ANEJO:
Prontuario básico de estructuras simples.
Vigas simples. Vigas continuas de 2 vanos. Vigas continuas de 3 vanos.
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 1 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA: carga puntual F genérica. Reacciones y solicitaciones
F
x
A
B
Fb L
RB =
Fb L Fb M AC = x L Fab = MC = L VAC =
Cortantes:
C a
RA =
Reacciones:
Flectores:
b L
M máx
VA
Fa L Fa L Fa (L − x ) = L
VCB = −
M CB
para x = a
Deformaciones
Giros: ϕA = −
VB
Fab (L + b ) 6 EI L
ϕB =
F ab (L + a ) 6 EI L
ϕC =
F ab (a − b ) 3 EI L
Elástica: y AC =
FLbx ⎛⎜ b 2 x 2 ⎞⎟ − 1− 6 EI ⎜⎝ L2 L2 ⎟⎠
y CB =
2 FLa (L − x ) ⎛⎜ a 2 (L − x ) 1− 2 − ⎜ L 6 EI L2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Flecha máxima (a>b):
M máx
y máx =
Fb
(L
2
9 EIL 3
− b2
)
3/ 2
L2 − b 2 3
para x =
VIGA SIMPLE APOYADA: carga puntual F centrada. Reacciones y solicitaciones
x C
B
F 2
F 2 F M AC = x 2 FL = MC = 4
F 2 F M CB = (L − x ) 2 L para x = 2
VAC =
Cortantes:
A L/2
RA = RB =
Reacciones:
F
Flectores:
L/2 L
M máx
VA
VCB = −
Deformaciones
Giros: ϕA = −
VB
ϕB =
F L2 x ⎛⎜ 4 x2 1− 16 EI ⎜⎝ 3 L2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
ϕC = 0
y CB =
2 F L2 (L − x ) ⎛⎜ 3 (L − x ) − 12 EI ⎜⎝ 4 L2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Flecha máxima: y máx = y C =
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
F L2 16 EI
Elástica: y AC =
M máx
F L2 16 EI
F L3 48 EI
para x =
L 2 Prontuario, 3 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA: cargas puntuales F simétricas. F
x
Reacciones y solicitaciones
F
Reacciones: R A = R B = F
C
D
A
B a
a
Cortantes:
VAC = F
VCD = 0
VDB = −F
Flectores:
M AC = F x
M DB = F (L − x )
M CD = M máx = F a
Deformaciones
L
VA
Giros: − ϕA = ϕB =
Fa (L − a ) 2 EI
Fa (L − 2a ) 2 EI
− ϕC = ϕD =
Elástica:
VB
y AC =
(
Fx 3aL − 3a 2 − x 2 6 EI
Flecha máxima: y máx =
M máx
)
y CD =
(
Fa 3L2 − 4a 2 24 EI
)
(
Fa 3Lx − 3x 2 − a 2 6 EI para x =
)
L 2
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en un extremo. Reacciones y solicitaciones
RA =
Reacciones:
VA =
C A
B Flectores:
b
qa ⎛ a⎞ ⎜b + ⎟ L ⎝ 2⎠ M AC =
L
VA
RB =
qa 2 2L
Cortantes:
q
a
qa ⎛ a⎞ ⎜b + ⎟ L ⎝ 2⎠ VAC =
qa ⎛ ⎜b + L ⎝
qa ⎛ a⎞ p x2 ⎜b + ⎟ x − 2⎠ 2 L ⎝
qa 2 ⎛ a ⎞ = ⎟ ⎜1 − 2 ⎝ 2L ⎠
M máx
a⎞ ⎟ −px 2⎠
VCB = −
M CB =
2
qa 2 2L
qa 2 (L − x ) 2L
⎛
para x m = a ⎜1 − ⎝
a ⎞ ⎟ 2L ⎠
Deformaciones
VB
ϕA = −
qa 2 (L + b )2 24 EIL
Elástica:
y AC =
qx ⎡ 3 a⎞ 2 ⎛ 2⎤ 2 ⎢Lx − 4a⎜ b + ⎟x + a (L + b ) ⎥ 24EIL ⎣ 2⎠ ⎝ ⎦
y CB = −
M máx xm
qa 2 ⎛⎜ a2 1− 12 EI ⎜⎝ 2 L2
Giros:
Flecha máxima:
ϕB =
⎛ q(L − x )a 2 ⎡ a2 2 ⎢(L − x ) − L2 ⎜⎜1 − 2 12 EI L ⎣⎢ ⎝ 2L
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
(
− a2
y máx =
q a2 2L2 − a 2 216 EIL
) 6 (2L
para a<0,4531L en x = L −
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
2
⎞ ⎟L ⎟ ⎠
)
L2 a 2 − 3 6 Prontuario, 4 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en todo el vano. Reacciones y solicitaciones
q
A
B L
VA
qL 2
Reacciones:
RA = RB =
Cortantes:
⎛L ⎞ VAB = q ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠
Flectores:
M AB =
VA = − VB =
qL 2
qx (L − x ) 2
M máx =
q L2 8
L 2
para x =
Deformaciones
VB
M
q L3 24 EI
ϕB =
q L3 24 EI
Giros:
ϕA = −
Elástica:
y AB =
qx x 3 − 2 Lx 2 + L3 24 EI
Flecha máxima:
y máx =
5 q L4 384 EI
(
para x =
) L 2
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en tramo intermedio. Reacciones y solicitaciones
RA =
Reacciones:
x q C
VAC =
B a
Flectores:
b L
VA
q ac L
RB =
Cortantes:
D
A
qbc L
M DB =
q bc L M AC
VCD = qb c = x L
q ac (L − x ) L
qbc ⎛c ⎞ − q ⎜ − a + x⎟ L 2 ⎝ ⎠ M CD
M máx =
q bc q = x− 2 L
VDB = −
c⎤ ⎡ ⎢x − a + 2 ⎥ ⎦ ⎣
q ac L
2
qb c ⎛ bc ⎞ c bc ⎜ 2a − c + ⎟ para x m = a − + 2L ⎝ L⎠ 2 L
Deformaciones
Giros:
ϕA = −
VB Elástica: y AC = y CD
M máx xm
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
qabc ⎛⎜ c2 ⎞ L+b− ⎟ 6 EIL ⎜⎝ 4a ⎟⎠
ϕB =
qabc ⎛⎜ c 2 ⎞⎟ L+a− 6 EIL ⎜⎝ 4b ⎟⎠
⎛ qbcx ⎡ 2 c 2 ⎞⎤ ⎢− x + a ⎜⎜ L + b − ⎟⎟⎥ 6EIL ⎢⎣ 4a ⎠⎥⎦ ⎝
4 ⎛ q ⎡ ⎛ c⎞ c2 ⎞ ⎤ ⎢L⎜ x − a + ⎟ − 4bcx 3 + 4abc⎜ L + b − ⎟x⎥ = ⎜ 24 EIL ⎢ ⎝ 2⎠ 4a ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦
y DB =
⎛ qac (L − x ) ⎡ c 2 ⎞⎟⎤ 2 ⎢− (L − x ) + b ⎜ L + a − ⎥ ⎜ 6EI L ⎢⎣ 4b ⎟⎠⎥⎦ ⎝
Prontuario, 5 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA: momento puntual M en extremo. Reacciones y solicitaciones
M
B
A
M L M = L
Reacciones:
RA =
RB = −
Cortantes:
VAB
Flectores:
x⎞ ⎛ M AB = −M ⎜1 − ⎟ ⎝ L⎠
M A = −M
MB = 0
Deformaciones
L
VA
M L
VB ϕA =
Giros:
ML 3 EI
ϕB = −
ML 6 EI
Elástica:
MA
y AB = −
2⎤ ⎡ ML (L − x ) ⎢1 − ⎛⎜ L − x ⎞⎟ ⎥ 6 EI ⎢⎣ ⎝ L ⎠ ⎥⎦
Flecha máxima: y máx = −
⎛
M L2
para x = L ⎜⎜1 − ⎝
9 EI 3
1 ⎞ ⎟⎟ 3⎠
VIGA SIMPLE APOYADA: momento puntual M intermedio. Reacciones y solicitaciones
x C A
RA =
Cortantes:
VAB
Flectores:
M AC =
B a
b L
VA
M L M = L
Reacciones:
M izq C =
VB
M a L
RB = −
M x L
M L
M CB = −
M der C =−
M (L − x ) L
M b L
der M = M izq C + MC
Deformaciones
Giros:
M der C
ϕA =
⎞ M L ⎛⎜ b 2 3 2 − 1⎟ ⎟ 6 EI ⎜⎝ L ⎠
ϕB =
⎞ M L ⎛⎜ a 2 3 2 − 1⎟ ⎟ 6 EI ⎜⎝ L ⎠
ϕC =
M 2
3 EI L
(a
3
+ b3
)
Elástica: y AC = izq
MLx 6 EI
MC
Flecha en C:
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
2 2 ⎛ ⎜1 − 3 b − x ⎜ L2 L2 ⎝
yC = −
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
y CB = −
ML(L − x ) ⎡ a2 ⎛ L − x ⎞ ⎢1 − 3 −⎜ ⎟ 6 EI ⎢⎣ L2 ⎝ L ⎠
2⎤
⎥ ⎥⎦
M ab (b − a ) 3 EI L
Prontuario, 6 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA: momentos puntuales M contrarios en extremos. Reacciones y solicitaciones
x
Ma
Mb
A
B L
VA
VB
Reacciones:
RA =
Ma − Mb L
Cortantes:
VAB =
Ma − Mb L
RB = −
Ma − Mb L
Flectores: M AB = −
Ma (L − x ) − M b x L L
M A = −M a
M B = −M b
Deformaciones
Giros: MA
ϕA =
MB
L (2M a + M b ) 6 EI
ϕB = −
L (M a + 2M b ) 6 EI
Elástica: y AB = −
⎡ ⎤ Max (L − x ) ⎢1 + L − x + M b ⎛⎜1 + x ⎞⎟⎥ 6 EI L M a ⎝ L ⎠⎦ ⎣
VIGA SIMPLE APOYADA: momentos puntuales M en extremos. Reacciones y solicitaciones
Mb
Reacciones:
RA =
Cortantes:
VAB =
Ma A
B L
VA
VB
Ma + Mb L
RB = −
Ma + Mb L
Ma + Mb L
Flectores: M AB = −
Ma (L − x ) + M b x L L
M A = −M a
MB = Mb
Deformaciones
MA
Giros: ϕA = −
L (2M a − M b ) 6 EI
Elástica: MB
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
y AB =
ϕB = −
L (2M b − M a ) 6 EI
x (L − x ) [(M a + M b ) x − (2M a − M b )L] 6 EI L
Prontuario, 7 de 25
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga puntual F genérica. Reacciones y solicitaciones
x
F C
A
B
a
RA =
Cortantes:
VAC =
b MA = −
Flectores:
L
VA
M AC =
VB MB
MA
Fb 2
Reacciones:
Fb 2 3
L
L3 Fb 2 L3
(L + 2a )
RB =
(L + 2a )
Fab 2
(Lx + 2ax − aL )
L3
Fa 2 b Fa 2 3
L
L3
(L + 2b )
MC =
L2
M CB =
(L + 2b )
Fa 2
VCB = −
MB = −
L2
Fa 2
(Lb + L
2
2F a 2 b 2 L3
− Lx − 2bx
)
Deformaciones
Elástica:
y AC =
Fb 2 ⎛ 2ax ⎞ x 2 ⎜ 3a − x − ⎟ 6 EI ⎝ L ⎠ L2
y CB =
L − x ⎞ (L − x ) Fa 2 ⎛ ⎜ 3b − (L − x ) − 2b ⎟ 6 EI ⎝ L ⎠ L2
2
Flechas: yC =
MC
F b 3a 3
y máx =
3
3 EI L
2F b 2 a 3
3 EI (L + 2a )
2
para x =
2aL L + 2a
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga puntual F centrada. x C
A L/2
VA
Reacciones y solicitaciones
F
B
RA = RB =
Cortantes:
VAC =
F 2
VCB = −
Flectores:
M AC =
FL ⎛ x ⎞ ⎜ 4 − 1⎟ 8 ⎝ L ⎠
M CB =
L/2 L
MA = MB = −
FL 8
M máx = M C =
FL 8
F 2
FL ⎛ x⎞ ⎜3 − 4 ⎟ 8 ⎝ L⎠
para x =
L 2
Deformaciones
VB M B Elástica:
MA
F 2
Reacciones:
y AC =
FLx 2 ⎛ x⎞ ⎜3 − 4 ⎟ 48 EI ⎝ L⎠
y CB =
F (L − x ) 48 EI
2
(4x − L )
Flecha máxima:
MC
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
y máx = y C =
F L3 192 EI
para x =
L 2
Prontuario, 8 de 25
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: cargas puntuales F simétricas. x
Reacciones y solicitaciones
F
F
Reacciones: R A = R B = F
C
A
D
a
B a
Cortantes:
VAC = F
Flectores:
M AC =
L
VA
M DB =
VCD = 0
(
F L(x − a ) + a 2 L
(
)
F a2 L
M CD =
)
F L(L − x − a ) + a 2 L
VDB = −F
MA = MB = −
Fa (L − a ) L
Deformaciones
VB MB
MA
Elástica:
(
Fx 2 3aL − 3a 2 − Lx 6 EI L
y AC =
)
y CD =
(
Fa 2 − aL + 3Lx − 3x 2 6 EI L
)
Flecha máxima: y máx =
F a2 (3L − 4a ) 24 EI
L 2
para x =
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga uniforme q en un extremo. Reacciones y solicitaciones
Reacciones: RA =
q B
a
VA = R A
qa 2 M A − M B + 2L L
VAC = R A − p x
VCB = R A − p a
VB = − R B
Flectores:
b L
VA
RB =
Cortantes:
C
A
qa (L + b ) − M A − M B 2L L
M AC = R A x + M A − MA = −
qa 2
(6L
2
12L2
p x2 2
M CB = R B (L − x ) + M B
− 8La + 3a 2
)
MB = −
qa 3 ⎛ 3a ⎞ ⎜1 − ⎟ 3L ⎝ 4L ⎠
Deformaciones
MA
VB
Elástica: y AC =
MB y CB =
xm
M máx
[
)
1 R B x 3 − 3(M B + LR B )x 2 + 3(2M B + LR B )Lx − (3M B + LR B )L2 6 EI
]
Flecha máxima: y máx = −
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
(
x2 qx 2 − 4R A x − 12M A 24EI
2MB 2
3
3 R B EI
para x =
2 M B + LR B RB
Prontuario, 9 de 25
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga uniforme q en todo el vano. Reacciones y solicitaciones
q
A
RA = RB =
Cortantes:
⎛L ⎞ VAB = q ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠
Flectores:
M AB = −
B L
VA
VB MB
MA
qL 2
Reacciones:
M máx =
q L2 24
VA = − VB =
(
q 2 L − 6Lx + 6x 2 12
para x =
L 2
)
qL 2
qL2 12
MA = MB = −
M x = 0 para x = 0,2113 L
Deformaciones q L4 ⎛⎜ x x 2 ⎞⎟ = − 24 EI ⎜⎝ L L2 ⎟⎠
Elástica:
y AB
Flecha máxima:
y máx =
M máx
q L4 384 EI
2
para x =
L 2
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga uniforme q en tramo intermedio. Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
x
q C
A
D
a
VA
RA =
qbc M A − M B − L L
qac M A − M B + L L
Cortantes: VAC = R A
B
b
M AC = R A x + M A
Flectores:
L
⎛ VCD = R A − q ⎜ x − a + ⎝
M DB = R B (L − x ) + M B MB = −
VB MA
RB =
VDB = − R B
q = RAx + MA − 2
MA = −
c⎤ ⎡ ⎢x − a + 2 ⎥ ⎣ ⎦
q c 3 ⎛⎜ 12ab 2 L 3 b − + 12L2 ⎜⎝ c2
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
q c 3 ⎛⎜ 12a 2 b ⎞⎟ L 3 a − + 12L2 ⎜⎝ c 2 ⎟⎠
Deformaciones
MB Elástica: y AC = y CD = y DB =
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
M CD
c⎞ ⎟ 2⎠
[
x2 [− 3M A − R A x] 6EI
1 ⎡ ⎛ ⎢q⎜ x − a + 24 EI ⎢ ⎝ ⎣
4 ⎤ c⎞ ⎟ − 4R A x 3 − 12M A x 2 ⎥ 2⎠ ⎥⎦
1 R B x 3 − 3(M B + LR B )x 2 + 3(2M A + LR B )Lx − (3M B + LR B )L2 6EI
]
Prontuario, 10 de 25
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: momento puntual M intermedio. Reacciones y solicitaciones
x C
A
B
a
VAB =
Cortantes:
L
VB
M AC =
ab
L3
ab
L3
Ma ⎡ a⎛ x ⎞⎤ ⎢1 − 3 ⎜1 − 2 ⎟⎥ L ⎣ L⎝ L ⎠⎦
MA =
MA
L 6M
6M
RB = −
ab
3
Flectores:
b
VA
6M
RA =
Reacciones:
Ma ⎛ a⎞ ⎜1 − 3 ⎟ L ⎝ L⎠
M izq C = MA +
der
MC
M CB = −
6M
MB = −
Mb ⎛ b⎞ ⎜1 − 3 ⎟ L ⎝ L⎠ M
M der C = MA −
a 2b
3
Mb ⎡ b⎛ L − x ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢1 − 3 ⎜1 − 2 L ⎣ L⎝ L ⎠⎦
L
L3
(L
− 6a 2 b
3
)
Deformaciones
MB
Elástica: y AC =
M izq C
Mbx 2 ⎛ L − x b ⎞ ⎜ 2a 2 − ⎟ L⎠ 2 EI L ⎝ L
Flecha en C:
yC = −
M a 2b 2 2 EI L3
y CB = −
Ma (L − x ) ⎛ bx a ⎞ ⎜2 2 − ⎟ L⎠ 2 EI L ⎝ L 2
(a − b )
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga puntual F genérica. Reacciones y solicitaciones
x
F C
A
B a
VA
b
Fb 2
RA =
Reacciones:
3
2L
VAC =
Cortantes:
Fb 2 3
(3L − b )
RB =
(3L − b )
VCB = −
2L Fa M B = − 2 L2 − a 2 2L
(
Flectores:
L M AC =
F xb 2 3
2L
(3a + 2b )
Fa 3
2L
(3L
2
− a2
(3L
Fa
2
3
)
− a2
)
2L Fa M C = 3 b 2 (3a + 2b ) 2L
)
M CB =
Fa 2L3
(2L
3
− 3L2 x + a 2 x
)
Deformaciones
VB MB
Giros: ϕ A
Fa (L − a )2 =− 4EIL
Elástica:
y AC = y CB =
MC
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Flechas:
Fb 2 x
[3aL
2
3
12 EI L
Fa(L − x ) 12 EI
y máx =
ϕC = −
2
F b 2a 6 EI
Fa(L − a )
2
3
4 EIL
(L
2
− 2aL − a 2
)
]
− x 2 (2L + a )
⎡ ⎛ a2 ⎢3 ⎜1 − 2 ⎢⎣ ⎜⎝ L
2 ⎞ ⎛ ⎟ − ⎜3 − a ⎟ ⎜ L2 ⎠ ⎝
⎞ L − x⎤ ⎟ ⎥ ⎟ L ⎥ ⎠ ⎦
a a para x = L 2L + a 2L + a
Prontuario, 11 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga puntual F centrada. x
Reacciones y solicitaciones
F
B L/2
L/2 L
VA
11 F 16 11 =− F 16
RA =
RB =
Cortantes:
VAC
VCB
Flectores:
M AC =
C A
5 F 16 5 = F 16
Reacciones:
5 Fx 16
M CB =
3 FL 16
MC =
MB = −
FL ⎛ L − x ⎞ − 3⎟ ⎜11 L 16 ⎝ ⎠
5 FL 32
Deformaciones
VB MB
ϕA = −
Giros:
Fa 2 32EI
F L2 128 EI
ϕC =
Elástica: y AC =
F L2 ⎛⎜ x2 x 3−5 2 96 EI ⎜⎝ L
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
y CB =
FL (L − x )2 ⎛⎜ 9 − 11 L − x ⎞⎟ 96 EI L ⎠ ⎝
Flechas: yC =
MC
7F L3 768 EI
y máx =
F L3
para x =
L 5
48 5 EI
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: cargas puntuales F simétricas. Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R A = F
x
F
F
C
VAC = F
A
VA
RB = F
2L2
2L2 − 3a 2 + 3aL 2L2
Cortantes:
D
2L2 + 3a 2 − 3aL
B a
2L2 + 3a 2 − 3aL
Flectores:
a
VCD = 3F a
2L2 M AC = Fx
a−L
VDB = F
2L2
2L2
⎡ 3a(a − L )x ⎤ M CD = F ⎢ + a⎥ 2 ⎣ 2L ⎦
2L2 + 3a 2 − 3aL 2
2L
⎛ 3a − 3aL − 2L2 ⎞ ⎟ M DB = F ⎜ x + L 2 ⎜ ⎟ 2 L ⎝ ⎠
L
−2L2 + 3a 2 − 3aL
2
M B = −3F a
L−a 2L
Deformaciones
VB MB
ϕ A = −F
Giros: Elástica:
y AC = y CD = y DB =
Flecha máxima:
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
a (L − a ) 4EI
Fx 2
12 EI L
[(3aL − 3a
2
− 2L2 x 2 + 3aL3 − 3a 2 L2
[3(L − a)x
3
− 6L2 x 2 + 3L2 (L + a )x − 2L2 a 2
Fa 12 EI L2 F (L − x )
2
2
12 EI L
[(3a
2
)
)
(
]
− 3aL − 2L2 x + 2L 3a 2 − 3aL + L2
ymáx para x =
]
)]
2L − L2 + 3a 2 3(L − a )L Prontuario, 12 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga uniforme q intermedia. Reacciones y solicitaciones
q D
C A
qbc M B + L L
b
VAC = R A
Flectores:
M AC = R A x
L
RB =
qac M B − L L
c⎞ ⎛ VCD = R A − q ⎜ x − a + ⎟ 2⎠ ⎝
Cortantes:
B a
VA
RA =
Reacciones:
x
M CD = R A x −
M DB = R B (L − x ) + M B
MB = −
q 2
VDB = − R B
⎡ ⎢x − a + ⎣
c⎤ 2 ⎥⎦
2
qabc ⎛⎜ c 2 ⎞⎟ L + a − 4b ⎟⎠ 2L2 ⎜⎝
Deformaciones
VB MB
Giros:
ϕA = −
Elástica:
y AC =
y CD =
q c 3 ⎛⎜ 12ab 2 L − 3b + 48EIL ⎜⎝ c2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ x ⎡ 12ab 2 ⎢− 8R A Lx 2 + qc 3 ⎜ L − 3b + ⎜ 48EIL ⎢⎣ c2 ⎝
1 ⎡ ⎛ ⎢− 8R A Lx 3 + 2qL⎜ x − a + 48 EIL ⎢ ⎝ ⎣ y DB = −
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
4 ⎛ c⎞ 12ab 2 ⎟ + qc 3 ⎜⎜ L − 3b + 2⎠ c2 ⎝
⎞ ⎤ ⎟x⎥ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦
(L − x )2 [R (L − x ) + 3M ] B B 6EI
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga uniforme q en todo el vano. Reacciones y solicitaciones
q
3 8
Reacciones: R A = q L
A
VA
B L
Cortantes:
⎛3 x ⎞ VAB = qL ⎜ − ⎟ ⎝8 L⎠
Flectores:
M AB =
M máx(+ ) =
VB MB
M máx(+)
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
qx (3L − 4x ) 8
9 q L2 128
RB =
5 qL 8
VA =
3 qL 8
MB = −
3 8
5 VB = − q L 8
q L2 8
M x = 0 para x =
para x = L
3 L 4
Deformaciones
q L3 48EI
Giros:
ϕA = −
Elástica:
y AB =
qx (L + 2x )(L − x )2 48 EI
Flecha máxima:
y máx =
q L4 185 EI
para x =
1 + 33 L 16
Prontuario, 13 de 25
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: momento puntual M intermedio. Reacciones y solicitaciones
x C A
B a
Reacciones:
R A = −R B =
Cortantes:
VAB = R A
)
Flectores:
b
M AC =
L
VA
(
3M 2 L − a2 3 2L
VB MB =
M 2
2L
(
3 Mx 2 L − a2 2 L3
(L
2
− 3a 2
)
M ⎡ x ⎛⎜ a 2 ⎢3 1 − 2 ⎢⎣ L ⎜⎝ L2
M CB =
)
⎞ ⎤ ⎟ − 2⎥ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦
M der C = R Aa − M
M izq C = RA a
Deformaciones
M der C Giros:
ϕA = −
M (L − a )(3a − L ) 4EI L
Mb ⎡ b⎛ a⎞ ⎢ 4 − 3 ⎜1 + ⎟ ϕC = 4EI ⎢ L⎝ L⎠ ⎣
MB
Elástica:
M izq
y AC = y CB =
[− 4L − (x
Mbx
3
3
4 EI L
M (L − x )
2
3
4 EI L
2⎤
2
⎥ ⎥⎦
]
)
− 3L2 (a + L )
[2a L − x(L 2
2
− a2
)]
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: momento puntual M extremo. Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R A = −R B =
B
M
Cortantes:
A
VAB = R A
L
VA
3M 2 L
VB Flectores: M AB =
MA
M⎛ x ⎞ ⎜3 − 2⎟ 2 ⎝ L ⎠
MB =
M 2
Deformaciones
Giros:
ϕA =
MB
Elástica: y AB = −
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
ML 4EI
Mx (L − x )2 4 EI L
Prontuario, 14 de 25
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga puntual F en extremo. Reacciones y solicitaciones
Reacciones: RB = F
F Cortantes:
VAB = −F
x
B
A
Flectores: M CB = −F x
L
M B = −F L
Deformaciones
Giros: ϕA =
VB MB
F L2 2 EI
Elástica: y AB =
F (L − x )2 (2L + x ) 6 EI
Flechas: yA =
F L3 3 EI
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga puntual F genérica. Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
x
RB = F
F Cortantes:
C
A a
VAC = 0
B
VCB = −F
Flectores:
b
M CB = −F(x − a )
M AC = 0
L
M B = −F b
Deformaciones
VB MB
ϕC = ϕ A =
Giros:
Fb 2 2 EI
Elástica: y AC =
Fb 2 [3(L − x ) − b] 6 EI
y CB =
F (L − x )2 (2b − a + x ) 6 EI
Flechas: yC =
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
F b3 3 EI
yA =
F b2 (2b + 3a ) 6 EI
Prontuario, 15 de 25
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga uniforme q intermedia. Reacciones y solicitaciones
R B = qc
Reacciones: Cortantes:
q A
x
C
D
a
Flectores:
⎛ VCD = −q ⎜ x − a + ⎝
VAC = 0 M AC = 0
M CD
VB = −q c
q⎛ c⎞ = − ⎜x − a + ⎟ 2⎝ 2⎠
M DB = −qc(x − a )
B
c⎞ ⎟ 2⎠
2
M B = −qcb
Deformaciones
b L
VB
q c ⎛⎜ 2 c 2 ⎞⎟ q c ⎛⎜ 2 c 2 ⎞⎟ b + b − ϕD = 2EI ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 2EI ⎜⎝ 4 ⎟⎠
Giros:
ϕA = ϕC =
Elástica:
y AC =
⎤ ⎛ qc ⎡ c2 ⎞ ⎢(a − x )⎜⎜ 3b 2 + ⎟⎟ + 2b 3 ⎥ 6EI ⎢⎣ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎝
y CD =
q ⎡⎛ ⎢⎜ x − a + 24 EI ⎢⎝ ⎣
y DB =
qc (L − x )2 (2b − a + x ) 6EI
MB
yA =
Elástica: yC =
4 ⎤ ⎛ c⎞ c2 ⎞ ⎟ + 4c(a − x )⎜⎜ 3b 2 + ⎟⎟ + 8b 3c⎥ 2⎠ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎝
⎤ q c ⎡ ⎛⎜ 2 c 2 ⎞⎟ + 2b 3 ⎥ ⎢a 3b + 6EI ⎢⎣ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎥⎦
2 ⎤ q c ⎡⎛ c⎞ ⎢⎜ b + ⎟ (4b − c ) + c 3 ⎥ 12EI ⎢⎝ 2⎠ ⎥⎦ ⎣
yD =
qc ⎛ ⎜b − EI ⎝
2
c⎞ ⎛b c ⎞ ⎟ ⎜ + ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3 12 ⎠
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga uniforme q en todo el vano. Reacciones y solicitaciones
q
A
VA
B L
Reacciones:
R B = qL
Cortantes:
VAB = −q x
Flectores:
M AB = −
VB = −q L
q x2 2
MB = −
q L2 2
Deformaciones
VB MB
Giros: ϕ A = Elástica:
q L3 6EI y AB =
Flecha máxima:
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
(
q (L − x )2 3L2 + 2Lx + x 2 24 EI yA =
)
q L4 8 EI
Prontuario, 16 de 25
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: momento puntual M extremo. Reacciones y solicitaciones
Reacciones: RB = 0
M Cortantes:
VAB = 0
B A
Flectores: M AB = −M
x
Deformaciones
L
Giros:
VAB = 0
ϕA = −
MB
Elástica: y AB =
ML EI
(
M x 2 − 2Lx + L2 2 EI
)
Flecha: yA =
M L2 2 EI
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: momento puntual M intermedio. Reacciones y solicitaciones
x A
C a
B
Reacciones:
RB = 0
Cortantes:
VAB = 0
Flectores: M AC = 0
b
M CB = −M
M B = −M
Deformaciones
L
Giros: ϕA = ϕC =
VAB = 0
Mb EI
Elástica: y AC =
MB
M b (2L − 2x − b ) 2 EI
y CB =
M (L − x )2 2 EI
Flecha: yA =
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
M b (2L − b ) 2 EI
yC =
M b2 2 EI
Prontuario, 17 de 25
VIGA 2 VANOS IGUALES: carga puntual F en 1er vano. RA =
F
x
RB =
D A
B
L
L
C
RC
F 4 L3 Fa
(
⋅ 4L3 − 5L2 a + a 3
(
)
)
⋅ 3L2 − a 2
2L Fa = − 3 ⋅ L2 − a 2 4L
(
)
Cortantes
VA VB
VAD = R A Fa VDB = ⋅ a 2 − 5L2 4 L3 VBC = −R C
(
M AD =
VDB
3
R e ac c io n es
MB M DB =
F 3
4L Fa
3
)
F l e c to r es
(
)
⋅ 4L3 − 5L2 a + a 3 ⋅ x
(
)
⋅ a 2 − 5L2 ⋅ x + Pa
4L Fa
(
)
⋅ L2 − a 2 ⋅ (x − 2L ) 4 L3 Fa MD = ⋅ 4L3 − 5L2 a + a 3 3 4L Fa M B = − 2 ⋅ L2 − a 2 4L M BC =
(
MD
)
(
)
VIGA 2 VANOS IGUALES: carga repartida en 1er vano. R e ac c io n es
q
A
B
L
L
C
VA
7 qL RA = 16 5 qL RB = 8 qL RC = − 16 Cortantes
VB
VAB
VBizq izq
VB 7L 16
MB
L 8
M
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
VBC
q = ⋅ (7L − 16x ) 16 9 qL =− 16 qL = 16 F l e c to r es
qx M AB = ⋅ (7L − 8x ) 16 qL M BC = − ⋅ (2L − x ) 16 49 q L2 7L M máx = para x = 16 512
Prontuario, 18 de 25
VIGA 2 VANOS IGUALES: carga repartida en los 2 vanos. R e ac c io n es
q
RA = RC = RB =
A
B
L
C
L
der
Cortantes
VBizq
VC
izq VB
3L 8
M máx
5 qL 4
q ⋅ (3L − 8x ) 8 5 qL = −VBder = − 8 q = ⋅ (13L − 8x ) 8
VAB =
VB
VA
3 qL 8
MB
L L 4 4
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
3L 8
M máx
VBC
F l e c to r es
qx ⋅ (3L − 4x ) 8 q M BC = ⋅ (2L − x ) ⋅ (4x − 5L ) 8 q L2 MB = − 8 9 q L2 3L 13 L para x = y x= M máx = 128 8 8 M AB =
Prontuario, 19 de 25
VIGA 2 VANOS DESIGUALES: carga repartida en los 2 vanos. x
q
A
B k·L
VA
D
C L
VBder
E
R e ac c io n es :
R A = VA
VC
R B = − VB
VBizq
izq
+ VB
der
R C = −VC
MB d
e
ME MD Cortantes
k 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
Flecto res
VA
VBizq
VBder
VC
MB(-)
MD(+)
d
ME(+)
e
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× L)
(× q·L²)
(× L)
0,424 0,471 0,516 0,560 0,604 0,647 0,689 0,730 0,772 0,812 0,853 0,892 0,933 0,973 1,013
-0,676 -0,729 -0,784 -0,840 -0,896 -0,953 -1,011 -1,070 -1,128 -1,188 -1,247 -1,308 -1,367 -1,427 -1,487
0,639 0,655 0,674 0,695 0,719 0,745 0,774 0,805 0,839 0,875 0,914 0,954 0,999 1,045 1,094
-0,361 -0,345 -0,326 -0,305 -0,281 -0,255 -0,226 -0,195 -0,161 -0,125 -0,086 -0,045 -0,001 0,045 0,094
-0,139 -0,155 -0,174 -0,195 -0,219 -0,245 -0,274 -0,305 -0,339 -0,375 -0,414 -0,455 -0,499 -0,545 -0,594
0,090 0,111 0,133 0,157 0,183 0,209 0,237 0,267 0,298 0,330 0,364 0,399 0,435 0,473 0,513
0,424 0,471 0,516 0,560 0,604 0,647 0,689 0,730 0,772 0,812 0,853 0,892 0,933 0,973 1,013
0,065 0,060 0,053 0,047 0,040 0,033 0,026 0,019 0,013 0,008 0,004 0,001 ~0 -----
0,361 0,345 0,326 0,305 0,281 0,255 0,226 0,195 0,161 0,125 0,086 0,045 0,001 -----
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 20 de 25
VIGA 3 VANOS DESIGUALES: carga repartida en vano extremo. R e ac c io n es :
q
RA =
A
B
C
L
D
k·L
L
MB d
RB =
3 + 7k + 3k 2 4 + 8k + 3k
⋅
2
1 ⋅ qL 2
2 + 13k + 18k 2 + 6k 3 4 + 8k + 3k
2
⋅
1 ⋅ qL 4k
− (1 + k ) ⋅ (2 + k ) 1 RC = ⋅ ⋅ qL 4 + 8k + 3k 2 4k k 1 RD = ⋅ ⋅ qL 2 4 + 8k + 3k 4 F l e c to r es:
− (1 + k ) 4 + 8k + 3k 2 k MC = 4 + 8k + 3k 2 MB =
MC M máx 2
M máx
1 ⎛ 3 + 7k + 3k 2 ⎞ ⎟ ⋅ qL2 = ⋅ ⎜⎜ 8 ⎝ 4 + 8k + 3k 2 ⎟⎠
en x = d =
R e ac c io n es
k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
RA
RB
(× q·L)
0,414 0,419 0,423 0,427 0,430 0,433 0,436 0,439 0,441 0,443 0,445 0,447 0,449 0,450 0,452 0,453 0,454 0,456 0,457 0,458 0,459 0,460 0,461 0,462 0,463 0,464
3 + 7k + 3k 2 4 + 8k + 3k
⋅
L 2
F l e c to r es
Mmáx
d
(× q·L²)
(× q·L²)
(× L)
0,014 0,015 0,016 0,016 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,016 0,016 0,016 0,016 0,016 0,016 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014
0,086 0,088 0,090 0,091 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,101 0,101 0,102 0,103 0,103 0,104 0,104 0,105 0,105 0,106 0,106 0,107 0,107 0,107
0,414 0,419 0,423 0,427 0,430 0,433 0,436 0,439 0,441 0,443 0,445 0,447 0,449 0,450 0,452 0,453 0,454 0,456 0,457 0,458 0,459 0,460 0,461 0,462 0,463 0,464
RC
RD
MB
MC
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
0,786 0,741 0,709 0,685 0,665 0,650 0,637 0,626 0,617 0,609 0,603 0,597 0,591 0,586 0,582 0,578 0,575 0,571 0,568 0,566 0,563 0,561 0,559 0,557 0,555 0,553
-0,214 -0,175 -0,148 -0,128 -0,112 -0,100 -0,090 -0,082 -0,075 -0,069 -0,064 -0,060 -0,056 -0,053 -0,050 -0,047 -0,044 -0,042 -0,040 -0,038 -0,037 -0,035 -0,034 -0,033 -0,031 -0,030
0,014 0,015 0,016 0,016 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,016 0,016 0,016 0,016 0,016 0,016 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014
-0,086 -0,081 -0,077 -0,073 -0,070 -0,067 -0,064 -0,061 -0,059 -0,057 -0,055 -0,053 -0,051 -0,050 -0,048 -0,047 -0,046 -0,044 -0,043 -0,042 -0,041 -0,040 -0,039 -0,038 -0,037 -0,036
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
2
1 ⋅ ⋅ qL2 2 1 ⋅ ⋅ qL2 4
Prontuario, 21 de 25
VIGA 3 VANOS DESIGUALES: carga repartida en vano central. R e ac c io n es
x
− k3 1 RA = RD = ⋅ ⋅ qL 2 + 3k 4
A
B
C
L
k·L
D L
4 + 6k + k 2 k RB = RC = ⋅ ⋅ qL 2 + 3k 4 F l e c to r es
MC
MB
MB = MC = M máx =
M máx
2 + k k2 ⋅ ⋅ qL2 2 + 3k 8
R e ac c io n es
k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
− k3 1 ⋅ ⋅ qL2 2 + 3k 4
F l e c to r es
RA = RD
RB = RC
MB = MC
Mmáx
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
(× q·L²)
-0,009 -0,014 -0,021 -0,029 -0,039 -0,050 -0,063 -0,077 -0,093 -0,111 -0,130 -0,151 -0,173 -0,197 -0,223 -0,250 -0,279 -0,310 -0,342 -0,376 -0,411 -0,448 -0,487 -0,528 -0,570 -0,614
0,259 0,314 0,371 0,429 0,489 0,550 0,613 0,677 0,743 0,811 0,880 0,951 1,023 1,097 1,173 1,250 1,329 1,410 1,492 1,576 1,661 1,748 1,837 1,928 2,020 2,114
-0,009 -0,014 -0,021 -0,029 -0,039 -0,050 -0,063 -0,077 -0,093 -0,111 -0,130 -0,151 -0,173 -0,197 -0,223 -0,250 -0,279 -0,310 -0,342 -0,376 -0,411 -0,448 -0,487 -0,528 -0,570 -0,614
0,022 0,031 0,040 0,051 0,062 0,075 0,088 0,103 0,118 0,134 0,151 0,169 0,188 0,208 0,229 0,250 0,272 0,295 0,319 0,344 0,370 0,397 0,424 0,452 0,481 0,511
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 22 de 25
VIGA 3 VANOS DESIGUALES: carga repartida en vanos extremos. R e ac c io n es
q
A
q
B
C
L
L
MC
MB
d
D
k·L
RA = RD =
2 + 5k + 2k 2 3 ⋅ ⋅ qL 4 + 8k + 3k 2 4
RB = RC =
10 + 17 k + 6k 2 1 ⋅ ⋅ qL 4 + 8k + 3k 2 4
F l e c to r es
d
MB = MC =
− (2 + k ) 1 ⋅ ⋅ qL2 2 4 + 8k + 3k 4 2
M máx
M máx
M máx
con d =
R e ac c io n es
k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
9 ⎛ 2 + 5k + 2k 2 ⎞ ⎟ ⋅ qL2 = ⋅⎜ 32 ⎜⎝ 4 + 8k + 3k 2 ⎟⎠ 2 + 5k + 2k 2 3L ⋅ 4 + 8k + 3k 2 4
F l e c to r es
RA = RD
RB = RC
MB = MC
Mmáx
d
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× L)
0,429 0,434 0,439 0,443 0,447 0,450 0,453 0,455 0,458 0,460 0,462 0,463 0,465 0,466 0,468 0,469 0,470 0,471 0,472 0,473 0,474 0,474 0,475 0,476 0,477 0,477
0,571 0,566 0,561 0,557 0,553 0,550 0,547 0,545 0,542 0,540 0,538 0,537 0,535 0,534 0,532 0,531 0,530 0,529 0,528 0,527 0,526 0,526 0,525 0,524 0,523 0,523
-0,071 -0,066 -0,061 -0,057 -0,053 -0,050 -0,047 -0,045 -0,042 -0,040 -0,038 -0,037 -0,035 -0,034 -0,032 -0,031 -0,030 -0,029 -0,028 -0,027 -0,026 -0,026 -0,025 -0,024 -0,023 -0,023
0,092 0,094 0,096 0,098 0,100 0,101 0,103 0,104 0,105 0,106 0,107 0,107 0,108 0,109 0,109 0,110 0,110 0,111 0,111 0,112 0,112 0,113 0,113 0,113 0,114 0,114
0,429 0,434 0,439 0,443 0,447 0,450 0,453 0,455 0,458 0,460 0,462 0,463 0,465 0,466 0,468 0,469 0,470 0,471 0,472 0,473 0,474 0,474 0,475 0,476 0,477 0,477
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 23 de 25
VIGA 3 VANOS DESIGUALES: carga repartida en 2 vanos contiguos. q
R e ac c io n es
⎛ 3 + 7 k + 3k 2 ⎞ 1 k3 ⎟ ⋅ ⋅ qL − RA = ⎜ ⎜ 4 + 8k + 3k 2 2 ⋅ (2 + 3k ) ⎟ 4 ⎝ ⎠
A
B
C
L
D
k·L
L
MB e
⎛ 4 + 6k + k 2 (1 + k )(⋅ 2 + k ) ⋅ 1 ⎞⎟ ⋅ qL R C = ⎜⎜ ⋅k − 4+8k +3k 2 k ⎟⎠ 4 ⎝ 2 + 3k
MC
⎛ 1 k2 ⎞ k ⎟ ⋅ ⋅ qL R D = ⎜⎜ − 2 2 + 3k ⎟⎠ 4 ⎝ 4+8k +3k
MF ME
⎛ 2+13k+18k 2 +6k 3 1 4+6k+k 2 ⎞ qL RB = ⎜ ⋅ + ⋅k ⎟ ⋅ ⎟ 4 ⎜ 4 + 8k + 3k 2 k 2 3 k + ⎠ ⎝
f
F l e c to r es:
⎛ k3 2 (1 + k ) M B = −⎜ + ⎜ 2 + 3k 4 + 8k + 3k 2 ⎝
ME =
⎞ 1 ⎟ ⋅ ⋅ qL2 ; ⎟ 4 ⎠
RA2 R con e = A ; 2q q
⎛ k k 3 ⎞⎟ 1 − MC = ⎜ ⋅ ⋅ qL2 ⎜ 4 + 8k + 3k 2 2 + 3k ⎟ 4 ⎝ ⎠
MF =
(R A + R B )2 2q
R e ac c io n es
k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
− LR B con f =
RA + RB −L q
F l e c to r es
RA
RB
RC
RD
MB
MC
ME
e
MF
f
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× L)
(× q·L²)
(× L)
0,405 0,405 0,402 0,398 0,392 0,383 0,373 0,361 0,348 0,332 0,315 0,296 0,276 0,253 0,229 0,203 0,176 0,146 0,115 0,082 0,048 0,012 -0,026 -0,066 -0,107 -0,150
1,045 1,055 1,080 1,114 1,154 1,200 1,250 1,304 1,360 1,420 1,482 1,547 1,614 1,683 1,755 1,828 1,904 1,981 2,060 2,141 2,224 2,309 2,396 2,484 2,575 2,667
0,045 0,139 0,223 0,301 0,376 0,450 0,523 0,595 0,668 0,742 0,816 0,891 0,967 1,044 1,123 1,203 1,284 1,367 1,451 1,537 1,624 1,713 1,803 1,895 1,988 2,083
0,005 0,001 -0,005 -0,013 -0,022 -0,033 -0,046 -0,060 -0,076 -0,094 -0,113 -0,134 -0,157 -0,181 -0,207 -0,234 -0,264 -0,294 -0,327 -0,361 -0,397 -0,434 -0,473 -0,514 -0,556 -0,600
-0,095 -0,095 -0,098 -0,102 -0,108 -0,117 -0,127 -0,139 -0,152 -0,168 -0,185 -0,204 -0,224 -0,247 -0,271 -0,297 -0,324 -0,354 -0,385 -0,418 -0,452 -0,488 -0,526 -0,566 -0,607 -0,650
0,005 0,001 -0,005 -0,013 -0,022 -0,033 -0,046 -0,060 -0,076 -0,094 -0,113 -0,134 -0,157 -0,181 -0,207 -0,234 -0,264 -0,294 -0,327 -0,361 -0,397 -0,434 -0,473 -0,514 -0,556 -0,600
0,082 0,082 0,081 0,079 0,077 0,073 0,070 0,065 0,060 0,055 0,050 0,044 0,038 0,032 0,026 0,021 0,015 0,011 0,007 0,003 0,001 0,000 0,000 0,002 0,006 0,011
0,405 0,405 0,402 0,398 0,392 0,383 0,373 0,361 0,348 0,332 0,315 0,296 0,276 0,253 0,229 0,203 0,176 0,146 0,115 0,082 0,048 0,012 -0,026 -0,066 -0,107 -0,150
0,007 0,011 0,019 0,029 0,040 0,053 0,068 0,083 0,099 0,116 0,133 0,152 0,171 0,192 0,213 0,235 0,258 0,281 0,306 0,331 0,357 0,384 0,412 0,440 0,470 0,500
0,450 0,460 0,482 0,512 0,546 0,583 0,623 0,665 0,708 0,753 0,798 0,843 0,890 0,937 0,984 1,031 1,079 1,127 1,175 1,224 1,272 1,321 1,370 1,419 1,468 1,517
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 24 de 25
VIGA 3 VANOS DESIGUALES: carga repartida en todos los vanos. q R e ac c io n es
A
B
C
L
k·L
D L
e
)
(
⎛ 10 +17 k + 6k 2 k⋅ 4+ 6k + k 2 RB = RC = ⎜ + ⎜ 4+8k +3k 2 2 + 3k ⎝
MC
MB
(
⎛ 3 ⋅ 2 + 5k + 2k 2 k 3 ⎞⎟ qL RA = RD = ⎜ ⋅ − ⎜ 4 + 8k + 3k 2 2 + 3k ⎟⎠ 4 ⎝
)⎞⎟ ⋅ qL ⎟ ⎠
4
F l e c to r es
e
⎛ k3 ⎞ 1 2+k ⎟ ⋅ ⋅ qL2 M B = M C = −⎜⎜ + 2 ⎟ ⎝ 2 + 3k 4 + 8k + 3k ⎠ 4
ME
(
)
ME
M
(
2
)
⎛ 3⋅ 2+5k + 2k 2 ⎛ 3 ⋅ 2+5k + 2k 2 k 3 ⎞ qL2 k3 ⎞ L ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⋅ con ; e=0 con k=2,669 M E = ⎜⎜ − e = − ⎜ 4 + 8k + 3k 2 2 2+3k ⎟⎠ 32 2+3k ⎟⎠ 4 ⎝ ⎝ 4 + 8k + 3k ⎛ (2+ k )2 10 + 17k + 6k 2 k ⋅ 4 + 6k + k 2 ⎞ 1 ⎟ ⋅ ⋅ qL2 ; MF = ⎜ − − MF= 0 con k=0,840 2 ⎟ 4 ⎜ 2 2 3 k + 4 8 k 3 k + + ⎠ ⎝
(
)
R e ac c io n es
k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
F l e c to r es
RA
RB
RC
RD
MB
MC
ME
e
MF
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× q·L²)
(× L)
(× q·L²)
0,420 0,420 0,418 0,414 0,408 0,400 0,390 0,378 0,365 0,349 0,332 0,313 0,292 0,269 0,245 0,219 0,191 0,161 0,130 0,097 0,063 0,026 -0,012 -0,052 -0,093 -0,136
0,830 0,880 0,932 0,986 1,042 1,100 1,160 1,222 1,285 1,351 1,418 1,487 1,558 1,631 1,705 1,781 1,859 1,939 2,020 2,103 2,188 2,274 2,362 2,452 2,543 2,636
0,830 0,880 0,932 0,986 1,042 1,100 1,160 1,222 1,285 1,351 1,418 1,487 1,558 1,631 1,705 1,781 1,859 1,939 2,020 2,103 2,188 2,274 2,362 2,452 2,543 2,636
0,420 0,420 0,418 0,414 0,408 0,400 0,390 0,378 0,365 0,349 0,332 0,313 0,292 0,269 0,245 0,219 0,191 0,161 0,130 0,097 0,063 0,026 -0,012 -0,052 -0,093 -0,136
-0,080 -0,080 -0,082 -0,086 -0,092 -0,100 -0,110 -0,122 -0,135 -0,151 -0,168 -0,187 -0,208 -0,231 -0,255 -0,281 -0,309 -0,339 -0,370 -0,403 -0,438 -0,474 -0,512 -0,552 -0,593 -0,636
-0,080 -0,080 -0,082 -0,086 -0,092 -0,100 -0,110 -0,122 -0,135 -0,151 -0,168 -0,187 -0,208 -0,231 -0,255 -0,281 -0,309 -0,339 -0,370 -0,403 -0,438 -0,474 -0,512 -0,552 -0,593 -0,636
0,088 0,088 0,087 0,086 0,083 0,080 0,076 0,072 0,066 0,061 0,055 0,049 0,043 0,036 0,030 0,024 0,018 0,013 0,008 0,005 0,002 0,000 ---------
0,420 0,420 0,418 0,414 0,408 0,400 0,390 0,378 0,365 0,349 0,332 0,313 0,292 0,269 0,245 0,219 0,191 0,161 0,130 0,097 0,063 0,026 ---------
-0,049 -0,035 -0,021 -0,006 0,009 0,025 0,041 0,058 0,076 0,094 0,113 0,133 0,153 0,174 0,196 0,219 0,242 0,266 0,291 0,317 0,344 0,371 0,399 0,428 0,458 0,489
UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón
Prontuario, 25 de 25
ESTRUCTURAS METÁLICAS Universidad de Alicante
COEFICIENTES DE REDUCCION A PANDEO α = 0.13
CURVA
χ
EPS|UA
^M
λk
+0.00
+0.01
+0.02
+0.03
+0.04
+0.05
+0.06
+0.07
+0.08
+0.09
0.0 0.1
1.000 1.000 1.000 0.986 0.970 0 951 0.951 0.928 0.896 0.853 0.796 0.725 0.648 0.573 0 573 0.505 0.446 0.395 0.352 0.315 0.283 0.256 0.232 0.212 0.194 0.178 0.164 0.151 0.140 0.130 0.122 0.114 0.106 0.100 0.094 0.088 0.083 0.079
1.000 1.000 0.999 0.984 0.968 0 949 0.949 0.925 0.892 0.848 0.790 0.718 0.641 0.566 0 566 0.499 0.441 0.391 0.348 0.312 0.280 0.253 0.230 0.210 0.192 0.176 0.163 0.150 0.139 0.130 0.121 0.113 0.106 0.099 0.093 0.088 0.083 0.078
1.000 1.000 0.997 0.983 0.967 0 947 0.947 0.922 0.889 0.843 0.783 0.710 0.633 0.559 0 559 0.493 0.435 0.386 0.344 0.308 0.277 0.251 0.228 0.208 0.190 0.175 0.161 0.149 0.138 0.129 0.120 0.112 0.105 0.098 0.093 0.087 0.082 0.078
1.000 1.000 0.996 0.981 0.965 0 945 0.945 0.919 0.885 0.838 0.776 0.702 0.625 0.552 0 552 0.487 0.430 0.382 0.340 0.305 0.275 0.248 0.226 0.206 0.189 0.173 0.160 0.148 0.137 0.128 0.119 0.111 0.104 0.098 0.092 0.087 0.082 0.077
1.000 1.000 0.995 0.980 0.963 0 943 0.943 0.916 0.881 0.832 0.769 0.695 0.618 0.545 0 545 0.481 0.425 0.377 0.337 0.302 0.272 0.246 0.224 0.204 0.187 0.172 0.159 0.147 0.136 0.127 0.118 0.111 0.104 0.097 0.091 0.086 0.081 0.077
1.000 1.000 0.993 0.978 0.961 0 940 0.940 0.913 0.876 0.827 0.762 0.687 0.610 0.538 0 538 0.475 0.420 0.373 0.333 0.299 0.269 0.244 0.222 0.202 0.186 0.171 0.157 0.146 0.135 0.126 0.117 0.110 0.103 0.097 0.091 0.086 0.081 0.076
1.000 1.000 0.992 0.977 0.959 0 938 0.938 0.910 0.872 0.821 0.755 0.679 0.603 0.531 0 531 0.469 0.415 0.369 0.329 0.295 0.266 0.241 0.220 0.201 0.184 0.169 0.156 0.145 0.134 0.125 0.117 0.109 0.102 0.096 0.090 0.085 0.080 0.076
1.000 1.000 0.990 0.975 0.957 0 935 0.935 0.907 0.868 0.815 0.748 0.672 0.595 0.525 0 525 0.463 0.410 0.364 0.325 0.292 0.264 0.239 0.218 0.199 0.182 0.168 0.155 0.144 0.133 0.124 0.116 0.108 0.102 0.095 0.090 0.085 0.080 0.076
1.000 1.000 0.989 0.973 0.955 0 933 0.933 0.903 0.863 0.809 0.740 0.664 0.588 0.518 0 518 0.457 0.405 0.360 0.322 0.289 0.261 0.237 0.216 0.197 0.181 0.167 0.154 0.143 0.132 0.123 0.115 0.108 0.101 0.095 0.089 0.084 0.080 0.075
1.000 1.000 0.987 0.972 0.953 0 930 0.930 0.900 0.858 0.802 0.733 0.656 0.580 0.512 0 512 0.452 0.400 0.356 0.318 0.286 0.259 0.235 0.214 0.195 0.179 0.165 0.153 0.141 0.131 0.122 0.114 0.107 0.100 0.094 0.089 0.084 0.079 0.075
0.2 0.3 0.4 05 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 1.2 12 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
(c) 2009 Luis Bañón / UA
Curva A0
Página 1
ESTRUCTURAS METÁLICAS Universidad de Alicante
COEFICIENTES DE REDUCCION A PANDEO α = 0.21
CURVA
χ
EPS|UA
^
λk
+0.00
+0.01
+0.02
+0.03
+0.04
+0.05
+0.06
+0.07
+0.08
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Curva A
Página 2
ESTRUCTURAS METÁLICAS Universidad de Alicante
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(c) 2009 Luis Bañón / UA
Curva B
Página 3
ESTRUCTURAS METÁLICAS Universidad de Alicante
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Curva C
Página 4
ESTRUCTURAS METÁLICAS Universidad de Alicante
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2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
(c) 2009 Luis Bañón / UA
Curva D
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