Unidad III: Series Infinitas
SERIES INFINITAS SUCESIONES Una sucesión es una función cuyo cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos o números números naturales naturales (n=1,2, (n=1,2,3,! 3,! y cuyo cuyo ran"o ran"o son los números números reales (elementos (elementos de la sucesión!# Notación: $a sucesión (o ran"o de una función! se denota como { an } ó { a } ∞=1 , donde: n
n
{ an } = { a1 , a2 , a3 ,...} as% a1 : primer tér min o de la sucesión,......, an : n − ésimo tér min o ó tér min o general de la sucesión
Sucesiones Crecientes o Decrecientes.$a sucesión es CRECIENTE si a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ .... ≤ an ≤ an +1 ≤ ......∀n y $a sucesión es DECRECIENTE si a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ .... ≥ an ≥ an +1 ≥ ......∀n &jemplos: n
(1! f ( n) = f (1)
=
2n + 1 1 1
2 +1
=
3
n
= a1
= 1,2,3,..... (do min io) f (2)
=
2 4 +1
=
2 5
= a2 ##
f (n)
=
n 2n + 1
= an
n = 1 , 2 , 3 ,...., n ,..... 2n 1 3 5 7 2n + 1 + (2! f (n) = n
n
= 0,1,2,3,..... (do min io)
{ n} = { 0,1,2,3,...., n,.....}
$a sucesión es creciente, los elementos tienden 'acia infinito#
3 2 1 1 2
3
Unidad III: Series Infinitas
n es Monótona Creciente# 2n + 1
*omo an ≤ an +1 ∀n entonces la sucesión
1 n
1 1
1
2 3 1
n
(2! = 1, , ,...., ,..... 1
an
=
an
≥ an +1 ⇒
n
an +1
=
n +1 1 1 n
≥
∀n ⇒ n + 1 ≥ n ∀n + entonces
n +1
an
Monótona Decreciente#
1 ≥ an +1 ∀n as% la sucesión es n
Sucesiones Acotadas.Una sucesión { an } se dice ue est- ACOTADA si y sólo si tiene una cota superior superior y una cota inferior# $a sucesión { an } es ACOTADA SUPERIORMENTE si e.iste una constante M tal tal ue an ≤ M para todo n y es ACOTADA INFERIORMENTE si e.iste una constante N tal tal ue N ≤ an para todo n#
1 n
1 1
1
2 3
n
&jemplo: = 1, , ,...., ,..... es acotada ya ue: *ota superior=1,2/,# (0 1! y la *ota inferior=/,1, (04/!
< Cot . Inf 0
1 n
≤ Cot 1.Sup. ∀n
5eorema: Una sucesión monótona acotada es coner!ente# 1 1 1 1 n n 2 3 as% es una sucesión coner!ente#
6or ejemplo = 1, , ,...., ,..... es una sucesión monótona (decreciente! y es acotada,
Unidad III: Series Infinitas
n
π
6or lo tanto { an } = nsen 7
n 2n + 1
(2! { an } =
lim an
n →∞
= nlim →∞
n 2n + 1
1 = , entonces { an } =
7 2n + 1
2
n
Pro(iedades de )as Sucesiones.Si { an } y { bn } son sucesiones conver"entes y 9c es una constante entonces: (i! Si una sucesión es conver"ente, su l%mite es único (ii! (iii! (iv! (v! (vi!
c=c $a sucesión constante {c} es 7 y nlim →∞
a ± lim b ( ± b ) = lim →∞ →∞
lim an
n→∞
lim can
n →∞
(
n
lim
n →∞
an bn
n
n
= c nlim a →∞ n
lim an * bn
n →∞
n
n
=
) = lim a →∞ n
lim an
n →∞
lim bn
n →∞
n
* lim bn n→∞
, si lim bn n →∞
≠0
Unidad III: Series Infinitas
SERIES INFINITAS De%.∞
∑= a
n
8ada
la
{ an } le
sucesión
= a1 + a2 + a3 + a 4 + ..... + an + ......
asociamos se
denomina
la
sucesión
SERIE
{ S n } ,
entonces:
INFINITA*
donde
n 1
S 1
= a1,
S 2
= a1 + a2 ,
S 3
= a1 + a2 + a3 ,..., S n = a1 + a2 + a3 + .... + an , representan los T+RMINOS DE
"A SERIE+ mientras ue: S n =
n
∑ a = a + a + a + ... + a se denomina n-,si$a Su$a Parcia) y i
1
2
3
n
i =1
{ S n } se llama Sucesión de Su$as Parcia)es de la serie# *onver"encia y 8iver"encia de Series ∞
Sea
Si
∑a
n
n =1
una serie infinita y { S n } la sucesión de sumas parciales de la serie, entonces:
(i) xiste y es igual a S , entonces la serie es convergent e (⊄) y S es la suma de la serie lim S n n → ∞ (ii ) No existe, entonces la serie es divergente DIV ( ) y no tiene suma ∞
&jemplo: 8ada la serie infinita
∑ 1n − n 1+ 1 , encontrar los 3 primeros elementos de n =1
determinar una fórmula para S n en t;rminos de n# an
1
1
n
n +1
= −
(t;rmino "eneral de la serie!
= a1 = 1 − 1 2 = 1 2 S 2 = a1 + a2 = (1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) = 1 − 13 = 2 3 S 3 = a1 + a2 + a3 = (1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) = 1 − 1 4 = 3 4 S 1
{ S n } y
Unidad III: Series Infinitas
lim an
n →∞
∞
(2!
e
n
∑n
=
n =1
lim an
n →∞
n
= nlim →∞
= nlim →∞
n +1 2 e e+ 2 e
= 1 ≠ 0 DIV por *#0#*# +
e
3
3
+ ..... +
e
n
n
+ ....
n
n
n = nlim e = ∞ ≠ 0 DIV por *#0#*# →∞
∞
(3!
∑ 1n = 1 + 12 + 13 + 14 + ... + n1 + .... n =1
lim an
n →∞
∞
1
= nlim = nlim = 0 (no 'ay suficiente información de la serie →∞ →∞ n
∑ n
=1
1 n
usando la *#0#*#, 'ay
ue usar otro criterio!
Serie 'eo$,trica.∞
∑ ar
De%.- $a serie dada por:
n =0
n
= a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... , se llama SERIE 'EOM+TRICA
DE RA/ÓN 0r1 #
Teore$a.-
Una serie "eom;trica de raón 9r
DIV"# , si r ≥ 1 a C!NV"# si r cuya suma es S < < = , 0 1 , : 1 − r
&jemplos: &studiar la conver"encia o diver"encia de las si"uientes series: ∞
(1!
3
∑2 n =0
n
2
3
1 1 1 = 3 + 3 + 3 + 3 + ..... 2 2 2
donde 0 <
∞
1
< 1 entonces: ∑
3
a
7
= 3, r =
1 2
S =
a
=
3
=6
Unidad III: Series Infinitas
DIV"# , si p ≤ 1 $a pserie C!NV"# , si p > 1 &jemplos: ∞
(1!
1
∑n n =1
∞
(2!
2
∑n n =1
2
1
1
1
1
2
3
4
n
= 1 + + + + ... + + .... , p=1, entonces = 2+
2 22
+
2 32
+
2 42
+ ... +
∞
∑ n
2 n2
=1
1 n
+ .... , p=21, entonces
DIV ∞
∑ n
=1
2 n
2
7
Serie Te)escó(ica.∞
6ara encontrar la suma total de una serie
a ∑ =
n
se tiene ue calcular primero la suma parcial
n 1
n
S n
= ∑ ai = a1 + a2 + a3 + ... + an pero no e.iste un m;todo "eneral para 'allar
S n# &ntre los pocos
i =1
casos en ue es posi?le calcular el valor de S n, siempre y cuando se pueda e.presar an de una de las si"uientes formas, se encuentra: an = bn +1 − bn , entonces: S n
an S n
= a1 + a2 + a3 + .... + an = b2 − b1 + b3 − b2 + b4 − b3 + ... + bn +1 − bn S n = bn +1 − b1 = bn − bn +1 , entonces: = a1 + a2 + a3 + .... + an = b1 − b2 + b2 − b3 + b3 − b4 + ... + bn − bn +1 S n = b1 − bn +1
&jemplos: ∞
(1! Sea la serie
∑
1 (
1 n n
+ 1)
, calcular S n
Unidad III: Series Infinitas
SERIES DE T+RMINOS POSITI&OS Una serie de t;rminos positivos es conver"ente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior#
Criterio de Co$(aración Directa.- *onsiste en comparar una serie, con t;rminos an-lo"os pero m-s complicados, con otra m-s sencilla cuya conver"encia o diver"encia ya es conocida# *ondiciones: / ≤ an
≤ ?n n = 1,2,3,####
∞
(i!
Si
∑?
∞
n
n =1
∑a
*A0B&CD& entonces
n =1
n
*A0B&CD& (si la serie mayor conver"e
entonces la serie menor conver"e! ∞
(ii!
Si
∑ =
∞
a n 8IB&CD& entonces
n 1
∑? n =1
n
8IB&CD& (si la serie menor diver"e entonces las
serie mayor diver"e!
E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en ∞
(1!
∑ 2 +13 n=1
n
Sol# ∞
(i! Fuscar una nueva serie ( ∑ ? n , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie# n =1
∞
∞
∑ ? = ∑ 31 n
n=1
n=1
(Serie "eom;trica!
n
∞
(ii! *omparar:
∑a
∞
n
y
∑?
n
Unidad III: Series Infinitas
Sol# ∞
(i! Fuscar una nueva serie ( ∑ ? n , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie# n =1
∞
∞
∑ ? =∑ n1 (pserie! n
n=1
2
n=1
∞
∑ =
(ii! *omparar:
∞
∑?
an y
∞
∑
∞
an
n=1
=∑ n=1
1 n2
+1
n
n =1
n 1
∞
∑
∞
?n
n=1
=∑
n=1
1 n
2
1 1 1 1 , entonces: para todo nH1, as%: 2 ?n = 2 2 4 1G n n 1G n n2 a n < ?n n ≥ 1 an =
∞
(iii! Berificar la conver"encia o diver"encia de ∞
∑
∞
=∑
?n
n=1
n=1
1 n2
∑?
n
n =1
∞
(pserie!, donde p=21, por lo tanto: ∞
(iv!*onclusión: 8ado ue
∑ = n 1
∞
an 4
∑ n =1
∑? 7 n
n =1
∞
∞
?n y
∑
7,
?n
n =1
entonces
criterio de comparación directa# ∞
(3!
∑ n=1
1 n
+2
Sol# ∞
(i!
Fuscar una nueva serie:
∑?
n
n =1
1
1
=
1 n 1
1
∑
n=1
∞
an
=∑ n=1
1 n2
+ 1 7 por el
Unidad III: Series Infinitas ∞
8ado ue
∑
∞
= ∑ 4 ∑?n =
an
n=1
∞
∑ n =1
?n
n=1
∞
1
n =1
2+ n
=∑
∞
1
n
n =1
1 2+ n
∞
y
∑
∞
an
n =1
=∑ n=1
1 n
DIV, entonces
DIV por el criterio de comparación directa#
Criterio de Co$(aración en e) "#$ite.- Su procedimiento es similar al criterio anterior, pues ∞
de?e ?uscarse una nueva serie (
∑? n =1
n
!, la cual puede ser serie "eom;trica o pserie an n →∞ ? n
dependiendo de la estructura de la serie dada# Supon"amos ue a n > 0 , ? n > 0 y lim ∞
donde $ es finito y positivo# &ntonces, las dos series:
∑ n =1
=$,
∞
an y
∑? n =1
n
, son conver"entes o
diver"entes# *ondiciones: (i! Si lim
n→∞
an ?n
= $ > 0 , am?as conver"en o diver"en, depende de la conver"encia o ∞
diver"encia de an
∑? n =1
n
# ∞
∞
= 0 y ∑ ? n conver"e, entonces ∑ a n 7 n→∞ ? n n =1 n=1
(ii! Si lim
an n→∞ ? n
(iii! Si lim
∞
∞
n =1
n =1
= ∞ y ∑ ? n diver"e, entonces ∑ a n
DIV
Unidad III: Series Infinitas
(iv! *onclusión: 8ado ue nlim →∞
an
∞
?n
∞
<
∑ ? =∑ 3
=1> / y
n
n=1
n=1
∞
n n
DIV, entonces
2n 2 − 1 (2! > n =1 3n + 2n + 1 ∞
∑
Sol# ∞
(i!
Fuscar una nueva serie ( ∑ ? n ! n =1
∞
2
n > n =1 n
∑
∞
∞
= ∑ 13 (pserie! n =1
∑
n
2n 2 − 1 > n =1 3n + 2n + 1 ∞
an
n =1
=∑
∞
(ii!
8efinir la conver"encia o diver"encia de ∞
∑
∞
?n
n =1
1 3 n =1 n
=∑
1 2
= 1+ 3 +
1 33
+
1 <3
∑?
n
n =1
+ #####, donde p=31 as%
∞
∑? 7 n
n =1
(iii! &valuar el l%mite: a lim n n→∞ ? n
−1 2n > − n 3 2 3 = nlim = >/ K n = lim > > →∞ 3n + 2n + 1 n→∞ 3n + 2n + 1 3 2n 2
(iv! *onclusión: 8ado ue nlim →∞
an ?n
2
= > /y 3
∞
∑ n=1
∞
?n
=∑
n=1
1 n
3
, 7, entonces
2n 2 − 1 an = 7 por el *riterio de comparación en el $imite# > n =1 n =1 3n + 2n + 1 ∞
∑
∞
∑
<
n
∑ a = ∑ 1+ 3 n
n=1
DIV por el *riterio de comparación en el $imite#
∞
n=1
n
Unidad III: Series Infinitas
Criterio de )a Inte!ra).- Si f es una función continua, positiva y decreciente para toda .Ha y ∞
an
∞
= f (n! , entonces: ∑ a n y ∫ f ( . !d. , am?as conver"en o diver"en# &s decir, la serie n =a a
∞
infinita:
∑ f (n! = f (1! + f (2! + ###### + f (n! + ###### es
conver"ente
n= a
∞
si
∞
∫
f ( . !d.
7, y es diver"ente si la inte"ral impropia ∫ f ( . !d. DIV#
a
a
E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en ∞
(1!
∑ en n=1
n
2
1 e
= +
2 e
<
+
3 eL
+ #####
Sol# *ondiciones ue de?e cumplir f'x): n . ⇒ f (n! = a n = f ( . ! = en e. (i! f de?e ser positiva: +
a1
+
1
2
e
e<
= > /, a 2 =
> /, a 3 =
(ii! f de?e ser continua: . f ( . ! = 2 es continua e. (iii! f de?e ser decreciente: 2
2
2
3 eL
> /,######, a n =
∀. ≥ 1 2
n e
n2
> / ∀n ≥ 1
la
inte"ral
impropia
Unidad III: Series Infinitas
an
=
n n
2
+1
= f (n! ⇒ f ( . ! =
. .
2
+1
f de?e ser positiva: 1 2 3 n a1 = > /, a 2 = > /, a 3 = > /,######, an = 2 > / ∀n ≥ 1 2 > 1/ n +1 (ii) f de?e ser continua: . f ( . ! = 2 es continua para toda . N R . +1 (iii) f de?e ser decreciente: . 2 + 1 − 2. 2 1− . 2 = 2 < /, ∀. ≥ 1 f M ( . ! = ( . 2 + 1! 2 ( . + 1! 2 8ado ue f,'x)4/, entonces f'x) es decreciente# (i)
Una ve ue se 'an cumplido las condiciones, entonces se procede a evaluar la inte"ral impropia: ∞
∞
?
1 ln( . 2 + 1) = 1 lim [ln(? 2 + 1! − ln( 2!] = ∞ = = d. lim d. lim 2 2 ∫ 1 . + 1 ? →∞ ∫ 1 . + 1 ? →∞ 2 2 ? →∞ 1 .
∞
&ntonces
∫ . 1
. 2
+1
.
d.
= ∞ DIV ∞
*onclusión# 8e?ido a ue
∫ . 1
. 2
+1
Inte"ral#
n a n =$ Criterio de )a Ra#3.- Sea nlim →∞
∞
d. DIV,
entonces
∑ n n+ 1 DIV, por el *riterio de la n=1
2
Unidad III: Series Infinitas ∞
(2!
n3
∑3 n =1
n
Sol# lim n
n →∞
n3
3
n3
n n = lim n n = n→∞ 3 3
3n
3 1 lim n n 3 n→∞
=
Cesolviendo la forma indeterminada: O
0
y = lim .
3
3 3 ln . 3 3 ln . . = lim #ln . = lim lim = / ⇒ ln y = .lim = →∞ . →∞ . . →∞ . .→∞ .
.
. →∞
ln y = / ⇒ y = 1 ⇒ y = lim .
3
.
=
. →∞
1
&ntonces:
lim an n
n→∞
=
1 3
n
3
n
=
1 3
(1! =
1 3
*onclusión# 8ado ue lim n a n n →∞
<1 =
1 3
< 1, entonces la serie
∞
n3
∑3 n=1
n
7, por el *riterio de la Ca%#
∞
Criterio de) Cociente Ra3ón.- Sea ∑ a n una serie con t;rminos no nulos# n =1
(i! (ii!
Si lim n→ ∞
Si
lim
n→∞
a n+1 an a n+1 a
= $ < 1, entonces la serie
∞
a ∑ =
n
*A0B&CD& (*#E!#
n 1
= $ > 1 ó si lim n→ ∞
a n+1 a
∞
= ∞ , entonces ∑ a n 8IB&CD& n=1
Unidad III: Series Infinitas ∞
(2!
1
∑ (3n!P n =1
Sol# an = lim
n→∞
an+1 an
1 (3n!P
a n+1
=
1 ( 3(n + 1!)P
=
1 ( 3n + 3 !P
( 3n)P ( 3n)P 1 = lim = lim = /<1 n→∞ ( 3n + 3 )P n→∞ ( 3n + 3)#(3n + 2!#(3n + 1!#(3n!P n→∞ ( 3n + 3 )#(3n + 2!#(3n + 1!
= lim
*onclusión# 8ado ue lim n→∞
*ociente#
an+1 an
= / < 1 , entonces la serie
∞
1 ∑ (3n!P 7, por el *riterio del n =1
Unidad III: Series Infinitas
SERIES A"TERNANTES* CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CON&ER'ENCIA CONDICIONA" Series A)ternantes.- Son auellas series cuyos t;rminos son positivos y ne"ativos en forma alternada# &jemplos: 1 1 1 1 ( −1!n +1 1# 1 − + − + − ##### + 2 3 < > n 2#
3#
+ ##### = ∑
1 1 1 ( −1! n < − 2 + 1 − + − + ##### + n 2 < J 2 1 − 2 + 3 − < + > − @ + ##### + ( −1!
( −1! n +1 n n =1 ∞
( −1!n < 2n n =1 ∞
+ ##### = ∑
n+1
n + ##### =
∞
∑ (−1!
n+1
n
n=1
Criterio (ara )a coner!encia de )as series a)ternantes.∞
$a serie
∑ (−1!
n+1
an
n=1
= a1 − a 2 + a 3 − a < + ######### conver"e si se cumplen las si"uientes
condiciones: (i! / < a n+1 ≤ a n , para todo n ue pertenece a los enteros positivos# (ii! lim a n = / n →∞
&jemplos: ( −1! n (1! en n =/ ∞
∑
Sol#
1 e
= 1− +
1 e2
−
1 e3
+ #######
Unidad III: Series Infinitas
a (i! nlim →∞ n
= nlim →∞
1 +3 = ≠ / (no se cumple! 2 < ( 2n − > ) n2
a *onclusión# 8ado ue nlim →∞ n
≠ / entonces la serie alternada
∞
∑ (−1! n=1
n
+3 2 (2n − >! n2
DIV#
Coner!encia A6so)uta 7 Condiciona) ∞
∑a
Una serie
n
n =1
*A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E#! si la serie correspondiente de ∞
valores a?solutos
∑a n =1
n
conver"e#
∞
Teore$a: Si
∑ n =1
∞
a n conver"e, entonces
∑a n =1
n
conver"e#
∞
Una serie
∑ =
∞
a n *A0B&CD& *A08I*IA0E$Q&05& (*#*! si la serie
n 1
a ∑ =
n
conver"e y la
n 1
∞
serie de valores a?solutos
∑a n =1
n
diver"e#
E2e$()os: ∞ ( −1!n 1 1 1 =− + − + ##### (1! ∑ 2n + 1 3 > I n =1 ∞
Sol#
a ∑ =
n
es una serie alternada, para ue sea
n 1
condiciones: 1
7
de?e cumplir con las si"uientes
Unidad III: Series Infinitas
lim
n→∞
an ?n
n
= nlim →∞
2n + 1
an
1
8ado ue nlim →∞
=
?n
2
=
> / y
1
>/
2 ∞
∑? n =1
n
1
=
n
∞
DIV, entonces
∞
Conclusión Final #
∑ =
8e?ido a ue
an
7,
∑a n=1
∞
n
=∑ n=1
1 2n + 1
DIV ∞
por el criterio de series alternantes, y
n 1
∞
DIV, por el criterio de comparación en el limite, entonces la serie
∑ n=1
( −1!
∑a
n
n =1
n
2n + 1
*A0B&CD&
*A08I*IA0E$Q&05& (*#*!# ∞
(2!
∑( −1!
n +1
n =1
2 3n nn
2@ =2 − 2 2 3
2L + 3 3
212 − < <
+ #########
Sol# ∞
&valuando la serie ∞
∑a n=1
∞
n
=∑
∑a
n
n =1
:
( −1!n+1 2 3n nn
n=1
∞
=∑
n=1
2 3n nn
Se aplicar- el criterio de la ra%# lim
n→∞
n
an
= nlim →∞
n
2 3n nn
23 = nlim →∞ n
= / <1
∞
*onclusión ( ∑ n =1
∞
a n !# 8ado ue lim n a n n →∞
= / < 1 , entonces la serie ∑ a n 7, n =1
por el criterio
de la ra%# ∞
Conclusión Final.-
8e?ido a ue
∞
∑ a 7, por el criterio de la ra%, entonces ∑ a 7, por n
n
Unidad III: Series Infinitas
(vi! decreciente: f M ( . ! =
− ( ln . + 2)
. 2 (ln . !3 Eplicando el criterio de la inte"ral: ∞
∞
2
2
?
− 1 = − 1 + 1 = 1 = .lim (7! →∞ ln . 2 ln(∞ ! ln(2! ln(2!
d.
∫ f ( .!d. = ∫ .(ln .!
< / , as% f decrece#
2
∞
*onclusión ( ∑ a n !# 8e?ido a ue n= 2
∞
∫ 2
∞
f ( . !d. =
d.
∫ .(ln . !
2
=
2
∞
1 ln( 2!
7, entonces ∑ a 7, = n
n 2
por el criterio de la inte"ral# ∞
∞
Conclusión Final.- 8ado
ue
∞
n+1
( −1!
∑ a 7 entonces ∑ a = ∑ n(lnn! 7, por lo tanto la serie n
n=2
*A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E!#
n
n= 2
n= 2
2
Unidad III: Series Infinitas
SERIES INFINITAS *AB&CD&0*IE A 8IB&CD&0*IE
SERIE 'EOMETRICA: ∞
∑ ar
n
DIV"# , si r ≥ 1 a C!NV"# , si 0 < r < 1, cuya suma es : S = 1 − r
= a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ...
n =0
P-SERIE:
∞
∑ n1 n =1
p
= 1+
1 p
2
+
1 p
3
+
1 4
p
+ ... +
1 n p
+ .... p-0
PRUE4A E-NESIMA PARA "A DI&ER'ENCIA C.N.C CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA: / ≤ an ≤ ? n n = 1,2,3,#### ∞
a ∑ =
DIV"# , si p ≤ 1 C!NV"# , si p > 1 a Si nlim →∞ n
:serie menor
n 1
∑? n =1
∞
≠ 0 R ∑ a n DIV"# n =1
∞
(i!
∑?
(ii!
a ∑ =
∞
n
n =1
C!NV"# R
∞
∞
n
n
AFS&CBE*IA0&S
:serie mayor
∑a
∞
n
n=1
n =1
∞
n
DIV"# R
n 1
∑?
n
n =1
L > 0 ,
∑?
si
n =1
n
: es una pserie
o serie "eom;trica
DIV"#
∞
(i!
∑?
C!NV"#
∞
n
C!NV"#
R
∑a
n
n =1
C!NV"# ∞
si
CRITERIO DE COMPARACIÓN EN E" "8MITE: an
> 0 , ?n > 0
lim n →∞
an bn
= L
∑?
∞
n
n =1
DIV"# R ∑ a n DIV"# n =1
∞
∞
(ii! L
= 0y
∑?
n
n =1
C!NV"#
R
a ∑ =
n
n 1
C!NV"# ∞
∞
(iii! L
= ∞ y ∑ ? =
n
DIV"# R ∑ a n DIV"# n=1
n 1
CRITERIO DE "A INTE'RA"
∞
(i!
∞
∫
f ( . !d. C!NV"# R
a
1L
∑a n =1
n
C!NV"#
Si f es una función continua, positiva y decreciente para toda
Unidad III: Series Infinitas ∞
∞
(ii!
∫
f ( . !d. DIV"# R
a ∑ =
n
DIV"#
.Ha
n 1
a
∞
(i! $41R
CRITERIO DE "A RAI/ =$
CRITERIO DE" COCIENTE n 1
n →∞
an
= L
CRITERIO DE "AS SERIES A"TERNANTES ∞
∑ (−1!
n+1
an
n =1
(iii! $=1, entonces el criterio no decide# ∞
es una serie con t;rminos no nulos# an + 1
(ii! $1 ó O R ∑ a n DIV"#
(i! $41R
∞
lim
C!NV"# %$S!L./%MN/ ∞
lim n a n
n
n
n 1
n →∞
a ∑ =
a ∑ =
= a1 − a2 + a 3 − a < + #########
n=1
a ∑ =
n
C!NV"# %$S!L./%MN/
n 1
∞
(ii! $1 ó O R ∑ a n DIV"# n =1
(iii! $=1, entonces el criterio no decide# (i)
/ < a n+1
≤ a n , para todo n ue pertenece a los
enteros positivos# a =/ (ii! nlim →∞ n ∞
a ∑ =
n
C!NV"# %$S!L./%MN/ 'C0%0) si la
n 1
∞
serie
CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CONDICIONA"
∑ n =1
n 1
∞
∞
∑a n =1
2/
n
conver"e y
n
C!NV"# R
∞
∑a
a n C!NV"# C!NDICI!N%LMN/ 'C0C) si
la serie
∞
∑a n=1
a n conver"e#
∞
∑ =
Teore$a:
∑a n =1
n
diver"e#
n =1
n
C!NV"#
