SOLUCIONARIO-GRANVILLE-PAG-236-269

Solucionario de Calculo Integral

SOLUCIONARIO DE

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - GRANVILLE AUTORES: *GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHÓN *MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA

Este Solucionario de problemas resueltos, del texto de:Cálculo Diferencial e Integral de Granville , es una elaboración realizada con lujo de detalles, de tal manera que cada problema por más complejo que parezca, pueda ser comprendido y analizado por el estudiante.El autor espera las sugerencias respectivas, que sabra receptarlas y compaginarlas en una proxima edición. Esta obra no puede ser reproducida o transmitida,mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico(incluyendo el fotocopiado,la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información,sin previo aviso u consentimiento de los autores.

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón

1


Problemas. Pagina 236 Verificar las siguientes Integraciones: 1.

∫ x 4 dx = x 5 + c v =x dv = dx n =4

El diferencial esta completo, se procede a integrar.

∫ x 4 dx = x 4 + 1 4+1 2.

∫ dx x2

=

x5 + c . 5

=

∫ x -2.dx v =x dv= dx n = -2


∫ x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c . -2+1 -1 x 3.

∫ x2/3 dx x2/3+1 = x5/3 = 3 x5/3 + c . 2/3 + 1 5/3 5

4.

∫ dx √x ∫ x -1/2.dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 - 1/2 +1 1/2

=

2x1/2 = 2√x + c .


2


5.

6.

∫ dx 3 x

=

∫ dx x 1/3

=

∫ x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c . -1/3+1 2/3 2

∫ 3ay2 dy 3a ∫ y2 dy = = 3a y2+1 2+1

7.

3 ay3 = ay3 + c . 3

.

∫ 2 dt t2 2∫ t -2. dt = 2 t -2+1 -2+1

8.

=

=

2t -1 -1

=

- 2.t -1 = - 2 + c . t

∫ √ax . dx ∫ (ax)1/2. dx

v = ax dv = a.dx n = 1/2 .

1 ∫ (ax)1/2. a .dx = 1 (ax)1/2+1 a a 1/2+1

Falta (a) para completar, el diferencial.

=

(ax)3/2 = 2(ax)3/2 3/2(a) 3a

=

2(ax)2/2(ax)1/2 = 2. a .x (ax)1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x √ax + c . 3a 3 a 3 3 9.

∫ dx √2x ∫

=

dx = ∫ (2x)-1/2 = (2x)1/2


3


v = 2x dv = 2 dx n = -1/2

Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

1 . ∫ (2x)-1/2.2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1 (2x)1/2 + c . 10.

∫ 3 3t .dt ∫ (3t)1/3 dt . v = 3t dv = 3 dt n = 1/3


1 ∫ (3t)1/3.3dt = 1 (3t)1/3+1 3 3 1/3 + 1 11.

=

(3t)4/3 = (3t)4/3 + c . 3(4/3) 4

∫ (x3/2 - 2x2/3 + 5 √x - 3) dx . ∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ √x dx - ∫ dx ∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ (x)1/2 dx - ∫ dx x3/2+1 - 2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 - x + c . 3/2+1 2/3+1 1/2+1 x5/2 - 2 x5/3 + 5 (x)3/2 - x + c . 5/2 5/3 3/2 2x5/2 - 6x5/3 + 10(x)3/2 - x + c . 5 5 3


4


12.

∫ 4x2 - 2√x dx x ∫

4x2 - 2√x dx = ∫ x x

4x - 2x1/2 dx = x2/2

∫ (4x - 2x 1/2.x -2/2) dx = ∫ (4x - 2x-1/2) dx . ∫ 4x dx - ∫ 2x -1/2 dx = 4∫ x dx - 2∫ x -1/2 dx . 4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x2 - 2 . x1/2 1+1 -1/2+1 2 1/2

=

2x2 - 4x1/2

=

2x2 - 4 √x + c . 13.

∫ ( x2 - 2 ) dx . 2 x2 ∫ x2 dx - ∫ 2 dx = 1 ∫ x2 dx - 2 ∫ x -2 dx = 2 x2 2 1 x2+1 - 2 x -2+1 2 2+1 -2+1

14.

=

x3 - 2.x -1 2(3) -1

=

x3 + 2 + c . 6 x

∫ √x(3x - 2) dx ∫ (3x. √x - 2. √x) dx = ∫ (3x.x1/2 - 2x1/2) dx = ∫ (3x 3/2 - 2x1/2) dx . ∫ 3x3/2 dx - ∫ 2x1/2 dx = 3∫ x3/2 dx - 2∫ x1/2 dx = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1 5/2 3/2 5/2 3/2 3x - 2x = 6x - 4x + c . 5/2 3/2 5 3


5


15.

∫ x3 - 6x + 5 dx = x3 - 6x + 5 ln x + c . x 3 ∫ .

x3 - 6x + 5 dx = ∫ x2 - 6 + 5 dx = ∫ x2 dx - 6 ∫ dx + 5 ∫ dx x

x

x

x

x2+1 - 6(x) + 5(ln x) 2+1 16.

=

x

x3 - 6x + 5 ln x + c . 3

∫ √a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c . 3b ∫ (a + bx)1/2 dx . v = (a + bx) dv = b dx n = 1/2

Falta (b) para completar el diferencial. ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

1 . ∫ (a + bx)1/2.bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2 b b 1/2+1 b(3/2)

=

(a + bx)3/2 = 3b . 2

2(a + bx)3/2 + c . 3b 17.

∫

dy √a - by

∫

dy (a - by)1/2

v = (a - by) dv = - b dy n = - 1/2

.

=

∫ (a - by)-1/2 dy = Falta (-b) para completar el diferencial. ∫ vn dv = vn+1 + c n+1


6


- 1 ∫ (a - by)-1/2.( - b) dy b - 1 (a - by)-1/2+1 = - (a - by)1/2 = - (a - by)1/2 = -2 (a - by)1/2 + c. b -1/2+1 b(1/2) b/2 b 18.

∫ (a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c . 3 v = (a + bt) dv = b dt n =2

Falta (b), para completar el diferencial, se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

1 ∫ (a + bt)2.b dt b 19.

=

(a + bt)2+1 b(2+1)

=

(a + bt)3 + c . 3b

∫ x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 . 6 ∫ (2 + x2)2. x dx v = (2 + x2) Falta (2), se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c . dv = 2x dx 1 ∫ (2 + x2)2. 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + c n =2 2 2 2+1 2(3) 6

20.

∫ y (a - by2) dy = - (a - by2)2 + c . 4b ∫ (a - by2) . y dy . v = (a - by2) Falta (-2b),para completar el diferencial. dv = -2by dy Se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c . n =1 ∫ (a - by2) . y dy = -1

(a - by2)1+1

=

- (a - by)2 = - (a - by2) + c.


7


21.

2b 1+1 2 ∫ t √2t + 3 dt = (2t + 3)3/2 + c . 6 ∫ (2t2 + 3)1/2. t dt

2b(2)

4b

2

v = (2t2 + 3) dv = 4t dt . n = 1/2


1 ∫ (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2 (2t2+3)1/2 + c . 6 22.

∫ x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c . 3 2 Primero solucionamos el producto notable: (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 . ∫ x (4x2 + 4x + 1) = ∫ (4x3 + 4x2 + x) dx . ∫ 4x3 dx + ∫ 4x2 dx + ∫ x dx = 4∫ x3 dx + 4∫ x2 dx + ∫ x dx . 4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x3 + x2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2 x4 + 4x3 + x2 + c . 3 2

23.

∫ 4x2 dx √x3 + 8

.


8

Solucionario de Calculo Integral ∫ (x3 + 8)-1/2 . 4x2 dx

v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x2 dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 n+1 El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv.

4 ∫ (x3 + 8)-1/2 . 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1 3 3 -1/2+1

=

4(x3 + 8)1/2 3(1/2)

=

4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x3 + 8)1/2 = 8√(x3 + 8) + c . 3/2 3 3 3 24.

∫

6z dz . (5 - 3z2)2

∫ (5 - 3z2)-2.6z dz v = (5 - 3z2) dv = - 6z n = -2

A la integral original para que se integre solo le falta el signo negativo.

-∫ (5 - 3z2)-2. (-) 6z dz -(5 - 3z2)-2+1 = -(5 - 3z2)-1 = (5 - 3z2)-1 = 1 + c. 2 -2+1 -1 (5 - 3z ) 25.

∫ (√a - √x)2 dx . Solucionando el producto notable: (√a - √x)2 = a - 2√a.√x + x .

∫ {(√a)2 - 2√a .√x + (√x)2} dx = ∫ (a - 2√a .√x + x ) dx . ∫ a dx - ∫ 2√a .√x + ∫ x dx = a ∫ dx - 2√a ∫ √x dx + ∫ x dx . a ∫ dx - 2a1/2 ∫ x1/2 dx + ∫ x dx = a. x - 2a1/2.x1/2+1 + x1+1 = 1/2+1 1+1


9


ax - 2a1/2x3/2 + x2 = ax - 4 x2/2 a1/2 x1/2 + x2 = 3/2 2 3 2 ax - 4x√a .√x + x2 = ax - 4x√ax + x2 + c . 3 2 3 2 26.

∫ (√a - √x)2 dx √x v = (√a - √x) dv = - 1 dx . 2√x n =2

Falta (-1/2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

∫ (√a - √x)2. 1 .dx = - 2 ∫ (√a - √x)2 _ 1 √x 2√x -2 (√a - √x)2+1 2+1 27.

∫

x

(

)

=

dx

-2(√a - √x)3 + c . 3

2

a − x .dx

∫ √x{(√a)2 - 2√a.√x + (√x)2} dx = ∫ √x(a - 2√a.√x + x) dx ∫ (a√x - 2√a.√x.√x + x.√x)dx = ∫ {ax1/2 - 2ª1/2.(√x)2 + x2/2.x1/2}dx ∫ {ax1/2 - 2a1/2 x + x3/2} dx = a ∫ x1/2 dx - 2a1/2 ∫ x dx + ∫ x3/2 dx = a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x3/2 - 2a1/2.x2 + x5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2 2a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x5/2 3 5 28.

∫ t3 dt . √a4 + t4 ∫ (a4 + t4)-1/2.t3 dt .

=

2ax3/2 - x2√a + 2x5/2 + c . 3 5

v = (a4 + t4)

Falta (4)para completar el


10


dv = 4t3 dt n = -1/2 1 ∫ (a4 + t4)-1/2.(4)t3 dt = 1 4 4 (a4 + t4)1/2 4/2 29.

=

2(a4 + t4)1/2 4

=

diferencial, se aplica: ∫ vn dv = vn+1/n+1 + c .

(a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2 -1/2+1 4(1/2)

=

(a4 + t4)1/2 = √(a4 + t4) + c . 2

∫ dy . (a + by)3 ∫ (a + by)-3 dy v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dy Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n =- 3 n+1 1 ∫ (a + by)-3.(b)dy b 1 (a + by)-3+1 b -3+1

30.

=

(a + by)-2 = (a + by)-2 b(-2) -2b

=

-

1 +c. 2b(a + by)2

∫ x dx . (a + bx2)3 ∫ (a + bx2)-3.x dx v = (a + bx2) dv = 2bx.dx

Falta (2b) para completar el diferencial. Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 2 -3 1 ∫ (a + bx ) .(2b)x dx 2b


11


31.

1 (a + bx2)-3+1 2b - 3 + 1 ∫ t2 dt . (a + bt3)2

=

(a + bx2)-2 = _ (2b)( - 2)

1 + c. 4b(a + bx2)2

∫ (a + bt3)2.t2 dt v = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial. dv = 3bt2 dt Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n =2 n+1 1 ∫ (a+bt3)-2.(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1 3b 3b(-2+1) 3b(-1)

=

(a+bt3)-1 = 1 + c. 3 -3b 3b(a + bt ) 32.

∫ z(a + bz3)2 dz . Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 , obtenemos , ∫ z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz ∫ (a2z + 2abz4 + b2z7) dz a2 ∫ z dz + 2ab ∫ z4 dz + b2 ∫ z7 dz a2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a2z2 + 2abz5 + b2z8 + c . 1+1 4+1 7+1 2 5 8

33.

∫ xn-1√a+bxn dx ∫ (a + bxn)1/2. xn-1 dx


12


v = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial. n-1 dv = nbx dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = 1/2 n+1 n 1/2 n-1 1 ∫ (a + bx ) . (nb) x dx nb (a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bxn)3/2 + c . 1/2+1 3/2 3 34.

∫ (2x + 3) dx √x2 + 3x ∫ (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx v = (x2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = 2x + 3 Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 n+1 ∫ (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx (x2 + 3x)-1/2+1 = (x2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 √x2 + 3x + c . - 1/2 + 1 1/2

35.

∫ (x2 + 1) dx . √x3 + 3x ∫ (x3 + 3x)-1/2. (x2 + 1) dx v = (x3 + 3x) Falta (3) para completar el 2 2 dv = 3x + 3 dx = 3(x + 1) dx diferencial. n = -1/2 1 ∫ (x3 + 3x)-1/2.(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 = 3 3(-1/2+1) 3(1/2)


13


36.

(x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2√ (x3 + 3x) + c . 3/2 3 3 ∫ (2 + ln x) dx x ∫ (2 + ln x). 1 dx x v = (2 + ln x) dv = 1 dx x n =1

Falta 1/x para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

∫ (2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c . x 1+1 2 37.

∫ sen2x cos x dx ∫ (senx)2 . cos x dx .

v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dx completo,se procede n =2 a integrar.

∫ (senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c . 2+1 3 38.

∫ sen ax cos ax dx v = sen ax dv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx n =1

Falta (a) para completar el diferencial.Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 1+1 1 ∫ (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax) = (sen ax)2 = sen2ax + c . a a(1+1) 2a 2a


14


39.

∫ sen 2x cos22x dx ∫ (cos 2x)2. sen 2x dx v = (cos2x)

Falta (-2) para completar el diferencial dv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n =2

n+1

- 1 ∫ (cos2x)2.(-2)sen 2x dx 2

=

- (cos2x)2+1 = - (cos2x)3 = 2(2+1) 2(3)

- cos32x + c . 6 40.

∫ tg x sec2 x dx 2 2 v = tg x/2 dv = 1 sec 2 x 2 2 n =1

falta (1/2) para completar el diferencial. .

2∫ tg x 1 . sec2 x dx 2 2 2 tg 2 x 2 41.

∫

=

=

2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2 2 2 = 1+1 2

=

[tg 2 x ] + c . 2

cos ax dx . √b + sen ax

∫ (b + sen ax)-1/2 . cos ax dx . v = (b + sen ax)

Falta (a) para completar el


15


dv = cos ax.a dx = a cos ax dx n = - 1/2

diferencial: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 1 ∫ (b + sen ax)-1/2 .(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 = a a(-1/2+1)

(b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)1/2 = 2(b + sen ax)1/2 = a(1/2) a/2 a 2√b + sen ax + c . a 42.

∫ ∫

sec x 1 + tg x

2

dx

sec2x dx (1 + tg2x)

∫ (1 + tg x)-2. Sec2x dx . v = (1 + tg x) dv = sec2x dx n = -2


(1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 = _ -2+1 -1 43.

∫

1 + c. (1 + tg x)

dx . 2 + 3x

v = 2 + 3x dv = 3 dx 1 ∫ (3) dx 3 2 + 3x

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v =

1 ln (2 + 3x) + c . 3


16


44.

∫

x2 dx . 2 + x3 v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial. 2 dv = 3x dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v 1 ∫ (3) x2 dx = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c . 3 2 + x3 3 3

45.

∫

t dt . a + bt2

v = a + bt2 Falta (2b) para completar el diferencial. dv = 2bt Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v 1 ∫ (2b) t dt = 1 . ln(a + bt2) 2b (a + bt2) 2b 46.

=

ln(a + bt2) + c . 2b

∫ (2x + 3) dx x2 + 3x v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = (2x + 3) ∫ (2x + 3) dx x2 + 3x

47.

=

ln (x2 + 3x) + c .

∫ (y + 2) dy y2 + 4y v = y2 + 4y dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy

Falta (2) para completar el diferencial .Se aplica: ∫ dv = ln v + c .


17


v

48.

1 ∫ (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c . 2 (y2 + 4y) 2 2 θ ∫ e dθ . θ a + be θ

v = a + be θ dv = be dθ

Falta (b) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .

θ

1 ∫ e (b) dθ . θ b a + be θ

ln (a + be ) + c b 49.

∫ sen x dx . 1 - cos x v = 1 - cos x El diferencial esta completo. dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar. ⇒ ln (1 - cos x) + c .

50.

∫ sec2y dy . a + btg y v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial dv = b sec2y dy 1 ∫ (b) sec2y dy b a + btg y

51.

=

1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c . b b

∫ ( 2x + 3) dx x+2


18


Efectuamos la división: 2x + 3 x + 2 -2x - 4 2 -1 El resultado es: 2 + - 1 = 2 - 1 . Sustituyendo en la integral . x+2 x+2 ∫ [ 2 - 1 ] dx x+2 52.

=

2 ∫ dx - ∫ dx x+2

=

2x - ln(x + 2) + c

.

∫ x2 + 2 dx x+1 Efectuamos la división: x2 +2 x+1 - x2 - x x-1 -x +x+2 +2 El resultado es: (x - 1) + 3 . Sustituyendo en la Integral. x+1 ∫ [x-1 +

3 ] x+1

dx

∫ x dx - ∫ dx + 3 ∫ dx . x+1 x1+1 - x + 3 ln (x + 1) 1+1

=

x2 - x + 3 ln (x + 1) + c . 2


19


53.

∫ (x + 4) dx 2x + 3 Efectuamos la división: x + 4 2x + 3 - x - 3/2 1/2 . - x + 5/2 . 5 . El resultado es: 1 + 2 . Sustituyendo en la Integral. 2 2x + 3 ∫

1 + 5/2 dx 2 2x + 3

∫ 1 dx + 5 . 1 ∫ (2)dx . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx 1 ∫ dx + 5 ∫ (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) 2 4 2x + 3 2 4

=

x + 5 ln (2x + 3) + c . 2 4 54.

∫ e2s ds . e2s + 1 v = e2s + 1 dv = 2e2s .

El diferencial esta incompleto, falta (2) y se le opone 1/2.

1 ∫ (2)e2s ds = 1 . ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c . 2 e2s + 1 2 2 55.

∫

θ

ae + b dθ θ ae - b


20


Efectuamos la división: θ θ b + ae - b + ae θ - b + ae -1 θ + 2ae

El resultado es : θ - 1 + 2ae θ - b + ae

.

Para la 2da integral: θ v = - b + ae θ dv = ae dθ θ

∫ -1 + 2 ae dθ θ - b + ae θ

=

θ

- ∫ dθ + 2 ∫ ae dθ θ - b + ae

=

θ

- θ + 2 ln (- b + ae ) = 2 ln (ae - b ) - θ + c . 56.

∫

2x dx 3

.

(6 - 5x 2 )

∫ (6 - 5x2)-1/3.2x dx v = (6 - 5x2) dv = - 10x dx n = -1/3 .

El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) .

- 1 ∫ (6 - 5x2)-1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x2)-1/3+1 = -(6 - 5x2)2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3)

57.

- 3(6 - 5x2)2/3 + c. 10 ∫ (x3 + 3x2) dx ∫ x3 dx + 3∫ x2 dx x3+1 + 3.x2+1 3+1 2+1

=

x4 + 3x3 = x4 + x3 = c . 4 3 4


21


58.

∫ x2 - 4 . dx x4 Desarrollando: x2 - 4 x4

x2 - 4 = 1 - 4 . x4 x4 x2 x4

=

Sustituyendo en la integral . ∫ [ 1 - 4 ] dx = ∫ 1 dx - 4 ∫ dx = ∫ x -2 dx - 4∫ x -4 dx x2 x4 x2 x4 x-2+1 - 4.x -4+1 -2+1 -4+1 59.

=

x-1 - 4x -3 -1 -3

=

- 1 + 4 + c. x 3x3

 5x + 5  .dx 5x   5 1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫ (5x)1/2 dx + 5 ∫ (5x)-1/2 dx. 5 √5x 5

∫

v = 5x dv = 5 dx n = 1/2

v = 5x dv = 5 dx n = - 1/2

Completando el diferencial a ambas integrales.

1 . 1 ∫ (5x)1/2.(5)dx + 5. 1 ∫ (5x)-1/2 (5)dx 5 (5) 5 1 . (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1 25 1/2 + 1 - 1/2+1 (5x)3/2 + (5x)-1/2+1 25(3/2) 1/2

=

=

=

2(5x)3/2 + 2(5x)1/2 5(5)(3) 1

=

2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 = 5 (5)(3) 15 2(5x)1/2 { x + 1 } = 2√5.x x + 15 + c . 15 15


22


60.

∫3

by 2

∫

 y 2 3+1  2 2 b .3 y .dy = 3 b ∫ 3 y .dy = 3 b ∫ y 2 3 .dy = 3 b  2 / 3 + 1  =  

3

3

61.

 2 3+1  b1 3  y5 3  3 b1 3y5 3 = 3 3 by 5 + c . b y = 5 3  = 5 5  2 3+1   

∫ t dt2t ∫

dt = 1 ∫ dt = 1 . ∫ dt = 1 . ∫ t -3/2 dt = t -3/2+1 . t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 √2 t3/2 √2 √2(- 3/2 + 1) t -1/2 = t -1/2 = - 2 = √2(-1/2) - √2 √2.t1/2

62.

∫

3

2 =- 2 + c √2. √t √2t

2 - 3x .dx

∫ (2 - 3x)1/3. dx . v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) . dv = - 3 dx Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c . n = 1/3 n+1 (- 1 ) ∫ (2 - 3x)1/3 (- 3). dx 3

=

- (2 - 3x)1/3+1 = - (2 - 3x)4/3 = 3(1/3+1) 3(4/3)

-(2 - 3x)4/3 = - 3 (2 - 3x)4/3 = - (2 - 3x)4/3 + c . 12/3 12 4 63.

∫ sen 2θ dθ


23


√cos 2θ ∫ (cos 2θ)-1/2.sen 2θ dθ v = (cos 2θ) dv = - 2 sen 2θ dθ n = - 1/2

Falta (-2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c . n+1

(- 1 ) ∫ (cos 2θ)-1/2.(-2)sen 2θ dθ 2 (-1 ).(cos 2θ )-1/2+1 = - (cos 2θ )1/2 = - (cos 2θ )1/2 = - √cos 2θ + c. 2 -1/2+1 2(1/2) 1 64.

∫

ex dx . √e x - 5

v = (ex - 5) El diferencial esta completo, ∫ (ex - 5)-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar. n = - 1/2 ∫ (ex - 5)-1/2.ex dx 65.

∫

2 dx √3 + 2x

=

(ex - 5)-1/2+1 -1/2+1

=

(ex - 5)1/2 = 2(ex - 5)1/2 + c 1/2

.

∫ (3 + 2x)-1/2. 2 dx v = (3 + 2x) dv = 2 dx n = - 1/2

El diferencial esta completo , se procede a integrar.

∫ (3 + 2x)-1/2. 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2 = -1/2+1 1/2


24


2 √(3 + 2x) + c 66.

∫ 3 dx 2 + 3x

=

v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la fórmula: dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c . v

67.

∫ 3 dx = ln (2 + 3x) + c . 2 + 3x ∫ x dx . √1 - 2x2 ∫ (1 - 2x2)-1/2. x dx . v = (1 - 2x2) dv = - 4x dx n = - 1/2

El diferencial esta incompleto, falta (- 4) y se le opone (-1/4) .

(- 1 ) ∫ (1 - 2x2)-1/2.( - 4) x dx 4 - (1 - 2x2)1/2 4(1/2) 68.

∫

=

=

- 1 . (1 - 2x2)-1/2+1 4 -1/2+1

- (1 - 2x2)1/2 + c . 2

t dt . 3t + 4 2

v = 3t2 + 4 dv = 6t dt

El diferencial esta incompleto, falta (6) y se le opone (1/6) .

( 1 ) ∫ (6)t dt 6 3t2 + 4

=

1 .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c . 6 6


25


69.

  ∫  x − 1x 

2

 2 ∫ ( x ) − 2 x . 1x

2    2  +  1   .dx = ∫  x − 2 +  1 2  . dx ( x)   x    

3

70.

 2  ∫  y − y12  .dy ∫

(y2)3 - 3 (y2)2. 1 + 3 (y2). 1 y2 y2

2

- 1 y2

3

. dy .

∫

y6 - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = ∫ y6 - 3 y2 + 3 - 1 dy. y2 y2 . y2 y6 y2 y6 y6+1 - 3 . y2+1 + 3 ∫ y-2 dy - ∫ y - 6 dy = 6+1 2+1 y7 - 3y3 + 3.y-2+1 - y-6+1 = 7 3 -1 -5 y7 - y3 - 3.y -1 + y -5 7 5 71.

=

y7 - y3 - 3 + 1 + c . 7 y 5y5

∫ sen aθ dθ cos aθ Según Trigonometría: sen aθ cos aθ v = aθ dv = a dθ

=

tg aθ . ⇒ ∫ tg aθ. dθ .

Utilizamos la integral: ∫ tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c .

( 1 ) ∫ tg aθ. (a)dθ = - {ln cos (aθ) }

=

ln sec (aθ ) + c .


26


a 72.

∫

a

csc2φ dφ √(2cot φ + 3)

a

.

∫ (2cot φ + 3)-1/2 . csc2φ dφ . v = (2cot φ + 3) dv = - 2 csc2φ dφ

Falta (-2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 -1/2 2 -1 ∫ (2cot φ + 3) .(-2)csc φ .dφ = _ 1 . (2cot φ + 3)-1/2+1 = 2 2 -1/2+1 - 1 .(2cot φ + 3)1/2 = - (2cot φ + 3)1/2 = - (2cot φ + 3)1/2 = 2 1/2 2(1/2) 1 - (2cot φ + 3)1/2 = - √(2cot φ + 3) + c . 73.

∫ (2x + 5) dx x2 + 5x +6 v = x2 + 5x +6 dv = (2x + 5) . dx ∫ (2x + 5) dx x2 + 5x + 6

74.

=

El diferencial esta completo, aplicamos la fórmula: ∫ dv/v

=

ln v + c .

ln (2x + 5) + c .

∫ (2x + 7) dx x+3

Dividimos: 2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 . - 2x - 6 2 x+3 +1


27


∫

2 + 1 x+3

dx .

2 ∫ dx + ∫ dx x+3 75.

∫ (x2 + 2) dx x+2

=

2 x + ln (x + 3) + c .

Dividimos: x2 +2 x+2 - x2 - 2x x-2 - 2x + 2 + 2x + 4

El resultado es: x-2 +

+6 ∫ [x - 2 + 6 ] dx = ∫ x dx - 2 ∫ dx + 6 ∫ dx x+2 x+2

6 x+2

.

=

x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c. 2 76.

∫ (x3 + 3x) dx x2 + 1 Dividimos:

El resultado de la división es :

x3 + 3x x2 + 1 - x3 - x x + 2x v = x2 + 1 dv = 2x dx

x +

2x x2 + 1

.

El diferencial esta completo se procede a integrar.

∫ x dx + ∫ 2x dx = x1+1 + ln (x2 + 1) = x2 + ln (x2 + 1) + c . x2 + 1 1+1 2


28


77.

∫

(4x + 3) dx . ∛1 + 3x + 2x2

∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3.(4x + 3) dx . v = (1 + 3x + 2x2) El diferencial esta completo, se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar. n = - 1/3 ∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx

=

(1 + 3x + 2x2)-1/3+1 . - 1/3 + 1

(1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c . 2/3 2 78.

∫ (et + 2) dt et + 2t v = et + 2t dv = (et + 2) dt ∫ (et + 2) dt et + 2t

79.

=

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . ln (et + 2t) + c .

∫ (ex + sen x) dx √ex - cos x ∫ (ex - cos x)-1/2.(ex + sen x) dx v = (ex - cos x) El diferencial esta dv = (ex - (-sen x) dx = (ex + sen x) dx completo,se procede a n = - 1/2 integrar.


29


(ex - cos x)-1/2+1 = (ex - cos x)1/2 -1/2+1 1/2 80.

=

2(ex - cos x)1/2 + c .

∫ sec 2θ tg 2θ dθ 3 sec 2θ - 2 v = 3 sec 2θ - 2 dv = 3{sec 2θ . tg 2θ}.2 dθ = dv ={6 sec 2θ . tg 2θ} dθ

Falta (6) para completar el diferencial y se le opone (1/6). Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .

( 1 ) ∫ ( 6 )sec 2θ tg 2θ dθ = 1 . ln (3 sec 2θ - 2) = 6 3 sec 2θ - 2 6 ln (3 sec 2θ - 2) + c . 6 81.

∫

sec22t dt . √5 + 3tg 2t ∫ (5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt . v = (5 + 3tg 2t) dv = 3(sec22t)(2) dt dv = 6 sec22t dt n = - 1/2

Falta (6)para completar el diferencial . Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1

( 1 ) ∫ (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt 6 ( 1 ) . (5 + 3tg 2t)-1/2+1 6 -1/2+1

=

(5 + 3tg 2t)1/2 6(1/2)

=

(5 + 3tg 2t)1/2 + c . 3


30


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Problemas. Pagina 241 Verificar las Siguientes Integraciones: 1.

∫ 6 e3x dx 6 ∫ e3x dx

=

2 e3x + c .

.

v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial, dv = 3 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

2.

6 ( 1 ) ∫ e3x.(3) dx = 2 e3x + c . 3 x/n ∫ e dx = nex/n + c . v = x/n

.

Falta 1/n completar en el diferencial,


31


dv = 1/n

luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

(n) ∫ ex/n .(1/n) dx = n.ex/n + c . 3.

∫ dx = - 1 + c . ex ex ∫ e-x. dx ;

{ v = - x ; dv = - dx }

Para completar el diferencial, le falta el signo (-). (-) ∫ e-x.(-) dx = - e-x = - 1 + c . x e 4.

∫ 10 x dx = 10 x + c . ln 10 v =x dv = dx

El diferencial esta completo, se usa la fórmula: ∫ av dv = av + c . ln a

∫ 10 x dx = 10 x + c . ln 10 5.

∫ any dy

=

any + c . n ln a

v = ny Falta (n) para completar el diferencial. dv = n.dy Se aplica: ∫ av dv = av + c . ln a (1/n) ∫ any.(n) dy = . 1 . any n ln a

=

any + c . n ln a


32


6.

√

∫ e x dx √x

=

√x

2e

√

+ c.

∫ e x . 1 . 1 . dx √x 2 v = √x dv = 1 . dx 2√x

=

Falta (1/2) para completar el diferencial, luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

√

√

∫ e x . 1 . 1 . dx = (2) ∫ e x. 1 .dx √x 2 2√x 7.

=

√x

2e

+ c.

∫ (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a - e-x/a) + c . v = x/a v = - x/a ∫ ex/a dx + ∫ e-x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx Una vez completado los diferenciales, se integra. ( a) ∫ ex/a.(1/a) dx + (- a) ∫ e-x/a.(- 1/a) dx a.ex/a - a.e-x/a = a (ex/a - e-x/a) + c .

8.

∫ (ex/a - e-x/a)2 dx Desarrollando el producto notable: (ex/a - e-x/a)2 : (ex/a - e-x/a)2 = {(ex/a)2 - 2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} . e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a . e2x/a - 2(1) + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .


33


Sustituyendo : {e2x/a - 2 + e-2x/a} en la integral . ∫ {e2x/a - 2 + e-2x/a} dx = ∫ e2x/a dx - 2 ∫ dx + ∫ e-2x/a dx . Completando el diferencial, antes de integrar : v = 2x/a dv = 2/a dx

v = -2x/a dv = - 2/a dx

Se aplica en ambas integrales: ∫ ev dv = ev + c . ( a/2) ∫ e2x/a.(2/a) dx - 2 ∫ dx + (- a/2) ∫ e-2x/a.(- 2/a) dx . a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a = a .{e2x/a - e-2x/a} - 2x + c . 2 2 2 9.

∫ x e x2 dx = 1 .ex2 + c . 2 v = x2 Como el diferencial esta completo, dv = 2x dx se procede a integrar. ∫ x ex2 dx = 1 .ex2 + c . 2

10.

∫ e sen x cos x dx = e sen x + c . v = sen x dv = cos x dx


∫ esen x. cos x dx = esen x + c . 11.

θ

∫ etg sec 2θ dθ .


34


v = tg θ dv = sec2θ dθ


θ

θ

∫ e tg . sec2 θ dθ = e tg + c . 12.

∫ √e t dt ∫ (et)1/2 dt

=

=

2√e t + c. ∫ et/2. dt

v = t/2 dv = 1/2

Falta (1/2) en el diferencial, luego se procede a integrar.

Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . (2) ∫ et/2.(1/2) dt 13.

=

2et/2 + c .

∫ ax ex dx

´-0


35


v = ax ex dv = {ax.ex + ex. ax.ln a} dx dv = ax.ex{1 + ln a} dx

Falta (1 + ln a) para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

1 . ∫ ax ex.( 1 + ln a) dx = axex + c . 1 + ln a 1 + ln a

14.

∫ a2x dx

=

a2x + c . 2 ln a

v = 2x dv = 2 dx

Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ av dv = av + c . ln a 2x 2x ( 1 ) ∫ a .(2) dx = . 1 . a = a2x + c . 2 2 ln a 2 ln a 15.

∫ (e5x + a5x) dx = . 1 e5x + a5x + c . 5 ln a ∫ e5x. dx + ∫ a5x. dx Completando los diferenciales de ambas integrales.


36


v = 5x dv = 5 dx

v = 5x dv = 5 dx

Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . ( 1/5) ∫ e5x.(5) dx + ( 1/5) ∫ a5x.(5) dx

. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c . 5 5 ln a 5 ln a 16.

∫ 5eax dx v = ax dv = a dx

Falta (a) para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . 5 1 ∫ eax.(a) dx a 17.

=

5eax + c . a

∫ 3 dx ex


37


3 ∫ e -x. dx v =- x dv = - dx

Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

18.

3( - ) ∫ e -x .( - ) dx = -3.e -x = - 3 + c . ex ∫ 4 dt = √e t ∫ (et)-1/2 dt

=

4( - 2) ∫ e- t /2.( - 1/2) dt

=

- 8 e- t/2 = - 8 + c . et /2 19.

∫ cax dx Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula. v = ax dv = a dx

Falta (a) para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

Empleando la fórmula: ∫ av. dv = av + c ln a ( 1/a) ∫ cax.(a) dx = . 1 . cax a ln c 20.

+

c.

∫ dx .


38


42x ∫ 4-2x. dx v = - 2x dv = - 2 dx

Falta ( - 2) , para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

Utilizamos la fórmula: ∫ av. dv = av + c ln a ( - 1/2) ∫ 4-2x.( - 2) dx

21.

3

∫ x2 ex

=

.- 1 . 4-2x 2 ln 4

=

-1 + c. 2x 2 . ln 4 . 4

dx 3

Ordenando: ∫ ex v = x3 dv = 3x2 dx

. x2

dx

Falta (3) para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

Se aplica: ∫ ev. dv = ev + c . 3

3

( 1/3) ∫ ex .(3) x2 dx = . 1 .ex 3 22.

c.

3

ex 3

+ c

∫ (ex + 4) dx ex ∫ ex dx + 4 ∫ dx ex

23.

=

ex

=

∫ dx + 4(-) ∫ e -x.(-) dx = x - 4e -x = x - 4 + ex

∫ ex dx ex - 2


39


v = ex - 2 dv = ex dx

El diferencial esta completo, aplicamos : ∫ dv = ln v + c . v x ⇒ ln (e - 2) + c . 24.

2

∫ x (ex + 2) dx ∫

{(ex2 + 2) . x} dx 2

∫ ex . x dx + 2 ∫ x dx v = x2 dv = 2x dx

Falta (2) en la 1ra integral, para completar el diferencial , el 2do integral esta completo.

Se aplica: ∫ ev dv = ev + c , en la 1ra integral . 2

2

(1/2) ∫ ex .(2) x dx + 2 ∫ x dx = . 1 . e x + 2 . x1+1 2 1+1 2

ex 2 25.

+ 2 . x2 2

=

=

2

ex + x2 + c. 2

√

∫ (e x - 3 ) dx √x √

∫ e x. 1 . dx - 3 ∫ dx . √x √x v = √x dv = . 1 . 1 . dx 2 √x

Falta (1/2) para completar el diferencial, de la 1ra integral. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .


40

Solucionario de Calculo Integral √

√

(2) ∫ e x . 1 . 1 . dx - 3 ∫ x -1/2 dx = 2e x - 3.x -1/2+1 2 √x -1/2+1 √

√

=

√

2e x - 3.x1/2 = 2e x - 6x1/2 = 2e x - 6 √x + c . 1/2 26.

2

∫ t 2t dt 2

∫ 2 t . t dt v = t2 dv = 2t dt

Falta (2) para completar el diferencial, luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ av. dv = av + c ln a 2

2

( 1/2) ∫ 2 t .(2) t dt = . 1 . 2 t 2 ln 2 27.

=

2

2t + c . 2 ln 2

∫ a dθ θ b3 θ

a ∫ b-3 . dθ v = - 3θ dv = - 3dθ

Falta (- 3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ av dv = av/ ln a + c . θ

θ

a(- 1/3) ∫ b-3 .( - 3) dθ = - a . b-3 = -a + c. 3θ 3 ln b (3 ln b) b 28.

2

∫ 6 x e - x dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando: 2

3∫ e- x .2x dx


41


v = - x2 dv = - 2x dx

Falta el signo ( - ) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

2

3(-) ∫ e- x .(-)2x dx

=

2

- 3e- x

=

- 3 e

29.

+ c.

x2

∫ (e ) dx 2x 2

∫ e4 x dx v = 4x dv = 4 dx .

Falta el # 4 para completar el diferencial. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

( 1/4) ∫ e4 x.(4) dx 30.

∫

=

. 1 .e4 x 4

=

e4x + c . 4

x2 dx 3

ex

3

∫ e - x . x2 dx v = = - x3 dv = - 3x2 dx

Falta ( - 3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .

3

3

- 1 ∫ e - x .( - 3) x2 dx = - 1 . e - x 3

3

=

- 1 3e

+ c .

x3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


42


Problemas. Paginas 244 y 245 Verificar las siguientes Integraciones: 1.

∫ cos mx dx = 1 sen mx + c . m v = mx dv = m dx

Falta (m) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c .

( 1 ) ∫ cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c . m m 2.

∫ tg bx dx = 1 ln sec bx + c . b v = bx dv = b dx

Falta (b) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c .

( 1 ) ∫ tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c . b b 3.

∫ sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a


43


v = ax dv = a dx

Falta (a) para completar el diferencial. Usamos la fórmula: ∫ sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.

( 1 ) ∫ sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a a 4.

∫ csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v sen v sen v ln tg 1 v + c . 2

=

ln 1 - cos v sen v

=

Por trigonometría : csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v . sen v sen v 2 sen v ⇒ Esta demostrado : ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 5.

∫ sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c . 3 v = 3t dv = 3 dt

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ sec v tg v dv = sec v + c .

( 1/3) ∫ sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c . 3 . 1 .{ sec 3t} + c . 3


44


6.

∫ csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + c a v = ay dv = a dy

Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ csc v cot v dv = - csc v + c

( 1/a) ∫ csc ay . cot ay. (a) dy . . 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c . a a 7.

∫ csc2 3x dx = - 1 cot 3x + c . 3 v = 3x Completando el diferencial con (3) . dv = 3 dx Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c . ( 1/3) ∫ csc2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c . 3 3

8.

∫ cot x dx 2 v= 1x 2 dv = 1 dx 2

Falta (1/2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ cot v dv = ln {sen (v) } + c .

(2) ∫ cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c . 2 2 2 9.

∫ x sec2 x3 = 1 . tg x3 + c . 3


45


Ordenando: ∫ (sec x3)2 . x dx = ∫ sec2 x3 . x dx v = x3 dv = 3x2 dx

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ sec2 v . dv = tg v + c .

1 . ∫ (sec x3)2 .(3) x dx = 3 1 . tg x3 + c . 3 10.

∫

dx . sen2x

Por Trigonometría:

1 sen2 x ∫ csc2 x dx = - cot2 x + c . 11.

∫ ds cos2 s

=

=

csc2 x

=

sec2 s

tg s + c .

Por Trigonometría:

1 cos2 s

∫ sec2 s ds = tg s + c . 12.

∫ (tg θ + cot θ )2 dθ

=

tg θ - cot θ + c .

∫ (tg2 θ + 2 tg θ cot θ + cot2 θ) dθ = Por Trigonometría: tg θ . cot θ = 1 ; tg2 θ + 1 = sec2 θ ; cot2 θ + 1 = csc2 θ. Utilizando un artificio matemático : 2 = 1 + 1 . Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos:


46


∫ (tg2 θ + 2(1) + cot2 θ) dθ = ∫ (tg2 θ + 2 + cot2 θ) dθ ∫ (tg2 θ + 1 + 1 + cot2 θ ) dθ = ∫ (tg2 θ + 1 + cot2 θ + 1 ) dθ Pero: tg2 θ + 1 = sec2 θ ; cot2 θ + 1 = csc2 θ . ⇒

13.

∫ sec2 θ dθ + ∫ csc2 θ dθ = tg θ - cot θ + c .

∫ (sec φ - tg φ )2 dφ

=

2 (sec φ - tg φ ) - φ + c .

∫ (sec2 φ - 2 sec φ tg φ + tg2 φ ) dφ

=

Pero: tg2 φ = sec2 φ - 1 , sustituyendo en la integral. ∫ (sec2 φ - 2 sec φ tg φ + sec2 φ - 1 ) dφ = ∫ (2sec 2 φ - 2 sec φ tg φ - 1 ) dφ

=

∫ 2sec2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ 2 ∫ sec2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ

=

=

En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c . En la 2da integral aplicamos: ∫ sec v tg v dv = sec v + c . 2 tg φ - 2sec φ - φ 14.

∫ dx 1 + cos x

=

=

2(tg φ - sec φ ) - φ + c .

- cot x + csc x + c .

Racionalizando:

1 . 1 + cos x


47


1 . 1 - cos x 1 + cos x 1 - cos x

1 - cos x . 1 - cos2x

=

Pero: 1 - cos2 x = sen2 x . ∫ 1 - cos x . dx . sen2x

Aplicando artificios aritméticos, Ejm:

Aplicando artificios aritméticos, Ejm: 8-6 2

=

8 - 6 2 2

⇒

1 - cos x sen2 x

=

1 - cos x . sen2 x sen2 x

∫

1 - cos x dx = ∫ dx - ∫ cos x dx sen2x sen2x sen2x sen2x ∫ csc2 x dx - ∫ (sen x)-2. cos x dx = v = sen x dv = cos x dx

=

En la 1ra aplicamos: ∫ csc2 v dv = - cot v + c . El diferencial de la 2da integral, esta completo.

∫ csc2x dx - ∫ (sen x)-2. cos x dx = - cot x - (sen x)-2+1 = -2+1 Por Trigonometría :

1 = csc x . sen x -1 1 = - cot x + csc x + c . = - cot x - (sen x) = - cot x + -1 sen x 15.

∫ dx 1 + sen x

=

tg x - sec x + c .

Racionalizando y efectuando artificios aritméticos : 1

. 1 - sen x = 1 - sen x

=

1 - sen x .


48


1 + sen x 1 - sen x 1 - sen2 x 1 - sen x = 1 - sen x cos2 x cos2 x cos2 x ∫ sec2 x dx - ∫ sen x dx cos2 x

=

=

cos 2 x

sec2 x - senx cos2 x

=

∫ sec2 x dx - ∫ (cosx)-2. sen x dx

v = cos x En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c dv = - sen x dx En la 2da integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 ∫ sec2 x dx - (-) ∫ (cosx)-2.(-) sen x dx = tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)-1 = tg x - 1 = -2+1 -1 cos x tg x - sec x + c . 16.

∫ sen s ds 1 + cos s

=

- ln (1 + cos s) + c .

v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencial dv = - sen s ds Aplicamos la fórmula : ∫ dv = ln v + c . v

17.

(-) ∫ sen s (-)ds 1 + cos s ∫ sec2 x dx = 1 + tg x v = 1 + tg x dv = sec2 x dx ∫ sec2 x dx

=

=

- ln (1 + cos s) + c .


ln(1 + tg x ) + c .


49


1 + tg x 18.

∫ x cos x2 dx = 1 sen x2 + c . 2 ∫ cos x2 . x dx = v = x2 dv = 2x dx

Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c .

(2) ∫ cos x2 .(2)x dx = 1 sen x2 + c . 2 19.

∫ (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 - cos 2x) + c . ∫ x dx + ∫ sen 2x dx = {v = 2x ; dv = = 2 dx} ∫ x dx + 1 ∫ sen 2x .(2) dx = x1+1 + 1 - cos 2x 2 1+1 2

=

x2 - cos 2x = 1 x2 - cos 2x + c . 2 2 2 20.

∫ sen x dx √4 - cos x

=

∫ sen x dx (4 - cos x)1/2

2 √4 - cos x + c .

=

2 √4 - cos x + c .

∫ (4 - cos x )-1/2. sen x dx

=

v = (4 - cos x ) dv = -(- sen x) dx = sen x dx



50


∫ (4 - cos x )-1/2. sen x dx = (4 - cos x )- 1/2 + 1 = - 1/2 + 1 (4 - cos x )1/2 = 2(4 - cos x )1/2 = 2 √4 - cos x + c . 1/2 21.

∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x v = x + sen x dv = (1 + cos x) dx

El diferencial esta completo, Aplicamos: ∫ dv = ln v + c . v

∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x 22.

∫ sec2 θ dθ . √1 + 2tg θ ∫ sec2 θ dθ . (1 + 2tg θ)1/2 ∫ (1 + 2tg θ)-1/2. sec2θ dθ . v = (1 + 2tg θ) Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 sec2 θ dθ (1/2) ∫ (1 + 2tg θ)-1/2.(2) sec2 θ dθ . . 1 (1 + 2tg θ)-1/2+1 = (1 + 2tg θ )1/2 = (1 + 2tg θ )1/2 = 2 -1/2+ 1 2(1/2) 1 √(1 + 2tg θ) + c .


51


23.

∫ sen 2x dx 3 v = 2x . 3 dv = 2/3 dx

Falta (2/3) para completar el diferencial. Se aplica : ∫ sen v dv = - cos v + c .

( 3 ) ∫ sen 2x ( 2 ) dx 2 3 3 24.

3 - cos 2x 2 3

=

=

- 3 cos 2x + c 2 3

∫ cos (b + ax) dx v = (b + ax) dv = a dx

Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica : ∫ cos v dv = sen v + c .

. 1 . ∫ cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c . a a a 25.

∫ csc2 (a - bx) dx

=

∫ {csc (a - bx)}2 .dx

{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c . (- 1 ) ∫ {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot (a - bx) b b

=

cot (a - bx) + c . b 26.

∫ sec θ tg θ dθ 2 2 v = θ/2 . Falta (1/2) para completar el diferencial, dv = 1/2 . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c .


52


( 2 ) ∫ sec θ tg θ (1/2)dθ = 2 sec θ + c . 2 2 2 27.

∫ csc a φ b

cot a φ b

v= aφ b dv = a . d φ b b ∫ csc a φ a b

dφ

Falta (a/b) para completar el diferencial, Se aplica: ∫ csc v cot v dv = - csc v + c .

cot a φ .( a ) d φ = . b .{- csc a φ } b b a b

=

- b csc a φ + c. a b 28.

∫ ex cot ex dx v = ex dv = ex dx


∫ cot ex . ex dx = ln {sen (ex)} + c . 29.

∫ sec2 2 ax dx = v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial. dv = 2a dx ( 1/2a) ∫ sec2 2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a

30.

∫ tg x dx 3


53


v = x/3 . dv = 1/3 dx dv = 1 dx 3

Falta (1/3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . luego se procede a integrar.

(3) ∫ tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c . 3 3 3 31.

∫ dt . tg 5t ∫ cot 5t dt . v = 5t dv = 5 dt

Falta (5) para completar el diferencial luego se procede a integrar.

(1/5) ∫ cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5 32.

∫

dθ . sen24θ

Por trigonometria: 1/sen24θ = csc24θ . ∫ dθ = ∫ csc24θ dθ. sen24θ v = 4θ dv = 4 dθ

Falta (4) para completar el diferencial, luego se procede a integrar.

∫ csc24θ dθ = 1 {- cot 4θ } = - cot 4θ + c . 4 4 33.

∫

dy

.


54


cot 7y ∫ tg 7y dy = v = 7y dv = 7 dy

Falta (4) para completar el diferencial, luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

(1/7) ∫ tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y = 7 7 1 ln cos 7y + c . 7 34.

∫ sen √x dx √x v = √x dv = 1 . dx 2√x

2

35.

Falta 1 para completar el diferencial, 2 luego se procede a integrar.

(2) ∫ sen √x dx . 1 . 1 . dx 2 √x ∫

=

2 ( - cos √x ) = - 2 cos √x + c .

dt . sen2 3t

∫ csc2 3t dt v = 3t dv = 3 dt

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ csc2 v dv = - cot v + c .

( 1/3) ∫ csc23t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c . 3 3


55


36.

∫ dφ cos 4φ

.

Por Trigonometría: 1/cos 4φ

=

sec 4φ .

∫ sec 4φ dφ . v = 4φ dv = 4 dφ

Falta (4) para completar el diferencial, se aplica: ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .

(1/4) ∫ sec 4φ .(4) dφ 37.

∫

=

1/4 { ln (sec 4φ + tg 4φ ) } + c .

a dx . cos2 bx

Por trigonometría: 1/cos2 bx = sec2 bx . a ∫ sec2 bx dx = v = bx dv = b dx

Falta (4) para completar el diferencial, ∫ sec2 v dv = tg v + c .

a ∫ sec2bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . b b b 38.

∫ (sec 2θ - csc θ ) d θ . 2 ∫ sec 2θ dθ - ∫ csc θ d θ . 2 v = 2θ dv = 2 dθ

v = θ/2 dv = 1/2 dθ


56


(1/2) ∫ sec 2θ .(2)dθ - (2) ∫ csc θ . 1 .)dθ . 2 2 1 {ln (sec 2θ + tg 2θ )} - 2 { ln csc θ - cot θ } + c . 2 2 2 39.

∫ (tg φ + sec φ )2 dφ ∫ {tg2 φ + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ Por Trigonometría: tg2 φ

=

sec2 φ - 1. Sustituyendo en la integral .

∫ {sec2 φ - 1 + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ . 2 ∫ sec2 φ dφ - ∫ dφ + 2 ∫ tg φ sec φ } dφ . 2 tg φ - φ + 2 sec φ + c . 40.

∫ ( tg 4s - cot s ) ds . 4 1 ∫ tg 4s .(4) ds - (4) ∫ cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s 4 4 4 4 4 {ln sec 4s} - 4 ln sen s + c . 4 4

41.

∫ (cot x - 1)2 dx ∫ (cot2x - 2 cot x + 1) dx Pero: 1 + cot2 x = csc2 x , reemplazando en la integral. ∫ (csc2 x - 2 cot x ) dx


57

=


∫ csc2 x dx - 2∫ cot x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)]

-{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen2 x) } + c . 42.

∫ ( sec t - 1)2 dt . ∫ (sec2 t - 2 sec t + 1) dt . ∫ sec2 t dt - 2 ∫ sec t dt + ∫ dt . tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .

43.

∫ (1 - csc y)2 dy . ∫ (1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = ∫ (1 - 2 csc y + csc2 y) dy . ∫ dy - 2∫ csc y dy + ∫ csc2 y dy . y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .

44.

∫

dx 1 - cos x

.

Racionalizando: 1 1 - cos x

1 (1 - cos x)

1 + cos x 1 + cos x

1 + cos x sen2 x sen2 x

=

=

1 + cos x 12 - cos2 x

.

=

1 + cos x sen2 x

=

csc2 x + cos x . sen2 x

∫ csc2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc2 x + ∫ (sen x) -2 . cosx dx = sen2 x


58


- cot x + (sen x)-2+1 = - cot x + (sen x)-1 = - cot x - (sen x)-1 = -2+1 -1 - cot x 45.

∫

1 = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . sen x

dx . 1 - sen x

Racionalizando: 1 1 - sen x

1 + sen x 1 + sen x

∫ 1 + sen x dx cos2 x

=

=

1 + sen x 1 - sen2 x

=

1 + sen x . cos2 x

∫ 1 dx + ∫ sen x dx . cos2 x cos2 x

∫ sec2 x dx + ∫ (cos x)-2 . sen x dx = tg x - (cos x)-2+1 -2+1

=

tg x - (cos x)-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x 46.

∫ sen 2x dx . 3 + cos 2x v = 3 + cos 2x dv = - 2 sen 2x dx (-1 ) ∫ (-2) sen 2x dx 2 3 + cos 2x

Falta (-2) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln v + c . v =

- 1 ln (3 + cos 2x) + c . 2


59


47.

∫ cos t dt . √a + b sen t ∫ cos t dt (a + b sen t)1/2

=

v = (a + b sen t) dv = b cos t dt

∫ (a + b sen t)-1/2 .cos t dt = Falta (b) para completar el diferencial, Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

1 .∫ (a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2 b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b)

(a + b sen t)1/2 1 b 2 48.

=

2 (a + b sen t)1/2 b

=

2 √(a + b sen t) + c . b

∫ csc θ cot θ dθ 5 - 4 csc θ v = 5 - 4 csc θ dv = - 4 csc θ cot θ dθ

Falta (- 4) para completar el diferencial, Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v

(- 1 ) ∫ ( - 4) .csc θ cot θ dθ 4 5 - 4 csc θ - 1 ln (5 - 4 csc θ) + c . 4 49.

=

∫

csc2 x dx . √3 - cot x


60


∫ csc2 x dx (3 - cot x)1/2

=

∫ (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx

v = 3 - cot x dv = csc2x dx

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

(3 - cot x)-1/2+1 = (3 - cot x)1/2 = 2(3 - cot x)1/2 -1/2 + 1 1/2

=

2 √(3 - cot x) + c . 50.

∫ √5 + 2tg x dx cos2 x ∫ √5 + 2tg x . 1 . dx cos2 x

=

∫ √5 + 2tg x . sec2 x dx

∫ (5 + 2tg x)1/2 . sec2 x dx . v = (5 + 2tg x) dv = 2 sec2x dx

Falta (2) para completar el diferencial, Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

( 1 ) ∫ (5 + 2tg x)1/2 .(2) sec2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x)1/2+1 = 2 2 1/2 + 1 (5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = √(5 + 2tg x)3 = 2(3/2) 3 3 √(5 + 2tg x)2.(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) √(5 + 2tg x) + c . 3 3


61


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Pagina 248 y 249 Verificar las siguientes Integraciones: 1.

∫

dx . x2 + 9

∫

dx . x2 + 32

v=x dv = dx a =3

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

∫ dx x2 + 32 2.

=

∫

dx . x -4

∫

dx . x2 - 22

2

v =x dv = dx a =2 ∫

1 .arc tg x + c . 3 3

dx x2 - 22

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a =

1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c . 2(2) x+2 4 x+2


62


3.

∫

dy . √25 - y2

v =y El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dy ∫ dv = arc sen v + c . a =5 √a2 - v2 a ∫ dy = arc sen y + c . 2 2 √5 - y 5 4.

∫

ds . √s2 - 16

∫

ds √s2 - 42

v =s dv = ds a =4 ∫ ds 2 √s - 42 5.

∫

. El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = ln { v + √v2 - a2 } + c . √v2 - a2 =

ln { s + √s2 - 16 } + c .

dx . 9x2 - 4

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial ∫ dv . dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . (3x)2 - 22 a = 2 v2 - a2 2a v+a

( 1 ) ∫ (3) dx 3 (3x)2 - 22 6.

∫

=

1 3

1 2(2)

ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c . 3x + 2 12 3x + 2

dx . √16 - 9x2


63


∫

dx . √4 - (3x)2 2

v = 3x dv = 3 dx a =4

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . 2 √a - v2 a

( 1 ) ∫ (3) dx 3 √42 - (3x)2 7.

∫

dx . 9x2 - 1

∫

dx . (3x) - 12

1 .arc sen 3x + c . 3 4

2

v = 3x dv = 3 dx a =1

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a . v2 - a2 2a v+a

∫ dx 2 (3x) - 12 8.

=

=

∫

dt 4 - 9t2

∫

dt . 2 - (3t)2

1 . 1 . ln 3x - 1 3 1(2) 3x + 1

1 ln 3x - 1 + c . 6 3x + 1

=

.

2

v = 3t dv = 3 dt a =2

Falta (3) para completar el diferencial. ∫ dv = 1 .ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a


64


( 1 ) ∫ (3) dt 3 22 - (3t)2 9.

=

1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c . 3 2(2) 2 - 3t 12 2 - 3t

∫ ex dx 1 + e 2x ∫

ex dx . 1 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo. dv = e x dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . a =1 a2 + v2 a a x x x ∫ e dx = 1 .arc tg e = arc tg e + c . 12 + (e x)2 1 1 10.

2

∫ cos θ dθ 4 - sen2 θ ∫

cos θ dθ . 2 - (sen θ)2 2

v = sen θ dv = cos θ dθ a =2

11.

∫

cos θ dθ 22 - (sen θ)2

∫

b dx . a2x2 - c2


∫

=

dv a2 - v2 1 2(2)

=

1 . ln a + v + c . 2a a-v

ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c . 2 - sen θ 4 2 - sen θ

∫ b dx . (ax)2 - c2 v = ax dv = a dx

Falta (a) para completar el diferencial. ∫ dv = 1 ln v - a + c .


65


v2 - a2 2a

a =c

v+a

( 1 )(b)∫ (a) dx = b . 1 . ln ax - c a (ax)2 - c2 a 2(c) ax + c 12.

=

b . ln ax - c + c . 2ac ax + c

∫ 5x dx . √1 - x4 ∫ 5x dx . √12 - (x2)2 v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2x dx ∫ dv = arc sen v + c . a =1 √a2 - v2 a (5) ∫ (2)x dx 2 √12 - (x2)2

13.

=

5 .arc sen x 2 1

5 arc sen x + c 2

=

∫ ax dx . x4 + b4 ∫ ax dx . (x2)2 + (b2)2 v = x2 dv = 2x dx a = b2

Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

( a ) ∫ (2) ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x2 + c 2 (x2)2 + (b2)2 2 b2 b2 2b2 b2 14.

∫

dt (t - 2)2 + 9

.


66


∫ dt 2 (t - 2) + 32 v =t - 2 dv = dt a =3

=

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 . arc tg v + c . v2 + a2 a a

1 . arc tg t - 2 + c . 3 3 15.

∫

dy . 2 2 √1 + a y v = ay dv = a dy a= 1

Falta (a) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln {v + √a2 + v2} + c . √a2 + v2

1 ∫ (a) dy a √1 + (ay)2 16.

∫

=

1.∫ (a) dy a √(ay)2 + 12

=

1 ln {ay + √1 + a2y2} + c .

a

du . √4 - (u + 3)2

∫ du . √22 - (u + 3)2 v =u + 3 dv = du a =2

El diferencial esta completo, se procede a integrar. Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a

∫ du √22 - (u + 3)2

=

arc sen u + 3 + c . 2


67


17.

∫ dx √9 - 16x2

.

∫ dx . 2 2 √3 - (4x) v = 9 - 16x2 dv = 4 dx a =3

Falta (4) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dx = arc sen v + c . √a2 - v2 a

(1)∫ (4)dx 2 4 √3 - (4x)2 18.

=

1 . arc sen 4x + c . 4 3

∫ dy . √9y2 + 4 ∫ dy . 2 2 √(3y) + 2 Falta (3)para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c. √v2 + a2

v = 3y dv = 3 dy a=2

(1)∫ (3) dy 3 √(3y)2 + 22

=

1 . ln {3y + √(3y)2 + 22 } = 3

ln {3y + √9y2 + 4 } + c 3 19.

∫

dt . 4t2 + 25

∫

dt

.


68


(2t)2 + 52 v = 2t dv = 2 dt a= 5

Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c. 2 √v + a2

(1)∫ (2)dt 2 (2t)2 + 52 20.

∫

dx 25x2 - 4

.

∫

dx (5x) - 22

.

1 . arc tg 2t + c . 5 5

=

2

v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica: dv = 5 dx ∫ dv = 1 ln v - a . + c . a= 2 v2 - a2 2a v + a ( 1 ) ∫ (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c 5 (5x)2 - 22 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2 21.

∫

7 dx 3 + 7x2

.

∫ 7 dx (√3)2 + (√7.x)2

.

v = √7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica: dv = √7 dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √3 a2 + v2 a a (1)∫ √7 dx √7 (√3)2 + (√7.x)2

1 1 arc tg √7.x √7 √3 √3

=

=


69


1 arc tg √7.x + c . √21 √3 √21 . arc tg √7. √3.x √21.√21 √3. √3 22.

∫

=

√21 arc tg √21. x + c . 21 3

3 dy . 9y2 - 16

∫ 3 dy . (3y)2 - 42 v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = 3 dy Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a a =4 v2 - a2 2a v+a ∫ 3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 (3y)2 - 42 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 23.

=

ln 3y - 4 3y + 4

1/8

+c.

∫ ds . 2 √4s + 5 ∫

ds . √(2s)2 + (√5)2

v = 2s dv = 2 ds a = √5

Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c . √v2 + a2

(1)∫ (2)ds 2 2 √(2s) + (√5)2

=

1 {ln [2s + (√4s2 + 5)]} + c . 2


70


24.

∫

t dt . √t4 - 4

∫

t dt . 2 √(t ) - (2) 2 2

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2t dt ∫ dv = ln {v + √v2 - a2} + c . 2 a =2 √v - a2 ( 1 )∫ (2)t dt 2 2 2 √(t ) - (2)2 25.

∫

=

1 {ln [t2 + (√t4 - 4)]} + c . 2

x dx . √5x2 + 3

∫ (5x2 + 3)-1/2. x dx . v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica: dv = 10x dx ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 1 . ∫ (5x2 + 3)-1/2.(10) x dx = 1 . (5x2 + 3)-1/2+1 = 10 10 -1/2+1 (5x2 + 3)1/2 = √5x2 + 3 + c . 10(1/2) 5 26.

∫ 2еx dx . √1 - е2x


71


∫

2еx dx . √1 - (еx)2 2

v = еx El diferencial esta completo, se procede a integrar. x dv = е dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . a =1 √a2 - v2 a 2 ∫ еx dx √12 - (еx)2 27.

∫

2 arc sen еx 1

=

2 arc sen еx + c .

6t dt . 8 - 3t2

v = 8 - 3t2 dv = - 6t dt

Falta el signo (-) para completar el diferencial, se usa la fórmula: ∫ dv = ln v + c . v

(-)∫ (-) 6t dt 8 - 3t2 28.

=

- ln (8 - 3t2) + c .

=

∫ sen θ √4 + cos2 θ

.

∫ sen θ dθ 2 √2 + (cos θ)2

.

v = cos θ dv = - sen θ dθ a =2

Falta el signo (-) para completar el diferencial.

Se aplica: ∫

dv 2 √a + v2

=

ln {v + √a2 + v2 } + c .


72


(-) ∫ (-)sen θ dθ √22 + (cos θ)2 29.

- ln { cos θ + √4 + cos2θ } + c .

∫ dx . 2 2 m + (x + n) v =x + n dv = dx

El diferencial esta completo, se procede a integrar. Se aplica: ∫ dv = 1 . arc tg v + c . a2 + v2 a a

∫ dx m2 + (x + n)2 30.

=

1 . arc tg x + n + c m m

=

∫

du . 4 - (2u - 1)2

∫

du . 2 2 - (2u - 1) 2

v = 2u - 1 Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2 du ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a =2 a2 - v2 2a a-v ( 1 ) ∫ (2) du 2 22 - (2u - 1)2 1 . ln 2 + 2u - 1 8 2 - 2u + 1 31.

=

1 . 1 . ln 2 + (2u - 1) 2 2.2 2 - (2u - 1)

=

=

1 . ln 1 + 2u + c . 8 3 - 2u

∫ 7x2 dx . 5 - x6


73


Haciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado:

∫ 7x2 dx . (√5)2 - (x3)6 v = x3 Falta (3) para completar el diferencial, el (7) se 2 dv = 3x dx coloca fuera de la integral. Se aplica: a = √5 ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a2 - v2 2a a-v (7. 1 ) ∫ (3)x2 dx = 7 . 1 . ln √5 + x3 = 7 . ln √5 + x3 + c 3 (√5)2 - (x3)6 3 2.√5 √5 - x3 6√5 √5 - x3

7 . √5 . ln √5 + x3 6 √5. √5 √5 - x3

=

7 . √5 . ln √5 + x3 6.5 √5 - x3

=

7 . √5 . ln √5 + x3 + c . 30 √5 - x3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.

Verificar las siguientes Integraciones: 1.

∫

dx . x2 + 4x + 3

Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto:

Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do término , y luego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 22 = 4 . Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3.


74


x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 . x2 + 4x + 4, es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2. Tendremos: x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )2 - 12 . Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estará lista para desarrollarse, se usa la fórmula: ∫

dv v2 - a2

∫

dx x + 4x + 3

1 . ln v - a + c . 2a v+a

=

=

2

v = (x + 2 ) dv = dx a =1

∫ dx . 2 2 (x + 2 ) - 1

El diferencial esta completo.

∫ dx x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c . = 1 . ln (x + 2 )2 - 12 2.1 x+2+1 2 x+3 Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical. Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas. 2.

∫

dx . 2x - x2 - 10

- x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 12 = 1 2 - (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)2 + 32]


75


∫

dx - [ (x - 1)2 + 32]

v =x - 1 dv = = dx a =3 -∫ 3.

∫

=

-∫ dx [ (x - 1)2 + 32]

.

El diferencial esta completo, se procede a integrar. Se emplea la fórmula: ∫ dv = 1 .arc tg v + c .

dx [(x - 1)2 + 32]

v2 + a2

=

a

a

- 1 arc tg x - 1 + c . 3 3

3 dx . x - 8x + 25 2

8/2 = 4 ; 42 = 16 x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)2 + 32]

∫

3 dx . 2 2 [(x - 4) + 3 ]

v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a =3 v2 + a2 a a (3)∫ 3 dx 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c . = 2 2 [(x - 4) + 3 ] 3 3 3 4.

∫

dx . 2 √3x - x - 2

3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4 - (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 )2 - 9 + 8 ] = 4 4 2 4 4


76

Solucionario de Calculo Integral =

∫

- (x - 3 )2 - 1 2 4

=

dx √ ½ 2 - x - 3/2

- (x - 3 )2 - 1 2 2

2

=

1 2 - (x - 3 )2 2 2

. 2

v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica: dv = dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 1/2 √a2 - v2 a

=

5.

∫

arc sen x - 3/2 ½

=

arc sen

2x - 3 2 ½

=

arc sen (2x - 3) + c .

dv . v2 - 6v + 5

v2 - 6v + 5 ;

6 2

=

3 ; 32 = 9

v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22 = Sustituyendo este valor en la integral: ∫ dv . (v - 3)2 - 22 v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la fórmula: dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c . a =2 v2 - a2 2a v+a ∫

6.

dv (v - 3)2 - 22

=

1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5 2.2 v-3+2 4 v-1

+c.

∫ dx . 2x2 - 2x + 1


77


2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1 ) ; 1 ; 1 2 2 2

2

=

1 4

.

2(x2 - x + 1 - 1 + 1 ) = 2{ (x - 1 )2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 )2 - 1 + 2 } 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2{(x - 1 )2 + 1 } = 2{(x - 1 )2 + 12} 2 4 2 22 El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de la integral como 1/2 . ∫

dx 2{(x - 1 )2 + 12 } 2 22

1.∫ dx 2 {(x - 1 )2 + 12 } 2 22

=

=

v = x - 1/2 dv = dx a = 1/2

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a x- 1 1.1 ∫ dx 2 = = 1 . 2 .arc tg 2 1 {(x - 1 )2 + 12 } 2 1 2 2 22 2 2x - 1 2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c . 2 1 2 .

.

.

7.

∫

dx . √15 + 2x - x2

15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - (x2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2

(x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1)2 - 16 } = - [(x - 1)2 - 42 ] =


78


[42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral. ∫

dx √15 + 2x - x2

v =x - 1 dv = dx a =4

=

∫ dx 2 √{4 - (x - 1)2}

=

El diferencial esta completo,se usa la fórmula: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a

arc sen x - 1 + c . 4 8.

∫

dx . x + 2x 2

x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 12 = 1 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x . x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] . ∫ dx . {(x + 1)2 - 12} v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a =1 v2 - a2 2a v + a

9.

∫

dx {(x + 1)2 - 12}

∫

dx 4x - x2

=

1 ln x + 1 - 1 2.1 x+1+1

=

1 ln x + c . 2 x+2

.

4x - x2 = - x2 + 4x = - (x2 - 4x) 4 = 2 ; 22 = 4 2


79


=

- (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } =

{22 - (x - 2)2} ∫ dx . 2 2 {2 - (x - 2) } v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a =2 a2 - v2 2a a-v 1 ln 2 + x - 2 2.2 2 - (x - 2) 10.

=

1 ln x 4 2-x+2

=

1 ln x + c . 4 4-x

∫ dx . √2x - x2 2x - x2 = - x2 + 2x = - (x2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2 -(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)2 - 12} = 12 - (x -1)2 ∫ dx . √12 - (x -1)2 v =x - 1 dv = dx a =1 arc sen x - 1 1

11.

Esta completo el diferencial, se usa la fórmula: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a =

arc sen (x - 1) + c .

∫ ds . 2 √2as + s


80


2as + s2 = s2 + 2as .

2a = a ; a2 = a2 2

s2 + 2as + a2 - a2 = {(s + a)2 - a2} = (s + a)2 - a2 ∫

ds . √{(s + a)2 - a2}

v = s + a El diferencial esta completo, se aplica: dv = ds ∫ dv = ln [v + √(v2 - a2)] + c . a =a √v2 - a2 ln {(s + a) + √[(s + a)2 - a2] } + c . 12.

∫

dy . y2 + 3y + 1

y2 + 3y + 1 .

3 ; 32= 9 . 2 2 4

y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = {( y + 3 )2 - 9 + 4 } = {( y + 3 )2 - 5 } 4 4 2 4 4 2 4

{( y + 3 )2 - √5 2} = {( y + 3 )2 - √5 2} 2 √4 2 2 ∫ dy . v = y + 3/2 El diferencial esta 2 2 (y + 3/2 ) - (√5/2) dv = dy completo, se aplica : a = √5/2 ∫ dv = 1 ln v - a + c v2 - a2 2a v+a

.

y+ 3 1 . ln 2 2.√5 y + 3 + 2 2

√5 2 √5 2

=

1 ln √5

2y + 3 - √5 2 2y + 3 + √5 2

.

=


.

.

81


1 ln 2y + 3 - √5 + c . √5 2y + 3 + √5 13.

∫

dy . 1 + x + x2

1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 2 =

2

=

1 . 4

{x2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + ½)2 - 1 + 4 } = 4 4 4 4

{(x + ½)2 + ¾ } = {(x + ½)2 + (√¾ )2} = (x + ½)2 + (√3/2)2. ∫

dy (x + ½) + (√3/2)2

v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2

.

El diferencial esta completo. ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

∫ dy 2 (x + ½) + (√3/2)2 2x + 1 2 arc tg 2 √3 √3 2 14.

=

2

1 arc tg √3 2

=

.

x+1 2 √3 2

.

= .

.

=

2 arc tg 2x + 1 + c √3 √3

.

∫ dx . √1 + x + x2


82


1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 x2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + ½)2 - 1 + 4 } = {(x + ½)2 + ¾ } . 4 4 4 4 (x + ½)2 + √3 √4

2

=

(x +½)2 + √3 2

2

=

(x + ½)2 + (√3/2)2

∫ dx . 2 2 √{(x + ½) + (√3/2) } v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2

Esta completo el diferencial. Se aplica : ∫ dv = ln {v + √v2+a2} + c. √v2+a2

ln { x + ½ + √{(x + ½)2 + (√3/2)2} = ln {x + ½ + √(1 + x + x2)} + c . 15.

∫

dx . 4x2 + 4x + 5

4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . 4

1 ; 12 = 1 . 2 22 4

4(x2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) = 4 4 4 4 4 4{(x + ½)2 + 1 } = 4 {(x + ½)2 + 12 }. El factor (4) sale como ¼ fuera de la integral 1 ∫

dx

.


83


4 {(x + 1 )2 + 12}. 2 v = x + 1/2 El diferencial esta completo: dv = dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c a =1 v2 + a2 a a 1 . 1 arc tg x + ½ 4 1 1 16.

∫

=

1 arc tg (2x + 1) + c . 4 2

dx . 3x2 - 2x + 4

3x2 - 2x + 4 = 3(x2 - 2/3x + 4/3).

2 3 2 1

. =

2= 1 ; 1 2 6 3 3

1 9

=

.

3[x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3)2 - 1/9 + 12/9] = 3[(x - 1/3)2 + 11/9] = {3(x - 1/3)2 + (√11/√9)2 = {3(x - 1/3)2 + (√11/3)2} El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral . ∫

dx {3(x - 1/3) + (√11/3)2}

v = x - 1/3 dv = dx a = √11/3

2

=

1 ∫ dx 2 3 (x - 1/3) + (√11/3)2

.

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

1 . 1 . arc tg 3 √11

x-1 3 √11

=

1 arc tg √11

3x - 1 3 √11

.

= .

.


84


3

3

3

.

1 . arc tg 3x - 1 + c . √11 √11 .

17.

∫ dx . 2 √2 - 3x - 4x 2 - 3x - 4x2 = {- 4x2 - 3x + 2} = {- 4(x2 + ¾ x - 2/4)} ,

¾ = ⅜ ; (⅜)2 = 9/64 2 {- 4(x2 + ¾ x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x + ⅜)2 - 9/64 - 32/64]}

- 4[(x + ⅜)2 - 41/64]} = {- 4[(x + ⅜)2 - (√41/√64)2]} {- 4[(x + ⅜)2 - (√41/8)2]} = {4[(√41/8)2 - (x + ⅜)2]} = Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como ½

∫ dx dx = ∫ √{4[(√41/8)2 - (x + ⅜)2]} √4 . √[(√41/8)2 - (x + ⅜)2] ∫ dx dx = 1 ∫ = 2 2 2 2 2a√[(√41/8) - (x + ⅜) ]} 2 √[(√41/8) - (x + ⅜) ]

=

v = x + ⅜ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c . 2 a = √41/8 √a - v2 a

.

1 arc sen x + ⅜ 2 √41/8

=

1 arc sen 2

8x + 3 8 √41 8

.

+c.


.

85


1 arc sen 8x + 3 + c . 2 √41 18.

∫

dx . x + 2x + 10 2

x2 + 2x + 10 , 2/2 = 1 ; 12 = 1 x2 + 2x + 1 - 1 + 10 = (x + 1)2 - 1 + 10 = (x + 1)2 + 9 = (x + 1)2 + 32 . Sustituyendo este valor en la integral. ∫

dx . (x + 1)2 + 32

v= x+1 dv = dx a =3

19.

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

∫

dx (x + 1)2 + 32

∫

dx . x2 + 2x - 3

x2 + 2x - 3 .

=

1 arc tg x + 1 + c . 3 3

2/2 = 1; 12 = 1

x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4 = (x + 1)2 - 22 ∫ dx . (x + 1)2 - 22 v =x + 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a =2 v2 - a2 2a v+a


86


1 ln x + 1 - 2 2.2 x+1+2 20.

∫

=

1 ln x - 1 + c . 4 x+3

dy . 3 - 2y - y2

3 - 2y - y2 = - y2 - 2y + 3 = - (y2 + 2y - 3 ) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 {- (y2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y + 1)2 - 1 - 3]} ={-[(y + 1)2 - 4]} {- [(y + 1)2 - 22 ]} = {22 - (y + 1 )2}. Sustituyendo en la integral. ∫

dy . {22 - (y + 1 )2} v =y + 1 dv = dy a =2 1 ln 2(2)

21.

2+y+1 2 - (y + 1)

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 ln a + v + c . a2 - v2 2a a-v

=

1 ln 3 + y 4 2-y-1

=

1 ln 3 + y + c . 4 1-y

∫ 3 du . √5 - 4u - u2 5 - 4u - u2 = - u2 - 4u + 5 = - (u2 + 4u - 5) . 4/2 = 2 ; 22 = 4 {- (u2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u + 2 )2 - 4 - 5} = {- (u + 2 )2 - 9}


87


{- (u + 2 )2 - 32} = {32 - (u + 2 )2} .Se reemplaza en la integral. ∫

3 du √32 - (u + 2 )2

v =u + 2 dv = du a =3

.

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a

∫ 3 du √32 - (u + 2 )2 22.

=

3∫ du √32 - (u + 2 )2

=

3 arc sen u + 2 + c . 3

∫ 5 dx . 2 √x + 2x + 5 x2 + 2x + 5 . 2/2 = 1 ; 12 = 1 x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = (x + 1)2 - 1 + 5 = (x + 1)2 + 4 . (x + 1)2 + 22 . Sustituyendo este resultado en la integral. ∫

5 dx . √(x + 1)2 + 22 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v2 + a2) + c . a =2 √v2 + a2 ln {x + 1 + √(x + 1)2 + 22 } = ln {x + 1 + √(x2 + 2x + 5)} + c . 23.

∫

dx . √x + 4x + 3 2

x2 + 4x + 3 .

4/2 = 2 ; 22 = 4


88


x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 1 . (x + 2)2 - 12. Este resultado se reemplaza en la integral. aplica:

∫

dx

. v = x + 2 El diferencial esta completo, se

√(x + 2)2 - 12

dv = dx a =1

∫

dv √v - a2

=

ln [v + √v2 - a2 ] + c .

2

ln { x + 2 + √[(x + 2)2 - 12] } + c . 24.

∫

dx √x + 2x

.

2

x2 + 2x .

2/2 = 1 ; 12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)2 - 1 = (x + 1)2 - 12.Sustituyendo este valor en la integral

∫

dx . 2 2 √(x + 1) - 1

v= x+1 dv = dx a =1

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = ln [v + √(v2 - a2) ] + c . √v2 - a2

ln {x + 1 + √[(x + 1)2 - 12] } + c . 25.

∫ dt . √3t - 2t2 3t - 2t2 = - 2t2 + 3t = -2(t2 - 3/2.t) . 3/2 = ¾ 2

; (¾)2 = 9/16


89


{-2(t2 - 3/2.t + 9/16 - 9/16)} = {-2[(t - ¾)2 - 9/16)]} = 2[9/16 - (t - ¾)2]} = {2[(3/4)2 - (t - ¾)2]} . ∫ dt dt = ∫ = √{2[(¾)2 - (t - ¾)2]} √(2).√[( ¾)2 - (t - ¾)2] 1 ∫ dt . 2 2 √2 √[(¾) - (t - ¾) ] v = t - ¾ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c . a =¾ √a2 - v2 a

26.

(4t - 3) 1 arc sen t - ¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c . √2 ¾ √2 3 √2 3 4 ∫ dx . 2 x - 4x + 5 x2 - 4x + 5 .

4/2 = 2 ; 22 = 4

x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x - 2)2 - 4 + 5 = (x - 2)2 + 12 .Sustituyendo este valor en la integral. ∫

v= x-2 dv = dx a =1

dx . (x - 2)2 + 1 El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a

1 arc tg x - 2 1 1

=

arc tg (x - 2) + c .


90


27.

∫

dx . 2 + 2x - x2

2 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 2 = - (x2 - 2x - 2) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 {-(x2 - 2x - 2)} = {-(x2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1)2 - 1 - 2]} = {-[(x - 1)2 - 3]} = {-[(x - 1)2 - (√3)2]} = (√3)2 - (x - 1)2 . ∫

dx . 2 (√3) - (x - 1) 2

v =x - 1 dv = dx a = √3


1 ln √3 + x - 1 2√3 √3 - (x - 1) 28.

∫

=

1 ln √3 + x - 1 + c . 2√3 √3 - x + 1

dr . r2 - 2r - 3

r2 - 2r - 3 .

2 = 1 ; 12 = 1 2

r2 - 2r - 3 = r2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 4 = (r - 1)2 - 22

Sustituyendo este valor en la integral. ∫ dr . (r - 1)2 - 22 v =r - 1 dv = dr a =2

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a

1 . ln r - 1 - 2 2.2 r-1+2

=

1 ln r - 3 + c . 4 r+1


91


29.

∫ 4 dx . 2 √x - 4x + 13 x2 - 4x + 13 .

4/2 = 2 ; 22 = 4

x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = (x + 2 )2 - 4 + 13 = (x + 2 )2 + 9 = (x + 2 )2 + 32. Reemplazando en la integral. ∫

4 dx . 2 2 √(x + 2 ) + 3 v =x + 2 El diferencial esta completo, se aplica: 2 2 dv = dx ∫ dv = ln [ v + √v + a ] + c . 2 2 a =3 √v + a ln {x + 2 + √[(x + 2 )2 + 32]} + c . 30.

∫

dz . 2 √3 + 2z - z

3 + 2z - z2 = - z2 + 2z + 3 = - (z2 - 2z - 3) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 {-(z2 - 2z - 3)} = {-(z2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1)2 - 1 - 3]} =

{-[(z - 1)2 - 4]} = {-[(z - 1)2 - 22]} = 22 - (z - 1)2 ∫ dz . 2 2 √2 - (z - 1) v =z - 1 dv = dz a =2

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . 2 √a - v2 a

arc sen z - 1 + c .


92


31.

2 ∫ dv 2 √v - 8v + 15

.

v2 - 8v + 15 .

8/2 = 4 ; 42 = 16

v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 1 = (v - 4)2 - 12 . Reemplazando este valor en la integral. ∫

dv . 2 2 √(v - 4) - 1 v =v - 4 dv = dv a =1

Esta completo el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c . √v2 - a2

ln {v - 4 + √[(v - 4)2 - 12]} + c . 32.

∫

x dx . x4 - x2 - 1

x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 .

(1/2)2 = 1 4 (x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + ¼ - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - 5/4 = (x2 - ½)2 - (√5/√4)2 = (x2 - ½)2 - (√5/2)2 = 1/2 ;

.

(x2 - ½)2 - (√5/2)2 .reemplazando este valor en la integral. ∫ x dx . (x2 - ½)2 - (√5/2)2 v = x2 - ½ dv = 2x dx

Falta (2) para completar Se aplica:


93


∫

a = √5 2

dv v2 - a2

=

1 ln v - a + c . 2a v+a

1 ∫ (2) x dx . 2 2 2 2 (x - ½) - (√5/2) x2 - 1 - √5 1 . 1 . ln 2 2 2 2 2 . √5 x - 1 + √5 2 2 2 1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 2√5.√5 2x2 - 1 + √5 33.

∫

=

=

2x2 - 1 - √5 2 2 2x - 1 + √5 2

1 . ln 2√5

.

= .

.

√5 . ln 2x2 - 1 - √5 + c . 10 2x2 - 1 + √5

dt . √1 - t - 2t2

1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2(t2 + ½ t - ½) . ½ 2

=

¼ ; ( ¼ )2= 1/16

{-2(t2 + ½ t - ½)} ={-2(t2 + ½ t + 1/16 - 1/16 - ½)} = {-2[(t + ¼)2 - 1/16 - ½]}={-2[(t + ¼)2 -1/16 - 8/16]}= {-2[(t + ¼)2 - 9/16]} = {-2[(t + ¼)2 - (√9/√16)2]} {2(-1)[(t + ¼)2 - ( ¾)2]} = {2[( ¾)2 - (t + ¼)2]} .

. ¼)2]

∫

dt

=

∫

dt

=

1 ∫

dt

√{2[ (¾)2 - (t + ¼)2]} √2 √[( ¾)2 - (t + ¼)2] √2 √[( ¾)2 - (t +


94


v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c . a= ¾ √a2 - v2 a 4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4 √2 ¾ √2.√2 3 2 4

34.

∫

=

√2 arc sen 4t + 1 + c . 3 .

dx . 3x2 + 4x + 1

3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9 2 3(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3)2 - 1/9} = 3{(x + 2/3)2 - (√1/√9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} .

∫ dx 2 3x + 4x + 1

=

∫ dx dx = 1 ∫ 2 2 2 3{(x + 2/3) - (1/3) } 3 (x + 2/3) - (1/3)2

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a 3x + 1 1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3 3 3 3 1/2 1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 + c . 2 3x + 3 3x + 3

=

v = x + 2/3 dv = dx a = 1/3


95

.

= .

.


35.

∫

dw . 2w2 + 2w + 1

2w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ½) .

1/2 ; (1/2)2 = 1 . 4 {2(w2 + w + ¼ - ¼ + ½)} = {2(w + ½)2 - ¼ + ½ } = {2(w + ½)2 - ¼ + 2/4} = = {2[(w + ½)2 + ¼]} = {2(w + ½)2 + [√(¼)2 ]} = {2[(w + ½)2 + ( ½ )2]} .Reemplazando en la integral. ∫ dw dw . = 1 ∫ 2 2 2 {2[(w + ½) + ( ½ ) ]} 2 (w + ½) + ( ½ )2 v = w + ½ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dw ∫ dv = 1 arc tg v + c . 2 a =½ v + a2 a a 1 . 1 arc tg w + ½ 2 ½ ½ 2

=

1 arc tg 1 2

2w + 1 2 =

.

.

2

.

arc tg (2w + 1) + c . 36.

∫

x2 dx . 6 3 9x - 3x - 1

9x6 - 3x3 - 1. Suponiendo que: x3= m ⇒ 9m2 - 3m - 1 = x6 = m2 9(m2 - 3/9m - 1/9) = 9(m2 - 1/3m - 1/9) .


96


1/3 ; 1 2 6

2

=

1 . 36

{9(m2 - 1/3m + 1/36 - 1/36 - 1/9)} = {9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 1/9]} {9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 4/36]} = {9[(m - 1/6)2 - 5/36]} = {9[(m - 1/6)2 - (√5/√36)2]} = {9[(m - 1/6)2 - (√5/6)2]} . Pero: m = x3 , sustituyendo : {9[(m - 1/6)2 - (√5/6)2]} = {9[(x3 - 1/6)2 - (√5/6)2]} . ∫

x2 dx {9[(x - 1/6)2 - (√5/6)2]}

=

3

v = x3 - 1/6 dv = 3x2 dx a = √5/6

1 ∫ x2 dx 3 2 9 [(x - 1/6) - (√5/6)2]}

=

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a

1.1 ∫ (3)x2 dx 9 3 (x3 - 1/6)2 - (√5/6)2

=

1 . 1 ln x3 - 1/6 - √5/6 27 2. √5 x3 - 1/6 + √5/6 6 1 ln 6x3 - 1 - √5 9 √5 6x3 - 1 + √5 √5 ln 6x3 - 1 - √5 9.5 6x3 - 1 + √5

=

=

=

6x3 - 1 - √5 1 ln 6 3 54 . √5 6x - 1 + √5 6 6

1 . √5 ln 6x3 - 1 - √5 9√5.√5 6x3 - 1 + √5

√5 ln 45

=

6x3 - 1 - √5 + c . 6x3 - 1 + √5


97

.

.

.


Verificación del Ejercicio # 36, mediante la Diferenciación: d dx

√5 . ln 6x3 - 1 - √5 45 6x3 - 1 + √5

√5 45

1 . d 6x3 - 1 - √5 6x3 - 1 - √5 dx 6x3 - 1 + √5 6x3 - 1 + √5

√5 . 6x3 - 1 + √5 45 6x3 - 1 - √5

=

√5 . d ln 6x3 - 1 - √5 45 dx 6x3 - 1 + √5

.

.

(6x3 - 1 + √5)(18x2) - (6x3 - 1 - √5)(18x2) (6x3 - 1 + √5)2

√5 . (6x3 - 1 + √5) . (108x5 - 18x2 + 18.√5.x2 - (108x5 - 18x2 - 18.√5 .x2) 45 6x3 - 1 - √5 (6x3 - 1 + √5 )2 √5 . (6x3 - 1 + √5) 45 6x3 - 1 - √5

(108x5 - 18x2 + 18.√5.x2 - 108x5 + 18x2 + 18.√5.x2)

(6x3 - 1 + √5 ) (6x3 - 1 + √5)

√5 . 36.√5. x2 3 45 (6x - 1 - √5) (6x3 - 1 + √5 )

=

36 . 5 . x2 . 45(6x - 1 - √5 )(6x3 - 1 + √5 )

180 x2 45 {(6x - 1) - (√5 )} {(6x3 - 1) + (√5)} 3

4x2 36x - 12x3 + 1 - 5

=

6

4 x2 = 36x - 12x3 - 4 6

3

=

4 x2 . (6x - 1)2 - (√5)2 3

4 x2 . 4(9x - 3x3 - 1) 6

x2 . (9x - 3x3 - 1) Como es una diferenciación, para comprobar si la integral esta bien desarrollada, por comodidad no fuimos colocando el dx, en el sitio correcto que le compete, lo hacemos en la parte final; podemos asumir, como el dx esta dividiendo, pasa ahora a multiplicar. 6

d x2 6 dx 9x - 3x3 - 1

=

d

x2 9x - 3x3 - 1

dx .

6


98

Solucionario de Calculo Integral L.q.d.d. (Lo que se queria demostrar).

37.

∫

dt . 15 + 4t - t2

15 + 4t - t2 = - t2 + 4t + 15 = -(t2 - 4t - 15) . 4/2 = 2 ; 22 = 4 -(t2 - 4t + 4 - 4 - 15) = -[(t - 2)2 - 4 - 15] = -[(t - 2)2 - 19] = [19 - (t - 2)2] = (√19)2 - (t - 2)2 .Sustituyendo este valor en la integral. ∫

dt . (√19)2 - (t - 2)2

v =t - 2 dv = dt a = √19


1 ln √19 + t - 2 2.√19 √19 - (t - 2) √19 2.19 38. ∫

ln √19 + t - 2 √19 - t + 2

=

=

1 . √19 ln √19 + t - 2 2.√19.√19 √19 - t + 2

=

√19 ln √19 + t - 2 + c . 38 √19 - t + 2

dx . √9x + 12x + 8 2

9x2 + 12x + 8 = 9(x2 + 12/9x + 8/9) . 12/9 = 12/18 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9 2 9(x2 + 12/9x + 4/9 - 4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3)2 - 4/9 + 8/9] = 9[(x + 2/3)2 + 4/9] = 9[(x + 2/3)2 + (√4/√9)2] = 9[(x + 2/3)2 + (2/3)2 ]


99


Reemplazando este valor en la integral. ∫

dx √9(x + 2/3)2 + (2/3)2

=

∫ dx √9.√(x + 2/3)2 + (2/3)2

=

1 ∫ dx . 2 2 3 √(x + 2/3) + (2/3) v = x + 2/3 dv = dx a = 2/3

El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 + a2) + c . 2 √v + a2

1 ln { x + 2/3 + √[(x + 2/3)2 + (2/3)2]} + c . 3 39.

∫ dx . √4x2 - 12x + 7 4x2 - 12x + 7 = 4(x2 - 3x + 7/4) . 3/2 ; ( 3/2)2 = 9/4 . {4(x2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 7/4)} = {4[(x - 3/2)2 - 9/4 + 7/4]} = {4[(x - 3/2)2 - 2/4]} = {4[(x - 3/2)2 - (√2/√4)]}2 = {4[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]}. Reemplazando en la integral. ∫ dx √{4[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]} 1 ∫ dx = 2 √(x - 3/2)2 - (√2/2)2

=

∫ dx √4. √[(x - 3/2)2 - (√2/2)2]

=

v = x - 3/2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v2 - a2 ) + c . 2 a = √2/2 √v - a2


100


1 ln { x - 3/2 + √(x - 3/2)2 - (√2/2)2 } + c . 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Problemas. Paginas 253 y 254 Verificar las siguientes Integraciones:


101


1.

∫ (1 + 2x) dx 1 + x2

=

arc tg x + ln (1 + x2) + c .

Primero tomamos como referencia un artificio aritmético cualquiera:

7 + 14 3 + 4

=

7 + 14 3+4 3+4

; 1 + 2x 1 + x2

Aplicando este artificio en la integral: ∫ 1 + 2x dx = ∫ dx + ∫ 2x dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2 v =x dv = dx a =1

=

1 + 2x . 1 + x2 1 + x2

=

La 1ra integral, esta completa. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . a2 + v2 a a

v = 1 + x2 dv = 2x dx

La 2da integral, tambien esta completa. Se aplica: ∫ dv = ln v + c. v

1 arc tg x + ln (1 + x2) = arc tg x + ln (1 + x2) + c . 1 1 2.

∫ ( 2x + 1) dx . √x2 - 1 ∫

2x √x2 - 1

+ ∫ dx √x2 - 1

∫ 2x dx + ∫ dx 2 1/2 2 (x - 1) √x - 12 v = (x2 - 1) dv = 2x dx n = -1/2

.

=

∫ (x2 - 1)-1/2. 2x dx + ∫ dx 2 2 √x - 1

=

1ra integral.Esta completo el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1


102


v =x dv = dx a =1

2da integral. Se aplica: ∫ dx = ln (v + √v2 - a2 ) + c 2 √v - a2

(x2 - 1)-1/2+1 + ln{x + √x2 - 12}= (x2 - 1)1/2 + ln { x + √x2 - 12 }= - 1/2 + 1 1/2 2(x2 - 1)1/2 + ln {x + √x2 - 12} = 2 √x2 - 12 + ln{x + √x2 - 12} + c .

3.

∫ (x - 1) dx . √1 - x2 ∫ x dx - ∫ dx √1 - x2 √1 - x2

=

∫ (1 - x2)-1/2. x dx - ∫ dx . √1 - x2

v = 1 - x2 1ra integral. Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2x Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 n+1 v =x dv = dx a =1

2da integral. Esta completo el diferencial. Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . + c . √a2 - v2 a

(- 1 ) ∫ (1 - x2)-1/2.(-2) x dx - ∫ dx . 2 2 √1 - x2 - 1 . (1 - x2)-1/2+1 - arc sen x = - (1 - x2)1/2 - arc sen x = 2 -1/2+1 1 2(1/2) -(1 - x2)1/2 - arc sen x = - √(1 - x2)1/2 - arc sen x + c . 4.

∫ (3x - 1) dx . (x2 + 9)


103


∫ 3x dx - ∫ dx (x2 + 9) (x2 + 9) v = x2 + 9 dv= 2x dx

=

∫ 3x dx - ∫ dx (x2 + 32) (x2 + 32)

1ra integral.

v =x dv = dx

.

2da integral.

1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al # 3 fuera de la integral. 2da integral. Esta completo el diferencial, se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a 3 . 1 .∫ (2)x dx - ∫ dx 2 (x2 + 32) (x2 + 32) 5.

3 ln(x2 + 32) - 1 arc tg x + c . 2 3 3 =

∫ (3s - 2) ds . √9 - s2 ∫ 3s - 2∫ ds 2 √9 - s √9 - s2

∫ 3s 2 1/2 (9 - s )

=

3∫ (9 - s2)-1/2.sds - 2 ∫ ds √32 - s2

==

=

.

v = 9 - s2 1ra integral,falta (-2). dv = - 2s ds Se aplica: n = -1/2 ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

∫ dv a2 - v2

- 2 ∫ ds √32 - s2

v =s 2da integral esta completo dv = ds el diferencial.

3(-1/2) ∫ (9 - s2)-1/2.(-2) sds - 2 ∫ ds . 2 √3 - s2

-3 .(9 - s2)-1/2+1 - 2 arc sen s

=

- 3 . (9 - s2)1/2 - 2arc sen s


=

104


2 =

=

6.

-1/2+1

3

2

1/2

3

- 3. 2 .(9 - s2)1/2 - 2arc sen s = - 3(9 - s2)1/2 - 2arc sen s = 2 3 3 - 3 √(9 - s2) - 2arc sen s + c . 3

∫ (x + 3) dx . √x2 + 4 ∫ x dx + 3 ∫ dx √x2 + 4 √x2 + 4

∫ x dx (x2 + 4)1/2

∫ (x2 + 4)-1/2 . x dx + 3 ∫ dx √x2 + 22 v = x2 + 4 dv = 2x dx n = -1/2

+3∫ dx 2 √x + 22

=

=

=

1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vndv = vn+1 + c. n+1

v =x 2da integral. Completo el diferencial. Se aplica: 2 2 dv = dx ∫ dv = ln[v + √v + a ] + c . a =2 √v2 + a2 (1/2) ∫ (x2 + 4)-1/2 .(2) x dx + 3 ∫ dx 2 √x + 22

=

1 . (x2 + 4)-1/2+1 + 3 .ln {x + √x2 + 22 } = 2 - 1/2+1 2 1 . (x + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} = 2 1/2 (x2 + 4)1/2 + 3ln{x +√x2 + 4} = (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} + c .


105


7.

∫ (2x - 5) dx . 3x2 - 2 ∫ 2x dx - ∫ 5dx 3x2 - 2 3x2 - 2 ∫

∫ 2x dx - 5 ∫ dx 3x2 - 2 3 x2 - 2 3

2x dx - 5 . 1 . ∫ dx 3x2 - 2 3 (x)2 - √2 2 √3

v = 3x2 - 2 dv = 6x dx

1 3

=

2da integral. Esta completo el diferencial. Se aplica: ∫ dv = 1 ln { v - a } + c . v2 - a2 2a v+a

( 1 ) ∫ 2(3) x dx - 5 ∫ dx 2 2 3 3x - 2 3 (x) - √2 2 √3

1 3

= .

1ra integral. Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .

v =x dv = dx a = √2 √3

=

=

=

x - √2 . ln (3x - 2) - 5 . 1 . ln √3 3 2. √2 x + √2 √3 √3 x - √2 . √3 . . ln (3x2 - 2) - 5√3 . ln √3 . √3 6. √2 x + √2 . √3 √3 . √3

.

2

= . .

=


106


x - √6 3 x + √6 3

1 . ln (3x - 2) - 5 .√3 .√2 . ln 3 6 . √2 .√2 2

=

3x - √6 1 . ln (3x2 - 2) - 5 .√6 . ln 3 = 3 6.2 3x + √6 3 2 1 . ln (3x - 2) - 5 √6 . ln 3x - √6 + c . 3 12 3x + √6 8.

. .

∫ (5t - 1) dt . √3t2 - 9 ∫

5 t dt

- ∫

dt

=

5∫

t dt

=

√3t2 - 9

√[(√3.t)2 - 32]

5 ∫ (3t2 - 9)-1/2 . t dt - ∫

(3t2 - 9)1/2 dt

√[(√3.t)2 - 32]

- ∫

dt

√[(√3.t)2 - 32]

=

v = 3t2 - 9 Falta (6) para completar el diferencial.(1ra integral). dv = 6t dt Se aplica: ∫ v n dv = vn+1 + c . n = -1/2 n+1 v = √3. t Falta (√3) para completar el diferencial.(2da integral). dv = √3 Se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c . a =3 √v2 - a2 5 . 1 . ∫ (3t2 - 9)-1/2 .(6) t dt - 1 ∫ √3 dt = 2 2 6 √3 √[(√3.t) - 3 ] =

5 . (3t2 - 9)-1/2+1 . - 1 . ln {√3.t + [(√3.t)2 - 32]} = 6 -1/2 + 1 √3


107


Pero :[√(√3.t)2 - 32] ⇒ 9.

=

=

√3t2 - 9 , además ordenando √3.t = t √3

5 (3t2 - 9)1/2 - 1 . ln { t √3 + √3t2 - 9 } . 6 1/2 √3

∫ (x + 3) dx . 6x - x2 Haciendo artificios con el númerador de la integral: x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}. Reemplazando en la integral. ∫ {-(3 - x) + 6} dx = - ∫ (3 - x) dx + 6 ∫ dx 6x - x2 6x - x2 6x - x2

=

Multiplicamos y dividimos para (2) al númerador de la 1ra integral .

- 1 ∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫ dx 2 6x - x2 6x - x2

=

Descomponemos el denominador de la 2da integral: 6x - x2 = - (x2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 32= 9 - (x2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3)2 - 9 = -{(x - 3)2 - 32}. Este valor se sustituye en la 2da integral. - 1 2 - 1 2

∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫ dx 6x - x2 -{(x - 3)2 - 32} ∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫ dx 6x - x2 (-){(x - 3)2 - 32}

=

=

Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto: - 1 ∫ 2(3 - x) dx + 6 ∫ dx =


108


2 6x - x2 (-) {(x - 3)2 - 32} - 1 ∫ 2(3 - x) dx - 6 ∫ dx 2 2 2 6x - x {(x - 3) - 32}

=

v = 6x - x2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero diferencial . Se aplica:∫ dv/v = ln v + c . v = x - 3 2da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a =3 v2 - a2 2a v+a - 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c . 2 2 .3 x-3+3 - 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 6 + c . 2 6 x - 1 ln{6x - x2} - ln x - 6 + c . 2 x 10.

∫ (2x + 5) dx . x2 + 2x + 5 Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5; dv= 2x + 2.(verdadero diferencial)

Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en : (2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx . ∫ {(2x + 2) + 3}dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx 2 2 2 x + 2x + 5 x + 2x + 5 x + 2x + 5

=

Descomponiendo: x2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 12 = 1}


109


⇒ x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 . Reemplazando este resultado en la 2da integral . ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5

=

v = x2 + 2x + 5 La 1ra integral, tiene el diferencial completo: dv = (2x + 2) dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v La 2da integral, tambien tiene el diferencial completo: Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a .

∫ (2x + 2) dx + ∫ x2 + 2x + 5

3 dx

=

x2 + 2x + 5

∫ (2x + 2) dx + ∫

x2 + 2x + 5

ln (x2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1) 2 2

3 dx

(x + 1)2 + 22

=

ln (x2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c . 2 2 11.

∫ (1 - x) dx . 4x2 - 4x - 3 ∫ - (-1 + x) dx 4x2 - 4x - 3

=

- 1 ∫ 8x - 8 dx 8 4x2 - 4x - 3

- ∫ (x - 1) dx 4x2 - 4x - 3 =

=

- 1 ∫ 8(x - 1) dx. 8 4x2 - 4x - 3

- 1 ∫ (8x - 4 - 4)dx = - 1 ∫ (8x - 4) - 4 dx 8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3

- 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫

4 dx

=


110


8

4x2 - 4x - 3

4 (x2 - x - 3/4)

- 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx 8 4x2 - 4x - 3 (x2 - x - 3/4)

.

Descomponiendo: x2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto. (x2 - x - 3/4 ) . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 (x2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x2 - x + 1/4 - 4/4) = (x - 1/2) - 1 = (x - 1/2)2 - 12 . Se reemplaza en la 2da integral. - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx . 2 2 2 8 4x - 4x - 3 (x - 1/2) - 1 La 1ra integral ,esta completa. v = 4x2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ; Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v La 2da integral , tambien esta completa v = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v + a Integrando: x- 1 - 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln 2 8 2.1 x- 1 + 2 2x - 1 - 2 - 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln 2 8 2 2x - 1 + 2

2 2 2 2

. = .

.

= .


111


2 .

- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 1 - 2 8 8.2 2x - 1 + 2

=

- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 3 + c . 8 16 2x + 1 12.

∫ (3x - 2) dx . 1 - 6x - 9x2 ∫

(3x - 2) dx -(9x2 + 6x - 1)

=

- ∫ (3x - 2) dx 9x2 + 6x - 1

=

Suponiendo que: v = 9x2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ;(verdadero diferencial); a :(3x - 2) lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dx y al mismo tiempo se le opone 1/6 a la integral. Descomponiendo : 9x2 + 6x - 1 = 9(x2 + 6/9x - 1/9) = 9(x2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae la mitad al coeficiente del 2do término y al al resultado se lo eleva al cuadrado. Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) . 2/3 2

=

2 6

=

1 ; { 1 }2 = 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)] 3 3 9

9[(x + 1/3)2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3)2 - 2/9 ] = 9[(x + 1/3)2 - (√2/√9)2] = 9[(x + 1/3)2 - (√2/3)2].


112


Reemplazando este valor en la 2da integral, sumando y restando "6" al númerador, para obtener los diferenciales. - 1 ∫ 6(3x - 2) dx = - 1 ∫ 18x - 12 dx = - 1 ∫ 18x + 6 - 6 - 12 dx 6 9x2 + 6x - 1 6 9x2 + 6x - 1 6 9x2 + 6x - 1 - 1 ∫ (18x + 6) - 18 dx = - 1 ∫ 18x + 6 dx - ∫ 18 dx 6 9x2 + 6x - 1 6 9x2 + 6x - 1 9x2 + 6x - 1 - 1 ∫ (18x + 6)dx + 18 ∫ dx 2 2 6 9x + 6x - 1 6 9[(x + 1/3) - (√2/3)2]

.

.

La 1ra integral , esta completa .v = 9x2 + 6x - 1 ; dv = 18x + 6 ; Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v La 2da integral , tambien esta completa, v = x + 1/3 ; dv = dx ; a = √2/3 . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a -1 ∫ 18x dx + 3 ∫ dx 2 2 6 9x + 6x - 1 9 [(x + 1/3) - (√2/3)2] - 1 ln {9x2 + 6x - 1} + 1 . 1 . ln 6 3 2. √2 3

=

x + 1 - √2 3 3 = x + 1 + √2 3 3

3x + 1 - √2 - 1 ln {9x + 6x - 1} + . 3 . ln 3 6 6. √2 3x + 1 + √2 3 2

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} +

1 ln 3x + 1 - √2

.

.

= . .

=


113


6

3x + 1 - √2

2√2

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2 6 2√2.√2 3x + 1 - √2 - 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2 6 2.2 3x + 1 - √2

=

=

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + √2 ln 3x + 1 - √2 + c . 6 4 3x + 1 - √2 13.

∫ (x + 3) dx . √x2 + 2x Suponiendo que: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 .(verdadero diferencial). ⇒ (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx. 1 . ∫ 2(x + 3) dx = 1 . ∫ 2x + 6 dx = 1 . ∫ 2x + 2 + 4 dx 2 √x2 + 2x 2 √x2 + 2x 2 √x2 + 2x =

1 . ∫ (2x + 2) + 4 dx 2 √x2 + 2x

=

1 2

∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx 2 2 √x + 2x √x + 2x

1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx 2 (x2 + 2x)1/2 √(x2 + 2x

=

=

=

Descomponiendo la cantidad sub-radical: x2 + 2x x2 + 2x . 2/2 = 1 ; 12= 1 . (x + 2x + 1 - 1) = (x + 1)2 - 12. Se sustituye en la 2da integral . 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx = 2 (x2 + 2x)1/2 √(x + 1)2 - 12 1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . ∫

dx


.

114


√(x + 1)2 - 12

2

2

1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx 2

+ 1 .4.∫ dx . 2 √(x + 1)2 - 12

1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx + 2 ∫ dx . 2 2 2 √(x + 1) - 1 La 1ra integral , esta completa: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 ; Se aplica : ∫ dv/v = ln v + c . La 2da integral , tambien esta completa:v = x + 1 ;dv = dx ; a = a . Se aplica : ∫ dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c . √v2 - a2 1 . (x2 + 2x)-1/2+1 + 2 ln {(x + 1) + √(x + 1)2 - 12 } = 2 - 1/2 + 1 1 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1) - 1] } = 2 1/2 2 . 1 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1 - 1 ]} = 2 . (x2 + 2x)1/2 + 2ln {(x + 1) + √(x2 + 2x)} = √(x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + √(x2 + 2x)} + c . 14.

∫ (x + 2) dx . √4x - x2 v = 4x - x2 ; dv = - 2x + 4 .(verdadero diferencial) Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = - 2x - 4. -2(x + 2) = - 2x - 4 . ⇒ se suma y resta "4" al "dv" propuesto.


115


{- 2x - 4} ; - 2x - 4 + 4 - 4 = - 2x + 4 - 8 = (- 2x + 4) - 8 . (-1 ) ∫ (-2)(x + 2) dx = (-1 ) ∫ (-2x - 4 + 4 - 4)dx 2 √4x - x2 2 √4x - x2

=

(-1 ) ∫ {(-2x + 4) - 8} dx. Descomponiendo: 4x - x2 = - (x2 - 4x). 2 √4x - x2 - (x2 - 4x) . 4/2 = 2 ; 22 = 4 . {- (x2 - 4x + 4 - 4)}= {- (x - 2)2 - 4)}= {- (x - 2)2 - 22)} = 22 - (x - 2)2 (-1 )∫ {(-2x + 4) - 8}.dx = (-1 ) ∫ (-2x + 4) .dx - 8 ∫

dx

=

2

√4x - x2

2

√4x - x2

√22 - (x - 2)2

(-1 ) ∫ (4x - x2)-1/2 . (-2x + 4) .dx + 1 . 8 ∫ dx 2 2 √22 - (x - 2)2

=

La 1ra integral, esta completa. v = 4x - x2 ; dv = -2x + 4 ; Se aplica : ∫ vn . dv = vn+1 + c . n+1 La 2da integral, tambien esta completa. v = x - 2 ; dv = dx ; a = 2. Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c . √v2 - a2 a

- 1 . (4x - x2)-1/2+1 + 8 . arc sen x - 2 2 (-1/2+1) 2 2 - 1 . (4x - x2)1/2 + 4 arc sen x - 2 + c . 2 (1/2) 2

=

.

2/2.(4x - x2)1/2 + 4arc sen (x - 2) = √(4x - x2) + 4arc sen (x - 2) + c


116


15.

∫ x dx . √ 27 + 6x - x2 Multiplico por (- 2) , luego sumo y resto 6 al númerador. -1 ∫ (-2) x dx 2 √27 + 6x - x2

.

=

- 1 ∫ (-2 x + 6 - 6) dx 2 √ 27 + 6x - x2

=

- 1 ∫ (-2 x + 6) - 6) dx = - 1 ∫ (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 2

√ 27 + 6x - x2

2

√ 27 + 6x - x2

6dx

2 √27 + 6x - x2

Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2da integral : √ 27 + 6x - x2. 27 + 6x - x2 = - (x2 - 6x - 27) . 6/2 = 3 ; 32 = 9 . (x2 - 6x - 27) = - (x2 - 6x + 9 - 9 - 27) = - [(x - 3)2 - 36] = -

[(x - 3)2 - 62] = 62 - (x - 3)2.

Se sustituye este valor en el denominador de la 2da integral. - 1 ∫ (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 6 dx 2 2 2 √6 - (x - 3)2

.

- 1 ∫ (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx + 6 ∫ dx 2 2 2 √6 - (x - 3)2

.

v = 27 + 6x - x2

1ra integral. Esta completo el diferencial. dv = - 2x + 6 . dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 . n+1 v =x - 3 dv = dx

2da integral: Esta completo el difererencial. Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c. √a2 - v2 a


117


-1 (27 + 6x - x2)-1/2+1 + 3 arc sen (x - 3) + c . 2 - 1/2 + 1 6 -1 .(27 + 6x - x2)1/2 + 3arc sen (x - 3) + c . 2 (1/2) 6 - (27 + 6x - x2)1/2 + 3 arc sen (x - 3) + c . 6 - √(27 + 6x - x2) + 3 arc sen (x - 3) + c . 6 16.

∫ (3x + 2) dx . √19 - 5x + x2 Multiplico y divido para (2); luego sumo y resto (19) . 1 ∫ 2(3x + 2) dx . 2 √19 - 5x + x2 1 ∫ (6x + 4) dx 2 √19 - 5x + x2

=

1 ∫ (6x + 4 + 19 - 19)dx 2 √19 - 5x + x2

1 ∫ {(6x + 4 - 19) + 19}dx 2 √19 - 5x + x2 =

=

1 ∫ {(6x - 15) + 19}dx 2 √19 - 5x + x2

=

=

1 ∫ (6x - 15) dx + 1 .19. ∫ dx . 2 √19 - 5x + x2 2 √19 - 5x + x2

1 ∫ 3(2x - 5) dx + 19 ∫ dx 2 √19 - 5x + x2 2 √19 - 5x + x2 3 ∫ (2x - 5) dx

+ 19 ∫

dx

=

.


118


2 √19 - 5x + x2

2

√19 - 5x + x2

La 1ra integral esta lista para integrarse,el radical sube como exponente negativo ; en la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical :19 - 5x + x2 . 19 - 5x + x2 = x2 - 5x + 19 .

5/2 = 5/2 ; (5/2)2 = 25/4 .

x2 - 5x + 19 = x2 - 5x + 19 + 25/4 - 25/4 = (x2 - 5x + 25/4 + 19 - 25/4) = {(x - 5/2)2 + 76/4 - 25/4} = {(x - 5/2)2 + 51/4}= {(x - 5/2)2 + (√51/2)2} Sustituyendo: {(x - 5/2)2 + (√51/2)2} en la 2da integral . 3 ∫ (2x - 5) dx + 19 ∫ dx . 2 2 2 √19 - 5x + x 2 √19 - 5x + x 3 ∫ (19 - 5x + x2)-1/2.(2x - 5) dx + 19 ∫ dx . 2 2 {(x - 5/2)2 + (√51/2)2} v = (19 - 5x + x2) dv = 2x - 5 n = - 1/2 v = x - 5/2 dv = dx a = √51/2

1ra integral. Esta completo el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

2da integral. Esta completo el diferencial. Se aplica:∫ dv = ln(v + √v2 + a2) + c . √v2 + a2

3 (19 - 5x + x2)-1/2+1 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c . 2 - 1/2 + 1 2 3 (19 - 5x + x2)1/2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c .


119


2

1/2

2

3 . 2 . √19 - 5x + x2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c . 2 2 3 √19 - 5x + x2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x2) + c . 2 17.

∫

(3x - 2) dx . √4x2 - 4x + 5

Multiplico y divido para (8) y luego descompongo (-16) en (- 12) y (- 4)

1 ∫ 8(3x - 2) dx

=

1 ∫ (24x - 16) dx

=

1 ∫ (24x - 12 - 4) dx

=

8 √4x2 - 4x + 5 8 √4x2 - 4x + 5

8

√4x2 - 4x + 5

Agrupando términos: .

1 ∫ {(24x - 12) - 4}dx 8

√4x2 - 4x + 5

=

1 ∫ (24x - 12) dx - 4 ∫

8

√4x2 - 4x + 5

dx

√4x2 - 4x + 5

1 .∫ 3(8x - 4) dx - 1 . 4 . ∫ dx . 2 2 8 √4x - 4x + 5 8 √4x - 4x + 5 3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx . 8 2 √4x2 - 4x + 5 La 1ra integral esta lista para integrarse; la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:4x2 - 4x + 5

4x2 - 4x + 5 = 4(x2 - x + 5/4) . 1/2 = 1/2 ; (1/2)2 = 1/4 .


120


4(x2 - x + 1/4 - 1/4 + 5/4) = 4(x2 - x + 1/4 + 4/4) = 4{(x - 1/2)2 + 1} = 4{(x - 1 )2 + 12} = 4{( 2x - 1 )2 + 12} = 2 22 2 2 2 2 4 { (2x - 1) + 2 } = (2x - 1) + 2 . Sustituyendo en la 2da integral 4 .

Sustituyendo: {(2x - 1)2 + 22} en la 2da integral . 3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx . 8 2 (2x - 1)2 + 22 v = 2x - 1 2da integral .Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: ∫ dv . a =2 v2 - a2 Para la 1ra integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 . 1 . ∫ (2) dx 8 2 2 (2x - 1)2 + 22 3 ∫ (4x2 - 4x + 5)-1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx 8 4 (2x - 1)2 + 2

.

3 . (4x2 - 4x + 5)-1/2+1 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c . 8 -1/2 + 1 4 3 . (4x2 - 4x + 5)1/2 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c . 8 1/2 4 3 . 2 . √4x2 - 4x + 5 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c . 8 4


121

.


3 √(4x2 - 4x + 5) - 1 ln ( 2x - 1 + √4x2 - 4x + 5 ) + c . 4 4

18.

∫

(8x - 3) dx . √12x - 4x2 - 5

Haciendo artificios: ∫ (8x - 12 + 9) dx √12x - 4x2 - 5 ∫

(8x - 12) dx + ∫ 9dx 2 √12x - 4x - 5 √12x - 4x2 - 5

∫

(8x - 12) dx + 9 ∫ dx 2 √12x - 4x - 5 √12x - 4x2 - 5

=

∫ {(8x - 12) + 9} dx √12x - 4x2 - 5

=

=

=

Factorizando en la 1ra integral el signo negativo: ∫ -(- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx 2 √12x - 4x - 5 √12x - 4x2 - 5

=

- ∫ (- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx . √12x - 4x2 - 5 √12x - 4x2 - 5 - ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx . √12x - 4x2 - 5 Aplicamos en la 1ra integral: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 En la 2da integral: Completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:12x - 4x2 - 5.


122


12x - 4x2 - 5 = - 4(x2 - 3x + 5/4) . 3/2 = 3/2 ; (3/2)2 = 9/4 . {-4(x2 - 3x + 5/4 + 9/4 - 9/4)} = {- 4(x2 - 3x + 9/4 + 5/4 - 9/4)} . {- 4[(x - 3/2)2 - 4/4]} = {- 4[(x - 3 )2 - 12]} = {- 4 [( 2x - 3)2 - 12]} 2 2 2 2 {- 4[(2x - 3) - 1]} = {- 4[( 2x - 3 ) - 4]} = {- 4 [( 2x - 3)2 - 4]} 22 4 4 .

{-[( 2x - 3)2 - 4]} = {-(2x - 3)2 + 4} = {4 - (2x - 3)2} = {22 - (2x - 3)2}.Sustituyendo:{ 22 - ( 2x - 3)2 } en la 2da integral . - ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫

dx . 2 √{2 - ( 2x - 3) } 2

v = 2x - 3 dv = 2 dx a =2

2da integral.Falta (2) para completar el diferencial. 2 2 Se aplica: ∫ dv = ln{v + √v - a } + c . √v2 - a2

- ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 . 1 . ∫ (2)dx . 2 √{( 2x - 3)2 - 22} - ∫ (12x - 4x2 - 5)-1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 ∫ (2)dx . 2 2 2 √( 2x - 3) - 2 Para la 2da integral aplicamos: ∫

dv √a - v2 2

=

arc sen v + c . a

(12x - 4x2 - 5)-1/2+1 + 9 arc sen 2x - 3 + c . -1/2 + 1 2 2 (12x - 4x2 - 5)1/2 + 9 arc sen 2x - 3 = 2(12x - 4x2 - 5)1/2 + 9 arc sen 2x - 3 1/2 2 2 2 2


123


2 √12x - 4x2 - 5 + 9 arc sen 2x - 3 + c . 2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas - Página 256 Verificar las siguientes integraciones: 1.

∫ √ 1 - 4x2 dx = x √ 1 - 4x2 + 1 arc sen 2x + c . 2 4 ∫ √ 12 - (2x)2 dx = v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a2 - v2 dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a =1 2 2 a 1 . ∫ √ 1 - 4x2 . (2)dx = 1 . ∫ √12 - (2x)2 . (2) dx 2 2 1 . 2 x √ 1 - 4x2 + 12 arc sen 2x 2 2 2 1

=

.

1 . x √ 1 - 4x2 + 1 arc sen 2x + c 2 2 x . √ 1 - 4x2 + 1 . arc sen 2x + c . 2 4 2.

∫ √1 + 9x2 dx = x . √ 1 - 9x2 + 1 ln (3x + √ 1 - 9x2) + c . 2 6 ∫ √12 + (3x)2 dx =


124


v = 3x Falta (3) para completar el diferencial, se aplica: dv = 3 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √v2 + a2 + a2 ln (v + √v2 + a2 ) + . a =1 2 2 1 ∫ √12 + (3x)2.(3) .dx 3

=

1 3x . √1 + 9x2 + 12 ln (3x + √1 + 9x2 ) + c 3 2 2 1 3 x . √1 + 9x2 + 1 1 ln (3x + √1 + 9x2) + c 3 2 3 2 x . √1 + 9x2 + 1 ln [3x + √1 + 9x2 ] + c . 2 6 3.

∫ √ x2 - 1 dx = x √x2 - 4 - ln (x + √x2 - 4 ) + c . 4

dx

∫ √ x2 - 4 dx = ∫ √ x2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x2 - 2 4 v =x dv = dx a =2

√4

2

2

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ √ v2 - a2 dv = v √v2 - a2 - a2 ln (v + √v2 - a2 ) + c . 2 2

1 . x √ x2 - 4 - 22. ln(x + √ x2 - 4 ) + c 2 2 2 1 . x √ x2 - 4 - 1 . 4 . ln(x + √ x2 - 4 ) + c . 2 2 2 2


125


x √ x2 - 4 - . 4 . ln(x + √ x2 - 4 ) + c . 4 4 .

x √x2 - 4 - ln(x + √x2 - 4 ) + c . 4 4.

∫ √25 - 9x2 dx = x √ 25 - 9x2 + 25 arc sen 3x + c . 2 6 5 ∫ √25 - 9x2 dx = ∫ √ 52 - (3x)2 dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ √ a2 - v2 dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a =5 2 2 a ∫ √ 52 - (3x)2 dx = 1 . ∫ √ 52 - (3x)2 .(3)dx 3 =

=

=

5.

1 3

3x .√25 - 9x2 + 52 arc sen 3x + c . 2 2 5

1 . 3 x .√25 - 9x2 + 1 . 52 arc sen 3x + c . 3 2 3 2 5 x . √ 25 - 9x2 + 25 arc sen 3x + c . 2 6 5

∫ √4x2 + 9 dx = x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9) + c . 2 4 ∫ √4x2 + 9 dx = √(2x)2 + 32 dx . v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √a2 + v2 + a2 ln (v + √a2 + v2) + c .


126


a =3

2

1 . √(2x)2 + 32 .(2) dx 2 1 . 2x . √4x2 + 9 + 2 2 1 . 2 x . √4x2 + 9 + 2 2

2

=

32 ln(2x + √4x2 + 9) + c. 2 1 . 32 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . 2 2

1 . 2 x . √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . 2 2 4 x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . 2 4 6.

∫ √5 - 3x2 dx = x √5 - 3x2 + 5 2 2√3

arc sen x

3

+c.

5

∫ √5 - 3x2 dx = ∫ √(√5 )2 - (√3.x)2 dx . v = √3.x Falta (√3) para completar el diferencial.Se aplica: dv = √3 dx ∫ a2 - v2 dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a = √5 2 2 a 1 ∫ √{(√5)2 - (√3.x)2}. √3 dx √3

=

1 √3 x . √5 - 3x2 + (√5)2 arc sen √3. x + c √3 2 2 √5 1 . √3 x . √5 - 3x2 + 1 . (√5)2 arc sen √3 2 √3 2

3 . x + c.

5


127


x . √5 - 3x2 + 5 . arc sen x . 2 2√3 7.

3

+c.

5

∫ √3 - 2x - x2 . dx = x + 1 √3 - 2x - x2 + 2 arc sen x + 1 + c . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados : 3 - 2x - x2 . 3 - 2x - x2 = - (x2 + 2x - 3) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 - (x2 + 2x + 1 - 1 - 3) = -{(x + 1)2 - 4} = -{(x + 1)2 - 22} = 22 - (x + 1)2 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √3 - 2x - x2 .dx = ∫ √ 22 - (x + 1)2 .dx = v =x + 1 dv = dx a =2

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ √ a2 - v2 . dv = v √ a2 - v2 + a2 arc sen v + c . 2 2 a

∫ √ 22 - (x + 1)2 .dx = x + 1 √3 - 2x - x2 + 22 arc sen x + 1 + c 2 2 2 x + 1 . √3 - 2x - x2 + 22 arc sen x + 1 + c . 2 2 2 x + 1 √3 - 2x - x2 + 4 arc sen x + 1 + c . 2 2 2 x + 1 √3 - 2x - x2 + 2 arc sen x + 1 + c . 2 2 8.

∫ √5 - 2x + x2 .dx = x - 1 √5 - 2x + x2 + 2ln (x - 1 + 5 - 2x + x2) + c 2


128


Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 2x + x2 . 5 - 2x + x2 = (x2 - 2x + 5) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 . (x2 - 2x + 1 + 5 - 1) = {(x - 1)2 + 4} = {(x - 1)2 + 22} = (x - 1)2 + 22 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √5 - 2x + x2 . dx = ∫ √(x - 1)2 + 22 . dx . v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v2 + a2 . dv = v √v2 + a2 + a2 ln ( v + √v2 + a2) + c a =2 2 2 ∫ √(x - 1)2 + 22.dx = x - 1 √5 - 2x + x2 + 22 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x2) 2

2

x - 1 √5 - 2x + x2 + 4 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x2) + c . 2 2 x - 1 √5 - 2x + x2 + 2 ln [x - 1 + √5 - 2x + x2] + c . 2 9.

∫ √2x - x2 . dx = x - 1 √2x - x2 + 1 arc sen (x - 1) + c . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados: 2x - x2 . - x2 + 2x = - (x2 - 2x ) .

2/2 = 1 ; 12 = 1 .

- (x2 - 2x ) = - (x2 - 2x + 1 - 1) = - {(x - 1)2 - 1} = - {(x - 1)2 - 12} 12 - (x - 1)2 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √2x - x2 . dx = ∫ √12 - (x - 1)2 . dx .


129


v =x - 1 dv = dx a =1

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ √a2 - v2. dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c. 2 2 a

∫ √12 - (x - 1)2 . dx = x - 1 √2x - x2 + 12 arc sen x - 1 + c. 2 2 1 x - 1 . √2x - x2 + 1 arc sen (x - 1) + c. 2 2 10.

∫ √10 - 4x + 4x2.dx = 2x - 1 √10 - 4x + 4x2 + 9 4

ln (2x - 1 + √10 - 4x + 4x2) + c

4

4x2 - 4x + 10 = 4(x2 - x + 10/4 ) = 4(x2 - x + 10/4 ) . 1/2 = 1/2 ; (1/2)2 = 1/4 . 4(x2 - x + 10/4) = 4(x2 - x + 1/4 + 10/4 - 1/4) 4 x- 1 2

2

+ 9 4

=

4 2x - 1 2 + 9 2 4

4 . (2x - 1)2 + 4 . 9 4 4

=

=

4 (2x - 1)2 + 9 4 4

=

(2x - 1)2 + 9 = (2x - 1)2 + 32 .

Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √(2x - 1)2 + 32 . dx . v = 2x - 1 Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica: dv = 2 .dx ∫ √v2 + a2. dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c . a =3 2 2 1 ∫ √{(2x - 1)2 + 32} . (2) dx .


130


2 1 {(2x - 1 ) √10 - 4x + 4x2 + 32 ln [(2x - 1) + √10 - 4x + 4x2]} + c . 2 2 2

(2x - 1) √10 - 4x + 4x 2 + 9 ln {(2x - 1) + √10 - 4x + 4x 2 } + c . 4 4

11.

∫ √16 - 9x 2 . dx . ∫ √(4)2 - (3x)2 . dx v = 3x dv = 3 dx a =4

Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c . 2 2 a

1 . ∫ √(4)2 - (3x)2 .(3) dx = 3x √16 - 9x2 + 42 arc sen 3x + c . 3 2 2 4 3x √16 - 9x2 + 16 arc sen 3x = 3x √16 - 9x2 + 8 arc sen 3x + c 2 2 4 2 4

12.

∫ √4 + 25x2 . dx . ∫ √22 + (5x)2 . dx = v = 5x Falta (5) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 5 dx ∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a =2 2 2 a ∫ √22 + (5x)2 . dx = 5x √4 + 25x2 + 22 arc sen 3x + c 2 2 2


131


5x √4 + 25x2 + 2 arc sen 3x + c . 2 2 13.

∫ √ 9x2 - 1 dx . ∫ √ (3x)2 - 12 . dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ √v2 - a2 . dv = v √v2 - a2 - a2 ln(v + √v2 - a2) + c . a =1 2 2 2 2 2 2 ∫ √ (3x) - 1 . dx = 3x √ 9x - 1 - 1 ln (3x + √ 9x2 - 1 ) + c . 2 2

3x √ 9x2 - 1 - 1 ln (3x + √ 9x2 - 1 ) + c . 2 2 14.

∫ √ 8 - 3x2 . dx . ∫ √ (√8)2 - (√3 . x)2 . dx = v = √3 . x Falta (√3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = √3 dx ∫ √a2 - v2 . dv = v √a2 - v2 - a2 arc sen v + c a = √8 2 2 a 1 . ∫ √ (√8)2 - (√3 . x)2 . √3 dx √3

=

1 √3.x .√ (√8)2 - (√3 . x)2 - (√8)2 arc sen √3.x + c . √3 2 2 √8 1 . √3.x √ 8 - 3x2 - 1 . 8 arc sen √3.x.√8 + c . √3 2 √3 2 √8. √8 x √ 8 - 3x2 - 4.√3 arc sen √24.x + c .


132


2

√3.√3

8

x √ 8 - 3x2 - 4√3 arc sen 2x √6 + c . 2 3 8 15.

∫ √ 5 + 2x2 . dx . ∫ √(√5)2 + (√2.x)2 . dx = v = √2 . x Falta (√2) para completar el diferencial. Se aplica; dv = √2 dx ∫ √a2 + v2 . dv = v √a2 + v2 + a2 ln {v + √a2 + v2 } + c a = √5 2 2 2 2 1 ∫ √(√5) + (√2.x) .( √2 ) dx √2 1 √2.x . √ 5 + 2x2 + (√5)2 ln [√2.x + √ 5 + 2x2] √2 2 2 √2.x . √ 5 + 2x2 + 1 . 5 ln [√2.x + √ 5 + 2x2] 2√2 √2 2 x . √5 + 2x2 + 5.√2 ln [√2.x + √5 + 2x2] + c . 2 2√2.√2 x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[√2.x + √5 + 2x2] + c . 2 2x2 x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[x√2 + √5 + 2x2] + c . 2 4

16.

∫ √ 5 - 4x - x2 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 4x - x2 .


133


- x2 - 4x + 5 = - (x2 + 4x - 5) . 4/2 = 2 ; (2)2 = 4 - (x2 + 4x - 5) = - (x2 + 4x + 4 - 5 - 4) - {(x2 + 4x + 4) - 9} = -{(x + 2)2 - 32} = 32 - (x + 2)2 Reemplazando este ultimo resultado en la integral . ∫ √ 5 - 4x - x2 . dx = ∫ √ 32 - (x + 2)2. dx = v = x + 2 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √a2 - v2.dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a =√5 2 2 a 2 2 x + 2 √ 5 - 4x - x + (√5) arc sen x + 2 + c . 2 2 √5 x + 2 √ 5 - 4x - x2 + 5 arc sen (x + 2). √5 + c . 2 2 √5 . √5 x + 2 √ 5 - 4x - x2 + 5 arc sen (x + 2). √5 + c . 2 2 5 17.

∫ √ 5 + 2x + x2 . dx = Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 + 2x + x2 . 5 + 2x + x2 = (x2 + 2x + 5) . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en: (x2 + 2x + 5) = (x2 + 2x + 1 + 5 - 1) {(x2 + 2x + 1) + (5 - 1)} = {(x + 1)2 + 4} = {(x + 1)2 + 22} Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √5 + 2x + x2 . dx = ∫ √ (x + 1)2 + 22 . dx =


134


v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v2 + a2.dv = v √v2 + a2 + a2 ln(√v2 + a2 v + c a= 2 2 2 a x + 1 √5 + 2x + x2 + (2)2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . 2 2 x + 1 √5 + 2x + x2 + 4 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . 2 2 x + 1 √ 5 - 4x - x2 + 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . 2 18.

∫ √x2 - 8x + 7 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 - 8x + 7 . x2 - 8x + 7 . 8/2 = 4 ; (4)2 = 16 Sumando y restando (16) en : (x2 - 8x + 16 + 7 - 16 ) =

{(x2 - 8x + 16) + (7 - 16 )} = {(x - 4)2 - 9} = {(x - 4)2 - 32} . Reemplazando este resultado en la integral .

∫ √x2 - 8x + 7 . dx = ∫ √(x - 4)2 - 32.dx = v =x - 4 dv = dx a= 3

El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ √v2 - a2.dv = v √v2 - a2 - a2 ln(v + √v2 - a2) + c . 2 2

x - 4 √x2 - 8x + 7 - (3)2 ln{(x - 4) + √x2 - 8x + 7} + c . 2 2 x - 4 √x2 - 8x + 7 - 9 ln{(x - 4) + √x2 - 8x + 7 } + c . 2 2


135


19.

∫ √4 - 2x - x2 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: 4 - 2x - x2 .

- x2 - 2x + 4 = - (x2 + 2x - 4) . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en: - (x2 + 2x - 4) = - (x2 + 2x + 1 - 4 - 1)

- {(x2 + 2x + 1) + (- 4 - 1)} = -{(x + 1)2 - 5} = -{(x + 1)2 - (√5)2} (√5)2 - (x + 1)2 . Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √4 - 2x - x2 . dx = ∫ √(√5 )2 - (x + 1)2. dx = v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √a2 - v2.dv = v √a2 - v2 + a2 arc sen v + c . a = √5 2 2 a x + 1 √4 - 2x - x2 + (√5)2 arc sen (x + 1).√5 + c . 2 2 √5. √5

x + 1 √4 - 2x - x2 + 5 arc sen (x + 1).√5 + c . 2 2 5 20.

∫ √x2 - 2x + 8 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 - 2x + 8 . x2 - 2x + 8 . 2/2 = 1 ; (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en : x2 - 2x + 8 = x2 - 2x + 1 + 8 - 1 = {(x2 - 2x + 1) + (8 - 1)} = {(x - 1)2 + (7)} = {(x - 1)2 + (√7)2} Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √x2 - 2x + 8 . dx = ∫ √(x - 1)2 + (√7 )2 . dx = v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica:


136


dv = dx ∫ √v2 + a2.dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c . a = √7 2 2 x - 1 √x2 - 2x + 8 + (3)2 ln{(x - 1) + √ x2 - 2x + 8 } + c . 2 2 x - 1 √x2 - 8x + 7 + 9 ln {(x - 1) + √x2 - 8x + 7 } + c . 2 2 x - 1 √x2 - 2x + 8 + 9 ln {(x - 1) + √ x2 - 2x + 8 } + c . 2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Páginas 259 y 260

Verificar las siguientes Integraciones: 1.

∫ sen3x dx = 1/3 cos3x - cos x + c . Por trigonometria: sen2x + cos2x = 1 ; sen2x = 1 - cos2x ; cos2x = 1 - sen2x. sen3x = sen2x . sen x . Sustituyendo este valor en la integral y aplicando sustituciones trigonométricas : sen2x = 1 - cos2x . ∫ sen3x dx = ∫ sen2x . sen x . dx = ∫ ( 1 - cos2x) .sen x . dx = ∫ sen x . dx - ∫ cos2x . sen x . dx . v = cos x dv = - sen x dx

1ra integral ,esta completa, se integra. 2da integral ,le falta el signo (-) para


137


completar el diferencial. ∫ sen x . dx - (-) ∫ (cos x)2 .(-) sen x . dx . ∫ sen x . dx + ∫ (cos x)2 .(-) sen x . dx -cos x + (cos x)2+1 = - cos x + (cos x)3 = 1/3 (cos x)3 - cos x + c . 2+1 3 2.

∫ sen2 θ .cos θ . dθ

=

1/3 sen3θ + c .

∫ (sen θ)2 .cos θ dθ . v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a dv = cos θ dθ a integrar. n =2 (cos θ)2+1 = (cos θ )3 2+1 3 3.

∫ cos2φ

=

1/3 cos3θ + c .

sen φ dφ .

∫ (cos φ )2 . sen φ dφ v = cos φ dv = - sen φ dφ n =2 φ +c 4.

Le falta el signo (-) , para completar el diferencial,luego se procede a integrar.

(-)∫ (cos φ )2.(-)sen φ dφ

=

- (cos φ )2+1 = - cos3 φ 2+1

=

- 1/3 cos3

3

∫ sen3 6x . cos 6x dx . ∫ sen3 6x . cos 6x dx = ∫ (sen 6x)3 . cos 6x dx


138


v = sen 6x Le falta (6) para completar el diferencial, dv = cos 6x . 6 dx luego se procede a integrar. n =3 1 ∫ (sen 6x)3.cos 6x .(6)dx = 1 . (sen 6x)3+1 = 1 .(sen 6x)4 = 6 6 3+1 6 4 (sen 6x)4 24 5.

=

1 sen4 6x + c . 24

∫ cos3 2θ . sen 2θ . dθ

=

- 1/8 cos4 2θ + c .

∫ (cos 2θ)3 . sen 2θ . dθ = v = cos 2θ Falta (- 2) para completar el diferencial. dv = - sen 2θ . 2dθ n =3 (- 1 )∫ (cos 2θ)3 .sen 2θ . (-2) dθ = - 1 . (cos 2θ)3+1 = - (cos 2θ)4 = 2 2 3+1 2(4) - (cos 2θ )4 8 6.

=

- 1/8 (cos 2θ)4

=

- 1/8 cos4 2θ + c .

∫ cos3 x . dx = csc x - 1/3 csc3x + c . sen4x ∫ (sen x)-4 . cos3 x dx = ∫ (sen x)-4 . cos2 x . cos x dx = ∫ {(sen x)-4 .cos2 x}.cos x dx = ∫ {(sen x)-4 (1 - sen2x)} .cos x dx = Haciendo operaciones: ∫ {(sen x)-4(1) - (sen x)-4(sen2x)}.cos x dx = ∫ {(sen x)-4 - (sen x)-4+2}.cos x dx =


139


∫ {(sen x)-4 - (sen x)-2}.cos x dx = ∫ {(sen x)-4.cos x - (sen x)-2.cos x} dx = ∫ (sen x)-4.cos x dx - ∫ (sen x)-2.cos x dx = Los diferenciales de ambas integrales estan completos. (sen x)-4+1 - (sen x)-2+1 = (sen x)-3 - (sen x)-1 = - 4+1 -2+1 -3 -1 -

1 + 1 . Por Trigonometría: 1 = csc x 3(sen x)3 (sen x)1 sen x

3 3 - 1/3 (csc x) + (cscx ) = cscx - 1/3 csc x + c .

∫ sen3 φ . dφ cos2 φ

7.

=

sec φ

+ cos φ + c .

∫ (cos φ )-2.sen2 φ . sen φ dφ

=

∫ (cos φ )-2.(1 - cos2 φ ).sen φ

dφ ∫ {(cos φ )-2.(1 - cos2 φ )}.sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2.[1 - (cos φ )2]}.sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )-2.(cos φ )2}.sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )-2+2}.sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 - (cos φ )0}.sen φ dφ dφ

=

∫ {(cos φ )-2 - 1} . sen φ

=


140


∫ {(cos φ )-2.sen φ dφ - ∫ sen φ dφ v = cos φ dv = - sen φ dφ n = -2

φ

8.

=

En la 1ra integral, falta el signo (-) . La 2da integral, su diferencial esta completo.

(-) ∫ {(cos φ )-2.(-) sen φ dφ - ∫ sen φ dφ

=

- (cos φ )-2+1 - (- cos φ ) = - (cos φ )-1 + cos φ

=

(cos φ )-1 + cos

=

-2+1

-1

1 + cos φ = sec φ + cos φ + c . (cos φ )1 ∫ cos4 x . sen3 x dx = - 1/5 cos5x + 1/7 cos7 x + c . ∫ (cos x)4.sen2 x .sen x dx = n{(cos x)4.sen2 x}.sen x dx = ∫ {(cos x)4.(1 - cos2 x)}.sen x dx = ∫ {(cos x)4.[1 - (cos x)2]}.sen x dx = ∫ {(cos x)4 - (cos x)4.(cos x)2}.sen x dx = ∫ (cos x)4.sen x dx - ∫ (cos x)4(cos x)2.sen x dx = ∫ (cos x)4.sen x dx - ∫ (cos x)6.sen x dx = En ambas integrales, les falta el signo (-) a sus diferenciales. (-) {∫ (cos x)4.(-)sen x dx} - (-){∫ (cos x)4(cos x)2.sen x dx} = - (cos x)4+1 + (cos x)6+1 = - (cos x)5 + (cos x)7


141


4+1

6+1

5

7

- 1/5 (cos x)5 + 1/7 (cos x)7 = - 1/5 cos5 x + 1/7 cos7 x + c . 9.

∫ sen5 x dx = - cos x + 2/3 cos3 x - 1/5 cos5 x + c . ∫ sen4 x .sen x dx = ∫ (sen2 x)2.sen x dx = ∫ (1 - cos2 x)2.sen x dx = ∫ (1 - 2cos2 x + cos4 x ).sen x dx = ∫ [1(sen x) - 2cos2 x .sen x + cos4 x .sen x] dx = ∫ [sen x - 2(cos x)2.sen x + (cos x)4.sen x] dx = ∫ sen x . dx - 2 ∫ (cos x)2.sen x .dx + ∫ (cos x)4.sen x dx = En la 1ra integral esta completo el diferencial.

dx}

Al 2do y 3er integral les falta el signo (-) a sus diferenciales. ∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x)2.(-)sen x.dx} + (-) {∫ (cos x)4.(-) sen x ∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x)2.(-) sen x .dx} + (-){∫ (cos x)4.sen x dx} =

- cos x + 2(cos x)2+1 - (cos x)4+1 = 2+1 4+1 -cos x + 2(cos x)3 - (cos x)5 = - cos x + 2/3 (cos x)3 - 1/5 (cos x)5 - cos x + 2/3 cos3 x - 1/5 cos5 x + c . 10.

∫ cos5 x dx = sen x - 2/3 sen3 x + 1/5 sen5 x + c . ∫ cos4 x . cos x dx = ∫ (cos2 x)2.cos x dx = ∫ (1 - sen2 x)2.cos x dx =


142


∫ (1 - 2sen2 x + sen4 x) .cos x dx = ∫ [1(cos x) - 2sen2 x.cos x + sen4 x.cos x] dx = ∫ (cos x - 2sen2 x.cos x + sen4 x.cos x) dx = ∫ cos x dx - 2∫ sen2 x.cos x dx + ∫ sen4 x.cos x dx = ∫ cos x dx - 2∫ (sen x)2.cos x dx + ∫ (sen x)4.cos x dx = La 1ra , 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos . ∫ cos x dx - 2∫ (sen x)2.cos x dx + ∫ (sen x)4.cos x dx = sen x - 2(sen x)2+1 + (sen x)4+1 = 2+1 4+1 sen x - 2(sen x)3 + (sen x)5 = 3 5 sen x - 2/3 sen3x + 1/5 sen5x + c 11.

∫ sen5 y dy . √cos y ∫ sen4 y.sen y.(cos y)-1/2 dy = ∫ sen4 y.(cos y)-1/2.sen y dy = ∫ (1 - cos2 y)2.(cos y)-1/2.sen y dy = ∫ {[(1 - 2cos2 y + cos4 y).(cos y)-1/2 ].sen y }dy

=

∫ {[(1 . (cos y)-1/2 - 2(cos y)2.(cos y)-1/2 + (cos y)4.(cos y)-1/2 ].sen y }dy =

∫ {[(cos y)-1/2 - 2(cos y)2-1/2 + (cos y)4 -1/2].sen y}dy =


143


∫ {(cos y)-1/2.sen y - 2(cos y)3/2.sen y + (cos y)7/2.sen y}dy = ∫ (cos y)-1/2.sen y dy - 2∫ (cos y)3/2.sen y dy + ∫ (cos y)7/2.sen y dy (-) ∫ (cos y)-1/2.(-) sen y dy - 2(-) ∫ (cos y)3/2.(-) sen y dy + (-) ∫ (cos y)7/2.(-) sen y dy

- (cos y)-1/2+1 + 2 (cos y)3/2+1 - (cos y)7/2+1 . -1/2+1 3/2+1 7/2+1 - (cos y)1/2 + 2 (cos y)5/2 - (cos y)9/2 . 1/2 5/2 9/2 - 2(cos y)1/2 + 4 . (cos y)5/2 - 2 . (cos y)9/2 . 5 9 -2(cos y)1/2 + 2.(cos y)1/2. 2 (cos y)4/2 - 2(cos y)1/2. 1 .(cos y)8/2 = 5 9 - 2(cos y)1/2 {1 - 2 (cos y)4/2 + 1 (cos y)8/2} = 5 9 - 2√(cos y) {1 - 2 (cos y)2 + 1 (cos y)4} = 5 9 - 2√cos y 1 - 2 cos2 y + 1 cos4 y + c . 5 9

12.

∫ cos5 t dt ∛sent

=

3 sen2/3 t (1 - 1/2 sen2t + 1/7 sen4 t).

∫ cos4 t .cos t(sen t)-1/3.dt = ∫ (cos2 t)2.cos t(sen t)-1/3.dt = ∫ (1 - sen2 t)2.(sen t)-1/3.cos t dt = ∫ {(1 - 2sen2 t + sen4 t).(sen t)-1/3 }.cos t dt =


144


∫ {(1)(sen t)-1/3 - 2sen2 t.(sen t)-1/3 + sen4 t.(sen t)-1/3}.cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)2.(sen t)-1/3 + (sen t)4.(sen t)-1/3 }.cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)2-1/3 + (sen t)4 -1/3}.cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 - 2(sen t)5/3 + (sen t)11/3}.cos t dt = ∫ (sen t)-1/3.cos t dt - 2∫ (sen t)5/3.cos t dt + ∫ (sen t)11/3.cos t dt = La 1ra , 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos . (sen t)-1/3+1 - 2(sen t)5/3+1 + (sen t)11/3+1 = -1/3+1 5/3+1 11/3+1 (sen t)2/3 - 2(sen t)8/3 + (sen t)14/3 = 2/3 8/3 14/3 2/3 3 . (sen t) - 3 . 2 (sen t)8/3 + 3 . (sen t)14/3 = 2 8 14 3 (sen t)2/3 - 3 (sen t)8/3 + 3 (sen t)14/3 = 2 4 14 3 (sen t)2/3 - 3 (sen t)2/3. 1 .(sen t)6/3 + 3 (sen t)2/3. 1 .(sen t)12/3 = 2 2 2 2 7 3 . (sen t)2/3 1 - 1 .(sen t)6/3 + 1 (sen t)12/3 2 2 7

=

3 . (sen t)2/3 1 - 1 . (sen t)2 + 1 . (sen t)4 + c . 2 2 7 3 . sen2/3 t 1 - 1 . sen2 t + 1 . sen4 t + c . 2 2 7


145


13.

∫ sen3 2θ . dθ . ∫ sen2 2θ . sen 2θ dθ = ∫ (1 - cos2 2θ) . sen 2θ dθ = ∫ [1(sen 2θ) - cos2 2θ.sen 2θ]dθ = ∫ (sen 2θ - cos2 2θ.sen 2θ)dθ ∫ sen 2θ dθ - ∫ cos2 2θ.sen 2θ dθ = ∫ sen 2θ.dθ - ∫ (cos 2θ)2.sen

2θdθ

{v = 2θ ; dv = 2 dθ} ; {v = cos 2θ ; dv = - 2 sen 2θ dθ} ½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ - (- ½) ∫ (cos 2θ)2 .(-2) sen 2θ dθ = ½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ + ½ ∫ (cos 2θ)2 .(-2) sen 2θ dθ = ½ .(- cos 2θ) + ½ . (cos 2θ )2+1 = - cos 2θ + ½ .(cos 2θ )3 = 2+1 2 3 3 - cos 2θ + (cos 2θ ) + c . 2 6 14.

∫ cos3 θ dθ . 2 ∫ cos2(½ θ).cos(½ θ) dθ = ∫ [1 - sen2(½ θ)].cos(½ θ) dθ = ∫ cos(½ θ).dθ - ∫ sen2(½θ).cos(½ θ) dθ = 2 ∫ cos(½ θ).½.dθ - 2 ∫ [sen(½ θ)]2.cos (½ θ) .½.dθ = 2.sen(½ θ) - 2 [sen(½θ )]2+1 = 2.sen(½ θ) - 2 [sen(½θ)]3 2+1 3 2sen(½ θ ) - 2 [sen3(½θ )] + c 3


146


15.

∫ sen 2x cos 2x dx . ∫ 2sen x cos x .(cos2x - sen2x) dx . ∫ 2sen x cos3x dx - ∫ 2sen3x cos x dx = 2∫ (cos x)3.sen x dx - 2∫ (sen x)3.cos x dx

Completando los diferenciales en ambas integrales: 2(-) ∫ (cos x)3.(-)senx - 2∫ (sen x)3.cos x dx =

-2(cos x)3+1 - 2(sen x)3+1 = -2(cos x)4 - 2(sen x)4 = 4 4 -(cos x)4 - (sen x)4 = - ½{ (cos x)4 + (sen x)4} + c . 2 2 16.

∫ sen3 t cos3 t dt . ∫ sen2t .sen t .cos2t .cos t dt = ∫ sen2t .sen t .(1 - sen2t) .cos t dt ∫ sen3t .cos t.(1 - sen2 t) dt = ∫ (sen3t .cos t - sen5t .cos t) dt ∫ sen3t.cost dt - ∫ sen5t.cost dt = ∫ (sen t)3.cost dt - ∫ (sen t)5.cost dt Ambos diferenciales estan completos, se procede a integrar. Se emplea: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 (sen t)3+1 - (sen t)5+1 = (sen t)4 - (sen t)6 = sen4t - sen6t + c . 3+1 5+1 4 6 4 6


147


Prueba por Diferenciación: d (sen4t) - d (sen6t) + d (c) . dt 4 dt 6 dt . 1 . 4 . sen3t.cost - . 1 . 6 .sen5t .cost . dt 4 6

.

(sen3t.cost - sen5t .cost) .dt = [cos t . sen3t (1 - sen2t)].dt = [cos t . sen3t .cos2t].dt = [sen3t. cos3t].dt . Obteniendo asi el origen de la integral: ∫ sen3t cos3 t dt . 17.

∫ cos3 ɸ sen2 ɸ dɸ 2

2

∫ (cos2 ½ɸ).cos ½ɸ .sen2 ½ɸ dɸ = ∫ cos2 ½ɸ.sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ = ∫ (1 - sen2 ½ɸ).sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ = ∫ sen2 ½ɸ.cos ½ɸ - sen2 ½ɸ.sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ

∫ sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ - ∫ sen4 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ.Completando

diferenciales.

2∫ (sen ½ɸ)2.(½)cos ½ɸ .dɸ - 2∫ (sen ½ɸ)4.(½)cos ½ɸ dɸ. 2(sen ½ɸ)2+1 - 2(sen ½ɸ)4+1 = 2(sen ½ɸ )3 - 2(sen ½ɸ )5 + c . 2+1 4+1 3 5

18.

∫ sen3 mt cos2 mt dt . ∫ sen3 mt cos2 mt dt = ∫ sen2 mt sen mt cos2 mt dt = ∫ (1 - cos2 mt). cos2 mt sen mt dt =


148


∫ (cos2 mt .sen mt - cos2 mt .cos2 mt.sen mt) dt = ∫ cos2mt .sen mt .dt - ∫ cos4mt .sen mt dt . ∫ (cos mt)2.sen mt.dt - ∫ (cos mt)4.sen mt.dt.Completando los diferenciales.

(-1/m)∫ (cos mt)2 .(-m)sen mt.dt -(-1/m)∫ (cos mt)4 .(-m)sen mt.dt (-1/m) (cos mt)2+1 + (1/m) (cos mt)4+1 = 2+1 4+1 - (cos mt)3 + (cos mt)5 3m 5m 18.

=

- cos3 mt + cos5 mt + c . 3m 5m

∫ sen5 nx dx ∫ sen2nx .sen2nx .sen nx dx = ∫ (1 - cos2nx)(1 - cos2nx).sen nx dx ∫ (1 - cos2nx)2 .sen nx dx = ∫ (1 - 2cos2nx + cos4nx) .sen nx dx ∫ (sen nx - 2cos2nx .sen nx + cos4nx .sen nx) dx ∫ sen nx dx - 2∫ cos2nx .sen nx dx + ∫ cos4nx .sen nx dx . (1/n)∫ sen nx . (n)dx - 2(-1/n)∫ (cos nx) .(-n)sen nx dx + (-1/n)∫ (cos nx)4 (-n).sen nx dx = (1/n)∫ sen nx .(n)dx + (2/n)∫ (cos nx).(-n)sen nx dx (1/n)∫ (cos nx)4 (-n).sen nx dx = (1/n)(- cos nx) + (2/n)(cos nx)2+1 - (1/n) (cos nx)4+1 2+1 4+1


149


(- cos nx) + (2)(cos nx)3 - (1)(cos nx)5 n n(3) n(5) - cos nx + 2cos3 nx - cos5 nx + c . n 3n 5n 20.

∫ cos3 (a + bt) dt . ∫ cos2 (a + bt). cos (a + bt) dt = ∫ [1 - sen2 (a + bt)] .cos (a + bt) dt ∫ cos (a + bt) - [sen2 (a + bt)]. cos (a + bt)dt . ∫ cos (a + bt) . dt - ∫ [sen (a + bt)]2. cos (a + bt)dt . Completando los diferenciales: v = (a + bt) dv = b dt

v = sen (a + bt) dv = [cos (a + bt)].(b) dt

(1/b)∫ cos (a + bt) .(b) dt - (1/b)∫ [sen (a + bt)]2.(b) cos (a + bt)dt (1/b) .sen (a + bt) - (1/b) [sen (a + bt)]2+1 = 2+1 sen (a + bt) - [sen (a + bt)]3 = sen (a + bt) - [sen (a + bt)]3 + c . b b(3) b 3b sen (a + bt) - [sen3 (a + bt)] + c . b 3b 21.

∫

cot θ

dθ


150


√sen θ Por Trigonometría: cot θ = cos θ . sen θ ∫ cos θ . 1 . dθ = ∫ cos θ . dθ = ∫ (sen θ)-3/2 cos θ . dθ sen θ (sen θ)1/2 (sen θ)3/2 El diferencial esta completo, se procede a integrar. (sen θ)-3/2+1 = (sen θ )-1/2 = - 2(sen θ)-1/2 = -2 = 1/2 -3/2+1 -1/2 (sen θ) =

22.

-2 +c. √sen θ

∫ sen3 2x dx ∛cos 2x ∫ sen3 2x dx = ∫ sen3 2x . (cos 2x)-1/3 dx = (cos 2x)1/3 ∫ sen2 2x .sen 2x.(cos 2x)-1/3 dx = ∫ (1 - cos2 2x).sen 2x.(cos 2x)-1/3dx

∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x . (1 - cos2 2x) dx ∫ {(cos 2x)-1/3. sen 2x - [(cos 2x)-1/3. sen 2x. cos2 2x]} dx ∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x - [(cos 2x)-1/3. sen 2x. (cos 2x)2]}dx ∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x dx - ∫ [(cos 2x)-1/3 .(cos 2x)6/3. sen 2x.]} dx ∫ (cos 2x)-1/3.sen 2x dx - ∫ [(cos 2x)5/3.sen 2x.]} dx


151


v = (cos 2x) dv = - 2sen 2x .dx n = - 1/3

v = (cos 2x) dv = -2 sen 2x dx n = 5/3

(-1/2)∫ (cos 2x)-1/3.(-2)sen 2x dx - (-1/2)∫ [(cos 2x)5/3.(-2)sen 2x]}dx

(-1/2).(cos 2x)-1/3+1 + (1/2).(cos 2x)5/3+1 = -1/3+1 5/3+1 -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = 2(2/3) 2(8/3) 4/3 16/3 -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)8/3 = -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)6/3.(cos 2x)2/3 4 16 4 16 -3 .(cos 2x)2/3 + 3 . 1 .(cos 2x)6/3.(cos 2x)2/3 = 4 4 4

{

}

-3 (cos 2x)2/3 1 - 1 .(cos 2x)6/3 4 4

-3∛(cos 2x)2 4

=

{2 - (cos 2x) } -3∛ cos 2

2

=

{

}

-3∛(cos 2x)2 1 - (cos 2x)2 4 2 2

{

}

2x 2 - (cos 2x)2 + c . 8

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


152


Problemas. Páginas 262 y 263 Demostrar las siguientes Integraciones: 1.

∫ tg3 x dx = 1/2 tg2 x + ln cos x + c . ∫ tg2 x.tg x dx = ∫ (sec2 x - 1).tg x dx = ∫ tg x.(sec2 x - 1).dx ∫ (tg x. sec2 x - tg x) dx = ∫ (tg x).sec2 x.dx - ∫ tg x dx v = tg x dv = sec2 x dx n =1

v =x dv = dx

(tg x)1+1 - [- ln (cos x)] = (tg x)2 + [ ln (cos x)] =


153


1+1

2

½ (tg x)2 + [ ln (cos x)] + c . 2.

∫ cot3 x dx

=

3

- 3 . cot2 x - 3 ln sen x + c . 2

3

Por Trigonometría: cot2 x = csc2 x - 1.

∫ cot2 x . cot x dx = ∫ cot x . (csc2 x - 1) .dx = 3

.dx

3

∫ {cot x

3

. csc2 x - cot x }. dx = ∫ cot x . csc2 x . dx - ∫ cot x

3

3

3

v = cot x .

3

3

v= x

3

3

.

3

dv = - 1 .csc2 x . dx 3

3

3

dv = 1 dx 3

n =1 (-3)∫ cot x . - 1 csc2 x .dx - (3)∫ cot x . 1 dx = 3 3 3 3 3 - 3 (cot 1/3 x)1+1 - 3 ln sen ( x ) = - 3 (cot 1/3 x)2 - 3 ln sen ( x ) = 1+1 3 2 3 =

3.

- 3 cot2 x - 3 ln sen x + c . 2 3 3

∫ cot3 2x csc 2x dx = ½ csc 2x - 1/6 csc3 2x + c . ∫ cot 2x . cot 2 2x . csc 2x dx = ∫ cot 2x . csc 2x. (csc2 2x - 1) dx = ∫ (cot 2x .csc2 2x . csc 2x - cot 2x .csc 2x) dx =


154


∫ csc2 2x . csc 2x . cot 2x .dx - ∫ csc 2x . cot 2x . dx = v = (csc 2x) dv = [- csc 2x . cot 2x][2] .dx dv = - 2csc 2x . cot 2x . dx n =2

v = 2x dv = 2 . dx

(-½) ∫ (csc 2x)2 .(-2)csc 2x.cot 2x.dx - (½) ∫ csc 2x .cot 2x.(2) dx (-½)(csc 2x)2+1 - (½)(-csc 2x) = - (csc 2x)2+1 + (csc 2x) = 2+1 2(3) 2 - (csc 2x)3 + (csc 2x) = - (csc3 2x) + (csc 2x) = 6 2 6 2 - 1 csc3 2x + 1 csc 2x = 1 csc 2x - 1 csc3 2x + c . 6 2 2 6 4.

∫ csc4 x dx 4

=

- 4 cot3 x - 4 cot x + c . 3 4 4

∫ csc4 x dx = ∫ csc2 x . csc2 x dx

=

∫ (cot 2 x + 1)2. csc 2 x dx

=

4

4

4

4

4

∫ [cot x .csc x + csc x ]dx = ∫ cot x .csc x .dx + ∫ csc 2 x ]dx 2

4

2

2

4

2

4

4

2

4

4

(- 4) ∫ (cot x )2.(- 1 )csc 2 x .dx + (4)∫ csc 2 x . ( 1 )dx 4 4 4 4 4 - 4(cot x/4 )2+1 + 4(- cot x/4) = - 4(cot x/4 )3 - 4 cot x/4 = 2+1 3


155


- 4 (cot x/4 )3 - 4 cot x/4 3 5.

∫ tg5 3θ dθ

=

=

- 4 cot3 x - 4 cot x + c . 3 4 4

1/12 tg4 3θ - 1/6 tg2 3θ + 1/3 ln sec 3θ + c .

∫ tg 4 3θ . tg 3θ dθ = ∫ tg 2 3θ . (sec 2 3θ - 1) . tg 3θ dθ = ∫ tg3 3θ.(sec 2 3θ - 1).dθ = ∫ (tg3 3θ.sec 2 3θ - tg3 3θ).dθ = ∫ tg3 3θ.sec2 3θ.dθ - ∫ tg3 3θ.dθ = ∫ tg3 3θ.sec2 3θ.dθ - ∫ tg2 3θ.tg 3θdθ

∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (sec 2 3θ - 1). tg 3θ dθ

=

∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ .sec 2 3θ - tg 3θ) dθ

=

∫ (tg 3θ)3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ) . sec 2 3θ dθ + ∫ tg 3θ dθ v = (tg 3θ) dv = 3sec2 3θ .dθ n =3

v = (tg 3θ) dv = 3 sec2 3θ .dθ n =1

Se aplica en las dos primeras ∫ vn dv = vn+1 + c integrales n+1

=

v = 3θ dv = 3 .dθ Se aplica en la 3ra integral

∫ tg v dv = ln sec v + c .

(1/3)∫ (tg 3θ)3.(3)sec23θ.dθ - (1/3)∫ (tg 3θ).(3)sec23θ dθ + (1/3)∫ tg 3θ . (3)dθ

(1/3)(tg 3θ )3+1 - (1/3)(tg 3θ)1+1 + (1/3)ln sec 3θ 3+1 1+1 (tg 3θ)4 - (tg 3θ)2 + ln sec 3θ = 3(4) 3(2) 3 tg4 3θ - tg2 3θ + ln sec 3θ = 1 tg4 3θ - 1 tg2 3θ + 1 ln sec 3θ + c


156


12 6.

6

∫ sen2 ɸ dɸ cos4 ɸ

3 =

12

6

3

1 tg3 ɸ + c . 3

Por Trigonometría: tg2 x = sec2 x - 1 ; sen2ɸ /cos2ɸ = tg2ɸ ∫ sen2 ɸ . 1 . dɸ cos2 ɸ cos2 ɸ

=

∫ sen2 ɸ . sec2 ɸ . dɸ cos2 ɸ

∫ tg2 ɸ . sec2 ɸ .dɸ = ∫ (tg ɸ)2.sec2 ɸ .dɸ

=

=

v = (tg ɸ) El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = sec2 ɸ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n =1 n+1 (tg ɸ)2+1 = (tg ɸ)3 = (tg3 ɸ ) + c . 2+1 3 3 7.

∫

3 dx = tg 2x + 1/6 tg 2x - ½ cot 2x + c . sen2 2x cos 4 2x ∫ csc2 2x . sec 4 2x dx = ∫ csc2 2x . sec 2 2x. sec 2 2x dx =

∫ csc2 2x.sec 2 2x.(1 + tg 2 2x)dx ∫ (csc2 2x.sec 2 2x + csc2 2x.sec 2 2x.tg 2 2x)dx = ∫ [csc2 2x.(1 + tg 2 2x) + csc2 2x.tg 2 2x.(1 + tg 2 2x)]dx = ∫ (csc2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x tg2 2x) dx

∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x . tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x . (sec2 2x -1) dx


157


∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x - csc2 2x .tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x - csc2 2x .tg2 2x) dx

∫ (csc2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x.sec2 2x ) dx ∫ [csc2 2x + (1 + cot2 2x).tg2 2x + tg2 2x. sec2 2x .(1 + cot2 2x)] dx dx

∫ [csc2 2x + tg2 2x + cot2 2x. tg2 2x + tg2 2x.sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x .cot2 2x)]

Por Trigonometría:

tg x . cotx = 1 ⇒ tg2 x . cot2 x = 1 1 + tg2 x = sec2 x

∫ [csc2 2x + tg2 2x + (1) + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x .(1) ] dx ∫ [csc2 2x + tg2 2x + 1 + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + (tg2 2x + 1) + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + 2sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x] dx ∫ csc2 2x . dx + 2∫ sec2 2x . dx + ∫ tg2 2x. sec2 2x . dx ∫ csc2 2x . dx + 2∫ sec2 2x . dx + ∫ (tg 2x)2. sec2 2x . dx v = 2x dv = 2 dx

v = 2x dv = 2 dx

v = tg 2x dv = 2 sec2 2x . dx n =2

Para la 1ra integral, se aplica: ∫ csc2 v .dv = - cot v + c . Para la 2 da integral, se aplica: ∫ sec2 v dv = tg v + c . Para la 3 ra integral, se aplica: ∫ v n.dv = v n+1 dx n+1


158


(1/2)∫ csc2 2x .(2) dx + 2(1/2)∫ sec2 2x .(2) dx + (1/2)∫ (tg 2x)2.(2) sec2 2x . dx

(1/2) (- cot 2x) + 2(1/2) (tg 2x) + 1 . (tg 2x)2+1 2 2+1

=

- 1/2 cot 2x + tg 2x + (tg 2x)3 = - 1/2 cot 2x + tg 2x + tg3 2x 2(3)

6

Ordenando: tg 2x + 1 tg3 2x - 1 cot 2x + c . 6 2 8.

dx

∫ cos 4 x dx = - 1/5 ctg5 x + c . sen6 x ∫ cos 4 x .

1

dx = ∫ cot 4 x .csc2 x . dx = ∫ (cot x)4 . csc2 x .

sen4 x . sen2 x v = cot x dv = - csc2 x dx

9.

Se aplica: ∫ v n .dv = v n+1 + c . n+1

(-)∫ (cot x)4.(-)csc2 x .dx = (-)(cot x)4+1 = -cot5 x) = - 1 cot5 x + c 4+1 5 3/2 5/2 9/2 ∫ sen x dx = 2/5 tg x + 2/9 tg x + c . cos11/2 x ∫ sen3/2 x dx = ∫ sen3/2 x . 1 .dx = ∫ tg3/2 x . 1 cos11/2 x cos3/2 x cos 8/2 x cos 4 x

.dx

∫ tg3/2 x.sec4 x.dx = ∫ tg3/2 x.sec2 x.sec2 x.dx = ∫ tg3/2 x.sec2 x.(1 + tg2 x).dx = ∫ (tg3/2 x.sec2 x + tg3/2 x . sec2 x. tg2 x) . dx =


159


∫ (tg3/2 x . sec2 x + tg3/2 x.sec2 x.tg4/2 x) . dx = ∫ (tg3/2 x.sec2 x + tg7/2 x.sec2 x).dx = ∫ tg3/2 x.sec2 x.dx + ∫ tg7/2 x.sec2 x.dx = El diferencial esta completo en ambas integrales. Se aplica: ∫ vn .dv = vn+1 + c . n+1 3/2 2 ∫ (tg x) . sec x. dx + ∫ (tg x)7/2 . sec2 x . dx = (tg x)3/2+1 + (tg x)7/2+1 = (tg x)5/2 + (tg x)9/2 = 3/2+1 7/2+1 5/2 9/2 2 (tg x)5/2 + 2 (tg x)9/2 = 2 tg5/2 x + 2 tg9/2 x + c . 5 9 5 9 10.

∫ tg3 α + sec5/2 α . dα = 2 sec5/2 α - 2 sec5/2 α + c . 9 5 ∫ tg3 α . sec5/2 α . dα = ∫ (tg2 α. tg α . sec5/2 α) . dα = ∫ [(sec2 α - 1). tg α . sec5/2 α] . dα = ∫ [sec2 α . sec5/2 α .tg α - sec5/2 α . tg α] . dα = ∫ [sec9/2 α . tg α - sec3/2 α . sec2/2 α . tg α] . dα = ∫ [sec7/2 α . sec2/2 α . tg α - sec3/2 α . sec α . tg α] . dα = ∫ sec7/2 α . sec α . tg α . dα - ∫ sec3/2 α . sec α . tg α . dα = ∫ (sec α)7/2 . sec α .tg α . dα - ∫ (sec α)3/2 . sec α . tg α . dα = v = sec α dv = sec α .tg α . dα

v = sec α dv = sec α .tg α . dα


160


Ambos diferenciales estan completos, se aplica en ambos: ∫ vn dv = vn+1 + c

n+1

(sec α)7/2+1 - (sec α)3/2+1 7/2+1 3/2+1

=

(sec α)9/2 - (sec α)5/2 = 9/2 5/2

2(sec α)9/2 - 2(sec α)5/2 = 2 (sec α)9/2 - 2 (sec α)5/2 = 9 5 9 5 2 sec9/2 α - 2 sec5/2 α + c . 9 5 11.

∫

sec ax tg ax

4

. dx = - 1 cot ax + 1 cot3 ax + c . a 3

Por Trigonometría: sec v =

1 ; cot v = 1 ; csc v = 1 ; csc2 v = 1 + cot2 v. cos v tg v sen v

∫ sec4 ax . dx = ∫ 1 . 1 . dx = ∫ 1 . cot4 ax . dx = tg4 ax cos4 ax tg4 ax cos4 ax 4 4 ∫ 1 . cos ax . dx = ∫ 1 . cos ax . dx = ∫ 1 dx = 4 4 4 4 4 cos ax sen ax cos ax sen ax sen ax ∫ csc4 ax dx = ∫ csc2 ax . csc2 ax dx = ∫ csc2 ax . (1 + cot2 ax) dx = ∫ (csc2 ax + cot2 ax .csc2 ax) dx = ∫ csc2 ax dx + ∫ cot2 ax .csc2 ax dx =

(1/a) . ∫ csc2 ax . (a)dx + (-1/a) . ∫ (cot ax)2 .(-a)csc2 ax dx = v = ax dv = a dx

v = (cot ax) dv = a.csc2 ax dx

Para la 1ra integral, aplicamos: ∫ csc2 v . dv = - cot v + c .


161


Para la 2da integral, aplicamos: ∫ vn .dv = v n+1 + c. n+1

(1/a) (- cot ax) - (1/a)(cot ax)2+1 = - 1 .cot ax - 1 .(cot ax)2+1 = 2+1 a a 2+1 =

=

12.

- 1 .cot ax - 1 .(cot ax)3 = - 1 .cot ax - 1 .cot3 ax a a 3 a a 3

-1 a

cot x + 1 cot3 ax + c . 3

∫ (cot2 2θ + cot4 2θ ) . dθ

=

- 1/6 cot3 2θ + c .

∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . cot2 2θ) dθ . Por Trigonometría: cot2 v = csc2 v - 1 . ∫ [cot2 2θ + cot2 2θ .( csc2 2θ - 1)] dθ ∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . csc2 2θ - cot2 2θ) dθ ∫ (cot2 2θ + cot2 2θ . csc2 2θ - cot2 2θ) dθ ∫ cot2 2θ . csc2 2θ . dθ = (-½) . ∫ (cot 2θ)2 .(-2) csc2 2θ . dθ (-½)(cot 2θ)2+1 = - 1 . (cot 2θ)3 2+1 2 3 13.

=

- 1 cot3 2θ + c . 6

∫ (tg bt - cot bt)3 dt = 1 [tg2 bt + cot2 bt] + 4 ln sen 2 bt + c . 2b b ∫ (tg3 bt - 3tg2 bt . cot bt + 3 tg bt . cot2 bt - cot3 bt)dt ∫ (tg3 bt - 3tg bt .tg bt . 1 + 3. 1 . cot bt . cot bt - cot3 bt)dt tg bt cot bt


162


∫ (tg3 bt - 3tg bt + 3cot bt - cot3 bt)dt ∫ (tg2 bt . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - cot2 bt . cot bt)dt ∫ [(sec2 bt - 1) . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - (csc2 bt - 1) . cot bt]dt ∫ [sec2 bt . tg bt - tg bt - 3tg bt + 3cot bt - csc2 bt . cot bt + cot bt]dt

∫ [sec2 bt . tg bt - 4tg bt + 4cot bt - csc2 bt . cot bt ]dt dt

∫ tg bt . sec2 bt .dt - 4∫ tg bt . dt + 4∫ cot bt . dt - ∫ cot bt . csc2 bt .

(1/b) ∫ (tg bt)1.(b)sec2 bt . dt - 4(1/b)∫ tg bt .(b) dt + 4(1/b)∫ cot bt .(b) dt - (-1/b)∫ (cot bt)1 . (-b)csc2 bt . dt 1 (tg bt)1+1 - 4 [- ln cos bt] + 4 [ln sen bt] + 1 (cot bt)1+1 = b 1+1 b b b 1+1 1 . (tg bt)2 + 4 . ln cos bt + 4 [ln sen bt] + 1 . (cot bt)2 b 2 b b b 2 1 . tg2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt + 1 . cot2 bt. 2b b b 2b Ordenando:

1 . tg2 bt + 1 . cot2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt 2b 2b b b 1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt + ln sen bt 2b b

=


163


1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt .sen bt 2b b 14.

∫ cot5 ax dx . ∫ cot4 ax. cot ax dx = ∫ cot2 ax. cot2 ax . cot ax dx = ∫ (csc2 ax - 1). (csc2 ax - 1). cot ax dx = ∫ (csc2 ax - 1)2.cot ax dx = ∫ [csc4 ax - 2csc2 ax + 1]. cot ax dx = ∫ [csc3 ax . csc ax .cot ax - 2csc ax .csc ax .cot ax + cot ax].dx = (-1/a)∫ (csc ax)3.[-csc ax .cot ax .(a)]dx - 2(-1/a)∫ (csc ax).[-csc ax. cot ax.(a)]dx + (1/a)∫ cot ax .(a)dx .

- (-1/a) (csc ax)3+1 + 2(1/a) (csc ax)1+1 + (1/a)ln sen ax 4

2

(csc ax)3+1 + 2 (csc ax)1+1 + ln sen ax + c . 4a 2a a

15.

∫ sec6 θ dθ ∫ sec4 θ . sec2 θ dθ = ∫ (tg2 θ + 1)2 . sec2 θ dθ = ∫ (tg4 θ + 2 tg2 θ + 1)2 . sec2 θ dθ = ∫ tg4 θ.sec2 θ dθ + 2∫ tg2 θ.sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ = ∫ (tg θ)4.sec2 θ dθ + 2∫ (tg θ)2.sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ = (tg θ )4+1 + 2 (tg θ)2+1 + tg θ = tg5 θ + 2 tg3 θ + tg θ + c . 4+1

16.

2+1

5

3

∫ csc6 x dx


164


2 ∫ (csc4 x dx. csc2 x ) dx = ∫ (1+ cot2 x )2. csc2 x .dx 2

2

2

2

∫ (1 + 2 cot2 x + cot4 x ) . csc2 x .dx 2

2

2

∫ csc2 x .dx + 2∫ cot2 x . csc2 x .dx + ∫ cot4 x . csc2 x .dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)∫ csc ½ x .(½)dx + 2(2)∫ cot ½ x . csc ½ x .(½)dx + (2)∫ cot4 ½ x .csc2 ½ x .½dx

v =½ x dv = ½ dx

Falta ½ para completar el diferencial en la 1ra integral.

v = (cot ½ x) dv = - ½ csc2 ½ x .dx n =1

Falta (- ½) para completar el diferencial, en la 2da integral .

(2)∫ csc2 ½ x .(½)dx + 2(-2)∫ (cot ½ x)2 . csc2 ½ x .(- ½)dx + (-2)∫ (cot ½ x)4 .csc2 ½ x .(- ½)dx - 2cot ½ x - 4 (cot ½ x)2+1 - 2 (cot ½ x)4+1 + c 2+1 4+1 3 5 = - 2cot ½ x - 4(cot ½ x) - 2(cot ½ x) + c 3 5 =

17.

∫ sec4 t dt tg3 t ∫ sec4 t.cot3 t dt = ∫ sec4 t.cot3 t dt = ∫ sec2 t. sec2 t.cot3 t dt = ∫ (1 + tg2 t) (1 + tg2 t).cot3 t dt = ∫ (1 + tg2 t)2.cot3 t dt =


165


∫ (1 + 2tg2 t + tg4 t).cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.cot3 t dt + ∫ tg4 t.cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.cot2 t . cot t dt + ∫ tg3 t. tg t.cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg3 t. 1 .tg t dt = tg2 t tg3 t ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg3 t. 1 .tg t dt = tg2 t tg3 t ∫ tg t dt

∫ cot3 t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ cot2 t .cot t dt + 2∫ cot t dt + Por Trigonometría: cot2 t = csc2 t - 1 ,reemplazando en la integral.

∫ (csc2 t - 1).cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ csc2 t .cot t dt - ∫ cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt . Simplificando: ∫ (cot t) .csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = (cot t) Falta (-) para completar el diferencial, en la 2 dv = - csc t dt 1ra integral.Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 n+1 + c da ra La 2 y 3 integral, estan listas para ser integradas. (-)∫ (cot t) .(-)csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = - (cot t)1+1 + ln sen t + ln sec t = - (cot t)2 + ln sen t + ln sec t + c 1+1 2 Otra solución:


166


∫ csc2 t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ (csc t) . csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = csc t dv = - csc t.cot t dt n =1

Falta (-) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

(-)∫ csc t . (-)csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = - (csc t)1+1 + ln sen t + ln sec t = - (csc t)2 + ln sen t + ln sec t + c . 1+1 2 18.

∫ sec4 x dx √tg x ∫ sec2 x. sec2 x.(tg x)-1/2 dx = ∫ (1 + tg2 x). sec2 x.(tg x)-1/2 dx ∫ sec2 x.(tg x)-1/2 dx + ∫ tg2 x.(tg x)-1/2. sec2 x. dx ∫ (tg x)-1/2. sec2 x dx + ∫ (tg x)3/2. sec2 x. dx v = (tg x) 1ra integral. La integral esta completa. dv = sec2 x dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1 da v = (tg x) 2 integral. La integral esta completa. dv = sec2 x dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n = 3/2 n+1 (tg x)-1/2+1 + (tg x)3/2+1 = (tg x)1/2 + (tg x)5/2 = 2(tg x)1/2 + 2(tg x)5/2 + c -1/2+1 3/2+1 1/2 5/2 5


167


19.

dx

∫

csc ax cot ax

4

dx

∫ csc4 ax.tg4 axdx = ∫

1

. sen4 ax dx = ∫

sen4 ax cos4 ax

1 dx = ∫ sec4 ax

cos4 ax

∫ sec2 ax. sec2 ax dx = ∫ (1 + tg2 ax).sec2 ax dx = ∫ sec2 ax dx + ∫ tg2 ax.sec2 ax dx = ∫ sec2 ax dx + ∫ (tg ax)2.sec2 ax dx = (1/a)∫ sec2 ax .(a)dx + (1/a)∫ (tg ax)2.(a)sec2 ax dx = (1/a)tg ax + (1/a)(tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)3 = 2+1 a 3a tg ax + tg3 ax + c . a 3a 19.

∫ tg3 x . sec3 x dx 3 3 ∫ tg2 x . tg x . sec3 x dx 3 3 3 Por Trigonometría: sec2 x - 1 = tg2 x . 3 3 2 3 ∫ (sec x - 1). tg x . sec x dx 3 3 3 ∫ sec5 x . tg x .- ∫ sec3 x . tg x . dx 3 3 3 3


168


∫ sec4 x . sec x . tg x .dx - ∫ sec2 x . sec x . tg x . dx 3 3 3 3 3 3 3∫ (sec x )4.(1/3)sec x .tg x .dx - 3∫ (sec x )2 .(1/3)sec x .tg x .dx 3 3 3 3 3 3 3(sec x )4+1 3 4+1

3(sec x )2+1 3(sec x )5 3 3 = 2+1 5

3(sec x )3 3 3

=

3 (sec x )5 (sec x )3 + c . 5 3 3 21.

∫

dx . sen4 3x . cos2 3x

∫ csc4 3x . sec2 3x dx = ∫ sec2 3x . csc2 3x . csc2 3x .dx Por Trigonometría: sec2 3x = tg2 3x + 1 ; csc2 3x = 1 + cot2 3x . ∫ (tg2 3x + 1)( 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx ∫ (tg2 3x + tg2 3x.cot2 3x + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx ∫ (tg2 3x + tg2 3x.

1 + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx tg 3x 2

∫ (tg2 3x + 1 + 1 + cot2 3x).csc2 3x .dx = ∫ (tg2 3x + 2 + cot2 3x).csc2 3x.dx

∫ (tg2 3x.csc2 3x.dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx ∫ sen2 3x . 1 .dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx cos2 3x sen2 3x


169


∫

1 .dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx cos 3x 2

∫ sec2 3x dx + 2∫ csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.csc2 3x .dx dx

(1/3)∫ sec2 3x.(3)dx + 2(1/3)∫ csc2 3x.(3)dx + (-1/3)∫ (cot 3x)2.(-3)csc2 3x.

(1/3) tg 3x + 2/3(-cot 3x) + (-1/3) (cot 3x)2+1 = 2+1

tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x)3 = tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x)3 + c . 3 3 3(3) 3 3 9 22.

∫

csc bx 2 dx tg bx

∫ csc2 bx . cot2 bx . dx = ∫ cot2 bx . csc2 bx .dx (-1/b)∫ (cot bx)2 .(- b) csc2 bx .dx

(-1/b)(cot bx)2+1 = - (cot bx)3 = - (cot3 bx) + c . 2+1 3b 3b 23.

∫

tg φ cot φ

3

dφ

∫ tg3 φ .tg3 φ .dφ φ .dφ

=

∫ tg2 φ .tg φ .tg2 φ .dφ

∫ (sec2 φ - 1).(sec2 φ - 1). tg2 φ .dφ

=

∫ (sec2 φ - 1)2. tg2

∫ (sec4 φ - 2 sec2 φ + 1). tg2 φ .dφ


170


tg φ + 1

∫ (sec2 φ .sec2 φ - 2sec2 φ + 1).tg2 φ .dφ .Por Trigonometría: sec2 φ

=

2

∫ [(tg2 φ + 1). sec2 φ - 2sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ ∫ [(tg2 φ . sec2 φ + sec2 φ - 2 sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ ∫ [(tg2 φ . sec2 φ - sec2 φ + 1]. tg2 φ .dφ ∫ [(tg2 φ . tg2 φ . sec2 φ - tg2 φ .sec2 φ + tg2 φ ]. dφ Por trigonometría: tg2 φ

=

sec2 φ - 1.

∫ [(tg φ ) . tg2 φ . sec2 φ - tg2 φ .sec2 φ + sec2 φ - 1]. dφ ∫ dφ ∫ dφ

∫ tg4 φ .sec2 φ .dφ - ∫ tg2 φ .sec2 φ .dφ + ∫ sec2 φ .dφ ∫ (tg φ )4 . sec2 φ .dφ - ∫ (tg φ )2 .sec2 φ .dφ + ∫ sec2 φ .dφ v = (tg φ ) Esta completo el diferencial de la 1ra integral . dv = sec2 φ .dφ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n =4 n+1 v = (tg φ ) dv = sec2 φ .dφ

Esta completo el diferencial de la 2da integral.

La 3ra y 4ta integrales,estan completos sus diferenciales, se procede a integrar .

(tg φ )4+1 - (tg φ )2+1 + tg φ - φ 4+1 2+1 (tg φ )5 - (tg φ )3 + tg φ - φ

=

tg5 φ - tg3 φ + tg φ - φ


171


5

24.

3 ∫ tg at dt cos at

5

3

4

∫ tg4 at . sec4 at dt = ∫ tg4 at . sec2 at . sec2 at dt ∫ tg4 at . sec2 at . (1 + tg2 at) .dt ∫ (tg4 at . sec2 at + tg4 at . sec2 at .tg2 at) .dt ∫ tg4 at . sec2 at . dt + ∫ tg6 at . sec2 at .dt ∫ (tg at)4 . sec2 at . dt + ∫ (tg at)6 . sec2 at .dt v = (tg at) dv = a.sec2 at n =4

Falta (a) para completar el diferencial en la 1ra integral. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1

v = (tg at) dv = a.sec2 at n =6

Falta (a) para completar el diferencial en la 2da integral. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1

(1/a)∫ (tg at)4 .(a)sec2 at . dt + (1/a)∫ (tg at)6 .(a)sec2 at .dt (1/a) (tg at)4+1 + (1/a) (tg at)6+1 = (tg at)5 + (tg at)7 = 4+1 6+1 5a 7a tg5 at + tg7 at + c . 5a 7a 25.

∫ tg3 x dx √sec x ∫ tg3 x . (sec x)-1/2 .dx = ∫ tg2 x . tg x (sec x)-1/2 .dx


172


∫ (sec2 x - 1 ).(sec x)-1/2 . tg x dx = ∫ [(sec x)2.(sec x)-1/2 - (sec x)-1/2] . tg x dx = ∫ [(sec x)3/2 - (sec x)-1/2] . tg x dx = ∫ (sec x)3/2 .tg x dx - ∫ (sec x)-1/2 .tg x dx = En la 2da integral se hace un artificio:-1/2 = - 3/2 + 2/2 = - 3/2 + 1 .

∫ (sec x)1/2 .(sec x)2/2 .tg x dx - ∫ (sec x)-3/2 . (sec x)1 .tg x dx = ∫ (sec x)1/2.(sec x).tg x dx - ∫ (sec x)-3/2.(sec x).tg x dx = c.

El diferencial de ambas integrales esta completo.Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + n+1

(sec x)1/2+1 - (sec x)-3/2+1 = (sec x)3/2 - (sec x)-1/2 = 1/2+1 -3/2+1 3/2 -1/2 2(sec x)3/2 + 2(sec x)-1/2 = 2(sec x)3/2 + 2 +c. 3 3 √sec x 26.

∫ tgn x . sec4 x dx ∫ sec2 x . tgn x . sec2 x dx = ∫ [(1 + tg2 x). tgn x . sec2 x] dx ∫ tgn x . sec2 x . dx + ∫ tg2 x. tgn x . sec2 x .dx ∫ (tg x)n . sec2 x . dx + ∫ (tg x)n+2 . sec2 x .dx v = (tg x)

El diferencial de la 1ra integral, esta completo.


173


dv = sec2 x .dx n =n

Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1

v = (tg x) dv = sec2 x .dx n = n+2

El diferencial de la 2da integral, esta completo. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1

(tg x)n+1 + (tg x)[(n+2)+1] = (tg x)n+1 + (tg x)n+3 = n+1 [(n+2)+1] n+1 n+3 tgn+1 x + tgn+3 x + c . n+1 n+3 27.

∫ tg5 2θ dθ sec3 2θ ∫ tg3 2θ . tg2 2θ . cos3 2θ . dθ = ∫ sen3 2θ . tg2 2θ . cos3 2θ . dθ cos3 2θ ∫ tg2 2θ.sen3 2θ dθ = ∫ (sec2 2θ - 1).sen2 2θ . sen 2θ dθ ∫ (sec2 2θ . sen2 2θ . sen 2θ - sen2 2θ. sen 2θ) dθ ∫

1 . sen2 2θ . sen 2θ - (1 - cos2 2θ). sen 2θ dθ cos2 2θ

∫ (tg2 2θ . sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ [(sec2 2θ - 1) . sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ)] dθ ∫ sec2 2θ . sen 2θ - sen 2θ - sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ sec2 2θ . sen 2θ - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ


174


∫

1 . sen 2θ - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ cos 2θ cos 2θ

∫ (tg 2θ. 1 . - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ cos 2θ ∫ (tg 2θ . sec 2θ . - 2sen 2θ + cos2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ sec 2θ . tg 2θ. dθ - 2∫ sen 2θ . dθ + ∫ (cos 2θ)2 .sen 2θ. dθ Completando los diferenciales, tenemos: ½∫ sec 2θ . tg 2θ.(2)dθ - 2(½)∫ sen 2θ .(2) dθ +(-½) ∫ (cos 2θ)2.(-2)sen 2θ.dθ

(½)sec 2θ - 2(½) (- cos 2θ) - ½(cos 2θ )2+1 = 2+1 sec 2θ + cos 2θ - (cos 2θ )3 = sec 2θ + cos 2θ - cos3 2θ + c . 2 2(3) 2 6

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


175


Problemas. Páginas 265 Demostrar las siguientes Integraciones: 1.

∫ sen2 x . dx = x - sen 2x + c . 2 4 ∫ (½ - ½ cos 2x) dx = ½ ∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x . dx = x - ¼ sen 2x = x - sen 2x + c . 2 4

2.

∫ sen4 x . dx = 3x - sen 2x + sen 4x + c . 8 4 32 ∫ sen2 x . sen2 x dx = ∫ (½ - ½ cos 2x)2 dx = ∫ {(½)2 - 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx ∫ {¼ - ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx ¼ ∫ dx - ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2x)] dx ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx


176


(4)dx

¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x . ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x .(4)dx ¼ x - ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = ¼ x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = ⅜ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .

3.

∫ cos4 x dx = 3x + sen 2x + sen 4x + c . 8 4 32 ∫ cos2 x. cos2 x dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]2 dx dx = ∫ {(½)2 + 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx ∫ {¼ + ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ ∫ dx + ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx ¼ ∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2)x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x (4)dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x (4)dx ¼ x + ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x =


177


¼ x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =

4.

2/8

x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x =

3/8

x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .

∫ sen6 x dx = 5x - sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 ∫ sen2 x . sen2 x . sen2 x dx = ∫ (sen2 x)3dx = ∫ [½ - ½ cos 2x]3 dx ∫ {(½)3 - 3.(½)2. ½ cos 2x + 3(½). (½ cos 2x)2 - (½ cos 2x)3} dx ∫ (⅛ - 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½)2.cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ - ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ - ⅜cos 2x + ⅜cos2 2x - ⅛cos3 2x) dx ∫ {⅛ - ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] - ⅛.cos2 2x. cos 2x} dx

dx 2x]}dx

2x}dx

∫ {⅛ - ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x - ⅛.[(1 - sen2 2x). cos 2x]} ∫ {⅛ + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛[cos 2x - sen2 2x.cos ∫ {2/16 + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛cos 2x + ⅛sen2 2x.cos ∫ {5/16 - ⅜ cos 2x - ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx


178


∫ {5/16 - 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx ∫ {5/16 - ½ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx 5/16∫ dx - ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx + ⅛∫ (sen2x)2.cos2x dx 5/16∫ dx

(2)cos2xdx

5/16∫

- ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx + ⅛.½∫ (sen2x)2.

dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx + 1/16∫ (sen2x)2.(2)cos2xdx

5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/16(sen3 2x) = 3 5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/48 (sen3 2x) = 5x - sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 5.

∫ cos6 x dx = 5x + sen 2x - sen3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 ∫ cos2 x. cos2 x. cos2 x dx = ∫ (cos2 x)3 dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]3 dx

dx

∫ [(½)3 + 3.(½)2 (½ cos 2x) + 3(½).(½ cos 2x)2 + (½ cos 2x)3 ]3 ∫ (⅛ + 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½)2.cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + ⅜ cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx

dx

∫ {⅛ + ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] + ⅛.cos2 2x. cos 2x}


179


∫ {⅛ + ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x + ⅛[(1 - sen2 2x).cos 2x]}

dx 2x]}dx 2x}dx

∫ {⅛ + 3/16 + ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛[cos 2x - sen2 2x.cos ∫ {2/16 + 3/16 + ⅜cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛cos 2x - ⅛sen2 2x.cos

∫ {5/16 + ⅜ cos 2x + ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x) .cos2x}dx 2

∫ {5/16 + 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx ∫ {5/16 + ½ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x)2.cos2x}dx 5/16∫ dx + ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx -

⅛∫ (sen2x)2.cos2x dx 5/16∫ dx

+ ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx - ⅛.½∫ (sen2x)2.

(2)cos2xdx

5/16∫ dx + ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx - 1/16∫ (sen2x)2. (2)cos2xdx

5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16(sen 2x)2+1 = 2+1 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16 (sen 2x)3 = 3 5x + sen 2x - sen3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 6.

∫ sen2 ax dx = x - sen 2ax + c . 2 4a

.


180


∫ [½ - ½ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx - ½.1/2a ∫ cos 2ax . (2a)]dx = ½

7.

x - 1/4a .sen 2ax = x - sen 2ax + c . 2 4a

∫ sen2 x/2 . cos2 x/2 dx = x - sen 2x + c . 8 16 ∫ [½ - ½ cos 2(x/2)].[½ + ½ cos 2(x/2)]dx . Simplificando: ∫ [½ - ½ cos x].[½ + ½ cos x]dx. Tenemos una diferencia de cuadrados.

∫ {[½]2 - [½ cos x]2} dx = ∫ {[¼] - [¼ cos2 x]} dx =

2x dx

¼∫

dx - ¼ ∫ cos2 x dx = ¼∫ dx - ¼ {∫ [½ + ½ cos 2x] dx}

¼∫

dx - ¼.½ ∫ dx - ¼.½ ∫ cos 2x dx = ¼∫ dx - ⅛ ∫ dx - ⅛ ∫ cos

¼∫

dx - ⅛ ∫ dx - ⅛.(½) ∫ cos 2x .(2) dx =

¼∫

dx - ⅛ ∫ dx - 1/16 ∫ cos 2x .(2) dx

¼x-⅛ 1/8

8.

x - 1/16 sen 2x = 2/8 x - ⅛ x - 1/16 sen 2x =

x - 1/16 sen 2x = x - sen 2x + c . 8 16

∫ sen4 ax dx


181


∫ sen2 ax . sen2 ax dx = ∫ sen2 ax . sen2 ax dx = ∫ [½ - ½ cos 2ax] dx 2

∫ {(½)2 - 2(½)(½).cos 2ax + [(½)cos 2ax]2} dx ∫ {¼ - ½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax} dx ¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax dx + ¼ ∫ cos2 2ax dx ¼ ∫ dx - ½.½a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2ax)] dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4ax] dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4ax dx (4a)dx

¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼a ∫ cos 4ax ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32a ∫ cos 4ax (4a)dx ¼ x - ¼a sen 2ax + ⅛ x + 1/32a sen 4ax = ¼ x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = 2/8 x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x - sen 2ax + sen 4ax + c . 4a 32a

9.

.

∫ sen2 2x .cos4 2x dx ∫ sen2 2x .cos4 2x . cos2 2x dx ∫ [½ - ½ cos 2(2x)]. [½ + ½ cos 2(2x)]. cos2 2x dx


182


∫ [½ - ½ cos 4x]. [½ + ½ cos 4x]. cos2 2x dx ∫ [¼ - ¼ cos2 4x].cos2 2x dx ∫ [¼ .cos2 2x - ¼.cos2 2x .cos2 4x] dx ∫ {¼[½ + ½ cos 2(2)x] - ¼.cos2 2x (1 - sen2 4x)} . dx ∫ {¼[½ + ½ cos 4x] - ¼ cos2 2x + ¼ sen2 4x.cos2 2x} . dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 2(2)x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos 2(2)x]}.dx 4x]}.dx

4x]}.dx

4x]}.dx

∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 4x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos ∫ [⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos 4x].dx ⅛ ∫ [½ - ½ cos 2(4)x]dx + ⅛ ∫ (sen 4x)2.cos 4x.dx ⅛ ∫ [½ - ½ cos 8x]dx + ⅛.¼ ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx ⅛ .½ ∫ dx - ⅛.½ ∫ cos 8x dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx 1/16

∫ dx - 1/16.⅛ ∫ cos 8x .(8)dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos 4x.(4)dx

1/16

x - 1/128 sen 8x +

1/32 (sen

4x)2+1

=

2+1


183


x - sen 8x + (sen 4x)3 = x + (sen 4x)3 - sen 8x 16 128 32(3) 16 96 128

=

x + sen3 4x - sen 8x + c . 16 96 128 10.

2θ]}dθ

2θ]}dθ

∫ (2 - sen θ)2 dθ = 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c . 2 4 ∫ [4 - 2.2.sen θ + (sen θ)2] dθ = ∫ [4 - 4sen θ + sen2 θ] dθ = ∫ {4 - 4sen θ + [½ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {4 - 4sen θ + ½ + ½ cos ∫ {8/2 + ½ - 4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {9/2 - 4sen θ + ½ cos 9/2 ∫

dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½ ∫ cos 2θ .dθ =

9/2 ∫

dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½.½ ∫ cos 2θ .(2)dθ =

9/2 θ

- 4(- cos θ) + ¼ (sen 2θ) = 9/2 θ + 4cos θ + ¼ (sen 2θ)

9θ + 4cos θ + sen 2θ + c . 2 4 11.

∫ [sen2 Ф + cos Ф]2 d Ф = ∫ [(sen2 Ф)2 + 2.(sen2 Ф).cos Ф + cos2 Ф]2 d Ф = ∫ [(½ - ½ cos 2Ф)2 + 2.(sen2 Ф).cos Ф + (½ + ½ cos 2Ф)] d Ф = ∫ [(¼ - 2.½. ½ cos 2Ф + (½ cos 2Ф)2 + 2(sen2 Ф).cos Ф + ½ + ½ cos

2Ф]d Ф =

∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф =


184


∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ (½ + ½ cos 2(2Ф) + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(2/8 + 4/8 + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(7/8 + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф = 7/8 ∫

d Ф + ⅛ ∫ cos 4Ф + 2 ∫ (sen Ф)2.cos Ф.d Ф =

7/8 ∫

d Ф + ⅛.¼ ∫ cos 4Ф .(4 Ф).d Ф + 2 ∫ (sen Ф)2.cos Ф.d Ф =

7/8 Ф

+ 1/32 sen 4Ф + 2(sen Ф)2+1 2+1

7 Ф + sen 4Ф + 2(sen Ф)3

=

=

7 Ф + 2sen3 Ф + sen 4Ф +

c. 8 12.

32

3

8

3

32

∫ sen 2x cos 4x dx = cos 2x - cos 6x + c . 4 12 Por Trigonometría: sen 2x cos 4x = ½ sen[2+4]x + ½ sen[2-4]x sen 2x cos 4x = ½ sen 6x + ½ sen[-2]x ∫ {½ sen 6x + ½ sen[-2]x}dx = ∫ {½ sen 6x - ½ sen 2x}dx ½ ∫ sen 6x .dx - ½ ∫ sen 2x .dx = ½.1/6 ∫ sen 6x.(6)dx - ½.½∫ sen 2x .(2)dx


185


1/12 (- cos 6x) - ¼ (- cos 2x) = - cos 6x + cos 2x 12 4

=

cos 2x - cos 6x + c . 4 12

13.

∫ sen 3x sen 2x dx = sen x - sen 5x + c . 2 10 Por Trigonometría: sen 3x sen 2x = -½ cos[3+2]x + ½ cos[3-2]x sen 3x sen 2x = -½ cos 5x + ½ cos x ∫ [-½ cos 5x + ½ cos x] dx = -½ ∫ cos 5x . dx + ½ ∫ cos x . dx = -½.(1/5) ∫ cos 5x .(5) dx + ½ ∫ cos x .dx = -(1/10) sen 5x + ½ sen x

=

½ sen x - (1/10) sen 5x

14.

=

sen x - sen 5x + c . 2 10

∫ cos 4x cos 3x dx Por Trigonometría: cos 4x cos 3x = ½ cos[4+3]x + ½ cos[4-3]x cos 4x cos 3x = ½ cos 7x + ½ cos x ∫ (½ cos 7x + ½ cos x) dx = ½ ∫ cos 7x dx + ½ ∫ cos x dx ½.(1/7) ∫ cos 7x .(7)dx + ½ ∫ cos x dx 1/14(sen

7x) + ½ (sen x) = sen 7x + sen x 14 2

=

sen x + sen 7x + c 14 2


186


15.

∫ cos2 ax dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2(ax) ]dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax ]dx = ½ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) ]dx =

16.

x/2 + 1/4a sen 2ax = x/2 + sen 2ax /4a + c . ∫ cos4 ax dx = ∫ cos2 ax . cos2 ax .dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax] [½ + ½ cos 2ax] dx = ∫ [½ + ½ cos 2ax]2 dx = ∫ [¼ + 2.½ .½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax]dx =

∫ {¼ + ½ cos 2ax + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)]}dx = ∫ {¼ + ½ cos 2ax + ⅛ + ⅛ cos 4ax}dx .Haciendo operaciones: ∫ {⅜ + ½ cos 2ax + ⅛ cos 4ax}dx ⅜ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) dx + ⅛.¼a ∫ cos 4ax .(4a)}dx 3x/8

17.

+ 1/4a sen 2ax + 1/32a sen4ax + c .

∫ sen2 ax . cos2 ax .dx = ∫ [ ½ - ½ cos 2(ax)] [½ + ½ cos 2(ax)] dx = ∫ [(½)2 - (½ cos 2ax)2] dx = ∫ [¼ - ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)2] dx = ∫ [¼ - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ∫ [2/8 - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx =


187


∫ [⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ⅛∫ dx - ⅛.¼a ∫ cos 4ax.(4a)] dx = x/8 - 1/32a .sen 4ax = x/8 - sen 4ax/32a + c . 18.

∫ sen4 θ /2 cos2 θ /2 .dθ

=

∫ sen2 θ/2.cos2 θ/2.sen2 θ/2 dθ = ∫ (sen θ/2 .cos θ/2)2 .sen2 θ/2 dθ = Por Trigonometría :sen

2x = 2senx.cosx ; sen θ/2 .cos θ/2 = sen(2.θ/2)

sen θ/2 .cos θ/2 = ½ sen θ . ∫ (sen θ/2 .cos θ/2)2 .sen2 θ/2 dθ = ∫ (½sen θ. sen 2θ/2) dθ = ∫ {(½sen θ [½ - ½ cos (2.θ/2)]} dθ = ∫ [½sen θ ( ½ - ½ cos θ)] dθ = ∫ [¼ sen θ - ¼ sen θ .cos θ] dθ = ¼ ∫ sen θ dθ - ¼ ∫ (sen θ)1 .cos θ dθ . v = sen θ dv = cos θ dθ n =1


Se usa: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1

¼ (- cos θ ) - ¼ .sen2 θ 2 19.

∫

=

- cos θ - sen2 θ + c . 4 8

csc ax 4 . dx = cot ax

Por Trigonometría: csc ax cot ax

1 sen ax = cos ax sen ax

.

=

1 = sec ax cos ax .


188


∫

csc ax 4.dx = ∫ (sec ax)4.dx = ∫ sec4 ax.dx =∫ sec2 ax. sec2 ax dx

=

cot ax ∫ (1 + tg2 ax). sec2 ax . dx = ∫ (sec2 ax + tg2 ax . sec2 ax). dx = ∫ sec2 ax . dx + ∫ tg2 ax . sec2 ax). dx = ∫ sec2 ax . dx + ∫ (tg ax)2 . sec2 ax. dx = v = ax 1ra integral : Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Se aplica: ∫ sec2 v = tg v + c . v = tg ax 2da integral : Falta (a) para completar el diferencial. 2 dv = a.sec ax dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n+1 . 1 .∫ sec2 ax .(a) dx + . 1 . ∫ (tg ax)2 .(a) sec2 ax. dx = a a tg ax + (tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)2+1 + c . a (2+1)a a 3a 20.

∫ sen2 x . cos6 x . dx . ∫ sen2 x . cos2 x . cos2 x . cos2 x . dx . ∫ (sen x . cos x)2 .(cos x . cos x)2 . dx . Por trigonometría: sen x.cos x = sen 2x ; 2 cos2 x = cos 2x + 1 = ½ cos 2x + ½ .Sustituyendo en la integral . 2


189


∫ (sen x . cos x)2 .(cos x . cos x)2 . dx . ∫ ( ½ sen 2x)2 .( ½ cos 2x + ½)2 . dx . ∫ (½ sen 2x)2 .( ½ cos 2x + ½)2 . dx .Haciendo operaciones. ∫ (1/4 sen2 2x) .[1/4 cos2 2x + 2. ½ cos 2x . ½ + ¼] . dx . ∫ (1/4 sen2 2x) .[1/4 cos2 2x + ½ cos 2x + ¼] . dx . ∫ [1/16 sen2 2x . cos2 2x + 1/8 sen2 2x . cos 2x + 1/16 sen2 2x].dx . 1/16∫ sen2 2x . cos2 2x + 1/8 . ½ ∫ (sen 2x)2.cos 2x.(2)+ 1/16∫ sen2 2x.dx .

.dx .

1/16∫ sen2 2x.cos2 2x +1/16 ∫ (sen 2x)2.cos 2x.(2)+ 1/16∫ [1/2 - ½ cos 2(2x) ] 1/16∫ (sen 2x .cos 2x)2 dx + (sen 2x)2+1 + 1/16.1/2 ∫ dx - 1/16 . ½ .1/4 ∫ cos 4x .(4)dx . 16(2+1)

1/16∫ [1/2sen 2(2x)]2 dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 ∫ cos 4x .(4)dx . 16(3)

1/16∫ [1/4sen2 4x)] dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

1/16 . 1/4 ∫ [sen2 4x]. dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

1/16 . 1/4 ∫ [1/2 – ½ cos 2(4x)]dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

1/64 ∫ [1/2 – ½ cos 8x]dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

1/64 . 1/2 ∫ dx – 1/64 . ½ ∫ cos 8x dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

1/128 x – 1/128 . 1/8 ∫ cos 8x . (8)dx + (sen3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48

5/128 x - 1/1024 sen 8x + (sen3 2x) - 1/128 sen 4x + c . 48

21.

dx .

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 + cos x)3 . dx . (13 + 3.12.cos x + 3.1.cos2 x + cos3 x) . dx . (1 + 3cos x + 3cos2 x + cos3 x) . dx . [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + cos2 x .cos x] . dx . [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + (1 - sen2 x) .cos x] . dx . [2/2 + 3cos x + 3/2 + 3/2 cos 2x + cos x - sen2 x .cos x] . dx . [5/2 + 4cos x + 3/2 cos 2x - sen2 x .cos x] . dx .

5/2 ∫ dx + 4 ∫ cos x dx + 3/2 . ½ ∫ cos 2x .(2) dx - ∫ (sen x)2 .cos x .


190


5/2 x + 4 sen x + ¾ sen 2x - (sen x)2+1 + c .

2+1 5x + 4 sen x + 3sen 2x - (sen x)3 + c .

2 22.

dθ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4

3

(√sen 2θ - cos 2θ)2 dθ [√sen 2θ )2 - 2(√sen 2θ ) . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ [sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ {sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + [1/2 + ½ cos 2(2θ)]} dθ {sen 2θ - 2(sen 2θ )1/2 . cos 2θ + 1/2 + ½ cos 4θ} dθ

∫ sen 2θ . dθ - 2.½ ∫ (sen 2θ )1/2.cos 2θ.(2) + 1/2∫ dθ + ½ .1/4 ∫ cos 4θ.(4) ½∫

sen 2θ.(2). dθ - (sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 ½ (- cos 2θ) - (sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 - ½ (cos 2θ) - (sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ 3/2 - ½ (cos 2θ) - 2(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ + c . 3 Ordenando: θ/2 + 1/8 sen 4θ - 2(sen 2θ )3/2 - ½ (cos 2θ) + c . 3 23.

∫ (√cos θ - 2sen θ)2 dθ ∫ [(√cos θ )2 - 2 (√cos θ .2sen θ + (2 sen θ)2 ] dθ ∫ [(cos θ ) - 2.2 (cos θ)1/2.sen θ + (4 sen2 θ)] dθ ∫ [cos θ - 4(cos θ)1/2.sen θ + 4(1/2 - 1/2 cos 2θ] dθ ∫ [(cos θ ) - 4(cos θ)1/2.sen θ + 4/2 - 4/2 cos 2θ] dθ ∫ [cos θ - 4(cos θ)1/2.sen θ + 2 - 2 cos 2θ] dθ ∫ (cos θ ) dθ - 4∫ (cos θ)1/2.sen θ dθ + 2∫ dθ - 2.½ ∫ cos 2θ.(2) .dθ sen θ - 4(cos θ)1/2+1 + 2θ - sen 2θ ½+1 sen θ - 4(cos θ)3/2 + 2θ - sen 2θ + c .


191


3/2 sen θ - 8(cos θ)3/2 + 2θ - sen 2θ + c . 3 24.

∫ (sen 2x - sen 3x)2 dx ∫ (sen2 2x - 2 sen 2x .sen 3x + sen2 3x)dx

∫ {(½ - ½ cos 2(2x) - 2[- ½ cos(2+3)x + ½ cos(2-3)x] + [½ - ½ cos

∫ {(½ - ½ cos 4x) - 2[- ½ cos 5x + ½ cos (-x)] + [½ - ½ cos

2(3x)]dx

6x]}dx

∫ {½ - ½ cos 4x + cos 5x - cos (-x) + ½ - ½ cos 6x}dx Por Trigonometría: cos (-x) = cos (x) . ∫ {½ + ½ - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx ∫ {1 - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx ∫ dx - ½.1/4 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - ½ .1/6 ∫ cos 6x . (6)dx ∫ x dx -1/8 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - 1/12 ∫ cos 6x .(6)dx

x -1/8 sen 4x + 1/5 sen 5x + sen x - 1/12 sen 6x . x - sen 4x + sen 5x + sen x - sen 6x + c . 8 5 12 25.

∫ (sen x + cos 2x)2 dx ∫ (sen2 x + 2 sen x .cos 2x + cos2 2x) dx

Por Trigonometría: cos 2x = cos2x – sen2x ; sen2x = ½-½cos 2x ; cos2x = ½+½ cos 2x.

∫ [(½ - ½ cos 2x) + 2 sen x (cos2x - sen2x) + ½ + ½ cos 2(2x)] dx

∫ [½ - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2sen2 x. senx + ½ + ½ cos 4x] dx ∫ [½ + ½ - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2sen2 x. senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2(1 - cos2x).senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x - 2 sen x + 2cos2 x.senx + ½ cos 4x] dx

∫ [1 - ½ cos 2x + 4 cos2 x .sen x - 2 sen x + ½ cos 4x] dx . ∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x .(2)dx + (-)4 ∫ (cos x)2 .(-)sen x dx - 2 ∫ sen x .dx + ½.1/4 ∫ cos 4x.(4) dx ∫ dx -1/4∫ cos 2x .(2)dx - 4∫ (cos x)2.(-)sen x dx -2∫ sen x .dx + 1/8∫ cos 4x. (4) dx

x - sen 2x - 4(cos x)3 -2 (- cos x) + sen 4x + c . 4 3 8


192


x - sen 2x - 4(cos x)3 + 2 cos x + sen 4x + c . 4 3 8 26.

∫ (cos x + 2cos 2x)2 dx ∫ [(cos x)2 + 2(cos x).(2cos 2x) + (2 cos 2x)2 dx ∫ (cos2 x + 4 cos x .cos 2x + 4cos2 2x) dx ∫ (½ + ½ cos 2x + 4 cos x .(cos2 x - sen2 x) + 4(½ + ½ cos 2(2x) dx ∫ ½ + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 + 2 cos 4x] dx ∫ ½ + 2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ 5/2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x. cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4(1 - sen2 x) . cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 4sen2 x .cos x - 4sen2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 8sen2 x .cos x + 2 cos 4x] dx 5/2∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 4(-)∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x)2 .cos x.dx + 2.1/4 ∫ cos 4x.(4)dx 5/2∫ dx + 1/4 ∫ cos 2x.(2)dx - 4 ∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x)2.cos x.dx + ½ ∫ cos 4x. (4)dx

5x + sen 2x - 4sen x – 8(sen x)2+1 + sen 4x + c . 2 4 2+1 2 5x + sen 2x - 4sen x - 8(sen x)3 + sen 4x + c . 2 4 3 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


193


Problemas. Páginas 268 - 269 Cuando ocurre √a2 - u2 ; hágase u = a sen z Cuando ocurre √a2 + u2 ; hágase u = a tg z Cuando ocurre √u2 - a2 ; hágase u = a sec z En efecto:

√a2 - a2 sen2 z √a2 + a2 tg2 z √a2sec2 z - a2

1.-

∫

dx (x2 + 2)3/2

a √1 - sen2 z a √1 + tg2 z a √sec2 z - 1

= = =

a cos z (1) a sec z (2) (3) = a tg z

=

=

.

u = x Como: (x2 + 2)3/2 = {√(x2 + 2)}3 es similar a √a2 + u2 a = √2 ⇒ hágase u = a tg z a2 = 2 u = a tg z du = asec2 z dz dz. dx = du Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (2) resulta:


194


∫

dx

=

∫

du

=

∫ a sec2 z dz dz

=

∫ a sec2 z dz

=

(x2 + 2)3/2 ∫ sec2 z dz a2 sec3 z u = a tg z . a tg z = u tg z = u . a

sen z a2

2.-

∫

=

{√(u2 + a2)}3 =

1 ∫ dz a2 sec z sen z =

=

{a sec z}3

1 ∫ cos z dz = sen z +. a2 a2

u √u + a 2

a3 sec3 z

.

√u2 + a2

2

u z

a

u √u2 + a2 a2

x2 dx √(x2 - 6)

=

.

=

u a √u2 + a2 2

=

x +c.= 2 2 √x + 4

x √(x2 - 6) + 3 ln (x + √(x2 - 6) ) + c .

u = x Como: √(x2 - 6) = es similar a √u2 - a2 a = √6 ⇒ hágase u = a sec z a2 = 6 u = a sec z du = a sec z .tg z dz . dx = du Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (3) resulta: ∫ x2 dx u2 du = ∫ (a sec z)2 .a sec z .tg z dz dz = = ∫ √(x2 - 6) √u2 - a2 a tg z ∫ a2 sec2 z . sec z dz = a2 ∫ sec3 z dz = Se integra por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du ∫ sec3 z dz = ∫ sec z . sec2 z dz = u = sec z dv = sec2 z dz du = sec z . tg z dz v = tg z


195


∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg z .sec z . tg z dz = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg2 z .sec z .dz = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ (sec2 z - 1) .sec z .dz = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - [∫ (sec3 z - sec z) .dz] = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec3 z dz - ∫ sec z .dz = ∫ sec3 z dz + ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec z .dz = 2 ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = 2 Pero: a2 ∫ sec3 z dz = a2 sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = 2 2 2 a sec z . tg z - a ln (sec z + tg z) = 2 2 u = a sec z

sec z = u ; tg z = √u2 - a2 a a

√u2 - a2

u

z a

∫

x2 dx √(x2 - 6)

=

a2 sec z . tg z - a2 ln (sec z + tg z) = 2 2

a2 u . √u2 - a2 a2 ln u + √u2 - a2 = a.a a a = 2 2 1 1

= .

a2 u .√u2 - a2 - a2 ln u + √u2 - a2 2a2 2 a u.√u2 - a2 - a2 ln u + √u2 - a2 2 2 a


196

Solucionario de Calculo Integral Sustituyendo valores:

x . √x2 - 6 - 6 ln x + √x2 - 6 2 2 √6 Aplicando logaritmos naturales:

x . √x2 - 6 - 3ln x + √x2 - 6 - 3 ln √6 + c . Pero: 3 ln √6 = c 2 x . √x2 - 6 - 3ln x + √x2 - 6 + c . 2 3.-

∫

dx (5 - x2)3/2

.

u = x Como: (5 - x2)3/2 = {√(5 - x2}3 es similar a √a2 - u2 a = √5 ⇒ hágase u = a sen z a2 = 5 u = a sen z du = a cos z dz. du = dx Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ dx du = ∫ = ∫ a cos z dz = ∫ a cos z dz (5 - x2)3/2 {√a2 - u2}3 {a cos z}3 a3 cos3 z ∫ dz = 1 ∫ sec2 z dz = 1 tg z = tg z a2 cos2 z a2 a2 a2 u = a sen z . a sen z = u sen z = u . a tg z

=

tg z =

u √a2 - u2

=

.

u . √a2 - u2

a

u

z

√a2 - u2

.

=

u

=

x

+c.


197


a2

a2 √a2 - u2

a2

5 √5 - x2

.

4.-

∫ t2 dt √(4 - t2)

=

u = t Como: √(4 - t2 ) = es similar a √a2 - u2 a =2 ⇒ hágase u = a sen z 2 a =4 u = a sen z du = a cos z dz . du = dt Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ t2 dx u2 du = ∫ (a sen z)2. a cos z dz = = ∫ 2 2 √(4 - t ) √a - u2 a cos z Aplicando la formula: ∫ sen2 u du = ½ u - ¼ sen 2u + c ∫ a2 sen2 z .dz = a2 (½ - ¼ sen 2z) = u = a sen z . cos z = √a2 - u2 . a u a sen z = u a z sen z = u . z = arc sen u/a √a2 - u2 a sen 2z = 2 sen z . cos z a2 (½ z- ¼ sen 2z) = a2 [½ z - ¼ (2 sen z . cos z)] = a2 [½ z - ½ sen z .cos z)] = a2z - a2 sen z .cos z)] = 2 2 2 2 2 2 4z - 4 u . √a - u = 2z - 2 u . √a - u = 2 2 a a a2 Pero: z = arc sen u/a ; u = t ; a2 = 4 2 arc sen u/a - 2 t . √4 - t2 = 2 arc sen t/2 - t . √4 - t2 + c . 4 2 .


198

SOLUCIONARIO-GRANVILLE-PAG-236-269

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