UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
SOLUCIONARIO SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE CIRCUITOS DIGITALES 2015-A Manza Chávez Herber Remigio
1223220544
PROBLEMA 1: Resolver a) Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares? Sí entran todos los elementos: 3 < 5 Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.
í ⇒ 1° 2° 3° 4° 5° ⇒ 3 = 243 í 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
Para que el número sea par, el último dígito debe terminar en 2. Sin importar el orden de los dígitos anteriores o si estos se repiten.
í ⇒ 1° 2° 3° 4° 5° ⇒ 3 = 81 í 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 1 Respuesta: La cantidad de números de 5 cifras formados con los dígitos 1, 2 y 3 es 243, de los cuales 81 son pares. b) ¿Cuántas apuestas de Lotería de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.
49! = 49! = 1 ∗2 ∗…∗ 43 ∗44 ∗44 ∗ 45…∗ 48 ∗49 ∗49 = 49−6 !∗6! 43!∗6! 1∗2∗3∗4∗5∗6 44 ∗ 45 ∗ 46 ∗ 47 ∗ 48 ∗ 49 = 10068347520 = 13 983 816 = 44 1∗2∗3∗4∗5∗6 720
Respuesta: Las apuestas que deben rellenarse son 13 983 816 c) Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. SOLUCIÓN La fórmula a utilizar es: Donde es la probabilidad de que no obtenga ningún tema estudiado y está representado por el producto de las probabilidades del primer y segundo saque. Se tiene entonces que:
= 1 −
9 = 0.85 = 1 − = 1 − 10 ∙ 25 24 Respuesta: La probabilidad de que saque al menos un tema estudiado es de .
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N°
0 1 2 3 4
0 1 16 81 256
Última cifra 0 1 6 1 6
N°
5 6 7 8 9
625 1296 2401 4096 6561
Última cifra 5 6 1 6 1
PROBLEMA 2: Utilizando las leyes del Álgebra de Boole expresar en forma canónica SOP y POS. El signo * representa la función AND, sin embargo y para simplificar se utilizará la notación AB como equivalente a A*B. a) Cuestión N° 1. La función equivale a: SOLUCIÓN: Simplificando por el Álgebra de Boole y haciendo su diagrama previo:
, , = +
= + = , , = 1 + = ̅ + 1 + = ̅ + 1 = ̅ Tabla de valores:
1° forma canónica (SOP)
2° forma canónica (POS)
= , = , = ̅ + ̅ = ̅ + ̅ + 0 0 0 1 1 0 1 1 = ̅ + = ̅ + ̅ + ̅ + 2 1 0 0 = ̅ 1 = ̅ 1 + + + 0 3 1 1 0 = ̅ = ̅ , = + equivale a: b) Cuestión N° 2. La función , °
SOLUCIÓN: Simplificando por el Álgebra de Boole y haciendo su diagrama previo:
= ̅ + ̅ = , , = ̅ + + ̅ = + ( ̅ ) = + = 1 + =
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Tabla de valores:
1° forma canónica (SOP)
2° forma canónica (POS)
= , , = + = + = 1 =
= , , + + = 0 0 0 0 1 0 1 0 = + + + 2 1 0 1 = 1 + + 3 1 1 1 = , = , , : y c) Cuestión N° 3. Sean dos funciones lógicas y tales que , = = ,, = , , . Represente en segunda forma canónica la función lógica ,, , ,,, = , , ⊕ , , °
SOLUCIÓN:
, , = 0,3 0,3
, = 1,2 1,2
°
°
⇒ 0,3 0,3 = ̅ +
̅ + ⇒ 1,2 1,2 = = +
0 1 2 3
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 2 3
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
Nos piden:
,, , ,,, = , , ⊕ , , = ̅ + ⊕ [ + ̅ + ] Pero: ⊕ = + ̅ + + ] = ̅ + ] + ̅ + ̅ + ] ⊕ [ + = ̅ + [ + [ +
[ + ̅ + ] , , ⊕ , , = = ̅ + ̅ + + ̅ + [ , , ⊕ , , = ̅ + ̅ + + ̅ + + ̅ , , ⊕ , , = = ̅ ̅ + ̅ + ̅ + + + ̅ + ̅ ̅ + + ̅ , , ⊕ , , = ⏟ ̅ ̅ + ⏟ ̅ + ⏟ ̅ + ⏟ + ⏟ ̅ + ⏟ ̅ ̅ + ⏟ + ⏟ ̅
Haciendo la tabla de valores para cambiar de la primera forma canónica (SOP) obtenida a la segunda forma canónica (POS) que nos piden.
° 0 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
✓
✓ ✓ ✓
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
De la tabla anterior obtenemos el producto de minterms (producto de sumas) o segunda forma canónica:
= ,,,,,,, ,,,,,,, = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
PROBLEMA 3: Un código binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dígitos decimales. A cada dígito le asigna un código de nueve ceros y un uno. El código binario para el número 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el código binario para los números decimales restantes. En circuitos digitales cuando de un grupo de bits se da por válido solo aquellas salidas que tienen un alta y las demás baja se les llama código 1-caliente (One-hot). En un caso similar pero con una sola baja y las demás alta se llama código 1-frio (One-cold) Para nuestro problema, usaremos el que se aplica para mostrar el estado en una máquina de estado; es decir el primer caso (una alta y las demás bajas).
1
0 0
Dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
Orden b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PROBLEMA 4: Florencio va a ir a una fiesta esta noche, pero no solo. Tiene cuatro nombres en su agenda: Ana, Bea, Carmen y Diana. Puede invitar a más de una chica pero no a las cuatro. Para no romper corazones, ha establecido las siguientes normas: - Si invita a Bea, debe invitar también a Carmen.
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA - Si invita a Ana y a Carmen, deberá también invitar a Bea o a Diana. - Si invita a Carmen o a Diana, o no invita a Ana, deberá invitar también a Bea. Antes de llamarlas por teléfono, quiere utilizar un circuito que le indique cuándo una elección no es correcta. Ayúdele a diseñar el circuito óptimo en dos niveles con puertas NAND. SOLUCIÓN: Dándole una variable de conmutación a cada persona tenemos: Ana , Bea , Carmen y Diana Cada variable podrá tomar el valor de o dependiendo de: - NO va a la fiesta - SI va a la fiesta El circuito que diseñaremos tendrá una salida F que tomará los siguientes valores: - Si la elección es correcta (cumple todas las normas) - Si la elección es incorrecta i ncorrecta Para la obtención de la función nos guiaremos de los casos propuestos que tenemos: Florencio no va solo Florencio no puede ir con todas Si Florencio lleva a Bea , debe llevar a Carmen Si Florencio lleva a Ana y a Carmen , debe llevar a Bea o Diana Si Florencio lleva a Carmen o Diana o no lleva a Ana , debe ir Bea
0 1
0 1
=0 =1
: : : : :
1
El valor de será cuando la elección sea incorrecta; es decir, cuando se incumpla alguna de las condiciones. Podemos expresar como una suma de productos donde cada término producto representa una condición: Debemos encontrar los términos productos asociados a cada condición, teniendo en cuenta lo siguiente: x si no se cumple la condición x si se cumple la condición
= + + + +
= 1 = 0
= 0 = 0 = 0 = 0 = 1 = ̅ ̅ = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 =0 = 1 = ̅ = 1 = 1 = 0 = 0 = 1 = = 1 ó = 1 ó = 0 = 0 = 1 = + + ̅ = ̅ + + + + De esta forma se obtiene que = ̅ ̅ + ̅ + + ̅ + + 0,1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,15 0,1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,15 En forma de suma de mintérminos queda = A continuación, vamos a obtener una expresión óptima de mediante el método de
La condición se incumple en el caso de que no vaya ninguna chica; es decir, en el caso de , , y . En este caso . El término producto asociado a esta condición es el mintérmino 0: La condición se incumple en el caso de que vayan todas las chicas; es decir, en el caso de , , y . En este caso . El término producto asociado a esta condición es el mintérmino 15: La condición se incumple en el caso de que vaya y no vaya ; es decir, en el caso de , . En este caso . El término producto asociado a esta condición es: La condición se incumple en el caso de que vayan y y no vayan ni ni ; es decir, en el caso de , , , . En este caso . El término producto asociado a esta condición es: La condición se incumple en el caso de que vayan o o no vaya y no vaya ; es decir, en el caso de y . En este caso . El término producto asociado a esta condición es:
Quine-McCluskey que consta de dos partes.
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA a) Obtención de las implicantes primas. En nuestro caso se obtiene: Mintérminos listados por su índice
Implicantes de 2 términos
0,1 ,1 − 1 < 0,2 ,2 − 2 < 0,4 ,4 − 2 < 1,3 ,3 − 2 < 1,5 ,5 − 4 < 1,9 ,9 − 8 < 2,3 ,3 − 1 < 2,10 1 0 − 8 < 4,5 ,5 − 1 < 4,12 1 2 − 8 < 3,11 1 1 − 8 < 5,13 1 3 − 8 < 9,11 1 1 − 2 < 9,13 1 3 − 4 < 10,11−1 < 12,13−1 < 11,15−4 < 13,15−2 <
0< 1< 2< 4< 3< 5< 9< 10 < 12 < 11 < 13 < 15 <
Índice 0 Índice 1
Índice 2
Índice 3 Índice 4
Implicantes de 4 términos
0,1,2,3−2,1 0,1,4,5−4,1 1,3,9,11−8,2 1,5,9,13 1,5,9,13 −8,4 2,3,10,11 2,3,10,11 −8,1 4,5,12,13−8,1 9,11,13,15−4,2
1 2 3 4 5 6 7
Expresión de cada implicante
1 2 3 4 5 6 7
00−− 0−0− 00−− 00−− 00−− 00−− 00−−
11
12
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
b) Cubrimiento mínimo Construimos la tabla de implicantes: A B C D E F G
0 X X
1 X X X X
2 X
3 X
4
5
X
X
9
X
X X
X X
10
X
X X
X
X X
15
X X
X
13
X
X X
X
10 es una columna distinguida, entonces , es una implicante prima esencial. Se : 2,2, 3,10,1 3,10, 1. Los mismo ocurre con la columna 12 y la eliminan los mintérminos de : implicante y se eliminaran los mintérminos de : 4,5,12,13. 15 también es una columna distinguida e es una implicante prima esencial. En este caso se eliminan los mintérminos de : 9,11,11,15. En este punto reescribimos la tabla eliminando las columnas y filas ya tachadas. A B C D
0 X X
1 X X X X
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Filas dominadas: y son dominadas por y , entonces eliminaremos y . En la tabla resultante tras eliminar y , tanto como cubren todos los mintérminos m intérminos que faltan y además tienen el mismo coste por lo que se puede elegir cualquiera de ellas. Por tanto:
= + + + = + + +
PROBLEMA 5: Expresar las siguientes funciones literales, simplificar utilizando el diagrama de Karnaugh. a) Suma de productos (SOP)
= ∑ 1,5,8,10,11,12,14,15
Por Karnaugh:
+ +
̅
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
̅ Dándole la forma correcta de simplificación: simplif icación: = ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ + + + ̅ + + = + +
b) Producto de Sumas (POS)
= ∏ 1,7,9,11,13,15
Por Karnaugh
++
̅
̅
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
̅
̅
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dándole la forma correcta de simplificación:
+ + + + + ̅ + ̅ + + + ̅ + + ̅ + ̅ + + + ̅ + + ̅ + =
= ++
