MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de m filas por n columnas. A las matrices se les designa por las letras mayúsculas del alfabeto asi por ejemplo:
( ) Columna (Vector Columna)
Fila (Vector Fila)
mxn
Orden de la matriz
Orden de u na Matriz
Es el número de filas por el número de columnas que forma la matriz. Una matriz puede estar definida en diferentes campos, como por ejemplo el campo de los reales o el de los imaginarios. Generalmente se los representa de la siguiente manera:
+ 4x5
3x5
Alg ebra de Matrices Matrices
Se considera las siguientes operaciones: -
Suma y Resta Producto de un a matriz por un escalar Producto Matricial
Suma
Para poder sumar matrices estas deben tener el mismo orden.
+ ( ) + Propiedades
1. Clausurativa
2. Conmutativa 3. Asociativa
4. Existencia de Elemento Neutro
5. Inverso Aditivo
Producto de una Matriz por u n Escalar
Propiedades
1. Clausurativa 2. Distributiva 3. Distributiva 4. Asociativa Ejercicio:
* * * * * * ( * * * ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) + Producto Matricial Matricial
Para poder realizar el producto de dos matrices AxB el numero de columnas de la que ser igual al numero de filas de la .
Ejercicio:
tiene
* Propiedades del Producto Matricial 1. A.(B.C)=(A.B).C 2. A.(B+C)= A.B+A.C (B+C).A= B.A+C.A A.B+A.C B.A+C.A 3. A.I= I.A I= Matriz Identidad
Ejercicio: Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz:
Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo orden en la misma posicion.
+ + ) ( + + , + + + + Matrices Cuadradas
Se dice que una matriz es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas.
n
1. Matriz Simetrica
Transp uesta de un a Matriz
Para obtener la transpuesta de un a matriz se intercambia filas por columnas. Ejemplos:
Propiedades 1. 2. 3. 4. Ejemplos:
2. Matriz An tisim etrica
3. Matriz Triang ular Sup erior
+ + + + + [ ] + 4. Matriz Triangu lar Inferior
5. Matriz Diago nal
6. Matriz Escalar
7. Matriz Identid ad
Es una matriz escalar con k=1, es la unica conmutativa con cualquier matriz.
Rango de u na Matriz
Es el numero de columnas o filas que son linealmente independientes, si el rango fila y la columna son iguales simplemente sear rango A.
8. Matriz Nilpo tente
Cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de su diagonal principal es nilpotente.
Tambien existen otras matrices que no tienen ceros pero al elevarlas al cuadrado son cero. Ejemplo:
9. Matriz Idemp otente
Es aquella matriz que si se eleva a un n numero va a seguir siendo la misma por lo que se cumple que:
Un ejemplo claro es la matriz nula y la unidad.
10. Matriz Involu tiva
Es una matriz cuadrada tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad.
11. Matriz Ortogon al
Es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.
12. Matriz Hermitic a
Es una matriz cuadrada de elementos complejos que es igual a su propia transpuesta conjugada.
13. Matriz Antiherm itica
Es una matriz cuadrada cuya transpuesta conjugada es menos la matriz.
Operaciones Elementales de una matriz 1) 2) se puede intercambiar filas 3) se le puede sumar una fila por un escalar. 14. Matrices Equivalentes Se dice que una matriz A es intercambiable con B y de B se obtuvo operaciones. 15. Matriz Escalon ada
Se dice que una matriz es escalonada cuando el numero de ceros de izquierda a derecha aumenta al pasar de una fila a otra. Despues de los ceros iniciales siempre debera haber un 1. Si existen filas nulas deberan estar al ultimo.
) ( ) + + + ( ) | | ( ) | | 16. Matriz Escalon ada Reducid a
Es similar a la escalonada pero los uno despues de los ceros iniciales son los unicos distitos de cero en columna.
Rango de una matriz El rango de una matriz es el numero de filas no ulas que se obtiene de una matriz A al llevarle a su equivalente de una matriz escalonada reducida.
( ) ( ) ( ) | | | | | | | | + ( ) Potenc ia de una Matriz
N veces
DETERMINANTES (Δ)
El determinante de una matriz cuadrada es: Metodos para obtener un Δ a) Matrices de ord en 2
b) Matriz de ord en 3 Metodo de Sarrus
Este metodo consiste en aumentar las dos primeras filas en la parte inferios de la matriz o las dos primeras columnas a la derecha.
Su determinante es igual a la suma de las diagonales principales menos las diagonales secundarias.
| | + ) || || | | | | + | | | | | | | | || || Ejemplo:
Metodo Por Menores
Ejemplo:
Propiedades: Donde sea la fila tambien puede ser columna 1. Si una matriz tiene una fila nula su determinante es cero. 2. Si una matriz tiene 2 filas iguales su determinante es cero.
| | | | | | () , ( ) | | | | | +
3. Si una matriz tiene una fila proporcional a otra su determinante es cero. 4. Si se intercambian 2 filas de una matriz el signo de su determinante cambia.
Ecuaciones Lineales
Son de la forma: Donde:
Solucion de una ecuacion lineal
Es todo conjunto (n-uplas) que toman las variables y se mantiene la igualdad. Sistema de ecuacion es lineales
Se dice que se tiene m ecuaciones y n incognitas. Representacion maticial.
Metodos d e Resolucion de u n Sistema de Ecuaciones Lineales a) Metodo d e Gauss
Consiste en pasa la matriz aumentada del sistema a su forma escalonada.
Una vez obtenida la matriz escalonada se obtiene el sistema escalonado.
| | ⁄ | + | ⁄* , , ,
Una vez obtenido el sistema la solucion se encuentra de abajo hacia arriba.
b) Metodo de Gauss-Jordan
Consiste en llevar la matriz aumentada del sistema a su forma escalonada reducida.
c) Metodo de Crammer
Se aplica unicamente cuando el numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas.
Ejemplo:
* |
Prop iedades de la Matriz Invers a
Ejemplo:
Analisis Mediante Gauss
Si en el proceso de llevar la matriz aumentada a su forma escalonada o escalonada reducida alguna fila queda: El sistema no tiene solucion.
Si al escribir el sistema escalonado nos queda ms incognitas que ecuaciones el sistema tiene infinitas soluciones en este caso se debera encontrar la solucion general y dos especificas. Si al escribir el sistema escalonado el umero de ecuaciones es igual al numero de incognitas y se lo encuentra de abajo hacia arriba. Nota: Si existen filas nulasd se refiere a que existe ecuaciones rebundantes se las pasa al ultimo y se sigue con el proceso.
|| , || , || || || , ||
ANÁLISIS POR DETERMINANTES Para encontrar cualquier variable se puede presentar los siguientes casos:
[ ] [ ] Del siguiente sistema de ecuaciones encontrar a) Única solución b) Infinitas soluciones c) No tiene solución
ESTRUCTURAS AL GEBRA ICAS
También son conocidas como sistemas algebraicos siendo una n – dupla (a1, a 2……an) donde a1 es un conjunto dado no vacío y (a 1, a2……am) es un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.
ESPACIOS VECTORIALES Sea V un conjunto deonde tenemos definido una ley u operación interna que designaremos por “x”
V
V. Sea K un cuerpo (conmutativo) y sea, por ultimo, una operación externo que
designemos por “.” K * V V. Diremos que (V. +….) tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, o simplemente que (V,+….) es n K -espacio vectorial cuando se verifiquen las condiciones sguientes:
Asociativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento simétrico Conmutativa.
Los espacios vectoriales es una estructura algebraica que cumple operaciones sea V un conjunto de elementos (vectores), definidos sobre un campo , con las operaciones de la
suma y el producto por escalar. Ser dice que V es un espacio vectorial si cumple: Ley composicion interna Ley composicion externa
Sean u, v, w Є U y α, β Є R 1. u + v Є U
2. u +( v+ w) =(u+v)+w 3. u + 0 = u 4. U+(-u)= 0 5. U+v=v+u 6. α u Є U 7. α ( u+v)= αu + αv 8. (α + β ) u = αu + βu 9. (α β ) u= α ( βu) 10. 1. u= u
clausurativa
asociativa elemento neutro inverso aditivo Conmutativo
A los elementos de un espacio vectorial se los conoce como vectores . Ejm: Demostrar si el siguiente conjunto es un espacio vectorial R2={ (X,Y)/X,Y Є R}
(
11. (α β ) u= α ( βu)
(α + β ) u = αu + βu
SUBESPACIOS VECTORIALES Sea W un conjunto de vectores y W es un subconjunto propio de V, donde V es un EV W es subespacio vectorial si: 1.-W≠O 2.- W≤ v 3.- W tiene que ser E.V Demostrar que es un subespacio vectorial W={(x,y)ЄR 2 / y= 2x }
1)
2)
Demostrar:
S={(x,y,z)ЄR 3 / X=|Y+Z|}
COMBINACIONES LINEALES
Sean V1, V2, ……,Vn Є V ; V= α1V1 + α2V2 +……+αnVn Эα
EJEMPLO: Determinar si el siguiente polinomio pertenece al conjunto
Determine si es combinación lineal de : V=(1, 2 , 1) T={(-1,2,1);(1,1,2);(1,2,3)}
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Sea { V1, V2, ……,Vn } Є V
Se dice que el conjunto es linealmente independiente si al resolver la ecuación homogénea se tiene como único resultado una ecuación trivial (=0).
[ ] [ ] [ ] ] [ Soluciones triviales
Dependiente ≠ 0; infinitas soluciones.
Ejm:
Determinar si es L.D o L.I
Si es L.D o L.I encontrar su relación de dependencia
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Para que un conjunto pueda ser considerado la base de un espacio vectorial, debe cumplir 2 condiciones: -
El conjunto tiene que ser linealmente independiente y como una única solución una trivial. Ese conjunto debe generar la solución.
* * Ejm: Determinar si el siguiente conjunto es una base de S={1+x;1+ T={(1,1),(0,2)}
}
α(1,1)+β(0,2)=(0,0)
=2
α(1,1)+β(0,2)=(x,y)
⸗
Genera todos los puntos del espacio porque no tiene capsula. Dimensión
La dimensión de un espacio vectorial es el número de elementos de la base Dim(T)=2 Para obtener la base de un subespacio vectorial de parte de la ecuación dada o la capsula. Siempre la dimensión de un subespacio tiene que ser menor a la del espacio que lo contiene. (8,3)=α(1, -1)+β(0,2)
α=8; β=11/2
W={(x,y)Є =0} y-2x=0 y=2x (x,y) (x,2x) Bw={(1,2)} Determinar la base y dimensión de: W={ / }
2a-b=0; 2a=b; a=b/2
+
B={ ; Dim(T)=3
+
;
}
OPERACIONES VECTORIALES INTERSECCION DE SUB ESPACIOSVECTRIAL ES (N)
Sean S y T subespacios vectoriales de V. Se denomina intersección de subespacio vectorial (S y T) al conjunto de todos los vectores que pertenecen simultáneamente tanto del subespacio S y T si la intersección de S y T da como único elemento el elemento neutro, entonces se dice que S y T son disjuntos. El subespacio intersección de varios subespacios es el más amplio de todos los subespacios contenidos en ellos. Si SnT={0} S={(x,y) Є y=2x} y-2x=0 T={(x,y) Є y=1/3 x} y-1/3x=0 SnT={0} Encontrar la intersección de los siguientes conjuntos S={(x,y,z) Є x-y+z=0} T={(x,y,z) Є x+2y-3z=0} x-y+z=0 x+2y-3z=0
+ + ⸗
x-y+z=0 3y-4z=0 y=4z/3
⸗
x-4z/3+z=0 (x,y,z)
x=2/3
R=(2/3;4z/3;z) BSnT<1,4,3>
UNION DE SUBESPA CIOS
Sean S y T subespacios de V. La unión de dos subespacios esta definida por la totalidad de los elementos de S y T. La unión de dos subespacios no necesariamente da otro subespacio. SuT=u+v S={(1,2); (0,0)….(2,4)} S={(1,1/3); (0,0)….(2,2/3)}
Suma y Suma directa Suma Sean S y T subespacios vectoriales de V, u Є S y v Є T S+T={x Є V/ x=u+v; u Є S y v Є T} S+T={x Є
x=u+v…..}
Suma Directa La suma directa se la puede realizar únicamente si los subespacios son disjuntos .Ejm:
Dados los siguientes conjuntos (subespacios), encontrar la intersección y la suma, indicar si la suma es directa. S={(1,-1,-1,0,0); (1,-2,-2,0,-3);(1,-1,-2,-2,1)} T={(1,-2,-3,0,-2); (1,-1,-3,2,-4);(1,-1,-2,2,-5)}
S=2x+2z-y 3v+4w-x-z=0
+
Teorema.Dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(SnT) 5=3+3-1 5=5 w=(2x-y)/2
ESPACIOS EUCLIDEOS Producto interno
El producto interno de los define como una operación entre los elementos del mismo espacio. Para que esta operación sea considerada como un producto interno debe cumplir los sig axiomas: Sea u,v,wЄ V 1. 2. 3. 4.
Axio Conmutativo: = Axio distributivo: =+ Axio distributivo: =x Axio positividad:=0
Productos internos usuales u=(x1,x2) v=(y1,y2) =x1y1+x2y2 Ejemplo: . U=(3,-1) v=(1,5) =(3)(1)+(-1)(5) =3-5 =-2 U=(x1,x2) v=(y1,y2) w=(z1,z2) =+ =(z1,z2)[(x1,x2)+(y1,y2)] =(z1,z2)(x1+y1,x2+y2) =z1(x1+y1)+z2(x2,y2) =z1x1+z1y1+z2x2+z2y2 =(z1x1+z2x2)+(z1y1+z2y2) =(z1,z2)(x1,x2)+(z1,z2)(y1,y2) =+
Traza
Se obtiene únicamente de matrices cuadradas, es igual a la sumatoria de la diagonal principal Tra(A)=a+d Sean f(x) y g(x) [a,b] = < ,+,.> =Σuk.vk U=(3-i,2) v=(2+i,1+i) =(3-i)(2+i)+2(1+i) =(3-i)(2+i)+2(i+1) =6+3i-2i- +2i+2 =9+3i
∫ √ √
Nor ma
|| ||
La norma de un vector es la magnitud de un vector. ||u||= A=
||A||=
||A||= Propiedades
1. ||u||>0 2. ||αu||=||α|| ||u|| ; αЄR 3. ||u.v||=||u||+||v|| Distancia entre dos vectores
a+d=b d=||b-a||=
√
||w||=
√
Proyección de un vector sobre otro vector
Perpendicularidad Dos vectores son perpendiculares si al realizar el producto interno el resultado es cero. Si =0 αv+P=u v<(αv+P)>=< v.u> α+= α=
Ejercicios: U=(1,1) v=(5,-1) ||v-u||= v-u=(5,-1)-(1,1) v-u=(4,-2) ||v-u||= ||v-u||= ||v-u||=
√ √ √
Ang ulo entre dos vectores
Sean u y v espacios vectoriales de V
|| ||
|| || √
Ejercicio: P(x)= Q(x)=
= 4 -20x+25
√ √ √
= 134,097
ORTOGONALIDAD Sean u y v espacios vectoriales de V. 1. u y v son ortogonales si =0 2. s es ortogonal si cada par de vectores es ortogonal S={u1,u2,u3,….,un}
=0 =0 . . . =0 Teorema: Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.
Proceso de Gram Schmidt Sea S={v1,v2,….,vn} donde S es [], entonces existirá W={w1,w2,…,wn} que sea ortogonal, se lo
obtiene:
∑
1. w1=v1 2. wi=vi-
Ejercicios: Si u=(7,4,5) y v=(-3,2,-1); hallar a y b Є de R w=au+bv=0 W=a(7,4,5)+b(-3,2,-1) W=(7 a,4 a,5 a-3 b,2 b, -b) =0 (4a -3b, 4a +2b, 5a -b)(-3,2,-1)=0 -21a+9b+8a+4b-5a+b=0 -18a+14b=0 b=18a/14 a=7; b=9 w=(22,46,26) Comp lemento Ortogonal
Sea v un espacio vectorial definido en un campo con la suma y producto con un producto interno. Sea w un subespacio vectorial de V el conjunto ortogonal a W se le denotaría y esta definido por: = {uЄVi/ ¥ W Є =0}
Dado el siguiente conjunto encontrar su complemento ortogonal S={(a,b,c) Є a+2b+c=0} a=-2b-c (a , b, c) (-2b-c, b, c) Bs=(-2,1,0);(-1,0,1) (-2,1,0).(a,b,c)=0 (-1,0,1)(a,b,c)=0 -2a+b=0; -a+c=0
+ +
a-c=0 b-2c=0 b=2c a=c =<(c, 2c, c)> B =<(1, 2, 1)>
≈
≈
≈
≈
≈
* , , , , , , , , , ≈
S+T
≈
≈
≈
DIM=4
≈
≈
≈
≈
≈
* * PRODUCTO VECTORIAL Este producto esta definido unicamente para Sea “u” y “v” Є . ;
.
Al realizar el producto vectorial entre dos vectores siempre nos da otro vector, este es perpendicular a los vectores dados (u, v). Ejemplo: Determinar el producto vectorial entre los siguientes vectores: u= (3, 2,-1) v= (1,-3,4)
‖‖‖‖ ‖ ‖ ‖‖
PROPIEDADES Sean u, v, w Є
1.2.3.4.5.-
, Є
.
El modulo al realizar el producto interno de dos vectores también esta definido. Sean u y v Є
CALCULO DEL AREA DE UN PARALELOGRAMO Teorema: v uu
‖‖ ‖‖ ‖‖‖ ‖ √ v
Determinar el área del paralelogramo que tiene como vértices los siguientes puntos:
TRANSFORMACIONES LINEALES Sea v y w espacios vectoriales y F una función de v a w, para que esta función sea considerada como una transformación lineal, tiene que cumplir con: v= conjunto de partida w= conjunto de llegada a) b) c)
Determinar si se puede considerar una Función lineal.
Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma está dada por:
Resta Esta dada por:
* Producto El producto está dado por Cociente El cociente está dado por
Compuestas Sean y dos funciones con sus respectivos dominios compuesta con esta dada por:
Sea
y
, entonces la función
Sea
Al conjunto de aplicaciones lineales de v a w se lo representa de la siguiente manera:
PROPIEDADES: 1.2.3.- Sea 4.- Sea una base de v y única transformación lineal, tal que: NÚCLEO E IMAGEN Núcleo
Sea F Є λ (v, w) Nf ={ v Є V /f(v)=0 }
Imagen
Sea F Є λ (v, w) Imag F= {w Є W / Э v Є V; f(w)=W }
Teorema de Dimensión
un conjunto cualquiera de w, existe una
dimV=dim NF + dim Img F Dado el siguiente ejercicio encontrar el núcleo e imagen
+ + +
Teoremas
El núcleo de un sistema lineal es un subespacio del conjunto de partida. La imagen de una aplicación lineal es un subespacio del conjunto de llegada.
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL Cualquier aplicación lineal se puede representar en una aplicación lineal donde loa letra de los coeficientes se aplicará con una letra mayúscula. Para encontrar una aplicación lineal se utilizara la base canónica del conjunto de partida F: R3 R3
+ +
| | , MATRIZ CAMBIO DE BASE Sea V un de dimensión finita. Sean . Una Matriz [Id], que representa el cambio de base entre
tiene que ser cuadrada e inversible
Determinar la matriz de cambio de base de y de . Determinar las coordenadas del vector respecto a (1,3) si se sabe que las coordenadas son respecto a C
En otra forma:
| | , , , *
TEOREMA
Una aplicación lineal es biyectiva si esta es inyectiva Si una aplicación lineal es biyectiva esta toma el nombre de isomorfismo. Ejemplo: Determinar si la siguiente aplicación lineal es isomorfismo.
|||| || | || ||| | | | | |
y
sobreyectiva.
Si el núcleo es no es isomorfismo. Si el determinante es = 0 no es isomorfismo. POLINOMIOS PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y POLINOMIOS CARACTERÍSTICOS MATRICES SIMILARES Se dice que A es similar a B, si existe una matriz invertible Q tal que cumpla:
POLINOMIO CARACTERÍSTICO para obtener el polinomio característico se A se utiliza: Ejemplo:
AUTO VALORES O VALORES PROPIOS Para determinarlos se debe encontrar las raíces de los polinomios característicos Ejemplo: *
*
VAL ORES PROPIOS
Cada valor propio se asocia a un vector mediante la siguiente ecuación homogénea. Los vectores propios se obtienen al resolver el sistema anteriormente indicado, todas las respuestas son válidas excepto las triviales.
Está bien si quedan infinitas soluciones
La definición de un vector propio parte de la definición.
Matrices Similares tienen el mismo polinomio característico. Los valores propios de una matriz simétrica siempre serán reales y los valores propios ortogonales. Sea A una demostrar que sus valores propios siempre serán reales.
√
Se analiza el discriminante y deber ser mayor o igual que cero.
DIAGONALIZACIÓN Se dice que una matriz A cuadrada es diagonizable si es similar a una matriz diagonal
A es diagonizable si y solamente si existe una base formada para los auto valores; para este caso se debe considerar:
La matriz D es una matriz diagonal y los elementos en su diagonal principal son propios. La matriz Q está formada por los vectores propios en forma de columna.
APLICACIÓN