T. 24 24:: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements
de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Primària. Utilització de les Elements, T.I.C. T.I.C. Intervenció educativa. la percepció espacial en l’Educació formes i relacions T. 24: Evolució de geomètrics
geomètriques en l’entorn: classificació i sistemes de representació. Intervenció educativa.
1. Introducció geometria és una eina mental que possibilita la comprensió i el control de l’espai del ’’La geometria és nostre entorn’’ CANALS, M.A.(1992) : Per una didàctica de la matemàtica a l’escola
La Geometria La Geometria (etimològicament, (etimològicament, del grec ’’geo’’ = = terra, ’’metria’’ = = mesura) és la branca del coneixement que s’ocupa dels objectes o figures i de les seves relacions en l’espai, és a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació... La geometria és una ciència molt abstracta i l’alumne/a no arriba a tenir una veritable capacitat d’abstracció fins a l’edat de l’adolescència. Mentrestant, i precisament per preparar-la, ha de practicar una geometria intuïtiva i concreta, que no serà més que un progressiu coneixement de l’espai que l’espai que l’envolta, basat en la pròpia experiència (des del primer moment de la vida, l’infant es troba immers en l’espai, el primer medi material que experimenta). motricitat en l’aprenentatge de la Mereix un comentari especial el paper que juga la motricitat geometria. Efectivament, el moviment no és tan sols un bon mitjà, sinó que, pel fet de desenvoluparse en l’espai, forma part de la mateixa naturalesa de la geometria. L’infant entra en coneixement de l’espai a partir de la seva motricitat, i especialment amb la seva capacitat de caminar i de desplaçar-se autònomament. autò nomament. També També de grans entraran millor en la comprensió de qualsevol noció nova referent a l’espai (o sigui, geomètrica), si poden abordar-la per mitjà dels seus desplaçaments o d’altres moviments del seu cos. Cal, però, considerar diferents nivells en nivells en l’adquisició del domini de l’espai. l’espai. Es tracta, en definitiva, de passar de l’espai sensorial a l’abstracte. l’abstracte. El control de l’espai evoluciona des de la captació de la globalitat a la detecció de les parts i la generalització de les propietats fins a la capacitat per poder deduir relacions no presents. El domini geomètric, per tant, està íntimament lligat a la capacitat de representació mental. mental. L’evolució L’evolució per aconseguir l’abstracció i la generalització generalització dels fets matemàtics necessita fervivencialment per, d’aquí, passar a la manipulació (la qual possibilita se gradualment i cal treballar vivencialment per, la comprensió del món simbòlic que, a la vegada, permet l’abstracció i la generalització). El joc El joc predomina predomina en els interessos dels alumnes, especialment dels més menuts. Així el joc i l’activitat personal d’exploració de l’espai, serà la manera d’arribar als continguts relacionats amb la situació d’objectes en l’espai, punts de referència, orientació, recorreguts... A partir de familiaritzar-se amb els objectes, objectes, es presenten presenten a estudi estudi els cossos geomètrics quotidiana. S’avança en el coneixement dels elements recognoscibles recognoscibles en objectes de la vida quotidiana. que els componen, en les relacions elementals (com paral·lelisme, perpendicularitat, relacions numèriques en figures senzilles...) i s’entra en l’adquisició de destreses i habilitats per representar al mateix temps la realitat objecte d’estudi. S’ha de destacar la part manipulativa i lúdica de molts continguts a través de l’ús de materials i de l’activitat personal de l’alumnat realitzant plegatges, construccions... que persegueixen arrireals (per senzills que siguin, com ho és un triangle en bar al concepte a través de models reals (per cartolina) abans que per mitjà de propostes excessivament abstractes per a la capacitat de comprensió dels/les alumnes de l’etapa. Cal reflexionar quant a l’elevat grau d’abstracció que tenen els conceptes geomètrics i avaluar la dificultat d’arribar a la construcció mental de punts, rectes, regions, fronteres, direccionalitat... L’esmentada dificultat serà major encara si s’omet l’objectiu previ de desenvolupar en l’alumnat les seves capacitats de percepció i observació, si no treballem la lògica i la intuïció espacial. 2. Evolució de la percepció especial Per intentar comprendre una mica millor en què consisteix aquest coneixement de l’espai que té l’infant, hem de fixar-nos en allò que ens diu Piaget. Ell ens parla en termes de construcció de l’espai. No es tracta d’ aprendre alguna cosa que l’adult pot transmetre a l’infant , sinó que es tracta que aquest construeixi un esquema i una imatge mental de l’espai . Aquest esquema (representació) ha d’estar totalment assolit a l’edat de l’adolescència i és anterior als veritables conceptes (que vindran llavors amb l’aparició del pensament abstracte). Seguint, doncs, les teories de Piaget, l’infant passa per dos períodes per períodes per construir la seva representació mental de l’espai : -1-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
a) període sensòriomotor (0>2 anys): Fins als 2 anys, l’infant va adquirint la capacitat de situar les coses a l’espai en relació a ell mateix, al seu propi cos (és la capacitat d’ orientació espacial ). Aquest període es caracteritza per la següent característica: el coneixement de l’espai que l’infant té no solament es basa en la motricitat i en la seva percepció sensorial, sinó que es limita a aquests nivells i no va més enllà (l’infant és incapaç de produir, encara, una imatge mental ). Així, doncs, podríem dir que en aquest període no parlarem de geometria, tot i que, evidentment, aquesta gran experiència motriu i sensorial de l’infant n’és la base). b) període representatiu (2>15 anys): Aquest període es caracteritza per la construcció progressiva de la representació mental de l’espai. És un llarg procés que es va realitzant a poc a poc i de manera força complexa. A partir dels 2 anys, l’infant ja consolida la capacitat de situar els objectes fora d’ell mateix (els uns respecte als altres) i d’establir relacions espacials entre ells. És el que s’anomena organització espacial (un procés de descentració que es realitza a mesura que les percepcions sensorials i motrius s’interioritzen. Aquesta interiorització, punt de partida de l’esquema mental, continua fent-se a partir de la percepció sensorial i la motricitat, però la diferència amb el període anterior és que comença a crear una imatge (una petjada d’allò que ha conegut a nivell sensorial). Ens trobem, doncs, a mig camí entre la pura percepció i el concepte, que apareixerà més tard. Es comencen a enregistrar en aquest esquema mental les primeres nocions topològiques (línia, superfície, volum) però no és fins als 5 anys en què es comencen a interioritzar les nocions projectives bàsiques (canvi de direcció, polígon, políedre, convexitat/concavitat...). Malgrat els avenços són lents però progressius, el grau de maduresa del nivell representatiu es reflecteix perfectament en el dibuix, en el qual expressa totes les relacions espacials que fins aquell moment ha integrat a la seva imatge mental (començant per l’ esquema corporal i seguint amb totes les altres). 3. Glossari de termes bàsics · GEOMETRIA: Branca de la matemàtica que estudia les propietats de les figures en el pla o en l’espai. · PUNT: El punto és l’element de representació més simple. · INTERSECCIÓ: Conjunt que conté els elements comuns als conjunts donats. Punt on es creuen dues línies. · SEGMENT: És la part de la recta que està delimitada per dos punts que són els extrems del segment; per tant, es pot mesurar la seva longitud. · ANGLE: És la regió del pla limitada por dues semirrectes que es tallen en un punt (vèrtex). La distància angular es mesura en graus, minuts i segons d’arc. Els angles es mesuren en graus (º). · ANGLE RECTE: L’angle que formen les rectes perpendiculars i que mesura 90º. · ANGLE AGUT: Aquell que mesura menys de 90º. · ANGLE OBTÚS: És aquell que mesura més de 90º. · ANGLE PLA: Mesura 180º. · ANGLE CONVEX: És aquell en el qual, al traçar un segment unint dos puntos qualsevol dels seus costats, el segment es trobarà dins de l’angle. · ANGLE CÓNCAU: És aquell en el qual, al traçar un segment unint dos puntos qualsevol dels seus costats, el segment es trobarà fora de l’angle. · LÍNIA: Figura geomètrica que es genera per un punt en moviment. És un conjunt de punts d’una sola dimensió. · RECTA: És la línia més curta que uneix dos punts. Conjunt continu de punts, aliniats en una direcció constant. · CORBA: Conjunt de punts que canvien continuament de direcció. · PERPENDICULAR: Fa referència a la posició relativa de dues línias rectes quan formen un angle de 90º (angle recte). · FIGURA: És tot conjunt de punts. És l’espai tancat per línies o superfícies. -2-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
· POLÍGON: Figura geomètrica plana limitada per segments rectes consecutius no aliniats anomenats costats. · COS GEOMÈTRIC: Els cossos geomètrics ocupen un lloc a l’espai. Hi ha cossos de forma regular, en els que es poden mesurar 3 dimensions: llarg, ample i alt. Amb elles es pot calcular el volum d’aquest cos geomètric. Altres cossos geomètrics són de forma irregular i necessiten altres mètodes per a determinar el seu volum. · ÀREA: És la magnitud geomètrica que expressa l’extensió d’un cos en dues dimensions: llarg i ample. · PERÍMETRE: El perímetre d’una figura bidimensional és la distància que hi ha al seu voltant (contorn). · SIMETRÍA: És la propietat d’un objete o figura quan les seves característiques (forma, tamany i posició relativa de les seves parts) són les mateixes en ambdós costats d’una línia divisòria o relació a un centre. · PLA: És una superfície que té longitud i amplada però no té gruix. El pla té dues dimensions (la geometria plana estudia, p.e. els triangles, els quadrilàters, la circumferència, el cercle...). 4. Elements, formes i relacions geomètriques en l’entorn Avui, la geometria només es pot concebre com una matèria viva, dinàmica per naturalesa. La primera aproximació dels nens al món de la geometria comença fora de l'escola, a través de l'observació i experimentació del seu entorn immediat. Per intuir i explorar aquest espai cal facilitar al nen diferents materials perquè l'ajudin a reflexionar sobre els propis descobriments i a trobar nous conceptes. L’anàlisi dels cossos geomètrics ha d’estar estretament lligada al reconeixement d’aquests cossos en objectes de l’entorn. La geometria està per tot arreu: a la classe, al carrer, a les places, a les esglésies... i també, és clar, a casa. Si posem atenció, podrem comprovar que el món proper a nosaltres és ple de mostres de geometria; només cal aturar-nos a observar amb imaginació i buscar les relacions existents entre aquests elements naturals o construï ts per l’home i els cossos treballats a l’aula. L’entorn està ple d’objetes que la humanitat ha anat dissenyant: mobles, caixes, llaunes, ampolles, objectes d’escriptori, instruments musicals, joies, roba, papers, gelats, menjars, pentinats… amb les seves formes geomètriques al servei d’unes funcions determinades (dormir, beure, escriure, tocar, lluir i menjar). Farem notar la presència de cossos geomètrics en la vida quotidiana: envasos, a la natura, edificis, joguines..., amb els quals l’alumnat s’anirà familiaritzant amb els elements propis de la geometria. Si disposem d’un objecte en forma de prisma (com p.e. una capsa de guixos), podem analitzar-ne les cares, els vèrtexs i les arestes amb l’objecte a la vista, després d’haver observat els esquemes corresponents. Farem el mateix, p.e., amb una llauna de refresc per observar un cilindre, una capsa de bombons d’una coneguda marca ( Ferrero Rocher ® ) per una piràmide, una pilota de futbol o un globus terraqüi per a l’esfera, i així successivament. Els/les alumnes hauran de cercar exemples al seu voltant dels cossos geomètrics estudiats, per a l’elaboració d’un treball d’equip. A l’aula, després, exposaran les seves troballes. 5. Classificació dels elements geomètrics: figures i cossos Abans de tot, convé recordar la diferència existent entre aquests dos elements geomètrics: · figura: És tot conjunt de punts. És l’espai tancat per línies o superfícies (té dues dimensions). · cos: És el cos que està limitat per superfícies planes o corbes i ocupa un lloc a l’espai (té tres dimensions).
-3-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
Classificació de les figures i cossos geomètrics
equilàter segons la longitud dels seus costats
isòsceles
polígons segons el seu nombre de costats: · triangle (3) · quadrilàter (4) · pentàgon (5) · hexàgon (6) · heptàgon (7) · octògon (8) · eneàgon (9) · decàgon (10) · endecàgon (11) · dodecàgon (12) · tridecàgon (13) · tetradecàgon (14) · pentadecàgon (15)
escalè triangles acutàngul segons la mesura dels seus angles
rectangle obtusangle quadrat
figures geomètriques · polígons d’ n costats
paral·lelògrams (amb dos parells de costats oposats paral·lels)
(>15 costats)
polígons regulars
rectangle
rombe
(si tenen tots els seus angles i costats iguals)
romboide quadrilàters isòsceles trapezis (amb un parell de costats oposats paral·lels)
escalè rectangle
trapezoide (sense cap parell de costats oposats paral·lels)
circumferència
figures còniques
paràbola el·lipsi hipèrbola prismes políedres semirerregulars
políedres
cossos geomètrics
segons el seu nombre de cares: · tetràedre (4) · pentàedre (5) · hexàedre (6) · heptàedre (7) · octòedre (8) · eneàedre (9) · decàedre (10) · endecàedre (11) · dodecàedre (12) · tridecàedre (13) · tetradecàedre (14) · pentadecàedre (15)
· políedre d’ n cares
(totes les seves cares són polígons regulars -no igualsi cadascun dels seus vèrtexs no rep el mateix nombre de cares)
paral·lelepípedes
piràmides
tetràedre regular
políedres regulars (totes les seves cares són polígons regulars iguals i cadascun dels seus vèrtexs rep el mateix nombre de cares)
hexàedre regular (cub)
octàedre regular
(>15 cares)
icosàedre regular
tetràedre regular
cilindre
con
cossos rodons
esfera
-4-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
6. Sistemes de representació Els sistemes de representació tenen com a objectiu comú representar sobre una superfície bidimensional (com és el paper) els objectes que són tridimensionals a l’espai. Amb aquest objectiu, s’han ideat al llarg de la història diferents sistemes de representació. Tots ells compleixen una condició fonamental, com és la reversibilitat ; és a dir, que si bé a partir d’un objecte tridimensional, els diferents sistemes permeten una representació bidimensional d’aquell objecte, d’igual forma, donada la representació bidimensional, el sistema ha de permetre obtenir la posició en l’espai de cadascun dels elements d’aquell objecte. En tots els sistemes de representació, la projecció dels objectes sobre el pla del quadre o de projecció, es duu a terme mitjançant els raigs projectants; es tracta de línies imaginàries que, passant pels vèrtexs o punts de l’objecte, proporcionen en la seva intersecció amb el pla del quadre, la projecció d’aquest vèrtex o punt. Si l’origen dels raigs projectants és un punt de l’infinit, el que s’anomena punt impropi, tots els raigs seran paral·lels entre si, donant lloc a la que s’anomena projecció cilíndrica. Si aquests raigs resulten perpendiculars al pla de projecció estarem davant una projecció cilíndrica ortogonal; en el cas de resultar oblics respecte al pla, es tracta d’una projecció cilíndrica oblíqua. Si l’origen dels raigs és un punt propi i formen angles diferents amb el pla de projecció, resulta una projecció central (cònica). raig projectant
raig projectant
raig projectant
pla de projecció
pla de projecció
projecció cilíndrica ortogonal
projecció cilíndrica oblíqua
pla de projecció
projecció central (cònica)
El sistema més utilitzat és el dièdric, que utilitza projeccions cilíndriques per a la representació en el pla de figures tridimensionals. És el més emprat per la seva rigorositat. Es basa en la projecció de la figura sobre uns plans perpendiculars entre ells, i així es representa segons el sistema de projecció europeu o americà. Permet 3 tipus de projeccions: · vertical (alçat ) · horitzontal (planta) · de perfil (secció) 7. Utilització de les Tecnologies de la Informació i la Comunicació (T.I.C.) Les Tecnologies de la Informació i la Comunicació (T.I.C.) ens ofereixen un ventall de possibilitats educatives sense cap mena de dubte il·limitades i encara molt poc explorades a l’escola. Alguns aspectes importants que ens ofereixen són la imatge (fixa o en moviment), la correcció immediata i la possibilitat d’interacció. La interacció i la correcció immediata ens són útils en qualsevol àmbit de l’aprenentatge, en qualsevol àrea. A més, de moment l’ús de l’ordinador és un element clarament motivador per als/ les nostres alumnes. Per això, qualsevol bateria de càlcul, correcció ortogràfica o qüestionari de coneixement del medi és doblement atractiu si el fan a l’ordinador. En aquest cas ens centrarem en el valor de la imatge i de la interacció amb la imatge. Aquí és quan pren importància el treball que puguem fer amb la geometria a l’aula d’informàtica. La geometria, tradicionalment, s’ha ensenyat partint del llibre de text. Fàcilment estarem d’acord en que ha de ser caminada, experimentada, manipulada... Però per alguna estranya raó ens sembla que quan arriben a una certa edat, la manipulació és innecessària. Sembla que ’’ja ho haurien d’entendre’’ sense necessitat de moure’s, sense retallar o plegar paper. Al 3r cicle de primària, com a molt, ens animem a fer servir el compàs i el transportador d’angles! -5-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
Confuci va dir ’’M’ho van explicar i ho vaig oblidar. Ho vaig veure i ho vaig entendre. Ho vaig fer i ho vaig aprendre’’. La manipulació és bàsica, especialment a les matemàtiques. Cal fer les coses. A tota la primària, i ben segur que més endavant també. Per tant, deixar constància de que no estem parlant de treure-li terreny a la manipulació, sinó de complementar-la. Perque veureu com algunes activitats que podem fer amb l’ordinador, des del meu punt de vista, també són una mena de manipulació . Però anem a veure quin paper poden jugar diferents programes o activitats informàtiques de geometria que ens posen a l’abast les T.I.C.: · activitats tipus fitxa interactiva: És l’activitat reina, no per la qualitat, sinó per la quantitat. · Descobrir les figures geomètriques amagades, moure-les de lloc, aparellar-les damunt el dibuix: http://www.mja.org.mx/Prometeo/ejemplos/figeomet.html · També hi ha molts jocs en CD que contenen aplicacions d’aquest tipus: ’’Pipo al país de les matemàtiques’’...
Segur que es pot fer el mateix en una fitxa de paper. Aquí doncs, l’avantatge de la tecnologi a seria l’autocorrecció (i correcció immediata) i la motivació. Segurament també en pantalla els dibuixos són més atractius, poden aplaudir-te si ho has fet bé... però el treball que fa l’alumne/a és, si fa o no fa, el mateix. · activitats de motivació/observació: Quan a la pantalla de l’ordinador podem veure objectes en perspectiva tridimensional, i fer-los moure segons el que nosaltres volem, estem davant activitats que segurament és millor fer-les de manera manipulativa. Però poden servir com a presentació d’un tema, com a motivació, com a model... En aquestes activitats el que realment és important i ric és crear-les . Però això, poser, no pertoca a alumnes de primària. Ben segur que s’ha de saber molta geometria per crear figures en 3D a l’ordinador! · Dues mostres d’activitats d’aquest tipus serien: · ’’Políedres en moviment’’ : http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html · ’’Els políedres regulars’’ : http://www.mja.org.mx/Prometeo/ejemplos/regpoly.html · activitats d’experimentació: Altres vegades trobem aplicacions que ens permeten una manipulació sobre figures planes. Aquí el mon virtual té clars avantatges sobre el llapis i el paper i la manipulació. Altres materials que ens poden ser útils són els geoplans, gomes elàstiques per deformar una figura, ombres per a fer-ne projeccions i transformacions... Però amb qualsevol ® programa de tractament d’imatges (per exemple Paint-Shop Pro ) tenim opcions que podem aprofitar per a descobrir i discutir propietats geomètriques interessants. El tangram és un material clàssic del treball de la geometria a l’aula. Aquest tangram on-line és fàcil de fer servir: http://enchantedmind.com/tangram/tangram.htm El Cabri geomètre,® per la seva part, utilitza les eines bàsiques per la geometria (el compàs i el regle per traçar línies rectes i segments) i permet construir punts, línies i circumferències. A partir d’aquí es poden fer moltes construccions geomètriques bàsiques, analitzar propietats... És un programa molt utilitzat a secundària, però podríem fer una selecció d’activitats vàlides per al 3r cicle de primària. http://www-cabri.imag.fr/
8. Intervenció educativa A la vida quotidiana i a l’escola es donen les situacions i els moments d’adquirir les nocions fonamentals de caràcter topològic, referents a: línia recta/línia corva, obert/tancat, frontera, límits, situació espacial, volum, superfície plana/superfície corba... que poden donar les primeres classificacions de cossos i figures. En aquestes nocions els infants inclouen espontàniament la primera noció de distància, que després donarà lloc a la mesura. Tot procés d’aprenentatge és complexe en si mateix, tots els infants no arriben a assolir el concepte al mateix temps, sinó al seu ritme propi de maduració i depenent sempre de les seves capacitats, vivències personals, gustos... Nosaltres, com a professionals, els hem d’oferir un gran ventall de possibilitats, jocs, materials, situacions que els porten a fer un raonament d’allò que han viscut, moments d’intercanvi d’idees... -6-
T. 24: Evolució de la percepció espacial en l’Educació Primària i l’ús de la Geometria com la seva representació. Elements geomètrics de l’entorn: classificació i sistemes de representació. Utilització de les T.I.C. Intervenció educativa.
En l’etapa d’Educació Infantil, s’ha de treballar la situació d’un mateix a l’espai (tant la situació estàtica com la dinàmica), procurant que, de mica en mica, es puguin imaginar els desplaçaments en lloc de fer-los realment, entrant així en la representació mental de l’espai. També s’ha d’iniciar el coneixement de les formes de manera global. És important que expliquin les característiques que els semblin més rellevants d’un determinat objecte (si té les puntes arrodonides o en punxa, si s’hi pot ficar la mà a dins o no, si és pla o té corbes...). Es pot conduir l’explicació cap a precisar, per exemple, les diferències que troben entre una pilota de tennis i un CD, o entre una bola de vidre i un dau. En aquest nivell no és important que la canalla utilitzi llenguatge geomètric, es pot deixar que ho expliquin amb paraules d’ús corrent; cal, però, que el vagin sentint perquè més endavant puguin incorporar-lo al seu repertori. També cal proporcionar experiències de transformació de formes fent sanefes, mosaics i estampacions, que permeten obtenir noves formes a partir de la repetició de les formes originàr ies. Al 1r cicle de primària ja han de poder descriure un desplaçament i realitzar-ne, seguint indicacions verbals o gràfiques. Han de treballar els dos sentits de la línia i el gir i prendre consciència que girant es descriuen angles. Cal, també, que distingeixin línia, superfície i volum i que puguin classificar objectes d’ús comú seguint aquests criteris. Per avançar en el coneixement de figures i cossos, han de poder passar de la descripció global que feien a l’etapa anterior a centrar-se en aspectes concrets (p.e. en les cares, els vèrtexs, els costats...). La transformació de figures i formes, en aquest cicle, es pot fer a partir de descompondre i compondre una figura determinada i de buscar simetries i repeticions. En arribar al 2n cicle de l’etapa, han de poder localitzar un punt en un mapa o en un plànol i comprendre la representació plana de l’espai. També han de reconèixer diversitat d’angles prenent com a referència l’angle recte. En el coneixement de figures i cossos, tan de trobar criteris de classificació i veure com, a mesura que es van posant més condicions, es va reduint el nombre de formes que les compleixen (p.e. els quadrilàters -criteri molt general que engloba totes les formes poligonals de 4 costats-, entre els quals en podem trobar de còncaus/ convexos, paral·lelograms, de costats iguals, amb angles rectes...). En l’apartat de transformació de figures i cossos, cal compondre i descompondre tan superfícies com volums i cal posa molt d’èmfasi en la transformació de volums. Al 3r cicle s’ha de poder usar els eixos de coordenades cartesianes per localitzar punts i assegurar la interpretació de mapes i plànols. En aquest darrer cicle també s’ha de guanyar precisió en l’ús del llenguatge geomètric (és important que utilitzin amb precisió aquest llenguatge tant per expressar aspectes relacionats amb la situació a l’espai com per descriure objectes). Finalment, convé iniciar l’alumnat en l’obtenció de models per fer estudi de propietats i aconseguir una visió dinàmica de les formes. En aquest bloc, cal atendre, per una banda, els aspectes relacionats amb la situació a l’espai; i d’altra, els del coneixement i la transformació de formes. 9. Bibliografia ALSINA, C.-FORTUNY, J.M. (1988): Materiales para construir la Geometría Editorial Síntesis. Madrid. ALSINA, C.-FORTUNY, J.M.-PÉREZ, R. (1997): ¿Por qué Geometría? Editorial Síntesis. Madrid. CANALS, M.A. (1992): Per una didàctica de la matemàtica a l’escola Eumo Editorial. Vic. CANALS, M.A. (1997): La Geometría en las primeras edades escolares Revista Suma núm. 25. Federación Española de Sociedades de Prof esores de Matemáticas. Madrid. http://www.xtec.es/~epuig124/mates/geometria/castella/index.htm http://projecte.xtec.es/ceip-pompeufabra-lloret/ciencia/index_c.htm http://www.xtec.es/~epuig124/mates/geometria/index.htm -7-
