T. 21

T. 21: Resolució de problemes. Diferents classes i mètodes de resolució. Planificació, gestió de recursos, representació i valoració dels resultats. Estratègies d’intervenció educativa.


1. Introducció ’’ Resoldre Resoldre un problema és trobar un camí allí on prèviament no se’n coneixia cap, trobar la manera de sortir d’una dificultat, de vorejar un obstacle i aconseguir la solució desitjada, que no podríem obtenir de manera immediata, utilitzant, per arribar-hi, els mitjans adequats’’. PÓLYA, G. (1981): Cómo plantear y resolver problemas

Els problemes a què s’han hagut d’enfrontar les diferents civilitzacions i c ultures per resoldre qüestions que afecten a la creació de la tecnologia bàsica, el domini de la natura, l’organització social... han estat l’origen d’idees, de maneres de fer i pensar, de creació de símbols i procediments de representació que, més endavant, han esdevingut la base sobre la qual s’han construït la Matemàtica com a coneixement coneixement formal. En efecte, des dels principi dels temps històrics, la Matemàtica s’ha generat en totes les civilitzacions sobre la base de la resolució dels problemes pràctics. Tanmateix, Tanmateix, a partir del període grec la Història ens mostra la necessitat de fer un pas més endavant: l’evolució històrica de la Matemàtica situa els mètodes de raonament com a eix central de la recerca en Matemàtica. A partir d’una ullada als objectius i mètodes de treball d’alguns autors cabdals en la Història dels conceptes matemàtics postulem l’aprenentatge de les formes de raonament matemàtic com l’objectiu central de l’educació d’aquesta àrea, i la resolució de problemes com el mitjà més eficient per a coronar aquest objectiu. La Matemàtica, així, va aparèixer com a ciència aplicada a la realitat. Les diferents situacions que la vida quotidiana anava plantejant forçaven l'aparició de nous procediments per resoldre-les. Al llarg de la història, aquesta ciència ha anat avançant sempre, però moguda per les noves necessitats que un món en constant progrés demana. Malgrat això, l'ensenyament d'aquesta àrea no ha evolucionat pel mateix camí i, en molts casos, podem dir que ha perdut el seu caràcter instrumental, funcional i quotidià per convertir-se, sovint, en una matèria deslligada de la realitat on molts dels continguts que s'hi exposen són molt lluny de pertànyer a l'entorn quotidià dels alumnes. Sota la influència de les idees de Piaget al voltant del pensament formal, durant els 60 i 70 i amb l’èmfasi en l’adquisició dels processos de la ciència pels alumnes, la resolució de problemes va adquirir encara major importància en l’entorn educatiu. D’acord amb aquest punt de vista, les ciències serien especialment indicades per a utilitzar la resolució de problemes com a mitjà per desenvolupar desenvolupar el pensament formal (Pozo i Carretero, 1987). Actualment, la resolució de problemes és l’objectiu principal en l’ensenyament de la matemàtica. Weber i Haigh (1991) apunten que la resolució de problemes hauria de ser un tema transversal al llarg del currículum, donat que davant d’una situació nova l’alumne/a ha de posar en joc els procediments, procediments, conceptes conceptes i actituds que té adqurits, adqurits, però ha de relacionar-los relacionar-los entre ells ells de manera que li resultin útls en aquesta situació concreta. La resolució de problemes, per tant, és una activitat habitual a les classes de matemàtiques i ciències, a les quals es dediquen una part important del temps escolar i, a més, habitualment es planteja com un objectiu bàsic de l’aprenentatge. Molts llibres de text dediquen una fracció significativa del seu espai a resoldre problemes i exercicis i existeixen bastants manuals especialitzats i fins i tot col·leccions i sèries editorials dedicades íntegrament a la resolució de problemes en diferents àrees. És, a més, un dels instruments d’avaluació més emprats a les nostres aules, tant als exàmens, com en la investigació de les idees alternatives dels alumnes. Segons això, la resolució de problemes i situacions, la veritable verit able raó de ser de la matemàtica, ha anat quedant arraconada cada cop més per la "necessitat" de treballar tots els continguts que "cal ensenyar als alumnes". Aquesta evolució en l'ensenyament l'ensenyament de la matemàtica ens ha portat a confondre els exercicis amb els problemes. Els primers, dels quals se'n fa f a un veritable abús i sovint es camuflen en forma de problema o situació matemàtica, són activitats de reforç i consolidació de continguts concrets i sovint es presenten en paquets o grups d'activitats molt similars. Amb les sessions de problemes, en canvi, no es pretén la consolidació d'un determinat contingut sinó el desenvolupament de la capacitat de destriar, d'entre les eines procedimentals i els conceptes que l'alumne coneix, les que necessita per resoldre la situació que es presenta.

-1-


2. Problemes: concepte i tipus

Diem que tenim un problema quan volem aconseguir alguna cosa i no sabem com fer-ho. Un problema està relacionat amb l’elaboració d’estratègies. Tanmateix, el terme problema inclou un component de relativitat i allò que per a una persona pot ser un problema, per a una altra pot ser simplement un simple exercici (Gaulin, 1982). Un exercici és una situació que pretén aplicar de forma rutinària coneixements i procediments ja coneguts i relativament fàcils d’identificar pels alumnes. Cal, per tant, no confondre el que és una pura activitat d’aplicació de continguts amb el que ha de ser un problema o situació on, d’entrada, no es tenen els procediments, recursos i estratègies per resoldre’l, sinó que cal cercar-los a mesura que es va desenvolupant la seva resolució. Existeixen moltes definicions al voltant de què constitueix un problema. Schöen (1981) diu “que per a que existeixi un problema hi ha d’haver una qüestió a solucionar, un cert grau de motivació per cercar-la i no ha de ser evident una estratègia immediata per a fer-ho” . Precisament, la manca d’aquesta darrera condició converteix a molts problemes escolars en simples exercicis de repetició que no sempre ajuden a que els alumnes aprenguin els principis generals de les disciplines (Senent i Martínez-Torregrosa, 1988). Perales (1993) defensa que podria definir-se com “qualsevol situació prevista o espontània que produeix, per una banda, un cert grau d’incertesa i, per altre, una conducta que tendeix a la recerca d’una solució” . Hom està avui dia pràcticament d’acord en què un problema parteix d’un plantejament d’entrada on l’alumnat no té els continguts; és a dir, no és per posar a prova si sap aplicar quelcom que posseeix sinó del que es tracta és que a partir d’aquella situació -d’entrada, no dominada-, pugui cercar camins resolutoris que li aportin l’adquisició de determinats dominis conceptuals o procedimentals La definició de problema, com es pot comprovar, és ben diversa, així com la seva tipologia. Simon (1973) distingeix entre problemes ben estructurats (aquells que proposa l’escola) i mal estructurats (aquells que es plantegen a la vida real). Una altra classificació tradicional els divideix en problemes ben definits (on la meta està clarament especificada) i mal definits (no es pot determinar d’antuvi què constitueix la solució del problema). Dumas i Larcher (1987) classifiquen els problemes en de reconeixement/repetició (idèntics als coneguts), d’identificació/reproducció (és precís traslladar el raonament) i de construcció (no pot reduir-se a un problema-tipus). No hi ha dubte que la majoria dels problemes utilitzats habitualment en l’ensenyament corresponen al primer i segon tipus. Blum i Niss (1991) consideren problemes aplicats (procedents de contextos reals) i problemes purs (aquells propis de l’univers matemàtic). Pehkonen (1995) diferencia entre problemes oberts i problemes tancats, tenint en compte el grau d’exactitud en la descripció de les situacions de partida i arribada. Caballer i Oñorbe (1997) defensen que els problemes escolars poden dividir-se en aquestes categories: problemes/qüestions (dirigits a l’adquisició de coneixements conceptuals), problemes/ exercicis (orientats a l’aprenentatge de models concrets de resolució i tècniques d’automatisme) i problemes/investigacions (per a l’adquisició de coneixements procedimentals i d’actituds cap a la ciència i mètodes de treball). Perales (2000) classifica els problemes d’acord amb criteris que es refereixen al camp de coneixement implicat (matemàtiques, ciències, ...), a la solució (oberts i tancats), a la tasca requerida (qualitatius, quantitatius, experimentals i creatius) o al procediment seguit (exercicis, algorismes o heurístics). e r is i s que s’utilitzin. Tot plegat La manera de classificar els problemes, però, depèn dels c r i tte ens porta a establir la següent classificació: a) segons els conceptes i continguts que es treballen · aritmètics · geomètrics · estadístics · estocàstics · d’àlgebra -2-


b) segons com es dóna la informació · orals · escrits · gràfics c) segons les dades proporcionades · enunciat · esquema · operacions · resultat d) segons el procediment i tècnica resolutòria · operacionals · manipulatius · gràfics · lògics e) segons el plantejament · directes · inversos · tancats · oberts f) segons la solució · exactes · aproximats · de resposta única · de resposta múltiple · impossibles g) segons l’objectiu metodològic · d’aplicació de coneixements · motivacional · de descoberta · d’investigació h) segons l’objectiu didàctic i d’aprenentatge · de pràctica i consolidació de coneixements · d’aquisició d’estratègies · de descoberta · d’investigació 3. Mètodes de resolució de problemes Gairebé tothom coincideix en què, per resoldre efectivament els problemes. és convenient seguir els passos clàssics de: plantejament, solució i comprovació, si bé alguns autors divideixen les fases anteriors en d’altres més detallades (Kempa, 1986). En el procés de resolució, el subjecte que aprèn tendeix a mobilitzar els seus coneixements en un domini determinat, a la vegada que aplica determinats processos mentals. El resultat seria, per una banda, la solució, i per altra, un aprenentatge addicional. La resolució de problemes implicaria, tant una activació i mobilització dels coneixements rellevants, com un aprenentatge de nous coneixements i habilitats (Perales, 2000). Desvetllar un mètode de resolució de problemes és, sense cap mena de dubtes, un dels reptes més importants amb què ens trobem a l’escola. Sovint, però, això va acompanyat de grans dificultats de raonament que ens manifesta l’alumnat davant aquestes situacions. També molt sovint, el procediment per al seu aprenentatge consisteix a aplicar mètodes conducti stes esperant que, per repetició mecànica de molts d’ells més o menys semblants, s’arribi a l’adquisició d’un cert aprenentatge. Altres vegades, el recurs que utilitzem és dir a l’alumne/a que no el resol se li demana una i altra vegada que se’l torni a llegir considerant que la causa essencial de les dificultats resolutòries resideix en la incomprensió de la situació que explica el text de l’enunciat.

-3-


Certament, la comprensió lectora resulta imprescindible en els problemes d’enunciat escrit, però en moltes ocasions, també és cert que l’alumne/a comprèn perfectament el significat de l’enunciat i de la situació contextual però segueix sense saber resoldre’l. Això posa de manifest que en la resolució de problemes hi ha quelcom més que la comprensió ling üística i que en aquest cas cal entendre la deficiència no com a matemàtica sinó lingüística i que afecta a tots els camps de relació educativa -de manera especial, des de la llengua-. Així doncs, podem entendre que existeixen diferents àmbits de comprensió o domini i que tots ells són necessaris per a la capacitació resolutòria. De forma resumida, cal diferenciar els següents: · nivell lingüístic (morfosintàctic, semàntic, contextual...) · nivell lògic (logicolingüístic, logicomatemàtic...) · nivell matemàtic (operatiu, algorísmic, simbòlic...) És obvi que tota la informació necessita saber-se organitzar, classificar, ordenar, relacionar i quan hom té dificultats a nivell de pensament lògic -o sigui, de saber classificar i ordenar-, difícilment es poden emprendre camins de resolució de problemes (àmbit en el qual sí que la seva incidència és matemàtica). Fruit d’aquesta capacitació neix la possibilitat de la planificació del pla d’acció. En un altre estadi cal situar la comprensió matemàtica de la situació; és a dir, la comprensió operativa o comprensió de les accions que hi tenen lloc, la qual capacita per saber emprendre un camí resolutori el qual, alhora, queda influenciat pel domini algorísmic operatiu que hom tingui adquirit i que és, sens dubte, un altre factor a tnir en compte -encara que no essencial-. També és important tenir en compte que l’adquisició d’estratègies resolutòries no s’adquireix pel simple fet de resoldre un problema ni molts problemes entesos com a casos independents. Únicament seguint una seqüenciació progressiva del contingut del propi problema i l’anàlisi del recull de resultats de diferents casos particulars aplicats al mateix interrogant, capacita per saber simplificar una situació problemàtica i plantejar conjetures i hipòtesis per tal de poder adquirir l’habilitat o la capacitat de generalització. En definitiva, podem dir, doncs, que l’aprenentatge de la resolució de problemes no s’adquireix fruit de la repetició de mecànica conductista sinó per l’aplicació de procediments d’anàlisi, manipulació i descoberta de generalitzacions. És convenient, per tant, que els alumnes adquireixin un mètode de treball sistemàtic que els ajudi a desenvolupar les estratègies resolutives. Oferim un possible model dels passos a seguir: 1. Llegir atentament el text i assegurar-se d'entendre la situació i totes les paraules que hi apareixen. Per tal d'ajudar a la comprensió de l'enunciat en els primers cursos és convenient que sempre vagin acompanyats de dibuixos que els complementin. 2. Fer un esquema de la situació que es planteja per mitjà de diagrames, dibuixos... Es poden presentar, en alguns casos, els esquemes o gràfics fets per tal de donar recursos diferents per a la comprensió del problema. Més endavant, l‘alumnat ha d'escollir els esquemes o dibuixos que més els convenen per a la reflexió de la situació que es presenta i que els ajudarà tant a destriar les dades necessàries com a cercar els recursos matemàtics necessaris (passos 3 i 4). És per això que creiem que cal ser exigents en l'aplicació d'aquest pas. 3. Localitzar les dades necessàries per a la resolució, tant les que apareixen en l'enunciat com d'altres implícites. Identificar dades no necessàries i fer una predicció del resultat. Aquesta estimació del resultat pot ser comparada amb el resultat dels càlculs efectuats i servir com a element autocorrector de possibles errades, com també col·laborar en el desenvolupament de les estratègies d'aquest tipus de càlcul. 4. Cercar els recursos matemàtics necessaris. Destriar les operacions que calguin, aplicar propietats, fòrmules... 5. Realitzar, si és el cas, els càlculs (mentals, estimatius, algorísmics o tecnològics). 6. Comprovar si el resultat és lògic i correcte i si contesta la pregunta del problema. 7. Expressar el resultat amb una frase en concordança amb la pregunta formulada. En els primers cursos, aquesta expressió pot ser verbal o escrita d'acord amb les capacitats d'escriptura dels alumnes. En tots els casos cal exigir que les respostes numèriques sempre vagin acompanyades de les seves unitats. -4-


4. Planificació, gestió de recursos, representació i valoració dels resultats La resolució d’un problema és un acte creatiu, on s’avança i es torna enrera, es proven noves estratègies, s’intenta trobar més d’una via de solució, es proven casos concrets, s’intenta generalitzar... En un exercici l'alumne/a aplica de forma rutinària coneixements i mecanismes repetitius ja adquirits i fàcils d'identificar, per tant no sol comportar aspectes afectius. La resolució d'un problema requereix deliberació i exigeix una gran inversió d'energia, d'afectivitat i d'emotivitat. Es passa de l'angoixa inicial de no saber per on començar a l'alegria de trobar el camí i la solució. Tots tenen en comú el fet de partir d'una bona comprensió de l'enunciat del problema, fer la recerca d'estratègies (experimentar, fer un dibuix, simplificar-lo o particularitzar-lo, treballar la marxa endarrere, resoldre'l a trossos, pensar en problemes anàlegs...), port ar endavant l'estratègia i revisar el procés. Treballar amb aquests models a classe evita que l'alumne/a tracti el problem a com si fos un exercici. És a dir, que cerqui en la seva memòria fets o regles apropiades per aplicar i produir en una resposta ràpida sense entend re la seva significació, i si no ho aconsegueix que abandoni el problema i demani ajut al professor/a. dels/les alumnes pensen que les matemàtiques són càlculs, que fer matemàtiques significa seguir regles i que aprendre matemàtiques és, sobretot, memoritzar algorismes. Les actituds per resoldre problemes es relacionen amb les diferents fases de resolució: comprendre el problema, fer-nos un pla mental de com dur-lo a terme, realització del mateix i revisió del resultat. D’altres actituds a fomentar són aquestes: pensar en imatges visuals, adoptar un punt de vista oposat (suposar el contrari del que hom vol demostrar), completar la situació final més que no pas el seu desenvolupament, transferir relacions de continguts d’una situació a una altra, trobar alternatives, revisar els pressupostos o restriccions que plantegi el problema, definir la idea principal o dominant, descompondre la situació per a noves reestructuracions, ajornar els judicis fins tenir clar com atacar el problema, construir representacions gràfiques, trobar analogies entre problemes, raonar diferents formes de resoldre’ls... 5. Estratègies d’intervenció educativa L’objectiu de l'ensenyament de la Matemàtica a primària i a secundària no és solament dotar l'alumnat de tots aquells coneixements necessaris que són imprescindibles per al ciutadà que avui viu en una situació contínua de progrés. El que també és fonamental és proporcionaa rlos els ajuts per a què desenvolupin les seves capacitats intel·lectuals i per a què aconsegueixin unes bones actituds personals. És essencial treballar la capacitat de fer-se preguntes i prendre decisions. Treballar procediments que potenciïn la reflexió, la flexibilitat per tractar situacions, gaudir pensant, l'adquisició de confiança, perseverar en la recerca de solucions... La qual cosa es pot assolir mitjançant activitats atractives i engrescadores, que podem trobar, en el que s'anomena la saba de les matemàtiques: la resolució de problemes. Són molts els beneficis de la integració de la resolució de problemes en les nostres programacions: · proporciona les capacitats particulars de les matemàtiques: classificar, explorar, abstreure, conjecturar, generalitzar... · contribueix a la consolidació de la resta de continguts si els relacionem amb la resolució de problemes · proporciona ajuts a l'alumnat per entendre el funcionament del seu propi raonament, per dominar els seus estats d'ànim i per augmentar la confiança amb ells mateixos. Ensenyar a resoldre problemes (de tot tipus), però, no és quelcom que només s’hagi d’aprendre a l’escola; els infants, ja des de petits, troben les formes més adients d’aconseguir allò que volen, utilitzant diferents estratègies. Els pares són un mirall per als seus fills/es, de manera que aquests imiten les formes i actituds per enfrontar-se a determinades situacions i, poc a poc, van adquirint les capacitats necessàries per resoldre problemes. L’escola hauria de poder fer seves aquestes capacitats per tal de millorar-les, no només amb l’experiència (resolent problemes semblants), sinó amb l’enginy que requereix la dificultat dels problemes amb els que els haurem d’enfrontar. -5-


Les dificultats que cal superar per resoldre un problema no es poden valorar d’una manera objectiva i, per tant, provocaran respostes diverses en els diferents nois i noies a qui va dirigit. Tan difícil és que un alumne se’n faci un problema d’una qüestió que no li representa cap dificultat, com que un alumne abordi amb un cert entusiasme la resolució d’un problema sobre el qual entén molt poques coses. En tot cas, el que és evident és que el treball que els cal realitzar a aquests alumnes té característiques ben diferenciades. Els ensenyants hauríem de ser capaços de plantejar activitats i problemes molt flexibles que s’adaptessin als diferents ritmes dels alumnes, que els estimulessin segons les seves diferents capacitats i que, per tant, contribuïssin clarament en el seu procés d’aprenentatge. La resolució de problemes és una activitat adequada per realitzar-la en petits grups. Amb el treball en grup s’afavoreix la discussió, la col·laboració, la posada en comú de coneixements, i, per tant, també s’afavoreix la reflexió, la revisió, la comprovació de conjectures... El treball en grup dóna l’oportunitat als alumnes de compartir en comptes de competir i de treballar en confiança, seguint el propi ritme de treball en comptes de treballar pressionat. Els professors hauríem d’estimular els alumnes a seguir els seus propis raonaments, els quals els portaran a resoldre el problema plantejat, o a situacions sense sortida, o a resultats aparentment contradictoris, o a situacions de bloqueig. Raonaments que per altra part poden ser incorrectes o que poden partir d’errors conceptuals. Tractar aquestes situacions i convertir-les en font d’aprenentatge significatiu és el gran repte del professorat, especialment en el context de la resolució de problemes. Per altra banda, segur que aquesta dinàmica ens ajudarà en el difícil procés d’entendre com es poden elaborar conceptes matemàtics. S’hauria d’intentar que els problemes que es proposen als alumnes els suposin un repte que puguin afrontar amb confiança, sinó difícilment despertaran el seu interès. En aquest sentit pensem que cal entendre la resolució de problemes com a metodologia d’aprenentatge i no tan sols com a vehicle per ensenyar a resoldre certs tipus de problemes o aprendre certes estratègies de resolució: · utilitzar situacions lúdiques i manipulatives com a font de motivació · centrar els problemes en la pròpia realitat i adequar-los a l’edat · possibilitar el treball cooperatiu (el grup potencia l’aparició de més varietat d’estratègies resolutòries) · treballar diverses tipologies de problemes des de diferents enfocaments · potenciar l’estimació prèvia i l’aproximació de resultats · valorar més el procediment resolutori i les estratègies emprades que no pas el resultat · donar llibertat resolutòria i de línia de treball · fer un seguiment i control del procés personal d’adquisició d’estratègies resolutòries que fa l’alumnat al llarg del temps 6. Bibliografia ALSINA, C. et al. (1995): Ensenyar matemàtiques Editorial GRAÓ. Barcelona. CASTELL, T. et al. (1994): La resolució dels problemes matemàtics a l’ensenyament primari: una proposta de treball Departament d’Ensenyament-Programa d’Informàtica Educativa. Barcelona. PERALES, F.J.-SUÁREZ, P.A. (2000): Resolución de problemas Editorial Síntesis. Madrid. PÓLYA, G. (1990): Cómo plantear y resolver problemas Editorial Trillas. México DF. SEGARRA, L. (2000): Problemates Editorial GRAÓ. Barcelona.

-6-

T. 21

Recommend Documents