WILLIAM ANTHONY GRANVILLE
el
DI
cr VARIABLES. FUNCIONES. LIMITES cr REGLAS PARA DERIVAR FUNC. ALGEBRAICAS cr DERIVADAS ALGEBRAICAS cr DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS cr DERIVADAS LOGARíTMICAS cr DERIVADAS DE FUNC. EXPONENCIALES cr DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS cr MÁXIMOS V MíNIMOS
o- PUNTOS cr
DE INFLEXiÓN
ECUACIONES DE LA Tg
y LA
NORMAL
Valores Críticos: x-ü ; x-» 2; x- 2. Para: x=O x
°
Luego: x» = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f''(xj-x'(x + 2)(x - 2) f'(0,1)=(+0,1)2(0,1 +2)(0,1-2) f'(O,l)=( +)( +)( -)=" - ". Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo => No hay ni Máximos ni Mínimos. MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA PRIMERA EDICiÓN
•
lo nete~ario para tngre~ar a la unibtrsilJab (.oOlllnii)í\i) be
,
Soluelonarío de Derí .. das
~aotqllt lobos . , pobemoS' ¡ijinete!
1. Dado r(x) • Xl - 5x2
a.
-
4x
+ 20, demostrar
que
rrn , 12
rtn, (1)3_ 5 (1)2_ 4 (1) +20.1
- 5 -4+20.
21 -9:.
f(l) .12 b. feS) _ O f(5) _ (5)3 - S (5)2- 4 (S) + 20 = 125 - 125 - 20 + 20. O feS) _
°
c. f (O) _ - 2f(3) Primero calculamos f(3)
bttp:/ /toboepl1.blog~pot.(Oln ~
(3)3 -5(3i - 4(3) + 20. 27 - 45 - 12 + 20 _ 47 - 57
f(3)
=
f(3)
= -
ID
Luego, calculamos feO)
feO) • (0)3 + 5 (0)2- 4 (O) + 20 = O + O - O + 20 • 20
f (O) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (O) en la función origin
feO) • - 2 f(3) ;
r
20.-2(-10)
j 20. + 20
.~::
.: ~
Selucíenarlo deDerlvadns
Soluciona río de Derlvndas
c. f(-1),
d. f(7) _ 5 f(-l) Primero calculamos t( -1)
f(-I).4
f(-I).(-1)1-5(-1)2-4(-I)+20.-1-5+4+20.-6+24
f(-l) _3
f(2).4 _2(2)2 + (2)4 .4 - 8 + 16.20 - 8
Luego, calculamos f(7)
f(7)
=
&
(7)3 - 5(7)2 - 4(7) + 20.343
f(2) .12
- 245 - 28 + 20
363'- 273.90
e. f(-2)
Sustituyendo, f(-I) y f(7) en la función original
f(-2).4 -2 (_2)2+ (_2)4.4
f(7).
f(-2) • 12
5. f(-I)
90 = 5(18)
90 _ 90
2.
-2 (_1)2+ (_1)4.4 - 2 + 1 .5 - 2
d. f(2)
f(-I).18
f(7)
;:" ',-
SI f(x) • 4' - 2x1 + x\ calcular:
n. feO) C(O) _ 4 - 2 (0)2 + (0)4.4 - O + O • 4 feO) _ 4 b. f(l)
S.
- 8 + 16.20-8.12
Si f(8) _ sen 29 + cos 9_Hallar:
n. f (O) feO) • sen 2 (O) + cos (O) • sen O + cos O. O + 1 _ 1 feO) _ 1 b. f(lI2 n) f(1/2 7t). sen~t:~ + cos
fi-). sen Tt +
COS
~Oo• O+ O.
f(l/2 Tt) _ O
f(l) _4 - 2(1)2 + (1)4.4 - 2 + 1.5 - 2 C. f(Tt)
f(J).3
'f(Tt) _ sen2(Tt) + cos Tt _ sen 3600 + cos 1800• O+ (-1).
Solucionarlo de Derlvadas
Solucíounrto de Derivadas
·~ .., :
...
f(n).
..~
';
f(x + h). (x + h)3+ 3(x + h)
-1
..
'~t;~~:;
4, Dado f(x) • x3 - 5x2 - 4x + 20, demostrar
,:~/,;~
f(l+ 1)=t3_2!2_
1··.·.· ~.
f(t+ 1).(t+
Ilt+
que: Luego: f{x+ h) - f (x)
12
1)3-5(t+
1)2-4(t+
1)+20
f(x + h) - f(x) =x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x)
,,'
f'(t + 1) = 1,3+ 312+ 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20
f(x + h) - f(x) _ ,*-l + 3x2h + 3xh2+ h3 + 3x + 3h _ ,,3 - 3x
f(t + 1) = t3+ 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 ' 4t - 4 + 20
Efectuando: f(x + h) - f(x) _ 3x2h + 3h + 3xh2 + h3
Haciendo operaciones:
S, Dado f(y) f(y + h).
&
y2 - 2y + 6 , demostrar
que:
i -2y + 6 + 2(y - I)h + h2
f(y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6 f(y+ h)&
i+ 2yh + h
2 -
7, Dado f(x) • .1.., demostrar x
que: f(x
Primero encontramos f(x + h) :
2y - 2h + 6
f'(y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2
f(x +'h)'= _1 _
x+h Luego: f(x + h) - f(x)
f(y+h)~i-2y+6+h(2y-I)+h2
=
_1_ -_1 x+h
x
r(y + 11)= y2 _ 2y + 6 + (2y -1)11 + 112 f(x + h) - f(x).
6, Dado f'(x) • , . · ., ·~ .. ,"
..
Xl
f(x + h) - f(x).
+ 3x,
demostrar
que
3(x2+ l)h + 3xh2+ h3
Primero encontramos f(x + h) ;'
4
ex + h) (x + h) x
X'-
f(x + h) - f(x) _ x - x - h (x + h)x
h x'+xh
5
+ 11)- f(x).
-
1 x'+xh
:1,;':\ " "
".o
.,
.~. ....
Solucionorio de Derivndns
'.
!'"
,
Sclucionario de Derívndas
.
8. Dado ~(z) _ 4' ,dcmostl'nr que:
~.
$(2+ 1). ~(2)= 3~(2)
.
+(y)
v
,
Primero encontramos
el>
+ $(z) = log ·1'. - z + z - f(1 + yz) - (y + z)~ 1+ y+Z+ yz(l+yz)
(z + 1)
+ (y+z)
+
Ahora calculamos eI>[!Y..±.ll), sustituyendo en : (x). log~. (1 + +x
cJ>(z+1)_42~1
yz»
II J
Luego: ~(z+l) - ~(z) _ 4,+1 _ 4' ~(z+ 1)~+(z) _ 4'.4,4" +(z + 1)-
~ ~(z + 1).$(z) _ 3$(z)
11.
9. si $(x). a" .demostrar que: $(y).eI>(z). +(y + 2) +(y).aY $(z) _ a' { $(y).$ (z)=aY.a'
+ (x)alog[l.
f(x + 2h) - f(x). 2cos (x + h).(sen h) Primero encontramos f'(x + 2h)
.aY+z·
Si: $(x) • a< ~ 10. Dado
sen (x + 2h) • sen x . cos 2h + cos x • sen 2h.
• (y).$ (2) •
x],demostrar
l+x
aY +z
_. (y
+ 2)
que: el> (y) + + (2). +CY..±..D
LI+yzJ
+
Primero calculamos (y) , sustituyendo en +(x): $(y) _ log(J....:...y)
ll+ Luegocalculamos
Dndo : f(x) = sen x , demostrar que
+ (70) • sustituyendo 6
yJ
en 4>(x) : 4>(z) • 10S( I - z] .. L 1 + z)
Por Trigonometría: {COS 2x • cos2 X - sen2 x. I - 2sen2 x. sen 2x • 2sen x . cos x, sen (x + y) = sen x.cos y + cos x .sen y. Sustituyendo en : sen (x + 2h)
sen x (cos2h - sen2h) + cos x (2 sen h. cos 11) sen x (1 - 2 sen+h) + cos x (2 sen h. cos h) 7
Soluciennr lc de DerivadAs
Soluclonnrio de Dertvadas .'
2
sen x (1 - 2 sen h) + 2 cos x .sen h .cos h
"
,..
Luego: f(x)
~;'7~: . ,:,r' .' .
" <
"
o
PROBLEMAS.- pÁaINAS 21 Y 22
sen x
f(x + 2h) o senx(1 - 2 sen2h) + 2cos x .sen h .cos h
=> f(x +2h) - f(x)osen x (1 -2 sen'h) +2cos x.senh.cosh-
DEMOSTRAR CADA UNA DE !.AS SIGUIENl'ES IGUAI..DAI>ES
2.
Haciendo operaciones, simplificando y ordenando:
JjJl1 x __
4x + S.2 2x +3
Dividiendo numerador y denominador por x y luego sustituyendo por IX
sen x - 2sen x .sen'h + 2cos x .sen h .cos h - sen x 2eos x.sen h.cos h - 2sen x.sen'h
4x xx.+ S l2¡ + 3
Factorando : 2sen h(eos x.cos h - sen x.sen h)
x
Perc.según formuln: COSx.cos
y - sen x.sen y = cos(x +y)
Sustituyendo en :
.
3.
.
2sen h (cos x.cos h - sen x.sen h)
2+l
x
l2 + 2t - 6
x
S . 00_4+0~402 2+ 3 [2 + 00
JJ (1) .
.,-.1. 3
Se sustituye t -tO en el numerador y denominador, ,-
lim 2 sen h (cos (x + h») • 2sen h .cos(x + h) _ 2cos (x + h). sen h.
x5 r ;
lim (4t2+3t+~ ..... 0
,
'H+ H+
[4 (0\2 + 3(0) + 2]_ [Q.±.O.±2] _ .l._-_1
HO
(O) + 2(0) - 6
lo + O - 6,
-6
3
=> f(x+2h) - ((x) _ 2eos (x+h}, sen h . \
Se sustituye h ~O tanto en el numerador como en el denominador. :
"
ex
',','., . :'> .
/'1"'
~.:.: .
"
o
lim 2 + 3x(0) + (0)1)oí.x2+ + h~ol 2x+5(O) -j l2x+0
m.[¿¡oC -lt-,x) - W J lhJ
l,
8
9
(2-lt-)
l2J
5.
6x3
2xJ + 4x - 7
- SX2
al<4 4
+ 3 _3
Iim
,__
~'l'
SOluc--iollArio de Derivadas
Solut.ionRrio dt Dcrivodns
+
..l2i ~ ,*4
~ + lf4
e
7
x4 •
a+ + dx + e +
&t
r
-;-?
lf4
Prrmerc dividimos, InnlO en el uomerador COnlO en el denominador por Xl
a+b+_!L
lim
1---=00=-2_-=00=-4-1 =
d .00 + ~+ 00
Luego sustituyendo
J -)
ce y teniendo presente que lodo número JUra CX) _ O
6- 5 + 3
. -;;;; ;-3 - ~)2+.i_-7
l§..j_3 [2
l2+0-0
lim
-ª- = O
t-+«>
co
r
a +O+O . +O+O
00
00)
,.
_ 00
002 ool
Dividiendo numerador y denominador
6.
lírn
(22 + 3k») - 4k2z _ 1 22 (2z - k)2
a*4 + .!1i + J;_ lim *4 *4 x4 x__ d* + ll!L + flf + ...&. lt4
lim 8zl + 36z2k + 54zk2 + '27kJ ~ 4k2z . Sustiruyendo k -+0 k .. O
2z (4z2
-
~. Sustituyendo
*e
*4
x'
x -+ 00 en la operación.
2zk + k2)
,
7. tim
,
al: 4 + bx 2 + e _ O
dxS+ ex) + ex
Dividiendo numerador y denomlnndor
!I
II,i,l,.
10
pn,..i x' . 11
para x".
x -+ eo en la op
.....• Selueteuarto de Derlvndns
Seluelonarío de Derivadas
3 + 2x + xl
Sustituyendo S-'R en la operación.
lf"h
..... -í
10. lim x2+x.6 .... , Xl - 4 lim
lim
Sustituyendo h~oo en la operación:
4
eX + 3)(x
- 2) _ ex + 3). Sustituyendo x~2: (x + 2) (x - 2) (x +2)
_ -;;;;
[.i_ - .llL - 2Xl 003
(2+3)=2.. (2 + 2) 4
Of::}
Jim
floX
,11.
T'
31X
2] _
-;-
_1_ -
:lA - 2x'
00
00
,11-1
+
.•.
+a
O +O + 2 [ O - O - 2xl
n
b.x· + b,x··¡ + ... + bu
11. lim
,..._
Dividimos para
J [3 + 2X+X
3+2X+X 2 0:)2 -;;
+ 8. +b
a.x n +ax.xn·1 + b.x" + b,x".x· +
i
. DIYldJt:ndo todo para. ~I mayor ~Jpontn(t x·
Sustituyendo ro en x. Sustituyendo y~oo en la operación:
¡
a. +...!!J + ... + 00
a. 00
b. +~ + ... +~
J
_
lim a. + O + ..... [be + O+
'14 . . li m a.x .. + a 1x•., + ... + 11.
1
l'
_
x~O en x
"
.r ~'. i.·. e, :.
¡.
;t' .
:
"
..,. ..
12
a.
x-+o boX • + bIX .·1 + ... + bn -bn
Sustituyendo
Dividiendo todo para h) "';,
'··.,
lJ
+ O _~ + O] b,
.....,
.
Solucionnrio de De
:;¡;
Solucionarlo de Derivada.
.n
.F.~: .
,
','
i :"
h
1.... 0
lim ( 80(O)" + 8, (O)"., + , .. 0 ha (O)" + bl (0)"·' +
".
i,.
JiTI -.Ji - J_
lim
, .!l'
" ",' ¡Ji
Jim [80 (O) + 81 (O) + • .. 0 b, (O) + bl (O) +
-
lim
O + 0+
+a
... 0
O+O+
+ bn
+8n
J
+b o
(JX}1l - E) (JXTI + E) h (.JX+1i
+ no + b, -
1).;
x +h- x h h·(.J.x + h
Desarrollando el Binomio de Newton,
lim
[lt +
n"o.lh
n
+ n(n_1}.,,"·'.h2+ n(n-l)(n-2),x"}.h} + ... + h'-
~... o
1x2
+-R>
(Jx + h )1 - (.Jxy h(Jx + h + .JX'5
8"
llm (x + h) 11"- x _ nx ",.1 ,.. o h
15.
2.JX
$;mplilic.ndo:
+-R>
I
·1x2x3
lim [nx"·I.h + n(o-l ),x··2.h2 + nill:.!.lín:l),x'·}.h) + ." + hn}
2
~o
6
Ux + O +
Dividiendo todo para h:
tim ~
-l·~
+ n(n- n.x"" dt' + n(n-1)(n-2l.x"}.·h} + ..... h al
~
~
*
.[X) - _L.
I
~;.o(.[X + .[X)
2.[X
lim [nJ!.~·1 + o(n-l).x".l.h + o(o-l)(o-2).x'·),b1 + ... ". h"I) b~
2
.
6
Sustituyendo h-+ O en la ~peración .
. lim •..0
(nx"'
l
17.
+ n(n-1).x"'( O) + n(n-1)(n-2).x··}(O )2 + ... + (O 2 6
lim [nx"" + O + O + ... + OJ • .... 0
OX"·1
ti)
Dado f(x). Xl ,demostrnr que
lim f(x+h) - f(x) - 2x
h Si [(x) •
X2
15 14
Scluelcnarlo de Derivadas
...
.
Seluelenerlo de Derivad...
ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + e - ax2 - bx - c
':'
f(x+h) • (x+hi
::::)lim ex + h)2 .....
::::)lim
2axh + ah2 + bh h
_ X2
h )(2
+ 2xh + h' _ X2 h
h ... O
::::)lim 2xh + h2 ....
h
_
h
Sustituyendo
* e2x + h) _ 2x + h 41-
h ~ O en la operación:
2ax + a(O) + b
lim 2x + h = 2x + O_ 2x 1>-+0
18. Dado f(x) _ ax1 + bx + e ,demostrar lim 1~... O
ax + h) - f{x)
_ 28X
que:
Dado f(x) _ _l_, demostrar que:
+b
x
h
f(x) _ ax~ + bx + C f(x + h) _ a (x + hi + b (x + h) + e
'. \
f(x + hJ.- a(x2 + 2xh + hl) + bx + bh e
x
+e
f(x + h) _ ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + e
Reemplazando en In función:
r 1 - 1]
t~ ~.
Jim f{x + h) - f (x) •...0 h Jim ax2 + 2axh + ah1 + bx + bh + e - (ax2 + bx + e) ....
x+h
r x _(x + h) x.1.x + h)
h
'16
h 1
i7
\-,
i.
Solucionarlo d. DerivadRs
I
lim b..,G
Soludon.Tio de D'eTivadRs
- l X
(x + h)
Sustituyendo h -+ Oen la operación final: lim .... 0
1 x (x + O) 3x2 + 3x ( O ) + ( 0)2
lim
x.x
20.
Si f (x) ~xJ', hallar
Iim fex + h) - f(x} • 3x1 h-+O
,
h
"
,
f(x + h) .'(x. + h)3 f(x + h) • xl + 3x2h + 3xh2 + ~J 19 18
Sotucíouarto de Derlvndns
Selucionarlo de Derivadas
PROBLRMAS. PÁSINA 82
t:.y - y • m1C+ m t:.x + b - (mx + b)
CALCULAR LA DruUV'ADA D'!':.CADA UNA DE LAS SIGlJIENTE:si FUNCIONES USANDO LA RESLA EiEN!':.RAL ,
"
1. y.2-3x Se sustituye en la función "x" por "X + ti,," Yse calcula el nuevo valor de la función y + t.y , y + Óy • 2 - 3 (x + óx) , Se resta el valor dado de la función nuevo valor y se obtiene óy,
-y- + t:.y - -y- • 2 - 3x - 3ti1C- (2 - 3x)
Y + t:.y • a (x + t:.x) 2 , !.
-:t- - 3lt - 36x - -:t- + ~
t:.y
=
óy
= -
2
::' y + t:.y - Y ~:", ...... l'
3tix
Se divide tiy para t.x
=
Ay. a (x2 + 2x •.,-¡¡,¡..2 +
Se calcula el límite de este cociente cuando tix El límite así hallado es la derivada buscada,
2
a (x + óx) - ax 2
2
+ a,6x2
- -wt-2
t:.x + (t:.x) ]- ax
Zax.ax
.2ax,tix + a,(6xi
o .Qy. 2ax + a (O).2ax dx
s , 2t -
m·-!) dx
e
5 + 65 = 2 ét + tit) - (1 + 61)2
2. y. mx + b
5 + 65 - s. (2(t + t:.t) - (1 + 61)2] - (2t - (2)
y + Óy • m (x + éx) + b
. 65 _ 21 + 2 t:.t - (t2 + 2t.tit + (tit)2 - 2t + t2 20
21
,
Solucionarlo de Der'lvadas
Solucionario de DerJvadns
~y _ 3x + 3. éx - Xl - 3x2. AX- 3x (Axi - (AX») - 3x + xl_ AS _ 2.81 - 2t.8t - (Ati .o.s _ A,~e
= Al
Ay _
( 2 - 21 - 61) .
* -or
,
~. . '8X
(2 - 21 - Al) _ 2 - 2t - Al
*+ 3. AX - *l - 3X2.AX- 3x (6.X)2- (áxi - *+ ..,._l -
3.AX - 3x2.AX - 3X.(8X)2- ft.x») Ax AX 8X 8X _ 3 - 3X2- 3x . AX - (6xl
ds _ 2 - 2t - 0_2 - 2t . dt
s. y _ ex)
_ 3 - 3x2 - 3,x (O) - (6X)2
y + 8y _ e (x + 8X») 'j + 6y
- -y- = e (x) + 3X2.AX + 3X.(.o.X)2+ (.o.X)3]_ex)
= -e¡t) +
Ay
3CX2.AX+ 3cx.(Axi
+ e (Ax») --e;e)
Ay _ 3CX2.tl.x+ 3cx .(Axi + C(6X)l Ay _ 3cx2.Ax + 3cx .Ax.Ax + C(AX)2.Ax
=r>, I
AU_ 4 (v + 6V)2 + 2 (v + 8V»)
,
M. - 3cx2.-ólt + 3cx.--A!t.Áx + C(6X)2.~ .o.x ~
-és1t-
'-6!t-
_ 3cx1 + 3cx .6x
+ c(6xi
...~O
!!x_ 3cx2 + 3cx(
O ) + e ( O )1 • 3cx2 + O
+ O .3cx2
dx
,+ AU - U = 4 (v + 6V)2 + 2 (v + 6vi - (4v2 + 2v) _~ [v' + 2v,Av + (Av)'] + 2[v' + 3v'.Av + 3v (Av)' + (6v)'J - 4v' . 2'; 6u _;W + 8v. 6v + 4 (6v¡J + W + 6.r, 6v + 6v.(Av)' + 2(ÁV)".w •
AU_ 8v. -tw + 4. 6v. -tw + 6v2• (!ry + 6v. t.v. ffl + 2. tN. AV. 8V " A v -tN --o-v-érr -&1 tN
..
6. y _ 3x - Xl.
8U. 8v + 4. 8v + 6v2 + 6v. 8v + 2. 6v, 6v
y + 6.y _ 3 (x + ~x) - (x + AX»)
...... 0
-y- + 6.y - -y- _ 3 (x + ex) - (x + AX)l - (3x - x) ) 22
w
23
Soluclonorio d.:Derlv.dR' "
SOlucionArio de Derivadas
••
6e-e. ~ _ 8v + 4(0) + 6v2 + 6v~0) + 2(0)(0)
..',.:
,.
2
2 (6 + A9) + 1
(6+1)
Av-+<)
.. ',,:
du • 8v -,
_ 2 (9 + 1) - 2[(9+ 69) + 11 [(9 + A9) + IJ (e+ 1)
+ O+ 6y + O+ O
dv
• ~ +~ - ~9 - 2. ó9 - ~ [(9 + 66) + 1](9 + 1)
du _8v + 6v2 . dv
8. y_x
•
4
~2~.~6~9----[(9 + ó9) + 1](e + 1)
y + 6y ._(x + 6xt - 2.t.e-
t(9 + 69) + !J(9 + I}(be)
-y- + 6y - -y- _ (x + 6X)4 - X· Ay _ "*~+ 4x). éx + 6x2.(6X):í + 4x.(t:.x)3+ (t:.x)4 _ ,,*4
-2
(9 + 69) + 1)(9 + 1)
t.y _ 4x). 6x -1- 6x2.(6xi + 4x.(6xi + (6X)4 6e • -2 .:;:;; [(9 + O) + 1)(9 + 1)
, ID. _ 4xJ + 6x2• 6x + 4x (/),X)' + (/),X») t.x ~.
4x) + 6x2(0) + 4x(Oi
.2.g__
-2
. d9
(9 + 1) (9 + 1)
-2 (9+ 1i
(O»)_ 4x)'" O + O + O~ 4x)
.. -04
"
y
9. e - ____L. .,
+ 6y
9+1 6y. (e + 69) + 1
- y.
3
3
(x + 6X)2 + 2
xl + 2
3 ex2 + 2) - 3 [ex + 6x)2 + 21 [(x + 6X)2 + 2] (x2 + 2) 2S
SOlucionado de Derivndu Soluclonario
d. Dn!vndas
6.y _ 3152+ 6 - 3 [152+ 215_6.15+ (6.xi + 2] [(x + 615)2 + 2) (152+ 2) 6.y _ 3lt2 + ~ - 3lt2 - 615.615 - 3(6.15)2 - ~ [(x + 6.15)2+ 2) (152+ 2) 6y _
- 615.611 - 3(6.15)2 [(x+6xf + 2) (x2 + 2)
6.y _
6.x (- 615 -3. 615) [(x + 6.x)2 + 2) (x2 + 2)
táY. -
AX (- 6x -3. 615) • [(x + Llx)2 + 2) (152"+2) 615
6x
Sacando fnctol' común 6x
-éñt- (- 615 -3. 615) 615 [(x + 6.15)2+ 2)(152 + 2) I!!rlt ~ _
• ( (1 + 6.t + 4) - (1 + 4)(1 +
6.1) -
(1 + 6t) t = t2
+ t.6t + 41 - (12+ 4t + t.6.t + 4.6.0. (t + 6t) t
.Á<_ + 2 + +.--6t- +..,..- + 2 - -4t- - +.-6t- - 4.6.t (t + 6t) t
__ 4.6t
Mulllpllcnmos
Y dividimos para LIt
(1 + 61) I • _.::..- ~4C._,6""t,..L)_ (1 + 6.1) t (-6t-) -4
(t + 0)1 _ -4
h.,_0
u-
-615- 3.4x [(x + Llx)l + 2) (152+ 2)
-6)(.- 3 (O~
•
...... 0
[(x + 0)2 + 2) (x + 2)
~_
- 615- O + 2) (152 + 2)
dx
(Xl
-2-
t
t. t
- 615 (Xl + 2)1
y_
+ 6.y _
1 1- 2x 1
1 - 2(15 + 615) 11. s_t+4 t
1 ~ 2(15 + 615)
s + es = ..ú....±_61)+ 4
1 - 215
215) - [1 -2(15 + Ax)] (1 - 2 (x+ll.x»)(1 - 2x)
1+6.1
_ (1 -
s + 6.s - s _ t + 6.1 4 _. I + 4 t + ~I
t 27
26
Solucionado de Derivndas Sólllclollnrio de Derivndas
.~..
t.y _ 1 - 2x - (1 - 2x - 2t.x) . [1 - 2(x+6x)](1 - 2x)
.....~.'..
t.y_
,
('
.~·~i·. ;
/~
.;
'; .'
-
.1-;.:' '." -t ,
0:..
-,
6Q _-e-~+ ~
+.~ -++~+ 2t.x (1 • 2(x+6x)] (1 ·2x)
~~:
': ;!. \'..
6Q _( 6 + 2) ( 6 + 66) • e((9 + 69) + 21 (e + L\6) + 2](e + 2)
t.y w
"
L\Q=
26x [1 ·2 (x + t.x)](1 - 2x) 2Alt
t.x ~
ambos nlitn,bros pere 60 y simpllfiundo:
t.Q • 26e be [(e + 6e) + 2)(e + 2) .be
[1 - 2(x + óx»)(1 • 2x) 2
6x
[1 - 2(x + t.x)](1 ·2x)
t.12 _ 2.-t'r&6e [(e + t.e) + 2) (e + 2).-t'r&-
ta-
2 [1·2 (x + 0»)(1· 2x)
6Q _ .8~O
il.y_ 2 dx (1 - 2x)(1 ·2x)
t.Q _ 6&-+0
ID: dx
13. Q.
"
ó'l
~_
"..HO
2 [(e + O) + 2] (e + 2) 2 (e + 2) (6 + 2)
2
(1 - 2X)1
e
s =At
e+2 Q
+'*-~
26e [(e + t.e) + 2J (e + 2)
Dhridtendo
A:i-
+ .g'F6!t + 269· -e-; (e + 6e) + 2J (e '+ 2)
+ t. Q =
+B
Ct+D
e + 6e
s + t.s. A(t + M) + B C(t + 6t) + o
(e +6e) + 2 ."
Q + t.Q - Q ~ '"
','
(l
6 + t.e
6+2
(6 + t.6) + 2
5+ 65 • S _ A(t + 61) + B (C(t+t.t)+DJ
_ At + B Ct+D
5.... 19 .,.:. " •••.. 1. "~
;, ,.' ',',:..
18
Soluciona río de Derivadas
..f ~. .. if
~l,f ,.. .
:';:)
Soluciona río de Dtriv.das
As _ [A(t + Al) + Bl (CI + D) - [C(! + 6.t) + Dl (Al + Bl
[C(I + t.1) + D]
~~ ..
15.
y_
X3
X
(CI + D)
,
+1
~~"
,'"
~,
b.s _ (A.! + A.M + Bl(C.! + D) - (C.l + C.lIt + D)(A.I + B)
[C(I + ét) + D) lis _ ~2
(CI + D)
+ -A{}t + .,oI,(;.t~ + ADt.1 + -B8.1-+ -BB(C(I + Al) + D)
(CI + D)
y + lIy • (x + óxi + 1 (x + óx)
y + óy - y. (x + Ax») + 1 - xl + 1 (x + Ax) x (x + Óx)3 .;. 1] X - (Xl + 1) (X + 6x) (x + Ax) l(
6y.
_ ,"
[email protected] - =&G.IJ!¡t>o- BCt.! - -AElt (CCI+ Al) + D1 (CI + D)
os = As _
•
= *4 .;.
"'*~6lt+ 3x2(Axi
e.e)
6+ (A.O - S.el
Ay _ 2x3 .óx + 3)(2(óxi
.
D)
Al
[C(I + Al) + 01 (CI +
~ •
(6.0 - B.C) (6+) (e(1 + Ól) + 01 (el + O)
t.1
óy = (Ixl + 3x~6x + 3x(6x)2 + (óx»)) + l)(xl - x· - xl(Ax) - x - Ó
óy
(q(1 + Al) + O] (CI + O) ~
.
(x + óx) x
A.O. 01 - B.C. Ot (eCI+ Al) + 01 (CI + O) 61 (A.D -
=&lit
óy.
+ (Axi(x) + ~ - 'Jt4 - ltl(ffl(x + éx) x
+ (óxi()()
- 3x2{óxi (x + óx) x
*
-A
+ (ÓX)3(X)- ÓX
6x 12x) + 3x2 6x + (óx)2(X) - 3x2(óx) + (AX)2{X)- 1] (x + óx) x
Dividiendo" ambos miembros para 6~. tenemos :
k. ",...o
(6.0 - B.C) (CCI+ O)+ 01 (el + O)
~ _ Óx (2)() + 3)(2 Óx + (óxi(x) 6x
ds _ (A.O - B.C) dt (CI + D)(CI + O)
!ll = ~ óx
ds _ (A.D - B.C) dt (et + 0)2
- 3x2(óx) + (óxi(x)
12x) :.. 3x2 .6x + (ÓX)2.X- 3x2.Ax + (Óxl2.x - 1] (x + óx) (x) ~
(x+O)x 31
30
lJ
(x + Ax) (x) (Ax)
. ~ _ (2)(3 + 3x_2(0)+ (0)2(X) - 3x2'(0) .;. (Oi(x) - \ J 0....0
-
Solucionnrio de Derivadas
Soluclouarlo de Derivndas
sa _2x) + O + O - O + O - I t,,, ..
.o
!:D'. -
X.X
."
.,
C2x+ Ax) + a2](x2 + a2)
t::.X [(X +
o.x/
!:D'. •
- e2x + óx)
ÓX
dy.2x dx
-~
•~
+ ÓX)2 + a2] (Xl + a2)
[(X
- 1
ID.
X2
C2x+ O) [(X + 0)1 + a2] (x2 + a2)
=
-
11<->0
Qy •. -2x dx (x2 + a2) (x2 + a2) y + t::.y =
l' (x + t::.xi+
y + tiy _ y = __
Qx _
- 2x dx (x2 + a2)2
a2 1
.!..__
17.
y=
X X2
o.y. . óy
=
óy.
óy
Ay.
1 (x2 + a2) - 1 ((l(.+ o.X)2 + ·a2] [(x + Axl + a2) (x2 + a2)
y+óy.
X2+ a2 _[x2 + 2x.óx + (óxi + a2) [(X+óx)2 + a2) (x2 + a2)
y+Ay-y.
+ -a-~_ ~i _2x. óx _(ÓX)2- -ft-~ (x + ÓX)2+ a2)(x2 + a2)
_i
=
2x . t::.x - (ÓX)2 [(x t óxi + a2] (x2 + a2) -
Faerorfzando (-lIx) :
C- óx)C2x + óx) [(x + ÓX)2 + al] (x2 + a2)
Dividiendo a ambos miembros' para Sx, teriemos:
¡' .
:' . \
<,:',
:1 ~:
32
+1 x+óx
(x + o.x/ + 1 x+t::.x [(x + ÓX)2+ 1)
x (x2 +
1)
o.y _ (x + t.x)(x2 + 1) - x (ex + ÓX)2+ 11. (x + ÓX)2+ IJ (x2 + 1) óy _ xl + X + !'J.x. X2+ óx - X (x2 + 2x . o.x + (t.X)2 + 1] (x + AX)2+ I] (x2 + 1) . !'J.y_ ~J + ~ + 6x. X2+!'J.x - ~J - 2.6)(. )(2 - X [(x + óxi + 1] (x2 + 1) _ - óx . X2- X . (t::.xi + t::.x (x+óxi+ I)(x2+ 1) 33
•
(o.xi - ~ .
Soludooario de Derh·.das Solucionario de Derivada. óy _ ~~+8x.Ax + 4(4x)' -:t}.
Ay _ • 6,x (X2 + X • 6,x. 1) . [(x + AX)2 + 1)(x2 + 1)
t:!::l. _
•
+ X • Ax . 1)[(x + ÓX)2 + 1](x2 + 1). ~
éx
t:!::l. _
'"!!nt- (x2
e
A,"'O
Qy _. dx
Ay _
+ 1)(x2 + 1)
Dividiendo, para óx , tenemos:
+ x(O)· 11 [(x + 0)2 + 1) (x2 + 1) [X2
•
t:!::l. =
.ll
(X2
+ 1) (x + 1)
"" ... 0
1
y"~. 4-x
Ay. \
Sx + 4 . ÓX
tf:i. _
[4· (x + óx)2)(4. X2)
t:!::l. _
y+6Y-Yz
(8x + 4.6x)
~
6y [4· (x + 6X)2] (4· Xl).-frlt-
.(x2
y + o.y _
h"·-ba+
ÓX (8x + 4. óx) [4. (x + 6X)2](4 • X2)
"" ... 0
18.
*~,fIt¡H¡".~-4tt¡ +'t
8x.ÓX+ 4. (6xi [4 • (x + óx)2](4 • X2)
óy _
(x2 + x. 6x • 1)
[(X + 8Xj
Ax
t:!::l.
.
h'.bJt·
[4. (x + [>.)'](4. x·)
º)
8x + 4( (4 - (x' + O)l) (4 • xl)
Qy _ 8x + O -dx [4_X2](4.X2)
+ o.X)2 4. (x + 6X)2 (x
8x
(X+ÓX)2
xl
[4. (x + 6,x)2]
(4· X2)
(x + ÓX)2 (4 • X2). (4 . (x + óxiJ xl [4. (x + o.X)2) (4· x2)
(4 • Y _ 3xl
i -
)2 4x - 5
+ t:.y _ 3 (x + ÓX)l ·4 (x + t:.x) . S + óy. y _3 (x:t 8X)2 . 4 (x + óX)· 5· (3x2 • 41. .S) _ 3 [x2 + 2x . 6x + (6x)l) • 4 (x + éx) • S - (3x2 . _.~lt2
+ 6x . 6x + 3.(6x)2 . -4it-. 4 . tJ.x • -5-. ~2 + 35
34
Soluclonarl« de Dertvadas
Solucionnrio de Derivadas
.,
ÁS _
Ily
4
6x .Ilx + 3 (óxl- 4. (áx)
Ily - (ex) [6x + 3 (Ilx) - 4]
FactorComo.6.
Dividiendo por. Ax :
+b
.
óx
21. ~
+ O+b
LIs _ 2at + O + b ~,....o ds , 2at dt
!;¡,y_. (llx)[6x + 3 (Ilx) - 41.
"''''0
2at + a( O) + b , 2al
"' ....0
2V' - 3v
2
+ 3(Áx) - 41.
- ~[6x
4_..... 0
U _
u + Ilu. 2(v + L1v)3_ 3(v + Ilv)l
~
tiJ_ • 6x + 3(0) -,4
-Ir
+ Au - -Ir. 2(v + óvi - 3(v + av)2 - (2v3_ 3v2)
A,,-+tl
.fu:. 6x - 4 .2(3x
óu _ 2[v' + 3v'. Óv.¡. 3v.{óv)'.¡. (6v'»)- 3(v'.¡. 2v. 6v + (6v)')-
- 2)
dx
20.
+ 6v'. 6v + 6'1(6v)' + 2 (óv¡l-~'
ÓU:~'
S_
at 2 + bt + e
s + Ils .'a (1 + IlI)2 + b (1 + Ilt) + e
FntCorllando y dlvldit,ndo para Av:
-so + Ils - -so • a (1 + Ati + b (1 + IlI) + e - (a12 + bt + e)
Óu. ~
[6v2 + 6v. óv + 2. (6v)2 - 6v - 3. óv) "1!rtc
Áv
és ": u (t2 + 21, At + (AI).~]+ bt + b • At 6.s •
-ilt'
- 6'1.Av - 3{óv)'- ~
+ 2a!. 6.1 + a :( ó!i +
*+ b •
6.t
+e -
at2 - bt - e
+ -e- _ -al2 - -b+- _-&_ 6'" + 6v(0) + 2(0)' - 6v - 3(0)
tos _ 2at.t.t Dividiendo
+ a.( IlI)2 + b.ét
para ót, f:U::toI'J2Ando y rhnpliOcando
As. Al (2al + a . Al + b) tol Al - .': ', .~ ,"
1.15 _ ~ Ilt
!
_ 6"z + O + O - 6v - O_ 6'"
- 6"
y _ ax3 + bx2 + ex + d y + 6y _ a(x
(2al + a . at + b) ~
+ 6x)' + b(x + 6X)2 + c(x + óx) + d .
'+ lJ.y - Y _ (a (x + IJ.x)' + b (x.
1J.x)' + c(x + 1J.x) + d)- (ax' +
t! .
.... ~ .,'
.. "'~
36
37
Solucion.río de Derivadas' Soluclón.rlo
de Derlvnd.s
-y- + Ay. rr .a[xl + 3xl~ + 3x(AXi + (óx»)) + b[x2 + 2x. óX + + ex + C. Ax + d - (nx) + bx2 + ex + d) Ay. -ffltl + 38X2.AX+ 3ax .(AXl) + a.(Ax)1 + -bltl + 2bx.Ax +
6e _ (b2) (60) - (2a) (b) + (2b2) (9)
oe:>iI
+ __ + c. Ax + ..fr _ 8'Jt1 - 1m2 - -ffi! - -tI-
Eg__ 0-
2ab + 2b1e _ 2b1e - 2ab
de ..!!i- 2b(be
Fnctoriznndo y dividiendo p~r. Ax :
éY _~(3axl+
3ax.ax + a.(ax») + 2bx + b.ax
6x
~
.
.
éY _ '3ax1 + 3ftx (O) +
ro: ~3ax
1
+ e)
a.(Oi + 2bx -1- b.(O).Ax + e
+ O + O + 2b:\: + O + e _ 38X2 + 2bx + e
dx
Q Q
de
. 24. Y = (2 - x) (1 - 2x) y + 6y _ (2 - (x + óx»)( I - 2 (x + óx)]
y + óy _ y _ (2 _ (x + 6x)](1 - 2(x + óx»)- (2 - x)(l - 2 Lly _ (2 _x - 6x)(1 - 2x - 2.Óx) - (2 - x)(l - '2x)
e _ (a - bO)l
23.
- a)
+ 6e
=
óy
(a - b (e + 69 )]2
=
(2 + (-x) + (-Llx)](1 + (-2x) + (-2.6x)] - (2 - 4x -
lly = ~ • 4x - 4.11x - lt + ~2 ~
+ 6e - Q _ (a - b C9+ lle »)1 - (a - bol
2.(ÓX)1 _ -t-.+ ~ _~2
toe _ (a - bO - b.69)1 - (a - bO)l .6y.
- 511x + 4x.tox + 2. (llX)l
t:.Q _ (a + (-be) + (- b.1l9)f - (a - bei .Vleloranllo y dividiendo por. 6>: lIe _.'. f-bO)'. (. b.A6)'.1 a.(-bO)+2•.(· b.bO)+2.(·bQ).(·b. AO)'· óQ
-
7'''''+ -Eb{l¡' +(b.A9)'- ~(ber -2.(b.AO)+2(b9)(b.AI'l)-.' + ~,t.&-
Ae_ (b.Ll9)2 -2a ( b.ó.~) + 2(bO) (b.ó9) Ae = bl(6e)l_
ss. _~. 69
2a(h
:tJ.e) + 2(b9)(b
.69).
llx (-5 + 4x + 2 6x) llx _ ~(-5+4x+26x)
f""",,".,dl,ldl ••d.~
~
_ - 5 + 4x + 2(0) (bl.(6f)
-.2a.b + 2b1.9}
~
39 38
.~
- b:lt +
~
. ~.
Soluclcnarto de Derivados
Solucíouarlo de Derivndns
,.
f!.y _ - 5 + 4x _ 4x - S
Ós. [a + bt + b6.tp - [al + 3a2bt + 3a(bt)2 + (bt)l]
dx bs _~)
25. Y = (Ax + B) (ex + D) y + 6.y • [A(x
..
+ 6.x) + B)
[C(x
..
*'+ (MI)'+ ..... ~
+ 3 (bl)(Mlf
+ lIx) + D)
...6a(bl)(bbl)
.. 3a'(b61)'" ..;~~' _-trJ - ....
...3(bt)'(b/;,t) + 3a(bbl)'
'EI>tl- - ..;e(-b~2 _-fbtrl
és _ (b61)'+ 3a'(MI) + 3(bt)'(bbl) + 3a(bbl)''''
3 (bl)(bbl)' + 6a{bl}(b61)
'
y + 6y - Y • [A (x + 6x) + B) [e (x + Llx) + D] - (Ax + B) (Cx + -y- - -y- + 6y _ {Ax+ A.6x + B) (ex + C.t.x + D).
(Ax + B) (ex
+ D)
Faetornndo , dtvtdíendo y slmpliflcando pnrn dt '.
6.s • -Bt- {(bÓt)2 + 382b + 3blt2 + 38b2t.t + 3blt.ót + 6ab2t} t.t
--Bt-
t.y. -MOlt-l + ACx .ex + -A:I},... + Aex.t.x + AC(6X)' + AD(t.x,) + B¬ ll<-
Ós _ [b(0)2 + Ja2b + Jblt2 + 3ab2.CO) + 3blt.(0) BC.t.x + -BB- - -Aelt-' - ~-
6y
=
-
-BQ¡- - -!l-l)..
2ACx.6.x + AC(ÓX)2 + AD. (ex) + BC .óx
ds dt
e
O + Ja2b + 3blt2 + O + O + 6abZt
Factornndo y dividiendo paro Ax {áy _
"Ó'l(=
(2ACX
Óx
+ AC.t.x + AD + BC)
ds _ 3a2b + 3blt2 + 6ab2t dt
. ~
{áy= 2ACX
3a2b
+ 6ab2t + 3blt2
+ AC.t.x + AD + BC =
ds dt
+ [AC (O») + AD + BC
ds _ 3b(a1 + 2abe + b2t2) dt .
=
6x-.0
tJy_
=
2ACX
<1>.. 0
{áy • 2ACX
+ 0+
AD + BC •
<1>40
f!.y = 2ACX + AD +'BC .
y.
dx
26.
+ (bt)J2}.
ds , {3b[a dt X
a + bx' S
=
(a + bt)3
y + t.y
=
x + 6.x a + b(x + ÓX)2
s + t.s ~ [a + b (e + ót)p s
+ t.s
- s _ [a + b(t + t.t)p - (a + bti 40
y + óy - y •
x a
x
+ Óx
+ b(x + ÓX)2 41
+ 6ab2t]
:;:"
Soluclonorlo de Derlvndos
r- -:'"
(t" ;"; }~t ,0' • ,-'
y + óy - Y _ a + b (x + óxi - (a + bx2] (x + óxi ¡;_2
óy _ (x + óx) (a + bx2) - x la + b (x + bx)2} . (a + b(x + .:l.X)l] [a + bx1)
.
óy. fa + b ex + 4X)2}
.la + b[x~ +2x.6x
6y
+ CAxil}(x2) - Ix' + 2x.Ax + CAxil Ca+bx (x + 6xi Xl
óy • {a + bx2 + 2bx. ÓX+ b.(ÓX)2} (x') - {ax2 + bx' + 2ax .Ax (x + !:>xi X2
Foetorondo
.:l.y. a.t.x - bx1,t.x - bX,CC>X)l [a + b (x + óxil [a + bx2]
Ydivlditndo llAra Ax:
,Ay _ fIlt' + ~. + ~1.-6l< + .Jer,i~¡(x + D.x)' X2
t;,y_ ~ -M- (a - bx1 - bx.óx) éx [a + b (x + ÓX)2) [a + bx2)-hltt;,y_.
",~O
a - bx2 - bx.óx [a + b (x + Áx)l][a + bx2]
t;,y_ _ ", ... 0
,
{a <1-
a - bx2 - bx C O ) b [x + ( O )]2}[a + bx2]
+ 2bx) ,Ax + a CAxi + bx2,(Axi} (x + Axi x' 1I'lt~-bl<4_2ax.!:>x-
::íHm).~ - a (AX)2 - 4!nti,ff&l \'.
(x + óxi
Xl
Ay _ - 2ax.Ax - a(Axi (x +
D.xi
X2
FActor.ndo •dividiendo Ysimplificnndo paro 6X :
éY... "'~O
a - bx2 - O (a + bx2][a + bx1)
~ .I:>x {-2ax - a (!:>x)} • (x + óxi. x2, (6X)
.Q:y • dx
28.
n _ bx1
[a + bx'J2
y_
t;,y_.
-f*!tt {-2ax - a (6xll (x + 6X)2. X2. ~
a + bx2 X2
_ {-2ax - a (óx)} • " (x + D.X)2.X2
1
y + tiy • a + b (x + óx) (x + Áxi
43 42
Solucionarlo de Derivadas
k --2ax - a ( O )_
Sblúeiouario 'de Derivados
IJ.Yc
i
.,-.0 (x + O .x2 ;
,:;
.
~a
-
...-.0 ~".,. ,,",
,
",
2ax - O
2ax ,lJ.x + a(óx)2 [a + b (x + óx)2] (a + bx2)
Facterando, üividiendo y simplificando para 6x:
X2.X2
Qy. _ 2ax
'
"
dx
",:'
(lJ.x) {2ax + aCtox)} [a + b (x + ÓX)2] (a + bx2) (1J.x)
x" óy _
{2ax + aCóx)} [a+ b (x + ÓX)2J (a + bx2) ~
tu _ .. -sc
29.
ya
~_
X2
a+b (x + óxi
r
[a+b(x+lJ.xiJ
(a+bx2)
2ax + a(O)
.
Qy= . 2ax + O dx (a + bx2) (a + bx2)
y + óy _ Cx + ÓX)2
,
(28X + a,óx)
•,~o la+b(x+O)2J(a+bx2)
a + bx2
y + t.y - Y _
~
(x + IJ.X)2
[a + b (x + llX)2J óy _ Cx+ óx)2 (a + bx2) - {a + b (x + ÓX)2}( X2)
[a + b (x + óx/] (a + bx2)
'O"
,."
,
':'
. ,
. 44
4S
SoluciOllado Solucionnrio
de DerivadAs
Aplicando las Derivadas,hallar la pendlenle Y la inclinación de la a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se
1. Y
X2 -
#
y' • 3x2 - 6x.
Sustituyendo: x _ 1, en y
2, siendo x - 1,
Qy .2x = 2(1).2;
tg el. 2. m;
el. IITC
tg 2.63°26'5"
dx
y'=) (1)1_ 6(1)03(1)
DI.tga.-3;
2. y. 2x - _!"Xl , siendo x
=3
- 6.3 - 6.- 3
a.arctg(-3)=108°26'5"
6. Hallar el punto de 111C1ITVa y. sx - Xl en el que la ínclinn
2
de la tangente es de 45·.
fu:~ 2 __1 . (~) dx
de Derivadas
_ 2 - x = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1 .
y _ 5x - X2. Según dato del problema tg 4S' - l.
-í!-
m = Qy = _ l.
m • tg el = - 1.
el =
are
tg -
1
#
135·
dx
y' = 5 - 2x. => m. 1. m = y' • 5 - 2x. 1.
3. y. _4_ , siendo
x• 2
Solucionandola ecuación: 5 - 2x.o 1; 5· 1 .2x.
x -1 2 _ x ; x. 2.
Qy =.1:..&. !i{x-I). ~ .(1). U}. dx (x_I)2 dx (x_I)2 (x_I)2
Sustituyendo x • 2 Cilla ecuación original.
Sustituyendo x _ 2, en y
m.-4
; tga_-4;,
a .arctg(-4)
a .104°2'
• 10 - 4 • 6; y. 6; => P (2, 6) la curva y.
4. y.3 +3x-x3
+ X bailar los puntos en los que la ta paralela a la recta y .4x.
,siendox.-l
xl
\
y' _3 _3x2 .3 _3(_1)2 • 3 - 3(1) • 3 - 3 • O a • a re tg (O)• O°.
m.tgO.O.
47 46
Soluclonnrto deDertvades
Solucionarlo de Derivadas X2 •
2/2
;
x2 • 1 ; x , ± 1
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes: Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales.
y _ 1 _ X2
y _ X2
y' = - 2x
y'.2x Cuando: x _ 1
.
\
1
-
3Xl + l _ 4 . Solucionando: x _ ± 1.
ml_ - 2x
En la curva reemplazamos X_ ± l.
ml.-2(1)=-2
y= X3 + X.
Y _ x3 + X
YI =(1»)+(1)
Y2 = (-li + (-1)
1112 =
tg El = m, - m2 = l+ml.m2
YI _ l + 1
Y2=-1 -1 =-2
YI.2
Yl. -2
~ p¡ (1,2)
~ Pl (-1, -2)
En cada uno de los siguientes problemas hallar:
- ....:...i_ = :...±_= _.1_
- 2 -2 1 +(-2)(2)
1-4
-3
3
e _53
e = are tg _.1_
'.
2
0
8'
3
'.1
Cuando:
x =-1
2 - (-2)
_ 2 + 2.
=-2x =- 2(-1) =2
a) Los puntos de iutercepción del par de curvas dado. b)
L. pendiente y la inclinocl6nde ,. tangente a c.d. curvo, y el ángulo formado por las fangentes en cacfnpunto de Intercepetén.
e_
mi - m2
l+rn..m¡
=
l + (2) (-2)
I -4
e _126 52' 0
11"
Puntos de intercepción: Igualamos las 2 curvas. 1 - X2
_ Xl _
1 " 1 + I .x 2 + x2 = 2 x 2 = 2 48
49
4.
-4
-3
3
Solution~rio de DerivndRs Solucionarío de Derivndns
CUllndo: x ~- 1 ml. 1
y Pl(-l,O)
:FI(l,O)
- 2 - (1)
9.
y.
X l.
X -
Y + 2. O. (2)
.-2-1 1- 2
1 + (-2) (1)
(1)
• ..:.l._.3. -1
~rctg (3) .71°33' 54" . Igualamos las 2 curvas en funci6n de "y" para encontrar sus Intercepciones.
y. x 2.
(1)
y.:X+2
(2)
puntos de intercepción:
Cuando x = -1
? x--x-2.0
(x - 2) (x + 1) • O.
x ~ 2; x.-I
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:
y'. 1 • mi Cuando: x • 2
mi = 2x
m2·1
mi- 4
ntl.1
tg8. I
4 - 1 • _L. 3 • 0,6 mi - m2 : tg 8 • 1 +(4)(1) 1 +4 S 1+ ml.mz
8. are tg (0,6).30·57'49" 50
51
.,
.
Soludooario de Derivadas
,
SOlucionado de Derivada
'(
r
r
9. .!!_(3x4 - 2x2 + 8). 12xJ "00,·
-
g_.Jv=_l_.dv dx 2.Jv dx
4x
dx
;.
.!!_(3x4) - .!!_(2x2) + !L(8). 3..!!_(x4) - 2•.!!_(x2) + O dx dx dx dx dx
,. } . ~I
10. g_(4+ 3x - 2x) _ 3 - 6X2.
dx
t.
, I ;
hi
~in . ·1'
!L<4) + !L(3x) - !L(2x) _ O + 3.1l(x) • 2 Q.(x) dx dx dx dx dx
_ 3(1) - 2(3x2) _ 3 _ 6xl
• ,1
11. g_(uf, 5btl). 5at" - 15bt2
~
dt
i.
Q.(atl) - Q.(5br1)_ a.fL(rs) dI di di
r•
'1
5b.Q.(e) dI
'1
a.!L(IS) dt
-
Sb.Q.(t) ,'s(5t') dt
- 5b(3I'). Snt4
-
ISbtl
...._,,~.
413 _
3t
213)
-Jl 3
12. g_ ( :z2 - Z7) _ z ' z' dz 2 7 .Q__(Z2) _ !L dz 2
eL) • _1 d (Z2)
dz 7
2
- _1 d(z7) 7 S2
53
e
13 _
2t
-113
'.. Solueionnrio de DerivAdos
2.i_. t 4/3·1
•
3
+ ..1.. 1213•, _ Jlt 1/3·2 + 3
16. Q_(2xJ14 + 4X·'/4)
.1,X·,/4
_
dx
Solucionario de Derivadas
+ O + c.Q_(x) .
dx
t -1/3
• X·)/4
2
Q_(2xJ/4) + 4.(4X·'/4). dx
4Y._L+
dx··
dx
Q_(.{X)
dx
1
1
x.[x
'-m. (RJ
_ 2 4.(X3/4) + 4 Q_(X.'/4) dx
4.[X
dx
I
's, ..1,. X3l4.1 +'4..(:1).X·1I4.,
A'
"41
17. Q_(x2l3. 1\213)~1_x·IIJ dx
3
Q_(x2l3). Q_(a2l3)_ .l.x2ll•, _ O _~X·I/3 ~ ~ 3 3 18.
!L (JI + bx + cx~ dx
l
x
=
!L(Ji. + l»t + c.x .~ dx x'*"'*"
e
)
.
ds , -~ a + dt 2t.¡t
-Ji. Xl
J
. dx!L[.!l.xJ + Q_dx [b} + dxL Q_ (e.x) J 55. S4
b
2$
+
3e/ 2.
1,,'
•
.."
;
'!J
..'. :ot'..f,'~ ,;. t. .
Solucionnrlo de Derivadas
Soluciona.io d. De.lvad ..
.. _ ..'J
Qy. al12 .l!.(xl12) + al12 • .i!..( x dx dx dx
...1,1'
... ".
:;
(
,.~(1'~
.112)
:"1.
:'. '. i
"""~:'~~ "ti,
Qy. al12._1 • x dx 2
-,
ID::.
'l.
dx
\
ds dI
.f~
dt
..:..1.... x ·112·1 2
al12• x ·1/2 2
al12• X 2
·J12
+(...JLJ + !:ka
[2:(72] l2.tlllJ
ds• _
112·1 + aI12•
:¡
2.t...¡t
[2J
+ _b_ + 3c./I 2.,ft
21·
2
ID:. dx
y dividimos
I\1ulliplicRnlo5
dx
a112• al12 2xl12 al12
a
2.,fiiX
por n 1/1, n ("eln sumando:
a
2x.,¡ax
21.
a
dx 25.
a
Fa
2x.
5.ra
a 2x. ,fax
-r _ ,JI - 28 r _ (1 -
!l.L = - r.=l~ d9 ,JI - 29
29)112
l!.((1 - 29)II2J
de 56
57
,.'~
Solucionftrio de Doriv.das Solucionario de Derivadas
l.
::.
de
2
(-,m
• ..l.(4 - 9xr2/l
dI' e _1 (1 • 2e)Jn·I.Q_(1 ·2S)
.;5
de
• _3(4 • 9x) dr , (J .29)'112.(.
de
.1IJ
~)
~
3 (4 _ 9X)11J
dr = - (J - 29)'112
de dr _
de
1
../a x' 1_
-1 (1_29)112
dr_-
l'
,fI-28
dS
f '(1). -181(2 - 3r)1
23. f( t). (2 - 3¿)l
dx
2
f'( t). 3(2 - 3t2)3.1.Q_(2- 3r) dt
_(a'.
Xl)" 1I2
.(0 - 2x)
2
r'( t ) = 3(2- 3t2)2 .(0 - 6t)
f'C
• __L(a2 _ xlr 112·1 .Q_(a1 - x')
t ) = 3(2 - 3t2)\-6t)
f '( t). -18t (2'_ 3(1)1
f'(x)=
24. f (x) _ ~4 - 9x
f'(x).
f '(S) • -
f (S) _ (2 • SS)lJS
3 {2 _ 5e)2Is
(4 - 9X)If3•
r-oo , _1 (4 - 9X)If3.I.Q_(4 - 9x). 3 f'(x)
-3. (4 _9x)UJ
a
dx
_1 (4· 9x)'lIJ .(0 - 9) 3
.1.(2 5
- 59)],1.1 . Q_(2- 59) de
3 ](+(2 - sei,sJ
.[3(2-5e)~(O-5).(
.
s
J
S9 58
Soluctonnríe d. Derívadns
Solucionarlo d. Derivadas
"
~. , '...; '.
"
,
,
f'(9) _
y'. 3
[a +..lL)2 l..:.!!.l (2 -jI-) Xl
o
'
...~
03 (2 S9)lJS
27. y
_(a o;J
2
[a o..Q) dxx.)
Qy = 2(no..lLJZ'1 .Q. dx
x
Jb( - 2 (a QJ dx l x o
.[ !lea) dx
o
L
x
.!lWl dx x
J
dx
y.x
J
l
x]
(a +bx)112
y'-x ..!l(a + bX)'12 + dx
(a + bx)II2.!l(X) dx
y'. x. I .Ca + bX)II2.I.d (a + bx) + (a + bX)"2(1) 2
Qy = 2 (a· b~ [o (ob.x .1.1)] dx
y'" 2n + 3bx 2(a + bx)'12
y_x.Ja+bx
Qy=2 (á o..lLJ'[O o g_(b.x·'») dx
[-!t4J
dx
y'. xCa + bxrl12(b) + (a + bX)'12 2
y'.
bx + (a + bX)112 2(a + bx)'"
y'. bx + 2Ca + bx)"2{a + bX)11l 2(a + bX)'12
Y.bx + 2(3 + bx) 2(a + bX)11l
y'. 3
(8 +..lL)J., . º-(n +JtlJ . X2
dx
x
60
y'. bx + 2a + 2bx 2(a'+ bX/12 y'_ 2a + 3bx 2(a + bx)'12
61
Solucionarlo ¡I~p~rlvad.s
Soluclonnrio d. Derivados
s • ( Jo' + t>
30.
Qyc -a-*-a+-lt-
s'. a2 + 2t2 Jal+ p
(a +
dx
Qy = _ 2a dx (a + X)I
ds • t.g_(a2+ r)"2 + (a2 + r)ll2. dt dt dI dt
ds _ ( al +
~
rrl12.( al)
ds , t1 dt (a2 +
rl"2
(n' _x')' (al _ xl).sl(al + Xl)_(al + xI).g_(aI_Xl)
+ (al + r)112
9Y-
t2
9Y' 2alx - 2lt1+ 2alx + 2lt)
(i· Xl)l
dx
+ ( a2 + (2)212
r2 + a2 + r
( a2
dx
(a2_ xli
~ = Cal_ x2)C2x) • Cal+ X2)(_ 2x) dx (a2 _ Xl)l
+ (a2 + Il)ln
(7+t')I~ ds ,
dx
dx
ds = t2 + ~a2 + ~)1/2}2 (a + (2)112 ,
ds ,
4nIx
y' _
ds.t._J .( 02+ r)"2.1.g_(a' + t2) + (al + r)If.!{I) dt 2 dt
dt '
xl2
!.Ix.
4a'~
dx
(a1_ X')'
y' •
y_ Ja'+x' x
+ (2) 1/2
1
-8
x'Ja' + x'
ds , al + 2t1 '¡(al + ti)
31.
,
,
'
, y'. _ 2a
y.~ a+x
..,
(a
x.g_(a1+ X')11l _ (a' + x2),n.4_(x)
+ X)2
y'.
dx
dx x
~=
dx
~. dx
(a+x) .4_(a-x) - (a.x).4_(8+X) dx dx (a
x ..1.. (a' + X2)"1" .g_(8' + X2) _ (a' + x')Jn (r
+ X)2
Ca+x)(·I)·Ca-x)(I) (a + xi
y'__ 1.2
Q;dx~-----x
.
62
"
63
Sotuclonarlo de Derlvadas
x(a2 + x2rl12(2x) _ (a2 + X2)112 y'. . 2
Setuclonarto d. Derivada.
y'.
x
,
x(a2 + x\ln(~x)
y'. __
-"~~---,
(82
+ X2)112 -'-l _
X2
y'.
34. y.
_al x1.jn' + x' X
.jnl - x'
y.
x
(a2 _ xljTñ (a' - x~'I2 ..Q_(x) _ x.!L{(az _ x2)'/l}
1
y'-
dx
dx
{(a' _ X2)"Z} 2 (a' - X')"2(1) _ x._L(al
_ xZ)"2·' . .Q_(a2_ x')} 2 dx (a2_x')/l
y'. 1 (a' - ,(2)'12. x.(a2
y'y'.
;¡xn 2 ------~~,¡r_-x>~~V~2~---(a2 _ x') "2 +
y'.
y'.
x' (a2 -
(a2 _ x2) (al _X2)112.(82
y.
_ ,,')"112(_
)(5'"
_1Chl12 + X2
(aí_x2)112 (a2 _ X2)
1 64'
6S
Solucionario
y': (a2
de Derivndns
Soluctonarlc de Derivadas
X2)112(a2 _ X2)112 + X2 (a2 _ x2)(a2 : X2)"2
_
y'. (a2 _ x2) + X2 (a2 _ X2)3/2
y. 1- ex 1+ ex
y', -
e (1 + ex ) ..JI
-
C2Xl
r", 69 - 1092
(3 - 49)1/2 r _92.(3 - 49)112
(1 + ex)II2.4_[(1 - ex)I/2]_ (1 - ex)I/2.4..[(1 + ex) "2]
dx
\
dx
r'.8\g._(3 - 46)1/2 + (3 - 46)112.4..(62) d9
d8
(1 +cx)'·' ..L.(I-
2
r',82._1 .(3 - 49)"2.1.4..(3 - 48) + (3 - 49)112(28) 2 de r', 8' (3 - 49r'f2( ~
1'.
- -4-)
+ (3 - 48) 1/'(29)
- 28' + (29)(3 _49)"2 (3 - 48)'/2
dx
2 (1
(1
dx
+ ex)
+ ex)"2(l - ex)"'I2(_e) - (1 - ex)ll2(1 + cxyll2(e) 2 2 (1 + ex)
_ e(l + ex )112_ di _ex )112 2 (1 - ex)'12 2 (1 + ex )"2 ( I + ex )
r', - 292 + (29)(3.- 49)112.(3 _ 49)'12 (3 - 49) 1/2
r', - 292 + (29)(3 - 49j (3 - 46)'12 .
66
+cx),n·'.!l.(1+
67
SOlllolOIlArlo
Solucionarto de Derlvadns
de Derivadas
- c(\ + ClI.) - C( \ - ClI.) !!y. 2 (1 - ex)lI} (1 + ex )In
dx
(0'_ ,,')'" •..1..(a'.¡. x')'"·'.Jt(a'.¡. 2 dx
( 1 + ex)
x') _(a' + x')Il2•..1..(a'-x')'n.'.Jt(: 2 AA
1
(al _ x')'i2,.L.(al + xlr'I2(~x). (al + XI)III._, .(a'_xlrJII(_ ~x)
-2-
~ ~ -e-elt-e+ex: Q.y. 2 CI - ex)112(1 + ex )112 dx (I+cx)
!!y: dx
-~e
r (J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)
!!y. dx
-2(a - x )
-e
(J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)
!!y-~~~rP~~~== dx (1 +ex).J¡
-ex .JI +ex
Q.y-e dx (1 + ex ) ..J(I - ex)(1 + ex) .rly__ e dx (1 + ex ) JI
- c'x' y':
2n'x
(a' - x') J(a' - x')
2a'x
(al + X2)11l {a2_x2),,:! (a2 _ x')
·1 .~.
:"
• ;:,7
.
;
"¡ .'_
, 68
69
Solutlonario de Derivad .. .
!l:i. dx
.
SolucloJlario de Derivadas
2 a2x (a~ - Xl) . ../(a' + x'í (a'- x')
ds dt
=
ds
=
(2 - 3t) + (2 + 3~ (2 + 3t)2iJ(2 - 31) ) • (2 - 3til3
_dy. 2 a2x dx (a2 - xl) .../(a' - .')
s •. )fi±ii..
38.
4
V2'-3t
(2+ 3t)213(2- 3t)2/}
dt
s , (2 + 3t)11l (2.- 3t)l/3
=
(2 - 31)21)
1
(2 _ 3t)1Il.!l_(2 + 3t)11l _ (2 + 3t)IIl.!l_(2 - 31)1'3 ds '"
dt
dt
dt
[(2 - 3t)I/J)2 ds. (2 _ 31J,nJ..,(2 + 3t),n·'.!L(2 + 31) - (2 +31)Jn J..,(2 - 31)'Il-'.!L(2-
4 (2 + 3t)z1J(2 _ 3t)413
dt
~-------~----~~--~.---_¿------~--di
y'._L y
(2 _ 3t)II3 __1 .(2 + 3t)"213(+) - (2 + 3t)I/3._1 .(2 - 3t)"2I3(_
~.------~----------~----~~------dI
(2 -
dx 2
(2 _3t)'0 + (2 + 3t)tll ds _ (2 + 3t)!íl (2 - 31)lil di (2 - 3t)jJ¡
(2 _ 3t)'13(2 - 31)21)+ (2 + 3~'1)(2 + 3d" ds _ (2 + 3021)(2 - 31) j dt (2 - 3t)V)
ds
di
=
!!Y __ 1 . (2pX)'I2·'.!l_(2px)
(2 _3t)1/3+Vl + (2 + 3t'+w (2 + 31)213(2 - 31) (2 - 3t)213
Sustituyendo:
dx
y. ,J2px
•
(2pX)'I2, en la deriva
.:
11
10
Solucionarlo
de Derlvndos
SoluciOnArlo de Derivada.
y' _ ..;.. .(a2l) • XV)II2( _ ~ X2/).,) __ (a2l3 _ X2lJ)1/2(x1l3'1) ~ .'.
,
'.
40.. y = J!.. .
-la! - Xl
-r,.
.1/)
..;..
11
'. Elevando al cubo y sacando raJz cúbica tanto al numerador Y denominador.
Qy = ,Q.J_.(a2 _ xl)'I2.I.!L(a2 _ x2) dx a 2 dx Qy = dx
_ bx
1\
.Q.._l .(al - xlr'I2(a ~
. MultlpUCJlmOSy dividimos por:
(8
2
2 )'ñ
2 2 )'/2 . y • _ba ( a • x ,
1
a
y • _~...!L-.= b (a2 • X2)112
f '(X)_
+ ~
1 + (2x) 1/2
• (2X)1I2 + (3X)II)
dx
b2
.J_.(2X)1/2.1.!L(2x) + ._1 .(3X)IIl.I.!L(3x)
J
x.
112y'
". 2
y'.y'.l.(a1l3 2
sIi: Vx
• (2xyIl2(~) ~
dx
+
3
dx
(3xy%13(;)
..;..
_ x1l3i12·, :!L(alll - x1l3) • dx
.' '1.
'.
y'. ~ .(a2/) _ x21)1/2~.
~:
; X2l3'J
~':l;", :"
," .,.:<
.r '.
.'
Xl!)~ :V%
--w f(x) • .J2x
fu.. '(
(a213 _
b"
- b2 x.a.
- X
Según el problemB:
•
. (2/3 lIl)lI2 , SUSlltUtl1l0S ., en y' . Pero. y. a • x
- b.x.a.b. 0.8 ••b
3
x OO ••
(ai _X2)lh
Qy. dx
a
73
n
1 (3X)1I3
Soluciona río de Derivadas Soluclonario de Derivadas
y', bx(a _ bxy'/2 (a - bxy212 + 2(a - bxyl/2 y'. 2x1 - 8x .. 1 (1 + 2Xl)1
2 y'. (a _ bxy'/2 Ibx(a - bxy212 + 2}
2 . (J + 2x2).!1.(2 - x) _ (2 - x).Q_(1 + 2X2)
y'.
dx
dx
(1 + 2X2)
F-
y'. (1 T 2X2)( - 1) x)(4x) (1 + 2x )2 "!j'. _ (l
=
+ 2x'1) - 12 - x)(4x) (1 + 2X2)2
'1= _ 1 _2x2 -
8x + 4x2
bx + 2a - 2bx
y'. (a _ bx) 112(a - bX)212 •
2
(1 + 2X2)2
y'. 2x1 _ 8)( - 1
y'. 2a - bx
(1 +2l)2
y.
44.
. y=
2(a - bx»)/2
y'.
x
.Ja - bx
2a - bx 2(a - bx)3/2
s .,1a + bt t
(a _ bx)tn
I
y = x .(a - bx)"/2.
I.g_(a + bl)"2 _ (a + bt)1I2.4..(t)
'1= x.Q_(a
- bx)"'1l + (a - bx)"'Il.g_(x) dx dx
~=
l2 J
dx
.
dI I
t._l .( a + bt)'I2·' .4..(a + bt) _ (a + bl)I1 ds _
(a - bX)"I/2(a - bxr212 (- b) + (a - bX)'I/2
di
dI
y', X f-..LI (a - bxr'I2·'.g_(a - bx) + (a - bxr'/2(I)
L 2J
- (2a + bt) 2e(a + bt)1I1
s , (a + bt)1I2
X
y'_f:..lU
; s';
dt
2
dI 12 75
74
Solucionnrioode
SOludonnl'ÍO de Derivadas
Derivadas
t.( a + btr'12 . (bl _(a + bt),n ds _ 2 1
r_\Ff
e3a + 2be) 3e1 (a + be)W
r'
r _ (a + bell/)
dt
e
000
bt _ (a + bt)'12 ds _ -2-(-a_'+"'-b-t)~I/;:;-2 1 dI
t2
ds _
e.Q_(a + be)1/J _ (a + b9)'/J.Q_(e) dra de de de e2
bt - 2(a + btl,n(a + ~ 2(8 +' bt) I~
°d-I
t2.
~_
bt - 2(a + ~' 2(a+btl'
dt
9._1 .(a + be)'/Jol.Q_(a + be) _ (a + be)'/J.(l) dr=
de
3
de
al
a.(a + ber1lJ(bl _(a + be)'/) 3
~
bt - 2a - ~ ds _ 2(a + bt)í dt
be _ (a + be)'/J dr • 3(a + be)2JJ
t2
Simpun,nnilo:
.ae
- 2a - bt ds _ 2(& + bl)11l dt
ds di
'dr _ _
t2 =
-
28 - bt
e2 be - 3(a + bal"Jea + bel1lJ 3(a 2+ belllJ
e
be - 3(a + be) 3(a + bel2l)
2r (a + bl)1h
:
o
-i-.
:~:/: '
\
e2
ds _ - (2a + bt) 2t2 (a + bt)'/2
dt
76
77
Soíuetonarlc de Derivadu
y'. 2(2 X + 1)
y_x . .q' 2 + 3x dr ,
ea
- la - 2b6 362 (a + b6)l/3
y • x ( 2 + 3x ) In
. º-:t_ x,!L( 2 + 3x ) In + (2 + 3x)
.!!r.-- Da + 2b9)
dx
3el (a + b9)l/3
d9
(2 + 3x)1I3
'Qy
47. Ysx2.jS-2x
;
y'= lOx-5x2 (5 - 2X)112
dx
_(x,_1
L
dx
.(2 + 3X)'J3.1.Q_(2 + 3x~ + (2 + 3X)'f3(I) 3 dx ')
= f.{2
~
1I3,!L(X) dx
+ 3~r2/JH-) + (2 + 3X)'J
y _ X2(S _ 2X)'12
º-:t = x2,!L(S
- 2X)'12 + (S - 2X)'12,!L(X~ dx dx
dx
º-:t. dx
dx
1
+(2+3x)'13
Qy_~
(f2 + 3x )213
J
(x2,_1 ,(S - 2X)'12",Q_(S - 2x~ + (S - 2x)'12(2x)
l
2
.
Qy _ xl{5 _2xr'll(o
dx
J
dx
+> + (S· 2x),n( 2x)
Qx _ x + (2 + 3x) dx (2 + 3x)2/J
~
Qy _
•
Xl
+ (5 • 2x)'/2(2x)
Qx_ x+2+h, dx (2 + 3xi/J
dx (5· 2x),n
º-:t = dx
•
X2+ (S - 2X)'/2,{5 • 2x)lI2{ 2x) .(5 .2x)tn
º-:t • - x2 + 2x{S • 2x) dx
º-:t=
4x+2 (2 + 3x)2Il
.I!!-
2(2x+1) (2 + 3x)2/J
dx
dx
(5· 2x)'/2
s'.
º-:t = - X2+ dx .
10x - 4x2 (5 - 2X)ln
ds • º-[21 .J.] dt dI 7J
Qy _10)( - SXl dx
e (2f(f +_ 1)1
(S· 2x)1n
79
78
1)
1/2
,
Soluclonarío de Derivadas
ds __l [21-ilI120I,fL (21-1) dt 2 t2 dt
J
, " .....~ ..
~ -..L[2t dt
l 7)
-J..] ,111,fL{(2t t
2
2
fr + 1). t
-s,-.¿ (2t) _ I)Iil (13 +
t '2»)
n
dt
ds __l ,(21_r2)'II2,[2 dI
Solucionnrio de Derivadas
_(_2,t02-1»)
y _ ( X + 2 )2 "Xl + 2
2
y'. 3x3 + 6x2 + 8x + 8 (Xl + 2)1/2
~_ I (2 + 2t ,3) dt 2(2t _ t ' )112
~.
• ( x + 2 i,Q_( x, + 2 )"12+ (Xl + 2 )IIl,Q_( x + 2 )2 dx dx
2+ 2
?"
dI2(2t;t,)1
_'(x
+ 2)l,.l.,(X1+ 2)"l",~(xl + 2) + (,,2 + 2)Ll2,2(x + 2)2",!!..(X 2
~ (x
dx
+ 2)'(x1 + 2)""2(-2-x 1 + ~
,
r
I
80
81
dx
(x2 + 2)'I2,2(x
+ 2)(1)
Solucionario de Del'ivadns Solutlonario de Derivadas
y'_
51. Y_ JI + 2x
(1 + 2X)11l (1 + 3X)4/1
:¿jI +3>: y.
Qy. X dx (1 + 2X)I/1(1 + 3X)2/3(1 + 3x)l/)
x
!!Y.
x
dx (1+ 2X)11l (1+ 3X)40
(1 + 2x),n
(1 + 3x),1)
En cl'Ida uno de Jos siguientes eJereh:JOS, haUar el ".Ior dado de
(1'" 3x)'I).!!.(I.+ 2x),n • (1 + 2x),n.!!.(1 + 3x)'1)
lti..
dx.
( 1 + 3x )'6]2
dx
(1 +lx)'o~oJ...(1+2x),n·'.¡!(1 +2x).(1 +2.)':-.1(1 +3.)")0'.11.(1 ~. ~L~~~m-----_J.------~~ dx (1+3<
'.
y
dx
D
(
Xl -
xi;
Qy ~ 3 ( x2 • X dx
X-
3
»).l . Q_( x2 • X )
o
. 022 Qy = 3 (x . x)
dx (Zx - 1 ) ; Sustituyendo x ; 3
dx Qy = 3[(3)2.3)2 [2(3)·· 1 )]
dx 3x)'1Y• (1...,xl ,n Qy ~ (1 + 2x)ln (1 + 3x}2J) 'dx ( 1 + 3x )ID (1 +
o
O ...3xl'll(! ... 3xll!l· ~'l + 2xl,nO + 2xl ,n (1 ...2xlli (1 ... 3x):I<'J dx '0(1 + 3x)"¡
!Ix. o
=
3 (36)(5)
(1+3x) - (1+2x) Qy _ (1 + 2X)"2(1 + 3X)2/3 dx ( I + 3x )2f)
++~-+-4ltQy. dx
!!Y dx
(J + 2x) ,nO + 3X)2fl
( 1 -i- 3x )2i~ x D
(1 + 2x)th(l
+ 3x)íll
( I + 3x )m 1
83
81
Solucionado de Derivadas Solucional'lo de Del'ivndas
'.'.
!!Y
j__ • (X)11),1.dx + j__. (X) In,1.dx dx 3 dx 2 dx
~'\-:?
~-~:~ '< .
~
." .
ID:
;..:::-'
",
.
y _ {2X)lIl + (2x)213 ; X _ 4
a
a
(xr'J> (1) + (xyln (1)
dx
3
!!Y-
1
dx
2
+
3(x)íí3
_ Q_(2X)"l + Q_(2X)21J
dx
dx
__ 1 .(2X)IIl-I.Q_(2x) + .1.(2X)2IJ-1.9_(2x) 3 dx 3 dx
I 2(X)k
=
(2xyl/l(2)
3
Cuondo X _ 64,
fudx
+
I
3(64)215
I 2(64) lA
+ .1.( 2x )'1/3(2). 3 4 ,3(2x)/l
2 3(2x)'1l
+
2 3(2.4i'J
4 + 3(2.4)"5
I
fu: dx
!!Ydx
I
+
I
2(26)
3(26}l/3
~
I + I 2(2)6í2 3(2)12IJ
.!!ya l' dx ,3(2)4
+
I 2(2)3
2
+
3(2)t) _
fu· _L+_I_
_ _L + _4,_,_.
48
2
+
3(2)61)
•
3(2)1 4
!!Y • ..L+]_ dx 48
4
3(2)JI)
3(2)2
16
a
4 3 (2)IiJ
.!!y._L + _L 2(8) dx 3(16)
dx
\
4 3(8) In
2 + 3(8)1/!
3(2)
48
_4__ .!!y._L dx 48
6 +
.!!y. _..L
J_. 12
dx 12
85 84
/
/
Soluciona r lo de Derivadas
dx
• -_1 (25 _ x2 2
r
I12".!L(25
- '1.2)
dx'
rtY ._2_ dx
6
Y = .J9 + 4x'
55.
y • (9 + 4x1)'11
+ '"
. Cu.ndox.3
(25 _ X2 »){2
; x,2
Qy. _1 .( 9 + 4'1.2)JoI".!L(9 + 4X2) dx 2 dx Qy _ (9 + 4x\~ dx ~
(+'1.)
Qy _ 4x dx (9 + 4x2)9.
. 4(2) [9 + (4)(2)2] y;
gy •.
8 (9 + 16)í{
in
3
8'
f!y.
dx
(25)%
_Qy._L dx 56.
Cuando r ; 2
Qy. dx
dx
3 (25 - 9
•
S y-
y.
'1..3
r==#:=-=
.J25 - Xl
x
1 • ( 25 - '1.2)'"2 (25_'1.2)'12 87 86
Solucionarlo d. Derivadas Solucionarlo de Derivadas x.lL{16
2:i.
Qy.~ dx 18(5)
+ 31\ )"7 - (16 + 3x )'I2.lL(x)
dx
dx
dx
X2
x ,.l..(16 + 3x )1I1·'.!!.(16+ 3.) - (l6 + 3x )'12(1)
l!Y.
· ~.'-' .
dx
90
d
dx
:
.!lY - =..i1. '58.
x
y. x..[8-X'-
x.2
x (16 + 3xy'12 ( 3 ) - (16 + 3x )'11 !!Y. 2
y. x (8 - x2)*
dx
Q.y. x..4.(8 - x2)y, + (8 - X2»)\. si(x) dx dx dx
x 3x
_(16+3x)1I2
!!Y. 206 + 3X)'12 dx
4Y. x ._1.(8 - X2)
X2
dx
:r..I.
2
!L(8- X2) + (8 - x2»)\(I) dx
3x - 2 (16 + 3x)I\(l6 + 3x}1\
!!Y•
206 + ~x),a
dx
x
Q.y _ x(8 - X2)")\ (-2x) + (8 - X2»)\
dx
3x -2 (16+ ~)
Q.y _ _;?; x2 + (8 _ x2)y, -dx ~.(8 - X2)X
ID:. 206 + 3x}' dx
X2
Q.y __ x2 + (8 _ X2) y, (8 _ x2) y,
31\ - 32 - 6x llx. 206 + 3111'" dx
4Y =
2
(8 - X2) l'\
dx
2
dx
32 - 3x 2X2,~6 + 3x)"l-
!!Y•
- 32 - 3(3}
-
Sustituyendo: x.3
en: dy/dx.
+ (8 _ X2)
Qy _ _
X2
dx
(8 - x2)'1'
dx 2(3i[(I6 + 3(3»)%
9:i _ ..
- 32 - 9
dx
(2)(9)[16+9)")
!!Y.
-41 18(25) '"
, ¡ ':'.
"
". ; '.
dx
89 88
!ti=
Solucionnl"io ele Derlv3dns
,.
7 x· + 4 x 2(1 + Xh"i
dx
!ti. 8-2(4)
sunlluye"do: x _l en!
o
dx (8 _ 4)112
•
!
'. '!:.
!ti. dx
8-8 (4)1/2
!ti. 7(16) + 8
!ti.-ºdx
2
!ti.
112+8 2(3)
Qy= llQ dx 6
dx
Y _ Xl
.JI + x' ;
X_
2
!lY.20 dx
y.x2(I+X~~
!ti.X2,4..(1 + X3»)\ + (1 + x3) 1I2,g_(X2) dx
dx
dl<
!ti_x2,_1 , (1 + Xl)Y"I,Q.(1 + Xl) + (1 dx
2
¡!:t:_ x'(I
+ X\112 (3,,') + (1 + Xl)~ (2x)
dx
+ x))\ (2x)
dx
y • (4 _ Xl)
3
;
X_
Qy_ 3(4 - X2)30104..(4 - X2) dx dx 22 QY_ d 3(4 - X) (-2x)
dx
2
¡!:t:. 3 x' dx 2( 1 + )(l)¡il
!ti_3x'
+ 2x.(1 + x)~
+ c2x)(2) (1 + XJ)I/2(1 + X3)1/2 2(1 + xJ)'/2
dx
oc
!ti.
3x' + 4x (1 + ~3) 2(1 + Xl) 1í2
dx
2( 9 )1/2
dx
.I!Y. O 59.
dx
8(4 _9l
91 .
90
3
Soluclonnrio de Derivadas
Qy __ 18(.5)2 dx
Solucionarlo de Derivadas
•
8( 2 ~ (2 • 22)
Qy _ .18(25) dx
16 .(2.4i
rlY - _ 450
16 (.2)2
dx
_ _lQ__
4
4 (2 • x2).4..(X1 + 2) • (x2 + 2).4..(2 • X2) f!y _
dx
dx
dx
(2. X2/
Qy_ (2· x2-¡(2x)· (x2 + 2)( ·2x) dx (2 • X2)'1
rr i
f!y _ (2 - x2)(2x) + 2 + 2) (2x)
dx
(2·
X
=
/5 - 2"
x
2x + 1
-..1. 2
(
(5. 2x.)1n . 2x. + 1 (2x. + 1).4..(5 - 2X)"2 - (5 - 2x)lll. 4..(2x + 1)
dx
dx (2x + 1)
Qy _ 2x [ 2 - X2 + (x2 + 2 )] dx (2 • x,)i Qy e 2xj 2 • ~2 + *2 + 2 ) dx (2 -.x')' Qyc 2x(4) dx (2 - X2)
(2x + 1) ._1 • (5 - 2X)II2.' • d..( S - 2x) - (S - 2X)If2(2) (2x
+
(2x + 1)2
Qy. 8x dx (2. x2)2 Sustituyendo: x _2 en y'. 92
93
Solucionarlo d. Derivadas Solucionado de Derivndn,
_ (2x + 1) - 2C5 - 2Xxn.C5 - 2X)112 __ _:_._...LC5¿..:_26.JX~)~1 _ (2x + li J
4Y. dx
- 2x - 1 - 2(5 - 2x) (5 _2X)'12 dx (2x + 1)2
!h:.
x.3
y _ x ../(3 +21) X
(3 + 2x)In
• x.g..(3 + 2X)11l+ (3 + 2X)IIl.s!..(X) dx dx
• x._l .(3 + 2X)'I2·I.Q_(3 + 2x) + (3 + 2X)112(1) 2 dx
1
- x (3 + 2xyJI\·t-) + (3 + 2X)11l
-2x-I-10+4x .!h:. (5 - 2x )112 dx (2x + 1)2 1
~ -1-
X
(3 + 2x)ln
'(3+2x)lh
!h:dx
2x - 11
(5-2x)II?(2x+
li
; Cuando x , y, .
x + (3 + 2x)ln .(3 + 2X)112•
(3 + 2x )'i2 ->!- •...L.(.II)
fI_y·
±
dx
{5 - ~.l)y.{+....L. + 1)1 ->!+
!:Ix.
1-11 (5.1)"(1+1)-111
dx
fI_ydx
x
+ (3 + 2x)
(3 + 2x )11l 'x + 3 + 2x (3+2x)¡h
3 +3x
-10 (4)lS(2)1
Cuando. _3
(3 + zx )112
!]x - : !O dx' (2)~
,
4Y. - J.Q_ dx
8
if.Y - -..i. dx
4
95 94
Soludon.río de Derivad"s
Seluclcunrio de Derivadas
!!Y_:',
.
dx '
12 _4 3
64.
y-
MX±i
x_2
VSx--=-t
'Cuando x ..l
y.(4x+ n'll (5x _ 1)'17 -9
"2[4(2) + 1)"(5(2)-1 JM
(5x _1)'12.4. (4x + 1)'12_ (4x + 1)'I2.!l..(5x. 1)112
lIx.
dx
dx
-9 2(8 +1)"[10 - l)lIl
[(5x - 1)'121'
4(Sx - l)'ll. SC4x+ I~n 2(Sx-!)' (Sx - I ) .
-2
ID! _ 214x +1)'12 dx
4IS,,_'1)1Il(5x_
!Ixdx
2[3J[3}J
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96
97
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Scluciounrlo
65.
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Solucio1l3rio de Derivadns
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3
10x - + ,,' _5x Qy _ (x2_5)1í2(10 _X2)"2 dx (lO _X2) 1
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5x . Qy. (x2_5)1/} (10 _X2)112 dx (10 _x2)
(lO _ X2)112.Q_(X2'_ 5)1n. _ (x2 _ 5)J12.Q_(10 _ X2)112 Qy. dx dx dx f(lO - X2)1 ¡2
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15
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99
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Solucionarlo de Derivadas
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Soluciollarlo de Derivadas
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Qx= _L-2u. du .fiü Sustil1lyendo .,tos res"ltndos t. : Qy - Qy . du
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ID: • ~ dx
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u.M
(a + u).!l(a - u) _(a - u).!l(a + u) .Qy. du
du
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101 100
Solucionado de Derivad.s Solucionndo de DerivadAs
ro:. U . Q_(a2 .u2 du du
)112 +
ID:. u ._1 • (a2 _ u2 )112-1. Q_( al. ul) + (a2 - u2 )112( du
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ID: = u ( a2 _ i r11l( dx
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(a2. u2 )112. Q_(U) du
u ) + ( a2 • u2
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~
lSx _ lSy +
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ro: = - u2 + a2 • u2 dx (a2 _ U2)112
15(1).15.ro:+ dx
ro:. a2• 2 u2 dx (a2 _ u2)112
lS.ro: (1 + dx
u._ (1 . x2)y, Xl
)y,
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,
2
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i + y') _.1S
Qy e +.Sdx +.S- (1 + y2 + y.)
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15.i.!!x+ dx
15 .15!!y + 15y2.ro:+ ISy' ..Q_y dx dx dx
u _,¡¡:;!
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sl + 3ys
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du _ ( 1 • x? yY> ( • i;x ) dx -2-
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1 (1 + y' +.y')
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103
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15
SoludoÍlariO de Derivadr $ohl4:lonnl"lo de Derivados
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+y
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2 ~ln
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6y2JJ
2b1x. + 2aly2-'.!ti ~ O
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(3y"6
dx
+ 2)
7. yl ~ 2px 2y2.1.~.
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dx
dx
2y.Qy _ 2p (1) dx.
105
104
Solutioundo de' Del'ivadQs
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3 Q_(xln) + Q_(yln) • Q_(aln)
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dx
_1 . X,n.1
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2
2
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dx
dx
2 _ 3ax.Qy - 3ay dx
dx
+ 3i·gy dx 107
106
Soluc!ollRr¡o de Deriv.das Solucionnrlo'de Derivadas
3Q.y(y2 • ax) _ Jay .3x2 dx x + 2 . Xl/l . yln + y • a Qy. 3aX. 3x2 dx 3(y-· 8X)
dx + 2rxlll.Q._(ylll) + ylll. Q._(XIIl~+ Qy ',dx L dx dx j dx :y
Qy • -3- (8~- X2) dx -3- (y • ax)
Xl
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3x2 + 3(x2.Qy dx
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1 + 2 XIIl.Qy + 2 yI12+Qy_0 2 yll2 dx 2 X 1/2 dx
dx +~XII2.Qy + ~yll2+Qy=O ~ y"l dx ~ xlíl dx
dx
3x2 + 3x2• Qy + 6xy + 3";. Q'y dx dx 3.Qy (Xl + i) = - 3x2 - 6xy dx
2
1+ 2(xln.y.1/2. Q.y+ in.x 2 dx 2
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3x2+3(x2.Qy+2xyJ+3l.Qy dx
1 + X"l. Qy + dx
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l
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112
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Q.y= • 3)\2 - 6xy dx 3(x2 +..¡) Qy_ .-3-x~x+2y) dx -3-(x +l) Q.y •• ( X 2 + 2xy )
dx
Q._(a) dx
1 + 2 (XII2._J. ylll.l. Qy + ylll. j_. XII2.~ + Qy _ O
Qy. (or - X2) dx (y -Ox)
13.
=
(x2 +..¡)
!U.- x ( x + 2y ) dx (Xl +..¡) 109 108
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,dx
Soluclollllrio de Derivados
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+ a. xln.
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2x + a (xln. Q_(y"2)+ yln. Q_(xn)1+ I (2Y L dx dx J L dx
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2x + a(xll2._1.y"l.I.!!Y..+ yll2.J._.XI12'I L 2 dx 2
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2y.!b!... dx
+ a(xln. V '''
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2)
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dx 4xl + 4 (xl. Qy+ 3x2y'1+ 4yJ. Qy- O l dx J dx 4xl + 4x1.gy+ 12x2y+ 4y1.Qy- O dx dx 4xl.Qy + 4l.!!Y •• 12 x2y. 4xl dx dx
lIY (2y + a.xll2l_·· dxl
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2.yII2J'
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(3y + x)
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gy. ~ __
4Qy ( xl + yl ) e • 4
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X2 eX
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+ l)
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l
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111 110
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Soluclollnrlo de Derivadns
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:~, :7
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...
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3ax2 - 3b2x . gy . 3b2y + 3ey2
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dx
"
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i12.x ·112•
gy . 3b1x gy ~ Jb2y • Jax2
o
o
dx
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dx
...i!!.._.
dx
1
2 )
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(el·b2x)
Multiplitnndo
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s:
__ 2 x_ 1/2 + _x 2 __ 1/2
- b2x )
gy. ( b\ _BICI ) dx
gy
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b1- ax
-3- ( dx -3- (ey e
X 1/2 •
+ 2xl/2
(b2f -sx2 )
3 (cy : b2x )
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3
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/(112.y,II2.41 2 dx .0 _
y
3 . Qy (ey-'2. b x). 3(b2y • ax:')
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y
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3ey2
2
a nmbos mtem b" J'O$ I)Or - ..
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1/2 yl12 + 1/2 2'.x 1/2.X 2.x . y
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dx
1'/2 + -v-~ 2.xl/2.X 2.x 112..."..
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112
113
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Solucionlll'io de Derivados
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4.Y. dx
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dx
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En el pun to (2 , 3)
(2x + y) (x + 4y)
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.º-y.- _1_
~x3n.y~x)
dx
2
Qy~ x,n.yY2 dx xY2.y,n
(2, - 1)
_ 3(2xy.Qy + .; (1)1+ 3';.Qy- O dx ) dx'
l
~ • .1. dx x HRlllr lA pendiente
19. 2x
z • x+xy+
_6xy.Qy- 3'; +3';.Qy. O dx dx de cnda una de ln~ wi¡:ulentcli curvas en el punto
2].y=,
28,
(2,3)
+(x. gy + y. dXJ+ 4y.4,Y - Q_(28) dx dx dx dx
• f!y _ 6xy. Qy'"3';
dx
- 3x'
dx
Qy (y _2x) _ 3(l- x2) dx· 115
114
d
Solucionarlo de Derivadas Solucionarlo de Derivadas X2) • (1- x') '. En el punto (2,3) y(y - 2x) y(y - 2x)
~.: -;-(l• :0.:'
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m~~D (1-4) dx (-1)( -1 - 4)
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,
FY _ 5
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; (2, 3)
(2x) 112+ (3y)'12 • S
_1 .(2X)I12·'.~Ü2x) + _1 (3y)IIl·'.!L(3y) ', !L(S) 2
dx
C:zxrln.w + (3y
+
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dx
dx
_ 2 [x 11l.!L(y"2) + dx dx
I
(2x)iñ
+ __L. ..I!v • O 2(3 y)
_23~.sIx2( 3y)'h dx
dx
L
2
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~=_
ti' "" ' -I
In ·1/2d 112 .112 ~ 2 X .y .gy+y .x .. (1) -2y.~.O dx 2' , dx ~ 2 .2r-x~.s!.Y . ~y~ dx
(2x)'i'l
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2y. Qx dx
dx
(2X)'12 3 2(3 y) lÍ2 2(3y)'12, 3 (2X)'1l
dx
2
- 1 ~. dx
j
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.
v" .!L(x 'Il~ - 2y.s!.Y = !L(S2)
En.lpu"IO(2,3)
117 116
dx
1) _ 2 (x 112._1 .(ylll.').Qx + y'12._L.(x'/2·').dil-
r"'.(3).!IY = O 2.,
__ '
_2.X'I2.y'l2_y2.52
2y.Qx, O dxJ dx
'Soh.iclÓnnl'Ío' dc.Dc"¡vndas
2x -.i!:_ ~ xl/2: f!y + 2y.Qy X 1/2
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dx
1/2 d 2X .JL_.Qy + 2 y.QY-
yll2
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Soc."do rncloreomun:
1/2 _.:J_
X1/2
Qy (1' 1/2 + 2y')_ 2x _ .:i!:.
dx l_y1/2
J
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m = _..gr2,,-ln~(;..2l~-2..I)l.Ll_ [2l/2.22/2(3)) m = _-Hr1:¡._.m-f,(3~2'-T,¡J1)1.L1 [2!/2 .1:m.21/2(3)]
m.
_~31l-_
24/2 (3)) 111.
m. _1L (4)(3)
(a, a)
j"
.dx - a (x.Qy + Y.dx,') + 3a.2y.Qy • Q_(3 dx dx dx) dx dx
l
(1) - a (x:Qy + YJ+ 6ay·lti· O
l
dx
. dx
ax.Qy _ ay + 6ay.lti =0 dx dx 119 118
Solucioll0l'io d. Derlvad.s
".
Soluclonodo de Del'ivntl.s
2x'(1).
X312.y.'Il.Qy
+ yll2.3.xI/1 • 4y.Qy_ O dx 2 dx
2
~.. ' ,.
. . •• 1'
;.i~:
.. ~. '.
6aY.Qy - ax.Qy _ ay . 3x1 dx, dx
.2 x , ,
a.Qy {6y - x} _ ay' 3x2 dx
gy. a.y - 3X2 dx
dx
. En.l punto (1,.)
2yl/2
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2
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3xl'2.y"'2 .4y.!!:L_0
x,ln . Qy + 4y. Qy
a(al-3(ai a(6.6· a) 2
l
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2x.,L:.!!y. 2y"1 dx
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Solucionarlo
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Pero: y.tp
de Derivadas
Q.y. 06 - 6\ (1). dx {(2612) + 8}
{::'
m.!!Y • dx
Q,y. (10)(1). dx { 2) + 8 }
-: :-1. .,
gy. dx
10 8 +8
Qy •
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..!l..
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J.l.y. ...!l.. •. ..JI_. dx y ip
-.p. _'. 1. P
•
'm. -..:.IL - + I , -p
L
-...R-" -p
2 parnbolQs son pel'pendiculares, ósea que se cortan eu á . recto. porque el producto de SIlS pendientes es Iguol a - 1 '
*
y
,gy.2._, dx 8 25,
DemostrRr
),' • p' - 2px
que IRSparábolas y' _ 2px + 1" Y y' - p'- 2JlÍ
!Íngulorecto.
x
2px + p~ • p' - 2px 2px + 2px _ pl _ pl • O 4px _ O
x. 0------"
2y,!!y _ 2p.~ + ll(P'} dx dx dx 2y.¡jy _ 2p(l} + O dx
y- - p y - ±p ::) P (O • p); P (O • - p) !
2y
Demostrar que las circunferencias x' + y' - J2x - 6y + 2S Xl + y' + 2x + y. 10. son tRngentes en el punlo ('2.1 l·
.lI:i• O - 2p.d3 dx
2y .¡jy_O - 2p.s!K • - 2p dx dx dx
-.p.. y
DerivRndQ:
dx
~ •. .lJl.. .
2y .!!y _ 2p dx dx 2y
x _ O en
1_ p2 - 2px
+ pl
"J".lI:i-~
,
Deriyando
Deriyando : yl. 2px
Sustiruyendo
2y
m-¡jy-_.R.· dx y
. 12x • 6y + 2S • O 2x + 2y.J.l.y+ 2.g¡, dx dx
'L"".' N.n, ·Il,~
. 6,¡b: +d.(25) - O dx dx dx
,"':J'"
2x
-12( 1) - 6.!!.Y,+ O - O , dx ' dx (IV
',-'
...... ",,,.~.,
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.•.••
dx
+ 2y.!!.Y, + 2(1) + dx
123
+ !!
dx
'Solllcion.,oio de Derivadas
Sclueionarlo de Derivadas
~~.r.!!.""JO que ángulo corta In recta y_ 2x ,n la curva x' - xy + 2yl • 18 '~'.
..
~
2x + 2y ogy - 12 - 60gy • O dx dx
2x+2Yogy+2+
2Yogy-60Qy= dx dx
2y oQy+ Qy _ - 2x -
y
dx - xy + 2yl _28
12-2x
dx
Qy(2y+
2Qy (y - 3) _ 2(6 - x)
1)'.-
dx
dx
\
dx
2(x + 1) (2y+ 1)
Qy. 4- (6 - x) _ (6 - x) dx 4- (y - 3) (y - 3)
Qy dx
En el punto (2 , 1)
En el punto (2 ,
~ _ (6 - xl _ (6 - 2) • ..s...
!Ix • - 212 ~ 1) • ..:.¡........
dx
d.
(y - 3)
(1 - 3)
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-
(2(1)+1) (2H)
m, _ gy _ - 2 dx
(-2,- 4)
o~
- xy + 2/- 28 O .2x e Sustituvendo
el valor de y • 2x en O
- x (2x) + 2(2x)1 _ 28 Sustituyendo el valor de x en
Si sus pendientes son iguales => estas curvas SOI1
t}
y = 2x y _'2(2).4 Y - 2(-2)
=-
4
PI (2,4) }puntos de intercepción P2(-2,-4) cada curva para encontrar sus pendientes: y = 2x
00 + y.dx} + 4y.!!x. 2.(28) dx 124
dx dx 12S
t}
o
Solllcloll~rlo de Derivadas
Soluclonarío d. Derivada.
2x . x.gy. y(l) + 4y.Qx _ O dx
PROBLEMAS ADIClONALES
dx
-;.••.•:.. d. l. parñbcla y' .lpx es el centro el. IIn. elipse. El foe
-,
2x . x.gy. y + 4y.~ _ O .
dx
!':lf!¡"b'lI'ál,ol.es un extremo de uno de los ejes principale. d. la ellp
dx
~P'"""U'.
. 4Y.~.x.~.y
..2x
dx
.
dx
y In elipse se COI·tOIlen ángulo recto. Hallar la ccuac
AY
y' _4px
gy{4y_x} .y.2x di< ~
e
dx
y - 2x . Sustituyendo el punto P (-2•• 4). 4y - x
~~ ·4-2(·2) _ ·4+4 dx 4(-4)-(-2) -16+2
m, =~_
• --º-.=O. .14
Si y2 • 4px O es el doble de:
l.2px
O
dx tg
.
,
tg
a=
f}
El lado recto de O es 4p
m, - mL _ 1 +rnr.m,
2·0
1 + (O) (2)
--L=
1+O.
2
El lado recto de f} será la mitad 2p
Si el lado recto es 2p, por gráfico obtenemos que F(p/2,O:
a. 2
El semi eje principal de la elipse es: a • p/2
e. are (g(2)
El centro de la elipse es el origen (0,0)
e_63° 26' 6"
(x-ra i + ~ b 126
- 1
e
127
¡ \
--
,--
b2._4_
b
O,2.Q_(X2) + b·2.Q_(i). dx
,
\,
¡
4x
-p-.X
,
Q_(l)
dx
11
dx-
Sustituyendo en {) que es la ecuación de la elipse los valores de a' y b'
~
o'2(2x) + b'2.2yA>'. O ' dx
I -
2y.b'\~
.¡_2px para
Derivando
2y ~ _ 2 p.Q_(x) dx dx
-7
Qy-~P
~
-_F
dx ~y
~
U
p
~
pi 4xl + 4px
ay
~y.b,2
+ 4x _ J
4x2 + 4px •
-*
Qy __ ~X.8,2 • -
dx
p
~ - 2X.8'2 dx
~,',
'j
~·l -.Rd
~+~.I
,!
l~
Sustituyendo en 9 el valor de al
Derivando para obtener la pendiente.
a
r:1-
Solucionarlo do Dertvadas
Soluclonnrlo de Derívadns
p2
=
p.y
2y.~=2p dx
:21. 4px • sustituyendo este valor en : 4x'
+ 2y' _p'
m2- P
(Ecunción
de tn
+ 4px • pI
elipse)
trazn un circulo de centro (20,0) con IIn r.dlo t.1 que el circulo 011 IIngulo recto s In elipse b'x' + .'y'_n'b',Hallar el radio.
y
Pnra q;lt In pnr'bofn y 11ellpse se ecrren en Angulo recre, el de SlIS pendientes tiene que ser Igual n-l.
(mi) (m.) • - I
t~Jfr)--
+ 2a2y.Qy_
b2_~1
-P.x
'-
82 _
f!_(82b2)
;
2b~ + 2a2y.Qy _ O
dx dx ,
I
dx
; Pero: o - ...E..
_~2
2
p.x
_i 4 118
~
¡I¡
+~.I
obtener m"
y
i'1
129
J
I
Solucionarlo
de Derivndns
Luego se toma a la ecuación del circulo y se obtiene su perldien~t cuyo centro es (2a,O).
( x _ 2a )2 + ( y _0)2 • r2} ( x - 2a)2 + y¡ • r2
l;f
+ a2y2 ! 1
Derivando: 2 (x-2a) + 2y ..Qy. d (rZ) dx
+ay-
_3a'b'
a2b2
-
.'b!
;y
,
"
.a y >
lO
a
'b' .. Lv... ,',,' 4
"
,,,1
4.
4
.~"-"!(..
4
2 (x-2a) +·2y,Qx. O dx
. 1 clr lo sustituimos Como nos piden hallar el radio de eu, .
m2 • dy = - + (x-2a) _ - (x - 2a)
.
+ a2yl_ a2b2
~y
y
lci lo de centre ( 2a , O ). , 3b'/4 en la ecuación de circu x • al2/ y I - ¡. ¡._ 9a' + 3b' (x-2a) + y 4
Como el circulo corta 'en ángulo recto a la elipse, tomam pendientes. mI ' m2. - 1
r,
r,
p...
~¡9a¡+3bl
J9.1 + 3b' '2
• • 1 rocoso De-mostrar lt "d~ una thpst con os . Se une un punlO cualquiera P t 1 urva en "P" ánG,lIloS B&udos Igu estas rectas rorman con la norma a 1\ e
Tornamos la ecuación de la elipse: b2 + a2 • a2b2 igualamos O y f) b'\2 + a2yl. a2b2 b2x2 + a2 2ab2x
l.
.Suponiendo la e~uaci6n de l. elipse:
b'x' + a''; - .'b .
.
Encontrando su pendiente, dcn van o. 2b'x + 2.'Y,dY " O dx
~ 2ab2x _ 1I2bz ID: • -
~b~"• - b;¡¡.
dx
;¡.y
ay.
Aben la pendiente d. la Normalsuí: Como en la ecuación de la elipse hay 2 incógnitas "x" y "y". sustituirnos el valor d. x _ A Y encontrarnos el valor de y.
2.
.1 -;;
-4 _*- -Normal. ~ o'Y
b-,
131 130
do:
y
Seluclonnrío de Derivadas
Solueionnrlo de Derivadas
Según el grAneo:
.
.: .
Pendiente FP - ~
• -L
x-e
,.
; Pendiente F'P • -X..:...Q_
x-c
tg a •
- xy ~al • bl) + n'e~ b'xl - b xc + (albl . x')
x • (- e)
tg a •
• x~(e') + a1cy "litj • b xc + a'b' - "~it~
x +e
Aplicando la férmula de un ángulo formado por 2 rectas: cg9. ,nl·nl, . 11'" 11\,.lnJ
Primero para el ángulo a,
,)
b
• ___J___
"
~
..::L'
tg o ;
,
':.
+'~J'~-, x-e
,1
n b1x
tg a •. e'xy + a'ey alb' • b2xc tg a -
erbJ¡!( 9' exrr. 8ft
_";'
Slmpuñcendo:
b'xy - (a'y'(x-e) 'tg a • (x-e)b2x) b2x(x-e) + a2vl (b'x)(x -e)
I
il
It ¡!.
tg ,a. b2xr - a2xy + a2et b2x _ b2xc + a2y "
o
-,
1I
,,
tg ex.,x~ (b2 - a2) + a'ci b x Z • b2xe + a2y
:1'1
I!
PCI'O dt la eeuaelén de 111elipse ~
b'x' + ft')"
•
a2y ( x+c) _ b2xy
a'b' , despejamos .')"
.'y' .• 'b' . b'x'
r
(b2X )(,~ I
O
cl!
(X+C)(bx¡+a\2 (x' e)(b x)
y según la relació» de la elipse:
.' • b' + e'
a'. b' _ e'
#}
!
,I ,• j
Sustltuyende estos valores O y
#}
en tg a
, 132
133
Solucionarlo Sustituyendo estos valort's:
de Derivadas
O n'y' • a'b'• b's' y 6 n'· b'
::..P"ncl,ienllede la elipse: b1x2 + a1/ 2X2)
+ s!.(a2/) dx.
•
• a2b2 6
!!..(a1b2) dx
+2a1y.gy.O dx.
Tgunlal>lloambas pendientes:
tg
P = cr
,
.a
.t.gp=%
A
b
Como: tg a. _ tg
p' .~.
:::) sus
ángulos son il!:(lnh~:
b"
, a2B y€)o Ab2
Sustituyendo
€) en 6
-,
4.
+ Ay • AB es taugente a la b's' + .'y'_ a'b'. Únicamente sí se veriñca que; B'a' + A
Demostrar que 10 recta B s
.Para demostrar que la recta es tangente a la elipse, sus tienen que ser iguales. Derivamos para calcular la pendiente de B x + A Y_A B
.x (a.B 2 2 + A.2b2) • a.lb2A2b .y . 4.
s!.(Bx) + s!.(Ay) - s!.(AB) dx
dx
B.~ +A.~= dx
dx
dx
I..~ A2 •b' e~
B +A.dY-O dx
~.--ªdx A 135 134
.
Soluclolla"¡o de Derivadas SoluclOllorlo de Derlvadns
alB + Ab2
A
•
AB. Sacando el m.e.m.
B
A.b1
y.
,JAl.Bi
a2.B2 + A2.b2 ~ AB AB
yo ...¡(.b1 ..k.B
y.__!L
Como AB está dividiendo, ahora lo pasamos a multiplicar.
~
B Com~ @) esta en función de "y", e!ltoncesreemplazamos
de-y en "x". X_
.
{L.q.q.d.
a~y
(Lo que se quedo dOO10.51 ", r) }.
Ab2 a2.B.A.b1
Ja1$' + A'b'
. X_,
A.b2 I
X
2
B
2 -o.
-lL=- - a .-0,JATP7 A. -&
X ~
-
a2 A
.i..Sustituyendo ahora.el valor de "x" y "y"en O A
Bx + Ay o AB ;
B[~l (~1+A
AB 137
136
Solueionnrio de T>eriv~dn$
;¡: ;.
.
',
~.'..
" .;..,' .:.
"
'.
". ,:1 e-
~. ',....,
PROBLEMAS. PÁGINA 56
.' .
. .....
,.,
t.-
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal las curvas siguientes en el punto dado .
.' ... ..... ;;,: ..
:,'
";~
,
~.
3x%- 3 :Sustiluyendo: P(2.2l en la derivada o n"n,di",,,..1:
dx
m • 41 • 3 (2)%- 3 _ 12 - 3 • 9 dx
(3 -
m • Qy_ 7 dx (3 -
xl
m.
_ 7 .7.7.m
7
(3-
41-
7
Qy.6-~+~+1 dx (3-xl
2i
Pero: P (2,5)
(¡}2-1
Ecuación de la tangente: y - y, = m (x - x.) y-S _ 7 (x - 2) ; y - 5. 7x - 14. O 7x - Y = - 9. O Ecuación de la Normal: y _ y. __ .L (x - x.) y - 5. - _1(x - 2)
Ecuación de )a Tangente:
7
mi
y - y,.;m (x - x.) y - 2 ~9 (x - 2)
7y - 35. - x + 2
y-2.9x-18 O.9,x-y-18+2-0
x+7y-37.0
9x:Y-J6·.0 2x1- xy + Ecuación de la Normal: y _ y, • - l(x - x.) y - 2 - -_L(x- 2) 9y. 18• - x + 2 ; x + 9 y - 18 - 2 _ O.
In pendleul~:
4x - (x.41 + y.dl\.1 + 2y·41· Q_(I6) ~ x + 9y - 20 ~
l dx
dxJ
dx dx
4x - x.41- y(l) + 2y·41. O
3. y _ 2x + 1 ; (2,5) 3-x
dx
(3-x).¡L(2x+ 1) - (2x + 1).¡L(3-x) dx
i .16; (3,2)
DerlvDndo para encontrar
9
mi
41.
xi
d
dx
(3-x,f
dx
4x - x.41- y + 2y·41· O dx
'dx
41 (2y - x ) • y - 4x ; Qy. y - 4x . Pero: P(3 dx dx 2y - x
Qy_ (3-x)(2)-(2x+I)(-11. dx (3_X)1
l39 138
Sotuclona"¡o d.Derivndas
i-.. ",
Soludonndo de Derlvadns
_ y, •
~ _ y - 4x . Peto: P (3,2) dx 2y - X
m~~. dx
4-3
1
Ecuación de la Tangente: y _ y, ~ m(x - x.) . Sustituyendo: m. - 10 y P(3,2). y-2~-IO(x-3) 10x + y - 32 _ O
Y+ 2. - 2x + 2 2x + y + 2 - 2 • O 2x +y e O Ecuación de la Normal:
y_y,.-!
y _ y, ~ .-:..L(x - x.)
; y - 2 • .-:..L(x - 3 )
-10
-1 O(y - 2) • - (x - 3) ; - I Oy + 20 • - x + 3 .
2
2y.gy + 2.ID: - 4.~ + Q_(4). O·
m. Qy. dx m.
-.r
•
::::> x - 2y - 5 - O
. Obtener las ecuaciones de la tangente Y de In a la elipse b'x' + a'/ • "lb'.
2a~.Qy. - 2b2x
; 2.gy(y+ dx
• _2_.
dx
Qy. _~b2X ~ _ b2x dx ~a2y 1).4
Pero: P(I,-2)
~ (y + 1) (y + 1)
2 _ 2 (-2)+ 1 -1
+4
dx
dx
dx
1 _2y
2b2x + 2a2y.Qye O ;
dx
2y.gy + 2_gy - 4(1} + o. O
dx
J( -
2b2x + 2a2y.Qy. d (a1b2) dJ( dJ(
'
2y.gy+2.!!y-4.0
+4 •
Derivando la curva: b1J(2 + a2
5. y + 2y - 4x + 4 • O . dx
2y
l.a2b2
,x. lOy + 17 • O
dx
• .-:..L(x-l) -2
2
m,
dx
;y-(-2)
(x-l)
y+2._1
Ecuación de la Normal;
dx
(X-XI)
;y-2.-IOx+30
\
"
m (x - x.)
y _(-2). - 2 (x - 1)
2-4(3) _ 2-12 .~.-!O_m 2(2) - 3
Ecuación de lA Tangente:
_ - 2 ~m
m.-*.
7Y
ay
Ecuacíón de la Tangente: y _y, _ m(x - x.) en el punto P (x.. y,) y _ y, • .:..l22..(x - x.) a2y, 141
140
l101'0181
e
Ecuaclóu de IR Tnugente:
y'- YI • m (x - XI)
y. YI.2l(x
- XI)
y,
:::) bl X,X
YI(Y - y,) e - x,(x- X,) YI'Y _ y'.YI _ - XI·X + X,.X, 2 2 YI'Y - YI e- X"X + XI 2 2 XIX + YIY e y, + XI
+ a 1y,y ~ a 1b 1
pero:{x' ...y' _ EcuAción de la Normal: y _y, ~ __1 (x - x.) y - y, ~..:.L(x - x.)
m,
,">
y,
,
y - y, • -_L(X a
+YI
.r
2
x,)
y • y, _ -_L(K - x.)
m,
' a2 y,.x - a-y,.x,
~
y,
.,
a")',.x,- ~ x'J'. a l"X - b-;,.y
,"
r1
.
x,.y, _ (a - b ) _ a .y,.x - b .X,.y.. Ordenando: a l. y l' x-b 2. x ,. y_x ,. y ,\(82 - b2) 7.
,
+ Ya - r
Ecuación de la Normal:
y-y,.n.(X-x,) '., b1x, b...2 x,.y - b'-X,.y, 2
2
C omo:·2YI +XI .XI :::) X,X + y,y _ r
_~2X, R
¡,•
XI
Hallar las ecuaciones de In¡kangcnte y la Normal, longitudes de la subtnngente y In sub-normal, en punto (XI,y,) de la circunferencia Xl + yl _¡.2.
Primeramente derivabdo la curva:
Xl
y - y,
=
.1!.(X,
x.)
X,
(y - y,) • YI (x - x.)
x, x,.y - X,.y,. y,.X· y,.X, Y'x _ x,y
=
x,y, • y,x,. Ordenando: y,x - x.y o también: x,y - y,x - O
y,x - x,y O D
+ l- r2.
2x + 2y.dy. O
!!.Y _ - ~ _ -ll. Ahora la pendiente en P (x¿ dx
?:y
yl)
y
143 142
= lt,y. -
.. ,.
,
Soludon.do
.. , ,1.
.:,'.r 8.
. .. ..'' . ; . ,'.
_ y"OI, .sabiendo que m. L':::) 011_ L .
Demostrar que In sub-tnngeute de In pnrábolo y' _ 2px por el vértice, y que In sub-normnl es constante e ¡euol n ,
YI
)'1
y2 = 2px
.H" ,
2y,Qy _ 2p.dx
,',
','
dx
)bt.euI:r los ecuaciones de In Tangeute y la Normal, y las longitlldes l. sub-tnngente Y In sub-no"nlal de cada UIIOde las siguientes cur
dx
en los puntos indicados,
ID! • -7!-p (1) dx
-7!-y
• ..p..,
~ m
y,
=
..p.. y,
E~unciónde la tangente:
....
-
y - y, • m(x - x.) y - y, =..E. (X - x.)
"
.
Xl ;
2
1
(a, a)
2
.x -a a X
-
y.y, - y,.y, • p.x - p.x, 2
y.y, - y, '_ p.x - p.x, Pero, la ecuación de la parábola:
{y2. 2px
.' ' . y,-.2px, ~ y.y, - Zpx, _ p.x - p.x, . y:y, -'2px, + px, - p.x.'O y.y, - p.x, - p.x • O (~cuaci6n de la tangente) Luego encontrando la intercepción de la tangente, con el y _ O x. - x, => las coordenadas de T (- x¿ O) Las coordenadas de M (x"O) => demostraremos que TO TO. J 10 -(-XI) + (O - O)'J _ J(X,)' _ X, • TO OM • .J {{x, - O>, + {O - O)l} _ ~TO
ffiJl • x,
_ OM
Ahora demostraremos que "P" es igual
8
lA sub-normal.
_.y, • _ a = 2 (x - a)
- a _ 2x - 2a _y_2a+3.0
-y-a.O
_ YI • - I (x - x.) _a • ..:..L (x - a) 2
_a) _ - (x - a) _2a = - x + a + 2'1 -Za - a. O +2y - 3a. O
Según gráfico: MN • sub-normal.
"
;,:t'.' •. t .
~:I.j ..... :",;-;.
"'~.:.' ..... ':. ,'' ;','
ay.
__L(2x) en el punto (a, a) a
y, ~:
:-,¡ ..:,'
YI
.~-)'I.P·P
Derivando para obtener la pendiente en P'(x., YI)
'1,
,"Y',
....... :.....
de Derivad.s
Soluelennt'lo de Detívnd ns
145
144
Sohicionnrio de Derivadas
l&ngitll!1 de I~ sub-!an~: -,
y,.a}
Y, • .J!.. 2
m.
111'02 , '.1
9X2 + 4/
Longitud de In Sub-normal:
o
72; (2,3)
Derivando para obtener la pendiente en P(2,3)
y"m,. (a) (2) 2a . o
~'
)
lO,
Xl -
4y' _9; (5,2)
8x + 8y,Qy = Q_(72) dx dx
Derivando para obtener la pendiente en P(S,2)
8" + 8y.Qy- O
2x - 8y.Q:io O dx
dx
h.¡1y _.Lo_S_oí· 8- y
dx
4y
4(2)
m = Qy _ - 4&-" _ - 9x • - 9(2) • - 4&dx -8-y 4y 4(3) ~,2
m,
8
Ecuación de la Tangente: y-y,om(x-x,) , y- 2 = J..(x - 5)
y- 3. :J_ (x - 2)
2
s
S(y - 2) _ 5(x - 5) 8y_160Sx_25.5J_8y_25+16.5x-Sy-'oO
m
ECUAción de l. Normal. y- y, .~I ...',
'y - 2
(x - x.) ;
_(1j
l(x - 5)
y - 20
ln¡
S'
(x - 5)
_3) _ - 3 (x - 2)
; 2y - 6 • - 3x + 6
3x +2)' - 6 - 6. O.3x + 2y -12 - O 1j:cuación de la Normal:
'Y-YI.(:1..)(,(-X1)
, ,lm.J
;y-3-
~
-1
- 23
(y - 3) .1.. (x - 2)
3
S(y - 2) _ - S (x - 5)' 5y - 10. - 8" + 40 8x + 5y - 10 - 40 8x + Sy- 50 o O
3)' - 9 - 2x - 4
O o 2x - 3y + 9 - 4 _ 2x - 3y + S = O 141 146
(x-2)
.:2.
SoluciOnArlo de Del'iv.das
Setuelennrlo de Derivadas
Longitud de In Sub-tangente:
m, (-2) • ..:...!..(x - 3)
.........
-2
Longitud de In Sub-normal:
m,.y,_[ =tJ
,;
(3)0'; . 2) _ x - 3 +4_x-3 _x • 2y -3·4
':)
12.
+
xy
yl + 2. O; (3,- 2).
Derivando para obtener la pendiente en P(3, • 2)
_.2y - 7 • O
x.ID:: + Y·M + 2Y.ID:: + O = O dx
dx
dx
x.Qy + y(l) + 2Y.ID:: _ O ; x.Q:x: + y + 2y.ID::o O dx
dx
dx
dx
x.ID:: + y + 2y.Qy. O dx
. Calcular el área del triángulo que (ornun el eje de las "x", y l. tangente y la normal. 1. curva Y_ 6x - x'en el punto (5,5),
·,n.nvnmn. paro encontrar la pendiente en P(S.5) .
dx
• 6 - 2x
y_s-4y+l5
ID:: (x + 2y) •• y dx
m.Qya o'. dx
_____ ·V -_::..1·(~·2=..r..)_ 2 . " __2 x + 2y 3 + 2(-2) 3 -4 - I
Ecuación de la Tangente: y - y, • m (x - x.) "
y - (-2) • -2(x - 3) + 2. -2x + 6 2x + y + 2 - 6. O
-2
~~~~EU~~:~~---4----~~--~X y _ y, •
In (x - x.) _5 • - 4(x - S) -5_-4x+20 ' + y - 5 - 20.0 + y - 25.0
Ahora enconto1unos Laintercepción de la tangente con el eje "x''. Cuando y • O; 4x + y - 25 • O + 0- 25. O _ 25
y
2x + y -4. O 148
149
Solncícnarle de Derivadas
• ID! • ..:...L • ..:..L • :.L dx 2y 2(2) 4
N (25/4, O)
x ; 2S . . 4
. Ecuación de In Normal: y - y, • ..:...L(x - x.) m, y - 5 • ..:...L(x
_ 2) • - (x - 5)
- 5}
_8.-x+5 x + 4y - 8 - 5 • O x + 4y -13. O
-4 - 4 (y - 5) • - (x - 5) - 4y + 20 • - x + S
x - 4y + 20 - 5 • O x - 4y + 15. O
El illtercepto con el eje "y" x _ O; x + 4y - J3 • O 0+4y-13. O 4y. 13. y. 13. M(O ,13/4) 4
.. Cuando
Ahora encontramos la íntercepcién de la Normal con el eje de las Cuandoy.O ; x-4y+ 15.0 x-4(0)+ 15.0 x-O+ 15.0 x.-15 :::> M(-15,O}
Ecuación de la Normal: y _ YI
= ..:J_(x
- x.)
1111
Calculando la distancia MN • base del triángulo, y _ 2 = ..:J_(x - 5)
(~_(_15)}1+(0_0)1
•
:.L 4
4 Área del Triángulo
~
2
14.
PMN • b. h
Base. 85
2
4
• (85) (5) (1) • 425 unidades'. 4(2) -8-
Hallar el área del t"¡~lIgnlo que forman el eje de las. "y", la tangente y In normnl a la curva y' • 9 - x en el punto t;erivamos para encontrar In pendiente en el punto (5,2). y
; 4x - y • 18 • O
, El intercepto de la normal con el eje "y" Cuando x • O; 4x - y. 18 • O
4(O} - Y - 18. O O-y-18.0 ·_18.y.-18 N(O,-18) . Calculando la distancia MN • base del tli~ngulo
.9 -x
MN. J(O - O)' + (- 18 - 13/4)'. 2y,Qy. O - ¡!~; 2y.ID! = - 1 dx dx dx 151 150
Je- 85/4)'.85/
SolutlOll91'lo de Derivadas
Solucfonarlode Derlvndns
'Area del triángulo. b.h ; base. MN a 85/4 2
;......:.,.¡
~d· ......
Altura. 2. ( por gráfico se cncontro esta altura).
""tituyendo para (3,2). !.Ix. _L ._1dx (2)(2) 4
+ l. 13 O
......
+ 2y.g_y.·O
r~1(2)
.Ls.L.» 85 .;(,
--:o ."
dx
¡•-ª.i. unidades'. 4,z 4
_1_
• !.Ix • .:.llL • .=JL. . Para (3,2) ; m" :.1.. 2y
dx
Hallar los ángnlos de íntercepcíén de cada uno de los siguientes pares de curvas.
l. x + 1
15.
, x' + y' • 13
}O
6
9_
y'.13_x'
m,-m, ml.m,
1+
tg
2
__
.=.2_;:..4_. 1+ (;.1)(l) 2 4
are tg
5
x + 1• 13- x'
x • - 41. M ( 3 ,2 ) ; R(-4,../3i) N(3 ,-2)
; S (- 4 , - ../3 i)
. Ahora encontramos las pendientes de cada curva. y'.x+10
2.6_ y Xl.
32
-l
~}
~
7
- y. 32 - .; 2y,.g_y.~ + O; .. dx
, lit ••
m¡ =
o.
:'~~:,~:,: ,: . '
.';:':,.¡:
fu • ....!..
-,
dx 2y
'~
'1 ~.::..
7
dx
7 (6 - y) • 32 - y'
',1 ..". _
-,
2y,Q_y. 1
'
" .:i~· ',': .\.: ...... : ' o, " I • l ...•
dx
,
4
I-~
8
.
...L
20
8
<:..HJ .109° 39' 13" 5
IlIlerceptos:
f
4
:.L
__ 4__ - 56 -
Primero encontramos los puntos de intercepción.
x' + x - 12. O (x + 4) (x - 3) • O
x.3
::..L - .L
:..l.- .1.
e.::.l!.. -4 e.
}O~
i.x+1
y
'CClOcluimclsencontrando el ángulo de intercepción
Primero encontramos los pW110S de intercepción. i.x+ 1 x'+l_13
I
152
153
:.!i. S
Soluelonario de Oer iv~da$
- 7/5 - (- 2) • _7/5 + 2 • 3/5 .._j_ 1+14/5 19(5 19 1 + (-2)(-7(5)
.; . 7y + 42 - 32 • O .; -7y+ 10.0 (y - 5 )(y - 2 ) • O -4
y. S} Sustituyendo en O y f9 los valores de "y". y.2 x'.6-y.6S.I. x.± l. => M J(I, . M 1.(-1,
.x2 •• 32_y2 _ 32-4 _~_4. 7
7,
-4
x_±2.
e • are tg W.
0,1578947368421.8· 58' 21"
19
¡-3y.
2x
=>
7
Ahora encontramos las pendientes de cada curva, tra,08Jfl!1l para esto con los valores positivos, M(J ,5) ; N(2,2)
Pata N(2,2).
_3(i). 2x
- 3x - 2). O m, • Qy. O- 2x. - 2x • - 2(2) • - 4
x.O
3x - 2 _ O 1) (x+ 1) (x - 2) • O
dx
7x'+y2.326 14x + 2y.Qy. O
dx m, - Qy. - MlS. -..:.1L • - 7e i!) • - 7. dx
i!y
y
i!
ConchlinlOS encenrrandc ti Angulo de Jnrel'cepclÓn POI'R (2,2).
Ige.
m,-mt • -1-(-71 • ·4+7 _ ]_.O.I03~148:21 l + m,.m, ) + (·1)(-4) 1+ (2B) 29
G. are tg (0,1034482758621).
S° 54' 22".
El valor de Ins pendientes df cad. eurva en (J,S)
m,. - 2x'_ - 2( 1 ) _ - 2.
I ).;L.
m,.:.l.It..-7( y
5
5
Concluimos enccntrandc ~I ángulo de ir'llcl'ccpci6n
PQrQ (1,5)
155
154
Soluc.ionnrio de Der-ivadas
.......~.:
~.~ . , r': ~..,,;".
..' .
'
-"¡"
tom~ un número menor la pnmera derivada.
'.,
1. x3 - 6,,2 + 9x Primeramente derivamos:
t'
".
*
Luego igualamos la primera derivada igual a cero. f'(x). 3x2 - 12x 9. 3(x' - 4x + 3). O. f'(x). (x - 3)(x - 1). O de donde: x _ 3 ; x = 1, estos serian los valores críticos.
-Para: x .3, se toma un número menor a se sustituye en la primera derivada. x < 3 ~2,9.
f'(x). (x - 3)(x - 1) r'(x).( 2,9 - 3)( 2,9 - l ). (- 0,1 )( + 1,9) = - 0,19 . Paro esta clase de resultados, no es necesario k •.•__·• numérico, solamente interesa el signo. Asi en el caso: (- 0,1)(+ 1,9)_ "-" .. Este slgno llcgnlivo lo almacenamos CODlO un primer Luego: Para x • 3, se toma un número mayal' pequeño,este se sustituye en la primera derivada. x > 3 • 3,1 f'(x). (x - 3)(x - 1). f '(x) • (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+ )(+) _ " + ". Este signo positivo seria el segundo resultado Puesto que el signo de la derivada cambia de " la funci6n tiene un valor Mínimo. Para saber cuanto es este valor Mínimo, ree:mp,la.z@ valor crítico: X • 3 en f(x). f(x) • x) - 6X2 + 9x. f(3). 3) - 6(3)2 + 9(3).27 - 54 + 27. 54 - 54. O =:) ell~x • 3 hay un Mínimo. O. Tomando el otro valor critico: x _ 1.
:.;.
,'.-
.\
-;.
< 1 .0,9
• (x - 3)(x - 1) • (0,9 -3) (0,9 -1) • ( - ) ( - ) • " + " signo" + " es el primer resultado.
f(x) • x3 - 6X2 + 9x. .. f'(x) _ 3x2 - 12x + 9. '.
que 1, el más pequeño, esté se sustih
156
Lueao: para x. 1, se toma un número mayor que 1, el más ttl>¡:q~leño,este se sustituye en la primera derivada > I • 1,1 _ (x - 3) (x - 1) - (1,1-3)(1,1 - 1)~ (-){+) _ " - ". Este signo negativo es egundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia " +" a " - "1, a funci'6 n tilene un va 1M' or " aximo". saber cuánto es este valor Máximo, reemplazamos el crítico, x • 1 en f (x) _x ) - 6 X 2 + 9x
.1)-6(1i·+9(1).1-6t9.4. x _ 1 hay 1111 Máximo.
4
+ 12x - 3x2 • 2x)
12(1)-6x-6x2.12-6x_6x2 ;6(-2+x+x2).0 6 (x' + x - 2) • O 6 (x + 2)(x - 1) • O (x + 2) • O )C _ - 2 . (x - 1). O ; x _ + 1
157
:,oluclon3rio d. Oer lvndas
Luego: x » - 2. - 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
. f(I).10+12-3-2~17. ::>enx. . 1 , hayun M{n:lmo .17.
f'(x) ~ - 6(x + 2)(x - 1) f'(x). - 6 (- (,9 + 2)(- 1,9 - 1)
."
f'(x).-(+)(_)."+".
Puesto
que el signo de 111derivada cambia de " _ ". función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x e Mínimo.
-
2 en f{x) para encontrar el valor nUllnen!
f(x). 10 + 12x _3x2 _ 2xJ f{-2). 10 + 12("2)- 3(_2)2- 2(-2i f(-2).10-?4-12+ 16.26-36.-
\.
"
~.en i"l' .. ._ "-'po .' ara:
2 hay un Mínimo.
x.:
10.
Se sustituye
este valor
. en ia primera
derivada.
f.'(x). - 6(x + 2)(x _ 1) f'(x). - 6(0,9 + 2)(0,9 - 1) f'(x) • - ( + )( _) • " + ". Luego:
.
ni Mínimos.
- 20
f(x) • xJ + 2x2 - 15x - 20 f '(x) ~ 3x2 + 4x - 15 f'(x) • (3X)2+ 4(3x) - 4~ f'(x). (+x + -9-) (3x - :» = O 3" I f '() (x + 3)(3x - 5). - •x.O , x , _ 3 } Valores críticos. (x x+ 3) (3x - 5) = O ; x _ 5/3
°
Para: x = - 3.
< - 3 - - 3,1. la nri . derivada. Se sustituye este valor en a primera
Se sustituye este valor en la primera derivada:
f '(x) _ - 6(x + 2) (x - 1) f'(x). - 6(1,1 + 2)(1,1 - 1) f'(x) _ - 6( + )( + ) = " _ " Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " _ " función tiene un valor Máximo. Sustituimos Máximo.
no tiene ni Máximos
.¡(
x>I.I,1.
)'
e uede factorizar, ::> la funcíér
El trinomio (x + x + 2) .no ~ .p
°
-10.
x .1
.. x- < 1 • a,9.
f'(x) - 6(x2 + ~ + 2).
"J + 2x1 _ lsx
f(-2). - lO.
,
2,,3 + 3l + 12" - 4• f(x) = 2xJ + 3x1 + 12x - 4. f'(x). 6x2 + 6x + 12.
x,
l en f{x) para encontrar el valor numérico
f'(x}; 10 + 12x - 3x2 _ 2xJ f(I).IO.+ 12(1)-3(1)2_2(1)J 158
f'ix) • (x + 3) (3" - 5) f '(x) _ (- 3,1 + 3)(3(- 3,1) - 5]f'(x). (- 0,1) (- 9,1 - 5) _ f'(x). (-) (-) • ,,+" .
° °
Luego: x > - 3 _ - 2,9.
.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f'(x) _ (x + 3)(3x - S) f'(x). (- 2,9 + 3)[3(- 2,9) - 5) f'(x). (+ 0,1)( - 5,7 - 5) f'(x)• ( + )( - ) • '1 - " . 159
Solucionado de De"¡vadas
Solucionarlo de Derivadas
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x • - 3 en f (x) para encontrar el valor del f(x). Xl + 2,,2 - 15x - 20 f(- 3) - (- 3)l + 2 (- 3)2 - 15(- 3) - 20 f(x) ~ - 27 + 18 + 45 - 20 • - 47 + 63 • + 16
:::) en x .·3 hay un Máximo. 16
,
Para: x .5/3 x<513.4/3 Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x) = (x + 3)(3x - 5) f~~).(-4/3 + 3)[3(-4/3 - 5J f'(x). (-4/3 + 9/3)[3(~ 4/3) - 5) {'(x). (+ 5/3)(- 12/3: 5) f'(x) _ (+)( -). " _." Luego: x » 5/3 • 6/3 Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x) = (x + 3)(3x - 5) f'(x) = (6/3 + 3)[3'(6/3) - 5J f'Cx). (6/3 + 9/3)[3(6/3) - 5)J. (15/3)(18/3 -1513) f'(x)~(+)(+)_"+ " Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " • " + función tiene un valor Mínimo
2x2 - i 2 4 (X) • 2x - x )
• 4x - 4x 'CX).4xC1- X2)= O
.0 ;x.o
1 _ x2 • O ; 1 _ ,,_2 _ 1 ; X - ± 1 Valores Críticos: x • O, x • 1, J( •
1
:x.O x < O. - 0,1 .' d Se sustituye este valor en la primera deriva a. f'(x). 4x(1 - Xl) f'(- O 1). 4x(I + x)(1 - x) f'C- 0:1) _ 4(- 0,1)[1 + (-0,1»)[1 - (-0,1») f'(- O 1). (- 4,1)(1 - 0,1)(1 + 0,1) f'C- O: 1). ( - )( + )( + ) - .. - ". Luego' x> O- 0,1 . d Se sus~ituye este valor en la primera deriva a. f'(x).4x(1 +x)(l-x) f'(O,I) _ 4(0,1)(1 + 0,1)(1 - 0,1) ¡ f'(O,i) _ (+ 4,4)C+ l,l)(~ O,~: , {'(O,I) ~ (+)( +)( +). + . bi d "_lO Puesto que el signo de la den~ada cam la e la función tiene un valor Mínimo .
. .
Sustrtullnos 1
Sustituimos x • 5/3 en f (x) para encontrar el valor M"".,.. f(x) • x) + 2X2- 15x -20 . f( 513). (5/3») + 2 (5/3)2 - J 5(5/3) -20 f( 5/3). 125127+ 2(25/9) - 75/3 - 20 f( 5/3) • 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27 f( 5/3) _ 125/27 + 150127- 675127 - 540127 f( 5/3).275/27 - 1215127 f( 5/3). - 940/27 :::) en x • 5/3 hay un Mínirno • - 940127
-
X _ •
O en f (x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x).2x -x f (O) _ 2(0)2 - (O)' feO) _ O-O. . . =:> en x _ O existe un MlDllno = O paral: )(0.91Se sustituye este valor en la primera derivada. x< - , . f'Cx) _ 4x(1 + x) (1 - x) f '(O 9) • 4 (O 9) (1 + 0,9)(! - 0,9) f'(0:9).( +)(+)(+)-" +" 161
\
160
a .. +"
.,.,.~. ;~#:;.. l~': . "-.'
~. '! .
".. ~ , ' ......
Luego: x > 1 • 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x) _ 4x(J + x)(1 - x) f'(I,J).4{l,I)(1 + 1,1)(1- 1,1) f'(I,I).(+)(+)(-).· _. Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " Función tiene un valor Máximo.
x' - 4x f(x)=x4-4x f'(x) • 4x) - 4 2 f'(x) 4(xJ _ 1) _ O ; Xl - 1 _ (x: I)(x + X + 1) • O (x2 + X + 1) _ O, no se puede factorízar. (x - 1) _ O ~ x =1
Sustituimos x • 1en f (x) para encontrar el va lar M,hil~
Para: x _ 1
f(x) = 2x2 - x'
x <1-
.,
rm , 2(1i _(1)4 f(I).2-I.l f (1 ). 1 ~ en x _ 1 existe un Máximo.
,
1
Paro: x _ - 1 x < - 1 _-1,1 Se sustituye este valor en la primera derivada.
f'(x) _ 4x(1 +x)(1 - x) , f'(-I,.1).4(- 1,1)(1 + (- 1,1)](1 - (- 1,1») f'(:I,I).(-4,4)(1-I,I)(1 + 1,1) f'(-I,I) _(.)( -)( +) ;'." + "
Luego: x> -1 • - 0,9 Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x)_ 4x(1 + x)(1 - x) ('( - 0,9).4 (- 0,9)[ I + (-0,9»)[1 - (- 0,9») f'( -0,9). (-3,6)(1 - 0,9)(1 + 0,9) f'(- 0,9).( -)( +)(+)." -" Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " • la Función tiene un valor Máximo. Como colofón, sustituimos x _ - 1 en f(x) para encontrar
valor Máximo. f(x) = 2x2 _ X4' f(-I) _ 2(.1)2 - (_1)4 ~ 2 - I _ 1 ::::> en x _ - 1 existe nn Máximo. 162
#
0,9
"
Luego: x> 1 : 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada, f '(x) = 4 [(1,1») - l] C'(x) = 4 (1,331 - 1) , ()(+) "+" f (x). + = • bi d " " " + puesto que el signo de la derivada cam la e - a función tiene un valor Mínimo.
Sustituimos x • 1 en f (x,) para ene ontrar. el valor Min
fOO·~-~ f(l). (1)' - 4(1) f(I)=1-4.-3 ,f(1)=-3 .~ en x _ 1 existe un Mínimo - - 3
x • - x.2 + 1. f(x) = x• - x2 + I f '(x) _ 4x) - 2x _ O
1
d
Se sustituye este valor en la pnmera deriva a. f'(x) = 4 (x3 - 1) f'(x) _ 4 [(0,9)3 - 1) f'(x) _ 4 [(0,729 - 1] C'(x)=(+)( -)." -".
r
f'(X)=4X
2-
~j=O 163
Solucionarlo de DerIvl1dlls X•
O
1 O 2
.)(2 t
•. X2 =_1 =...l_ • ..Ji. 2 .J2 2
-_""
.'.
Solucionario de Deriv.das
Luego: X> 0,7071.. , .0,71. Se reemplaza este valor en f '(x) f '(x) _ 4(0,71)[(0,71)2 - 1/2) f '(x) = (2,84)(0,5041 - 0,5] f '(x) - ( + )( + ) - " + " Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la función tiene un valor Mínimo,
X.±1X 2 Valorcs Cl'íticos:
X •
O ;xc+'2'V
..:JI¿
,."" - -
a: -ll1
PRl'n:xcO __ o.i 2 2 Se sustituye este 'v f:(x). 4X()(2 _ II2)a~~ en la primera derivada. f,(x). 4(- 0,1)[(_ 0,152_ 1 f(x).(-44)[001 ] f'() , , -1) X
Sustituimos x • .[iñ., en 1\x) para encontrar el valor Mínimo f (x) • x' - X2 + 1 ' 1\.J'ii2) • (.,fin)" - (.,fin)2 + 1 f(.,f2n.) • (.ffi4 + 1 - 22 -.1.. + 1 -..1. + J.§_ • 24 2 16 4 16 16 16
4
'(-)(_)'''+''.
Lueeo: ..... > O· 01 l i f:(x). 4(0,1)[(0:li8_ ~fal que la anrerior se reem I .¡,(x). (0,4)(0,01 _ 1) . paza en f y
(x). ( + ) ( _):= " _ " Puesto que el si' . fu 'ó gno de la de' d nCI n tiene.un'vnjor '1" . ~lva a cambia • IY.lllXJtno.
.
de " ..." n " - .
Sustituimos
. f()" , x _)( _ X2 "+ 1 enf(x). ,pnl'n'CIlCOntl'a' f(O). (0)4 _ (O 2 ~ f (O)._ 1. .) 1 • O - 0+ I v
=>cnx.OhayunML' Para:.'t _ +
nxune
=
•
1
I
C
Ff_
\
f'(x)'• 4x(x..,0,7. Se sustitu ye este valor cola p , 2 _ 112) O f:(x) _ 4(0.7) [(0,7)t_ il2) nmera c " - :,
164
Jl_. 16
*=.l.4 *
.: ". '.' .':::)'en x •. .Ji_ hay un Minimo • .l. 2 4
4. -1.414213562373 2
2 . 1,41421356237 2 3.0,7071067811865
r«x». (2,8)[(0,49 - 05) x • ( + )( - )
16
• - 0,7071067811865
2
valor lYI~iY¡n."
1
'
16
11
..Y.:_
)«07001
JQ. - -ª--
Para: x _
O
-s ,
f(,J2I2).
-ª-
x < - 0,7071.... - 0,71
Se sustituye este valor en la primera derivada,
f'(x). 4(- 0,71){(- 0,71)2 - In] f'(x). (-2,84)(0,5041 - 0,5) f '(x) • ( - )( + ) • " - " Luego: x > - 0,7071 • - 0,69 Se sustituye este valor en la 1raderivada, f'(x)• 4x(x2 - In) _ O f'(- 0,69) = 4(-0,69)[(- 0,69i - 112] f'(- 0,69) e (- 2.76)(0.4761 - 0,5) f'(- 0,69).( -)( -)." +" 165
SOlllciOllal"Í~ de Derivadas
Soluclonarlo d. Derivadas
Puesto que el signo d 1 d ' función tiene un M'Inímo, e a envada cambia de " - " a " +
,~
Sustituimos x - - /m f f(x) ~ x4 _ X2 +-1 en (x) para encontrar el mínimo, f(- J2/2).
Éf} -f11
4
4xJ _ 12)(2 f(x}; 3x4 - 4xJ _ 12x2 f'(x). 12xJ - 12x2_24x f'(x) = 12x(x2-x - 2) _ O' f:(x) a X (x - 2)(x + 1)• Valores Críticos: x-O, , x =,X2' 3)(4 -
°
... -1.
Para: x ; O x < O. - 0,1, Se Sustituye este val , . f'(x) _ x (x " 2) (x + '1) or en a pmncra dCI;vada. f:(x) = (- 0,1)(- 0,1 - 2)(- 0,1 + 1) f (x) • ( _) ( _) ( + ) = " + ''. Luego: )( > .0' ~ 0,1. Se sustituye est 1 . f'(x) ( e va or en la pnmera derivada .xX-2)(x+I) : . f:(>f)-(O,I)(0,1-2)(O,1 + 1). f(x).(+)(_)(+)~" _". Puesto que el sig dI' Función t' no e a denvada cambia de "+ "a" lene un valor Máximo. 166
f(x) = 0Cuando: '
=
O
Máximo.
+1
f(- J2i2) • .1. -..L+ I ~.1.-..R. + 16 • 20 _ 16 4 16 16 16 "'&'.J1.. 16 16 16 ~ en x. - ...lUc. ' !f hay un M'100mo . _ 3 J 2 _. 8.
° °- {x_° °
Sustituimos x • en f(x) para encontrar el valor Máxim f(x) • 3x4 - 4xJ - 12x2 f(x) = 3(0)4 - 4(Oi - 12(Oi
_"
O
Para: x _ 2 x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera deriva! f'(x) _ x (x - 2) (x + 1) f '(x) = (J ,9){l ,9 -2) (1,9 + 1) f '(x) = ( + )( - )( + ) = " - " Luego: x > 2 • 2,1 Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x) = x(x -2)(x + 1) ['(x) = (2,1)(2,1 -2)(2,1 + 1) (+)(+)(+)."+" Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x • 2 en f(x) para encontrar el valor Minimr f(x). 3x' - 4xJ - 12x2 f(2) = 3(2)4- 4(2)J - 12(2)2_ %- 32 - 4,Z"= - 32 f(2) = - 32. :::::o en x _ 2 existe un Mínimo _ - 32 Para: " _ - 1 x<-I.-I,1 Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x). x (x -2)(x + 1) f'(x)=(-I,I)(-I,J -2)(-1,1 +' 1) f'(x) _ ( - )( - )( - ) • " - " Luego: x > - 1 • - 0,9 Se sustituye este valor en la primera derivada f'(x) = (- 0,9)(- 0,9 -2)(- 0,9 + 1) 167
SufIJciollnrio de Del'lvndas Sclucieunrlo de Derivadns
~'(x).(_)( _)(+)
.,
.. '
"+"
Sustituimos x • O en f(x) para encontrar el valor Máximo. f(x) • x' - 5x· feO)• (0)' - 5(0)4. O - O. O => en x • O hay un Máximo. O .
ue~to que el signo de la d' , funCIón tiene Un vI. M' ~r¡vada cambia de " _" " a 01 Ullmo. a + SUstituimos ~ 1 enf() f(x) • 3x' _4x".J _ 12 2 X para encontrar el val "1íllimi f(-l). 3(-1)' ~. or .• tt-I). 3(1)_~(~(-I) - 12(-ll ({-1).-5. 1)-12(1)=3+4_12. :::> en x • - 1 exist
e u u MinillJo
o _
PAra: x ; 4
x<4.3,9. Sustituimos este valor en la primera derivada. f '(x) • 5x1(x - 4) f '(x) • 5 (3,9)3 (3,9 - 4) f'(x). (5)(59,319)( -) f'(x). (+)(+)( -) _ "- "
5
Luego: x > 4 • 4,1. Sustituimos este valor en la primera derivada, f'(x). 5x3(x - 4) f'(x). 5(4,1)3(4,1 - 4) roo , (+ 5)(68,921)(+ 0,1) f'(x). (+)(+)(+)." +"
x.4 Para: x , O x < O. - 0,1
Puesto que el signo dc la derivada cambia de " - " a " + " la función tiene un vnloi Míuimo.
Se Sustit?,e este val f:(X) • Sx (x _4) , or en la primera derivada f(x)'(+5)(OI») . f'(x.). (+ 5)(~' [(- 0,1) - 41 f'(x).(+ 0,001)(-4,1) )~~)(-)."+" Luego: x ; O • O 1 Se Sllstituye el' , '. f '(x) • 5x) (x _ ~ Il pllmera derivada, f'(x) 5(0 ) ) , ' f'( J.( ,1) [(0,1) - 41 f'(:) • 5)( 0,001)( 0,1 - 4) -(+)(+)(-) " " • P uesr . o que el signo de la de ' funCIón ticne un valo)' k .. , ~vada cambia de " + .. a" "1 '.~ax¡mo. - a
,
Sustituimos x • 4 en f(x) para encontrar el valor Mínimo, f(x) • x' - 5x· f(4). (4)' - 5(4)' f(4). 1024 - 1280. - 256 => en x .4 exIste un Mínimo _ - 156
10.
"
3x5 - 20x3
f(x)• 3x' - 20x) f'(x) • 15x· - 60X2 f'(x). 15x2(x2 - 4). O f'(x). x2(x + 2)(x - 2). O X2• O ; x_O x+2.0 ;x.-2
168 169
.)OIUciolla,·io de Derivadas
x-2=0
Sotuclonarto de Der'lvadas
3( -32)-20(- 8) .- 96 + 160 = 64. . ,. 64 ~ en x __ 2 existe un Máximo _ .
;x=2
Valorcs'Ci-íticos
P:U'a: X _ O x < O = - 0,1.
: x , O ; x , - 2; x
,
=
f(-2).
2,
Para: x = 2
Se reem~Jaza este valor en la primera delivada. f'(x) = x (x + 2)(x _2) \
f'(-O,I)_(-O,li(_O,1 f'(- 0,1). (+0.01)(+)(
+2)(-0,1-2) _). (+ )(+)( _)="
xSe
f'(1,9) _ (l,9f(l,9 + 2)(1,9 - 2)
_ ''.
, ) (+)(+)(- ) = " - " f (1,9 • 1 I!i!.deriv Luego: x > 2 _ 2 ,1. Se sustituye este valor en a
Luego: l. Se f'(x) _ X2x(x> O+=2)O, (x _ 2)sustituye este valor en la primera rlpr;"'rl, f'(O,I) f'(O,I).
=
(+ O,li(O, 1 + 2)(0,1 _2)
(+)( +)( _) = "_
'()
Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo => No bay ni Máximos nI Minimos. Para:
2 x <- 2 --2,1. Se.sustituye este valor en la primera derivada. f'(x). X2(x + 2) (x_2) f'(-2,1)~(-2,J)2(_2,1 +2)(-2,1-2) f'(-2,J). (+)( _)( _)=" + ''. =-
1,9.
Se SUstituye este valor en la 113 derivada. f'(x) = x2(x + 2)(x _2) f'(- 1,9) = (-1,9lc- 1,9 + 2)(-1,9 _2). f'(- 1,9). (+)( +)( _)." _ ". Puesto que el signo deJa derivada cambia de" + "a" _ " la "\ función tiene un valor'Máximo, Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Máximo . • f(x) = 3xs - 20x.F. f(- 2) = 3 (-2i - 20(-2)3.
- 2)
f'(21).'(+)(+)(+)= bi de" "a"+' ' el signo de la deriváda cam la _ Puesto que . lnimo. , . función tienex un vaIO~(~lpara encontrar el valor Minim Sustituirnos = 2 en
X _ -
Luego: x > - 2
+ 2)(x
x2(x
~,(;,I).(2,1)2(2,1+ 2)(~:~-})
".
O
5
3
[() 3x - 2 x . (x e= 3(2 )5 - 20 (2)3 = 96 _ 160 f(2) [(2) • - 64.
64
•
' . ~ en x .2 existe unl\ l mrmo _ _ 64' 11.
X
2
2 3 +-ªX
f(x)=x
2
2 3 +_a x
2
3-1
.¡
f(x) = x + 2a .1.1) ['(x) • 2x + (2a \( - I ~~x_ 2x _ 2a3 f'(x) - 2)( + - (2a)(x )X2
f '(x)
=
2 x3 - 2a3 _- 2(x -3 X
•
3 2_ a3) . Fnctorando: x -
X
f'(x). 2(x - a)(x2+ ax + a2) 170
=_
_
O 171
al
So/llcionnrio efeDel'ivadns Solucionar!o. d e Derivndas
x22. - a ~ O; x , n (vnlo,' crítico)
+ ax + a
X
=
O no se puede factomar.
f'(x)
=
3 .) 2 - a3 .(-Zx -2.1) = 2 + 2a X ..
Para: x ; a. x < a • 0,9a.
., . ;" '
.
f '(x) - 2
1 = 2X 3 + +.1L 3 2a3 = O
x3
Se Sustituye este valor en la Plimera derivada. f '(x) • 2(x - a)(x2 + ax + a2) ..~
f'(0,9a)
f '(0,9a)
t>.
k
=
[2(0,9a - a)][(O,9ai+
2( - )( + )
k
"
a(0,9a) + a2)J
_ "
Se SUstituye este valor en la l lA delivada. f'(x) e 2 (x - a) (Xl + ax + al) - 2(1,la - a)[(I,Ja)2+ f'(I,la)=2(+)(+)k" +" f'(l,la)
a(I,la)
+ a2)J
Puesto que el signo de la derivada cambia de " _ " a " + " :. la función tiene Un valOl' Mínimo. Sustituimos trié) _ X2 + 2a1x • a en
f'(x) = 2(x3 + a') =2° O (x + a)(x2 - ax + X ) X
Luego: x » a = 1,1a
ttx) para encontrar el valor Mínimo.
X
=
+.a. O
xX2• --ax a +
2 X =
°
no se puede factorizar
Valor Crítico: x = - a Para: x- a tituye este valor en 1a 1m derivada. x<-a= - 1• 18. Se sus I
r
f'(x). 2x3 2 aJ X
x
1a )3 +3 2a3 (- 1,la)
f'(x).2(-1,
fea) • (a)2 + 2a) a
=
• . J 2( - 1,331a3) + 2a
-1,33Ia1
=
- 2,662a3 + :; -I,331a3
f '(x) = l..:l.. "+" (-)
=> en x • a existe un Mínimo _ 3aJ 1.. ".' -x - JL )
. este Luego: x > - a. - O ,9a. Se sustituye
f '(x) • 2x)
X2
va t or en
ia 1" derivada.
t 2a)
x
ttx) e 2x _ _i
J
X2
f'(x). 2(- O,9a¡ x
f(x) • 2x . (a J) (x .2)
+ 2a) _ - 1.8a) + 2a) (_O,9ai
.l..±.l. (_)
. de la derivada Puesto que el signo . ímo. cambia. d e "+"a función tiene un-valor MnxI 172
L
173
"
-
ti
"
.. 11 , I
. -_ ...... <1,
SUstituimos x ((x)
JU (J~
lJerjvndas Solucionarlo de Derivadas
--aen((x)
.. 2.x .. a J
. pai a enContrar el M' . BXltno.
f'(0,9a) _2(0,9at - 2a4 (0,9a)3
-y )(
((-a)
.
_= -
2(-a) - aJ • (_a)2 =
==> en x ~_ a h
.
2
f'(0,9a) _ 2 (0,656Ia4)
J
a- a 2 1- a - a • - 3a a
ay un Máximo.
-
2a4
0,729a3 f'(0,9a) _ 1,3122a4 - 2a4 0,729a3
_ 3a
f'(0,9a) - U-"-" C +)
Luego: x > a = 1,1a Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x) _ 2X4 - 2a4
x3 f'(x)
=
2CI,Iat - 2a4 (1,lai
f'(x)
=
2(1,464184) - 2a4 1,331a3
f'(x)
=
f'(x)
=
)( • ,¡::-¡¡r . (' a2 _ o· a.l Imaginario)
2,9282a4 - 2a4 1,331 a3
X2 _ 2
A v
_
a2
(+)
X·±a PIll'S: X.
a
Tomamos Un X< a Se susliruye eSle I = 0,9a . f '(x) = 2X4 _ 2a4va oren la pnmera derivada. XJ
-,
l..±.l- "+,,
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la función tiene un Mínimo. Sustituimos x • a en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) x2 +_L M
X2 \
174 175
SolucJonorlo de Derívadas
Solucionorio de DerIvadas
Puesto que el·signo de la derivada cambia de" - " a" -+ función tiene un valor Mínírno, !la) _ a2 + a2 _ 2a2•
Sustituimos x • - a en f (x) para encontrar el valor Mini,
~ en x _ a hay un Mínimo _ 2a2
f(x).
X
2
4
+JL .
Para: x _ - a X
X2
<-a.-l,la
f(-a).(-a/+
....L..a2 +~ (- 8)2
Se sustituye este valor en la primera derivada.
.f (- a)
e
82 + 82 •
7'
2 a.1
:::> en x _ - a hay un Mínimo _ 201
'.
f'(-I,la)
f'(-I,la).
_ 2(-l.lat
_ 284 (-I,la)3
14.
3.X
2(1,464Ia41-28' - 1,3318
f'(-1,18). 2,928284 _ 2~4 . - 1,331 a3
Derivando:
f'(-I,la)_1..±.l_" . (-)
f'(x) _
(x2 + a2).4_(ax) _ (ax).4_(x2 + a2)
_"
dx
dx (x + a)
Luego: x > -a. - 0,98. Se sus'i'uye este valoren la 1" derivado.
f'(x) _ (x2 + a2).a - ~ax)'2x . (x2 + a2) f'(x).
f'(- 0,9a).
0,86093442a4 _ 2a4 . - 0,72963 176
-ti (-)
f'(x)_ = "
+
11
+ al._2fI*~ (x2 + a2)2
fI*~
al_ ax2 _ + a2i
°
(Xl
177
, de Derivndas SolucionArlo
Solucionarlo de Derivadas
(Xl + a2)2(0) ~ O => f'(x).al -8X2•
,
O
f'(x). a(a2 - X2). O a (a + x) (a - x) • O a+x.O ; X ..... a
; av x
a-x.O
a de
o
x.a
V:llm'es Cdticos: (x. 11; x ; _a} Para: x _ a x < 11 c,O,9a' Se sustituye este valor en Ill"primera derivada.
f'(x)
e
. valor en la I!l! derivad¡ , Luego: x > - a e • O, 9a. Se sUSlltuye este 3 ax2 3 II + ., f'(x):a - l. (_09ai·al-0,8Ia •. d' "_"a"+"la f'(- O,9a) • a la derivada cambia e Puesto que el SignO. , .. tiene un MlOlnlO. "W1ClOn M' . o L' , Ivalor mimo. Sustituimos x •• a en f(x) para encontrar e
al _ax2
f '(0.9a) •
al - a (0,9ai • a~ _0.81 a3 • " + "
Luego: x > a. 1,1a Se sustituye este valoren f'(x) f'(x) = al _ ax:Z f'(I,la).a3 -a(J,la)2.a3_1.2Ial~(_) Puesto que el signo de la derivada cambia de " + función tiene un Máximo,
=:> en x _ - a hay
X2
+ a'i
• a 2 .. 1 2a2
"2
x+a X2
x +8
d (x + a) (x + a),Q_(x2) • x2' ._ dx dx f '(x) (x + a)
f '(x). 2x(x + al • : 2(1) (x + a)
=> en x - a hay un M:\ximo • 1/2
Pnra:x._1I x <- a. -),1a Se sustituye este valor en la primera derivada. f'(x). al _ax2 ('(-I,la). al - 8(-I,la)2 f'(-I,la). a3 - 1,2Ial." " 178
· '10 • -1/2 M mm
15.
f(x) •
Sustituimos x • a en fl:x) para enCOntrar el valor Máximo, f(x). ax l
1111
"
2 _ 2ax + X2 _ x(2a + ~) • O f'(x) • 2x2 + 2a~; x - (x + a)1 (x + a) (x + a)
x(2a + x). O
x.O
2a + x ; O
x; -
2a 179
,.
.
~
.....
..,.
'~ '
..
Solúcionario de Deriv:ldas
Solucionarlo de Derivadas
Valores Cdticos: x _ O; x _ - 2 o.
Para: x _ O x < O_ - O,la .
-
.
Se sustituye este valor en la primera derivada. fO(x). x(2a + x) fO(-Oola). (- 0,(8)[23 + (- Oola)J
,,_,'
fO(-Oola)c(-)(+)~
10 _
10
Luego: l' > 0_ O,la. Se sustituye este valor en la II!! f '(x) _'x(2a + x) fO(b,la) _ (0,la)(2a + O,la) .. (+)( +) _ "+ ". . La función tiene un Mínimo, el signo va de 10 _ 10 • 10 + 10.
.:) ¡~
~ustituimos x e O en f(x), para encontrar el valor Mínirno ... f{x) •
_L_
-º- _O.
=
f '(x) _
~ en x = O hay un Mínimo. O
= (-)(_)
~ "
+"
f'(x).
x +a
~ en
X_ -
{-2a)1 • 4a2 -2a + a . - 8
• -
4a
2n existe un Máximo __ 411. 180 -'
e
O
2a2x _ O
Para: x _ O
_ 00
)«o.-O,la fO(x) Este valor se reemplaza en 2 f'(x). 2a x 2 00 " f O( -O !a) = 2a (,0, I a). -
, laza en f'( Luego: x > O.= O!,a. Este valor se reemp
-Za se sustituye en f(x).
L.
2a2x 2 + a2)
Valor Crítico: x • O
Luego: x » -2a. -1,90
trx) •
•
x_O
\:
Se sustituye este valor en la I!l! derivada f '(x) • x(2a + x) fO(-109a) e (-1 ,9a)[2a + (- I,9a)J fO(-1,9a)~(-109a)(20 -109a).( _)( +).00 _" La función tiene un M áxímo, el signo va de 00 + " a 00 X •
~~+2a 2 X-2 ~; (xl + a2)
(Xl
Para: x.-2a x < -20 _ - 2,1a Se sustituye este valor en la primera derivada. fO(x) = x (2a + x) fO(-2,la). (-2,la)[2a + (-2,1a»)• (- 2,la)(28 _2,la)
\
f'(x)-
(x2 + a2lJ2x) - x2(2x) • (x + i)2 .
-
O+a
x+a
(°(-2,10)
°
f (x) =
f'(x).2a2x 1 )-" +" f'(O,la) - 2a (O,la -M' imo el signo va de . 'n nene un 1111 , La fu ncio 181
"
01
-
a
Solucionado de Deriv.das
Solucionarío de Derivadns
x-
..
....:....
o se sustiruye en t1()x para encontrar el valor
f(x) •
x2
f'(x) • _2alx "'Huml~.:
['(_ O,la). _2a2(_ O,la)
= "
+"
Luego: x » O• 0,1a. Se reemplaza este valor en f''(x)
xl + a2
f'(x) • _2alx
f'{O,la) _ -2a\0,la) - " -" La función tiene un Máximo, el signo va de " + "a "-" ~ en 17.
.'1: •
Xl X2
O hay un Mínimo. O
Sustituimos x _ O en ftx) f(x) _ X2 + 2al
+ 2a2 + a2
X2
+ a2
f(x) _ (0)1 + 2al : 2al ~ 2
(0)2 + a2
f(x) _ X2 + 2ai X2 + a2
::::>
18.
7
en x _ O hay un Máximo. 2 (2 + X)2 (1 - X)l
ftx) • (2 + xi (1 - x)2
f'(x) =(2 + x)l. Q_(I- x)2 + (1 - x)l. Q_(2+ xi dx dx
f'(x):(2+X)2.2(I_X)1-'.(-1)+(I-X)2.2(2+X)2.' f'(x): -2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x) f'(x)=-2(2+x){I-x)[2+x -O-x)] f'(x): -2(2 + x)(1 - x) (2 + x- 1 +x). - 2(2 + x)(1 - x)(2x f'(x): 2(2 + x}(x - 1)(2x + 1) = O 2+X:0 ; x:-2 x-I:O ; x.1 2x + 1 • O ; X • - In Valores Críticos: x _ - 2; x.1 ; x _ - 1/2 x _ O valor crítico Para: x _ O .'1: < D. - D,la I Se reernpla za este valor en f '(x) 182
P3l'a:x.-2 x < - 2 • -2,1 Se reemplaza este valor en f '(x). f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f'(-2,1) _ 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1] 183
Soluciollario de Derivndas
f'(-2,1). 2(2 - 2,1)( - 2,1 - 1)(- 4,2 + 1) f'(-2,1). (+)( _)( _)( _). "_ " Luego: x > - 2 • - 1,9 Este valor se reemplaza en f'(x) f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f'(-1,9). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f~(-1,9).2[2+(-1,9)J(_1,9_1)[2(_I,9)+ IJ f'(-I ,9) = ( 2 )(2 - 1,9)(- 1,9 _ 1)(-3,8 + 1) f'(-/,9). (+)(+)( _)( _)." + ". La /nlflción tiene un Mínimo , va de " _ " a "+" I ,
'
Se Sustituye x • - 2 en f(x) f(x) = (2 X)2 (1 _ X)2 f(-2) - [2 + (-2)f [1 - (_2)J2,
+
2i
f(-2) = (2 - 2i(J + = (0)2(3)2 = (0)(9). =:> en x , - 2 hay IIn Mínimo. O
°
Para: x.1
x < 1 ~ 0,9
2(~~~~(-_¿~6~~(_~,2_ 1)(2(-0,6) + 1] ~,~:~:~~:(2)(2 - 0,6](- 0,6 -}~-..',2+ 1] f'(-0,6) • ( + )( + ) ( - ) ( - ) •
f:(x).
Luego: x > - 1/2 • - 0,4 , , Se sustituye este valor en : ~x) f'(x)
D
2(2+ x)(x - 1)(2x"" 0)4 _ 1)[2(- 0,4) + 1)
(2)[2 + ~ ~j~~(~ _' 1)[- 0,8 + 1] f '(- 0,4) • (2)[2 -, ,:" f'(- 0,4). (+)(+) (-)(+):" de" +" a " _ " La función tiene un Máximo va
rt- 0,4).
Se sustituye ~ • - 1/22en f(x). f(x) = (2
+ x)
(1 - x\
'S
2
[2 + (- 0i5)] [1 - (; 0'dJS)2 (1,5)2. (1,5)4.5,0625 f(- 0,5). (2 - 0,5) (1 + 0,5) = , '"
Se reemplazlI este 'valor en f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f'(0,9) = (2) (2 + 0,9) (0,9 - 1)[2(0,9) + IJ f '(0,9) ~ ( + )( + )( _)( + ) • " _" ['(x).
Luego: x » 1 _ 1,1 Se reemplaza este valor en f '(x) f'(x) ~2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f'(I,I).(2)(2 + 1,1)(1,1 -1)[2(1,1)+ IJ f'( 1,1) • ( + )( + )( + )( + ). " + " La función tiene un Mínimo va de " _ " a " + "
f(l) = (2 + 1)2(1 - 1)2. (3)2 (0)2. (9)(0). =:> en x • 1 hay un Mínimo. O
Para: x -•-- 1/2 x < - 1/2 0.6. Se reemp laza este valor en f'(x)
f(- 0,5)
, .
Se Sustituye x = 1 en f(x) f(x) • (2 + X)20 _ X)2
Solucionario de Derlvadas
°
G
f(x) • 5,0625 h' :::::> en x • - 1/2 ay
' 19.
UD
Máximo _ 5,0625
(2 + x~2 (1 - Xl)3
f(x). (2 + x). Pd-(~)-x)3 + (1 _ xlQ_(2 + xi f '(x) • (2 + x) . dx dx f'(X)=(2+x;Z,3(1-X)2,dd~I-X)+(I-X
i ,2(2+ xi-',Q_(2dx + x)
'2 )2(_I)+2(I_x)3(2+x)(I) f'(x)," 3 (2 ++x~ ~~I-~X)2 + 2(1 _ x)3(2 + x) f'(x).-3(2 ) )2(-3(2+x)+2(I-x)] f'(x) (2 + X»«II-x )2( _ 6 _ 3x + 2 _2x] f '(x) = (2 + x -X 2 f'(x).(2+x)(I-x) (-4-5x) D
184 ¡SS
.....
f'(x). (2 + x)( 1- X )2 ( _ 4 _ 5x). O (2 + x) - O ; x , _ 2 (/ - x) • O~ 1 - x ; x , 1 - 4 - 5x • O ; 5x. - 4 ; x , _ 4/5 Valo,'cs Críticos: X -] ; x ; _ 2 ; x. _ 4/5 Panl: X. 1 x < 1_ 0.9
'J .,
-{ '.
.. / '.~
,
UCJ"vndns
Soluclonarte, de Derivadas
\
;.
., \ft'"
SUstituyendo este vlllor en f '(x), f'(x). (2 + x)(1 - X )2(_ 4 _ 5x) ('(0.9) o (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [_ 4 _ 5(O,9)J ('(0,9). (2 + 0,9)( 1 - O,9l [_4 _4,5J f'(O,9). (+)( + )2( _J. (+)( + J( _J." _" lLllego: x > 1 • 1.1 Sustituyendo este valor en f'(x) (2 + x)(I - xi (_ 4 _ 5x) f'(I.l). (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [_4 _ 5(1,1)J f'(I,I)0(2 + 1,1)(1 - 1,1 i [-4 - .s,5J f'(I,I) _ (+)( _)( _)2. (+ )( _)( +) , " _"
ri»,
La función no tfene ni MáXiJ!lQnI Mínlllli!. no hoy cambio de
Para: x _ - 2,
x < - 2 - , 2,1, SUstituyendo este valor en f '(x), f'(x) = (2 + x)(I - X)2 (_ 4 _ 5x) ('(-2,1). [2 + (-2,1)J[I'- (-2,I)J2 4 _5(-2,I)J ('(-2,1). [2-2,11fl +2,IJ2'[-4+10,51 ('(72, 1) ~ ( -) (+)2 (+ ). " _" Í:
Nota, (no es IIecesa,'io elevlI" (+)' •pues si~",pre es positivo; . Pe,'o si Cllaudo ( - )',Pllts al eJeva"se 111cuadrado se úace " +
Luego: x> - 2 __ 1.9 SUstituyendo este valor en f'(x) ('(X)0(2+X)(1_X)2(_4_ 5x) ('(-1,9) f'(-I,9).
e
(2 + (-1,9)J [1,- (-1,9)]2 I- 4 _ 5(-1,9)] (2 - 1,9] [1 + 1,9]2[_ 4 + 9,5]
+)
H+lI
f'(-I ,9)~ ( ~)( )( 1\1¡~imO,e.l signo cambia de La función tiene+ un
,
Se sustituye x • - 2 e~ f(x) f(x).(2,¡..x)2(12-x) 2 3
[!;~i :~
f(-2) • (2 + ~-)2¡~1 O )( 3)J • O f(-2).(2O => en x.- 2 existe un Mínimo. Para: x " - 4/5" - 0,8 x < - 4/,5. - 0,9
lor en f'(x) Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x) f'(x) , (2 + x)(1 - x ) \ _(-O 9)]2(- 4 _ 5(- 0,9») f:(- 0,9). [; _~~~i~)I(o,912 [: 4 + 4,5) f (-0.9) • [ (') (+) "+". f'(- 0,9). (+) + -7 ' x > - 4/5 _ - O, Luego. lor en f'(x) . Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x) f'(x).(2+x)(I-x)
( -(-07»)2[-4-
5(-0,7»)
f' (-0,7). (2 ~ J-7~'r~)~(6,7)2 ['_4 + 3.5] f'(-0,7). [2, "_"
,
f'(- 0,7). (:-)( + )~~;imo el signo va de" +": La función ~e;es~nsustiruye ~ f{x) x - 4/5 e - , ' J f ("x) - (2 + f(-0,8)=[2
xr g 0;;)2 i ~'~¡ J)J ci
[1 _ (_ 0,8»)3
,
1 +08)3
f (-0,8) " [2 . 44) (5,832) =8,39808 f (- 0,8) • (1,2) : • ,,'1áximo • 8,39808 => en x _ - 4/5 existe . un 2/3
, 20. b + c(x - a~J f(x) • b + c(x - a) f'(x).
Q_(b) + c.Q_(x-
dx
a) 2/3
dx
d (x - a) f'(x). 0+ c,l·(x - a)2/J,' 'dx 3
186
187
..•
SoluclonArio
Solucionado de Derivadas
de Derivndas
f'(x). ff]
2c
o
e
f'(x).
2e )I/j 3(1,la - a
, f '(x) =
2e
O
3(x - a»)/3
3YO,1a
Si ['(x) - O,se anulan los valores criticos; por tanto hacemoS:-l_
f'~X)
-F-t-]-
['(x) '.
3(x - a)I/J _ O 2c
~
._0 +
f'(x)
=
.±...
+
U+"
+ . Mínimo, va d e It - 11 a "+" La función tiene un trar el valor Mínimo. a S e reemplaza en f(x), para encon
x-
3 (x - a) I/J • (2c) (O) 3(x-a)IIJ.0 (x _n)I/J _ O [(x -a) 1/J1l • OJ (x -a) • O ; x ; 11
,,+"
11J
f(x) - b + e(x - a)VJ b + e(Oi'J _ b + O = b fea) • b + c(a - a) •
=> en x = a existe un MJnimo - b a - b(x - e)
21.
Parn: x _ a
IIJ
III
x < a. 0,99
f(x) = a - b(x - e)
Se sustituye este valor en f'(x) f'(x) '" 2c 3(x - a) Ii'l
f'(x) _ Q_(a) - b .Q_(x - e ) dx dx
f'(x).
3 .Vl( 1) _b f'(x). -.!!..(x- e) • 3(x _c)2íl 3
2c . 3(0,98 _8)1/3
f '(x) ..
+
2c
• ' ... ". La ra12 cubica de un negarivo es negativo.
3J!-O,Ja Luego: x > a , 1,la. Se sustituye este valor en f '(x)
.
113
)1/l.1
f '(x) • O - b ._L. (x - e
1
_ - 3(x - e) VJ - O
f'(x)
b.
f '(x) = - 3(x
ur
)VlO·
d (x - e) . dx
O
['(x) - (x - e) VJ)j/2 OJ/2
f'(x) _ 2c 3(x-a)lll
f'(x). (x - e) ('(x) = e). O
ex -
x-coa; i88
•
x.e 189
=
O
.w __
de Derivadns
o)UIUC'OJUU'¡O
Soluclonanoo o,. u. Dej-lvadas
Pal'lI: x • c. X < e. O,ge. Se reemplaza este valor en ['(x) ['(x). .b •b • •b -:._ _'~
+
3(O,9c - eilJ J'(-O, 1e)2 J'+
3(x • ci/)
=
f''(x) • ( 2 + x)
Luego: x » e - 1,1c. Se reemplaza este valor en ['(x). f '(x) • -b _b • _b _ _ _" _ .. 3(x - c)9J 3(1,1e - c)M 3(0,1 e)1.tl --;L. rue
22.
(2
+ X)'IJ
de "eno,.,..o
hay., Máximo. ni Mini.. os :
1/3
(1 -
1/1
.f'(x).(2+X)
(
('(x). (2 + x)
1
11)
i"[4 - 2)( + 1 -x 3( 1 _ x)(2 + x)
x
)lIJ [
_3
- 3x
~
-x3(I_X)(2+X)J
(1 -
x)l/J
r.L-3-{I-x)(2+)() - +
(1 _ X)VJ
ttx) - (2 + X)I/J (l _X)2IJ
f'(X).-(2+~1
('(x) - (2 + X)'IJ.Q.(I • X)2Il + (l _X)2/).Q.(2 + X) '13
dx
I • x)l/J (x + 1) -x)(2+x)
)"J(
=O
· el signo, un (actor, en este El ¡igno negnl lv \ o, hsee cemb l ar
dx
f'(x) - (2 + .)'IJ -,lA J 0.)11)".4..(1• x) + (1 x)lf.l..!..(2 + ')""".4..(2 + x)
f'(x). (2 + X ) '/J( 1 _ x)2IJ (- X - 1). O
.
o
f '(X) •
f(
3
dx
2 + x) 1/1(1 - X)'"l( • 1) +
f'(x). - 2 (2 + x)liJO 3 f'(x) - ( 2 + ,~)'I)(J.
['(X) - (
3
(2 + X )
dx
[f] (J _ Xi/l(
2 + X)'2I3(l)
X)'"3 +f_L) (1 _ X)2Il( 2 + xr2/3
-
2 + Xl'/le 1 - X)2/J
xr1lJ
r- 2(1 - xr'
l'
,. + 1(2 +
+ 1(2 ~
3.
r- _ 2
f~(x).(2 + X)I/l( 1 - X)lJl
(1 •
l_3(1 - X)
1
x>;·) (2 + xrll
xrJ
( 2 + x) 2+x.0 x. - 2
(1 - X
l-x.0.1-x
,,',
-I.x
•
X• _
1
1 .,A.'o _ 1
Para: x , - 21 Se reempI81..a este valor en f'(x) 2 , .. )1/3( 1 _ x)lIl (- X - 1) f '(x);. (2 + x (1 _ x) (2 + x)
.>
+~
-x-I.O
03
x.l
2/3
f'(-2,1).
3(2 + xl}
)1 (2I)ll1J[I-{-2.1[2+.'[1-(-2,1)](2+(-2,1»)
(2 - 2,1)"I/l (1 + 2 , 1)2/3 _ (2.1 - 1) (1+2,1)(2-2,1)
190
1
191
-», " :.: "I~'
2110
(I-X»wjJ12
x<-2.-
, f(-2). I
1•
03
Valores Crttíccs: x - - 2·x. ,
l3J
x)2ilf2(1 - xr';
"31/; O3
t.ISO (,
r
(-2 . 1) - 11
de Derivada.
Sollloionndo
..."
SoludonnJ"lo de Derivadas
f' (-2).(_ )11l( + )213( +) (+)(-) f'(-2).
(-)(+)(+) (-)
f'(-2) -1..:J.. (-)
f'(O,9) _
=
(2
(-)
f'(x).
I - X)2Ile_ x - 1)
(2 + x)~( 1 - x)V)(_ x - 1) (1 - x)(2 + x)
f'(I,I).
(2 + I,))~(1 - 1,1)213(_ 1,1 - I} (1 - 1,1}(2+ 1,1)
{'( 1,1).
(+) ( • )11}(
_) ,
Haciendoftnificios paro solucionar (_)lJI
(.)(+)
(J - x)(2 + x) f'{-1,9).
(+)
, Luego: x > 1_ 1,1. Se remplaza este valor en f;(x)
-1..:J..-"+"
~ " +"
+ xlI/le
-..L:.l. - "-"
(+}(+)
Luego: x > - 2 • - 1,9 .Se reemplaza este valor en f'(x)
f'(x)
(+)( +)( - )
f'(I,I).(+ H( - )1¡1iI( -) (- )
[2+(-1,9)J"3(1-(-1,9)J2Il[_(_1,9)_I]
(l-x)(2+x) ('(-1,9).(2_
f'(I,I).(+)(+ )IiI( _) (- )
1,9)"J(I ~ 1,9}2IJ(I,9_1)
.
[1 - (-1,9)](2 + (-1,9)J ' f'(-1,9) _ (+) 1/3(+)211( +)
(1+1,9)(2-1,9) La (unció" no combo d MiJllnto en x _ :2, In
e.
-
(+)(
+)( +) •
(+)(+)
f'(I,I).(+)(+)(-) (- ) f'(I,I)-U-"
(1 - x)(2 + x) , =
+
(+)
1 ~no, por rnnto no tiene ni MáxImo nI
Pan: x, 1 ~ < I .0,9, Se remplaza este valor en f'(x) t '(x). (2 + X}'/l( I _ X}2/J(_ x: 1) f'(0,9)
i.:!:.l."
(2+0,9)"J(1 -O,9)2IJ(_O,9_1) (1 - 0,9)(2 + 0,9)
f'(O,9) _ (2 + 0,9)IIl(l - O,9)Vl(_0.,9_ 1) (1 - 0.9}(2 + 0,9)
192
,
+"
(- )
La función tiene un Mínimo va de "- "a
"+"
Se reemplaza x • 1 en f(x) {(x). (2 + x)'/J(I . x)"J f(l) _ (2 + 1)"1(1 -'Ifl_ (3 )"3( CJ)2I3.O ::::> en x • 1 hay un Mlnimo • O· Pnrn: x • - 1
x < - 1 _ - 1,1. Se sustituye este valor en f'(x)
""
Seluctennrtc d. Derivadas
f'(x).
.-
Solucionarlo de Derivadas
(2 + x)"J(1 • x)2/) (·x· l) (l . x){2 + x)
Suponiendo que: u. x(a + X)2 y v ; (a • X)3, aplicamos la derivada del producto: y'. U.v' + v.u'
(2 + (.I,I)}UJ(I. (·I,I~2/3(. (·1,1)· I) [1·(·I,J)J[2+(·J,I))
f'(x) _ xCa -1- xfQ_(a. dx
f'(·I,I).
(2·1,1)"3 (1 + I,¡fl f+ J,I ·1) (1 + 1,1) (2·1,1)
f'(x) • x(n + x)'. 3(a. x)}", !l(a - x) + (a - x)}[x . !lea + x)1 + (a + x)' . !l
f'(.I,I).
(+)
Luego: x > -1 = • 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x). f'(x).
(2 + x)ln( 1 - xlV)(. x - 1)
f'(- 0,9).
(2 + (·0,9»)1/3 (l . (_0,9))2/3(. (·0,9)· J) (1 + 0,9)(2.0,9) (2 - O,9)1/3( 1 + O,9)2IJ( + 0,9·1) (1 + 0,9)(2 • 0,9)
f' (.O,Q) _ (+)
113(
+ )VJ
( .)
=
(+)(+)
U ="
+ (a - xi,Q_[x(a + dx
dx
dx
Faaorixando: (a + x) (a - X)2 f'(x) _ (a + x) (a - X)2 (·3x(a +' x) + (a; x) (a + 3x)} .01 {_~.3x2+a
xi {
_6X2
xi {
•"
f'(x) = (a + x) (a - x¡-(2x + a) (a • 3x) (a+x).O => x.-n n.x.O => OcX
=>
x • -1 se sustituye en ((x) para cálcular el valor Máxínn f(x). (2 + x)"J(1 • x)2n ,
Valores Críticos: x , - a; x ,
f(.I). [2 + (.I»)IIJ(I . (_1»)213 1 hay un Máximo _ ~
+ a2}
':;4
c
O.
x•~
2 a - 3x _ O ; a _ 3x ; 3x _ a ; x • all 8;
X_ -
812; X.
alJ}
. PHI'a: x _ - a x < -a. ·1,1 a, Se reemplaza este valor en f '(x) . . f'(x). (a + x)(a . x)2 (2x + alea - 3x) f'(.I,la). (a+(-I,la)}{a-(.I,la)}'
x (a + x)2~a _ x)J f(x). x(a + x) (a- x)
O
Cambiándole el signo alfactor: l·6x2 - nx f'(x} = • (a + x)(a . 6x2 + ax - a2} • O. f'(x) _. (a + x)(a· X)2(2x + a) (3x· a). O.
2x + a _ O
=> en x _.'
=
CtlmbiÚlldoJ.,1stguotll~lClor: (3x • a) y anulandoel signo negativo.
(+)
+ I]W. ( 1 }"J( 2 )2I~.•
+~·llx·3x}
-ax + a2}
La función tiene un Máximo va de " + " a " . "
f(·l) _ [2.1)"3[1
d
xi
f'(x).(a+x)(a-x)l f'(x) = (a + x) (a -
(1 • x)(2 + x)
f'(· 0,9).
x)
f' (x). x(a + x)'. 3(.· xi( - 1) + (a - x)'!" , 2(8 + X)'" + (a + )1(1~1 f'(x) _ ·3X(8 + x.¡2(a - x)' + (a - x) (2x(a + x) + (a + x) ] f '(x) = -3x(a + x)2(a • x)' + (a • x) (a + x) (2x + a + x) f'(x) _ ·3x(a + x)2(a • + (a • x) (a + x)(a + 3x)
(+)"J(+)213(+).W."+"
(+)(+)
23,
xi]
f'(·J,I).
(2(-I,la)+alla-3(-I,la)}.0
1,la). (a - 1,la)(a + 1,la)21' 2,2a + a)(a + 3,3a). O f'(.I,la). (_)(+)2(_)(+)." +"
,
194
19S
Solueleunrte de Derivadas
Soluclonnrlo de Derivadas
'(_O,4a)• {a + (- O,4a)}{a - (- 0,4a)}' (2(- O,4a) + a}{a - 3 (- O,4a)} f'(- O,4a) = {ti _0,4a)(a + O,4a)2( - 0,8a + a) (a + 1,2a) f'(- 0,4a) - (+)( + +)( +) -" + " La función tiene un Mínimo , va de lO - " 8 " + "
Luego: > - )(a - O9 f'(x) ( x + 'la. S e reemp laza este valoren f'(x) , • a x a - x) (2x + a)(a - 3x) (a{... (-~,9a» (a - (- O,~a)}l (2(- O,9a) + (af'(- 0'9 ). (a - ,9a)(a + O,9a) (-l,8a + a)(a + 2,7a) '~.' .+)(+)(-)(+)."_10 La función tiene un Máximo va de " + lO a " _ "
1.-
~,~~ ~9;!)
i(
al
x • - 012 _ - O,Sa. Se reemplaza en f{x)
xi
f(-a). (-a) {a + (-a») 1 {a - (-a))' fe-a) _ (-a) {a - a)l (a + a)' .. (- a) (0)(2a)J • O => en x _ • a existe un Máximo _
°
Para: x _ a x < a. 0,93 Se reemplaza este valor en ('(x) f:(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + a) (a
-la
, \
..
'
o
é _-
Dividiendo tanto .1 numerador y denominador para 15.625 f(- 0,5a) • - 421875 • - 27 a6
3x)
1'000000
¡,~g,;a? + (O,9a)} {a (0,9a)}2 (2{O,9a) + a) {af'(0'9 a) • (a + 0,9a~(a - O,9a)2(1,8a + a) (a - 2,7a) lO _
lO
Luego:x>a_l,la . Se reemplaza este valor en f'(x) ¡:(x). (a + x)(a - x)1(2x + a)(a - 3x) f,~:,:a~-/a+(I,la)} (a-(I,18)}2{2(1,la)+a} {a-3(1 f'(I'la) _(a+ 1,lai(a-I,la)2(2,2a+a)(a-3,3a) . .' a - +)(-) (+)(-)-(+)(+)(+)(-)a"-" PSI a x • a la función no tiene Máximos ni M' . no cambian los signos. numos, Para: x _ - al2 _ - 0,511 X f" < -al2 • - O, 68 . SI'" e reernp aza este valor en f'(x) ,(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + alea - h) f (- 0,6a) • (a( + (o O,6a)} (a- (O ' ['(-06) - ,6a)} (2(.0,6a)+a}{a-3{_
,a.
64
o
, a _ +)( +) (.¡.)( _) _ (+){ +)( +)( _) _
f'(- 0'68).
xi
f(x) • x(a + (a f(- 0,5a). (- 0,5a){a. + (- 0,5a)}2{a - (-0,5a)}) f(- O,5a) ~ (- 0,5a)(a - 0,5a)1(a + 0,5a)J f(- 0,58). (- 0,58)( O,58f( 1,5ai. f{- 0,5a). (-0,5a)( 0,25a2)( 3,37583) f(- O,5a) = - 0,421875 421.875 a6 1'000.000
a se sustituye en f(x) {(x) _ x(a + X)l (a _ x») para encontrar el valor del X • -
(a -)0,6a)}a
+ O,68}2{- 1,2a + alea
+ (+)(_)(+)."_"
°
+ 1,8a)
Luego: {'() ( x > - af2 - - 2 ' 4 a. S e reemplaza este valor en x • a + x) (a - x) (2x + a)(a - 3x) 196
=:> en x • - n/2 existe un Mínimo _ - 27 a' 64 Para: x • a/3 _ 0,33 ... a x < O,33a. 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x) f'(x) • (a + x)(a _ X)2 (2x + a) (a - 3x) ('(0,32a) .{a + (O,32a)} {a _ (O,32apl{2(O,32a) + a} (a - 3(O,32a)} f'(O,32a) _ (a + 0,32a) (a - O,32a) (0,64a + a) (a _O,96a) f'(0,32a). (+)( + )2( +)( +). ,,+ lO Luego: x> al3 _ 0,34a. Se reemplaza este valor en f'(x) f'(x) =(a + x)(a - x)2(2x + a) (a - ~x) f'(0,348) .{a + (0,34a)} (a - (O,34a)}2(2(O,34a) + a}(a - 3(O,34a)} f'(0,34a) • (a + 0,348)(a - 0,34a)2(0,68a + alea - 1,02a) f'(O,34a). (+)( + )2( + )( - ) • " - " La función tiene un Máximo, va de " + lO • " - " x. al3 se sustituye en f(x) para encontrar el valor Máximo f(x) _ x(a + X)2 (a _ x)'
_
Solucionado de Derivadas
(aI3) {a + (aI3{}2 {a - (al3)}'
f(a/3).
f(al3) • (al3)(n + al3) (a - alJ)'
f'(x) • 1.(2 x _a)"l (x - a)2/' 3x - 2a 3 (x-a)(2x-a)
f(aI3) • (aI3)( 4a13)2( 2a1J)' f(al3). (al3)f 16a2/9) ( 8a'/27)
r(al3) • 128a n29
.
=> en x .:Ú3 existe
LID
['(x).
2(2x - a)'ol(x - a)1I.)(3)(- 2a). O 3(x - a) (2x - a)
M:iximo • ~a'
729
{3 (x - a)(2x - a)} (O). O
24. (2x - n)"'(x _ a)1I.)
1
=> f'(x) • 2(2x - a)'? (x - a)~( 3x - 02a) • O
J
ftx) • (2x - a)I/3(x _a)1I.) f'(x). (2x - a)I/3..Q_(x- a)1I.) + (x _a)1I.). .Q_(2x_ a)1/3
dx
dx
f'(x). (2x - al"l ..l..(x - al'¡·'.!L(x -a) + (x - a)2Il...L.(2x - a)'I).' 3 dx ) f'(x} • .l.(2x-a)"J(x·.r"l(d 3
(x)- g_(al) +..L(x-al''l(2x_ar''l ldx dx 3
J
f'(x),2..(2x-a)'0)(x-ar'")(1 3
--
f'(x) • 2..(2x -a)'3(x
\
3 f'(x).
2(2x-a)''l
, -~-..._.__ ...
-;;:-.M.t._'~
(x - a)213 • O {(x _ a)21l}JI2. Q'n
I
Jx - 28. O
x•.
x-a• O x.1I
Valores Críticos: x _ aJ2; x ; a; x = 2a/3}
o
Para: x • al2 .0,5a x < 0,5a .0,430
-ay' 1(1) + _, (x-a)2JJ(2x
-a)"2I)(2)
Se reemplaza este valor en f'(x). f'(x).
2 (2x-sin
(x_a)2/)( 3)( - 2a)
3(x - a)(2x - a) ['(0,41\). 2(2(0,4a) - a)") (0,48) -afl(J(O,4a) - 2a) 3 {(O,4a) - a} {2(O,4a) - a}
__J_}. O
f'(O,4a).
al
('(O,4a).
(x_a)21J{_1 _ + x-a 2x-a
(x_a)1I.){ 2)( - a + x (x - a) (2x - a)I
198
'1
Ldx
-a)1/) (x-arl/3 + 2(x _a)1I.)(2x_a)"1I.)~ O 3
2(2x-a)l/3
3
(2x_a)'1l • O {(2x_a)'ij}J.03 2x - a • O x , aI2.
3
3 ['(x),
rg_(2x)-
- O) +J..(x-a)2.'l(2x-ar2l'(2_ 3
3 f'(x) .1.(2x
•O
=
O
2(O,8a -a)'Il(O,4a - a)2I3(1,2a - 2a)
3 (O,4a - a) (O,8a - a) ( +)( _)UJ( _ )2/)( _)
r-x-x-:
199
Solucionarlo de Derivadas
Recordnj- que' .•(_)2 ~.' .
.,
"+"
y
sr: v-
Solucionarlo de Derivados
- 2a ti
ft
(+)( -)( +)( -) -!..±.l •• :+ ,: L (+)(-)(-) (+) uego: x > a/2 _ O,6a. f'(0.4a).
S~ reemplaza este valor en f'(x) f (x) _ 2 (2x - 8)1/J(x_a)2I)(3x _ 2a)
• ( + ) (1.8a _ a) 1/3 (0.9a
(+ )(0.98 - a)(I,8a - a) '(0.98) _ ( + )( + )'/3( _)21)( + )
3(x - a)(2x - a)
~~~;2~~~~~-ªl:
f'(0.6a).
3 {(O.6a) - a}'{2(O.6a) - a}
f'(0.6a)
=
2 (l ,28 - ati(0,6a - 8)2I30.8a_ 23) 3(O,6a - 8)(1.28 - a)
f·(0.6a)·~ (+)e + )11)( _ )21)( _) (+)(-)(+) f'(O,6a) _ (+)e + )IIJ( _ )21)( _)
( + )( - )( + ) f'(O,6a)a (+)(+)(
~)( _)
( + )( - )( + ) f'(0.6a) -l.:l_ _" + " (-) Como no hay variación de signos: => x - a/2 no hay ni M:\ximos ni Mínimos Para: x _ a
x
e
O,9a
Se reemplaza este valor en f'(x)
- a) 2/3 (2.78 - 2a)
( + )( - )( + ) .(+)(+)(+)(+) (-) f'(O,98) •
l.!l...-.. (- )
Luego: x > a • 1,13 . Se sustituye este valor en f'(x) f'(x) • 2 (2x_a)1/J (X_8)1/3( 3x - 2a) 3(x - 8)(2x - a)
f '(1.1a) _ ( + ) (2(1.1a) - 8 lJI1 {(l,1 a) - a} 2/3 (J(I.la) - 28 (+ )((I.la) - al {2(1.la) - al f'(1.1a). (+) (2.2a - 8)"3 (1,18- at3 (3.38 - 28) (+ )(1.10 - a)(2.2a - a) f'(I.1a) • ( + ) ( + )"3 ( + i'J ( + ) • ( +") (+)(+)(+) (+)
J (x - a) (2x - a) 200
+ ..
La funoión tiene un Mínimo, va de .. - " n " + " x , a se sustitu~e en f(~ f(x) _ (2x - a)13 (x - a) 3 fea) _ [2(a) - 8)1/3[(8) - a]2I3 fea) _ (28' 8)"3(8 - 8)211 _ (8 )"J(O)2IJ • O
=> en x • a existe IIn Mínimo. f'(x) _ 2(2x '- a)I/J(x - a)21)( 3x _ 28)
= ..
Para: x
-.1 n _ 0,66 ... n 3 ?nl
O
}
Solucionarlo de Derlvndas
- (j:_) •
;,
"
-
x < .1.8 • 0,6 a 3
.
( )
Se sustituye este valor en f '(x)
. va de "+" a-" .. fu nct'6'n llene un Má xírno,
['(x).
sustituye x
2 C2x-a)II)(x-a)Vl(3x - 2a ) 3(x, 0)(2x - a)
f'(0,6a).
(+) (2(0,6a) - a}11l {(0,6a) - 3}!IJ(3(0,63) _2a}
f'(0,6a). ,
( + ){(0,6a) - a) (2(0,6a) - a} (+ )(I,2a - a)11)(0,6a - a)1I3(l,8a - 2a)
(+ )(0,6a - a)(I,2a - a)
f'(0,6a). (+)( + )113( _ t')( ( + )( - )( + ) f'(0,6a)
o
f'(0,6a)
c-)
R •
~(2x - a)t13(x - n)2fJ(3x _ 2a) 3(x - a)(2x - a)
f'(O,67a). (+)(I,34a - a)lfJ(0,67a - a)'I)(2,073 _2a) (+)(O,67a- a)(1,343' a) f'(O,67a). (+)(+),,'(_)11)(+) (+)(-)(+) f'(O,67a). (+) (+)(+)(+)
c-) 202
.~ ...
x+'2
O,67n. Se sustituye este valor
f'(O,67a) • (+)12<0.670) - al 1/) 1(0,67a) - a 1~113(0.67a)_2a . ( + ){(O,67a) - a} {2(0,67a) - a} )
..
{(x) = (2x - a)l13 (x - a)'lf) f(28/3) = (2(2a13) - a}IIl{(2a/3) - a}w f(2a13) = (4a/3 - a)I13(2a13 - a)213 , f(2a/3) = (4a13 - 3a13)i1J (2a/3 • 3a13)2fJ f(2a/3) = ( al3 )113(: a/3)21J
~ en x =.1,a existe un Máximo - -ª3 3
U."+ "
Luego: x » 0,66.,. f'(x).
3
(+)( +)( +)( _)
-
o
o.1.a en f(x)
_)
( )
.'
l' _ II
f(x)
= X2
x+ 2 +2x +4
(x2 + 2x + 4). Q_(x+ 2) - (x + 2). !L(x2+ 2x + f'(x). dx dx (Xl + 2x + 4¡l f'(x). (x2 + 2x+ 4) ~l)- ex + 2) (2x + 2) (x + 2x + 4)2 f'(X)_1\2+F1<+'4,-2x2_~-4X-X·. (x2 + 2x + 4)2 203
_x2.4x 20 (x2 + 2x + 4)
SoIuclollario de D.dv.dos
',.. .'
-x , O
Solucionado de Derivadas
x +4 • O
4x _ O - x (x + 4) • O - X2 -
X __
4
. • O se sustituye en li(x)• para encontrar e l valor Máximo
{valo~'e~Crfticos:
x• O
x • O, x __ 4
x+2 X2+ 2x +4
Para: x. O x < O - - 0,1. Se sustituye este valor en f '(x) f '(x) •. -x2-4x . (xi + 2x + 4i .
f'(-O,I). \
2
-(-0,1)
-4(-0,1) {(- o,li + 2(- 0,1) + 4}'
f'(- 0,1). - (+ 0,01) + 4,4 (0,01 - 2,2
('(-0,1).f'(- 0,1).
0.01 +4,4 (+ )2
f'(O,I).
4
2
en x = O hay un M•á'xim o -_ 1 2 Para: :oc - - 4 ('(x) 4 l .Se sustituye este valor en 4 x<- - •
W. "+ ,,'.
- X2_ 4" '(,,2 + 2x + 4l
{- (0,1)2,4(0.1)} {(O.1)' + 2(0,1) + 4}'
-1.:.l."-"
(-0.01-4.4)
{(0.01+0.2+4)'
f'(-4,1).
-(16.81-4) 2 {16,81-8,2+4}
f'(-4,1)=
-1681 +4 (20,81 - 8,2)
, __ , f'(-4.1).l....:-L= (+)
It
-
l
"
Luego: x > - 4 - _3"9 S. reemplaza f'(x)
(+)
La función tiene un Máximo, va de .. +" a .. _ ..
204
4} {-(-4,-d __
f'(41)
'. - . - {e: 4,1¡l + 2(- 4,1) + 4}
Luego: x » 0.0,1. Se reemplaza este valor en f'(x)
f'(O.I).
:l·..l.
+ 4)2
(+ )
f'(x).
0+2 • (O/ + 2(0) + 4
=
_x2_4X (x1+2X+4)
f' -39). (,
2
1-(-3.9i-4(-3,9)}2
{(_3.9)2 + 2(- 3.9) + 4}
este VDloren
r '(.)
'(x) ~ (x + 1)(2x + 1) - (x2 + (x + l)2
f'(- 3,9) _ {- (15,21 - 4(- 3,9)} (7,8 - 7,8 + 4)' f'(- 3,9) e -15,21 + 15,6 • W (11,8-7,8/ (+)
'(x) • 2x1 + *' + 2x + 1 - Xl (x + li
...+ ..
• - se sustituye en f(x).
fY )
'\X
11
f'(x)
=
x +2 xl + 2x + 4
ex + 3){x - 1) • o (x + 1)2
x+3=0
f(- 4) -
-4 +2 (-4)2+2(_4)+4
f(-4)~
f'(-3,1).
((-3,1)+ 3}{(-3,1) -I} {(-3,1)+ I}Z
6
f'(-3,1)
=
\
~ en x • - 4 ..'ha) un 1M'mimo. -..L 6 26. x 2 +x+4 x +1'
f"(-3,1).
f;l.f;l • W·" +" (+)
Luego: x > - 3. - 2,9. Se sustituye este valor en f'(x)
+X +4
f'(x) • (x + 3){x - 1). O (x + 1 )2 .
(x+ J).Q_(x2+X+4)_(X1+X+4) ...!dlAX¡__(~:-j\r__ (x + J)l 206
..............
(-3,1 + 3)(-3,1 -1) (-3,1 + 1}1
(-)
(x + 1)
.,'. ',
x.1
f '(x) = (x + 3)(x - l} - O (x + 1)2
f(- 4).:_L
f '(x) •
3}Valores Cdticos
x < _3 • - 3,1. Se sustituye este valor en f' (x)
-2
f(-4)_2 12
X2
lC • -
; x-I.O
Para: x = - 3
16'-8+4
f (x) •
*-4
X2
+ 11
para encontrar el valor
-
+ 4)(1)
+ 2x - 3 (x + li
f'(x). tiene . xLa función 4 . un M'mimo, va de " ... It a
X
d( _:_·~x~+~J) dx
f'(-2,9). {(-2,9) + 3} {(-2,9) - l} {(-2,9) + 1)2 207
SoJucionnJ'io de Derivadas
'.-
['(-2,9).(-2,9+3)(-2,9-1). (-2,9 + 1)2
Soludonlirlo =
O
=(+)(-)=L:...1."-"
(+)
(+)
ego: x > 1.1,1.
U
a " - "
(+)
Se sustituye este valor en f'(x),
La función tiene un Máximo, vo de " + " a " _ .. x , - 3 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del
x2'+ X + 4
f(x).
+ 3) (0,9 - 1) = (0,9 + 1)2
['(-2,9). (+)( _) ( _ )2 f'(-2,9).
(0.9
de Derlvndns
fl(x) • ex + 3)(x - 1) • O , (x+I)2 ,['(1,1). {el.\) + 3}{(I,\) -l}. {(I,I)+ 1}2
x+I f(-3). (_3)2 + (-3)+ 4 (-3) + ) f(-3) = 9 - 3 + 4
-2
['( I 11) a e l, I + 3)( 1, 1 - 1)_ (1,1 + 1)2 f '(1,1) -
e + )( + ) = " + " (+)
[(-3)-..JJL. - 5
, . Lo función tiene un M'mimo, va de
-2
ti
- "a
t1
+
11
x.• I se reemplaza en f(x) para encontrar el valor Mínimo ~ en x - - 3 existe IIn Máximo. _ 5
f(x)
=
X2+ X + 4 x+1
Para: x = 1 x < 1.0,9
f(I).12+
Se sustituye este valor en ['(x)
['(x) • (x + 3)(x - 1) • O (x+ 1/ f'(0,9)
=
((0,9) + 3) HO9) - I} _ 1(0,9) + J
¡l
208
1 +4= 1 + 1 +4._Q_.3
1+ I
2
2
~ en x _ 1 existe un Mínimo _ 3
Soluclonnrio de Deri".dns
Solucionarío de Derivadas
-
27.
xl Xl
f(x)
+X +4 + 2x + 4
f'(-2,1).
x? + x + 4 x2+ 2x + 4
#
(4.41 -4) {4,41 - 4,2 + 4)1
f '(-2,1) _
(O Al)
(8,41 - 4,2i f'(-2,l)-'±"-" +"
+ Luego: x > - 2 _ - 1,9 Se sustituye este valor en f'(x) f'(x) _ (Xl
['(x) •
X2 -
4
• O
(Xl + 2x + 4)2
('(-1,9).'
{{-1,9i-4\ {(_l,9)2
2 X -
4 = (x + 2)'(x - 2) • O x+2_0; x=-2 x-2.0 ; x.2 X • -
Xl - 4 + 2x + 4)2
2; ~ _ 2} Valores Cl:íticos
f'(-I,9).
+ 2(-1,9)+ 4}2
(3,61-4) (3,61 - 3,8 +
f'(-¡,9).
4i
- 0,39 (+3,81)'
Paro: x, - 2
u._.
('(-1,9).8. (+)2
x<-2_-2,1 Se sustituye este valor en ['(x) f'(x).
f'(-2,1).
x2_4 .0 (x2 + Zx + 4)2 ~(-2,1)2_4} {(-2,1) + 2(-2,1) + 4}1 210
lO -
lO
(+)
. La función tiene un MLaxuno, va de "+" . i'
•
B
11
-
"
X • _2
se sustituye en ftx), para encontrar el v~lor del Má
f(x).
+X+4 x" + 2x + 4 .
f(-2).
X2
H-2t+(-2)+4l {(-2) +2(-2)+4} 211
.;._---------_._-_ ...._--Sotucíonarto de Derívadas
f{-2).
Soluciona río
f'(2,1) .~." (+ )
(4-2+4) {(4-4+4}
f(- 2) =
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + "
-º- = _l_ 4
2
x _ 2. Se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Mínimo
=> en x • - 2 existe un Máximo. 3/2
f (x) ,
X2
x < 2 ~ 1,9
f(2).
22+2+4 =J.Q_=2.. 22 + 2(2) + 4 12 6
Se sustituye este valor en f'(x) f'(x)
X2 -
=
=> en x • 2 existe un Mínimo _ 5/6
4
(x2 + 2x + 4)2 f'(1,9)=
+X +4 + 2x +4
X2
Para: x ; 2
\
+"
ex - a) lb - x)
{(l,9)2_4). '{(1,9i + 2(1,9) + 4}2
X2
,.
f(x) • ex - a) lb - x) X2
f'(1,9).
(3,61-4) • (3,61+ 3,8+ 4)1
['(1,9) .• LL.'\-" (+ )2
(x )
Luego: x » 2 = 2,1. Se sustituye este valor en f''(x).
f '(x) =
X2 -
x2.Q..(x - a)(b - x) _ (x - a)(b - x),Q..(x1) dx dx
f'(x).
X2
f'(x).
{(x - a),g_(b - x) + (b - x).g_(x - a)} - {(x - a) (b - x)},(2x) dx . dx . x4
4
(x2 + 2x + 4)2
f '(x};
X2
{(x - aH- 1) + (b - x)(l)} - 2xJx - a)(b - x) x4
['(2,1)
=
{(2,1)1- 4)
•
[(2,1)2 + 2(2,1) + 4J2
) /
f'(2,1).
(4,41- 4) = (4,41 + 4,42 + 4)2
f'(x) _
X2
(-x + a + b - xl _ 2x (bx - X2 - ah + ax) x
Soludon"río
f'(x).
.
x'
X
X.1
{'(x).
f'(x) • 2ab • X (a + b)
x (2ab _ alS
-
bx) ~.O
x· -!t
1positivo, no lo tom~mos en cuenta.
a+b
x'
l
,9ab ,fes posltivo => xl(en el denominador) también es
{'(x) _ 2abx _ax2 _ bx~• O·.
f'(x) _
2ab - X (a + b)
_ ~l + ~l + ax~ " 2ax2 + bx2 _ 2bx2 + 2abx
f '(x)"
de Derivados
~.
C2ab_ax _·bx} _ o
f'CL2.ruJ la +b)
2ab - (1.9) (ab) (a+b) (a+b)
f'~~)'Y=
2ab _ 1,9 ( ab) (n t el (-e+lr)
La + b )
Xl
La + b J
f2ab _ax _ bx) • O
_x (a + b)
f'«1,9ab)l.
o
f'(x). (2ab _ax _bx).
= 2ab
..
f'(1.9ab)
Xl
e
2ab· 1,9ab
=" + "
a+b
\
(Zab . ax • bx) _ (xl)( O) (2ab . ax _ bx) , O. (2!ib _al( _bx) ax + bx , 2ab x (a+b).
Luego: x > 2( ªº-.) • 2,1[ruJ, Se sustituye este valor en a+b ¡_;;:;ij
2ab
f'(x) x•
.1.ªº-
e
(2ab - ex - bx). 2ab·
X
(a + b)
(valor critico) f'(2. 1ab)
a+b
= 2ab
_2,1 ( a b ). (a le)
(a+b)
= Zab
• 2,1 ab ; " -
(al61
,,' tiene un M"aximo, va d e "+"a" La funcion
ú.!2.J •
W,
<2 1,9 se reemplaze este valor en f' (x) . ~+~ ~+~
x
{'(x) • (2ab . al( - bx)
J
X
a
2 (.ruLl se reemplaza en f(x), para encontrar el val La+b) del Méximo.
f(x). (x- a) (b _ x)
Xl
X2
214
_"
21S
•,
~
~. .'. ..'
Soluclonorio do Dcdvndos
Soluciona"¡o de Dertvadns
'(x) • . j ..
f
C4. il_(x) + (x)
dx
(- b1l . g_(a - x) (a- x)l dx
f'(x) • r- 11')( 1 } + ( - b')( - 1) • - a' + ~ X2 (a - x )1 7 (a -
¡
xi
f'(x) • - a2(a - X)2 + b2(xh. O x2(a_x)1 Ordenando: f'(x). b1x2 _al (a - x)Z _ O (bxi - (a(a - X)]2 • O [(bx + ft(a - x») [(bx - ara - x»).O [(bx + o(a - x») • o·
[(bx - nCa- x») _O bx - a2 + ax.O bx + ax , a2 x(b + a). a2 x (a + b) .a2
bx + a' - ax.o bx - ax _- a2 x(b - a) _- a2 2
2
x=_;L_-
(h-a)
f(aJ>J= a eb - al. b{h - al 4 aZ b
(.a+bJ
x
Para: x< UD
Máximo.
al
(b _ Al'
x.L
(a - b)
x-..L.
_L.
0,901
(n+b)
(a+b)
.
Se sustituye este valor en f '(x)
f '(x) • b2xl _a2(a - xt • O
4nb
+ -_ x a-x
29.
a+b
(a+b)
e 4¡¡b J
existe
-(a+b)
-tt:!:t.rb - al']
;:\
1
x._L
fG28bJ'((b - a/1 :::) en x =
,,-~
nl
Valores Ccilicos:
La+bJ l4.-ft-.a.-b-.b
a+b
-(a-b)
(n - b)
f&2abJ. a.b.Cb "a)' a+b 4.a.a.b.b ffulU-L
a
Xl (a -
bl
xi
El denominador se hace (+) al elevarse al cuadrado.
f(x) _ -.a' + _. b' Se aplica . la derivada . {e X a _x . -
v
I 216
. -..:_f_.
v'
dv dx
217
Solucionario de D.ri"adas
Solucionnrio de Derivadas
0:8Ja'~2 - a2 a2 + ab _0,9a2 2 (3+b)' (a+b).
[+}
-. ([0,8Ia'b2 [+1
-
a2ro,0Ia' + 0,23)b + 82b2]) [+]
[ +J rO.818'b2 - 0.0136 _ 0.2a sb _a'b2] [+J
r- 0.0166 - 0,2aSb - 0.19a'b2J.0 [+J - 0.01a' (a2 + 20ab + 19b2], Elfnctor [+)
: (.'
+ 20.b + 19b'J. es
·D.(-)
(-)[+)
[+J
_ 2 J b2]. El foetol': ,. , - 2.O o - 210'] , es pDsiClvo - o.oia '(_3 1 - 2Qab _
(+J
(+]
Luego, para: x>
_i__. (a+b}
f'(x).
12\2 _a2(a - xl2 X2
•
1,Ia2 . Se ""¡¡tu)'o esle ".tor en (a+b)
( -)(
-1-
(+)
O
(a - x)'
El denominador xl (a - X)2 , se hace (+) al elevarse al cuaOr'3Gc
1 .l..:l. (-) (+]
1 Se ree mpI3'l:l este vtlor en r (x). para x.J.._.. a+'b
f(x)
-..i. + _Jt X
f( x).
.0
a2 + _--"b",2 ¡-
-::r
--'l-
a+b
f(x)"l~b)
,'1" ••••
,.
. ,:'
8 - X
".
a---ª-a+b
+
aen + bl - 8 a+b 2t9
tft~Jl Ir
.r
el ,.. Ior t.1.(
SOluc.iollario de Der¡vndas
So!uciollnrio de Dertvadas
f (x) _ (a + b) +
,"
..~
b' a' + ab _a' a+b
=
3(a - 2x)(a - xir- \) + 2(a (a - 2x)'
_2(a -
xi - 3(8 - 2x)(a
b' ~ ab
xi
- xi
(a - 2X)2
a+b (x) • (a - xi (2(a - x) - 3(a - 2x)} (a - 2X)2
f(x). (a + b) + (a + blCb'l ab f(x). (a + bl(ab)ab+ (a + blb'
,
oc
S~(:ando(;J;C:tor
eemún: b (a
.
f'(x.) _ (a - X}I {2a - 2x -38 + 6x ) (a - 2X)2 .
f (x) _ 6(3 + b)/a + b} ab
f'(x.)_ (a_x)2(4x-a}.0 (a - 2xi
f(x).Af'(a + b) fa + bl a .f{
f'(x) _ (a - X)2 (4x - a) - O
f(x). (a+b)2
(a - x)' _ O
=> en x _ al
(4x - a) ~ O
a + b ) existe un Mínimo ~ (n + bl'
a 30. (a. x)J a·2"
a.x 4x _ a ; x _ a/4
Valores Críticos: x _ 8
;
x. 8/4}
Se sustituyen estos valores en f'(x) Para: x. a .
f (x) • (a _ X)3 .'
x < a _ 0,93. se reemplaza este valor en f'(x)
f '(x) _ (a - X)2( 4x - a ) • O
a - 2x
f'(0,9a) = {a - (0,9a)}2 {4(0,9a) - a} .0 f'(0,9a) _ (a _ O,9n}'(3,6a - a) =( +)2 (+)."
+"
Luego: x> a. 1, la .Se reemplaza este valor en f '(x) (a - 2x) f'(x) ~
(a - 2x)(3) (a
----
)2
.
• x .Q_(a· x) - (a - X)3(_ 2)
~~drux~,-----~~~
f'(x). (a - X)l (4x - a) .0 f'( 1, la) • {a _(1,1 a)}2 {4( 1,1a) - a} _ (a - 1,1aY (4,4a - a)
f'( 1,1a) - ( -
i (+ ) • ( + ) ( + ) - " + "
En x , a como nu ha)' eambiu de stenos, 00 existen J\1nxin\o$ y lVlInlmos.
(a -.2x) 220
221
Solucionarlo de Dcrivadns
Soiuciollnrio
Para: x • a/4 .0,25a x,< a/4. 0,2~a. Se sustituye este valor en f'(x) f (x) • (a . x) (4x· a ) _ O r:(0,24a). {a.~0,24a)}2(4(0,24a). al .(a. 24a)l f (0,24a) • ( +) (.) = ( + ) ( • ) • " _ " ' L,uego: x > a/4 • 0,26a·.Se sustituye este valor en f f(x).(a.}()2(4x.a)~0 . f:(0,26a). {a. ~0,26~)11{4(O,26a)·a} .(a· O,26ai (1 f (O,26a) = ( +) (+) _ ( + ) • " + " La función tiene un Mínimo, va de " - " 8 " + "
(x' • X + 1). rt.(xl + X • 1) • (x' + X ). dx (x • X + 1)'
°
x • a/4 . Se rttlnpflla en r(x). par;¡ encontrar- ti "0101' 1\1ínimo
f(x)
=
fa· xl) a-2x
64
_a_ 2 •
648
+ X • 1)(2x + 1)2
(x2
(X2 • X
dx
1)
f'(x) • ~) . ~2 + 2x + 1<1.1< +.¡. .. ~) . 2x~+ 2x + 1<2 + 1< .
.
(x2 •
f'(x) .4x - 2x' 2 x (2 - x).O
x • O.
=
X
+ 1)2
O
2- x • O -t
x , 2} Valores Criticos.
°
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + " x • se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínim
°
27a' -32
~ en x _ 9/4, existe un Mínimo _ 27/32 a2 31.
1l(2x + 11 -
1). fL(x2 • X +
°.
27a)
f (x). -54a3
X+
(Xl.
°_.
f (x) _ (3a!4i a - a/2
f{x) ;
'(x) •
•
x< O, I , se sustituye este valor en f'(x). . 2 f'(x) .4x - 2x • f'(. 0,1).4 (- 0,1)-2(- 0,1)2. (. 0,4)-2(0,01) f'C- 0,1).- 0,4 - 0,02. C -) =." -" Luego: x > O, l , se sustituye este valor en f '(x) f '(x) .4x - 2x2 _ O f'(O,I) .4(0,1) - 2(0,1)2.4,4-2(0,01) f'(O,I) =4,4 - 0,02. (+) = " +"
f (x). (a· al4») a - 2(a!4)
,
de Derivadas
feO) • 02 +
+x • 1 X2 - X + 1 Xl
°-
0'-0+1
1
.:.L. - 1 1
~ en x • O,existe un Mlnimo - - 1
f(x) _ x, + x - 1 xl - x + 1 222
223
'Soluclonarío de DerivAdas
Seluclnnnrío de Derivadas
Para: J( .2
PROBLEMAS. PÁ6.INAS 90, 91
x < 2 _ 1,9
Se sustituye este valor en f'(x) f'(x) .4x -2x2 ('(1;9) .4(1,9) - 2(l,9)2. 7,6 - 2(3,61) ['(1,9).7,6 -7,22." +"." +" "
y _3x 4 _ 2x 3 + 6 x
d1y
=
Y 92
36,,2 _ 12x
dx2
Luego: x » 2 • 2,1
Qy = 12x) _ 6x2 + 6
Se sustituye este valor en f'(x) f'(x). 4x - 2x2 f'(2,1) .4(2,1) - 2(2,1)2.8;4 - 2(4,41) f'(2,1).8,4 - 8,82.( -). "'-" La función tiene un Máximo, va de " + " a .. _ " x .2 se reemplaza.en f(x), para encontrar el valor f'(x)
cx2+
1
X -
~ en x .2,
l existe
dx1
m,,,,,,,
s- .Ja + bt
~ .W(a dt l2 J
f (2) • 22 + 2 - I _ 5 22_2+
d1y .36,,2 _ 12x
s.( a +bt)1I2
x2 - x + 1 "
dx
3' 1111
«a + btrl/~ (b) _ b J l2 ) 2( a + bt )
+ bt)""'(d (a+ bt)i-
ldt
~ • .12..(a + btr1/i) Máximo. S/3
dt
2
L
J
~. ~[-~J(a + btrll2.IJ(~t(a + bt~.(-b i J
!&=(_b2 (a+bt)'312 dt1
4
~:;=(-~i[-i) ~a+bt)')I2'J(~I/a+bt)J d3~.C+ 3b2] (a+bt)'sn (b) de ( 8 224'
225
(a +;1).)/2
(b~
Solucionario de DerivDdas
;¡
c.
-
Solucionarlo de Derivadas (a2+y2)112'I.g_{a1+yl) __{fll+yl),lfl. {2y} •
__ 1 2
'1
-.
.9Js _
de
dv
• (al
3bJ
+ y2),112.(~y)
_ Y. (a2 + y2r"2
~
+ btl12
8(3
2
3. y _ a + bx 3 - bx
"
(a - bx).Q_(a + bx) _ (a + bx) .d '(a- bx) Qy-
dx
dx
dx
(a :.bxi
Qy - (a - bx)(b) - (a + bx)(- bl
dx
(a - bx
f
~_b(a--I»t-( +\+~)_ a • bx)
b(2a) _ 2ab (a - bX)l (a . bxi'
)I} {i
2
'
~ ·2a d (a . bx dx • [(a-bx)'J,'-d x dl~. -4ab. a-hx dx (a - bX)4
~. dx
-'_"~~.L~~,;!:Jl'ill.!!
-bll J
• (-2ab).2(a-bx).d(a_ (a - bx)" d;.
_.i + (81+ y2)
dy2
(a2 + y2iñ
d2u __ y2 ;: a2 + y2 dy2 (a2 + y2)j/í d2u.
a2
(al + y2)3/2
Y-
x
2
a+x
2
\1 _
1 (a2 + y2)1n
d1u
dv2
43hl (a...-bx!" ~
+
dy2 (a2 + i)ln
f1~ 4ab dx (a - bxP 4.
-i
d1u ~
(a+x).Q_(x2)
';a'+ v'
Qy= dx
226
_
(x2).Q_(a+x)
dx
dx (a +
X)2
227
SofllciOURriode Derivndns
Solucionnl'io de Derívndas
Q:i. (a + x)(2x) - (x2)(l)
ds , t. 4.(21 + Ir"2
dx
di
xi
(a+
Q:i. 2ax + 2x2
\
ds _ t(:ll(21 + 1)"/2·'.Q..(21+ 1) + (2t + 1)"/2(1)
_ X2
(a + X)2
dx
di
(I!- + x)2
d2y.
dI
-a-
di
(a + X)2, Q_{2ax+ ~1)
_
{2ax + x2),Q_(a+ X)1
dx
W '
l2 J.
ds .-t(2t + I).Jn(-r} + (2t + 1)"/2. - 1(21 + Ir)!2.+ (2t
Q:i_ 2ax + X2 dx
di
+ (2t + 1).111: di dt
dx
ds _ - t + __ l¡_,_. ~ dt (21+1)312 (2t+I)!n
1·+21 + I - t + 1 (2t+'I)lh (21+1)312
= -
[(a + X)2)2
(a + xi(2a + 2x) _ (2ax + x2),2, (a + x),f!_(a + d2y. 'dx2
(a+
(2t+ l)Jn.Q_(I+ 1) _ (t+ 1). Q_(21+ 1)312 d2s. di dI dt {(21 + I)lh}l (21+1)3/2(1)
d2y. (a + xi(2a + 2x) - (2ax + x\2.(a + x)(l)
~
~+4'
l'
6 _(a + xl { (a + x)(2a + 2xl - 2(2ax + x2)}
d2s = . di
(a + x)'
dx2
16:. (a + x){2a2 + ~
~+
dXl
(a+ x/
_ (t+ 1)..}_.(2t+l)312·',d«2t+ 2
(21+ 1) (21 + 1)312_ 3(1" ¡)(21 + 1)'12(-i!-)
~¡ - 411*-
~¡}
~.
-i!-
(2t+li
',dI1
!l?t.(21 + I)lIl • 3(t + 1)(21 + 1)'12•
i
(21 + 1
dl1
.(21 + l)"l!(2t + 1)- )(1 + l)1 (21 + 1)612 .(21 + 1)'12(21 +
6. s ,
(21 +
t
J2t + 1
,
s • l. (21 + 1r'/2 228
¡i
ll
1- 31·3) (21+ 1)'12
=
(21' IlOR(. 1 .~ • (21 1)S12 (21 1 I);,Q
:t'
229
1
Soluciouarto de Derivadas
.!l":~- dtl
Sotuclonarto de Derivadas
(1 + 2)
(2t
(1 - x».Q_(2x) - 6x2 + 6x - 4) - (2xl - 6X2 + 6x - 4).Q_(1 - x):
+ J i/2
dx
f"'(x}.
dx
((I_x)l)2
7. f (x) •. xl
_2x2
(1 - X/(6X2 - 12x + 6) - (2x) - 6xl + 6x - 4){3(1._x)l} Q_(I -
1- X
dx
(1 • x).Q.(xl• 2X2)_ (Xl. 2x).Q_(1 dx
f'(x) -
_ X)
(1 - x)
dx
f"'(xl.(1 -
(l -x)
xi (6);2 - 12x + 6)
-
(2x)- 6X2+ 6x - 4) {3(1 - X)I (- J" (1 - 1'.)6
['(x) _() - x)(3xl
- 4x) - (x' - 2X2)(_ 1)
(1 • X)2
f'''(x)=(l-
f'(x) • 3x2 - 4x - 3x3 + 4x2 + x3• 2x2 • (1 _ X)2 ""'-,.-'-"'''--<-= ..
xi {6x2 - 12x+
6} +3(2x3 - 6x2+6x
-4)(1 -x)
(1 - X)6 f"'(x).(l
- X)I (1 - xl (6)(2 - 12x + 6) + 3(2xl-
6)(2 + 6x - 4
(1 - x)6 I
f"(x) .(l -X}2(10x - 6X2 - 4) - 2(51'.2 - 2x). 4x)(l _ x}(-l) . (I - x)"
f'V(x).
- {- 6) .Q_(I - xt _ 6 .4(1 - x)3.Q_(1- x) [( 1- X)4J2 dx (l -x)' dx
f"(x). (! . xi(lOx - 6X2 - 4) + 2(5x2• 2xJ• 4x)(J _x) (1 - x)"
r "(x) • (J
-
x)l(l - x)(lOx - 6X2 - 4) + 2(5,,2 • 2xJ _ 4xll (I - x)"
factorial 4 = 4.3.2x l = 24 d"Va 2(_1)" l.!!.
._2_ ;
dx"
x+l ["(x) .(I....-rl (2xl
.
6X2 + 6)( - 4) • (2x3 - 6>/ + 6x _4)
~
I
(l-x/ 230
\,
Aplicamos la fórmula: .
j;_ _ -
v 23l
c . dv
7
dx
(x + 1)"
Solucionnrlo de Dcrlv¡lclns
Solucionarío de Derh'lld as
.:
"'"
Para: dy/dx ; n .1
Qy. - (2) . Q_(x+ 1). - 2 .( 1). - 2 dx (x+l)ldx (x+l)' (x+I)'
....
Not.!!, LL. 1 x 1. (fac'ocial1). (-1 )'. -1, porque un # neg<9llVC elevado a una potencia impar da como resultado WI 11negativo. ~:
d'y/d.'
stY. - r- 2) dx'
dx dx y.Q_(-x) _ (-x).Qy
ix.
dx
,Q_{(x+I)'}.
{(x + li}' dx
4 Cx I 11. 4 ()( I 1)' (x + 1)'
Nota. U.. 2 x 1. (factorial 2). (_1)2 • + 1, porque un # negativo elevado a una potencia par d.
Sustituyendo Qy en
dx
y'
.dx.'
; n .2
2x + 2y.Qy ~ O ; Q.y• ~ -:.1L dx dx ~y y
2x + 2y.Qy. Q_(¡-1)
dx
ft dx'
y(-I) • (-x)(:J0
!&._-,--"'-
y'
dx2
resultado un 11 positivo,
X2 .v s: s
Par.;dJy/dXJ; n .3. (factorial 3 _3x2xl)
d2y.
y
y'
dx2
_ Y 1 _ X2 d2y.
Nota. (.¡_ .3.2.1. (factorial 3). (-1)' _- 1, porque un # negativo elevado a una potencia impar da como resultado un # positivo. Ahora hacernos:
O.2(-1)" l:
dx2
y y'
. d2y _ - (X' + y') dx2 y'
dx" (x + 1)'" Pero: x'
+'y' • r1 ~
dx'
Al igual que el denominador (x + 1)"', (-1)" , loma los valores acuerdo ti COIUO Se presente la derivada, sea esta "par" o "impar". El denominador (x + 1)"", "n" recibe los valores cO'Tespor,di"nles~ de acuerdo al exponente de la derivada.
Ejm. Si es: Qy , n será igual a I ;~ dx
~
, n será igual a 2 ; Jfy , n será iguala
dX2
• Factorial "n"; Ejm
~
~.
3.2. I
dx
dx
l
dx
!&_- (2a) . Qy . Pero: l
..:...i.
2y.Q.y.4a(I)
2y.Q.v_ .4a.dx
dx2 232
d1y •
dx
Q.v_. 20 dx y 233
Qy. 43 dx 2y
-.lA. Y
SOluciollAdo de Derivadas cJ2y._ 28.28 2 -----
.¡
.:
y2
dx
__ 4a1
y
a:'(2
y3
l
2b2x + 2a2y.Qx. O; dx
+ 2h(X.ID!+ y(I))+ 2by.Qx _2ax + 2hx.gy + 2hy + 2by·m elx dx dx d
J
(a2y).¡i(ob1x) o(ob2x).Q_(a2y) (a2y).(obl).!!.I>. dx dx (a'y)2
I
~. dx
d~_o a2b\(l)
+ a'b1x.dy/dx. Sustituyendo: dy/dx
a'l
W
_
_
.l!:L + 2by.gy
4.Y (2hx + 2by) _- 2 (ax + hy
dx
dx
_- 2ax - 2hy; dx
gy _- 2 (ax + hy) _. ~(ax + hy) _ - (ax + hy). dx (2hx + 2by) ~(hx + by) (hx + by) (hx + by).gJ-ax
d~ dx d1y. - a2b\,l- b'x2 • _ b2(ay + bZX2) dX2 a'yJ 8'y3 'Pero: b2x2 + alyl .31b2
9.-¡,2(ft!·~/\+b
bl. il>":' __ b2• -ft;!-.b2 _ a~~a2.y3 a2. -ft~./
2x2).
~. dx
i) _...¡. b' •3a2i. 'l!v a·.l dx
o ro b') . ¡i(a' (a2.y)2 dx .
Sustituyendo: Qy. - b1x
dx
Ty
o
- !IX' hy . (hx + by)
hy)} _ {-ax - hy}.Q_(hx + by)
dx
=
el
(hx + by)2
(hx + by).(-a.dx· h.gy) _ {-ax hy}.(h.!!l! + b.gy) d'y _ dx dx dx dx dx2 (hx + by)' o
(hx + by)
o
ay
dx
de Derivadas
+ 2h(x.Qx_ + y.dJl,¡+ 2by ..Qy_ - Q_(I) dx dx] dx dx
11. b1x2 + a2y2 • a2b2 :
Sotucíonarto + 2hxy + by1 • 1
~dx o
,¡lv ~ •
[8(1)-h::J _ .
{-ax - hy} [h(I) +
b.~)
(hx + byi
n.h.' ••• b.y - h' .x.Q¡¡. b.h.y.Q¡¡ + a.h .• + h'.y + •. b.x.Q¡¡ + b.h.y.!Ix dx
dx (hx + by)'
dx
d
. n*-* - a.b.y -I,zx¡!y - b.h.) .lb': + fr.k-,. + h'.y + abx.!l:i + ".h., dx dx d" dx' . (hx + by)'
'!&. dJy -~.
dxJ
a1,?"'¡-.y'
(- b2x)
al..¡
= _ 3b6x
a4y
.. a.b.y - hl.x.l!y+ h'.)I + a.b.x.!l:i a.b.l\.ll.v hl.x.9:i - a.b.y + dI", • . dx dx • dx dx o
~ 234
~+~f
235
~+~
Solucionarío de Derivndf
Soludou.río d. Derivadas Factorluodo
j
e! numerador
y sU$.rftuyendo:
Q_(xl) + Q_(y3) .g_(I) dx dx dx
!!y: - ax - hv dx hx+ by
'. '1
,
~. dx'
x.¡jx (ab - Il) _ y (ab _h') __ ~dx~~ __ ~ _ (hx + by)l
~ • dx
(ab - h') (x.Q:i - y) dx, (hx + by)
Saeando factor común (nb ..
Susthuyendo el valer de:
l!x dx
,
,
l.g_(-
(ab - h ) {x [-(a)[ - hy)l- y} Ch" + by) dx' (hx + by)l
d2y. dx2
s& • ~. dx'
(ab - h') { - ax1 - hxy -hxy - bl} , 01x+by) (hx + by)'
(ab - b') [- (ax' + 2hxy + bv')) d' _ "~ (hx + by) . Pero:(.x' dx' (hx + by)' , (ab - h') ~:
dx2
d2y.
x2) _ (- x2).Q,_cl)
dx
dx
(l) (l)(- 2x) + (x1)(2y).Q_y .
y'
dx2 Sustituyendo: +
2h,y + by)
gy_: - X 1Iy:) dx
_2xy> + 2x2y. - Xl
r- (l))
i_y. ---~---'-
+ by) (hx + by)'
dXl
. (hx
y'
I
fty •
- 2x/- 2x'
- (ab _ J¡')
dx' (hx + by)] (hx + by) ~. dxl I
d ~.
dxl.
- (ab _h2) (hx + by»)
~._-.-..J-
.dx".
y'
- 2xi - 2x'
iY •__-L,..--_ dx1
,
h - nb (hx + by)'
236
4
237
Sohlcionario de Derivadas
./
Solucionarlo de Dertvadns
I
.~J r
(X.y).Q_(-X~-/) + (x~+Y).Q_(xy)
dx
'1
Pero:xJ+yJ.1
~ ~
__ 2x(xJ+yJ)
dX2
i iY. dxl
l.
\
dx
.l&.
- 2x2y _ 2xj.Qy
+ xJ.g_y +x2y+x¡.Qy+Y
dx
dx
dx
iY.
2{(x1)(2y).Qy + (j)(2x)} cO
+
-~~y-- ~
dX2
+ 2{2x2y.Qy + 2xy}
x\~~+,*~y-+~+yl (xyi
~
, , l d - x-yxy-.Qy+x .QY+y l l&. dx, dx
dx
4xJ + 4x2y.Qy + 4xl.o
dx1
(xy)'
dx
l&.
X
.)
dx2
~ ') .g_y - xy-.Qy - x-y + y3 . dx dx' (xy)2
x.Qy (xl' - y-) _y(x-'2) -y dQX. - (x l' + dx xy
dx
¡el
(xy)2
(x"_ j)(x.Qy - y]
6. dX2
dx
(xyi
. dx"
dx 4xl
dx
{xy/
dx
4xl + 2 {x2 • .Q_(yi + Y.Q_(x1)} 4Xl +
dx
dx1
.Q_(x4)+ 2 ..Q_(x1¡}. .Q_(a") dx
(x .y).(-2x - 2y.Qy) + (x" +y).{x.g_y + y.dx} dx dx dx (xy)l
(x .y)(-2x - 2y.Qy) + (x2+j). (x.g_y+ y(l)}
iY. dx
dx (xy)l
(X.y).Q{_(X2+y2)}
_ {-(x2+y)}
dx
..Q_(x.y)
~.
dx
(xyi
dXl
d
(xy)2
1
,
Pero: l!Y _ - x - y dx
xy
238 239
Solucionorio de Derlvlld".
Soluclonarlo de Derivados
", . ..: "
Sustituyendo: x = a Qy ~ y' = alll dx ~
0)12
_
2.8)12
~ • - x' - 2x''; + -il + 2v'
dx
x'i
y'=_1 __I .0 2 2
ó--x' - 2,,''; + x'v' + 2y' dx' x'l 2v-xy-x 4 '1 po dI
4
x'l
elx'
En los problemas 1S a 25 , obtener los valores de y' y para los ~alores dados de las varíables.
._L. XI12•1 +
all2,~
.l_. xll2•1
dX2.
~
4x'
~
4x
d2y .1_ al/2)(x·I12)
"
y=.¡;iX+L
15.
d2y • (_ flll2) . ~
dx2
'X=ll
+
38312 ( Xlll)
4x'
4x'
.,fñX . y. (ax)" + a2(ax),l-I ID: -.L (ax)~·llL(nx) .. a' U)(ax)' dx
2
dx
2
Yo. I d (ax)
dx
",
.~.;:. l'"
Sustituyendo: x • a
,
\
240
241
SolucloJ\3rio de DerivadAs
Sotucíonarlo de Derlvndns
d2y • _ a.¡.q + 3ailR dx2 -¡;w 4aM
. ..:l. :.1.. 2(4)
8
• y" _
22Y_-1
+ 3
""T"=-:~3 -:-¡;i'JJ'
-¡;;- 48
. dX2
d2y=y" 2
4a
~n
16. y.'¡25-3x
~
2'. (25 _3X)II2)2
y".
-.l.-..±..-...L
dx
_ (-3) . Q_{2(25 - 3X)I12} {2(25 - 3X)lñ}2 dx
2n
3.
._1. (25 - 3X)I12.I.Q_(25 - 3x)
~
(25 - 3x)"112.(- 3)
4(25 - 3x)
; x:3
y"
-9 - 4(25 - 3x)(25 - 3X)I/2
y .(25 - 3X)112 _9
y" _
'_
-
Qy __1 . (25 - 3X)I12.I. Q.(25 - 3x) dx
2
. Sustituyendo: x _3 en y"
4(25 - 3x)Ji2
dx y"
Qy .(25 - 3xrl12.( dx
-
3)
-9 • 4 [25 - 3(3)]lh
2
Qy. -3 . Sustltuyendo: x _3, en y' dx 2(25 - 3x)11í .
y"_
-9 4(25 _'9i12
y"
...:..L. - 9
.'
y' .Qy _ -3 dx 2(25-3x)1I2
"
- 3
y' -
2[25 - 3(3»)112 y' _
- 3 2(25 - 9)112
• 2'(2')
T
.
1
2(16)'í2
y.x (x + 9) 'o,
......--------~ I
256
y _ x .J-"I + 9
Q:r- -·3 dx
- -9
112
x .4
dx
. \
Solucionarlo de Derivadas
SOlucionnrlo de Dtrivnd.s
y'. x.d (x' + 9)'11 + (x' + 9)'11 .dx
dx
dx
(x' + 9)'17. 4.(2xl + 9)· (2x2 + 9),. Q_(x1+ 9)"2
~.
dx
dx [(x2 + 9),17J
·....
y'.x.1...(x' + 9)''2·' .4.{l(2 + 9) + (x2,+ 9)'11(1)
i
(xl + 9)'17. (4x) _ (2xl + 9) .1... (x' + 9)112.1.Q_(x' + 9)
dx
2
y'~X (Xl + 9)'"2
(~x)
+ {Xl + 9)'11
y".
2
dx
(x' + 9)
~ (Xl + 9)',0. (4x) • (2xl + 9). (x'
y. x' (Xl + 9)"'2 + (x' + 9)'" y'.
X2 (x2
+ (x2 + 9)112
+ 9rlll. (..;¡.x )
y" • -------;--;-:---;:;--_:~==--(x + 9)
+ 9)112 (Xl
y".
y'o x~+ {(x2 + 9)"2} 2 (X2 +
9)112
+ 9)117.(4x) • (2x' + 9).(.x..} (xl + 9) n (x' + 9)
[(Xl
91212
+ g}'17¡> ~4X) • (2x' + 9). (x) (x + 9)'·1
y'.x.2 + (X2 + (x2 + 9)1
y" _
y'.x2 + (x2 + 9) (x2 + 9)líl
y". (x' + 9)(4x) • (2x2 + 9)(x) (Xl + 9)"" (xl + 9)'íl
y';
y". 4x) + 36x - 2x) - 9x (x' + 9)212 (x' + 9)"2
(xl
2X2+ 9 (x' + 9)112
Sustituyendo: x .4, eu y'
+ 9)
y"_ 2~J + '7x _ (x + 9)lh Cuando x ~4
y'. 2(4i + 9 [4'.+.9Jiñ ! \i
'.
I
I· l ••
,.
l
8. y'. 2(16) + 9 = 41 (25)"2 '-5
X2 • 4yl 09
2x • 8y.!1Y
dx 244
; x , 5; Y _ 2
2x .8y.!1Y - 2x
dx 245
,.
Sotucíonarlo de Derívadas
Solucionado de Derivadas
~
.;. , ;
..
y' - Qy - k-Ji.·
dx
8y
Sustituyendo: x .5 r y.2 en y'
4y
16l- 4l
y"__ ~4y....... _
16i
y' • x-S _ 5 4y 4(2) 8
1
----
,
4y.-g_(x). x.Q_(4y) y"_ dx dx (4y) 4y(I).
y" -
Cuando x .5 , y. 2
x. 4 .Qy ~dx!L (4y¡2
y". 1(2') . 52 16{2l)
y"_ 16·25
4y.4x.Qy y"_ dx
16(&)
(4y)2
y"-.:.i.... 128
Sustituyendo
el valor de y' o
!!Y. en y" dx
4y· 4x. Qy y";
2x + 4[x.Qy + y.~ + 2y.Qy + Q_(3).0 dx dx dx dx
dx
. (4y)2
2x + 4(x.Qy + y(l») + 2y.Qy + O_O
4y ·4x ..2i
y".
dx
16l
r.
2x + 4[x.Qy + y] + 2y.Qy.0 dx dx
4y.~ .y 16y'
2x + 4x.Qy + 4y + 2y.Qy • O dx dx
(4ylC4yl - 4x' y"..
dx
4y
4x.Qy
4y
J6y
dx 246
~~.~~----------~----
+ 2y.Qy _- 2x - 4y dx 247
2Q_y (2x + y)
SOluclollftrio d. Dtrivad>l$ ~ - 2x _ 4y
Solücionnrio de Derivados
dx
.-
(2x + y )..!!_(-X - 2y) + (x + 2y). {2.dx + gyJ dx dx dx (2x + y)
Qy e - 2x - 4y dx 2(2x + y) Qy =
dx
2(x 2(2x
-
+ 2y) + y)
(2x
i
.Qy = - -2- eX + 2y) dx -2- (2x + y)
(2x + y )(-1 -2.Qy) + (x + 2y). {2(1) + Qy} dx (2x + y)2
ex + 2y)
Qy. dx (2x
+ y)
-
(x
dx
dx (2x + y)
+ 2y)
+ 3y
- 3x.Qy
(2x + y")
y" • _,.,...."d",-x---:-.-(2x
yO _ _ f2 + 2(-1 )} 4- 1
+ y)2
Susrltuyendo: dv _O dx
y, _(2 _2) 4- 1
y.-l
x.2;
y' , _Q__ O 3
y": - 3x(0) + 3y
yO _ O
y"_
(2x + y)2 0+ 3{ -1)
{2(2) + (_1)}2 \
'v"
-
2y.~
-~-~-'j-~+~+~+-4y-+
Cuando x _2 ; y. - 1 y' =
dx - 2.4y.J+ (x + 2y)(2.dx + ID1 dx dx . dx dx (2x + y
t y)(-
(2x+ y) ..!!_(-(x+2y)} - (-(x+2y)} ..!!_(2x+y) .._.!,d!b.X_¡';:-:~-r-- __ .s!d~x __ (2x + y)~
y"_ - 3 (4 - 1)2
248
249
dx
dx
Solucionario de Derivadas
,-
y". :_l_ 9
SolüdonR,'lo de Derivada.
y". 8 (3 - X2)2[6x2 - (3 - x2)] .8(3 - x2¡2(6x2 - 3 + X2)
y"• .:..L
:, , "
Snstítuyeudc x .1, en y"
3
.j ,i
20,
Y • (3 - X2)~ ;
x ;
y".8 {3 - (1) 2} 2 {6 (1) 2 _ 3 + (1) 2}
1
y'. 4(3 - x2tl,Q_(3 _x2)
y".8 (3 - 1) 2 (6 - 3 + 1)
dx
y'. 4(3- x2i
y"_8 (2) 2(4).8
(-2x)
(4) (4).128
y=.Jl+2x
x=4
yo. _ 8x(3 _ x2)3 y .(1 + 2X)I/2 Sustituyendo x .1 y'.- 8(1)[3 - (1)2]3
gy_ r:.L)(1 dx L 2
yo. _ 8(3 _ 1)3
gy.
+ 2X)'/2·I. Q_(I +2x)
(1 + 2X)"II2(+)
+
dx
dx =
(1 + 2X)"112 _
1
' Cuando:x.4
(1 + 2X)112
yo. _ 8(2i Qy_
y'. - 8(8)
dx
y'.- 64
d2)
dx y" _ (- 8x).Q_(3 - X2)3 + (3 - x2i.Q_(- 8x)
dx
dx
1
1 _ I • 1 • ,) • 1 =_1 [1 + 2(4»)112 (1 + 8)112 (9),n (32)112 ~, 3 = [-
1) () + 2X)""2.'.!L(J + 2x)
L 2J
dx
d1" __ (! + 2xr'" (X! _
dx'
~
- I (1 + 2x)ln
y'~_.(.:8x)(3) (3 - x2¡J-'.Q_(3 - X2) + (3 - x2i(-8) dx y".- 24x(3 - X2)2(_2x) - 8(3 _ X2)3 y"_48x2(3 _ x2)2 _ 8(3 _ X2)3 250
251
. Sustituyendo: x _4 en y"
Solueionorio de Derivadas
Solueionnrlo de Derivadas
~'á2;Jn ~-
3(x2 + 4)VJ.ii_(2x) _ (2x).ii_[3(x2 + 4)21)] dx
dx
-]
(iX1~ 3(x2 + 4)213(2) - (2x)( 3-..1..(x2 + 4)2I)·'.4.(x2 -3dx 22.
y.~ (x' + 4)
Y _ (x2
x.2
+ 4)1/3
Qy ~W(x2 + 4)'1)·,. 4.(x2 + 4) dx l3J dx 6(x2 + 4)2/3
8x2 ........ _J..!{xh,2,:.+_:4!J.)_"3 9(x2 + 4)'/3
y"
_
!!yo 2x dx 3(x2 + 4)21.! neemplazando x = 2
Qy. 2 (2) dx 3(22 + 4)2/j Qy. 4 . dx' 3(~)2IJ
y". 6X2 + 24 - 8x2 9(x2 + 4)S/)
Qy -y'. 4 dx 3(23)21)
y"_ 24 - 2x2
!!y.y'. 4 = 4 .J.. dx 3(2)2 12 3
252
9(x2
Cuando x='2
+ 4)Síl .
y".
253
+ 4)}
Solllciouorio
de De"lv"elns Solllcionario d. Derivadns
y", 24. ~ )x + 6x· 4 2(3" - 2)'Í'l
9(8)sí
y".
l
9x·4 . Cuando: x.2 2(3x .2)J!2
y"_ J6 9(2)5
,
Ii
J6 9 (2·l lJ
J y"; _"""TV"-,-,<-_ -,.:
QYo 9(2) . 4 dx 2[3(2).2]'/2
o
9(~) 2
_j_ 18
23. Y -)( ..j(3%. 2)
.!!Y = x.Q.{(Jx. 2)"
t
'.
ID!. dx
.
4
2
dx X
x·t· (3x • 2)1t2·'.~~3X - 2) + (3x. 2) 112.(1) )(.(3x ·2r'12.0) + (3x _ 2)'/2 2
.!!Y -
3x + (Jx _ 2)'/2 dX_2(3x _2) lit
ID! .3x dx
2(2)
2(3x - 2)'/2.Q_(9x ·4) - (9x - 4).Q_{ 2(3x • 2)'12} dx dx
+ (3x _ 2)'12.d ( )
dx
o
.J..!_~.li .s.
)(.2
Y • x.(3x • 2) 1/2
dx
• 18 - 4 2(4)'12
+ 2{(3x. 2)1/2}2 2(3" . 2)1/2
Qy - ·3)( + 2(3" - 2) 2(3" .2)112
dx
2(3x - 2)'12.(9) _ (9x - 4). { ~._1 .(3x - 2)1/2·'.Q_(3x • 2) y". ?: dx {2(3x .2)' }2 y". 18.(3x· 2)'12 - (9" - 4).{ (3x .2r'I2.(3)} 4(3x • 2)112 y".
y".
18(3x . 2)'12• 3f9" • 4) 18(3" - 2)'12(3x . 2J'12 • 3f9" • 4) . (3x • 2)"2 • (3x • 2)' 4(3x • 2) 4(3x . 2)
18(3x· 2)· 3(9x· 4) (3x· 2)'" 4(3x • 2)
H*. 36 . 2flf + 12 27" • 24 (3x • 2)'12 • (3" ·2)'12 4(3x - 2) 4(3x - 2)
254 2SS
Solucionarío de Dúívad2S
Soluclonarlo de Dcrlvndes
y":
27x - 24 4(3x - 2)2/2(3x _2)1/2
27x - 24 4(3x - 2)3}2
-(x+y).Qy + (y)(I+Qy) dx dx
Sustltuyeudo: x _2 en y". y" y".
27(2) - 24 _ 54·24 4{3(2) - 2}3n 4(6 _ 2)Jn
y".
54 - 24 4(6 - 2)Jn
'.-
_-xy'~
yy'+y+ (x+yY
yy'
e,
30
v";
_-xy'-ft+y+-'ft (x + y)l
_
4(4)li2
30
• 30 • 30 • 30
4(22)1Il 4(2)3
4(8)
32
=
15
16
_ y - xy' (X + y)2 Sustituyendo: x.3
y2 + 2xy _ 16
24.
x .3
; y.2 ; Y':' 2/5
y.2
.2y.Qy+ 2(x.Qy + y.Qx) .Q_(16) dx dx dx dx
2 + _§_ 12 5 • .2.
2 - (3)(-.l.) 5. (3 + 2i
52
25 1
2y.Qy + 2[x.Qy + y.(I)J _2y.Qy';' 2x.Qy + 2y.0 dx dx . dx dx 2·41 (x + y) dx
y'=Q.y \
,
dx
=-
2y ; Qy. - ~y • . y . Para: X .3; dx ~(x + y) (X + y)
-2
(3 + 2)
x3 _
xl + ¡_ 8
;
J( =
2 ; y. 2
3x1 _ {x.l!..(l) + l·l!..(x)} + 3i·Q:L .l!..(8) dx dx dx dx
_-2
5
, (X + y).Q_(- y) _ (-y).Q_(x + y) y"; dx dx (X + y)
256
dx
dx
3~ - 2xy.!!x -
.¡+ 3y. Q.y.
dx - (x + y).41 + (y)(dx + Qy) y"; dx dx dx (x + y)2
+3Y.gy_
3x1• {(x)(2y).!!x+y(l)}
dx
Factorizando: y.!!x dx
y!!x(3y-2x). y1 . 3x2 dx 257
.
Solllcíonnrlo de De"ivndns .. 2y' .. 18x'y.!!:t - 6x'
Solucionarlo de Derivadas
+ 12x'y _ 6y'.!!:t + 2.y'
Qy. i -3x' dx y(3y - 2x) Qy. dx
v' - 3x' 3y' - 2xy _18xl-2xi.l!Y+6x2y
Cuando:x.2; y_2
y'.l!Y. dx
22 - 3(22) 2[3(2) - 2(2)]
= -
dx
dx
Sustituyendo: x _2; Y_2; y'.-2
y". -18 mm' _2 0\(2)'C-2) .. 6 q)l(2) + 2 Cf' .. 18(2)' (2H-2) - 6 (2)'(-2)
y'. 4-12 2(6 - 4) y'.- S
+2yJ+ ISx2y.l!Y-6x).l!Y
dx
[3(2) - 2(2)(2)
+
y.~-(36)(4) + (S)(4) + (12)(4)72(S)-72(4)
2
(12-S)'
4
. y"._144+32+48+
12(S)
.
16-288+96 16
y". 192- 432.- 240 .-15 16 16 y"_ - 240 16
Hallar d¡y en cada uno de los ejercicioS siguientes: dX¡ .
y_x)-.l. x _3x~_ {ill. dx)
(x
258
i
dx
259
Solucionnrio
i!Y. dx
_(x2 + a2)(2x) - (x~)(2x) (x2 + a2
.!!x =
3x2 +J..
_ 2x(-it1 + a2 _ ..,,2)
dx
:.
i
Xl
(x2 + a2)'
ú¡. 6x + ~ .'
Solucionnrio de Derivadas
de Derivadas
3x2+3.-, (1) x-
dx
Q_(x'»)
• 2X(82)
(X') dx
~.
6x+ (-J...(2x»)
dx'
x'
(x' + a2)'
(X2+ a2)2.fL(2a2x) _ (2a'x).Q_(x1 + a2i d2y dx dx dx2 [(Xl + a')2f
¡
!!_y = 6x - 6 dx' Xl
(x2 + a2l(2a2.dxJdx d' a-y.
!&. 6(x - 1) 2 dx
xJ
W
(2a2x)(2)(x2 + a2¡2-I. Q_(x2+ a2) ~ 24 (x +a)
d'y _ (x' + 82)'(2a2(1)] - (4a2x)(x2 + a2)(2x) (x2 + a2
dx2
~
.,: 6{x'+I)(x' - 1)
dx'
stY. dx'
d2y _ 2a2(x
Xl
2
dx' 6Cx'+1)(x+1lC" _ t)
r'
t
+ a2)2 _ (8a2x2)(Jt2 + a2) (x2 + a})4
d2y _ 2a2 (~2 I ~2) {x2+ a: ; dx2 (lt'" a) (x2 + a')
4x2}
(x2 + a2) .Q_(x2) _ (x') .Q_(x' + a2)
i!Y. dx
dx
dx
(x + a2)
y.
·?12 -
3x
y _ (2 - 3X)1/3 260
261
Seluclonarlo de Derívndns
flx -...L.(2
- 3X)I/J.I.Q_(2. 3x)
dx 3
dx
Qy _ (2 - 3xr2IJ(dx
~ • I
Qy.
• 1
3)
dx (2 - 3x)lIJ Qy .' (2 . 3xrYJ
dx _ . {:V(2 - 3X)"1IJ.1 .fL(2 - 3x)
~ dx
3
dx
Ó-Cl_) (2 - 3J(.rS/J.(.3-) d.x2
29.
~
y ;x .jal-xl
Qy. x. Q_(a2_ x2)112 + (al. X2)"~.Q"(X) dx
dx '
d2y _. 4x(a2 dx2
+ x (a2• (a2 _ X2)
_ X2)112
dx
d2y _ ~~ Qy • x.], (al • x~) 112·1 . !leal _ Xl) + (a" • Xl)"l .( 1) dx
2
dx
Qy _ x(a2
':i..' :'.~"
.
.'
dx I
X2)1I2
2
. + Xl
4:i _ ,f,
r"l (.211) +.(a2•
_ x2
dx
~
(al.
X2)112
dJCl
{. 4 + IJ (al. Xl)1
2
dly _ - 3x !lxl (al _ X2)1/2 yl _4xy _ 16
+ (al
_ x2) 112
2y.Qx· 4{x.Qx + y.dx) .4.(16)
Xl)"l
dx
:
dx
dx
.>
262
263
Solucionarlo de Derfvadns
....
dx
dx
4 { ::,:(y - 2x) - 2xy} • __ ...J::,:,-,--,,2~x..,--_ ( Y - 2x)1
.....
...
Solucionnrio de Derivadas
2y.s!y _4x.s!y _4y(l) _O
2gy (y - 2x) .4y
:
.dx
. :.
gydx gy. dx
4::,:
4(l- 2x::,:- 2xyl " __ Vx...:...:,2x~_ ( V - 2x.)2 1
2(y _ 2x)
2::,: (y - 2x)
t)
(y - 2x).4_(2y) - (2y).4_(y - 2x) b~ dx dx dx2 ( Y _ 2X)2 2
1
(y - 2x)(2.gy) _ (2y)[gy - 2( I)J
lb=
dx dx ( Y - 2X)2
dx2
dl~ _ dx
dx
dx
(y _ 2/t)2
dx
. Xl _ 3nxy
+ lo b3
3x2 - 3ax.!!_y_ 3ay (1) + 3l·!!_y . dx
. Simplincando y r.tlom
dx
3gy (y2 _ ax) _ 3ay - 3x2 dx
d 4r- x.~) 2 _
~
d1y _ 4y Iv - 4x) . 1 )1 dx (y - 2x
3x2 _ 3a{x ..Qy + y.dx} + 3/.gy _4.(bl) dx dx dx dx
..Qy _ ~+4y
~-4x \
• 4(l- 4X. (y - 2x)
(y - 2x)'
3Qx dx
Pero: y' ...2yly 2x.
el-
ax)
o
. 2) 3(ay - X
&
.Qy_ 3 (ay - X2) dx 3 (y2 _ ax)
. !, ':
..
¡~~.:. ,._
..
~·:I~:~· :i~ ••; .~ ;..,l"
gy _ dx
!
264
+ (ay _X2) +el- ax) 265
Solucionarlo de DerivndAs
Solucionado de Derivadas
(ay _ Xl) (y2 _ nx)
!!Ydx
(I -ax )2
(y' - ax).Q_(ay - x') _ (ay - X').Q_
g:y _ )
Jt.y •
)
dxl
(yJ _ax).[a.gy - 2x) _ (ay - x2)(2y.gy - a.sW dx dx dx (1 - ax)'
(y' - ax ).[a.gy - 2x) _ (ay - x, )( 2y.gy - a ) d2y _ dx dx2 (y' - ax)"
"'o
'" - 2 a)xy ax2'¡+ 2ax2/ = _2x'y '" _2xy4
'}M'-'"
+ + 8X2/+
=
_283XY + 6ax2y2 - 2x'y - 2xl (l- ax)
.,
(l- ax)'
1
g:y _
- al.¡jy + ax2
-
2xy2 - a'x.Qy + a'y + 2x2y.Qy
dx
dx
dX2
(
l-
dx
,
24
4
-28 xy + 6ax y - 2~ Y - xy ax)
(1-
ax )1
!iY (- ay' - a2x + 2x'y) + < ax2 - 2xl + a2y) iY_~d~x~ dx1
22
~ __ ~ _ ax )2
__
2
_ 2axy( 3xy - a ) - 2x~ ( x (y! - ax )
3
+ y3)
(/
Pero: Qy. y'. (ay _ X') dx
(y' - ax)
Sustituyendo en y" o dZyfdx1
266
267
1
6ax2
..
Soluclonario de Dcrivndo$ Solucionado de Derlvndas
"
'1
PROBl..EMAS - PAeINA 94 CALCULAR LOS MÁXIMOS
- 1) _ O 1)(x-1).O
Y MÍNIMOS DE
x.. -
LAS FUNCIONES SIaUIE..'ITES:
1. x3 + 3x2• 2 Y .Xl + 3x2 - 2 y'_3x2 + 6x 3)(2 + óx , O
¡
x _ - 2}
x _- 1
Valores críticos de la variable.
y".6x + 6,Se reemplaza en la 2a derivada cada valor Si es " +" existe un Mínimo. " Si es "-" existe un Máximo, Para: x.O
y(O) .6(0) + 6 _" + ", Mínimo Lue§o se sustituye dicho valor crítico en la función y.x + 3X2 - 2 y(O) _(O)J + 3(oi - 2 y(O) _- 2 ~ x • O ; Mlnimo _ - 2 Para:,x.-2 y" .6x + 6 y"(-2) _6(-2) + 6 • - 12 + 6 _ " - ". Máximo
Lucjo se reemplaza el valor crítico en la función y. x + 3x2 - 2 Y(-2)_(-2)1+3(-2)2_2._8+ 12-2.+2 :::::> x _ - 2 ; existe un Máximo = + 2 2. Xl - 3x
+4
1).6(_I)."-".Máximo " sustituye x • -1 en la función onglnal = x)' _ 3x + 4, Y _ (-1») - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 • 6 x = _ 1 ; existe un MlÍximo • 6 , y"_6x.y"(I).6(1). "+".Mínimo .. sustituye x _ 1 en la función original. ' _ x) _ 3x + 4. y. (1 3(1) + 4. Y= 1 - 3 + 4 _ 2 1, existe un Mínimo.2 X x_1.
.-
2xl
y' _ 3X2- 3
3x2 - 3 • O 3 (x2 - 1). O 268
i-
,
_ 3ax2
+ al
.2x) _ 38)(2 + al
.6x1 _6ax. 6X2 - 6ax. O 6x(x - a) - O x _ O; x = a} Valores Cliticos . " 12 _ 6a y"(O) = 12(0) - 6a =" - ". Máxim Pnro:x-O
y -
x
'
Se susti\l.lyex = O en la funci6n origin~1 ) 1 Y .2x.) - 38)(2 + al y _2(Oi - 3a)(0) + a = a ~ x _ O ; existe un Máximo - o Para: x. n 'Y"= 12x _ éa.
"
"M"
o
y"(a) = 12(a) ~,6a .~~. +, 101m Se S\1stituyex = a en la función ongm~1 ) 1 ) ) y = 2x) _ 3ax2 + a~ Y= 2(a») - 3a(a) + a .2a - 38 + a -
, ~ x ~ a ; existe un Mínimo I
~ +4 y. x 1 -.>X
..
x, 1
Valores Críticos,
éx.
3x(x+2)=0
x. O ;
1}
=O
2 + 12x + 3x1 - 2x3 2 2) Y = 2 + 12)( + 3x - x y'. 12 + 6x - 6x2 169
"
,
.
1',':
.......~ ',.
: '
.. ~ '~.f :
12 + 6x - GxZ • O .6,,2 - 6" - 12 = O 6(x2-"-2).0 (x - 2)(" + 1).0 x.2 ; x , - I} Valores
r.,'a,,_2,
y".6-12x, , y", 6 - 12(2). + 6 - 24 =" - " , Máximo Se sustituye x .2 en la función original y.2+12x+3x2-2x3 ' Y,_2 + 12(2) + 3(2)2 - 2(2)3.2 + 24 + 12 - 16.22 =:> x • 2 ; existe IIn .Máximo ; 22
y".6-
Parn:x.-l,
iz x
y.2+ 12(-1)+3(-["-2(-1)3.2-12+3+2.-5 =:> x , - 1 ; existe UII Mínimo _- 5
2
+ 108. _ 108 - 108 + 1M 4
24
24
24
24
_ - J 08 - -..i1 • - 27 - - .1. 12
x • _ 3/2 ; existe
6
2
UD
Mínimo
=-
9/2
r a: x _ 1/2 .- 4 - 8x
y"(1/2). - 4 - 8(112) = - 4 - 4. " - ",Máximo
, ',Se sllst;tuye x .1/2 en la función original para calcular el valor Máx
S. 3x_2x2_4,,3
~ - 2 X 2 _ ~4 Y • .>x
3
3
3
y • 3x - 2x2 - 4"J
y .3(112) _ 2(ll2i - 4(1/2)3_]. 3 2
3 yO. 3 - 4x -4 (-3-,,2) =3 - 4x - 4,,2.0
=> X .112 ; existe un
-3-
-1. -__L.lQ. 4
Máximo.
24
24
- j_l- .i..= 24
3l- 4")
PAI": x , - 3/2 y".-4-8"
Y_3x' - 4xl - 12x1+ 2 y'.12xl- 12x2- 24x 12xl- 12x2 - 24".0 12x(x2 - X - 2).0 x•O (x2 - X - 2) • O (x - 2)(x + 1) • O x .2, x.- l. x , O ; x.2 ; x _- 1 } Valores Críticos,
y"(-312).-4'-
8[~
.-4+;4=-4+
12."+",M
Se reemplaza x • - 3/2 en la función original y • 3x _2x2 _ 4xJ '
- 12x1+ 2
Pnr.: x_O
y"= 36x2 - 24x - 24 y"(O). 36(Oi - 24(0) - 24 • - 24."
270
-" . Máxil110
,
Se sustituye x • Oen la funci6n original poro calcular.1 valor ""a
J ,
24
5/6
3 - 42~- 4xl
_ O • 4x2 + 4x - 3 • O (2x) + 2(2,,) - 3.0 [2x + 3J [2x - 1).0 2" + 3 ~ O ; x • - 3/2, 2x - 1 • O ; x • 1/2 x • - 3/2 ; x , 1/2 } Valores Críticos
l' . I~· .
• .:..2.. _ ~
24
y"(-I)#6-12(-I)=6'+ 12_"+",lVIínimo Se sustituye x • -1 en la función original y = 2 + 12)( + 3X2- 2,,)
'"
Solucionario de Derivadas
Selucionm-Ic dt Derivadas
171
._-_ _--_'""'-'---..
Solllclollorlo d. Derfvadas Solllclollllrlo
y .3x·- 4x3 - 12x2 + 2 y • 3(0)4_ 4(0)3 - 12(0)2 + 2.2 =>
x • O ; existe
UII
x • ./2 - 8 • I 2(.fii - 8 • 12(2) - 8 • 24 - 8 • " + "o Mlnimo
12x2
M:\ximo _2
y". 36x2 _ 24x _24 y". 36(2)' - 24(2) - 24 • 144 - 48 - 24 _ + 144 _ 72 _" + " . Pnrn. x , 2 .
Se sustituye x • 2 en la función olÍginal para calcular el
y .3x·
_ 4xJ • 12x2 + 2
"
y • 3(2)4 _ 4(2)3 _ 12(2)2 + 2 • 48 _ 32 _ 48 => X
l
+ 2 • _ 30
.2 ; existe un Mínimo. _30
susriruye x • J2. en la función para calcular el valor Minimo
y = ,,'
-
4x2 + 4
.(,fi)4 -4(Ji)2+4 .22 -4(2)+ 4.4 - 8 +4.0 => X .,fi; existe un Mínimo. O P.r.:,.- ./i,Y"_12x2. 8 ·yo. 12(8 _ 12(2) - 8 .24 - 8. "+ ", Mínimo
Ji» --../2.
Se susrituye x •
y". 36xl - 24" _24 y".36(-li - 24(-1) - 24 .36 + 24 - 24 .36.
"+ ". Mínlím91
Se sustilUyc x - - I en l. funciÓn original para calcular el valor
=>X·_VL,
'2. existe un Mlnimo • O
y .3,,'- 4,,3 - 12,,2 + 2 Y .3(_1)4_ 4(_1)3 - 12(_1)2 + 2 Y=3(+J)-4(-I)-12(+I)+2=3+4_12+2=_3 => x , - 1 ; existe 1111 Mlnimo = _ 3 7. x' - 4xl + 4 y.x 4 - 4x2 + 4 y'.4xJ - 3x 4x3-8x.0 4x(x2 - 2).0
x.O xl_ 2. O ; X2. 2 ; x.± J2. x • o. ; x • .J2. ; x , - J2¡ Valores Críticos. PAr.:
;r •
O
y". 12,,2- 8.
y"(O).12(Oi - 8. O- 8.
v , ".
Máximo
Se susrituye x • O en la funeión original para calcular el valor
y. x4 - 4,,2 + 4y. (0)4 _4(0)2 + 4 • + 4 => X. O.; c.xiste 1111Máximo. + 4
,
y.
3
)
- RX
..
en la función origen para calcular el valor Mínimo
y.x· - 4x2 + 4 -(-,ff)' - 4(- Ji? + 4 y. (.fi)4 - 4(./2)2 + 4.22 - 4(2) + 4.4 - 8 + 4 = O
Paro;, .- 1.
\
de Der lvadns
I
(Xl + nl)1
a3 _ ax2 • O (xl + al/ 272
273
Soluclonarío de Derivadas Soluciona"ío de Deriv.das
Para: x _- a y" (.a) o • 2a.x (xl + a2 y"(-a) = _ 28.( -a) = + 2a2 • [(_a)2 + a1]l [a2 + a2]) + (2a')3
al . axl o O aJ
,
=
i
ax2 2'
X .8 X =
± a} Valores
Críticos
+ a2lª-.(a1
AA
y"_
)
.1
y"
_
ax)} _ (a3• ax2}.ª-.(x2+ a2i d!
(x' + 8')'(_ 2ax) - (al. ax').2(x2+ a')"'.!l(X' + a') ~..- ........-----Jd!l!x~-(Xl + a)'
y" •. 2x(x' + a2){(x' -+- ¡ha + 2(aJ • ax')}
(x2 + a2)' y".
-2x±h~~4l + 2aJ - 2ax2)}
.
Sim
Sustit1lyendo: o
y.
ax
x2+l
;t.1\ ,en
y(-a) _ n.' -a) (-8i + a2
=> x __ a ; existe un Mínimo. _ 1/2 Xl + 9x2 + 27x + 9 y = Xl + 9x2 + 27x + 9 y'o 3x2 + 18x + 27 3x2 + 18x + 27 • O 3(x2 + 6x + 9) = O (x2 + 6x + 9) _ O . (x + 3) (x + 3) o O x = - 3 } Valor Crítico Para: x o_ 3 y"=6x + 18 y"(.3) 06(-3) + 18.-
y". -2x (3a3 - ax') . (x2 + a2)3 y"(a)
v"
18 + 18.0
Se anulan, por tonto no hay ni MnXÍlnos, ni Mínimos
• 2a.a • - 2a' ~".". {a2 + a2)3 (2i¡J
Máximo
Se sustituye X .. a, en la f1lnción orígen para CAlcular el valor
yo
y. 12x + 9x2 • 4xl. y'. 12 + 18r. - 12x'
ax X2 + a2
y(a).
a.a
•
-112 o 1 2-112 "2 => x _ a ; existe un Máximó _ \1..
a2 + a'
12 + 18x· 12)(2_O _ 6(2x' . 3x - 2) o O (2x2
•
3)( . 2) _(2x¡2 - 3(2x) - 2 = O
275 274 ',' "
+ " . Mínimo
(x2 + a2)2)'
y". i~l + al)'( _ 2ax) . (a3• axl).2Cx' + a')(2x) (x' + al).
\
."
Se sustiruye x _- a. en la función origen para calcular el valor Mínimo
Para: x_. (Xl
+ 2a2
.'~' ... ,
Solucionarlo de Derlvadns
Seluelouarlo de Derlvadns
.¡
(2x - 4)(2x + )) • -2-(x - 2)(2x + l) • O 2xI -2-xl
Pn"a: x • O y".2x(x • 4).g_[(2x • 4») + (2x . 4).g_[2x(x - 4») dx dx
(x • 2)(2x +
y-, 2x(x • 4)(2) + (2)( • 4). {2x.d (x • 4) + (x • 4),g_(2x) } dx
(2x+l).O;
1). O ; (x - 2) • O ::::> x , 2 2x.·l::::>x.-lll.
(x.l.; x.-ln.)Valoru
,
,
Para:
X
.2
y". 18.- 24x.
y"(2) .18·24(2)
.18 - 48
= '", ".
Se sustituye x , 2, en la función origen para calcular el valor
y. 12x + 9x2 - 4xl y(2) • 12(2) + 9(2i - 4(2i .24 + 9(4) - 4(8) • 24 + 36 - 32 .28 :::) X ~ 2; existe un Máximo. 28
y"(O). (0)[-4] + [(0),4][0 - 8].(0) + (- 4)( - 8).0
Para: x .,112 18·24(·1/2).18 + 24n: "+ ". Mlniwo Se sustituye x • -1n, en la función para calcular el valor y'. 18. 24x.y"(-ln).
y. 12x + 9x2 - 4xl y(-ln) .12(-112) + 9(,1/2)2 - 4(_112)3._ 1212 + 9(1/4) - 4(y(-112)., 12/2 + 9/4'" 4/8 _·4818 + 18/8 + 418 _' 48/8 + 2218.·26/8, :::) X ••
112; existe
IIn
Máximo •. 13/4 ..
11. X2 (x- 4)2
y'. x2(2) (x - 4f'.4.(x dx
'.' . "
"';
,
" 1
J 4 y.x 2 +_L-..!..
3
Igualamos a cero: 2x(x - 4)(2x - 4) • O (2.·4).0;
"
,
l.. . , t1' ._.... ~~ .
2x.4
Parn: x.4 y".4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8») y"(4). 4(4)(4 - 4) + [2(4) - 4][4(4) - 8) y"(4) .4(4)(0) + [4][16- 8).0 + (4)(8). ,,+ ".Minimo· . Se sustituye x .4, en la función para calcular el valor Mm .y. x2(x _4)2 y(4). 42(4 - 4)2 = 16(0)2(Oi·o
Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Má y. x2(x - 4/ y(2) • 22(2 - 4)2 • 4(-2¡2 .4(2)2 • 4(4) • 16 :::) x = 2 ; existe \111 Máximo .16
- 4) + (x - 4)2 (2x)
y'. x2(2) (x - 4)( 1) + (x - 4)2(2x) y'.2x1(x - 4) + (x - 4)2(2x) y'.2x(x - 4)[x + (x - 4») 2x • O ; x ; O.
Se sustituye x • O,en la función para calcular el valor Mínim y. x~(x - 4)' y(O). (0)'(0). 4J2 .(0)(- 4)2 .(0)(4i·(0)(16).0 :::)x • O; exíste un Mínimo. O
y"(2) .4(2)(2 - 4) + [2(2) - 4)(4(2) - 8] y"(2) • 8(-2) + (4 -4)(8- 8) y"(2) _ - 16 + (0)(0)• - 16. " • ", Máxímo
y'. x2.Q_(x_ 4)2 + (x _ 4)2.g_(X2) dx dx
y'.2x(x - 4)(2x - 4)
+ 32 ." + ". Min
:::) x .4; existe un Mín imo • O Para: x.2. y".4x(x· 4) + (2x - 4).{4x - 8)}
y. x2(x _4)2
., .
.4x(x. 4) + (2x· 4).[2x(l) + (x - 4)(2)] y".4x(x - 4) + (2x - 4)[2x + 2x - 8)] y". 4x(x - 4) + (2x· 4)[4x - 8») y"(O).4(0)[(0),4] + [2(0)- 4][4(0) - 8]
(x - 4) • O ; x , 4 ; x.2.x_0; 276
x.4;
x.2)
ValoresCríticos
y'. 2x + 1..;x -3-
4 2
• _1 .4x
l
•
2 x + x 2 - xl
4 277
Soluclona!'!o d. DerivAdas
Scluclenario de Derivadas
. -.
2x + X2 "',
•
.1,.
,'.
-x (Xl
x)
_X•
.0
2) • O.
O. (Xl.
X.
X-
2) _ O
(x • 2)(x + 1) • O.x _2 ; x _. l.} Valores Crítlcos Para: x _O. y".2 + Zx - 3x2
y"(0).2 + 2(0) - 3(O}2.+ 2. ,,+ ". Mínimo Se sustituye x • O, en la función para calcular el y _ X2.+ x). x'
3 4 y(O) • (0)2 +..(Qt
-M.
3 ~x. O
O
4
existe un Mínimo. O
X.-Fa' • .J(a')(·ll
y"~2 + 2x - 3x2
Para: x.2.
n.....~..
Se sustituye x _2, en la función para calcular el valor MáxinloJj y. X2 +X. x· 3 4
+.m: ...cK.. 4 + ~ 3
~ x , 2;
-.!§ .4 3 4
4
.,fíf.
rt 2· ,,-1 • a .1.
. X • O ; x = a1.i } VAlores críticos.
y"(2) _2 + 2(2) _3(2)2 • 2 + 4 - 12.6 - 12. " , ".
y (2) • (2i
•
~: . Y'.2x
,,_O. 4
+ 2a) . x
+ ..t. 4 - ..t 3
3
y".2
existe IIn M~xil11o~ 8/3
Pal·a:x.-l y".2 + 2x - 3x2. y"(-J).2+2(-I)-3(-I)I.i!-i!-3.-3."-". MáxillJO Se sustituye x • - J, en la función para calcular el valor Má:ltimc y • Xl
+~ _.1L . (_1)2 +ill- (:1l • 1 - ...!.. - ...!... ll...i.3
...
4
3
4
3
4
12
12 12
'
",,_ »:
".
~ x •. 1, ; existe un Máximo. 5/12 278
219
Solucionarlo de Derivndo.
Selueíonnrlo de Derivadas
Y"• 2'X
6'a
-
x'
y"(O} e 2(0)4 - 6a' (0}4 y"(O) = 0- 6a' O .+2c"+"
o: y"(x) .+, por ende In curva es cóncava hacia en tocios sus puntos
y"(O) = - 6a'
O y"(O}. 00, Cuando y" • 00 . N o h ny III' Máxlmos, , ni Míni \ ",
Para' x al'1, PO!, ser UD valor crítico Ima "' tampoco hay Máximos y Mínimos, ,
'
e
y" .,_ , Por
ende 'o curvo es conc.va hacia ab.jo en todos sus puntos
"
-+x.o Para:x.O Primero, para x < O • - 0,1
. y".6x . y"=6(-
o.» - " - "
Luego, para x > 0_0,1 y".6x y".6( 0,1) - "+" Corno cambia de signo, hay punto de inflexión ~ : ~)se SUs}tituye en en la función otiginal
,1 ¡
\' ¡M'
.... "
~'"
•
y = (O») _ O
.
::;>
Punto de inOexlón (0,0)
Es cóneavn h.cin nbnjo, a In izquierdo d. (0,0) Es cóncava hacia nrriba, a ,. derecha de (0,0) 280
281
Soluclonnrio Sotutiollar;o de Dertvadas r-,
de Derivada'
::::> en x _ 1/2 hay IIn Punto de inflexión (1/2 , 13/2)
'';.
6 . y _x .' y'. 411.1 y"= 1211.2 1211._2 O
IJ."
',1',":
La curva es cóncava hacia abajo, a la izquierda de x • 1/2 La curva es cóncava hacia arriba, a la derecha de x • 112 1
! ~. :
°_-
Para: x.O
Primero, para x < 0,1. Se reemplaza este valor y"= 1211.2 y". 12(- 0,1)2 .12( o.n' = "+" , Luego, para x > O _ 0,1. Se reemplaza este valor en y" y". 1211.1 y"(O, 1) • 1211.=2 12(0,1) ... + .. Como no hay variación de signos,
110
hay Puntos de
También observamos queq y".+, ~ la curva es cóncava hacia arr iba en todos sus 7, y _2xJ
-
3x1 - 36x + 2S
Para: x.2 Primero: para x < 2 : 1,9, Se reemplaza este valor en y"
y"=48 - 12x2 y"=48 _ 12(1,9)2.48 - 12(3,61) ,48 - 43,32 • " + " Luego: x > 2 .2,1. Se reemplaza este valor en y" y".48 - 12xy"=48 _ 12(2,1)2.48 - 12(4,41) .48 - 52,92. " -" Como cnlllbln de signo hoy punto de inflexión x .2 , en la función para determinar el punto de inflexión , y =2411.-- X •• 9 6-16.80 y(2).24{2)"-(2) =24(4)-16. ::::> en x e 2, hay punto de inflexión (2, 80)
.
'
.
y'. 611.-2 611.- 36 y"= 1211.- 6 1211.- 6. O 6(211.- 1) =0 2x - I _O' ~ x _ 1/2 \
•
y.24x - x y'.48x - 4xJ " y". 48 - 1211.2 , 48 - 1211.2.0 _ 12(x2 - 4).0 (11.-2 4) • O 2 x=4, -t x.±2
Para: x .112 Primero, para: x < 112.0,4, Se reemplaza este valor y"= 12x - 6 ' y"= 12(0,4) - 6 .4,8 - 6 = " -" Luego: x > 1/2 .0,6, Se reemplaza este valor en y" y". 1211.- 6 y". 12(0,6) - 6 _7,2 - 6 = '~ + .. Como cambio de signo, hAy un punto de inflexIón x = 1/2 .0,5 en lá función para determinar el punto de y _ 2x1 _ 3x2 - 36x + 25 y.2(O,5)J _ 3(0.5)2 - 36(0,5) + 25.2(0,125) - 3(0.25)YcO,25-0,7S+7.6,5=13/2 • 282
Pal'a: x _- 2
x < - 2 • - 2,1, Se reemplaza este valor en y"
y".48-12x2 y"( _2,1) .48 - 12(- 2,1)2.48 - 12(+ 4,41) .48 - 52,92. Luego: x> - 2 _ - 1,9, Se reemplaza este valor en y" y".48 - 12x2 y". 48 - 12(- l,9i =48 - 12(3,61) :48 - 43,32. ,,+ " Como cambia de signo hay punto de inflexión x , _2', en la función para determinar el punto de inflexi 2 4 y.24x - x y .24(-2)2 _ (-2t .24(4) - 16.96 - 16.80 , ::::> en x.- 2, huy plinto de inflexión (- 2,80) 283
.,
,,
Solucionario de Derivadas
SOlucionArio de Dcrivndas
"
9.
y.x+_L
<'o ,.
,.
-
X
o',
"
y'_ 1 + fí.:.U.Q_(x)1-1 .
L x2
J
dx
[..L.(1)]. I ._L • U .0'" Xl
Xl
Xl
'
y'.2x + (.I)(X·I•I) .2x. x·2 .Q.(X2 . 1) • (Xl. 1).Q_(X2) y". _~d!.
y'. 2x • X ·2
(X2)2
y"_ x_2(2x) .
~X2.
1)(2x)
X
y"_ 2x(i·
2+ 2
7
*~ + 1)
x4 y"=
2xl + 2 • O X
2xl + 2 .0,2(xl + 1).0 xl .·1 => x.·1
2*,(1) • .1.. Xl• .,..
e
Xl
Pnrn: X •• 1 X <. 1 _' 1, I ' Se reemplaza este valor en y"
y". 2
y"= 2 + .1...2 +
?
Xl
y".2· pnrn: x.O Tanto en la lr1 • asl como en la 2fl:l. d(!rivndn
por lo tanto no hay plinto de innexlóu,
y'(O) .x2• I
.u_.. ..L.
X2
O
t
se vuelven
2 (.I,ti
_2 +
2 .2· _2_ (.),331) 1,331
1,502629601803 - " +",
Luego: X >. 1 .' 0,9, Se reemplaza este valor en y" y".2'+ 2 .2+ 2 .2+ 2 "? (.0,9)l (.0,729)
y"_ 2 = 2,743484224966. " • " 00
O
Como cambiA de signo hoy plinto de innexlón X .'
1,en la función para detenninar el P\¡nto de inflexión
y". 2 • 2 • '00
70'
Y .x2 +_1 X
284 . ~' ... :,:.!;.
285
Solucionado de Derivadas
de DCl·ivadas
Solueionnrio
y = (_1)2 + _1_ • 1 - 1 ~ O
PROBLEMAS - PÁEilNA 100
(-1)
=> en x • - 1, hay punto de inflexión (- 1 , O) Es cóncava hacia arriba a lo izquierda de x _- 1
..
(
Es cóncava hacia abajo a la derecha de x _- 1
HAIJ.AR J...AS ECUACIONES DE LA TANGENTE '( LA NORMAL EN CADA PUNTO DE INFLEXIÓN, 3y ~x) - 3x1- 9x
+ 11
.Y _ X} - 3X2 - 9x + 11
3
X2 - 3x + J..L
3
v-.L .+x2 - 2x - 3 -3-
y'. x2 _ 2x - 3 1=X2_2x-3=0 x2-2x-3.0;
(x-3)(x+I)=0
Para: ,_3, se reemplaza en y"
y'. X2 - 2x - 3 y"_ 2x - 2 y"_ 2(3) - 2 _6 - 2 _ .. + ". Mínimo Luego: se sustituye x • 3 en la función original y = x ) - 3x2 - 9x + 11 3 . Y 3) - 3(3)~3) 3 D
286
+ 1I _27 - 21 - 27 + 11 - - 16 3 287
3
Solucionaría de Derivadas
Soluclonorjo d. Derivndas
..:
:::::> en x _3, hay un Mínimo _- 16/3 ',-
lata: x _ -
y • Xl _ 3x2 - 2x
1, se reemplaza en y"
+
11
3
y"; 2x - 2, y". 2(-1) - 2 _- 2 - 2 ... -" .Mñxlrno "
,
Se sustituye x = -1 en la función original y _xl _ 3x2 - 9x + 11
~ "
3 y • (_l)l - 3(_1)2 - 9(-1)
y.J~3-9+11 3
+ 11
3
y. - 1 - 3 + 2 ~- l l .. - 4 + 20 ~ J..2.. 3
3
3
y _ - 4 + 20 - J..§_
3
3
y_..Q..=O 3
'. y. O
y. J..§_
:::::> en x
3 :::::> en x
y _ 12 - 12 • ..Q...O 3 3
.-1, hay
un Máximo
=
16/3
Para encontrar el punto de inflexión, hacemos y", O y"_2x - 2.0 2x - 2 ... O 2(x - 1) _O ~ x ~ 1
=
1, hay punto de inflexión ( 1 , O)
Ecuación de la Tallgente:en el punto (1,0) Primero calculamos la pendiente: y'.m !TI •
y'(I) • 12 _ 2( 1) - J • 1 - 2 - 3 • I - 5 = - 4
rn v- 4 y-YI_m(x-xl) y-0.-4(x-J)
Y>: 4x + 4 4x + y - 4 _ O ~
Pnrn: x .1
Para: x < 1 .0,9 .Se sustituye este 'valor en y"
y"_2x -2 y", 2(0,9) - 2 • J ,8 - 2 _ .. - .. Luego: x> 1 _ 1,1. Se sustituye este valor en y" y". 2x - 2 y"(I,I).2(I,I) - 2 =2,2 - 2 _ .. +" Como cambia de signo hay punto de inflexión x - 'l , en la función original para determinar el punto de '
Ecuacíón
de In Tangente
Ecuación de la Normal: en el punto (1,0)
y • YI
=
;:_L(x - XI) mi
y-·0 _ :...L(x - 1) ; y.0 -4
4
4y _ x - 1 _4y ; x - 4y - 1 _O ~
,',
288
289
Ecuación de In Normal
Solucionarlo de·Deri"ados
Soluciouario de Derivadas
3. .'
6y_12-24x-1Sx'-2xJ y•
, "
1).- 5- 2(-1).- 5 + 2. "- ". Máximo
12 - 24x - 15,,2 - 2x' 6
'ifAhol'a:' x _ - 1 en la función original .12_24x-15,,2-2x3
y. J1.. - 24x - lSx2
6 -6-
6
-
2x'
6
6
.12-24(-I).IS(.li-2(-I) y • 2 - 4x - SX2_ x'
-2 3
::::>
y' • O - 4 - 2_.i!x - l. 3x2
-t-
+ 4)(x + 1). O ;
x _- 4
;x•- 1
Se sustituye x 4 en "
y'. _4 _ 5x _ ;~ ,
en x _- 1, hay un Máximo
=
23/6
y"=- 5·2)( =0 - 5 - 2x. O -5.2)( -4 x.-512.-2,5
,
(x
6
Luego pasamos a ver si hay puntos de inflexión
-3-
x- + 5x + 4. O
,
=12+24-15+2.
6
y para ver SI. hay Máximos
y".- 5 - 2x
y"(4).. Ah . . 5 - 2(-4).- 5 +8 '. "+" M'lUlmo Ol. a. x _ - 4 en la función ongula .. 1 y. 12 - 24" - I 5x2 _ 2xJ
6
°
x < - 2,5 • - 2,6. Se sustituye este valor en y" y".- 5 - 2x y"(_2,6).-5-2(-2,6)=. 5+5,2." +" x> _2,5 _. 2,4. Se sustituye este valor en y" y".- 5 - 2x=0 y"(' 2,4).- 5 - 2(- 2,4) _- 5 + 4,8 - "-" Hay cambio de siguo, hay punto de inflexión Se sustituye x • - 5/2 _' 2,5 en "y", para encontrar el valor del punto de inflexión. -
,
y.12_24x_15x-.2x 6
)
,
.
)
y .12.24(- 2,5)·15(- 2.5) ·2(· 2,5)
6 y _ 12 + 60 - 93,75 + 31,25
6 290
291
23
6
Soluciolinrio Soluciounrio de Derivadas
-.
y-19~-.i.(~x+~ 12 9l 2
Y=& 6
oc Derivndo.
J
. y - .!2 • -.i. (2x + 5) 12 18 ti...Dl..C.m. - 36
. y
=
19/12
:::> en. x
e - 5/2, hay plinto de in flexión (- 5/2 , 19/12) Ecuación de In Tangente: En el punto (- 5/2 , 19/12) Primero calculamos la pendiente: m • y'. - 4 - 5x - X2 m • y'. - 4 - 5(- 2,5) - (- 2,5i = - 4 + 12,5 - 6,25 e 2,25 y - YI _ m(x - XI)
Y
-J2...~[x-(- 512)1'j 12
36y - 57 • - 8 ( 2x + 5) 36y - 57 e - 16x - 40 36y + 16x - 57 + 40 = O 36y + 16x - 17 _ O. -+ Ecuación de la NOI'mnl
y". 12xl
4
-
16
x.O en y" . y". 12x2 - 16 . y"(O). \2(0)' - 16.0 - 16 •. ': -" ..rv_1áximo x. O se sustituye en la funclon original 4 2 ' y. x - 8x y(O).(0)4 - 8(0)'.0 - 0.0 :::> en x _ O, hay un MáximO. O
m.e.m .12 12y -19 .27[x· (- 5/2)J 12y - 19 = 27(x + 5/2) 12y - 19 .27x + 135/2 27" - 12y'+ 135/2 + 19»0 21x - 12y + 113/2. (Ecuación de In tangente) Ecuación de la No,..u.l: en el punto (-
Y-12--.i.[X+í] 12
9
sn , 19/12) _(- 2,5 ,
en y" y".12x2 - 16 . y"(2) .12(2)2 -16.48 - 16:" + :',.Mínimo x .2 se sustituye en la función ongmal ., 8 2 yex - X y(2) .(2)4 - 8(2)2 e 16 - 32.- 16 :::> en x _2, hay un Mlnimo - - 16
x.2
2 292
293
SoJuciol1t1rio
de Dcrtvadas
Solucionado deDerlvndas
x _- 2 en y" y"~12x¡-16 y"( -2) = 12(- 2)2 - 16.48 - 16 • " + ". Mínimo x • - 2 en función original y.X
4
j4í3) .(_ .14/3)4 _ 8(• .,f4i'f)2 .(4/3)2. 8(4/3) .16/9 - 3~ .14/3) = 16/9 - 96/9 =- 80/9 en x , (_ /4l3), hay punto de iune,ión
- 8x 2
_
Igualando n cero Isa2'· dertvada, para determinar
puntos
--.:...... ",
Para: x _1,15
x < 1.15 • 1,14 se sustituye en y" y", 12x2 - 16=O y"C 1,14)_12{1,14)2- 16.12(1,2996) - 16.15,5952 - 16i:..~:::m;;f x> ),15. 1,16 se sustituye en y" y".12x2 -16=0 y"(I,16) .12{I,16)2- 16.12{1,34560) - 16.16,1472Hay cambio de signo; hay punto de inflexión .. x - + .f47j en la función original, para determinar el punto d~ y.x 4 - 8x 2 y(..j4/3) = (..j4/3)' - 8(J4/3)' .(4/3)2 - 8(4/3).16/9y('¡4/3) o 16/9 - 96/9 =- 80/9 ~ en x , (,f4ij ), hay punto de inOex ión [+M ,'-BO/9}a[+1,IS ... ,-80/9) ,,-,.;. .... Parn: x _ - 1,15
x < - 1,15 =- 1,16, se sustituye en y" y".12x2-16.0 , , ' y"(-1,16) .12(-1,16)" - 16.12(1,3456) - 16.16,1472 _,1 x > - 1,15. - 1,14 , se sustituye en y" y"= 12x2 - 16. O y"(-1,14).12(-I,14¡216.12(1,2996).15,5952-1 Hay cambio de signo; hay punto de inflexión x = - .14/3 en la función original. y 8x2 294
s
5_5x4=0
4(3x2 - 4) o O ; (3x2 - 4) e O ; 3x2. 4 x2 ~4/3 X _,fft3 • ..rr;33 _ ± 1,154700538379
"x' _
.. , ,-
.:lX - X
y(- 2) .(- 2)4 - 8(- 2)¡ .16 - 32.- 16 ~ en )(• - 2, hoy urt Mínimo _ - 16 y"; 12x2 - 16.0
(-.¡;m, - 8019) - (-1,15
- 5x' _O S(x· - 1).0 - 1). O (x1+ 1)(x2 _ 1). (x2+ I)(x + I)(x - 1) (x2 + 1).0 -4 X 2 .- 1.-4 Xol . +1).0 -4 x.-I (x-I).O -4 x , I y':S_Sx4.0 Parn:
l.
1,
se sustituye en y"
y". - 20x)
y"(I)=_20(I)J.-20(1)=" - ". Máximo .. x ; 1 en la función original para conocer el valor Máximo 5 y ~5x - x y( 1) • 5(1) - (1)5 • S - 1 _ 4 => en x. 1, hay un Máximo ~4 Pnrn: x_" 1, se sustituye en y.
":_ 20,,3
yy"(_ 1).- 20(-1) J .- 20 ()"" . - 1 • +. M'numo
, . x =- 1 en la función original para conocer el valor mmun y=5x - x5 y(_I) =5(-1) - (-li S + 1.- 4 ~ en x .-1, hay un Mínimo _- 4 . 0-
. Igualando a cero la 2111derivada, para determinar puntos de i
y"; - 20x3 - 20"J.0 x.O X < O.~ 0,1 . Se sustituye en y" y". _20x3 295
Soludon.ria de neriv.d.s
Saluclouarto de Derívndas
y"(- 0,1). - 20(- O,I)l,_
,
., .... ,'-
20(- 0,001)." x..> O• 0,1. Se sustituye en y", y • - 20xl ,<0,1).- 20(0,1»).- 20(0,001). "-"
+ ..
ay cambio d. signo; hoy punto d. inflexión
Oen la función original y .5x _xS
,73). 18 - 6(1.73)2 [(I,73i + 3)2 ,73). 18 - 6(2,9929) (2,9929 +
3i
X •
y(O).5(0) - (O)s = O
,73):
18 - 17.9574 (5,9929)2
,73).
004260 35,91485041
=> en x • O, hay punto de inflexión ( O, O) 6. y _
6x Xl + J
,73) ... + .. ,
(X2
y-
,
( 2
Y .x
+ 3),Q_(6x) - (6x),Q_(x2 + 3) dx dx (x + 3)2
> ../3- 1,74. Sustituimos este valor en y' y'. 18 - 6¡s,2.0
(x2 + 3)~
+ 3)(6) - (6x)(2x) (x2 + 3)2
y'(I,74) .18 - 6(1.74i .18 - 6(1,74)2. 18- 6(3,0276) [(1,74)2 + 3]2 [(I,74i + 3)2 (3,0276 + 3)2
y': 6lt~+ 18 - H!¡~ (x2
+ 3)2
y'(I,74) .18 -18,1656 -_-_-" + +
-"
y'. 18 - 6x2.0 (x2 + 3)2
Como va de .. + " ... - " hny un Máximo
18-6x2.0 - 6(x2 - 3),0 (x2 - 3). O x2.3
x • ../3 ~
Sustituyendo ,f3 en la función ' Y> 6x • 6(J3) • ~ - +lf x2
x _ ±../3'
Tomando como referencia nI IU método de Máximos Para: x • ../3• 1,732050807569 y x, <../3. 1273.Sustituimos este valor en y' y. I~-6x .0 '(x + 3)2 ,
'.-",.
",
'
.,
" ~~il'-:' \
-',
296
+3
=> en x Para:
X
(./3'/ + 3
-.¡s, bny
3+3
•.J3: 1,732050807569
-é--
un Máximo • .fS
.-,fJ
,
Primero: hacemos, x < - ,fS • - 1,74,Sustituimos este valor en y', y': 18 - 6X2:0 (x2 + 3)2 297
Sclucíonarto
Solucionarlo de Derivadas
de Derivadas
6.l0(x2 + J), 6(x2 + )) + 2( 18 - 6x2) • :J. x (Xl + 3)2
Luego: hacemos, X> -.f3_- 1,72,Sustituirnoseste
,.Y
"
:-.2 ,~
-(?x)~
y'. 18 - 6x2 = O
-",
(x2 +
3i
oo.
18 - 6(-1,72)2_ 18 - 6(2,9584) _ 18 - 17,7504
•
_
y
"
y'(-1,72):
[(-i ,72)' + J)2 [2,9584 + 3)1 (5,9584)2
"+",' hay un Mínimo
Como va de " - ".
2 + 3) + 2(18 - 6x2»)
( 6(x2
+3)
~(x
2x 16x2 + 18 + 36 - 12x2} (x2 + 3)
y". _2x ( 54 - 6x2 ) _ O (x2 + 3) y" = _ 2x ( S4 - 6x2 ) = O
Sustituyendo - ,f3 en la función
x - O, 6 2 54 (54 - 6x2) _ O ; S4. x ~ x2 -_-S4 9'x=±,J9.±3 ,
,
6
y. 6(- JD (-J3i + J
• - 6Jf
3+3
=
-.fr.ff .fr
• - ../3. - 1,7320501¡O~
X O 1 y" x< O·_-- O I Se sustituye este va or en
Poro'
t
•
y"__ 2" ( 54 - 6,,2 ) • O (x2 + 3) Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión y'. 18 - 6)(2_0
-(_ 01).
y.
- 2(-0 1)[ 54 - 6(- O Ifl (-0.1¡2+3j
(x2 +.3)2 (x2 + 3fQ_(18 - 6x2) - (18 - 6x2).Q_(X2 +
dx
y".
dx
"t- O 1). 0,2[54 - 6(0,01)) y. (0.01 + 3)
3i
'1"(_ 0.1) _ 2,7 ~0,o6 - : - "+"
(x2 + 3)2 (x2+3)2(_12x)
- (18-6x2)(2)(x2+3)2.t.f!..(x2+3)
dx
s";
.
Luego: x > O = O, 1.' Se sustituye este valor e
(x2 + 3)
y". (X2+ Ji(-12x)
- 2(18 - 6x2)(X2+J)(2x) (x2 + 3)2 298
.,-:-
-- _.
~
Y
-, _2x ( 54 - 6x2 (x2 + 3)
) =O
299
Soluclonario
de Derivadas
Solucionar-le
y"CO,I) - • 2CO,1) {54· 6fO,J)2} [(0,1)2 + 3] Y"(O,I).(-
y"o C· 5,8)(54 - 34,8) + (.)(+)._. __ u.u
0,1) (54 - 6(0,01))
+
+ • 1
y"(O,
jj _(-0,1 )(54
dt Derlvndas
+
- O,O?)
+ y"(O,I).
(-)( + )-_;_'o
+ y"(0,1).
u. u
+
Ir _ ti
y" •• 2x ( 54 - 6x1 ) _ O (Xl + J)
Hay caOlbi? de signo; hay punto de inflexión x • O se Sustituye en la función original, para calcular el valor del punto de inflexión.
y: Xl
y(O)
6x +3 6fID
o
Luego: x > 3 13,1 , Se sustiruye este valor en y
y·C3,1) _. 2C3,1){54 - 6(3.1)l} oC- 6.2H 54 - 6 C9.61)} [(3,1)2+3] +
+
_ .Q.. O
(O) + 3
3
~ en x .0, hay punto de inflexión (0, O)
+
+
Hoy cambio de signo; hny punto de tuflexlén x ; 3, en la función original, para calcular el valor del punto de inflexión
Para: X.J
X < 3 _ 2,9. Se sustituye en y"
y": - 2x C 54 - 6x2)_
y(3) •
O
(x2 + 3) y"C2,9) - ..:1(2,9) { 54 - 6(2,9)2} [(2,9)2 + 3] y"(2,9). \
6(3)
(3i+3
(- 5,8) (54 - 6( 5.SH
+
=> en
x.3,
-
J.!. 12
o ~
2
hay punto de inflexión (3,312)
Para: x .·3
x < • 3 • - 3,1 .Se sustituye este valor en y"
300 301
SoluCionariode D'eJ'ivndns
Soluetennrfo de Derfvad as
y". - 2x ( 54 - 6x2 (X2 + 3)
)
o
O
•
y"(-.3,I) _ - 2(-3,1) 154 - 6C-3,l)2} [(-3, J )2 + 3) y"(-3,1)
e
e _.
n _"
+
Luego: x > - 3 • - 2 ,.9 Se sustituye . este valor en y" .
(-3i+3
9+3
• .:lL•..:.L 12
2
y .x) + 6X2
y".(6,2) (54 - 57,66). (+) (_) + +
) _
• ..:.lL
~ en x _ - 3, hay punto de inflexión (- 3. - 3n)
(6,2){54 - 6(9,61)} {(3,1)2 + 3J
y". - 2x (54 - 6x2
6(-3)
O
Y'_3x2 + 12x . 3x? + 12x.0
3x(x+4).0
x.O ; (x+4).0
;x.-4
y".6x + 12
Pnrn: x • O. Se sustituye este valor en y" y"_6x+ 12 y". 6(0) + 12 = "+", Hay un Mínimo Sustituimos x • O en la función. y. xl + 6x2
(x2 + 3)
y"(- 2,9) _ - 2(- 2,9H?4 - 6(- 2,9il [(-2,9i + 3] ,
y(O) • (0)3 + 6(oi _O ~ x ~ O , existe un Mínimo - O
y"(- ~,9)_ (5,8){54 - 6(5,8»
Para: x _ - 4. Se sustituye este valor en y"
(5,8 + 3)
y".6x+12
y"(_ 4).6(- 4) + 12. - 24 + 12 =
y"(- 2,9) • (5,8)(54 - 34,8) . + y"(- 2,9) • (5,S}(54 - 34,8) +
• - ",
Hay un Máximo
Sustituimos x .(- 4) en la función y = x3 + 6x2 y(_ 4) 0(- 4)1~.6(- 4)2._ 64 + 6(16)·.- 64 + 96 .32
"_C + ) ( + ) _ " + " +
Hay enrubio de signo; hay puuto de inflexióu x • - 3, en la función original
~
x ; - 4 , existe un Máximo
= 32
Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inf y"c6x+12=0 . 6x+ 12.0 ; 6(x:r2)=0. -4x.-2 Para: x ;- 2, pata saber si tiene punto de inflexión x < - 2. - 2,1 . Se sustituye este valor en y" y".6x + 12.0
y"(_ 2,1).6(- 2,1)+ 120- 12,6+ 12. "-" 302
303
'. ;~: .
..~¡,
Setuelonarlo de Derivadas
Solucionarlo de Derivadas
\
Luego: x> - 2 .' 1,9, Se sustituye este valor en . y". 6x + 12 • O
',! "
'o, ".'
.. ""'.
.. -
0,1)=-6(-0,1)."+" " > 0= O,1 .Se sustituye este valor en y
L-U',¡;v. x
: ?' ... 0,:
.. ,
·6x
y"( - 1,9) • 6(- J ,9) + 12. - 11,4 + 12 ~ "+"
,
1).-6(0,1). >1-" ,., cambio de signo; hay punto de iriflexión en la función original
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión x _ - 2 , en la función original y ~x) + 6X2 y( -2).(- 2») + 6(- 2)2._ 8+6(4).- 8+24.16 => en x - - 2 , hay punto de iutlexión ( - 2 ) 16)
~°,
-4 + 3x - x) y(D) .4 + 3(0) • (O)' = 4 + O - O• 4 => en x • O) bay punto de inflexión (0,4)
8. Y _ 4 + Jx - xJ y'=3 ~3X2
3y • 4x) • 18xI + 15x
3-3x2_0. ~ -3(x2-1).0. ~ (x2_1).O, .x = 1, se sustituye en y" y"-- 6x y"(I).- 6(1)_ "- ". Hay 1111 Máximo 'x = I en la función original para calcular el valor M:rtxi:iñ y.4 + 3x _ x3 y( J ) • 4 + 3( 1) - (1)J ~ 4 + 3 - 1 • 6 . => x v l , existe un Máximo _6
°
-
Y • 4x3
-
18x2 + J2.f_ 3
3
6,,2 + 5x
3
)1'. (4x)'_ 12(4") + 20.0 .
Tomando la 2l!!derivada, para saber si hay puntos de in,fleJ(íóri y".·6x . ;".
y. 4.xJ 3
)I'.4x'-12x+5.0
4
- 6x.0
3
y'• .i..+x'.12x+5.0 ~ , "'7
Parn: x • - 1. Se sustituye este valor en y" y"_ - 6x y"(- J) _- 6(- 1). "+ ". Hay IIIl Mínimo x. - 1 en la función original para calcular el valor Y 4 + 3x - ¡¡J y (- 1) =4 + 3 (- 1) - (- 1»).4 - 3 + 1 .2 => x .·1) existe un Mínimo.2
y = 4,,3. 18x2 + 15x
(4a -
10) (4" - 2) 2x2
~ (la - 5),±(2a - Il ~x~ (2x - 5) (h - 1) • O (2x -5).0
; x , 5/2,
(2x-I).0
Para: x.O
< O • - 0, I .Se sustituye en y" y"•• 6" X
304 .·1....
_
y'.4xl-I2x+S
y".8x - 12 30S
x.l/2
Solucionarlo de Derivadas
Solucionario de Derivadas Para: x , 512 , Se sustituye en y"
y".8x - 12 1, y"(S/2) • 8(S/2) - 12.20 - 12 c " + "; Hay un Mlnimo X • S/2 = 2,S se sustituye en la función original
, 1':
¡
.
, .' ' '..:
y • 4xJ -18x2
+ ISx
y • 4(2,Si - 18(2,S)2 +' 15(2.5) 3 y.
3 y (0,5) -..ll. 3
3
y. 62,5 -112.5 + 37,S
y(0,5). 35/10 3
3
30
3
6
=> x = 1/2 , existe un Máximo
y. -125110.- 125 3' 30
y _ (x
y.- 2S/6
= 7/6
- n)3 + b
y'a 3(x - a)l-I,Q_{x - 11)
=> x , 5/2 , existe un Mínimo.
dx - 25/6
y '= 3(x - ai( 1) • 3(x - a)2 _ O 3(x - a)2 c O
Para: x _ 1/2 , Se sustituye en y"
2
y".8x-12 y"(1I2) =8(1/2) -12.4-12." -". x • In .0,5 en la función original 4x3_18x2+ 3
L:
y (0,5) _ 35 •
y _ 100 -112.5 - -12,5
Y>
+ 7,5
y(O,5) _ 8 - 4,5
4 (l5,625) - 18 (6,25) + IS (2.5)
3
y(0.5) ~ 4(0,125) -18(0,25) 3 y(0,5) _ O,s - 4,5 + 7.5 3
3
,
y(0.5) _ 4(0,5)J-18(0.5}2 + IS(o,5) 3
Máximo
°;
(x - a) • x•a y"= 3(2) (x - atl.Q_(x - a)
•
dx
y"=6 (x - a)(I) .6(x - a)
15x
Suslituyelldo x _a • en y" • para saber sí hay un Máximo O Mín
y".6 (x - a) 306
307
Sotuclonnrio
Sotucionario dé D~rlv.das
de Derívadas
y" (a) .6 (a - a) ~ 6(0) • O. No hay ni Máximos Luego: haciendo y". O, para detectar los puntos 6 (x - a) • O ; (x - a) _ O ; x , a
.~
_ 1) +../i2} {(x - 1) -.Ji2} • [x - 1 +../i2} {x - 1 -../i2} .0 -1+.[12}-0
.I--[íí,
1- 3,464101615138.-2,464101615138
._ 2,464101615138
Para i x ••
Tomamos un x < a • O,9a .Reemplazamos este y":6 (x - a)
y"(O,9a) • 6(O,9a - al .5 (- 0,1 a). tf • tf 61amOSun x > a • 1,1a . Reemplazamos este valor
\?1J y,
(x - a)
y"(J ,1a) .6 (1,1a - a) .6
(O,, a) _ "+"
11. 12Y·_(~-1)~.24(x-l}z (12) (y') • 4 (x - 1)4-t .Q_(x '-1) - 24 (2)(x _1)2.1 .Q_(x _1)
ex - li
Luego: Veremos si hay Máximos y Mínimos y'. f0.)[ (x· !)~- 121 • O ,(x _I)(x
_ 1)1 - 12(x -]) .~)
3
3
- 4(x - 1) 3
y". _1 ...,;....(x - 1)3-1 .Q_(x - 1) - 4.º-(x - 1) dx
dx
y", (x _ 1)2(1) - 4(1).
(x -l)~ - 4
x , l. en y",
para saber si hay Máximos o Mínimos
dx
12y'.4(x - 1)3(1)- 48(x - 1)(1) 12y'. 4(x - li - 48 (x - 1) 12y'.4(x - I)[(x - 1)2 - 12)
IH
.4,464101615138
..,;...
=> en x • a, hay punto de Inflexión (n,b)
y'c,1(x -
4,464101615138.
3
Hay cambio de signo => hay punto d. Inflrxi6n x • a, en 'Jafunción original, para encontrar el punto de y .(x - a) + b y(a) .(a - a)J + b.b
dx'
-1-../i2) .0 .1 +../i2.1 + 3,464101615138.
- 121
}1'
t.'ex - 1)[ ex- li - 121 .0 3
y". (x _ 1)2 - 4 y"( 1)
-le 1) - l)f - 4 _ (1 - 1)2 - 4 • O - 4 _ " - ", Máximo
x • 1 en la función original para calcular el valor Máximo '. 12y .(x _1)' - 24 (x _1)2 12y .(1 - 1)4 _ 24(1 _1)2. O ::::> x .1, existe un Máximo.
Para: x , - 2,464101615138; y"_ (x - 1)2 - 4 .
O se sustituye en y"
- 1)2_4 .(_3,46)1_ 4 y"(-2,46 ... ) .11,9716 - 4." + ", MlniJIIO x _ -2,4641 O1615138 en la función original
y"(-2,46 .. ) .(-2,46 \
(x - 1)[(x - 1)2 - 12J .0
(x - 1) ; x. 1 [(x - 1)2.12) .0 (x - li - (.fl2)2. O . (Diferencia de Cuadrados) 308
12y _(x _ 1)4 - 24(x -li 12y_(-2,464101615138 _1)4 _24(_2,464101615138 12y _(_ 3,464101615138)4 - 24(-3,464101615138 309
i
-Ji
.. "
',',
. • '-:"f""f-.!:
'
'.: /;;:~J:'}lIii.ni . :' .• s ,
SOiucionRrio de Derh'"das
Sotuclonarío de Der ivadns
.......'.a'.!lt.f,,1 t~~.~~
1;'.:" .. ,,!".I¡.!í!"~i\:'
y .144 - 24(2) 12
,
..';"'., .' .¡ t. t' .
.144 - 288. 12
- 144 .- 12 12
"',-'"
~
.. .,, "
:,:~.:.
)
.;.¡r);.;'
.C:~:: ~
'1
~
,,.
I
X.-
2,464101615138
• existe un Mínimo.
-1
x , 4,464101615138. Se sustituye en y" y".(x _ 1)2.4 .i y"(4,46 ). (4,46 - 1)2 - 4. (3,46)2. "+ ". Mínimo' x _ 4,46 en la función original 12y • (x _ 1)4 _ 24(x _1)2 12y .(4,464101615138 - 1)' - 24(4,46410161513812y .(3,464101615138)· - 24(3,464101615138)2 _ 144 12yc 144 - 288 _- 144 Y _ - 144 • - 12 12 .4,464101615138 , existe un Mínimo _ -12 Ahora veremos si hay Puntos de Inflexión: ~
X
Para: x .1
x < I =0,9 .Se sustituye en y" y".(x - li - 4 y"(O,9) =(0,9 - 1)2 - 4 • (0,1)2 - 4 = 0,0 1 - 4 • " - " x > I • 1,1 .Se sustituye en y" y".(x _ 1)2 - 4 y"(I;I);(I,I_1)2_4.(O,I)2_4.O,OI-4. » ;» No hAr vnrtacíén de "stguos" => no hny Punto d. Inn""lón P3I'a: X. - 2,464101615) 38 x < -2,464101615138 = - 2,47 .Se sustituye en y" "( 1)2 -4 . y.x'. y"(_ 2,47) .(- 2,47 - 1)' - 4.( -3,47)' - 4. 12,0409 - 4. ,,' x> -2,464101615138 =- 2,46 .Se sustituye en y" y"_ (x _ 1)2 - 4 y"( -2,46) .(- 2,46 - 1)' - 4 .(- 3,46i - 4 .11,9716 - 4. " No hn)' var lacién de "slgnos" => no ha)' Punto de lnnexlón ,'
1'.... :"
_4,46410t615138 310
x < 4,464101615138. 4,46 y" e (x - 1)2 - 4 y"( 4,46) =( 4,46 - 1)2- 4.( x > 4,464101615138. 4,47 . y".(x- 1)2-4 y"( 4,47).( 4,47 - 1)2 - 4.(
.Se sustituye en y"
3,46)2 - 4 = 11.9716 - 4 e" + .Se sustituye en y"
3,47i - 4 = 12.0409 - 4." +
No hay variación de "sígnos" ~ no h~y Punto .de Tnflexión
y .i(9. X2) y'. x2.Q_(9 _ X2) + (9 _ x1).Q_(x') dx
dx
y'. x2(-2x) + (9 _ x1).(2x) __ 2x[x' - (9 - Xl») _ - 2x(x' - 9 + X2)
y'o- 2)(2x2 - 9). - 4x3 T 18x o' 4x) T 18x.- 2x(2x2- 9).0 2 2 X=O ; (2x -9).0 ; x =9/2.4,5 x= ±2,12132034J56 "Los valores críticos en "y" para obtener los Máximos y Mínimo Parar x _ O
. y".- 12x2 + 18
y"(O) • - 12(0)2 + 18 • O + 18. " -1- '". Mínimo x , O en la función original, para calcular el valor Mínimo y.x2(9 _ X2) y(O) = (0)2(9 - 02) • (0)(9) • O ~ x _ O ,existe un Mínimo - O Para: x .2,12132034356 J(
< 2,12132034356 .2,12. Se sustituye este valor en y"
y" = _ 12x2 + 18
. . y·(2,12) =-12(2,12i+18 .-12(4,4944)+18 y"(2,12) = _ 53,9328 + 18. " - ''. Máximo x .2,12132034356 en el origen, para calcular el valor M:ixim y.x2(9 _ X2) . y(2,12 ... ) • (2,12... )'[9 - (2,12... )'1. 4,5(9 - 4,5) .4,5 (4,5) 311
\
.-
Soluclonarío de Derivadas
=> x .2,12132034356
, existe un Máximo.
Solucionado de Deelvndas
Para: x .- 2,12132034356
x < - 2,12132034356. - 2,13. Se sustituye este valor en [2x2 + 18 y"(-2,13)--12(-2,13i+ 18.-12(4,5369)+ 18 y"(-2,13) _- 54,4428 + 18 _"-". Máximo x ,- 2,12132034356 en la función, para calcular el valor y _ X2 (9 _ X2) y(- 2,12 ) .(- 2.12... )2(9 _(- 2.12... )2J y(- 2,12 ) .(4,5)(9 - (4.5)J .(4,5)(4,5) .20.25 => x , - 2,12132034356 • existe 1111 Máximo =20.25
y':.-
,.
13_ y .2x5 - 5x1 y'210x' - 10x.0 IOx(x3 - 1). O ; x • O (xl-l)=(x-l)(xl+x+ 1).0 x - 1 • O ; (Xl + X + 1) • O (no se puede factorizar) Para: x_O. en y" purn ver si hoy Máximos y mínimos y". 40x3 - 1 O . y"(O) = 40(0/ _.10. O - 10 ...... _ Máximo x • O en la función original para detectar el valor Máxnm
y=2x5_SX2 y(O) .2(0)5 - 5(of • O => x. O , existe 1111 Máximo _ O
Yu3x5
20,25
.....
_
5x3
y'~I5x' - 15x2 15x4-15x200 ; ISx(xl-I)_O (xl_I)=(x+ 1)(x-l).O x.-) ;x=)
; x.O
Primero veremos si hay máximos y Mínimos Para: x _Ose sustituye en y"
y". 60x) - 30x y". 60(0)3 - 30 (O) = O Puesto que y"_O.lIo hoy Máximos y Mínimos
Pnrn: x = L Se sustituye en y" y". 60x3 - 30x
.
y".60(li - 30(1) =60 - 30= "+ ". Mínimo x a l en la función original y • 3xs - 5x1o 3(1 5(1 3 - 5 _- 2 ::) x , 1 • existe un Mínimo _ - 2
i- i_
. Pnrn: x _ - 1. Se sustituye en y"
y". 60x3 - 30x y". 60(-li - 30(-1) _- 60 + 30. " -" . Máximo x a - I en la función original para detectar el valor Máximo y .3xs _5x) • 3(-1 5(-I)J _ 3(-1) -5(-1) • - 3 + 5 = + 2 ::) x ; -1 , existe un Máximo. + 2
i-
Hacemos: y" • O. por. detectnrIes puntos de IlIn.xión Para: x .) . Se sustituye este valer en y"
y"= 40xJ
y".60x1 - 30x 3 • 60x - 30x. O 30x(2x2 - 1) =0
10 . y"(I). 40(1)3 - 10.40 - 10. "+ u.l\1ínimo x ~ 1 en la función original para detectar el valor Mímrno'¡ y = 2x5 - 5)(.1
(2x2
y(I).2(li - 5(1/.2 - 5.-3
x2_112.
-
=> x • 1 , existe
UI1
Mínimo.
_3
x .0 -
1) = O
± 0,7071067811865
Parn: x.O
-< O = -
0,1 . Se sustituye este valor en y" y".60x3 - 30x
X
. 3)2
313
Solutionario (J.'Derivadas
Solueícnar!o d. Derfvadns
i-
y". 60(- 0,1 30(- 0,1) = 60(- 0,001) + 3 .-0,06 + x> Oe 0,1. Se sustituye éste valor en y" y". 60x) - 30x ' y".60(O,I)l. 30(0,1) =~0(0,001)· 3 =0,06 - 3. ". Hay cambio de sIgno; ~ hay punto de inn.~ión
0,7071067811865 , en la funciÓnoriginal y.3x s • 5X J J Y 3(· O7071067811865)1 - 5(· 0,7071067811865) • 3(. 01767766952966) - 5(· 0,3535533905933) ~: _0,5303300858899 + 1,767766952966. + 1,23743686 . Punto de TJlnexión (-0,7071067811865 , + 1,237436867077) X.'
x • O,en la función original, para saber el punto de
,
y.
y. 3xs. 5xl Y • 3(0)1.5(0») : O Punto de Inn exióu ( O• O) Para: x , 0,7071067811865
< 0,7071067811865.0,70, Se sustituye este valor y".60x3 - 30x .60(0,70)3.30(0,70). 60( 0,343 ) . 21 y". 20,58 .21. "-" x > 0,7071067811865 .0,71, Se sustituye este valor y".60x3 • 30x y". 60(0,7Ii • 30(0,71): 60(0,357911) - 21,3 y".2I,47466-2I,3. "+" X
H.y cambio d. signo; si hay punte d. innexión
x • 0,7071067811865 , en la función original y.3xs_5x3 , y.3(0,7071067811865)s.5(0,7071067811865i Y - 3(0,1767766952966)-5(0,3535533905933) y .0,5303300858899-1,767766952966 •• 1 Punto de Inñexién (0,7071067811865,-1,237436867077) Para: x.- 0,7071067811865
x <-0,7071067811865 _. 0,71. Se reemplaza el!y" y". GOX3 • 30x ' y". 60(· 0,71)3 -30(· 0,71) .60(- 21,47466) + 21,3 y.... 21,47466 +21,3 _"." x> . 0,7011067811865 • - 0,70 , Se reemplaza en y" ' y". 60xJ • 30x ', y".60(· 0,70»)· 30(·0,70).60(- 0,343) + 21.- 20,58 + 21." Hay cambio de signo¡ si bay punto-de f"nexlón.
314
XS _
Sx4
yO:Sx4 .20xl 5x' • 20x) = 5xJ(x - 4) • O x.O ; x-4.0 ; x:4
, 1"
SuslilUimos estosvalores críticcsen y". 20x . 60x ,para deleclar los M6ximos o Mínimos Para: x .0
y"_ 20xJ .60X2 20(Oi - 60(Oi • O
y":
No Hay Ni Máximos Ni MínImos, par. x • O
Para: x .4
y".20xJ • 60x2 , y"_ 20(4)1. 60(4)' .20(64) • 6?{16) : 1~80• 960 .," + " , Mínim x.4 se sustituye en la función original Y·XS.SX4 y • (4)S. 5(4)4_ 1024- J280.- 256 ::) x ; 4 , existe un Mínimo.· 256 Hacemos: y" 00 para detectarlos puntos de Inflexlén
y".20x) • 60xi 20x). 60X2• 20x2(x. 3).0 x.O ; x-3.0
,
; .x.3
°.: 0,1. Se reemplaza este valor en y".20x 60x2 , y"_20(.O,I)' _60(· 0,1)2.20(· 0.001)· ?,0(0,01) x > ° .0, 1, Se reemplaza este valor en
Para: x.O,
"
x<
y
l .
o'
y
y".20xl . 60X2
315
0,02 - 0,6
I
501Ilclo".1'I0 dc Derivada.
y". 20(0,li· 60(0,1)2.20(0,001).60(0.01)
Solucionnrlo de Derivadas
-0,02.0,6
\
y .x(x2• 4)2
No Hny Puntes de I"Oexión, paro x • O
y'. x. !!_(x' • 4)2 + (x,2. 4)' ..Q_(x)
Pnru:x.3
dx
X < 3 .2,9. Se reemplaza este valor en y" y". 20x3 • 60X2 . y"- 20(2,9i . 60(2,9)1 • 20(24,389) • 60(8,41).487,78 . x > 3 .3,1 , Se reemplaza este valor en y' y".20x3 • 60x' y".20(3,I)J.
60(3,1)2 .20(29,791). 60(9,61) .595,82.
Hay c""'bio de sigilO; sI hay punto de inOexió" X
.3 , cilla función original
y. xs• 5)(4
y .(3)s. 5(3)· .243·5(81) .243 - 405 •• 162 Punto d. (nflexión (3 •• 162)
',
Ecunclónde l. Tangente: En el punto de inflexión (3,. 162) Primero calcularnos la pendiente m • y'. 5x· • 20X3 en el punto(3,-162) m • y'. 5(3)4.20(3)3.5(81) • 20(27) .405·540 =. 135 ' Luego, calculamos la ecuación de la tangente: y _ YI = y. (.162) •• 135(x - 3)
r,
Y + 162 _. 135x + 405;
En el punto de inflexión (3, - 162) Y • YI •• J_(x - XI)
,
mi'
y • (-162)._ - _I_(x - 3), . ·135
y'. X (2)(x2 _4fl.!!_(X2• 4) + (x'. 4)'(1) dx y'.2x{x' . 4)(2x) +, (x' • 4)' y'. (x' . 4)[4x' + (x .4»), ., y'. (x2 • 4)~4X' + X2 • 4] • (x ·4)(5x ·4) = O (x'·4)(5x .4).0 x.±J4.±2 ( X"2 4) • O ., X2• 4 (5x2• 4).0 5x' .4 x' .4/5 x ; ± .j4i5 • ± ± 0,8944271909999
ro.
. Los valores críticos se susntuyen en y " , para saber si hay Máximos o Mínimos y'. (x2 • 4)(5x2 - 4) 2 2 y". (x2 • 4).Q_(5x2• 4) + (5x • 4)'dd(x .4)
135x + y + 162 • 405 _ O
l35x + y'. 243 _O -~ Ecuacl6n de l. Tangente E<:unclónde la normnl:
dx
y + 162. ex _ 3) 135
135(y + 162).x· 3 x· 3. 135y + 135(162) JI. 135y. 135(162) ~O • • 135y. 21870. O. ~ Ecu.ción de In Normal
x
" ( 2. 4)(IOx) + (5x, . 4)(2x).2x[5(x2 ~":2:(5xi.20+5x2.4).2x(IOX2.24)=20X y".20x3 . 48x
Parn: ~ .2
~
dx
(5~2-4)1 = ·4 x.
.Se reemplaza cn y"
y":
y" 20'¿3 - 48x 96 20(2)3.48 (2) ~20 (8)·96 = 1~0.X .2 se ree~p[aza en la función original y.x(x2_4) y • (O)(O)' • 4)2 • (O){: ~) • O ~ x , 2, existe un Mínímo • O Poro: x _. 2. Se sustituye en y
316
-4)~
317
" + " . Mínimo e
Soludonariod.
Soludol
Derivadas
1
ay .. x + n, x-
y·.20x3 - 48x y".20(-2i - 48(-2) .20(- 8) - (-96) y·o-160+96. -", !\1Í1ximo X 2
:
4
0-
Los valores críticos se sustituyen en "y", para saber Máximos o Mínimos
Y.x(x2-4/
.
y .(- 2)[(- 2)2 - 4]2 .(- 2)(4 ::::> x _·2 ,exlstt un Máxinlo • O
4i e(- 2){0).0
PArA: x _ 0,8944271909999, Se reemplaza este valor en .y.
y·.20xJ- 48x y": 20(O,8944271909999i - 48(0,8944271909999) ~ y.: 20(0,7155417527999) - 48(0,894427 J 909999) y". 14,310835056 - 42,932505168 ... -" ,Mlixlmó x • O,R94427 1909999en la función, para conocer el valor Mt
y e X(X2 _ 4)2
yo (0,8944271909999) [( 0,8944271909999)2 - 4]2 Y0(0,89 )(0,8 - 4)2.(0,89 ... )( - 3,2)2 y. (0,89 )(10,24).9,158934435839 ~
X _
a.y'.2x + ( - a~)Fx) x
4
a,y'_2x - 2a
.
''*;
*_, x
• ..y'. 2x - ~2a '8
x
ay'.2x ~ - 2'8 xj
y': 2x424 - a ax3
O,8944271~9999, existo un Máximo _9,IS8934435839
x.- O.894~271~9999.Se reemplaza este valar en y. y". 20xJ ,- 48x y•• 20(- 0,8944271909999)3 - 48(- 0,8944271909999) y". 20(- 0,7155417527999) - 48 (- 0,8944271909999) , Y"o- 14,310835056 + 42,932505168 •• + " . Mínimo Por.:
-_a
2a3 Y , 2x - -,
x
y" • .1.,g¡, - í-1a~) , g_(xJ) 8
dx
(x)
dx
x _- 0,8944271909999en l. función,para conocer <1 valor MI.imo
Yox(x2 _ 4)2 y. (_ 0,8944271909999)(- 0,8944271909999)2 - 4]2 Y- (- 0,89 .. ,)(0,8 - 4,z:(- 0,89 .. ,)e - 3,2i' y _ (- 0,89)(10,24). - 9,158934435839 ~
318
..----\
y'. lli} + (2a3)(/x2) a x.
Solucionarío de Derlvndas ..
..:.
'!.'"".
.~'..
J Y"= _2 + 6 a.x
2
77
a
":"_
SoluciolÍario de Derivadas
1,
y"; .1_+ a
y"-.1_ + -é- _
a
rara: x .. a. Se reemplaza í>ste valor en r"
;,
y".
11
+
11
11 •
Mínimo
a +
'1 •
Mínimo
x _. e • S~sustituye en In funetén original
y"-.1_+
a
U a,;1
ay_(-ai
y"~2.+ ..§_ a
a
+
___L
(-ai
. Y"= 11+" • M' muno x...
Se sustÍ(,,)'e en ln función ol'lgIIlIlI
y-_lU ;t y ~ 282 - 2a .-6- .2a
y _ 2a
a :;) x - a , existe un Mínimo _2n Paro: x.- a.
Se re
y.._ 2 + 6aJ
:::;.x _- a • existe
UII
Mínlmo .la
Tomamos In l'" derlvadn, poro detectar puntos de inne.d6n
.0
Y"-1.+ a
-;-7 320
31:1
Solucionarío
x ; ~-
,
18. ay
_Xl
3a
El valor
.
Solucionado dC'Dcrívadlls
de Derivados
tS iml\ginllrio,
por ,.,nfO no hay puntos
+ 2aJ
x _s
x
Aho"o calculamos y"
a . y'. 2". + (- 2a J) . dx 2x dx a.y'_2x
y'. 2x _ 2~2 a "
p)
- 2a1
y"=.1..dx _ (_ 2a2) • !L(x2)
x
a dx
a.y'.2x - 2a1
-;:
(x2)2
dx
y"• .1. + a y".]._ + a Paro: X _R. Se sustituye en y"
yo, 2 X J - 2a J
a.xl
y"-.1. + a
4a2 ."
+" . Mínimo. x =a en la función origin
(a))
x _ a en In función original
y'. 2x - 2al
77
ax2 _o
x.o
L_z
323 322
SolutiOlíhrlo
Soluclouarto d. Derlvnda,
• .1.
+
a
Derivadas
4
(a)(- 2)
3
y. 3a2
(Id
• .1. .1... a
· ,,:' ==> x a , existe IDl Mínimo. 3a , e
28
y-, .1. -..<'
a.:l1f
yO. O, para saber si hay Puntos de Inflexión
Y"=.1. +
432• O
a7
y"_O .' No hay Puntos de Inflexión, porque y". O
+ 281
y". 2xJ + 4aJ • 2(xl
a.x
=
O
a.xl
. x•
na'. -~.
-1,259921049895a
\
Para: I.-1,259921049895n
x < ·1,2599210498953. Se sustituye en y" y". 2 + 482
-;-7
y"• .1. + -:-:--:-:-::-~L-_-; 432
a
(-1,259921049895ai
y"• .1. +
4 ~l (a)(-II1'(-1,25... )3
a
324
325
Solucionado de Derivadas
PROBLEMAS - PÁEHNA 1]5
1. y .In
(3X
.!L(ax + b}; (a" + b) dx
I
y'.
.
.(a)
ax •
y .In
y'. _I_. !L(ax") ax" dx
.(a)
y'._I_. ( n.R.X n- 1) 8X·
n
(ax
2a .=ftI!( I b) (ax + b) (alE I b)
(ax + b)
(ax + b) },I...
y'.
y'.~3_ (ax + b)
+ b)
y'.
Solucionarlo d~ Derivad!
+ b)
a.x
2. y .In (ax1 + b)
y'.
J .Q_(ax1+b) (ax2 + b) dx I
.....1
I
"'8-.*~ y.n.x
.(2ax)
n
Y - n."II-.-7I .x ,
y'.
e- 1)
'( y.n.a.x
·1
(ax2 + b) Y'-Jl..
y'.
x
2ax
(ax2 + b)
y .In x3
3. y.)n (ax + b)l y'.
) (ax+b)2
y'. _1 .!L(x3)
. .Q_(ax + b)2 dx
x) dx y'._1 (3x2) Xl
y'. \
I
(ax
+ bi
.2(ax + bll . .Q_(ax + b) dx
y', 2(al( + b)(a) (ax + b)l
y'.l x 326
327
Soluclonar¡o de Derivadas !
"
6. y • InJx ( • (In
';,oI'¡ "t" '"
ffi t
, Y.x.
x)J)
2
'._
.'
J . Selucíouarí« de Derivadas
e-2(1)
7'
y'. 3(ln xi·'.f!..(In x)
dx y'. 3(ln X)1.j_.s!.(X)
x dx
Y'ft[- x;?g ~
y'. 30n XlI ()) X
Y'.~
y'~~ le
y'. -Iog e
7. Y .In (2xJ y'.
-
x
3x1 + 4)
1
d{
J
(2x3 _ 3x2 + 4) . dx 2x - 3X2 + 4)
y'.
1 ( 1 j J 1 . 6" - 6x) (2 x - x + 4)
y'.
(6x1 - 6x) (2x3 - 3x2 + 4)
y'• ..!.Qu . s!.(2/x) 2/x .'
y'• ..!2ll.
2Ix
dx
.r- 2.). dx
?"J
dx ,328
J19
de Derivadas
Solucionario
So)ucionario de Derivadas
y'. a x + 2(3 + x) 2.8.X.(.¡¡¡:¡:xy
y • In .,[9:2r.!
10.
. y .In (9 _2x2)"2
y' • -&-.(X + 2a + 2x)
2.-&-.x.(a+x)
I .Q_(9 _ 2x2) 1~ (9 - 2X')112 dx
y'.
. y'.
y' _ 2a + 3x 2x (a+x)
..1..(9 - 2X')112-1.Q_(9_ 2X2)
I
dx
(9 - 2X2)11l 2
f(x). x In x
y'. (9 - 2X2),112(_ 4x)
f'(x') _x .Q_(lnx) + (In x).Q_(x)
2(9 _ 2X2) 12
dx
dx
f'(x). -¡¡-._I_.Q_(x) + (In x)(I) -¡¡- dx
f '(x) .1 + In x f(x) .In (x +.ji+,!)
.. ,
f'(x) _{ (x
11. y .In (ax .Ja + x)
y'.(-
I
l(ax .Ja +
y'=&
J x )
I
f'(x)
.Q_(ax,¡¡¡+X) dx
~ {a[x.9_(.Ja+X) + (.¡a:¡:-x).Q_(x~l
ax .ja + x:J
y'-(I l ~ax Ja + x)j
dx
dx
{aeL2.Ja+ x + (.,¡¡¡-:rx)(1~1 JI x
:JI
f'(x)
~fr.
j (1 +
I
lLx + .j(1 + x
1
2x
2~
)1
J
)1 Jf
+ 2~ J} lL~+ .J(l1 J r~JG7 l (2..{l+;:')
a[[
+x1
f'(x).
- [2GfG7) -+ 2x 1 [x + .,f(I+? ) ](2¡¡-:i7)
f '(x) • 1.]I..± 330
.Q_[x + .J(I+?)
I
+..(I+X") dx
+ Ix ~
. Hacieodooperaciones y raciouatizando:
JI r x=-J. (+.../T+i?) 331
Solnclollnrlo de Derivados
Solucionarlo de Derivadas
f'(x) • -==:k-
(JIT?)
(,fIi?)
i,:¡;.
'.'
(~
s'-Í-
['(x) = (J( + xl) (,JI + x')'
+.ab
)
L~(a + bt)(a- bl)J
f '(x) , (..}1 + x')
1 + x'
l.)
fJ
. f(x) _ Xl In X2 14. s s ln
+ bt
a
_
a - bt
s' _ ln(a +
ln(a.±....!2il,/l
f'(x).
La - b0
bt]'12
t
(a + bU I
La - by
dx
f '(x) • x'.1... f!.(x') + In x' (2x) Xl dx f'(x} .->f'W(2.x) + In x, (2x)
• tia + b!l rt¡
dll
Q_(ln X2) + In X2. Q_(x2) dx
la - bt
s' {'.
X2.
-tt'
a - blJ ';
-,
f'(x) .2x + In)(l
\
f'(x).ix(l +111:<') .
.s'.Í-a - bt)"7 . J..(Í¡'+ b~'·2.'.f!.(Í¡ + b~ t¿. + b~ 2 La - b0 di La - b!) s';~ _b~"l.J._(Í! + ~ +b
bj"'2 .
(a - bt).f!.(a + bt) - (a + V'J'''-'"
2 ~ - bt
y'. 2'" Q_(nx) dx
(a _
y'•.2'~'(n) I
Y·II
e
nx
17. y.lO·· y'. (IO"')(ln IO).f!.(nx) dx 332 '.
,,., ('.,
333
Solu
Solucionarlo de Dertvadr
de Der'ivad ..
y'. (10"') (In) O)(n) u _SI!
y'cn(lO''')(ln 10) 18. y e e
U'cs.d,(e') + Q'.Q_(s) ds ds
X'
y'
e
e
y'
e
Q"
,
•
,
2
U'_s.(!'ds + eS(!) ds
.Q_(x) dx 1
• (2x)
y' .2x. e 19.
,2
.
,
u'.se+e
Y.l
tt'_
e' (s + 1)
Q"
. v._e_u ·2. eX .Q_(x) •• 2.e '.(1). _:l_
y':_:l_ .!L(eX). {e,}2dx
eX.e'dx
e'e'
eX
u tI.Q_e"_ e"Q_(u) v'; dll du
u' v'; ueu(I)·e"(I)
20. s. e..fi. . " .fid("') s.e ·_vtj:e .
di
u' .fi .__I e'e; .fí 2,[1-. 2,[1 v'; 2" (u - 1)
u'
\
24. y.' In x x
z; (b2>J(ln b) . .Q_(2y).2
(b2Y)(ln
dy
b)
x.Q_(ln x) _ (ln x).Q_(x) y'. dx dx x
334
335
Solucionado de Derivadas
.-
J
x ._1 .dx - (In X)(I x dx
Solucionario de Derivadas
yO. (x + 2) x
yO.~ +.l. x x
y.c..L:.D
yO. 1 - 111 X Xl
Le" + lj
(e' + 1).Q_(IlX- 1) _(11' - I).Q_(Q'+ 1) yO. d~x~_::--__:;:---"d~x~(eX + Il
yO.
(e' + 1)( e').Q_(x). (eX - 1)(e').Q_(x) dx dx (eX +
Ji
yO. (e' + 1)( e X) ( 1) - (e X - 1) ( e X) (J) -y'.(g'
(c¡x+
1/
+ I)(e') -(,. _1)(gX) (eX + 1)
yO. x2(1l') + (e')(2x)
y'~ (eX)[( eX + 1) _ ~I!x- 1»)
(xl e')
., ,.
yO. x e' [x+2x] x2
(e' + 1)
y'. (eX)(e' + I - e' + 1) (e'+1)2
e'
yO. b!7 W1(x + 2) (x)("'I) ~ 336
337
Soluclonarlo
Sollldon~rlode Derivadas
í.
de Del'ivndns
~'
y'. .:
g X(2) (eX + 1)2
y'= (-e-)(e lÚa) + (-e-){{1"In) (-tr)
(-e-)
'. ,,. + _ I Y .11
e xlo
1 "
27. y. x e'
y'.x2, Q_(e") + (e'X). Q_(x2) dx dx
y'. ( Q al.• g m+
e
1)
xl.
y'. x2(e").Q_(- x) + (e'X}(2x) dx
y'. x2(e")(,I) + (e")(2x)
y'. ;Q_l"-:·T.:+~l Q XI.
y'. -x e" (x - 2) y'.
-xex - 2)
(e x + e ,x),Q_(e x _
e" ' xl, 28 .• Y a ( Q
.Q
y'.
'xl')
, (e x , Q 'X).Q_(Q X + e")
Q ,X)
_J!d~x
--:--;"_~d!.J)x~_-
. (e' + (e • + e")
y'_
e ,x)2
(e '),¡l(X) , (e'X).¡l{-x) '(e'· e")Re ').¡l(x) + (e").¡l( d"
d"
(e' + ( )1
l
4
'y'.
afee xl0>LJJ, dx _ (e"") f:LI· dX} 1 laJ dx la J dx -c ,
y'. a .(e"'·) (1) + a, (e ·"°)(1)
a
a 338
y'_ Cl!' + e")(e' + e .X) • (e', g ")(e' • e 'Xl (e' + e'Xl' 339
-
x .
Soluclonario de Derivadas
Sclucionnrlo de Dertvadas
32. ApU(,Ando logaritmo
de una PQt~nciDy h::tciendo cperaeleaes:
Y .x·
• .·1.!.'.! ..Iv + InX.X·2 • d y.x.x dx
f(x).2 In (G+I - x) -1n(4T+Jf . (X)l) f(x). 21n (RTI - x) -In (x1+1 . x'). Simptlflcando:
f(x) _ 2 In (..;;::;-, • x) - In (1). Pero,ln 1; O
y'. x.x"" .(1) + Inx.x'.(I)
y'.X.x··'·+ lnx.x" y., x. X ,., .x + Inx.
f(x) ~2 In (R+I . x)
y.x.x1-1 I
f'(x).2
f'(x)
.g_fln (...rr:'+1 - x») dx
.2{ 1
}.Q.(.,R'+I . x)
(..¡;:r+"I - x)
f'(x).2
1
{(~
- X)}
2
f'(X)_{
(-)x'+ 1 • x)
f '(x). {
}{
dx Q_(X2 + 1) } dx • dx { 2..fT+T dx
+.x - 1} +.¡xr:;¡
2 } {../1!TI x - I}
(.¡;;:;¡ - x)
, f'(X).f 2 } {(X- .J!5I) } (RTi-x) -R+T f
'(X).{• (.¡;:r¡)'2 .+ x) } {ex-,fT+T ¡;r-:y)}
roo ,
dx
le
Xx
O ,.d enan d o:
+ 1nx .xx
y. x·.x· + ínx.x" y'. (1)x' + lnx .x" y'. XX + In x.x"
y'~x" (1 + In x) y
=
x'"
y'.'¡; .x"" .Q_(x) + lnx , x-r..Q_(.ji()
dx
dx
y'• .[X.x-6..x·'.(I)+ Inx.x-6.._1_ .•
2.JX rrr. y'. 2.yILYILX
x
In x.x" 2.[X
+ x.1n x.x r.2 • x. x r.+ x. Ir. n x.x 2.x.5 . 2. x . .¡x
y'. x.x"(2 + In xl 2x.¡x
-2'
.fT+i 342·
./X;x'" +
343
Solucíenm-Io
de Derlvadns
Seluclonm-Io de Derlvadas
34: s :~I s • .i_ tI
·1
(t').l!..(a'). (a').!!_(t')
s',
dI
71 [Inf-
!
j
(1'){{a'){lna)I[.(I») -(a'Ht{t '·').d.(t)+(ln I)(I').Q{I)}
s',
1)
s'_[
di
(t~
dI
de
dI
S'i~'[ln:-l]
t ' s',
(t') {(a'){ln a)(I)} • (a') {tot'oCI)(l)
+ 00 t)(t'}(I)}
t2'
Vt
s', (t') {(a') (Jn a») - (a')
'o
J2Y + On t) (t'n
50 ye X .,}'(3x+ a) .J(2x + b) y.x (3x + a)1/) (2): + b)ln
t '
s'; (t' lea') (Jn a) -
f,a') {t ' + (Jn t) (t')}
Tomendo logaritmos naturales a ambos miembros, y luego derivando
In y : In ~(3x + a)i1~
I'
l(2x + b)ln) s',
(t'Ha')()n
a) - (a'Ht')
- (.')(10 t}(t')
r' . t'
In y. In(x(3x + a)11-ln (2x + b)112
s', (a')((' )fIn a - 1- In t}
t'
s'_m (a'Hln
a - 1 -In t)
;....r;-t'
In y: In x + In (3x + a)lll -In (?x + b)112 In y _In x +W In (3x + a) _[J..:lln (2x + b) J . .2 J o
s', (a') {In a -
In t - l}
Derivande:
t' Aplicando
propiedades
l3
de lognrltmos:
344
1.) r.mil [yJLdxJ
-[.1]xJ[dxl+[ 1 ](.__j__)íd(3)( + a~ - rJJ í__L] íf d.~ 3l(3x+8~l(b ) l2J~2x+bVld 34S
Solucíonnrlo
.-
Solllclonado de Derivadas
de Derlvndas
GJ'~-(~] +(t] (3X ~ a)] (1)
(3) .~]
f---!-~~
(-;j'fx-=[!J +[~][(3x:a)] .[;) [(2X!bD ~ .f-~~+(~Jt(3:; aJ . [l] [(2~b~ [~'f--[~J+ Ú3x1a)j . (áx ~ bi] Qy_-{..L + dx
x
1
•
(3x+a)
1
tn Q_(x)·rJ.J(-
. f_i](y')_(_L¡~(d(4+X, b. 2JL(4+X'Vldx
rJ..:l (yo)- f.ll ( ~ lyJ
l2JL(4+ X2)J
r-D (yo)-[JJ r: lyJ
1
j lxJ
dx
l2JlS4.X~l.c
(2x).fJ.l (1).(lJ (- 1 2 ~ lx] l2]L(4.x)J
í
l[y)
36. y. .¡¡¡:;;,rj 37. Y_x" (a + bx)"
y _ (4 + Xl.1f2. Tomando logaritmos naturales a ambos x . (4 • x ) 1/2 miembros. y luego derivando.
Tornando logaritmos naturales n ambos miembros:
In y .In [x" (a + bx)"] In y. In 4 + X2
rl2 ~
In y .In x" + In (a + bx)"
x (4 • x )r,~
In y _In (4 + X2)1I2 . In [x (4 • x2)'12J
In y_n .Inx + m .In(a + bx) . Ahora derivando: _I .y'= n ,_I . 4.(x) y
In y. [~ [In (4 + X2»). [In x + [~In
In y _ ~
(4 _ Xl)]
(In (4 + x2)] • lo x _.[~ In (4 - X2»)
346
+m.
1
.,4.(a + bx)
(a + bx) dx
x dx
·_I.yoon._I.(I)+ y _ x
(-
(~x) ·f.D (1) -Il..l .1 2 ~ lxJ W,..(4 x)J
2 ~
~L(4+x)J
(2x+ b)f
X ../(4 •• ')
l ,l~(
m
(11 + bx)
_I .yo= ..!L + mb y x (a+bx)
341
.(b)
2x)
(.
-a-
Solucionarío dO. Derivados
Soludo"a"¡o d. Derivadas
y'. (..!l.. + Lx
o 'o
tnb
J [y)
(a + bx)
O_
PR.OBLEMAS- PÁGlNA 124
oERlYAA LAS SIGUIENTES FUNCIONES: y _ sen !IX y'. cos ax .g_(ax)
dx y'. (cos ex ) (a)
.....
,
y_n cos ax
,
y.3 cos 2x y'.3(- sen 2x).g_(2x)
dx y' = (_ 3 sen 2x)(2)
y'e _ 6 sen 2x
s _ tg 3t s'; (sec23t).!!_(3t) dt
348
349
'j
SolucionAdo de Derivad as
!
SolucionArlo de Derivad. 1
y •. .1....sen x 8.
11 _
2 cot.1... v
2
2
U'_2[esCl~J'~VU v)
y = ._1 .(sen
xi
2 y'•. _L.(2(sen ¡¡).g_(sen ¡¡)]
2
dx
y'•. ..L.(~ (sen ¡¡)(eos x)] ~
y'. (sen x)(eos x) 12. s , "eos 2t 9. y s sec dx
s • (cos 2t)112
y'_(sec 4x)(tg 4x).g_(4x)
s' •• _l . (cos 21)112.1.Q_(eos 21) . 2 dr
dx
y'. (sec 4x)(lg 4x).(4) s'•. _1 . (cos 2t)-112(- sen 2t)[fi(21)] 2 dI
y', 4(scc 4x} (tg 4x)
\
10.
s'•. _I .(cos 21)'1/2 (- sen 2t) (2) 2
e- a ese be e'.a (-eseb9)(cOI
s'•. _L(eos 21)·112(- sen 21)(>;) . b9).Q_(be)]
-a-
d9 s', (cos 21)"112.(-sen 2t)
e'o a (-ese
b9)(col b9)(b)]
s', (- sen 2t)
e'. - ab
[(ese be) (eot be)]
350
(cos 2t)112
351
Sctncíonarle de Derívadas
Sotuctcnnrto de DerIvAdas
,
".
13.
y'. - 2 (Ig x)(l) (see X)1/2
e. 4' (tg 39)
-,
(sec23e).Q_(3e)
e'.
da y.
3( 4'tg 39)2
,
X
cos x
y'. X .Q_(cos x) + (cos x) .Q_(x)
e'. (secI39}(3)
dx
dx
3 ({ltg 3a)2
y'.x,(-sen
e'. (secI39)(3) -3- (4'tg 39)2
x).Q_(x) + (cos X)(I)
dx
'.
y'._ x.(sen x)(I) + (cos x)
e'.
(sec239)
y'~ cos x - x sen x
({llg 39)2 14. y.
f(9). tg
4 .J(scc x)
e-e
f''(B) • sec2S - 1 y.
4
, (sec X)I/I
y. I
y'.
d ._(secx)
,_l. (1/2-1 sec x) [ísec x)2í2] 2 -4
-4 (scc x)
y.
f'(e) • tg2S
E -tsee-l<}
dx
,_1 . (sec xrln.(sec x)(tg x).Q_(x) 2 dx ,_1. (sec xrln.
S.Q_(sen S) - (sen 9).!!_(9)
e'. . d9
de
9, (cos 9) , !!_(9)- (sen 9)(1)
(see x) (tg x) (J)
+ 352
353
Soluciona río de DerivndAs
Selucíounrlo de Derivadas
.•-
Derivando:
e'. a.Ccosa)(l) - (sen al
e2.
y'.
e'. e.(eos el - (sen el
[11[___L_][d (cos 2x~
e2
J
~ ecos 2x~Ldx
r
y'. L1] ( -sen 2xl! d (2x~ t2J (cos2x)]Ldx
18. y.sen2xcosx y'. sen 2x .~(cos x) + (cos x).~(sen 2x) dx dx y'. sen 2x .(-sen x).~(x) + (cos x) (cos 2x).g,,(2x) dx dx
J
[r-
y'_ fJ.] sen 2x~ (2) l2J (cos2x)] y'=fJJr(·sen 2x~(~) l~l(cos 2x)]
y'.- sen 21l.(sen x)(I) + (cos x) (cos 2x)(2). Ordenando: y'_-tg2x y'. - sen 2x .(sen x) + 2(cos 2x)(cos x) •.
,
. y. e" sen bx
-.
y _2 (cos 2x)(cos x) - sen 2x (sen x) . y'a e"'.Q._(senbx) +'(sen bx).g_(e·X) dx dx
19: y .In[sen (ax)] y'.
. Q.[sen (ax)] sen (ax) dx
y',
e"".(cosbx).g_{bx)+ (sen bx).(eU).Q..(ax)
..
y'.cos (ax). ~(ax) dx
dx
dx
y'. e" .(cosbx).(b) + (sen bx).(e"")·(a) y'=(e")[b(cosbx) +·8 (sen bx»)
y'.a cot a x
y'.eU(a (sen bx) + b(cosbx»)
20. Y .In .j(cos 2x) y .In (cos 2x)ln 354
I
355
5011l
22. "
SolllcionarlO de Derivadas
S.Q·'cos2t
y' ._1_. secl21. cot z, 222
:
s', 12" ·fUcOS 21) + (cos 2t).f!..(Q-t)
:
dI
dI
y.ln
1 + sen :( 1- sen x
s'. 12" .(-sen 21).f!..(21) + (cos 21)( Q·').f!..(-I) dI
dt
s', 12" . (-sen 21)(2) + (cos 21)(12-1)(-1)
,
y'•. s', - 2Q-I.(sen 21) - (cos 21)( 12-1).
...L.~ + x~ . º-(! 2
s', - 12" (2(sen 21) + (cos21)J y'-. J
23.
I
19 .z, 2
º- ts z, dx 2
[sec2..K.1.f!....(.~_) 2) dx 2
y'•. J...(.1
- sen x) [cos x + cos 2'<1 2tl +senxJ (1 -sen x)
y'•..
...L[~r.
J 1 .
2 cosx
xJ l(' - sen X)lJ
.L(I1+- sen x] ( 2 cos x ~ sen x) ~I --se,u)(1 - sen x~
2
MJ
G'
y'- ·J..· &4U :!i + sen:
y' •. _1 • sec221 . 2 2 tg~
'JIu
(.l.
8.;;
Ix-sen x)~
8.
Por Álgebr. y Trl¡onometrln,ttnemos:
2
(1
356 f,
xr
v
2 I:¡" sen
.
x) - (1 + ~~nxl( - cos x)l (1 - sen
f
y'. -_1. [' - sen x] (cos x - sen x cos x + cos x + sen x cos; 2 I +senx) l (l sen x): .
y•
,',
el - sen x)..!!_(1 + sen x) - (1 + sen x)..!!_(J - sen . dx dx (1 - sen x) .
Y'·.J..[I - sen 2 U + sen x)
2
y
+ sen x dxLI - sen x
~I{(I- sen x)(cos
.~-LJ. -MJ Ig...!..
.(i...:..n.n..i) .{
2' I+se,; ,,)
y _In Ig .z,
2
y
I sen I -sen x
+ son x) (1 - seM).1
J:
l.
.
.
_
- sen x .COS X, SUSl1tUIDIOS:
357
Scluelonario
de Derivadas
soluclollnrio de Derlvadas
cos x
y'.
f (x) • [scn(n - x)]2
1 - sen! x
f '(x) _ 2[sen(rr-x»)2-1.Q_[sen(n-x)] dx
y'.~ COS X
-y.
ew<
f'(x).
2[sen(n-x») [cos(n-x»).!L(n-x)
COSX.~
y.
dx
_1cosx
f'(x) .2 [sen(n-x)j[ cos(n-x») (-1)
y'. sec x
f '(x) • - 2 (sen (n-x)][cos (n - x)]
25. f (e) • sen (e + n) cos (9 - n)
. '1a 113 tg 3 e - tg e + e
f'(a) .sen(a + a) .!L[cos(9 - a») + [cos(9 - a)) .QJsen(fl + a») d9 da ,
.'
f'(9). (sen(9+ a»[- se,,(O- al! !L(e - nI'" [co¡;(9- .)][cos(A+ dO
'1 _
'1I.!!.(9'" a)
113 (tg
ei - tg e + e
'1' • (113)(3) (tg e)3 1 .!L(tg e) • sec2e. !L(e) + Q_(e)
dEl
0
de
de
de
f'(9). - sen(O'" 0)[$en(9 - .»)(1)'" [cos(S - a)J[eos(e ... 0)](1) l.
.
•
f'(9). - sen(9 + a)(~en(e - a)] ... (cos(O - a)] (cos(9
+ al] ,ordenondo:
f'(9) _ [cos(9· a»)[cos(9 +11») - senee + a)[sen(9 - a») Por Trillonometrl.:
'1'_(I)(lg
ai .(sec1e).!L(e). de
.
cos (x ... y) _ ces x cos y - sen x sen y
[cos(a· a))[c05 (9 + a)] - sen (S + al[sen (9 - a)) - cos 29 Sustituimos en f'(9) f'(9). cos
za 358
359
sec29.(I) + (1)
\
Soluclonnrlo
Soluclonm-Io de Oel'ivadas
e'.
(tg
e)~(sec! e)- tg~e).
de Derfvadns
tgle ( sec~ e - 1) y'. In COS)(
• (cos x)"
- x (cos x)" . Ig x
y'. {cosx)'[ln cos x- x.tg x] Pero: y. (cos x)' • sustituyendo en y' y'_ y [In cos x - x .tg x] y'. sen x.x·""·I.Q_(x) + In x.x""'.Q_(sen x) dx dx y'esen x.x' "". x .1.(1) + In x .x...... (cos x).Q_(x) dx
+ . x + In X. x
'1'- senx.xs·'''.x·1
,
s....·1
y = sen x. x
In x.x se n,
x nTse: x
+ 111
30.
.en. (
\IOR
Y • sen kx y'.(cos kx) .Q_(kx) dx
.(cos x)(I) . cos x
)
y'. x·enx (sen X.~.·I+ In x.(cos x») y'. se
Hollar In 2'" derivndn de cndn
y'.(cos kx).(k) . y'. k (cos kx)
x,(eos x>]
'1"= k(- sen kx).Q_(kx)
dx y - (cos x)'
29.
'1"= k(- sen kx) (k)
y'. x. (cos X)'·I.!ieeos x) + .ín cos x. (cos x)' .!i(x) dx dx
.
.
Y', x.Icos x)' (cos x)'I(-sel\J().4'(x).+In cos x.(cos x)'(I) dx y'. x.(cos x)". (-senx)(l) + Incosx.(cos xl' (cos x) y': - X.(cos x)'tg x + Incos x . (cos x)'. Ordenando:
31.
e •. .1.. cos 26 4
12'•. _1 .{-sen 26) .Q_(29) '. 4 de
e' •. _1
• (-sen 29)(2)
4 360
361
de Ins siguientes funciones:
',,.
,.
Solucionario de
SoluCionarlo
jj erfvadas
¡ie Derivnd ••
.:¡
~ .1
12'__ 1 (vsen 29)(2) ".
'1
'í
J(
y.x ces x
33.
12'· t~Jsen29
y'e X • .Q_(cosx) + (cos x) ..Q_(x) dx dx
12"= L..L1 (cos 29),4.(20)
y'.x.(·sen
l
12".t
2)
dx
de
Y'.' x.(sen x)(I) + (cos x)
~j(eos2e)(2)
.t~
12"
y'e (cos x)· x . (sen x) (cos 2e)(~)
y". (-sen x) .l!_(x) • (x .l!_(sen x) + (sen x) ..Q_(x dx dx dx )
l
12".- cos ze 32.
x).4.(x) + (cos x).(I)
y"~(-sen x)(l) -
t.
(cos x).~;x) + (sen X)(I~
u. tg v u', sec2v.4.(v) osee2v = (secv)2 dv
u'.sec2v.(I)
y". (-sen x)· [x.(COS x)(I) + (sen x)]
y"_-senx - X.cos x - senx .-2sen x - X.cos x 34.
y. illU
x
u', (secv)2
x ..l!..(senx) - (sen x).l!_(x)
u"»2(sec ~)2.1..l!..(secv)
y'.
dv
dx
dx x
u"_ 2 (sec v)(sec v)(tg v) •.Q_(v) dv
-.
x .(cos x).l!_(x)· (sen x)(l)
y'.
u". 2 (scc v) (sec v)(lg v)(1)
dx
x
~. 361
363
Solucionnl'lo de Derivndas
Solllclon.rlo de Der-ivadas
s _ e'
35. •• 1.
..
~.~
. COS I
y'_ x(cos x)( 1) - (sen x) .'
,',
s', e' ~(cos 1) + (COS 1) .~(e') dI di
X2
y'_ x(cos x) - (sen x) X2
,
x .(COS x) - (sen
s'-e'(- sen I).~(t) + (cos t)(e')·~(t) di di
s'.- e' . (sen
1)(1) + (COS I)(e')(1)
s', - e' .(sen t) + (cos I)(e') (x')
s', (cos I)(e') - e'·(sen t) s'.
e' (cos 1- sen t)
su_e' .dRcos t- seo 1)1 + (cos t - sen t) ,~(el)
dtL
y". (x2){ _ x' sen x + ~
- ex (cos x) - (sen x)] (2x)
- _)
x·
•
x•
di
s"; e' ((- sen I).~(I)- (cos t).~(t~ l di dt j
{.'X2
s';_ e' {- seo tocos
y". {_X2 sen x - 2x cos x + 2 sen xl xl
s"_
yU. 2 sen:r - 21: tOS
x,
X ~ Xl
., -,
el sen I
sen x - 2x tOS X + 2 sen xl
*,xl
Ordtn:tndo:
dI
e' [sen 1 + cos t] + (cos 1,- sen 1) (e')
s"; _ e' sen 1 - e' cos I + e' cos t y"_.*
+ (cos 1- sen l)(e')·~(I)
s"_ e' (C- sen 1)(1) - (cos 1)(1)] + (cos t - sen I)(e')( 1) s"; -
y"~ _Xl sen )( . 2x2cosx + 2)( sen ~
j
364
e'
t
+cos 1- sen t}
{-sent·~+~-sent}
sen x 365
Solucionado dt Derl".da.
Scluctonarto de Derivadas
s'', e' {- sen t - sen t }
e' {- 2 sen t}
s".
s", - 2 e' sen 36. s ,
e"
SU, -
1('. { 4 ,eh 21 + 2 e6S
s".-
e·'.{ 3 sen 2t + 4 cos 2t).
37.
t
21 + 2ees 21 - ~}.
y • e·' sen bx .
y'. ea. .!!.(sen bx) + (sen bx).!!.(eAX)
sen 21
dx
•
dx
s'. e" .!!.(sen 2t) + (sen 2t)·!!.(e·t)
dI
dI
y'. e" .(cos bx).!!'(bx) + (sen bx).(eOl).Q_(ax)
dx
.
dx
s', e-l.(eos 2t).4.(21) + (sen2t)(lr').Q_(· t) dt \
dt
y': eox .(cos bx).(b) + (sen bx).(eOX).(a)
s', ¡r'.(eos 21)(2) + (sen 2t)(e")(- 1).
y', e" (b(cos bx) + a(sen bx)} .
s', 2 e". (cos 21)- (sen 21).e"
y"-e~' .l!..{b(eosbx) + a(sen bx)} + (b(cos bx) + a(sen bx)}.Q_(e dx
s' .e·' {2eos 21- sen Zt]
y",
e' !l(·sen o
2t).1!..(2t).(ecs 2').!I.(2t)} + l2eos 2, •
dI
Sal
(sen bX)} (Q").l!..( ili
y". e".j- besen bx).(h) + ateos bx).{b)} + (b(cos bx) + a{sen bx)}.(e")(n
2tl·~e·'l.Il.(·t)
d,
e" {b (.s<:" bx).l!..(bx)+ n(oo. bx).¡1_(bx)}+ {b(eos bxl+. ~.
s".e·' ..2_{2cos2t - sen2t) + (2eos 21- sen2t)·Q_(e·') dI ~ s";
~
d,
y"_ e"'· {- b2(sen bx) + ab(cos bx)} + (b(cos bx) + a(sen bx)}.[a e'-')] y"=
e". (- b2(sen bx) + ab(eos bx) + a[b(cos bx) + a(sen bx»)}
s": e" {- 4 (sen 2t) - 2 (cos 21) + (2cos 2t· sen 21) (- e")
y"=
e". (- b2(sen bx) + ab(cos bx) + ab(cos bx) + a2(sen bx)J}
e' {l· 4 (sen 21)- 2 (cos 21)}- [2eos 2t - sen 2tl}
. y"=
s",
s'',
e" (.
2(sen 2t)(2) - (cos 2IH2)} + (2eos 2,- sen 2t}.(Q
o
s", e·'. (- 4sen2t - 2 eos2t - 2 cos 21 + sen2t) 366
e". {(sen bx)(a2 - b2) + 2ab(cos bx»)}.
y". e
A'.(
(n2 - b2) (sen bx) + 2ab(cos bx)}.
367
Soluclonnrío de Derivad"
Suluclenar!o de Dcrivlldas
40. " . ~, ••
.:.
~"I.,",'
'-'
1
(-seny).y'.
i!:''....... "
. ¡
cos y .In (x + y)
38. y. cos(x - y)
(- sen y) .y'. (1 + y') (x +y)
y'. [- sen(x - y»).Q_(x- y)
dx y'. [- sen(x - y)).(~ - y'). [- sen(x - y»)( 1 - y')
.;
.!L{x+y)
(x + y) dx
dx
~)
(_ sen y).y'(x + y) .(I + y')
y'(_ sen y){x + y).1 + y' y'. - sen(x-y) sen(x-y):
sen(x-y)y'-y'.sen
,y'(_ sen y)(x + y) - y': I (x-y)
- 1): sen (x-y)
.y'[sen(x-y)
y'.
+(sen(x-y»)Cy')
y' [(_ sen y)(x + y) - 1) • 1 y'.
sen (x - y) (sen (x-y) -1]
1 (- sen y)(x + y) -
y'.
IJ
l
_[1 + (sen y) (x + y) ] y'= eY:y'. (cos (x + y»).Q_(x+ y). {(COS (x + y») [dx + y']} dx dx
eY'.
y':
f= ([ (x) »n 1 + y'} COS
eY• y' -(cos (x + y»)(y'). ces (x + y)
y'(eY - ces (x + y»). cos (x + y) cos (x + y)
41.
Y _x - tOS x;
x,= 1
y'. 1 - (- sen x).Q_(x) dx y'. 1 - (- sen x)(l)
cos (x + y)! 368
;~:.:,'.
y)!
En los problemos 41. SO,hallar el valor de dy/dx poro el valor d..do d. x (en r.dl.no,)
e .y's cos (x + y) +(cos (x + y»)y'
[(2)' -
-1
11 + (x + y) (sen
y
y'.
- 1 [1 + (sen y)(x + y) )
369
, Solucionarlo de Derivados
Solucíonarío
43. Y.ln cos x .
X
.0,5
y'= J + sen x. Cuando: x • 1
y'. y'_ 1 + sen (1) _) + sen 1
y'. (- sen xl. s!_(x) cos x dx
y'. J + 0,841470984 )
y'.l, 841470984
)
42.
y'_ (-lgx)(J) ; x _2
y.x sen x.
1 , g_(cos x) cos x dx
y'. - tg x . Cuando:
.
·2
X •
0,5
--r:-=-rg 0,5 • - 0,5463024898438
y'. x .s!_(sen.x_)+ (sen.x_).s!_(x) 2
y_~
44.
2 dx
x
y'_x (COSL).s!_(L) + (sen L )(1) dx 2
x.s!_(eX), (eX).s!_(x)
2
y'_
dx
dx X
y': [x ( coSL )]W + (senL). 2 2 2
Cuando: x - 2
y'. [2( cos.l.. ) K.lJ + ( sen.l.. )
2
2
(x) ( eX).g_(x)- (e')(I)
y'.
d~ x
2 y'o (x)( e')(I) - (e')
x'
y'_[~.(COS1)]<_1 ) + (sen 1)
+
y'. (x)( eX),. (e') X'
y'_(cos 1) + (sen I}
Factorizando: e' y' • 0,540302305868 J + 0,8414709848079 y'- (e')(x· 1]
x'
y' _ 1,381773290675
Cuando: x • - 0,5 370 .
371
(le
Derivada;
-----------_. __ .~----~ ..__-.
Solucionado
de Derivadas
Solucionnrlo de Derivados
y'.- 2sen (l)[seo2(1)]
'.-
+ (cos2(1)](cos 1). Cuando. x , !
y'. (- 2sen l)(sen 2) + (cos 2)(cos 1)
,
y'. (- 2sen I)(sen 2) + (eos ¡){eos 2}
y'. [Q'O.s]{_ 1,5} 0,25
y', - 2(0.8414709848079)(0,9092974268257)
y'. Ce.os){_ 1,5}
y'. -1,519653293531 + 0,5403023058681 - 0,4161468365471
0,25 y'_
y'.
y.
y'. _ 1,53029480252 - 0.224845095366
- 1.5
(0,25) (e
+ (0,5403023058681)(- 0,4161468365471)
o.s¡
y'•• 1,755139897886
- 15 (0,25) (1 ,648721271)
--------
46. Y - lo Jtg x
-1 5
0,412180317 y'.
y': _3,633705965843
1
[(Ig X)II2] 45. y vsenx.coszx
j
x l
y'~
v
I
• 4.[(lg X)II2] dx
._1 ,[(tg X)II2.1 ,4.(lg x)]
[(Ig X)II2] 2
dx
y'. sen x .4.(cos 2x) + (cos 2x) .4.(sen x)
dx
dx
y'.
y'. (sen x)(- sen 2x).4.(2x) + (eos 2x)(cos x),!l_(x)
dx
dx
y'. (sen x) (- sen 2x)(2) + (eos 2x)(cos x)(l) y': (.-2sen x) (sen 2x) + (cos 2x)( cos x)
312
(tg xyll2 .. (sec2x).g_(x)] 2[(lg x) 112] dx
y'. . [(sec2x) (1)) . 2[(lg X)II2.(tg x)112] y'. [(sec2x») . Cuando: x • .lL 2[(tg x») 4
373
Solucionado de Der+vadas
Solueionnrio de Derivados
y'. Q' (sen x + cos x) , Cuando:
x.2
y'. (7,389056099)(0,909297426
- 0,416146836)
((sec2nl4)1. cos2 1Ú4 2[(tg 1Ú4») 2[(lg 1Ú4»)
y'.
y'.
COS21Ú4
2[(tg 7tl4»)
y'. (7,389056099)(0,493 ,
y'. (cos 0.7853981633974) 2(tg 0.7853981633974)
I 5059)
y'. 3,643956611
2
48, y. 10 Q -x cos nx
j
x. 1
I \
_1' y'. (0.7071067811865)2
=
0.5
2
2(1)
y'. 10[e,x,!L(cos nx) + (cos nx),!L(e")] dx dx y'.IO[(Q'X)(_ senltx),4_(nx) + (cosnx)(e'X),d' (-x))
dx y'.
1 #_1 2(0,5)
=
1
+ (cosxx) (e") (-1)]
y'.IO[Q'X(_ sennx)(lt) y'. 10[(-n)«(I"')(sennx)
y'_l 47, y.exsenx
j
y'. -1O[(e")(nsennx
x.2
y'. e x ,!L(sen x) + (sen x). !L(e X) dx dx
dx
- (e")(cosnx»)
+ COS1CX] , Cunndo: x.1
y'. -IO{!!" [nsen(n)(I)]
+ [cos(n)(l)]}
y'. -IO{e" [nsenn+cosn)} y'.el(cos
x),4_(x) + (sen x)( eX),!L(x) dx dx
y'.eX(cos x)(I) + (sen x)(eX)(I) "
y'. eX(cos x)
+ (sen
x) (!!X)
y'. -IO{e"
[n (O) + (- I)]}
y'. -IO{!!" [O - I)} y'. -IO{e" (-IJ}
374
375
----_ •.._---
.
Scluelouartc de Derivad ...s
Solllcl9n~rio de .De,'iv.da!
y. - (2,5) (2,718281828) (3, 14159265359) •
y. + (10)(e·l)
-
.
y'.- 21,34933555308
y:
e'
so.
10 2,718281828
Y.•10 e ·,/10 sen 3x ; x.1.
y'. 10(e -x 110 .Q_(sen 3x) + (sen 3x).Q_(e ."'10»)
dx
y': 3,6787944~2
dx
y'. 1Ole ·"'10 .(cos 3x).Q_(3x) + (sen 3x).( 49. y: S ex/2'sen
7tX
"
"2
2
2
. 2
Q_(- xII O») dx
y'.IOre ·"10 .(cos 3x)(3) + (sen 3x)(e ,x/l~~l 10
y'. 5 [e'/2 .jl(sen ID» + (sen ID> ).Q_(exJ2)] dx
Q -x /10)
dx
dx
y': 1O.(e .~IO](3(cos 3x) - (sen 3x)] , Cuando: x : 1 10
y _ 5[exl2• (cos ill\ ) .Q_(lW + (sen nx ) (l!xI2) .Q_(xI2)] 2
dx 2
2
y'. 5[e"2(cos 1t)i )(lL) + (sen ~)
2
2
dx
(e "'2) wl
2
2
y: y': ..
y'.5(e:
2
+ (sen n .2 )]
2
2
y'. 5(Q 1) . .1.. [n (cos n ) + (sen n)]
2
Pero: senn .0; cosn
:.:.: :. .; . :
\
v-
1
:¡~j~~ {~"rt\'.:. ¡lo •. 'f' .....
,",:,IÍ
•••
':
y'. 5(e) [n(-I) + (0)].5(2) -2-
JO, [3(cos 3) - (sen 3») 10
(2'·1110)
y'.
10. 1, I 05170918
(3(-0,98992496) - 0,1411200080599) 10
y. (9,048374180979)(-2,969977489801 - 0,0141120008059 y. (9,048374180979)
(-2,984089490606)
y'. -27.00115830053 • - 27
•' .+
~í.~·.; '.
10(e .1/lO¡ [3(cos 3.1) - (sen 3.1)]. 10
[. n)
-2-.
376
Solucionario de Derivadas
Solllc'iollario de Derivadas
PROBLEMAS - PÁGINA 133
..~
7. Y = are sec .l.
x
Derivar las siguientes Funciones: Y• are cos .x. .
4.
PxJ
d
y'.
dx A
a
- 1 X --"---
_ 1 2
X ---""":-==
_1\~_I\G 1 --
X
- _I
V¿-'
X
V~
a - 1 y'.
x2
- 1
J(I - x') x
:..L y'=
-a
a
- 1 -====-.j(.' - x')
J(.' - x')
• -
.J(n' - x')
-IX'
8. y. are ese 2x
a
s.
y = are see l
•
r-:
.
Q_ÚL) y'= ..!...
a·
yCJu' a
dx 2x J(2x)' - I
- 1 ~x )(2x)' - I
x )
(2x.)' -
I
9. y • are sen ,¡x
1
a
dx a
Q_(2x)
_
a
ff'-a
x·ffX,.-1 x. --r' a a
1 -"2
a
1
al
a
y'_
a
y'.
a-x-"rx=;'~_=a""'"x-/x' - a'
x~
1
2..J(x - x')
a.a 6.
y .are eotl
10.
n
e
=
are vers Q2
4.(e2) -3.-6-
378
de. de • 2e - t=~2;¿e~ de -/2e' - (e')' ..J2 e' -e' Je'(2 - e') 379
2e
,:, f I
Solucioll" rio de Der ívadas
"" !
....-(
11a',u'\ I + a2 (a' - U)
f '(ti)•.
U2
+
f'(u)•.
U2
+ ~2
•
Scluclonarle de Derivados
, f '(x) •
f '(x) •
(8' x)2/2 .J(3 + x)(a . x)
f'(x).
~(a.
u2) + a2
(a' , u}l
f'(u). 282• 2u2
x)1/2
(a+x)ln~
,t(al. u')
\
a· x .j(al• xl)
f '(x).
f'(u). 2 (a2 • u2) ,t(s' . u')
Ca· ){)112 (a + x)la
•
J
(n - x) (a + x)
15. v , al are sen..!!.. . u .J(a'. 11')
['(ti). 2(32• u2il2
n
(a' _U')1I1
v', a2{Q_(arc sen J!..)} • {u .g_¡J(a'. u!) + J(al- u')].Q_(u: du
a
du
'du
f '(11) .2 .j(al• u') 14, f'(x) .,t(n'. xi) + a are sen.L
v':
a
f'(x).
['(x).
a¡~l _{u r.l2.j(al·2u 1+ .j(a'. U')(l}} .j {¡.(i!JI} • ul}J a
'
·~x
~JT7 .x .j(a' . x')
+ --¡¡:;;::l~~ .J(a' . x') a 382
v' _
a
+
\\2
,tea' - u') .j(a' - u'}
.Ja' 383
Solucionario de Deri"ndas
·,.
Vi.
~.-! '~':'..
. '.
·'. :-; · I VI.
_ J(a' - u') + u2 a J(a' - u') J(a' - u') a +
a2
J(a' - u'}
- '[(a' - u')
u2
.f(a' - u')
v'; a2 + u2 _ {J(a' - u')} 2
J(a' - u'} v'.a2 + u2 _(a2 _u2) J(a! - u1)
v'_
2 n1 ./(,1 _ul)
'.
'.
, 384
