SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES
MARIA FERNANDA CABA MARQUEZ KATHERINE GOMOEZ DOMINGUEZ JUAN DAVID DAVID GISELL MARIA MAFIOL SANCHEZ HEIDY JOHANA PEÑA LOPEZ MARGEINIS TERAN ANGULO
DOCENTE: SANDRA LUZ LORA CASTRO GRUPO: ED1
UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC FACULTAD FACULTAD DE INGENIERIA INGENIER IA 2015
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCION 2. SOLUCION ENTORNO A PUNTO ORDINARIOS Y SINGULARES
2.1.
EJERCICIOS
2.2.
COEFICIENTES POLINOMIALES
2.3.
EJERCICIOS
3. CONCLUCION 4. BIBLIOGREAFIA
1. INTRODUCCION
2. SOLUCION ENTORNO A PUNTO ORDINARIOS.
A!"# #$ %&'()( )# *#+,#* )# -('#!.,/* -#)# */+*# #! #./.,(!#* $,!#/$#* )# ./$",#+ (+)#! ** /-$,./.,(!#* %* +#$#/!'#* *# +#3,#+#! / #./.,(!#* ),3#+#!.,/$#* $,!#/$#* )# *#4!)( (+)#! )# $/ 3(+%/ } + b left (X right ) {y} ^ {´} + c left (X right ) y=0 ¿ a ( X ) y
, [1]
D(!)# / 67 8 67 9 . 67 *(! 3!.,(!#* /!/$',./* )# 6; E! +#/$,)/) #! $/ %/9(+/ )# $/* /-$,./.,(!#* #*/* 3!.,(!#* *(! -($,!(%,(*; P/+/ )#'#+%,!/+ .!)( #$ %&'()( )# *#+,#* )# -('#!.,/* *#+ #3#.',( +##*.+,8,%(* $/ #./.,
C(! #$ .(#3,.,#!'# -+,!.,-/$ 1 9 - 67 = 8 67 >/ 67 9 " 67 = . 67 >/ 67; N<'#*# "# - 67 9 " 67 #! 4#!#+/$ !( ',#!#! -(+"& *#+ /!/$',./* #! $(* -!'(* "# / 67 *# /!$/; P(+ #?#%-$( #! $/ #./.,
T()(* $(* .(#3,.,#!'#* *(! 3!.,(!#* /!/$',./* #! '()(* $(* -!'(* -#+( *, $( #*.+,8,%(* #! $/ 1 p X no es analitica en X =0 ( ) = 3(+%/ +#*$'/ "# x
E$ -!'( 6 = 60 *# )#!(%,!/ -!'( (+),!/+,( )# $/ #./.,
2.1.
EJERCICIOS
1; E!.(!'+/+ $/ *($.,
E! 3(+%/ )# *#+,# )# -('#!.,/* #! '(+!( /$ -!'( (+),!/+,( 6 = 0; S($.,
y ( x )=
∑= a X
n
n
n 0
Y $(* .(++#*-(!),#!'#* )#*/++($$(* #! *#+,# -/+/ 90 67 9 900 67 )/)(* -(+ } left (x right ) = su fr! {"=2} t! {#} {" left ("$1 right ) {%} rsub {"}} {X} ^ {"$2} ∞
´
y ( x )=
∑= n a X − , y ¿ n 1
n
n 1
S*',',%(* #*'/* *#+,#* )# -('#!.,/* #! !#*'+/ #./.,
2 n ( n−1 ) a X ∑ =
n− 2
n
n 2
∞
∞
+ ∑ n an X + ∑ an x n= 0 n
n= 1
n= 0
Y #*.+,8,%(* $/* '+#* *#+,#* )# 3(+%/ "# #$ '&+%,!( 4#!#+/$ )# ./)/ !/ )# #$$/* *#/ !/ k .(!*'/!'# %$',-$,./)/ -(+ x ; ∞
∞
∞
2 n ( k + 2 ) ( k + 1 ) a + 2 X + ∑ k a X + ∑ a x =0 ∑ = = = k
k
k
k 0
k
k
k 1
k
k 0
S#-/+/%(* $(* '&+%,!(* .(++#*-(!),#!'#* / ;(8'#!,#!)( 2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) ak + 2+ k ak [¿ +a k ] x k =0 ∞
& a 2+ a0 +
¿ ∑ = k 1
x
o
;9 /4+-/%(* $(* .(#3,.,#!'#* )#
x
k
I4/$/!)( / .#+( $(* .(#3,.,#!'#* )# $/ *#+,# )# -('#!.,/* +#*$'/ "# / 2 /0 = 0 ak + 2 =
−1 ak k ≥ 1 2 ( k + 2 )
D# #*'/ %/!#+/ a2=
−1 2
2
a0 a '=
− 1 a ( k =1 ) 2∗' 1
a &=
−1 1 − 1 1 a 2= 2 a0 ( k =2 ) a= a '= 2 a1 ( k =' ) 2∗& 2 ∗ 2 ∗2∗& 2 ∗'∗&
a =
−1 −1 −1 −1 a & = a ( k = & ) a* = a = ' a 1 ( k = ) 2∗ 2∗* 2 ∗' ! 2 ∗'∗∗*
a =
−1 −1 a= a0 ( k = ) 2∗ 2 ∗& !
C(!*,)#+/!)( /0 9 /1 .(%( .(!*'/!'#* /+8,'+/+,/* *# (8',#!#
(−1)n a2 n= 2 n a0 n ≥ 1 2 ∗n! 1∗'∗ … ( 2 n + 1 )
¿ n 2 ¿ (−1)n a 2 n + 1= ¿
D# /" +#*$'/! )(* *($.,(!#* $,!#/$%#!'# ,!)#-#!),#!'#* ∞
∞ (−1)n 2 n (−1 )n 2 n+ 1 y 1 ( x )=∑ 2 n x y 2 ( x ) =∑ 2 x n=0 2 ∗ n! n=0 2 [ 1∗ '∗ … ( 2 n + 1 ) ]
Y -(+ .(!*,4,#!'# $/ *($.,
Ejemplo 2
y
' '
+ xy = 0 a= 0 ∞
y =
∞
C x y =∑ C x ∑ = = n
'
n
n
n 0
∞
∑= C ( n −1 ) x −
'
C ( n−1 ) x ∑ =
n−2
n
C ( n−1 ) x ∑ =
n
n 2
∞
+ x ∑ C n x n=0 n=0
n 2
∞
n 2
y =
n 1
∞
n−2
n
∞
+ ∑ C n xn +1=0 n= 0
n 2
∞
2 C 2 +
n− 1
C ( n −1 ) x ∑ =
n− 2
n
∞
+ ∑ C n x n +1=0 n= 0
n '
Ahora defnimos la constante
k para los términos agrupados en la primera
sumatoria k = n− 2 Despejamos n n =k + 2 k = 1
Para la segunda sumatoria k =n + 1 Despejamos n n= k −1 k =1
Sustituimos los valores de n por k
( k + 2 ) ( k + 1 ) x
n− 2
∞
C k +2 x
+¿ ∑ C k −1 x k =0
k
k =1
∞
∑= ¿
2 C 2 +
k '
( k + 2 ) ( k + 1 ) x n− C k + x k +¿ C k − x k =0 2
2
1
∞
2 C 2 +
¿ ∑ = k
'
∞
2 C 2 +
[ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C + +C − ] x = 0 ∑ = k
k 2
k '
k 1
2 C 2=0 " que lo que est#
Para que la ecuación sea igual a de!emos hacer que multiplicando a la k tam!ién lo sea 2 C 2=0 ⇒ C 2=0
( k +2 ) ( k + 1 ) C k +2 +C k −1 =0 $espe%ando la anterior ecuación podemos hallar los valores que nos permitir#n encontrar los valores de C k C 2 =0 k =1, … , n k =1 C '=
−C 0 2∗'
k =2 C & =
−C 1 '∗&
k =' C =
−C 2 =0 &∗
k =& C =
C 0 −C ' C = ∗ 2∗'∗∗
k = C *=
C 1 −C & C * = ∗ '∗&∗∗*
k = C =
−C =0 *∗
k =* C - =
−C −C 0 C - = ∗2∗'∗ ∗∗∗-
&n !ase a esto "a podemos afrmar una le" de 'ormación para hallar y =C 0 + C 1 −
C 0 x
'
2∗'
−
C 1 x
&
'∗&
+
C 0 x
)
2∗'∗(∗)
+
C 1 x
*
'∗ &∗)∗*
−
C 0 x
-
2∗'∗(∗)∗+∗-
−
C n C 0 x
10
'∗&∗)∗*∗-∗10
+…
Ahora procedemos a sacar 'actor com(n para mostrar la solución en términos de ) soluciones para mostrar una solución apro*imada
(
(
*
)
-
' C 0 x C 0 x x + − +… y =C 0 1− 2∗' 2∗'∗∗ 2∗'∗∗∗∗ -
10
& C 1 x C 0 x x y =C 1 x − + − +… '∗ & '∗ &∗∗* '∗&∗∗*∗-∗10
)
&l (ltimo paso es opcional " lo usamos para evaluar de una me%or 'orma la convergencia de los puntos aunque lo (nico que h aremos ser# reescri!ir la ecuación anterior
(
)
(−1 )k ( 1∗&∗*∗…∗( ' k − 2 ) ) ' k y =C 0 1 + ∑ x ( ' k ) ! k =1
(
∞
(−1 )k ( 2∗∗∗…∗( ' k −1 ) ) ' k +1 C 0 1+ ∑ x ( ' k +1 ) ! k = 1 ∞
)
EJEMPLO 3
+a ecuación di'erencial
x y + (se" x)y = 0
tiene un punto ordinario en x =0 ,
puesto que Q ( x )=
(senx ) x
Se puede desarrollar en la serie de potencias 2
&
x x x Q ( x )= 1− + − + … '! ! *!
ue converge para todos los valores fnitos de *.
2.2.
SOLUCION ENTORNO A PUNTO SINGULARES.
E! $/ *#..,
E! '(+!( / ! -!'( (+),!/+,( 6 = 6 0; S,! #%8/+4( ./!)( 6 = 60 #* ! -!'( *,!4$/+ !( *,#%-+# #* -(*,8$# #!.(!'+/+ !/ *($.,
y ( x )=
∑= a ( x − x ) [ 1 ] n
0
n
n 0
V#+#%(* "# #! /$4!(* ./*(* *, -()#%(* (8'#!#+ !/ *($.,
∑= a ( x − x ) + [1 ] n r
y ( x )=
0
n
n 0
D(!)# + #* !/ .(!*'/!'# / )#'#+%,!/+; 2 P(+ #?#%-$( *, .(!*,)#+/%(* $/ #./.,
"# ',#!# ! -!'( *,!4$/+ #! 6 = 0 #*'/ #./.,
y ( x )=
∑= a X [ 1 ] n
n
n 0
N( (8*'/!'# *# -#)# )#%(*'+/+ "# #6,*'#! )(* *($.,(!#* #! *#+,# )# $/ 3(+%/ ∞
y ( x )=
∑= a X
n + 1/ 2
n
n 0
∞
∑= a X − / [ 1 ] n 1 '
y ( x ) =
n
n 0
U! -!'( *,!4$/+ 6 = 60 )# $/ #./.,
2.3.
EJERCICIOS.
Ejemplo 1
L(* -!'(* 6 = 0 9 6 = 1 *(! /%8(* -!'(* *,!4$/+#* )# $/ #./.,
2
x ( x + 1 ) y +( {x} ^ {2} $1) {y} ^ {´} +2y=0
S, #6/%,!/%(* x + 1
¿ 2 x ¿
p ( x )=
x −1
¿
P()#%(* (8*#+/+ "# 6 = 0 #* ! -!'( *,!4$/+ ,++#4$/+ %,#!'+/* "# 6 = 1 #* ! -!'( *,!4$/+ +#4$/+; A!'#* )# #*'/8$#.#+ ! +#*$'/)( )# #6,*'#!.,/ )# *($.,(!#* #! *#+,# #! '(+!( / ! -!'( *,!4$/+ +#4$/+ !#.#*,'/%(* $/ *,4,#!'# )#3,!,.,
p0= li ( x− x ) p ( x ) y q 0= li ( x − x 0) q ( x ) 0
x→ x 0
x →x 0
L/* +/.#* )# $/ #./.,
∑= a ( x − x ) +
n r
y ( x )=
n
0
n 0
E! $/ #./.,
)# $/ #./.,
S#/ 6 = 0 ! -!'( *,!4$/+ +#4$/+ )# $/ #./.,
y 1 ( x )=
+ a ( x − x ) a ≠ 0 ∑ = n 1
0
n
0
n 0
C(++#*-(!),#!'# / $/ +/ %/9(+ + 1; 87 S, + 1 + 2 !( #* .#+( !, ! #!'#+( -(*,',( #!'(!.#* #6,*'# !/ *#4!)/ *($.,
∞
y 2 ( x )=
∑= b ( x − x ) + b ≠ 0 n 2
n
0
0
n 0
C(++#*-(!),#!'# / $/ +/ %#!(+ + 2;
Ejemplo 2
a2 ( x ) y ' ' + a 1 ( x ) y ' + a0 ( x ) y =0 y
''
+ ( x ) y ' +Q ( x ) y =0 ∞
y =
C ( x −a ) x = a ∑ = n
n
n 0
( x −a ) ( x ) y ( x −a )2 Q ( x ) 2
( x −& ) y ' ' + ( x −2 ) y ' + y =0 2
y
' '
+
( x −2 ) ' y y+ =0 ( x −& ) ( x −& ) 2
2
2
2
-actoriamos
( x 2−& )2= ( x − 2 )2 ( x −2 )2 +os coefcientes polinomiales se hacen / cuando y
' '
y
''
+
+
x− 2
( x −2 )2 ( x −2 )2 y '
( x −2 ) ( x − 2 )
( x )=
y
'
2
y+
+
y
( x −2 ) ( x −2 )2
1
( x −2 ) ( x −2 )
( x −2 )2 ( x −2 )2
2
2
Q ( x ) =
x = 2 x =−2
=0
=0 1 2
( x −2 ) ( x −2 )2
}
( x −2 )∗1 1 = ⊙ ( x −2 ) ( x +2 )2 ( x −2 )2 pnto sin"lar re"lar ( x − 2 )2∗1 1 2 ( x −2 ) Q ( x )= = ⊙ ( x −2 )2 ( x + 2 )2 ( x −2 )2 ( x −2 ) ( x )=
}
( x +2 )∗1 1 = ⊗ 2 ( x −2 ) ( x + 2 ) ( x −2 ) ( x −2 ) pnto sin"lar irre"lar 2 ( ) x + 2 ∗ 1 1 ( x +2 )2 Q ( x ) = ⊙ = 2 2 2 ( x −2 ) ( x + 2 ) ( x −2 )
( x + 2 ) ( x ) =
Ahora se eval(a la multiplicidad de los puntos para verifcar por medio de otro método, en el cual tomaremos en cuenta el grado " en !ase a eso decidiremos si es irregular o regular. y
''
+
y '
( x −2 )1 ( x −2 )
+ 2
y
( x − 2 )2 ( x −2 )2
=0
x =2 ⇒ pnto sin"lar re"lar x =−2 ⇒ pnto sin"lar irre"lar
Ejemplo 3
( 1− x 2 ) y '' − 2 y ' + 1 y =0 x =1 x =−1
y
2 y
' '
−
'
1− x
2
+
1( y 2
1 − x
=0
'
2 y 1 y y − + =0 ( 1− x ) ( 1− x ) ( 1− x ) ( 1− x ) ''
x = 1 ⇒ pnto sin"lar re"lar x =−1 ⇒ pnto sin"lar re"lar Ejemplo 4 '
x y
' '
−2 x y' + y =0
x = 0
y ' ' −
2 x
y ' ' −
2
x
x
'
2
y ' +
y ' +
y x
'
= 0
y '
x
= 0
x =0 ⇒ pnto sin"lar irre"lar
Ejemplo 5
x y
' '
−2 x y ' − y = 0
x =0 x y
' '
x
−2 y ' − y =0
x = 0 ⇒ pnto sin"lar re"lar
3. CONCLUCION.
4. BIBLIOGRAFIA.
1 S($.,(!#* #! '(+!( / -!'(* (+),!/+,(* 9 *,!4$/+#*; C(!*$'/)(; E! $!#/; ''-:>>-#+*(!/$;*;#*>!,#?,%?,%>'#%/05;-)3
