MATEMÁTICA I
TEMA N° 2 RECTAS EN EL PLANO 2.1 Distancia entre dos puntos1 puntos1
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P2 denotada por d =
esta dada por:
(1) Demostración En la figura 2.1. hemos he mos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como también el segmento de recta
fig 2.1. Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P 1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:
Pero:
;
y
Luego,
Observaciones:
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MATEMÁTICA I
i.
En la fórmula fórmula (1) se observa que la la distancia distancia entre dos puntos es siempre siempre un valor valor no negativo
ii. ii.
Nóte Nótese se ademá ademáss que el orde ordenn en el cual cual se rest restan an las coor coorde dena nada dass de los los punt puntos os P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.
iii iii..
Si el segmen segmento to rectilí rectilíneo neo determ determina inado do por los puntos puntos P1 y P2 es paralelo al eje x (fig.2.2.) entonces
puesto que y1 = y2
fig. 2.2. Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 2.2. (b)), entonces puesto que x2 = x1
2.2 Coordenadas del punto Medio de un segmento 22.... Al Considerar el segmento la (fig. 2.3.)
cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) , mostrados en
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MATEMÁTICA I L Luego aplicando las siguientes fórmulas que permiten calcular el punto medio de un segmento,
son las siguientes:
X1 + X2
Xm
Ym
2
Y1 + Y2 2
E Ejemplo: Dado los siguientes siguientes puntos en el plano P1(2 , 3) y P2( -4 , 5 ), encontrar: a) Distan Distancia cia entre entre los los dos puntos puntos b) Coorde Coordenad nadas as del punto punto Medio Medio Solución parte a Luego aplicando la fórmula anterior se tiene que: X2 := −4
d :=
Y2 := 5
( X2 − X1)
2
+
( Y2 − Y1)
2
d
=
6. 32 325
.bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb Parte b) Xm :=
Ym:=
2
Y1 + Y2 2
Xm = −1
Ym = 4
Luego las coordenadas del punto medio son: M(-1 , 4)
b
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MATEMÁTICA I 2.3 Pendiente e Inclinación de una Recta D El ángu ángulo lo θ que forma una recta L con el eje x medido en el sentido posi positiv tivoo del eje a la derecha derecha L, se llama llama:: ANGULO ANGULO DE INCLIN INCLINACI ACIÓN ÓN de la recta L (fig. 2.4.). Si L es una recta no vertical, vertical, la PENDIENTE PENDIENTE de la recta L, denotada denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, m
tan θ
)
(1)
El número m se conoce como PENDIENTE de la recta L Observaciones: Si la recta L es vert vertic ical al,, su ángu ángulo lo de incl inclin inac ació iónn es 90º 90º y por por lo tant tantoo su pend pendie ient ntee m = tan (90º) no está definida.
FIG 2.4 Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son son dos dos punt puntos os disti istint ntos os sobr sobree una una rect rectaa no vert vertic ical al L (fig.2.5(b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene: (2) Las Las expr expres esio ione ness (1) (1) y (2) (2) son son equi equiva vale lent ntes es y en lo suce sucesi sivo vo harem haremos os uso uso indi indist stin into to de ella ellas. s. Nóte Nótese se que que el coef coefic icie ient ntee angu angula larr m es igua iguall al incr increm emen ento to de orde ordena nada dass dividido por el incremento de abscisas. El nom nombre bre de pend pendie ient ntee de una una rect rectaa esta esta just justif ific icad ado. o. Cuan Cuando do se dice dice que que un camin caminoo tien tienee la pendi endien ente te 5% 5%,, sign signif ific icaa que que por por cada cada 100 100 unid unidad ades es hori horizo zont ntal ales es asci ascien ende de 5 unid unidad ades es,, es deci decirr, el coci cocien ente te de las las orde ordena nada dass por por las las absc abscis isas as corr corres espo pond ndie ient ntes es es 5/100. Prof: Ing. Héctor Héctor González C.
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MATEMÁTICA I La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, por lo tanto se tiene que: Si = 0o entonces m= 0 (fig. 2.5. (a)) Si 0o < < 90o entonces m > 0 (fig. 2.5. (b)) Si 90º < < 180o entonces m < 0 (fig. 2.5. (c))
Fig. 2.5. f
2.4 Ecuaci Ecuaciones ones de la Líne Líneaa Recta Recta 2.4.1 2.4.1 Ecuaci Ecuación ón de de la recta recta que que pasa pasa por el orig origen en Considere la recta L que pasa por el origen origen 0 y forma un ángulo de inclinación inclinación con el eje x, como como se muestra en la (fig. 2.6.).
.... ...
Fig 2.6
Tómese sobre la recta los puntos P 1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P 1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
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MATEMÁTICA I Como los triángulos OP 1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Por lo tanto la ecuación de dicha recta que pasa por el origen queda de la siguiente manera Y = mX
Por lo tanto, es la ecuación de la recta que pasa por el origen origen y tiene pendiente conocida conocida m.
2.4.2 Ecuación Ecuación de la recta recta conocid conocidaa su pendiente pendiente y su interce intercepto pto con con el eje y Considere una recta l de la que se conocen conocen m (m = tan ) y b (ver fig. fig. 2.7.)
Fig 2.7
Cuando se tiene una recta que no pasa por el origen y tiene corte con el eje Y, Y, como se aprecia en la figura, este punto de corte se denomina ( b ), que es el intercepto con el eje Y, por lo tanto la ecuación queda: y = mx + b
ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
.. 2.4.3 Ecuación de la recta recta que pasa por un punto y de pendiente conocida Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.
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MATEMÁTICA I Fig 2.8
Fig 2.8 Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l , viene dada por: y = mx + b
Como P1(x1, y1)
l , entonces satisface (1) y
(1)
en consecuencia se tiene:
y1 = mx 1 + b
(2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y – y1 = m(x – x 1 ) ) (3)
La ecuación (3) se denomina la ecuación de la recta
2.4.3 2.4.3 Ecuaci Ecuación ón de la la recta recta que que pasa pasa por dos puntos puntos P1(X1 P1(X1 , Y1) P2(X2, P2(X2, Y2) Prof: Ing. Héctor Héctor González C.
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MATEMÁTICA I
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. (Fig 2.9)
Fig 2.9 Como l pasa pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene tiene que la ecuación anterior es y – y1 = m1 (x – x1)
(1)
representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2)
l , entonces satisface su ecuación
m
y su pendiente es
Y2 − Y1 X2 − X (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3)
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
2.4.4 2.4.4 Ecua Ecuaci ción ón Gener General al de la Rect Rectaa La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta.
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MATEMÁTICA I 2.5 Ángulo Ánguloss entre entre dos dos recta rectass Sean l 1 y l 2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ1 y θ2 respectivamente. Al cortarse las rectas l 1 y l 2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 2.10.), esto es: β1 = β2 = θ1 – θ2 y α1 = α2 = 1800 - β1.
Fig 2.10 Se define el ANGULO entrel 1 y l 2 como el ángulo positivo positivo obtenido obtenido al rotar la recta recta l 2 hacia l 1 . En este caso, el ángulo entre l 1 y l 2 viene dado por: β1 = θ1 - θ2 (1)
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: tan β1 = tan (θ1 - θ2)
y por último en términos de las pendientes se tiene:
tan β1
Esta ecuación permite obtener el ángulo ángulo entre 2 rectas, conocidas las pendientes pendientes de cada una de las rectas.
2.6 Rectas Paralelas Paralelas y Perpendi Perpendicular culares es
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MATEMÁTICA I Sean l 1 y l 2 dos rectas rectas no verti vertical cales es con pendie pendiente ntess m1 y m2 respectivamente. Entonces: m1 = m2 i) l 1 es paralela a l 2 (l 1 || l 2) ii) l 1 es perpendicular a l 2 (l 1
l 2)
m1 . m2 = -1
Fig 2.11 2.11 Rectas Paralelas y Perpendiculares Perpendiculares
2.7 Inters Intersecci ección ón entre entre dos Rectas Rectas La intersección entre dos rectas, simplemente son las coordenadas x e y del punto de intersección que result resultaa resolv resolvien iendo do dichas dichas ecuaci ecuacione oness medi mediant antee un sistem sistemaa de dos ecuaci ecuacione oness con dos incógnitas.
Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos vistos en los cursos de álgebra.
2.8 Distancia Distancia entre entre dos rectas rectas Paralelas Paralelas Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones: l : y = mx + b 1 r : y = mx + b 2
ó l : mx – y + b 1 = 0 ó r: mx – y + b2 = 0
Supóngase además que 0 < b 1 < b2. Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y (fig. 2.12.).
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MATEMÁTICA I
Fig 2.12 Distancia entre Rectas Paralelas De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:
Igualmente,
. Pero
que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:
es la distancia entre las rectas paralelas l y r
EJERCICIOS RESUELTOS
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MATEMÁTICA I EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) Solución: x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y 2 – y1 = 5 – (-3) = 13 Luego,
EJEMPLO 2 Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento Solución: Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:
Por lo tanto las coordenadas del punto medio es M(1, ½)
EJEMPLO 3 Graficar la siguiente siguiente ecuación: y = 2x – 5 Para graficar cualquier función lineal, se debe tomar como mínimo dos o más puntos Definiendo f(x) = 2x –5 , tomando algunos puntos, se obtiene:
f ( 1)
= −3
f ( −3)
= −11
Se obtiene la siguiente gráfica
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MATEMÁTICA I Nótese que la ecuación es de la forma Y = mx + b , donde se deduce que b = -5 y pendiente m = 2 (Positiva)
10
10
5
0
5
10
10
20
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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MATEMÁTICA I
E
1) ncontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8)
D
2) emostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles
D
3) ado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.
D
4) emostr emostrar ar que los puntos puntos P1(0, 5), P 2(6, -3) y P 3(3, (3, 6), 6), son son vért vértic ices es de un triángulo rectángulo 5)
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo
6) 2.
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es E
7) ncuentre la distancia del punto P(6, 1) a la recta 5x + 12y – 31 = 0. Ilustre la situación.
T
8) razar las rectas 3x + 4y – 10 = 0, y, 3x + 4y = 0. Además dibújelas en el papel milimetrado 9)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-5,-7) y B(3,-4) H
10) allar la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y es perpendicular a la recta 2x – 5y = 8
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MATEMÁTICA I
H
11) allar la ecuación de la recta que pasa por A(-3/4,-1/2), y es paralela a la recta x+3y = 1 12)
Encontrar el ángulo entre las siguientes rectas a) y-3x+1=0 c) x=-y
13)
3y+2x-2=0
x-y-1=0
b) 3y+x-1=0
y+2x+1=0
d) y=-3x+1
y= 2x+2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: O(4; 5) y es // a la recta 3.x + 4.y = 2 P(-1; 1) y es // a la recta y + 2.x = 0 Q(2; 1) y es // a la recta 3.y + 3 = 0 R(4; 3) y es ⊥ a la recta 5.x + y = 4 e) S(-2; -1) y es ⊥ a la recta y = 2.x f) T(1; -3) y es ⊥ a la recta x + y + 1 = 0
a) b) c) d)
R
14 ) epresentar gráficamente las siguientes ecuaciones indicando la pendiente y el punto de intercepto con el eje y: a - y - 3.x + = 0
d - 2.x - y = 0
g - y - 2.x/3 + 2 = 0
b - 3.x/5 +y - 1 = 0
e - -2.x - y + 6 = 0
h - 2.y = -6.x
c - 2.x + 6.y - 12 = 0
f - x - 2.y + 8 = 0
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