Teorema Cayley Permutasi dari himpunan A adalah cara menyusun secara berurutan elemen-elemen pada A. Contoh : Himpunan {a.b,c} mempunyai 3!=6 permutasi, 6 cara menyusun secara berurutan. Ke-6 permutasi tersebut adalah
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a) ,(c,b,a) dan (c,a,b) Jadi kita bisa menyusun menyusun a terlebih dahulu selanjutnya selanjutnya c dan terakhir b, atau b terlebih dahulu, selanjutnya a dan yang terakhir c. atau cara lainnya. Yang jelas ada 6 permutasi, 6 cara menyususun secara berurutan 3 buah objek. Secara umun ada n! permutasi pada himpunan beranggotakan n elemen. Dalam kacamata aljabar abstrak atau tepatnya Teori Grup, permutasi adalah fungsi bijektif fungsi bijektif dari dari A ke A sendiri
Himpunan permutasi adalah himpunan yang beranggotakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A. Nah..ternyata himpunan permutasi bisa kita k ita anggap sebagai grup dengan operasi biner nya nya adalah fungsi komposisi komposisi. Kita tahu komposisi dari 2 buah fungsi adalah fungsi pula dan komposi fungsi bersifat asosiatif. Elemen indentitasnya tentu saja fungsi identitas. Jelas mempunyai invers, setiap fungsi bijektif pasti mempunyai invers. Definsi: Grup permutasi adalah grup yang berisikan permutasi-permutasi dari suatu himpunan A dengan fungsi komposisi sebagai operasi binernya.
Jadi himpunan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A (baca: permutasi) merupakan grup. Bagaimana sebaliknya? Apakah grup juga merupakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A? Menurut Teorema Cayley jawabannya “ya”. Teorema Cayley: Setiap grup isomorfis ke grup permutasi p ermutasi
Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif. Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup dapat dikontruksikan grup permutasi dari kemudian menujukan isomorfis ke grup permutasi tersebut.
Diberikan
grup ,Untuk sebarang
sebagai berikut:
, untuk semua
didefinsikan fungsi
.
Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari oleh mempunyai invers yaitu . Untuk semua jelas terdapat jika
, terbukti surjektif . Selanjutnya . Terbukti injektif . Telah kita buktikan
Didefinsikan Selanjutnya akan ditunjukan Didefinsikan membuktikan
berlaku
Surjektif akan selalu terdapat
Terbukti
sedemikian hingga
Injektif maka Isomorfisma.
jika hanya
. Nah inilah yang merupakan grup permutasi dari dan isomorfis.
Homomorfisma
Jelas untuk sebarang
maka merupakan permutasi.
sebagai berikut untuk isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:
untuk sebarang
sebagai fungsi. Jelas J elas sedemiakian hingga
, Itu berarti
.
semua
.
.
Untuk
contoh soal dan penyelesaian struktur aljabar
1.Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban: P = {3x|x ∈ Z } Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan. 1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b ∈ P. Perhatikan : a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y) = (x+y) + (x+y) + (x+y) = 3(x+y) Karena x+y ∈ Z, maka a+b ∈ P 2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b = b+a Perhatikan: a+b = 3x + 3y = 3(x+y) = 3(y+ x) = 3y + 3x =b+a 3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c) Perhatikan: a+(b+c) = 3x + (3y + 3z) = 3x + 3(y+z) =3(x+ (y+z)) = 3((x+y) + z) = 3(x+y) + 3z = (3x + 3y) + 3z = (a+b) + c 4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P. Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P. Perhatikan: a + 0 = 3x + 3.0 = 3(x+0) = 3x =a Ini berarti 0 unsur nol dalam P. 5. Ambil sebarang a = 3x ∈ P. Pilih b = 3(-x) ∈ P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x) Perhatikan: 3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x)) = 3.0 =0 Jadi –(3x) = 3(-x)
Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian. 1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b ∈ P. Perhatikan: a .b = 3x . 3y = 3. 3xy = 3(3xy) Karena 3xy ∈ Z, maka a.b ∈ P. 2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c Perhatikan: a.(b.c) = 3x(3y . 3z) = 3x(3(3yz)) = 3.3.3(x(yz)) = 3.3.3((xy)z) = 3.3(xy) . 3z = (3x . 3y). 3z = (a.b). c Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan. 1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a Perhatikan: a(b+c) = 3x(3y + 3z) = 3x(3(y + z)) = 3.3(x(y + z)) = 3.3(xy + xz) = 3.3xy + 3.3xz = a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x = ((y+z)3). 3x = ((y+z)x)3.3 = (yx + zx)3.3 = 3.3yx + 3.3zx = 3y.3x + 3z.3x = b.a + c.a Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif. 1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b = b.a Perhatikan: a .b = 3x. 3y = 3.3xy = 3.3yx = 3y. 3x = b.a Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif .
2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. Bukti : Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka: x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z sehingga: xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r. Akibatnya: xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r. Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 . Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y) Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = a b √2 │a, b dalam Q - maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a b √2 ) ( c d √2 ) = ( ac 2bd ) ( ad bc ) √2 dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a b ) √2 – ( c d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2 Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ). Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R. Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks C = a b i │a, b dalam R Karena bentuk a b i analog dengan bentuk a b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. 4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)
Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z 2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1, sehingga : p(a + b) = p(a) . p(b) p(0 + 1) = p(0) . p(1) p(1) = 1 . -1 -1 = -1 Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.
5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. Penyelesaian : Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma : Misalkan x, y ∈ Z, maka p(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = p(x) + p(y) Sehingga p adalah suatu Homomorfisma. Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri.
6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+) -
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 1+0=1 1+1=2 1+2=3 1+3=0 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 -
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2 a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka Z4 assosiatif -
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan 0 ∈ Z4 0+e=e+0 =0 misalkan 1 ∈ Z4 1+e=e+1 =1 misalkan 2 ∈ Z4 2+e=e+2 =2 misalkan 3 ∈ Z4 3+e=e+3 =3
maka Z4 ada unsur satuan atau identitas -
Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4, -1 sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0) = 0
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4, -1 sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1) = 3
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4, -1 sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2) = 2
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4, -1 sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3) = 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers -
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4 (a + b) = (2 + 3) = 1 (b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 1 maka Z4 komutatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +). 2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.) -
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 1.0=0 1.1=1 1.2=2 1.3=3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 -
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 (a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2 a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2 Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka Z4 assosiatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 a.(b + c) = 2.(1 + 3)
= 2.(0) =0 (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3) =2+6 =0 Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0 (a + b).c = (2 + 1).3 = (3).3 =1 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3) =2+3 =1 Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1 Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).
7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu R ing (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a . b = b . a, a,b ∈ Z4 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel no.6) 2.3=2 3.2=2 Sehingga 2.3=3.2=2 Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. 8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif. Penyelesaian: Tabel Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila
memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) Tertutup
-
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈ P genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap Karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P -
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil Maka P assosiatif -
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,
sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap ∈ P,
sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap maka P ada unsur satuan atau identitas -
Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P, -1 sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap) = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, -1 sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil) = ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers -
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +). 2. Monoid terhadap perkalian (P, .) -
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P genap . ganjil = genap genap . genap = genap ganjil . ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P -
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P (a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = genap maka P assosiatif -
Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas -
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a . b) = (genap . ganjil) = genap (b . a) = (ganjil . genap) = genap Sehingga : (a . b) = (b . a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P a.(b + c) = genap . (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). Genap = (ganjil). Genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
= genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).
9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan :
X = …,-3, -1, 1, 3, …- adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = …, -4, -2, 0, 2, 4,…- adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.
10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian : ab = ac, maka: ab – ac = 0 a(b – c) = 0
Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, mak a : b – c = 0 Jadi b = c 11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. Penyelesaian : Daftar Cayley (Z4, .)
Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti *2+.*1+ = *2+.*3+ tetapi *1+ ≠ *3+. Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2]. 12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu R ing Komutatif. Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: -1
∀ a ∈ P, ∃ a
∈ P,
-1
1
sedemikian sehingga a . a = a- . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
sehingga genap.ganjil = genap ≠ e
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,
sehingga genap.genap = genap ≠ e maka P tidak ada unsur balikan atau invers. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field. Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan)
Permutasi 1 By gamatikaers Leave a Comment Categories: Aljabar Tags: fungsi, permutasi, struktur aljabar
Sebelum membahas lebih tentang permutasi maka kita terlebih dahulu mengerti tentang fungsi. Oleh karena itu gan pertama-tama akan diberikan definisi fungsi. FUNGSI & PERMUTASI Fungsi adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Jadi, fungsi atau pemetaan ɸ dari himpunan A ke dalam himpunan B adalah aturan yang mengaitkan setiap elemen a dari A dengan tepat satu elemen b dari B. Dapat dikatakan ɸ memetakan a ke b, juga ɸ memetakan A ke B. Dalam menulis fungsi ada beberapa macam notasi yang akan digunakan, antara lain a Ф = b Ф Ф (a) = b a = b atau bisa juga disimbolkan seperti ini Ф: A → B Tapi untuk selanjutnya akan banyak digunakan notasi a Ф = b Jika Ф dan ѱ suatu pemetaan dengan Ф:A→B dan ѱ:B→C, maka dapat digambarkan seperti di bawah ini Kita bisa membuat pemetaan dari A ke C melalui B dengan fungsi Ф dan ѱ. Fungsi seperti ini dinamakan komposisi fungsi dengan aФ = b dan bѱ = c, jadi a(Фѱ) = (aФ)ѱ = c Definisi : Sebuah fungsi dari A ke B dikatakan satu-satu (injektif) jika setiap anggota B maksimal memiliki satu anggota A yang dipetakan ke dirinya, jadi setiap anggota B memiliki maksimal satu prapeta. Fungsi dari A ke B dikatakan pada (surjektif) jika setiap anggota B punya prapeta di A. Contoh fungsi injektif
Contoh fungsi surjektif
Contoh fungsi bijektif
Untuk pembuktian fungsi injektif dan surjektif akan diberikan pada grup permutasi. DEFINISI Sebuah Permutasi dari Himpunan A adalah pemetaan dari A ke A yang satu-satu dan pada. Misalkan A = dan f suatu pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A maka f adalah suatu permutasi tingkat n. Misalnya f(a1) = b1 , f(a2) = b2 , f(a3) = b3 , …. , f(an) = bn dengan = elemen yang berbeda. Contohnya
, dua himpunan sama ini mempunyai urutan
Sebuah operasi yang natural, perkalian permutasi, didefinisikan pada permutasi – permutasi di suatu himpunan. Misalnya A himpunannya, dan σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka σ dan τ adalah pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A. Disini kita akan buktikan komposisi fungsi στ merupakan suatu permutasi jika satu-satu dan pada di himpunan A. Kita buktikan terlebih dahulu στ satu-satu Jika : a1(στ) = a2(στ) Maka: (a1σ)τ = (a2σ)τ Karena τ satu-satu maka pastilah a1σ = a2σ. Karena σ juga satu-satu maka a1 = a2 . Akibatnya στ adalah pemetaan satu-satu. Untuk menunjukkan στ pada, misalkan a sebarang anggota dari himpunan A, karena τ pada maka terdapat a’ sehingga a’ τ = a, tetapi karena σ juga pada maka terdapat a” sehingga a”σ = a’ akibatnya: a = a’τ = (a”σ)τ = a” (στ)
jadi στ juga pada. Ilustrasi, Misalkan A =
tulis σ dengan notasi umum :
σ adalah permutasi yang diberikan, kita
Sehingga kalau dilihat 1σ = 4 , 2σ = 2 , dst..
Kita misalkan τ juga permutasi, maka;
Maka : yang diperoleh dari: 1 στ = (1σ)τ = 4τ = 2 2
στ = (2σ)τ = 2τ = 5 Dst Kita akan menunjukkan bahwa koleksi semua permutasi himpunan di A akan membentuk sebuah group atas perkalian permutasi. Teorema 5.1 Misalkan A adalah himpunan tak hampa, dan misalkan SA adalah koleksi semua permutasi d A. maka sebuah group atas perkalian permutasi. Bukti. Ada tiga sifat yang harus di buktikan sebab permutasi adalah suatu pemetaan dan untuk menunjukkan untuk setiap σ, τ, dan μ berlaku (στ)μ = σ(τμ) Contoh
Jadi contoh matrix di atas terbukti asosiatif kemudian akan di tunjukkan setiap komposisi fungsi memetakan setiap α elemen A ke peta yang sama di A. oleh karena itu kita mesti tunjukkan
Jadinya (στ)μ dan σ(τμ) memetakan setiap α ϵ A elemen yang sama, sehingga (στ)μ dan σ(τμ) adalah permutasi yang sama. Karena dalam hal ini tidak menggunakan informasi bahwa σ, τ, dan μ adalah satu-satu pada , maka komposisi pemetaan senantiasa assoiatifm jadi sifat pertama group di pernuh. Sifat ke 2 identitas Permutasi i yang bersifat ai = a untuk setiap α ϵ A akan jelas berlaku layaknya unsur identitas,
sifat ke 3 -1
untuk permutasi σ, didefinisikan σ adalah permutasi yang membalikkan peta dari permutasi σ -1 kesemula, yg berarti σ adalah a’ anggota A yang mana a = a’σ eksistensi ketunggalan a’ adalah akibat dari fakta bahwa, sebagai fungsi σ yang bersifat satu-satudan pada (lihat latihan 5.18) jelas bahwa
-1
-1
Sehingga σσ dan σ keduanya adalah permutasi di i sehingga sifat ke 3 grop terpenuhi Tidak ada batasan dalam definisi kita kalau A adalah himpunan tak hingga, tapi dalam contohcontoh kita akan banyak dibahas mengenai permutasi pada himpunan berhingga. Jelas bahwa jika A dan B memiliki jumlah anggota yang sama maka group dari semua permutasi pada A memiliki struktur yang sama dengan group semua permutasi di B. group yang satu bisa diperoleh dari group lainya dengan menamai ulang anggota-anggotanya. Ini lagi-lagi adalah konsep dari group isomorfisma yang akan disinggung di bab selanjutnya . Definisi jika A adalah himpunan berhingga maka group semua permutasi pada A adalah group simetri pada n bilangan, dan di simbolkan dengan Sn catat bahwa Sn memiliki n! anggota dimana
n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) DUA CONTOH PENTING Contoh 1 Misalkan A={1,2,3},didaftarkan permutasi-permutasi pada A yaitu
Meski di cek sendiri bahwa tabel perkalian di tabel dibawah ini adalah benar. Perlu dicatat
bahwa grup ini tidaklah komutatif. Terdapat korespondesi alami antara anggata-anggota S3 pada conto pertama dan cara dua buah segitiga samasisi yang kembar dengan titok sudut 1,2, dan 3. Perlu diketahui juga, pi untuk rotasi dan qi untuk pencerminan terhadap garis yang membagi dua bangunan menjadi dua sama besar (bisektor). Grup dihedral ke-n merupakan grup simetri dari bangunan segi n.
Contoh 2
Kita bangun grup D4 dari permutasi yang berkorespondensi cara dua buah bujur sangkar yang kembar dengan titik sudut-sudutnya 1,2,3,dan 4. D4 kemudian akan menjadi gup simetri simetri dari bujursangkar. Perlu diketahui yang akan dipakai dalam simbol berikut adalah pi, qi, dan ri. Dimana pi untuk rotasi, qi untuk pencerminan bisektor yang tegak lurus dengan sisi bujursangkar dan ri untuk pencerminan terhadap garis diagonal. Terdapat 8 permutasi disini, misalkan saja:
Berikut adalah tabel yang dihasilkan oleh perkalian permutasi diatas:
Garis biru merupakan untuk pencerminan bisektor yang t egak lurus dengan sisi bujursangkar, sedangkan garis merah pen cerminan terhadap garis diagonal.
Suatu rotasi berjalan searah jarum jam, sehingga ketika di putar 90 derajat, maka susunan yang semula 1,2,3,4 berubah menjadi 2,3,4,1. Ini berarti posisi 2 digantikan 1, 3 diganti 2, dan sterusnya. Begitu juga dengan susunan yang lainnya yang diputar oleh berdasarkan rotasi. Sekarang adalah pembuatan diagram lattice untuk sub gru-subgrup D4. Diagram lattice di bawah ini bisa ditentukan berdasarkan sipat pada bab sebelumnya (sub grup).
Untuk contoh soal bisa dilihat di bawah ini http://axohariri.wordpress.com/2011/03/28/contoh-soal-perkalian-permutasi/ http://tassiearmanatha.wordpress.com/2011/03/29/contoh-soal-permutasi-dan-pembahasannya/ http://tomtom09.wordpress.com/2011/03/30/contoh-soal-untuk-permutasi-i/ http://andies07.wordpress.com/2011/04/01/struktur-aljabar/
