STATISTIKA DESKRIPTIF (1)
MATERI: Distribusi Frekuensi;
Ir. GINANJAR SYAMSUAR, ME.
SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA (STEI) β JAKARTA 2017
DAFTAR ISI Halaman
DAFTAR ISI ...................................................................................................i I.
DISTRIBUSI FREKUENSI ......................................................................2 A. KONSEP DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI .................................... 2 B. DISTRIBUSI FREKUENSI KUALITATIF .................................................... 3 1) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif ................3 a) Menentukan Kelas kategori ..............................................................3 b) Menempatkan dan Menghitung data kedalam Kelas kategori ...............4 2) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif .. 4 a) Distribusi Frekuensi Relatif ..............................................................4 b) Distribusi Persentase kelas kategori ..................................................4 3) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kualitatif .....................................5 a) Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi ...............................5 b) Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi Relatif.....................5 c) Diagram Pareto (Pareto Chart) .........................................................5 4) Analisis Kasus Distribusi Frekuensi Kualitatif ..........................................5
C. DISTRIBUSI FREKUENSI KUANTITATIF ................................................ 8 1) Kuantitatif: Data Diskrit dan Data Kontinu .............................................. 8 2) Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit ................................................... 10 a) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit . 10 b) Menentukan Kelas Tunggal, Batas Kelas dan Frekuensi kelompok kelas11 c) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit ............................................................................................. 12 d) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit ................. 14
3) Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu ................................................. 14 a) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu 14 b) Menentukan Batas Kelas, Tepi Kelas, Nilai Tengah Kelas dan Frekuensi15 c) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu ............................................................................................ 17 d) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu ................ 18
i
I.
DISTRIBUSI FREKUENSI
A. KONSEP DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI Dalam banyak kasus, data statistik yang terkumpul atau yang sengaja dikumpulkan oleh seseorang atau lembaga riset biasanya terdiri atas berbagai jenis data serta bisa saja jumlahnya sangat banyak, akan tetapi kerapkali tidak memberikan arti apa-apa bagi seorang analis sebelum data tersebut disajikan atau diklasifikasikan kedalam kelompokkelompok atau bentuk lain. Salah satu bentuk penyajian data yang dapat memberikan informasi yang berguna adalah distribusi frekuensi. Dengan distribusi frekuensi ini seseorang bisa dengan mudah melihat bagaimana sekumpulan data mengelompok dan bagaimana kira-kira model populasi dari data yang diperoleh. Pengetahuan tentang model populasi sangat berguna jika seseorang ingin melakukan analisis statistika lanjutan seperti penaksiran parameter populasi dan pengujian hipotesis dari parameter ini. Untuk beberapa tujuan, distribusi frekuensi benar-benar memadai dan dapat memberikan informasi sesuai apa yang kita butuhkan. Namun suatu distribusi frekuensi akan benar-benar bisa bermanfaat atas semua informasi yang dihasilkannya apabila semua ketentuan seperti syarat serta aturan pengolahan terhadap jenis datanya sesuai. Berkaitan dengan jenis data dari suatu data mentah yang dihasilkan baik itu melalui observasi seseorang atau lembaga riset, bisa saja jenis datanya berjenis kualitatif dan atau kuantitatif. Data kualitatif merupakan data pengamatan yang didasarkan atas hasil penghitungan, sedangkan data kuantitatif merupakan data pengamatan yang didasarkan atas hasil pengukuran. Penyajian data pada Distribusi Frekuensi, disajikan atau ditampilkan dalam bentuk tabel yaitu Tabel Distribusi Frekuensi, sehingga tampak lebih ringkas dan sederhana, mudah dibaca dan difahami, serta dapat dianalisis lebih lanjut. Oleh karena itu jika jenis datanya kualitatif maka tabel distribusi frekuensinya dikenal sebagai Tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif, dan jika jenis datanya kuantitatif dekenal sebagai Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif. Pada pelaksanaannya terdapat tiga tahapan kegiatan pokok didalam pembuatan suatu tabel distribusi frekuensi, yaitu: 1. Mengurutkan Data (Sorting): yaitu mengurutkan data mentah seluruhnya dari mulai terkecil hingga terbesar. 2. Menentukan Kelas Data (Grouping): yaitu membuat atau menentukan Kelas dimana data mentah akan dikelompokkan, dan 3. Menghitung Data (Counting): yaitu menghitung jumlah pengamatan atau banyaknya data mentah yang akan ditempatkan ke dalam setiap Kelas yang telah ditentukan. Hal ini adalah disebut sebagai frekuensi.
2
B. DISTRIBUSI FREKUENSI KUALITATIF Distribusi Frekuensi Kualitatif adalah kondisi tersebarnya data kualitatif hasil pengamatan (penghitungan) ke dalam jenis nama kelompok kategori dengan cara tertentu.
1) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif Data kualitatif yang disajikan kedalam Tabel Distribusi Frekuensi merupakan tabel satu-sisi (one-way-table) yang tersusun atas komponen pokok indikator informasi Kategori dengan Frekuensi. Kategori: terdiri atas beberapa jenis kategori dimana untuk setiap jenis kategorinya mencerminkan karakteristik satuan data diklasifikasikan, dan Frekuensi: adalah merupakan jumlah unit atau data yang menempati jenis kategori. Sehingga bentuk format tabel distribusi frekuensi kualitatif adalah seperti berikut: Tabel 1. Judul tabel data Kelas kategori (i) 1
Kategori (Nama dasar kategori)
Nama kelas kategori pertama 2 Nama kelas kategori kedua β¦ β¦ k Nama kelas kategori ke-k Total = Catatan Penting:
Frekuensi (Jumlah data dalam kategori) Jumlah data yang ada dikategori pertama Jumlah data yang ada dikategori kedua β¦ Jumlah data yang ada dikategori ke-k
Karena kata Kategori dan Frekuensi merupakan titel jenerik (generic title). Gunakan nama dari variabel untuk Kategori dan jumlah unit untuk Frekuensi. Juga, agar Tabel Distribusi Frekuensi lebih informatif cantumkan Judul secara singkat yang menjelaskan tabel distribusi frekuensi yang dimaksud.
Untuk dapat membuat atau mengisi tabel distribusi frekuensi tersebut maka tahapan kegiatan yang dilakukan adalah: a) Menentukan Kelas kategori Jika Anda bekerja dengan data kualitatif, data mungkin sudah diurutkan atau dikelompokkan sesuai kelas, berdasarkan kategori respon. Kadang-kadang, ketika berhadapan dengan sejumlah besar kategori respon, pengamatan dapat dikelompokkan atau digabungkan. Contoh di mana data kualitatif dikelompokkan adalah ketika membuat tabel jumlah karyawan dalam pekerjaan yang berbeda. Hal ini sering berguna untuk kelompok kategori pekerjaan, sehingga jumlah kelas pekerjaan mudah dikelola.
3
b) Menempatkan dan Menghitung data kedalam Kelas kategori Untuk menempatkan sejumlah data yang bisa masuk atau bisa dikelompokkan kedalam suatu kelas kategori sesuai dengan jenis kategorinya, ditentukan dengan cara menghitung banyaknya nilai data mentah yang bisa masuk sesuai dengan kelas kategorinya.
2) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif Distribusi frekuensi lain yang biasa ditampilkan pada tabel distribusi frekuensi kualitatif adalah: a) Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara nilai frekuensi setiap jenis kategori dengan total frekuensi seluruh jenis kategori, dirumuskan sebagai berikut:
π
π
=
ππ π
dimana: (FR)i ο adalah Frekuensi Relatif kelas kategori ke-i Fi ο adalah Frekuensi (nilai data) kelas kategori ke-i TF ο adalah Total Frekuensi (total nilai data) seluruh kelas kategori. Tujuan dibuat Frekuensi Relatif: Untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data. b) Distribusi Persentase kelas kategori Persentase kelas kategori adalah merupakan nilai frekuensi relative dikalikan dengan 100%, dirumuskan sebagai berikut:
π·π π = π π π dimana: (PF)i ο adalah Persentase Frekuensi kategori ke-i (FR)i ο adalah Frekuensi Relatif kategori ke-i
%
Sehingga bentuk format tabel distribusi frekuensi kualitatif secara lengkap pada umumnya seperti berikut: Tabel 2. Judul tabel data Kelas kategori (i) 1 2 β¦ k
Kategori (Nama dasar kategori)
Frekuensi
Frekuensi Relatif
Nama kelas kategori pertama Nama kelas kategori kedua β¦ Nama kelas kategori ke-k
F1 F2 β¦ Fk
Fr1=(F1/TF) Fr2=(F2/TF) β¦ Frk=(Fk/TF)
Total =
TF
1.00
Persentase dari Total Frekuensi Fr1*100% Fr2*100% Frk*100%
100 4
3) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kualitatif Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam bentuk visual akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka, oleh karena itu grafik dapat digunakan sebagai kesimpulan tanpa kehilangan makna. Untuk pendukung pengambilan kesimpulan terhadap analisis data yang ditampilkan dalam tabel Distribusi Frekuensi Kualitatif pada umumnya dibuatkan grafik-grafik frekuensi sebagai berikut:. a) Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi data kualitatif adalah menggambarkan hubungan antara kelas kategori pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi (nilai jumlah data) tiap Kategori pada sumbu vertikal (sumbu-y). Diagram batang dalam tampilan diagramnya dicirikan oleh adanya jarak diantara masing-masing diagram batang setiap kelas kategorinya. b) Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi Relatif Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi relatif data kualitatif adalah menggambarkan hubungan antara kelas kategori pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif (nilai relatif data) tiap Kategori pada sumbu vertikal (sumbu-y). c) Diagram Pareto (Pareto Chart) Diagram Pareto adalah diagram hubungan antara kelas kategori pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif pada sumbu vertikal (sumbu-y) dimana bentuk grafik batangnya (bar) tersusun menurut urutan menurun nilai frekuensi relatifnya.
4) Analisis Kasus Distribusi Frekuensi Kualitatif Pada umumnya untuk analisis suatu kasus kelompok data yang tersaji dalam distribusi frekuensi kualitatif, informasi yang digunakan sebagai bahan analisis adalah diambil dari informasi komponen frekuensi, frekuensi relatif, dan persentase relatif yang ditampilkan pada tabel distribusi frekuensi kualitatif. Juga disertai oleh bentuk sajian visual dari grafiknya yaitu grafik batang frekuensi, grafik batang frekuensi relatif, dan diagram Pareto.
CONTOH KASUS: Seorang ahli terapi fisik ingin mendapatkan informasi jenis rehabilitasi cedera tubuh yang pernah dilakukan pasien-pasien dikliniknya dalam kurun waktu satu tahun. Untuk tujuan ini ahli terapi tersebut telah mengambil sampel secara acak sederhana sebanyak 30 pasien dan mencatat bagian tubuh mana saja yang pernah direhabilitasi. Data semua sampel mengenai posisi cedera ditampilkan pada tabel berikut:
5
Tabel Lokasi Cedera Tubuh yang direhabilitasi Punggung
Punggung
Engkel kaki
Punggung
Sikut Punggung Panggul
Punggung Bahu Lutut
Tangan Pangkal Paha Punggung Bahu Panggul
Leher
Lutut
Lutut
Bahu
Bahu
Punggung
Punggung Lutut Tangan
Punggung Lutut Punggung
Punggung Punggung Engkel kaki
Pertanyaan Masalah: a) Buatlah Tabel Distribusi Frekuensi Cedera bagian tubuh yang pernah direhabilitasi.? b) Buatlah secara grafis data lokasi cedera tubuh tersebut (Grafik Bar Frekuensi, Grafik Bar Frekuensi Relatif, dan Pareto Chart). c) Cedera bagian tubuh manakah dari sampel tersebut yang paling banyak direhabilitasi. ? d) Hitung, berapa persen yang pernah direhabilitasi untuk cedera pada tubuh bagian bawah (dimulai dari Panggul)
SOLUSI KASUS: a) Untuk membangun sebuah distribusi frekuensi, terlebih dahulu kita buat daftar kategori (dalam hal ini nama bagian tubuh) sesuai dengan tabel data mentah (sampel), lalu menghitung jumlah kejadian (data) pada setiap kategorinya. Untuk memudahkan penentuan nilai frekuensi kejadian setiap kategori, sebagai bantuan gunakan tanda talus (tally). Selanjutnya, apabila nilai frekuensi setiap kategori sudah diperoleh lanjutkan hitung nilai frekuensi relatif dan persentase relatif setiap kategorinya dengan menggunakan rumus pada teori yang sudah dijelaskan. Sehingga bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Cedera bagian tubuh yang pernah direhabilitasi diperoleh sebagai berikut: Frekuensi Cedera Bagian Tubuh yang Direhabilitasi di Klinik Terapi Fisik Bagian Tubuh Frekuensi Frekuensi Relatif Persentase Relatif (%) Punggung 12 0.4000 40 Engkel kaki 2 0.0667 6.67 Sikut 1 0.0333 3.33 Panggul 2 0.0667 6.67 Bahu 4 0.1333 13.33 Lutut 5 0.1667 16.67 Tangan 2 0.0667 6.67 Pangkal paha 1 0.0333 3.33 Leher 1 0.0333 3.33 JUMLAH 30
6
b) Grafik batang dan Diagram Pareto bagian tubuh yang pernah direhabilitasi di klinik terapi fisik selama periode setahun disajikan sebagai berikut:
1) Grafik Frekuensi Bagian Tubuh yang Direhabilitasi selama periode satu tahun 14
Frekuensi
12 10 8 6 4 2 Leher
Pangkal paha
Tangan
Lutut
Pundak
Panggul
Sikut
Engkel kaki
Punggung
0
Bagian Tubuh
Leher
Pangkal paha
Tangan
Lutut
Pundak
Panggul
Sikut
Engkel kaki
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Punggung
Frekuensi Relatif
2) Grafik Frekuensi Relatif Bagian Tubuh yang Direhabilitasi selama periode satu tahun
Bagian Tubuh
7
Sikut
Pangkal paha
Leher
Tangan
Panggul
Engkel kaki
Pundak
Lutut
0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 Punggung
Frekuensi Relatif
3) Diagram Pareto Bagian Tubuh yang Direhabilitasi selama periode satu tahun
Bagian Tubuh
c) Berdasakan tabel frekuensi serta grafik batang-nya, maka bagian tubuh yang banyak direhabilitasi di klinik terapi fisik adalah untuk bagian tubuh Punggung dengan frekuensi rehabilitasi sebanyak 12 kali dalam periode setahun pengamatan atau sebesar 40% dari total bagian tubuh yang direhabilitasi. d) Persentase yang pernah direhabilitasi untuk cedera pada tubuh bagian bawah (mulai dari Panggul) yaitu diantaranya Panggul (6.67%), Pangkal paha (3.33%), Lutut (16.67%), dan Engkel kaki (6.67%). Sehingga Total persentase tubuh bagian bawah yang pernah direhabilitasi selama periode satu tahun adalah sebesar 33.34%.
C. DISTRIBUSI FREKUENSI KUANTITATIF Distribusi Frekuensi Kuantitatif adalah kondisi tersebarnya data kuantitatif hasil pengamatan penghitungan dan atau pengukuran ke dalam kelas (kelompok) dengan cara tertentu.
1) Kuantitatif: Data Diskrit dan Data Kontinu Kuantitatif atau data kuantitatif adalah suatu data yang dinyatakan dalam bentuk angka nilai (value), jadi terhadapnya bisa dilakukan operasi matematik (jumlah, kurang, kali, dan bagi). Secara umum, variabel kuantitatif dibedakan atas dua jenis variabel, yang pertama di mana variabel yang diperbolehkan untuk mengambil / mencakup nilai apapun dalam kisaran tertentu, dan yang kedua di mana variabel hanya dapat mengambil /mencakup nilai-nilai tertentu saja. Jenis pertama adalah apa yang kita sebut sebagai variabel kontinu dan jenis kedua kita sebut sebagai variabel diskrit. Dalam kebanyakan kasus variabel diskrit mengambil seluruh jumlah nilai.
8
Secara spesifk, yang dimaksud dengan Data Diskrit adalah suatu data yang dihasilkan atas dasar penghitungan sedangkan Data Kontinu adalah suatu data yang dihasilakan atas dasar pengukuran. Contoh: Data diskrit: data banyaknya pengunjung ke suatu toko setiap periode satu hari, jumlah DVD-film yang dimiliki suatu keluarga. Data kontinu: data berat bayi baru dilahirkan, data panjang tubuh bayi baru dilahirkan. Pendekatan perkiraan (approximations): a) Dalam prakteknya, data kontinu tidak diukur atau direkam terus menerus. Kita bisa, misalnya, mengukur tinggi dari seseorang ke milimeter terdekat jika kita memiliki peralatan yang cukup akurat. Dengan pita pengukur biasa, namun kita mungkin bisa mengukurnya dengan benar ke sentimeter terdekat. b) Dengan data diskrit ada dua kemungkinan, kita dapat mendefinisikan suatu kelas untuk menjadi hanya satu nilai tunggal variabelnya, atau dapat mencakup berbagai nilai berupa batas kelas. Mana yang digunakan akan tergantung pada data dan banyaknya data. Contoh: Data diskrit: Untuk kasus data banyaknya pengunjung belanja ke suatu toko setiap periode satu hari, kemungkinan banyaknya atau jumlah pengunjung dalam periode satu hari bisa bernilai 0 orang, 1 orang, atau 10 orang, maka nilai banyaknya orang ini dalam pencatatan datanya adalah bisa langsung dianggap sebagai kelas dalam pembuatan tabel distribusi frekensinya. (apabila jumlah pengunjungnya 20 orang dalam setiap periode satu hari, hal inipun masih bisa dianggap sebagai kelas dalam pencatatannya, karena berdasarkan aturan banyak kelas yang diperbolehkan/diharuskan dalam distribusi frekuensi adalah 5 s/d 20 kelas (grup atau kelompok). Untuk kasus data jumlah DVD-film yang dimiliki suatu keluarga, untuk hal ini kemungkinannya suatu rumah-tangga keluarga (household) yang di survey bisa saja ada keluarga yang memiliki 0 keping DVDfilm, 1 keping, 2 keping atau bahkan 1000 keping DVD-film. Maka pencatatan data dalam distribusi frekuensinya harus dibuat kelas pengelompokan (grouping), misal: Jumlah keluarga sesuai DVDjumlah DVD-film yang dimiliki film yang dimiliki 0 β 20 25 21 β 41 20 β¦ β¦ 84 β 94 5 Catatan: dalam data diskrit pada umumnya nilai angka datanya dinyatakan sebagai bilangan bulat. Seperti contoh diatas tidak akan didata suatu keluarga yang memiliki setengah keping DVD. Data kontinu: Untuk data kontinu pada umunya selalu dibuat pengelompokan atau kelas data pada distribusi frekuensinya. 9
2) Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit adalah kondisi tersebarnya data kuantitatif hasil pengamatan penghitungan ke dalam kelas (kelompok) dengan cara tertentu. a) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit Data diskrit yang disajikan kedalam tabel distribusi frekuensi merupakan tabel satu-sisi (one-way-table) yang tersusun atas komponen pokok indikator informasi Kelas, bisa Kelas Tunggal (un-grouped) atau Batas Kelas (Grouped) dengan Frekuensi. Kelas:
terdiri atas beberapa kelompok kelas dimana untuk setiap kelompok kelasnya mencerminkan karakteristik satuan nilai data diklasifikasikan. Kelas Tunggal (Un-grouped): Pada distribusi frekuensi kuantitatif diskrit, komponen Kelas jenis kelompok kelasnya berupa nilai data tunggal yang dibangun oleh data aktual-nya langsung (dalam hal ini seolah-olah seperti jenis kategori pada distribusi frekuensi kualitatif), atau bisa berupa Batas Kelas (Grouped): Komponen Batas Kelas (Class limits), dibuat apabila jumlah komponen Kelas Tunggal lebih besar dari 20 (karena ketentuan banyaknya kelas dalam pembuatan distribusi frekuensi adalah mulai 5 s/d 20). (dan biasanya bentuk jenis batas kelasnya dicirikan oleh batasan dalam bilangan bulat, seperti: 0-10; 11-21; 22-32; dst.) Frekuensi: adalah merupakan jumlah unit atau banyaknya data yang menempati jenis kelompok kelas atau batas kelas. Sehingga bentuk tampilan Tabel Frekuensi Kuantitatif Diskrit dasar (berdasarkan komponen utama) adalah sebagai berikut: ο Kelompok Kelas berupa Nilai data tunggal (un-grouped): i
KELAS
FREKUENSI
1 2 β¦ k
Nilai data aktual terkecil
Banyaknya nilai data kelas ke-1 Banyaknya nilai data kelas ke-2 β¦ Banyaknya nilai data kelas ke-k
Nilai data aktual terkecil kedua
β¦ Nilai data aktual tertinggi Total =
Catatan: Kelompok kelas berdasarkan Nilai tunggal (data aktual) dibuat apabila diperoleh indikasi bahwa kisaran antara Nilai data tertinggi dengan Nilai data terkecil lebih kecil atau sama dengan 20 (karena rule of thumb pembuatan banyaknya Kelas adalah 5 s/d 20)
10
ο Kelompok Kelas berupa Batas Kelas (Grouped):
Interval Kelas
i
BATAS KELAS
1
BKB
2
(BKB+IK)
β¦ k
BKA (BKA+IK)
Banyaknya data yang masuk kelas ke1 Banyaknya data yang masuk kelas ke2 β¦
... β¦
FREKUENSI
Banyaknya data yang masuk kelas kek Total =
Catatan: BKB ο Batas bawah Kelas; BKA ο Batas atas Kelas; IK ο Interval Kelas; Nilai data BKB dan BKA selalu bilangan Bulat Pada beberapa referensi buku (text-book) Interval Kelas (Class interval) sering juga disebut sebagai Lebar Kelas (Class width) namun jangan salah mengartikan, karena definisinya adalah sama yaitu selisih (perbedaan) antara dua buah batas kelas bawah (atas) yang beurutan.
b) Menentukan Kelas Tunggal, Batas Kelas dan Frekuensi kelompok kelas 1. Kelas tunggal: adalah suatu kelas pada distribusi frekuensi kuantitatif diskrit yang ditentukan oleh nilai data aktual pengamatannya. Banyaknya kelas atau kelompok kelas tunggal yang bisa dibuat adalah sesuai dengan aturan jumlah kelas yaitu 5 s/d 20 kelas (kelompok kelas tunggal). 2. Batas Kelas (Class limits) pada distribusi frekuensi kuantitatif diskrit: adalah nilai batas setiap kelas yang merupakan patokan untuk memasukkan data mentah ke dalam kelas-kelas yang sesuai. Setiap kelas memiliki batas kelas bawah (lower class limit) dan batas kelas atas (upper class limit). Batas atas kelas sebelumnya harus berbeda satu satuan dengan batas bawah kelas berikutnya. Pada distribusi frekuensi kuantitatif diskrit, Batas Kelas dinyatakan dalam bilangan bulat. Untuk menentukan Batas kelas bawah pada kelas pertama serta jumlah kelas atau banyaknya kelas yang bisa dibuat untuk menampung semua data mentah yang tersedia, ditetapkan sesuai tahapan presedur berikut: a. Urutkan data mentah mulai dari data terkecil hingga data terbesar b. Tentukan jumlah kelas (banyaknya kelas) dengan ketentuan: ο¨ 2k β₯ n dimana k adalah jumlah kelas dan n jumlah data pengamatan, atau dengan menggunakan ο¨ Rumus Sturges: k = 1 + 3.322*Log n dimana k adalah jumlah kelas dan n jumlah data pengamatan.
11
c. Tentukan Batas bawah kelas pertama sebagai tolok ukur pembentukan kelas-kelas berikutnya, yaitu dengan menetapkan nilai data pengamatan terkecil sebagai Batas bawah kelas pertama. d. Hitung interval kelas yaitu pebedaan antar dua buah Batas bawah kelas berurutan, dengan rumus: ο¨
π°π
π
π°π² =
π΅π π
βπ΅π π
π
e. Susunlah Batas bawah kelas dan Batas atas kelas semua kelas yaitu sebanyak k-kelas, seperti susunan yang diformulasikan sebagai berikut: Kelas ke-i
BATAS KELAS
1
BKB
2
BKB+IK
3
BKB+2*IK
β¦
β¦
k
BKB+k*IK
FREKUENSI
BKA=(BKB+IK)-1
f1
BKA+IK
f2
BKA+2*IK
f3
β¦
β¦
BKA+k*IK
fk
Total = Catatan: BKB ο adalah Batas bawah Kelas
π
β ππ π=1
BKA ο adalah Batas atas Kelas IK ο adalah Interval Kelas; f1, f2, f3, β¦, fk ο adalah nilai banyaknya data mentah yang bisa dimasukan kedalam kelas ke-1, ke-2, ke-3, β¦, dank ke-k. Pada beberapa referensi buku (text-book) Interval Kelas (Class interval) sering juga disebut sebagai Lebar Kelas (Class width) namun jangan salah mengartikan, karena definisinya adalah sama yaitu selisih (perbedaan) antara dua buah batas kelas bawah (atas) yang beurutan.
3. Frekuensi kelompok kelas: adalah jumlah data yang masuk atau dikelompokan kedalam suatu kelas sesuai dengan batas kelasnya. Cara menentukannya yaitu dengan menghitung banyaknya nilai data mentah yang masuk atau sesuai dengan kisaran Batas kelasnya. c) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit Distribusi frekuensi lain yang biasa ditampilkan pada tabel distribusi frekuensi kuantitatif adalah:
12
1. Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi kumulatif untuk suatu kelas adalah nilai frekuensi untuk kelas tersebut ditambah dengan jumlah frekuensi semua kelas sebelumnya, atau bisa dirumuskan sebagai berikut:
dimana: (FK)i Fi (FK)i-1
ππ²
π
= ππ + ππ²
πβ
ο adalah Frekuensi Kumulatif kelas ke-i ο adalah Frekuensi (nilai data) kelas ke-i ο adalah Frekuensi Kumulatif sebelumnya stsu kelas ke-(i-1).
2. Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara nilai frekuensi setiap jenis kelas dengan total frekuensi seluruh kelas, dirumuskan sebagai berikut:
π
π
=
ππ π
dimana: (FR)i ο adalah Frekuensi Relatif kelas ke-i Fi ο adalah Frekuensi (nilai data) kelas ke-i TF ο adalah Total Frekuensi (total nilai data) seluruh kelas. Tujuan dibuat Frekuensi Relatif: Untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data. Sehingga bentuk format tabel distribusi frekuensi kuantitatif diskrit secara lengkap pada umumnya seperti berikut: Tabel 3. Judul tabel distribusi frekuensi kuantitatif diskrit Kelas ke-i 1
BKB
2
BKB+IK
3
BKB+2*IK
β¦
β¦
k
FREKUENSI
Frekuensi Kumulatif
Frekuensi Relatif
BKA=(BKB+IK)-1
f1
f1
f1/TF
BKA+IK
f2
f1+ f2
F2/TF
BKA+2*IK
f3
f1+ f2+ f3
F3/TF
β¦
β¦
β¦
β¦
BATAS KELAS
BKB+k*IK
BKA+k*IK
Total =
π
fk
π
ππΉ = β ππ
β ππ π=1
Fk/TF
1.00
π=1
Catatan: BKB ο adalah Batas bawah Kelas; BKA ο adalah Batas atas Kelas 13
IK ο adalah Interval Kelas; f1, f2, f3, β¦, fk ο adalah nilai banyaknya data mentah yang bisa dimasukan kedalam kelas ke-1, ke-2, ke-3, β¦, dank ke-k; TF ο Total Frekuensi. Pada beberapa referensi buku (text-book) Interval Kelas (Class interval) sering juga disebut sebagai Lebar Kelas (Class width) namun jangan salah mengartikan, karena definisinya adalah sama yaitu selisih (perbedaan) antara dua buah batas kelas bawah (atas) yang beurutan.
d) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit Untuk pendukung pengambilan kesimpulan terhadap analisis data yang ditampilkan dalam tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Diskrit pada umumnya dibuatkan diagram atau grafik frekuensi sebagai berikut:. 1. Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi data kuantitatif diskrit adalah menggambarkan hubungan antara kelas tunggal/Batas kelas pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi (nilai jumlah data) tiap kelas tunggal/Batas kelasnya pada sumbu vertikal (sumbu-y). Diagram batang dalam tampilan diagramnya dicirikan oleh adanya jarak diantara masing-masing diagram batang setiap kelas tunggalnya. 2. Diagram Batang (Bar Chart) Distribusi Frekuensi Relatif Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi relatif data kuantitatif adalah menggambarkan hubungan antara kelas tunggal/Batas kelas pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif (nilai relatif data) tiap kelas tunggal/Batas kelasnya pada sumbu vertikal (sumbu-y). 3. Diagram Pareto (Pareto Chart) Diagram Pareto adalah diagram hubungan antara kelas kategori pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif pada sumbu vertikal (sumbuy) dimana bentuk grafik batangnya (bar) tersusun menurut urutan menurun nilai frekuensi relatifnya.
3) Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu adalah kondisi tersebarnya data kuantitatif hasil pengamatan pengukuran ke dalam kelas (kelompok) dengan cara tertentu. a) Komponen dan Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu Data kontinu yang disajikan kedalam tabel distribusi frekuensi merupakan tabel satu-sisi (one-way-table) yang tersusun atas komponen pokok indikator informasi Batas Kelas, Tepi Kelas, Nilai Tengah Kelas dengan Frekuensi. Batas Kelas (Class Limits): adalah nilai batas setiap kelas yang merupakan patokan untuk memasukkan data mentah ke dalam kelas-kelas yang sesuai. Setiap kelas memiliki batas kelas bawah (lower class limit) dan batas kelas atas (upper class limit). Batas atas kelas sebelumnya harus berbeda satu satuan dengan batas bawah kelas berikutnya. 14
ο·
Nilai Batas bawah Kelas untuk kelas pertama ditetapkan dari nilai data mentah terkecil.
Tepi Kelas (Class Boundaries): adalah nilai batas teoritis (true limit) dari setiap kelas, yang terdiri dari tepi kelas bawah (lower class boundary) dan tepi kelas atas (upper boundary). ο· Tepi Kelas digunakan untuk membuat batasan (lebar) setiap diagram batang pada Histogram. Nilai Tengah Kelas (Mid points): adalah suatu nilai yang diasumsikan mewakili kelas sebagai rata-rata hitung kedua batas kelasnya atau kedua tepi kelasnya. Frekuensi: adalah jumlah unit atau banyaknya data yang menempati jenis kelompok kelas atau batas kelas. b) Menentukan Batas Kelas, Tepi Kelas, Nilai Tengah Kelas dan Frekuensi 1. Batas Kelas (Class limits): Untuk menentukan Batas kelas bawah pada kelas pertama serta jumlah kelas atau banyaknya kelas yang bisa dibuat untuk menampung semua data mentah yang tersedia, ditetapkan sesuai tahapan presedur berikut: a. Urutkan data mentah mulai dari data terkecil hingga data terbesar b. Tentukan jumlah kelas (banyaknya kelas) dengan ketentuan: ο¨ 2k β₯ n dimana k adalah jumlah kelas dan n jumlah data pengamatan, atau dengan menggunakan ο¨ Rumus Sturges: k = 1 + 3.322*Log n dimana k adalah jumlah kelas dan n jumlah data pengamatan. c. Tentukan Batas bawah kelas pertama sebagai tolok ukur pembentukan kelas-kelas berikutnya, yaitu dengan menetapkan nilai data pengamatan terkecil sebagai Batas bawah kelas pertama. d. Hitung interval kelas yaitu pebedaan antar dua buah Batas bawah kelas berurutan, dengan rumus: ο¨
π°π
π
π°π² =
π΅π π
βπ΅π π
π
e. Susunlah Batas bawah Kelas (BKB) semua kelas yaitu sebanyak k-kelas, dengan interval kelas antar kedua Batas bawah Kelas berurutan sebesar IK, sedangkan untuk Batas atas Kelas (BKA) mempunyai selisih satu satuan ukuran terkecil dengan Batas bawah Kelas (BKB) berikutnya, seperti yang diformulasikan sebagai berikut:
15
Kelas ke-i
Contoh: BATAS KELAS
BATAS KELAS
1
BKB
2
BKB+IK
3
BKB+2*IK
β¦
β¦
BKB+(k1)*IK
k
STο 1 satuan
STο 0.1 satuan
BKA=(BKB+IK)-ST
31
40
8.8
11.7
BKA+IK
41
50
11.8
14.7
BKA+2*IK
51
60
14.8
17.7
β¦
91
100 26.8
29.7
BKA+k*IK Total =
Catatan: BKB ο adalah Batas bawah Kelas; BKA ο adalah Batas atas Kelas IK
ο adalah Interval Kelas; ST ο adalah skala ukuran terkecil data
2. Tepi Kelas (Class boundaries): Tepi Kelas digunakan untuk membuat batasan setiap diagaram batang pada Histogram, nilai Tepi Kelas (TK) suatu kelas terdiri atas Tepi atas Kelas (TKA) dan Tepi bawah Kelas (TKB) yang nilainya ditentukan sebagai berikut: a. Untuk data mentah yang dinyatakan dengan bilangan bulat, tepi bawah kelas (TKB) ditentukan dengan mengurangi 0.5 batas bawah kelasnya, tepi atas kelas (TKA) ditentukan dengan menambah 0.5 batas atas kelasnya. Dan nilai tepi atas kelas (TKA) ini akan sama atau merupakan nilai tepi bawah kelas (TKB) kelas berikutnya. b. Untuk data mentah yang dinyatakan dengan bilangan desimal satu angka dibelakang koma, tepi bawah kelas (TKB) ditentukan dengan mengurangi 0.05 batas bawah kelasnya, tepi atas kelas (TKA) ditentukan dengan menambah 0.05 batas atas kelasnya. Dan nilai tepi atas kelas (TKA) ini akan sama atau merupakan nilai tepi bawah kelas (TKB) kelas berikutnya. Dengan demikian secara umum untuk menentukan tepi kelas setiap kelasnya diformulasikan sebagai berikut: Kelas ke-i
Contoh: TEPI KELAS
TEPI KELAS
STο 1 satuan
STο 0.1 satuan
1
TKB1 = BKB1 -
TKA1 = BKA1 +
30.5
40.5
8.75
11.75
2
TKB2 = BKB2 -
TKA2 = BKA2 +
40.5
50.5
11.75
14.75
3
TKB3 = BKB3 -
TKA3 = BKA3 +
50.5
60.5
14.75
17.75
β¦ k
TKBk = BKBk -
β¦
β¦
TKAk = BKAk +
β¦
90.5
β¦
100.5
β¦
26.75
β¦
29.75
Total = 16
Catatan: BKB ο adalah Batas bawah Kelas; BKA ο adalah Batas atas Kelas; TKB ο adalah Tepi bawah Kelas; TKA ο adalah Tepi atas Kelas; IK ο adalah Interval Kelas; ST ο adalah skala ukuran terkecil data Sifat kekontinuan data suatu distribusi frekuensi kuantitatif bisa dilihat dari susunan nilai Tepi Kelas-nya.
3. Nilai Tengah Kelas (Mid points): οΌ Nilai tengah kelas ditentukan atau dihitung sebagai rata-rata hitung kedua batas kelasnya atau kedua tepi kelasnya. οΌ Nilai tengah kelas digunakan untuk menggambar grafik poligon dan dapat memudahkan analisis data lebih lanjut. 4. Frekuensi (Mid points): Cara menentukannya adalah dengan menghitung banyaknya data yang bisa dimasukan atau dikelompokkan kedalam suatu batas kelasnya. c) Distribusi Frekuensi lain pada Tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu Distribusi frekuensi lain yang biasa ditampilkan pada tabel distribusi frekuensi kuantitatif adalah: 1. Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi kumulatif untuk suatu kelas adalah nilai frekuensi untuk kelas tersebut ditambah dengan jumlah frekuensi semua kelas sebelumnya, atau bisa dirumuskan sebagai berikut:
dimana: (FK)i Fi (FK)i-1
ππ²
π
= ππ + ππ²
πβ
ο adalah Frekuensi Kumulatif kelas ke-i ο adalah Frekuensi (nilai data) kelas ke-i ο adalah Frekuensi Kumulatif sebelumnya atau kelas ke-(i-1).
2. Distribusi Frekuensi kumulatif Kurang dari dan Lebih dari Distribusi frekuensi kumulatif ini digunakan untuk mebuat kurva Ogive, dimana jika frekuensi kumulatifnya berupa kurang dari nilai batas bawah setiap kelasnya bentuk kurva ogive-nya akan menaik dan sebaliknya jika frekuensi lebih dari kurva ogive-nya akan menurun. 3. Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara nilai frekuensi setiap jenis kelas dengan total frekuensi seluruh kelas, dirumuskan sebagai berikut:
π
π
=
ππ π
dimana: (FR)i ο adalah Frekuensi Relatif kelas ke-i Fi ο adalah Frekuensi (nilai data) kelas ke-i TF ο adalah Total Frekuensi (total nilai data) seluruh kelas. 17
Tujuan dibuat Frekuensi Relatif: Untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data 4. Distribusi Frekuensi relatif kumulatif Cara menentukan atau menghitungnya sama dengan cara menghitung frekuensi kumulatif data mentahnya, akan tetapi pada frekuensi relatif kumulatif ini yang dikumulatifkan merupakan nilai relatifnya. Begitu juga sama terkadang dihitung atau dibuat distribusi frekuensi relatif kumulatif kurang dari dan lebih dari untuk penggambaran kurva ogive. d) Presentasi Grafis Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu Untuk pendukung pengambilan kesimpulan terhadap analisis data yang ditampilkan dalam tabel Distribusi Frekuensi Kuantitatif Kontinu pada umumnya dibuatkan diagram atau grafik frekuensi sebagai berikut:. 1. Histogram Frekuensi Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi data kuantitatif diskrit adalah menggambarkan hubungan antara kelas tunggal/Batas kelas pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi (nilai jumlah data) tiap kelas tunggal/Batas kelasnya pada sumbu vertikal (sumbu-y). Diagram batang dalam tampilan diagramnya dicirikan oleh adanya jarak diantara masing-masing diagram batang setiap kelas tunggalnya. 2. Polygon Frekuensi Diagram batang (Bar chart) untuk distribusi frekuensi relatif data kuantitatif adalah menggambarkan hubungan antara kelas tunggal/Batas kelas pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif (nilai relatif data) tiap kelas tunggal/Batas kelasnya pada sumbu vertikal (sumbu-y). 3. Kurva Ogive (Ojif) Diagram Pareto adalah diagram hubungan antara kelas kategori pada sumbu horisontal (sumbu-x) dengan frekuensi relatif pada sumbu vertikal (sumbuy) dimana bentuk grafik batangnya (bar) tersusun menurut urutan menurun nilai frekuensi relatifnya.
18
