Superficie parabólica parab ólica de un fluido en revolución. Francisco Páez Larios. Facultad de Ciencias, 20 de septiembre de 2012. Universidad Nacional Autónoma de México. México. Resumen.
Se construyo un dispositivo para hacer girar un volumen de agua entorno a un eje, se tomaron tomaron fotogr fotografías afías de la forma adquirida por el agua y se analizaron analizaron posteriormente posteriormente con el uso del programa Tracker. Se verificó que la fuerza centrípeta y el peso del agua, causan que su superficie adquiera una forma de paraboloide de revolución.
Introducción.
Imagínese que se hace un corte longitudinal a un recipiente recipiente con agua y considérese un elemento volumen del líquido de masa m en su superficie; que rota uniformemente alrededor de un eje; para que se de este movimiento, se necesita de una fuerza centrípeta Fc !
F
c
tan( ! )
mx " 2
F c
=
=
mg
mg
2
"
! ) tan( !
x
=
g
ec .2
y, es la altura que el Por otra parte, si y,
2
=
De la figura 1, vemos que la tangente del ángulo ! se puede expresar como:
!mx " ec .1
dada por: Dónde x es la distancia del elemento de volumen al eje de rotación, m su masa y ! la velocidad angular a la que este gira. Las fuerzas que actúan sobre el elemento de agua son el peso W -mg, -mg, la =
fuerza centrípeta Fc y la fuerza boyante Fb.
agua toma a una distancia x del eje de rotación,por la geometría del problema, tenemos que tan(!) dy/dx, dy/dx, así que: =
2
dy dx
! =
x
g
2
dy
x dx ec .3 g
! =
Integrando la ecuación tres: 2 2
y ( x ) ( x
! =
x
g 2 g
ec .4
La ecuación 4, es una función que y que tomará el determina la altura y agua a una distancia x del eje de rotación cuando se tienes una velocidad angular ! dada; de esto se sigue que la forma de la superficie adquirida por el corte a la superficie de agua es una parábola. Figura 1. Fuerzas Fuerzas actuando actuand o sobre el agua.
Desarrollo experimental.
El arreglo experimental, consistió en un dispositivo para hacer girar un recipiente con agua entorno a un eje fijo. El dispositivo se construyó con un motor eléctrico y una probeta no graduada de 10 cm de diámetro construida en la facultad de ciencias; la probeta se sujetó mediante una pieza de madera atornil lada al eje del motor en la que se colocó plastilina para cómo adhesivo. El motor era alimentado por una fuente de tensión variable de 0 a 200 V, para variar la velocidad del motor sólo era necesario cambiar esta tensión.
resolución 0.0001 s, con la que se midió el tiempo T necesario para que se completara una revolución, de esta manera la velocidad angular !1, esta dada por: 2 " !
1
=
T ec .5
Para analizar la forma tomada por el agua en estas condiciones, se tomaron fotografías de la curva y se analizaron con Tracker, un software que permite el análisis de la cinemática de cuerpos capturados en fotografía y video. Para la adquisición de datos, la velocidad angular del motor se varió 8 veces. La fotografía de cada una, se tomó hasta el momento en el que la superficie del agua se volvió estable y para cada una de estas velocidades angulares, el tiempo T se midió 5 veces . Resultados.
Con el uso de Tracker, para cada velocidad angular, se ajustaron puntos a la superficie del agua, que después se analizaron con el programa Mathematica 7; este análisis consistió en hacer un ajuste de la forma y cx2 a =
cada serie de puntos, ya que de ésta manera teniendo el coeficiente c, es
Figura 2. Arreglo experimental.
Una vez ensamblado el dispositivo, se vertió agua en la probeta y se puso a girar el motor; al comienzo se observó inestabilidad en el agua y precesión en la probeta, pero debido a la viscosidad del agua después de un tiempo estos efectos desaparecieron, cuando la probeta se estabilizó, se observó que el agua en el interior adquiría una forma curva que se mantenía con el tiempo. Para medir la velocidad angular, se usó un a fo toco mp ue rt a PAS CO de
posible comparar la velocidad angular !1 obtenida de la medición con la fotocompuerta, con el valor de !2 dado por: !
2
=
2 gc ec .6
Las siguientes gráficas, muestran la dispersión de puntos y el ajuste de cada fotografía; El coeficiente c encontrado para cada una, la velocidad angular obtenida de él y la obtenida con la fotocompuerta, se muestran en la tabla 1; Por experiencia de trabajos anteriores, el valor de la incertidumbre
para cada coeficiente c, se estima de 5%; esto es por que Tracker no proporciona información alguna acerca de la incertidumbre que su uso genera; las incertidumbres U(!1) y U(!2) para los valores de !1 y !2, se obtuvieron con la ley de propagación de la in cer ti du mb re a par ti r de l a incertidumbre combinada de cada variable.
Fotografía
"1
U("1)
c
"2
U("2)
1
36.68
0.011
0.416
28.44
3.42
2
34.47
0.001
0.381
27.22
3.57
3
32.48
0.006
0.486
30.74
3.16
4
30.32
0.002
0.383
27.29
3.56
5
27.84
0.001
0.336
25.56
3.80
6
25.44
0.004
0.293
23.87
4.07
7
22.40
0.016
0.208
20.11
4.83
8
15.24
0.001
0.079
12.39
7.84
Tabla 1. Velocidad angular ω1 medida con la fotocompuerta y ω2 obtenida a partir de c.
Discusión.
De las gráficas anteriores, observamos que para las fotografías 1 y 2 el modelo de una parábola no se ajusta como se esperaba a la superficie del agua, en estos 2 casos, la rama izquierda de la parábola, se desvía de los puntos notablemente,en un máximo de 3 cm; sin embargo, la rama derecha de la parábola alcanza los intervalos de incertidumbre de los puntos, y ma nt i en e s u mi sm o pat rón , comportándose para las fotos 1 y 2 casi paralela a los puntos. Estos dos comportamientos, los podemos ver reflejados en que la diferencia entre !1 y !2 no alcanza a ser cubierta por los intervalos de incertidumbre. De las gráficas siguientes, vemos que este efecto desaparece al disminuir la velocidad angular, lo que lleva a pensar que debido a esta, hay un efecto
secundario que no se esta tomando en cuenta; la primer sospecha que se tiene, es que la precesión e inestabilidad de la probeta, causaron la inclinación del dispositivo y esto a su vez causó estos efectos. Los ajustes hechos a las dispersiones de puntos de las fotografías restantes, muestran que el modelo predicho se comporta sat is fac tor iam ent e, presentando una desviación máxima de 0. 3 cm de lo es pera do ,e st as desviaciones de los puntos respecto al ajuste, es mínima y conservan una misma trayectoria. El hecho de que para ninguna fotografía el punto mas bajo coincida con el origen, puede ser originado por efectos de turbulencia o bien, variaciones en la perspectiva al tomar la fotografía y analizarla con Tracker; además hay que considerar que la viscosidad del aire puede tener efectos sobre la superficie del agua, intuitivamente, estos efectos serían de mayor intensidad a una velocidad angular mas alta, lo que es consistente con los ajustes para las primeras 2 fotografías. En la tabla 1, se muestra que las velocidades angulares obtenidas con la fotocompuerta y el ajuste, varían de una forma considerable, no obstante los los intervalos de incertidumbre cubren esta diferencia. Observamos que la desviación entre !1 y !2 disminuye conforme estas toman valores más bajos ,y se destaca que el ajuste hecho a los puntos mejora; esto da mas peso a la hipótesis de que los efectos de la precesión, la turbulencia del agua y l o s e f e c t o s d e l a i r e i n fl u y e n directamente en la superficie del agua. Conclusiones.
Se concluye que el modelo de una parábola describe adecuadamente la
superficie del agua en rotación, justificamos este hecho con los ajustes hechos la superficie; todos mantiene un mi s mo pat rón y s e aj u s t an adecuadamente a una parábola, incluso en los casos en los que la velocidad angular es alta, por lo menos una rama de la parábola describe bien los puntos y para velocidades angulares mas bajas el modelo describe consistentemente a la superficie.
Bibliografía.
J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física, UNAM, México, 2000). • Hugh D. Young, University Physics (Addison-Wesley, USA, 1992). • Z Sˇabatka and L Dvorˇa " k, 2010 Simple verification of the parabolic shape of a rotating liquid and a boat on its surface, Physics Education. •
