Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Respuesta
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Por lo tanto, hay 397 cuadrados que tienen por lo menos un asterisco en su interior.
Alternativa C
PROBL PROBLEM EMA A N.° 51
En la figura, ¿cuánto ¿cuántoss cuadrados tienen por lo menos un asterisco en su interior? 1
∗
∗
∗
∗
PROBLE PROBLEMA MA N.° 52
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
2 3
98 99
100
1
A) 499 D) 401
3 98 99 100
2
B) 200
A) 25 D) 46
B) 26
C) 397 E) 425
Resolución
C) 32 E) 64
Resolución
TE T EMA MA:: Conteo de fig igu uras
TE T EMA MA:: Conteo de fig igu uras Piden calcular el número de cuadrados que tienen por lo menos un asterisco en su interior. Si razonamos inductivamente, tendremos que resolver casos particulares pequeños y luego hallar una secuencia para llegar a lo pedido.
∗ ∗
2
∗ ∗ 1
1
n ( n + 1) 9 = 4×2 +1
.
2
Total triángulos
3
−1
∗
5× 6 =
2
=
15
De igual modo, en la siguiente figura contamos los triángulos que de generan:
∗
2
13 = 4 × 3 + 1
3 4
2
∗
1 1
2
En la parte sombreada, contaremos los triángulos aplicando el
−1 ∗
∗
3
5 = 4 ×1+ 1
2
3
4
1
2
∗
5
Cuadrados con por lo menos un ∗ en su interior
Casos 1
Se pide el número total de triángulos. El conteo la realizaremos por partes, de la siguiente manera:
∗
∗
1
2
4
3
−1
2 3 4 5
1
en el problema 1
∗
∗ 5× 6
2
Total triángulos
3
= 4 × 99 + 1 = 397
=
=
2
15
Entonces, el total de triángulos en la figura es :
98
Total = 15 + 15 − 1 = 29
99
100
∗ 1
9
2
∗
3 98 99 100
−1
se contó 2 veces la parte sombreda
Admisión UNASAM - 2013 - I
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Respuesta
PROBLEMA N.° 55
Por lo tanto, en la figura hay, 29 triángulos.
Alternativa (no hay clave)
¿Cuántas caras contiene el siguiente sólido?
PROBLEMA N.° 53
¿Cuál de las siguientes figuras no está en relación con las demás?
(1)
(3 )
( 2)
A) 1 D) 4
B) 2
( 4)
(5)
C) 3 E) 5
A) 7 D) 10
B) 8
C) 9 E) 11
Resolución Resolución
TEMA: Psicotécnico gráfico
TEMA: Psicotécnico espacial
Todas las demás figuras pueden superponerse girándolas exIdentifiquemos las caras del sólido.
cepto la figura ( 4 )
2
Respuesta
5 4
Por lo tanto, la figura ( 4 ) no está en relación con las demás.
Alternativa D
1
PROBLEMA N.° 54
3
7
¿Qué figura continúa?
;
8
9
;
6
10
;
Respuesta Por lo tanto, el sólido tiene 10 caras. A)
Alternativa D
C)
B)
PROBLEMA N.° 56
Una araña recorre todas y cada una de las líneas que conforman la ventana. ¿Cuál será la longitud del menor recorrido que realizará la araña para llegar a su telaraña?
E)
D)
Resolución
3
3
TEMA: Psicotécnico gráfico 4
El listón en negrita gira en sentido horario, un lado del cuadrado, a la vez que se va ensanchando. Así mismo, la zona sombreada gira un vértice en sentido anti horario.
3
3
3
Respuesta Por lo tanto, la figura que sigue según este orden de cambio está en la E.
Alternativa E
Admisión UNASAM - 2013 - I
A) 20 u D) 40 u
B) 30 u
C) 35 u E) 50 u 10
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Erick - Jimmy - Apolín
Resolución
Estudiando las características de cada figura y de acuerdo a los teoremas de Euler, podemos decir que las figuras ( I ) y ( III ) presentan 4 puntos impares y no podrán realizarse de un solo
TEMA: Recorridos eulerianos Sabemos que si la figura presenta más de dos puntos impares, entonces dicha figura no se podrá realizar de un solo trazo, se tendrá que repetir una cierta cantidad de líneas para poder dibujarla
trazo, por el contrario, la figura ( II ) no presenta ningún punto impar por lo que si admite un recorrido euleriano, entonces puede realizarse de un solo trazo
Respuesta Por lo tanto, solo la figura ( II ) podrá realizarse de un solo trazo.
Alternativa A
I
3
I
3
I
PROBLEMA N.° 58
Halle el número total de paralelepípedos en la figura: 3
4
3
I
3
I
I
Se observa que la figura no se podrá realizar de un solo trazo, se tendrá que repetir líneas.
I−2
N.° mínimo de lineas a repetir
=
2
6−2 =
2
=
2
Las dos líneas a repetir serán las líneas que están con líneas gruesas en la figura anterior, entonces:
Recorrido mínimo = 3 ( 4 ) + 4 ( 3 ) + 4 ( 5 ) + 2 ( 3) = 50
A) 48 D) 650
B) 100
C) 600 E) 800
Resolución
TEMA: Conteo de figuras
se repite
Respuesta
Por lo tanto, el recorrido mínimo es d e 50 u .
Para determinar el número total de paralelepípedos en la figura,
Alternativa E
enumeraremos los cubos y usaremos la fórmula
PROBLEMA N.° 57
n ( n + 1)
2
, así:
3
Indique ¿cuál(es) de las siguientes figuras puede realizarse de un solo trazo?
2 1 1
2
3
4
2 3 4
(I ) A) II D) III
( III )
( II ) B) II y III
Resolución
C) I y III E) I
Respuesta Por lo tanto, en la figura hay 600 paralelepípedos.
TEMA: Recorridos eulerianos 11
Alternativa C
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Resolución
PROBLEMA N.° 59
Tres amigos: Alfredo, Beto y César compiten en una carrera de autos. Cada uno maneja autos diferentes, de colores: violeta, turquesa y rojo, no necesariamente en ese orden. Luego de la carrera comentan:
• Alfredo le dice al que manejaba el auto rojo que la próxima carrera le volverá a ganar. • Beto, que manejaba el auto turquesa, felicitó a quien mane jaba el auto violeta por su triunfo.
TEMA: Ordenamiento lineal Según el enunciado, tenemos tres posibilidades de ordenamiento, las cuales representaremos mediante la siguiente gráfica: (Consideremos las edades crecientes de izquierda a derecha y los nombres por sus iniciales) Posibilidad ( 1) :
¿Qué color es el auto que manejaba Alfredo y en qué puesto quedó? A) Rojo – 1° C) turquesa – 1° E) Violeta – 1°
B) Rojo – 2° D) Violeta – 2°
TEMA: Ordenamiento en cuadros de triple entrada Por la existencia de una diversidad de datos, haremos uso de un cuadro de triple entrada, donde ubicaremos los puestos de llegada, el nombre de los amigos y el color de sus autos.
2° 1°
Alfredo
Beto César
Violeta Turquesa
M
C
Posibilidad ( 2) :
M
C
Posibilidad ( 3) :
M
R
B
R C
R
Como podemos observar, la Posibilidad (1) es quien se ajusta a todas las condiciones del problema.
Resolución
3°
E
hay dos posibilidades
Respuesta Por lo tanto, la afirmación cierta es: “Bruno no es el menor de los hombres”
Alternativa C
PROBLEMA N.° 61
En una urna hay 6 bolas pintadas de rojo con blanco, 5 bolas pintadas de blanco con negro y 4 bolas pintadas de negro con rojo, si todas las bolas son del mismo tamaño, ¿cuántas bolas debe sacar como mínimo para tener la certeza de haber escogido una bola que contenga el color blanco? A) 14 D) 5
B) 10
C) 8 E) 6
Rojo
Resolución
Respuesta Por lo tanto, según el gráfico, Alfredo manejaba el auto violeta y quedó en primer puesto.
Alternativa E
PROBLEMA N.° 60
Sobre las edades de 5 hermanos: Carlos, Mónica, Roberto, Elena y Bruno, se tiene la siguiente información:
• • • •
Mónica, no es la hermana menor. Los varones son mayores que las mujeres. Roberto es mayor que Carlos. La edad de Bruno es igual a la suma de las edades de Roberto y Elena.
Entonces es cierto que A) Roberto no es menor que Bruno. B) Mónica es mayor que Roberto. C) Bruno no es el menor de los hermanos. D) Roberto es menor que Elena. E) Mónica y Elena son gemelas. Admisión UNASAM - 2013 - I
TEMA: Certezas Sería una gran suerte si en las primeras extracciones nos resulten bolas que contengan el color blanco, pero eso no es seguro; para garantizar el resultado, debemos ponernos en el p eor de los casos (aquél caso que dilate más el momento en que se logre el objetivo), es decir, primero extraeremos las bolas que no contengan el color blanco y que, después de ello, recién extraemos la bola que contenga el color blanco. Así:
Negro y Rojo + cualquiera del resto = 5 1 4
Respuesta
Por lo tanto, debo extraer, como mínimo, 5 bolas
Alternativa D
PROBLEMA N.° 62
Si se sabe que:
• En la tienda A el producto x cuesta más que en la tienda B y menos que en la tienda C .
12
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• El producto y cuesta más en la tienda B y A , que en la tienda
Moisés
C .
• El producto z cuesta igual en la tienda A y B , pero en C es más caro. Pepe
Jorge
Si deseo visitar y comprar un producto diferente en cada tienda. ¿Qué producto debo comprar en las tiendas A , B y C respectivamente, para obtener los productos más baratos? A) x , y , z
B) y , x , z
D) z , y , x
Alex
izq.
C) z , x , y
der.
E) x , z , y Ahora analizamos el valor de verdad de cada alternativa: Resolución
TEMA: Ordenamiento lineal Analicemos el precio de cada producto en las tres tiendas: Producto: x C
Producto: y
costo mayor
costo mayor A o
A
Producto: z
B
C
costo mayor
A) Jorge y Pepe se sientan juntos.
(F )
B) Moisés se sienta frente a Alex.
(V )
C) Alex está frente a Pepe.
(F )
D) Pepe está junto y a la derecha de Alex.
(F )
E) Moisés está junto y a la izquierda de Jorge.
(F )
Respuesta Por lo tanto, podemos afirmar la B.
A B
Alternativa B
C
B
PROBLEMA N.° 64
Del esquema mostrado se concluye que: En la tienda A , el producto más barato es z , en la tienda B es x y en la tienda C es y.
Si Adán y Abel tienen la misma cantidad de caramelos, para que Abel tenga 10 caramelos más que Adán, ¿cuántos caramelos tiene que darle Adán a Abel? A) 3
B) 10
D) 5
Respuesta
E) 8
Por lo tanto, los productos más baratos son: z , x e y.
Resolución
Alternativa C
TEMA: Planteo de ecuaciones
PROBLEMA N.° 63
Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que:
• Jorge se sienta junto y a la derecha de Alex. • Moisés no se sienta junto a Alex. • Pepe está conversando por el celular. Entonces podemos afirmar que: A) Jorge y Pepe se sientan juntos. B) Moisés se sienta frente a Alex. C) Alex está frente a Pepe. D) Pepe está junto y a la derecha de Alex. E) Moisés está junto y a la izquierda de Jorge. Resolución
TEMA: Ordenamiento circular Al representar los datos en un gráfico, se tiene:
13
C) 15
Sea n la cantidad de caramelos que tienen Adán y Abel cada uno, y sea x la cantidad de caramelos que Abel recibe de Adán, entonces ambos se quedan con: Adán:
n− x
Abel:
n+ x
Según condición del ejercicio, planteamos:
( n + x ) = ( n − x ) + 10 →
x =5
Respuesta Por lo tanto, tiene que darle 5 caramelos.
Alternativa D
PROBLEMA N.° 65
Dada la proposición: “Ningún sacerdote admite la bigamia, pero algunos aficionados al cine la admiten”, se concluye que:
Admisión UNASAM - 2013 - I
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A) B) C) D) E)
Todos los aficionados al cine son sacerdotes. Ningún sacerdote es aficionado al cine. Algunos aficionados al cine no son sacerdotes. Todos los sacerdotes son aficionados al cine. Ningún aficionado al cine es sacerdote.
¿Quiénes son dueños del ron y el pisco respectivamente? A) Raúl y Erick. C) Saúl y Erick. E) Raúl y Saúl
B) Manuel y Saúl. D) Manuel y Erick.
Resolución
Resolución
TEMA: Lógica de clases
TEMA: Cuadros de doble entrada
Analizando por partes la oración:
Consideremos dos cuadros de doble entrada; en el primero identificaremos las bebidas que les corresponde antes del apagón y en el segundo, las bebidas con el que se quedaron luego del apagón
Ningún sacerdote la bigamia admite S B
Se quedaron
Pidieron
cerv. ron pisco vino cerv. ron pisco vino S
Manuel
Saúl
Erick Raúl
B
Algunos aficionados al cine admiten la bigamia A B
Como después del apagón, ninguno se quedó con sus respectivas bebidas, entonces podemos concluir que Saúl pidió vino y terminó quedándose con la cerveza. De este modo, el cuadro ordenado y completo quedará de la siguiente manera:
x
A
B
Se quedaron
Pidieron
cerv. ron pisco vino cerv. ron pisco vino
Entonces, de ambas gráficas tenemos lo siguiente: algunos aficionados al cine no son sacerdotes
Manuel
Saúl
Erick
Raúl
x
Respuesta S
A
Por lo tanto, Raúl es dueño del ron y Erick del pisco.
B
Alternativa A
Respuesta
PROBLEMA N.° 67
Por lo tanto, se concluye: “Algunos aficionados al cine no son sacerdotes”
Alternativa C
PROBLEMA N.° 66
Manuel, Saúl, Erick y Raúl van a un bar y piden bebidas diferentes: cerveza, ron, pisco y vino, no necesariamente en ese orden. Luego de un apagón se confundieron todas las bebidas, ninguno recibió la suya. Se sabe que:
• Manuel se quedó con el ron porque su cerveza la tomó Saúl. • Erick dice: “Si me dan la mía, devuelvo el vino a Saúl”. • Raúl se quedó con el pisco. Admisión UNASAM - 2013 - I
Dada la sucesión: t1 = −6 ; t2 4 ; t3 = −4 ; t4 =
t6
=
=
6 ; t5 = −2 ;
8 ;
Hallar: t30 − t29 . A) 12 D) 10
B) 15
C) 24 E) 14
Resolución
TEMA: Sucesiones Para dar respuesta a este problema, usaremos un razonamiento
14
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inductivo, donde la diferencia de un término par con un término impar (consecutivos) resulta siempre 10. Veamos los casos particulares para generalizar y hallar lo p edido: Término par
Término impar
−
t1
=
( 4 ) − ( −6 ) = 10
t4
−
t3
=
( 6 ) − ( −4 ) = 10
t6
−
t5
=
( 8 ) − ( −2 ) = 10
−
t30
=
t29
Por lo tanto, para obtener un ganador son necesarios 11 enfrentamientos.
Alternativa C
PROBLEMA N.° 69
t2
Respuesta
Hallar el valor de x en la siguiente sucesión: 3 ; 3;
Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 12 D) 15
10
81 ; 81 ; x
B) 18
C) 9 E) 20
Resolución
Respuesta TEMA: Sucesiones
Por lo tanto, t30 − t29 = 10 .
Alternativa D Damos forma convenientemente a la sucesión:
PROBLEMA N.° 68
3 ;
En un torneo de karate se presentaron 12 participantes; cada vez que se enfrentan dos participantes siempre hay un ganador, y el perdedor automáticamente es eliminado del torneo. ¿Cuántos enfrentamientos son necesarios realizar para obtener un ganador? A) 6
B) 8
C) 11
D) 12
E) 24
3
;
×2
31 ;
81 ; ×2
32 ;
81 ;
×2
34 ;
x ×2
38 ;
316 38
=
Respuesta Por lo tanto, la suma de cifras de x es: 18
Alternativa B
Resolución PROBLEMA N.° 70
TEMA: Razonamiento lógico
En la siguiente distribución numérica,
Representemos gráficamente los combates que se dan con los 12 participantes. ( K: karateca ) k1
k2
k3 k4 k5 k6
k9 k10
k11 k12
15
1
1
2
2
3
1
1
a
5
2
4
7
4
9
13
2
4
b
1
7
18
1
14 36
c
8
d
1 k1
7 2
Hallar: a + b + c + d
k1
k3
10
A) 26 D) 35
k1
B) 28
3 k5
4
k5
k7
TEMA: Distribución numérica 11 Ganador
5 k9 9 6 k11
C) 30 E) 28
Resolución
8
k7 k8
6561
k9
De las figuras anteriores, si consideramos cuadrados de dos por dos, la suma de tres números dará el cuarto (considere la suma en L), veamos algunos casos: 1
1
2
2
3
1
1
a
5
2
4
7
4
9
13
2
4
b
1
7 18
1 14 36
c
8
d
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La suma de los tres números que se encuentran en la parte sombreada será igual al cuarto número que está en el círculo punteado.
PROBLEMA N.° 72
¿Qué letra continua en la siguiente sucesión? A ; B ; E ; F ; J ; K ; O ; P ;
Luego: a + 1+ 2 = 4 → a = 1
A) U
4+2+c = 8 → c =2
D) W
B) Z
C) Y E) V
5 + a + 4 = b → b = 10
Resolución
b + 4 + 8 = d → d = 22
TEMA: Sucesiones literales
Entonces, si sumamos los valores obtenidos:
Al analizar la secuencia, se obtiene la siguiente sucesión:
a + b + c + d = 1 + 2 + 10 + 22 = 35
Respuesta
V
A ; B ; E ; F ; J ; K ; O ; P ;
Por lo tanto, a + b + c + d = 35
3
1
Alternativa D
1
1
4
5
1
6
Respuesta
PROBLEMA N.° 71
Por lo tanto, la letra que continúa en la sucesión es V .
Dada la siguiente sucesión: 1010(2) ; 202(3) ; 132(4) ;
Alternativa E
PROBLEMA N.° 73
Hallar el término que continúa.
¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? A) 130(5) D) 60
B) 120(5)
C) 50 E) 70
2 ; 10 ; 30 ; 68 ; 130 ;
A) 220 D) 230
Resolución
B) 221
TEMA: Sucesiones
C) 222 E) 231
Resolución
Descomponemos polinómicamente cada término: 1010(2) = 1× 23 + 0 × 22 + 1× 2 + 0 = 10
TEMA: Sucesiones Damos forma a la sucesión convenientemente:
2 202(3) = 2 × 3 + 0 × 3 + 2 = 20
2 ; 10 ; 30 ; 68 ; 130 ;
2
132(4) = 1× 4 + 3 × 4 + 2 = 30
+1
Entonces la sucesión, en base 10, queda:
+10
+1
+1
+1
1× 2 ; 2 × 5 ; 3 × 10 ; 4 × 17 ; 5 × 26 ; +3
40 10 ; 20 ; 30 ; +10
+1
+5
+7
+9
6 × 37 +11
Respuesta
+10
Por lo tanto, el número que sigue en la sucesión es 6 × 37 = 222 . Nótese que en la sucesión original, la base de los numerales va aumentando consecutivamente, de modo que a 40 lo convertimos a base 5 a través de las divisiones sucesivas. 40 5 0 8 5 3 1
=
Respuesta
Admisión UNASAM - 2013 - I
PROBLEMA N.° 74
En la siguiente distribución, ¿qué número falta en el segundo triángulo?
⇒ 40 130(5)
Por lo tanto, el término que continúa es: 130(5)
Alternativa C
7
Alternativa A
18 3
3
6
4 8
6
27
5
3
16
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A) 22
B) 20
C) 14
D) 16
PROBLEMA N.° 76
E) 18
Los pasajes en avión cuestan 40 soles en primera clase y 20 soles en segunda clase. Si se recaudó por pasajes 1700 soles en un viaje de 50 pasajeros, ¿cuántos viajaron en primera clase?
Resolución
TEMA: Distribución numérica
A) 15 D) 45
B) 25
C) 35 E) 55
En la distribución dada, se observa la siguiente secuencia: Resolución
×
×
7
18
3
4
16
×
6
6
27
TEMA: Planteo de ecuaciones 5
3
8
3
7 × 3 − 3 = 18
4 × 6 − 8 = 16
6 × 5 − 3 = 27
Sean: N.° pasajeros en primera clase : p N.° pasajeros en segunda clase : s Del enunciado se tiene: Total de pasajeros: p + s = 50
Respuesta
40 p + 20s = 1700
Recaudación:
Por lo tanto, el número que falta es: 16
Alternativa D
2 p + s = 85
PROBLEMA N.° 75
p + p + s = 85 ⇒ p = 35
Un niño consume una caja de caramelos en 4 minutos. Si en cada minuto consumió la mitad de los que tenía más 5 caramelos, ¿cuántos caramelos comió en total? A) 150
B) 120
D) 160
50
Respuesta Por lo tanto, viajaron en primera clase, 35 pasajeros.
Alternativa C
C) 130 E) 140
PROBLEMA N.° 77
Los profesores de un colegio deciden hacer una colecta para comprar una pelota de vóley. Si cada uno colabora con 4 soles, faltarían 29 soles; entonces deciden aumentar la colaboración a 6 soles; sin embargo uno de ellos se resiste a dar su cuota; entonces sobra 1 sol. ¿Cuánto cuesta la pelota?
Resolución
TEMA: Fracciones En 4 minutos la caja de caramelos estará vacía. Sea x la cantidad de caramelos. Si consideramos lo que va quedando, minuto tras minuto, se obtiene:
A) 104 soles D) 90 soles
B) 101 soles
C) 98 soles E) 100 soles
Resolución
1 1 1 1 x − 5 − 5 − 5 − 5 = 0 2 2 2 2
TEMA: Planteo de ecuaciones
1 1 1 x − 5 − 5 − 5 = 10 2 2 2
Sean: Costo de la pelota Número de profesores
1 1 x − 5 − 5 = 30 2 2
: S/ . x : n
Observación:
1 x − 5 = 70 2
Recaudación
x 150
=
( cuota c/u )(N.° profesores )
=
De las condiciones del ejercicio se obtienen dos ecuaciones:
Respuesta Por lo tanto, el niño comió un total de 150 caramelos.
Alternativa A
17
x = 4n + 29 ⇒ 4n + 29 = 6 ( n − 1) − 1 ⇒ n = 18 x = 6 ( n − 1) − 1
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Respuesta
PROBLEMA N.° 80
Por lo tanto, la pelota cuesta: x = 4 (18 ) + 29 = 101 soles .
Alternativa B
En la figura, M y N son centros de las circunferencias cuyos radios son iguales. Si el área de la región sombreada es 24π m2 . ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD?
PROBLEMA N.° 78
B
Si el 10% del 30% de un número es 1500, ¿cuál es el 2% del 50% de dicho número? A) 500 D) 400
B) 600
C
N
M
C) 700 E) 300
Resolución
D
A
TEMA: El tanto por ciento
A) 96 m2
Recuerde que las palabras: de , del , de los , etc. Representan productos dentro de las operaciones con porcentajes.
B) 90 m2
C) 60 m2
2
2
D) 72 m
E) 100 m Resolución
TEMA: Área de regiones planas
Sea n el número buscado:
Del gráfico: AB CD 2R y BC =
Dato: Piden:
10
×
30
×
50
100 100 2
100 100
=
× n = 1500 ⇒ n = 50000 ×n=
2
×
50
100 100
=
AD 3R =
B
C
R
× 50000 = 500
R R
M
R
R N
2R
Respuesta Por lo tanto, el 2% del 50% del número es: 500.
3R
A
Alternativa A
D
Según el enunciado, el área de la región sombreada es 24π m2 , entonces del gráfico se tiene:
PROBLEMA N.° 79
8 trenes consumen 60 toneladas de carbón en 10 días, traba jando 8 horas diarias. ¿Cuántas toneladas de carbón consumirán 4 trenes más en 16 días, trabajando 2 horas diarias menos? A) 94 toneladas C) 106 toneladas E) 110 toneladas
Asomb = 24π = πR2 +
π 2
× R2 ⇒ R = 4
Ahora calculamos el área del rectángulo ABCD .
B) 100 toneladas D) 108 toneladas
Arec = 3R × 2R = 6R2 = 6 × 42 = 96
Respuesta Resolución
2
Por lo tanto, el área del rectángulo es: 96 m .
Alternativa A
TEMA: Comparación de magnitudes Al ordenar las magnitudes se obtiene el siguiente esquema: N°(trenes) Consumo(tn) 8
60
12 D.P
x
Entonces: x = 60 ⋅
N°(días) H/diarias 10 8 16 6 D.P
12 8
⋅
16 10
⋅
6 8
PROBLEMA N.° 81
En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado 4 cm , M y N son puntos medios; hallar el perímetro del rectángulo PQMN . B
D.P
N
M
= 108
Respuesta Por lo tanto, consumirán 108 toneladas.
Admisión UNASAM - 2013 - I
Alternativa D
A
Q
P
C
18
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
A) 8 cm D) 2
(
(
B)
)
3 + 3 cm
(2
C)
)
3 + 2 cm
)
3 + 1 cm
E) 2 3 cm
Dato 2: “si la hija hubiera nacido 12 años antes, tendría 12 años menos que la madre” h + 12 = m − 48 ⇒ m − h = 60
Resolución
Al sumar ambas ecuaciones se obtiene:
TEMA: Área de regiones planas
( m + h ) + ( m − h ) = 82 + 60 ⇒ m = 71
El ∆ ABC es equilátero, además BN NC 2 =
=
Respuesta
B
Por lo tanto, la edad actual de la madre es: 71 años.
Alternativa E
60° PROBLEMA N.° 83
2
Si: a0 = a !+ b ! . Hallar a + b .
4
60°
M
2
! : es el símbolo de la factorial de un número.
60° N
30°
2
1
Q
C
1
( 3 ) + 2 (2 ) = 2 (
3 +2
)
Como la suma de los dos factoriales equivale a un número de dos cifras que termina en cero, entonces analizamos las posibilidades que se pueden dar: 0! 1! 1 =
=
2! 2 =
Respuesta
3!
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es: 2
(
)
3 + 2 cm.
6
=
a !+ b ! = 6 + 24 = 30
4! 24 =
5! 120
Alternativa D
=
Como podemos apreciar, los únicos números que cumplen la condición son:
PROBLEMA N.° 82
Una madre le dice a su hija: “si hubieras nacido 12 años antes, tendrías 48 años menos que yo”. Hallar la edad actual de la madre si dentro de 6 años ambas edades sumarán 94. A) 70
C) 8 E) 10
TEMA: Factorial
P
Perímetro rectángulo = 2
B) 7 Resolución
60°
60°
A
2
3
3
A) 6 D) 9
B) 80
a 3 y b 4. =
=
Respuesta Por lo tanto, a + b = 7
Alternativa B
C) 68
D) 60
E) 71 Resolución
PROBLEMA N.° 84
Hallar el área de la región sombreada:
TEMA: Problemas sobre edades 2
Sean:
R
Edad de la madre
: m
Edad de la hija
: h
r
Dato 1: “si dentro de 6 años ambas edades sumarán 94 ”
( m + 6 ) + ( h + 6 ) = 94 ⇒ 19
m + h = 82
A)
π+1 2 2
D) π u
2
u
B) 5 ( π + 1) u2
C) 3π u2 E)
π 2
2
u
Admisión UNASAM - 2013 - I
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Resolución Resolución
TEMA: Polinomios
TEMA: Área de regiones planas
Si x 1 , se tiene: =
Se pide el área de la región sombreada.
f f ( 1) = f ( 1 + 2) − 3
f [4] = f ( 3 ) − 3
Recuerda
3 = f ( 3 ) − 3 → f ( 3) = 6
R
Si x
h m
=
4 , se tiene:
⇒ h2 = m × n f f ( 4 ) = f ( 4 + 2) − 3
n
f [3] = f ( 6 ) − 3
6 = f ( 6 ) − 3 → f ( 6 ) = 9 En el gráfico: Si x 3 , se tiene: =
B
f f ( 3 ) = f ( 3 + 2 ) − 3
R + r
f [6] = f ( 5 ) − 3
2
A
9 = f ( 5 ) − 3 → f ( 5 ) = 12
2R
C
2r
Por lo tanto, f ( 5 ) 12
H
22 = 2R × 2 r
=
⇒ R × r = 1
R+r Asomb = Asemic − ARsemic − Arsemic
2
Asomb = Asomb = Asomb =
2
−
πR2 2
−
πr 2
Hallar: 2 n − 2n B) –1/2
2
TEMA: Operaciones matemáticas Al realizar un cambio de variable, se obtiene: si 2n + 1 = x , entonces:
( 2Rr ) = π
Respuesta
x
Por lo tanto, el área de la región sombreada es: π u2
Alternativa D
2
Piden calcular:
n − 1 2n − 1 − 2 2
Si f ( x ) ∈ y f f ( x ) = f ( x + 2) − 3 .
2 n − 2n =
Además: f (1) 4 y f ( 4 ) 3 . =
2n − 2 2
−
2n − 1 2
=−
1 2
Respuesta
Hallar: f (5 ) A) 11 D) 14
x − 1 =
2 n − 2n = 2
PROBLEMA N.° 85
=
C) 2 E) (n/2)+1
Resolución
R2 + r 2 + 2Rr − R2 − r 2 ) ( 2
2
Si: 2n + 1 = n .
A) 0 D) n/2
π π
Alternativa B
PROBLEMA N.° 86
Luego, el área de la región sombreada, mediante diferencia de áreas, es:
π ( R + r )
Respuesta
B) 12
C) 13 E) 15
Admisión UNASAM - 2013 - I
Por lo tanto, 2 n − 2n = −
1 2
Alternativa B 20
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
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Consideramos ahora x
PROBLEMA N.° 87
Se definen: a∗ b = a3 b
a ⊗ b = a3b2
3
B) a 3 b
ab
E) a2 b2
1
9 =
5
+
1
TEMA: Operaciones matemáticas
a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b = a ∗ a 3 b ⊗ b a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b = a ∗ a 3 b
(
3
)
33 = 13
+
5
20
Piden calcular: +
2
=
4 + 5
= 9 + 20
b2
=
a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b = a ∗ a 3 b3 3 3
4 , reemplazando en la primera definición se ob-
5
1
=
+
=
0 en la primera definición:
4
6
5
Al hacer uso de las definiciones, según sea el caso, calculamos lo pedido:
=
16 =
Resolución
3
+
Ahora, si x tiene:
C) ab
D) a2 b
2
1
Calcular: a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b
A)
4 =
=
29
Respuesta Por lo tanto, el resultado de las operaciones es 29
2
a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b = a a b = a b
Respuesta
Alternativa E
PROBLEMA N.° 89
Hallar la suma de las cifras del producto en:
2
Por lo tanto, a ∗ ( a ∗ b ) ⊗ b = a b
Alternativa D
∗ 9 ∗ × ∗ 3 ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ ∗ ∗ 8 5
PROBLEMA N.° 88
Si:
3 x + 4 = x + 2 + x + 1
Además:
x = 2 x + 1
+
1
Calcular:
A) 26
B) 24
C) 21
D) 20
2
E) 19 Resolución
B) −3
A) 3 D) 17
C) 12 E) 29
Resolución
TEMA: Razonamiento deductivo Las cifras ocultas de la operación las determinaremos haciendo uso de las propiedades de la operación producto. Luego, la operación reconstruida es:
TEMA: Operaciones matemáticas 9
5 ×
2
3
8
8
5
5
9
0
6
7
8
2
Si x 2 , x 4 , x 6 y x 16 , separadamente, entonces al reemplazar en la segunda definición, se obtienen: =
2
21
=
5 ;
=
4
=
=
9 ;
=
6
=
13 ; 16
=
33
5
Admisión UNASAM - 2013 - I
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Respuesta Por lo tanto, la suma de cidras del producto es: 26
Alternativa A
Si a−1 es el inverso de a con a ∈{1; 2; 3} 1 −1
Calcular: P = ( 2− ∗ 3− 1
)
∗ 2−1
−1
PROBLEMA N.° 90
Se define en A {0; 1; 2; 3} , la operación matemática mediante la siguiente tabla: =
#
0
1
2
3
0
2
3
0
1
1
3
0
1
2
2
0
1
2
3
3
1
2
3
0
Halle el valor de x en: ( x # x ) #2 A) 0 D) 3
=
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 Resolución
TEMA: Operaciones matemáticas Para resolver la ecuación es necesario hallar los elementos inversos. Previamente hallaremos el elemento neutro (e) por el criterio de intersección:
( 0#2) # ( 3#1)
B) 1
A) 1
∗ 1 2 3
C) 2 E) 1 o 3
1 1 2 3 2 2 3 1
Resolución
→ e =1
3 3 1 2
TEMA: Operaciones matemáticas Según la tabla, reemplazamos valores en la ecuación:
Para hallar los inversos aplicaremos el criterio de rebote:
( x # x ) #2 ( 0#2) # ( 3#1)
∗ 1 2 3
( x # x ) #2
=
1 1 2 3
( x # x ) #2
=
0
=
0
=
0 #
=
2
2 2 3 1 3 3 1 2
0
#2
1−1 1 ⇒ 2−1 = 3 −1 2 3 =
Luego, en la ecuación: Analicemos los valores que toma x: x # x
1#1 dos posibilidades : 3 # 3
=
0
=
0
=
−1 −1 P = 2−1 ∗ 3−1 ∗ 2−1
(
)
−1
P = ( 3 ∗ 2 ) ∗ 3
0
−1
−1 P = 1−1 ∗ 3
(
Respuesta Por lo tanto, en la ecuación, x puede tomar 1 o 3.
P
=
3− 1
)
=
2
Alternativa E Respuesta
PROBLEMA N.° 91
Por lo tanto, P 2 . =
Dada la tabla:
Alternativa B ∗ 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
Admisión UNASAM - 2013 - I
PROBLEMA N.° 92
La siguiente figura muestra la ojiva de frecuencia absoluta acumulada de las notas obtenidas por 2000 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes aprobaron si la nota mínima aprobatoria fue 11? 22
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
PROBLEMA N.° 93
F i
La tabla siguiente representa el tiempo en minutos que demora un estudiante en contestar el examen de razonamiento matemático. Siendo la tabla de frecuencias con amplitudes iguales, hallar el número de estudiantes que tardarán más de 90 minutos.
2000
1400 800 600
Tiempos (minutos)
yi
[ −
75
[ −
4
8
16
12
20
Nota
95 52
B) 1500
20
[ − 60
Total
A) 1250
hi %
10
[ − 0
F i
14
[ −
200
f i
C) 1550
D) 1700
E) 1850
A) 20
B) 25
C) 30
D) 40
E) 52
Resolución Resolución
TEMA: Interpretación de gráficos estadísticos
TEMA: Cuadros estadísticos
Conocidos los intervalos de clase y sus respectivas frecuencias acumuladas se puede formar la siguiente tabla:
f i
Ii
w w w w w
F i
[ 0 −
4
200
200
[ 4 −
8
400
600
200
800
600
1400
[ 8 − 12 [ 12 − 16 [ 16 − 20
En el ejercicio, para completar la tabla necesitamos calcular el valor del ancho de clase ( w ):
w
2
Se desea conocer cuántos estudiantes aprobaron si la nota mínima aprobatoria fue 11 200 600 600 50 150 20
1250
Respuesta
23
2
a+a+w
2
= 95 − 75 → w = 10
= 75 →
2a + 10 2
= 75 → a = 70
f1 h1 × n 0,10 × 60 6 f4
Alternativa A
<> [ a − ( a + w )
Luego: =
Por lo tanto, aprobaron 11 estudiantes
w
[ −
16
+w +
Para hallar el límite inferior del primer intervalo usaremos la fórmula de la marca de clase, inmediatamente realizaremos el siguiente análisis:
=
11 12
w/2
Del esquema se tiene:
n 2000
8
w/2
75 95
2000
600
=
=
=
h4 × n 0,20 × 60 12 =
=
Al completar el cuadro tenemos:
Admisión UNASAM - 2013 - I
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Tiempos (minutos)
[ 70 − [ 80 −
yi
f i
F i
hi
hi %
80
75
6
6
0,10
10
90
85
14
20
95
20
40
105
12
52
115
8
60
[ 90 − 100 [ 100 − 110 [ 110 − 120 Total
Respuesta Por lo tanto, la mediana y la moda tienen el mismo valor que es 10.
Alternativa C
PROBLEMA N.° 95
0,20
20
La edad de 7 personas son consecutivas y la media aritmética es 55. ¿Cuántos años tiene la persona de mayor edad? A) 23 D) 58
n 60 =
B) 25
C) 54 E) 62
Resolución
Estudiantes que tardaron más de 90 min. = 20 + 12 + 8 = 40
TEMA: Medidas de tendencia central
Respuesta Por lo tanto, 40 estudiantes tardaron más de 90 minutos.
Alternativa D
n−3 ; n−2 ; n−1 ; n ; n+1 ; n+ 2 y n+3
PROBLEMA N.° 94
Calcule la mediana y la moda respectivamente en el conjunto de datos indicado: 8; 10; 6; 12; 13; 5; 7; 12; 11; 10; 10 y 7
A) 10 y 11
Consideremos las 7 edades consecutivas como sigue:
B) 11 y 10
C) 10 y 10
D) 55,5 y 10
Como la media aritmética es 55 (dato), entonces:
( n − 3) + ( n − 2 ) + ( n − 1) + n + ( n + 1) + ( n + 2) + ( n + 3) 7 7n 7
=
55
= 55 → n = 55
E) 55,5 y 50,3
Respuesta Resolución
Por lo tanto, la persona de mayor edad tiene 58 años.
Alternativa D
TEMA: Medidas de tendencia central PROBLEMA N.° 96
• La Mediana ( Me ) , en un conjunto de datos, es aquel valor que divide a dicho conjunto en dos partes que poseen la misma cantidad de datos.
• La Moda ( Mo ) , en un conjunto de datos, es el valor que más se repite en dicho conjunto.
El siguiente histograma muestra los gastos semanales de los trabajadores de una empresa. ¿Cuántas personas gastan desde S/. 160 hasta S/. 270? N.° de personas 30
( n 12 datos )
Como datos tenemos:
=
8; 10; 6; 12; 13; 5; 7; 12; 11; 10; 10 y 7
24
Ordenando ascendentemente: 20
5 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13
10
Según las definiciones anteriores, la mediana y la moda serán respectivamente:
Me
=
semisuma de términos centrales
Mo
=
dato que más se repite
=
=
10 + 10 2
=
10
10
Admisión UNASAM - 2013 - I
160
A) 50 D) 74
210
B) 54
240
270
300 Gastos
C) 60 E) 84 24
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Resolución
Son ciertas:
TEMA: Gráficos estadísticos
A) I D) III
Piden calcular la cantidad de personas que gastan de S/. 160 hasta S/. 270. En el histograma, sombreamos las barras del intervalo buscado:
B) I y II
C) II E) I y III
Resolución
TEMA: Gráficos estadísticos El ingreso quincenal es de S/. 300. Según este dato y según el gráfico, analicemos los enunciados:
N.° de personas
I.
30
La persona gasta S/. 135 en educación. Educación 45% (300 ) =
Educación
24
45 =
100
(300 )
=
S / . 135
El enunciado I es verdadero. 20
II.
Gasta lo mismo en ropa y vivienda. 360° <> 100% → 36° <> 10% El enunciado II es verdadero.
III.
En alimentación gasta S/. 85.
10
Alimentación 20% (300 ) =
160
270
240
210
300 Gastos
Alimentación
Luego:
20 =
100
(300 )
=
S / . 60
El enunciado III es falsa.
Respuesta N.° de personas = 20 + 30 + 10 = 60
Por lo tanto, los enunciados I y II son ciertos.
Respuesta
Alternativa B
PROBLEMA N.° 98
Por lo tanto, en el intervalo que nos piden hay 60 personas.
Alternativa C
¿Cuál es la probabilidad de sumar 7 u 8 al tirar un p ar de dados normales? A)
PROBLEMA N.° 97
El siguiente gráfico muestra la distribución del ingreso quincenal de S/. 300 de una empresa.
D)
5
B)
8
11
C)
36
1
E)
3
15 36 1 2
Resolución
Otros 54°
TEMA: Probabilidades Ropa 36°
Al lanzar ambos dados obtendremos 36 combinaciones posibles y de ellas 11 casos son favorables al evento, así:
Educación 45%
Vivienda 10% Alimentación 20%
De los siguientes enunciados: I.
La persona gasta S/. 135 en educación.
II.
Gasta lo mismo en ropa y vivienda.
III.
En alimentación gasta S/. 85.
25
dado 1 dado 2
suma 7
dado 1 dado 2
1
6
2
6
2
5
3
5
3
4
4
4
4
3
5
3
5
2
6
2
6
1
suma 8
Admisión UNASAM - 2013 - I
Solucionario - examen de exonerados UNASAM 2013
Erick - Jimmy - Apolín
Luego:
PROBLEMA N.° 100
Probabilidad
casos favorables =
casos totales
Un padre reparte 120 soles a sus 3 hijos de la siguiente manera: por cada S/. 3 que recibe el primero, el segundo recibe S/. 4 y el tercero S/. 5. ¿Cuánto recibió el segundo hijo?
11 =
36
Respuesta Por lo tanto, la probabilidad de obtener la suma 7 u 8 es:
11
A) 60 D) 30
B) 50
36
Resolución
Alternativa B
TEMA: Planteo de ecuaciones
PROBLEMA N.° 99
Adolfo le dice a Víctor: “Dentro de 18 años, yo tendré el doble de tu edad”. Víctor responde: “Hace 8 años tu edad el cuádruple de la mía”. ¿Qué edad tiene Víctor? A) 23 D) 28
B) 24
C) 26 E) 30
Resolución
TEMA: Planteo de ecuaciones
Primer hijo Segundo hijo Tercer hijo
: y
Cuando habla Adolfo se tiene:
x + 18 = 2 ( y + 18 )
Cuando Víctor responde:
x − 8 = 4 ( y − 8 )
A + B + C = 120 (α)
x + 18 = 2 ( y + 18 ) x − 8 = 4 ( y − 8 )
26 = 2( y + 18 ) − 4( y − 8) 26 = −2 y + 68 =
3 =
=
A 3k B = 4k C 5k =
4 3
⇒
=
5
Reemplazar los valores obtenidos en (α) 3k + 4k + 5k = 120 → k = 10
Al restar las ecuaciones se obtiene:
y
: A : B : C
Al repartir los S/. 120 a los tres, se cumplirá que:
A B A C
: x
−
Sean:
Según condiciones del ejercicio, se tiene:
Sean las edades: Edad de Adolfo Edad de Víctor
C) 20 E) 40
21
Luego, los hijos reciben la parte del dinero que les toca de la siguiente manera: A 30 , B =
=
40 y C 40 =
Respuesta Por lo tanto, el segundo hijo recibió S/. 40
Alternativa E
Respuesta Por lo tanto, Víctor tiene 21 años.
Alternativa (no hay clave)
Admisión UNASAM - 2013 - I
26
