Entendiendo que las particulas pueden describirse como ondas (y que un fenomeno ondulatorio puede entenderse como particula), el planteamiento fundamental se hace con una Funcion de Onda (la ecuacion de Schrodinger es una ecuacion de onda), y requiere comprender el siguiente principio de la mecanica cuantica, el PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG: Es imposible conocer al mismo tiempo la ubicación y el momento de una partícula. Lo anterior se debe a que se descubrio en la naturaleza una interesante propiedad de impredictibilidad que parecia aplicarse a TODO. En otras palabras, se encontro que las particulas estan en continua oscilacion respecto a casi cualquiera de los parametros fisicos de interes. Una multitud de experimentos ha mostrado que las particulas NO SIEMPRE HACEN LO MISMO. Cuando se repite un experimento de escala cuantica (es decir, una prueba con atomos individuales o particulas subatomicas, en la que pueda verificarse algun aspecto especifico de cada particula), NO SE OBTIENEN LOS MISMOS RESULTADOS, por más que se reproduzcan exacta y precisamente las mismas condiciones. Entonces, .como puede hablarse de Ciencia Fisica? Sencillo. Al ver la imposibilidad de acertar predicciones, los Fisicos intentaron estudiar estadisticamente los experimentos, y finalmente notaron que habia comportamientos mas probables que otros. A nivel de porcentajes de ocurrencia, SI SE PODIAN PREDECIR RESULTADOS. Por esto, la ecuacion de Schrodinger funciona si se interpreta de manera estadistica. PLANTEAMIENTO Asi pues, la interpretacion estadistica es suponer que la particula en cuestion se esta representando con una funcion de onda cuyo significado sera, de alguna forma, estadistico. Aqui el detalle sutil: LA PROBABILIDAD DE ENCONTRAR UNA PARTICULA EN UN ESPACIO DADO ES IGUAL A LA NORMA DE LA FUNCION DE ONDA AL CUADRADO, INTEGRADA EN EL INTERVALO ESPACIAL MENCIONADO. Esto no resulta claro a primera vista, pero quiza en los siguientes parrafos se dilucide. Ahora bien, la ecuacion de Schrodinger se aplicara sobre una funcion de onda tipo senos y cosenos…este tipo de funciones tienen su forma mas general en: (r , t) A(r , t) exp(i[k r wt]) (1) Donde el numero “i” es la base de los numeros imaginarios, la raiz cuadrada de -1, y la funcion de onda (psi) depende del vector de posicion r y el tiempo t, por lo que, en caso general, suponemos que asi mismo ocurre con su parte exponencial y la amplitud A. Es importante que el estudiante recuerde que las exponenciales complejas se pueden expandir mediante la Identidad de Euler1 (propiedad matematica que se deduce a partir de la definicion formal de exponencial, senoidales y cosenoidales) de la siguiente forma: exp(i[k r wt]) cos(k r wt) isen(k r wt) (2) Y entonces es evidente que la ecuacion ondulatoria de Schrodinger tiene sentido con este tipo de funciones. Ahora, si restringimos el conjunto de funciones de onda a aquellas cuya amplitud no varie, A = constante hace que la derivada temporal y la derivada espacial cumplan, teniendo en cuenta un caso unidimensional (por simplicidad):
( , )( , )2 2
xt x xt t i 2
Si se escoge correctamente k y w. .Es esta escogencia arbitraria? NO. Realmente, teniendo en cuenta la forma (1) con A constante, y la identidad (2), Si se escoge correctamente k y w. .Es esta escogencia arbitraria? NO. Realmente, teniendo en cuenta la forma (1) con A constante, y la identidad (2), resulta que una funcion de ONDA ESTACIONARIA puede ser descrita especificando los numeros k y w, que para cualquier onda estacionaria estan relacionados de una manera bien definida, y que representan conceptos fisicos. Entonces: k: Numero de Onda w: Frecuencia Angular De manera que k y w guardaran una relacion intrinseca. A partir de esta relacion, es que podemos decir:
( , )2 (x, t) x xt t i Siempre y cuando la funcion de onda sea una onda estacionaria. El valor constante que se representa como una h mas una barra cruzada es llamado “h barra” y es igual a una constante h dividida entre dos veces el numero pi. 2 h Y, como el estudiante imaginara, esta h SI TIENE UN SIGNIFICADO FISICO bien definido, particular y explicito: es la constante de proporcion entre la energia minima que una onda de luz puede transmitir y la frecuencia de esta luz. Mas tarde se entendera mejor el significado de “h” y se abordara con detalle el
fenomeno de la luz y su interaccion con el medio. Retomando el hecho de que, para ondas estacionarias:
( , )( , )2 2
xt x xt t i 2
Extenderemos este resultado a tres dimensiones:
(x, t)2 (x, t) t i Donde el triangulo representa el Laplaciano k z j y i x 2ˆ ˆ ˆ , y no es mas un operador que solo pretende significar que se hace la segunda derivada con respecto a cada eje de coordenadas y luego se suman los resultados. Esta ecuacion no solo es valida para ondas estacionarias, pero el nivel de un curso de 12 pregrado en Ingenieria no permite ahondar mas en su razon de ser, por lo que simplemente se consignara la siguiente definicion y ecuacion: Toda particula, sin entrar en consideraciones de spin2, puede ser descrita por una funcion de onda ψ(r,t) que cumple la ecuacion de Schrodinger:
(r , t)i (r , t)
t Donde el cuadrado de la funcion de onda representa una funcion de densidad de probabilidad. Y la ecuacion de Schr. (desde ahora utilizaremos esta sigla) se usara en el siguiente capitulo al encontrar la solucion mas simple de mecanica cuantica, con fines ilustrativos.
