Autovalor Autovalores es y autovector autovectores es
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Autovalores Autovalores y autovectores autovectores matrizz A de n × n transforma un vector x de Idea. Una matri Buscamos los vectores x = 0 (¿por qu´e distintos de cero? on A se mantienen en la misma direcci´on Ax = λx
N
en otro vector Ax de RN . Ejercicio) que al ser transformados por
R
un un λ ∈ Definici´ on 1 Un vector propio de A es un vector x distinto de cero tal que Ax = λx para alg´ on
R.
A λ se le
llama valor propio asociado a A. ¿C´ omo omo encontramos x y λ? Despejando en la expresi´on on Ax = λx tenemos (A − λI )x = 0, luego x ∈ N(A − λI ) . Como x = 0 necesitamos que el sistema tenga soluciones no triviales; es decir, λ es valor propio ⇔ det(A − λI ) = 0 Definici´ on 2 El espacio propio de A correspondiente a λ, V (λ), es el conjunto de todas las soluciones de ( A−λI )x = 0, on
es decir V (λ) = N(A − λI ). ). Definici´ on 3 El polin on ). po linomio omio caract ca racter´ er´ ıstico ısti co de A es P A (λ) = det(A − λI ). Importante. λ son las ra ra´´ıces del poli polinomio nomio caracter´ıstico, ıstico, es decir P A (λ) = 0.
Ejemplo 1 Dada la matriz
A=
2 3
3 −6
formamos su polinomio caracter´ caracter´ıstico para encontrar los valores propios. Son las soluciones de det( A − λI ) = (2− (2 − λ)(− )(−6 − λ) − 9 = 0. Es un polinomio de grado dos que tiene dos soluciones. Luego hay dos valores propios λ1 = 3 y λ2 = −7. Para encontrar los vectores propios asociados a cada valor propio tenemos que buscar los vectores tales que ( A − λI )x = 0. Es decir, buscamos buscamos x ∈ N(A − λI ) para cada uno de los valores propios que hemos encontrado. λ=3 A − 3I =
−1 3
3 −9
∼
−1 0
3 0
=⇒ V (3) = Gen
3 1
.
λ = −7 A + 7 I =
9 3
3 1
∼
9 0
3 0
=⇒ V (−7) = Gen
−1 3
.
Ejercicio 2 λ = 0 es un valor propio v´alido (no as´ as´ı el vector propio x = 0). Pero, ¿qu´e implica sobre la invertibilidad de la
matriz el hecho de que 0 sea un valor propio?
1
Ejercicio 3 Encontrar Encontrar los valores valores propios y vectores vectores propios de
A=
1 3 3
3 −5 3
3 −3 1
.
Observaci´ on. on.
ız sim simple ple λ es ra´ız ız do doble ble λ es ra´ız
1 vector propio.
1 o 2 vectores propios.
Definici´ on 4 La multiplicidad algebraica , nλ , de un valor propio λ es la multiplici on multiplicidad dad que tiene como ra´ ra´ız del
polinomio poli nomio caracter´ıstico. ıstico. La multipli on on de su espacio propio multi plicida cidad d geom´ ge om´ etrica etri ca , mλ , de un valor propio λ es la dimensi´ asociado mλ = dimV (λ). Importante.
mλ ≤ nλ
2
Diagonalizaci´ on de matrices
Ejemplo 4 Calculamos las potencias de
D=
5 0 0
0 3 0
0 0 2
2
D =
,
25 0 0
0 15 0
0 0 4
,
k
D =
5k 0 0
0 3k 0
0 0 2
k
.
Idea. Queremos construir matrices diagonales, porque calcular sus potencias es muy f´acil.
Definici´ on 5 A y B son matrices semejantes si existe una matriz P invertible, tal que on
A = P BP −1 Definici´ on 6 A es una matriz diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal on
A = P DP −1
con D una matriz tal que todos los elementos que no est´an an en la diagonal son cero. ¿Cu´ ando ando es una matriz A diagonalizable? Importante.
El conjunto {v1 , . . . vr } es linealmente independiente si v1 , . . . vr son los vectores propios asociados a valores propios λ1 , . . . λr diferentes. Los siguientes enunciados son equivalentes 1. A es diagonalizable. 2. A tiene n vectores propios linealmente independientes. 3.
k i=1
umero de vectores propios. umero nλ = n y nλ = mλ , siendo k el n´ i
4. exi existe ste una base base de
i
i
n
R
formada por vectores propios.
Si A tiene n valores propios distintos entonces es diagonalizable. 2
2.1. Algor Algoritmo itmo par ara a diago diagonaliza nalizar r una matriz A. Diagonalizar, si es posible, la siguiente matriz
1 A = −3
3 3 −5 −3 3 3 1
Paso i:
.
Encontrar los valores propios de A.
Resolvemos la ecuaci´on on caracter´ıstica, ıstica, det( A − λI ) = 0. Esta ecuaci´on on contiene un polinomio de grado n en λ. El determinante de ( A − λI ) es en este ejemplo det
1−λ −3 3
3
3 −3 1−λ
−5 − λ 3
y por tanto tenemos como valores propios λ = 1 y λ = −2 (doble).
= −(λ − 1)(λ + 2) 2
¡CUIDADO! Si hay n autovalores distintos la matriz es diagonalizable. En caso contrario (como en el ejemplo) no podemos afirmar si es diagonalizable o no. Paso ii:
Encontrar los vectores propios asociados a los valores propios.
Este es el paso cr´ cr´ıtico. Necesitamos n vectores propios linealmente independientes para que la matriz sea diagonalizable. Para encontrar los vectores propios tenemos que encontrar una base de N (A − λI ) para cada uno de los valores propios. Los vectores que formen esas bases ser´an los vectores propios asociados a A. Cada valor propio tiene como m´ aximo aximo tantos vectores propios asociados aso ciados como multiplicidad tenga como ra´ız ız de la ecuaci´on on caracter´ cara cter´ıstica. ıst ica. En nuestro caso, A ser´ a diagonalizabl diagonalizablee si tiene tres vectores vectores propios linealmente linealmente independientes. independientes. •λ = 1: Calculamos una base para N (A − I ): ):
(A − I ) =
0 −3 3
3 −6 3
3 −3 0
∼
−3 0 0
−6 3 −3
−3 3 −3
Por tanto la dimensi´on on de N (A − I ) es 1 y una base para este espacio es
1 −1 1
v1 =
∼
1 0 0
2 1 0
1 1 0
.
.
•λ = −2: Calculamos una base para N (A + 2 I ): ):
(A + 2I ) =
3 −3 3
3 −3 3
3 −3 3
∼
1 0 0
1 0 0
1 0 0
.
La dimensi´ dimensi´ on on de N (A + 2 I ) es 2 (hay dos variables libres) y una base para este espacio es v2 =
−1 1 0
v3 =
,
−1 0 1
.
Hay tres vectores propios linealmente independientes =⇒ la matriz A es diagonalizable Paso iii:
Escribir A = P DP −1 .
La matriz D es diagonal, tiene los valores propios colocados en la diagonal y 0 en el resto. Cada valor propio aparece tantas veces como sea su multiplicidad. El orden en que se colocan los valores propios no importa, determina el orden en el que hay que colocar los vectores propios en P . La columna en la que est´ e situado un valor propio en D tiene que corresponder a la columna en la que est´e el vector propio asociado en P . Formamos las matrices D y P con los datos del ejemplo: D=
1 0 0
0 −2 0
0 0 −2
,
P = (v1 |v2 |v3 ) =
3
1 −1 1
−1 1 0
−1 0 1
.
Conviene comprobar que A = P DP −1 (si las cuentas est´an an bien hechas, P tiene columnas linealmente independientes y por tanto es invertible). Ejercicio 5 Diagonalizar, si es posible, la siguiente matriz
B=
2 −4 3
4 −6 3
4
3 −3 1
.
