Descripción: Calculo Integral - Granville (Solucionario)
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TRIGONOMETRÍA DE GRANVILLE
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Descripción: Solucionario de Granville
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libro completo Solucionario Calculo Diferencial e Integral Granville 11 EdDescripción completa
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Solu cionario de Cal culo Int egr al
SOLUCIONARlO DE
CALCULO DIFERENCIAL E INTE GRAL - G RANVILLE
llMUSA
Problemas. Páginas 272, 273, 274 . “Integración por Partes” Para esta clase de problemas se aplica la siguiente fórmula: ∫ u . dv = u.v - ∫ v . du . 1.-
∫ x sen x dx u =x dv = sen x dx Para obtener “v” , se integra dv = senx ,en ambos miembros. De igual modo se efectua en todos los problemas. u =x ∫ dv = ∫ sen x dx du = dx v = - cos x x(- cos x) - ∫ - cos x . dx = - x . cos x + ∫ cos x . dx = - x .cos x + sen x = sen x - x cos x + c .
2.-
∫ ln x dx = x (ln x - 1) + c . u = ln x du = 1 dx x
dv = dx v= x
ln x . x - ∫ x . 1 dx = ln x . x - ∫ dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + c . x 3.-
∫ x sen x dx = 4 sen x - 2x cos x d + c . 2 2 2 u =x du = dx
∫ dv = 2∫ sen x .½ dx 2 v = - 2 cos x 2 .
x (- 2 cos x ) - ∫ 2 .cos x . dx = - 2x cos x - 2 .2 ∫ cos x .(½) dx 2 2 2 2 - 2x cos x - 4 ∫ cos x .(½) dx = - 2x cos x - 4(- sen x ). 2 2 2 2
- 2x cos x + 4 sen x = 4 sen x - 2x cos x + c . 2 2 2 2 4.-
∫ x cos nx dx = cos nx + x sen nx + c . n2 n u =x du = dx du = dx
dv = cos nx . dx ∫ dv = 1/n ∫ cos nx .(n) dx v = sen nx n
.
x . sen nx - ∫ sen nx . dx = x .sen nx - 1 1 n n n n n x .sen nx - 1 n n2 5.-
∫ sen nx .(n)dx =
- cos nx = x .sen nx + cos nx + c . = n n2
∫ u sec2 u du = u tg u + ln cos u + c . u =u dv = sec2 u du ∫ dv = ∫ sec2 u du du = du v = tg u u .tg u - ∫ tg u du = u .tg u - (- ln cos u) = u .tg u + ln cos u + c .
6.-
∫ v sen2 3v dv = ¼ v2 - 1/12 v sen 6v - 1/72 cos 6v u + c . u =v du = dv
dv = sen2 3v dv ∫ dv = ∫ sen2 3v dv
Se aplica : ∫ sen2 u du = ½ u - ¼ sen 2u ; donde u = 3v
v = 1/3 ∫ sen2 3v .(3) dv v =1/3 [½ 3v - ¼ sen 2(3v)] v = 1/6 3v - 1/12 sen 6v v = ½ v - 1/12 sen 6v v (½ v - 1/12 sen 6v) - ∫ (½ v - 1/12 sen 6v) dv = ½ v2 (- v . sen 6v) - ½∫ v dv + 1/12 .1/6 ∫ sen 6v .(6) dv =
12 7.-
∫ y2 sen ny dy = 2 cos ny + 2 y sen ny - y2 cos ny + c . n2 n 2 u =y dv = sen ny dy du = 2y .dy ∫ dv = ∫ sen ny dy v = (1/n)∫ sen ny .(n) dy v = (- cos ny) n y2(- cos ny) - ∫ (- cos ny) 2ydy = n n - y2cos ny + ( 2 )∫ cos ny .y dy = - y2cos ny + ( 2 )∫ y cos ny . dy n n n n Integrando por partes : ∫ y cos ny .dy . u =y du = dy
dv = cos ny dy ∫ dv = ∫ cos ny dy v = (1/n)∫ cos ny .(n) dy v = (sen ny) n
∫ y cos ny.dy = y (sen ny) - ∫ (sen ny).dy = n n ∫ y cos ny.dy = y (sen ny) - 1 . 1 . ∫ (sen ny) .(n)dy n n n ∫ y cos ny.dy = y (sen ny) - 1 . (- cos ny) .(n)dy n n2 ∫ y cos ny.dy = y (sen ny) + ( cos ny) n n2 Enlazando y sustituyendo ∫ y cos ny.dy , en la integral original:
∫ y2 sen ny dy = - y2 cos ny + ( 2 )∫ y cos ny . dy n n ∫ y2 sen ny dy = - y2 cos ny + ( 2 ) y (sen ny) + ( cos ny) n n n n2
=
∫ y2 sen ny dy = - y2 cos ny + 2 y sen ny + 2 cos ny .Ordenando: n n2 n3 ∫ y2 sen ny dy = 2 cos ny + 2 y sen ny - y2 cos ny + c . n3 n2 n 8.-
∫ x ax dx = ax x - 1 ln a ln2 a
+c.
u =x du = dx
dv = ax dx ∫ dv = ∫ ax dx v = ax ln a
.
x . ax - ∫ ax . dx = x . ax - 1 ∫ ax .dx = x . ax - 1 ax ln a ln a n ln a ln a ln a ln a ln a x . ax - ax = ax x - 1 + c . ln a ln2 a ln a ln2 a 9.-
∫ xn ln x dx = xn+1 ln x - 1 n+1 n+1 ∫ x n ln x dx = u = ln x du = 1 dx x
+c.
dv = xn dx ∫ dv = ∫ xn dx v = xn+1 n+1 n+1 n+1 ln x . x - ∫ x . 1 dx = ln x . xn+1 - 1 ∫ xn+1 dx .
.
n+1
n+1
x
n+1
n+1
x
ln x . xn+1 - 1 ∫ xn+1.x -1 dx = ln x . xn+1 - 1 ∫ xn+1-1 dx = n+1 n+1 n+1 n+1 ln x . xn+1 - 1 ∫ xn dx = ln x . xn+1 - 1 . xn+1 = n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 xn+1 ln x - 1 + c . n+1 n+1 10.-
∫ arc sen x dx = x arc sen x + √1 - x2 + c . u = arc sen x dv = dx du = 1 dx ∫ dv = ∫ dx 2 √1 - x v =x arc sen x . x - ∫ x . 1 dx = x arc sen x - ∫ x (1 - x2)-1/2 dx = √1 - x2 Ordenando: ∫ x (1 - x2)-1/2 dx y completando el diferencial. x arc sen x - (-½)∫ (1- x2)-1/2.(-2)x dx = x arc sen x + ½(1- x2)-1/2+1 -1/2+1 x arc sen x + (1- x2)1/2 = x arc sen x + (1- x2)1/2 = 2(1/2) x arc sen x + √1- x2 + c .
11.-
∫ arc tg x dx = x arc tg x - ½ ln (1 + x2) + c . u = arc tg x du = 1 dx 1 + x2 arc tg x . x - ∫ x . 1 1 + x2 arc tg x . x - ∫
x
dv = dx ∫ dv = ∫ dx v =x dx .
dx . Completando el diferencial.
1 + x2 v = 1 + x2 Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica: dv = 2x dx ∫ dv = ln v + c v arc tg x . x - (½)∫ (2)x dx . Completando el diferencial y ordenando.
1 + x2 x arc tg x - ½ ln (1 + x2) = x arc sen x - ½ ln (1 + x2) + c . 12.-
∫ arc cot y dy = y arc cot y + ½ ln (1 + y2) + c . u = arc cot y du = 1 dx 1 + y2 arc cot y . y - ∫ y . 1 1 + x2 y .arc cot y + ∫
dv = dy ∫ dv = ∫ dy v =y dx .
y . dy. Completando el diferencial. 1 + y2
v = 1 + y2 Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica: dv = 2y dy ∫ dv = ln v + c v y .arc cot y + ∫ y . dy . Completando el diferencial 1 + y2 y arc cot y + ½ ln (1 + y2) + c . 13.-
∫ arc cos 2x ax . dx = x arc cos 2x - ½ √1 - 4x2 + c . u = arc cos 2x du = 2 .dx 2 √1 - (2x) du = -
2 .dx √1 - 4x2
dv = dx ∫ dv = ∫ dx v =x
arc cos 2x . x - ∫ x 2 dx . √1 - 4x2 x arc cos 2x + ∫
2x dx . √1 - 4x2
x arc cos 2x + ∫ (1 - 4x2)-1/2 . 2x dx .Completando el diferencial. v = 1 - 4x2 Falta (- 4) para completar el diferencial.Se aplica: dv = - 8x dx ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 x arc cos 2x + (- ¼) ∫ (1 - 4x2)-1/2 .(- 4) 2x dx . x arc cos 2x + (- ¼)(1 - 4x2)-1/2+1 = x arc cos 2x - ¼ .(1 - 4x2)1/2 = -1/2+1 1/2
x arc cos 2x - ( ¼ )(2)(1 - 4x2)1/2 = x arc cos 2x - ½ (1 - 4x2)1/2 x arc cos 2x - ½ √1 - 4x2 + c . 14.-
∫ arc sec y . dy = y arc sec y - ln (y + √y2 - 1 + c . u = arc sec y du = 1 dx 2 y √y - 1
dv = dy ∫ dv = ∫ dy v =y
arc sec y . y - ∫ y
dy .
arc sec y . y - ∫
1 y √y2 - 1
y y √y - 1
dy .
y y √y2 - 1
dy .
2
arc sec y . y - ∫
y arc sec y - ∫ dy . √ y2 - 1 Se aplica : ∫ dv = ln [v + √ v2 - 1 ] 2 √v - 1
y arc sec y - ln [y + √y2 - 1 ] + c . 15.-
∫ arc csc t . dt = t arc csc t + 2 ln (t + √t2 - 4 ) + c . 2 2 u = arc csc t . dv = dt 2 du = -½ dt . ∫ dv = ∫ dt 2 ½ t √(½ t ) - 1 v =t arc csc t . t - ∫ t -½ dt . 2 2 ½ t √(½ t ) - 1 arc csc t . t - ∫ t 2
-½ dt . ½ t √(½ t )2 - 1
arc csc t . t + ∫ dt 2 2 √¼ t - 1
=
v = ½ t Falta (½) para completar el diferencial.Se aplica: 2 dv = ½ ∫ dv = ln [v + √(½ t ) - 1 + c √ v2 - a2 t arc csc t + 2 ∫ 2
16.-
(½) dt t2 - 4 4
=
t arc csc t + 2 ln [v + √(½ t )2 - 1 ]+ c 2
∫ x arc csc x . dx = x2 + 1 arc tg x - x + c . 2 2 u = arc csc x . dv = dx . du =
-1 x √x 2 - 1
arc csc x . x - ∫ x
dx . -1 x √x 2 - 1
∫ dv = ∫ dx v =x dt .
arc csc t . t - ∫ t
-½ dt . ½ t √(½ t )2 - 1
3
arc csc t . t + ∫ dt 2 √¼ t 2 - 1
=
v = ½ t Falta (½) para completar el diferencial.Se aplica: 2 dv = ½ ∫ dv = ln [v + √(½ t ) - 1 + c 2 2 √v -a 18 .
∫x
2
e −x dx = −e −x (2 + 2 x + x 2 ) +c.
u =x
∫ dv
2
du = 2 x.dx ( x )( −e 2
−x
= ∫e
v = −e
) − ∫ ( −e
−x
−x
)( 2 x ) dx = - x 2 . e −x + 2 ∫ x.e −x dx . (1 ra solución).
u =x
∫ dv =∫ e
du = dx
v = −e
( x )( −e
−x
) − ∫ −e
−x
−x
−x
]
.( −) dx
.
dx = - x e
− xe −x −e −x (2 da solución).
[
(-) dx
−x
−x
+( −) ∫ (e
Tomando
−x
)( −) dx =.
contacto
con la 1ra solución.
- x 2 . e −x + 2 − xe −x −e −x = - x 2 . e −x −2 xe −x −2e −x . -e 19 .
−x
∫e
θ
[x
2
cos θ.dθ =
u =eθ du = e θ.dθ
∫e
θ
]
+ 2 x + 2 +c. θ
e (sen θ+cos θ) +c. 2 ∫ dv =∫ cos θ v = sen θ
cos θ.dθ = e θ sen θ− ∫ e θ sen θdθ.
t arc csc t + 2 ∫ 2
(½) dt t2 - 4 4
=
t arc csc t + 2 ln [v + √(½ t )2 - 1 ]+ c 2
u =e
∫ dv = sen θ dθ
θ
du = e dθ
v = −cos θ
θ
∫ e cos θ.dθ = e sen θ−[− e cos θ− ∫ − e cos θ dθ]. ∫ e cos θ.dθ = e sen θ−[− e cos θ+ ∫ e cos θ dθ]. ∫ e cos θ.dθ = e sen θ+ e cos θ− ∫ e cos θ dθ. ∫ e cos θ.dθ+ ∫ e cos θ.dθ = e ( sen θ+ cos θ). 2 ∫ e cos θ.dθ = e ( sen θ + cos θ). θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
e θ ( sen θ + cos θ) + c. 2 ln x dx x 20 . ∫ = ln x − ln( x +1) + c. ( x +1) x +1 1 u = ln x ∫ dv = ∫ ( x +1) 2 dx
∫ e cos θ.dθ = θ
du = −
1 dx x
v=
( x +1) −2+1 ( x +1) −1 1 = =− + c. − 2 +1 −1 ( x +1)
ln x 1 1 ln x dx ln x dx − − + =− + .dx = − x +1 ∫ x +1 x x +1 ∫ x ( x +1) x +1 ∫ x 2 + x
Solucionando: x2 + x , completando con cuadrados. 2 2 1 1 1 1 x2 + x + − =x + = . 4 4 2 2 1 1 − ln x dx ln x 1 2 2 = − +∫ =− + ln 2 2 1 1 x +1 x +1 1 1 1 2 x + + x + − 2 2 2 2 2 ln x x ln x − + ln =− + ln x − ln( x +1) = x +1 x +1 x +1 x+
− ln x + (ln x )( x +1) (ln x )( x + 1 −1) − ln( x + 1) = − ln( x +1) = x +1 x +1 x .lnx − ln(x + 1) + c. x +1 x3 x2 +2 21 . ∫ x 2 arc sen x dx = arc sen x + 1 − x 2 + c. 3 9
∫ dv = ∫ x
u = arc sen x du =
1
v=
1− x2
2
dx
x3 3
1 x3 x3 x3 1 1 − arc sen x − ∫ . = arc sen x − ∫ (1 - x 2 ) 2 x 3 dx 3 3 3 3 1− x 2 1 x3 1 arc sen x − ∫ x 2 .(1 − x 2 ) 2 x dx .Integrando por partes la 2 da integral 3 3
u = x2
du = 2 x dx
1 -1 1 ∫ dv = ∫ (1 − x 2 ) 2 x dx dv = − (1 − x 2 ) 2 .(-2)x dx 2
v = − 1− x 2 x3 1 arc sen x − ( x 2 ) − 1 − x 2 - ∫ - 1 - x 2 ( 2 x ) dx 3 3 3 1 x 1 arc sen x − ( x 2 ) − 1 − x 2 - ∫ (1 − x 2 ) 2 .(- 2 x ) dx 3 3
3 x3 x 2 1 −x 2 1 (1 - x 2 ) 2 arc sen x + + 3 3 3 3 2
x3 x 2 1 −x 2 2 arc sen x + + (1 - x 2 ) 1 − x 2 3 3 9 3 2 2 x 2(1 −x ) 2 x arc sen x + 1 − x + 3 9 3 3 3x 2 +2 −2 x 2 x arc sen x + 1 − x 2 3 9 3 x 2 + 2 x arc sen x + 1 −x 2 3 9 x3 x 2 +2 arc sen x + . 1 −x 2 + c . 3 9 ln( x +1) dx 22 . ∫ = 2 x +1[ln( x +1) −2] + c. x +1 −1 1 u = ln( x +1) dv = ∫ = ∫( x +1) 2 dx x +1 1 − +1
1
1 ( x +1) 2 ( x +1) 2 v= = = 2( x +1) 2 −1 1 +1 2 2 1 1 1 2( x +1) 2 . ln( x +1) − ∫2( x +1) 2 . dx 2 ( x +1) 2
1 du = dx x +1
1
2( x +1) 2 ln( x +1) −2 ∫ 1
1
dx ( x +1)
2( x +1) 2 [ln( x +1) −2] + c .
1 2
= 2( x +1) 2 ln( x +1) −2 ∫( x +1)
1 − 2
dx
23 .
x e x dx
∫ (1 + x ) ∫e
x
2
=
ex + c. 1+x
1 .dx (1 + x ) 2
.x.
1
∫ dv = ∫ (1 + x )
u = e x .x
2
dx
v = ∫ (1 + x ) dx −2
du = e x + xe x du = e (1 + x ) = e ( x + 1) x
x
−2 +1 ( 1+ x) v=
− 2 +1
−1 ( 1+ x) =
−1
=−
1
(1 + x )
( e x .x ) -
.
1 1 x − ∫− . ( e )( x + 1) dx 1 + x 1 + x − xe x − xe x + e x (1 + x ) e x ( − x + 1 + x ) − xe x + ex = = = + ∫ e x dx = 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
e x (1) ex = + c. 1+ x 1+ x 24 .
e − t ( πsen πt − cos πt ) π2 + 1 dv = cos πt . dt
∫ e − t cos πt . dt = u = e−t
;
du = − e − t ;
1
∫ dv = ∫ cos πt . dt = π ∫ cos πt .( π) dt
sen πt . π sen πt sen πt ∫ e − t cos πt . dt = ( e − t ) π − ∫ π ( − e − t ) dt
du = − e − t
∫e
−t
v=
sen πt 1 cos πt . dt = ( e − t ) + ∫ e − t . sen πt dt π π
u = e−t
;
du = − e − t ;
dv = sen πt ; ∫ dv = ∫ sen πt dt . v = ∫ sen πt dt = (1 π) ∫ sen πt .( π) dt = −
cos πt π
(
∫ e − t cos πt . dt = e − t
) senππt + 1π ∫ e − t .
sen π t + ∫ e − t cos πt . dt = ( e − t ) π
1 π
sen πt dt
( t ) − cosπ πt − ∫ − cosπ πt ( e − t ) dt
− e
( ) (cos πt) dt
1 sen πt e − t . cos πt − − ∫ e − t cos πt . dt = e − t ∫ e− t π 2 π π2
(
26 .
∫ x.cos
2
)
2 x dx
∫ (e − t )( cos πt ) dt +
[
1
πt ( ) (cos πt) dt = ( e − t ) senππt − e − t . cos 2
∫ e− t
dv π=2 cos 2 2 x dx ; ∫ dv = ∫ cos 2 2 x dx π sen πt e − t . cos πt 1 −t) (e − t )( cos πt ) dt 1 + 1 = ( 1 4x − = 1 dx + 1 cos 4 x dx ∫ du = dx v = ∫π2 + e cos dx 2 2 π 2 ∫π 2 2∫ sen e − t . cos πt 1 .π1t ( cos x+ v=1 4 x).( 4) dx e − t − ∫ 2 2π 4 π2 − t )( cos πt ) dt = ∫ (e 4 x = x + sen 4 x 1 v = 1 x + 1 sen 2 8 1 + 2 2 8 u =x
[
]
]
( )
π
4xt . -cosπxt + sen4πxsen ∫x.cos 2 2x dx =ex−t.xsen+ πsen πt t e− ∫ 2 e − t 8 .−dx − −8 2π 2 π2 π −t 2 ( e )( cos π t ) dt = = x sen 4 x - 1 x. dx − 1 sen 4 x. dx = ∫= x + ∫ ∫ π2 + 1 2 π2 + 18 2 8 2 2 π2 = x 2 + x sen 4 x - 1 . x -π 1 . 1 ∫ sen 4 x . ( 4)dx e − t 2(πsen 2 πt)8 4 2 8 + c. 22 ∫ (e − t )(2 cosx πt ) dt = sen 4 x π + x = x + - 11 [ - cos 4 x ] = 4 32 2 2 x 8 25 . ∫ x. sec dx . 2 2 = x −2 x + x sen 4 x + cos 4x = 4 32 x 2 8 x u=x dv2 = sec 2 dx ; ∫ dv = 2 ∫ sec22 .(1 2) dx . 2 2 2 = 2 x − x + x sen 4 x + cos 4 x = x + x sen 4 x + cos 4 x + c . x 4 4 32 32 8 du =4 dx v = 2 tg8 2 2 27 . ∫x cos x dx x x ( xu)=2 xtg2 x − 2∫ tgdvx = (1 2 ) dx = x tg ; − 2dv ( 2)=∫ tg dx cos=x2dx cos dx 2 2 2 ∫ ∫ 2 du =x2 x dx vx = sen x 2 x tg − 4 ln sec + c . = x 2 2sen x - ∫ (sen2x)( 2 x ) dx = x 2 sen x - 2∫ x .sen x dx = integrando por partes la integral : ∫ x .sen x dx = u = x ; du = dx ; dv = sen x dx ;
∫x ∫x ∫x
2 2 2
∫ dv = ∫ sen x dx
cos x dx = x 2 sen x - 2 ∫ x .sen x dx =
[
cos x dx = x 2 sen x - 2 ( x )( - cos x) - ∫ (- cos x) dx cos x dx = x 2 sen x + 2x cos x - 2 ∫cos x dx
; v = - cos x.
]
∫x cos x dx = x ∫ arc sen mx dx. 2
28 .
2
sen x + 2 x cos x - 2sen x + c .
u = arc sen mx m du = 1- m2x 2
dv = dx v=x
mx dx 1- m2 x 2 -1 2 x arc sen mx - - 1 ∫ (1 - m 2 x 2 ) .(- 2m) mx.dx 2m (1 - m 2 x 2 ) 1 2 x arc sen mx + 1 2m 12 x arc sen mx - ∫
x arc sen mx + 2 1 - m 2 x 2 = x arc sen mx + 1 - m 2 x 2 + c . 2m m 29. ∫ arc cot x dx 2
u = arc cot du =
dv = dx .
x 2
-1
2
=
-2 x2 + 4
v =x. 1+ x 4 x arc cot x - ∫ - 2x . dx = x arc cot x +∫ (2x) dx = x arc cot x2 + 4 2 x2 + 4 2 2 ( ) x + c . x arc cot + ln x + 4 2
x 2
+ ln
2
30 .
∫ arc cos 1x dx . u = arc cos 1 . x
dv = dx ; v = x .
- 1 - 1 - 12 - 1 2 2 x x 1 = = = x = x2 = du = 2 2 x -1 1- 1 x 2 -1 x 2 -1 x x 2 -1 1 - 1x x2 x2 x x2 - 12 x
()
dx . 1 x arc cos 1 - ∫ (x) = x arc cos 1 + ∫ 1 dx x x x x 2 -1 x 2 -1 x arc cos 1 + ln x + x 2 - 1 + c . x 31. ∫ arc sec 1 dy y u = arc sec 1 . dv = dy ; v = y y
[
du =
- 12 y 1 y
1 -1 y2
]
=
-1 y 1- y y2
-y
y arc sec 1 - ∫ y
1- y
2
2
=
-1 y 1- y y
2
=
2
-1 y 1- y y
2
=-
1 1- y2
[
2 −1 2 +1 (1 - y 2 )1 2 1 1 y arc sec 1 - 1 (1 - y ) y arc sec = y 2 −1 2 +1 y 2 1 2 y arc sec 1 - 2 (1 - y 2 )1 2 = y arc sec 1 - 1 - y 2 + c . y 2 y 32. ∫ arc csc nt dt
[
]
dv = dt .
u = arc csc nt
-n . dt v =t. 2 2 nt n t - 1 . dt t arc csc nt dt -n t arc csc nt - ∫ (t) = +∫ (nt) 2 - 12 n t n 2 t 2 - 1
du =
[
]
. dy = y arc sec 1 - 1 ∫ (1 - y 2 ) −1 2 .( -2)y dy = y 2
]
t arc csc nt + ln n t n 2 t 2 - 1 + c. x dx 33. ∫ arc sen 2 u = arc sen x dv = dx 2 1 du = v =x 2 x 2-x
x arc sen x arc sen x arc sen
x - (x) 1 dx = ∫ 2 2 x 2 - x x -1 x dx = 2 2 ∫ x ( 2 - x)
∫
x dx = 2x - x 2
u =x
∫ dv = ∫
x -1 2 2
du = dx x arc sen x arc sen x arc sen
[
1 1 =∫ = 2 2 2x - x 1 - (x - 1) 2 v = arc sen (x - 1)
]
x - 1 x arc sen (x - 1) - arc sen (x - 1) dx ∫ 2 2 x - x arc sen (x - 1) + 1 ( x −1) arcsen( x −1) + 1 - (x - 1) 2 2 2 2
[
x x arc sen (x - 1) + ( x −1) arcsen( x -1) + 1 - (x - 1) 2 2 2 2 2
Factorizan do : arcsen( x -1) . 2
x arc sen
x - arcsen( x -1) [ x - (x - 1) ] + 1 - (x - 1) 2 2 2 2
x arc sen
x - arcsen( x -1) [ x - x + 1) ] + 1 - (x - 1) 2 2 2 2
