Solucionario Calculo Diferencial e Integral Granville 11 Ed

Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica

Solucionario de Granville Carlos Alberto Julián Sánchez

Cálculo Integral

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Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville.

No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo diferencial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas al siguiente correo: [email protected]. Éxitos y bendiciones.

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4

1. x dx =

x

=

=

4 1

4 1

x

5

c

5

dx

 x

2.

 

2

2  1 x 1

1 1

x dx

c

c c

 x



2

=

2 1

x

=

c

2/3

3. x dx  2

x 3  2

1

c

1

3

5

x 3  c 5 3



3 x 5/3 5

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica x



4.

x x





1/ 2 1

1/ 2  1

x 1/2

x

  x 1/2 dx

c

x1/2  c 1 2 2 x1/2



1

c

 2 x  c



5.



x 3



x

x 1/ 31

1 / 3  1

 x

x

1/3

  x 1/3 dx

c

x 2/ 3  c 2 3



3 x 2/ 3 2

c

6. 3ay2dy

 3a  y 2 dy  y 21   3a  c  2 1    y 3   3a    c 3  ay 3  c





7.

2 t 2

t

  2t 2 dt

 2  t 2 dt  t 21   2 c 2 1      t .1   2 c  1  1  2 c  t  2



t



8.

c ax dx 



a  x dx 

a



x dx 



a x1/2 dx

   x 1   a c 1   1 2  1

2

  3/ 2  x   a c 3     2   2 x3/ 2   a c 3    2 x  x1/2   a c 3    

a  x 2 x 3 2 x ax 3

c

pero x  x1/ 2  x3/ 2

pero x1/2 

pero

x

a x 

ax

c



x



9.



2 x

x



2 x

1



pero por el ejercicio 4. 1

 2 x   c 2



2



x

 2

=

dx x

x

2 xc

al racionalizar el deno min ador

1

 2 x   c

2

 2 x  c  2 x  c



10.

3

3t dt 



3

3  3 t dt  3 3



3



t dt  3 3 t 1/3 dt

  1/31  t  33  c 1   1 3     t 4/ 3  3  3  c 4    3   3t 4/ 3   3 c 4   3

 

34/3  t 4/3 4 (3t ) 4/ 3 4

recordemos q ue 31  3 3  34/3

c

c


2



2 2




11. ( x 3/ 2  2 x 2/3  5 x  3)dx

  x3/ 2 dx   2 x 2/3 dx   5 x dx   3dx x 3/ 2  3 2

1

1

 2 x 2/ 3  5 x dx  3 dx

  2/31 x  x  2  5 x1/2  3 x  5 2  1  2 3  5/ 2

    5/3 1/ 2 1 x  x  2 x  2  5    3 x  c 5 1 5    1   3  2  5/ 2

  3/ 2  3x   x  2 x   2   5   3 x  c 5  5   3   2  5/ 2



2 x 5/ 2 5

5/3



6 x5/3 5



10 x3/ 2 3

 3 x  c



12.



 4

4 x 2  2 x x x 2 x

dx  2

 4 x dx  2 

dx



x x

x1/2 x

dx

dx

 x11  dx  4  2  1/2  x 1  1   x 2   4    2 x 1/2 dx 2   1/21   x  2 x 2  2  c 1    1  2    1/2  x   2 x 2  2  c 1     2   2 x 2  2  2 x1/ 2   c  2 x 2  4 x1/ 2  c  2 x 2  4 x  c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica x 2

 2

13. 

 

x 2

1 2

2





dx 

2

 dx

x 2  2

 x

x 2 dx  2

2

dx dx

 x

2

1  x 21 

 x 21      2  2  1   c 2  2 1    x 1     2  c 2 3   1  1  x 3 

 

 1  2    c 6  x 

x 3

x 3 6

2

 c x





x  3 x  2  dx

14.

  (3 x x  2 x ) dx   3 x x dx   2 x dx  3 x x dx  2 x dx  3 x3/ 2 dx  2  x1/ 2 dx     3/ 2 1 1/ 2 1  x  x   3 2  c 3 1  1  1 2  2       x5/ 2   x3/ 2   3 2 c 5  3       2   2   2 x5/ 2   2 x3/ 2   3   2 c 5 3     

6 x 5/ 2 5



4 x3/ 2 3

c

x 3  6 x  5

15.





x 3

x

x

dx 



6x x

dx dx 

  x 2 dx  6  dx  5  

x 3 3

5

 x dx dx x

 6 x  5ln x  c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 18. (a  bt ) 2 dt

hacemosel siguientecambiode var iable :

u  a  bt du  bdt

  u 2 dt

multiplicamos por b y divi dim os por b.

1

  u 2 ( ) (b) dt b



1

2



1

2

u bdt b

pero du  bdt

u du b  1  u2 1 

  c b  2  1 1  u3 

u3

  c  c b 3  3b pero u  a  bt



( a  bt )3 3

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 16.



a  bx dx

hacemos el siguientecambio de var iable :

u  a  bx du  b dx

  u dx

multiplicamos por b y d ivi dim os por b

1

  u ( ) b dx b



1



1

b



pero du  b dx

u b dx

b

u du 

1

u b

1/2

du

  1/ 2 1   1 u   c b1 1 2    3/ 2  1 u    c b 3   2  1  2u 3/ 2 

  c b 3  

2u 3/ 2 3b

c

pero u  a  bx



2(a  bx)3/ 2 3b

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica y



17.

a  by

hacemos elsiguientecambio de var iable.

u  a  by du  b dy



dy u

  u 1/2 dy 1

  u 1/2 (b)( ) dy b



1

u b



1/2

multiplicamos por  b y divi dim os por  b pero u   b dy

du

    c b 1   1  2  1u

1/ 2 1





1  u1/2    c b 1

   2 

1  2u1/2 

  c b 1  

2u1/2



b

c

pero u  a  by

2(a  by )1/2 b


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 2



19. x  2  x 2  dx

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  2  x2 du  2 x dx

  u xdx 1   u 2  (2) x dx 2 

1

2

2 xdx



1

2

du

u 2 u 2

multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2 pero du  2 xdx

1  u 21 

  c 2  2  1  

u3 6

c

(2  x 2 )3 6

pero u  2  x 2

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 20. y (a  by 2 ) dy


u  a  by 2 du  2by dy

  uy dy

vamos a multiplicar por  2b y dividir por  2b

 1    u     2by dy  2b    

 



1 2b 1 2b

 u  2bydy

pero du  2bydy

 u du

1  u11 

c



2b 1  1 1 u2 



c

2b  2  u2 4b

c

  a  by 2  4b

regresando el valor de la var iable u 2

c





21. t 2t 2  3 dt

hacemosel siguientecambiode var iable :

u  2t 2  3 du  4t dt

  t u dt

multiplicamos y d ivi dim os por 4

1   u   4 t dt 4 

1



1

4



pero du  4tdt

u du

u 4

1/2

du

  1/ 21  1 u   c 41 1 2    3/ 2 1 u    c 4 3   2  1  2u 3/ 2 

  c 4 3  

2u 3/ 2 12

 2t 

2

c 

 3 6

u 3/ 2 6

c

regresando el valor de u

3/ 2

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 22. x (2 x  1)2 dx

desarrollamos el binomio al cuadrado

  x(4 x 2  4 x  1) dx

aplicamos propiedad distributiva

  (4 x3  4 x 2  x) dx

distribuimos cada int egral

  4 x3 dx   4 x 2 dx   x dx  4 x3 dx  4  x 2 dx   x dx  x31   x21  x11  4   4  2  1  1  1  c  3  1   

4 x 4 4

 x  4



4 x3

4 x 3 3

3



 x2 2

x2 2

c

c


Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 4 x 2 dx



23.

x 3  8

 4

x 2 dx u

hacemos el siguientecambio de var iable :

u  x3  8 du  3 x 2 dx

 4

x 2 dx

vamos a multiplicar y dividir por 3

u

 1  3 x dx  4   u  3 2



4 3



pero u  3 x 2 dx

du u

  1/ 2 1  4u   c 3 1   1  2    1/2 4 u    c 3 1   2   

8u1/2 3

c

8 x 3  8 3

r egresando el valor dela var iable u

c





24.

6 z dz

 5  3 z  2


2

u  5  3 z 2 du  6 z dz



6 z dz

vamos a multiplicar y dividir por  1

u2

 1   1  (1) 6 z dz   2 u

   u 2  6 z dz    u 2 du  u 21   c 2 1       

1 u

u 1

1

c

c 1

5  3 z 2

regresandoelvalor dela var iable

c


Solucionario Calculo Diferencial e Integral Granville 11 Ed

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