Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica
Solucionario de Granville Carlos Alberto Julián Sánchez
Cálculo Integral
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Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica
Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville.
No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo diferencial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas al siguiente correo:
[email protected]. Éxitos y bendiciones.
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4
1. x dx =
x
=
=
4 1
4 1
x
5
c
5
dx
x
2.
2
=
2 1 x 1
1 1
2
dx
c
c c
x
x
2 1
x
=
c
2/3
3. x dx 2
x 3 2
1
c
1
3
5
x 3 c 5 3
3 x 5/3 5
c
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4.
dx x x
1/ 2 1
1/ 2 1
dx 1/2
x
x 1/2 dx
c
x1/2 c 1 2 2 x1/2
1
c
2 x c
5.
dx 3
x
x 1/ 31
1 / 3 1
dx
x
1/3
x 1/3 dx
c
x 2/ 3 c 2 3
3 x 2/ 3 2
c
6. 3ay2dy
3a y 2 dy y 21 3a c 2 1 y 3 3a c 3 ay 3 c
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7.
2dt 2
t
2t 2 dt
2 t 2 dt t 21 2 c 2 1 t .1 2 c 1 1 2 c t 2
t
8.
c ax dx
a x dx
a
x dx
a x1/2 dx
x 1 a c 1 1 2 1
2
x3/ 2 a c 3 2 2 x3/ 2 a c 3 2 x x1/2 a c 3
a x 2 x 3 2 x ax 3
c
pero x x1/ 2 x3/ 2
pero x1/2
pero
c
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x
a x
ax
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dx
9.
2 x
dx
2 x
1
2
=
pero por el ejercicio 4. 1
2 x c 2
2
dx x
dx x
2 xc
al racionalizar el deno min ador
2 x c
2
2 x c 2 x c
10.
3
3t dt
3
3 3 t dt 3 3
3
t dt 3 3 t 1/3 dt
1/31 t 33 c 1 1 3 t 4/ 3 3 3 c 4 3 3t 4/ 3 3 c 4 3
34/3 t 4/3 4 (3t ) 4/ 3 4
recordemos q ue 31 3 3 34/3
c
c
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1 2
2 2
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11. ( x 3/ 2 2 x 2/3 5 x 3)dx
x3/ 2 dx 2 x 2/3 dx 5 x dx 3dx x 3/ 21 2 x 2/ 3 5 3 1 2
x dx 3 dx
2/31 x x 2 5 x1/2 3 x 5 2 1 2 3 5/ 2
5/3 1/ 2 1 x x 2 x 2 5 3 x c 5 1 5 1 3 2 5/ 2
3/ 2 3x x 2 x 2 3 x c 5 5 5 3 2 5/ 2
2 x 5/ 2 5
5/3
6 x5/3 5
10 x3/ 2 3
3 x c
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12.
4
4 x 2 2 x x x 2 x
dx 2
4 x dx 2
dx
x x
x1/2 x
dx
dx
x11 dx 4 2 1/2 x 1 1 x 2 4 2 x 1/2 dx 2 1/21 x 2 x 2 2 c 1 1 2 1/2 x 2 x 2 2 c 1 2 2 x 2 2 2 x1/ 2 c 2 x 2 4 x1/ 2 c 2 x 2 4 x c
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x 2 2 13. 2 dx 2 x
x 2
1 2
2
dx
2
x
x 2 dx 2
2
dx dx
x
2
1 x 21
x 21 2 2 1 c 2 2 1 x 1 2 c 2 3 1 1 x 3
1 2 c 6 x
x 3
x 3 6
2
c x
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x 3 x 2 dx
14.
(3 x x 2 x ) dx 3 x x dx 2 x dx 3 x x dx 2 x dx 3 x3/ 2 dx 2 x1/ 2 dx 3/ 2 1 1/ 2 1 x x 3 2 c 3 1 1 1 2 2 x5/ 2 x3/ 2 3 2 c 5 3 2 2 2 x5/ 2 2 x3/ 2 3 2 c 5 3
6 x 5/ 2 5
4 x3/ 2 3
c
x 3 6 x 5
15.
x 3
x
x
dx
6x x
dx dx
x 2 dx 6 dx 5
x 3 3
5
x dx dx x
6 x 5ln x c
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18. (a bt ) 2 dt
hacemosel siguientecambio de var iable :
u a bt du bdt
u 2 dt
multiplicamos por b y divi dim os por b.
1
u 2 ( ) (b) dt b
1
2
1
2
u bdt b
pero du bdt
u du b 1 u2 1
c b 2 1 1 u3
u3
c c b 3 3b pero u a bt
( a bt )3 3
c
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Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 16.
a bx dx
hacemos el siguientecambio de var iable :
u a bx du b dx
u dx
multiplicamos por b y d ivi dim os por b
1
u ( ) b dx b
1
1
b
pero du b dx
u b dx
b
u du
1
u b
1/2
du
1/ 2 1 1 u c b1 1 2 3/ 2 1 u c b 3 2 1 2u 3/ 2
c b 3
2u 3/ 2 3b
c
pero u a bx
2(a bx)3/ 2 3b
c
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Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica dy
17.
a by
hacemos elsiguientecambio de var iable.
u a by du b dy
dy u
u 1/2 dy 1
u 1/2 (b)( ) dy b
1
u b
1/2
multiplicamos por b y divi dim os por b pero u b dy
du
c b 1 1 2 1u
1/ 2 1
1 u1/2 c b 1
2
1 2u1/2
c b 1
2u1/2
b
c
pero u a by
2(a by )1/2 b
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19. x 2 x 2 dx
hacemos el siguiente cambio de var iable :
u 2 x2 du 2 x dx
u xdx 1 u 2 (2) x dx 2
1
2
2 xdx
1
2
du
u 2 u 2
multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2 pero du 2 xdx
1 u 21
c 2 2 1
u3 6
c
(2 x 2 )3 6
pero u 2 x2
c
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20. y (a by 2 ) dy
hacemos el siguiente cambio de var iable :
u a by 2 du 2by dy
uy dy
vamos a multiplicar por 2b y dividir por 2b
1 u 2by dy 2b
1 2b 1 2b
u 2bydy
pero du 2bydy
u du
1 u11
c
2b 1 1 1 u2
c
2b 2 u2 4b
c
a by 2 4b
regresando el valor de la var iable u 2
c
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21. t 2t 2 3 dt
hacemosel siguientecambiode var iable :
u 2t 2 3 du 4t dt
t u dt
multiplicamos y d ivi dim os por 4
1 u 4 t dt 4
1
1
4
pero du 4tdt
u du
u 4
1/2
du
1/ 21 1 u c 41 1 2 3/ 2 1 u c 4 3 2 1 2u 3/ 2
c 4 3
2u 3/ 2 12
2t
2
c
3 6
u 3/ 2 6
c
regresando el valor de u
3/ 2
c
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22. x (2 x 1)2 dx
desarrollamos el binomio al cuadrado
x(4 x 2 4 x 1) dx
aplicamos propiedad distributiva
(4 x3 4 x 2 x) dx
distribuimos cada int egral
4 x3 dx 4 x 2 dx x dx 4 x3 dx 4 x 2 dx x dx x31 x21 x11 4 4 2 1 1 1 c 3 1
4 x 4 4
x 4
4 x3
4 x 3 3
3
x2 2
x2 2
c
c
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Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 4 x 2 dx
23.
x 3 8
4
x 2 dx u
hacemos el siguiente cambio de var iable :
u x3 8 du 3 x 2 dx
4
x 2 dx
vamos a multiplicar y dividir por 3
u
1 3 x dx 4 u 3 2
4 3
pero u 3 x 2 dx
du u
1/ 2 1 4u c 3 1 1 2 1/2 4 u c 3 1 2
8u1/2 3
c
8 x 3 8 3
r egresando el valor dela var iable u
c
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24.
6 z dz
5 3 z 2
hacemos el siguiente cambio de var iable :
2
u 5 3 z 2 du 6 z dz
6 z dz
vamos a multiplicar y dividir por 1
u2
1 1 (1) 6 z dz 2 u
u 2 6 z dz u 2 du u 21 c 2 1
1 u
u 1
1
c
c 1
5 3 z 2
regresandoelvalor dela var iable
c
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