Tarea 2 Algebra Lineal Ecuaciones Lineales.docx

–TAREA 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES,

RECTAS Y PLANOS.

ESTUDIANTES : JOHN EDISON BOHORQUEZ ZABALA HECTOR ANTONIO CHARRY JAVIER MOLINA JEISON HERNANDO BASTO

TUTOR MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

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INTRODUCCIÓN

La Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando distintos procedimientos, Con esta unidad se pretende que CADA ESTUDIANTE aplique lo estudiado en LA Unidad 2, LLEGAR a la discusión discusión y resolución de los sistemas sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los distintos elementos de un

sistema

de

ecuaciones

lineales

(incógnitas,

coeficientes,

términos

independientes), su escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso previo a su resolución en los casos e n que sea posible, se efectúa su "discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de Rouché- Fröbenius o el método de Gauss. Por último, se describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa.







Ejercicio 1: Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Para el desarrollo del ejercicio 1, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2.

Contenidos a revisar: Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Disponible en el Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Disponible en el Entorno de Conocimiento Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182 y 208 a 230. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081

Descripción del ejercicio 1: Luego de haber estudiado los contenidos indicados, indicado s, presente un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 2, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. Debe informar en el foro el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero. Los temas que pueden ser seleccionados son: a) Qué es un sistema de ecuaciones lineales y a qué corresponden sus variables, coeficientes y valores independientes. b) Cuáles son las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Dé ejemplos gráficos y clasifíquelas entre soluciones consistentes e inconsistentes. c) Cuál es la diferencia entre los métodos de solución: reducción de GaussJordan y eliminación gaussiana.







Qué son rectas en R3, cuál es la estructura de sus ecuaciones verticales, paramétricas y simétricas, y qué parámetros se requieren a) para integrarlas. Qué papel juega el vector director en el establecimiento de las ecuaciones. b) Qué son planos en R3, qué parámetros se requieren y qué procedimiento debe seguirse para establecer su ecuación, qué condición se debe cumplir para que sean paralelos, y en caso de no ser paralelos qué método se aplica para llegar a las ecuaciones de la recta que forma su intersección.







Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.

Se desea obtener un preparado prepar ado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas

Hidratos

Grasas

Producto A

2

1.5

0.5

Producto B

0.5

3

1.5

Producto C

1.5

2.2

0.5

Disponibilidad

0.5 lb

0.5 lb

0.5 lb

¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente para obtener el preparado?

*Nota: En el entorno de aprendizaje práctico se encuentran los manuales, guías, tutoriales y el link del programa libre Geogebra. Anexar al desarrollo del punto, los pantallazos de las verificaciones.

 ==                    =       20, 5 1, 5 =8 1,31,531, 5 =8 50,5=8 1 3 1 4 1 3 4 4 21,5 03,5 11,5,5 88 ≈  → 2 11,5 34 14,5 48  →−1,→−35 0 218 38 2 3 1,5 0,5 8 3 1,5 0,5 8 ≈ 0 3 −7 −4







1 3 5 80 5 80 1 1 1   4 0 0 −1  → 218 0 14 174 1621  →→ −34 ..    0 1 717 211621  → 137 0 1 717 211621 ≈ 0 34 −74 −4 4≈ 0 0 − 137 −327 ≈ 0 0 1 3213 80 80 1 0 0  =       −5  → −17 .    0 1 0 3916  = 1639 ≈≈ 0,2,4015        → 7≈.    0 0 1 3932  = 3239 ≈ 2,46    13 13    Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2.

Descripción del ejercicio 3 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación del

curso de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018. Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3. Así mismo, se sabe que el número de estudiantes que aprobaron aproba ron la Tarea 3









Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”

Recuerde que dentro de las operaciones elementales entre filas es válido el intercambiar una fila por otra, lo que en ocasiones podría facilitar el procedimiento.

*Nota: En el entorno de aprendizaje práctico se encuentran los manuales, guías, tutoriales y el link del programa libre Geogebra. Anexar al desarrollo del punto los pantallazos de las verificaciones.

 ==                                                 =          =1243 1 3 −230=2 2 90= 2 3  3+ =1243→=3. 1 243→=3729 −230=  2(−230 −230) = 2−460=

De acuerdo al enunciado las ecuaciones son:

1. Simplificando ecuaciones:

2.







Reuniendo las ecuaciones

Matriz ampliada

2−−=−180 −−2=−180 =3729 −2−=460 −−2=−180

  3729  →  1−1 21 −11 3742690   →→ 11   10 13 10 34712899 ≈ 3 10 11 10 4189 −1 −1 2 −180 ≈ 0 0 3 3549  → 3 0 0 1 11383 6998 3449 3449 1 1 0 1 0 0  = ≈1150 3 3 3  →−1≈    0 1 0 41893  →−1≈    0 1 0 41893  = 41893 ≈1396 0 0 1 1183 0 0 1 1183 =1183 Descripción ejercicio 4. Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):









Ecuaciones paramétricas de la recta



Ecuación vectorial de la recta



Ecuaciones simétricas de la recta



Ecuaciones paramétricas

 ==  →=−35      = (, ( ,  ,, )  ) →=4  = (5, 1 , − 1) =(−3,−3, 4→=8−  (   ,  =  ,,   ,8) −∞<<∞ −∞<<∞  = (,,,) = (−3,−3,4,8)  (5,5,1,−1)  5 3 =  −1 4 = −1− 8 (−5,−:5, 4,−3)3)  =:   ( (−2,−2,4,6)   (1,−3,5)  ∥  ⃗ ⃗ =(1−  = (1,1,(−−2−3,25),)−−3−4,(−2,−2,45,−6)6) ⃗  = (3,3,−7,−1)1)     ,              := (−5,−5,(4,,−3,))(3,3,−7,−1)   b)







 = (−9,−9,6,11)1)   = (−2,−2,7,−6)6)  = (,,,) = (−2,7,−6)6)  =  = (, , ) = (−9,−9,6,11)1)  ==  →=67 →=−9−2  −∞<<∞  =  →=11−6  = (,,,) = (−9,−9,6,11)  (−2,−2,7,−6) −2 9 =  −7 6 = −11−6

c)



Ecuaciones paramétricas



Ecuación vectorial



Ecuaciones simétricas

Descripción ejercicio 5.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos los siguientes planos 1:3x+8y-3z=1 y 2:-15x-40y+15z=5? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. b) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,-1)? Desarrolle claramente el paso a paso pa so necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.







⃗  = (5,5,−3,−3)3) ) ⃗⃗  =(2−( ==(2−(2,2,2−1(−3)−3))−, 2(−7,−3,−3,7−,91−9) ⃗⃗ = ⃗(5,5,−5,−10)



Hallamos el producto vectorial de los vectores normal al plano

Para determinar el vector

   ⃗ ⃗ ⃗=   = |55 −−35 −−130| =  −−35 −−130−55 −−310  55 −3−5 ) ⃗= ⃗(30−15 3=150−15)35−10= − (−5015 −5015()15,15,35,(−2515 −−2515 10)10) ⃗= (,,,) = (15,15,35,−10)  =  = (, , ) = (−3,−3,7,9)

Tenemos:









1535−10=110 37−2=22 Ejercicio 6. Sustentación de la actividad en video. Cada estudiante debe realizar un video muy corto (de 2 minutos máximo), en el cu al aparezca sustentando los aspectos claves y la elaboración, de uno de los ejercicios de esta guía de actividad (de los puntos 2 al 5) y que corresponda al mismo tema seleccionado en el ejercicio 1. No es necesario que emplee ninguna proyección para hacerlo, pero sí debe aparecer el estudiante realizando la explicación. Todos los videos elaborados por quienes participen, deben ser unidos en un solo video final (no es necesario incluir arreglos ni efectos, solo pegar los videos de todos los participantes), y éste, compartido mediante un enlace online (por ejemplo, de YouTube o a un drive) para su revisión por parte de los compañeros del grupo y el tutor. En la compilación del trabajo final deben relacionar dicho enlace del video completo.







BIBLIOGRAFIA

Unidad 2 - Sistemas lineales de ecuaciones, rectas y planos Unidad 2 - Unidad 2 - Sistemas lineales de ecuaciones, rectas y planos Recursos educativos requeridos (Bibliografía Obligatoria) En este espacio encontrará las referencias bibliográficas requeridas correspondientes a la unidad 2. Es importante que las revise, las escuche y se apropie de la información que contienen, pues le permitirán desarrollar los contenidos de aprendizaje de esta unidad como son: Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales. Para visualizar el material didáctico referenciado, así como los videos, los cuales







Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081 de http://hdl.handle.net/10596/7081 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105842 dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105842 65&p00=algebra+lineal Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7106 de http://hdl.handle.net/10596/7106

Temáticas de estudio: Planos Rodriguez J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7091 de: http://hdl.handle.net/10596/7091 Alvarez, V. (2015) Planos en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7151 de: http://hdl.handle.net/10596/7151

OVI Unidad 2 - Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales Este Objeto Virtual de Información tiene como objetivo, orientar al estudiante sobre la solución de sistemas de ecuaciones lineales, que le servirá como material de consulta en la parte introductoria de los sistemas lineales para realizar las actividades propuestas en la segunda fase de la estrategia de aprendizaje.

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