1.
Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia. Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente. P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes. Q: el peso del grano producido por acre. Solución
Variable Aleatoria
X
Y
M
N
P
Q
Tipo
Discreta
Continua
Continua
Discreta
Discreta
Continua
2.Un
embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar y liste los elementos del espacio muestral S usando las letras M y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego asigne a cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles con manchas de pintura que compró la agencia. Solución Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “x”se presentan a continuación Espacio muestral x
NNN
NNM
NMN
MNN
NMM
MNM
MMN
MMM
0
1
1
1
2
2
2
3
3.Sea
W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
Solución Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria w“ ” se presentan a continuación Espacio muestral w
CCC
CCT
CTC
TCC
3
1
1
1
CTT -1
4.Se
TCT -1
TTC -1
TTT -3
lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto? Explique su respuesta
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público
Solución
S = {CCC, TCCC, CTCCC, TTCCC, TTTCCC, CTTCCC, TCTCCC, CCTCCC, . . .}; El espacio muestral es discreto porque va conteniendo muchos elementos con enteros positivos 5.Determine
el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X:
a) f (x) = c ( +4), para x = 0, 1, 2, 3;
()(− )
b) f (x) = c
x = 0, 1, 2.
Solución
Ejercicio # a
c (
+4)
x=0
x=1
x=2
x=3
Suma c
P(c)
4c
5c
8c
13c
30c
30c=1
P(c)
c=
Ejercicio # b
c
()(−)
x=0
x=1
x=2
Suma c
P(c)
1c
6c
3c
10c
10c=1
P(c)
c=
6.La
vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:
20000 100 = 0
>0,
Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días; b) cualquier lapso entre 80 y 120 días. Solución Ejercicio # a
>200= ∫∞ + = + ||∞ = 80<<120= ∫∞ + = + || = = Ejercicio # b
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público
7.El
número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
=20 0<<1 1≤<2
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas. Solución Por cada 100 horas “x”es
igual a 1
PX<1.2 =01 11.22 xdx = 22 ||10 2 22 ||11.2 = 12 4225 32 = 1725 Ejercicio # a
Ejercicio # b
P0.5
W del ejercicio 3.3; suponga que la distribución probabilidad de laelvariable la Obtenga moneda está cargada, dede manera que existe doble dealeatoria probabilidad de que ocurra una cara que una cruz. “C: caras” “T: cruz”
Solución
Refiriéndose al espacio muestral del ejercicio 3.3 y haciendo uso del hecho de que P(C)=2/3 y P(T)=1/3, tenemos
=3 ==13 = 271 2 1 2 1 2 1 2 1 2 =1 ==1 32 3 1 32 3 1 32 3 =31 32 3 =4 9 =1=28 =33 33 33 =333 = 9 =3==3 = 27 1 2 4 8 = 27 9 9 27 La distribución de probabilidad para W es entonces w=-3
w=-1
w=1
w=3
1
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público
9.La
proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
2 2 5 = 0
a) Demuestre que
0<<1,
b) Calcule la probabilidad de que más de pero menos de de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.
0 < < 1 = 1. P0
Ejercicio # a
Ejercicio # b
10.Encuentre
una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que
represente el resultado cuando se lanza un dado una vez. Solución El dado puede aterrizar en 6 maneras diferentes cada uno con probabilidad
= 16 , =1, 2, 3, 4, 5,6
.
Por lo tanto,
11.Un
embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. Solución
()(− )
Podemos seleccionar x televisores defectuosos de 2, y 3 - x televisores buenos de 5 en maneras. Una selección aleatoria de 3 de 7 televisores se puede hacer en maneras. Por lo tanto,
= ()(() ) =0,1,2 27 47
()
En forma tabular
x=0
x=1
17
x=2
P(X) 1
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público
Histograma de probabilidad:
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público