Índice Introducción………………………………………………………………3
1.9 sustituciones diversas………………………………………………4
1.10 aplicación de ecuaciones diferenciales del primer orden……..8
Conclusión……………………………………………………………….10
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Introducción Usualmente para resolver una ecuación diferencial, primero la identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable o lineal, por ejemplo) y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de ecuación que produzca una solución a la ecuación. Pero no es poco común que nos desoriente una ecuación diferencial porque no es de ninguna clase de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos analizados en estos temas pueden ser útiles es estos casos, ya sea como se dijo antes por sustitución pero en este caso serán diversas y ahora aquí veremos la aplicación de un ED del primer orden.
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1.9 SUSTITUCIONES DIVERSAS.
La solución de una ED se hace a través de reconocer el tipo de ecuación y a continuación se aplica un procedimiento, determinado por pasos específicos del tipo de ecuación que conduce a una función diferenciable, la cual satisface a la ED. La mayoría de las veces, el primer paso es transformarla en otra ED mediante sustitución. Suponga que se quiere transformar la EDO dy/dx =f(x, y) con la sustitución y = g(x, u), en que u se considera función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, la regla de la cadena da,
=gx(x, u)+gu(x, u) Al sustituir dy/dx con f(x, y) y ycon g(x, u) en la derivada anterior, obtenemos la nueva ED de primer orden f(x, g(x, u))=g x (x, u) + g u (x, u)
Que, después de despejar du/dx, tiene la forma…
Si podemos determinar una solución u = de esta segunda ecuación, una solución de la EDO es y = g(x, .
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USO DE SUSTITUCIONES: ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Método de solución. Una ED homogénea como M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente alguna de las dos sustituciones y = ux, o x = vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ED separable de primer orden.
EJEMPLO
Solución de una ED homogénea. Resolver (x2+ y2) dx+(x2-xy) dy = 0 SOLUCIÓN Examinando
M(x, y) = x2+ y2 y N(x, y) = x2-xy vemos que los dos coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos y=ux, entonces dy = udx+xdu y así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en…
( )
[ ]
Después de integral, se transforma en -u+2
|| || ||
Sustitución inversa
|| || Aplicando las propiedades de los logaritmos:
Ó lo que es lo mismo, (
Aunque se puede usar cualquiera de las sustituciones en toda ED homogénea, en la práctica se probará con x=vy cuando la función M(x, y) sea más simple que N(x,
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y). También puede suceder que después de aplicar una sustitución, nos encontremos con integrales difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; en este caso, si cambiamos la variable sustituida quizá podamos tener un problema más fácil de resolver. Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli
Resolver
Solución. Primero reformulamos la ecuación como sigue:
Dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n=2,
y
←regla de la cadena.
En la ecuación dada, y simplificamos. El resultado es
El factor integrante para esta ecuación lineal en, por ejemplo (0, ∞), es
∫⁄ Integramos
Y obtenemos
Como y=u-1, entonces y=1/u y, en consecuencia, una solución de la ecuación es
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Reducción a separación de variables Una ecuación diferencial de la forma
Siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables, con la sustitución B≠0.
EJEMPLO Resolver
Solución. Si hacemos que u=-5x+y, entonces du/dx =-5+dy/dx, y así la ecuación dada se transforma en…
O sea
Separamos variables, empleamos fracciones parciales e integramos.
[ ] | |
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Al despejar u de la última ecuación para restituirla,
Ó
1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
PROBEMAS DE PERSECUSIÓN EJEMPLO 1: Un esquiador acuático P localizado en el punto (a, 0) es remolcado por un bote de motor Q localizado en el origen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y, tal como se muestra en la figura 3.2. Hallar la trayectoria del esquiador si éste se dirige en todo momento hacia el bote.
SOLUCIÓN: del concepto geométrico de derivada se tiene que:
→identidad trigonométrica. Pero de la gura 3.2 se tiene que: √ Por lo tanto, √ , donde x > 0, 7
Separando las variables se tiene:
√ Por medio de la sustitución trigonométrica x = sen en el lado derecho de la E.D., se llega a que:
√ Como el esquiador arranca desde el punto (a; 0), entonces las condiciones iniciales son x = a; y = 0, sustituyendo en la solución general, se obtiene que C = 0. Luego la solución particular es:
√ EJEMPLO 2: Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es el punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados. Solución:
|| || || ||
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Conclusión
Particularmente para resolver cualquier ED, primero se identifica que tipo de ecuación es, ya sea separable o lineal.
Usualmente para resolver una ecuación diferencial, primero la identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable o lineal, por ejemplo) y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de ecuación que produzca una solución a la ecuación. También se realizan por sustituciones diversas ya sea ocupando cualquiera de los tres métodos, como homogéneas, de Bernoulli, etc., y también su aplicación de una ED del primer orden.
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