ST Actividad de Tema 2

Actividad de Tema 2 Calcular la función de autocorrelación del proceso ARMA(1,2) definido por: X t = 0.5X t-1 + ε t - 0.3ε t-1 - 0.28ε t-2 Para determinar la función de correlación del proceso ARMA(1,2) se calcula en una primera etapa las covarianzas de X t con los valores ε t , ε t-1 y ε t-2 que usaremos para sustituirlas en los valores de δ k . Planteamos un sistema de 3 ecuaciones (para ρ 0 , ρ1 y ρ 2 ) y obtenemos los valores de estas correlaciones. 1. Calculamos las covarianzas


Covarianza entre X t y ε t

E [ X t ε t ] = E ( 0.5X t-1 + ε t - 0.3ε t-1 - 0.28ε t-2 ) ε t  = = E  0.5X t-1ε t + ε 2t - 0.3ε t-1ε t - 0.28ε t-2 ε t  = = 0.5E [ X t-1ε t ] + E ε 2t  - 0.3E [ ε t-1ε t ] - 0.28E [ ε t-2 ε t ] Ahora bien, puesto que ε t es un ruido blanco ε t son independientes por lo que resulta que E [ ε t-1ε t ] = 0 y E [ ε t-2 ε t ] = 0 , con lo cual obtenemos que: E [ X t ε t ] = 0.5E [ X t-1ε t ] + E ε 2t  Por otro lado como ε t es un proceso de ruido blanco y en base a la estructura de la

serie X t resulta que E [ X t-1ε t ] = 0 . Por tanto, como el proceso de ruido blanco tiene

media 0 e igual varianza en todo instante t , resulta que: E [ X t ε t ] = E ε 2t  = σ ε2




Covarianza entre X t y ε t-1 E [ X t ε t-1 ] = E ( 0.5X t-1 + ε t - 0.3ε t-1 - 0.28ε t-2 ) ε t-1  = = E 0.5X t-1ε t-1 + ε t ε t-1 - 0.3ε 2t-1 - 0.28ε t-2 ε t-1  = 2  - 0.28E [ ε t-2 ε t-1 ] = 0.5E [ X t-1ε t-1 ] + E [ ε t ε t-1 ] - 0.3E ε t-1

De nuevo por ser ε t independientes resulta que E [ ε t ε t-1 ] = 0 y E [ ε t-2 ε t-1 ] = 0 , con lo cual obtenemos que: E [ X t ε t-1 ] = 0.5E [ X t-1ε t-1 ] - 0.3E ε 2t-1 

Deducimos que E [ X t-1ε t-1 ] = σ ε2 por lo que obtenemos que: E [ X t ε t-1 ] = 0.5E [ X t-1ε t-1 ] - 0.3E ε 2t-1  = 0.5σ ε2 - 0.3σ ε2 = 0.2σ 2ε




Covarianza entre X t y ε t-2

E [ X t ε t-2 ] = E ( 0.5X t-1 + ε t - 0.3ε t-1 - 0.28ε t-2 ) ε t-2  = = E  0.5X t-1ε t-2 + ε t ε t-2 - 0.3ε t-1ε t-2 - 0.28ε 2t-2  = = 0.5E [ X t-1ε t-2 ] + E [ ε t ε t-2 ] - 0.3E [ ε t-1ε t-2 ] - 0.28E ε 2t-2  Sabiendo que E [ ε t ε t-2 ] = 0 y E [ ε t-1ε t-2 ] = 0 , obtenemos que: E [ X t ε t-2 ] = 0.5E [ X t-1ε t-2 ] - 0.28E ε 2t-2  Ahora bien, sea t * = t -1 entonces E [ X t-1ε t-2 ] = E  X t* ε t* -1  y por los resultados obtenidos anteriormente E  X t* ε t* -1  = 0.2σ 2ε por lo que deducimos que: E [ X t ε t-2 ] = 0.5E [ X t-1ε t-2 ] - 0.28E ε 2t-2  = 0.5 ⋅ 0.2σ 2ε - 0.28σ ε2 = -0.18σ ε2

2.

Calculamos la función de autocorrelación para k = 0,1, 2 La función de autocorrelación viene dada por la expresión:

ρ k = 0.5ρ k-1 + δk - 0.3δ k-1 - 0.28δ k-2 Por otro lado, puesto que δk =

σ 2x

δ −1 =

δ1 = δ2 =

σ 2x

E [ X t +2 ε t ]

δ-2 =

δ0 =

E [ X t-k ε t ]

E [ X t +1ε t ] σ 2x

E [Xt εt ] σ 2x

E [ X t-2 ε t ] σ 2x

=

E  X t* ε t* -2  σ 2x E  X t* ε t* −1  σ 2x

-0.18σ ε2 = σ 2x 0.2σ ε2 = 2 σx

σ ε2 = 2 σx

E [ X t-1ε t ] σ 2x

=

obtenemos que:

= 0 , esto es por estar ε t en el futuro de la serie = 0 , esto es por estar ε t en el futuro de la serie




k=0

En este caso tenemos que ρ 0 = 0.5ρ -1 + δ0 - 0.3δ-1 - 0.28δ-2 Por tanto, sustituyendo en ρ 0 = 0.5ρ -1 + δ0 - 0.3δ-1 - 0.28δ-2 obtenemos que: 1 = 0.5ρ1 +

σ ε2 0.2σ ε2 -0.18σ ε2 0.3 0.28 σ 2x σ x2 σ 2x

De donde resulta que: 1 = 0.5ρ1 +

σ ε2 σ ε2 σ ε2 0.06 + 0.0504 σ 2x σ 2x σ 2x

Esto es: σ 2ε 1 = 0.5ρ1 + 0.9904 2 σx


k =1 En este caso tenemos que ρ1 = 0.5ρ 0 + δ1 - 0.3δ0 - 0.28δ-1 luego sustituyendo obtenemos que: σ2 0.2σ 2 ρ1 = 0.5 - 0.3 2ε - 0.28 2 ε σx σx De donde resulta que: σ ε2 σ ε2 ρ1 = 0.5 - 0.3 2 - 0.056 2 σx σx Esto es: σ2 ρ1 = 0.5 - 0.356 2ε σx




k=2 En este caso tenemos que ρ 2 = 0.5ρ1 + δ2 - 0.3δ1 - 0.28δ0 obtenemos que: σ2 ρ 2 = 0.5ρ1 - 0.28 2ε σx

y sustituyendo

Por tanto, obtenemos el siguiente sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas:

 σ 2ε 1 = 0.5ρ + 0.9904  1 σ 2x   σ ε2 ρ1 = 0.5 - 0.356 2 σx   σ2 ρ 2 = 0.5ρ1 - 0.28 2ε σx  Resolvemos el sistema como sigue:

 σ2 1 = 0.5  0.5 - 0.356 2ε σx 

 σ ε2 σ 2ε σ ε2 = − + + 0.9904 0.25 0.178 0.9904  σ 2x σ 2x σ 2x 

Luego σ ε2 0.8124 2 = 0.75 σx De donde: σ ε2 0.75 = = 0.9232 2 σ x 0.8124 Y por tanto σ 2ε ρ1 = 0.5 - 0.356 2 = 0.5 − 0.356 ⋅ 0.923 = 0.1713 σx Y por otro lado ρ 2 = 0.5ρ1 - 0.28

σ 2ε = 0.5 ⋅ 0.1713 - 0.28 ⋅ 0.9232 = -0.1728 σ 2x

Para los valores de k > 2 la función de autocorrelación viene dada por: ρ k = 0.5ρ k-1 = 0.5k-2 ρ 2