Ejercicio 33: A continuación se muestra parte del ANOVA para comparar cinco tratamientos con cuatro réplicas cada uno
a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón para cada una de las uentes de !ariación" b) E#pli$ue de manera es$uem%tica como calcular&a el !alor '( o la signicancia obser!ada, para !er si *ay di+erencia entre entre tratamientos" Valorp es el %rea bajo la distribución -., N- a la derec*a del estad&stico /, es decir, el !alorp0(12 !alorp0(12/) c) con la in+ormación disponible se puede *acer conjeturas sobre si *ay di+erencias di+erencias signicati!as entre tratamientos4 Argumente su respuesta" Es posible determinar la di+erencia entre los tratamientos, mediante la in+ormación presentada en la tabla ANOVA con el !alor obtenido del estad&stico / $ue sigue una distribución con 1-.) grados de libertad en el numerador y 1N-) grados de libertad en el denominador y el !alor obtenido de la tablas de la distribución para probar la *ipótesis de igualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente !ariable de respuesta" 5a $ue en caso de rec*azar la *ipótesis anterior se estar&a asumiendo $ue las medias de los tratamientos son di+erentes" d) Anote el modelo estad&stico y +ormule la *ipótesis pertinente"
En una industria química se prueban diferentes mezclas para ver si difieren en cuanto al peso molecular final. Se prueban cuatro diferentes mezclas, con cinco repeticiones cada una (α=0.05). continuaci!n se muestra una parte de la tabla de an"lisis de varianza # los promedios obtenidos para cada mezcla.
Ejercicio 36"
Fuente de variación
Valor p
0.0$
Mezcla Error
Mezcla Peso medio A $0000 %000 B &000 C %500 D a) .Las mezclas difieren de manera sinificativa en cuanto a su peso molecular! Si e'iste a# una diferencia sinificativa entre el peso molecular. ") Con el an#lisis de varianza de acuerdo al promedio$ .se puede aseurar %ue con la mezcla B se lora un menor peso molecular! Arumente su respuesta. *o, debemos de saber que ocurri! en cada uno de los tratamientos #
sus repeticiones. c) &i al verificar los supuestos de varianza constante 'iual varianza entre las mezclas)$ estos no se cumplen$ .%ue sinifica eso! .&e puede seuir apo(ando la conclusión del inciso 'a)!
Si, pues desde un principio se di+o que e'istía una diferencia rande entre cada tratamiento, esto debido a una diferencia notable de las varianzas Ejercicio 37:
Se ace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de spra# para matar moscas. ara ello, cada producto se aplica a un rupo de $00 moscas, # se cuenta el numero de moscas muertas e'presado en porcenta+es. Se acen seis replicas # los resultados obtenidos se muestran a continuaci!n. Marca ,
,
-
%55 1
5 5 %1
*mero de r+plica /
% & $
%5 %0 5&
0
1
5/ 5$
%/ 50
a) Formule la 2ipótesis adecuada ( el modelo estad3stico.
2ip!tesis3 24= $ = 24= $ = / 24= -= / 2 = $ 6 -
2 = $ 6 / 2 = - 6 / 7odelo estadístico3 8S9
T ∝ 2
. ( N − k )
√
2 CME
¿
") .E4iste diferencia sinificativa entre la efectividad promedio de los productos en spra(! El promedio de los productos fueron los siuientes3
7:;$=, 7:; -=5.$, 7:; /=-.&/, por lo tanto mediante estos datos puedo decir que el producto $ es el que presenta ma#or efectividad, mientras que entre el producto - # / no a# muca diferencia. Solo que debe acerse un an"lisis para ver si lo que se observa es verdadero. n"lisis de varianza de un factor :ES<7E* Grupos
Cuenta
Suma
;olumna $
;olumna -
;olumna /
Promedio
1$1
Varianza
- . /55 5.$% % .$ /%% -.&////// %
*8>S>S 9E ?:>*@ Origen de Suma de las cuadrado variaciones s
Entre rupos 9entro de los rupos Aotal
-.//// // %5. % $0-
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados
F
-.%/-55 - $1&.$% $/
Valor Probabilid crítico ad para F
0.0/0%0 /.&-/-0 $ /1
$5 5/.0111111
%$c) .5a( al*n spra( me6or! Arumente la respuesta. &7$ EL &P89 DE LA MA8CA ,$ pues la ta"la A:VA nos dice %ue si e4iste diferencia sinificativa entre la medida de las medias de los tratamientos; con el m+todo < d &tudent$ pude compro"ar este 2ec2o$ en el %ue las marcas - ( son pr#cticamente lo mismo ( la MA8CA , tiene m#s eficiencia en el numero de moscas muertas.
=57P:
√
2 CME
¿
=Criterio 7 yi. − yj . 7 ˃8S9 la 2o se recaza. T 0.05 2
, ( 18 −3 )
√
(
2 53.4
)
6
8S9= -.$/$5(1.--)= 8.99
57P:
7 yi. − yj . 7
B5.$= .&1 8 9 B-.&/= .$% 5.$B-.&/= /.% 9
8S9 &. &. &.
- 9 / 9 $ d) De un intervalo al >0? de confianza para la efectividad promedio 'porcenta6e) de cada una de las marcas. e) Di"u6e las raficas de medias ( los diaramas de ca6as simult#neos$ despu+s interpr+telos. f) Verifi%ue los supuestos de normalidad ( de iual varianza entre las marcas.
=&@P@E&<: DE :8MAL7DAD.
NORMALIDAD ."> . +1#) 0 /"/# ."6 ?@ 0 /"77
/"6
Axis Title
/"<
inear 1)
/" /"> / ;
;/
;;
<;
=/
=;
6/
Axis Title
EL &@P@E&<: &E C@MPLE. =&@P@E&<: DE 5:M:E7DAD DE VA87AA&.
HOMOGENIDAD .; ./ ; / ;6 ;
<>
<
<<
<6
=/
./ .;
EL &@P@E&<: : &E C@MPLE$ :B&E8VAD:&E @A :
A continuación se muestra parte del ANOVA para un diseo en !lo"ues "ue tiene tres tratamientos # cinco !lo"ues con una sola repetición por tratamiento$!lo"ue%
a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón para cada uno de las +uentes de !ariación" b) Bnterprete en +orma pr%ctica, para cada caso, lo $ue est% estimando el cuadrado medio& El cuadrado medio interpreta una di!isión de cada suma de cuadrados entre sus respecti!os grados de libertad" c) Escriba el modelo estad&stico y las *ipótesis pertinentes"
d) Apóyese en las tablas de la distribución + para aceptar o rec*azar las *ipótesis" (ara e+ecto tratamiento se rec*aza la *ipótesis nula 1"6 2 ";7) (ara e+ecto del blo$ue se acepta la *ipótesis nula 13" C 3"636) Esto $uiere decir $ue el +actor tratamiento tiene e+ecto signicati!o en la respuesta del e#perimento y el e+ecto del blo$ue no es signicati!o" e) Don apoyo de un so+tare obtenga el !alor( para cada caso" Bnterprete sus resultados" Valor ( para tratamiento: /"//3 C /"/; 1Fe rec*aza G/) Valor ( para blo$ue: /"./. 2 /"/; 1No se rec*aza G /)
Realice el pro!lema anterior' pero a(ora supon)a "ue no se !lo"ueó *se (u!iesen o!tenido las mismas conclusiones+ Ar)umente% as conclusiones serian idénticas, ya $ue el resultado del blo$ue no tiene un e+ecto signicati!o en la respuesta y sin blo$ue, toda la !ariación se ir&a al término error
,e (ace un estudio so!re la e-ecti.idad de tres marcas de atomi/ador para matar moscas% 0ara ello' cada producto se aplica a un )rupo de 122 moscas' # se cuenta el n3mero de moscas muertas expresado en porcenta4es% ,e (icieron seis replicas' pero en d5as di-erentes6 por ello' se sospec(a "ue puede (a!er al)3n e-ecto importante de!ido a esta -uente de .ariación% Los datos o!tenidos se muestran a continuación&
7na de las .aria!les cr5ticas en el proceso de ensam!le del !ra/o lector de un disco duro es el 8n)ulo "ue este -orma con el cuerpo principal de la ca!e/a lectora% ,e corre un experimento con el o!4eti.o de comparar dos e"uipos "ue miden dic(o 8n)ulo en dic(os radianes% ,e decide utili/ar como -actor de !lo"ue a los operadores de los e"uipos% Los resultados se muestran en la si)uiente ta!la&
b) E#isten di+erencias entre los e$uipos4 Argumente estad&sticamente" No e#isten di+erencias ya $ue el !alor 'p en tratamiento e$uipo es de /"/=6 1mayor $ue /"/; de ) por lo tanto se acepta la G o, los dos e$uipos son estad&sticamente iguales" c) E#isten di+erencias entre los operadores4 No e#isten di+erencias entre el +actor de blo$ue operadores, !alorp /".>7 2 /"/;, son estad&sticamente iguales"
d) Hibuje los diagramas de cajas simult%neos y las gr%cas de medias para ambos +actores, después interprételas"
Otra prueba para comprobar la *ipótesis nula es con estas gr%cas, se puede apreciar el traslape en ambas, lo cual induce a decir $ue, en e+ecto, no *ay di+erencia signicati!a" e) Veri$ue los supuestos de normalidad e igualdad de !arianza entre tratamientos, as& como la posible presencia de puntos aberrantes"
a normalidad en los datos es uni+orme y la !arianza es constante, la calidad del ajuste es satis+actorio por$ue no *ay puntos aberrantes, adem%s los coecientes de determinación: R-cuad. = 92.57% R-cuad.(ajustado) = 81.41%
In $u&mico $uiere probar el e+ecto de cuatro agentes $u&micos sobre la resistencia de un tipo particular de tela" Hebido a $ue podr&a *aber !ariabilidad
de un rollo de tela a otro, el $u&mico decide usar un diseJo de blo$ues completamente aleatorizados, con los rollos de tela considerados como blo$ues" Felecciona cinco rollos y aplica los cuatro agentes $u&micos de manera aleatoria a cada rollo" A continuación se presentan las resistencias a la tensión resultantes" Analizar los datos de este e#perimento y sacar las conclusiones apropiadas"
Agente Químic o 1 2 3 4
Rollos de Tela 1
2
3
=3 <6 = =3 <= =; =; <6 =6 =3 =. =; Itilizar un ni!el de signicancia de K 0 /"/;"
DO9IMA DE T7:E; AGENTE QU!"#O ROLLO S 1 2 3 " =3 =3 =; <6 <= <6 "" """ = =; =6 =. => =3 "$ $ <= =/ <6 T.j
5
=. => =3 =;
<= =/ <6 <7
4
3;3
3;=
3<>
=3 =. =; =; <7 3<3
;
;
;
;
n Plantear hipótesis
4
Ti. >7 >= 3/> >7. >= .3;
>/
r
./>7< ."3 T..
Ho& Es aplicable el HLDA" H1& No es aplicable el HLDA" Cálcular la suma de cuadrados de la No-aditividad SC N SC N =
[∑ ∑∑
X ij T . j T i .−T .. (
∑
2
T . J / n j+
∑
T . r / nr −T .. / N ) 2
2
2
]
nr SC Tr S C Bl
∑ ∑ ∑ X ij T . j T i . =353 (73 x 294 + 68 x 274 + 74 x 302 + 71 x 291 + 67 x 274 ) + 357 ( 73 x 294 + 67 x 274 + 75 x 302+ 7 ∑ ∑ ∑ X ij T . j T i . =147993364 2
∑ T . J n j
2
=
353
2
2
2
+ 357 + 362 + 363 5
=102974.2
∑T .r nr T .. N
2
=
2
294
2
2
2
2
2
+ 274 + 302 + 291 + 274 4
=103118.25
2
=
1435
=102961.25
20
SC T =SC Tr + SC Bl + SC E SC T =( 73
2
+ 68 + 74 + … + 75 + 69 )−102961.25 =191.75 2
2
SC Tr=
SC Bl=
∑T .J n j ∑T .r nr
−Tc =
2
−Tc =
2
2
353
2
2
2
2
+ 357 + 362 + 363
2
−102961.25 =12.95
5
294
2
2
2
2
2
+ 274 + 302 + 291 + 274 4
−102961.25 =157
SC E= SC T −( SC Tr + SC Bl )
SC E=21.8
Por tanto: 2
[ 145602569−1435 ( 102974.2+ 103118.25−102961.25 ) ] =0.21 SC N = 4 x 5 x 12.95 x 157
Construir la tabla ANVA
<%V% No Aditi!idad ?emanente Error % Toma de decisión
,9
)l
9M
<9
DE9%
/">.
.
/">.
/"..
"6
A=H2>
?1%@ >."6
11 .>
1%B
Donsideraciones: • •
Fi c C t, entonces se A9E0TA la G/" Fi c 2 t, entonces se RE9HACA la G/"
Conclusiones !ecomendaciones Conclusiones:
.) >) 3) )
Fe *a aplicado la Hócima de Mu-ey" a prueba se realizó con un ni!el de signicancia del ;" El !alor de FDN es de 2%1?% (uesto $ue c C t, entonces se Acepta la Go es decir, se puede in+erir $ue es aplicable el HLDA"
!ecomendación: .) Aplicar el HLDA a la tabla original para probar si los agentes $u&micos inPuyen en la resistencia 1tratamientos), y también si los rollos de tela presentan Variabilidad 1blo$ues)"