CAMPO DE ACELERACIONES DE UN FLUIDO Luis Daniel Sánchez Franco - 20131135089 Universidad Distrital Francisco José de Caldas
[email protected] Resumen En este artículo se explicará que en la mecánica de fluidos existe una relación diferencial para una partícula en un fluido, se analizará la aceleración de un campo vectorial de velocidades euleriano y se estudiará un ejemplo no estacionario usando el método euleriano con un fluido ideal, así mismo con el método lagrangiano. Se probará por medio de una práctica experimental que estos métodos funcionan para estudiar un fluido estacionario y no estacionario.
Palabras claves: Experimental, campo vectorial, euleriano, lagrangiano.
Abstract This article will explain that in fluid mechanics there is a differential relation for a particle in a fluid, the acceleration of a vector field Eulerian speed will be analyzed and a nonstationary example will be studied using the Eulerian method with an ideal fluid, and same with the Lagrangian method. It will be tested by an experimental practice these methods work to study a stationary and nonstationary fluid.
Keywords: Experimental, vector, Eulerian , Lagrangian field
1. Introducción
Se sabe que George Stoke definió un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido, para ello es necesario tener conocimientos previos acerca de derivada sustancial o material, guiandonos con el procedimiento que sigue José de Echegaray para demostrar la derivada derivada
material y usando coordenadas de euler para asi hallar la aceleración para dichas coordenadas.
Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial, por lo tanto un campo de aceleraciones de un fluido significa como hallar la aceleración de dicho fluido, se muestra un breve ejemplo de un campo vectorial de velocidades euleriano no estacionario, se representa la ecuación de la aceleración por el método euleriano y el método langraniano, explicando en si sus definiciones internas de las demostraciones tales como la aceleración local, la aceleración convectiva, entre otros.
La descripción euleriana para un fluido fluyente es un volumen finito o un volumen de control de control a través del cual un fluido fluye hacia dentro o hacia fuera, aquí se define las variables de campo como el campo de presión y de velocidad en cualquier instante; Diferente a la descripción langrangiana, donde se usan partículas puntuales o una particula fluida, es decir, se sigue una masa fija para hallar dicho movimiento. La diferencia entre lagrangiana y euleriana es que la euleriana no necesita seguir el rastro de la posición y la velocidad de una masa fija de partículas de fluido. Es clave tener claro que la ecuación de euler se deriva para flujo general tridimensional, y se limita el flujo a una línea de corriente, se presentan dos derivaciones a la ecuación de movimiento de euler, la primera se desarrolla usando el volumen de control como ya senombró, el segndo enfoque es el de la segunda ley de movimiento de newton pero no entraremos a profundizar en ello.
2. Demostración 2
Para entender un poco más las gràficas es conveniente definir que es la línea de corriente: es aquella línea que pasa por un campo de flujo de manera que el vector velocidad es tangente a cada punto a lo largo de esta. Esta tangente es la que me indica la dirección del vector velocidad.
Se observa en la imagen que en la línea de corriente del campo de flujo va en la misma dirección, siempre que sea así el campo de velocidades por el dr será igual a cero
=0 En el marco de referencia euleriano se define como campo estacionario o permanente de flujo, cuando el campo no cambia respecto al tiempo, por lo tanto los diferentes puntos tienen la misma velocidad. Sopongamos un flujo estacionario: La velocidad en cada punto es constante en el tiempo
2.1 Método euleriano
Este método euleriano se asemeja al estudio de un volumen de control ya que tomamos un flujo determinado y se crean variables de campo, a diferencia del lagrangiano ya que este toma cada partícula por separado. Campo de velocidades función de la posición y el tiempo
, = ,,, + ,,, +,,, Gradiente 3
= + + Producto escalar entre V y el operador gradiente
∙ = + + Aplicando la segunda ley de newton a un sistema fluido infinitesimal, derivada total del vector velocidad con respecto al tiempo
+ + = = Se deriva en cadena
,,, = + + + Dx/dt es la componente de u de la velocidad local y dy/dt=v , dz/dt=w entonces derivada total de u,v,w .
= + + + = + ∙ = + + + = + ∙ 4
= + + + = + ∙ Se suman las expresiones para formar un vector y se obtiene la aeleracion total:
+ + + = + ∙ = = Donde
Es la aceleración total que se anula cuando el flujo es estacionario y es independiente del tiempo y
+ ) ( + La aceleración convectiva aparece cuando la particula se mueve a atraves de regiones donde la velocidad varia.
La derivada total temporal (derivada sustancial o material) es aplicable a cualquier varible como la presión:
= + ( + + ) = + ∙ ∇ 2.2 Método langrangiano
5
Se deriva en cadena:
Componentes de la aceleración son:
O también llamada aceleraciónde transporte. La aceleración de la partícula de fluido es la derivada respecto al tiempo de la velocidad:
Sin embargo, en cualquier instante t, la velocidad de la partícula es igual al valor local del campo de velocidad en la ubicación (xpartículas (t), ypartículas (t), zpartículas (t)) de la misma, ya que, por definición, la partícula de fluido se desplaza con el propio fluido. Si el sistema coordenado adoptado es de línea se puede escribir:
Se deriva en cadena: 6
Se reduce a:
Aceleración total = aceleración convectiva + aceleración local 3. Ejemplo
Aceleracion de un campo vectorial de velocidades euleriano
= 3 + + Componenetes no estacionarios de la velocidad
=3,=,= Aceleración local
= + + = 3+ + =3+0+ 7
Aceleración convectiva o de transporte
3 + + = 3 = 30++0 = 3 3 + + = = 0+0+2 = 2 3 + + = ^2 = 0++0 = Se obtiene la derivada total agrupando los terminos
= + + + = 3 + + 3 + 2 + + ∙ = 3 + 3+ + + 2 4. Conclusiones 8
Se concluye que en un campo estacionario de flujo, en el marco de referencia euleriano es posible que una partícula de flujo experimente una aceleración diferente de cero y esto debido a la aceleración conectiva o también llamada de transporte ya que sen derivó con respecto a cada una de las variables (u,v,w). Independientemente del marco bien sea lagrangiano o euleriano cuando se habla de un fluido permanente se dice que no cambia respecto el tiempo, siendo las líneas de corriente las que indican la dirección en un instante del movimiento del fluido, en todo campo de flujo. NOTA:
Por razones externas a la academia, no se pudo realizar la práctica experimental por causa de bloqueos en los laboratorios de la universidad, sin embargo, se realizará una vez los bloqueos terminen y esté disponible el espacio para obtenr datos y corroborar con la teoría.
Referencias
-
YUNUS, Çengel. Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones. p. 9 – 11. p. 122-128. -
Apostol, Thom. Calculus. Vol. II. p. 316-318. p. 328-331.
-
[Citado
el
12
de
Marzo
de
2016]
Disponible
en
<
en
<
http://fluidos.eia.edu.co/fluidos/cinematica/aceleracion.htm >. -
[Citado
el
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Disponible
http://www.astro.ugto.mx/~papaqui/ondasyfluidos/Tema_2.07Lagrange_y_Euler.pdf >.
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