TUGAS STRUKTUR ALJABAR Tentang
GRUP SIKLIK DAN GENERATOR
“
”
Oleh: KELOMPOK IV
Arwinda Febri
409295
Fatimah Mardiah
410362
Renta Yulia
410136
Sri Wahyuni S
410035
Yurizal Wendri
410388
Dosen Pembimbing Dosen Pembimbing :
ANDI SUSANTO, S.Si, M.Sc
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) IMAM BONJOL PADANG 1434 H / 2013 M
0
GRUP SIKLIK DAN GENERATOR
Definisi ( perkalian )
Grup (G, o) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = { | n Є Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. Defenisi ( terhadap penjumlahan )
Grup (G, +) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = {na | n Є Z}. Definisi 2.5
Grup G dikatakan grup siklik bila dan hanya bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga hingga setiap setiap elemen y Є G, y = dengan m bilangan bulat. Elemen a Є G disebut penghasil (generator) dari G. Contoh 2.11 (1) B = himpunan bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan. B merupakan suatu grup. Grup B ini dapat dipandang sebagai grup siklik dengan generator 1. Setiap bilangan bulat positif n dapat dinyatakan sebagai jumlah n suku yang semua sukunya 1. Misalnya 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Karena banyaknya elemen B (order grup B) tak berhingga, maka B disebut grup siklik tak berhingga. (2) Himpunan bilangan bulat modulo n terhadap operasi penjumlahan modulo 6 juga merupakan suatu grup siklik dengan order 1 atau (n - 1). Misalkan G = { 0, 1,2,3,4,5} terhaap operasi penjumlahan modulo 6 adalah grup siklik dengan generator 1 atau 5, sebab (2) (5) = 10 ≡ 4 (mod 6), 4 Є G
1
(3) (5) = 15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G (4) (5) = 20 ≡ 2 (mod 6), 2 Є G (5) (5) = 25 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6), 0 Є G (7) (5) = 35 ≡ 5 (mod 6), 5 Є G Dan seterusnya. (-1) (5) = -5 -5 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G (-2) (5) = -10 -10 ≡ 2 (mod 6), 4 Є G (-3) (5) = -15 -15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G Dan seterusnya. Sehingga untuk setiap bilangan bulat m maka m (5) Є G. Note: -5 = 6 (-1) + 1 -10 = 6 (-2) + 2 -15 = 6 (-3) + 3 , dan seterusnya
Contoh : Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, o) Tentukan grup siklik dari grup tersebut!
2
Penyelesaian :
Generator dari G = { -1, 1 } adalah -1 dan 1 [-1]
= {( | n Є Z } = {, , , … } = {-1,1}
[1]
= { | n Є Z} = {, , , … } = {1}
Generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1} Generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1} Teorema :
Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian. Bukti :
Misalkan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi perkalian dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = { | n Є Z}. Ambil x, y Є G, sehingga x = dan y = , untuk m, n Є Z. x o y = o = = = o = y o x Jadi (G, o) merupakan Grup Komutatif.
3
Misakan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi penjumlahan dan merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na | n Є Z}. Ambil x, y Є Z sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Є Z. Z. x + y = na + ma = (n + m) a = (m + n) a = ma + na = y + x Jadi, (G, +) Merupakan Grup Komutatif. Definisi 2.6
Jika G suatu grup dan a Є G, Periode (order) dari a adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga = u, jika tak ada bilangan bulat positif demikian, maka dikatakan bahwa a berperiode tak berhingga. Periode a ditulis p (a). Pada contoh 2.11 (2). P (5) = 6 sebab (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6) P (4) = 3 sebab (3) (4) = 12 ≡ 0 (mod 6) Selanjutnya periksalah bahwa p (3) = 2, p (2) =3, p (1) = 6 dan p (0) = 1
Contoh 2.12 perhatikan gambar 2.3 Misalkan s (O, ) adalah rotasi dengan pusat O dan sudut putaran berlawanan arah dengan arah 0
Gambar 2.4
perputaran jarum jam. Jika S (O, ) = S maka S (O, ) = , S (0, ) = , dan S (O, ) = = I yaitu transportasi Identitas.
4
Pandang himpunan T = {I, S, , }. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa T terhadap operasi perkalian o merupkan suatu grup. Grup T inipun merupakan grup siklik dengn generator S atau (mengapa ?). Coba periksalah bahwa periode setiap elemennya adalah p (I) = 1, p (S) = 4, p ( ) = 2 dan p ( ) = 4. Perhatikan lagi contoh 2.11 (2), yaitu G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup siklik dengan d engan generator I atau S, sedangkan order grup G yaitu n (G) = 6. Mengingat generator G maka grup siklik G dapat ditulis sebagai {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1} atau {0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5}. Perhatikan bahwa factor persekutuan terbesar dari 1 dan 6 yaitu (1,6) = 1. Begtu pula (5,6) = 1. Demikian pula pada contoh 2.12, T = {I, S, , } terhadap operasi perkalian o, T merupakan suatu grup siklik dengan generator S atau . Order grup T yaitu n (T) = 4. Perhatikan pula bahwa (4,1) = 1 dan (4,3) = 1. Contoh-contoh ini membawa kita kepada teorema berikut ini:
Teorema 2.13
Jika (G; o) suatu grup siklik dengan order k. Є G dengan o < t < k, maka merupakan generator dari G bila dan hanya bila (k, t) = 1. Bukti: I. I.
Dibuktikan: jika (k, t) = 1 maka generator G.
5
G = {a, , , … , , = u}. Kita pernah mempelajari dalam Teori Bilangan, Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a dan b saling prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1.
jika (k, t) = 1 maka ada bilangan – bilangan x dan y sedemikian sehingga kx + ty = 1 Sehingga ty = 1 – 1 – kx kx Karena p (G) = k maka = u. Perhatikan bahwa ( = = = a o = a o ( = a o = a o u = a Jadi = a Ini berarti bahwa elemen a dihasilkan oleh perpangkatan . Oleh karena setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a, maka setiap elemen G dapat dihasilkan oleh perpangkatan dari . Jadi adalah generator G. II.
Dibuktikan : Jika generator G maka (k, t) = 1.
generator G, maka setiap elemen G merupakan perpangkatan dari . a Є G dan misalkan
a = ( dengan y bilangan bulat, maka
6
a o = o u =
= Ini berarti (ty-1) merupakan kelipatan dari k, misalkan ty-1 = kx, maka kx – kx – ty ty = 1 Dan disimpulkan bahwa (k, t) = 1.
2
3
4
(Terbukti)
16
Contoh 2.13 Jika G = {a, a , a , a , …, …, u = a } suatu grup siklik. 3
5
7
9
8
12
11
13
15
Maka generator G adalah a, a , a , a , a , a , a atau a 4
Perhatikan himpunan P = {u, a , a , a } terhadap operasi perkalian o seperti pada G. periksalah bahwa P merupakan suatu grup dan karena P
G maka P subgroup dari G. 4
12
P merupakan grup siklik pula dengan generator a atau a . Teorema 2.14
Setiap subgroup dari grup siklik adalah grup g rup siklik pula. Bukti : Misalkan G suatu grup siklik dengan generator a, maka setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a. ambil H suatu subgroup dari G yang tidak hanya terdiri atas elemen identitas saja. Misalkan m adalah bilangan bulat positif po sitif terkecil sedemikian hingga m
a H. k
Ambil sembarang elemen a H.
7
Dalam teori Bilangan, Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan bulat dengan q dan r yang memenuhi b = qa + r dengan 0 < r < a kita telah mengetahui bahwa setiap bilangan bulat k dapat dinyatakan sebagai. K = qm + r dengan 0 r m k
qm + r
Maka a = a -qm
a
qm
=a
k
r
o a
r
oa =a
m -q
k
r
(a ) o a = a m
m -q
a H dan H suatu subgroup maka (a ) H. m -q
k
m -q
k
(a ) H dan a H dan karena H suatu subgroup, maka (a ) o a H. m -q
k
r
r
Karena (a ) o a = a maka a H pula. r
Ingat ketentuan di atas bahwa jika r m maka a H tidak mungkin m
terjadi, sebab m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga a H, maka k
satu-satunya kemungkinan adalah r = berarti a = a
qm
m q
= (a ) .
Hal ini menunjukkan bahwa H merupakan subgroup siklik dengan generator m
a .
8
DAFTAR PUSTAKA
Sukirman, 1998, Aljabar Abstrak , Jakarta: Universitas Terbuka Rizal, Yusmet, 2006, Struktur Aljabar , Padang: UNP Padang Sukirman, 2006, Pengantar Teori Bilangan, Yogyakarta: Hanggar Kreator http://wijna.web.ugm.co.id
9
