆ |≤



x

ψn (t)dt +

0

≥ |a|. entonces, haciendo uso del lema 3.4 3.4,, −b ≤

ˆ

 ≤ | |

ψn (t)dt

a

| − a|ψ

4 a ψn (a) + 4 x

n (a)

≤ 12 12bψ bψ

n (a).

Gracias a la Prueba M de Weierstrass , podemos afirmar que existe convergencia uniforme en [ b, b]. Para probar que F  (a) = s, tomemos ε > 0 y elijamos N tal N tal que

−

10

·

∞



ψn (a) < ε.

n=N +1

Como cada ψn es continua en a, podemos afirmar que existen algunos δ > 0 tales que 1 a+h ε ψn (t) ψn (a) < , h a 2N

||

 

ˆ

siempre que 0 < 0 < h < δ y 1 δ implica implica que



F ( F (a + h) h

 

−

≤ n ≤ N. N . Además, as, empleando el lema 3.4 lema 3.4,, 0 < 0 < |h| <

− F ( F (a)

 −

  ˆ  ˆ ≤    ˆ 

s =

∞

a+h

1 h

n=1

a

N

1 h n=1

+

−ψ

n (a)

a+h

ψn (t)

a

∞

1 h

n=N +1

ε < + 2 n

ψn (t)

∞

    

−ψ

n (a)

a+h

(3.1)

ψn (t) + ψn (a)

a

5ψn (a) < ε.

=N +1



Lema 3.6. Sean I 1 ,...,I n intervalos abiertos disjuntos, αj el punto medio del intervalo I j , y ε n umeros ´ reales positivos. Entonces existe una funci´ on ε y y y 1 ,...,yn n´ 3.4 tal tal que para cada j , ψ como la del lema 3.4

1. ψ( ψ (αj ) > yj ψ (x) < yj + ε si x I j 2. ψ( 3. ψ( ψ (x) < ε si x / I 1 ...

∈ ∈ ∪ ∪ I . n

3.2 La Funci Funci´ ón o n de Katz Katzne nels lson on-S -Str trom ombe berg rg..

15

Elijamos cj = y j + 2ε y escribamos φ escribamos φj (x) = c j φ(λj (x αj )), donde Demostraci´ on. Elijamos c λj es elegido suficientemente grande tal que φj (x) < 2εn si x / I j . Tomemos ψ = φ1 + ... + φn . Las propiedades 1., 2., y 3. del lema se verifican porque I j I k = , i = k. k . 

∈

∩

−

∅ 

Teorema 3.7. Sea αj j∞=1 y β j j∞=1 subconjuntos numerables disjuntos de R. Entonces existe una funci´ on F diferenciable en cualquier punto sobre R verifi  < 1 j, y 0 < F  (x) 1 x. cando que F (αj ) = 1, F (β j ) < 1

{ { }

{ { }

∀

≤

∀

Demostraci´ on. Obtendremos nuestra función on F F como en el lema 3.5 constru∞ yendo primero F  = f = n=1 ψn , con sumas parciales f n = nk=1 ψk , de tal manera que 1 An : f n (αj ) > 1 > 1 (1 j n) n), n 1 Bn : f n (x) < 1 < 1 (x R), n+1 1 C n : ψn (β j ) < (1 j n) n ). 2n 2n Suponiendo Suponi endo que esto es cierto, tendr´ tendr´ıamos que



−

≤ ≤

−

∈

·

≤ ≤



F  (αj ) = l´ım f n (αj ) = 1, n

→∞

0 < F  (x) = l´ım f n (x)

→∞

n

y, eligiendo n < j , F  (β j ) = f n−1 (β j ) + < 1

−

1 + n

∞



k=n

1 2k 2k

·

< 1

∞



≤ 1, 1 ,

ψk (β j )

k=n

− n1 + 21n · 1 = 1 − 21n < 1, 1 ,

obteniendo dicha función on F . F . Procedamos Procedamos inductiv inductivamen amente te para construir construir f n . Elijamos un intervalo I abierto con punto medio α1 tal que β 1 / I . Después es hacemos uso del lema 3.6 con ε = y = y 1 = 14 para obtener f 1 = ψ 1 que satisface A1 , B1 , y C 1 . Ahora supongamos que n > 1, f n−1 y ψn−1 han sido elegidos de tal manera que satisfacen An−1 , Bn−1 , y C n−1 . Seleccionando intervalos abiertos disjuntos I 1 ,...,I n tales que, para cada j 1,...,n , αj es el punto medio de I j , I j β 1 ,...,β n = y f n−1 (x) < f n−1 (αj ), donde

∈

∈ {

}

δ =

∩ {

1 n(n + 1)

− 2n 1· 2

n

> 0. 0 .

} ∅

16


Ahora, nuevamente aplicando el lema 3.6 3.6 y y tomando ε = 2n1·2n y yj = 1 f n−1 (αj ), con 1 j n, n, obtendremos ψn satisfaciendo C n . Tam También

≤ ≤

f n (αj ) = f n−1 (αj ) + ψn (αj ) > f n−1 (αj ) + yj = 1

− 1 −

− n1 ,

para obtener obte ner as´ as´ı An . Para comprobar Bn , tengamos en cuenta que si x entonces f n (x) = f n−1 (x) + ψn (x) < f n−1 (αj ) + δ + δ + yj + ε = 1 n j

n

∈ R,

− n1 + n(n1+ 1) = 1 − n +1 1 ;

∈ ∪ =1I , entonces

mientras que si x /

j

f n (x) = f n−1 (x) + ψn (x) < 1 < 1

− n1 + ε < 1 − n +1 1 .



on de Katznelson - Stromberg.) Existe una funCorolario 3.8. (La 3.8. (La funci´ ci´ on diferenciable diferenciable H otona. H sobre R con derivada acotada tal que H H es nunca mon´

Demostraci´ on. Sea αj j∞=1 y β j j∞=1 subconjuntos densos disjuntos de R. Haciendo uso del teorema anterior, obtenemos una función F on F diferenciable diferenciable en cualquier punto y G sobre R tal que

{ }

{ }

F  (αj ) = G  (β j ) = 1, 0 < F  (x)

≤ 1, 1 ,

G (αj ) < 1 < 1,, 0 < G (x)

F  (β j ) < 1 < 1,,

≤ 1, 1 ,

∀ j y x. Pongamos H = F − − G. Entonces, G. Entonces, H  (αj ) > 0 > 0,, H  (β j ) < 0 < 0

− 1 < H (x) < 1 < 1,,

∀ j y x. Como {α }∞=1 y {β }∞=1 son ambos densos , H H no puede ser monótona otona en j j

ning´ un un intervalo.

j j



4 Funciones uncione s nunca anal´ anal´ıticas de clase C . ∞

4.1. 4.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on. on.

→

∈

C es anal Recordemos que una función f on f : R ana l´ıtica ıti ca en x en x 0 R si f f admite un desarrollo en series de Taylor con radio de convergencia positivo en x0 , y es de clase C ∞ si f posee f posee derivada continua de todos los órdenes; ordenes; es decir, si f (n) existe y es continua para todo n todo n N. Debemos recordar que para que la funci´ on on f f de clase C ∞ en un intervalo de R sea anal´ anal´ıtica, no es suficiente suficiente que su serie de Taylor posea, en cada punto, un radio de convergencia positivo; es necesario, adem´ as, que la suma de dicha serie sea igual a f . as,

∈

Por Por supues supuesto, to, toda funci´ funci´ on on anal´ anal´ıtica ıtica es de clase C ∞ ; sin sin em emba barg rgo, o, el rec´ rec´ıproco ıpro co no es, en general, general , v´ alido. alido.

4.2. 4.2.

Funci uncion ones es C

∞

y no anal´ anal´ıticas en el origen.

Consideremos la función on f ( f (x) =



exp( exp( −x1 ) si x > 0 > 0 0 si x 0. 0 .

≤

definida para todo n´ umero umero real x. La función on f tiene f tiene derivadas continuas de todos los ordenes órdenes en todos los puntos x de la recta real, dados por (n)

f

(x) =



pn (x)f (x) x2n

0

donde pn (x) es un polinomio de grado n partir de

si x > 0 si x 0. 0 .

≤

− 1 que se obtiene recursivamente a

18

∞

4 Funci Funcione oness nunca nunca anal anal´ ´ıticas ıticas de clase clase C .

Figura 4.1. Funci´ on on no anal´ anal´ıtica y de clase C ∞ .

p1 (x) = 1 pn+1 (x) = x 2n pn (x)

− (2nx (2nx − 1) p

n (x),

n

∈ N.

Veamos que la fórmula ormula se verifica para la primera derivada de la funci´ on f on f para todo x > 0 y que p1 (x) es un polinomio de grado 0. En efecto, la derivada de f es es cero para x para x < 0. Queda por demostrar que la derivada por la derecha de f f evaluada en x = 0 es cero. Haciendo uso de la definición on de derivada vemos que −1 x f ( f ( x ) f (0 f (0 e f  (0) (0) = l´ım = l´ım = 0. x−→0 x−→0 x x 0

− −

De acuerdo con la hip´ otesis otesis de inducción, on, supong´ amoslo amoslo cierto para n y demos dem ostr´ trémoslo emo slo para par a n + 1. f (n+1) =

pn (x) = x2n



x2n pn (x)

−

pn (x) pn (x) 2n 2n+1 + 2n+2 x x



− (2nx (2nx − 1) p

n (x)

f ( f (x)

f ( f (x) x2n+2 pn+1 (x) = 2(n+1)) f ( f (x), x donde pn+1 (x) is un polinomio de grado n = (n + 1) 1. Es fácil acil ver que la (n +1) derivada de f de f es es cero para x para x < 0 y que la derivada por la derecha de f de f (n) es f (n) (x) f (n) (0 pn (x) −1 l´ım = l´ım 2n+1 e x = 0. x−→0 x−→0 x x 0

−

− −

4.4 La funci funci´ ón de Merryfield.

19

Como hemos visto antes, la función on f tiene f tiene infinitas derivadas continuas, y todas estas derivadas en el origen valen 0. Además, as, la serie de Taylor de la funci´ on on f en f en el origen en cualquier punto converge a la función on cero,

∞ f (n) (0)



n=0

n!

n

x =

∞ 0



n! n=0

xn = 0,

x

∈ R,

y as´ as´ı la serie de Taylor aylor no es igual a f (x) para x > 0. Consecuentemente, la funci´ on on f no f no es anal´ anal´ıtica en el origen.

4.3.

La funcion o ń de Lerch.

Uno de los ejemplos más as sencillos y relativamente simple de una función on ∞ de clase C sobre R que no es anal´ anal´ıtica en ning´ un punto, fue construido por un Mathias Lerch en el a˜ no 1888, y es el siguiente: no f ( f (x) =

∞ cos( cos(ak x)



k =0

k!

con a impar y mayor que 1. R es claramente C La función f on f : R claramente C ∞ debido a la convergencia uniforme de todas toda s las series obtenidas diferenciando diferencia ndo término ermino a término. ermino. Para demosde mostrar que la serie de Maclaurin diverge para todo x = 0 observemos primero que

−→



( ) f (4n) (0) = expa = expa4n . Por este motivo moti vo tenemo te nemoss que q ue l´ım ımn→∞ sup |f n!(0)|

Hasta el momento sólo olo necesitábamos abamos que a > 1.



n



1

n

∞

=+ .



Para probar que la serie de Maclaurin es divergente para cada x = 0 necesitamos que ese a fuera un entero positivo impar. Esta prueba se basa en el hecho de que un crecimiento similar de las derivadas f (n) (x) se produce en cualquier punto de la forma abπ m , con b impar y m un entero positivo.

4.4.

La funcion o ń de Merryfield.

Otro ejemplo, más as reciente y debido a Kent G. Merryfield de una función on infinitam infinitament entee diferenci diferenciable able que no es anal´ anal´ıtica en cualquier cualquier punto punto puede puede ser construido por medio de una serie de Fourier de la siguiente manera. Sea A = 2n : n N el conjunto de las potencias de 2 y definamos x R

{

∈ }

F ( F (x) =

 ∈

k A

√ k − e cos( cos(kx) kx).

∀ ∈

20

∞

4 Funci Funcione oness nunca nunca anal anal´ ´ıticas ıticas de clase clase C .

√ − k n Ya que que la seri seriee k converge ∀n ∈ N, esta funci´ funci´ on o n se ve k ∈A e ∞ f´ acilmente que es de clase C , por una aplicación acilmente on inductiv inductivaa est´ andar a ndar de la



ultiplo ultiplo racional diádiadiprueba M de Weierstrass . Por otra parte, para cualquier m´ p co de π de π,, es decir, x decir, x = = q π con p con p N y q A, A , y para cualquier orden de derivación on n A, n 4 y n > q tenemos tenemos que

∈

∈

≥

(n)

F

(x) =

√ − e k kn cos( cos(kx) kx)

  ∈

k A

=

∈ ∈

√ − e k kn +



√ − e k kn cos( cos(kx) kx)

(4.1)

∈ k∈A,k≤q √ ≥ e− nnn + O(q n) k A,k>q

−→ −→ ∞

∀

cuando n . Donde hemos usado que cos( cos(kx) kx) = 1, k > q. q. Consecuentemente, en cualquiera de dichos x l´ım sup

→∞

n

|

F (n) (x) n!

|



1 n

∞

=+ ,

por lo que el radio de convergencia del desarrollo en serie de Taylor de la función on ormula de Cauchy - Hadamard. Ya que el conF en x vale 0 atendiendo a la F´ junto de analiticidad de una funci´ on es un conjunto abierto y que los racionales on di´ adicos son densos, se concluye que esta función adicos on F no es anal´ anal´ıtica en ninguna parte de R.

5 Funciones singulares.

5.1. 5.1.


on f : [a, b] Definici´ on on 5.1. Una funci´ a) b) c) d)

−→ R se dice singular si satisface: singular si

f es continua en [a, b]. f es creciente. f (a) < f (b). Exist Existee un conjunt onjunto o de medid medida a nula nula N tal que f  (x) = 0, x [a, [ a, b] N.

∀ ∈

\

Un ejemplo estándar andar de función on singular es la Funci´ la Funci´ on on de Cantor, Cantor, aunque no es la unica. u ´ nica. Si f Si f ((x) = 0 para x para x a y a y f f ((x) = 1 para x para x b; b; entonces dicha funci´ on on es la función on de distribución on de una variable aleatoria que no es discreta, (puesto que la probabilidad es cero para cada punto) ni es absolutamente continua (puesto que la función on de densidad es cero en cada punto si existe).

≤

5.2. 5.2.

≥

El conj conjun unto to de Can Canto tor r

Sea C Sea C 0 el intervalo cerrado [0 , 1] de la recta real. Dividimos este intervalo en tres subintervalos 1 1 2 2 0, , , , ,1 . 3 3 3 3

     

El primer paso, para la construcción on del conjunto de Cantor, consiste en eliminar el subintervalo abierto intermedio, o sea quitamos 13 , 23 . Sea C 1 la 2 unión on de los dos intervalos restantes, es decir C 1 = 0, 13 3, 1 .

   ∪ 

22

5 Funcion ciones es sing singu ulare lares. s.

El segundo paso consiste en repetir el mismo proceso a cada uno de los intervalos que componen C 1 . En otras palabras, a cada intervalo que conforma C 1 lo dividimos en tres partes de igual tamaño no gener´ andose andose los siguientes subintervalos

        0,

1 , 9

1 2 , 9 9

,

2 3 , 9 9

6 7 , , 9 9

y

7 8 , 9 9

,

8 ,1 . 9

Como antes, ahora quitamos los subintervalos abiertos intermedios, quedando as´ as´ı la siguiente uni´ on on de intervalos

 ∪ ∪ ∪  0,

1 9

2 3 , 9 9

6 7 , 9 9

8 ,1 9

que denotaremos como C 2 . Para obtener C obtener C 3 repetimos el proceso, es decir, a cada uno de los intervalos que componen C componen C 2 (que tienen longitud de 19 ), lo dividimos en tres partes de igual tama˜ no no y quitamos los tercios medios. Con esto obtendr´ obtendr´ıamos el tercer paso de la construcción on que consiste en el conjunto:

 ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ 

C 3 = 0,

1 27

2 3 , 27 27

6 7 , 27 27

8 9 , 27 27

18 19 , 27 27

20 21 , 27 27

24 25 , 27 27

Este proceso pro ceso se s e sigue sig ue indefinidamente, indefin idamente, y as´ as´ı para obtener C obtener C m+1 , se dividen en tres partes iguales todos los intervalos que componen a C a C m y se suprimen los intermedios.

Figura 5.1. Construcci´ on del conjunto de Cantor C on

Finalmente el conjunto de Cantor C se C se define como la intersección on de todos los conjuntos C m . Esto es C =

∞



C m .

m=0

Teorema 5.2. El conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue cero.

26 ,1 . 27

5.3 La funci funci´ ón de Cantor.

23

Demostraci´ on. Para calcular la medida de C , restaremos a la medida de [0, 1], la medida de los intervalos que quitamos en la construcción on de C . Observamos que en el primer caso, eliminamos un intervalo de longitud 13 , en el segundo 2 1 intervalos de longitudes 19 , en el tercero 4 intervalos de longitudes 27 y as´ı suce su ce-sivamente. sivamente. Entonces, Entonces, usando propiedades de series geom´ etricas etricas obtenemos que

\

\

m(C ) = m([0 m([0,, 1] (m([0, ([0, 1] C ))) ))) = 1 =1

− (1 · 31 + 2 · 91 + 4 · 271 + ...) ...) ∞ 2n−1

 −

n=1

=1

(5.1)

3n

1 3

− 1 − 2 = 1 − 1 = 0. 3



vac´ıo, ıo, perfe perfecto cto y nunca nunca denso. Teorema 5.3. El conjunto C de Cantor es no vac´ Demostraci´ on. Ya que m(C ) = 0, no puede contener intervalos. Por lo que, C es nunca denso. Para probar que C que C es es perfecto, debemos probar que cada punto de C es un punto l´ımite. Cogemos x C y δ > 0. Elegimos un entero n tal que 3−n < δ. δ. Como x C n , existe un intervalo cerrado I I de longitud 3−n tal que x I C n . Tomamos a un punto final de I que que es distinto de x y tenemos que a C y 0 < x a < δ. Por δ. Por tanto, x es un punto l´ımite de C .

∈ ⊆ ⊆ ∈

∈

∈ | − |

Corolario 5.4. C es no numerable.

Demostraci´ on. Es consecuencia de que todo conjunto perfecto es no numerable. numerable.

5.3.

La funcion o ń de Cantor.

⊂ ⊂

Recordemos que el conjunto de Cantor C [0, [0, 1] y C = C k es una uni´ on on disjunta de 2k intervalos de longitud 31k .

∞ C , donde k =0 k



Consideremos las sucesiones de funciones f n n∞=0 y F n n∞=0 cuyo cu yoss térmi er mi-n x x nos generales vienen dados por f n = 32 χC n y F n (t) = 0 f n (t)dt respectivamente. As´ As´ı por ejemplo f 0 = 1, F 0 (x) = x, F 1 (x) es una función on continua creciente en [0, 1] que viene dada por



F 1 (x) =

  

3 2, x

{ }

{ ´ }

≤ x ≤ 13 1 si 13 ≤ x ≤ 23 2, 1 1 (3x − 2), 2), si 23 ≤ x ≤ 1 2 + 2 (3x si 0

24


Figura 5.2. Funci´ on on F1

De la misma manera, F 2 (x) es continua, creciente y viene dada por

F 2 (x) =

Observemos que si

ˆ

aj +1 3n

aj



       

aj

9 4x

≤ x ≤ 19 1 si 19 ≤ x ≤ 29 4, 1 1 (9x − 2), 2), si ≤ 29 ≤ x ≤ 13 4 + 4 (9x 1 si 13 ≤ x ≤ 23 2, 1 1 (9x − 6), 6), si ≤ 23 ≤ x ≤ 79 2 + 4 (9x 3 si 79 ≤ x ≤ 89 4, 3 1 (9x − 8), 8), si 89 ≤ x < 1. 1 . 4 + 4 (9x

aj +1 , n 3 3n es uno de los intervalos que forman C n :

f n+1 (t)dt = dt =

3n



ˆ

aj +1 3n

aj

3n

ˆ

aj +1 3n

aj 3n

si 0 si 0

 3 2

n+1

 3 2

n

χC n (t)dt = dt =

χC n+1 (t)dt = dt =

ˆ

aj +1 3n

aj 3n

1 = 2n

f n (t)dt.

Por tanto obtenemos que F n n∞=1 es una sucesión on de funciones continuas y crecientes donde su término ermino general verifica

5.3 La funci funci´ ón de Cantor.

25

Figura 5.3. Funci´ on on F2

F n (x) =

  

0, si x = 0 j +1

2n

aj +1

, si

3n

≤ x ≤

aj +1

3n

para j = 0, ..., ..., 2n

−2

1, si x = 1

y los escalones de la función on los unimos de forma lineal. Notemos también en que si x [0, [0 , 1] C n−1 entonces F n (x) = F n−1 (x).

∈

\

Proposici´ on on 5.5. Sean F n (x) las funciones que acabamos de definir. Entonces F (x) = l´ımn−→∞ F n (x). existe F ( on de Cauchy Demostraci´ on. Es suficiente probar que F n (x)n∞=1 es una sucesión uniforme en [0, 1].

ˆ    ˆ    ˆ   ≤ x

|F +1(x) − F (x)| = n

n

3 2

0

x

=

aj 3n

aj +1 3n

aj 3n

=

1 . 2n

n+1

χC n+1 (t)

3 2

n+1

3 2

n

  −   −

χC n+1 (t)

3 2

   

χC n (t)dt

3 2

n+1

χC n+1 (t)dt +

n

χC n (t)dt

ˆ

aj +1 3n

aj 3n

3 2

n

χC n (t)dt

(5.2)

26


∈

Sea ε > 0, debemos encontrar n0 m, n > n0 , se tiene N tal que para m, que F m (x) F n (x) < ε para todo x [0, [0, 1]. 1]. Fijemos ε > 0, y tomemos n0 de ∞ forma que k=n0 2k1−1 < ε. Sean ε. Sean m m,, n > n0 , y supongamos que m que m > n, entonces, aplicando el apartado anterior,

|

|F

−

m (x)

|

∈

− F (x)| =|F (x) − F −1(x) + F −1(x) − F −2(x) + ... + F +1(x) − F (x)| ≤ |F (x) − F −1(x)| + |F −1(x) − F −2 (x)| + ... + |F +1(x) − F (x)| ≤ 2 1−1 + 21 + ... + 2 1−1 n

m

m

m

m

m

∞

 ≤

k =n0

m

m

1 2k−1

m

m

n

m

n

n

n

< ε. (5.3)

Hemos demostrado por tanto que F n (x)n∞=1 es una sucesión on de Cauchy uniforme.

on de Cantor, F : [0, Teorema 5.6. La funci´ [0, 1]

−→ [0, [0 , 1], es singular.

∞ Demostraci´ on. Como F Como F n (x)n=1 es una sucesión on de funciones crecientes, tenemos que, para cualquier n y todo x, y [0, [0, 1], con x con x < y,F n (x) F n (y ). Tomando l´ım ımit ites es cuan cu ando do n n a ambos lados, llegamos a que F que F ((x) < F ( F (y ). Por tanto, F tanto, F ∞ es creciente. Además, as, como F como F n (x)n=1 es una sucesión on uniformemente de Cauchy ∞ y F n (x)n=1 son funciones continuas, tenemos que F que F ((x) es una función on continua.

→∞

∈

≤

También, en, por po r construc cons trucci´ ción on de la función on de Cantor, es fácil acil observar que: 0. F (0) F (0) = 0. F (1) F (1) = 1. 1. F es F es constante en cada intervalo del complementario del conjunto de Cantor. Por tanto, F  = 0 en casi todo punto.

Figura 5.4. La funci´ on on de Cantor F

n

6 Funciones cuya derivada es acotada y no integrable.

6.1. 6.1.


El primer ejemplo de una función on derivable con derivada acotada pero no integrable se debe a Volterra, el cual data de 1881. La construcción on de la función on 1 2 de Volterra se basa esencialmente en la función on f f dada por f (x) = x sen( sen( x ) si 1  x = 0, y f (0) (0) = 0 cuya derivada está dada por f (x) = 2xsen( xsen( x ) cos( cos( x1 ) si x = 0 y f  (0) = 0. Si se mira superficialmente la construcción on de la función on de Volterra, puede quedar la impresión on de que la no integrabilidad de la derivada se debe a que la función on en la que se basa la construcción, on, oscila infinitas veces alrededor del origen, por esta razón on presentamos presentamos en este cap´ cap´ıtulo una funci´ on on similar a la de Volterra, cuya función on base, que se utiliza para su construcción on que tiene una derivada con mejor comportamiento. Las ideas que aplicamos son las mismas que las del ejemplo de Volterra.

 

−

Para construir las funciones anteriormente mencionadas usaremos un con junto de Cantor generalizado. La no integrabilidad integrabilidad se probar´ a usando la caracterizaci´ on on de las funciones integrables Riemann en términos erminos de sus discontinuidiscontinuidades. Las funciones que construiremos serán an derivables en [0, 1] con derivada discontinua en un conjunto de Cantor generalizado de medida 21.

6.2. 6.2.

El conj conjun unto to de Smit Smith h - Can Cantor tor - Volte olterr rra. a.

Construyamos un conjunto de Cantor generalizado contenido en [0, 1] de medida 12 , llamado Conjunto de Cantor -Smith- Volterra . El primer paso de esta construcción on consiste en eliminar del intervalo un subintervalo abierto E 01 centrado en [0, 1] de longitud 14 . Ese intervalo es E 01 = ( 38 , 58 ).

28

6 Funci uncion ones es cuya cuya deri deriv vada ada es acot acotad ada a y no inte integr grab able le..

Sea C Sea C 1 el conjunto compacto que resulta de la unión on de los 2 = 21 intervalos cerrados restantes 3 5 C 1 = 0, ,1 . 8 8

 ∪ 

El segundo paso consiste en eliminar 2 = 21 intervalos abiertos, uno de cada uno de los subintervalos compactos que componen C 1 , ambos intervalos abiertos abiertos centrado centradoss en sus respectiv respectivos os interv intervalos alos compactos compactos y de longitud longitud 412 . Sean E 11 y E 12 estos intervalos abiertos. En general, habiendo construido el conjunto compacto C compacto C k constituido por 2k intervalos cerrados, construimos C construimos C k+1 mediante la eliminación on de 2k intervalos abiertos, cada uno de ellos centrado en el intervalo correspondiente que compone C k . Cadas uno de estos intervalos abiertos, que denotamos por E por E ki , tiene longitud 1 . 4k+1 Para cada entero no negativo k, sea U k la unión on de los intervalos abiertos E ki 2k

U k =



E ki .

i=1

on on de los intervalos Figura 6.1. Representaci´

2k

4k+1

Como los 2k intervalos abiertos E ik son disjuntos dos a dos, la m(U m(U k ) = . Para cada entero no negativo n, sea n

V n =



k=0

U k .

6.3 Funci´ unción de Volterra.

29

Como V Como V n es la unión on de intervalos abiertos disjuntos, su medida viene dada por 2

n

1 2 2 2 1 m(V n ) = + 2 + 3 + ... + n+1 = 4 4 4 4 2

   − 1

1 2

n+1

.

Puesto que (V (V n )n∞=0 es una sucesión on creciente de conjuntos abiertos, tenemos que la medida de la unión on de ellos U =

∞



V n

n=0

es m(U ) U ) = l´ımn→∞ m(V n ) = 12 . Por lo tanto el conjunto de Cantor

∞

   \ ∪

\

H = [0, [0, 1] U = [0, [0, 1]

2k i i=1 E k

k=0

también en es de medida medi da 12 . Observemos Observemos que S que SC C V es V es la intersección on infinita de los conjuntos compactos C k , es decir S C V = C k k N ,

{

| ∈ }

as´ı que S C V es V es un conjunto compacto. De hecho, el conjunto de Cantor SC V es infinito no numerable, cerrado, sin puntos interiores y sin puntos aislados. Un conjunto conjunto cuya adherencia tiene interior interior vac´ ac´ıo se llama denso en ninguna parte , y si el conjunto no tiene puntos aislados se llama perfecto, as´ as´ı que el conjunto conj unto de Cantor SC V es V es denso en ninguna parte y perfecto.

6.3. 6.3.

Func unci´ on on de Volterra.

Nuestra construcción on de la función on de Volterra será paralela a la del con junto de SVC. En la primera etapa de la construcci´ on del SVC , hemos eliminado on 3 5 el intervalo ( 8 , 8 ) en [0, [0, 1] . Con el tiempo vamos a colocar una función on espe1 2 cialmente dise˜ nada nada basada en x sen( sen( x ) en este intervalo que hemos eliminado. En primer lugar, sin embargo, vamos a comenzar la construcción on de esa función on en el intervalo (0, (0, 1), de modo que los paralelismos entre la construcción o n de la funci´ on de Volterra y la construcción on on de la SVC se pueden ver en su totalidad. Comenzaremos considerando la función on g(x) =

 

x2 sen x1 si x = 0



0

si x = 0

30


en el intervalo (0, (0, 14 ). En primer lugar, buscamos el mayor x entre 0 y 18 tal que g (x) = 0 y denotamos este punto como a1 . Limitaremos g al intervalo (0, a1 ), y en [a [a1 , 14 a1 ] vamos a insertar la funci´ on on constante g(a1 ) . Por ultimo u ´ ltimo , en el 1 1 1 intervalo ( 4 a1 , 4 ) colocamos la función on g reflejada, g( 4 1) . Vamos a llamar a esta función on definida a trozos como f 1 , de la forma siguiente

− −

−

f 1 (x) =

     

0

si

x < 0

g(x)

si

0 < x < a1

g(a1 )

si a1

g( 14

− x) si 0

≤ x ≤ 14 − a1 1 1 4 − a1 ≤ x ≤ 4 1 4

si

< x.

Podemos ver tanto de la definición o n de f 1 , as´ as´ı como de su gr´ afica a fica en la 1  figura 6.2 que f 1 es diferenciable en (0, (0 , 4 ), pero su derivada f 1 ser´ a discontinua 1 en 0 y en 4 . Nuestro paso siguiente es colocar esta función on en el intervalo eliminado en la primera fase de construcción on de la SVC . Para ello, se define una nueva funci´ on on h1 para trasladar la función on f 1 , 38 de unidad a la derecha. Por tanto, h1 se define como:

h1 (x) =

     

x<

3 8

3 8

0 si si g(x

− 38 ) si

g (a1 )

si

g( 58

− x) si 0

si

3 8 3 8

+ a1

≤ x ≤ 58 − a1 5 5 8 − a1 ≤ x ≤ 8

+ a1

5 8

< x.

La creación o n de h1 es el primer paso en la construcción on de la función o n de Volterra. Repetiremos este proceso para crear h2 , h3 , y as´ as´ı sucesivamente suce sivamente,, colocol ocando cada función on en los intervalos correctos. Tengamos en cuenta que mientras h1 se coloca en un solo intervalo, hn consistirá en f n función on diferenciable sin−1 nusoidal colocada en el 2 intervalos intervalos que retiramos en el paso en´ esimo esimo de la construcci´ on on del SVC.

Para dar un mejor sentido del procedimiento general para la construcción de cada h cada h n , ahora vamos a construir h construir h 2 . Desde la segunda etapa de la construc-


31

5 7 27 1 ción on de SVC quitamos los intervalos ( 32 , 32 ) y ( 25 32 , 32 ), cada uno de longitud 16 , 1 y vamos a empezar a definir a2 como el mayor x menor de 32 donde g  (x) = 0.

Figura Figura 6.2. Izquie Izquierda rda : Se define a1 como el mayor x menor de 81 de tal manera que g  (x) = 0. Derecha: Las tres piezas que componen la función on f 1 : la función on g , su valor constante en a1 , y g reflejada. Podemos ver que esta función on f 1 es diferenciable  (y continua), pero su derivada f 1 tiene discontinuidades en los extremos 0 y 41

Figura 6.3. Nuestro primer paso en la construcción de la funci´ on de Volterra es crear la on 3 5 funci´ on on h 1 definida en ( 8 , 8 ), el intervalo eliminado en la primera etapa de construcción del SVC. Observe cómo omo h1 es simplemente f 1 trasladado al intervalo deseado

32


Figura 6.4. Un dibujo de h1 (azul) y H 2 (rojo). La derivada de h1 tiene dos discontinuidades, que se producen en los puntos 83 y 85 . La derivada de la h2 tiene cuatro 5 7 25 27 , 32 , 32 . De esto, podemos sudiscontinuidades, que se producen en los puntos 32 y 32 poner que, en general, la derivada de h tendrá discontinuidades en los 2n puntos, que n

en virtud de ser puntos finales de los intervalos eliminados en la construcción del SVC, son ellos mismos los elementos del SVC. 1 Entonces construimos la función on f 2 en el intervalo (0, (0, 16 ), definida como

f 2 (x) =

     

0

si

x < 0

g(x)

si

0 < x < a2

≤ x ≤ 161 − a2 1 − x) si 161 − a2 ≤ x ≤ 161 g( 16 g(a2 )

0

si a2

si

1 16

< x.

Ahora tenemos una función on diferenciable cuya derivada es discontinua en 0y ultimo u ´ ltimo paso es definir h2 para crear dos copias de f 2 trasplan5 7 27 tadas en los intervalos ( 32 , 32 ) y ( 25 32 , 32 ) respectivamente. Por lo tanto, h2 es diferenciable y su derivada h2 es discontinua precisamente en los cuatro puntos finales de los dos intervalos. Recordemos que estos puntos finales son en s´ı mismos mismo s puntos del SVC. 1 16 . Nuestro

Ahora estamos listos para definir la función on general f general f n y h y hn . Para empezar, observamos que en e n el enésimo esimo paso de la l a co construcci´ nstrucción on de la SVC , quitamos 2n−1 intervalos abiertos de longitud 4 −n . A continuación, on, definimos an para que sea


el x m´ as grande de longitud menor que as quedar´ a definida a trozos como:

f n (x) =

     

1 2

· 4−

n

donde g (x) = 0. La función on f n

0

si

x < 0

g(x)

si

0 < x < an

g(an )

si

0 < an

g(4−n

33

− x) si 4 si 4 − − a ≤ x ≤ 4 − n

0

n

n

4−n < x.

si

La función on hn se define entonces como la función on a trozos que consiste en n−1 f n llevada a los 2 intervalos que retiramos en el paso n de la construcción on del SVC . Por ultimo, u ´ltimo, podemos definir a continuación on de Volterra función on V.

on de Volterra es una funci´ on Definici´ on on 6.1. La funci´ nida como ∞ V ( V (x) =



−→ −→ R defi-

V : [0, [0, 1]

hn (x),

n=1

donde hn es la funci´ on definida a trozos consistente en las 2n−1 copias de la funci´ on sinusoidal f n que se coloca en los 2n−1 intervalos de longitud 4−n que proceden del intervalo [0, esimo paso de la construcci´ on del conjunto [0, 1] en el enésimo de Smith-Cantor. Ahora Ahora buscam buscamos os demost demostrar rar realme realmen nte que la funci funci´ on oń de Volterra V es diferenciable y que su derivada está acotada y no es integrable Riemann. Para demostrar que V es diferenciable, es más as f´ acil si reformulamos nuestra definición acil on de V ligeramente. Recordemos que el SVC es un conjunto perfecto, denso en ninguna parte formado por los extremos de los intervalos que se retiraron en el proceso de construcci´ on on y de los puntos l´ l´ımite de los puntos finales. Debido a esto, podemos p odemos dividir el intervalo [0, [0 , 1] en dos conjuntos disjuntos: el SVC y los intervalos abiertos eliminadas en el proceso de construcción on (es decir, los intervalos cerrados, menos los puntos finales ). Entonces, tenemos

\

[0, [0, 1] S =

∞



(uk , vk ).

k =1

Elijamos uno de estos intervalos intervalos y denot´ emoslo emoslo por (un , vn ). Sea an un un +vn  n´ umero umero contenido en (u (un , 2 ) tal que g (an ) = 0. Debe quedar claro que se

34


trata de un punto similar al an empleado en una sección on anterior. Definimos entonces bn = u n + v + vn an , por lo que an un = vn bn . Por ultimo, u ´ ltimo, llega el R como momento de definir la función on f n : (un , vn )

−

f n (x) =

Podemos ver que:

− −→

   

− u )2sen( sen( (a − u )2 sen( sen( (v − x)2 sen( sen(

1 − ) un < x < an

(x

n

x un

n

n

an

n

−

1 −u ) an ≤ x ≤ bn n

1 vn

−x ) bn < x < vn

0

en otro caso.

|f (x)| ≤ |x − u |2 ≤ |x − v |2 para a ≤ x ≤ b , |f (x)| ≤ |a − u |2 ≤ |x − u |2 para a ≤ x ≤ b , |f (x)| ≤ |b − v |2 ≤ |x − v |2 para b < x < v , |f (x)| ≤ |x − v |2 ≤ |x − u |2 As´ı, |f (x)| est´ a acotada por ambos |x − u |2 y |x − v |2 . Ahora, ya que tenemos [0, [0, 1]\S = ∪∞=1 (u , v ), para cada intervalo intervalo (u (u , v ) para un < x < an ,

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

k

k

n

n

k

k

k

sea f k una función on definida de igual forma que la anterior. Entonces podemos ver que la función on de Volterra puede ser definida, de manera alternativa, como: V ( V (x) =

 

f k (x) si

∈

x (u ( uk , vk )

∈

0

si x S,

donde S es el SVC. Teniendo en cuenta la definición on de cada f n , podemos ver que V será diferenciable para cualquier c / S . Entonces vayamos a elegir un elemento c S. Para ver que V es diferenciable en c, veamos que

∈

∈

l´ım

→c−

x

V ( V (x) x

− V ( V (c) − c = 0.

La demostración on se puede modificar de una forma fácil acil para adaptarla al caso del l´ımite ımit e por p or la derecha. dere cha. Sea ε Sea ε > 0, 0 , y elijamos δ elijamos δ = ε. Supongamos ε. Supongamos que x que x (c ( c δ, c). Percat´ Percatémonos emonos de que el resultado es trivial si consideramos x S , por lo que sea x u n , vn para alg´ un un valor de n. Entonces de aqu´ aqu´ı se sigue que

∈

∈



V ( V (x) x

− V ( | | V (c) f (x)| x − v2 | − c ≤ −(x − v ) ≤ |x − v | = |x − v | < ε.



n

n

n

n

n

∈ −

6.4 Funci´ unción o n tipo tipo Volte olterr rra a no osci oscila lan nte. te.

As´ı, V  (c) = 0, por lo que concluimos que V es diferenciable en todo c y, de este modo, diferenciable en todo el intervalo [0, [0 , 1].

35

∈ S

Para ver que la función on V  no es integrable Riemann, vamos a ver que V  tiene una discontinuidad en cada c S , esto es, en cada punto del SVC. Sea c S , como c es un punto l´ımite del conjunto conjunto de los extremos de los intervalos intervalos quitados durante la construcción on del SVC. Entonces, ya que c es un punto de ese conjunto E l´ l´ımite, ımite, existe una sucesión on ak de puntos en E que converge a c. Para cada n, existe un entero an > n tal que

∈

∈

|V (x )| = |f 

|

doonde xn = a kn + kn (xn ) = 1 d

n

1 . q n π

Entonces Entonces la sucesi´ on on xn converge a c pero la sucesión V on V  (xn ) converge a 1 = 0 = V  (c), de lo que se obtiene que V  es discontinua en c. Entonces concluimos que V que V  no es continua en ning´ un un punto de S de S . En otras palabras, V palabras, V  toma valores 0 y 1 arbitrariamente cerca de cualquier punto en el SVC, y por lo tanto no es continua continua all´ all´ı. Dado que la medida del conjunto conjunto de discontinuidade discontinuidadess de V  es igual a la medida de S de S y y que su medida es positiva, llegamos a la conclusi´ on on por el Criterio de Lebesgue para Integrabilidad Riemann que la función on de Volterra V tiene V tiene una derivada acotada que no es integrable Riemann.



6.4. 6.4.

Func unci´ on tipo Volterra no oscilante. on

−→ −→

Ahora construimos una función on f : [0, [0, 1] R, derivable, con derivada acotada y discontinua discontinua en el conjunto de Cantor SV C . Para cada intervalo (a, (a, b) = i R tal que E k , montamos la restricción on de una función on derivable f a,b a,b : [a, b]  ella y su derivada f a,b tomen el valor cero en sus extremos a y b. Cuidamos que  tome el valor 1. En los siempre haya un punto en (a, (a, b) donde la derivada f a,b puntos de S V C = [0, [0, 1] U , U , a F la F la hacemos igual a cero.

−→ −→

\

Para construir f a,b [a, b], partimos de la función on a,b en un intervalo [a, h(x) =

2 . 1 + x2

Primero tomamos de esta función on la parte parte correspondi correspondient entee al interv intervalo alo [ 1, 1], luego extendemos esta parte al intervalo [ 2, 2] tomando los trozos en los interv intervalos alos [0, [0, 1] y [ 1, 0] debida debidamen mente te refleja reflejados dos y trasla trasladad dados. os. Dado Dado que h ( 1) = 1 y h y h  (1) = 1, con los tres trozos obtenemos una curva suave. Observemos que la gráfica afica de la función on resultante tiene tangentes horizontales en los puntos (-2,0), (0, 2) y (2,0). V´ ease ease figura 6.

−

−

− −

−

36


on on de la función on h(x) Figura 6.5. Representaci´

g(x) =

  

2(x+2)2 (x+2)2 +1 2 1+x2 2(x 2)2 (x 2)2 +1

−

−

−2 ≤ x ≤ −1 si −1 < x < 1 si

si

1

≤ x ≤ 2

Figura 6.6. Gr´ afica afica de la función on g


37

La derivada de g está dada por

g  (x) =

  

4(x+2) (x2 +4x+5)2 4x (1+x2 )2

−

4(x 2) 4x+5)2

(x2

−

−

−2 ≤ x ≤ −1 si −1 < x < 1 si

si

1

Observe que g ( 2) = g  (0) = g = g  (2) = 0, 0,

−

≤ x ≤ 2 g  (−1) = 1 y

g (1) =

−1.

Figura 6.7. Gr´ afica afica de la función on g’(x)

−→

Mediante una composición on adecuada, obtenemos una función f on f : [0, [0, 1] R, con las mismas cualidades de g de g es espe pecc´ıficam ıfic amente ente si f si f ((x) = g(4 g (4x x 2) obtenemos

−

f ( f (x) =

  

32x2 ) 16x2 +1

si 0

2 1+(4x 2)2

si

1 4

32(x 1)2 ) 16(x 1)2 +1

si

3 4

−

− −

≤ x ≤ 14
3 4

≤ x ≤ 1

La derivada de f se f se anula en los extremos del intervalo [0, [0 , 1] y toma el 1 valor 1 en el punto x = 4. Si [a, b] es cualquier intervalo cerrado y acotado, definimos f a,b a,b : [a, b] R como f a,b a,b (x) = (b

− a)2f

 

− − , es decir

x a b a

−→

38


Figura 6.8. Gr´ afica afica de la función on f(x)

f a,b a,b (x) =

   

(b (b

−

x−a 2 2 32( b−a ) a) 16( x−a )2 +1 b−a

− a)2 1+(4

(b

−

2

x−a b−a

si

a

≤ x ≤ a +

−

b a

4

b−a b−a −2)2 si a + 4 < x < b + 4

b−x 2 2 32( a−b ) a) 16( b−x )2 +1 a−b

si

b

−

−

b a

4

≤ x ≤ b

Esta función on se anula en los extremos a extremos a y y b b y y su derivada satisface f satisface f a,b a,b (a) = 3a+b  f a,b Esencialmente te hemos llevado llevado la funci´ funci´ on on f definida f definida a,b (b) = 0 y f a,b ( 4 ) = 1. Esencialmen en [0, [0, 1] al intervalo [a, [a, b]. El factor (b (b a) a)2 tiene la finalidad de comprimirla suficientemente, para cuando la longitud del intervalo [a, [a, b] es peque˜ na. na. Esto lo necesitamos para que la función on F F que vamos a definir resulte diferenciable.

−

Ahora definimos la función on F : [0, [0, 1]

−→ R como sigue:

1. Si x U , U , sea E ki el unico u ńico intervalo de esta familia de intervalos, al cual pertenece x. Denotemos por (a, (a, b) este intervalo. Definimos entonces

∈

F ( F (x) = f a,b a,b (x).

∈

2. Si x H , H , definimos F ( F (x) = 0. i k

∈ {E } y x ∈ (a, ( a, b), entonces b−a |F ( F (x)| ≤ 32(x 32(x − a)2 si a ≤ x ≤

Observemos que si (a, (a, b)

4

|F ( F (x)| ≤ 2(a 2(a − b)2

si

a+

b

−a < x < b− b−a 4

4


39

− b −4 a ≤ x ≤ b Probemos que F es F es derivable en todo punto t ∈ [0, [0 , 1]. 1]. Primero consideremos t ∈ U . Sea (a, (a, b) ∈ E tal que t ∈ (a, b). En todo |F ( F (x)| ≤ 32(x 32( x − b)2

si

b

i k

punto x de este intervalo F F es derivable y

 (x) = (b F  (x) = f a,b

− a)f 

− x b

−

a a

.

En particular F es derivable en t.

∈

Sea ahora t H . H . Por definición on F ( F (t) = 0. Probemos que F ( F (x) x→t x

F  (t) = l´ım

− F ( F (t) F ( F (x) = l´ım → x − t = 0. −t x

t

Mostraremos que para cualquier  > 0, existe una δ -entorno -entorno del punto t tal que F ( F (x < x t



∈

 −

| − t| < δ.

para todo x [0, [0 , 1] que cumpla 0 < 0 < x

Sea entonces  > 0 arbitrario. Consideremos cualquier δ -entorno -entorno de t. Sea F (x) x [0, [0, 1] tal que 0 < 0 < x t < δ. Si x H , H , entonces x−t = 0.

∈

| −|

∈

Si x U, entonces x pertenece a alg´ un un inter interv valo abiert abiertoo (a, b) E ki . Necesariamente uno de los extremos del intervalo (a, (a, b) pertenece al δ -entorno -entorno de t. Este extremo está entre t y x. Se puede probar que si este extremo es a, (x) F (x) entonces F x− 32 x a . t x−a

∈

  ≤   ≤

∈

| − |

Por otra parte, si b si b est´ está entre t entre t y y x x tenemos tenemos que En cualquier caso tenemos que

  F (x) x t

  ≤   ≤ F (x) x t

−

F (x) x b

−

| −|

32 x b .

− < . F (t) Esto prueba que F  (x) = l´ımx→t F (xx)− −t = 0.

Hemos probado que F F es derivable en [0, [0, 1] y que en todo punto x del  conjunto de Cantor H , F (x) = 0. 2

Observemos que F  está acotada en el intervalo [0, 1], de hecho F  (x) x [0, [0 , 1]. 1].

∀ ∈

|

|≤

40


Probemos ahora que F  es discontinua en H . Sea x H. Como H es perfecto, todo entorno I entorno I δ = (x δ, x + δ ) de x de x tiene tiene un punto y punto y de H de H diferente diferente de x. Por otra parte, en el intervalo cerrado con extremos en x en x e e y y,, por ejemplo [x, [x, y], necesariamente existe un punto α U , pues en caso contrario H H conte co ntend ndrr´ıa al intervalo con extremos x y y , en consecuencia tendr´ tendr´ıa puntos puntos interiores, interiores, pero esto no puede ser posible ya que H es es denso en ninguna parte.

∈

−

∈

Supongamos α Supongamos α (a, ( a, b) E ki . Entonces (a, (a, b) (x, ( x, y ), pues en caso contrario uno de los puntos x puntos x e y esta es tarr´ıa en (a, b). Como la derivada de la función on f a,b a,b toma el valor 1 en alg´ un punto, entonces existe un punto z en el δ -entorno un -entorno de x tal que F  (z ) = 1. Esto implica que F  es discontinua en x ya que F  (x) = 0.

∈

∈

⊂

Hemos probado que F que F  es discontinua en el conjunto de Cantor H Cantor H ., ., el cual es de medida 12 , luego F  no es integrable Riemann. Las siguientes figuras muestran las gr´ aficas de algunas funciones f aficas funciones f a,b a,b y sus  con lo cual podemos tener una idea del aspecto que va adquiriendo derivadas f derivadas f a,b la gr´ afica afica de F durante F durante su construcción, on, as´ as´ı como la de su derivada.

Figura 6.9.

Figura 6.10.

7 Ap´ endice.

A continuaci´ continuaci´ on se expone una lista con las definiciones, proposiciones, on teoremas y corolarios que se han ido usando a lo largo de este trabajo:

7.1.

Los n´ umeros umeros reales.

Definici´ on on 7.1. Sea A un subconjunto de R.

i) El conjunto A es perfecto perfecto si es cerr cerrado ado y cada punto de A es un punto l´ımite. ımite. ii) A es nunca denso si su clausura A no contiene intervalos abiertos. Proposici´ on on 7.2. Todo conjunto perfecto es no numerable. Teorema 7.3. Teorema 7.3. Teorema de los intervalos encajados de Cantor Dada una sucesi´ on de intervalos cerrados tal que:

1. [a [ a0 , b0 ] [a [ a1 , b1 ] ... [a [an , bn ] l´ımn→∞ long[ long [an , bn ] = 0 2. l´

⊇

⊇ ⊇

∈

[ a0 , b0 ] tal que Entonces existe un ´ unico c [a

 7.2. 7.2.

{}

[an , bn ] = c .

Funcion unciones es deriv derivabl ables. es.

Definici´ on on 7.4. Funci´ 7.4. Funci´ on derivable Sea f : (a, b) R y x0 (a, b). Se dice que f es derivable en x0 si existe l´ımh→0 f (x0 +hh)−f (x0 ) y es finito. finito. En ese caso denota denotarremos emos por f  (x0 ) el el l´ımit ım ite e anterior.

→

∈

42

7 Apéndice.

l´ımh→0− Se dice que f es derivable por la izquierda en x0 si existe l´  y es finito. En ese caso denotaremos por f + (x0 ) el l´ımite ımit e anterio ant erior. r.

f (x0 +h) f (x0 ) h

−

Se dice que f es derivable por la derecha en x 0 siexistel´ siexistel´ımh→0+ f (x0 +hh)?f (x0 )  (x0 ) el l´ımite y es finito. En ese caso denotaremos por f + ımit e anterio ant erior. r. As´ As´ı, f es derivable en x0 si y s´ olo si es derivable por la derecha y por la   izquierda en x0 y f − (x0 ) = f + (x0 ). Teorema 7.5. Teorema 7.5. Teorema del Valor Medio Dada cualquier funci´ on f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos alg´ un punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f ( f (a)) y (b, f ( f (b)). Es decir: f ( f (b) b

− f ( f (a) = f  (c). −a

Proposici´ on on 7.6. Pr 7.6. Propiedades opiedades anal´ anal´ıticas de la funci´ on x2 sen( sen( x1 ) Sea Sea g : [0, R definida a trozos [0, 1]

−→

g (x) =

 

x2 sen( sen( x1 ) si x = 0



0,

si x = 0

g es derivable (y continua)en [0, 1] pero su derivada g  es acotada pero no continua en x = 0.

Recordemos que g es derivable en 0 si el limite g (x) x→0 x l´ım

− g(0) −0

existe. La definici´ on de g parece indicar que la funci´ on g es diferenciable en 0 y  0. Para demostrar esto veamos que que g (0) = 0. g(x) n→∞ x

g (0) (0) = l´ım

− g(0) = −0

1 l´ım xsen( xsen( ) = 0. n→∞ x

Por tanto, g es diferenciable diferenciable en 0 y, de este modo, también en es continua. Tambi´ ambién en podemos ver que la derivada derivada de la funci´ funci´ on g, g : [0, [0, 1] est´ a definida de la forma g  (x) =

 

2xsen( xsen( x1 )

− cos( 0 cos( 1 ) si x =

0,

x

si x = 0

→R

7.3 7.3 Funci uncion ones es inte integr grab able less Riem Riemma man. n.

43

Figura 7.1. La funci´ on oscila vertiginosamente a medida que se acerca al origen on

Adem´ as, podemos observar que g  no es continua en 0 ya que la sucesi´ on xn definida en [0,1] por 1 xn = πn conve onverrge a 0 pero ero la seri serie e g (xn ) no conver onverge ge a g (0) = 0 ya qu que e on, la expresi´ on que define g g (xn ) = 1, n. En lo referente a la acotaci´ revela que es acotada en [0, 1].

{|

|}

{|

∀

|}

{|

|}

Entonces, g es una funci´ on cuya derivada existe y est´ a acotada en cualquier parte del intervalo [0, 1], pero g  no es continua en 0. Deb Deber er´ ´ıamos notar  que la funci´ on g (1 x) est´ a acotada pero es discontinua en 1.

−

Teorema 7.7. Teorema 7.7. Teorema de Diferenciaci´ on de Lebesgue Toda funci´ on mon´ otona es derivable en ctp.

7.3. 7.3.

Funcion unciones es integ integrab rables les Riemma Riemman. n.

Definici´ on on 7.8. Partici´ 7.8. Partici´ on de un inte interv rval alo o Sea [a,b] un intervalo cerrado sobr sobre los los n´ umeros umeros reales. Entonc Entonces una partic partici´ i´ on de [a,b] es un subconjunto finito P = x0 = a, x1 , . . . , xn = b tal que xi−1 < xi , con i = 1,...,n. La norma de la partici´ on es el intervalo m´ as grande:

{

}

P  = máx ax {x − x −1 : i = i = 1,...,n} i

i

Lo que estamos haciendo en pocas palabras es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya uni´ on forma el intervalo original, la norma es el valor del intervalo de mayor longitud.

44

7 Apéndice.

Definici´ on on 7.9. 7.9. Suma de Riemann Sea f una funci´ on en [a, b] y tomemos una partici´ on del intervalo [a, b], que denotaremos por P = x 0 = a, x1 ,...,xn = b entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma: n



k=1

f ( f (tk )(x )(xk

− x −1), k

con

≤ t ≤ x

xk−1

k

k

De manera intuitiva esta suma representa la suma de ´ areas de rect´ angulos con base xk xk−1 y altura f ( Simbolizamos esta suma como S(P, f ), tambi´ en en f (tk ). Simbolizamos se utiliza la notaci´ on m´ as extensa pero m´ as expl´ expl´ıcit ıc ita: a:

−

n i

{ } =1 )

S (P,f, ti

Definici´ on on 7.10. Integrable 7.10. Integrable Riemann Una funci´ on f acotada definida en un intervalo [a, [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un n´ umero I en los reales tal que, para todo n´ umero real positivo ε existe una δ positivo positivo tal que si P es una partici´ on de [a, b] con P < δ y S (P, f ) f ) es cualquier suma de Riemann entonces S (P, f ) f ) I < ε.

|

− |

|| || ||

Teorema 7.11. Criter Criterio io de Lebesgu ebesgue e para ara la inte integr grabi abilid lidad ad Riema Riemann nn Sea f una funci´ on definida y acotada en [a,b] y sea el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b]. entonces f es integrable Riemann si, y s´ olo si, la medida de Lebesgue de es cero.

 

 

Proposici´ on on 7.12. Todo conjunto numerable tiene medida de Lebesgue cero. eorema Fundamen unda mental tal del C´ alculo alcu lo Teorema 7.13. T 7.13. Teorema Dada una funci´ on f integrable sobre el intervalo [a, b], definimos F sobre [a, b] x x F (x) = a f (t)dt. Si f es continua en c (a, ( a, b), entonces F es derivable en por F (  c y F (c) = f ( f (c).

´

7.4. 7.4.

∈

Suce Sucesio siones nes y ser serie iess func funcio iona nale les. s.

Definici´ on on 7.14. Convergencia 7.14. Convergencia puntual y uniforme Una sucesi´ on de funciones S se dice que converge puntualmente S n sobre el intervalo I se a una funci´ on S sobre sobre I si x I

∀ ∀ ∈

l´ım S n (x) = S (x),

n

→∞

esto es,

∀x ∈ I , ∀ε > 0 ∃N ∈ ∈ N ∀n ≥ N |S (x) − S (x)| < ε. n

La convergencia es uniforme sobre I si

7.4 7.4 Suce Sucesi sion ones es y seri series es func funcio iona nale les. s.

45

→∞ ||S n (x) − S (x)||∞,I = 0,

l´ım

n

esto es,

∀ε > 0 ∃N ∈ ∈ N ∀n ≥ N

|

sup S n (x)

∈

x I

− S (x)| < ε.

Teorema 7.15. 7.15. Prueba M de Weierstarss Sea f k : I R una sucesi´ on de funciones tales que supx∈I f k (x) M k , k n N. Si Σ k=1 M k < , entonces la serie Σ kn=1 f k (x) es uniformemente convergente en I.

−→ −→

|

∞

|≤

∀ ∈

{ }

Teorema 7.16. Si f n es una sucesi´ on de funciones continuas sobre I y f n converge uniformemente a f en I, entonces f es una funci´ on continua en todo I. Corolario 7.17. Si f k : I R es una funci´ on continua k N y Σ k∞=1 f k (x) converge uniformemente a S(x) en I, entonces S es una funci´ on continua en todo I.

−→ −→

∀ ∀ ∈

Corolario 7.18. Sea f j (x) j∞=1 una sucesi´ on de funciones continuas diferen∞ f (x) y j∞=1 f j (x) conciables en R. Si j =1 f j (x) converge puntualmente a f ( verge uniformemente en R entonces f (x) es diferenciable y su derivada f  (x) = ∞ f  (x). j =1 j

 { {



}



ormula de Cauchy - Hadamard Dada Dada la serie de poProposici´ on on 7.19. F´ 7.19. F´ tencias ∞ f ( f (x) =



n=0

donde a, a, cn por

cn (x

n

− a)

∈ R. Entonces el radio de convergencia convergencia de f en el punto a estar´ a dado 1 = l´ım sup su p( cn R n→∞

| |

1 n

)

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Funciones Raras en Analisis Real

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