Ana Ma. Jiménez Rojas Ing. Rafael Ramírez, Mecánica de Fluidos
Capítulo 1: Nociones fundamentales Autor% Iring '. ()ames *ítulo de libro% Mecánica de +uidos
Objetio Desarrollar los ejercicios 1.37, 1.45 y 1.46 localizados en el capítulo 1: Nociones Fundamentales del liro !ec"nica de Fluidos de #r$in% &. '(ames, 3ra edici)n.
!."# *n tan+ue es-rico de acero de pared del%ada con di"metro eterno de 1 t y un espesor de pared de / de pul%ada se encue ncuen ntra tra llen lleno o de a%ua a%ua,, con presi)n atmos-rica en la parte superior. 'i el esuerzo de 0uencia del acero es de 5. l2in , cu"l es el $olumen de a%ua +ue puede orzarse dent dentrro de la es ese era ra sin sin +ue +ue ocur ocurra ra 0uencia alcule este $olumen cuando se alcanza la m"ima presi)n en el tan+ue. l m)dulo de elasticidad del acero es de 316 l2in. onsidere un camio en el $olumen interno de la esera como resultado de la deo deorm rmac aci) i)n n del del tan+ tan+ue ue.. *se *se como como $alor promedio de 8 para el a%ua en el ran% ran%o o de pres presio ion nes in$o in$olu lucr crad adas as,, 35. 35. l2in l2in . #%nor %nore e los los eec ectos %ra$it a$ita acion ionales les. Ayuda: 9a uerza erza sor sore e una una super supercie cie cur$a cur$a causa causada da
!er enfo$ue% &arámetros% t ; espesor <"%ina 1
por una presi)n uniorme es i%ual a la ma%ni ma %nitud tud de la presi presi)n )n multi multipli plicad cada a por el "rea proyectada sore un plano perp perpen endi dicu cula larr a la direc irecci ci)n )n de la uerza.
< ;
rea proyectada d)nde se asume +ue act?a la presi)n para el caso de una supercie cur$a. De ; Di"metro eterno Di ; Di"metro interno Dm ; Di"metro medio Fr ; Fuerza resultante +ue crea esuerzos de tensi)n en las paredes del tan+ue @ ; suerzo en la pared del tan+ue =t ; >rea trans$ersal de la pared del tan+ue sore la +ue act?a el esuerzo A ; Deormaci)n $olum-trica de la esera B ; Bolumen inicial interno B ; Bolumen nal interno CB ; amio en el $olumen interno ; !)dulo de elasticidad ; oeiciente de compresiilidad 8 ; !)dulo de elasticidad $olum-trica B E ; Bolumen total +ue puede orzarse dentro del tan+ue
&lanteamiento% Eomando en cuenta +ue es un tan+ue es-rico de pared del%ada y dado +ue se cumple la relaci)n: 12 ∈¿=
t 12 De, Ga +ue
1 4
1 48
∈×
ft <
1 20
ft
1 ft
¿
omo se menciona en la ayuda la uerza resultante en las paredes ser" i%ual a la ma%nitud de la rea proyectada:
∑ F = P A − F ∴ F = P A y
p
D)nde el A p= 9os esuerzos de tensi)n %enerados son: <"%ina
r
π Dm 4
r
2
p
F r π 2 2 σ = ; dónde el A t = ( De − Di ) 4 A t
'in emar%o c)mo se estaleci) +ue la esera es de pared del%ada se puede usar la aproimaci)n propuesta en el liro de !ott: A t = π Dm t
( ) π Dm
2
4
π D m t
PD m 4 t
=
)mo se (a planteado el diseHo para un @ y ;5. l2in, entonces la m"ima presi)n +ue puede soportar el tan+ue sin +ue ocurra 0uencia es: 1 4
(
∈¿ ¿
× 50.000
12 ∈
¿ −1 4
lb 2
in
)
∈¿
¿
4׿ 4 tσ
P =
Dm
=¿
'e calcula la deormaci)n $olum-trica de la esera aplicando la 9ey de &ooIe: Δ V σ ∧ ε= ε= = V 0 E
50.000
lb 2
in =1,6667 × 10−3 6 lb 30 × 10 2 in
1 Ber apítulo 1 de !ec"nica de Fluidos de #r$in% &. '(ames, 3ra dici)n <"%ina 3
4255,32
lb 2
ΔP in lb = β = 2 −3 = 2.553 .140,94 Δ V 1,6667 × 10 in V 0
ntonces el camio de $olumen en el tan+ue es i%ual a: 11,5 ∈ ¿ 2
¿ ¿ ¿3 ¿
4 π ׿ 1
ΔV = K V 0 ΔP = × β
4 π r 3
3
× ΔP =
1
lb 2.553.140,94 2 in
׿
3
ΔV =1,32 i n
omo resultado an"lo%o de lo anterior podemos otener el $olumen nal: 3
3
3
ΔV =V f −V i ∴ V f = ΔV + V i=1,32 in + 796,33 i n =797,65 in
Le%resando al planteamiento y como es mencionado en el capítulo 1 del liro de '(ames, al a%re%ar a%ua al tan+ue, -sta se comprime en cierta medida por lo +ue (ay +ue determinar cu"l es el $olumen comprimido de a%ua para (allar el $olumen total +ue se puede orzar dentro del tan+ue sin +ue este alle: ΔV agua=
−V i K
ΔP =
−796,33 i n3 305.000
lb in
× 4255,32
lb in
2
=−11,11 i n3
2
do enfo$ue% &arámetros% t ; espesor de la pared < ;
3
3
=< ; >rea proyectada d)nde se asume +ue act?a la presi)n para el caso de una supercie cur$a. De ; Di"metro eterno Di ; Di"metro interno @ ; suerzo en la pared del tan+ue =t ; >rea trans$ersal de la pared del tan+ue sore la +ue act?a el esuerzo A ; Deormaci)n $olum-trica de la esera B ; Bolumen inicial al interior del tan+ue B ; Bolumen nal al interior del tan+ue CB ; amio en el $olumen interno del tan+ue ; !)dulo de elasticidad 8 ; !)dulo de elasticidad $olum-trica del a%ua B E ; Bolumen total +ue puede orzarse dentro del interior del tan+ue
&lanteamiento% n el ejemplo 4 del apítulo 1 del liro de '(ames se muestra un planteamiento +ue puede ser aplicale a este caso: *tilizando como reerencia el dia%rama de cuerpo del eno+ue No. 1:
∑ F = P A − σA ∴ σA = P A y
p
t
t
p
De esta ecuaci)n de e+uilirio despejamos <, para (allar la ma%nitud de la presi)n:
P=
σA t A p
σ×
=
π
( D 4
2
e
− Di2 )
π 2 Di
50.000
lb 2
in
=
π
4
σ ε= = E
50.000
×
4
π 4
× ( 12 −11,5 2
× ( 11,5
2
)
2
)
)=
4442,34
lb 2
in =1,6667 × 10−3 6 lb 30 × 10 2 in
Di= Di × ( 1 + ε )=11,5 ∈× ( 1 + 1,6667 × 10
−3
V i=
(
4 π 3
×
( )= 11,5 2
3
3
796,33 in ! V f =
4 π 3
)=11,5192 ∈¿
×
(
11,5192 2
)= 3
amio de $olumen producido al interior del tan+ue: 3
3
3
Δ V =V f −V i=800,3235 i n −796,33 i n =3,99 i n
<"%ina 5
3
800,3235 i n
lb 2 in
'e mide la compresiilidad del a%ua:
( Δ V )agua =
−V f "
Δ P=
−800,3235 i n3 305.000
lb 2 in
× 4442,34
lb =−11,6567 in3 2 in
V T = Δ V +|( Δ V )agua|=3,99 i n + 11,6567 i n =15,6467 i n 3
3
3
ae resaltar +ue los datos de presi)n y $olumen nal del tan+ue son respaldados por los datos en el ejercicio 1.3M del liro de '(ames, y +ue amos eno+ues lle%an a una respuesta correcta s)lo +ue para el caso del primer eno+ue, dado +ue se (ace una aproimaci)n en ase al comportamiento de tan+ues es-ricos, las respuestas tienen un porcentaje de error, ya +ue se usa el di"metro medio en $ez de los di"metros eterno e interno. ste error ue mencionado en el liro de !ott y estimado en menos del 5O.
!.- n mec"nica estructural puede determinarse la tasa de torsi)n a de un eje de cual+uier orma utilizando la analo%ía de película de ja)n de
.5 in3. l "n%ulo R a lo lar%o del orde de la secci)n trans$ersal se mide )pticamente y se encuentra +ue es 3S.
$ % ΔP # = 4 σ&V
&arámetros% V ; Easa de torsi)n en radianes por unidad de lon%itud ! ;Eor+ue transmitido por el eje real T ; !)dulo de esuerzo cortante del eje real <"%ina 6
B ; Bolumen de aire ajo la película de ja)n y por encima de la secci)n trans$ersal ormada por el orde a%udo. < ;
&lanteamiento% 'i%uiendo la ayuda del ejercicio se determinar" el esuerzo de acuerdo al comportamiento de uruja +ue presenta la película de ja)n: 12 ∈¿ 1 ft 0,25 ∈ ×
¿
¿
lb ׿ 2 in P¿ '
0,4
σ =
4
=¿
=(ora con la ecuaci)n dada se puede calcular V: 12 ∈¿
¿ 12 ∈¿ ¿ ( ¿3 ¿ ) 3
3
0,5 i n ×
1 f t
¿
( ¿ ¿ ¿ 1 f t ) × ¿ 2
2
¿ 6
10 × 10
(
lb in
2
−3 lb
4 × 2,0833 × 10
( $ % ΔP = # = = ) 4 σ&V
<"%ina 7
׿
ft
)
׿
500 lb*ft× 0,4
¿
lb 2 f t
# =0,0576
rad ft
=(ora con$ertimos los 3S a radianes: (=
30 +× π 180 +
=
π 6
Leemplazamos en V y despejamos 9: π 6 ( = )= =9,09 ft # 0,0576 rad / ft
9a ecuaci)n para (allar el "n%ulo de torsi)n es: ϕ =
$ % ) 3
, 2 a b &
Donde a; 5 in, ; ,5 in, entonces a2;1 por lo tanto ; ,333. 12 ∈¿ 1 ft
5 ∈×
¿ ¿ 12 ∈¿
0,5 ∈ ×
1 ft
¿ ¿ 12 ∈¿ ¿ 2 ( ¿ ¿ ¿ 1 f t 2 ) 6
10 × 10
¿
lb ׿ 2 in
( 0,333 ) × ¿ ( 500 lb*ft ) ×( 9,09 ft ) ϕ= ¿
Ber apítulo 3 !ec"nica de !ateriales de Ferdinand <. Xeer, et all, 5ta edici)n. <"%ina M
ϕ=
0,3145 rad× 180 +
π
=18,02 +
!.-/ =l usar la analo%ía de película de ja)n de
$ %
4 σ&V
&-
=
Despejamos ΔP :
ΔP =
4 σV
-
(
4 × 0,1460
=
)
. 3 × ( 0,001120 m ) m
(
π × 100 mm ×
1m 1000 mm
)
4
=4,16 Pa
2
stos datos pueden ser $ericados en la (oja de respuestas para ejercicios seleccionados en el ap-ndice del liro !ec"nica de Fluidos de '(ames.
<"%ina Z
