Structures Élastiques Planes

Structures élastiques planes chargées normalement à leur plan

par Jean COURBON Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées Professeur Honoraire à l’École Nationale des Ponts et Chaussées

1. 1.1 1.2 1. 1.3 3 1. 1.4 4

Poutres Poutres planes planes se se déform déformant ant normalem normalement ent à leur leur plan plan ................ Définition Définition et sollici sollicitatio tation n des structures structures étudiées étudiées.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Système Système des des forces forces extérie extérieures ures rela relatif tif à une une section section .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Form Formul ules es de Bres Bresse se..... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... Appl Applic icat atio ions ns .... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .... 1.4.1 Action du vent sur un arc symétrique.. symétrique.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.4.2 Anneau libre sollicité à la torsion torsion ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...

2. 2.1 2.2 2.3

Travée ravée indépe indépend ndan ante te circul circulair aire e ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Géné Générral aliités tés ..... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... Calcul Calcul des moment moments s fléchi fléchissa ssants nts... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Calculs Calculs de l’effort l’effort trancha tranchant nt et du du couple couple de torsion. torsion... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 2.3.1 Application des formules formules de Bresse .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 2.3.2 Cas où la rigidité de torsion K est est cons consta tant nte... e..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 2.3.3 Cas où la rigidité de torsion K est est vari variab able.. le.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Effet Effet de l’exc l’excent entric ricité ité des des charge charges. s.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 2.4.1 Moment fléchissant ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 2.4.2 Effort tranchant et couple de torsion .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. Calcul Calcul des des rotat rotation ions s d’extr d’extrémi émité té... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.5.1 2.5. 1 Cas général général..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 2.5.2 Cas d’une poutre de section constante... constante...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Cas où où la porté portée e angula angulaire ire est est faibl faible e ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .....

— — — — — — — — — — — — — —

5 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10

Pout Poutre res s circu circula lair ires es con conti tinu nues es.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. Formules Formules préli préliminai minaires. res. Coefficien Coefficients ts de souple souplesse sse .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1.1 Problème fondamental...... fondamental........... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 3.1.2 Poutre de rigidité rigidité de torsion constante constante ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 3.1.3 Poutre de rigidité de torsion torsion variable ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. Méthode Méthode de calcul calcul des poutres poutres continue continues s circulair circulaires es .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. Cas exceptio exceptionnel nnel d’une d’une poutre poutre continue continue circula circulaire ire fermée fermée .... .......... ...... ....... ....... ...... ..

— — — — — — —

11 11 11 11 12 12 13

2.4

2.5

2.6 3. 3.1

3.2 3.3

Pour en savoir plus ....................................... .......................................................... ....................................... ................................. .............

C 2 020 - 2 — 2 — 2 — 3 — 4 — 4 — 4

Doc. C 2 020

ans cet article, nous traiterons des caractéristiques de résistance des structures élastiques planes telles que les poutres planes, les travées indépendantes circulaires et les poutres circulaires continues.

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitati on du droit de d e copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction

C 2 020 − 1

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STRUCTURES ÉLASTIQUES PLANES CHARGÉES NORMALEMENT À LEUR PLAN _____________________________________________________________________

1. Pout Poutre res s pl plan anes es se déformant normalement à leur plan 1.1 Définition Définition et sollicitat sollicitation ion des structures étudiées Soit Oxyz trois axes rectangulaires de vecteurs unité I , J et K . Les structures que nous considérons sont composées de poutres dont la fibre moyenne est contenue dans le plan Oxy ; ; en outre, l’intersection du plan Oxy et et du plan d’une section quelconque d’une poutre de la structure est un axe central d’inertie de cette section. En un point G de de la fibre moyenne d’une poutre de la structure, la tangente orientée, la normale à la fibre moyenne et la normale au plan de la fibre moyenne forment un trièdre trirectangle direct dont les vecteurs unité sont désignés respectivement par

i , j et k ; le vecteur k est équipollent au vecteur fixe K (figure 1). Nous désignons par x et et y les les coordonnées de G , par s l’abscisse curviligne de G comptée à partir de G 0 et par θ l’angle

 I , i  . Nous avons : I

⋅ i

=

cos θ

I

⋅ j

=

–

d x , d s

---------

=

sin θ ,

J ⋅ i

=

sin θ

J ⋅ j

=

cos θ

=

d y d s

---------

Si r désigne désigne le rayon de courbure de la fibre moyenne (nombre algébrique positif dans le cas de la figure), les formules de Frenet s’écrivent : d i d s

-------------

=

d j d s

j , r

-------

------------

i r

– --------

=

Figure Figure 1 – Définitio Définition n des structu structures res

1.2 Système Système des forces extérieu extérieures res relatif à une section Le système des forces extérieures relatif à la section G de de centre de gravité (x , y ) et d’abscisse curviligne s est équivalent au système des forces appliquées aux points de la fibre moyenne d’abscisses curvilignes inférieures à s . En vertu des hypothèses faites sur les forces appliquées, ce système se réduit à une résultante générale R parallèle à Oz et et à un moment résultant L contenu dans le plan Oxy ::

(1)

R

=

ou encore, puisque d s = = r d d θ : d i dθ

--------------

=

∑ s < s

F i

+



j ,

=

i

–

Les coordonnées x et et y peuvent peuvent être considérées soit comme des fonctions de s , soit comme des fonctions de θ. Les poutres de la structure ne sont soumises qu’à des forces normales au plan de la fibre moyenne et à des couples contenus dans le plan de la fibre moyenne . Nous désignerons par :

L

=

∑

s i i < s

Γ i

f ( t ) dt

0

i i

d j -------------dθ

s

+

∧

F i

G i G



 s

+

et

Γ i

=

Γ ix I

=

F i K

Γ iy J

+

=

T

=

∑

F i +

et

γ

=

γ x I

+

=

Γ it i

+

=

s

f ( t ) dt

0

d T dθ

f ou

--------- =

r f

γ t i

+

L

γ n j

γ sont des fonctions de t .

(3)

Les composantes de L suivant les vecteurs mobiles i et j sont le couple de torsion C et et le moment fléchissant M . Soit X et

Y les composantes de L suivant les vecteurs fixes

la densité de force et la densité de couple appliquées au point courant g de de la fibre moyenne de coordonnées ξ et η et d’abscisse curviligne t ; les vecteurs f et

d T d s

--------- =

Γ in j

f K

γ y J



Il en résulte que :

la force et le couple appliqués au point G i de la fibre moyenne de coordonnées x i et y i et d’abscisse curviligne s i , et par :

f



La projection de R sur Oz est l’effort tranchant T ; ; la première formule (2) peut donc s’écrire :

s i < s

F i

γ ( t ) + f ( t ) ∧

0

    (2)  g G d t  

=

Ci

+

M j = X I

+

I

et J :

Y J

Pour calculer C et et M , il est plus simple de calculer d’abord X et et Y ; ; la seconde formule (2) (2) est est en effet équivalente aux formules :

X =

∑ [ Γ ix

s i < s

–

F i ( y – y i ) ] +



s

0

[ γ x (t ) – f ( t ) ( y – η ) ] d t







____________________________________________________________________

STRUCTURES ÉLASTIQUES PLANES CHARGÉES NORMALEMENT À LEUR PLAN

C et M sont ensuite donnés par les relations :

K moment de rigidité à la torsion, S 1 section réduite relative à la déformation d’effort

C = X cos θ + Y sin sin θ

tranchant.

M = = – X sin sin θ + Y cos cos θ Dérivons la seconde formule (2) (2) par par rapport à s ; ; compte tenu de ce que d G / ds dL d s

------------

=

i et de la première formule (2) (2),, nous obtenons :

=

 ∑ F

i

s i < s

soit, puisque R

=

+



s

 ∧ i

f ( t ) d t

0

+

γ (s )

=

∧

R

i

+

Le vecteur δ Ω est contenu dans le plan Oxy et et le vecteur est normal au plan Oxy .

Soit ω 0 la rotation (contenue dans le plan Oxy ) et λ 0 la translation (normale au plan Oxy ) de la section de centre de gravité G 0 . Le déplacement de la section de centre de gravité G et et

γ

d’abscisse curviligne s se réduit à une rotation

T k : dL -----------d s

T j

=

+

dL d s

=



d C i d s

--------

+



Mj

γ

ω

 ddC s M r  i  ddM s C r  j ---------- – -------

+

λ

----------- + -----

Nous obtenons ainsi les relations fondamentales : d C M ---------- – ------d s r d M C ----------- + ----r d s

=

=

T + γ n

d C – M = r γ t dθ d M ----------- + C = r ( T + γ ) n dθ

    

d r d 2 M M = T -------- + f r 2 dθ dθ2

---------------- +

(5)

(7)

Le déplacement relatif de la section Σ ’ d’abscisse curviligne t + + dt par par rapport à la section Σ d’abscisse curviligne t et et de centre

δ Ω d t et à une translation

[C 2 010] dans ce traité) : δ Λ dt (article Théorie des poutres [C

C M ----------- i ( t ) – --------- j ( t ) GK E I

=

– -------------

avec

G 0 G

–

 0

T k GS 1

-----------

+



 GK C i

d t

M j E I

---------

+ -------

    (8)  gG dt  

∧ 

ϕ

ϕ i

+

j ω j

λ

et

v k

=

(9)

angle de rotation de torsion,

=

ϕ cos 0

( θ – θ 0 ) + ω 0 sin ( θ – θ 0 ) s C ---------- cos ( θ – α ) dt – – 0 GK















Dans les formules (10) (10),, θ0 désigne la valeur de l’angle θ en G 0 , et α la valeur de l’angle θ en g de de coordonnées (ξ, η ) et d’abscisse curviligne t . On notera que, en raison du choix des axes, les rotations de flexion sont comptées en sens inverse du sens adopté pour les poutres droites. 

On obtient de très importantes relations en dérivant les formules de Bresse (8) (8) par rapport à s :: d ω d s

T k GS 1

E module d’élasticité longitudinale (module d’Young), G module d’élasticité transversale,

=

  s  M  -------- sin ( θ – α ) d t  0 E I   ω = – ϕ 0 sin ( θ – θ0 ) + ω 0 cos ( θ – θ 0 )   s s C M  ------------ sin ( θ – α ) d t – ------- cos ( θ – α ) dt +  (10) 0 E I 0 GK   v = v 0 + ( ϕ 0 cos θ 0 – ω 0 sin θ 0 ) ( y – y 0 )   – ( ϕ sin θ + ω cos θ ) ( x – x )  0 0 0 0 0  s s T C  ------------- d t + ------------ [ ( x – ξ ) sin α – ( y – η ) cos α ] d t –  0 GS 1 0 GK  s  M -------- [ ( x – ξ ) cos α + ( y – η ) sin α ] d t  + 0 E I  ϕ

1.3 Formules Formules de Bresse Bresse

δΛ

∧

M j E I

+ -------

Dans ces conditions, les formules de Bresse sont équivalentes aux trois relations scalaires :

Lorsque Lorsque la fibre moyenne est circulaire, le second membre de la relation (7) se réduit à f r 2.

–

ω 0

0

C i GK

---------

ω angle de rotation de flexion, v déplacement transversal ou flèche de la poutre.

Nous déduisons des formules (3) et (6) la relation :

=

+

–

s

ω (4)

Dans le cas très fréquent où γ est nul, les relations précédentes se simplifient : C d M M = --d----(6) et ----------- + C = r T ---dθ dθ

δΩ

λ 0

θ pour variable :

----------

de gravité g se réduit à une rotation

=

ω 0

=

Nous poserons :

    

γ t

que l’on peut également écrire, en prenant

avec

 s

=

ω contenue dans

le plan Oxy et à une translation λ normale au plan Oxy dont dont les valeurs sont données par les formules de Bresse ::

Or, nous trouvons, en utilisant les formules (1) : ------------

δΛ

--------------

d λ d s

-------------

 s

=

ω 0

–

0

=

C i GK

-----------

–

C i GK

------------

M j E I

-+ -------



M j E I

-– -------

dt

∧

i

T k GS 1

– -------------








coordonnées et l’abscisse curviligne du point P et par ξ , η et t les coordonnées et l’abscisse curviligne d’un point courant de la fibre moyenne, nous obtenons :

En observant que : d ω d s

--------------

=

d ds

--------

 ϕ i

j ω j

+



 dds ω r  i  ddω s r  j ϕ

=

--------- – ------

+

ϕ

----------- + -----

nous obtenons, d’une part, la formule : d v --------ds

=

ω – ------T ------GS 1

–

(11)

d’autre part, les formules : d ϕ ds

ω r

d ω d s

ϕ

C GK M ------E I

    

--------- – ------ = – -----------

----------- + ----- = –

r

d v d s

(13)

– ---------

et les formules (12) (12) peuvent peuvent s’écrire :

C =

–

  E  d v r  d s

M

=

I

2

ϕ

------------- – -----

2

      

(14)

Les formules (14) (14) donnent le couple de torsion et le moment fléchissant, connaissant les deux fonctions v et et ϕ qui qui caractérisent la déformation de la poutre ; la seconde formule (4) (4) donne donne ensuite l’effort tranchant. Si l’on prend θ pour variable, les formules (11) et (12) s’écrivent :

        

d v --------- = dθ

T – r ω + ------------GS 1 Cr d ϕ --------- – ω = – ----------GK dθ d ω dθ

----------- +



ϕ

=

 



V ( t ) d t

0

s

 

s

V ( t ) ( y – η ) dt – sin θ

0

s

V ( t ) ( x – ξ ) dt

0

s

V ( t ) ( y – η ) dt + cos θ

0

C  M

V ( t ) ( x – ξ ) dt

0



Mr E I

=

M 0 sin θ +  ( s )

=

M 0 cos θ +  ( s )

 ( s ) et  ( s ) sont deux fonctions connues dont la signification est évidente : ce sont les valeurs que prendraient C et M au au point P si si l’on rendait la structure isostatique en introduisant à la clef une articulation d’axe parallèle à Oy . La fonction  ( s ) est impaire et

la fonction

ϕ 1 v GK ----- --d------- + -d -------r d s d s

T =

s

Les deux dernières formules peuvent s’écrire : (12)

Lorsqu’on néglige la déformation due à l’effort tranchant, ce qui est presque toujours le cas, nous avons :

ω =

    C = M 0 sin θ – cos θ    M = M cos θ + sin θ 0 

 ( s )

est paire.

Pour déterminer l’inconnue M 0 , écrivons que la rotation ω est est nulle à la clef. La seconde formule (10) appliquée de A à D donne, donne, puisque ϕ 0 et ω 0 sont nuls en A et que θ est nul en D , la condition de compatibilité :



0

–

C sin α dt + s 1 GK -----------



0

–

s 1

M cos α dt = 0 E I

--------

– s 1 désignant l’abscisse curviligne de A , et α la valeur de l’angle θ au point courant de la fibre moyenne ; on peut remplacer la limite d’intégration – s 1 par s 1 puisque les fonctions à intégrer sont paires. En remplaçant M et et C par par leurs expressions, nous trouvons M 0 :

  s 1

M 0

=

 cos α dt E 

α GK

 sin

 cos

α dt

-------------------- + ----------------------

0

E I

– ---------------------------------------------------------------------------1

s

sin 2 α

2

------------------ + --------------------

0

GK

I

– ----------

1.4 Applic Applicati ations ons 1.4.1 Action du vent vent sur un arc symétrique Soit l’arc ADB dont dont la fibre moyenne située dans le plan Oxy est est symétrique par rapport à Oy . L’action d’un vent transversal sur l’arc se réduit à une densité de force V (s ) comptée positivement sur Oz et fonction de l’abscisse curviligne s comptée comptée à partir de la clef D (figure 2). L’arc est encastré en A et B sous l’effet du vent, ce qui signifie que l’arc ne peut pas tourner en A et en B autour d’un axe situé dans le plan Oxy ; mais, vis-à-vis des forces situées dans le plan vertical Oxy , l’arc peut être encastré ou articulé à ses extrémités. Sous l’effet du vent, l’arc supporte un effort tranchant T , un couple de torsion C et et un moment fléchissant M . Par raison de symétrie, T et et C sont sont nuls à la clef. On peut donc exprimer T , C et et M en en tout point P de de la fibre moyenne en fonction du moment fléchissant M 0 à la clef et des forces appliquées. En désignant par x , y et s les

1.4.2 Anneau libre sollicité à la la torsion Considérons un anneau circulaire de section constante sollicité par une densité de couple uniforme γ t = c (figure 3). Le déplacement vertical v est est nul, et la rotation ϕ d’une d’une section autour de la tangente à la fibre moyenne est constante. Les formules (14) (14) s’écrivent s’écrivent donc :

C = 0,

M =

E I ϕ r

------– -------

et la première formule (4) (4) se se réduit à :

M = = – r c Il en résulte que

ϕ se

déduit de c par par la formule : ϕ

=

cr 2 E I

------------

(15)

Cette formule n’est valable que lorsque les dimensions transversales de la section de l’anneau sont petites devant le rayon r . Considérons un anneau pour lequel cette hypothèse n’est pas vérifiée et supposons sa section symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne ; la figure 4 représente une demi-section diamétrale passant par l’axe de révolution Oz de de l’anneau.







____________________________________________________________________


Si l’on suppose ρ constant et égal à r , on retrouve la formule (15) (15) ; ; si l’on ne peut négliger les variations de ρ devant r , la formule (15) doit être remplacée par la formule : ϕ

=



r c

(16)

-------------------------------------------

E

z 2 d ρ d z -----------------------ρ s

2 bh 3 3 représentée sur la figure 4, nous trouvons en calculant l’intégrale double : Dans le cas de la section rectangulaire

ϕ

=

Figure Figure 2 – Action Action du vent vent sur un un arc symétr symétrique ique



b

=

r 2 – r 1 ,

I

------------= -------



br c r E I ln ----2-r 1

-----------------------------

 

La correction apportée à la formule (15) (15) est est faible ; par exemple, r1 = 2, on trouve : si r 2 / r ϕ

=

0,962

cr 2 E I

----------

2. Trav ravée ée indépen indépendan dante te circulaire 2.1 Généra Généralit lités és Figure Figure 3 – Anneau Anneau libre libre sollici sollicité té à la torsion torsion

Nous étudierons des ponts à fibre moyenne circulaire comportant une ou plusieurs travées continues. Un appui d’un tel pont se décompose en deux appuis simples (figure 5) exerçant sur l’ouvrage deux réactions verticales R ’ et R ’’. ’’. La réaction de l’appui comprend donc une réaction verticale R :

R = R ’ + R ’’’’ et un couple

Γ dirigé suivant la tangente à la fibre moyenne : Γ = (R ’ – R ’’) ’’) d

Dans le cas d’un pont à une seule travée simplement appuyée à ses extrémités, nous choisissons les axes indiqués sur la figure 6, et nous repérons une section par son abscisse angulaire θ comptée à partir de l’appui de gauche O , donc : 0  θ  λ

λ désignant la portée angulaire de la travée ; nous supposons λ ≠ π . Les coordonnées du centre de gravité de la section d’abscisse angulaire θ sont : x = = r sin sin θ, y = = r (1 – cos θ) Figure 4 – Anneau rectangulaire rectangulaire sollicité à la torsion

Nous avons toujours M = – r c puisque cette formule découle des lois de la statique. Toutes les sections de l’anneau tournent d’un même angle ϕ ; au cours de cette rotation la fibre de rayon ρ et d’ordonnée z voit son rayon augmenter de ϕ z ; elle supporte donc une contrainte normale

σ

= –

valeur :

M =

–

r c =

–

z E ϕ ----- et le moment M a pour ρ



E ϕ

z 2 dρ d z ρ s ------------------------

r désignant désignant le rayon de la fibre moyenne ; on observera que l’angle de Ox et et de la tangente orientée à la fibre moyenne.

θ est

Comme il y a quatre réactions d’appui Γ 0 et R 0 en O , Γ 1 et R 1 en A , la travée indépendante circulaire est une fois hyperstatique . Notons les valeurs de l’effort tranchant et du couple de torsion dans les sections extrêmes θ = 0 et θ = λ de de la travée :

T 0 = R 0 , C 0 = Γ 0 , T 1 = – R 1 , C 1 = – Γ 1








la fonction d’influence

 ( α ,

La fonction

θ)

 ( α ,

 ( α ,

=

θ ) étant définie par :

θ sin ( λ – α)  --sin -----------------------------------------sin λ   sin α ( λ – θ)  ------------------sin ------------------------- sin λ

si θ < α 

  si θ > α  

(20)

θ ) est symétrique :  ( α ,

θ)

=

 ( θ ,

α)

Dans le cas d’une densité de charge p (α ) par unité de longueur de fibre moyenne, nous avons pour valeur du moment fléchissant :

Figure Figure 5 – Travée ravée indépenda indépendante nte circula circulaire ire

M ( θ)

=

r 2



λ

0

 ( α ,

θ ) p (α ) d α

(21)

Le calcul de l’intégrale (21) (21) est simplifiée par la propriété suivante qu’il est aisé de vérifier : M (  ) est l’intégrale de l’équation différentielle : d 2 M 2 (22) -------------- + M = – pr d θ2 qui s’annule pour  = 0 et pour  l’équation (7) (7) dans dans laquelle f = = – p .

=



. Cette propriété résulte de

Par exemple, dans le cas où la densité de charge est constante, l’intégrale générale de l’équation (22) s’écrit :

M (θ) = – pr 2 + A cos θ + B sin sin θ A et B étant étant deux constantes que l’on détermine par les conditions M (O ) = 0 et M (λ ) = 0. Nous trouvons ainsi : Figure 6 – Travée simplemen simplementt appuyée appuyée à ses extrémités extrémités

θ

M ( θ )

2.2 Calcul Calcul des moments moments fléchissants fléchissants

=

T 0   T 0 – P

<α si θ > α si θ

  

=

si θ < α  C 0 cos θ + T 0 r ( 1 – cos θ )   C 0 cos θ + T 0 r ( 1 – cos θ ) – Pr [ 1 – cos ( θ – α ) ] si θ > α

=

2

C ( θ)

=

----------------------------

λ

cos ----2

Le moment fléchissant au droit d’une charge concentrée P appliquée au centre de gravité de la section d’abscisse angulaire α a pour valeur : sin α sin ( λ – α) M ( α ) = Pr ---------------------------------------------sin λ



T 0 r

si θ < α 

  

(18)

α = λ /2 :

1 λ Pr tg ----2 2

---

Remarques  Connaissant M et et T la la seconde formule (6) (6) : :

C =

de sorte que nous pouvons choisir T 0 comme inconnue hyperstatique. En portant la valeur de C 0 dans les expressions de C (θ) et de M (θ), nous trouvons, d’une part : +

p r r 2

M max =

sin ( λ – α) T 0 r – Pr ----------------------------sin λ

θ sin ( λ – α )  – Pr --cos --------------------------------------------sin λ   sin cos α (λ – θ) 

=

1 – cos ----2

Ce moment fléchissant est maximal pour

En écrivant que M (λ ) est nul, nous trouvons : =

λ

λ

λ M -----

si θ < α  – C 0 sin θ + T 0 r sin θ   – C 0 sin θ + T 0 r sin θ – Pr sin ( θ – α ) si θ > α

C 0

-------------------------------------------------

Ce moment fléchissant est maximal dans la section médiane

et pour valeur du moment fléchissant :

M ( θ )

– ---------------

θ = λ /2 :

(17)

pour valeur du couple de torsion :

C ( θ )

λ2θ

cos ----2

Supposons qu’une charge P , comptée positivement vers le bas, soit appliquée au centre de gravité de la section d’abscisse angulaire α. En fonction de T 0 et de C 0 nous trouvons pour valeur de l’effort tranchant :

T ( θ)

=

sin ----- sin 2

2 pr 2

–

d M rT dθ

----------- +

(23)

permet de calculer C . Nous pouvons ainsi déduire la formule (18) des formules (17) (17) et et (19) (19)..  Le moment fléchissant ne dépend pas de l’inconnue hyperstatique T 0 . Ce résultat peut être démontré au moyen du théorème des travaux virtuels. Nous pouvons en effet donner un déplacement virtuel au cours duquel les deux plans IGO et et IGA restent plans et









____________________________________________________________________

2.3 Calculs Calculs de l’effort l’effort tranchant tranchant et du couple de torsion

2.3.2 Cas où la rigidité rigidité de torsion torsion

Négligeons les déformations dues à l’effort tranchant. En appliquant les formules de Bresse (10) (10) d’une d’une extrémité à l’autre de la travée, nous obtenons les trois équations suivantes, qui contiennent les rotations ω 0 et ω 1 aux extrémités de la travée :

 

λ λ  Mr  0 = ω sin λ – ---Cr -------- cos ( λ – θ) d θ – ---------- sin ( λ – θ ) d θ 0  GK 0 E I 0  λ λ  Mr ω 1 = ω 0 cos λ + ---Cr -------- sin ( λ – θ) d θ – ---------- cos ( λ – θ) d θ  0 E I 0 GK  λ   0 = – ω 0 x 1 + ---Cr -------- [ ( x – x ) sin θ – ( y – y ) cos θ ] dθ 1 1 0 GK   λ  Mr -------- [ ( x – x ) cos θ + ( y – y ) sin θ ] d θ +  1 1 E I 0 



T 0

T ( θ ) la fonction d’influence

0

=

–

ω 0 sin λ +



+



λ

0

Mr sin ( λ – θ ) d θ – E I



λ

0

Cr dθ GK

---------

En la comparant à la première équation, nous obtenons la condition de compatibilité des déformations :



=

(24)

0

Les deux autres équations permettent de calculer les rotations

ω 0 et ω 1 : ω 0 ω 1

=

=

r

---------------

sin λ

r ------------sin λ

 

λ

0

λ

0

  M ( λ θ ) θ sin d  – 0 E I   (25) λ  M  ------ sin θ d θ 0 E I  

C cos ( λ – θ ) d θ + GK

-------------

C cos θ d θ – GK

---------

 1 – --α-- λ    α  – ---- λ

=

=





=

 ( α , θ )

     si θ > α  

si θ < α

(27)

Pr  ( α , θ )

(28)

étant définie par : si θ < α 

    si θ > α  

(29)

Notons les valeurs C 0 et C 1 du couple de torsion aux extrémités de la poutre :

C 0

=

C 1 =

–

Pr

 sinsin( λ λ α)

λ α  λ     

– – ----------------------------- – --------------

α α Pr --sin --------------- – ----sin λ λ







(30)

Dans le cas d’une charge répartie, de densité p (α) par unité de longueur de fibre moyenne, l’effort tranchant et le couple de torsion ont pour valeurs :

λ

-------

(26)

θ sin ( λ – α-)- 1 α  – --cos --------------------------------------------+ – ---- sin λ λ    sin α cos ( λ – θ ) α  ----------------------------------------------- – ---- sin λ λ

λ

C ----------- d θ 0 GK

P t ( α , θ )

=

En reportant la valeur de T 0 dans la formule (18) (18),, nous obtenons la valeur du couple de torsion :

 ( α , θ )

--------



( α , θ ) étant définie par :

(α, θ)

la dernière équation devient : λ



t

t

la fonction d’influence

y = r (1 – cos θ) y 1 = r (1 – cos λ )

P 1 – --α--λ

=

C ( θ )

Cr ----------- cos ( λ – θ ) d θ GK 0

constante

L’effort tranchant a donc pour valeur :

Compte tenu de :

x = r sin θ, x 1 = r sin λ ,

K est

Supposons une charge concentrée P appliquée au centre de gravité de la section d’abscisse angulaire α. En portant l’expression (18) du couple de torsion dans la condition (24) (24),, nous trouvons :

2.3.1 Application des formules de Bresse

  


 

λ

T ( θ )

=

C ( θ )

=

r

( α , θ ) p (α ) dα

t

0

λ

r 2

0

 ( α , θ )

p (α ) dα








Dans le cas d’une densité de charge uniforme p répartie sur toute la travée, l’effort tranchant a pour valeur :

T

pr

=

Connaissant t ( α ) , la fonction d’influence de l’effort tranchant a pour expression :

 2λ θ  ----- –

(α, θ)

t

=

< α  si θ > α 

 1 – t (α )   – t (α )

si θ

(33)

La formule (23) donne ensuite le couple de torsion : et la fonction d’influence du couple de torsion a pour expression : sin

C =

pr 2

–

 λ 2 θ  ----- –

λ ----- – θ

2 

-------------------------------- –

λ

cos ----2

 ( α , θ )

En particulier, les valeurs du couple de torsion aux extrémités sont :

C 0

=

–

C 1

=

–

λ λ pr 2 tg ----- – -----



2

2

2.3.3 Cas où la rigidité rigidité de torsion torsion

=

θ sin ( λ – α-)- 1  – --cos --------------------------------------------+ – t ( α )  sin λ     α cos ( λ – θ )  --sin  --------------------------------------------- – t ( α )   sin λ

On peut encore calculer C (θ) connaissant M (θ) au moyen de la première formule (6) (6) et et de la condition de compatibilité (24) (24) : :





d C et ---------- = M dθ

est K est

(34)

λ

C dθ = 0 GK

----------

0

Nous trouvons donc, M 1 (θ) étant une primitive de M (θ) :

variable

C (θ) = M 1 (θ) + A Dans ce cas, en reportant l’expression (18) (18) du du couple de torsion dans la condition de compatibilité (24) (24),, nous trouvons :

T 0

P [ 1 – t ( α ) ]

=

la fonction t ( α ) , nulle pour étant définie par :

(α)

t



λ

0

dθ

------------

GK

=



α

0

(31)

d 2 t dα2

-------------- +



------------

0

dθ

----------

GK

=

–



λ

0

M 1( θ ) dθ GK

------------------

La formule (23) (23) permet permet ensuite de calculer l’effort tranchant.

GK  ( α , θ )

sin α cos ( λ – θ ) d θ ---------------------------------------------- -----------sin λ α GK

t

=

ϕ (α )

=

 

α

0

dθ

------------

GK

(32)

--------------------

λ

dθ

------------

GK

En utilisant la méthode de la variation des constantes, nous trouvons l’expression suivante de l’intégrale générale de l’équation (32) :

A cos α + B sin α –

λ

Remarque : la formule (23) (23) montre qu’on a, entre les fonctions d’influence, la relation :

λ

0

=





dθ

cos θ sin ( λ – α ) 1 – --------------------------------------------sin λ

Cette formule n’est pas très pratique pour calculer t ( α ) par intégration numérique. Mais elle permet de montrer que la fonction t (α ) est une intégrale de l’équation différentielle :

(α)

A

α = 0 et égale à l’unité pour α = λ ,

+

t

A étant une constante définie par :

cos α



α

0

ϕ ( t )

sin t dt + sin α



α

0

ϕ ( t )

cos t d t

∂  ( α , θ ) ∂θ

= – --------------------------- +

( α, θ)

t

(35)

2.4 Effet de l’excentric l’excentricité ité des charges charges 2.4.1 2.4.1 Moment fléchissa fléchissant nt Une charge P est est appliquée, dans la section d’abscisse angulaire α, à une distance d du du centre de gravité de cette section ; l’ excentricité d de de la charge est comptée positivement du côté opposé au centre de courbure de la fibre moyenne. Nous avons donc, au centre de gravité de la section, une charge P et et un couple Γ = = Pd dont dont l’axe est tangent à la fibre moyenne. L’effet de la charge P a a été étudié dans les paragraphes 2.2 2.2 et et 2.3 2.3.. Le couple Γ donne donne lieu à un effort tranchant : T (θ) = T 0 à un couple de torsion :







____________________________________________________________________

Le moment fléchissant dû à la charge excentrée a donc pour valeur :

M ( θ )

=

Pr 1 + --d --r







L’effort tranchant et le couple de torsion dus à la charge excentrée

P ont donc pour valeurs :

(α, θ)

T ( θ )

Le moment fléchissant dû à une charge excentrée est donc égal au moment fléchissant dû à cette charge supposée centrée multiplié par le coefficient d’excentricité  :

∆


d r

C ( θ )

=

–

Pr

=

P



--- ψ ( α ) ( α , θ ) + --d r

t

1 d r  + -----

∂  ( α , θ ) ∂θ

--------------------------- –



--- ψ ( α ) ( α , θ ) – --d r

t



(37)

On notera qu’en raison de la symétrie de la fonction  ( α , θ ) la fonction ψ (α ) est donnée par une intégrale du type (21) (21)..

Ce résultat, qui permet de traiter par superposition le cas de charges quelconques, peut être retrouvé à partir des équations (5) dans le cas d’une charge répartie de densité p excentrée de d . Puisque γ t = pd et γ n = 0, nous avons :

r, l’effort tranchant T 0 est En raison de l’influence du facteur d / / r toujours très petit et peut, en général, être négligé.

1 + -----

=

d C M = pr d et dθ

2.5 Calcul Calcul des rotations rotations d’extrémité d’extrémité

d M C = rT dθ

---------- –

----------- +

et, compte tenu de d T /d /d θ = pr , nous déduisons de ces relations l’équation différentielle : d 2 M

-------------- +

dθ 2

M =

–

pr 2 1 + --d --r





qui n’est autre que l’équation (22) (22),, dans laquelle la densité de charge p est multipliée par le coefficient d’excentricité ∆ de l’équation (37) (37)..

2.5.1 2.5.1 Cas général général Pour calculer les rotations ω 0 (α ) et ω 1 (α ) des sections d’extrémité de la travée sous l’effet d’une charge P appliquée appliquée au centre de gravité de la section d’abscisse angulaire α, il suffit de prendre, dans les formules (25) : M = Pr  ( α , θ ) et C = Pr  ( α , θ ) Le calcul, fort long, peut être simplifié on observant que l’on a à calculer des intégrales de la forme :

2.4.2 Effort tranchant tranchant et couple couple de torsion torsion Pour calculer l’inconnue T 0 , portons l’expression (36) (36) de de C (θ) que l’on peut écrire sous la forme :

∂  ( α , θ ) C ( θ ) = – Γ -------------------------∂θ

+

r T 0



λ

dθ

------------

0

GK

=

Γ r

-----



λ

0

∂  ( α , θ ) ---d----θ---∂θ GK

---------------------------

=

G (α )

=

(38)

T 0



dθ

------------

0

GK

=

–

Γ ----r



 ( α , θ )

0

d --------dθ

 GK  d θ 1

------------

Lorsque K est constant, T 0 est nul. L’effort tranchant n’est donc pas modifié par l’excentricité des charges. Le couple de torsion dû à la charge P excentrée a donc pour valeur :

=

–

Pr



 ( α , θ )

f ( θ) dθ

(39)

g ( θ ) d θ

(40)

λ

0

 ( α , θ )

d 2 F F = dα 2

–

f (α )

qui vérifie les conditions aux limites F (0) = 0 et F ( λ ) = 0.

λ



C ( θ)

0

------------- +

ou, en intégrant par parties : λ

 

En raison de la symétrie de la fonction  ( α , θ ) , l’intégrale (39) est du même type que l’intégrale (21) ; la fonction F (α) est donc l’intégrale de l’équation différentielle :

dans la condition de compatibilité (24) (24).. Nous trouvons :

T 0

F (α )

λ

d 1 + ----r



∂  ( α , θ ) --------------------------∂θ

–

( α, θ)

t

En utilisant la relation (35) (35),, il est possible de montrer que la fonction G (α) est l’intégrale de l’équation différentielle : d 2 G --------------- + G = dα 2



α

0

g ( θ ) d θ –

ϕ (α )



λ

0

g ( θ ) d θ

qui vérifie les conditions aux limites G (0) = 0 et G ( λ ) = 0 ; la fonction qui figure dans l’équation (32) (32) : :

ϕ (α )

est








La formule (28) (28) devient, devient, K étant étant supposé constant :

2.5.2 Cas d’une poutre poutre de section section constante constante Lorsque I et K sont constants, la méthode précédente conduit aux formules :

ω 0 ( α)

ω 1 ( α )

=

=

     Pr 2 λ 1 – α ----------sin ( λ – α) – --------------- sin λ  – --------------sin λ GK λ   (41)  Pr 2 λ 1 1 sin ( λ – α) λ – α --------------- cos α -------- + -------------------------------------------- – ------------- sin λ E I GK 2 2 sin λ    α Pr 2 1 ----------sin α – ----- sin λ  + --------------sin λ GK λ 

Pr 2 1 1 --------------------- + ----------sin λ E I GK



–



C =

λ sin α α ------------------- – ----- cos ( λ – α ) 2 sin λ 2

   



ω 0 = r



λ

ω 0 (α ) p ( α ) dα et ω 1 = r

0

λ

0







C 0

=

P r

–

=

–

ω 1 = --1--- pr 2 2

 E 1

λ GK  1 1

------- + -----------

C 1

Pr

=

I

sin λ cos λ

p r r 2 λ λ tg ----- – ----GK 2 2





(42)

α ) (2 λ α) 6 λ

– – --------------------------------------------------

 α(λ =

M ( β , x )

=

 x (  – β ) λ – α2 – θ2  P ----------------------- 1 + --2----α -------------------------------- 6   ) 2 θ λ – α2 – θ2  P --β----(--------–----x -----1 + -------------------------------------  6

 

si x < β si x > β

si

θ>α

7 λ 2

3 (λ 60

α )2

– – + --------------------------------------------

 1

7 λ 2

3 α2 60

– + ------------------------------





C 1

=

β ( – β) (2 – β) P --------------------------------------------6 r  β (  – β) ( + β) P -----------------------------------------6 r 

    

(43)

–

p r 2

=

–

C 1

 2λ θ   3 λ (24λ p λ 1 24 r  10  2

3

– -----------

=

2θ) 2

– – ------------------------------------------

----- –



2

+ -------

En supposant I et K constants, constants, les formules (41) (41) deviennent deviennent :

ω 0 ( β)

=

ω 1 ( β )

P β (  – β ) ( 2  – β ) --------------------------------------------E I 6

--------

=

P β ( E I

β) (

E   GK  λ ( λ α )  β) E  λ α    GK

6

7

I

I

–

ω 1

=

p  3

------------------

24E I

 

E I GK

3 60

7

2

2

1 + 2 + -------------

3 60

2

– -----------------------------

1 + 2 + ------------

De même, la formule (42) (42) donnant donnant les rotations une charge de densité constante p devient devient : =

2

– – --------------------------------------------

1 + 2 + ------------

– + - -----------------------------------------– --------

ω 0

 

θ<α

Dans le cas d’une charge de densité constante p appliquée sur toute la travée, nous trouvons :

C 0

Dans ces conditions, la formule (20) devient :

α) ( λ α) 6 λ

–

2.6 Cas où la portée portée angulaire angulaire est faible faible

Les angles λ , θ est α étant petits, nous pouvons remplacer leurs lignes trigonométriques par des développements limités.

 1

– + ----------------------------------------------

C 0

C =

La plupart du temps, la portée angulaire λ est est faible : une travée de 60 m de portée et de 300 m de rayon a une portée angulaire λ = 1/ 5 rad. Dans ce cas, les c alculs peuvent être simplifiés ; désignons par : •  = r λ la portée mesurée suivant la fibre moyenne ; • x = = r θ l’abscisse curviligne d’un point courant de la fibre moyenne ; • β = r α l’abscisse curviligne de la section qui supporte la charge P .

si

Il en résulte qu’on peut calculer C 0 et C 1 avec une erreur relative inférieure à 0,5 % dès que λ < < 1/5 rad au moyen des formules :

ω 1 ( α ) p ( α ) dα

– -------------------------- – ------------+



 α (λ

En particulier, lorsqu’une densité de charge constante p est appliquée sur toute la travée, on trouve :

ω 0



En particulier, en prenant un terme de plus dans les développements limités, les couples de torsion aux extrémités de la poutre ont pour valeurs :

 

Les rotations produites par une charge répartie de densité p (α ) par unité de longueur de fibre moyenne ont pour valeurs :

 2 – (λ – α )2 – 3 θ2  – P r 1 – --α--- -λ ---------------------------------------------------6 λ   2 2 2 – α – 3( λ – θ )  Pr --α--- --λ ------------------------------------------------- 6 λ 

(44)

ω 0 et ω 1 dues à

 10λ  2

-------

(45)

Les formules (44) et (45) (45) montrent que, lorsque les termes correctifs sont négligeables, les rotations ω 0 et ω 1 peuvent être assimilées aux rotations des extrémités d’une poutre droite sur λ C’est pratiquement toujours le appuis simples de portée 







____________________________________________________________________

La comparaison des formules (43) (43) et et (44) (44) montre montre que, lorsque les termes correctifs sont négligeables, on a les relations :

C 0 = –

E I I ------- ω ω et C 1 = – -E r 0 r 1

GK peut être assez Dans le cas d’une section ouverte, le rapport E I / GK grand pour que les termes correctifs ne puissent être négligés. On voit ainsi l’intérêt de prévoir des sections tubulaires pour les ponts courbes. Lorsque la poutre est de section variable, les résultats précédents sont encore valables. En effet, la partie principale de la λ lorsque λ est petit. Rien n’est donc changé fonction t (α ) est α / λ dans le calcul des parties principales de l’effort tranchant et du couple de torsion. Dans les mêmes conditions, on peut montrer que les parties principales des rotations ω 0 et ω 1 sont :

ω 0

=



0

M x 1 – ----- dx et ω 1 E I 

--------





=

–





0

L’élimination de C 0 – Tr entre les deux équations précédentes donne l’expression de M (θ) en fonction de M 0 et de M 1 :

M ( θ )

(46)

-------

Les relations (46) (46) sont sont valables pour n’importe quel cas de charge ; par contre, elles supposent K et I constants.




=

M 0

sin ( λ θ ) sin λ

– ------------------------------ +

M x ----dx E I 

 

C ( θ )

=

d M dθ

----------- +

–

Tr = M 0

M 1

cos θ sin λ

---------------- +

Tr

3.1.2 Poutre de rigidité rigidité de torsion constante constante Nous trouvons immédiatement :

M 1 – M 0 r λ

(48)

------------------------

Le couple de torsion a donc pour expression :

C ( θ )

=

–

( λ – θ) M 0 --1--- – --cos ---------------------------λ sin λ





+

θ M 1 --1--- – --cos -------------λ sin λ





(49)

En particulier, les couples de torsion aux extrémités ont pour valeurs :

C 0 C 1

3.1 Formules Formules prélimina préliminaires. ires. Coefficients de souplesse 3.1.1 3.1.1 Problème Problème fondament fondamental al

cos ( λ θ ) sin λ

– ------------------------------ –

T au moyen de la condition de

Il reste à déterminer compatibilité (24) (24)..

donc égales aux rotations d’extrémité de la poutre droite sur appuis simples.

3. Poutre Poutres s cir circul culair aires es continues

(47)

---------------

La formule (23) (23) nous nous donne l’expression du couple de torsion :

T = --------

sin θ sin λ

M 1

=

=

–

M 0







  λ    1 1 1 M  λ tg λ   λ 

1 M 0 --1--- – ------------λ tg λ 1 --------------- – ----sin λ



+

–

M 1 1

1 sin λ

1

--------------- – -----

(50)

----- – -------------

En portant les expressions (47) et (49) dans les formules (25) (25),, nous obtenons pour les rotations d’extrémités ω 0 et ω 1 des expressions de la forme :

Appliquons aux extrémités d’une travée indépendante courbe des couples d’axes normaux à la fibre moyenne imposant un moment fléchissant M 0 à la section θ = 0 et un moment fléchissant M 1 à la section θ = λ (figure 7). Nous nous proposons de calculer M , T et C en tout point de la fibre moyenne et les rotations ω 0 et ω 1 des sections d’extrémité.

dans lesquelles les constantes a , b et et c sont, sont, par définition, les coefficients de souplesse de la travée.

En fonction de C 0 et de l’effort tranchant constant T = T 0 , le moment fléchissant a pour valeur :

Dans le cas où I est constant, les coefficients de souplesse ont pour valeurs :

ω 0 = a M 0 + b M 1 ω 1 = – b M 0 – c M 1

M (θ) = – C 0 sin θ + M 0 cos θ + Tr sin θ En particulier :

M 1 = M ( λ ) = – C 0 sin λ + + M 0 cos λ + + T 0 r sin sin λ

a b

=

=

  

(51)

r 1 λ ----------λ cos λ 1 r ---1---- + -----1------ -------–-----sin ------------------- – --------------- – -----------GK λ tg λ E I GK 2 sin 2 λ λ – λ cos λ r -------1-------- – --1--r ---1---- + -----1------ --sin -------------------------------------- – ----------GK sin λ λ E I GK 2 sin sin 2 λ

c

=

















 

 (52)   










La formule (49) devient :

C =

–

M 0

3(λ

θ ) 2 λ 2 6 λ

– – -------------------------------------

+

M 1

En portant dans les formules (25) (25) les expressions (47) et (55) et en tenant compte de la définition (54) des constantes k ’ et k ’’, les rotations ω 0 et ω 1 sont encore données par les formules (51) (51) dans dans lesquelles les coefficients de souplesse ont pour valeurs :

3 θ 2 λ 2 6 λ

– -----------------------

Les formules (50) (50) deviennent deviennent :

  C 0    C  1 

=

=

–

λ 7 λ λ M 1 1 3  6  15  60  λ 1 7 λ λ 1 λ M 6  3  60  15 

M 0

M 0

λ

-----

2

+ --------

2

–

1

-----

-----

+ -----------

2

+

1

-----

+ -------

Nous avons donc, avec une excellente approximation lorsque est petit :

λ

  C 0 = – M 0 -------- – M ------1 6-r 3 r     C = M ------- + M ------0 6-r 1 3-r  1

Enfin, les coefficients de souplesse a , b et c donnés par la formule (52) ont pour valeurs approchées lorsque λ est petit :

 λ 2 I  a = c = ----------- 1 + 2 + ---E -------------GK 15 3E I   7 λ 2 I  b = ----------- 1 + 2 + ---E ------------------ 6E I 60 GK 

       

Donc, lorsque la portée angulaire est faible et que la rigidité à la torsion est suffisante, les coefficients de souplesse peuvent être assimilés à ceux d’une poutre droite d’inertie I et de portée  = r λ . On montrerait aisément qu’il en serait de même lorsque I est variable.

3.1.3 Poutre de rigidité rigidité de torsion variable variable

r

λ

------------------

sin 2 ( λ

θ ) dθ +

– --------------------------------



λ

cos 2 ( λ

θ ) dθ

– ----------------------------------





+ -----------

2

 λ

  0 0 GK E I  sin 2  λ k ′ 2 r dθ  ---------------  – -----λ 2 0 GK   λ λ  r sin θ sin ( λ – θ ) cos θ cos ( λ – θ ) ------------------------------------------------------------------------------------------b = -----------2-----dθ – d θ  (56) E GK I sin λ 0 0   λ k ′ k ′′ r dθ  ----------  + -------------------λ 2 0 GK   λ λ λ  r k ′′ 2 r sin 2 θ cos 2 θ dθ ----------------- dθ + ------------------ dθ -----------c = -----------2-----– --------------- 2 E GK GK I sin λ 0 λ 0 0  a =

















Dans le cas où la travée est symétrique, a = = c . Lorsque la portée angulaire est faible et que GK est du même ordre de grandeur que E I, on peut montrer que les coefficients de souplesse ont pour valeurs approchées :

 

a =

0

x

1 – ----



2

d x

---------

E I

, b =





x

-----

0 



x --d----x --- , c = E I 

1 – -----



 

0

x

-----





2

d x

---------

E I

On peut donc encore, avec une excellente approximation, confondre les coefficients de souplesse de la travée circulaire avec ceux de la poutre droite de même inertie et de portée  = r λ .

3.2 Méthode Méthode de de calcul calcul des poutres continues circulaires Une poutre continue à fibre moyenne circulaire comportant







____________________________________________________________________

Considérons, en effet, la i e travée Ai – 1 Ai ; le moment fléchissant dans cette travée s’exprime en fonction du moment  i ( θ ) dans la travée supposée indépendante et des moments sur appuis :

m i ( θ)

=

 i ( θ )

+

sin ( λ i – θ )

M i

–

1

------------------------------ +

sin λ i

sin θ ------------M i ------sin λ i

(57)

λ i désignant la portée angulaire de la travée, et θ l’abscisse angulaire d’une section comptée à partir de l’appui de gauche Ai – 1 . Notons que les rayons des fibres moyennes des travées peuvent être différents. De même, si

t i

( θ ) et

 i ( θ )

désignent l’effort tranchant et le

couple de torsion dans la travée Ai – 1 Ai supposée indépendante, l’effort tranchant T i (θ) et le couple de torsion C i (θ) dans la travée Ai – 1 Ai de la poutre continue ont pour expressions :

T i ( θ ) C i ( θ )

=

 i ( θ )

–

M i

–

=

k ′′i M i – k i ′ M i 1 t i ( θ ) + ----------------------------------------------r i λ i –

k i ′ λ i

cos ( λ i – θ )

-------- – ---------------------------------

1

sin λ i

+

M i

 k λ ′′ i

cos θ sin λ i

------------ – --------------------

i



Nous nous sommes placés dans le cas le plus général où la rigidité de torsion K i est variable ; k i ′ et k ′′i sont donnés par les formules (54) (54) dans lesquelles

λ = λ i et K = K i . Lorsque K i est

constant, nous avons k i ′

=

=

k ′′i


Le calcul des rotations

rique lorsque K i et Ii sont variables, et à partir des formules (41) lorsque K i et Ii sont constants. Lorsque les portées angulaires λ i des travées sont faibles, par exemple inférieures à 1/5 rad, les calculs faits précédemment dans les paragraphes 2.6 et 3.1 3.1 montrent montrent que les moments fléchissants dans la poutre continue circulaire peuvent être assimilés aux moments fléchissants dans la poutre droite continue de même inertie et de portées i = r i λ i avec une erreur relative inférieure à 0,5 %.

3.3 Cas exceptionn exceptionnel el d’une poutre poutre continue circulaire fermée Prenons l’exemple (figure 9) d’une poutre circulaire fermée comportant n travées identiques et symétriques d’ouverture n , et supposons que seule la travée A n A 1 est angulaire λ = = 2 π / n chargée. Soit ω ’ et ω ’’ ’’ les rotations à l’appui A n et à l’appui A1 de cette travée supposée indépendante. Les travées ont les mêmes coefficients de souplesse a = = c , et b . En appliquant n fois fois la relation b , nous des trois moments et en désignant par ρ le rapport a / b obtenons, d’une part, les deux équations avec second membre :

 M n 1 + 2 ρ M n + M 1 = – --ω′ ----b   ′  M + 2 ρ M + M = --ω′ ------1 2  n b –

1.

Les réactions R i et Γ i exercées par l’appui Ai sur la poutre sont :

et, d’autre part, les n – – 2 équations sans second membre :

R i = T i + + 1 (0) – T i ( λ i )

Γ i = C i + + 1 (0) – C i (λ i ) Il suffit donc de calculer les moments fléchissants M i sur les appuis. Désignons par

ω i ′ et ω′i ′ se fait par intégration numé-

e

ω′i et ω′i ′ les rotations des extrémités de la i travée

     

M 1 + 2 ρ M 2 + M 3

=

0

M 2 + 2 ρ M 3 + M 4

=

0

–––––––––––––








Dans les expressions précédentes, s désigne l’une ou l’autre des racines de l’équation du second degré ; elles ne changent pas si l’on s. Pour le calcul numérique, on a intérêt à choisir remplace s par par 1/ s la racine dont la valeur absolue est inférieure à l’unité, soit :

s =

–

ρ

–

ρ2 – 1 

Lorsque n est est très grand, on retrouve les résultats relatifs à une poutre droite continue composée d’une infinité de travées identiques :

M 1 = --1--b

Figure Figure 9 – Poutre Poutre contin continue ue circulai circulaire re fermée fermée

ω′ s 2 ω′ ′ s et M 1 ω′ s – ω′ ′ s 2 --- ---------------------------------n = -b 2 1 – s 1 – s 2

– ----------------------------------







Structures élastiques planes chargées normalement à leur plan

P O U R E N

par Jean COURBON Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées Professeur Honoraire à l’École Nationale des Ponts et Chaussées

Bibliographie COURBON (J.). – Théorie des ponts courbes. Annales des Ponts et Chaussées, sept.-oct. 1961. COURBON (J.). – Résistance des Matériaux. Tome II, Dunod (1971).

S A V O I R P L U

Structures Élastiques Planes

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