Tabla de Derivadas e Integrales.doc

Tabla de Derivadas e Integrales Función

Derivada

Ejemplos

Constante  y=k

y'=0

y=8

y'=0

y'=1

y=x

y'=1

Identidad  y=x

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

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Tabla de Integrales Integral de Función

No hay Ejemplos

INTEGRALES DE INTERES.(10-8-2006). D.Pedro Rosa

LOGARITMOS Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Ejemplos

Práctica

1. log 2 8 = 3 si 2 3 = 8

I Expresa los siguientes logarítmos en su notación exponencial.

2. log 3 1/9 = -2 si 3 -2 = 1/9 1. log

64

4 = 1/3

2. log

13

13 = 1

3. log

1/3

27 = -3

3

3. log 10 1000 = 3 si 10 = 1000 3

4. 5 = 125 si log 5 125 = 3 5. 4

1/2

= 2 si log42 = 1/2

-2

6. 10 = 1/100 si log 10 1/100 = -2

II Expresa los siguientes exponentes en su forma logarítmica 1.

4 3 = 64

2.

8 -2 = 1/64

3.

25 1/2 = 5

III Evalúa los siguientes logarítmos. 1.

log 8 8 =

2. log 8 1 = 3. log 2 32 = Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es diez. Ejemplo Si

, entonces x = 2, porque la base es diez y tenemos

Llamamos logarítmo natural , Ejemplo

, a un logaritmo cuya base es

Si ln 2.718 = x entonces

x =.99998, porque

e

( e ≈ 2.71828).

la base es e,

Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en la calculadora.

4. 5. 6. 1. 2.

3.

Su calculadora solo puede calcular logarítmos naturales o base 10, por lo tanto ,si desea resolver un logarítmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base.

FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE Si u > 0 y si a y b son números reales Ejemplo positivos distinto de uno, entonces

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1. log

9

.3 = x

2. log 2 20 = p

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Leyes de los logarítmos: Sean M y N valores positivos, , entonces: I

Simplifica las siguientes expresiones expresándolas en término de un solo logaritmo de ser posible. 1. log b ( x+1) - log b (x+2) 2. log b x + 2 log b (x-1)

II

3. log b (x-1) + log b 3 - log b (x+1)

III

4. 2log b(x-3) + log b (5x) – logb(x)

Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS #1 Aplicar las propiedades de logaritmos que sean necesarias para expresar la ecuación con un solo logaritmo. #2 Simplificar de ser necesario #3 Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos. #4 Despejar para la variable #5 Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.

1.

log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2 #1

#2

Utilizamos la propiedad de la multiplicación

#5 IMPORTANTE Por definición el argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto verificamos las respuestas en el logaritmo correspondiente y la solución serán los valores que cumplan con la definición

Expandimos el argumento del logaritmo

#3 Utilizar la definición de logaritmos

#4 Resolver la ecuación

es solución de la ecuación

no es Solución de la ecuación

2. log ( x 3 - 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1

4.

5.

log 2

4 = 0 x-2

log x + log 5 = 2

3. log 3 2x - log 3 (x + 5 ) = 0

ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS  Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2 1.  Aplica la definición de logaritmo. 2. Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

EJEMPLO 3

1.  Aplica la definición de logaritmo. 2.  Aplica la propiedad del exponente. 3. Despejar para la variable

4.

Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE 1.  Aplica logaritmo a Evalúa ambos lados de la ecuación. 1. 2.  Aplica la

3. •

•

propiedad del 2. exponente. Despeja para la 3. variable Reúne los 4. logaritmos a un lado de la 5. ecuación y al 6. otro lado los términos con la variable. Resuelve para x Se evalúan los 1. logaritmos

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

FUNCIóN LOGARíTMICA Para toda b > 0 y b

1, la ecuación

es una función logarítmica con base b y Dominio x > 0. PROPIEDADES 1. Dominio

{x>0}

2. Rango consiste en todos los números reales. 3. Para b > 1: la gráfica de esta función es creciente y cóncava hacia abajo. 4. Para 0 < b < 1: la gráfica de esta función es decreciente y cóncava hacia arriba 5. Es una función uno a uno, por consiguiente tiene función inversa.. 6. No tiene intercepto en y. 7. El par ordenado

(1, 0) pertenece a su gráfica.

8. El eje de y es asíntota vertical de la función. Observe que las propiedades de las funciones logarítmicas son similares a las funciones exponenciales.

La función logarítmica es función inversa de la función exponencial. EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

f( x) = log 2 x

f( x) = log 1/2 x