1
RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 .....................................................................................2
2
PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112 ...........................................18
3
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 ...............................................................27
4
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Página: 146 ....................................................38
5. LEY DE SENOS Pág: 137………………………………………………………………………………………………………….42 6
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Paguina:276 .....................................................................47
7
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Página : 284........................................................................81
1
1 RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES
a) Cos x tan x = Sen x
b) Sen x Sec x = Tan x
c) Sen y cot y = cos y
d) (1+tan ² y) Cos ²y = 0
2
e) Sen ²A+Sen ² A . tan ²A = tan ²A
f)
Cot ²A – Cos ²A = Cot ²A Cos ²A –
g) Tan A + Cot A = Sec A Csc A
3
h) Cos A Csc A= Cot A
Cot A
i)
Cos ²A – Sen ² = 1 – 2 Sen ² A
j)
Cos ² A – Sen ²A = 2 Cos ² A – 1
k) (1+ Cot ² B) Sen ² B = 1
(
)
4
(
)
l)
( (
) )
m) Sec² A+ Csc² A = Sec² A Csc²A
n)
5
o)
p)
q)
r)
6
s) Cos B tan B + Sen B Cot B = Sen B +Cos B
–
t)
u)
v)
7
Usando las relaciones fundamentales( 13) a (20), Calcular los valores de todas las funciones a partir de los siguientes datos: 4. Cos A
⁄ ,cuando A está en el segundo cuadrante
(
)
⁄ ⁄
(
;
) ⁄ ⁄
8
;
(
)
⁄
5.
√ √
√
√
√ √ √
9
√ √
6. Csc A = -3, cuando A está en el cuarto cuadrante
⁄ ⁄
√
⁄ ( √ ⁄ )
√ √
10
√ √
√
√ √
7.
(√ ⁄ ) ⁄
4
⁄
√ ⁄
√
⁄√ √
√ √
√ √
√
8.
11
9.
⁄
√ √
⁄
√
√ √ √
Calcular Algebraicamente el valor de cada una de las siguientes expresiones a partir de los datos dados. Considerar en cada caso el ángulo como agudo Calcular 10.
12
*
(
)
(
)
(
( ) +
( ) ( )
)
11. (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ⁄
12. (
√
)
√
√
√
√
√ ( )
13
13.
⁄
√( )
√
√
√
√
√
√
√
√
14.
Ordenando se tiene
14
15. (
)
2
15
16. Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos
a)
√
b)
√
c)
17. Transformar las siguientes expresiones en otras equivalentes que contengan solamente tg A a) ( (
b)
16
) )
c)
Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos 18.
19.
20.
21.
17
2 PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112
TRIGONOMETRÍA
B
c
c
a
a
35°
35° b=5m
b=?
A
A
A
C
c=10m
55° B
18
b=5m
C
a=2 millas
A
b=?
15° A b=? smastil c=10m a=30m 5°
A
C
navio
observador
√
b=?
√
√
B
c=12m a=6m A
? b=?
C
19
√
√
√
B
c=?
B c=?
c=?
a= 35°
35°
35° A
393,18m
b=1965
C
B
√
√
B
D c=? a=150m
a=150m 35° A
300m
d=150m
20
C
B
D
48
24 c
a ? A
?
√
D
c
a =35,01
b=100m
12m
A d=12m
B
35°
?
A
b=24cm
√
a=35,01m C
A
C
b=50m
c= 24m 45°
45°
b=6,3m 12,60
21
a=
C
B R
X r
A
D b=
l=24cm
22
C
23
(
)
l=21,78cm
𝛽 /2
24
B
R
r
b l=24cm
25
(
26
)
3 ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 B
l=250m
a=?
40°
C
B
A
a=?
60°
C
B
A
b=200m
a=10m B ?
C
60
b=8,391
a=24m
B
b=? 27°43´
a=120m
C
60°
C
c=?
27°43´
b=?
A
27
A
B
a=1m
C
A
b=40m
A 50°12´ b=350m B
21°16´
B
C a=?
a=?
21°16´
C
b=300m
√
l
√ √
l
√
√ √
√
(√ )
√
l
l
A B X
R
28
A
r
b l=12cm
√
x
145°37´ 48 R 41,36m 41,36m B
b=
B x
R
R
x
b b= c=1027m
N
N=10millas/h
E
45
29
√
√
N N 37 a 37
α 10h37
12h
18°13´ a=10,32millas 18°13´ α 7h30´
7h
Φ a=10,32millas
7h
Φ α
10h
30
√ c=12m
√
√
√
c=12m
a=10m
a=6
30
60
b
b α
a1
a2 60 b
√
30
√ b
B 70°
x
31
a
b
27°15´ 46°18´
27°15´
46°18´ b2 b1
32
A α 25 a2 B
25
35 a1
35
a 45°
45°
b 1 milla
y 10° 200
15° x 33
l 𝛽 l
x
l 𝛽 l-x
x
34
√
√
l=6m
√ √
a 60
(√
45
√ √
x 30
45 c
35 a
)
√
√
̂
̂
(
) ̂
36
̂
A F R1 R2
Ѳ
α
E
B
d=36dm
D C
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
37
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
(
B
50
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
(
)
(
)
) ̅̅̅̅
(
)
E
D
50
1
50
Q W
P
150
C 50
S
T W
2 30
F 50
3
R
A 50
M
M 4
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 𝐶
C
8
𝑎
𝑏 𝑐 𝑎𝑏
𝑐 a=4
b=7
𝑐𝑜𝑠𝑐
A
B C=10
𝑐 𝑐𝑜𝑠 38 𝑐
(
) ⬚`
C
9
50° b=11
a=10
A
B C=?
A
1 0
b=9
C=8
h
B
C a=3
1 1
49° 18´θ₁
X=5
θ₂ X=5
A
a B
49° 18´ θ₁
X=5
θ₂=130°42´b X=5 A b= 426 m
1 2
b C
̅̅̅̅ 𝐴 𝑎
68°42´
´𝑐
a=322,4m
𝑐
C
B
𝑐 𝑐
𝑓 𝑎
𝑏
𝑎𝑏
𝑐
𝑐𝑜𝑠
√ 39
1
C
b= 5 m a=4,60m A C=2m
B A
1 4
?
c=5 m
b=8 m
B
C a=7 m 1 5
C 59°30´
b=11,5Km
a=9,4 Km
B
C c=?
B
40
1 6
𝑎 𝑆𝑒𝑛𝐴 SenA
𝑐
𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝐶
B
𝑐 𝑐
´
SenA
𝐵
a= SenA=0,40766
𝑑
b=
𝛽
c=?
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑏
18°20´
𝑐
𝛽
𝑥
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑣 𝑡
𝑎
C
´
´
62°15´
A=24°3´
´
𝑎
𝑥
𝑏
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑏
´𝑐
𝑐
𝛽 +A =18°20´+24°3´ ´
𝑁
º
𝑐
A
´𝐸
41
𝑐
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 √
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑛
È
5. LEY DE SENOS Pág: 137
Datos AC=283m ∡𝐶𝐴𝐵
𝐴 8
38°
𝐶
𝐵
A
∡ACB=66°18´
𝐵
𝐴
𝐶
𝐵 38°
AB=?
c=?
º
𝐵
º
𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵
b=283 m B 66°18´
𝑐
´
´
𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑚 𝑠𝑒𝑛 º 𝑠𝑒𝑛 º
´𝑐
C
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
9 B
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏
c =? a=25,2m
b=14,55m
C
1 0
A
BC=270m ∡BCA=55°
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝐴
𝐵
∡CBA=65°
c = ?
𝑐
c=?
65° a=270 m
C 42
´
º
´
º
´ 𝐶
º
𝐴
º
𝑐
º
´
𝐴
º
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑚
55°
º
𝐵 𝐶
𝐶 𝐵
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 𝑠𝑒𝑚 𝐶
𝑐
𝐴
´ 𝐵
𝐴
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
A
B
𝑠𝑒𝑛
𝐶
∡BAC=21°30´
º 𝑚
AC=14,55m BC=25,2m
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝐶
𝐴 𝐶
º 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴
º 𝐶
𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 º
º
´
1 1
𝐵𝐶
𝑚
A
∡𝐴𝐵𝐶
𝐴
∡𝐵𝐶𝐴 AB=?
c = ?
b
a=1006 m
𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝐶
𝐴
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴
º
º
º
𝐴
º
𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 º
𝑟
𝑐 C
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 C
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑏
b=170,6 m 40°
B
º 𝐵
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴
70°
B
a=140,5 m
𝐶
𝐴
44°
1 2
𝐵
𝑠𝑒𝑛
𝐵 A
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
º
𝐶 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐 𝑙 𝑙
𝑐
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑚 𝑎
𝑏
𝑐
𝑚
𝑙
𝑚 𝑚
43
𝑚
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵
1 3
𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛𝐵
C
27°18´
𝐵
𝑆𝑒𝑛
𝑏
º
𝐴
b=74,1m
´ 𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
º
𝑎
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
´
º
´
º
´
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝐶 𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑎 A
º
𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛
´
𝑚
B c=64,2 m
1 4
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏 𝑐 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑅 𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛𝐶
Aplicando propiedades de las proporciones se tiene: La razón de cualquiera de los lados de un triángulo al seno de ángulo opuesto es numéricamente igual al diámetro del círculo circunscrito.
𝑅
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑆
44
1
A
Demostrar a) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 Demostración 𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑚 𝑐
𝑚
𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑛 𝑏
𝑛
𝑏
∆𝐴𝐷𝐶 𝐶𝑜𝑠𝐶 𝑏𝑎
𝐵
𝑚𝐶 𝑛𝑐
𝑚
𝑛
𝑏
𝑐
𝐴
m
B
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒
𝑛 𝑎
𝑎
𝑏
𝑚
𝑐
𝑎
𝑐 B
𝑎
𝐶 a
c
𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴 m
𝐵 𝑚
D n
A
𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐷𝐵𝐶𝐷 𝑚𝑒
C
𝐴
Demostración ∆𝐴𝐶𝐷
n
𝑦
Remplazando 1 y 2 en 3 𝑐
D a
𝑚 𝑅
∆𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑏
𝐶
𝐵
Demostración 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶
∆𝑏𝑑𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶
b
c
𝑚 𝑏 𝑛 𝑎
𝑚
C b
𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴
C 𝑛
𝑎
𝐵 a
𝑛
b
𝑐
𝑏 √𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐
m
√
B c
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 √
D
A
𝑘 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐
45
A
𝑏 𝑐 𝑏 𝑐
√
b 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
c h
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑏
B
C a
Remplazando 4 y 5 en 3
√𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏
√𝑏𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐
√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 √𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏
𝑏𝑐 𝑒𝑛 𝑐 𝑐
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑏
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑐𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑐 𝑐
𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐶
Demostración 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑆𝑒𝑛𝐴
𝑏 𝑆𝑒𝑛𝐵
𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏
𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑐 DEMOSTRACION
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎
𝑚𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑅
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑚𝑏 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎
𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑚𝑏 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
46
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑐
6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Paguina:276
Demostrar las siguientes identidades: 1)
–
2)
3) (
)
(
)
47
4)
5) √ √(
) (
)
√(
) (
)
√ √
6)
48
7) (
) (
8) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
9)
10) (
)
49
)
11)
12)
13)
14)
50
15)
16)
17)
18)
19) [
] [
51
]
20) {
[
]}
[
(
[ [
(
)] )]
] ]
[
21)
22)
⁄
23) [
] [
] ⁄ ⁄
⁄
24) [
] [
]
52
⁄ ⁄
25)
(
53
)
(
) (
54
)
55
56
(
)
57
58
√
√
√
√(
59
)
60
[
]
[(
√
)
( )
[
] [
[
61
]
]
]
(
)
[ ( )]
62
( ) ( )
( [
]
)
[
]
(
)
(
)
(
)
63
(
)
[
]
[
]
64
65
(
)
( )
(√
(
66
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
67
(√
)
(√
)
68
(
)
(√
)
(
69
)
(
)
(
)
(
)
(
)
70
[
(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ (
)]
(
)
71
[ (
)
( (
)
(
)
[ (
] )
(
)
)]
(
) (
( )
72
(
) )
º
(√
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
)
( )
y 0
1
1 – Sen 0 = 1 – 0 = 1
73
º
30
0.5
1 – Sen 30 = 1 – 0.5 = 0.5
45
0.293
1 – Sen 45 = 1 – 0.707 = 0.293
60
0.234
1 – Sen 60 = 1 – 0.866 = 0.234
90
0
1 – Sen 90 = 1 – 1 = 0
(
)
y = 2 Csc 2 0
∞
10
5.84
20
3.11
30
2.31
45
2
60
2.30
80
5.84
90 ∞
74
∞
(
)
(
)
(
)
(
)
75
(
)
[
]
[
]
76
[
]
[
] [
{
]
[
] (
[ )
77
]} (
)
(
)
[– (
)]
( [
)
(
)
78
(
)]
[
]
[(√
) ]
(√
79
)
[
]
[(√
) ]
(√
80
)
7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre0 y 360° ⁄
1. √
⁄ ⁄ ⁄
a)
y
y
⁄
30
,
X
30
X
150
⁄
b)
(
⁄ ) y
, {
210°
y
X
30
330° 30
X
2.
y
√ √ √ √
a)
45
y
X
45 135
X
√
, y √
b)
225
,
y
X
315
X
45
45 {
81
3. √
√ √ √
a)
y
√ , b)
y
60
240°
X
X
60
√ √ ,
y
Solución total
y
60 120
300
X
X
60 {
4. y
y
60 √
300
X
X
60
√
a) ⁄ , b)
⁄
y
(
y
⁄ ) 60 120
X
240° 60
{
82
X
5.
y
{
y
45
}
225
X
X
Solución ⁄ ⁄ ⁄ {
6.
⁄
√ √ √ ⁄ ( √ ⁄ ) y
y
{ 30
150
{
83
X
210 30
X
7. √
√
a) , , b) , , { 8.
√
√ y
⁄
a)
y
300 {
b)
{
⁄
X
60
(
X
60
⁄ ) {
{
y
y
X
60 120
} 84
240° 60
X
9.
y
√
y
√
30
210 30
X
√ √
a)
√
,
√
√ ( √ )
√
b)
X
,
y
y
,
30
,
150
X
330
X
30 30
10.
√
√
y
y
√
45
√
a)
X
315
X
45
√ , b)
,
y
√
45
y
135
( √ ) ,
, ,
85
X
225 45
X
(√
11. a)
) y
y
{
45 135
⁄
315
X
⁄
b) √ √
y
√
√ √
√
y
60
240
X
X
60
√ ⁄ {
X
30 45
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ {
⁄
12. a) y
y
⁄ ( {
⁄ )
60 120
240
X
60
⁄ ⁄
86
X
b)
⁄ ⁄
{
⁄ 13. a) √
a1)
√
y
√
30
⁄
{
y
X
300
⁄ √
a2) {
X
30
(
√
)
⁄ y
⁄
30 150
y
210
X
X
30 b)
y
( {
⁄ )
⁄
210 30
⁄ {
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
87
y
X
330
X
30
14. y
a)
y
210
330
X
30
30
⁄
X
b)
(
)
⁄ ⁄
{
⁄ ⁄ ⁄
{
(
15. (
√ )
√
√ )
y
√ √
a)
y
60
X
60
√ {
240
X
⁄ ⁄
b) y
{
⁄ ⁄
y
45
225
X
45
⁄ ⁄ { ⁄ ⁄
88
X
(
√ )
(
√
16.
√ √
) √
(
)
a)
⁄
y
y
√
b)
60
√
X
60
120
X
, {
⁄ ⁄
⁄ { ⁄ ⁄ Resolver las siguientes ecuaciones para valores de ángulos comprendidos entre 0 y 360° 17.
y
a) 60
⁄ (
120
240
X
60
)
b)
,
18.
y
⁄ ⁄ ⁄
89
X
√
√
y
y
√ 30
√ ⁄
a)
300
X
X
30
√ ⁄
y
y
, 30
150
210
X
30
√ ⁄
b)
X
√ ⁄ ,
19. √ √ √
√ √
√ √ √
( a)
√
)(
√
)
√ √
y
b)
y
√
60
√ √
90
X
60
120
X
20.
y
y
a) 60
300
X
⁄
X
60
b)
( ) } 21.
√
√ √
y
√
a)
y
30
210
X
√ ⁄
X
60
, (
b)
√
(
y
) √
)
30
150
y
X
300
X
30
, }
91
y
22.
y
60
225
X
X
45
} 23. y
}
45
135
y
X
315
X
45
24.
a) , b)
}
92
25.
a) 𝑺𝒆𝒄𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒙
a)
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒙
𝑪𝒐𝒔
𝒙
𝟐
𝟏 𝑪𝒐𝒔𝑿
𝑪𝒐𝒔𝒙
(
)
𝟏 𝟐 𝟏(
𝟏 ) 𝟐
𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
b) 𝟐𝑺𝒆𝒏𝒙
b)
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏 𝟐
𝑭𝒂𝒍𝒔𝒐
y
y
} 60
120
240
X
60
26.
a) b)
93
X
27.
a) y
y
30
X
30
150
X
, b)
{
28.
y
√
y
45
225
X
X
45 a) , b)
y
,
45
135
y
X
315
X
45 {
94
√
29.
√ √ √ √
√
√
√
√ √ √
(
√
√
)(
a)
)
y
√
y
60
300
X
X
60
√ √
b)
√ √
( )
30.
y
y
210
330
X
30 ( {
X
30
) { 1. 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝟎
31.
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟎 𝒙 𝟗𝟎 𝟐𝟕𝟎 b) 𝟐𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟎 a)
a) ⁄
𝑪𝒐𝒔𝒙
⁄
𝒙
,
𝒙
95
𝑪𝒐𝒔
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
b) y
60
y
120
240
X
X
60
32.
a)
b)
33.
a)
,
y
y
b) 60
120
240
X
60 (
⁄ )
,
34.
a) ,
96
X
b)
}
35.
a)
, b)
,
97
√
36. (
)
*
*
+ +
√
√
√
(
300
240
√
( )
y
y
√
X
60
)
X
60
}
√ ⁄
37.
√ ⁄ √
√
(
√
(
√
)
√
√ ⁄ √ ⁄
√ ⁄
)
y
y
⁄ 210
⁄
330
X
30
30
,
X
38.
( (
)
(
)
)
( (
) )
y
y
30
210
X
30
√ √
30 98
X
√
a)
√
( ) ,
y
y
√
b)
330
( √ ⁄ )
X
30
, } 39. √ √
*
[
+
]
[
]
a)
,
b) { }
99
30
150
X
39. 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛
𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑥
*𝑆𝑒𝑛𝑥 √
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
[
+
𝐶𝑜𝑠𝑥]
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 a) 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
,
b) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏 𝟎 𝒙 𝟗𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 { 𝟐𝟕𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒙 𝟎 𝟑𝟔𝟎 }
100
40. √ (√
)
a)
,
b)
y
y
318,59° 41,41°
( )
X
41,41°
, }
√
41. √
(√
)
a)
101
X
b) ⁄
y
y
( ⁄ )
300° 60
,
X
X
60
42. (
)
a) √
√ √
a1)
y
y
√
300°
√
60
X
X
60
,
(
√
y
y
√
a2)
)
60
120
240
X
60
,
30
b)
102
X
√
√
43.
√
√ y
√
a)
y
71,56°
71,56° 108,44°
X
X
{ b) y
y
{
254,56
} ´}
´
285,44° 74,56
X
74,56
44.
√
y
√ √
68,53 111,47
y
X
248,53 68,53
a)
b)
103
X
X
} 45.
a) } b) √ } 46.
a)
y
b)
199,47°
⁄ (
19,47°
⁄ ) }
47.
104
y
X
340,53° 19,47°
X
a)
y
y
b) 70,53
⁄ ( ⁄ ) }
105
X
70,53 109,47
X
