Suma Inferior, superior y de Riemman

La suma de Riemann Prof. Martínez, Rolando Ramón 2015

2

Dedicado a mi esposa, quien soportó que yo escriba un texto de matemática en vacaciones.

ÍNDICE

4

Índice 1. Conceptos preliminares

8

1.1. Extremos en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. .1.1. Int Intervalo alos y conjuntos acotado ados . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1. .1.3. Propiedades de los los extremos . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2. Suma inferior y superior

23

2.1. Partición de un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. .1.2. Com Compara aración de partic ticiones . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.3. Norma y cantidad de puntos . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.4. Ubicación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Suma inferior y super perior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1. 2.2.1. Suma Suma infer inferior ior y super superior ior para para funci funcione oness no no negati negativ vas . .

31

2.2. .2.2. Int Interpretac tación ión geom geoméétri trica . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.3. 2.2.3. Suma Suma infe inferio riorr y super superior ior para para ffunc uncion iones es no positiv positivas as . .

55

2.2. 2.2.4. 4. Suma Suma infe inferi rior or y supe superi rior or para para func funcio ione ness . . . . . . . . .

57

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3. Suma de Riemann

69

3.1. La suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.1.1. Análisis de un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.1. 3.1.2. 2. Rela Relaci ción ón con con la suma suma supe superi rior or e infe inferi rior or . . . . . . . . .

71

ÍNDICE

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Índice alfabético

5 74

76

Introducción La motivación del siguiente cuadernillo es proveer a los alumnos del ISFDyT

"Víctor Manuel Almenara" de un texto básico sobre suma inferior, superior y suma de Riemann, tema utilizado en los espacios de Análisis Matemático I y II, de la carrera de Profesorado de Educación Secundaria en Matemática. Los temas tratados son complementarios a los que se desarrollan en las clases teóricas, por lo que este cuadernillo es un agregado esencial para entender muchos de los conceptos tratados en la unidad curricular. El presente artículo, trata específicamente la Suma de Riemann , a partir del uso de sumas superiores e inferiores de una función acotada. acotada. En primer lugar, se tratarán esos temas a partir del estudio de funciones no negativas. Esto es, a causa de brindar un significado geométrico, que permita una mayor comprensión del objeto matemático estudiado. Luego, se avanzará en el estudio de funciones no positivas, para luego generalizar la suma superior e inferior para

⊂ R.

cualquier tipo de funciones definidas en un intervalo cerrado [a; b]

Por último, se definirá y estudiará la Suma de Riemann como antesala del cálculo de integrales definidas, tema que no se tratará en este texto. Este material contiene bastantes ejercicios para que el lector, pueda practicar teniendo en cuenta los conceptos tratados. Además, se podrá observar una cantidad interesante de ejemplos luego de cada desarrollo, a partir de los cuales, se intenta que quien lee este texto, pueda ir comprendiendo los conceptos trabajados. Rolando Rolando Ramón Martínez

1

CONCEP CONCEPTOS TOS PRELIM PRELIMINAR INARES ES

8

SECCIÓN 1

Conceptos preliminares SUBSECCIÓN 1.1

Extremos Extremos en un conjun conjunto to

1.1.1. 1.1.1. Interv Intervalos alos y conjun conjuntos tos acotados acotados Antes de abordar los temas que se tratarán en el presente texto, es necesario, recordar recordar algunos conceptos conceptos básicos para poder entender entender lo que se desarrollar desarrollaráá en las secciones posteriores. Estos conceptos, tienen relación con los extremos de un subconjunto A

⊂ R.

Definición 1. Llamaremos intervalo abierto (a; b), con a < b al conjunto

{ ∈ R/a < x < b}

(a; b) = x

Al número a se lo denominará extremo izquierdo y al número b, extremo derecho del intervalo.

En otras palabras, un intervalo está formado por todos los números reales comprendidos entre dos valores a y b. Este tipo de intervalos nos interesará particularmente para definir lo que llamaremos un conjunto acotado . También, definimos los siguientes intervalos:

Definición 2. Siendo a < b, llamaremos:

Intervalo cerrado: [a; b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b }

Intervalo abierto a izquierda: (a; b] = {x ∈ R/a < x ≤ b }

1


9

Intervalo abierto a derecha: [a; b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} En este texto, y para lo que vamos a necesitar de ahora en más, nos interesarán particularmente los intervalos abiertos y los intervalos cerrados. Es por ello que no generalizar generalizaremos emos la definición definición de interv intervalo alo cuando cuando los extremos son infinitos. Los intervalos abiertos los utilizaremos para determinar si una función es acotada o no. Los intervalos cerrados utilizaremos para definir sobre ellos, funciones continuas o no, con el fin de calcular las sumas superiores, inferiores y de Riemann. Un tipo de subconjunto especial de la recta real, son los conjuntos acotados . En términos poco matemáticos, un conjunto acotado es aquel al que se lo puede incluir en un intervalo abierto cualquiera. En otras palabras, un conjunto será acotado si no escapa de ese intervalo abierto.

Definición 3. Sea A ⊂ R.

Se dirá que A es acotado ⇔ ∃a ∈ R, ∃b ∈ R/A ⊂ (a (a; b) Analicemos algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Sea A = N. Claramente N ⊂ R, sin embargo no existen dos números reales a y b tales que N

( a; b) ⊂ (a

Sea A = = [2; [2; 5]. 5]. Se tiene que [2 que [2;; 5] ⊂ R, y como [2 como [2;; 5] ⊂ ( −1;8) se 1;8) se Ejemplo 2. Sea A tiene que el intervalo cerrado [2;5] cerrado [2;5] es es un conjunto acotado.

Ejemplo 3. Sea A = [a; b] un intervalo cerrado cualquiera. Dado cualquier valor  valor  > 0 se 0 se tiene que a que a

que b +  > b, de donde [ donde [a a; b] ⊂ (a ( a − ; b + ) −  < a y que b

y por lo tanto, el intervalo cerrado [ cerrado [a a; b] es un conjunto acotado.

1


10

Figura 1: Intervalo cerrado [ cerrado [a a; b] función f ((x) = x 3 , definimos el conjunto A conjunto A de de la siguienEjemplo 4. Dada la función f te manera: A = f ( f (x)

{

∈ R/x ∈ [−1;2]}. En otras palabras, A está formado

por las imágenes de los valores de x que pertenecen al intervalo [1;3] usando la función f función f .. Claramente, A Claramente, A

1;8]. Al ser un intervalo ⊂ R y además es A = [−1;8].

cerrado, A cerrado, A es un conjunto acotado. Nótese que A que A debe ubicarse gráficamente sobre el eje real y real y.. (Véase figura 2) M está ∈ Q /q = n1 ; ∀n ∈ N }. En otras palabras, M Ejemplo 5. Sea M = {q ∈ formado por las fracciones de numerador igual a 1. Este conjunto M M puede incluirse en el intervalo (0 intervalo (0;; 2) por 2) por lo que se tiene que M que M es es un conjunto acotado. (Véase figura 3) ¿Por qué no se puede decir que M (0; (0; 1)? 1)?

⊂ ⊂

Sea P = { p ∈ R/p es /p es un número par}. Este conjunto P conjunto P no no puede Ejemplo 6. Sea P incluirse en ningún intervalo ( intervalo (a a; b) por lo que se tiene que P no P no es un conjunto acotado. número real real a cualquiera, definiremos como intervalo Ejemplo 7. Dado un número

{ ∈ R/a ≤ r} = [a; +∞). Este conjunto no

semiabierto, al conjunto R = r

puede incluirse en ningún intervalo (a; b) por lo que se tiene que R no es un conjunto acotado. conjuntoo S = = [2;4) ∪ {6}. Este conjunto puede incluirse Ejemplo 8. Sea el conjunt en el intervalo (0 intervalo (0;; 7) por 7) por ejemplo, y por lo tanto se tiene que S que S es es un conjunto acotado.

1


11

∈ R/x ∈ [−1;2]}

Figura 2: El conjunto A conjunto A = = f ( f (x)

{

Figura 3: Idea de la representación gráfica del conjunto M conjunto M

1


12

Como el lector pudo observar, hay una infinidad de conjuntos que pueden ser acotados o no. De todos ellos, nos interesarán especialmente los conjuntos dados por las imágenes de funciones, tales como el analizado en el ejemplo 4. A partir de este ejemplo, enunciamos la siguiente:

Definición 4. Una función se dirá acotada, si y solo si existen dos números

reales a y b tales que f ( f (x) ∈ (a ( a; b) para todo x ∈ D mf . En otras palabras, una función será acotada si las imágenes pueden incluirse en algún intervalo abierto ( abierto (a a; b). Esto es importante, puesto que para calcular las sumas superior, inferior y de Riemann, necesitaremos que las funciones estén acotadas. función f ((x) = sen( sen(x) es una función acotada. ¿Por qué? Ejemplo 9. La función f función f ((x) = c, con c ∈ R, es decir, una función constante, Ejemplo 10. La función f es una función acotada. f definida en el ejemplo 4 es una función acotada. Ejemplo 11. La función f definida /g(x) = x 2 no es una función acotada. Ejemplo 12. La función g : R → R/g( /g(x) = x2 es una función acotada. Ejemplo 13. La función g : [0;2] → R /g( ¿Por qué? Enunciamos algunos teoremas cuyas demostraciones quedan a cargo del lector y que pasarán a formar parte de la lista de ejercicios.

1


13

Teorema 1.1. Si A y B son dos conjuntos no vacíos y acotados, en-

tonces: 1. A ∪ B es un conjunto acotado 2. A ∩ B es un conjunto acotado Demostración. La demostración se deja como ejercicio. Teorema 1.2. El conjunto vacío es un conjunto acotado.

Demostración. La demostración se deja como ejercicio. 1.1.2. 1.1.2. Extrem Extremos os A partir de lo analizado anteriormente, definiremos algunos conceptos importantes para entender lo que sigue en el texto. Estos conceptos (cota, ínfimo, supremo, etc.) serán la base sobre las cuales asentaremos las secciones posteriores. Si tenemos un subconjunto real A cualquiera, interesa saber si existe algún valor real k real k que que sea mayor que sus elementos. Obviamente si tal número existe no será único. Definamos pues lo que deberemos entender por cota de un conjunto:

Definición 5. Dado un conjunto A ⊂ R, se llamará cota superior del conjun-

to A al número k ∈ R tal que x ≤ k; k ; ∀x ∈ A.

1


14

Definición 6. Dado un conjunto A ⊂ R, se llamará cota inferior del conjunto A al número k

x ; ∀x ∈ A . ∈ R tal que k ≤ x;

En otras palabras, la cota superior de un conjunto, es un valor que supera o es igual a todos los valores de dicho conjunto. De la misma manera, la cota

inferior de de un conjunto, es un valor que es igual o que superan todos los valores de dicho conjunto. conjunto B = [0; [0; 2] tiene 2] tiene por cota superior a 5 por ejemplo. Ejemplo 14. El conjunto B Y tiene, por cota inferior a -2 por ejemplo. conjunto C = {−1} ∪ (1;2] ∪ {3}. Este conjunto tiene Ejemplo 15. Sea el conjunto por cota superior a cualquier valor mayor o igual a 3 y por cota superior a cualquier valor menor o igual a -1. El 2,5 no es una cota superior del conjunto puesto que si bien supera a casi todos los elementos de C , resulta que es menor que el 3, y 3 es un elemento de C . Por ello no puede considerarse una cota superior. De la misma manera, resulta que 0, no puede considerarse una cota inferior, puesto que existe un elemento del conjunto C , (el -1) que es menor que 0. Estos valores llamados cotas no no son únicos, puesto que por ejemplo, cualquier valor mayor o igual a 2 es una cota superior del conjunto B del ejemplo anterior. De la misma manera, cualquier valor menor o igual a 0, es una cota inferior del conjunto B conjunto B . De todas las cotas de un conjunto nos interesarán solamente dos. La menor de todas las cotas superiores y la mayor de todas las cotas inferiores.

Definición 7. Se llamará ínfimo del conjunto A , a la cota inferior i de A tal

1


15

que k ≤ i; i ; ∀k cota inferior de A. Es decir, el ínfimo de un conjunto es la mayor de todas las cotas inferiores del mismo. Este ínfimo, puede o no pertenecer al conjunto. (0;2] tiene como ínfimo a 0, y este valor no Ejemplo 16. El conjunto B = (0;2] tiene es un elemento del conjunto.

√

función h h : [1; [1; 3) → R/h( /h(x) = x. Ejemplo 17. Sea la función Sea el conjunto C conjunto C = h(x)

{

[1; 3)}. ∈ R/x ∈ [1;

El conjunto así definido tiene un ínfimo que es el número 1, y este valor es un elemento de C de C .. De la misma manera, se define el supremo de un conjunto.

Definición 8. Se llamará supremo del conjunto A, a la cota superior s tal

que s ≤ k; k ; ∀k cota superior de A. Es decir, el supremo de un conjunto es la menor de todas las cotas superiores del mismo. Este supremo, al igual que lo que sucede con el ínfimo de un conjunto, puede o no pertenecer a éste. supremo del conjunto conjunto B B analizado en el ejemplo 16 es el 2, Ejemplo 18. El supremo y este valor es un elemento del conjunto. supremo del conjunto conjunto C analizado C analizado en el ejemplo 17 es Ejemplo 19. El supremo y este valor no es un elemento del conjunto.

√ 3,

1


16

Definició Definición n 9. Dado un conjunto A, el número M se llamará máximo del

conjunto si y solo si M es supremo y M ∈ ∈ A.

Dado un conjunto A, el número m se llamará mínimo del conjunto si y solo si m es ínfimo y m ∈ A . En otras palabras, el máximo de un conjunto es su supremo pero si es que pertenece a dicho conjunto. Y el mínimo será el ínfimo del conjunto pero si es que pertenece a dicho conjunto. Si bien, todos los conjuntos tienen supremo e ínfimo, no todos tienen máximos, mínimos o ambos. Todo depende si el supremo o el ínfimo pertenecen a él.

Si tenemos un conjunto A

si k es cota superior, k superior, k  es cota inferior, i inferior, i su ⊂ R y si k

ínfimo y s y s su su supremo, en base a las definiciones presentadas anteriormente se tiene que k

≤ i ≤ x ≤ s ≤ k; k ; ∀x ∈ A

.

Ejemplo 20. Todo intervalo abierto (a; b) tiene ínfimo y supremo, pero no máximo ni mínimo. cerrado [a a; b] tiene máximo y mínimo. Ejemplo 21. Todo intervalo cerrado [ función del ejemplo ejemplo 4 es 8 y su mínimo es -1. Ejemplo 22. El máximo de la función (Ver figura 2) M del ejemplo 5 tiene a 1 como máximo y a 0 Ejemplo 23. El conjunto M como ínfimo. (Ver figura 3)

1


17

1.1.3. 1.1.3. Propieda Propiedades des de los extremos extremos En este apartado, enunciaremos algunas propiedades básicas que tienen los extremos de un conjunto. Algunas de ellas, muy obvias, y otras no tanto. Las cotas de un conjunto, como vimos anteriormente, no son únicas. De hecho, si un conjunto tiene un cota superior, tiene infinitas cotas superiores. Ahora bien, ¿qué ocurre con el supremo de un conjunto? Para responder a esta pregunta, enunciamos el siguiente:

Teorema 1.3. Un conjunto acotado superiormente, no puede tener dos

supremos s y s distintos. En otras palabras, si un conjunto tiene supremo, éste es único. Demostración. Sea el conjunto M conjunto M acotado acotado superiormen superiormente. te. Y supongamos supongamos por p or ahora, que el conjunto M M tiene dos supremos, digamos s y s . Como s y s son supremos, entonces son también cotas superiores del conjunto. Ahora bien, como s como s es es supremo y sabiendo que s que s es cota superior, resulta que por definición de supremo, se tiene que s

≤ s.

1

De la misma manera, como s es supremo y sabiendo que s es cota superior, resulta que por definición de supremo, se tiene que s

s . 2 ≤ s.

De 1 y 2 se ti tiene qu que s = s . Es decir, el supremo de un conjunto es único. De la misma manera, el ínfimo de un conjunto, si existe es único, tal como lo afirma el siguiente:

Teorema 1.4. Un conjunto acotado inferiormente, no puede tener dos

ínfimos i e i distintos.

1


18

Demostración. La demostración queda a cargo del lector. Como corolario de los teoremas 1.3 y 1.4 se tiene que:

Corolario 1. Si un conjunto tiene máximo (o mínimo), este es único. Otra característica básica de un supremo o de un ínfimo, es su relación con los elementos del conjunto. Es por ello que enunciamos dos teoremas más sobre estos conceptos.

Teorema 1.5. Dado un conjunto M ⊂ R, acotado superiormente, se

tiene que si s es el supremo del conjunto M , entonces M /s −  < x. ∀ > 0 : ∃x ∈ M/s

Demostración. En efecto, como s es el supremo del conjunto M M se tiene que s . Por otro lado, se tiene que ∀ > 0 : s −  < s. A ∀x ∈ M : x ≤ s. Supongamos ahora que no existe ningún x ∈ M M tal que s −  < x, de donde resulta que debería ocurrir que x que x ≤ s − . En otras palabras s palabras s −  es una cota superior del conjunto M conjunto M y y por lo tanto, hemos hallado una cota superior que es meno menorr por A que el supr supremo emo s s.. Y como consecuencia de esto s esto s no sería el supremo de M de M .. Absurdo. Absurdo. Se tiene entonces que  > 0 : x M/s M /s

∀

∃ ∈

Figura 4: s 4: s

−  < x.

−
1


Teorema 1.6. Dado un conjunto M

19

⊂ R, acotado inferiormente, se

tiene que si i es el ínfimo del conjunto M , entonces

∀ > 0 : ∃x ∈ M/i M /i + +   > x. Demostración. La demostración es análoga a la del teorema anterior. Teorema 1.7. Si el conjunto M ⊂ ⊂ R es acotado, entonces M tiene cota

superior e inferior.

Demostración. La demostración queda como ejercicio para el lector. Teorema 1.8. Sea A un conjunto, M y m su máximo y mínimo res-

pectivamente. Entonces el conjunto A tiene un sólo elemento si y solo si m = M = M . Demostración. La demostración queda como ejercicio para el lector.

1


SUBSECCIÓN 1.2

20

Ejercicios

1. Indique Indique para cada conjunto conjunto dado, si es acotado o no. Justifique Justifique su respuesta.

a ) A = Z b) B = {x ∈ R/ − 1 ≤ x < 3} c ) C = {f ( f (x) ∈ R/f (x) = 2x con 1 con 1 < < x < 3 } d ) D = [−3; 23 ) ∪ (1;10) e ) E = {f ( f (x) ∈ R/f (x) = cos(x cos(x)} 2. Sea A

B . Si B es un conjunto acotado, entonces ¿A ¿A es acotado?

⊂

Si la respuesta es si, demostrarlo. Si la respuesta es no, proponer un contraejemplo. 3. Indica Indica si las siguiente siguientess afirmaciones afirmaciones son verdaderas verdaderas o falsas. falsas. Justificar. Justificar. 1 x b) La funcion f funcion f : : [1;4]

a ) La función g función g (x) = es acotada.

→ R/f (x) = x − 1 es acotada.

c ) La función h función h((x) =

4 es acotada. 1 + x + x2

4. Escriba Escriba al menos tres cotas superiores superiores y tres cotas inferiore inferioress de los con juntos que sean acotados del ejercicio 1. 5. Hal Halle le al menos menos dos cotas superiore superioress y dos inferior inferiores es de los siguie siguient ntes es conjuntos:

a ) A = {x ∈ R/|x − 2| < 3 < 3 } b) B = {x ∈ Z/0 < |x − 3| ≤ 5 } m

c ) C =



i=1

1 1 ; i + 1 i



1

CONCEP CONCEPTOS TOS PRELIM PRELIMINAR INARES ES m

d ) D =



i=1

21

1 ;1 i + 1



6. Halle el supremo supremo e ínfimo de los conjuntos conjuntos del ejercicio ejercicio anterior. anterior. 7. Dada Dada la funció función n g(t) : [2;4]

→ R tal que

g(t) =

  

0 si t = 2, 5



1 si t = 2, 5

a ) Escriba Escriba el conjunto conjunto D = Img g (Es decir el conjunto imagen de la función)

b) Grafique Grafique la función en un sistema de ejes cartesianos. cartesianos. c ) Determine Determine si la función función g es acotada o no. d ) Si la función es acotada encuentr encuentree el supremo supremo e ínfimo de la función. función. Encuentre también los extremos del dominio de la función g función g . 8. Dada Dada la funció función n

h(s) =

  

sen( sen(s) si s =



π

1 si s =

π

2

2

∀ ∈ Z

+ kπ, kπ , k

∀ ∈ Z

+ kπ, kπ , k

a ) Grafique Grafique la función. función. b) ¿Es acotada la función h(s)?

c ) Si la función es acotada, encuentre encuentre el supremo e ínfimo de la función. Indique si la función tiene máximo y mínimo. 9. Dada Dada la funció función n f : [ 2;2]

−

→ R tal que

f ( f (x) =

  

x si x

∈ R−Q

0 si x

∈Q

1


22

a ) Grafique Grafique la función. función. b) ¿Es acotada la función? c ) Si la función es acotada, encuentre encuentre el supremo e ínfimo de la función. Indique si la función tiene máximo y mínimo. 10. Dado el conjunt conjuntoo A = [0; [0; 1]

− Q.

a ) Encontrar Encontrar al menos tres cotas superiores superiores y tres cotas inferiores inferiores del conjunto A. A .

b) Escriba Escriba el supremo e ínfimo del conjunto. conjunto. ¿Tiene mínimo mínimo y máximo ese conjunto? Justificar.

2

SUMA SUMA INFE INFERIO RIOR R Y SUPERI SUPERIOR OR

23

SECCIÓN 2

Suma inferior y superior SUBSECCIÓN 2.1

Partición Partición de un intervalo intervalo

2.1.1. 2.1.1. Partici articion ones es [ a; b], se llamará Partición Partición del intervalo Definición 10. Dado un intervalo real [a

al conjunto de puntos ti de [a; b] de manera tal que P = t0 = a = a;; t1 ; t2 ;

{

··· ;t − ;t n 1

= b n = b

}.

Estos puntos determinan en [ en [a a; b], n subintervalos [ subintervalos [tti−1 ; ti ], de tal manera que se cumple

n



[ti−1 ; ti ] = [a; b].

i=1

t0

=

a

t1

t2

t3

...

tn−1

tn

=

b

Figura 5: Partición del intervalo [ intervalo [a a; b]. Es obvio que para cada intervalo [a; b], existen infinitas particiones, depende de cómo se eligen los puntos ti . Así por ejemplo, para el intervalo [-1; 2] se tienen las particiones: P 1 =

{−1;0;2}

2


P 2 =

{−1;1;1, 1;1;1, 5; 1, 7; 2}

P 3 =

{−1; −0, 5;0;0, 5;0;0, 5;1;1, 5;1;1, 5; 2}

24

Como puede apreciarse en los ejemplos anteriores, no es necesario que los puntos estén a la misma distancia entre sí. Lo que importa para que un conjunto de puntos de un intervalo pueda llamarse Partición es es que el primero de ellos, sea igual a a y el último, sea igual a b. En los ejemplos precedentes, se puede apreciar que solo P 3 tiene todos sus puntos a la misma distancia entre sí. Definamos, dos conceptos más que serán de mucha utilidad. El primer concepto es el de longitud del intervalo.

= t i − ti−1 . Definición 11. Llamaremos longitud del intervalo [ti−1 ; ti ] a ∆ti = t

Entonces, tomando como ejemplo a la partición P partición P 1 anterior, tenemos que: ∆t1 = 0

− (−1) = 1

∆t2 = 2

−0 =2

Si tomamos la partición P 2 , tenemos que: ∆t1 = 1

− (−1) = 2

∆t2 = 1, 5

− 1 = 0, 5

∆t3 = 1, 7

− 1, 5 = 0,0 , 2

∆t4 = 2

− 1, 7 = 0, 3

2


25

En la partición P 3 es claro que ∆ti = 0, 5; i

∀

El segundo concepto es el de norma de una partición.

Definición 12. Llamaremos Norma de la partición P y lo denotaremos como

P  a P  = máx ax{∆t , i = 1; 1; 2;3; · · · ; n} i

Así, tenemos que:

P  = 2 1

P  = 2 2

P  = 0, 5 3

A estas alturas, resulta claro que: n

 Teorema 2.1.

∆ti = b = b

i=1

−a

Demostración. La demostración queda como ejercicio. Teorema 2.2. Dado el intervalo [a; b] y una partición P del mismo,

entonces 0 < b − a ≤ nP  Demostración. La demostración queda como ejercicio.

2


26

2.1.2. 2.1.2. Comparació Comparación n de particion particiones es Comenzaremos con la siguiente:

Definición 13. Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo, diremos

que P es más fina que Q si solo si Q ⊂ P . En otras palabras, la partición P partición P es es más fina que Q que Q si y solo si todo punto de Q es un punto de P . P . Por ejemplo, dado el intervalo [0;3], y dadas las particiones: P = 0;1;2;3

{ } Q = {0;1;2;2, 0;1;2;2, 4; 2, 6; 3} R = {0; 1, 5;2;3} se tiene por ejemplo que P

⊂ ⊂ Q, de donde se puede decir que Q es más fina

que P . P . De la misma manera se tiene que Q  R ni R  Q, y por lo tanto no se pueden comparar esas dos particiones. En estos casos, se dicen que las particiones Q particiones Q y y R son R son no comparables . Puede verse también que P que P y R son no comparables. Q , resulta que la intersección Teorema 2.3. Dadas dos particiones P y Q

entre ambas es menos finas que las particiones dadas. Se tiene también que la unión es más fina que las particiones dadas. Demostración. Utilizando las propiedades de Álgebra de Conjuntos se puede mostrar que dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo, se tiene que P

∩ ∩ Q ⊂ P ⊂ ⊂ P ∪ ∪ Q y de la misma manera P ∩ ∩ Q ⊂ Q ⊂ P ∪ ∪ Q por lo que

2


27

se puede decir que dadas dos particiones, la intersección es la menos fina de ellas y la unión es la más fina de de las particiones. Notemos que, si bien P bien P

⊂ ⊂ Q, Q , resulta que P  = Q y por lo tanto, no pode-

mos asegurar que haya relación entre las inclusión de las particiones con sus normas. normas. Sin embargo, embargo, bajo ciertas condiciones condiciones se puede analizar esta relación. relación.

2.1.3. 2.1.3. Norma Norma y cant cantida idad d de punt puntos os Pues bien, analicemos el siguiente caso. Dado un intervalo cualquiera [a; b] tomemos los puntos t puntos t 0 = a; a ; t 1 será el punto medio entre a entre a y y b b,, t 2 será el punto medio entre t entre t 1 y b, t 3 será el punto medio entre t entre t 2 y b, t 4 será el punto medio entre t entre t 3 y b y b y así sucesivamente el punto t punto t k será el punto medio entre t entre t k−1 y b. b . Con estos puntos formemos una familia de particiones P particiones P j j de la siguiente manera:

P 0 = a; b

{ }

P 1 = a; t1 ; b

{

}

P 2 = a; t1 ; t2 ; b

{

}

P 3 = a; t1 ; t2 ; t3 ; b

{

}

P 4 = a; t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; b

{

}

y así sucesivamente.

Quedan clara dos cosas: Primero se tiene que P 0

⊂ P ⊂ P ⊂ P ⊂ ··· ⊂ P . Es decir, que cada 1

2

3

j

partición P partición P k+1 es más fina que su partición anterior P k .

2


t0

=

28

t1

a

t2

t3 ... tn

=

b

Figura 6: Representación gráfica de los puntos t puntos t k . Y segundo, se tiene que la norma de la particiones es la misma para todas ellas: b−a = t − a = P  = ∆t = t 2 j

1

1

Con ello queremos probar que la condición de menos fina no implica que 0 . Si analizamos el ejemplo, también nos daremos cuenta que si bien P  → 0. n → ∞ (es decir, la cantidad de puntos tiende a infinito), ello no implica que P  → 0. Por otro lado, si P  → 0, entonces es necesario que la cantidad j

j

j

de puntos de las particiones, tienda a infinito, pues no habría forma de lograr con la misma cantidad de puntos que las norma de una familia de particiones tienda a cero. En resumen se tiene que P j

  → 0 ⇒ n → ∞. Enunciamos así

el siguiente:

Teorema 2.4. Dado el intervalo [a; b] y una familia de particiones P j ,

se tiene que

P  → 0 ⇒ n → ∞. j

Demostración. Sabemos que por teorema 2.2 se tiene que 0 < b − a ≤ n P ,

b a de donde se tiene que P . Ahora, cuando P j n b a que 0. 0. Pero como a como a < b es necesario que n n

− →

− ≤ 

0 entonces se tiene   → 0 entonces → ∞.

Supongamos ahora que queremos que una partición tenga todos sus puntos a la misma distancia. Por lo tanto, deberemos dividir a la longitud del intervalo b a en n partes iguales y por ello ∆ti = , i = 1;2;3; ; n. De esa manera n

− ∀

···

2


29

b−a ım ∆t = l´ım = 0, y como → ∞, entonces se tiene que l´→∞ →∞ n P  = ∆t , se tiene que si n → ∞ ⇒ P  → 0. 0 . Esta última implicación, que

resulta que si n si n

i

n

n

i

se cumple solamente cuando tengo una familia de particiones con sus puntos a la misma distancia, es importante, puesto que en muchas ocasiones será necesario cesario hallar determinados determinados límites cuando P

  → 0 y para ello, utilizaremos

particiones que tengan sus intervalos de la misma medida y por lo tanto podremos calcular el límite utilizando la variable n variable n que que será mucho más práctico.

2.1.4. 2.1.4. Ubica Ubicació ción n de de pun puntos tos En muchas ocasiones necesitaremos ubicar los puntos de una partición que tenga a todo sus intervalos de la misma longitud. Esto es importante cuando querramos calcular ciertos límites cuando P

0 .   → 0.

Veamos entonces cómo ubicar a esos puntos. Para ello, consideremos un interb a valo cualquiera [a; b] y la partición P de P de tal manera que P = . n Entonces se tiene que b a ∆t1 = t = t 1 a = , n

 

−

−

de donde resulta que t1 =

b

− a + a. n

De la misma manera, se tiene que t2

− t = b −n a , 1

por lo que resulta que t2 =

b

− a + t n

1

y por lo tanto t2 =

b

− a + b − a + a = b−a a = 2 + a. n

n

n

−

2


30

Si seguimos ese proceso, se tiene que t3 = 3

b

− a + a n

o que t4 = 4

b

− a + a. n

En general se tiene entonces que para saber dónde se ubican los puntos ti de la partición partición P , P , se tiene que ti = i = i

b

− a + a. n

1 ; 5 y la partición P 3

− 

Ejemplo 24. Por ejemplo: si tenemos el intervalo tal que ∆ti =

5

  − − 1 3

4

=

4 3

entonces sus puntos son: t0 =

−13

t1 = 1 t2 =

7 3

t3 =

11 3

t4 = 5 − 13 − 13

7 3

1

0

1

2

11 3

3

5 5

4

Figura 7: Partición del intervalo [

−

1 3

; 5]. 5].

2


31

intervalo [0;2] y n y n = = 5, se tiene Ejemplo 25. Analicemos otro ejemplo. Sea el intervalo entonces que ∆ti =

2 de donde se tiene que: 5

t0 = 0 t1 =

2 5

t2 =

4 5

t3 =

6 5

t4 =

8 5

t5 = 2 SUBSECCIÓN 2.2

Suma inferio inferiorr y superior

2.2.1. 2.2.1. Suma inferi inferior or y superior superior para funcion funciones es no negativ negativas as A partir de una partición P P de un intervalo dado, se definen dos conceptos muy relacionados entre si, el de suma inferior y el de suma superior , los cuales nos permitirán aproximar áreas encerradas entre una función y el eje real x real x.. Comenzaremos analizando funciones que, en un determinado intervalo, sean

no negativas , a partir de ello, aproximaremos el área que queda encerrada entre la función y el eje x. Luego, analizaremos qué ocurre cuando la función es no positiva para, por último, analizar qué ocurre para cualquier tipo de funciones. Comenzaremos nuestro análisis, para funciones no negativas. Sea entonces entonces f : [a; b]

→

R, acotada y de tal manera que se cumple que

f ( f (x)

≥ 0; ∀x ∈ [a [ a; b]. En principio no se pone ninguna otra restricción a la fun-

ción f tales f tales como que sea continua o que sea derivable, sólo que sea acotada,

2


32

puesto que queremos que la función no tenga límite infinito en ninguno de sus puntos y obviamente queremos que la función sea no negativa.

a

b

Función continua, no negativa y acotada.

a

b

Función discontinua, no negativa y no acotada.

Figura 8: Funciones en el intervalo [a; b]. Dada Dada una partic partición ión P P del interv intervalo, alo, quedan quedan determinado determinadoss n subintervalos [ti−1 ; ti ] en los cuales se puede analizar la función f . f . En cada uno de esos subintervalos, la función alcanza su ínfimo mi y su supremo M i . Es importante notar que utilizaremos el ínfimo y el supremo de la función en cada subintervalo y no su mínimo y máximo. Esto será así, puesto que más adelante vamos a generalizar la noción su suma inferior y superior a funciones discontinuas pero acotadas. Para este tipo de funciones definimos:

Definició Definición n 14. Sea, f una función acotada y no negativa, definida en un

intervalo cerrado [a; b]. Sea P una partición cualquiera de dicho intervalo y mi el ínfimo de la función en el subintervalo [ti−1 ; ti ]. Entonces llamaremos suma inferior de la función f en el intervalo [a [ a; b]; utilizando la partición P a n

s(P ) P ) =

 i=1

mi ∆t ∆ ti

2


33

Definició Definición n 15. Sea, f una función acotada y no negativa, definida en un

intervalo cerrado [a; b]. Sea P una partición cualquiera de dicho intervalo y M i el supremo de la función en el subintervalo [ti−1 ; ti ]. Entonces llamaremos suma superior de la función f en el intervalo [a; b]; utilizando la partición P n

a S (P ) P ) =



M i ∆t ∆ ti

i=1

Analicemos los siguientes tres ejemplos: f : [1;3] → R/f (x) = x2 . Esta función es acotada puesEjemplo 26. Sea f to que las imágenes pertenecen al intervalo [1;9], es no negativa, continua y además es creciente. Si es creciente en todo el intervalo [1;3], lo será en todo subintervalo determinado por cualquier partición. Sea entonces la partición P = 1;2;2, 1;2;2, 5; 2, 8; 3 . Hallemos la suma inferior y

{

superior.

Suma inferior: s( s ( p) p) =

}

n

 

mi ∆t ∆ ti = 1 1 + 4 0, 5 + 6, 25 0, 3 + 7, 84 0, 2 = 6, 443

·

i=1 n

Suma superior: S ( p) p) =

·

·

·

M i ∆t ∆ ti = 4 1+6 1+6,, 25 0, 5+7 5+7,, 84 0, 3+9 0, 2 = 11, 11, 277

i=1

·

·

·

·

Ejemplo 27. Sea f : [−2;1] → R /f (x) = 2. Esta función es constante y por lo tanto acotada, es no negativa y además continua.Al ser constante, resulta que los ínfimos y supremos en cada subintervalos serán siempre 2. Ello implica, como se podrá ver más adelante, que la suma inferior y superior valen lo mismo. En efecto, sea entonces la partición P =

{−2; −1;0;1}. Hallemos la suma in-

ferior y superior.

Suma inferior: s( p) p) =

n

 

mi ∆t ∆ ti = 2 1 + 2 1 + 2 1 = 6

i=1 n


i=1

·

·

·

M i ∆t ∆ ti = 2 1 + 2 1 + 2 1 = 6

·

·

·

2


34

Figura 9: Suma inferior de la función f función f ((x) = x 2 .

Si P Si P es es cualquier partición del intervalo [-2;1], entonces se tiene para la suma inferior que: s( p) p) =

n

n





mi ∆t ∆ ti = 2∆ 2∆tt1 + 2∆t 2∆ t2 +

i=1

2∆t · · · + 2∆t

n =

2

∆ti = 2(1

− (−2)) = 6

∆ti = 2(1

− (−2)) = 6

i=1

Y para la suma superior se tiene también que: S ( p) p) =

n

n





i=1

M i ∆t ∆ ti = 2∆ 2∆tt1 + 2∆t 2∆ t2 +

2∆t = 2 · · · + 2∆t n

i=1

(Hemos utilizado el teorema 2.1 enunciado anteriormente.)

2


35

Figura 10: Suma inferior y superior de la función f ( f (x) = 2 en [-2;1]. Analicemos un último ejemplo. Luego de ello, veremos qué debemos hacer cuando la función es acotada pero no continua. Sea f : : [0;5] → R definida de la siguiente manera: Ejemplo 28. Sea f f ( f (x) =

  −  − x

0 si x [0; [0; 1]

∈ x ∈ [1; [1; 3] x ∈ [3; [3; 5]

1 si

x + 5 si

Observe que la función f función f es es no negativa, continua y acotada. Es decir, cumple todas las condiciones impuestas para hallar la suma inferior y superior. Sea entonces, por ejemplo, la partición Q = 0;1;3;4, 0;1;3;4, 7; 5 . Se tiene entonces

{

que:

Suma inferior: s( p) p) =

}

n

 

mi ∆t ∆ ti = 0 1 + 0 2 + 0, 0 , 3 1, 7 + 0 0, 3 = 0, 51

i=1 n


i=1

·

·

·

·

M i ∆t ∆ ti = 0 1 + 2 2 + 2 1, 7 + 0, 0 , 3 0, 3 = 7, 49

·

·

·

·

2


36

Figura 11: Suma inferior y superior.

Pensando en el ejemplo 27 analizado con anterioridad, si f f es una función constante ocurre que el ínfimo y el supremo de la función en cada subintervalo es el mismo y por lo tanto ocurre que: f (x) = k una función constante definida en el inTeorema 2.5. Sea f (

tervalo [a; b]. Dada cualquier partición P del intervalo, se tiene que: 1. s(P ) P ) = k( k (b − a) 2. S (P ) P ) = k( k (b − a) Demostración. En efecto, como la función es constante, se tiene que mi = k = k,, i = 1; 1; 2;3;

∀

· · · ; n,

2


37

de donde s(P ) P ) =

n

n

n







mi ∆t ∆ ti =

i=1

k ∆t ∆ ti = k = k

i=1

∆ti = k = k((b

i=1

− a)

De la misma manera se demuestra para la suma superior. Que la función f función f sea sea no negativa, trae como consecuencia el siguiente: f (x) ≥ 0 ⇒ s( s (P ) P ) ≥ 0 y S (P ) P ) ≥ 0 Teorema 2.6. Si f (

Demostración. En efecto, como f ( f (x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] se tiene entonces que mi

≥ 0; ∀i = 1;1; 2;3; · · · ; n. Y como ∆ como ∆tt > 0 > 0 se tiene también que i

mi ∆t ∆ ti

≥ 0; ∀i = 1;1; 2;3; · · · ; n

por lo que resulta que

n

s(P ) P ) =



mi ∆t ∆ ti

0 . ≥ 0.

i=1

De la misma manera se prueba que S que S ((P ) P )

≥ 0. 0 .

Además, resulta claro que como mi

≤ M ; ∀i = 1;1; 2;3; · · · ; n se tiene entonces i

que s que s((P ) P )

≤ S (P ) P ). Y es por ello que enunciamos el siguiente:

Teorema 2.7. Sea f una función acotada, continua y no negativa de-

finida en el intervalo [a; b], entonces se cumple que s(P ) P ) ≤ S (P ) P ) para cualquier partición P de dicho intervalo.

Demostración. Escribir todos los detalles de la demostración. Hasta ahora hemos analizado funciones que son continuas, acotadas y no negativas en el intervalo [a; b]. Veamos ahora que ocurre cuando la función es

2


38

acotada, no negativa pero no es continua. Para ello, analizaremos qué ocurre cuando la función tiene una discontinuidad evitable y cuando tiene una discontinuidad esencial.

Sea f : : [0;2] → R tal que Ejemplo 29. Sea f

f ( f (x) =

  

0 si x [0; [0; 1)

∈

1 si x [1; [1; 2]

∈

Esta función tiene una discontinuid discontinuidad ad esencial esencial en el punto punto x x 0 = 1, puesto que l´ım f ( f (x) = l´ım ım f ( f (x),



x→1−

x→1+

es decir,  l´ım f ( f (x). x→1

Ahora bien, dada la partición R partición R = 0; 21 ; 1 ; 2 tenemos que: 3 1 1 Suma inferior: mi ∆t ∆ ti = 0 + 0 +1 1 = 1 2 2 i=1 Ahora, su suma superior será: 3 1 3 1 Suma superior: M i ∆t ∆ ti = 0 + 1 +1 1 = 2 2 2 i=1 (Nótese que en la suma superior, hemos utilizado el supremo M 2 = 1 en el

{

 

·

} ·

·

·

·

·

subintervalo [ subintervalo [ 12 ; 1)) 1)) Es necesario, recalcar la utilidad de definir la suma superior e inferior utilizando el supremo M i y el ínfimo mi de cada subintervalo en vez de utilizar el máximo y el mínimo. Si no lo habríamos hecho de esa manera, la suma superior superior para funciones funciones con discontinuidad discontinuidad del estilo presentado, presentado, no se podría p odría hallar. Analicemos ahora, el siguiente ejemplo:

2


39

Sea g : [−1; 2, 5] → R tal que Ejemplo 30. Sea g

g(x) =

Sea P Sea P =

  

x2 si x = 0



2 si x = 0

5;1;2;2, 5} una partición del intervalo dado. {−1; −0, 5;1;2;2,

Puede apreciarse que la función es acotada y no negativa, pero tiene una discontinuidad evitable en x0 = 0, puesto que existe el l´ım g(x) = 0. x→0

Calculemos la suma superior e inferior: 4

 

Suma superior: S superior: S (P ) P ) =

M i ∆t ∆ ti = 1 0, 5 + 2 1, 5 + 4 1 + 6, 25 0, 5 = 10, 10, 625

·

i=1

·

·

·

(Nótese el uso del supremo 2 en el subintervalo [-0,5;1]. Véase la figura 12.) 4

Suma inferior: s inferior: s((P ) P ) =

mi ∆t ∆ ti = 0, 25 0, 5 + 0 1, 5 + 1 1 + 4 0, 5 = 3, 125

·

i=1

·

·

·

(Nótese el uso del ínfimo 0 en el subintervalo [-0,5;1]. Véase la figura 12.) Analicemos un ejemplo más. Sea h : [a; b] → R tal que Ejemplo 31. Sea h

h(x) =

  

1 si x

∈ Q

0 si x

∈ R − Q

En otras palabras, la función función h h asigna asigna 1 como imagen a los números racionales del intervalo [ intervalo [a a; b] y 0 a los números irracionales del mismo intervalo. Sea P la P la partición del intervalo en n subintervalos de la misma longitud. Es decir que ∆ti =

b

− a ; ∀i = 1;1; 2;3; · · · ; n. n

Puede apreciarse que la función es acotada, discontinua y no negativa. Calculemos la suma superior e inferior:

2


Figura 12: Suma inferior y superior.

40

2


41

Figura 13: Idea de la representación gráfica de la función h función h((x) del ejemplo 31.

Suma superior: Como en cada subintervalo [ti−1 ; ti ] de la partición existen infinitos infinitos números racionales racionales (esto es por p or la densidad densidad del conjunto conjunto Q ) entonces se tiene que M que M i = 1; i = 1; 1; 2;3;

∀

Entonces S (P ) P ) =

· · · ; n.

n

n





M i ∆t ∆ ti =

i=1

∆ti = b = b

i=1

−a

Suma inferior: De la misma manera, en cada subintervalo [ti−1; ti ] existen infinitos números irracionales (esto es por la densidad del conjunto R entonces se tiene que m que m i = 0; i = 1; 1; 2;3;

∀

Entonces s(P ) P ) =

− Q),

· · · ; n.

n

n





mi ∆t ∆ ti =

i=1

0 ∆ti = 0

i=1

Analizaremos a continuación un ejemplo, para a partir de allí, obtener resultados interesantes que nos permitirán comprender mejor para qué se obtienen la suma superior e inferior de una función. En efecto, nos preguntamos ahora, qué ocurre con la suma superior e inferior

2


42

a medida que se toman particiones más finas. Esta idea importante, nos permitirá obtener el área de una región encerrada bajo la curva de una función y el eje x eje x.. 1 definida en el intervalo t cerrado [1;3]. Y tomemos las siguientes particiones:

Consideremos la función función g(t) = Ejemplo Ejemplo 32. Consideremos

1. P = 1;2;3

{

}

2. Q = 1; 1, 5;2;2, 5;2;2, 5; 3

{

}

3. R = 1; 1, 3; 1, 5;2;2, 5;2;2, 2; 2, 5; 2, 7; 2, 8; 3

{

}

4. T = 1; 1, 2; 1, 3; 1, 5; 1, 6; 1, 8;2;2, 8;2;2, 1; 2, 2; 2, 4; 2, 5; 2, 7; 2, 8; 2, 9; 3

{

}

Como se podrá observar, P

T y por lo tanto las particiones son ⊂ ⊂ Q ⊂ R ⊂ T

cada vez más finas. Ahora bien, nos interesará calcular las sumas superiores e inferiores y compararlas entre si, para a partir de allí, obtener algunas conclusiones útiles. Hallemos entonces las sumas inferiores primeramente. s(P ) P ) = 0, 833 833... ... s(Q) = 0, 95 s(R) = 1, 001 001... ... s(T ) T ) = 1, 044 044... ... Ahora, hallemos las sumas superiores: S (P ) P ) = 1, 5 S (Q) = 1, 283 283... ...

2


43

S (R) = 1, 212 212... ... S (T ) T ) = 1, 157 157... ... Observ Observando ando los resultados resultados obtenidos, podemos po demos conjeturar conjeturar en principio principio tres hechos relevantes: relevantes: 1. Cualquier Cualquier suma inferior, inferior, es menor que cualquier cualquier suma superior. 2. A medida que la partición se vuelve vuelve más fina, la suma inferior crece. crece. 3. A medida que la partición se vuelve vuelve más fina, la suma superior superior decrece. decrece. Esto que sucede, nos hace pensar si habrá algún supremo de las sumas inferiores y algún ínfimo de las sumas superiores y qué relación habría entre estos dos valores. A partir, de esto, es que enunciamos los siguientes teoremas:

Teorema 2.8. Sea f una función acotada, no negativa, definida en el

intervalo [a; b]. Dadas dos particiones P y Q de dicho intervalo, tales que Q es más fina que P entonces: s(P ) P )

s(Q) ≤ s(

S (Q)

≤ S (P ) P )

Demostración. Para demostrar el teorema, dividiremos la demostración en dos partes. En primer lugar, como Q es más fina que P , P , podemos suponer que Q tiene p puntos más que P que P .. Sean estos puntos u1 ; u2 ; ...; ...; u p . Luego, es posible obtener, a partir de P de P las particiones R j de la siguiente manera:

2


R1 = P = P

44

∪ ∪ {u } 1

R2 = R = R 1

∪ {u }

R3 = R = R 2

∪ {u }

2

3

y en general, R j = R j −1

∪ {u } con j variando de 1 a p. j

Evidentemente, se tiene que R p = Q = Q y y además P

⊂ ⊂ R ⊂ R ⊂ ·· · ⊂ R − ⊂ Q. 1

p 1

2

Veamos entonces la relación entre las sumas superiores e inferiores de las particiones P y R1 . Sea entonces el punto u1 que se encuentra en algún subintervalo determinado por la partición P partición P .. Sea [ Sea [tti−1 ; ti ] ese subintervalo. Es claro que u1 = ti−1 y u1 = ti (¿Por qué?) entonces se tiene que u1





∈ (t − ; t ). i 1

i

(Véase figura 14) Sabemos que m que m i es el ínfimo de la función en el subintervalo [ti−1 ; ti ] y llamemos mi al ínfimo de la función en el subintervalo [ti−1 ; u1 ] y mi al ínfimo de la función en el subintervalo [u1 ; ti ]. Evidentemente se tiene que mi

≤ m  y m ≤ m . En realidad, m es igual a uno de ellos y menor al i

i

i

i

otro, pero como no sabemos, podemos tranquilamente tranquilamente poner las desigualdade desigualdadess anteriores.

Hallemos entonces las sumas inferiores de las particiones P particiones P y R1 . s(P ) P ) = m1 (t1

+ m (t − t ) + · · · + m (t − t − ) + · · · + m (t − t − ) − t ) + m s(R ) = m (t − t ) + m + m (t − t ) + · · · + m (u − t − ) + m + m (t (t − u ) + · · · + m (t − t − ) 1

n

1

n

0

1

2

0

2

2

2

i

1

1

i

i

i 1

n

i 1

1

i

i

n

n 1

1

n 1

Restando ambas igualdades, y cancelando los términos opuestos, obtenemos que: s(P ) P )

− s(R ) = m (t − t − ) − m (u − t − ) − m (t (t − u ) 1

i

i

i 1

i

1

i 1

i

i

1

2


45

Figura 14: La función f función f ((x) en el subintervalo [ subintervalo [tti−1 ; ti ] (Nótese la discontinuidad de f ) f )

− s(R ) = m t − m t − − m u + m + m t − − m t + m + m u s(P ) P ) − s(R ) = (m − m )t )t + (m ( m − m )t − + (m ( m − m )u s(P ) P ) − s(R ) = (m − m )t )t + (m − m )t − + (m − m + m − m )u (sumando s(P ) P )

1

i i

1

i

1

i

i i 1 i

i

i

i

i

i

i i 1

i 1

i

i

i i

i 1

i

i

i 1

1

i

i

i

1

i

i

1

y restando mi )

− s(R ) = (m − m )t )t + (m ( m − m )t − + (m ( m − m )u + (m ( m − m )u s(P ) P ) − s(R ) = (m − m )t )t + (m ( m − m )t − − (m − m )u )u − (m − m )u s(P ) P ) − s(R ) = (m − m )(t )(t − u ) + (m ( m − m )(t )(t − − u ) I s(P ) P )

1

i

i

i

i

i

i 1

i

i

1

i

i

1

1

i

i

i

i

i

i 1

i

i

1

i

i

1

1

i

i

i

1

i

i

i 1

1

Analicemos Analicemos el segundo segundo miembro miembro de la igualdad igualdad I . Por un lado, tenemos que: m que: m i (mi

− m ≤ 0 y como t − u > 0 > 0 se se tiene que

)(t − u ) ≤ 0 − m )(t

Por otro lado, se tiene que: mi (mi

i

i

i

i

1

1

II

− m ≥ 0 y como t como t − − u < 0 < 0 entonces i

i 1

)(t − − u ) ≤ 0 − m )(t i

i 1

1

III

1

2


46

De II y III III resu result ltaa que que )(t − u ) + (m ( m − m )(t )(t − − u ) ≤ 0 − m )(t y por lo tanto resulta que s(P ) P ) − s(R ) ≤ 0, 0, de donde se tiene que s(P ) P ) ≤ s( s (R ). (mi

i

i

1

i

i

i 1

1

1

1

En segundo lugar, tenemos que hemos mostrado que si tengo una partición R1 más fina (por un punto) que P , P , entonces se cumple que s(P ) P )

≤ s(R ). 1

Entonces aplicando p veces este resultado, se tiene que s(P ) P )

s (R ) ≤ s( s (R ) ≤ · · · ≤ s( s (Q) ≤ s( y aplicando la transitividad de la relación ≤ se tiene que s que s((P ) P ) ≤ s( s (Q). 1

2

Con la misma idea, pero ahora calculando las sumas superiores, se tiene que S (Q)

P ). ≤ S (P )

Teorema 2.9. Sea f una función acotada, no negativa, definida en el

intervalo [a intervalo, se tiene [ a; b]. Dadas dos particiones P y Q Q de dicho intervalo, que s(P ) P ) ≤ S ( S (Q) Demostración. Notemos que no es necesario que P que P y Q sean Q sean comparables como en el teorema 2.8. El teorema afirma en otras palabras, que una suma inferior usando una partición es menor o igual que una suma superior, usando otra partición. Se tiene entonces, por propiedades de álgebra de conjuntos que P

⊂ ⊂ (P ∪ Q) ( P ∪

y también Q también Q

(P ∪ partición P ∪ ⊂ (P ∪ Q), es decir, la partición P ∪ Q es una partición más fina

que las particiones P particiones P y Q. Q . Utilizando el teorema 2.8 se tiene por un lado que S (P

∪ ∪ Q) ≤ S (Q)

2


47

y por otro lado s(P ) P )

s (P ∪ ≤ s( ∪ Q)

de donde se tiene que s(P ) P )

≤ S (Q) que es lo que se quería demostrar.

En base a los dos teoremas anteriores podemos inferir que para un intervalo [a; b], el conjunto de las sumas inferiores tiene cota superior (cualquier suma superior es una cota superior del conjunto de sumas inferiores) y por lo tanto tiene un supremo. De la misma manera, el conjunto de las sumas superiores tiene un ínfimo. Es así que enunciamos las siguientes definiciones:

f (x) no negativa y acotada, definida en el Definición 16. Dada una función f (

intervalo [a [ a; b]. Sea A A la familia de todas las particiones del intervalo dado. Se llamará integral inferior de la función f ( f (x) desde a hasta b a: b

 a

f ( f (x)dx = dx = S Sup up s(P ) P ), P

{

∀ ∈ ∈ A}

f (x) no negativa y acotada definida en el Definición 17. Dada una función f (

intervalo [a [ a; b]. Sea A A la familia de todas las particiones del intervalo dado. Se llamará integral superior de la función f ( f (x) desde a hasta b a: b

 a

f ( f (x)dx = dx = I I nf S (P ) P ), P

{

∀ ∈ ∈ A}

2


48

Para terminar esta parte, enunciaremos un último teorema que resume algunos resultados obtenidos hasta ahora. f : [a; b] → R una función Teorema 2.10. Dado un intervalo [a; b], sea f

acotada y no negativa. Sea m función en el intervalo intervalo dado m el ínfimo de la función

y M su supremo. Dada una partición P cualquiera del mismo. Se tiene entonces que: b

m(b

− a) ≤ s( s (P ) P )

 ≤

b

f ( f (x)dx

a

 ≤ a

f ( f (x)dx

≤ S ( S (P ) P ) ≤ M ( M (b − a)

Demostración. La demostración queda como ejercicio. Las dos definiciones anteriores, también se pueden reescribir de la siguiente manera:


intervalo [a A la familia de todas las particiones del intervalo dado. Se [ a; b]. Sea A llamará integral inferior de la función f ( f (x) desde a hasta b a: b

 a

f ( f (x)dx = dx = S Sup up s(P ) P ), P

{

∀ ∈ ∈ A} =  l´ım ım → P

0

s(P ) P )


intervalo [a [ a; b]. Sea A A la familia de todas las particiones del intervalo dado. Se llamará integral superior de la función f ( f (x) desde a hasta b a: b

 a

f ( f (x)dx = dx = I I nf S (P ) P ), P

{

∀ ∈ ∈ A} =  l´ım → P

0

S (P ) P )

2


49

2.2.2. 2.2.2. Interpre Interpretació tación n geométric geométrica a En esta parte veremos una interpretación geométrica de lo hallado hasta ahora. Dada una función acotada y no negativa, definida en un intervalo se tiene que el gráfico, encierra una porción del plano entre la gráfica de la función, el eje x y las abscisas x = a = a y x = b = b.. A esta porción del plano, en general, se le puede asignar un número, que medirá su área. Si observamos el gráfico de la figura 15 podremos ver que dada una partición del intervalo [a; b] se tiene que s(P ) P )

P ), llamando A al área ≤ A ≤ S (P )

de la región que queda encerrada entre el gráfico de la función y el eje x. Ahora bien, dada una partición Q más fina que la partición P P se tiene que s(P ) P )

s (Q) ≤ A ≤ S (Q) ≤ S (P ) P ). ≤ s(

Si la región del plano, es buena como como para asignarle un área, entonces a medida que se toman particiones cada vez más finas, las sumas inferiores y superiores se acercarán cada vez más a un número. Ese número, intuitivamente será el área de la región. ¿Por qué decimos si la región es buena ? Bueno, dependiendo de la función estudiada, a la región que queda limitada se puede asignar un área. En algunas ocasiones, la función es tan discontinua, que el concepto de área, pierde todo significado Un claro ejemplo es la función analizada en el ejemplo 31 presentada en el gráfico 13. Se analizó anteriormente que dada cualquier partición, se tiene que la suma inferior siempre será 0 y la suma superior, siempre b

− a, a , y por lo

tanto, las sumas superiores e inferiores no se acercarán a ningún valor al que podamos llamar área. En base a esta idea intuitiva, definimos lo que llamaremos área de una región del plano limitada por una función f función f ,, el eje x eje x y las abscisas x abscisas x = = a a y x = x = b b..

2


50

Figura 15: El área bajo una curva y su aproximación mediante sumas inferiores y superiores

f [a; b] :→ R una función acotada y no negativa. Definición 20. Sea f [

Si

b



b

f ( f (x)dx = dx =

a



f ( f (x)dx = dx = A A

a

entonces diremos que la región limitada por la función f , el eje x x y las abscisas x = a = a y x = b = b tendrá área A.

Veamos el siguiente ejemplo.

2


51

Figura 16: Representación gráfica de la suma inferior y superior para n = 10 10,, n = 20 20 y y n = 50 50.. Sea f : : [0;1] → R/f (x) = x. x . Dividamos al intervalo en n en n partes partes Ejemplo 33. Sea f iguales y hallemos las sumas inferiores y superiores. Redondeando a dos cifras decimales, se tiene entonces que: 1. Si n Si n = 10 10 entonces: entonces:

a ) s(P ) P ) = 0, 45 b) S (P ) P ) = 0, 55 2. Si n Si n = 20 20 entonces: entonces:

a ) s(P ) P ) = 0, 48 b) S (P ) P ) = 0, 52 3. Si n Si n = 50 50 entonces: entonces:

a ) s(P ) P ) = 0, 49 b) S (P ) P ) = 0, 51 A medida que n aumenta, la suma superior decrece y la suma inferior crece, cada vez más acercándose al área de la región, que por geometría básica sabemos que es el área de un triángulo y vale 0,5.

2


52

Si bien no hemos probado que b



b

f ( f (x)dx = dx =

a



f ( f (x)dx = dx = 0, 5,

a

intuitiv intuitivamen amente, te, el área de la región debería ser esa. Y estamos seguros, seguros, puesto que aplicamos una fórmula fórmula geométrica. geométrica. El problema se agrava cuando la función no encierra una región sencilla como un triángulo, una circunferencia, un rectángulo, etc. Un ejemplo de ello es la región encerrada bajo la función f función f ((x) = x 2 , el eje x y el intervalo [0;2]. f : [0;2] → R /f (x) = x2 . Hallaremos la suma superior e Ejemplo 34. Sea f inferior para una partición que divide al intervalo en n en n partes iguales. Observemos primero que f que f es es creciente en el intervalo intervalo dado, luego será creciente en cada subintervalo [ti−1 ; ti ] por lo que el ínfimo mi se encontrará f ( f (ti−1 ) y el supremo M i en f ( f (ti ). Recordemos además que t que t i = i = i

2

− 0 + 0 = i 2 , de donde n

n



mi = f = f ((ti−1 ) = (i

−

2 1) n



2

= (i

2

− 1)

4 n2

y también M i = f = f ((ti ) = i 2

4 . n2

Por último, como todos los subintervalos tienen la misma longitud, entonces 2 0 2 ∆ti = = . Hallemos entonces la suma superior primero. n n

−

n

S (P ) P ) =

n



M i ∆ti =

i=1

 i=1

4 2 8 i 2 = 3 n n n 2



Por álgebra sabemos que n

 i=1

i2 =

n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) , 6

n

 i=1

i2

2


53

de donde se tiene que S (P ) P ) =

8 n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) 8n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) 4(n 4(n + 1)(2n 1)(2n + 1) = = n3 6 6n3 3n2

Por lo tanto: 8n2 + 12n 12n + 4 S (P ) P ) = . 3n2 Hallemos ahora la suma inferior.

s(P ) P ) =

n

n





mi ∆ti =

i=1

i=1

(i

−

4 2 8 1) 2 = 3 n n n 2

n



(i

i=1

−

8 1) = 3 n 2

n−1

8 i = 3 n i=0



2

n−1



i2

i=1

Utilizando la fórmula usada para la suma superior, se tiene que:

s(P ) P ) =

8 (n n3

2

3

2

1)n(2(n (2(n − 1) + 1) 4(n 4(n − n)(2n )(2n − 1) 8n − 12 12n n − 1)n = = 6

3n

3

3

3n

+ 4n 4n

.

Ahora hallaremos la integral superior e inferior de la función: b

 a

b

 a

8n2 + 12n 12n + 4 8 = n→∞ 3n2 3

x2 dx = l´ım ım S (P ) P ) = l´ım ım P →0

x2 dx = l´ım ım s(P ) P ) = l´ım ım P →0

n→∞

8n3

2

12n n − 12 3n3

+ 4n 4n

=

8 3

Vemos entonces, que la región encerrada entre la función y el eje x eje x tiene área 8 igual a . 3 El cálculo de áreas bajo una función no es sencillo, con las herramientas que se tienen hasta ahora. Para ello, el lector podrá leer cualquier libro de Análisis Matemático y estudiar la integración de funciones como método mucho más eficaz para hallar áreas que el utilizado hasta ahora.

2


Figura 17: Región a la que se le halló su área en el ejemplo 34.

54

2


55

2.2.3. 2.2.3. Suma inferi inferior or y superior superior para funcion funciones es no positiv positivas as Hasta ahora hemos trabajado sólo con funciones no negativas. Ello fue porque necesitábamos motivar el uso de la suma superior e inferior para hallar el área de una región encerrada entre la función y el eje x. Ahora queremos estudiar qué ocurre cuando la función no es positiva. Esto traerá como consecuencia algunos cambios en el significado que le hemos dado a la suma superior e inferior. En efecto, comenzamos esta parte del texto analizando un ejemplo sencillo: acotada y no positiva positiva f : [−1;1] → R tal que Ejemplo 35. Sea la función, acotada f ( f (x) =

−x − 2.

Dada la partición Q partición Q = = 3

s(Q) =

 

mi ∆ti =

−2 · 1 − 52 · 12 − 3 · 12 = −2 − 54 − 32 = − 194

M i ∆ti =

−1 · 1 − 2 · 12 − 52 · 12 = −1 − 1 − 54 = −134

i=1 3

S (Q) =

i=1

1 2

{−1;0; ; 1}, hallemos su suma superior e inferior:

Observemos que si la región analizada tiene área A, entonces debería ocurrir que s(P ) P )

≤ A ≤

S (P ) P ) o lo que es lo mismo

19 4

− ≤ A ≤ −

13 4

con lo que

estaríamos asegurando que el área A es un número negativo. Sabemos que el área de una figura plana no debería dar un número negativo, pero ¿entonces qué o currió? currió? Pues bien, en realidad, lo que se obtiene con las sumas superior e inferior es el

área con signo o área orientada que existe entre la función f función f ((x) y el eje x eje x.. Así, si la función es no positiva, el área de la región debería ser no positiva también.

Es por ello que enunciamos el siguiente:

2


56

Teorema 2.11. Sea f : [a; b] → R una función acotada y no positiva.

Dada cualquier partición Q del intervalo, se tiene que: 1. s(Q) ≤ 0 2. S (Q) ≤ 0

Demostración. La demostración queda como ejercicio para el lector. Con lo analizado anteriormente, nos vemos obligados a reformular la definición 20:

f [a; b] :→ R una función acotada. Definición 21. Sea f [

Si

b

 a

b

f ( f (x)dx = dx =



f ( f (x)dx = dx = A A

a

entonces diremos que la región limitada por la función f , el eje x x y las abcisas x = a = a y x = b = b tendrá área orientada A.

Nótese que ya no necesitaremos hacer hincapié en que la función sea no positiva ni no negativa. Es por ello que sólo pedimos que la función sea acotada en el intervalo analizado. Al igual que para funciones no negativas, también pueden existir regiones del plano a las que no se les puede asignar ningún valor A como área. Tal es el caso del siguiente:

2


57

Sea g : [a; b] → R tal que Ejemplo 36. Sea g

 −  

∈ Q

1 si x

g(x) =

∈ R − Q

0 si x

Como se puede apreciar, la función g (x) no es continua pero sí acotada y no negativ negativa. a. Dada Dada una partici partición ón Q cualqui cualquiera era,, se tiene tiene que S (Q) = 0 y s(Q) =

−(b − a) por lo que no se puede asignar ningún valor A como área.

Es natural ahora, preguntarse qué ocurre cuando la función en el intervalo [a; b] es no negativa y no positiva.

2.2.4. 2.2.4. Suma inferior inferior y superior superior para para funcion funciones es Para Para ello, analizaremos analizaremos el siguiente siguiente ejemplo:

Sea f : [−2;2] → R tal que f que f ((x) = x 2 − 1 y sean las particiones Ejemplo 37. Sea f P, Q y R de tal manera que dividen al intervalo en 10, 30 y 100 subintervalos de la misma longitud. Hallando ahora las sumas inferiores y superiores utilizando ambas particiones se obtienen los siguientes resultados con dos cifras decimales:

1. S (P ) P ) = 3, 04 2. S (Q) = 1, 88 3. S (R) = 1, 49 y

2


58

1. s(P ) P ) = −0, 16 2. s(Q) = 0, 81 3. s(R) = 1, 17 Se puede ver en el ejemplo anterior, que para la partición P la P la suma inferior y superior tienen distinto signo, sin embargo cuando la partición se hace más fina, ambas sumas tienen el mismo signo. Esto ocurre porque la función varía de signo en todo el intervalo. Si analizamos la función en los intervalos [-2;-1], [-1;1] y [1;2] vemos que el área de la región en los intervalos [-2;-1] y [1;2] tiene signo positivo porque la función es no negativa allí. Y el área de la región en el intervalo [-1;1] tiene signo negativo, porque la función es no positiva allí. Cabe preguntarse entonces ¿hacia qué valor tienden la suma superior e inferior a medida que la partición es más fina? y ¿cuál es el significado de dicho valor? Para contestar ambas preguntas hallemos el área de la región estudiada. Dividiremos la región en cuatro subregiones. La región encerrada en el intervalo [-2;-1], a la que llamaremos R1 . La encerrada en el intervalo [-1;0] a la que llamaremos R2 . R3 será la región encerrada en el intervalo [0;1] y R4 será la región encerrada en el intervalo [1;2]. Por cuestiones de simetría, las regiones R1 y R4 tienen la misma área. Así también las regiones R regiones R 2 y R 3 . Calculemos entonces el área A área A 3 de la región R3 .

2


59

Hallemos Hallemos primeramen primeramente te la suma inferior: inferior: n

s(P ) P ) =

  −    − −   − −  −   − mi ∆ti =

i=1 n

=

f ( f (ti−1 )∆t )∆ti =

i=1 n

=

1)

[[(i [[(i

1)2 ]

i=1 n

=

i=1 n 2

=

i

i=1 n

=

i=1

= = = =

1 1 = n n

f (i

i2 n3

1 n2

2i + 1 n3 2

1]

1 n

1

i + n3

1 n3

1=

n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) n(n + 1) n 2 + 1= 6n3 2n3 n3 (n + 1)(2n 1)(2n + 1) n + 1 1 + 1= 6n2 n2 n2 2n2 + 3n 3n + 1 1 1= 2 6n n 2n2 3n + 1 1 6n2

−

− − − − −

−

−

Luego, la integral inferior es: 1

  −  0

x2

1 dx = l´ım ım s(P ) P ) = l´ım ım P →0

n→∞



2n2



− 3n + 1 − 1 2

6n

=

1 3

− 1 = −23

2


60

Hallemos ahora, la suma superior: n

S (P ) P ) =

      −    − M i ∆ti =

i=1 n

=

f ( f (ti )∆t )∆ti =

i=1 n

=

f (i)

i=1 n

= =

i=1

= = =

1 n2

[ i2

i=1 n

1 1 = n n

i2 n3

1]

1 n

1

n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) 1= 6n3 (n + 1)(2n 1)(2n + 1) 1= 6n2 2n2 + 3n 3n + 1 1= 6n2

− −

−

Luego, la integral superior es: 1

  −  0

x2

1 dx = l´ım ım S (P ) P ) = l´ım ım

n→∞

P →0

1

Vemos entonces que, como



2n2 + 3n 3n + 1 6n2 1



−1

  −    −  x2

1 dx = dx =

0

decimos que el área A3 de la región R3 es

0

−

2 3

Calculemos ahora el área A área A 4 de la región R región R 4 .

.

x2

=

1 dx = dx =

1 3

− 1 = −23

− 23 , entonces

2


61

Figura 18: Sumas para dos particiones de la función f función f ((x) = x 2

− 1.

Hallemos Hallemos primeramen primeramente te la suma inferior: inferior: n

s(P ) P ) =

         −   −

mi ∆ti =

i=1 n

=

f ( f (ti−1 )∆t )∆ti =

i=1 n

=

f 1 + (i (i

i=1 n

=

1 + (i (i

i=1 n

=

i=1 n

=

i=1

= = = =

−

2

1

1 1) + (i (i n

2 i2 + 2 n n

2i n

2i n2

 − 

− 1) n1

1 + 2(i 2(i

i=1 n

=

−

1 1 1) = n n

1 n

−

1 1) 2 n

− n2i + n1

2 i2 + n2 n3

2

2

− n2i + n1 3

3

1 = n

−    

2

1

1 = n =

2n(n + 1) 2n 2 n n( n (n + 1)(2n 1)(2n + 1) 2n 2 n(n + 1) n + + 3 = 2 2 3 3 2n n 6n 2n n n + 1 2 (n ( n + 1)(2n 1)(2n + 1) n + 1 1 + + = n n 6n2 n2 n2 6n2 + 6n 6n 12 12n n + 2n 2n2 + 3n 3n + 1 6n 6 + 6 = 2 6n 8n2 9n + 1 6n2

−

−

−

−

−

−

− −

2


62

Luego, la integral inferior es: 2

  −  x2

1 dx = l´ım ım s(P ) P ) = l´ım ım

n→∞

P →0

1



8n2

− 9n + 1 6n2



=

4 3

Hallemos ahora, la suma superior: n

S (P ) P ) =

       −       −   M i ∆ti =

i=1 n

=

f ( f (ti )∆t )∆ti =

i=1 n

=

f 1 + i + i

i=1 n

=

1 + i + i

i=1 n

=

1+

i=1 n

=

i=1

= = = =

1 1 = n n 1 n

2

1 n

1

2i i2 + 2 n n

1

1 = n

2i i2 + = n2 n3

2n(n + 1) n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) + = 2n2 6n3 n + 1 (n + 1)(2n 1)(2n + 1) + = n 6n2 6n2 + 6n 6n + 2n 2n2 + 3n 3n + 1 = 6n2 8n2 + 9n 9n + 1 6n2

Luego, la integral superior es: 2

  −  x2

1 dx = l´ım ım S (P ) P ) = l´ım ım

1

2

Vemos entonces que, como

n→∞

P →0

  −  2

x





8n2 + 9n 9n + 1 4 = 6n2 3 2

1 dx =

1

  −  1

4 3

decimos que el área A4 de la región R4 es .

x2

1 dx =

4 , entonces 3

2


63

Llamemos A = A1 + A + A2 + A + A3 + A + A4 . Se tiene entonces, por los cálculos realizados anteriormente y por la igualdad de las áreas de las subregiones que 4 2 2 4 4 A = + = . 3 3 3 3 3 Este valor es entonces el valor hacia el cual tienden las suma inferior y superior

− −

a medida que la partición se hace cada vez más fina. Y como se puede apreciar, es la suma de las áreas orientadas . Es por ello que nos vemos nuevamente en la obligación de cambiar nuestra definición 21 dada anteriormente.

f [a; b] :→ R una función acotada. Definición 22. Sea f [ b

 Si

b

f ( f (x)dx =

a

 a

f ( f (x)dx = A entonces diremos A es la suma de las áreas

orientadas de la región limitada por la función f , el eje x x y las abscisas x = a = a

y x = b = b .

2


SUBSECCIÓN 2.3

64

Ejercicios

1. Dado el intervalo intervalo [2;5] escriba escriba cinco particiones particiones del mismo. 2. Dado el interv intervalo [ π; 1]: 1]:

−

a ) Escriba Escriba una partición partición P P de de 5 puntos. b) Escriba Escriba una partición partición Q Q que sea más fina que P que P .. c ) Escriba Escriba una partición partición R que sea más fina que P pero P pero no más fina que Q que Q..

d ) Escriba una partición S S no comparable con ninguna de las particiones anteriores. 3. Dado el interv intervalo alo [-2;3], escriba una partición partición P P de manera tal que se tenga que P = 0, 8

 

4. Para Para cada una de las particiones de los ejercicios ejercicios anteriores anteriores calcule todas las longitudes de los subintervalos. Obtenga también la norma de las particiones. 5. Dado el interv intervalo alo [ [

−

2 3

; 1] halle 1] halle una familia de 5 particiones P particiones P j j de mane-

ra tal que todas ellas dividan al intervalo en subintevalos de la misma longitud y que P j

⊂ P

j +1 .

6. Para cada una una de las siguientes funciones, halle la suma superior e inferior de acuerdo a la partición dada.

a ) f : : [2;3] → R/f (x) = −x + 4 siendo P = 2; 2, 2; 2, 5; 2, 7; 3

{ } b) f : [−1;4] → R/f ( /f (x) = |x| siendo P = {−1; −0, 5;1;3;3, 5;1;3;3, 5; 4}

2


65

c ) f : [−3; −1] → R/f (x) = x2 siendo P =

{−3; −2, 5; −2; −1, 4; −1, 1; −1} d ) f : [−5;5] → R/f ( /f (x) = 2 siendo P = {−5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3;4;5} e ) f : : [1;4] → R/  x + 1 si x ∈/ N  f ( f (x) =



0 si x

∈N

siendo P = 1; 1, 5;2;2, 5;2;2, 5; 3, 5; 4

{ f ) f : [−1;3] → R/

}

   −

x2 si x > 0

f ( f (x) =

siendo P =

x si x

≤ 0

{−1; −0, 3; −0, 1;0;1;2;2, 1;0;1;2;2, 5; 2, 6; 2, 8; 3}

7. Dado Dado el inter interv valo [1; π] y la función f ( f (t) =

−t + 2 definida sobre él, encuentra una partición Q partición Q de manera tal que S que S ((Q) − s(Q) < . 3 4

8. Para Para cada cada una de las siguie siguient ntes es funcio funciones nes,, halle halle la integ integral ral superior superior e inferior, inferior, tomando tomando una partición partición P P que divida al intervalo dado en n partes iguales y haciendo tender el n hacia infinito.

a ) f : : [2;3] → R/f (x) = x b) f : [−1;0] → R/f ( /f (x) = x + x + 2 c ) f : [−3;3] → R/f ( /f (x) = x 2 d ) f : : [0;2] → R/f (x) = x2 e ) f : [−2;0] → R/f ( /f (x) = 2x + 2

2


66

f ) f : [−2;1] → R/f ( /f (x) = 3x2 + 2 g ) f : [−1;1] → R/f ( /f (x) = x 2 + x h ) f : [−2;2] → R/f ( /f (x) = −x2 + 3 i ) f : : [1;3] → R/f (x) = −2 9. Sea f Sea f ((x) = x 2 + 1 y el intervalo [-2;4]. Escriba una partición de al menos 4 puntos. Hallar la suma superior y la suma inferior de la partición. 10. Sea g Sea g((x) = x y x y el intervalo [1;3]. Encuentre una partición P partición P del del intervalo dado de manera tal que S (P ) P )

− s(P ) P ) < 0 < 0,, 5.

11. Dada la la función función y y = sen = sen((x) y el intervalo

π π

−  2

;

2

. Elija una partición R partición R

de al menos 4 puntos y que los subintervalos no sean todos de la misma longitud. Dibuje la suma inferior de la partición en el intervalo dado. 12. Dada la funció función n h( h (x) = x 4 + 4 y el intervalo [-4;2], elige una partición P partición P con al menos 5 puntos de manera tal que los subintevalos sean todos de la misma longitud. Dibuje la suma superior de la partición en el intervalo dado. 13. Pruebe Pruebe que dada una función constante constante y un intervalo intervalo [a; b] cualquiera, se tiene que para cualquier partición P partición P del del intervalo resulta que S (P ) P )

− s(P ) P ) = 0. 0.

14. Sea f Sea f ((x) = x 2 + 2 y 2 y el intervalo [-1;3]. Sea la partición P partición P =

{−1; −0, 5; 0, 5;1;2;2, 5;1;2;2, 5; 3}.

a ) Calcule Calcule la suma superior superior de la partición en el intervalo intervalo dado. b) Halle una una partición partición Q Q más fina que P que P .. c ) Calcule Calcule la suma superior de la partición partición Q en el intervalo dado.

2


67

d ) Compruebe que S que S ((P ) P ) − S (Q) > 0 > 0.. 15. ¿Será ¿Será cierto cierto que si g > 0 en el intervalo [a; b], entonces S (P ) P ) > 0 para cualquier partición P ? P ? Justifique su respuesta. 16. ¿Será ¿Será cierto cierto que si g < 0 en el intervalo [a; b], entonces S (P ) P ) < 0 para cualquier partición P ? P ? Justifique su respuesta. 17. Encuentr Encuentree una partición P , P , una función f f y un intervalo [a; b] de tal manera que S que S (P ) P ) > 0 > 0 pero pero que f que f no no sea mayor a cero en todo el intervalo. 1 y el intervalo [-1;1], entonces x2 no es posible encontrar S (P ) P ) para cualquier partición P P del intervalo

18. Demuestr Demuestree que dada la función f ( f (x) =

dado. 19. Pruebe Pruebe que la funció función n tg( tg(θ) no es R-integrable en el intervalo [ π ; 0]. 0].

−

(Sug.: demuestre que no se puede calcular la suma inferior usando cualquier partición Q de dicho intervalo). 20. Dada una una función función g g,, un intervalo [ intervalo [a a; b] y una partición Q partición Q de de dicho intervalo, ¿será cierto que si S (Q) > 0 entonces g > 0 en todo el intervalo [a; b]? Justifique su respuesta. u + 1 y el interv intervalo alo [ [ 1;0], 1;0], escriba una partición u 1 P de P de al menos cuatro puntos. Halle la suma superior e inferior.

21. Dada la función función h h((u) =

−

−

1 y el eje de las abscisas en el t intervalo [ intervalo [ 1; 2]? 2]? Si la respuesta es SI, encuentre el valor de la integral.

22. ¿Exist ¿Existee el área área entre entre la funció función n m(t) =

− √

Si la respuesta es NO, justifique por qué no lo es. 23. Dado el intervalo intervalo [2; 4]. Encuentr Encuentra a una partición R partición R del intervalo de manera tal que R < 21 .

 

2


68

24. Repita Repita el ejercicio ejercicio anterior anterior para el intervalo intervalo [-1; 3] pero con la condición condición que

1 2

< R < 1 < 1..

 

25. Escriba Escriba una sucesión de particiones particiones

 

P 1 ; P 2 ; P 3 ; P 4 ; P 5 del intervalo 1; 25 de manera tal que P 1

⊂ P ⊂ P ⊂ P ⊂ P 2

3

4

5

pero que la norma de las particiones no tienda a cero.

3

SUMA SUMA DE RIEM RIEMAN ANN N

69 SECCIÓN 3

Suma de Riemann La suma suma de Riemann Riemann

SUBSECCIÓN 3.1

3.1.1. 3.1.1. Anális Análisis is de de un ejemp ejemplo lo En la sección anterior, hemos definido la suma inferior y superior, a partir de tomar el ínfimo y el supremo de la función en cada subintervalo determinado por una partición P partición P del del intervalo [ intervalo [a a; b] en el cual está definida la función. Nos proponemos estudiar ahora, otro tipo de suma, en la que no se tiene en cuenta el ínfimo o supremo de la función. Comencemos entonces por tomar un ejemplo, a partir del cual, desarrollaremos los conceptos que se estudiarán en esta sección.

Sea f : : [1;2] → R tal que f ( f (x) = x. x . Ejemplo 38. Sea f Sea la partición P = 1; 1, 3; 1, 5; 1, 6; 1, 8; 2 . En cada subintervalo [ti−1 ; ti ]

{

}

tomare tomaremos mos un valo alorr cualqu cualquier iera, a, al que llamare llamaremos mos ci . En otra otrass palab palabra ras, s, ci

∈ [t [ t − ; t ]. i 1

i

Tomaremos entonces a c1 = 1, 2; c2 = 1, 35 35;; c 3 = 1, 58 58;; c 4 = 1, 75 75 y y c 5 = 1, 9. Como puede apreciarse, no es necesario que el c i sea el punto medio del intervalo [ valo [tti−1 ; ti ]. Puede ser cualquier punto que esté en dicho intervalo, inclusive ci puede tomar el valor de los extremos ti−1 o t i . Hallemos la siguiente suma: 5

 i=1

f ( f (ci )∆t )∆ti = 1, 2 0, 3 + 1, 35 0, 2 + 1, 58 0, 1 + 1, 75 0, 2 + 1, 9 0, 2 = 1, 518

·

·

·

·

·

Podríamos Podríamos haber tomado otros valores ci , a partir de los cuales, podemos hallar nuevamente la suma anterior.

3


70

Tomaremos entonces a c1 = 1, 25 25;; c2 = 1, 4; c 3 = 1, 52 52;; c 4 = 1, 7 y c 5 = 2. Hallemos ahora, la siguiente suma con los nuevos c nuevos c i : 5



f ( f (ci )∆t )∆ti = 1, 25 0, 3 + 1, 1 , 4 0, 2 + 1, 1 , 52 0, 1 + 1, 1, 7 0, 2 + 2 0, 2 = 1, 547

·

i=1

·

·

·

·

Las sumas anteriores están muy cerca del valor 1,5 que es el área de la región encerrada entre la función f ( f (x) = x, el eje x y las abscisas x = 1 y x = 2. Entonces deberíamos preguntarnos: ¿qué relación hay entre esta suma y el cálculo de áreas? y también ¿qué relación hay entre esta suma y las suma superior superior e inferior? inferior? Para responder a esta pregunta, definamos la suma realizada con anterioridad y luego demostraremos demostraremos algunos teoremas teoremas importantes importantes que responder responder a las cuestiones anteriores.

Comencemos entonces con la siguiente:

Sea f : [a; b] → R, una función acotada. Sea P Sea P una partición Definición 23. Sea f del intervalo dado. Llamaremos suma de Riemann y lo denotaremos con la

letra griega σ griega σ a:

n

σP (f ) f ) =



f ( f (ci )∆t )∆ti

i=1

con c con c i

∈ [t [ t − ; t ], ∀i. i 1

i

Una suma de Riemann es como una suma superior o inferior, nada más que en vez de tomar el supremo o el ínfimo en cada subintervalo, se toma la imagen de los ci elegidos.

3


71

3.1.2. 3.1.2. Relaci Relación ón con la suma suma superio superiorr e inferior inferior Como se vio anteriormente, para una función, un intervalo y una partición dada, hay una sola suma inferior y una sola suma superior. Sin embargo, se puede observar que hay infinitas sumas de Riemann, dependiendo de cómo son elegidos los ci en cada subintervalo. Ahora bien, el tener infinitas sumas de Riemann para una partición es una desventaja. Sin embargo, como lo muestra el siguiente teorema, todas las sumas de Riemann se encuentran entre la suma inferior y superior.

Teorema 3.1. Sea f : [a; b] → R, una función acotada. Sea P una

partición del intervalo dado. Se tiene que s(P ) P ) ≤ σP (f ) f ) ≤ S (P ) P ) con

ci

[ t − ; t ], ∀i. ∈ [t i 1

i

Demostración. Veamos en primer lugar que, en cada subintervalo [ti−1 ; ti ] se tiene que mi

f (c ) ≤ M , ∀c ∈ [t [ t − ; t ] ≤ f ( i

i

i

i 1

i

(Vease (Vease figura figura 19)

Multiplicando en todos los miembros de la desigualdad por ∆ti se tiene que mi ∆ti

)∆t ≤ M ∆t ≤ f ( f (c )∆t i

i

i

i

Y sumando con i con i variando de 1 a n a n,, resulta que: n

 i=1

Es decir: s decir: s((P ) P )

≤ σ

f ) P (f )

n

mi ∆ti

 ≤ i=1

n

 ≤

f ( f (ci )∆t )∆ti

M i ∆ti

i=1

P ). ≤ S (P )

En base al teorema anterior, podemos deducir una cuestión teórica muy importante. portante. Para Para ello, enunciamo enunciamoss el siguiente: siguiente:

3


Figura 19: f ( f (x) en el subintervalo [ti−1 ; ti ]

72

3


73

Teorema 3.2. Sea f : [a; b] → R, una función acotada. Sea P una

partición del intervalo dado. Se tiene que b



b

f ( f (x)dx

a

≤  l´ı→ m P

0

σP (f ) f )

 ≤

f ( f (x)dx

a

Demostración. En efecto, como s(P ) P ) ≤ σP (f ) f ) ≤ S (P ) P ), tomando límite en cada miembro de la desigualdad resulta que: l´ım s(P ) P )

P →0

≤  l´ı→ m P

0

σP (f ) f )

≤  l´ı→ m P

0

S (P ) P )

de donde se tiene que b



b

f ( f (x)dx

a

m ≤  l´ı→ P

0

σP (f ) f )

 ≤

f ( f (x)dx

a

En otras palabras, todas las sumas de Riemann, a medida que la partición se vuelve más fina, quedarán entre dos valores: el supremo de las sumas inferiores y el ínfimo de las sumas superiores. Y si la suma de las áreas orientadas de la región encerrada entre la función b

y el eje x tiene valor A, o en otras palabras, si

 a

entonces resulta que:

b

f ( f (x)dx =



f ( f (x)dx = A

a

l´ım σP (f ) f ) = A

P →0

Hemos encontrado otra forma de definir la suma de las áreas orientadas de una región encerrada entre la función f f y el eje x en el intervalo [a; b]. Esta definición, tiene usos más teóricos que prácticos, y se utilizará para definir por ejemplo, la integral definida de una función, tema que excede a las pretensiones de este cuadernillo.

3


SUBSECCIÓN 3.2

74

Ejercicios

1. Sea la función función h h((x) = x 3 en [1;3]. Sea la partición P partición P = 1; 1, 2; 1, 5;2;2, 5;2;2, 4; 2, 7; 3 .

{

}

a ) Calcule Calcule su suma inferior y superior. superior. b) Calcule Calcule su suma de Riemman, Riemman, eligiendo cualquier cualquier xi en [ en [tti−1 ; ti ] c ) Compare Compare los resultados con la de tus compañeros compañeros y compruebe que siempre se cumple que s(P ) P )

σ (P ) P ) ≤ S (P ) P ). ≤ σ(

2. Para Para cada una de las siguientes siguientes funciones, funciones, escriba una partición partición del intervalo de al menos 6 puntos y halle la suma de Riemann, eligiendo a voluntad los x los x i en [ en [tti−1 ; ti ].

a ) f ( f (x) = x 2 en [1;3] b) g(x) = x − 2 en [-1;2]

x en [0;4] x2 + 1 d ) j (x) = sen( sen(x2 ) en π; π2 1 e ) k(x) = 2 en [-2;2] x

c ) h(x) =

− 

3. Dada Dada la funció función n f : [ 1;3]

−

→ R/

   − 

x + 1 si x [ 1;0)

f ( f (x) =

∈−

4 si x = 0

x + 2 si x (0; (0; 2]

y la partición P partición P =

0 si

∈ x ∈ (2; (2; 3]

{−1; −0, 5;0;0, 5;0;0, 2; 0, 7; 1, 3; 1, 6;2;2, 6;2;2, 5; 3}, halle la suma

inferior, la suma superior y la suma de Riemann, . Compare los resultados.

Este libro ha sido diseñado mediante las siguientes herramientas: LaTeXila TexMaker LatexDraw Inkscape Geogebra TeXstudio sobre Ubuntu Linux 14.04

Índice alfabético alfabético área, 49

intervalo

orientada, 55

abierto, 8

suma de áreas, 63

cerrado, 8

conjunto

partición, partición, 23

acotado, 9

comparables, 46

cota

más fina, 26, 43

inferior, inferior, 14

no comparables, 26

superior, superior, 13

norma, 25 subintervalos, 31

extremos, extremos, 17 ínfimo, 14, 17, 19, 32

suma

mínimo, 16

inferior, inferior, 32

máximo, 16

superior, 32

supremo, 15, 17, 18

suma de Riemann, 70

función acotada, 12 constante, 36 discontinua, 37 no negativa, 31 no positiva, 55 integral integral inferior, inferior, 47 integral integral superior, superior, 47

76

ÍNDICE ALFABÉTICO

77

A pesar de todas las correcciones hechas al texto, puede que el lector encuentre algún error. En ese caso desearía que me lo haga llegar a rosomi-

[email protected] . Todas las apreciaciones serán bienvenidas. Mayor Villafañe, Provincia de Formosa. 29 de octubre de 2015

Suma Inferior, superior y de Riemman

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