Soluciones singulares

Soluciones singulares Concepto 1.Es una solución de una ecuación diferencial que no puede obtenerse a partir de la solución general, es decir no proviene de asignar valores a las constantes arbitrarias de una solución general, se le denomina solución singular de la ecuación diferencial ordinaria. Concepto 2.Una solución singular de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación y que, sin embargo, no se obtiene de la solución general para ningún valor de las constantes. Ejemplo Comprobar que la función y = cx – c2 es una solución general de la ecuación y = xy´ - y´. Además comprobar que la función y =x2 / 4 es también solución. Solución: Si y = cx – c 2

y´= c

Reemplazando en la ecuación diferencial obtenemos: cx – c2 = xc – c2 , donde se comprueba la identidad. Como la ecuación diferencial es de primer orden y en la solución y = cx – c 2 aparece una constante arbitraria c, tenemos que y = cx - c 2 es una solución general.  Ahora, para y = x2/4, derivándolo se obtiene: y´= x/2.

Reemplazando en la ecuación diferencial y = xy´ - y´2 tenemos: X2/4 = x (x/2) – (½ x) 2 = ½ x2 – ¼ x2 = ¼ x2 Con lo cual se verifica la identidad. Como la solución y = x 2 / 4 no se puede obtener de la solución general y = cx – c2 pera ningún valor de la constante c, entonces decimos que y = x2 / 4 es una solución singular.