SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE WILLIAM ANTHONY GRANVILLE Ejercicios resueltos por : LIWINTONG MARQUEZ REYES
Problemas “ Pagina 14 “ 1. Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que a. f (1) = 12 f (1) = (1)3 - 5 (1)2 - 4 (1) + 20 = 1 - 5 - 4 + 20 = 21 - 9 = 12 f (1) = 12 b. f (5) = 0 f (5) = (5)3 - 5 (5)2 - 4 (5) + 20 = 125 - 125 - 20 + 20 = 0 f (5) = 0. c. f (0) = - 2f (3) Primero calculamos f (3) f (3) = (3)3 –5 (3)2 - 4 (3) + 20 = 27 - 45 - 12 + 20 = 47 - 57 = f (3) = - 10 Luego, calculamos f (0). f (0) = (0)3 + 5 (0)2 - 4 (0) + 20 = 0 + 0 - 0 + 20 = 20. f (0) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (0) en la función original. f (0) = - 2 f (3). 20 = -2 (-10) 20 = + 20.
d. f (7) = 5 f (-1) Primero calculamos f (-1) . f (-1) = (-1)3 -5 (-1)2 - 4 (-1) + 20 = - 1 -5 + 4 + 20 = - 6 + 24 = f (-1) = 18. Luego, calculamos f (7). f (7) = (7)3 - 5 (7)2 - 4 (7) + 20 = 343 - 245 - 28 + 20. f (7) = 363 - 273 = 90. Sustituyendo, f (-1) y f (7) en la función original. f (7) = 5. f (-1). 90 = 5 (18). 90 = 90. 2. Si f (x) = 4 - 2x2 + x4, calcular : a. f (0) f (0) = 4 - 2 (0)2 + (0)4 = 4 - 0 + 0 = 4 f (0) = 4. b. f (1) f (1) = 4 - 2 (1)2 + (1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2. f (1) = 3. c. f (-1) f (-1) = 4 -2 (-1)2 + (-1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2 f (-1) = 3. d. f (2) f (2) = 4 -2 (2)2 + (2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 f (2) = 12. e. f (-2) f (-2) = 4 - 2 (-2)2 + (-2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 = f (-2) = 12.
3. Si f (θ )
=
sen 2θ + cos θ . Hallar :
a. f (0) f (0) = sen 2 (0) + cos (0) = sen 0 + cos 0 = 0 + 1 = f (0) = 1. b. f (1/2 π ) . f (1/2 π) = sen 2 π + cos π = sen π + cos 900 = 0 + 0 = 0 . 2 2 c. f (π ) f (π) = sen 2 (π) + cos π = sen 3600 + cos 1800 = 0 + (-1) = -1. f (π) = -1. 4.- Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que :
f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12. f (t + 1) = (t + 1)3 - 5(t + 1)2 - 4(t + 1) + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 - 4t - 4 + 20. Haciendo operaciones: f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2y + 6 , demostrar que : f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2 ( y - 1) h + h2. f (y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6. f (y + h) = y2 + 2yh + h2 - 2y - 2h + 6. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + h (2y - 1) + h2. f (y + h) = y2- 2y + 6 + ( 2y - 1) h + h2.
6. Dado f (x) = x3 + 3x , demostrar que f (x + h) - f (x) = 3(x2 + 1) h + 3xh2 + h3. Primero encontramos f (x + h) f (x + h) = (x + h)3 + 3(x + h). f (x + h) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h. Luego : f (x + h) - f (x) f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x). f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - x3 - 3x. Efectuando : f (x + h) - f (x) = 3x2h + 3h + 3xh2 + h3. f (x + h) = 3h (x2 + 1) + 3xh2 + h3. f (x + h) = 3 (x2 + 1) h + 3xh2 + h3. 7. Dado f (x) = 1 , demostrar que : f (x + h) - f (x) = _ 1 . 2 x x + xh Primero encontramos f (x + h) : f (x + h) = 1 . x+h Luego : f (x + h) - f (x) =
1 - 1. x+h x
f (x + h) - f (x) = x - (x + h) (x + h) x f (x + h) - f (x) = x - x - h = _ h . (x + h) x x2 + xh
8. Dado φ (z) = 4z , demostrar que: φ (z + 1) - φ (z) = 3φ (z) Primero encontramos φ (z + 1) φ Luego:φ φ φ Pero : φ ⇒ φ
(z+1) = 4z +1 (z + 1) - φ (z) = 4z +1 - 4z. (z + 1) - φ (z) = 4z.4 - 4z. (z + 1) - φ (z) = 4z (4 - 1) = 4z (3) = 3 (4z). (z) = 4z. (z + 1) - φ (z) = 3φ (z).
9. Si φ (x) = ar ,demostrar que: φ (y). φ (z) = φ (y + z) φ (y) = ay φ (z) = az φ (y).φ (z) = ay.az = ay + z Si: φ (x) = ax ⇒ φ (y). φ (z) = ay + z
φ (y + z).
=
10. Dado φ (x) = log 1 - x ,demostrar que: φ (y) + φ (z) = φ y + z 1+ x 1+ yz .
.
.
Primero calculamos φ (y) , sustituyendo en φ (x): φ (y) = log 1 - y 1+ y Luego calculamos φ (z) , sustituyendo en φ (x) : φ (z) = log 1 - z 1+z Ahora: φ (y) + φ (z) = log 1 - y + log 1 - z 1+y 1+z φ (y) + φ (z) = log 1 - y - z + yz
=
=
log (1 - y)(1 - z) (1 + y)(1 + z)
(1 + yz) - (y + z) .
.
1+ y + z + yz
(1+ yz) + (y + z)
Ahora calculamos φ (y + z) , sustituyendo en : φ (x) = log 1 - x . (1 + yz) 1+x 1-(y + z) φ (y + z) = log 1 + yz (1 + yz) 1+y+z 1+ yz
1 + yz - (y + z) (1 + yz) = log 1 + yz + y + z (1 + yz)
⇒ φ (y) + φ (z) = φ y + z 1 + yz 11.
=
=
log (1 + yz) - (y + z) (1 + yz) + (y + z)
log (1 + yz) - (y + z) (1 + yz) + (y + z)
Dado : f (x) = sen x , demostrar que
f (x + 2h) - f (x) = 2 cos (x + h). (sen h) Primero encontramos f (x + 2h) sen (x + 2h) = sen x. cos 2h + cos x. sen 2h. Por Trigonométria : cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2sen2 x. sen 2x = 2sen x.cos x. sen (x + y) = sen x. cos y + cos x. sen y. Sustituyendo en : sen (x + 2h) sen x (cos2 h - sen2 h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + 2 cos x . sen h. cos h. Luego : f (x) = sen x f (x + 2h) = sen x (1 - 2 sen2h) + 2cos x. sen h. cos h ⇒ f(x + 2h) - f(x) = sen x(1 - 2 sen2h) + 2cos x . sen h.cos h -sen h Haciendo operaciones , simplificando y ordenando: sen x - 2 sen x. sen2h + 2 cos x. sen h. cos h - sen x 2 cos x. sen h. cos h - 2sen x. sen2h Factorando : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) Pero : según formula , cos x. cos y - sen x. sen y = cos (x+y) Sustituyendo en : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) 2 sen h [(cos (x + h)] = 2 sen h. cos (x + h) = 2 cos (x + h). sen h.
⇒ f (x+2h) - f (x) = 2 cos (x+h). sen h .
Problemas “Paginas 21 – 22 “ Demostrar cada una de las siguientes igualdades: 2. lim 4x + 5 = 2 x→∞ 2x + 3 Dividiendo númerador y denominador por x y luego sustituyendo por ∞ .
lim x→∞
4x + 5 x x 2x + 3 x x
=
4+ 5 x 2+ 3 x
3. lim 4t2 + 3t + 2 = - 1 3 t→0 t + 2t - 6 3
4+ 5 ∞ 2+ 3 ∞
=
.
4 + 0 = 4 = 2. 2+0 2
=
.
Se sustituye t →0 en el numerador y denominador. lim 4 (0)2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 3 t→0 (0) + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 -6 4. lim x2h + 3xh2 + h3 h→0 2xh + 5h2
=
lim h (x2 + 3xh + h2 ) h→0 h (2x + 5h)
-1. 3
=
x. 2 =
x2 + 3xh + h2 2x + 5h
Se sustituye h →0 tanto en el numerador como en el denominador. lim x2 + 3x(0) + (0)2 = x2 + 0 + 0 h→0 2x + 5(0) 2x + 0
=
x2 2x
=
x .x 2x
=
x . 2
5. lim 6x3 - 5x2 + 3 3 x→∞ 2x + 4x - 7
=
3
Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x3.
6x3 - 5x2 + 3 lim x3 x3 x3 3 x→∞ 2x + 4x - 7 3 x x3 x3
6- 5+ 3 x x3 2+ 4 - 7 x2 x3
=
.
=
Luego sustituyendo x →∞ y teniendo presente que todo número para ∞ = 0 .
6- 5 + 3 ∞ ∞3 2+ 4 - 7 ∞2 ∞3
. =
6-0+0 2+0-0
6. lim (2z + 3k)3 - 4k2z 2 k →0 2z ( 2z - k )
=
=
6 =3. 2
1
lim (2z)3 + 3(2z)2(3k) + 3(2z)(3k)2 + (3k)3 - 4k2z . k→0 2z [(2z)2 - 2zk + (k)2] lim 8z3 + 36z2k + 54zk2 + 27k3 - 4k2z . k→0 2z (4z2 - 2zk + k2) Sustituyendo k →0 lim 8z3 + 36z2 (0) + 54z (0)2 + 27 (0)3 - 4(0)2z . k→0 2z [4z2 - 2z(0) + (0)2] lim 8z3 + 0 + 0 + 0 - 0 2 k→0 2z (4z - 0 + 0)
=
8z3 8z3
=
1 .
7. lim x →∞
ax4 + bx2 + c dx5 + ex3 + fx
=
0
Dividiendo numerador y denominador para x4 . ax4 + bx2 + c lim x4 x4 x4 5 3 x→∞ dx + ex + fx x4 x4 x4 lim x→∞
lim x→∞
8. lim x→∞
a+ b + ∞2 d.∞ + e + ∞
c ∞4 f ∞3
=
a+ b + c x2 x4 . dx + e + f x x3
.
x →∞ en la operación. .
.
= a + 0+0 ∞+0+0
.
a =0 ∞ ax4 + bx2 + c dx + ex2 + fx + g 3
=
∞ .
Dividiendo numerador y denominador para x4. ax4 + bx2 + c lim x4 x4 x4 3 2 x→∞ dx + ex + fx + g 4 4 x x x4 x4
=
a+ b + c x2 x4 d + e + f + g x x2 x3 x4
.
.
.
Sustituyendo x → ∞ en la operación. lim x→∞
a + b + c ∞2 ∞4 a+0+0 = d+ e + f + g 0+0+0+0 ∞ ∞2 ∞3 ∞4
.
=
a 0
=
∞
9. lim s4 - a4 2 2 s→a s - a
=
2a2
lim (s2 + a2) (s2 - a2) s→a ( s2 - a2 )
=
s2 + a2.
Sustituyendo s →a en la operación. lim a2 + a2 = 2a2 s→a
10. lim x2 + x - 6 x→2 x2 - 4
=
5 4
.
lim (x + 3) (x - 2) = (x + 3) . Sustituyendo x→2 : x→2 (x + 2) (x - 2) (x +2) lim (2 + 3) = 5 . x→2 (2 + 2) 4 11. lim 4y2 - 3 = 0 y→∞ 2y3 + 3y2 Dividimos para y3. 4 y2 - 3 4 - 3. 3 3 lim y y y y3 = 3 2 y→∞ 2 y + 3 y 2+ 3 3 3 y y y
.
Sustituyendo y→∞ en la operación : 4 - 3 lim ∞ ∞ y→∞ 2 + 3
.
=
0-0 2+0
=
0 =0 2
∞ 12. lim 3h + 2xh2 + x2h3 = - 1 . 3 3 h→∞ 4 - 3xh - 2x h 2x Dividiendo todo para h3. 3h + 2xh2 + x2h3 lim h3 h3 h3 = 3 3 h→∞ 4 - 3xh - 2x h h3 h3 h3
3 + 2x + x2 h2 h 4 - 3x - 2x3 h3 h2
.
Sustituyendo h→∞ en la operación :
lim h→∞
3 + 2x + x2 ∞2 ∞ 4 - 3x - 2x3 ∞3 ∞2
=
3 + 2x + x2 ∞ ∞ 4 - 3x - 2x3 ∞ ∞
13. lim aoxn + a1xn-1 + … + a n n n-1 x→∞ box + b1x + … + bn
=
=
0 + 0 + x2 0 - 0 - 2x3
=
x2 -2x3
=
- 1 . 2x
ao . bo
lim aoxn + a1xn.x-1 + … + an . Dividiendo todo para el mayor exponente xn x→∞ boxn + b1xn.x-1 + … + b
aoxn + a1xn.x-1 + … + an lim xn xn xn n n -1 x→∞ box + b1.x .x + … + bn n n x x xn
=
ao + a1.x-1 + … + an . xn . bo + b1.x-1 + … + bn xn
Sustituyendo ∞ en x.
lim x→∞
ao + a1 + … + an ∞ ∞ bo + b1 + … + bn ∞ ∞
=
lim x→∞
ao + 0 + … + 0 bo + 0 + … + 0
=
ao bo
.
14. lim aoxn + a1xn-1 + … + an n n-1 x→0 box + b1x + … + bn
=
an bn
Sustituyendo x→0 en x
lim ao ( 0 )n + a1 ( 0 )n-1 + … + a n x→0 b0 ( 0 )n + b1 ( 0 )n-1 + … + b n lim 0 + 0 + … + an = an . x→∞ 0 + 0 + … + bn bn
15. lim (x + h)n - xn h→0 h
=
=
ao (0) + a1 (0) + … + an . bo (0) + b1 (0) + … + bn
nxn-1
Desarrollando el Binomio de Newton.
lim xn + nxn-1h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + … + hn - xn. h→0 1x2 1x2x3 lim nxn-1.h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + … + hn h→0 2 6 Dividiendo todo para h .
lim nxn-1. h + n(n-1).xn-2. h 2 + n(n-1)(n-2).xn-3. h 3 + … + h n h→0 h 2h 6h h lim nxn-1 + n(n-1).xn-2.h + n(n-1)(n-2).xn-3.h2 + … + hn-1 h→0 2 6 Sustituyendo h→0 en la operación.
lim nxn-1 + n(n-1).xn-2( 0 ) + n(n-1)(n-2).xn-3( 0 )2 + … + ( 0 )n-1 h→0 2 6 lim nxn-1 + 0 + 0 + … + 0 = nxn-1 h→0
. .
16. lim √x + h - √x = 1 . h→0 h 2 √x Racionalizando el numerador:
lim (√x + h - √x ) (√x + h + √x ) h→0 h (√x + h + √x) lim (√x + h )2 - (√x )2 = x + h - x h→0 h(√x + h + √x) h(√x+h + √x) lim h→0
.
h 1 = h (√x + h + √x) (√x + h + √x )
.
Sustituyendo h→0 en la operación.
lim h→0
1 (√x + 0 + √x )
=
1 = (√x + √x )
1 . 2√x
17. Dado f (x) = x2 , demostrar que : lim f (x+h) - f (x) h→0 h
=
2x
Si f (x) = x2
f (x+h) = (x+h)2 ⇒ lim (x + h)2 - x2 = x2 + 2xh + h2 - x2 h→0 h h Sustituyendo h → 0 en la operación:
lim 2x + h = 2x + 0 = 2x h→0
=
2xh + h2 h
=
h (2x + h) h
= .
2x + h
18. Dado f (x) = ax2 + bx + c , demostrar que: lim f (x + h) - f (x) h→0 h
=
2ax + b.
f ( x ) = ax2 + bx + c. f (x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c. f (x + h) = a (x2 + 2xh + h2 ) + bx + bh + c. f (x + h) = ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c.
Reemplazando en la función: lim f (x + h) - f (x) h→0 h
=
ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c - (ax2 + bx + c). h
lim ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c - ax2 - bx - c = 2axh + ah2 + bh . h→0 h h lim h (2ax + ah + b ) = 2ax + ah + b ; h→0 h lim 2ax + a ( 0 ) + b = 2ax + b h→0
19. Dado f (x) = 1 ,demostrar que : x lim f (x + h) - f (x) h→0 h f(x) = 1 . x f(x+h) = 1 . x+h
=
- 1 . x2
.
1 - 1 lim x + h x h→0 h lim h→0
-1 x (x + h).
x - (x + h) x (x + h) h 1
=
=
x-x-h x (x + h) h 1
=
-h . x (x + h) h 1
=
.
Sustituyendo h → 0 en la operación final: lim 1 1 = - 1 . = h→0 x (x + 0) x.x x2 20. Si f (x) = x3 , hallar lim f (x + h) - f (x) = 3x2 h→0 h f (x) = x3. f (x + h) = (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3. Reemplazando estos valores: lim f (x+h)3 - f (x) h→0 h
=
x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - x3 = 3x2h + 3xh2 + h3 . h h
lim h (3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2 + 3xh + h2 h→0 h .
Sustituyendo h→0 en la operación. lim 3x2 + 3x ( 0 ) + ( 0 )2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2 h→0
.
Problemas “ Página 32 “ Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general. 1.
y = 2 - 3x Se sustituye en la función "x" por "x + ∆x" y se calcula el nuevo valor de la función y + ∆y . y + ∆y = 2 - 3 (x + ∆X) . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y. Y + ∆y = 2 - 3 (x + ∆X) Y + ∆y = 2 – 3X -3∆X
y + ∆y - y ∆y = - 3∆x.
=
2 - 3x - 3∆x – 2 + 3X
.
Se divide ∆y para ∆x.
∆y ∆x
=
- 3∆x ∆x
Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x → 0 . El límite así hallado es la derivada buscada.
∆y
=
- 3∆x . ∆x
∆X lim ∆x→0
dy = - 3 dx
.
Y’ = -3
2.
y = mx + b. y + ∆y = m (x + ∆x) + b. Y + ∆y = mX + m∆x + b y + ∆y - y = mx + m∆x + b – mX - b
∆y = m∆X ∆y = m ∆ x ∆x ∆x ∆y = m ∆x
lim ∆x→0
dy = m . dx 3.
Y‘=m
y = ax2 y + ∆y = a ( X + ∆x)2. y + ∆y = a ( X2 +2X ∆X + ∆x2 ) y + ∆y = aX2 +2aX ∆X + a∆x2 y + ∆y - y = aX2 +2aX ∆X + a∆x2 - aX2 ∆y = 2aX ∆X + a∆x2 ∆y = 2ax. ∆x + a.∆x2 ∆x ∆x ∆x ∆y = 2ax + a.∆x . ∆x .
lim ∆x→0
dy = 2ax + a (0) dx dy = 2ax . dx
Y ‘ = 2 ax
.
4.
s = 2t - t2. s + ∆s = 2(t + ∆t) - (t + ∆t)2. s + ∆s = 2t + 2∆t - (t2 +2t ∆t + ∆t 2 ) s + ∆s = 2t + 2∆t - t2 -2t ∆t - ∆t 2 s + ∆s - s = 2t + 2∆t - t2 -2t ∆t - ∆t 2 – 2t +t2 ∆s = 2. ∆t - 2t. ∆t - ∆t 2 ∆s = ∆t (2 - 2t - ∆t) ∆t ∆t ∆s = 2 - 2t - ∆t .
∆t
lim ∆x→0
ds dt
5.
=
2 - 2t - 0
Y’ = 2 – 2t
y = cx3 y + ∆y = c ( x + ∆x)3. y + ∆y = c ( x3 + 3x2. ∆x + 3x.∆x2 + ∆x3 ) y + ∆y = c x3 + 3cx2. ∆x + 3cx.∆x2 + c.∆x3 y + ∆y - y = c x3 + 3cx2. ∆x + 3cx.∆x2 + c.∆x3 - c x3 ∆y = 3cx2.∆x + 3cx.∆x2 + c ∆x3 ∆y = 3cx2. ∆x + 3cx. ∆x2 + c∆x3 ∆x ∆x ∆x ∆x . ∆y = 3cx2 + 3cx.∆x + c∆x2. ∆x
lim ∆x→0
dy = 3cx2 + 3cx( 0 ) + c ( 0 )2 dx
Y ‘ = 3cx2
6.
y = 3x - x3. y + ∆y = 3 (x + ∆x) - (x + ∆x)3. y + ∆y = 3 x + 3∆x - (x3 +3X2 ∆x + 3X ∆x2 + ∆x3 ) y + ∆y = 3 x + 3∆x - x3 -3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3 y + ∆y - y = 3 x + 3∆x - x3 -3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3 – 3X + X3. ∆y = 3∆x - 3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3 ∆y = 3.∆x - 3x2.∆x - 3x.(∆x)2 - (∆x)3 . ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x 2 2 ∆y = 3 - 3x - 3x (0) - (∆x) ∆x
lim ∆x→0
dy = 3 - 3x2 . dx 7.
Y’ = 3 – 3x2
u = 4v2 + 2v3. u + ∆u = 4 (v + ∆v)2 + 2 (v + ∆v)3.
u + ∆u = 4 ( v2 + 2v∆v + ∆v2 ) + 2 ( v3 + 3v2∆v + 3v∆v2 + ∆v3 ) u + ∆u = 4 v2 + 8v∆v +4∆v2 + 2v3 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3
u + ∆u – u = 4 v2 + 8v∆v +4∆v2 + 2v3 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3 – 4v2 – 2v3
∆u = 8v∆v +4∆v2 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3 ∆u = 8v. ∆v + 4. ∆v2 + 6v2. ∆v + 6v. ∆v2 + 2. ∆v3. ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v
∆u = 8v + 4. ∆v + 6v2 + 6v. ∆v + 2. ∆v2 ∆v ∆u = 8v + 4(0) + 6v2 + 6v(0) + 2(0 )2 ∆v
lim ∆v→0
du = 8v + 0 + 6v2 + 0 + 0 dv du = 8v + 6v2 . U’ = 8v + 6v2
dv 8.
y = x4. y + ∆y = (x + ∆x)4. y + ∆y = x4 + 4X3∆x + 6X2 ∆x2 + 4X∆x3 + ∆x4 y + ∆y - y = x4 + 4X3∆x + 6X2 ∆x2 + 4X∆x3 + ∆x4 - x4 ∆y = 4x3. ∆x + 6x2.∆x2 + 4x.∆x3 + ∆x4. ∆y = 4x3. ∆x + 6x2(∆x)2 + 4x(∆x)3 + (∆x)4 ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
.
∆y = 4x3 + 6x2. ∆x + 4x (∆x)2 + (∆x)3 ∆x ∆y = 4x3 + 6x2(0) + 4x(0)2 + ( 0 )3 ∆x
lim ∆x→0
dy = 4x3 . dx 9.
e=
Y ‘ = 4x3
2 . θ +1
e + ∆e
=
2 . (θ + ∆θ) + 1
e + ∆e - e
=
2 (θ + ∆θ) + 1
2 . (θ+1)
∆e = 2 (θ + 1) - 2[(θ + ∆θ ) + 1] . [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1) ∆e
=
∆e
=
2θ + 2 - 2θ - 2. ∆θ - 2 [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1) - 2.∆θ
=
=
2. ∆θ . [(θ + ∆θ) + 1](θ + 1) -2 =
∆θ ∆e ∆θ
[(θ + ∆θ) + 1](θ + 1)(∆θ)
[(θ + ∆θ) + 1](θ + 1)
-2 . [(θ + 0) + 1](θ + 1)
=
lim ∆x→0
de dθ de dθ Y‘
10.
=
-2 = (θ + 1) (θ + 1) =
=
-2 . (θ + 1)2 - 2 . (θ + 1)2
y=
3 . x2 + 2 y + ∆y = 3 . 2 (x + ∆x) + 2 y + ∆y - y = 3 - 3 . 2 (x + ∆x) + 2 x2 + 2 ∆y = 3 (x2 + 2) - 3 [(x + ∆x)2 + 2] [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) ∆y = 3x2 + 6 -3 [x2 + 2x. ∆x +(∆x)2 +2] [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) ∆y = 3x2 + 6 - 3x2 - 6x.∆x - 3(∆x)2 - 6 [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) ∆y = ∆x (- 6x -3. ∆x) ∆x [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) ∆x
=
=
- 6x. ∆x - 3(∆x)2 . [(x+∆x)2 + 2] (x2 + 2)
- 6x - 3. ∆x [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2)
=
∆y = - 6x - 3 (0) . ∆x [(x + 0)2 + 2] (x2 + 2)
lim ∆x→0
dy = - 6x - 0 - 6x . = 2 2 2 dx (x + 2) (x + 2) (x + 2)2 11.
s=t+4 t s + ∆s
=
(t + ∆t) + 4 t + ∆t
s + ∆s - s = t + ∆t + 4 - t + 4 t + ∆t t ∆s = t (t + ∆t + 4) - (t + 4) (t + ∆t) (t + ∆t) t
=
∆s = t2 + t.∆t + 4t -(t2 + 4t + t. ∆t + 4. ∆t) = (t + ∆t) t ∆s = t2 + t. ∆t + 4t - t2 - 4t - t. ∆t - 4. ∆t (t + ∆t) t ∆s ∆t
=
- 4 ( ∆t ) . (t + ∆t) t ( ∆t )
∆s ∆t
lim ∆t→0
=
-4 . (t + 0)t
=
- 4. ∆t . (t + ∆t) t
ds = - 4 dt t.t
=
-4 . t2
S ´= -4 / t2 12.
y=
1 . 1 - 2x
y + ∆y
=
1 . 1 - 2(x + ∆x)
y + ∆y - y =
1 1 . 1 - 2 (x + ∆x) 1 - 2x
∆y = (1 - 2x) - [1 -2(x + ∆x)] [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x) ∆y = 1 - 2x - 1 + 2x + 2∆x [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x)
=
=
1 - 2x -(1 - 2x - 2∆x) [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x)
=
2∆x . [1 - 2 (x + ∆x)](1 - 2x)
∆y = 2 ∆x 2 . = ∆x ∆x [1 - 2(x + ∆x)](1 - 2x) [1 - 2(x + ∆x)](1 - 2x) ∆y ∆x
=
2 . [1 - 2 (x + 0)](1 - 2x)
lim ∆x→0 dy = 2 dx (1 - 2x) (1 - 2x)
=
2 . 2 (1 - 2x)
dy = dx 13.
e=
2 (1 - 2x)2 θ θ +2
e + ∆e =
θ + ∆θ (θ + ∆θ) + 2
e + ∆e - e =
- 2θ
.
.
θ + ∆θ _ θ (θ + ∆θ) + 2 θ+2
.
∆e =( θ + 2) ( θ + ∆θ ) - θ [(θ + ∆θ ) + 2] = θ 2 + 2θ + θ . ∆θ + 2∆θ - θ 2 - θ . ∆θ .
[(θ + ∆θ ) + 2](θ + 2)
∆e =
2 ∆θ [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2)
[(θ + ∆θ ) + 2] (θ + 2)
.
Dividiendo a ambos miembros para ∆θ y simplificando : ∆e = 2∆θ 2. ∆θ = ∆θ [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2). ∆θ [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2). ∆θ ∆e =
2 = [(θ + 0) + 2] (θ + 2)
∆θ
lim ∆θ
→0
de = 2 dθ (θ + 2) (θ + 2) 14.
s = At + B Ct + D
=
2 . 2 (θ + 2)
2 = (θ + 2) (θ + 2)
.
2 . 2 (θ + 2)
.
s + ∆s = A(t + ∆t) + B C(t + ∆t) + D
.
s + ∆s - s = A(t + ∆t) + B - At + B [C(t + ∆t) + D] Ct + D ∆s = [A(t + ∆t) + B] (Ct + D) - [C(t + ∆t) + D] (At + B) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) ∆s = [A.t + A.∆t + B](C.t + D) - [C.t + C.∆t + D](A.t + B) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) ∆s = ACt2 + ADt + AC . t . ∆t + AD∆t + BCt + BD [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
.
- ACt2 - BCt - ACt∆t - BC∆t - Adt - BD . [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) ∆s = ∆s ∆t ∆s
=
=
∆t lim ∆t→0
A.D. ∆t - B.C. ∆t [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) ∆t (A.D - B.C) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
=
∆t (A.D - B.C) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
(A.D - B.C) . (∆t) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
(A.D - B.C) (A.D - B.C) = [C(t + 0) + D] (Ct + D) (Ct + D)(Ct + D)
ds = (A.D - B.C) dt (Ct + D)(Ct + D) 15.
=
y = x3 + 1 x
.
=
(A.D - B.C) . (Ct + D)2
.
.
y + ∆y = (x + ∆x)3 + 1 . (x + ∆x) y + ∆y - y = (x + ∆x)3 + 1 - x3 + 1 (x + ∆x) x ∆y = [(x + ∆x)3 + 1] x - (x3 + 1) (x + ∆x) (x + ∆x) x ∆y = {[x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3] + 1}(x) - x4 - x3(∆x) - x - ∆x (x + ∆x) x
∆y = x4 + 3x3∆x + 3x2(∆x)2 + (∆x)3(x) + x - x4 - x3( ∆x) - x -∆x (x + ∆x) x ∆y = 2x3. ∆x + 3x2(∆x)2 + (∆x)3(x) - 3x2(∆x)2 + (∆x)3(x) - ∆x (x + ∆x) x ∆y = ∆x [2x3 + 3x2 ∆x + (∆x)2(x) - 3x2(∆x) + (∆x)2(x) - 1] (x + ∆x) x Dividiendo a ambos miembros para ∆x, tenemos : ∆y = ∆x [2x3 + 3x2 ∆x + (∆x)2(x) - 3x2(∆x) + (∆x)2(x) - 1] ∆x (x + ∆x) (x) (∆x) ∆y = ∆x [2x3 + 3x2. ∆x + (∆x)2.x - 3x2. ∆x + (∆x)2.x - 1] ∆x (x + ∆x)(x)( ∆x) ∆y = [2x3 + 3x2( 0 ) + (0)2(x) - 3x2(0) + (0)2(x) - 1] ∆x (x+0)x lim ∆x→0
y’ = 2x3 + 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 2x3 - 1 = 2x3 - 1 x.x x2 x2 x2
dy = 2x - 1 dx x2 16.
y=
1 x + a2
.
2
y + ∆y =
1 . 2 2 (x + ∆x) + a
y + ∆y - y =
1 _ 1 2 2 2 (x + ∆x) + a x + a2
∆y = 1 (x2 + a2) - 1 [(x + ∆x)2 + a2] [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2)
=
.
x2 + a2 -[x2 + 2x.∆x + (∆x)2 + a2] [(x+∆x)2 + a2] (x2 + a2)
∆y = x2 + a2 -x2 - 2x. ∆x -(∆x)2 - a2 [(x + ∆x)2 + a2](x2 + a2) ∆y = - ∆x (2x + ∆x) . 2 2 2 2 [(x + ∆x) + a ] (x + a )
- 2x. ∆x -(∆x)2 . [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2)
=
Dividiendo a ambos miembros para ∆x, tenemos :
∆y = - ∆x (2x + ∆x) ∆x [(x + ∆x)2 + a2](x2 + a2). ∆x ∆y ∆x lim ∆x→0
=
- (2x + 0) [(x + 0)2 + a2] (x2 + a2)
dy = - 2x dx (x2 + a2) (x2 + a2) dy = dx
- 2x (x + a2 )2 2
=
=
- (2x + ∆x) . 2 2 2 2 [(x + ∆x) + a ] (x + a )
.
- 2x (x2 + a2 )2
.
17.
y=
x . x2 + 1
y + ∆y =
x + ∆x . (x + ∆x)2 + 1
y + ∆y - y =
x + ∆x - x . 2 [(x + ∆x) + 1] (x2 + 1)
∆y = (x + ∆x) (x2 + 1) - x [(x + ∆x)2 + 1] . [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1) ∆y = x3 + x + ∆x. x2 + ∆x - x [x2 + 2x. ∆x + (∆x)2 + 1] [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1) ∆y = x 3 + x + ∆x. x2 + ∆x - x 3 - 2. ∆x. x2 - x. (∆x)2 - x . [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1) ∆y =
- ∆x.x2 - x.(∆x)2 + ∆x [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1)
=
- ∆x (x2 + x . ∆x - 1 ) [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1)
.
∆y = - ∆x (x2 + x. ∆x - 1) = - (x2 + x. ∆x - 1) ∆x [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1) . ∆x [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1) ∆y
- [x2 + x(0) - 1] [(x + 0)2 + 1] (x2 + 1)
=
∆x
.
lim ∆x→0 dy dx
=
-(x2 - 1) (x + 1) (x2 + 1) 2
=
1 - x2 (x2 + 1)2
.
18.
y = x2 . 4 - x2 y + ∆y = (x + ∆x)2 . 4 - (x + ∆x)2 y + ∆y - y =
(x + ∆x)2 - x2 . [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2)
∆y = (x + ∆x)2 (4 - x2) - [4 - (x + ∆x)2] x2 . [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2) ∆y = [x2 + 2x. ∆x + (∆x)2](4 - x2) - [4-(x2 +2x. ∆x + (∆x)2]( x2 ) [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2) ∆y = 4x2 + 8x. ∆ x + 4(∆ x)2 - x4 - 2x3. ∆ x - x2.(∆ x)2 -[4 -x2-2x. ∆ x-(∆ x)2](x2 ) [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2) ∆y = 4x2 + 8x. ∆ x + 4(∆ x)2 x 4- 2x3.∆ x - x2.(∆ x)2 - 4x2 + x 4+ 2x3. ∆ x + x2. (∆ x)2 [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
∆y =
8x.∆x + 4. (∆x)2 [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
=
∆x (8x + 4. ∆x) . [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
Dividiendo, para ∆x , tenemos :
∆y = ∆x (8x + 4. ∆x) ∆y [4 - (x + ∆x)2](4 - x2) . ∆x ∆y ∆x lim ∆x→0
=
8x + 4. ∆x [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
=
. .
8x + 4( 0 ) [4 - (x + 0)2](4 - x2)
=
dy = 8x + 0 dx [4 - x2] (4 - x2 ) 19.
=
8x (4 - x2 )2
y = 3x2 - 4x - 5. y + ∆y = 3 (x + ∆x)2 - 4 (x + ∆x) - 5 y + ∆y - y = 3 (x + ∆x)2 - 4 (x + ∆x) - 5 - (3x2 - 4x -5)
∆y = 3 [x2 + 2x. ∆x + (∆x)2] - 4 (x + ∆x) - 5 - (3x2 - 4x -5) ∆y = 3x2 + 6x. ∆x + 3.(∆x)2 - 4x - 4. ∆x - 5 - 3x2 + 4x + 5
.
∆y = 6x. ∆x + 3 (∆x)2 - 4.(∆x) = (∆x) [6x + 3 (∆x) - 4] Dividiendo para ∆x :
∆y
=
∆x lim ∆x→0
(∆x)[6x + 3 (∆x) - 4] = ∆x [6x + 3 (∆x) - 4] = 6x + 3(0) - 4 ∆x ∆x
dy = 6x - 4 = 2(3x - 2) dx 20.
s = at2 + bt + c. s + ∆s = a (t + ∆t)2 + b (t + ∆t) + c . s + ∆s - s ∆s
=
=
a (t + ∆t)2 + b (t + ∆t) + c - (at2 + bt + c) .
a [t2 + 2t. ∆t + (∆t)2] + bt + b.∆t + c - at2 - bt - c .
∆s = at2 + 2at. ∆t + a.( ∆t)2 + bt + b. ∆t + c - at2 - bt - c .
∆s = 2at. ∆t + a.( ∆t)2 + b. ∆t
Dividiendo para ∆t , factorizando y simplificando :
∆s = ∆t (2at + a. ∆t + b) = ∆t (2at + a. ∆t + b) ∆t ∆t ∆t ∆s
=
2at + a( 0 ) + b = 2at + 0 + b .
∆t lim ∆t→0
ds = 2at + b . dt
21.
u = 2v3 - 3v2 u + ∆u = 2 (v + ∆v)3 - 3 (v + ∆v)2 u + ∆u - u
=
2(v + ∆v)3 - 3 (v + ∆v)2 - (2v3 - 3v2)
∆u = 2[v3 + 3v2. ∆v + 3v.( ∆v)2 + (∆v3)] - 3[v2 + 2v. ∆v + (∆v)2] - 2v3 + 3v2 ∆u = 2v3 + 6v2. ∆v + 6v (∆v)2 + 2 (∆v)3 - 3v2 - 6v. ∆v - 3(∆v)2 - 2v3 + 3v2 .
∆u = 6v2. ∆v + 6v (∆v)2 + 2 (∆v)3 - 6v. ∆v - 3(∆v)2 Factorizando y dividiendo para ∆v :
∆u = ∆v [6v2 + 6v. ∆v + 2. (∆v)2 - 6v - 3. ∆v] ∆v ∆v . ∆u
=
∆v lim ∆v→0
6v2 + 6v. ∆v + 2 (∆v)2 - 6v - 3. ∆v
∆u = 6v2 + 6v (0) + 2 (0)2 - 6v - 3 (0) . ∆v
du = 6v2 - 6v dv 22.
y = ax3 + bx2 + cx + d . y + ∆y = a (x + ∆x)3 + b (x + ∆x)2 + c (x + ∆x) + d . y + ∆y - y = [a (x + ∆x)3 + b (x + ∆x)2 + c(x + ∆x) + d] - (ax3 + bx2 + cx + d) .
y + ∆y - y = a[x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3] + b[x2 + 2x. ∆x + (∆x)2 + cx + c. ∆x + d - (ax3 + bx2 + cx + d)
∆y = ax3 + 3ax2.∆x + 3ax.(∆x2) + a.(∆x)3 + bx2 + 2bx.∆x + b(∆x)2 + cx + c. ∆x + d - ax3 - bx2 - cx - d . ∆y = 3ax2.∆x + 3ax.(∆x2) + a.(∆x)3 + 2bx.∆x + b(∆x)2 + c. ∆x
Factorizando y dividiendo para ∆x :
∆y = ∆x (3ax2 + 3ax.∆x + a.(∆x)2 + 2bx + b.∆x + c ) ∆x ∆x ∆y
=
3ax2 + 3ax ( 0 ) + a.( 0 )2 + 2bx + b.( 0 ).∆x + c
∆x lim ∆v →0
dy = 3ax2 + 0 + 0 + 2bx + 0 + c dx 23.
e = (a - bθ )2 e + ∆e = [a - b (θ + ∆θ )]2 e + ∆e - e = [a - b (θ + ∆θ )]2 - (a - bθ)2
∆e
=
∆e
=
(a - bθ - b.∆θ)2 - (a - bθ)2 [a + (-bθ) + (- b.∆θ)]2 - (a - bθ)2
∆e = a2 + (-bθ)2 + (- b.∆θ)2 + 2a.(-bθ) +2a.(- b.∆θ) +2.(-bθ).(- b. ∆θ) - [a2-2a.bθ + (bθ)2]
∆e = a2 + (bθ)2 +(b.∆θ)2- 2a(bθ) -2a(b.∆θ) +2(bθ)(b.∆θ) - a2 + 2a.bθ - (bθ)2
∆e
=
(b. ∆θ)2 -2a(b. ∆θ) + 2(bθ)(b. ∆θ)
∆e
=
b2(∆θ)2 - 2a(b. ∆θ) + 2(bθ)(b.∆θ)
Factorando y dividiendo para ∆θ. ∆e ∆θ
=
.
∆θ {b2.(∆θ ) - 2a.b + 2b2.θ} ∆θ
∆e
=
.
b2.(∆θ) - 2a.b + 2b2.θ = b2.(0) - 2a.b + 2b2.θ
∆θ
lim ∆θ
→0
de = 0 - 2ab + 2b2.θ = 2b2.θ - 2ab = 2b (b.θ - a ) dθ 24.
y = (2 - x) (1 - 2x) . y + ∆y = [2 - (x + ∆x)] [1 - 2 (x + ∆x)] y + ∆y - y = [2 - (x + ∆x)] [1 - 2 (x + ∆x)] - (2 - x) (1 - 2x) ∆y = (2 - x - ∆x) (1 - 2x - 2.∆x) - (2 - x) (1 - 2x) ∆y = [2 + (-x) + (-∆x)] [1 + (-2x) + (-2.∆x)] - (2 - 4x - x + 2x2) ∆y = 2 - 4x - 4.∆x - x + 2x2 + 2x.∆x - ∆x + 2x.∆x + 2.(∆x)2 - 2 + 5x - 2x2.
∆y = - 5 ∆x + 4x. ∆x + 2.(∆x)2 Factorando y dividiendo para ∆x : ∆y = ∆x (-5 + 4x + 2 ∆x) ∆x ∆x ∆y lim
=
.
- 5 + 4x + 2( 0 )
∆x ∆θ →0
dy = - 5 + 4x = 4x - 5 dx 25.
y = (Ax + B) (Cx + D) y + ∆y = [A (x + ∆x) + B] [C (x + ∆x) + D] y + ∆y - y
=
[A (x + ∆x) + B] [C (x + ∆x) + D] - (Ax + B) (Cx + D).
y - y + ∆y = (Ax + A. ∆x + B ) (Cx + C. ∆x + D ) - (Ax + B) (Cx + D).
∆y = ACx 2 + ACx.∆x + ADx + ACx.∆x + AC(∆x)2 + AD(∆x) + BCx + BC.∆x + BD - ACx 2 - ADx - BCx - BD .
∆y = 2 ACx. ∆x + AC(∆x)2 + AD(∆x) + BC. ∆x Factorando y dividiendo para ∆x. ∆y = ∆x (2Acx + AC. ∆x + AD + BC) ∆x ∆x
.
∆y = 2ACx + AC.∆x + AD + BC = 2Acx + [AC(0)] + AD + BC
∆x
lim ∆x →0 ∆y = 2ACx + 0 + AD + BC ∆θ
lim ∆x→0
dy = 2ACx + AD + BC dx 26.
s = (a + bt)3 s + ∆s = [a + b (t + ∆t)]3 s + ∆s - s = [a + b (t + ∆t)]3 - (a + bt)3 ∆s
=
[a + bt + b∆t]3 - [a3 + 3a2bt + 3a(bt)2 +(bt)3]
∆s = a3 + (bt) 3 + (b∆t)3+ 3a2(bt) + 3a2(b∆t) + 3a(bt) 2+ 3(bt)2(b∆t) + 3a(b∆t)2 + 3(bt)(b∆t)2 + 6a(bt) (b∆t) - a 3 - 3a2(bt) - 3a(bt) 2 - (bt) 3 ∆s = (b∆t)3+ 3a2(b∆t) + 3(bt)2 (b∆t) + 3a (b∆t)2 + 3 (bt) (b∆t)2 + 6a (bt) (b∆t)
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆t . ∆s = ∆t {(b∆t)2 + 3a2b + 3b3t2 + 3ab2∆t + 3b3t.∆t + 6ab2t} ∆t ∆t . ∆s
=
[b (0)2 + 3a2b + 3b3t2 + 3ab2.(0) + 3b3t.(0) + 6ab2t
∆t lim ∆t→0
ds = 0 + 3a2b + 3b3t2 + 0 + 0 + 6ab2t = 3a2b + 3b3t2 + 6ab2t. dt ds = 3a2b + 6ab2t + 3b3t2 = 3b ( a2 + 2abt + b2t2 ) = dt ds = {3b [a + (bt)]2} dt
27.
y=
x . a + bx2 y + ∆y = x + ∆x . 2 a + b (x + ∆x) y + ∆y - y = x + ∆x x . 2 a + b (x + ∆x) a + bx2 ∆y = (x + ∆x) (a + bx2) - x {a + b (x + ∆x)2} [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] ∆y = ax + bx3 + a. ∆x + bx2. ∆x - x{a + b[x2 + 2x.∆x + (∆x)2]} [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] ∆y = ax + bx3 + a. ∆x + bx2. ∆x - x{a + bx2 + 2bx.∆x + b.(∆x)2} [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆y = ax + bx3 + a.∆x + bx2. ∆x - ax - bx3 - 2bx2. ∆x - bx.(∆x)2. [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] ∆y = a. ∆x - bx2.∆x - bx.(∆x)2 . Factorando y dividiendo para ∆x: [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆y = ∆x (a - bx2 - bx.∆x) . 2 2 ∆x [a + b (x + ∆x) ] [a + bx ] ∆x . 2 ∆y = a - bx2 - bx.∆x a bx bx ( 0 ) . = 2 2 2 2 ∆x [a + b (x + ∆x) ] [a + bx ] {a + b [x + ( 0 )] }[a + bx ]
lim ∆x→0
∆y
=
a - bx2 - 0
.
[a + bx2] [a + bx2]
∆x ∆x→0
dy = a - bx2 dx [a + bx2]2 28.
y = a + bx2 x2 y + ∆y = a + b (x + ∆x)2 (x + ∆x)2 y + ∆y - y = a + b (x + ∆x)2 - [a + bx2] (x + ∆x)2 x2 ∆y = {a + b (x + ∆x)2} (x2) - (x + ∆x)2 (a + bx2) (x + ∆x)2 x2 2 ∆y ={a + b[x +2x.∆x + (∆x)2]}(x2) - {x2 + 2x.∆x + (∆x)2}(a +bx2) (x + ∆x)2 x2
∆y ={a + bx + 2bx . ∆x + b. (∆x)2}(x2) - {ax2 + bx4 + 2ax. ∆x (x + ∆x)2 x2 + 2bx3. ∆x + a (∆x)2 + bx2.(∆x)2} (x + ∆x)2 x2 2 4 ∆y = ax + bx + 2bx3.∆x + bx2(∆x)2 - ax2- bx4-2ax.∆x (x + ∆x)2 x2 ∆y = 2bx3. ∆x - a(∆x)2 - bx2.(∆x)2 (x + ∆x)2 x2 ∆y = - 2ax.∆x - a(∆x)2 (x + ∆x)2 x2 2
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆x :
∆y = ∆x {-2ax - a (∆x)} = (∆x) {-2ax - a (∆x)} ∆x (x + ∆x)2. x2. (∆x) (x + ∆x)2. x2. (∆x) ∆y ∆x lim ∆x→0
=
{-2ax - a (∆x)} (x + ∆x)2. x2
=
- 2ax - a ( 0 ) = - 2ax - 0 (x + 0 )2 .x2 x2.x2
dy = - 2ax = - 2a.x dx x 4 x3.x 29.
y=
=
- 2a x3
x2 . a + bx2
y + ∆y = (x + ∆x)2 . a + b (x + ∆x)2 y + ∆y - y =
(x + ∆x)2 x2 . [a + b (x + ∆x)2] (a + bx2)
∆y = (x + ∆x)2 (a + bx2) - {a + b (x + ∆x)2}( x2) [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 ) ∆y = {x2 + 2x. ∆x + (∆x)2}(a + bx2) - {a + b [x2 + 2x. ∆x + (∆x)2]}( x2) [a + b (x + ∆x)2 ]( a + bx2 ) ∆y = {ax2+bx4+2ax(∆x)+2bx3(∆x)+a(∆x)2+bx2(∆x)2}-{a+bx2+2bx(∆x)+b(∆x)2}(x2) [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2)
∆y = ax2 +bx4+2ax.∆x+2bx3∆x +a(∆x)2 +bx2(∆x)2- ax2 +bx4 +2bx3.∆x +bx2(∆x)2 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 )
∆y =
2ax.∆x + a(∆x)2 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 )
.
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆x: ∆y =
(∆x) {2ax + a(∆x)} [a + b (x + ∆x)2]( a + bx2 )(∆x) ∆y = (∆x) {2ax + a(∆x)} [a + b (x + ∆x)2](a + bx2) (∆x) ∆y ∆x
=
(2ax + a.∆x) [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2)
=
=
.
.
2ax + a ( 0 ) [a + b (x + 0)2] (a + bx2)
.
lim ∆x→0 dy = dx
2ax + 0 (a + bx2) (a + bx2)
=
2ax (a + bx2)2
Problemas - Paginas : 34 y 35 Aplicando las Derivadas, hallar la pendiente y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se indica.
1.
y = x2 - 2 , siendo x = 1. dy = 2x = 2 ( 1 ) = 2 tg α = 2 = m. α = arc tg 2 = 63o26'5''
2.
y = 2x - 1 x2 , siendo x = 3. 2 dy = 2 - 1 . (2x) = 2 - x dx 2 dy = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1 dx m = dy = - 1 dx tg α = - 1 α
=
arc tg - 1 = 135o
3.
y = 4 , siendo x = 2. x-1 dy = (- 4 ) .d(x-1) = (- 4 ) .( 1 ) = (- 4 ). dx (x-1)2 dx (x-1)2 (x-1)2 Sustituyendo x = 2, en y'. dy = (- 4 ) = - 4 = - 4 = - 4 . dx (2-1)2 (1)2 1 m=-4 tg α = - 4 α = arc tg (- 4) α = 104o 2' 10''
4.
y = 3 + 3x - x3 , siendo x = -1 y' = 3 - 3x2 y' = 3 - 3 (-1)2 = 3 - 3 (1) = 3 - 3 = 0 . m = tg 0 = 0 . α
5.
=
arc tg (0) = 0o
y = x3 - 3x2 , siendo x = 1 y' = 3x2 - 6x. Sustituyendo: x = 1 , en y'. y' = 3 (1)2 - 6(1) = 3 (1) - 6 = 3 - 6 = - 3 . m = tg α = - 3 .
α = arc tg ( - 3 ) = 108o 26' 5''
6.
Hallar el punto de la curva y=5x - x2 en el que la inclinación de la tangente es de 45o. y = 5x - x2. Según dato del problema tg 45º = 1 . y' = 5 - 2x. ⇒ m = 1 . m = y' = 5 - 2x = 1. solucionando la ecuación: 5 - 2x = 1 ; 5 - 1 = 2x 2 = x ; x =2 . Sustituyendo x = 2 en la ecuación original. y = 5x - x2. y = 5 ( 2 ) - ( 2 )2 y = 10 - 4 = 6. y=6. ⇒P ( 2 , 6 )
7.
En la curva y = x3 + x hallar los puntos en los que la tangente es paralela a la recta y = 4x. Derivando la "curva" y "la recta": y = x3 + x.
y = 4x.
y' = 3x2 + 1.
y' = 4
m1 = 3x2 + 1.
m2 = 4
Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales. ⇒ m1 = m2 3x2 + 1 = 4 . Solucionando:
x = ± 1. En la curva reemplazamos x = ± 1. y = x3 + x .
y = x3 + x
y1 = (1)3 + (1)
y2 = (-1)3 + (-1)
y1 = 1 + 1
y2 = -1 -1 = -2
y1 = 2
y2 = -2
⇒ P1 (1 , 2)
⇒ P2 (-1 , -2)
En cada uno de los siguientes problemas hallar: a) b) 8.
Los puntos de intercepción del par de curvas dado. La pendiente y la inclinación de la tangente a cada curva, y el ángulo formado por las tangentes en cada punto de intercepción. y = 1 - x2. y = x2 - 1. Igualamos las 2 curvas. 1 - x2 = x2 - 1 . 1 + 1 = x2 + x2 = 2x2 = 2 x2 = 2/2 ; x2 = 1 ; x = ± 1 Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes: y = 1 - x2. y = x2 - 1. y' = - 2x. y'= 2x Cuando: x = 1 m1 = - 2x m1 = - 2(1) = - 2
m2 = 2x m2 = 2(1) =
m1 = - 2
m2 = 2
tg θ = m1 - m2 = - 2 - 2 = - 4 1+ m1.m2 1 + (-2) (2) 1 - 4 tg θ = 4 ; 3
=
-4 -3
=
4 . 3
θ = arc tg 4 = 53º 8' 3 Cuando: x = -1
m1 = - 2x = - 2(-1) = 2 m1 = 2 ; tg θ = m1 - m2 1+ m1.m2
=
m2 = 2x = 2 (-1) = -2 m2 = - 2
2 - (-2) = 2 + 2 1 + (2) (-2) 1 - 4
=
4 = -4 . -3 3
θ = arc tg (- 4/3) θ = 126º 52' 11" Puntos de intercepción y = 1 - x2 ; Cuando: x = 1 y = 1 - (1)2 y=1-1 P1 = ( 1, 0 ) y=0 Cuando x = -1 y = 1 - x2 . y = 1 - (-1)2 y=1-1 y=0
P2 = ( -1 , 0 )
9.
y = x2 (1) x - y + 2 = 0 (2) Igualamos las 2 curvas en función de ''y'' para encontrar sus intercepciones. y = x2. y = x + 2.
(1) (2)
x2 = x + 2 x2 - x - 2 = 0 (x - 2) (x + 1) = 0 x = 2 ; x = -1 Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes: y = x2 y=x+2 y' = 2x m1= 2x y' = 1 m2 = 1 Cuando: x = 2 m1 = 2x m1 = 2(2) = 4 m1 = 4
tg θ =
m2 = 1 m2 = 1 m2 = 1 tg θ = m1 - m2 . 1+ m1.m2
4-1 = 3 1 + (4)(1) 1 + 4 θ
=
=
3 = 0,6 5
arc tg (0,6) = 30º57'49"
Cuando: x = - 1 m1 = 2x m1 = 2(-1) = - 2
m2 = 1 m2 = 1
m1 = - 2
m2 = 1
tg θ = m1 - m2 = - 2 - (1) 1+ m1.m2 1 + (-2) (1)
tg θ
=
-2-1 1-2
θ = arc tg ( 3) θ = 71º 33' 54" Puntos de intercepción Cuando x = 2
Cuando x = -1
y = x2 y = (2)2 = 4 .
y = x2 y = (-1)2 = 1
P1 (2 , 4)
P2 (-1 , 1)
=
-3 -1
=
3.
Problemas - Paginas : 44 , 45 y 46 Comprobar cada una de las siguientes derivadas. 9.
d (3x 4 - 2x2 + 8) = 12x 3 - 4x dx d (3x 4) - d (2x2) + d (8) dx dx dx 3.d (x 4) - 2.d (x2) + 0 dx dx 3 (4x 3) - 2 (2x) = 12x3 - 4x
10.
d (4 + 3x - 2x3) = 3 - 6x2. dx d (4) + d (3x) - d (2x3) dx dx dx 0 + 3.d (x) - 2 d (x3) dx dx 3(1) - 2 (3x2) = 3 - 6x2
11.
d (at5 - 5bt3) = 5at 4 - 15bt2. dt d (at5) - d (5bt3) = a.d (t5) - 5b.d (t3) dt dt dt dt
a(5t4) - 5b (3t2) = 5at4 - 15bt2 12.
d ( z2 - z7) = z - z6. dz 2 7 d (z2) - d ( z7) = 1 d (z2) - 1 d (z7) dz 2 dz 7 2 7 1 (2z) - 1 (7z6) = z - z6 2 7
13.
d √v = 1 . dv dx 2√v dx dv dx 2(√v)2-1
14.
15.
.
.
1 . dv = 1 . dv = 2(√v)1 dx 2√v dx
d( 2-3)=-2+6. dx x x2 x2 x3 d ( 2 ) - d ( 3 ) = - 2 . dx - ( -3 ) . d ( x2 ) = (-2 ).(1) + 3 (2x) = dx x x2 (x)2 dx ( x2)2 dx x2 x4 = - 2+ 6 x2 x3 d (2t 4/3 - 3t 2/3) = 8 t1/3 - 2t -1/3 dt 3 d (2t4/3) - d (3t2/3) = 2 d (t 4/3) - 3 d (t2/3) dt dt dt dt 2. 4. t 4/3-1 - 3 . 2 . t 2/3-1 = 8 t 1/3 - 2 t -1/3
3 16.
3
.
d (2x 3/4 + 4x -1/4) = 3 x -1/4 - x -5/4 dx 2 d (2x 3/4) + d (4x -1/4) = 2 d (x3/4) + 4 d (x -1/4) dx dx dx dx 2 . 3 . x 3/4-1 + 4 (-1). x -1/4-1 = 3 x -1/4 - x -5/4 4 4 2
17.
d (x2/3 - a2/3) = 2 x -1/3. dx 3 d (x2/3) _ d (a2/3) = 2 x2/3-1 - 0 = 2 x -1/3 dx dx 3 3
18.
d ( a +bx + cx2 ) = c - a . dx x x2 d ( a + bx + c.x.x ) = d ( a ) + d ( b ) + d ( c.x ) dx x x x dx x dx dx (-a). d (x) + 0 + c.d (x) = -a + c (1) = c - a x2 dx dx x2 x2
19.
y = √x - 2 2 √x
;
dy = 1 + 1 . dx 4√x x √x
dy = 1 .d (√x) - (-2) . d (√x) dx 2 dx (√x)2 dx dy = 1 .dx/dx + 2 .dx/dx dx 2 2√x x 2√x
=
1. 1 + 2. 1 = 1 + 1 2 2√x x 2 √x 4√x x√x
20.
s = a + bt + ct2 √t
ds = - a + b + 3c√t . dt 2t √t 2 √t 2
;
s = a + bt + ct2 √t √t √t
=
a + b.t2/2 + c.t4/2 = a + b.t1/2 + c.t3/2. t1/2 t1/2 t1/2 t1/2
ds = d ( a ) + d ( b.t1/2) + d ( c.t3/2) dt dt t1/2 dt dt ds = - a . d ( t1/2) + b . d ( t1/2 ) + c. d ( t3/2) dt (t1/2)2 dt dt dt ds = - a . 1 .t1/2-1 + b . 1 . t1/2-1 + c. 3 . t3/2-1 dt t 2 2 2 ds = - a . t -1/2 + b . t -1/2 + 3c. t 1/2 dt 2t 2 2
=
-
a + b + 3c.t1/2 . 2.t.t1/2 2.t1/2 2
ds = _ a + b + 3c.√t dt 2.t.√t 2.√t 2 21.
y = √ax + a . ; √ax y = (ax)1/2 +
dy = a a . dx 2.√ax 2x.√ax
a = a1/2.x1/2 + a = a1/2.x1/2 + a2/2 . 1/2 1/2 (ax) a . x1/2 a1/2. x1/2
y = a1/2. x1/2 + a1/2 . x1/2 dy = d (a1/2. x1/2) + d ( a1/2 ) = a1/2 . d (x1/2) + a1/2.d ( x -1/2). dx dx dx x1/2 dx dx
dy = a1/2. 1 . x 1/2-1 + a1/2. - 1 . x -1/2-1 = a1/2. x -1/2 - a1/2. x -3/2 dx 2 2 2 2 dy = a1/2 - a1/2 dx 2x1/2 2x3/2 Multiplicamos y dividimos por a1/2 , a cada sumando : dy = a1/2.a1/2 - a1/2.a1/2 dx 2x1/2.a1/2 2x3/2.a1/2
=
a a . 2x1/2.a1/2 2x.x1/2.a1/2
dy = a a a a = . dx 2√x.√a 2x.√x.√a 2.√ax 2x .√ax 22.
r = √1 - 2θ
;
dr = 1 dθ √1 - 2θ
.
r = (1 - 2θ)1/2 dr = d [(1 - 2θ)1/2] = 1 (1 - 2θ)1/2-1.d (1 - 2θ) dθ dθ 2 dθ dr = (1 - 2θ ) -1/2.( - 2 ) = - (1 - 2θ) -1/2 = - 1 = dθ 2 (1 - 2θ)1/2 23.
f ( t ) = (2 - 3t2)3 ;
1 . √1 - 2θ
f '(t) = - 18t(2-3t2)2.
f '( t ) = 3(2 - 3t2)3-1.d (2-3t2) dt f '( t ) = 3(2 - 3t2)2.(0 - 6t) = 3(2 - 3t2)2(-6t) = -18t (2 - 3t2)2
24.
f (x) = ∛4 - 9x f '(x) = (4-9x)1/3
=
25.
;
=
f '(x) =
-3 . (4 - 9x) 2/3
1 (4-9x)1/3-1.d (4-9x) = 1 (4-9x)1/3-1.(0 - 9) = 3 dx 3
1 (4-9x)1/3-1 (- 9) = - 3(4-9x) -2/3 = 3 . 3 (4-9x) 2/3
y=
1 √a2 - x2
;
dy = x . dx (a2 - x2)3/2
2 2 - 1/2 1 . = (a - x ) 2 2 1/2 (a - x ) dy = - 1 (a2 - x2)- 1/2 -1.d (a2 - x2) = - (a2 - x2)- 3/2 .(0 - 2x) . dx 2 dx 2
y=
dy = -1 . (- 2.x) = x . dx 2 (a2 - x2) 3/2 (a2 - x2) 3/2 26.
f (θ) = (2 - 5θ)3/5
;
f '(θ) = -
3 . 2/5 (2 - 5θ)
f '(θ) = 3 (2 - 5θ)3/5-1 . d (2 - 5θ) 5 dθ f '(θ) = 3(2 - 5θ )-2/5 (0 - 5) = 3 (- 5 ) = - 3 . 2/5 2/5 5 5 (2 - 5θ) (2 - 5θ)
27.
y=a-b x
2
;
dy = 2b a - b dx x2 x
.
dy = 2 ( a- b )2-1.d (a - b ) dx x dx x dy = 2 a - b . d (a) - d ( b ) dx x dx dx x
=
2 a-b x
0 - d (b.x -1) dx
dy = 2 a - b [- (-b.x -1-1)] dx x dy = 2 a - b [b.x-2] = 2 a - b dx x x 28.
y= a+b x2
3
y'= 3 a + b x2
.d a+b dx x2
=
2b a - b . x2 x
a+b 2. x2
; y' = - 6b x3 3-1
b x2
.
y'= 3 a + b 2 . -b . d (x2) x2 (x2)2 dx y'= 3 a + b 2 . -b (2x) = - 6b a + b 2 x2 x4 x3 x2
29.
y = x √a + bx
; y' = 2a + 3bx . 2(a + bx)1/2
y = x (a + bx)1/2 y'= x.d (a + bx)1/2 + (a + bx)1/2.d (x) dx dx y'= x. 1 .(a + bx)1/2-1.d (a + bx) + (a + bx)1/2(1) 2 dx y'= x(a + bx)-1/2(b) + (a + bx)1/2 = bx + (a + bx)1/2 2 2(a + bx)1/2 y'= bx + 2(a + bx)1/2.(a + bx)1/2 = bx + 2(a + bx) = bx + 2a + 2bx. 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2 y'=
30.
2a + 3bx . 2(a + bx)1/2
s = t √a2 + t2
;
s'= a2 + 2t2 √a2 + t2
s = t (a2 + t2)1/2 ds = t.d (a2 + t2)1/2 + (a2 + t2)1/2.dt dt dt dt ds = t. 1 .( a2 + t2)1/2-1.d (a2 + t2) + (a2 + t2)1/2.( 1 ) dt 2 dt 2 2 -1/2 ds = t( a + t ) .( 2.t ) + ( a2 + t2)1/2 = t2 + ( a2 + t2)1/2 . dt 2 ( a2 + t2)1/2 ds = t2 + {(a2 + t2)1/2}2
=
t2 + a2 + t2 = a2 + 2t2
.
( a2 + t2)1/2 √( a2 + t2)
( a2 + t2)1/2 31.
y= a-x a+x dy = dx
;
y'= -
(a+x).d (a-x) - (a-x).d (a+x) dx dx = (a + x) ( -1 ) - ( a - x) ( 1 ) 2 (a + x) (a + x)2
dy = - a - x - a + x dx (a + x)2 32.
y = a2 + x2
;
=
y' =
a2 - x2 dy = dx
2a . (a + x)2
_
2a . (a + x)2 4a2x .
(a2 - x2)2
(a2 - x2).d (a2 + x2) - (a2 + x2).d (a2 - x2) dx dx . 2 2 2 (a - x )
dy = (a2 - x2) (2x) - (a2 + x2) (- 2x) = 2a2x - 2x3 + 2a2x + 2x3 dx (a2 - x2)2 (a2 - x2)2 dy = 4a2x . dx (a2 - x2)2 33.
y = √a2 + x2 x
;
y' =
- a2 . x2 √a2 + x2
y = (a2 + x2)1/2 x x.d (a2 + x2)1/2 - (a2 + x2)1/2.d (x) y'= dx dx .
x2 x. 1 . (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) - (a2 + x2)1/2(1) y'= 2 dx . x2 x(a2 + x2)-1/2(2x) - (a2 + x2)1/2 x(a2 + x2)-1/2(2x) - (a2 + x2)1/2 y'= 2 2 . = 2 2 x x x2 - (a2 + x2)1/2 y'= (a2 + x2)1/2 x2
=
x2 - (a2 + x2)1/2. (a2 + x2)1/2 (a2 + x2)1/2 . x2
x2 - (a2 + x2) x2 - a2 - x2 -a2 y'= (a2 + x2)1/2 = (a2 + x2)1/2 = (a2 + x2)1/2 x2 x2 x2 1 1 1 y'=
- a2 x (a + x2)1/2 2
34.
y=
x √a - x2 x (a - x2)1/2
- a2 x √a2 + x2
.
.
2
;
2
y=
=
2
.
=
y'= a2 . 2 (a - x2)3/2
.
2
(a2 - x2)1/2.d (x) - x.d {(a2 - x2)1/2} y'= dx dx . {(a2 - x2)1/2}2 y'=
(a2 - x2)1/2(1) - x. 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2)} 2 dx (a2 - x2)2/2
.
(a2 - x2)1/2 - x.(a2 - x2)-1/2(- 2x)} (a2 - x2)1/2 +
x2
.
y'=
2
=
(a2 - x2)2/2
y'=
(a2 - x2)1/2. (a2 - x2)1/2 + x2. 2 2 1/2 2 2 1/2 (a2 - x2)1/2 + x2 . = (a - x ) . (a - x ) 2 2 2 2 2 2 1/2 (a - x ) (a - x )(a - x )
y'= (a2 - x2) + x2 (a2 - x2)3/2 35.
(a2 - x2)1/2 . (a2 - x2)
r = θ2 √3 - 4θ
=
a2 - x2 + x2 (a2 - x2)3/2
;
=
a2 . (a2 - x2)3/2
r'= 6θ - 10θ2 . (3 - 4θ)1/2
r = θ2 .(3 - 4θ)1/2 r'= θ2.d (3 - 4θ)1/2 + (3 - 4θ)1/2.d (θ 2) dθ dθ r'= θ2. 1 .(3 - 4θ)1/2-1.d (3 - 4θ) + (3 - 4θ)1/2(2θ) 2 dθ r'= θ 2(3 - 4θ )-1/2(- 4 ) + (3 - 4θ)1/2(2θ) = - 2θ 2 + (2θ)(3 - 4θ)1/2 2 (3 - 4θ)1/2
r'= - 2θ 2 + (2θ)(3 - 4θ )1/2.(3 - 4θ )1/2 = - 2θ2 + (2θ )(3 - 4θ) (3 - 4θ)1/2 (3 - 4θ)1/2 r'= - 2θ2 + 6θ - 8θ2 (3 - 4θ)1/2 36.
y=
1 - cx 1 + cx
=
6θ - 10θ 2 . (3 - 4θ)1/2
; y'= -
c . (1 + cx ) √1 - c2x2
y = (1 - cx)1/2 . (1 + cx)1/2 (1 + cx)1/2.d [(1 - cx)1/2] - (1 - cx)1/2.d [(1 + cx)1/2] dy = dx dx . dx [(1 + cx)1/2]2 dy = dx
(1 + cx)1/2. 1 (1 - cx)1/2-1.d (1-cx) - (1 - cx)1/2. 1 .(1 + cx)1/2-1.d (1 + cx) 2 dx 2 dx . (1 + cx)
(1 + cx)1/2(1 - cx) -1/2( -c) - (1 - cx)1/2(1 + cx) -1/2( c) dy = 2 2 dx (1 + cx ) - c (1 + cx )1/2 _ c (1 - cx )1/2 . dy = 2 (1 - cx)1/2 2 (1 + cx )1/2 dx ( 1 + cx )
.
=
-c [(1 + cx)1/2]2 - c [(1 - cx)1/2]2 dy = 2 (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2 . (1 + cx ) - c (1 + cx ) - c ( 1 - cx ) - c - c2x - c + c2x 1/2 1/2 dy = 2 (1 - cx) (1 + cx ) = 2 (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2 dx ( 1 + cx ) ( 1 + cx ) 1
.
.
1
dy = - 2c 1/2 dx 2 (1 - cx) (1 + cx )1/2(1 + cx )
=
dy = -c . 1/2 1/2 dx (1 - cx) (1 + cx ) (1 + cx ) dy = -c -c . = dx ( 1 + cx ) .√1 - cx . √1 + cx (1 + cx ).√(1 - cx )(1 + cx ) dy = _
c
.
37.
dx
(1 + cx ) √1 - c2x2
y=
a2 + x2 a2 - x2
; y'=
2a2x . 2 2 4 4 (a - x ) √(a - x )
y = (a2 + x2)1/2 (a2 - x2)1/2 dy = dx
(a2 - x2)1/2.d (a2 + x2)1/2 _ (a2 + x2)1/2.d (a2 - x2)1/2 dx dx [(a2 - x2)1/2]2
.
(a2 - x2)1/2.1. (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) _ (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)1/2-1.d (a2-x2) dy = 2 dx 2 dx dx (a2 - x2)
(a2 - x2)1/2.1.(a2 + x2)-1/2(2x) - (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)-1/2(- 2x) dy = 2 2 . 2 2 dx (a - x ) dy = dx
x .(a2 - x2)1/2 + x.(a2 + x2)1/2 (a2 + x2)1/2 (a2-x2)1/2 2 2 (a - x )
=
x{(a2 - x2)1/2}2 + x {(a2 + x2)1/2}2 dy = (a2 + x2)1/2 (a2-x2)1/2 . dx (a2 - x2) x(a2 - x2) + x (a2 + x2) dy = (a2 + x2)1/2 (a2-x2)1/2 dx (a2 - x2)
a2x - x3 + a2x + x3 . 2 2 1/2 (a2-x2)1/2 = = (a + x ) 2 (a - x2)
.
2 a 2x . dy = (a + x ) (a2-x2)1/2 = 2 a2x = 2 2 2 2 2 2 1/2 dx (a - x ) (a2-x2)1/2 . (a - x ) (a + x ) 2
2 1/2
1 dy = 2 a2x 2 2 dx (a - x ).√(a2 + x2)√(a2-x2)
=
2 a2x (a - x )√(a2 + x2) (a2-x2) 2
=
2
dy = 2 a2x . 2 2 4 4 dx (a - x ).√(a - x ) 38.
s=
3
2 + 3t 2 - 3t
; s'=
4 . (2 + 3t)2/3(2 - 3t)4/3
s = (2 + 3t)1/3 (2 - 3t)1/3
(2 - 3t)1/3.d (2 + 3t)1/3 _ (2 + 3t)1/3.d (2 - 3t)1/3 ds = dt dt . dt [(2 - 3t)1/3]2 ds = dt
(2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)1/3-1.d (2 + 3t) _ (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)1/3-1.d (2 - 3t) 3 dt 3 dt . (2 - 3t)2/3
(2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)-2/3( 3 ) - (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)-2/3 (- 3 ) ds = 3 3 . 2/3 dt (2 - 3t) ds = dt
(2 - 3t)1/3 + (2 + 3t)1/3 (2 + 3t)2/3 (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3
=
(2 - 3t)1/3(2 - 3t)2/3 + (2 + 3t)1/3(2 + 3t)2/3
ds = dt
(2 + 3t)2/3(2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3
ds = dt
(2 - 3t)1/3+2/3 + (2 + 3t)1/3+2/3 (2 + 3t)2/3(2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3
. (2 - 3t)3/3 + (2 + 3t)3/3 . (2 + 3t)2/3(2 - 3t)2/3 . = (2 - 3t)2/3
(2 - 3t) + (2 + 3t) 2 - 3t + 2 + 3t ds = (2 + 3t)2/3(2 - 3t)2/3 = (2 + 3t)2/3(2 - 3t)2/3 = dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3 4 . 2/3 4/3 ds = (2+ 3t)2/3(2 - 3t)2/3 = 4 = (2 + 3t) (2 - 3t) dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3 1 39.
y
=
√2px
.
; y'= p . y
dy = 1 . (2px)1/2-1.d (2px) = 1 . (2px)-1/2( 2p ) = dx 2 dx 2 Sustituyendo: y = √2px
=
p . (2px)1/2
(2px)1/2 , en la derivada.
dy = p . dx y 40.
y = b √a2 - x2 a
; y'= - b2x . a2y
y = b (a2 - x2)1/2 a dy = b . 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) = b . 1 .(a2 - x2)-1/2 ( - 2x ) dx a 2 dx a 2 dy =
- bx
. Multiplicamos y dividimos por: "a . b" .
dx a (a2 - x2)1/2 dy = - b.x.a.b. - b2x .a. . = dx a.a.b.(a2 - x2 )1/2 a2.b.(a2 - x2 )1/2 Según el problema: y = b ( a2 - x2 )1/2 ; 1 = a . 2 2 1/2 a y b (a - x ) ⇒ dy = - b2x . a dx a2 b (a2 - x2 )1/2 41.
y = (a2/3 - x2/3)3/2
;
=
- b2x . 1 a2 y y'= -
=
_ b2x . a2y
y . x y'= 3 . (a2/3 - x2/3)3/2-1.d (a2/3 - x2/3) = 3 . (a2/3 - x2/3)1/2(0 - 2x2/3-1) 2 dx 2 3 3
y'= 3 . (a2/3 - x2/3)1/2( - 2x2/3-1) 2 3 y'= - (a2/3 - x2/3)1/2 . Elevando al cubo y sacando raiz cúbica x1/3 tanto al númerador y denominador. y'=
-(a2/3 - x2/3)1/2 x1/3
3
3
=
3
-(a2/3 - x2/3)3/2 . x3/3
Pero: y = (a2/3 - x2/3)3/2,sustituimos en y'. y'= -
3
y x
.
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones: 42.
f (x) = √2x + ∛3x f (x) = (2x)1/2 + (3x)1/3 .
;
f '(x) =
1 + 1 (2x)1/2 (3x)2/3
.
f '(x) = 1 . (2x)1/2-1.d (2x) + 1 . (3x)1/3-1.d (3x) 2 dx 3 dx f '(x) = (2x)-1/2(2) + (3x)-2/3(3) = (2x)-1/2 + (3x)-2/3 = 1 + 1 . 2 3 (2x)1/2 (3x)2/3
43.
y= 2-x 1 + 2x2
;
y'= 2x2 - 8x - 1 . (1 + 2x2)2
(1 + 2x2).d (2 - x) - (2 - x).d (1 + 2x2) y'= dx dx . 2 2 (1 + 2x ) y'= (1 + 2x2)( - 1) - (2 - x)(4x) (1 + 2x2)2 y'= - 1 - 2x2 - 8x + 4x2 (1 + 2x2)2 44.
y=
x √a - bx
y=
x (a - bx)1/2
;
=
y'=
=
=
- (1 + 2x2) - (2 - x)(4x) (1 + 2x2)2
2x2 - 8x - 1 . (1 + 2x2)2
2a - bx . 2(a - bx)3/2
x . (a - bx)-1/2
.
y'= x .d (a - bx)-1/2 + (a - bx)-1/2.d (x) dx dx y'= x. - 1 . (a - bx)-1/2-1.d (a - bx) + (a - bx)-1/2(1) 2 dx y'= - x(a - bx)-2/2(a - bx)-1/2 ( - b) + (a - bx)-1/2 2 y'= bx(a - bx)-2/2(a - bx)-1/2 + 2(a - bx)-1/2
2 1 bx + 2 . y'= (a - bx)-1/2{bx(a - bx)-2/2 + 2} = (a - bx)1/2 (a - bx) . 2 2
1 bx +2(a-bx) bx + 2a - 2bx y'= (a - bx)1/2 (a - bx) = (a - bx)1/2(a - bx)2/2 2 2 1 45.
s = √a + bt t
. =
2a - bx . 2(a - bx)3/2
; s'= - (2a + bt) . 2t2(a + bt)1/2
s = (a + bt)1/2 t ds = dt
t.d (a + bt)1/2 - (a + bt)1/2.d (t) dt dt t2
ds = dt
t. 1 .( a + bt)1/2-1.d (a + bt) - (a + bt)1/2.(1) 2 dt . t2
ds = dt
t. ( a + bt)-1/2(b) - (a + bt)1/2 2 t2
ds = dt
bt - 2{(a + bt)1/2}2 2(a + bt)1/2 = t2 - 2a - bt .
.
=
bt - (a + bt)1/2. 1/2 2(a + bt) . t2
bt - 2(a + bt) 2(a + bt)1/2 t2
=
bt - 2a - 2bt 2(a + bt)1/2. t2
ds = 2(a + bt)1/2 dt t2
46.
- 2a - bt = - (2a + bt) . 2t2(a + bt)1/2 2t2(a + bt)1/2
=
r= 3 a + bθ θ
; r'=
- (3a + 2bθ ) . 3θ 2 (a + bθ )2/3
r = (a + bθ)1/3 θ dr = dθ dr = dθ
θ.d (a + bθ)1/3 - (a + bθ)1/3.d (θ) dθ dθ . 2 θ 1/3-1 θ. 1 . (a + bθ) .d (a + bθ) - (a + bθ)1/3. (1) 3 dθ . θ2
θ .(a + bθ )-2/3(b) - (a + bθ)1/3 bθ - (a + bθ)1/3 2/3 dr = 3 . = 3(a + bθ ) 2 2 dθ θ θ bθ - 3(a + bθ)1/3.(a + bθ)2/3 bθ - 3(a + bθ ) bθ - 3a - bθ 2/3 2/3 dr = 3(a + bθ)2/3 = 3(a + bθ ) = 3(a + bθ ) dθ θ2 θ2 θ2 dr = - 3a - 2bθ dθ 3θ 2 (a + bθ)2/3 47.
y = x2 √5 - 2x
;
=
- (3a + 2bθ ) . 3θ 2 (a + bθ)2/3 y'= 10x - 5x2 . (5 - 2x)1/2
y = x2(5 - 2x)1/2 dy = x2.d (5 - 2x)1/2 + (5 - 2x)1/2.d (x2) dx dx dx
dy = x2. 1 . (5 - 2x)1/2-1.d (5 - 2x) + (5 - 2x)1/2( 2x ) dx 2 dx dy = x2(5 - 2x)-1/2(- 2 ) + (5 - 2x)1/2( 2x ) dx 2
=
- x2 + (5 - 2x)1/2( 2x ) (5 - 2x)1/2
dy = - x2 + (5 - 2x)1/2. (5 - 2x)1/2( 2x ) = - x2 + 2x(5 - 2x) dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2 dy = - x2 + 10x - 4x2 = 10x - 5x2 . dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2 48.
y = x. ∛ 2 + 3x
;
y'= 2(2 x + 1). (2 + 3x)2/3
y = x ( 2 + 3x )1/3 dy = x.d ( 2 + 3x )1/3 + ( 2 + 3x )1/3.d (x) dx dx dx dy = x. 1 . (2 + 3x)1/3-1.d (2 + 3x) + (2 + 3x)1/3(1) dx 3 dx dy = x.( 2 + 3x )-2/3( 3 ) + ( 2 + 3x )1/3 = x + ( 2 + 3x )1/3 2/3 dx 3 ( 2 + 3x )
dy = x + ( 2 + 3x )1/3.( 2 + 3x )2/3 = x + ( 2 + 3x ) = x + 2 + 3x dx (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3
.
dy = 4x + 2 = 2 (2 x + 1 ). dx ( 2 + 3x )2/3 ( 2 + 3x )2/3
49.
s=
2t - 1 t2
s = 2t - 1 t2
1/2
; s'=
ds = d 2t - 1 1/2 dt dt t2
;
ds = 1 2t - 1 dt 2 t2
(t3 + 1) . t . ( 2t3 - 1 )1/2 2
1/2-1
.d 2t - 1 dt t2
=
1 2t - 1 2 t2
-1/2
.d [(2t - t -2 )] dt
ds = 1 . ( 2t - t-2 )-1/2.[2 -(-2.t -2-1 )] = . 1 .[2 + 2t -3 ] dt 2 2( 2t - t -2 )1/2 2+ 2. 2t3 + 2 3 ds = (2 + 2t ) = t t3 = dt 2( 2t - t -2 )1/2 2 2t - 1 1/2 2( 2t3 - 1 )1/2 t2 ( t2 )1/2 -3
ds = 2 . t .(t3 + 1) dt 2 . t 3. ( 2t3 - 1 )1/2
50.
=
y = ( x + 2 )2 √x2 + 2 ;
2(t3 + 1) t3 = = 2( 2t3 - 1 )1/2 t
(t3 + 1) . t . ( 2t3 - 1 )1/2 2
y'= 3x3 + 6x2 + 8x + 8 . (x2 + 2)1/2
y = ( x + 2 )2. ( x2 + 2 )1/2 dy = ( x + 2 )2.d ( x2 + 2 )1/2 + ( x2 + 2 )1/2.d ( x + 2 )2 dx dx dx
.
dy = (x + 2)2. 1 . (x2 + 2)1/2-1.d (x2 + 2) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)2-1.d (x + 2) dx 2 dx dx
dy = (x + 2)2(x2 + 2)-1/2.( 2 x ) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)(1) dx 2 .
dy = x (x + 2)2 + 2(x2+2)1/2(x+2) = dx (x2 + 2)1/2 dy = x(x + 2)2 + 2(x2 + 2)1/2.(x2 + 2)1/2.(x + 2) dx (x2 + 2)1/2 dy = x (x2 + 2x + 4) + 2( x2 + 2)(x + 2) = dx (x2 + 2)1/2 dy = x3 + 2x2 + 4x + 2(x3 + 2x2 + 2x + 4) dx (x2 + 2)1/2 dy = x3 + 2x2 + 4x + 2x3 + 4x2 + 4x + 8 dx (x2 + 2)1/2 51.
y
=
=
3x3 + 6x2 + 8x + 8 (x2 + 2)1/2
√1 + 2x . ; y'= x . 1/2 4/3 ∛1 + 3x (1 + 2x) (1 + 3x)
y = ( 1 + 2x )1/2 ( 1 + 3x )1/3 dy = dx
( 1 + 3x )1/3.d ( 1 + 2x )1/2 - ( 1 + 2x )1/2.d ( 1 + 3x )1/3 dx dx . [( 1 + 3x )1/3]2
(1 + 3x)1/3. 1 .(1 + 2x)1/2-1.d(1 + 2x) -(1 + 2x)1/2.1.(1 + 3x)1/3-1.d (1 + 3x) dy = 2 dx 3 dx . dx ( 1 + 3x )2/3
(1 + 3x)1/3(1 + 2x)-1/2( 2 ) _ (1 + 2x)1/2(1 + 3x)-2/3( 3 )
dy = dx
2
3
.
2/3
( 1 + 3x )
(1 + 3x)1/3 _ (1 + 2x)1/2 dy = (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)2/3 dx ( 1 + 3x )2/3
=
(1 + 3x)1/3(1 + 3x)2/3 - (1 + 2x)1/2(1 + 2x)1/2 dy = (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)2/3 = 2/3 (1 + 3x) (1+3x) - (1+2x) dy = (1 + 2x)1/2(1 + 3x)2/3 dx ( 1 + 3x )2/3
=
1 + 3x - 1 - 2x (1 + 2x)1/2(1 + 3x)2/3 ( 1 + 3x )2/3
=
x . 2/3 dy = (1 + 2x) (1 + 3x) = x =. dx ( 1 + 3x )2/3 (1 + 2x)1/2(1 + 3x)2/3(1 + 3x)2/3 1/2
dy = x 1/2 dx (1 + 2x) (1 + 3x)4/3
=
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dado de x. 52.
y = ( x2 - x )3 ; x = 3 . dy = 3 ( x2 - x )3-1. d ( x2 - x ) dx dx dy = 3 ( x2 - x )2 (2x - 1 ) ; Sustituyendo x = 3. dx dy = 3 [ (3)2 - 3 ]2 [2(3) - 1 ) ] dx
dy = 3 (9 - 3)2.(6 - 1) dx
53.
y
=
∛x + √x
=
3(6)2.(5)
3.(36)(5) = 540
=
; x = 64.
y = ( x )1/3 + ( x )1/2 dy = 1 . ( x )1/3-1.dx + 1 . ( x )1/2-1.dx dx 3 dx 2 dx dy = ( x )-2/3( 1 ) + ( x )-1/2( 1 ) dx 3 2
=
1 + 1 . 3( x )2/3 2( x )1/2
Cuando x = 64. dy = 1 + 1 2/3 dx 3(64) 2(64)1/2
=
dy = 1 + 1 12/3 dx 3(2) 2(2)6/2 dy = 1 + 1 dx 48 16 54.
=
1+3 48
=
=
1 + 1 . 6 2/3 6 1/2 3(2 ) 2(2 ) 1 + 1 3(2)4 2(2)3
4 = 1 . 48 12
y = (2x)1/3 + (2x)2/3 ; x = 4 dy = d (2x)1/3 + d (2x)2/3 dx dx dx dy = 1 . (2x)1/3-1.d (2x) + 2 (2x)2/3-1.d (2x) dx 3 dx 3 dx
=
1 + 1 . 3(16) 2(8)
dy = (2x)-2/3(2) + 2 ( 2x )-1/3(2) = 2 + 4 . 2/3 1/3 dx 3 3 3(2x) 3(2x) dy = 2 + 4 2 + 4 = = dx 3(2.4)2/3 3(2.4)1/3 3(8)2/3 3(8)1/3 dy = 2 + 4 dx 3(23)2/3 3(23)1/3 dy = 2 + 4 dx 12 6 55.
=
=
2 + 4 3(22) 3(2)
2 + 8 = 10 12 12 12
=
=
5 . 6
y = √9 + 4x 2 y = (9 + 4x2)1/2 ; x = 2 dy = 1 .( 9 + 4x2 )1/2-1.d (9 + 4x2) dx 2 dx dy = (9 + 4x2)-1/2 ( 8 x) = dx 2 dy = 4(2) dx ( 9 + 4.22 )1/2
56.
=
4x . Cuando x = 2 . ( 9 + 4x2 )1/2 4(2) 8 8 = = 1/2 1/2 ( 9 + 16 ) ( 25 ) √25
y=
1 . √25 - x2
y=
2 -1/2 1 . = ( 25 - x ) ( 25 - x2 )1/2
dy = - 1 (25 - x2 )-1/2-1.d (25 - x2 ) = - (25 - x2 )-3/2( - 2x) dx 2 dx 2
=
=
8. 5
dy = +x . Cuando x = 3 2 3/2 dx (25 - x ) dy = 3 3 3 = 3 = = dx (25 - 32 )3/2 (25 - 9 )3/2 (16)3/2 (24)3/2
57.
y = √16 + 3x x
=
3 212/2
=
3 26
=
3 . 64
; x=3
y = (16 + 3x )1/2 x dy = dx
x. d (16 + 3x )1/2 - (16 + 3x )1/2. d ( x ) dx dx . x2
dy = dx
x. 1 . (16 + 3x )1/2-1.d (16 + 3x ) - (16 + 3x )1/2 ( 1 ) 2 dx . x2
dy = dx
x (16 + 3x)-1/2 ( 3 ) - (16 + 3x )1/2 2 x2
dy = dx
3x - 2(16 + 3x)1/2(16 + 3x)1/2 2(16 + 3x)1/2 x2
=
=
3x - (16 + 3x )1/2 1/2 2(16 + 3x) . x2
3x - 2 (16 + 3x) 2(16 + 3x)1/2 x2
=
3x - 32 - 6x 2(16 + 3x)1/2 x2 . 1
dy = - 32 - 3x . ; Sustituyendo: x = 3 en: dy/dx . 2 dx 2x (16 + 3x)1/2 dy = - 32 - 3(3) - 32 - 9 = dx 2 (3)2 [(16 + 3(3)]1/2 2.9[16 + 9]1/2
=
- 41 = - 41 18(25)1/2 18(5)
=
- 41 . 90
58.
y = x √8 - x2 ; x = 2 y = x (8 - x2)1/2 dy = x. d (8 - x2)1/2 + (8 - x2)1/2. d (x) dx dx dx dy = x. 1 .(8 - x2 )1/2-1.d (8 - x2) + (8 - x2)1/2(1) dx 2 dx 2 -1/2 dy = x(8 - x ) (-2x) + (8 - x2)1/2 = - 2 x2 + (8 - x2)1/2 2 1/2 dx 2 2 .(8 - x ) dy = - x2 + (8 - x2)1/2(8 - x2)1/2 dx (8 - x2)1/2
=
- x2 + (8 - x2) (8 - x2)1/2
dy = 8 - 2 x2 . Cuando x = 2 dx (8 - x2)1/2 dy = [8 - 2(2)2] dx (8 - 22)1/2 59.
=
8 - 2(4) = 8 - 8 (8 - 4)1/2 ( 4 )1/2
=
y = x2 √1 + x3 ; x = 2 y = x2 (1 + x3)1/2 dy = x2. d (1 + x3)1/2 + (1 + x3)1/2.d (x2) dx dx dx
0 2
=
0.
=
- x2 + 8 - x2 (8 - x2)1/2
dy = x2. 1 . (1 + x3)1/2-1.d (1 + x3) + (1 + x3)1/2 (2x) dx 2 dx dy = x2(1 + x3)-1/2 ( 3x2 ) + (1 + x3)1/2(2x) dx 2
3 x4 + 2x.(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2
=
dy = 3x4 + 2x.2 (1 + x3)1/2 (1 + x3)1/2 dx 2(1 + x3)1/2
=
3x4 + 4x ( 1 + x3 ) 2(1 + x3)1/2
dy = 3x4 + 4x + 4x4 = 7 x4 + 4 x . dx 2(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2 Sustituyendo: x = 4 en y'. dy = 7.(2)4 + 4(2) dx 2(1 + 23)1/2 60.
7 ( 16 ) + 8 2( 9 )1/2
=
112 + 8 = 120 2( 3 ) 6
=
20 .
y = (4 - x2)3 ; x = 3 dy = 3(4 - x2)3-1.d (4 - x2) dx dx dy = 3(4 - x2)2(- 2x) dx dy = - 6(3) (4 - 32)2 dx
61.
=
=
=
- 6x (4 - x2)2 . Sustituyendo: x = 3 en y'.
- 18 (4 - 9)2
=
- 18(- 5)2 = -18(25) = - 450
y = x2 + 2 2 - x2 (2 - x2).d (x2 + 2) - (x2 + 2).d (2 - x2) dy = dx dx . 2 2 dx (2 - x )
dy = (2 - x2)( 2x ) - (x2 + 2)( -2x ) = (2 - x2)(2x) + (x2 + 2)(2x) dx (2 - x2)2 (2 - x2)2
dy = 2x [ 2 - x2 + (x2 + 2 )] dx (2 - x2)2 dy = 2x ( 4 ) dx (2 - x2)2 dy = 8( 2 ) dx ( 2 - 22 )2 62.
y = √5 - 2x ; 2x + 1
=
=
2x ( 2 - x 2 + x 2 + 2 ) (2 - x2)2
8x . Sustituyendo: x = 2 en y'. (2 - x2)2
=
16 = 16 ( 2 - 4 )2 ( - 2 )2
16 4
=
=
4.
x= 1 . 2
y = (5 - 2x)1/2 2x + 1 (2x + 1). d (5 - 2x)1/2 - (5 - 2x)1/2.d (2x + 1) dy = dx dx . 2 dx (2x + 1) (2x + 1). 1 .(5 - 2x)1/2-1.d ( 5 - 2x) - (5 - 2x)1/2(2) dy = 2 dx . dx (2x + 1)2 (2x + 1)( 5 - 2x)-1/2( - 2 ) - 2 (5 - 2x)1/2 dy = 2 dx (2x + 1)2
=
- ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x)1/2 (5 - 2x )1/2 . (2x + 1)2
- ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x)1/2. (5 - 2x)1/2 - 2x - 1 - 2(5 - 2x) dy = (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2 . = 2 2 dx (2x + 1) (2x + 1) . 1 1
-2x - 1 - 10 + 4x dy = (5 - 2x )1/2 = 2x - 11 ; Cuando x = 1 . dx (2x + 1)2 (5 - 2x )1/2 (2x + 1)2 2 1 2 . 1 . - 11 dy = 2 dx {5 - 2.1}1/2{ 2 . 1 . + 1}2 2 2
=
1 - 11 - 10 = (5 -1)1/2(1+1)4/2 (4)1/2(2)4/2
dy = - 10 = - 10 = - 10 dx (22/2)(4) (2)(4) 8 63.
=
- 10 (22)1/2(2)2
.
.
=
-5 4
.
y = x √(3 + 2x) ; x = 3 y = x (3 + 2x)1/2 dy = x.d (3 + 2x)1/2 + (3 + 2x)1/2.d (x) dx dx dx dy = x . 1 . (3 + 2x)1/2-1.d (3 + 2x) + (3 + 2x)1/2 (1) dx 2 dx dy = x (3 + 2x)-1/2( 2 ) + (3 + 2x)1/2 = x + (3 + 2x)1/2 dx 2 ( 3 + 2x )1/2 1/2 1/2 dy = x + (3 + 2x) .(3 + 2x) = x + (3 + 2x) = x + 3 + 2x . dx ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2 dy = 3 + 3x ; Cuando x = 3 1/2 dx ( 3 + 2x )
dy = 3 + 3(3) dx ( 3 + 2.3 )1/2
64.
y=
4x + 1 5x - 1
=
3+9 (3 + 6)1/2
=
12 91/2
=
12 3
=
4.
; x=2
y = (4x + 1)1/2 (5x - 1)1/2 dy = dx
(5x - 1)1/2.d (4x + 1)1/2 - (4x + 1)1/2.d (5x - 1)1/2 dx dx . [(5x - 1)1/2]2
(5x -1)1/2. 1 .(4x+1)1/2-1.d (4x +1) - (4x +1)1/2. 1 .(5x -1)1/2-1.d (5x -1) dy = 2 dx 2 dx . dx (5x - 1)
(5x - 1)1/2(4x + 1)-1/2( 4 ) - (4x + 1)1/2.(5x - 1)-1/2( 5 ) dy = 2 2 . dx (5x - 1) 4(5x - 1)1/2 - 5(4x + 1)1/2 4(5x - 1)1/2(5x - 1)1/2 - 5.(4x + 1)1/2(4x + 1)1/2 dy = 2(4x +1)1/2 2(5x-1)1/2 = 2(4x +1)1/2(5x-1)1/2 . dx (5x - 1 ) (5x - 1 ) 4(5x - 1) - 5(4x + 1) 20x - 4 - 20x - 5 -9 . dy = 2(4x + 1)1/2(5x - 1)1/2 = 2(4x + 1)1/2 (5x - 1)1/2 = 2(4x + 1)1/2(5x - 1)1/2 dx (5x-1) (5x-1) (5x-1)1/2(5x-1)1/2 . 1
dy = -9 -9 . = dx 2(5x - 1)(4x +1)1/2(5x-1)1/2 2(5x - 1)[(4x +1)(5x-1)]1/2 Cuando x = 2.
dy = -9 dx 2(5.2 - 1) [(4.2 +1)(5.2-1)]1/2 dy = -9 dx 2( 9 ) [81]1/2 65.
y=
x2 - 5 10 - x2
=
=
-1 -1 = 2.[81]1/2 2(9)
-9 2(10 - 1) [ ( 9 )( 9 ) ]1/2 =
.
-1. 18
; x=3
y = (x2 - 5)1/2 (10 - x2)1/2 (10 - x2)1/2.d (x2 - 5)1/2 - (x2 - 5)1/2.d (10 - x2)1/2 dy = dx dx . dx [(10 - x2)1/2]2 (10 - x2)1/2. 1 .(x2 -5)1/2-1.d (x2 -5) - (x2 -5)1/2.1.(10 - x2)1/2-1.d (10-x2) dy = 2 dx 2 dx . dx (10 - x2)
(10 - x2)1/2(x2 -5)-1/2( 2 x ) - (x2 -5)1/2(10 - x2)-1/2( - 2 x ) dy = 2 2 . dx (10 - x2) dy = dx
x(10 -x2)1/2 + x(x2 -5)1/2 x(10 -x2)1/2(10 -x2)1/2 + x(x2-5)1/2(x2-5)1/2 (x2 -5)1/2 (10 - x2)1/2 = (x2 -5)1/2(10 - x2)1/2 . 2 (10 - x ) (10 - x2)
x(10 -x2) + x(x2-5) 10x - x3 + x3 - 5x dy =(x2-5)1/2 (10 -x2)1/2 = (x2-5)1/2 (10 -x2)1/2 dx (10 -x2) (10 -x2)
dy = 5x . 2 2 1/2 2 1/2 dx (10 -x ) (10 -x ) (x -5) dy =
5(3)
=
=
5x . (x2-5)1/2 (10 -x2)1/2 (10 -x2)
; Cuando x = 3 15
.
dx (10 -32)(10 -32)1/2(32-5)1/2 dy = 15 2 1/2 dx ( 1 )( 1 ) ( 4 )1/2
=
(10 - 9) (10 - 9)1/2(9 - 5)1/2
15 (1 )( 1 )( 22 )1/2
=
15 ( 1 )( 2 )
Problemas - Pagina 50 Hallar dy para cada una de las siguientes funciones : dx 1.
y
=
u6 ,
u
dy = 6u5 du
2.
1 + 2√x
du = 2 . dx
=
1 2 √x
=
1 . √x
⇒ sustituyendo :
Pero : dy = dy . du dx du dx dy = ( 6u5) 1 dx √x
=
6u5 . √x
y = √(2u - u2) , dy = 2 _ 2u . du 2 √2u
u
=
x3 - x
du = 3x2 - 1 dx
dy = 1 _ 2u . du √2u Sustituyendo estos resultados en : dy = dy . du dx du dx
=
15 . 2
dy dx
3.
=
1 _ 2u ( 3x2 - 1 ). √2u
y= a-u a+u
;
u= b-x. b+x
(a + u).d (a - u) -(a - u).d (a + u) dy = du
du
du
.
(a + u)2
dy = (a + u)( - 1 ) - (a - u)( 1 ) du (a + u)2 dy = - a - u - a + u = - 2a . du (a + u)2 (a + u)2
du = dx
(b + x).d (b - x) - (b - x).d (b + x) dx dx . 2 (b + x)
du = (b + x)( - 1 ) - (b - x)( 1 ) = - b - x - b + x dx (b + x)2 (b + x)2 Sustituyendo: dy y du en dy du dx dx dy = - 2a . - 2 b = 4ab . dx (a + u)2 (b + x)2 (a + u)2(b + x)2
=
- 2b . (b + x)2
4.
y = u √a2 - u2
;
u = √1 - x2
y = u.( a2 - u2 )1/2 dy = u.d ( a2 - u2 )1/2 + ( a2 - u2 )1/2.d ( u ) du du du dy = u . 1 . ( a2 - u2 )1/2-1.d ( a2 - u2 ) + ( a2 - u2 )1/2( 1 ) du 2 du dy = u ( a2 - u2 )-1/2( - 2 u ) + ( a2 - u2 )1/2 = dx 2 dy = - u2 + ( a2 - u2 )1/2. ( a2 - u2 )1/2 dx ( a2 - u2 )1/2 dy = - u2 + ( a2 - u2 ) = - u2 + a2 - u2 dx ( a2 - u2 )1/2 (a2 - u2)1/2 u = √1 - x2 = ( 1 - x2 )1/2
=
a2 - 2 u2 . (a2 - u2)1/2
du = d ( 1 - x2 )1/2 dx dx du dx
=
1 . ( 1 - x2 )1/2-1.d ( 1 - x2 ) = ( 1 - x2 )-1/2( - 2x ) = 2 dx 2
du = - x . dx ( 1 - x2 )1/2
Sustituyendo : dy y du en dy du dx dx .
dy = ( a2 - 2 u2 ).( - x ) = - x( a2 - 2 u2 )2/2 = 2 2 1/2 2 1/2 dx ( a - u ) ( 1 - x ) ( a2 - u2 )1/2 ( 1 - x2 )1/2
5.
du = x(2u2 - a2) . 2 2 1/2 2 1/2 dx ( a - u ) (1-x ) 15x = 15y + 5y3 + 3y5 15.d ( x ) = 15.dy + 5.3.y3-1.dy + 3.5.y5-1.dy dx dx dx dx 15 ( 1 ) = 15.dy + 15. y2.dy + 15.y4.dy dx dx dx 15 = 15dy + 15y2.dy + 15y4.dy = 15 dx dx dx 15.dy ( 1 + y2 + y4 ) = 15 dx dy =
6.
15 1 . = 2 4 2 4 15 ( 1 + y + y ) ( 1 + y + y ) x = √y + ∛y x = ( y )1/2 + ( y )1/3 dx = 1 . y1/2-1.dy + 1 . y1/3-1.dy dx 2 dx 3 dx 1 = y -1/2. dy + y -2/3. dy 2 dx 3 dx 1 = 1 . dy + 1 .dy 2y1/2 dx 3y2/3 dx
1 = dy ( 1 + 1 ) = 1. dx 2y1/2 3y2/3 dy = dx
1 1 + 1 2y1/2 3y2/3
=
3y2/3 2y1/2
1 + 2y1/2 3y2/3
=
2y1/2 . 3y2/3 3y2/3 + 2y1/2
=
dy = 2 y1/2 . 3y2/3 = 6y2/3 . dx y 1/2 (3y1/6 + 2) (3y1/6 + 2) 7.
y2
=
2px.
2y2-1.dy = 2p.dx dx dx 2y.dy = 2p(1) ; dy = 2 p = p . dx dx 2 y y 8.
x2 + y2
=
r2
2x + 2y2-1.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2 x = - x . dx dx dx dx 2y y 9.
b2x2 + a2y2 = a2b2 d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2) dx dx dx 2b2x + 2a2y2-1.dy = 0 dx 2a2y.dy = - 2b2x dx dy = - 2b2x dx 2a2y
=
.
- b2x . a2y
10.
√x + √y = √a. x1/2 + y1/2
=
a1/2
d (x1/2) + d (y1/2) dx dx
;
1 . x1/2-1 + 1 .y1/2-1.dy = 0 2 2 dx 1 + 1 . dy 2 x1/2 2 y1/2 dx
dy = dx 11.
=
x2/3 + y2/3
=
; x -1/2 + y -1/2.dy = 0 2 2 dx
0 ; 1 .dy = - 1 2y1/2 dx 2x1/2
-1 . 2x1/2 = - 2 y1/2 1 . 2 x1/2 2 y1/2
=
_ y1/2 = x1/2
y x
.
.
a2/3
2 .x2/3-1 + 2 .y2/3-1 = d (a2/3) 3 3 dx 2 + 2 . dy = 0 3 x1/3 3 y1/3 dx - 2 . dy = 3 x1/3 = _ y1/3 dx 3 y1/3 x1/3 2 12.
d (a1/2) dx
=
x3 - 3axy + y3
=
; 2 x -1/3 + 2 y -1/3. dy = 0 3 3 dx ;
=
-
2 . dy 3 y1/3 dx 3
y x
=
_
2 . 3 x1/3
.
.
0
3x2 - 3a[x.dy + y.dx] + 3y2.dy = 3x2 - 3ax.dy - 3ay + 3y2.dy dx dx dx dx dx 3dy ( y2 - ax ) dx
=
3ay - 3x2 ; dy = 3 ay - 3 x2 = 3 ( ay - x2 ) = dx 3( y2 - ax ) 3 ( y2 - ax )
dy = ( ay - x2 ) dx ( y2 - ax ) 13.
x3 + 3x2y + y3
=
c3
3x2 + 3 [ x2.dy + y.d ( x2 ) ] + 3y2. dy = d ( c3 ) dx dx dx dx 3x2 + 3[x2.dy + 2xy] + 3y2. dy = 3x2 + 3x2.dy + 6xy + 3y2.dy = dx dx dx dx 3.dy ( x2 + y2 ) = - 3x2 - 6xy ; dy = - 3x2 - 6xy dx dx 3( x2 + y2 ) dy = - 3 x ( x + 2y ) dx 3 ( x2 + y2 ) 14.
=
_ ( x2 + 2xy ) ( x2 + y2 )
=
_ x ( x + 2y ) ( x2 + y2 )
x + 2√xy + y = a x + 2.x1/2.y1/2 + y = a dx + 2[x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2) ] + dy = d ( a ) dx dx dx dx dx 1 + 2 [x1/2. 1 . y1/2-1. dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + dy = 0 2 dx 2 dx 1 + 2[ x1/2.y -1/2. dy + y1/2.x -1/2] + dy = 0 2 dx 2 dx 1 + 2 x1/2. dy + 2 y1/2 + dy 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 1 + x1/2. dy + y1/2 + dy y1/2 dx x1/2 dx
=
0
=
0
.
dy (1 + x1/2 ) = - 1 - y1/2 dx y1/2 x1/2 dy = dx
( - 1 - y1/2) x1/2 ( 1 + x1/2 ) y1/2
- x1/2 - y1/2 . 1/2 x1/2 + y1/2 ) y1/2 = - ( x 1/2 1/2 1/2 y +x x ( y1/2 + x1/2 ) 1/2 y
=
dy = _ y1/2 = - y dx x1/2 x 15.
x2 + a
=
.
x y + y2
b2
=
x2 + a . x1/2 . y1/2 + y2
=
b2
2x + a [x1/2. d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] + 2y.dy = d ( b2 ) dx dx dx dx 2x + a[x1/2. 1 .y1/2-1.dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + 2y. dy = 0 2 dx 2 dx 2x + a [ x1/2. y -1/2. dy + y1/2. x -1/2] + 2y. dy = 0 2 dx 2 dx 2x + a [ x1/2 . dy + y1/2 ] + 2y.dy = 2x + a x1/2 . dy + a y1/2 + 2y.dy 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx
2y.dy + a.x1/2 .dy dx 2.y1/2 dx dy ( 2y + a.x1/2 ) dx 2.y1/2
=
=
- 2x - a y1/2 . 2x1/2 - 2x - a y1/2 2x1/2
- ( 2x.2x1/2 + a y1/2 ) dy = 2 x1/2 1/2 dx 2y.2y + a x1/2 2.y1/2
=
=
- ( 4 x3/2 + a y1/2 ) 2 x1/2 3/2 4 y + a x1/2 2.y1/2
- ( 2x + a y1/2 ) 2x1/2 ( 2y + a.x1/2 ) 2y1/2
=
.
_ y1/2 ( 4 x3/2 + a y1/2 ) x1/2 ( 4 y3/2 + a x1/2 )
16.
x4 + 4x3y + y4
=
20
d (x4) + d (4x3y) + d (y4) = d ( 20 ) dx dx dx dx 4x3 + 4 [x3.dy + y.d ( x3 )] + 4y3.dy dx dx dx
=
0
4x3 + 4 [x3.dy + 3x2y] + 4y3.dy = 0 dx dx 4x3 + 4x3.dy + 12x2y + 4y3.dy = 0 dx dx 4x3.dy + 4y3.dy = - 12 x2y - 4x3 dx dx 4dy ( x3 + y3 ) = - 4 x2 (3y + x) dx dy = - 4 x2 (3y + x) dx 4 ( x3 + y3) 17.
=
_ x2 (x + 3y ) ( x3 + y3 )
ax3 - 3b2xy + cy3 = 1 3ax2 - 3b2 [ x.dy + y.dx] + 3cy2.dy = d (1) dx dx dx 3ax2 - 3b2[x.dy + y] + 3cy2.dy = 3ax2 - 3b2x.dy - 3b2y + 3cy2.dy dx dx dx dx 3cy2.dy - 3b2x.dy = 3b2y - 3ax2 = 3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2) dx dx dx
3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2) dx
dy = 3 ( b2y - ax2 ) = ( b2y - ax2 ) = ax2 - b2y dx 3 ( cy2 - b2x ) ( cy2 - b2x ) b2x - cy2 18.
y + x
x y
=
6.
( y )1/2 + ( x )1/2 = 6 ( x )1/2 ( y )1/2 x1/2.d (y1/2) - y1/2.d (x1/2) + y1/2.d(x1/2) - x1/2.d (y1/2) = 0 [(x1/2)]2 [ (y1/2)]2 x1/2. 1 .y1/2-1.dy - y1/2. 1 .x1/2-1 y1/2. 1 .x1/2-1 - x1/2. 1 .y1/2-1.dy 2 dx 2 + 2 2 dx = 0 x y
x1/2.y -1/2.dy - y1/2.x -1/2 2 dx 2 x
y1/2.x -1/2 - x1/2.y -1/2.dy + 2 2 dx = 0 y
x1/2 .dy - y1/2 y1/2 - x1/2 .dy 1/2 1/2 2y dx 2x + 2x1/2 2y1/2 dx = 0 x y x1/2 .dy y1/2 y1/2 x1/2.dy 1/2 1/2 1/2 2y dx - 2x + 2x - 2y1/2 dx = 0 x x y y . 1 1 1 1 x 1/2 . dy - y1/2 + y 1/2 - x1/2 . dy = 0. 1/2 1/2 1/2 2. x .y dx 2.x .x 2.x . y 2.y1/2.y dx 1 . dy - y1/2 + 1 - x1/2. dy = 0 2x1/2.y1/2 dx 2x3/2 2x1/2.y1/2 2y3/2 dx 1
. dy - x1/2 . dy
=
y1/2 -
1
.
2x1/2.y1/2 dx
2y3/2 dx
2x3/2
2x1/2.y1/2
dy ( 1 - x1/2 ) = y1/2 1 . 1/2 1/2 3/2 3/2 1/2 1/2 dx 2x .y 2y 2x 2x .y dy =
y1/2 1 2x3/2 2x1/2.y1/2 1 - x1/2 2x1/2.y1/2 2y3/2
y1/2.y1/2 - x2/2 y - x . 3/2 1/2 2x3/2.y1/2 . = 2x .y 2/2 1/2 1/2 y - x .x . y - x . 2x1/2.y3/2 2x1/2.y3/2
=
dy = (y - x ) . 2 x1/2.y3/2 = x1/2.y3/2 = x1/2. y1/2 . y dx 2 x3/2.y1/2.( y - x ) x3/2.y1/2 x1/2. x . y1/2 dy = x1/2. y1/2 . y dx x1/2. x . y1/2
=
y. x
Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado.
19.
x2 + xy + 2 y2
=
28 ; ( 2 , 3 )
2x + [ x.dy + y.dx ] + 4y.dy = d (28) dx dx dx dx 2x + x.dy + y(1) + 4y.dy = 0 = 2x + x.dy + y + 4y.dy dx dx dx dx x.dy + 4y.dy = - 2x - y dx dx dy ( x + 4y ) dx dy dx
=
=
- (2x + y )
_ ( 2x + y ) ( x + 4y )
m = dy dx
=
;
En el punto ( 2 , 3 )
_ { 2(2) + 3 } { 2 + 4(3) }
=
_ (4+3) ( 2 + 12 )
=
_ 7 14
=
- 1. 2
m = dy = _ 1 . dx 2 20.
x3 - 3xy2 + y3 = 1 ; ( 2 , - 1 ) 3x2 - 3 [ x.d ( y2 ) + y2.d ( x ) ] + 3y2.dy = d ( 1 ) dx dx dx dx 3x2 - 3[2xy.dy + y2 (1)] + 3y2.dy = 3x2 - 6xy.dy - 3y2 +3y2.dy . dx dx dx dx 3y2.dy - 6xy.dy = 3y2 - 3x2 dx dx 3ydy ( y - 2x ) = 3 ( y2 - x2 ) dx dy = 3 ( y2 - x2 ) = ( y2 - x2 ) . En el punto ( 2 , 3 ) dx 3 y ( y - 2x ) y ( y - 2x ) m = dy = [ (-1)2 - (2)2 ] dx (-1)[ -1 - 2 (2)]
21.
√2x + √3y
=
=
[1-4] = -3 (-1)( -1 - 4) (-1)(- 5)
=
- 3 . 5
5 ; (2 , 3)
( 2x )1/2 + ( 3y )1/2
=
5
1 .( 2x )1/2-1.d (2x) + 1 .( 3y )1/2-1.d (3y) 2 dx 2 dx
=
d (5) dx
(2x)-1/2.(2) + ( 3y ) -1/2.(3).dy = 1 + 3 .dy = 3 . dy = - 1 . 2 2 dx (2x)1/2 2(3y)1/2 dx 2( 3y)1/2 dx (2x)1/2
_ dy = dx
1 . ( 2x )1/2 3 2( 3y)1/2
=
_ 2( 3y)1/2 . En el punto ( 2 , 3) 3 (2x)1/2
m = dy = _ 2 [ 3 (3) ]1/2 dx 3 [ 2 (2) ]1/2 22.
x2 - 2√xy - y2
=
x2 - 2.x1/2.y1/2 - y2
=
_ 2 ( 9 )1/2 3 ( 4 )1/2
=
_ 2(3) 3(2)
=
- 1.
52 ; ( 8 , 2 ) =
52
2x.dx - 2 [x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] - 2y.dy = d ( 52 ) dx dx dx dx dx 2x(1) - 2 [x1/2. 1 .(y1/2-1).dy + y1/2. 1 . (x1/2-1).dx ] - 2y.dy = 0 2 dx 2 dx dx 2x - 2 [ x1/2.y -1/2.dy + y1/2.x -1/2.( 1 ) ] - 2y.dy = 0 2 dx 2 dx 2x - 2 [ x1/2. dy + y1/2 ] - 2y.dy = 2x - 2.x1/2.dy - 2.y1/2 - 2y.dy 2y1/2 dx 2x1/2 dx 2y1/2 dx 2x1/2 dx 2x - 2.y1/2 2.x1/2
=
2.x1/2.dy + 2y.dy = 0 2.y1/2 dx dx
2x - y1/2 = x1/2. dy + 2y.dy = 2x - y1/2 x1/2 y1/2 dx dx x1/2 1/2 Sacando factor comun : dy .( x + 2y ) = 2x - y1/2 dx y1/2 x1/2 2x - y1/2 2x.x1/2 - y1/2 dy = x1/2 = x1/2 = 1/2 1/2 1/2 dx x + 2y x + 2y.y y1/2 y1/2
2x3/2 - y1/2 x1/2 . 1/2 x + 2y3/2 y1/2
dy = y1/2 ( 2x3/2 - y1/2 ) . En el punto ( 8 , 2 ) dx x1/2(x1/2 + 2y3/2 ) m = dy = (2)1/2 [ 2(8)3/2 - (2)1/2 )
=
(2)1/2 [ 2 (23)3/2 - 21/2 ] .
dx (8)1/2 [(8)1/2 + 2(2)3/2 ) m = dy = ( 2)1/2 [ 2 (23)3/2 - 21/2 ] dx 2( 2)1/2 [(23)1/2 + 2(23/2)]
2(2)1/2 [ (23)1/2 + 2(23/2) ] =
[2.29/2 - 21/2] 2(23/2 + 22/2.23/2)
=
m = 22/2. 29/2 - 21/2 = ( 211/2 - 21/2 ) = [ 21/2( 210/2 - 1)] = 2[23/2(1 + 22/2)] 2[23/2(1 + 2)] 22/2[23/2(3)] m =dy = 21/2( 25 - 1 ) dx 21/2. 21/2. 23/2. 3 23.
x3 - axy + 3ay2
=
32 - 1 24/2. 3
=
31 4.3
=
31 . 12
3a3 ; ( a , a )
=
3x2.dx - a [ x.dy + y.dx ] + 3a.2y.dy dx dx dx dx
=
d ( 3a3) dx
3x2 ( 1 ) - a [ x.dy + y ] + 6ay.dy = 3x2 - ax.dy - ay + 6ay.dy = 0 dx dx dx dx 6ay.dy - ax.dy dx dx
=
ay - 3x2
a.dy {6y - x} = ay - 3x2 dx dy = a.y - 3x2 . En el punto (a , a) dx a ( 6y - x ) m = dy = a(a) - 3(a)2 dx a(6.a - a) 24.
=
a2 - 3a2 a( 5a )
x2 - x√xy - 2y2 = 6 ; ( 4 , 1 ) x2 - x.x1/2.y1/2 - 2y2
=
x2 - x3/2.y1/2 - 2y2
6
=
6
=
- 2a2 5a2
=
-2a2 = _ 2. 5 a2 5
2x.dx - [ x3/2. 1 .y1/2-1. dy + y1/2. 3 . x3/2-1 ] - 4y. dy = d ( 6 ) dx 2 dx 2 dx dx 2x (1) - [ x3/2.y -1/2. dy + y1/2. 3 . x1/2 ] - 4y. dy 2 dx 2 dx
=
0
2x - [x3/2 . dy + 3.x1/2.y1/2] - 4y.dy = 2x - x3/2 .dy - 3 x1/2.y1/2 - 4y.dy 2y1/2 dx 2 dx 2y1/2 dx 2 dx
x3/2 . dy + 4y . dy 2y1/2 dx dx dy ( x3/2 + 4y) dx 2y1/2
=
=
2x - 3 x1/2.y1/2 2
2x - 3 x1/2.y1/2 2
2x - 3 x1/2.y1/2 dy = 2 3/2 dx ( x + 4y ) 2y1/2
=
4x - 3 x1/2.y1/2 1/2 1/2 1/2 2 = (4x - 3 x .y ).y 3/2 1/2 3/2 3/2 x + 8y.y ( x + 8.y ) 2 y1/2
En el punto (4,1) dy = {4(4) - 3 (4)1/2.(1)1/2 }.11/2 dx {(4)3/2 + 8(1)3/2}
dy = ( 10 ) ( 1 ) dx { 23 + 8 } 25.
=
10 8+8
=
=
{16 - (3)(2)(1)} (1) {(22)3/2 + (8)(1)}
10 16
=
=
{16 - 6} (1) . {(26/2) + 8}
5. 8
Demostrar que las parabolas y2 = 2px + p2 y y2 = p2 - 2px se cortan en ángulo recto. y2 = 2px + p2 1) y2 = p2 - 2px 2) 2px + p2 = p2 - 2px 2px + 2px = p2 - p2 = 0 4px = 0
Sustituyendo x = 0 en 1) y2 = p y =± p
x
=
⇒ P(0,p); P(0,-p)
0
Derivando ( 1)
Derivando (2)
y2 = 2px + p2
y2 = p2 - 2px
2y.dy = 2p.dx + d (p2) dx dx dx
2y .dy = 0 - 2p.dx dx dx
2y.dy = 2p( 1 ) + 0 dx
2y .dy = 0 - 2p.dx dx
2y .dy = 2p dx
dy = _ 2p . dx 2y
m = dy = 2p dx 2y
=
p. y
- 2p dx
m = dy = _ p . dx y
Pero : y = ± p ⇒ m = dy = p dx y
=
Pero : y = ± p =
⇒ m = dy = - p dx y
p . ± p
m1 = p = + 1 . p m2 = p = - 1. -p
m3 = -p p m4 = - p -p
=
=
=
-p . ± p
-1 . +1.
Las 2 parábolas son perpendiculares , osea que se cortan en ángulo recto , porque el producto de sus pendientes es igual a - 1 . y
y2 = p2 - 2px +p
o
x
y2 = 2px + p2
-p
26.
Demostrar que las circunferencias x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0 y x2 + y2 + 2x + y = 10 , son tangentes en el punto ( 2 , 1 ). Derivando : x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0
Derivando : x2 + y2 + 2x + y = 10
2x + 2y.dy -12.dx - 6.dy +d (25) = 0 dx dx dx dx
2x + 2y.dy + 2.dx + dy = d (10) dx dx dx dx
2x + 2y.dy -12(1) - 6.dy + 0 = 0 dx dx
2x + 2y.dy + 2(1) + dy = 0 dx dx
2x + 2y.dy -12 - 6.dy = 0 dx dx
2x + 2y.dy + 2 + dy = 0 dx dx
2y.dy - 6.dy = 12 - 2x dx dx
2y.dy + dy = - 2x - 2 dx dx
2 dy ( y - 3 ) = 2 ( 6 - x ) dx dy = 2 ( 6 - x ) = ( 6 - x ) . dx 2 ( y - 3 ) (y-3)
dy = ( 2y + 1 ) = - 2 ( x + 1 ) dx dy = - 2 ( x + 1 ) dx ( 2y + 1 )
En el punto ( 2 , 1 )
En el punto ( 2 , 1 )
dy = ( 6 - x ) dx ( y - 3 )
dy = - 2 (2 + 1) = -2 ( 3 ) = - 6 =-2 dx [2(1) + 1] ( 2 + 1 ) 3
m1 = dy = - 2 dx
=
(6-2) = 4 . (1-3) -2
m2 = dy = - 2 dx
Si sus pendientes son iguales ⇒ estas curvas son tangentes.
y
(2,1)
27.
x
Bajo que ángulo corta la recta y = 2x a la curva x2 - xy + 2y2 = 28 . y x2 - xy + 2y2 = 28 (2, 4)
y = 2x
x (-2,- 4)
x2 - xy + 2y2 = 28 y = 2x Sustituyendo el valor de y = 2x en x2 - x(2x) + 2(2x)2 = 28 x2 - 2x2 + 2(4x2) = 28
Sustituyendo el valor de x en
x2 - 2x2 + 8x2 = 28
y = 2x
7x2 = 28
y = 2(2) = 4
x2 = 28 = 4 7
y = 2(-2) = - 4
P1 (2,4) Puntos de intercepción x=± 2 P2 (-2,-4) Derivando cada curva para encontrar sus pendientes: x2 - xy + 2y2 = 28
y = 2x
2x - {x.dy + y.dx } + 4y.dy = d (28) dx dx dx dx 2x - x.dy - y(1) + 4y.dy = 0 dx dx 2x - x.dy - y + 4y.dy = 0 dx dx 4y.dy - x.dy = y - 2x dx dx dy {4y - x} dx
=
y - 2x
dy = y - 2x . dx 4y - x Sustituyendo el punto P (-2,- 4) . dy = - 4 -2(-2) = - 4 + 4 dx 4(- 4) - (-2) - 16 + 2 m1 = dy = 0 dx
=
0 = 0. - 14
tg θ = m2 - m1 = 2-0 1 + m1.m2 1 + (0)(2)
=
2 = 2 1+0
tg θ = 2 θ = arc tg(2) . θ = 630 26' 6'' .
Problemas Adicionales 1. El vertice de la parábola y2 = 2px es el centro de una elipse. El foco de la parábola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parábola y la elipse se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación de la elipse . y2 = 4px 2
2
4x + 2y
=
2
p
0 a
F(p/2,0)
·
Si y2 = 4px es el doble de : y2 = 2px El lado recto de es 4p El lado recto de sera la mitad 2p Si el lado recto es 2p, por gráfico obtenemos que F (p/2,0) El semi eje principal de la elipse es : a = p/2 El centro de la elipse es el origen (0,0) (x-h)2 + (y-k)2 a2 b2
=
1
(x-0)2 + (y-0)2 = 1 ; x2 + y2 = 1 a2 b2 a2 b2 Derivando para obtener la pendiente. x2 + y2 = 1 a2 b2 a-2.d (x2) + b-2.d (y2) = d (1) dx dx dx a-2(2x) + b-2.2y.dy = 0 dx
2y.b-2.dy = - 2x.a-2 dx dy = - 2x.a-2 = - b2x . dx 2y.b-2 a2y
m1 = - b2x . a2y
Derivando y2 = 2px para obtener m2. 2y.dy = 2p.d (x) dx dx
→
2y.dy = 2p dx
dy = 2p dx 2y
→
m2 = p . y
=
p y
Para que la parábola y la elipse se corten en ángulo recto, el producto de sus pendientes tiene que ser igual a -1. ( m1 ) ( m2 ) = - 1 . - b2x a2y
p y
=
-1.
b2 = -a2.y2 = a2.y2 . -p.x p.x 2 2 a = p . 4
; Pero: a = p . 2
Sustituyendo en el valor de a2 . b2 =
p2.y2 2 4 . = p.y p.x 4x
Sustituyendo en que es la ecuación de la elipse los valores de a2 y b2.
x2 + y2 a2 b2
=
4x2 + 4x p2 p
1
x2 y2 1 + 1 = 1 p2 p.y2 4 4x 4x2 + 4x.y2 p2 p.y2
=
4x2 + 4px p2 4x2 + 4px =
1
=
1
=
p2
1
Pero : 2y2 = 4px , sustituyendo este valor en : 4x2 + 4px 4x2 + 2y2 = p2 (Ecuación de la elipse ).
=
p2
2. Se traza un circulo de centro (2a,0) con un radio tal que el circulo corta en ángulo recto a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.Hallar el radio.
Tomamos primero a la elipse y encontramos su pendiente. Derivando : b2x2 + a2y2 = a2b2. 2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2) dx dx 2b2x + 2a2y.dy = 0 dx dy = - 2b2x dx 2a2y
=
- b2x . a2y
m1 = - b2x . a2y Luego se toma a la ecuación del circulo y se obtiene su pendiente,
cuyo centro es (2a,0).
( x - 2a )2 + ( y - 0 )2 = r2. ( x - 2a)2 + y2 = r2 Derivando: 2 (x-2a) + 2y.dy = d (r2) dx 2 (x-2a) + 2y.dy = 0 dx m2 = dy = - 2(x-2a) = - ( x - 2a ) 2y y Como el circulo corta en ángulo recto a la elipse, tomamos sus pendientes. m1 . m2 = - 1 -b2x a2y
-(x - 2a) y
=
-1
b2x ( x-2a ) = - 1 a2.y2 2 2 b x - 2ab2x = - a2y2 b2x2 + a2y2 = 2ab2x Tomamos la ecuación de la elipse: b2 + a2 = a2b2 igualamos y
b2x2 + a2y2 = a2b2 b2x2 + a2y2 = 2ab2x ⇒ 2ab2x = a2b2 x = a2b2 2ab2
=
a 2
.
Como en la ecuación de la elipse hay 2 incognitas "x" y "y", sustituimos el valor de x = a y encontramos el valor de y. 2 b2x2 + a2y2 = a2b2 b2 a 2
2
+ a2y2 = a2b2
a2b2 + a2y2 4
=
a2b2
a2y2 = a2b2 - a2b2 4 a2y2 = 3a2b2 4 2 2 2 y = 3a b = 3b2 4a2 4 Como nos piden hallar el radio del circulo, sustitituimos: x = a/2 y y2 = 3b2/4 en la ecuación del circulo de centro ( 2a , 0 ).
( x-2a)2 + y2 = r2
r2 = 9a2 + 3b2 4
2
a -2a 2 - 3a 2
2
+ 3b2 = r2 4
+ 3b2 4
=
9a2 + 3b2 4
r=
r = √ 9a2 + 3b2 2
r2
=
1 √9a2 + 3b2 2
.
3. Se une un punto cualquiera "p" de una elipse con los focos. Demostrar que estas rectas forman con la normal a la curva en "p" ángulos agudos iguales. Suponiendo la ecuación de la elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2. y Encontrando su pendiente, derivando: P(x,y) 2b2x + 2a2y.dy = 0 dx F'(-c,o) F(c,o) dy = - 2b2x = - b2x . 2 2 dx 2a y ay Ahora la pendiente de la Normal sera:
dx -1= -1 m - b2x a2y
=
a 2y b2x
=
Normal.
Según el gráfico: Pendiente FP = y - 0 x-c
=
y ; Pendiente F'P = y - o = y . x-c x - (-c) x + c
Aplicando la fórmula de un ángulo formado por 2 rectas:
tg θ = m2 - m1 . 1 + m1.m2 Primero para el ángulo α. tg α =
y - a2y x-c b2x 1 + a2y y
. .
b2x x-c b2xy - (a2y)(x-c) 2 2 2 2 2 2 tg α = (x-c)b2x) = b xy - a xy + a cy = xy (b -a ) + a cy . b2x(x-c) + a2y2 b2x2 - b2xc + a2y2 b2x2 - b2xc + a2y2 (b2x)(x-c) Pero de la ecuación de la elipse : b2x2 + a2y2 = a2b2 , despejamos a2y2 a2y2 = a2b2 - b2x2 Y según la relación de la elipse: a2 = b2 + c2 a2 - b2 = c2 Sustituyendo estos valores y en tg α tg α = xy (b2 - a2) + a2cy b2x2 - b2xc + a2y2 tg α =
=
- xy (a2 -b2) + a2cy . b x - b2xc + (a2b2 - b2x2) 2 2
- xy ( c2) + a2cy b2x2 - b2xc + a2b2 - b2x2
=
- c2xy + a2cy = cy ( a2 - cx ). a2b2 - b2xc b2 (a2 - cx )
tg α = cy . b2 Luego calculando el ángulo β: a2y - y . a2y ( x+c)-b2xy tg β = b2x x + c = (b2x )(x + c) = a2xy + a2cy - b2xy . 1+ y a2y (x+c)(b2x)+a2y2 b2x2 + b2cx + a2y2 x+c b2x (x+c)(b2x) tg β = xy ( a2 - b2 ) + a2cy
b2x2 + b2cx + a2y2 Sustituyendo estos valores y en tg β tg β =
xy (c2) + a2cy b x + b2cx + a2b2 - b2x2 2 2
=
c2xy + a2cy b2cx + a2b2
=
cy (cx+a2) . b2(cx+a2)
tg β = cy . b2 Como : tg α = tg β = cy . ⇒ sus ángulos son iguales, α = β b2 4. Demostrar que la recta Bx + Ay = AB es tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.únicamente si se verifica que: B2a2 + A2b2 = A2B2 Para demostrar que la recta es tangente a la elipse, sus pendientes tienen que ser iguales.
Derivamos para cálcular la pendiente de Bx + Ay = AB d (Bx) + d (Ay) = d (AB) dx dx dx B.dx + A.dy = B + A.dy = 0 dx dx dx dy = _ B . dx A Pendiente de la elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2 d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2) dx dx dx 2b2x + 2a2y.dy = 0 dx
dy = _ 2b2x dx 2a2y
=
_ b2x . a2y
Igualando ambas pendientes: _ B A b2x a2y
=
=
_ b2x . a2y
B . A
x = a2By . Sustituyendo en Ab2 b2x2 + a2y2 = a2b2 b2 a2By 2 + a2y2 = a2b2 Ab2 a4b2B2y2 + a2.A2.b4.y2 = a2.b2.A2.b4 a2.b2.y2(a2.B2 + A2.b2) = a2.b2.A2.b4 y2
=
a2.b2.A2.b4 . 2 2 2 2 a .b (a .B + A .b ) 2
2
A2.b4 . 2 2 2 2 (a .B + A .b ) 2 2 2 y= √A2.b4 A.b2 = = A.b = A.b = b √(a2.B2 + A2.b2) √(a2.B2 + A2.b2) √A2.B2 A.B B y=
Como esta en función de "y",entonces reemplazamos el valor de y en "x". x = a2By . Ab2
a2.B.A.b2 .
x = √a2B2 + A2b2 A.b2 1
=
a2.B.A.b2 . 2 2 2 2 2 A.b √a B + A b
Pero: a2B2 + A2b2 = A2B2, reemplazando en "x". x = a2.B = a2.B = a2 . √A2B2 A.B A x = a2 . A Sustituyendo ahora el valor de "x"e "y"en Bx + Ay = AB B a2 + A b2 A B a2B + Ab2 A B
=
=
AB
AB
a2.B2 + A2.b2 = AB AB a2B2 + A2b2
=
A2B2
B2a2 + A2b2 = A2B2 . { L.q.q.d. (Lo que se queria demostrar)}.
Problemas. Pagina 56 Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las curvas siguientes en el punto dado. 2.
y = x3 - 3x ; (2,2)
dy = 3x2 - 3 . Sustituyendo: P(2,2) en la derivada o pendiente. dx m = dy = 3 (2)2 - 3 = 12 - 3 = 9 dx Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - 2 = 9 (x - 2) y - 2 = 9x - 18 0 = 9x - y - 18 + 2 = 0 9x - y - 16 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = _ 1 (x - x1) m1 y - 2 = - 1 (x - 2) 9 9y - 18 = - x + 2 3.
x + 9y - 20 = 0 y = 2x + 1 ; (2,5) 3-x (3-x).d (2x+1) - (2x+1).d (3-x) dy = dx dx . dx (3-x)2
dy = (3-x)(2) - (2x+1)(-1) dx (3-x)2 dy = 6 - 2x + 2x + 1 dx (3-x)2 m = dy = 7 . Pero: P (2,5) dx (3-x)2 m=
7 (3 - 2)2
=
7 = 7 (1)2 1
=
7.
Ecuación de la tangente: y - y1 = m (x - x1) y - 5 = 7 (x - 2) y - 5 = 7x - 14 = 0 7x - y = - 9 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 5 = - 1 (x - 2) 7 7y - 35 = - x + 2 x + 7y - 37 = 0 4.
2x2 - xy + y2 = 16 ; (3,2)
Derivando para encontrar la pendiente: 4x - {x.dy + y.dx } + 2y.dy = d (16) dx dx dx dx 4x - x.dy - y ( 1 ) + 2y.dy = 0 dx dx 4x - x.dy - y + 2y.dy = 0 dx dx dy (2y - x ) = y - 4x dx dy = y - 4x . Pero : P (3,2) dx 2y - x m = dy = 2 - 4(3) dx 2(2) - 3
=
2 - 12 4-3
=
- 10 1
=
- 10
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m(x - x1) . Sustituyendo: m = - 10 y P(3,2). y - 2 = - 10 (x - 3) y - 2 = - 10x + 30 10x + y - 32 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 2 = - 1 (x - 3 )
-10 -10(y - 2) = - (x - 3) ; -10y + 20 = - x + 3 x - 10y + 17 = 0 5.
y2 + 2y - 4x + 4 = 0 2y.dy + 2.dy - 4.dx + d (4) = 0 dx dx dx dx 2y.dy + 2.dy - 4(1) + 0 = 0 dx dx 2y.dy + 2.dy - 4 = 0 dx dx 2.dy ( y + 1) = 4 dx m = dy = 4 2 . Pero: P(1,-2) = dx 2(y + 1) (y + 1) m=
2 = 2 (-2) + 1 -1
=
- 2.
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - (-2) = - 2 (x - 1) y + 2 = - 2x + 2 2x + y + 2 - 2 = 0 2x + y = 0
Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) y - (-2) = - 1 (x - 1) -2 y + 2 = 1 (x - 1) 2 2y + 4 = x - 1 = 2y + 4 . x - 2y - 5 = 0 6. Obtener las ecuaciones de la tangente y de la normal en ( x1 , y1) a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
Derivando la curva: b2x2 + a2y2 = a2b2 2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2) dx dx 2b2x + 2a2y.dy = 0 dx 2a2y.dy = - 2b2x dx dy = - 2b2x dx 2a2y
=
- b2x . a2y
m = - b2x .Pero : m1 = - b2x1 . a2y a2y1 Ecuación de la Tangente: y - y1 = m(x - x1) en el punto P (x1,y1) y - y1 = - b2x1 (x - x1)
a2y1 a2y1 (y - y1) = - b2x1 (x - x1) a2y1 y - a2y1.y1 = - b2x1.x + b2x1.x1 a2y1 y - a2y12 = - b2x1.x + b2x12 b2x1.x + a2y1.y = a2y12 + b2x12 Pero: b2x2 + a2y2 = a2b2 b2x12 + a2y12 = a2b2 ⇒ b2x1x + a2y1y = a2b2 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - y1 = - 1 ( x - x1) -b2x1 a2y1 y - y1 = a2y1 (x - x1) b2x1 b2x1 (y - y1) = a2y1 (x - x1) ; b2x1.y - b2x1.y1 = a2y1.x - a2y1.x1 a2y1.x1 - b2x1.y1 = a2y1.x - b2x1.y x1.y1 = (a2 - b2) = a2.y1.x - b2.x1.y . Ordenando:
a2.y1.x - b2.x1.y = x1.y1 = (a2 - b2) 7. Hallar las ecuaciones de la tangente y la Normal, y las longitudes de la sub-
tangente y la sub-normal, en el punto(x1,y1) de la circunferencia x2 + y2 = r2.
Primeramente derivando la curva: x2 + y2 = r2. 2x + 2y.dy = 0 dy = - 2x = - x .Ahora la pendiente en P (x1,y1) dx 2y y m = - x1 . y1 Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - y1 = - x1 (x - x1) y1 y1 (y - y1) = - x1 (x - x1) y1.y - y1.y1 = - x1.x + x1.x1 y1.y - y12 = - x1.x + x12 x1x + y1y = y12 + x12 Pero: x2 + y2 = r2 x12 + y12 = r2 Como: y12 + x12 = x12 + y12 = r2 ⇒ x1x + y1y = r2 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - y1 = - 1 (x - x1)
-x1 y1 y - y1 = y1 (x - x1) x1 x1 (y - y1) = y1 (x - x1) x1.y - x1.y1 = y1.x - y1.x1 y1x - x1y = x1y1 - y1x1 .
ordenando:
y1x - x1y = x1y1 - x1y1 y1x - x1y = 0 o tambien : x1y - y1x = 0 Longitud de la sub-tangente: y1 . m1 y1 = - y12 -x1 x1 y1
Longitud de la sub-normal: m1.y1 - x1 y1 = - x1. y1 8. Demostrar que la sub-tangente de la parábola y2 = 2px es bisecada por el vértice, y que la sub-normal es constante e igual a p. Derivando para obtener la pendiente en P(x1,y1)
y2 = 2px
2y.dy = 2p.dx dx dx dy = 2p(1) dx 2y
=
p . ⇒m = p . y1 y1
Ecuación de la tangente: y - y1 = m(x - x1) y - y1 = p (x - x1) y1 y.y1 - y1.y1 = p.x - p.x1 y.y1 - y12 = p.x - p.x1 Pero, la ecuación de la parábola: y2 = 2px y12= 2px1 ⇒ y.y1 - 2px1 = p.x - p.x1 y.y1 - 2px1 + px1 - p.x = 0 y.y1 - p.x1 - p.x = 0 (ecuación de la tangente) Luego encontrando la intercepción de la tangente con el eje "x". y = 0 x = - x1 ⇒ las coordenadas de T (- x1, 0) Por gráfico observamos que las coordenadas de M (x1,0) ⇒ demostraremos que TO = OM.
TO = {0 -(-x1) + (0 - 0)2} = ( x1 )2 = x1 = TO OM = {(x1 - 0)2 + (0 - 0)2 = (x1)2 = x1 ⇒ TO
=
OM.
Ahora demostraremos que "P" es igual a la sub-normal. Según gráfico: MN = sub-normal. MN = y1.m1 .sabiendo que m = p , ⇒ m1 = p . y1 y1 MN = y1.m1 = y1.p = p y1 Obtener las ecuaciones de la Tangente y la Normal, y las longitudes de la sub-tangente y la sub-normal de cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados.
9.
ay = x2 ; (a,a) y = x2 a
=
1 .x2 a
dy = 1 (2x) en el punto (a,a) dx a dy = 2 a = 2 . dx
a
.
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - a = 2 (x - a) y - a = 2x - 2a 2x - y - 2a + a = 0 2x - y - a = 0
Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) y - a = - 1 (x - a) 2 2(y - a) = - (x - a) 2y - 2a = - x + a x + 2y -2a - a = 0 = x + 2y - 3a.
Longitud de la sub-tangente: y1 = a m1 2
.
Longitud de la Sub-normal: y1.m1 (a)(2) = 2a.
10.
x2 - 4y2 = 9 ; (5,2) Derivando para obtener la pendiente en P (5,2) 2x - 8y.dy = 0 dx 2x = dy 8y dx
=
x = 5 = 5. 4y 4(2) 8
m= 5 . 8 Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m(x - x1) y - 2 = 5 (x - 5) 8 8(y - 2) = 5(x - 5) 8y - 16 = 5x - 25 = 5x - 8y - 25 + 16 = 5x - 8y - 9 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 2 = - 1 (x - 5) 5 . 8 y - 2 = - 8 (x - 5) 5 5(y - 2) = - 8 (x - 5) 5y - 10 = - 8x + 40 8x + 5y - 10 - 40 = 8x + 5y - 50 = 0
Longitud de la sub-tangente: y1 = 2 m1
11.
Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = 5 (2) = 10 = 5 . 8 8 4 2 2 9x + 4y = 72 ; (2,3). Derivando para obtener la pendiente en P (2,3) 18x + 8y.dy = d (72) dx dx
18x + 8y.dy = 0 dx 9 m = dy = - 18 x dx 8y 4
=
- 9x 4y
=
- 9(2) 4(3)
=
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - 3 = - 3 (x - 2) 2 2(y - 3) = - 3 (x - 2) 2y - 6 = - 3x + 6 3x + 2y - 6 - 6 = 0 = 3x + 2y - 12 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 3 = - - 3 (x - 2) . 2 2(y - 3) = 3 (x - 2)
2y - 6 = 3x - 6 3x - 2y -6 + 6 = 0 3x - 2y = 0 Longitud de la Sub-tangente:
3 - 18 12 2
=
-3. 2
y1 = 3 m1 -3 2
=
- 6 =-2 3 .
.
Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = - 3 (3) = - 9 . 2 12.
2
xy + y2 + 2 = 0 ; ( 3, - 2 ) . Derivando para obtener la pendiente en P(3, - 2 ) x.dy + y.dx + 2y.dy + 0 = 0 dx dx dx x.dy + y (1) + 2y.dy = 0 dx
dx
x.dy + y + 2y.dy = 0 dx dx dy (x + 2y) = - y dx m = dy = - y dx x + 2y
=
- (-2) = 2 = 2 = - 2. 3 + 2(-2) 3 - 4 - 1
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m (x - x1) y - (-2) = -2(x - 3) y + 2 = -2x + 6
2x + y + 2 - 6 = 0 2x + y - 4 = 0 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - (-2) = - 1 (x - 3) -2 y + 2 = (x - 3 ) 2 2(y + 2) = x - 3 2y + 4 = x - 3 0 = x - 2y -3 - 4 = x - 2y - 7 = 0 Longitud de la Sub-tangente: y1 m1
=
-2 -2
=
1
Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = (-2)(-2) = 4 13. Cálcular el área del triángulo que forman el eje de las "x". y la tangente y la normal a la curva y = 6x - x2 en el punto (5,5).
Derivamos para encontrar la pendiente en P(5,5). y'= 6 - 2x y'= 6 - 2(5) = 6 - 10 = - 4 = m . m =- 4 . Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1) y - 5 = - 4(x - 5) y - 5 = - 4x + 20 4x + y - 5 - 20 = 0 4x + y - 25 = 0 Ahora encontramos la intercepción de la tangente con el eje "x".
Cuando y = 0 ; 4x + y - 25 = 0 4x + 0 - 25 = 0 4x = 25 x = 25 . 4 N(25/4 , 0) Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 5 = - 1 (x - 5) -4 =
- 4(y - 5) = - (x - 5)
=
- 4y + 20 = - x + 5
x - 4y + 20 - 5 = 0 x - 4y + 15 = 0 Ahora encontramos la intercepción de la Normal con el eje de las "x".
Cuando y = 0 ; x - 4y + 15 = 0 x - 4(0) + 15 = 0
x - 0 + 15 = 0 x = - 15 ⇒ M( - 15, 0). Cálculando la distancia MN = base del triángulo. {25 - (- 15)}2 + (0 - 0)2 4
=
25 + 15 4
2
=
85 2 4
=
85 . 4
Area del Triángulo PMN = b . h . 2 Base = 85 ; h = PS = 5 4 85 ( 5). 4 2
=
85 . 5. 1 4(2)
=
425 unidades2. 8
14. Hallar el área del triángulo que forman el eje de las "y" , la tangente y la normal a la curva y2 = 9 - x en el punto (5,2) Derivamos para encontrar la pendiente en el punto(5,2). y2 = 9 - x 2y.dy = 0 - dx . dx dx 2y.dy = - 1 dx m = dy = - 1 dx 2y
=
-1 =-1 . 2(2) 4
Ecuación de la Tangente: y - y1 = m(x - x1) y - 2 = - 1 (x - 5) 4
4(y - 2) = - (x - 5) 4y - 8 = - x + 5 x + 4y - 8 - 5 = 0 x + 4y - 13 = 0 El intercepto con el eje "y". Cuando x = 0 ; x + 4y - 13 = 0 0 + 4y - 13 = 0 4y = 13 y = 13 . M(0 ,13/4) 4 Ecuación de la Normal: y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 2 = - 1 (x - 5) -1 4 y - 2 = 4 (x - 5) y - 2 = 4x - 20 4x - y - 18 = 0 El intercepto de la normal con el eje "y". Cuando x = 0 ; 4x - y - 18 = 0
.
4(0) - y - 18 = 0 0 - y - 18 = 0 =
- 18 = y = - 18
N(0 , - 18) Cálculando la distancia MN = base del triángulo. MN = (0 - 0)2 + (- 18 - 13/4)2
=
(- 85/4)2
=
85/4.
Area del triángulo = b.h . 2 base = MN = 85/4. Altura = 5 ( por gráfico se encontro esta altura). 85 (5) 4
=
2 1
85 . 5 . 1 = 425 unidades2. 4.2
8
Hallar los ángulos de intercepción de cada uno de los siguientes pares de curvas.
15.
y2 = x + 1 , x2 + y2 = 13 Primero encontramos los puntos de intercepción. y2 = x + 1 2 2 x + y = 13 y2 = x + 1 y2 = 13 - x2
x + 1 = 13 - x2 x2 + x - 12 = 0 (x + 4) (x - 3) = 0 Interceptos: x=-4 x=3
M ( 3 , 2 ) ; R ( - 4 , √3 i ) N ( 3 , - 2 ) ; S ( - 4 , - √3 i )
Ahora encontramos las pendientes de cada curva. y2 = x + 1 2y.dy = dx + 0 dx dx 2y.dy = 1 ; dx
m1 = dy = 1 . dx 2y
Sustituyendo para (3,2). dy = 1 dx (2)(2)
=
1 . 4
x2 + y2 = 13 2x + 2y.dy = 0 dx m2 = dy = - 2x dx 2y
=
- x . Para (3,2) ; m2 = - 3 . y 2
Concluimos encontrando el ángulo de intercepción. -3 - 1 -6 - 1 tg θ = m2 - m1 = 2 4 = 4 4 1 + m1 . m2 1 + ( -3 ) ( 1 ) 1 - 3
=
-7 4 5
.
=
- 56 = 20
2 4 8 8 0 tg θ = - 14 . → θ = arc tg ( - 14 ) = 109 39' 13". 5 5 16.
y = 6 - x2 ; 7x2 + y2 = 32 Primero encontramos los puntos de intercepción. y = 6 - x2 7x2 + y2 = 32
x2 = 6 - y x2 = 32 - y2 7
6 - y = 32 - y2 . 7 7(6 - y) = 32 - y2 42 - 7y = 32 - y2 y2 - 7y + 42 - 32 = 0 y2 - 7y + 10 = 0 (y - 5 ) (y - 2 ) = 0 y=5 y=2
Sustituyendo en y los valores de "y". x2 = 6 - y = 6 - 5 = 1 . x = ± 1. ⇒ M(1 , 5) M(-1, 5)
x2 = 32 - y2
=
32 - 4 7
=
28 7
=
4. → x = ± 2. ⇒ 7
N(2 , 2) N(-2 , 2)
Ahora encontramos las pendientes de cada curva, trabajamos
para esto con los valores positivos, M(1,5) ; N(2,2) Para N(2,2). y = 6 - x2
m2 = dy = 0 - 2x = - 2x = - 2(2) = - 4 dx 7x2 + y2 = 32
14x + 2y.dy = 0 dx m1 = dy = - 14x = - 7x dx 2y y
=
- 7( 2 ) 2
=
- 7.
Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (2,2). tg θ = m2 - m1 = - 4 - (- 7) = - 4 + 7 = 3 = 0,1034482758621 1 + m1.m2 1 + (-7)(- 4) 1 + (28) 29 θ = arc tg (0,1034482758621) = 50 54' 22". El valor de las pendientes de cada curva en (1,5) m1 = - 2x = - 2( 1 ) = - 2. m2 = - 7x = - 7 ( 1 ) = - 7 . y 5 5 Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (1,5) Tg θ = m2 - m1 = - 7/5 - (- 2) 1 + m1.m2 1 + (-2)(-7/5)
=
- 7/5 + 2 1 + 14/5
=
3/5 = 3 . 19/5 19
Tg θ = 3 → θ = arc tg ( 3 ) = 0,1578947368421 = 80 58' 21". 19 19
17.
y = x2
; y2 - 3y = 2x
y = x2 y2 - 3y = 2x
Sustituyendo en (x2)2 - 3(x2) = 2x x4 - 3x2 - 2x = 0 x(x3 - 3x - 2 ) = 0 x=0 x3 - 3x - 2 = 0 (x + 1) (x+ 1) (x - 2) = 0 x+1=0 x=-1 x-2=0 x=2
Cálcular los Máximos y Mínimos de cada una de las Funciones Siguientes. Página 69. 1.
x3 - 6x2 + 9x Primeramente derivamos: f(x) = x3 - 6x2 + 9x. f '(x) = 3x2 - 12x + 9. Luego igualamos la primera derivada igual a cero. f '(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3 ) = 0. f '(x) = (x - 3)(x - 1) = 0 de donde: x = 3 ; x = 1, estos serian los valores críticos. Luego: Para x = 3, se toma un número menor a 3, el más pequeño, se sustituye en la primera derivada. x < 3 = 2,9. f '(x) = (x - 3)(x - 1) f '(x) = ( 2,9 - 3 )( 2,9 - 1 ) = (- 0,1 ) ( + 1,9) = - 0,19 .
Para esta clase de resultados, no es necesario hacer el próceso numérico, solamente interesa el signo. Asi en el caso: (- 0,1) ( + 1,9) = " - " . Este signo negativo lo almacenamos como un primer resultado. Luego:Para x = 3,se toma un número mayor que 3, el más pequeño,este se sustituye en la primera derivada. x > 3 = 3,1 f '(x) = (x - 3)(x - 1). f '(x) = (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+) (+) = " + ". Este signo positivo seria el segundo resultado
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un valor Mínimo . Para saber cuanto es este valor Mínimo, reemplazamos el valor crítico: x = 3 en f (x). f(x) = x3 - 6x2 + 9x. f(3) = 33 - 6(3)2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 54 - 54 = 0 ⇒ en, x = 3 hay un Mínimo = 0. Tomando el otro valor crítico: x = 1. Se toma un número menor que 1, el más pequeño,este se sustituye en la primera derivada. x < 1 = 0,9. f '(x) = (x - 3)(x - 1) f '(x) = (0,9 -3)(0,9 -1) = ( - )( - ) = " + ". Este signo es el primer resultado. Luego: para x = 1, se toma un número mayor que 1, el más pequeño,este se sustituye en la primera derivada. x > 1 = 1,1. f '(x) = (x - 3)(x - 1). f '(x) = (1,1 - 3)(1,1 - 1) = (-) (+) = "-". Este signo negativo es el segundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un valor "Máximo". Para saber cuanto es este valor Máximo, reemplazamos el valor crítico , x = 1 en f (x). f(x) = x3 - 6x2 + 9x. f(1) = 13 - 6(1)2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 ⇒ en, x = 1 hay un Máximo = 4 2.
10 + 12x - 3x2 - 2x3 f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3 f '(x) = 12(1) - 6x - 6x2 = 12 - 6x - 6x2.
f '(x) = - 6 (- 2 + x + x2) = 0 f '(x) = - 6 (x2 + x - 2) = 0 f '(x) = - 6(x + 2) (x - 1) = 0 (x + 2) = 0 x = - 2. (x - 1) = 0 x = + 1. Primero para x = - 2. x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1) f '(x) = - 6 (- 2,1 + 2)(- 2,1 - 1) f '(x) = - 6 ( - )( - ) = " - ". Luego: x > - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1) f '(x) = - 6 (- 1,9 + 2)(- 1,9 - 1) f '(x) = - ( + )( - ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un valor Mínimo . Sustituimos x = -2 en f(x) para encontrar el valor númerico del Mínimo. f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3 f(- 2) = 10 + 12(- 2) - 3(- 2)2 - 2(- 2)3 f(- 2) = 10 - 24 - 12 + 16 = 26 - 36 = - 10. f(- 2) = - 10. ⇒ en x = - 2 hay un Mínimo = - 10. Para x = 1 x < 1 = 0,9.
Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1) f '(x) = - 6 (0,9 + 2)(0,9 - 1) f '(x) = - ( + )( - ) = "+". Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada: f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1) f '(x) = - 6 (1,1 + 2)(1,1 - 1) f '(x) = - 6 ( + )( + ) = "-". Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x = 1 en f(x) para encontrar el valor numérico del Máximo. f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3 f(1) = 10 + 12(1) - 3(1)2 - 2(1)3 f(1) = 10 + 12 - 3 - 2 = 17 ⇒ en x = 1 , hay un Máximo = 17. 3.
2x3 + 3x2 + 12x - 4. f(x) = 2x3 + 3x2 + 12x - 4. f '(x) = 6x2 + 6x + 12. f '(x) = 6(x2 + x + 2). El trinomio (x2 + x + 2) no se puede factorizar, ⇒ la función no tiene ni Máximos ni Mínimos.
4.
x3 + 2x2 - 15x -20. f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20. f '(x) = 3x2 + 4x - 15.
f '(x) = (3x)2 + 4(3x) - 45 = 0 f '(x) = (3x + 9) (3x - 5) = 0 3x1 f '(x) = (x + 3) (3x - 5) = 0 (x + 3) = 0 x = - 3. (3x - 5) = 0 x= 5 . 3 Primero cálculamos para x = - 3. x < - 3 = - 3,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = (x + 3) (3x - 5) f '(x) = (- 3,1 + 3) [3(- 3,1) - 5] = 0 f '(x) = ( - 0,1 ) (- 9,1 - 5) = 0 f '(x) = ( - ) ( - ) = " + ". Luego: x > - 3 = - 2,9. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = (x + 3) (3x - 5) f '(x) = (- 2,9 + 3) [3(- 2,9) - 5] f '(x) = ( + 0,1) ( - 5,7 - 5) f '(x) = ( + ) ( - ) = "-". Puesto que el signo de la derivada cambia de "+"a "-"la función tiene un valor Máximo . Sustituimos x = - 3 en f (x) para encontrar el valor del Máximo. f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20. f(- 3) = (- 3)3 + 2(- 3)2 - 15(- 3) - 20
f(x) = - 27 + 18 + 45 - 20 = - 47 + 63 = + 16. ⇒ en x = - 3 hay un Máximo = 16. Para x = 5/3. x < 5/3 = 4/3. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = (x + 3) (3x - 5). f '(x) = (- 4/3 + 3) [3(-4/3 - 5] f '(x) = (-4/3 + 9/3) [3(- 4/3) - 5] f '(x) = (+ 5/3 ) (- 12/3 - 5) f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ". Luego: x > 5/3 = 6/3 Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = (x + 3) (3x - 5). f '(x) = (6/3 + 3) [3(6/3) - 5] f '(x) = ( 6/3 + 9/3) [3(6/3) - 5)] = (15/3) (18/3 -15/3) f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de "- "a "+ " la función tiene un valor Mínimo . Sustituimos x = 5/3 en f (x ) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20. f( 5/3) = (5/3)3 + 2(5/3)2 - 15(5/3) -20. f( 5/3) = 125/27 + 2(25/9) - 75/3 - 20 f( 5/3) = 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27 f( 5/3) = 125/27 + 150/27 - 675/27 - 540/27 f( 5/3) = 275/27 - 1215/27 f( 5/3) = - 940/27 ⇒ en x = 5/3 hay un Mínimo = - 940/27. 5.
2x2 - x4 f (x) = 2x2 - x4
f '(x) = 4x - 4x3 f '(x) = 4x(1 - x2) = 0 4x = 0 x=0 1 - x2 = 0 1 = x2 = 1 x=± 1 Valores Críticos: x = 0 , x = 1 , x = - 1 Para x = 0 x < 0 = - 0,1 Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(1 - x2) f '(- 0,1) = 4x(1 + x)(1 - x) f '(- 0,1) = 4(- 0,1)[1 +(-0,1) ][1 - (-0,1)] f '(- 0,1) = (- 4,1) (1 - 0,1) (1 + 0,1) f '(- 0,1) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ". Luego: x > 0 = 0,1 Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x) f '(0,1) = 4(0,1)(1 + 0,1)(1 - 0,1) f '(0,1) = (+ 4,4)(+ 1,1)(+ 0,9) f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de " - "a " + " la función tiene un valor Mínimo . Sustituimos x = 0 en f (x) para encontrar el valor Mínimo. f (x) = 2x2 - x4 f (0) = 2(0)2 - (0)4 f (0) = 0 - 0. ⇒ en x = 0 existe un Mínimo = 0. Para: x = 1 x < 1 = 0,9, Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x) f '(0,9) = 4(0,9)(1 + 0,9)(1 - 0,9) f '(0,9) = ( + )( + )( + ) = " + " . Luego:x >1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x) f '(1,1) = 4(1,1)(1 + 1,1)(1 - 1,1) f '(1,1) = ( + )( + )( - ) = "-". Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la función tiene un valor Máximo.
Sustituimos x = 1 en f (x) para encontrar el valor Máximo. f(x) = 2x2 - x4 f (1) = 2(1)2 - (1)4 f (1) = 2 - 1 = 1 f (1 ) = 1 ⇒ en x = 1 existe un Máximo = 1. Para: x = - 1. x < - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x) f '(-1,1) = 4(- 1,1)[1 + (- 1,1)] [1 - (- 1,1)] f '(-1,1) = (- 4,4)(1 - 1,1)(1 + 1,1) f '(-1,1) = ( - )( - )( + ) = "+". Luego: x > -1 = - 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x) f '( - 0,9) = 4(- 0,9)[1 + (-0,9)] 1 - (- 0,9)] f '( - 0,9) = ( -3,6) (1 - 0,9) (1 + 0,9) f '( - 0,9) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ". Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "-" la función tiene un valor Máximo.
Como colofon sustituimos x = - 1 en f (x) para encontrar el valor Máximo. f (x) = 2x2 - x4
6.
f (-1) = 2(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1 ⇒ en x = - 1 existe un Máximo = 1. x4 - 4x f (x) = x4 - 4x f '(x) = 4x3 - 4 f '(x) = 4 (x3 - 1) = 0 x3 - 1 = 0 . ⇒ x = 1 . Para : x = 1 x < 1 = 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4 (x3 - 1) f '(x) = 4 [(0,9)3 - 1] f '(x) = 4 [(0,729 - 1] f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ". Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4 [(1,1)3 - 1] f '(x) = 4 (1,331 - 1) f '(x) = ( + ) ( + ) = "+". Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la función tiene un valor Mínimo.
Sustituimos x = 1 en f (x), para encontrar el valor Mínimo. f (x) = x4 - 4x f (1) = (1)4 - 4(1) f (1) = 1 - 4 = - 3 f (1) = - 3. ⇒ en x = 1 existe un Minimo = - 3. 7.
x4 - x2 + 1. f (x) = x4 - x2 + 1. f '(x) = 4x3 - 2x = 0. f '(x) = 4x(x2 - 1 ) = 0.
2 x=0 x2 - 1 = 0 2 x2 = 1 2
=
1 = √2 . √2 2
x = ± √2 . 2 x=0 Valores Críticos: x = + √2 2 x = - √2 2 Para: x = 0 x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0. f '(x) = 4(- 0,1) [(- 0,1)2 - 1] f '(x) = (- 4,4) [0,01 - 1) f '(x) = ( - ) ( - ) = "+". Luego: x > 0 = 0,1 , al igual que la anterior se reemplaza en f '(x). f '(x) = 4(0,1) [(0,1)2 - 1] f '(x) = (0,4) (0,01 - 1) f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x = 0 en f (x), para encontrar el valor Máximo. f (x) = x4 - x2 + 1. f (0) = (0)4 - (0)2 + 1 = 0 - 0 + 1. f (0) = 1.
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 1 Para: x = + √2 = 1,414213562373 = 0,7071067811865 2 2 x < 0,7071… = 0,7. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0. f '(x) = 4(0,7) [(0,7)2 - 1/2] f '(x) = (2,8) [(0,49 - 0,5] f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 0,7071… = 0,71. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 4(0,71) [(0,71)2 - 1/2) f '(x) = (2,84) [0,5041 - 0,5] f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x = √2/2 ,en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f (x) = x4 - x2 + 1. f(√2/2) = (2/2)4 - (√2/2)2 + 1 f(√2/2) = (√2)4 - (√2)2 + 1 24 22 3 f(√2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 = 12 = 3 . 16 4 16 16 16 16 4 4 ⇒ en x = √2 hay un Mínimo = 3 . 2 4 Para: x = - √2 2
=
- 1,414213562373 2
=
- 0,7071067811865
x < - 0,7071… = - 0,71. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4(- 0,71) [(- 0,71)2 - 1/2]
f '(x) = (- 2,84) (0,5041 - 0,5) f '(x) = ( - ) ( + ) = " - ". Luego: x > - 0,7071 = - 0,69 . Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0. f '(- 0,69) = 4(-0,69) [(- 0,69)2 - 1/2] f '(- 0,69) = (- 2.76) (0.4761 - 0,5) f '(- 0,69) = ( - ) ( - ) = "+". Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un Mínimo . Sustituimos x = - √2/2 en f (x ) para encontrar el Mínimo. f (x) = x4 - x2 + 1 f (- √2/2) = - √2 4 - - √2 2 + 1 2 2 f (- √2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 16 4 16 16 16
=
⇒ en x = - √2 hay un Mínimo = 3 . 2 4 8.
3x4 - 4x3 - 12x2 f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 f '(x) = 12x3 - 12x2 - 24x. f '(x) = 12x(x2 -x - 2) = 0 f '(x) = x (x - 2) (x + 1) = 0 Valores Críticos : x = 0 ; x = 2 ; x = - 1.
20 - 8 = 12 16 16 16
=
3. 4
Para: x = 0 x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera deriovada. f '(x) = x (x -2) (x + 1) f '(x) = (-0,1) (- 0,1 - 2) (- 0,1 +1) f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = "+ ". Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x (x -2) (x + 1) f '(x) = (0,1) ( 0,1 -2 ) (0,1 + 1) f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la funcion tiene un valor Máximo. Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo. f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 f(x) = 3(0)4 - 4(0)3 - 12(0)2 f(x) = 0 - 0 - 0 = 0 Cuando :
x=0 Máximo = 0
Para : x = 2 x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x (x -2) (x + 1) f '(x) = (1,9) (1,9 -2) (1,9 + 1) f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = " - ". Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x (x -2) (x + 1) f '(x) = (2,1)( (2,1 -2) (2,1 + 1) ( + ) ( + ) ( + ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "- " a "+" la función tiene un valor Mínimo .
Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 f(2) = 3(2)4 - 4(2)3 - 12(2)2 = 48 - 32 - 48 = - 32 f(2) = - 32. ⇒ en x = 2 existe un Mínimo = - 32. Para: x = - 1. x < - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x (x -2) (x + 1) f '(x) = (- 1,1) (-1,1 -2) (- 1,1 + 1) f '(x) = ( - ) ( - ) ( - ) = " - ". Luego: x > - 1 = - 0,9. Se sustituye este este valor en la primera derivada f '(x) = (- 0,9) (- 0,9 -2) (- 0,9 + 1) f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la x función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x = - 1 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2. f(-1) = 3(-1)4 - 4(-1)3 - 12(-1)2 f(-1) = 3(1) - 4(-1) - 12(1) = 3 + 4 - 12. f(-1) = - 5. ⇒ en x = - 1 existe un Mínimo = - 5 9.
x5 - 5x4. f(x) = x5 - 5x4. f '(x) = 5x4 - 20x3. f '(x) = 5x4 - 20x3 = 0
f '(x) = 5x3(x - 4) = 0 f '(x) = x3 = 0. x = 0. x - 4 = 0. x = 4. Para: x = 0 x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 5x3(x - 4) f '(x) = (+ 5)(- 0,1)3 [(- 0,1) - 4]. f '(x) = (+ 5)(- 0,001) (- 4,1) f '(x) = ( + ) ( - ) ( - ) = " + ". Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye en la primera derivada. f '(x) = 5x3(x - 4) f '(x) = 5(0,1)3 [(0,1) - 4] f '(x) = (5)( 0.001) ( 0,1 - 4) f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ". Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo. f(x) = x5 - 5x4 f(0) = (0)5 - 5(0)4 = 0 - 0 = 0 ⇒ en x = 0 hay un Máximo = 0 . Para: x = 4 x < 4 = 3,9. Sustituimos este valor en la primera derivada. f '(x) = 5x3(x - 4) f '(x) = 5(3,9)3 (3,9 - 4) f '(x) = (5)(59.319)( - ) f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = ''-". Luego: x > 4 = 4,1. Sustituimos este valor en la primera derivada.
f '(x) = 5x3(x - 4) f '(x) = 5(4,1)3(4,1 - 4) f '(x) = (+ 5) (68.921) (+ 0,1) f '(x) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ". Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a "+" la función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x = 4 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x5 - 5x4 f(4) = (4)5 - 5(4)4 f(4) = 1024 - 1280 = - 256 ⇒ en x = 4 existe un Mínimo = - 256. 10.
3x5 - 20x3 f(x) = 3x5 - 20x3 f '(x) = 15x4 - 60x2 f '(x) = 15x2(x2 - 4) = 0 f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) = 0 x2 = 0 x=0 x+2=0 x=-2 x-2=0 x=2 Valores Críticos : x = 0 ; x = - 2 ; x = 2 . Para: x = 0 x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en la primera derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(- 0,1) = (- 0,1)2(- 0,1 + 2)(- 0,1 - 2) f '(- 0,1) = ( + 0.01) ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(0,1) = (+ 0,1)2(0,1 + 2)(0,1 - 2) f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-". Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo ⇒ No hay ni Máximos ni Mínimos. Para: x = -2 x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(- 2,1) = (- 2,1)2(- 2,1 + 2)(- 2,1 - 2) f '(- 2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) = "+".
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(- 1,9) = (-1,9)2(-1,9 + 2)(-1,9 - 2). f '(- 1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ". Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Máximo. f(x) = 3x5 - 20x3. f( - 2) = 3(-2)5 - 20(-2)3. f( - 2) = 3( - 32) - 20(- 8) = - 96 + 160 = 64. ⇒ en x = - 2 existe un Máximo = 64. Para: x = 2. x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(1,9) = (1,9)2(1,9 + 2)(1,9 - 2) f '(1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-". Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) f '(2,1) = (2,1)2(2,1 + 2)(2,1 - 2) f '(2,1) =`( + ) ( + ) ( + ) = "+". Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ",la
función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = 3x5 - 20x3. f(2) = 3(2)5 - 20(2)3 = 96 - 160 = - 64. f(2) = - 64. ⇒ en x = 2 existe un Mínimo = - 64. 11.
x2 + 2a3 . x f(x) = x2 + 2a3 . x f (x) = x2 + 2a3.x-1 f '(x) = 2x + (2a3)(- 1)(x -1-1) f '(x) = 2x + -(2a3)(x -2) = 2x _ 2a3 x2
=
2x3 - 2a3 = 2(x3 - a3) . x2
f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2) = 0 x-a=0 x=a x2 + ax + a2 = 0 no se puede factorizar. Para: x = a. x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2) f '(0,9a) = [2(0,9a - a)] [(0,9a)2 + a(0,9a) + a2)] f '(0,9a) = 2( - ) ( + ) = " - ". Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2) f '(1,1a) = 2(1,1a - a) [(1,1a)2 + a(1,1a) + a2) f '(1,1a) = 2 ( + ) ( + ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "-" a "+", la función tiene un valor Mínimo . Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x2 + 2a3 . x f(a) = (a)2 + 2a3 . a f(a) = a2 + 2a2 = 3a3. ⇒ en x = a existe un Mínimo = 3a3. 12.
2x - a3 . x2 f(x) = 2x - a3 . x2 f(x) = 2x - a3.x -2 f '(x) = 2 - a3.(-2x -2-1) = 2 + 2a3x -3 = 2 + 2a3 = 2x3 + 2a3 = 0. x3 x3 f '(x) = 2(x3 + a3) = 0 (x + a)(x2 - ax + x2) = 0 . x+a=0 x=-a x2 - ax + x2 = 0 no se puede factorizar. Valor Crítico : x = - a . Para: x < - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = 2x3 + 2a3 x3 f '(x) = 2(- 1,1a)3 + 2a3
=
2( - 1,331a3) + 2a3 = - 2,662a3 + 2a3
f '(x) =
(- 1,1a)3 (-) ="+". (-)
-1,331a3
-1,331a3
Luego: x > - a =- 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = 2x3 + 2a3 x3 f '(x) = 2(- 0,9a)3 + 2a3 = - 1,8a3 + 2a3 x3 (- 0,9a)3
=
(+) = "-". (-)
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un valor Máximo. Sustituimos x = -a en f(x) para encontrar el Máximo. f(x) = 2x - a3 . x2 f(-a) = 2(-a) - a3 = - 2a - a3 (-a)2 a2
=
- 2a - a .
f(-a) = - 3a. ⇒ en x = - a hay un Máximo = - 3a. 13.
x2 + a4 . x2 f (x) = x2 + a4 = x2 + a4.x -2 x2 f '(x) = 2x + a4(-2x -2-1) = 2x - 2a4x-3 = 2x - 2a4 x3 f '(x) = 2x4 - 2a4 = 2(x4 - a4) = 0
=
2x4 - 2a4 = 0 x3
f '(x) = (x4 - a4) = (x2 + a2)(x2 - a2) = 0 f '(x) = x2 + a2 = 0 x2 = - a2 x = √-a2 = a.i ( imaginario). x2 - a2 = 0 x2 = a2 x=± a. Para: x = a . Tomamos un x< a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 2x4 - 2a4 x3 f '(0,9a) = 2(0,9a)4 - 2a4 (0,9a)3
=
2 (0,6561a4) - 2a4 0,729a3
=
1,3122a4 - 2a4 0,729a3
f '(0,9a) = ( - ) = " - ". (+) Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 2x4 - 2a4 x3 f '(x) = 2(1,1a)4 - 2a4 (1,1a)3
=
2(1,4641a4) - 2a4 1,331a3
=
2,9282a4 - 2a4 = 1,331a3
f '(x) = ( + ) = "+". (+) Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un Mínimo.
Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x2 + a4 . x2 f(a) = a2 + a4 . a2 f(a) = a2 + a2 = 2a2. ⇒ en x = a hay un Mínimo = 2a2. Para: x = - a. x < - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = 2x4 - 2a4 x3 f '(-1,1a) = 2(-1,1a)4 - 2a4 = 2(1,4641a4) - 2a4 (-1,1a)3 - 1,331a3 f '(-1,1a) = ( + ) (-)
=
=
2,9282a4 - 2a4 . - 1,331a3
" - ".
Luego: x > -a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = 2x4 - 2a4 x3 f '(- 0,9a) = 2(- 0,9a)4 - 2a4 (- 0,9a)3
=
2(0,6561a4) - 2a4 - 0,729a3
f '(- 0,9a) = 0,86093442a4 - 2a4 - 0,729a3
=
=
( - ) = " + ". (-)
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un valor Minimo.
Sustituimos x = - a en f (x) para encontrar el valor Mínimo. f (x) = x2 + a4 . x2 f (- a) = (- a)2 + a4 = a2 + a4 = a2 + a2 = 2a2. (- a)2 a2 ⇒ en x = - a hay un Mínimo = 2a2. 14.
ax . x + a2 2
f(x) =
ax . x2 + a2
Derivando: (x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2) f '(x) = dx dx . 2 2 2 (x + a ) f '(x) = (x2 + a2).a - (ax).2x (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 ( 0 ) f '(x) = a3 - ax2
0
=
=
0
f '(x) = a(a2 - x2) = 0 a (a + x)(a - x) = 0 a+x=0 x=-a a-x=0
=
ax2 + a3 - 2ax2 (x2 + a2)2
=
a3 - ax2 = 0 (x2 + a2)2
a=x o x=a. Valores Críticos: x = a ; x = - a. Para: x = a. x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = a3 - ax2 f '(0,9a) = a3 - a(0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + ) Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = a3 - ax2 f '(1,1a) = a3 - a(1,1a)2 = a3 - 1,21a3 = ( - ). Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un Máximo. Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Máximo. f(x) =
ax . x2 + a2
a.a = a2 = 1 . a + a2 2a2 2 ⇒ en x = a hay un Máximo = 1/2. f(a) =
2
Para: x = - a. x < - a = -1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = a3 - ax2 f '(- 1,1a) = a3 - a(- 1,1a)2 f '(- 1,1a) = a3 - 1,21a3 = ( - ). Luego: x > - a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada f '(x) = a3 - ax2 f '(- 0,9a) = a3 - a(- 0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + ). La función tiene un Mínimo,el signo va de " - " a " + ". Sustituimos x = - a en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x)
=
ax .
x2 + a2 f(x) = a(-a) = - a2 (-a)2 + a2 a2 + a2
=
- a2 2a2
=
- 1 . 2
⇒ en x = - a hay un Mínimo = - 1/2. 15.
x2 . x+a f(x) =
x2 . x+a
f '(x) =
(x + a).d (x2) - x2. d (x + a) dx dx . (x + a)2
f '(x) = 2x(x + a) - x2(1) (x + a)2 f '(x) = x(2a + x) (x + a)2
=
=
2x2 + 2ax - x2 = 2ax + x2. (x + a)2 (x + a)2
0
x(2a + x) = 0 x=0 2a + x = 0 x = - 2a . Valores Críticos: x = 0 ; x = - 2 a. Para: x = 0 x < 0 = - 0,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x(2a + x) f '(-0,1a) = (- 0,1a) [2a + (- 0,1a)] f '(-0,1a) = ( - ) ( + ) = " - ". Luego: x > 0 = 0,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = x(2a + x) f '(0,1a) = (0,1a)(2a + 0,1a) f '(0,1a) = ( + )( + ) = " + ". La función tiene un Mínimo ,el signo va de " - " a " + ". Sustituimos x = 0 en f(x). f(x) = x2 . x+a f(x)
0
=
=
0.
0+a ⇒ en x = 0 hay un Mínimo = 0. Para: x = - 2a . x < -2a = - 2,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada. f '(x) = x(2a + x) f '(-2,1a) = (-2,1a)[2a + (-2,1a)] f '(-2,1a) = ( - 2,1a)(2a - 2,1a) f '(-2,1a) = ( - ) ( -) = " + ". Luego: x > -2a = -1,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada f '(x) = x(2a + x) f '(-1,9a) = (-1,9a)[2a + (-1,9a)] f '(-1,9a) = (-1,9a) (2a - 1,9a) = ( - ) ( + ) = " - ". La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ". x = -2a se sustituye en f(x). f(x) = x2 . x+a f(x) = (-2a)2 -2a + a
=
4a2 -a
=
- 4a.
⇒ en x = -2a existe un Máximo = - 4a . 16.
x2 . x + a2 2
f(x) =
x2 . x + a2 2
f '(x) =
(x2 + a2). d (x2) - x2. d (x2 + a2) dx dx (x2 + a2)2
.
f '(x) = (x2 + a2) (2x) - x2(2x) (x2 + a2)2 f '(x) = 2x3 + 2a2x - 2x3 (x2 + a2)2
=
2a2x = 0. (x2 + a2)2
f '(x) = 2a2x = 0 x=0. Valor Crítico : x = 0 . Para: x = 0 ; x < 0 = - 0,1a . Este valor se reemplaza en f '(x). f '(x) = 2a2x f '(-0,1a) = 2a2(-0,1a) = ( - ) Luego: x > 0 = 0,1a. Este valor se reemplaza en f '(x). f '(x) = 2a2x f '(0,1a) = 2a2(0,1a) = ( + ). La función tiene un Mínimo , el signo va de " - " a " + ". x = 0 se sustituye en f(x) para saber el valor Mínimo. f(x) = x2 . x2 + a2
f(x) =
0 = 0 =0 0 + a2 a2 ⇒ en x = 0 hay un Mínimo = 0. 2
17.
x2 + 2a2 x2 + a2 f(x) = x2 + 2a2 x2 + a2 f '(x) =
(x2 + a2).d (x2 + 2a2) - (x2 + 2a2). d (x2 + a2) dx dx . (x2 + a2)
f '(x) = (x2 + a2).(2x) - (x2 + 2a2).(2x) (x2 + a2)
f '(x) = - 2a2x x2 + a2
=
=
2x 3 + 2a2x - 2x 3 - 4a2x (x2 + a2)
0.
f '(x) = -2a2x = 0 x = 0 valor crítico. Para: x = 0 x < 0 = - 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = -2a2x f '(- 0,1a) = -2a2(- 0,1a) = ( + ) Luego: x > 0 = 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = -2a2x f '(0,1a) = -2a2(0,1a) = ( - ). La función tiene un Máximo , el signo va de " + " a " - ". Sustituimos x = 0 en f(x). f(x) = x2 + 2a2
x2 + a2 f(x) = (0)2 + 2a2 (0)2 + a2
=
2a2 = 2 a2
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 2 . 18.
(2 + x)2 (1 - x)2 f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2 f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)2 + (1 - x)2. d (2 + x)2 dx dx f '(x) = (2 + x)2. 2(1 - x)2-1.(-1) + (1 - x)2.2(2 + x)2-1 f '(x) = - 2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x) f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) [2 + x - (1 - x)] f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) (2 + x - 1 +x) = - 2(2 + x)(1 - x)(2x + 1) f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) = 0 2+x=0 x = - 2. x-1=0 x=1 2x + 1 = 0 x= -1 . 2
Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1/2. Para: x = - 2 x < - 2 = -2,1. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(-2,1) = 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1] f '(-2,1) = 2(2 - 2,1) ( - 2,1 - 1) (- 4,2 + 1) f '(-2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) = " - ". Luego: x > - 2 = - 1,9. Este valor se reemplaza en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(-1,9) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(-1,9) = 2[2 + (-1,9)](-1,9 - 1)[2(-1,9) + 1] f '(-1,9) = ( 2 )(2 - 1,9) (- 1,9 - 1)(-3,8 + 1) f '(-1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = "+". La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". Se sustituye x = - 2 en f(x). f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2 f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]2 f(-2) = ( 2 - 2 )2 ( 1 + 2)2 = ( 0 )2 ( 3 )2 = (0)(9) = 0 ⇒ en x = - 2 hay un Mínimo = 0. Para: x = 1 x < 1 = 0,9. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(0,9) = (2) (2 + 0,9) (0,9 - 1) [2(0,9) + 1] f '(0,9) = ( + )( + )( - )( + ) = " - ". Luego: x > 1 = 1,1. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(1,1) = (2)(2 + 1,1)(1,1 - 1)[2(1,1) + 1] f '(1,1) = ( + )( + )( + )( + ) = " + ". La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ". Se sustituye x = 1 en f(x).
f(x) = (2 + x)2(1 - x)2 f(1) = (2 + 1)2(1 - 1)2 = ( 3 )2( 0 )2 = ( 9 )( 0 ) = 0 ⇒ en x = 1 hay un Mínimo = 0 Para x = - 1/2. x < - 1/2 = - 0,6. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(-0,6) = ( 2 )[2 + (-0,6)](-0,6 - 1) [2(-0,6) + 1] f '(-0,6) = ( 2 )[2 - 0,6](- 0,6 - 1) [- 1,2 + 1] f '(- 0,6) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = " + ". Luego: x > - 1/2 = - 0,4. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 + (- 0,4)] (- 0,4 - 1) [2(- 0,4) + 1] f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 - 0,4] (- 0,4 - 1) [ - 0,8 + 1] f '(- 0,4) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = " - ". La función tiene un Máximo va de " + " a " - ". Se sustituye x = - 1/2 en f(x). f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2 f(- 0,5) = [2 + (- 0,5)]2 [1 - (- 0,5)]2 f(- 0,5) = ( 2 - 0,5)2 ( 1 + 0,5)2 = (1,5)2 (1,5)2 = (1,5)4 = 5,0625. f(x) = 5,0625. ⇒ en x = - 1/2 hay un Máximo = 5,0625. 19.
(2 + x)2 (1 - x)3 f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3 f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)3 + (1 - x)3. d (2 + x)2 dx dx f '(x) =(2 + x)2.3(1 - x )2.d (1 - x) + (1 - x)3. 2(2 + x)2-1.d (2 + x) dx dx f '(x) = 3(2 + x)2(1 - x )2 ( - 1) + 2(1 - x)3(2 + x)(1)
f '(x) = -3(2 + x)2(1 - x )2 + 2(1 - x)3(2 + x) f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [-3(2 + x) + 2(1 - x)] f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [ - 6 - 3x + 2 - 2x] f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 (
-
4
-
5x)
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) = 0 (2 + x) = 0 x = - 2. (1 - x) = 0 = 1 - x x=1 -4-5x=0=-4-5x 5x = - 4 x= -4. 5 Valores Críticos: x = 1 ; x = - 2 ; x = - 4/5. Para: x = 1. x < 1 = 0,9. Sustituyendo este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 5(0,9)] f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 4,5] f '(0,9) = ( + ) ( + )2 ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ". Luego: x > 1 = 1,1. Sustituyendo este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5(1,1)] f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5,5] f '(1,1) = ( + ) ( - ) ( - )2 = ( + ) ( - ) ( + ) = "-". La función no tiene ni Máximo ni Mínimo , no hay cambio de signo.
Para: x = - 2. x < - 2 = - 2,1. Sustituyendo este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 (- 4 - 5x) f '(-2,1) = [2 + (-2,1)] [1 - (-2,1)]2 [- 4 - 5(-2,1)]
f '(-2,1) = [2 - 2,1] [1 + 2,1]2 [ - 4 + 10,5] f '(-2,1) = ( - ) ( + )2 ( + ) = " - ". [no es necesario elevar ( + )2 , pues siempre es positivo; pero si cuando ( - )2,pues al elevarse al cuadrado se hace "+".] Luego: x > - 2 = - 1,9. Sustituyendo este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(-1,9) = (2 + (-1,9)] [1 - (-1,9)]2 [ - 4 - 5(-1,9)] f '(-1,9) = (2 - 1,9] [1 + 1,9]2 [ - 4 + 9,5] f '(-1,9) = ( +) ( + ) ( + ) = " + ". La función tiene un Mínimo, el signo cambia de " - " a " + ". Se sustituye x = - 2 en f(x). f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3 f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]3 f(-2) = ( 2 - 2)2 (1 + 2)3 = ( 0 ) ( 3)3 = 0 ⇒ en x = - 2 existe un Mínimo = 0. Para: x = - 4/5 = - 0,8. x < - 4/5 = - 0,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(- 0,9) = [2 + (-0,9)] [1 - (-0,9)]2 [- 4 - 5(-0,9)] f '(- 0,9) = [2 - 0,9] [1 + 0,9]2 [- 4 + 4,5] f '(- 0,9) = ( + ) ( + ) ( + ) = "+". Luego: x > - 4/5 = - 0,7. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(- 0,7) = [2 + (- 0,7)] [1 - (- 0,7)] 2 [ - 4 - 5(-0,7)] f '(- 0,7) = [2 - 0,7] [1 + 0,7]2 [ - 4 + 3,5] f '(- 0,7) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ". La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ". x = - 4/5 = - 0,8. Se sustituye en f(x). f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3 f(- 0,8) = [2 + (- 0,8)]2 [1 - (- 0,8)]3 f(- 0,8) = [2 - 0,8]2 [1 + 0,8]3 f(- 0,8) = (1,2)2 (1,8)3 = (1,44) (5,832) = 8,39808
⇒ en x = - 4/5 existe un Máximo = 8,39808 . 20.
b + c(x - a)2/3 f(x) = b + c(x - a)2/3 f '(x) = d (b) + c.d (x - a)2/3 dx dx f '(x) = 0 + c. 2 . (x - a)2/3-1.d (x - a) 3 dx f '(x) = 2c. (x - a)-1/3(1) = 2c = 0 3 3(x - a)1/3
.
Si f '(x) = 0 , se anulan los valores críticos; por tanto hacemos: 1 = 0 f '(x) 1/3 1 = 1 3(x a) 0 = = .
f '(x)
2c 3(x - a)1/3
2c
.
3(x -a)1/3 = (2c) (0) 3(x -a)1/3 = 0 (x -a)1/3 = 0 [(x -a)1/3]3 = 03 (x -a) = 0 x = a. 1 = (0,9c - c)2/3 = ∛ (0,9c - c)2
=
∛(-)2 = ∛(-) =
Para: x = a. x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) =
2c 2c 2c = = = + = " - " . 3(x - a)1/3 3(0,9a - a)1/3 3∛- 0,1a Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 2c 2c 2c = = = + = " + " . 3(x - a)1/3 3(1,1a - a)1/3 3∛ 1,1a + La función tiene un Mínimo , va de " - " a " + ". x = a se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo. f(x) = b + c(x - a)2/3 f(a) = b + c(a - a)2/3 = b + c( 0 )2/3 = b + 0 = b ⇒ en x = a existe un Mínimo = b. 21.
a - b(x - c)1/3. f(x) = a - b(x - c)1/3. f '(x) = d (a) - b .d (x - c)1/3 dx dx f '(x) = 0 - b . 1 . (x - c)1/3-1. d (x - c) 3 dx f '(x) = - b (x - c) -2/3(1) = - b 3 3(x - c)2/3
1 f
=
- 3(x - c)2/3 '(x)
f '(x) = - 3(x - c)2/3 f '(x) = (x - c)2/3
=
=
=
0
0 b
=
0.
0.
f '(x) = [(x - c)2/3]3/2 = 03/2 . f '(x) = (x - c) = 0 . x-c=0 ; x=c Para: x = c. x < c = 0,9c. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) =
-b = 3(x - c) 2/3
-b -b = - = = 2/3 3(0,9c - c) ∛(- 0,1c)2 ∛+
=
" - ". +
Luego: x > c = 1,1c. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) =
-b 3(x - c)2/3
=
-b -b = = 2/3 2/3 3(1,1c - c) 3(0,1c) +
=
"-".
La función no cambia de signo, entonces no hay ni Máximo ni Mínimo.
22.
( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3. f(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3. f '(x) = ( 2 + x)1/3. d (1 - x)2/3 + (1 - x)2/3. d ( 2 + x)1/3. dx dx f '(x) = (2 + x)1/3. 2 .(1 - x)2/3-1.d (1 - x) + (1 - x)2/3. 1 . (2 + x)1/3-1.d (2 + x) 3 dx 3 dx
f '(x) = 2( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3( - 1) + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3( 1 ) . 3 3
f '(x) = - 2 ( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3 + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3 3 3 f '(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3 -2(1 - x)-1/3 (1 - x)-2/3 + 1(2 + x)-2/3 (2 + x)-1/3 3 3
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(1 - x)-1 + 1(2 + x)-1 . 3 3 1/3 2/3 f '(x) = ( 2 + x) ( 1 - x) -2 + 1 . 3(1 - x) 3(2 + x) f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(2 + x) + (1 - x) . 3(1 - x) (2 + x) f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 4 - 2x + 1 - x . 3(1 - x) (2 + x) f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3
- 3 - 3x . 3(1 - x) (2 + x)
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 3 (x + 1) 3 (1-x)(2+x) f '(x) = - (2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (x + 1) (1 - x) (2 + x)
=
.
0
El signo negativo , hace cambiar el signo a un factor, en este caso (x + 1) .
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) = 0 (2 + x)1/3 = 0 [( 2 + x)1/3]3 = 03 2+x=0 x=-2
(1 - x)2/3 = 0 [(1 - x)2/3]3/2 = 03 1-x=0=1-x x=1
-x-1=0=-x-1 x=-1
Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1. Para: x = - 2. x < - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x) f '(-2,1) = [ 2 + (-2,1)]1/3 [ 1 - (-2,1)]2/3 [- (-2,1) - 1] [1 - (-2,1)] [2 + (-2,1)] f '(-2) = (2 - 2,1)1/3 (1 + 2,1)2/3 (2,1 - 1) ( 1 + 2,1) (2 - 2,1) 1/3 f '(-2) = ( - ) ( + )2/3 ( + ) = ( - ) ( + ) ( + ) (+)(-) (-)
=
(-) ="+" (-)
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x) f '(-1,9) = [ 2 + (-1,9)]1/3[ 1 -(-1,9)]2/3[- (-1,9) - 1] (1 - x) (2 + x) f '(-1,9) = ( 2 - 1,9)1/3(1 + 1,9)2/3(1,9 - 1) [1 - (-1,9)][2 + (-1,9)] f '(-1,9) = ( + )1/3 ( + )2/3 ( + ) (1 + 1,9)(2 - 1,9)
=
(+)(+)(+)=(+)="+". (+)(+) (+)
La función no cambia de signo,por tanto no tiene ni Máximo ni Mínimo en x = - 2. Para: x = 1. x < 1 = 0,9. Se remplaza este valor en f '(x). f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3(- x - 1) (1 - x)(2 + x) f '(0,9) = ( 2 + 0,9)1/3( 1 - 0,9)2/3(- 0,9 - 1)
(1 - 0,9)(2 + 0,9) f '(0,9) = ( 2 + 0,9)1/3( 1 - 0,9)2/3(- 0,9 - 1) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) = " - ". (1 - 0,9)(2 + 0,9) (+)(+) (+)
Luego: x > 1 = 1,1. Se remplaza este valor en f '(x). f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3(- x - 1) (1 - x)(2 + x) f '(1,1) = ( 2 + 1,1)1/3( 1 - 1,1)2/3(- 1,1 - 1) = ( + )( - )2/3( - ) . (1 - 1,1)(2 + 1,1) ( - )( + ) f '(1,1) = ( + ) [( - )2]1/3( - ) = ( + )( + )1/3( - ) = ( + )( + )( - ) = ( - ) = " + " (-) (-) (-) (-)
La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ". Se reemplaza x = 1 en f(x). f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3 f(1) = ( 2 + 1)1/3(1 - 1)2/3 = ( 3 )1/3( 0 )2/3 = 0 ⇒ en x = 1 hay un Mínimo = 0 . Para: x = - 1 . x < - 1 = - 1,1 . Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x) f '(-1,1) = [ 2 + (-1,1)]1/3 [ 1 - (-1,1)]2/3 [- (-1,1) - 1] [1 - (-1,1)] [2 + (-1,1)] f '(-1,1) = [ 2 - 1,1]1/3 [ 1 + 1,1]2/3 [ + 1,1 - 1] [1 + 1,1] [ 2 - 1,1] f '(-1,1) = ( + )1/3( + )2/3( + ) = ( + ) = " + " ( + )( + ) (+) Luego: x > -1 = - 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3(- x - 1) (1 - x)(2 + x) f '(-0,9) = [ 2 + (-0,9)]1/3[ 1 - (-0,9)]2/3[- (-0,9) - 1] [1 + 0,9] [2 - 0,9] f '(-0,9) = ( 2 - 0,9)1/3( 1 + 0,9)2/3( + 0,9 - 1) (1 + 0,9)(2 - 0,9) f '(-0,9) = ( + )1/3 ( + )2/3 ( - ) (+)(+)
=
(-)="-". (+)
La función tiene un Máximo va de " + " a " - ". x = -1 se sustituye en f(x) para cálcular el valor Maximo. f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3 f(-1) = [ 2 + (-1)]1/3[1 - (-1)]2/3 f(-1) = [ 2 - 1]1/3[1 + 1]2/3 = ( 1 )1/3( 2 )2/3 = ∛4 ⇒ en x = - 1 hay un Máximo = ∛4 23.
x(a + x)2 (a - x)3. f(x) = x(a + x)2 (a - x)3. Suponiendo que: u = x(a + x)2 y v = (a - x)3 , aplicamos la derivada del producto: y'= u.v' + v.u' . f '(x) = x(a + x)2.d (a - x)3 + (a - x)3.d [x(a + x)2] dx dx f '(x) = x(a + x)2. 3(a - x)3-1.d (a - x) + (a - x)3[x.d (a + x)2 + (a + x)2.d (x)] dx dx dx
f '(x) = x(a + x)2.3(a - x)2( - 1) + (a - x)3[x.2(a + x)2-1 + (a + )2(1)]
f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 [ 2x(a + x) + (a + x)2]
f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(2x + a + x) f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(a + 3x) Factorizando: (a + x)(a - x)2 f '(x) = (a + x)(a - x)2 {-3x(a + x) + (a - x) (a + 3x)} = 0 . f '(x) = (a + x)(a - x)2 {- 3ax - 3x2 + a2 + 3ax - ax -3x2}. f '(x) = (a + x)(a - x)2 { -6x2 -ax + a2} = 0 . Cambiandole el signo al factor {- 6x2 - ax + a2}. f '(x) = - (a + x)(a - x)2 { 6x2 + ax - a2} = 0. f '(x) = - (a + x)(a - x)2 (2x + a) (3x - a) = 0. Cambiandole el signo al factor (3x - a) y anulando el signo negativo.
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) = 0. (a + x) = 0
⇒
x=-a.
a-x=0
⇒
a=x
2x + a = 0
⇒
x=-a . 2
a - 3x = 0 = a = 3x 3x = a x= a . 3 Valores Críticos: x = - a ; x = a ; x = - a/2 ; x
=
a/3
Para: x = - a x < -a = -1,1a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(-1,1a) = {a + (-1,1a)}{a - (-1,1a)}2 {2(-1,1a) + a} {a - 3(-1,1a)} = 0
f '(-1,1a) = (a - 1,1a) (a + 1,1a)2{- 2,2a + a} (a + 3,3a) = 0 f '(-1,1a) = ( - ) ( + )2 { -} ( + ) = ( + ) Luego:x > - a = - 0,9a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(- 0,9a) = {a + (- 0,9a) }{a - (- 0,9a)}2 {2(- 0,9a) + a} {a - 3(- 0,9a)}
f '(- 0,9a) = {a - 0,9a) (a + 0,9a)2 (-1,8a + a) (a + 2,7a) f '(- 0,9a) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = ( - ) . La función tiene un Máximo va de " + " a " - ". x = - a se sustituye en f(x) para encontrar el valor del Máximo. f(x) = x(a + x)2 (a - x)3 f(-a) = (-a){a + (-a)}2 {a - (-a)}3 f(-a) = (-a ){a - a)2 (a + a)3 = ( - a) ( 0 ) ( 2a)3 = 0 ⇒ en x = - a existe un Máximo = 0 . Para: x = a x < a = 0,9a .Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(0,9a) = {a + (0,9a)} {a - (0,9a)}2 {2(0,9a) + a} {a - 3(0,9a)} f '(0,9a) = (a + 0,9a) (a - 0,9a)2 (1,8a + a) (a - 2,7a) f '(0,9a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ). Luego: x > a = 1,1a . Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(1,1a) = {a + (1,1a)} {a - (1,1a)}2 {2(1,1a) + a} {a - 3(1,1a)} f '(1,1a) = (a + 1,1a) (a - 1,1a)2 (2,2a + a) (a - 3,3a) f '(1,1a) = ( + ) ( - )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) Para x = a la función no tiene Máximos ni Mínimos, pues no cambian los signos.
Para: x = -a/2 = - 0,5a. x < -a/2 = - 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(- 0,6a) = {a + (- 0,6a)} {a - (- 0,6a)}2 {2(- 0,6a) + a} {a - 3(- 0,6a)}
f '(- 0,6a) = (a - 0,6a) (a + 0,6a)2 {- 1,2a + a) (a + 1,8a) f '(- 0,6a) = ( + ) ( + )2 ( - ) ( + ) = ( - ). Luego: x > - a/2 = - 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(- 0,4a) = {a + (- 0,4a) } {a - (- 0,4a)}2 {2(- 0,4a) + a} {a - 3(- 0,4a)}
f '(- 0,4a) = {a - 0,4a) (a + 0,4a)2 ( - 0,8a + a) (a + 1,2a) f '(- 0,4a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + ) La función tiene un Mínimo, va de " - "a " + ". x = - a/2 = - 0,5a. se reemplaza en f(x). f(x) = x(a + x)2 (a - x)3 f(- 0,5a) = (- 0,5a) {a + (- 0,5a)}2 {a - (-0,5a)}3 f(- 0,5a) = (- 0,5a) (a - 0,5a)2 (a + 0,5a)3 f(- 0,5a) = (-0,5a) ( 0,5a)2 ( 1,5a)3 = (-0,5a) ( 0,25a2) ( 3,375a3) f(- 0,5a) = - 0.421875 a6 = - 421875 a6. 1'000.000 Dividiendo tanto al númerador y denominador para 15.625 . f(- 0,5a) = - 421875 = - 27 a6 . 1'000.000 64 Para: x = a/3 = 0,33…a . x < 0,33a = 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(0,32a) ={a + (0,32a)}{a - (0,32a)}2{2(0,32a) + a}{a - 3(0,32a)} f '(0,32a) = (a + 0,32a) (a - 0,32a)2 (0,64a + a) (a - 0,96a) f '(0,32a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + ) Luego: x > a/3 = 0,34a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(0,34a) ={a + (0,34a)}{a - (0,34a)}2{2(0,34a) + a}[a - 3(0,34a)} f '(0,34a) = (a + 0,34a) (a - 0,34a)2 (0,68a + a) (a - 1,02a) f '(0,34a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( - ) La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".
x = a/3 se sustituye en f(x). f(x) = x(a + x)2 (a - x)3 f(a/3) = (a/3) {a + (a/3)}2 {a - (a/3)}3 f(a/3) = (a/3) (a + a/3)2 ( a - a/3)3 f(a/3) = (a/3) ( 4a/3)2 ( 2a/3)3 = (a/3) ( 16a2/9) ( 8a3/27) f(a/3) = 128a6/729. ⇒ en x = a/3 existe un Máximo = 128 a6 . 729 24.
(2x - a)1/3 (x - a)2/3. f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3. f '(x) = (2x - a)1/3 .d (x - a)2/3 + (x - a)2/3 . d (2x - a)1/3. dx dx f '(x) = (2x - a)1/3. 2 . (x - a)2/3-1.d (x -a) + (x - a)2/3. 1 . (2x - a)1/3-1.d (2x-a) 3 dx 3 dx f'(x) = 2 (2x-a)1/3(x-a)-1/3 d (x) - d (a) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 d (2x) - d (a) 3 dx dx 3 dx dx
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3{ 1 - 0} + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3{2 - 0} 3 3 f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3( 1 ) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3( 2 ) 3 3 f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3 + 2 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 = 0 3 3
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 1 + 1 = 0 3 x - a 2x - a f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 3
1 + 1 =0 x - a 2x - a
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 2x - a + x - a = 0 3 (x - a) (2x - a) f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 3x - 2a = 0 3 (x - a) (2x - a) f '(x) = 2(2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)
=
0
{3(x - a)(2x - a)}( 0 ) = 0 ⇒ f '(x) = 2(2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a )
=
0
(2x-a)1/3 = 0 (x - a)2/3 = 0 3x - 2a = 0 1/3 3 3 {(2x-a) } = 0 {(x - a)2/3}3 = 03 x = 2a . 2x - a = 0 x-a=0 3 x = a/2 . x=a Valores Críticos: x = a/2 ; x = a ; x = 2a/3 Para: x = a/2 = 0,5a . x < 0,5a = 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a)(2x - a) f '(0,4a) = 2 {2(0,4a)-a}1/3 {(0,4a)-a}2/3{ 3(0,4a) - 2a } 3{(0,4a) - a} {2(0,4a) - a}
f '(0,4a) = 2 (0,8a -a)1/3 (0,4a - a)2/3 ( 1,2a - 2a ) 3(0,4a - a) ( 0,8a - a) f '(0,4a) = ( + ) ( - )1/3 ( - )2/3 ( - ) . (+)(-)(-) "Recordar: (-)2 = "+" y ∛ -
=
"-".
f '(0,4a) = ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) = ( + ) = ( + ). (+)(-)(-) (+) Luego: x > a/2 = 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a) f '(0,6a) = 2 {2(0,6a)-a}1/3 {(0,6a)-a}2/3{3(0,6a) - 2a} 3{(0,6a) - a} {2(0,6a) - a} f '(0,6a) = 2 (1,2a - a)1/3 (0,6a -a)2/3 (1,8a - 2a) 3(0,6a - a) (1,2a - a) f '(0,6a) = ( + ) ( + )1/3 ( - )2/3 ( - ) = ( + ) ( + )1/3 ( - )2/3 ( - ) ( + )( - )( + ) ( + )( - ) ( + ) f '(0,6a) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) ( + )( - ) ( + )
=
(-)=(+) (-)
Como no hay variación de signos: Para x = a/2 no hay ni Máximos ni Mínimos. Luego, para: x = a x < a = 0,9a . Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)
f '(0,9a) = ( + ) {2(0,9a) - a}1/3 {(0,9a) - a}2/3{3(0,9a) - 2a} ( + ){(0,9a) - a} {2(0,9a) - a} f '(0,9a) = ( + ) (1,8a - a)1/3 (0,9a - a)2/3 (2,7a - 2a) = ( + ) (0,9a - a) (1,8a - a) f '(0,9a) = ( + )( + )1/3( - )2/3( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = ( - ) (+)(-)(+) (-) (-) Luego: x > a = 1,1a . Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a) f '(1,1a) = ( + ) {2(1,1a) - a}1/3 {(1,1a) - a}2/3 {3(1,1a) - 2a } ( + ) {(1,1a) - a} {2(1,1a) - a} f '(1,1a) = ( + ) (2,2a - a)1/3 (1,1a - a)2/3 (3,3a - 2a) ( + ) (1,1a - a) (2,2a - a) f '(1,1a) = ( + ) ( + )1/3 ( + )2/3 ( + ) = ( + ) = ( + ) (+)(+)(+) (+) La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". x = a se sustituye en f(x). f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3 f(a) = {2(a) - a}1/3 {(a) - a}2/3 f(a) = (2a - a)1/3 (a - a)2/3 = ( a )1/3 ( 0 )2/3 = 0. ⇒ en x = a existe un Mínimo = 0 Para: x = 2 a = 0,66…a . 3 x < 2 a = 0,6 a . Se sustituye este valor en f '(x). 3 f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)
f '(0,6a) = ( + ) {2(0,6a) - a}1/3{(0,6a) - a}2/3{3(0,6a) - 2a } ( + ){(0,6a) - a} {2(0,6a) - a} f '(0,6a) = ( + ) (1,2a - a)1/3 (0,6a - a)2/3 (1,8a - 2a) ( + ) (0,6a - a) (1,2a - a) f '(0,6a) = ( + )( + )1/3( - )2/3( - ) = ( + )( + )( + )( - ) = ( - ) = ( + ) ( + )( - )( + ) (-) (-) Luego: x > 0,66… a = 0,67a . Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a) f '(0,67a) = ( + ) {2(0,67a) - a}1/3 {(0,67a) - a}2/3 {3(0,67a) - 2a} ( + ){(0,67a) - a} {2(0,67a) - a} f '(0,67a) = ( + ) (1,34a - a)1/3 (0,67a - a)2/3 (2,07a - 2a) ( + )(0,67a - a) (1,34a - a) f '(0,67a) = ( + )( + )1/3( - )2/3( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = (-) ( + )( - ) ( + ) (-) (-) La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ''. Se sustituye x
=
2 a en f(x). 3
f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3 f(2a/3) = {2(2a/3) - a}1/3 {(2a/3) - a}2/3 f(2a/3) = (4a/3 - a)1/3 (2a/3 - a)2/3 f(2a/3) = (4a/3 - 3a/3)1/3 (2a/3 - 3a/3)2/3 f(2a/3) = ( a/3 )1/3 ( - a/3)2/3 3
3
a
-a
2
=
3
a
a
2
=
a3
=
a .
3
3
3
9
27
3
⇒ en x = 2 a existe un Máximo = a . 3 3 25.
x+2 . x2 + 2x + 4 f(x) =
x+2 . x + 2x + 4 (x2 + 2x + 4). d (x + 2) - (x + 2). d (x2 + 2x + 4) f '(x) = dx dx . (x2 + 2x + 4)2 2
f '(x) = (x2 + 2x + 4).(1) - (x + 2).(2x + 2) (x2 + 2x + 4)2 f '(x) = x2 + 2x + 4 - 2x2- 2x - 4x - 4 (x2 + 2x + 4)2 -x2 - 4x = 0 - x (x + 4) = 0 -x = 0 x=0
=
- x2 - 4x = 0 (x2 + 2x + 4)2
x+4=0 x=-4 Valores Críticos: x = 0 ; x = - 4.
Para: x = 0 x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
- x2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2
f '(- 0,1) =
- (- 0,1)2 - 4(- 0,1) = {(- 0,1)2 + 2(- 0,1) + 4}2
f '(- 0,1) = - 0,01 + 4,4 = ( + ) = ( + )
- (+ 0,01) + 4,4 . ( 0,01 - 2,2 + 4)2
(+)
(+)
Luego: x > 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = - x2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2 f '(0,1) = { - (0,1)2 - 4(0,1) } = (- 0,01 - 4,4) = ( - ) = ( - ) {(0,1)2 + 2(0,1) + 4}2 {(0,01 + 0,2 + 4)2 ( + ) La función tiene un Máximo, va de " + " a " - " . x = 0 se sustituye en f(x), para encontrar el valor Máximo. f(x) =
x+2 . x2 + 2x + 4
f(0) =
0+2 (0)2 + 2(0) + 4
=
2 4
=
1 . 2
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 1 . 2 Para: x = - 4 . x < - 4 = - 4,1 . Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
- x2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2
f '(- 4,1) =
{- (- 4,1)2 - 4} - (16,81 - 4) = -16,81 + 4 . = {(- 4,1)2 + 2(- 4,1) + 4}2 {16,81 - 8,2 + 4}2 (20,81 - 8,2)
f '(- 4,1) = ( - ) = ( - ) (+) Luego: x > - 4 = - 3,9. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) =
- x2 - 4x .
(x2 + 2x + 4)2 f '(- 3,9) =
{- (- 3,9)2 - 4(- 3,9)} = {- (15,21- 4(- 3,9)} = {(- 3,9)2 + 2(- 3,9) + 4}2 (7,8 - 7,8 + 4)2
f '(- 3,9) = -15,21 + 15,6 (11,8 - 7,8)2
=
(+)=(+) (+)
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". x = - 4 se sustituye en f(x). f(x) = x+2 . 2 x + 2x + 4 f(- 4) = -4+2 (- 4)2 + 2(- 4) + 4
=
-2 16 - 8 + 4
=
-2 =-2 =-1 . 20 - 8 12 6
⇒ en x = - 4 hay un Mínimo = 1 . 6 26.
x2 + x + 4 . x+1 f(x) = x2 + x + 4 ( x + 1)
f '(x) =
(x + 1). d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4).d (x + 1) dx dx . 2 ( x + 1)
f '(x) = (x + 1).(2x + 1) - (x2 + x + 4).(1) (x + 1)2 f '(x) = 2x2 + x + 2x + 1 - x2 - x - 4 ( x + 1)2
=
x2 + 2x - 3 ( x + 1)2
=
f '(x) = (x + 3) (x - 1) ( x + 1)2
=
(x + 3) (x - 1) ( x + 1)2
x+3=0 ; x-1=0.
=
0
x = - 3. Valores Críticos. x=1
Para: x = - 3. x < - 3 = - 3,1. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2 f '(-3,1) = {(-3,1) + 3}{(-3,1) -1} = (-3,1 + 3)(-3,1 -1) = {(-3,1) + 1}2 (-3,1 + 1}2 f '(-3,1) = (-) (-) = ( + ) = " + " . ( - )2 ( + ) Luego: x > - 3 = - 2,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (x + 3) (x - 1) ( x + 1)2
=
0
f '(-2,9) = {(-2,9) + 3} {(-2,9) - 1} = (-2,9 + 3) (-2,9 - 1) {(-2,9) + 1}2 (-2,9 + 1)2
=
0
f '(-2,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - " ( - )2 (+) La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ". x = - 3 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo. f(x) = x2 + x + 4 x+1
f(-3) = (-3)2 + (-3) + 4 = 9 - 3 + 4 = (13 - 3) = 10 = - 5 (-3) + 1 -2 ( -2 ) ( -2 ) ⇒ en x = - 3 existe un Máximo = - 5 . Para: x = 1. x < 1 = 0,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (x + 3) (x - 1) ( x + 1)2
=
0
f '(0,9) = {(0,9) + 3} {(0,9) - 1} = (0,9 + 3) (0,9 - 1) = {(0,9) + 1}2
(0,9 + 1)2
f '(0,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - " (+) (+) Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (x + 3) (x - 1) ( x + 1)2
=
0
f '(1,1) = {(1,1) + 3}{(1,1) - 1} = (1,1 + 3)(1,1 - 1) = ( + )( + ) =" + " {(1,1) + 1}2 (1,1 + 1)2 (+)
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". x = 1 se reemplaza en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x2 + x + 4 x+1 f(1) = 12 + 1 + 4 = 1 + 1 + 4 = 6 1+1 2 2
=
3
⇒ en x = 1 existe un Mínimo = 3
27.
x2 + x + 4 . x2 + 2x + 4 f(x) = x2 + x + 4 . x2 + 2x + 4 (x2 + 2x + 4).d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4). d (x2 + 2x + 4) f '(x) = dx dx . 2 2 (x + 2x + 4)
f '(x) = (x2 + 2x + 4) (2x + 1) - (x2 + x + 4) (2x + 2) . (x2 + 2x + 4)2 f '(x) = 2x3 + 4x2 + 8x + x2 + 2x + 4 - 2x3 - 2x2 - 8x - 2x2 - 2x - 8 (x2 + 2x + 4)2 f '(x) =
x2 - 4 = 0 . (x + 2x + 4)2 2
x2 - 4 = (x + 2) (x - 2) = 0 x+2=0 x = - 2. x-2=0 x = 2. x=-2 ; x=2
Valores Críticos .
Para: x = - 2. x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
x2 - 4 = 0 . (x + 2x + 4)2 2
f '(-2,1) = {(-2,1)2 - 4} (4,41 - 4) = (0 ,41) = = 2 2 2 {(-2,1) + 2(-2,1) + 4} {4,41 - 4,2 + 4) (8,41 - 4,2)2
f '(-2,1) = + = " + " + Luego: x > - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
x2 - 4 . (x + 2x + 4)2 2
f '(-1,9) =
{(-1,9)2 - 4} (3,61 - 4) = (-) = = 2 2 2 {(-1,9) + 2(-1,9) + 4} (3,61 - 3,8 + 4) (7,61 - 3,8)2
f '(-1,9) = ( - ) = " - " ( + )2
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ". x = - 2 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo. f(x) = x2 + x + 4 . x2 + 2x + 4 f(- 2) = {(- 2)2 + (- 2) + 4} {(- 2)2 + 2(- 2) + 4}
=
(4 - 2 + 4) = 6 {(4 - 4 + 4} 4
=
3. 2
⇒ en x = - 2 existe un Máximo = 3/2 . Para: x = 2. x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
x2 - 4 . (x2 + 2x + 4)2
f '(1,9) =
{(1,9)2 - 4} (3,61 - 4) = = ( - ) = " - ". {(1,9)2 + 2(1,9) + 4}2 (3,61 + 3,8 + 4)2 ( + )2
Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) =
x2 - 4 . (x + 2x + 4)2 2
f '(2,1) =
{(2,1)2 - 4} {(2,1)2 + 2(2,1) + 4}2
=
(4,41 - 4) {(4,41 + 4,42 + 4)2
=
(+) (+)
=
" + ".
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". x = 2. Se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Mínimo. f(x) = x2 + x + 4 . x2 + 2x + 4 f(2) =
22 + 2 + 4 22 + 2(2) + 4
=
10 12
=
5. 6
⇒ en x = 2 existe un Mínimo = 5/6 . 28.
(x - a) (b - x) . x2 f(x) = (x - a) (b - x) x2 f '(x) =
x2. d (x - a) (b - x) - (x - a) (b - x) . d (x2) dx dx . (x2)2
x2 {(x - a).d (b - x) + (b - x). d (x - a)} - {(x - a) (b - x)}.(2x) f '(x) = dx dx . x4
f '(x) = x2 {(x - a).(- 1) + (b - x).(1)} - 2x.(x - a) (b - x) x4
f '(x) = x2 (-x + a + b - x) - 2x (bx - x2 - ab + ax) x4 f '(x) = - x3 + ax2 + bx2 - x3 - 2bx2 + 2x3 + 2abx - 2ax2 x4 f '(x) = - 2x3 + 2x3 + ax2 - 2ax2 + bx2 - 2bx2 + 2abx . x4 f '(x) = 2abx - ax2 - bx2 = x (2ab - ax - bx) x4 x 4
=
(2ab - ax - bx) = 0 x3
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 0 x3 (2ab - ax - bx) = 0 x3 (2ab - ax - bx) = (x3) ( 0) (2ab - ax - bx) = 0 = (2ab - ax - bx) ax + bx = 2ab x (a + b) = 2ab x = 2ab ( valor crítico). a+b Para: x = 2 ab . a+b x < 2 ab a+b
=
1,9 ab , se reemplaza este valor en f '(x). a+b
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) . x3 x3 x = 1,9ab ,es positivo ⇒ x3 es positivo, no lo tomamos en cuenta.
a+b
f '(x) = 2ab - x (a + b) f '(1,9ab) = 2ab - x (a + b) a+b f '(1,9ab) = 2ab - 1,9( ab ) . (a+b) a+b ( a+b )
=
2ab - 1,9ab
=
"+".
.
Luego: x > 2 ( ab ) = 2,1 ( ab ). Se sustituye este valor en f '(x) a+b a+b
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) f '(2,1ab) = 2ab - 2,1( ab ) (a+b) = 2ab - 2,1ab = "-". (a+b) (a+b) La función tiene un Máximo, va de "+" a "-". x = 2 ab se reemplaza en f(x), para encontrar el valor a+b del Máximo. f(x) = (x - a) (b - x) x2 (2ab - a ) ( b - 2ab ) f(2ab) = a+b a+b a+b ( 2ab )2 a+b
{2ab - a(a+b)} . {b(a+b) - 2ab} a+b a+b . = 4a2b2 . (a + b)2
{2ab - a2 - ab} {ab + b2 - 2ab} f(2ab) = (a+b) (a+b) 2 2 a+b 4a b (a + b)2 f(2ab) = (ab - a2) (b2 - ab) a+b 4a2b
=
=
(ab - a2) (- ab + b2) . 4a2b2.
a(b - a).b(b - a) = a.b .(b - a)2 = (b - a)2 4a2b 4. a .a.b. b 4ab
⇒ en x = 2ab existe un Máximo = (b - a)2 a+b 4ab 30.
(a - x)3 a - 2x f(x) = (a - x)3 a - 2x f '(x) =
(a - 2x).d (a - x)3 - (a - x)3. d (a - 2x) dx dx . (a - 2x)2
f '(x) =
(a - 2x).3.(a - x)2.d (a - x) - (a - x)3.(- 2) dx . (a - 2x)2
f '(x) = 3(a - 2x)(a - x)2(- 1) + 2(a - x)3 (a - 2x)2
=
f '(x) = 2(a - x)3 - 3(a - 2x)(a - x)2 (a - 2x)2 f '(x) = (a - x)2 {2(a - x) - 3(a - 2x)} (a - 2x)2 f '(x) = (a - x)2 {2a - 2x -3a + 6x } = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 (a - 2x)2 (a - 2x)2 f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 (a - x)2 = 0 a=x ( 4x - a ) = 0
4x = a x=a . 4 Valores Criticos : x = a ; x = a/4 Se sustituyen estos valores en f '(x). Para x = a ; x < a = 0,9a. se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 f '(0,9a) = {a - (0,9a)}2 { 4(0,9a) - a } = 0 f '(0,9a) = (a - 0,9a)2 (3,6a - a) = ( + )2 ( + ) = " + ". Luego: x > a = 1,1a .Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 . f '(1,1a) = {a - (1,1a)}2 {4(1,1a) - a} = (a - 1,1a)2 (4,4a - a) f '(1,1a) = ( - )2 ( + ) = ( + ) ( + ) = " + ". Para x =a como no hay cambio de signos, no existen Máximos y Mínimos. Para x = a/4 = 0,25a. x < a/4 = 0,24a. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 f '(0,24a) = {a - (0,24a)}2 {4(0,24a) - a} = (a - 0,24a)2 (0,96a - a). f '(0,24a) = ( + )2 ( - ) = ( + ) ( - ) = " - ". Luego: x > a/4
=
0,26a. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 f '(0,26a) = {a - (0,26a)}2 {4(0,26a) - a} = (a - 0,26a)2 (1,04a - a) f '(0,26a) = ( + )2 ( + ) = ( + ) = " + ". La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ". x = a/4 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Mínimo. f(x) = (a - x)3 . a - 2x 27a3
.
f (x) = (a - a/4)3 = (3a/4)3 a - 2(a/4) a - a/2
=
64 a 2
=
54a3 = 27a2 64a 32
=
27 a2. 32.
⇒ en x = a/4 , existe un Mínimo = 27/32 a2. 31.
x2 + x - 1 x2 - x + 1 f(x) = x2 + x - 1 x2 - x + 1 (x2 - x + 1). d (x2 + x - 1) - (x2 + x - 1). d (x2 - x + 1) f '(x ) = dx dx . (x2 - x + 1)2 f '(x) = (x2 - x + 1)(2x + 1) - (x2 + x - 1)(2x - 1) (x2 - x + 1)2 f '(x) = 2x3 - 2x2 + 2x + x2 - x + 1 - 2x3 - 2x2 + 2x + x2 + x - 1 = 0 (x2 - x + 1)2
f '(x) = 4x - 2x2 = 0 2x(2 - x) = 0 x = 0.
2 - x =0 → x =2
Valores Críticos.
Para: x = 0 x < 0 = - 0,1 , se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 4x - 2x2 = 0 f '(- 0,1) = 4 (- 0,1) - 2(- 0,1)2 = (- 0,4) - 2(0,01) = f '(- 0,1) = - 0,4 - 0,02 = ( - ) = " - ". Luego: x > 0 = 0,1, se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 4x - 2x2 = 0 f '(0,1) = 4(0,1) - 2(0,1)2 = 4,4 - 2(0.01) = 4,4 - 0.02 = ( + ) = " + ". La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = 0 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo. f(x) = x2 + x - 1 x2 - x + 1 f(0) = 02 + 0 - 1 = - 1 02 - 0 + 1 1
=
-1 .
⇒ en x = 0, existe un Mínimo = - 1. Para: x = 2. x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 4x - 2x2 f '(1,9) = 4(1,9) - 2(1,9)2 = 7,6 - 2(3,61) = 7,6 - 7,22 = ( + ) = " + ". Luego:x > 2 = 2,1, Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = 4x - 2x2 f '(2,1) = 4(2,1) - 2(2,1)2 = 8,4 - 2(4,41) = 8,4 - 8,82 = ( - ) = "-". La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ". x = 2 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Máximo. f(x) = x2 + x - 1 x2 - x + 1 f(2) = 22 + 2 - 1 = 5 . 22 - 2 + 1 3 ⇒ en x = 2 , exixte un Máximo = 5/3.
Problemas. Paginas 90, 91 y 92. Demostrar cada una de las siguientes Derivaciones. 1.
y = 3x4 - 2x3 + 6x .
d2y = 36x2 - 12x dx2
dy = 12x3 - 6x2 + 6. dx d2y = 36x2 - 12x dx2 2.
s = √a + bt s = ( a + bt )1/2 ds = 1 .(a + bt)1/2-1.d (a + bt) = (a + bt)-1/2.(b) = b dt 2 dt 2 2( a + bt )1/2 ds = b . (a + bt)-1/2 dt 2
.
d2s = b .(-1 ) (a + bt)-1/2-1. d (a + bt) = - b (a + bt)-3/2.(b) dt2 2 2 dt 4 d2s = = -b2 .(a+bt)-3/2 . dt2
4
d3s = -b2 . - 3 . (a+bt)-3/2-1.d (a+bt). dt2 4 2 dt d3s = + 3b2. (a+bt)-5/2.(b) = 3b3.(a+bt)-5/2 = dt3 8 8 3.
3b3 . 8(a+bt)5/2
y = a + bx . a - bx (a-bx).d (a + bx) - (a + bx). d (a-bx) dy = dx dx . 2 dx (a-bx) dy = (a-bx)(b) - (a + bx)(- b) dx (a-bx)2
=
(a-bx)(b) + (a + bx)(b) = (a-bx)2
dy = b (a -bx + a + bx) dx (a-bx)2 dy = b (2a) dx (a-bx)2
=
2ab . 2 (a-bx)
d2y = ( - 2ab ) . d {(a-bx)2} dx {(a-bx)2}2 dx d2y = ( - 2ab ) . 2(a-bx).d (a -bx) dx (a-bx)4 dx d2y = - 4ab. (a-bx)(- b) = 4ab2 (a-bx) (a-bx)4 (a-bx)4
=
4ab2 . (a-bx)3
4.
u = √a 2 + v 2 u = (a2 + v2)1/2 du = 1 (a2 + v2)1/2-1.d (a2 + v2) dv 2 dv du = (a2 + v2)-1/2. ( 2 v) dv 2
=
(a2 + v2)-1/2. (2v) 2
=
=
v. (a2 + v2)-1/2 .
d2u = v.{d (a2 + v2)-1/2} + (a2 + v2)-1/2. dv . dv2 dv dv d2u = v. -1 . (a2 + v2)-1/2-1.d (a2 + v2) + (a2 + v2)-1/2.(1) dv2 2 dv d2u = - v (a2 + v2)-3/2.( 2 v ) + (a2 + v2)-1/2 = - v2. (a2 + v2)-3/2 + (a2 + v2)-1/2 dv2 2 .
d2u = -v2 + 1 2 2 dv (a + v2)3/2 (a2 + v2)1/2
5.
=
-v2 + (a2 + v2) = - v2 + a2 + v2 = a2 2 2 3/2 2 2 3/2 2 (a + v ) (a + v ) (a + v2)3/2
y = x2 . a+x (a+x).d (x2) - (x2).d (a+x) dy = dx dx dx (a + x)2
=
(a + x)(2x) - (x2)(1) (a + x)2
=
dy = 2ax + 2x2 - x2 = 2ax + x2 dx (a + x)2 (a + x)2 (a + x)2. d (2ax + x2) - (2ax + x2).d (a + x)2 dy= dx dx . 2 2 2 dx [(a + x) ] 2
d2y =
(a + x)2(2a + 2x) - (2ax + x2).2. (a + x).d (a + x) dx .
.
dx2
(a + x)4
d2y = (a + x)2(2a + 2x) - (2ax + x2).2.(a + x)(1) dx2 (a + x)4 d2y = (a + x){ (a + x)(2a + 2x) - 2(2ax + x2)} dx2 (a + x)4
=
d2y = (a + x){2a2 + 2ax +2ax + 2x2 - 4ax - 2x2} dx2 (a + x)4 d2y = (a + x) (2a2) = dx2 (a + x)4 6.
=
2a2 . 3 (a + x)
s=
t . √2t + 1 s = t . (2t + 1)-1/2 ds = t. d (2t + 1)-1/2 + (2t + 1)-1/2. dt dt dt dt ds = t. -1 . (2t + 1)-1/2-1.d (2t + 1) + (2t + 1)-1/2(1) dt 2 dt ds = -t(2t + 1)-3/2( 2) + (2t + 1)-1/2 = - t ( 2t + 1)-3/2 + (2t + 1)-1/2 dt 2 .
ds = - t + 1 3/2 dt (2t + 1) (2t + 1)1/2 d2s = dt
=
- t + 2t + 1 = t + 1 . (2t + 1)3/2 (2t + 1)3/2
(2t + 1)3/2. d (t + 1) - (t + 1). d (2t + 1)3/2 dt dt {(2t + 1)3/2}2
.
(2t + 1)3/2(1) - (t + 1). 3 . (2t + 1)3/2-1.d ((2t + 1) d2s = 2 dt (2t + 1)3
.
2
ds= dt2
(2t + 1)3/2 - 3(t + 1)(2t + 1)1/2( 2) 2 3 (2t + 1)
.
d2s = (2t + 1)3/2 - 3(t + 1)(2t + 1)1/2. dt2 (2t + 1)3 d2s = (2t + 1)1/2{(2t + 1) - 3(t + 1)} = (2t + 1)1/2 (2t + 1 - 3t - 3) dt2 (2t + 1)6/2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2 d2s = (2t + 1)1/2(- t - 2) dt2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2
7.
=
- ( t + 2) (2t + 1)5/2
f (x) = x3 - 2x2 1-x (1 - x). d (x3 - 2x2) - (x3 - 2x2). d (1 - x) f '(x) = dx dx . (1 - x)2 f '(x) = (1 - x).(3x2 - 4x) - (x3 - 2x2).(- 1) (1 - x)2 f '(x) = 3x2 - 4x - 3x3 + 4x2 + x3 - 2x2 (1 - x)2 f ''(x) =
=
5x2 - 2x3 - 4x (1 - x)2
(1 - x)2.d (5x2 - 2x3 - 4x) - (5x2 - 2x3 - 4x). d (1 - x)2 dx dx . [(1 - x)2]2
f ''(x) = (1 - x)2.(10x - 6x2 - 4) - (5x2 - 2x3 - 4x).(2)(1 - x).d(1 - x)/dx (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x)2.(10x - 6x2 - 4) - 2(5x2 - 2x3 - 4x)(1 - x)(-1) (1 - x)4 f ''(x) = (1 - x)2.(10x - 6x2 - 4) + 2(5x2 - 2x3 - 4x)(1 - x) (1 - x)4 f ''(x) = (1 - x){(1 - x)(10x - 6x2 - 4) + 2(5x2 - 2x3 - 4x)}
(1 - x)4 f ''(x) = (1 - x){10x - 6x2 - 4 - 10x2 + 6x3 + 4x + 10x2 - 4x3 - 8x} (1 - x)4 f ''(x) = (1 - x) (2x3 - 6x2 + 6x - 4) (1 - x)4
=
(2x3 - 6x2 + 6x - 4) (1 - x)3
(1 - x)3.d (2x3 - 6x2 + 6x - 4) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).d (1 - x)3 f '''(x) dx dx . [(1 - x)3]2 (1 - x)3.(6x2 - 12x + 6) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).{3(1 - x)2}.d (1 - x) f '''(x) = dx (1 - x)6 .
f '''(x) = (1 - x)3.(6x2 - 12x + 6 ) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4) {3(1 - x)2.(- 1)} (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x)3.(6x2 - 12x + 6 } + 3(2x3 - 6x2 + 6x - 4) (1 - x)2 (1 - x)6 f '''(x) = (1 - x)2 {(1 - x) (6x2 - 12x + 6 ) + 3(2x3 - 6x2 + 6x - 4) (1 - x)6 f '''(x) = (1 - x)2 (6x2 - 12x + 6 - 6x3 + 12x2 - 6x + 6x3 - 18x2 + 18x - 12) (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x)2( - 6) = - 6 . (1 - x)6 (1 - x)4 f IV(x) = - {- 6} .d (1 - x)4 = 6 . 4(1 - x)3.d (1 - x) [(1 - x)4]2 dx (1 - x)8 dx f IV(x) = 24 (1 - x)3(- 1) (1 - x)8
=
- 24 (1 - x)5
nota. factorial 4 = 4x3x2x1 = 24
=
- 4 . (1 - x)5
8.
y
=
dny = 2(-1)n n . dxn (x + 1)n
2 ; x+1
Aplicamos la fórmula: c v
=
- c . dv . v2 dx
Para: dy/dx ; n = 1. 1 1 dy = - (2) . d (x + 1) = - 2 .(1) = - 2 . = 2(- 1) 2 2 2 1+1 dx (x + 1) dx (x + 1) (x + 1) (x + 1) Nota. 1 = 1 x 1 . (factorial 1). (-1)1= -1,porque un # negativo elevado a una potencia impar da como resultado un # negativo.
Para:d2y/dx2 ; n = 2.
d2y = - (- 2) . d {(x+1)2}= 4 (x + 1) = 4 2(-1)2 2 . = 2 2 2 4 3 dx {(x + 1) } dx (x + 1) (x + 1) (x + 1)2+1 Nota. 2 = 2 x 1 . (factorial 2). (-1)2 = +1 , porque un # negativo elevado a una potencia par da como resultado un # positivo. Para:d3y/dx3 ; n = 3. (factorial 3 = 3x2x1) d3y = - (4) . d {(x+1)3}= - 4 [3 (x + 1)2 ] = - 12 = 2(-1)3 3 . dx3 {(x + 1)3}2 dx (x + 1)6 (x + 1)4 (x + 1)3+1 Nota. 3 = 3x2x1 . (factorial 3). (-1)3 = - 1 , porque un # negativo elevado a una potencia impar da como resultado un # positivo. Ahora hacemos: dny = 2(-1)n n . dxn (x + 1)n+1 Al igual que el denominador (x + 1)n+1, (-1)n , toma los valores de acuerdo a como se presente la derivada, sea esta "par" o "impar". El denominador (x + 1)n+1, "n" recibe los valores correspondientes, de acuerdo al exponente de la derivada. Ejm. Si es: dy . n sera igual a 1 ; d 2y . n sera igual a 2 ; d 3y . n sera igual a 3. dx dx2 dx3 n = Factorial "n" ; Ejm 3 = 3x2x1
9.
x2 + y2 = r 2 2x + 2y.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2x
=
-x.
dx dx
dx
dx
2y
y
y.d (-x) - (-x).dy d y = dx dx . Sustituyendo dy en d2y . 2 2 dx y dx dx2 2
y(-1) - (-x)( -x ) - y - x2 - y2 - x2 2 2 d2y = y = y = y = -x - y = 2 2 2 2 3 dx y y y y d2y = - (x2 + y2) . Pero: x2 + y2 = r2 dx2 y3 d2y = - r2 . dx2 y3 10.
y2 = 4ax 2y.dy = 4a.dx ; 2y.dy = 4a(1) ; dy = 4a = 2a . dx dx dx dx 2y y d2y = - (2a) . dy . Pero: dy = 2a dx2 y2 dx dx y d2y = - 2a . 2a = - 4a2 . dx2 y2 y y3
11.
b2x2 + a2y2 = a2b2 2b2x + 2a2y.dy = 0 dx dy = - 2b2x = - b2x dx 2a2y a2y
(a2y).d (-b2x) - (-b2x).d (a2y) d2y = dx dx dx2 (a2y)2 (a2y).(-b2).dx - (-b2x).(a2).dy d2y = dx dx dx2 a4y2
=
=
d2y = - a2b2y(1) + a2b2x.dy/dx . Sustituyendo: dy/dx = - b2x/a2y dx2 a4y2 - a2b2y(1) + a2b2x. -b2x dy= a2 y dx2 a4y2
- a2b2y - b4x2 - a2b2y2 - b4x2 y = y . = 4 2 4 2 ay ay . 1 d2y = - a2b2y2 - b4x2 = - b2(a2y2 + b2x2) = - b2.a2b2 = dx2 a4y3 a4y3 a4.y3 2 2 2 2 4 2 2 d y = - b .a b = - b . Reemplazando: (a y + b2x2) = a2b2. dx2 2
d2y = - b2.a2b2 = - b2.a2b2 = - b4 . dx2 a4.y3 a2. a2.y3 a2.y3 d3y = - (- b4) . d (a2.y3) dx3 (a2.y3)2 dx d3y =+ b4 . 3a2y2.dy . Sustituyendo: dy = - b2x dx3 a4.y6 dx dx a2y d3y = 3.a2.b4.y2 . (- b2x) = - 3b6x . dx3 a2.a2.y2.y4 a2y a4y5 12.
ax2 + 2hxy + by2 = 1 2ax + 2h{x.dy + y.dx } + 2by.dy = d (1) dx dx dx dx
2ax + 2h{x.dy + y(1)} + 2by.dy = 0 dx dx 2ax + 2hx.dy + 2hy + 2by.dy = 0 dx
dx
2hx.dy + 2by.dy = - 2ax - 2hy dx dx dy (2hx + 2by) = - 2 (ax + hy) dx dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) . dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by)
dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) . dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by) dy = - (ax + hy) = - ax - hy . dx (hx + by) (hx + by) (hx + by).d {-ax - hy)} - {-ax - hy}.d (hx + by) dy= dx dx . dx2 (hx + by)2 2
(hx + by).(-a.dx - h.dy ) - {-ax - hy}.(h.dx + b.dy ) dy= dx dx dx dx . dx2 (hx + by)2 2
d2y = dx2
(hx + by).(-a(1) - h.dy ) - {-ax - hy}.(h(1) + b.dy ) dx dx . 2 (hx + by)
- a.h.x - a.b.y - h2.x.dy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + a.b.x.dy + b.h.y.dy dy= dx dx dx dx dx2 (hx + by)2 2
- a.h.x - a.b.y - h2xdy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + abx.dy + b.h.y.dy . dy= dx dx dx dx . dx2 (hx + by)2 2
2
dy= dx2
- a.b.y - h2.x.dy + h2.y + a.b.x.dy dx dx (hx + by)2
=
a.b.x.dy - h2.x.dy - a.b.y + h2.y dx dx . (hx + by)2
Factorizando el númerador. d2y = dx2
x.dy (ab - h2) - y (ab - h2 ) dx (hx + by)2
(ab - h2) (x.dy - y ) dx . = (hx + by)2
Pero: dy = - ax - hy dx hx + by (ab - h2) {x [-(ax - hy)] - y} (ab - h2) { - ax2 - hxy -hxy - by2 } dy= (hx + by) (hx + by) . = dx2 (hx + by)2 (hx + by)2 2
d2y = dx2
(ab - h2) [- (ax2 + 2hxy + by2) ] (hx + by) . Pero: (ax2 + 2hxy + by2) = 1. 2 (hx + by)
(ab - h2) [- ( 1)] d2y = (hx + by) dx2 (hx + by)2 1
=
- (ab - h2) = (hx + by)2 (hx + by).
d2y = - (ab - h2) = h2 - ab . dx2 (hx + by)3 (hx + by)3. 13.
x3 + y3 = 1 d (x3) + d (y3) = d (1) dx dx dx
3x2 + 3y2.dy = 0 dx dy = - 3x2 dx 3y2 2
dy= dx2
=
- x2 . y2
y2. d (- x2) - (- x2). d (y2) dx dx (y2)2
=
(y2)(- 2x) + (x2)(2y).dy dx . y4
Sustituyendo: dy = - x2/y2. dx - 2xy2 + 2x2y . - x2 dy= y2 2 4 dx y 2
- 2xy2 - 2x4 y = y4
=
- 2xy3 - 2x4 y y4 1
d2y = - 2x(x3 + y3) dx2 y5 Pero: x3 + y3 = 1 ⇒ d2y = - 2x(x3 + y3) = - 2x ( 1) dx2 y5 y5 14.
x4 + 2x2y2 = a4 d (x4) + 2.d (x2y2) = d (a4) dx dx dx 4x3 + 2 {x2.d (y2) + (y2).d (x2)} = 0 dx dx 4x3 + 2{(x2) (2y).dy + (y2) (2x) } = 0 dx 4x3 + 2{2x2y.dy + 2xy2} = 0 dx 4x3 + 4x2y.dy + 4xy2 = 0 dx
=
=
- 2x . y5
.
dy = - 4x3 - 4xy2 dx 4x2y
=
- 4x( x2 + y2) 4x2y
=
- (x2 + y2) xy
(x.y).d{-(x2+y2)}-{-(x2 + y2)}.d (x.y) dy= dx dx = 2 2 dx (xy) 2
2
dy= dx2
(x.y).d (-x2-y2) + (x2+y2).d (xy) dx dx . 2 (xy)
(x.y).(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y.dx } dy= dx dx dx = 2 2 dx (xy) 2
(x.y)(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y(1)} dy= dx dx . 2 2 dx (xy) 2
d2y = dx2
- 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3 dx dx dx . (xy)2
d2y = dx2
- 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3 dx dx dx . 2 (xy)
- x2y - xy2.dy + x3.dy + y3 d2y = dx dx dx2 (xy)2 d2y = dx2
x3.dy - xy2.dy - x2y + y3 dx dx . = (xy)2
x.dy ( x2 - y2 ) - y ( x2 - y2 ) ( x2 - y2) { x.dy - y } dx dx . = (xy)2 (xy)2
Pero: dy = - x2 - y2 . dx xy ( x2 - y2) { x.(- x2 - y2) - y} ( x2 - y2) { x.(- x2 - y2) - y}
d2y = dx2
xy xy
x.y xy
=
2 2
.
2 2
( x2 - y2)( - x2 - y2 - y2 ) d2y = y dx2 x2y2
=
( x2 - y2) (- x2 - 2y2) y x2y2 1
= .
d2y = ( x2 - y2) (- x2 - 2y2) = - x4 - 2x2y2 + x2y2 + 2y4 dx2 x2.y2.y x2y3 d2y = = - x4 - 2x2y2 + x2y2 + 2y4 = 2y4 - x2y2 - x4. dx2 x2y3 x2y3 En los problemas 15 a 25 , obtener los valores de y' y y" para los valores dados de las variables. 15.
y = √ax + a2 ; √ax
x = a.
y = (ax)1/2 + a2(ax)-1/2 dy = 1 . (ax)1/2-1. d (ax) + a2.(- 1 ) (ax)-1/2-1 d (ax) dx 2 dx 2 dx dy = (ax)-1/2.(a) + (-a2) (ax)-3/2(a) dx 2 2 dy = a2/2 a6/2 dx 2.a1/2.x1/2 2.a3/2.x3/2 Sustituyendo: x = a. dy = y' = a1/2 - a3/2 dx
2.a1/2
2.a3/2
=
=
=
a3 . 3/2 2(ax)
a 1/2 2 (ax)
a1/2 - a3/2 . 2x1/2 2x3/2
a1/2 - a3/2
=
2. a1/2 2. a3/2
d2y = (- a1/2).d (2x1/2) - (- a3/2). d (2x3/2) = dx2 (2x1/2)2 dx (2x3/2)2 dx
1 - 1 = 0 2
2
d2y = (-a1/2). 2 . 1 .x1/2-1 + a3/2 . 2 . 3 .x3/2-1 = (-a1/2)x -1/2 + 3a3/2 .x1/2 dx2 4x 2 4x3 2 4x 4x3
d2y = - a1/2 + 3a3/2.x1/2 dx2 4x.x1/2 4x6/2
=
- a1/2 + 3a3/2 . Sustituyendo: x = a. 4x3/2 4x5/2
d2y = - a1/2 + 3a3/2 = - 1 + 3 dx2 4a3/2 4a5/2 4a2/2 4a2/2 d2y = y" = 2 = 2 dx2 4a 4 a 16.
=
-1 + 3 . 4a 4a
1 . 2a
=
y = √25 - 3x ; x = 3 y = (25 - 3x)1/2 dy = 1 . (25 - 3x)1/2-1. d (25 - 3x) dx 2 dx dy = (25 - 3x)-1/2.( - 3 ) = -3 .Sustituyendo: x = 3, en y'. dx 2 2(25 - 3x)1/2 y' = dy = -3 dx 2(25-3x)1/2 y' = dy = - 3 dx 2(16)1/2
=
=
- 3 - 3 = . 1/2 2[25 - 3(3)] 2(25 - 9)1/2
-3 = -3 2(4) 8
.
d2y = y" = - (-3) . d {2(25 - 3x)1/2} = 2 1/2 2 dx {2(25 - 3x) } dx y" =
3 . 2 . 1 . (25 - 3x)1/2-1.d (25 - 3x) 22. [(25 - 3x)1/2]2 2 dx
y" =
3
. (25 - 3x)-1/2.(- 3)
y"=
-9 . Sustituyendo: x = 3 en y". 4(25 - 3x)3/2 -9 -9 -9 = = 4[25 - 3(3)]3/2 4(25 - 9)3/2 22(16)3/2
y"= - 9 = - 9 22(26) 28 17.
=
4(25 - 3x). (25 - 3x)1/2
4(25 - 3x) y" =
-9
=
=
=
-9 22(24)3/2
=
-9 . 256
y = x √x2 + 9 ; x = 4 y = x (x2 + 9)1/2. y'= x.d (x2 + 9)1/2 + (x2 + 9)1/2.dx . dx dx y'= x. 1 . (x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) + (x2 + 9)1/2(1) 2 dx y'= x (x2 + 9)-1/2 ( 2 x) + (x2 + 9)1/2 = x2(x2 + 9)-1/2 + (x2 + 9)1/2. 2 . y'=
x2 + (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2
=
x2 + {(x2 + 9)1/2}2 . (x2 + 9)1/2
y'= x2 + (x2 + 9)2/2 = x2 + (x2 + 9) = 2x2 + 9 . (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2 Sustituyendo: x = 4 en y'. y'= 2x2 + 9 = 2(4)2 + 9 (x2 + 9)1/2 [42 + 9]1/2
=
2(16) + 9 (25)1/2
=
41 . 5
(x2 + 9)1/2.d (2x2 + 9) - (2x2 + 9).d (x2 + 9)1/2.
y" =
dx
dx 2
.
1/2 2
[(x + 9) ] y" =
(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9). 1 .(x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) . 2 dx (x2 + 9)2/2
y" =
(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9).(x2 + 9)-1/2.( 2 x ). 2 . (x2 + 9)
.
(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9).(x) [(x2 + 9)1/2]2(4x) - (2x2 + 9).(x). y" = (x2 + 9)1/2 = (x2 + 9)1/2 . 2 (x + 9) (x2 + 9) y" = (x2 + 9)(4x) - (2x2 + 9).(x) = 4x3 + 36x - 2x3 - 9x = 2x3 + 27x. (x2 + 9)2/2(x2 + 9)1/2 (x2 + 9)3/2 (x2 + 9)3/2 Cuando x = 4.
18.
y" = 2x3 + 27x = 2(4)3 + 27(4) = 128 + 108 = 236 = 236 (x2 + 9)3/2 [(4)2 + 9]3/2 (25)3/2 (52)3/2 53 2 2 x - 4y = 9 ; x = 5 ; y = 2 .
=
236 . 125
2x - 8y.dy = 0 dx 2x = 8y.dy = 2x dx y' = dy = 2x = x . Sustituyendo: x = 5 dx 8y 4y y' = x 4y y"=
=
y
y = 2 en y'
5 = 5 . 4(2) 8
4y.d (x) - x.d (4y) dx dx
=
4y(1) - x. 4 .dy dx
=
4y - 4x.dy dx .
(4y)2
(4y)2
(4y)2
Sustituyendo el valor de y' o dy en y". dx 4y - 4x.dy y"= dx (4y)2 y"=
19.
=
4y - 4x. x 4y 16y2
16y2 - 4x2 2 2 4y = 4 (4y - x ) 16y2 4y.16y2 1
y"= 4y2 - x2 = 4(22) - 52 16y3 16(23) 2 2 x + 4xy + y + 3 = 0 ;
=
=
=
4y - 4x2. 4y.4y - 4x2 4y = 4y = 16y2 16y2
4y2 - x2 . Cuando x = 5 16y3
y
y = 2.
16 - 25 = - 9 . 16(8) 128 x = 2 ; y = - 1.
2x + 4 {x.dy + y.dx } + 2y.dy + d (3) = 0 dx dx dx dx 2x + 4 { x.dy + y(1)} + 2y.dy + 0 = 0 dx dx 2x + 4 { x.dy + y} + 2y.dy = 0 ; 2x + 4x.dy + 4y + 2y.dy = 0 dx dx dx dx 4x.dy + 2y.dy = - 2x - 4y ; 2dy (2x + y ) = - 2x - 4y dx dx dx dy = - 2x - 4y = - 2(x + 2y) = - 2 (x + 2y) dx 2(2x + y) 2(2x + y) 2 (2x + y)
=
- (x + 2y) . (2x + y )
Cuando x = 2 ; y = - 1. y' = - (x + 2y)
=
- {2 + 2(-1)}
=
- (2 - 2)
=
0
=
0.
(2x + y )
4-1
3
y" =
(2x + y ).d { - (x + 2y)} - { - (x + 2y)}.d (2x + y ) dx dx . (2x + y )2
y" =
(2x + y ).d (- x - 2y) + (x + 2y).{2.dx + dy } dx dx dx . (2x + y )2
y" =
(2x + y )(-dx - 2.dy) + (x + 2y).(2.dx + dy) dx dx dx dx . 2 (2x + y )
y" =
(2x + y )(-1 -2.dy) + (x + 2y).{2(1) + dy } dx dx . (2x + y )2
y" =
- 2x - 4xdy - y - 2y.dy + 2x + x.dy + 4y + 2y.dy . dx dx dx dx . (2x + y )2
y" =
- 3x.dy + 3y dx (2x + y )2
y"= - 3x(0) + 3y (2x + y )2 20.
{2(2) + (-1)}
=
=
Sustituyendo dy = 0 ; x = 2 ; y = -1. dx
0 + 3( -1)
=
- 3
{2(2) + (-1)}2 (4 - 1)2
=
-3 (3)2
=
-3 9
y = (3 - x2)4 ; x = 1 y' = 4(3 - x2)4-1.d (3 - x2). dx y'= 4(3 - x2)3 (- 2x) = - 8x(3 - x2)3. Sustituyendo x = 1. y'= - 8(1)[3 - (1)2]3 = - 8(3 - 1)3 = - 8(2)3 = - 8(8) = - 64 .
=
-1 . 3
y" = (-8x).d (3 - x2)3 + (3 - x2)3.d (- 8x) dx dx y" = (-8x).(3).(3 - x2)3-1.d (3 - x2) + (3 - x2)3.(-8) dx y"= - 24x.(3 - x2)2.(- 2x) - 8.(3 - x2)3 y"= 48x2(3 - x2)2 - 8.(3 - x2)3 = 8(3 - x2)2[6x2 - (3 - x2)] = y"= 8(3 - x2)2(6x2-3+ x2) . Sustituyendo x = 1, en y". y"= 8{3 - (1)2}2{6(1)2 - 3 + (1)2} = 8(3 - 1)2(6 - 3 + 1) = y"= 8(2)2(4) = 8(4)(4) = 128 . 21.
y = √1 + 2x
;
x =4
y = (1 + 2x)1/2 dy = 1 . (1 + 2x)1/2-1.d (1 + 2x) dx 2 dx dy = (1 + 2x)-1/2.( 2 ) = (1 + 2x)-1/2 = 1 . Cuando: x = 4 . 1/2 dx 2 (1 + 2x) dy = 1 1 = dx [1 + 2(4)]1/2 (1 + 8)1/2
=
1 = 1 (9)1/2 (32)1/2
=
1 32/2
=
1 . 3
d2y = - 1 . (1 + 2x)-1/2-1. d (1 + 2x) dx2 2 dx d2y = - (1 + 2x)-3/2.(2) = - 1 . Sustituyendo: x = 4 en y". 2 dx 2 (1 + 2x)3/2 d2y = - 1 dx2 [1 + 2(4)]3/2
=
-1 (9)3/2
=
-1 = -1 (32)3/2 36/2
=
-1 33
=
-1 27
.
22.
y = ∛(x2 + 4)
;
x=2.
y = (x2 + 4)1/3 dy = 1. (x2 + 4)1/3-1. d (x2 + 4) dx 3 dx dy = 1. (x2 + 4)-2/3.(2x) = 2x 2 (2) 4 = = = 2 2/3 2 2/3 dx 3 3(x + 4) 3(2 + 4) 3(8)2/3 dy = y’ = 4 dx 3(23)2/3 y"=
=
4 . 4 3(2)2 12
=
1. 3
3(x2 + 4)2/3. d (2x) - (2x).d [3(x2 + 4)2/3] dx dx . 2 2/3 2 {3(x + 4) }
3(x2 + 4)2/3.(2) - (2x).[3. 2 .(x2 + 4)2/3-1.d (x2 + 4) ] y"= 3 dx 2 4/3 9(x + 4)
.
y"= 6(x2+4)2/3 - (2x).2(x2+4)-1/3.(2x) = 6(x2+4)2/3 - 8x2(x2+4)-1/3 9(x2 + 4)4/3 9(x2 + 4)4/3
6(x2 + 4)2/3 y"=
y"=
8x2 (x2 + 4)1/3 2 9(x + 4)4/3
6(x2 + 4)3/3 - 8x2 9(x2 + 4)4/3. (x2 + 4)1/3
=
=
6(x2 + 4)2/3. (x2 + 4)1/3 - 8x2 (x2 + 4)1/3 . 2 4/3 9(x + 4) . 1 6x2 + 24 - 8x2 9(x2 + 4)5/3
=
24 - 2x2 . 9(x2 + 4)5/3
Cuando: x = 2. y"= 24 - 2(2)2 = 24 - 8 9[22 + 4]5/3 9(8)5/3
=
1 16 = 16 = 16 9 (23)5/3 9(2)5 9( 32 )
=
1 . 18
2 23.
y = x √(3x - 2)
;
x =2
y = x.(3x - 2)1/2 dy = x.d [(3x - 2)1/2] + (3x - 2)1/2.d (x) dx dx dx dy = x. 1 . (3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) + (3x - 2)1/2.(1) dx 2 dx dy = x.(3x - 2)-1/2.(3) + (3x - 2)1/2 dx 2 dy = 3x + 2{(3x - 2)-1/2}2 dx 2(3x - 2)1/2
=
=
3x + (3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2
3x + 2(3x - 2) 2(3x - 2)1/2
3x + 6x - 4 2(3x - 2)1/2
=
dy = 9x - 4 .Cuando: x = 2. dx 2(3x - 2)1/2 y'= dy = 9x - 4 dx 2(3x - 2)1/2 y'=
14 2(22)1/2
=
=
9(2) - 4 2[3(2) - 2]1/2
14 = 14 2(2) 4
=
=
18 - 4 2(4)1/2
=
7 . 2
2(3x - 2)1/2.d (9x - 4) - (9x - 4).d { 2(3x - 2)1/2} y"= dx dx . 2(3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2.(9) - (9x - 4).{ 2. 1 .(3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) y"= 2 dx . 1/2 2 {2(3x - 2) } y"= 18.(3x - 2)1/2 - (9x - 4).{ (3x - 2)-1/2.(3)}
=
4(3x - 2)2/2 18(3x - 2)1/2 - 3(9x - 4) 18(3x - 2)1/2(3x - 2)1/2 - 3(9x - 4) y"= (3x - 2)1/2 = (3x - 2)1/2 4(3x - 2) 4(3x - 2) .
y"= y"=
18(3x - 2) - 3(9x - 4) (3x - 2)1/2 = 4(3x - 2)
54x - 36 - 27x + 12 27x - 24 . 1/2 (3x - 2)1/2 = (3x - 2) 4(3x - 2) 4(3x - 2)
27x - 24 4(3x - 2)2/2(3x - 2)1/2
=
27x - 24 . 4(3x - 2)3/2
Sustituyendo x = 2 en y". y"= 27(2) - 24 = 54 - 24 = 4{3(2) - 2}3/2 4(6 - 2)3/2 y"= 24.
30 = 30 = 30 = 30 = 30 = 15 . 4(4)3/2 4(22)3/2 4(2)3 4(8) 32 16
y2 + 2xy = 16 ; x = 3 ; y = 2 2y.dy + 2[x.dy + y.dx] = d (16) dx dx dx dx 2y.dy + 2[x.dy + y.(1)] = 0 dx dx 2y.dy + 2x.dy + 2y = 0 dx dx 2.dy (x + y) = - 2y dx dy = - 2y dx 2(x + y)
=
- y . Cuando: x = 3 ; y = 2. (x + y)
y'= dy = - 2 = - 2 . dx (3 + 2) 5 y"=
(x + y).d (- y) - (-y).d (x + y) -(x + y).dy + (y)(dx + dy) dx dx dx dx dx = 2 2 (x + y) (x + y)
y"=
-(x + y).dy + (y)(dx + dy) dx dx dx 2 (x + y)
y"= - x.y' - y.y' + y + y.y' (x + y)2
=
=
-(x + y).dy + (y)(1+ dy) dx dx = 2 (x + y)
y - xy' . (x + y)2
Sustituyendo: x = 3 ; y = 2 ; y'= - 2/5. 2 - (3)(- 2 ) 2 + 6 y"= 5 = 5 (3 + 2)2 52
25.
16 = 5 = 16 . 25 125 1 3 2 3 x - xy + y = 8 ; x = 2 ; y = 2 . 3x2 - {x.d (y2) + y2.d (x)} + 3y2.dy = d (8) dx dx dx dx 3x2 - {x.2y.dy + y2.(1)} + 3y2.dy = 0 dx dx 3x2 - 2xy.dy - y2 + 3y2.dy = 0 dx dx y.dy (3y-2x) = y2 - 3x2 ; dy = y2 - 3x2 = y2 - 3x2 .Cuando: x = 2 ; y = 2 dx dx y(3y - 2x) 3y2 - 2xy
y'= dy = 22 - 3(22) dx 2[3(2) - 2(2)]
=
4 - 12 2(6 - 4)
=
-8 = -8 =-2 2(2) 4
( 3y2 - 2xy).d (y2 - 3x2) - (y2 - 3x2).d {( 3y2 - 2xy)} y"= dx dx . ( 3y2 - 2xy)2 (3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y.dx]} y"= dx dx dx dx ( 3y2 - 2xy)2 .
(3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y(1)]} y"= dx dx dx ( 3y2 - 2xy)2
.
( 3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2x.dy - 2y} y"= dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2 (6y3.dy-18xy2-4xy2.dy +12x2y) - (6y3.dy-2xy2.dy-2y3-18x2y.dy+6x3.dy + 6x2y) y"=
dx
dx
dx
dx
dx
dx
.
(3y2 - 2xy)2 6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y dx dx dx dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2 6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y y"= dx dx dx dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2 y"=
- 18xy2 - 2xy2.dy + 6x2y + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy y"= dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2 Sustituyendo: x = 2 ; y = 2 ; y'= -2 y"= -18(2)(2)2 - 2(2)(2)2(-2) + 6(2)2(2)+2(2)3+18(2)2(2)(-2) - 6(2)3(-2) [3(2)2 - 2(2)(2)]2
y"= - (36)(4) + (8)(4) + (12)(4) + 2(8) - 72(4) + 12(8) ( 12 - 8 )2 y"= - 144 + 32 + 48 + 16 - 288 + 96
=
192 - 432 = - 240 = - 15
16
16
16
Hallar d2y en cada uno de los ejercicios siguientes: dx2 y = x3 - 3 . x
26.
dy = 3x2 - { (-3) . dx } = 3x2 + 3 . (1) = 3x2 + 3 . dx ( x )2 dx x2 x2 d2y = 6x + {(-3) . d (x2)} = 6x + {- 3 .(2x)} = 6x + {- 6x } = 6x - 6. dx2 (x2)2 dx x4 x3. x x3 d2y = 6(x - 1 ) = 6(x4 - 1) = 6(x2+1)(x2 - 1) = 6(x2+1)(x+1)(x - 1). dx2 x3 x3 x3 x3 27.
y = x2 x + a2
.
2
(x2 + a2).d (x2) - (x2).d (x2 + a2) dy = dx dx 2 2 2 dx (x + a )
.
dy = (x2 + a2)(2x) - (x2)(2x) = 2x( x2 + a2 - x2) = dx (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 dy = 2x( a2) = 2a2x . dx (x + a2)2 (x2 + a2)2 2
(x2 + a2)2.d (2a2x) - (2a2x).d (x2 + a2)2 d2y = dx dx . dx2 [(x2 + a2)2]2 (x2 + a2)2.[2a2.dx] - (2a2x)(2)(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2) dy= dx dx . dx2 (x2 + a2)4 2
d2y = (x2 + a2)2.[2a2.(1)] - (4a2x)(x2 + a2).(2x) d2x (x2 + a2)4 d2y = 2a2(x2 + a2)2 - (8a2x2)(x2 + a2) = 2a2(x2 + a2){x2+a2 - 4x2} dx2 (x2 + a2)4 (x2 + a2) (x2 + a2)3 d2y = 2a2(a2 - 3x2) . dx2 28.
(x2 + a2)3
y = ∛2 - 3x y = (2 - 3x)1/3 dy = 1 . (2 - 3x)1/3-1.d (2 - 3x) dx 3 dx dy = (2 - 3x)-2/3(- 3) dx
=
-1
=
- (2 - 3x)-2/3 .
(2 - 3x)2/3
3
d2y = - (-2 )(2 - 3x)-2/3-1.d (2 - 3x) = ( 2 )(2 - 3x)-5/3.(- 3) dx2 3 dx 3 .
d2y = -2 2 dx (2 - 3x)5/3 29.
.
y = x √a2 - x2 y = x (a2 - x2)1/2 dy = x. d (a2 - x2)1/2 + (a2 - x2)1/2.d (x) dx dx dx dy = x.1.(a2 - x2)1/2-1.d(a2 - x2) + (a2 - x2)1/2.(1) = dx 2 dx
dy = x(a2 - x2)-1/2(-2x) +(a2 - x2)1/2 = - 2 x2 + (a2 - x2)1/2 = dx 2 2 (a2 - x2)1/2 dy = -x2 + {(a2 - x2)1/2}2 = -x2 + (a2 - x2) dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2 dy = -x2 + a2 - x2 = a2 - 2x2 . dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2.d (a2 - 2x2) - (a2 - 2x2).d (a2 - x2)1/2 dy= dx dx . 2 2 2 1/2 2 dx [(a - x ) ] 2
(a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) dy= 2 dx 2 2 2 1/2 2 dx [(a - x ) ] 2
(a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)-1/2(- 2x) d2y = 2 . dx2 [(a2 - x2)1/2]2 d2y = - 4x (a2 - x2)1/2 + x (a2 - x2)1/2 = x (a2 - x2)1/2{- 4 + 1} = dx2 (a2 - x2) (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2 d2y = - 3x . dx2 (a2 - x2)1/2 30.
y2 - 4xy = 16 2y.dy - 4{x.dy + y.dx} = d (16) dx dx dx 2y.dy - 4x.dy - 4y(1) = 0 dx dx 2dy ( y - 2x) = 4y
.
dx dy = 4y 2y . = dx 2 ( y - 2x) ( y - 2x) ( y - 2x).d (2y) - (2y).d ( y - 2x) dx dx . 2 ( y - 2x) ( y - 2x)(2.dy) - (2y)[ dy - 2(1)] d2y = dx dx . dx2 ( y - 2x)2 d2y = dx2
d2y = dx2
2y.dy - 4x.dy - 2y.dy + 4y] dx dx dx ( y - 2x)2
=
4 (y - x.dy ) dx . ( y - 2x)2
Pero: y'= 2y/y - 2x. 4 {y - x.[ 2y ]} 4{ y (y - 2x) - 2xy} 4(y2 - 2xy - 2xy) dy= y - 2x = y - 2x y - 2x = = 2 2 2 dx ( y - 2x) ( y - 2x) ( y - 2x)2 1 1 2 2 d y = 4(y - 4xy) = 4y (y - 4x) . dx2 ( y - 2x)3 (y - 2x)3 x3 - 3axy + y3 = b3 2
.
31.
3x2 - 3a{x.dy + y.dx} + 3y2.dy = d (b3) dx dx dx dx 3x2 - 3ax.dy - 3ay(1) + 3y2.dy = 0 dx dx 3dy ( y2 - ax ) = 3ay - 3x2 dx 3dy ( y2 - ax ) = 3( ay - x2 )
dx dy = 3 (ay - x2 ) dx 3( y2 - ax )
=
(ay - x2 ) ( y2 - ax )
( y2 - ax ).d (ay - x2 ) - (ay - x2 ).d ( y2 - ax ) dy= dx dx . 2 2 2 dx ( y - ax ) 2
( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a.dx ) d2y = dx dx dx dx2 ( y2 - ax )2
.
( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a ) d2y = dx dx . dx2 ( y2 - ax )2 ay2.dy - 2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y + 2x2y.dy - ax2 d2y = dx dx dx dx dx2 ( y2 - ax )2 ay2. dy -2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y +2x2y.dy - ax2 dy= dx dx dx dx dx2 ( y2 - ax )2
.
2
- ay2.dy + ax2 - 2xy2 - a2x.dy + a2y + 2x2y.dy d2y = dx dx dx . dx2 ( y2 - ax )2 dy (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) d2y = dx . dx2 ( y2 - ax )2 Pero: dy = y'= (ay - x2) ; Sustituyendo en y" o d2y/dx2. dx (y2 - ax)
.
d2y = dx2
(ay - x2 ) (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) (y2 - ax) ( y2 - ax )2
.
(ay - x2)(- ay2 - a2x + 2x2y) + (y2 - ax) (ax2 - 2xy2 + a2y) dy= ( y2 - ax ) dx2 ( y2 - ax )2 2
.
- a2y3- a3xy + 2ax2y2 + ax2y2 + a2x3 - 2x4y + ax2y2 - 2xy4 + a2y3- a2x3 + 2ax2y2 - a3xy
d2y = dx2
( y2 - ax ) ( y2 - ax )2
.
- a2y3- a3xy + 2ax2y2 + ax2y2 + a2x3 - 2x4y + ax2y2 - 2xy4+ a2y3- a2x3 + 2ax2y2 - a3xy
d2y = dx2
2
dy= dx2
( y2 - ax ) ( y2 - ax )2
-2a3xy + 6ax2y2 - 2x4y - 2xy4. ( y2 - ax ) . ( y2 - ax )2
d2y = -2a3xy + 6ax2y2 - 2x4y - 2xy4. = 2axy( 3xy - a2 ) - 2xy ( x3 + y3 ). dx2 ( y2 - ax )3 ( y2 - ax )3
Problemas -Pagina 94 Calcular los Máximos y Mínimos de cada una de las funciones siguientes: 1.
x3 + 3x2 - 2. y = x3 + 3x2 - 2 y'= 3x2 + 6x 3x2 + 6x = 0
.
3x(x + 2 ) = 0 x=0 x =- 2
Valores críticos de la variable.
y"= 6x + 6.Se reemplaza en la 2da derivada cada valor crítico. Si es " + " existe un Mínimo. Si es " - " existe un Máximo. Para: x = 0 y(0) = 6(0) + 6 = " + ". Mínimo. Luego se sustituye dicho valor crítico en la función original y = x3 + 3x2 - 2 y(0) = (0)3 + 3(0)2 - 2. y(0) = - 2. ⇒ x = 0 ; Mínimo = - 2 . Para: x = - 2 . y" = 6x + 6 y"(-2) = 6(-2) + 6 = - 12 + 6 = " - ". Máximo. Luego se reemplaza el valor crítico en la función original. y = x3 + 3x2 - 2 y (-2) = (-2)3 + 3(-2)2 - 2 = - 8 + 12 - 2 = + 2. ⇒ x = - 2 ; existe un Máximo = + 2 . 2.
x3 - 3x + 4 . y = x3 - 3x + 4. y' = 3x2 - 3. 3x2 - 3 = 0. 3 ( x2 - 1) = 0. ( x2 - 1) = 0. ( x + 1) ( x - 1) = 0. x + 1 = 0. → x = - 1 x - 1 = 0. → x = 1
Valores Críticos.
Para: x = - 1. y"= 6x. y"(-1) = 6(-1) = " - " . Máximo. Se sustituye x = -1 en la función original. y = x3 - 3x + 4. y = (-1)3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 ⇒ x = - 1 ; existe un Máximo = 6 . Para: x = 1. y"= 6x. y"(1) = 6(1) = " + ". Mínimo. Se sustituye x = 1 en la función original. y = x3 - 3x + 4. y = (1)3 - 3(1) + 4. y=1-3+4=2 ⇒ x = 1 ; existe un Mínimo = 2. 3.
2x3 - 3ax2 + a3 y = 2x3 - 3ax2 + a3 y'= 6x2 - 6ax. 6x2 - 6ax = 0 6x(x - a) = 0 x = 0 ; x = a }Valores Críticos. Para: x = 0 y"= 12x - 6a. y"(0) = 12(0) - 6a = " - ". Máximo. Se sustituye x = 0 en la función original. y = 2x3 - 3ax2 + a3 y = 2(0)3 - 3a(0)2 + a3 = a3 ⇒ x = 0 ; existe un Máximo = a3. Para: x = a . y"= 12x - 6a. y"(a) = 12(a) - 6a = 6a = " + ". Mínimo. Se sustituye x = a en la función original.
y = 2x3 - 3ax2 + a3 y = 2(a)3 - 3a(a)2 + a3 = 2a3 - 3a3 + a3 = 0 ⇒ x = a ; existe un Mínimo = 0 . 4.
2 + 12x + 3x2 - 2x3 y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3 y'= 12 + 6x - 6x2. 12 + 6x - 6x2 = 0 = 6x2 - 6x - 12 . 6(x2 - x - 2) = 0 (x - 2) (x + 1) = 0 x = 2 ; x = - 1} Valores Críticos. Para: x = 2 . y"= 6 - 12 x. y"= 6 - 12(2) = + 6 - 24 = " - " . Máximo. Se sustituye x = 2 en la función original . y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3 y = 2 + 12(2) + 3(2)2 - 2(2)3 = 2 + 24 + 12 - 16 = 22. ⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 22 .
5.
Para: x = - 1 . y"= 6 - 12 x. y"(-1) = 6 - 12 (-1) = 6 + 12 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = -1 en la función original. y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3 y = 2 + 12(-1) + 3(-1)2 - 2(-1)3 = 2 - 12 + 3 + 2 = - 5. ⇒ x = - 1 ; existe un Mínimo = - 5 . 2 3x - 2x - 4x3 3 y = 3x - 2x2 - 4x3 3 y'= 3 - 4x - 4 ( 3 x2) = 3 - 4x - 4x2 = 0 3
.
3 - 4x - 4x2 = 0 = 4x2 + 4x - 3 = 0 (2x)2 + 2(2x) - 3 = 0 [2x + 3] [2x - 1] = 0 2x + 3 = 0 x = - 3/2. 2x - 1 = 0 x = 1/2. x = - 3/2 ; x = 1/2 } Valores Críticos. Para: x = - 3/2 . y"= - 4 - 8x y"(-3/2) = - 4 - 8(-3) = - 4 + 24 = - 4 + 12 = " + ". Mínimo. 2 2 Se reemplaza x = -3/2 en la función original. y = 3x - 2x2 - 4x3 3 y = 3 -3 - 2 - 3 2 - 4 - 3 2 2 3 2
3
=
- 9 - 2 9 - 4 - 27 2 4 3 8
y = - 9 - 18 + 108 = - 108 - 108 + 108 2 4 24 24 24 24
=
=
y = - 108 = - 54 = - 27 = - 9 . 24 12 6 2 ⇒ x = - 3/2 ; existe un Mínimo = - 9/2 . Para: x = 1/2 . y"= - 4 - 8x y"(1/2) = - 4 - 8(1/2) = - 4 - 4 = " - ". Máximo. Se sustituye x =1/2 en la función original para calcular el valor Máximo.
y = 3x - 2x2 - 4x3 3 y = 3(1/2) - 2(1/2)2 - 4(1/2)3 = 3 - 2 - 4 3 2 4 24
=
36 - 12 - 4 = 20 = 5 24 24 24 24 6 .
⇒ x = 1/2 ; existe un Máximo = 5/6 . 4.
3x4- 4x3 - 12x2 + 2 . y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2. y'= 12x3 - 12x2 - 24x. 12x3 - 12x2 - 24x = 0. 12x(x2 - x - 2) = 0 x =0 (x2 - x - 2) = 0 (x - 2 )(x + 1 ) = 0 x = 2. x = - 1. x = 0 ; x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos. Para: x = 0 . y"= 36x2 - 24x - 24. y"(0) = 36(0)2 - 24(0) - 24 = - 24 = " - " . Máximo. Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor
Máximo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2. y = 3(0)4- 4(0)3 - 12(0)2 + 2 = 2 ⇒ x = 0 ; existe un Máximo = 2 . Para: x = 2 . y"= 36x2 - 24x - 24. y"= 36(2)2 - 24(2) - 24 = 144 - 48 - 24 = + 144 - 72 = " + " . Mínimo. Se sustituye x = 2 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2. y = 3(2)4- 4(2)3 - 12(2)2 + 2 = 48 - 32 - 48 + 2 = - 30. ⇒ x = 2 ; existe un Mínimo = - 30 . Para: x = - 1 . y"= 36x2 - 24x - 24.
y"= 36(-1)2 - 24(-1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2. y = 3(-1)4- 4(-1)3 - 12(-1)2 + 2. y = 3(+1) - 4(-1) -12(+1) + 2 = 3 + 4 - 12 + 2 = - 3. ⇒ x = - 1 ; existe un Mínimo = - 3 . 7.
x4 - 4x2 + 4 y = x4 - 4x2 + 4 y'= 4x3 - 8x. 4x3 - 8x = . 4x(x2 - 2) = 0 x = 0. x2 - 2 = 0 x2 = 2 x = ± √2 x = 0. ; x = √2. ; x = - √2 } Valores Críticos. Para: x = 0. y"= 12x2 - 8. y"(0) = 12(0)2 - 8 = 0 - 8 = " - ". Máximo. Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = x4 - 4x2 + 4 y = (0)4 - 4(0)2 + 4 = + 4. ⇒ x = 0 ; existe un Máximo = + 4 . Para: x = √2 . y"= 12x2 - 8. y"(√2) = 12(√2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo. Mínimo.
Se sustituye x =√2, en la función original para calcular el valor
y = x4 - 4x2 + 4 y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ⇒ x = √2 ; existe un Mínimo = 0 .
Para: x = - √2 . y"= 12x2 - 8. y"= 12(- √2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = - √2, en la función origen para calcular el valor Mínimo
y = x4 - 4x2 + 4 = (- √2)4 - 4(- √2)2 + 4 . y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. ⇒ x = - √2 ; existe un Mínimo = 0 . 8.
ax . x + a2 2
y=
ax . x2 + a2
(x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2) y'= dx dx . 2 2 2 (x + a ) y'= (x2 + a2).(a) - (ax)(2x) (x2 + a2)2
=
ax2 + a3 - 2ax2 (x2 + a2)2
=
a3 - ax2 = (x2 + a2)2
a3 - ax2 = 0 . (x2 + a2)2 a3 - ax2 x =± a
=
0 , a3 = ax2 = a3 , x2 = a2 , x = ± a.
} Valores Críticos.
Para: x = a . y"=
y"=
(x2 + a2)2.d (a3 - ax2) - (a3 - ax2).d (x2 + a2)2 dx dx [(x2 + a2)2]2
.
(x2 + a2)2(- 2ax) - (a3 - ax2).2(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2) dx .
.
(x2 + a2)4 y"= (x2 + a2)2(- 2ax) - (a3 - ax2).2(x2 + a2)(2x) (x2 + a2)4 y"= -2x(x2 + a2){(x2 + a2)a + 2(a3 - ax2)} = (x2 + a2)4 y"= -2x (x2 + a2) {ax2 + a3 + 2a3 - 2ax2)} = - 2x (3a3 - ax2) (x2 + a2)4 (x2 + a2)3
=
Sustituyendo: x = a , en y". y"(a) =
- 2a.a (a2 + a2)3
=
- 2a2 (2a2)3
=
" - ". Máximo.
Se sustituye x = a, en la función origen para calcular el valor Máximo.
y = ax . x2 + a2 y(a) = a.a a2 + a2
=
a2 2a2
=
1. 2
⇒ x = a ; existe un Máximo = 1/2 . Para: x = - a . y"(-a) = - 2a.x . (x2 + a2)3 y"(-a) = - 2a.(-a) [(-a)2 + a2]3
=
+ 2a2 = + 2a2 = " + " . Mínimo. [a2 + a2]3 + (2a2)3
Se sustituye x = - a, en la función origen para calcular el valor Mínimo.
y = ax . x2 + a2
y(-a) = a.(-a) = - a2 (-a)2 + a2 + a2 + a2
=
- a2 2 a2
=
-1 . 2
⇒ x = - a ; existe un Mínimo = - 1/2 . 9. x3 + 9x2 + 27x + 9 . 3 y = x + 9x2 + 27x + 9. y'= 3x2 + 18x + 27. 3x2 + 18x + 27 = . 3(x2 + 6x + 9) = 0. (x2 + 6x + 9) = 0 . (x + 3) (x + 3) = 0 . x = - 3 } Valor Crítico. Para: x = - 3 . y"= 6x + 18. y"(-3) = 6(-3) + 18 = - 18 + 18 = 0 . Se anulan, por tanto no hay ni Máximos, ni Mínimos . 10.
12x + 9x2 - 4x3 y = 12x + 9x2 - 4x3 y'= 12 + 18x - 12x2. 12 + 18x - 12x2 = 0. - 6(2x2 - 3x - 2) = 0. (2x2 - 3x - 2) = 0. (2x)2 - 3(2x) - 2 = 0. (2x - 4) (2x + 1) = 0. 2x1 (x - 2)(2x + 1) = 0. (x - 2) = 0. x =2 2x = - 1. x =- 1 .
2 x = 2 ; x = - 1/2. } Valores Críticos. Para: x = 2 . y"= 18 - 24x. y"(2) = 18 - 24(2) = 18 - 48 = "-". Máximo. Se sustituye x = 2, en la función origen para calcular el valor Máximo.
y = 12x + 9x2 - 4x3 y(2) = 12(2) + 9(2)2 - 4(2)3 = 24 + 9(4) - 4(8) = 24 + 36 - 32 = 28. ⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 28 . Para: x = - 1/2. y"= 18 - 24x. y"(-1/2) = 18 - 24(-1/2) = 18 + 24/2 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = -1/2, en la función para calcular el valor Mínimo. y = 12x + 9x2 - 4x3. y(-1/2) = 12(-1/2) + 9(-1/2)2 - 4(-1/2)3 = - 12/2 + 9(1/4) - 4(-1/8) = y(-1/2) = - 12/2 + 9/4 + 4/8 = - 12/2 + 9/4 + 1/2 = - 11/2 + 9/4 = - 22/4 + 9/4 = - 13/4. ⇒ x = - 1/2 ; existe un Máximo = - 13/4 . 11.
x2(x - 4)2 y = x2(x - 4)2 y'= x2.d (x - 4)2 + (x - 4)2.d (x2) dx dx 2 2-1 y'= x (2) (x - 4) .d (x - 4) + (x - 4)2(2x) dx y'= x2(2) (x - 4)(1) + (x - 4)2(2x) y'= 2x2(x - 4) + (x - 4)2(2x) = 2x(x - 4)[x + (x - 4)] = 2x(x - 4)(2x - 4)
Igualamos a cero: 2x(x - 4)(2x - 4) = 0. 2x = 0 ; x = 0. (x - 4) = 0 ; x = 4. (2x - 4) = 0 ; 2x = 4 ; x = 2.
x = 0 ; x = 4 ; x = 2. } Valores Críticos. Para: x = 0 . y"= 2x(x - 4).d [(2x - 4)] + (2x - 4).d [2x(x - 4)] dx dx y"= 2x(x - 4)(2) + (2x - 4).{2x.d (x - 4) + (x - 4).d (2x) } dx y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x(1) + (x - 4)(2) } y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2(x - 4)} y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2x - 8)} y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)} y"(0) = 4(0)[(0) - 4] + [2(0) - 4].{4(0) - 8]} y"(0) = (0)[- 4] + [(0) - 4].{0 - 8} = (0) + (- 4)( - 8) = 0 + 32 = " + ". Mínimo
Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo. y = x2(x - 4)2 y(0) = (0)2[(0) - 4]2 = (0) ( - 4)2 = (0)(4)2 = (0)(16) = 0. ⇒ x = 0 ; existe un Mínimo = 0 .
Para: x = 4 . y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)} y"(4) = 4(4)(4 - 4) + [2(4) - 4][4(4) - 8] y"(4) = 4(4)(0) + [4][16 - 8] = 0 + (4)(8) = "+". Mínimo. Se sustituye x = 4, en la función para calcular el valor Mínimo. y = x2(x - 4)2 y(4) = 42[4 - 4)2 = 16(0)2(0)2 = 0. ⇒ x = 4 ; existe un Mínimo = 0 . Para: x = 2 . y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)} y"(2) = 4(2)(2 - 4) + [2(2) - 4][4(2) - 8] = 8(-2) + (4 - 4)(8 - 8) = y"(2) = - 16 + (0)(0) = - 16 = "-". Máximo. Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo. y = x2(x - 4)2y(2) = 22(2 - 4)2 = 4(-2)2 = 4(2)2 = 4(4) = 16.
⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 16 . 12.
x2 + x3 - x4 3 4 y = x2 + x3 - x4 3 4 y'= 2x + 1 .3x2 - 1 . 4x3 3 4
=
2x + x2 - x3.
2x + x2 - x3 = 0. -x(x2 - x - 2) = 0. x = 0. (x2 - x - 2) = 0. (x - 2)(x + 1) = 0. x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos. Para: x = 0 . y"= 2 + 2x - 3x2. y"(0) = 2 + 2(0) - 3(0)2 = + 2 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo. y = x2 + x3 - x4 3 4 y(0) = (0)2 + (0)3 - (0)4 = 0 3 4 ⇒ x = 0 ; existe un Mínimo = 0 . Para: x = 2 . y"= 2 + 2x - 3x2. y"(2) = 2 + 2(2) - 3(2)2 = 2 + 4 - 12 = 6 - 12 = " - ". Máximo. Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo. y = x2 + x3 - x4 3 4
y(2) = (2)2 + (2)3 - (2)4 = 4 + 8 - 16 = 4 + 8 - 4 = 8 . 3 4 3 4 3 3 ⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 8/3 . Para: x = - 1 . y"= 2 + 2x - 3x2. y"(-1) = 2 + 2(-1) - 3(-1)2 = 2 - 2 - 3 = - 3 = " - ". Máximo. Se sustituye x = - 1, en la función para calcular el valor Máximo. y = x2 + x3 - x4 3 4 y = (-1)2 + (-1)3 - (-1)4 = 1 - 1 - 1 = 12 - 4 - 3 = 5 . 3 4 3 4 12 12 12 12 ⇒ x = - 1 ; existe un Máximo = 5/12 . 13.
x2 - a4 . x2 y = x2 - a4 . x2 y'= 2x - { - a4 .d (x2) } (x2)2 dx y'= 2x + { a4 .(2x)} = 2x + 2a4.x = 2x + 2a4 = 2(x + a4) = 0. x4 x .x3 x3 x3 ( x + a4 ) = 0 x3
x4 + a4 = 0 x3 x3 = 0
x =0 x4 + a4 = 0 x4 = - a4 x = √- a4 = √(a4)(-1) = √a4 . √-1 = a2.i. x = 0 ; x = a2.i } Valores críticos. Para: x = 0 . y'= 2x + 2a4 x3
.
y"= 2 + { (- 2a4 ).d (x3) } = 2 - { 2a4 . 3x2 } = 2 - 6a4.x2 (x3)2 x6 x2.x4
=
y"= 2 - 6a4 = 2x4 - 6a4 . x4 x4 y"(0) = 2x4 - 6a4 = 2(0)4 - 6a4 = 0 - 6a4 = - 6a4 x4 (0)4 0
=
∞.
0
Cuando y" = ∞ . No hay ni Máximos, ni Mínimos en x = 0. Para: x = a2i, por ser un valor crítico imaginario, tampoco hay ni Máximos ni Mínimos.
Problemas -Pagina 98 Hallar los puntos de inflexión y el sentido de concavidad de la curva . 3.
y = x2 . y' = x2. y' (x) = 2x. y"(x) = + 2 = " + ".
Siendo: y"(x) = + , por ende la curva es concava hacia arriba en todos sus puntos 4.
y = 5 - 2x - x2 . y'= - 2 - 2x. y"= - 2 = " - ". y"= - , por ende la curva es concava hacia abajo en todos sus puntos.
5.
y = x3 . y'= 3x2. y"= 6x. 6x = 0 → x = 0.
6.
Para: x = 0. Primero, para x < 0 = - 0,1. y"= 6x. y"= 6(- 0,1) = " - ". Luego, para x > 0 = 0,1. y"= 6x. y"= 6( 0,1) = " + ". Como cambia de signo, hay punto de inflexión. x = 0 se sustituye en en la función original. y = x3. y = (0)3 = 0. ⇒ Punto de inflexión (0,0) . Es concava hacia abajo, a la izquierda de (0,0). Es concava hacia arriba, a la derecha de (0,0). y = x4 . y'= 4x3. y"= 12x2. 12x2 = 0 . Para: x = 0 . Primero, para x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y". y"= 12x2. y"= 12(- 0,1)2 = 12( 0,1)2 = " + ".
Luego, para x > 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en y". y"= 12x2. y"(0,1) = 12x2 = 12(0,1) = " + ". Como no hay variación de signos, no hay Puntos de inflexión. Tambien observamos que: y"= +, ⇒ la curva es concava hacia arriba en todos sus puntos. 7.
y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25 . y'= 6x2 - 6x - 36. y"= 12x - 6. 12x - 6 = 0. 6(2x - 1) = 0. 2x - 1 = 0 → x = 1/2. Para: x = 1/2 . Primero, para: x < 1/2 = 0,4. Se reemplaza este valor en y". y"= 12x - 6. y"= 12(0,4) - 6 = 4,8 - 6 = " - ". Luego: x > 1/2 = 0,6. Se reemplaza este valor en y". y"= 12x - 6. y"= 12(0,6) - 6 = 7,2 - 6 = " + ". Como cambia de signo ,hay un punto de inflexión. x = 1/2 = 0,5 en la función para determinar el punto de inflexión. y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25. y = 2(0,5)3 - 3(0,5)2 - 36(0,5) + 25 = 2(0,125) - 3(0,25) - 18 + 25 = y = 0,25 - 0,75 + 7 = 6.5 = 13/2. ⇒ en x = 1/2 hay un Punto de inflexión (1/2 , 13/2) . La curva es concava hacia abajo, a la izquierda de x = 1/2. La curva es concava hacia arriba, a la derecha de x = 1/2.
8.-
y = 24x2 - x4 . y'= 48x - 4x3. y"= 48 - 12x2. 48 - 12x2 = 0 - 12(x2 - 4) = 0. (x2 - 4) = 0.
x2 = 4x . →
x = ± 2.
Para: x = 2 . Primero: para x < 2 = 1,9. Se reemplaza este valor en y". y"= 48 - 12x2. y"= 48 - 12(1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". Luego: x > 2 = 2,1. Se reemplaza este valor en y". y"= 48 - 12x2. y"= 48 - 12(2,1)2 = 48 - 12(4,41) = 48 - 52.92 = " - ". Como cambia de signo hay punto de inflexión. x = 2 , en la función para determinar el punto de inflexión. y = 24x2 - x4. y(2) = 24(2)2 - (2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80. ⇒ en x = 2,hay punto de inflexión (2 , 80) .
9.
Para: x = - 2 . x < - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en y". y"= 48 - 12x2. y"( - 2,1) = 48 - 12(- 2,1)2 = 48 - 12(+ 4,41) = 48 - 52.92 = " - ". Luego: x > - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en y". y"= 48 - 12x2. y"= 48 - 12(- 1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". Como cambia de signo hay punto de inflexión. x = - 2 , en la función para determinar el punto de inflexión. y = 24x2 - x4. y = 24(-2)2 - (-2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80. ⇒ en x = - 2,hay punto de inflexión ( - 2 , 80) . y =x + 1 . x y'= 1 + {(-1).d (x) } = 1 - { 1 .(1) } = 1 - 1 x2 dx
x2
x2 .d (x2 - 1) - (x2 - 1).d (x2)
x2
=
x2 - 1 = 0 . x2
y"=
dx
dx
=
(x2)2
x2(2x) - (x2 - 1)(2x) = x4
y"= 2x{x2- (x2 - 1)} = 2x(x2 - x2 + 1) = 2x.(1) = 2 . x4 x4 x3. x x3 x3 = 0. x = 0. Cuando x = 0, tanto en la 1ra asi como en la 2da derivada se vuelven infinitas, por lo tanto no hay punto de inflexión. y'(0) = x2 - 1 = 0 - 1 = - 1 = ∞ x2 0 0 y"= 2 = 2 = ∞ . x3 0 10.
y = x2 + 1 . x y = x2 + x -1 y'= 2x + (-1)(x-1-1) = 2x - x -2 . y'= 2x - x -2 . y"= 2 - (-2)(x -2-1) = 2 + 2.x-3 = 2 + 2 . x3 2 + 2 = 2x3 + 2 = 0. x3 x3 2x3 + 2 = 0.2(x3 + 1) = 0 x3 = -1 ⇒ x = - 1 . Para: x = - 1. x < - 1 = - 1,1 . Se reemplaza este valor en y". y"= 2 + 2 = 2 + 2 =2+ 2 2 = = 2 3 3 x (-1,1) (-1,331) 1,331 y" = 2 - 1,502629601803 = " + " .
Luego: x > - 1 = - 0,9. Se reemplaza este valor en y". y"= 2 + 2 = 2 + 2 3 x (-0,9)3
=
y"= 2 - 2,743484224966
2+
=
2 = (- 0,729)
"-".
Como cambia de signo hay punto de inflexión. x = - 1 , en la función para determinar el punto de inflexión. y = x2 + 1 . x y = (-1)2 + 1 = 1 - 1 = 0. (-1) ⇒ en x = - 1, hay punto de inflexión ( - 1 , 0) . Es concava hacia arriba a la izquierda de x = - 1 . Es concava hacia abajo a la derecha de x = - 1 .
Problemas - Pagina 100 Hallar las ecuaciones de la Tangente y la Normal en cada punto de inflexión. 2.
3y = x3 - 3x2 - 9x + 11
y = x3 - 3x2 - 9x + 11 3 y = x3 - 3x2 - 9 x + 11 3 3 3 3
=
x3 - x2 - 3x + 11 . 3 3
y'= 1 . 3 x2 - 2x - 3 = x2 - 2x - 3. 3
.
y'= x2 - 2x - 3 = 0. x2 - 2x - 3 = 0. (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 ; x = - 1. Para: x = 3 , se reemplaza en y" . y'= x2 - 2x - 3 y"= 2x - 2. y"= 2(3) - 2 = 6 - 2 = " + ". Mínimo. Luego: se sustituye x = 3 en la función original. y = x3 - 3x2 - 9x + 11 3 y = 33 - 3(3)2 - 9(3) + 11 = 27 - 27 - 27 + 11 = - 16 . 3 3 3 ⇒ en x = 3, hay un Mínimo = - 16/3 . Para: x = - 1, se reemplaza en y" . y"= 2x - 2. y"= 2(-1) - 2 = - 2 - 2 = " - " . Máximo. Se sustituye x = -1 en la función original. y = x3 - 3x2 - 9x + 11 3 y = (-1)3 - 3(-1)2 - 9(-1) + 11 = - 1 - 3 + 9 + 11 = - 4 + 20 = 16 . 3 3 3 3
⇒ en x = - 1, hay un Máximo = 16/3 . Para encontrar el punto de inflexión, hacemos y"= 0. y"= 2x - 2 = 0 2x - 2 = 0 2(x - 1) = 0 → x = 1. Para: x = 1 . Para: x < 1 = 0,9 .Se sustituye este valor en y". y"= 2x - 2. y"= 2(0,9) - 2 = 1,8 - 2 = " - ". Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en y". y"= 2x - 2. y"(1,1) = 2(1,1) - 2 = 2,2 - 2 = " + ". Como cambia de signo hay punto de inflexión. x = 1 , en la función original para determinar el punto de inflexión. y = x3 - 3x2 - 9x + 11 3 y = 13 - 3(1)2 - 9(1) + 11 = 1 - 3 - 9 + 11 = 12 - 12 = 0 = 0 3 3 3 3 ⇒ en x = 1, hay punto de inflexión ( 1 , 0) . Ecuación de la Tangente:en el punto (1,0) . Primero calculamos la pendiente : y'= m . m = y'(1) = 12 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = 1 - 5 = - 4. m = - 4. y - y1 = m(x - x1) y - 0 = - 4 (x - 1). y = - 4x + 4. 4x + y - 4 = 0 → Ecuación de la Tangente .
Ecuación de la Normal: en el punto (1,0) . y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - 0 = - 1 (x - 1) -4 y =x - 1 4 4y = x - 1 = 4y ; x - 4y - 1 = 0 → Ecuación de la Normal. 3.
6y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3 . y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3. 6 y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3 6 6 6 6 y'= - 4 - 5 .2x - 1 . 3x2 2 3
=
=
2 - 4x - 5x2 - x3 . 2 3
- 4 - 5x - x2 .
y'= - 4 - 5x - x2 = 0 = x2 + 5x + 4 = 0. (x + 4)(x + 1) = 0. x = - 4 ; x = - 1. Se sustituye x = 4 en y" para ver si hay Máximos o mínimos. y'= - 4 - 5x - x2 y"= - 5 - 2x . y"(4) = - 5 - 2(- 4) = - 5 + 8 = " + ". Mínimo . Ahora: x = - 4 en la función original .
y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3.
6 y(- 4) = 12 - 24(- 4) - 15(- 4)2 - 2(- 4)3 = 12 + 96 - 240 + 128 = 6 y(- 4) = - 452 = - 4 6 6
=
6
-2 . 3
⇒ en x = - 4, hay un Mínimo = - 2/3 . Se sustituye x = - 1 en y" para ver si hay Máximos o mínimos. y"= - 5 - 2x . y"(-1) = - 5 - 2(-1) = - 5 + 2 = " - ". Máximo. Ahora: x = - 1 en la función original . y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3. 6 y = 12 - 24(-1) - 15(-1)2 - 2(-1)3 = 12 + 24 - 15 + 2 6 ⇒ en x = - 1, hay un Máximo = 23/6 .
6
Luego pasamos a ver si hay puntos de inflexión. y"= - 5 - 2x = 0. - 5 - 2x = 0 . - 5 = 2x → x = - 5/2 = - 2,5. x < - 2,5 = - 2,6 . Se sustituye este valor en y". y"= - 5 - 2x . y"(- 2,6) = - 5 - 2(- 2,6) = - 5 + 5,2 = " + " .
=
23 . 6
x > - 2,5 = - 2,4. Se sustituye este valor en y". y"= - 5 - 2x = 0. y"(- 2,4) = - 5 - 2(- 2,4) = - 5 + 4,8 = " - " . Hay cambio de signo, hay punto de inflexión. x = - 5/2 = - 2,5. Se sustituye en "y",para encontrar el valor del punto de inflexión. y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3. 6 y = 12 - 24(- 2,5) - 15(- 2,5)2 - 2(- 2,5)3 . 6 y = 12 + 60 - 93,75 + 31,25 = 9,5 = 19/2 = 19 . 6 6 6 12 ⇒ en x = - 5/2, hay punto de inflexión ( - 5/2 , 19/12) . Ecuación de la Tangente:en el punto (- 5/2 , 19/12) . Primero calculamos la pendiente : m = y'= - 4 - 5x - x2 m = y'= - 4 - 5(- 2,5) - (- 2,5)2 = - 4 + 12,5 - 6,25 = 2,25 = 9/4. y - y1 = m(x - x1) y - 19 = 9 [x - ( - 5/2)] 12 4 m.c.m = 12. 12y - 19 = 27[x - ( - 5/2)] 12y - 19 = 27(x + 5/2) 12y - 19 = 27x + 135/2 = 12y - 19. 27x - 12y + 135/2 + 19 = 27x - 12y + 173/2.(Ecuación de la tangente) .
Ecuación de la Normal: en el punto (- 5/2 , 19/12) = ( - 2,5 , 19/12).
y - 19 = - 1 [x - ( -5 )] 12 9/4 2 y - 19 = - 4 [x + 5 ] 12 9 2 y - 19 = - 4 [2x + 5 ] 12 9 2 y - 19 = - 4 [2x + 5 ] 12 18 m.c.m. = 36 . 36y - 57 = - 8 ( 2x + 5 ) 36y - 57 = - 16x - 40 . 36y + 16x - 57 + 40 = 0 . 36y + 16x - 17 = 0 . → Ecuación de la Normal. 4.
y = x4 - 8x2 . y '= 4x3 - 16x. 4x3 - 16x = 0. 4x(x2 - 4) = 0. x = 0. (x2 - 4) = 0. → x2 = 4. → x = ± 2 . y"= 12x2 - 16. x = 0 en y". y"= 12x2 - 16. y"(0) = 12(0)2 - 16 = 0 - 16 = " - ". Máximo. x = 0 se sustituye en la función original. y = x4 - 8x2. y(0) = (0)4 - 8(0)2 = 0 - 0 = 0. ⇒ en x = 0, hay un Máximo = 0 . x = 2 en y". y"= 12x2 - 16. y"(2) = 12(2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo. x = 2 se sustituye en la función original.
y = x4 - 8x2. y(2) = (2)4 - 8(2)2 = 16 - 32 = - 16. ⇒ en x = 2, hay un Mínimo = - 16 . x = - 2 en y". y"= 12x2 - 16. y"(-2) = 12(- 2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo. x = - 2 en función original. y = x4 - 8x2. y(- 2) = (- 2)4 - 8(- 2)2 = 16 - 32 = - 16 . ⇒ en x = - 2, hay un Mínimo = - 16 . Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexión
y"= 12x2 - 16 = 0. 4(3x2 - 4) = 0 (3x2 - 4) = 0 3x2 = 4 . x2 = 4/3 . x = √4/3 = √1,33
=
± 1,154700538379 .
Para: x = 1,15 . x < 1,15 = 1,14 se sustituye en y". y"= 12x2 - 16 = 0. y"(1,14) = 12(1,14)2 - 16 = 12(1,2996) - 16 = 15,5952 - 16 = " - ". x > 1,15 = 1,16 se sustituye en y". y"= 12x2 - 16 = 0. y"(1,16) = 12(1,16)2 - 16 = 12(1,3456 0) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = + √4/3 en la función original. y = x4 - 8x2. y(√4/3) = (√4/3)4 - 8(√4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 = y(√4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9. ⇒ en x = (√4/3) , hay punto de inflexión (+√4/3 , - 80/9) = (+1,15… ,- 80/9)
Para: x = - 1,15 . x < - 1,15 = - 1,16 , se sustituye en y". y"= 12x2 - 16 = 0.
y"(-1,16) = 12(-1,16)2 - 16 = 12(1,3456) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ". x > - 1,15 = - 1,14 , se sustituye en y". y"= 12x2 - 16 = 0. y"(- 1,14) = 12(- 1,14)2 - 16 = 12(1.2996) = 15,5952 - 16 = " - ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = - √4/3 en la función original. y = x4 - 8x2. y(- √4/3) = (- √4/3)4 - 8(- √4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 = y(- √4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9. ⇒ en x = (- √4/3) , hay punto de inflexión (- √4/3 , - 80/9) = (-1,15 … , - 80/9).
5.
y = 5x - x5 . y'= 5 - 5x4 = 0. 5 - 5x4 = 0. - 5(x4 - 1) = 0. (x4 - 1) = 0. (x2 + 1)(x2 - 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1). (x2 + 1) = 0 → x2 = - 1 . → x = i (x + 1) = 0 → x = - 1 . (x - 1) = 0 → x = 1 . y'= 5 - 5x4 = 0. Para: x = 1 , se sustituye en y". y"= - 20x3 . y"(1) = - 20(1)3 = - 20 (1) = " - ". Máximo. x = 1 en la función original para conocer el valor Máximo. y = 5x - x5. y(1) = 5(1) - (1)5 = 5 - 1 = 4. ⇒ en x = 1, hay un Máximo = 4 . Para: x = - 1, se sustituye en y". y"= - 20x3 . y"(- 1) = - 20(- 1)3 = - 20(- 1) = " + ". Mínimo. x = - 1 en la función original para conocer el valor mínimo. y = 5x - x5. y(-1) = 5(-1) - (-1)5 = - 5 + 1 = - 4. ⇒ en x = - 1, hay un Mínimo = - 4 .
Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexión
6.
y"= - 20x3 . - 20x3 = 0 x = 0. x < 0 = - 0,1 . Se sustituye en y". y"= - 20x3 . y"(- 0,1) = - 20(- 0,1)3 = - 20(- 0,001) = " + ". x > 0 = 0,1. Se sustituye en y". y"= - 20x3 . y"(0,1) = - 20(0,1)3 = - 20(0,001) = " - ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = 0 en la función original. y = 5x - x5. y(0) = 5(0) - (0)5 = 0. ⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) . y = 6x . x2 + 3 (x2 + 3).d (6x) - (6x).d (x2 + 3) y'= dx dx . 2 2 (x + 3) y'= (x2 + 3)(6) - (6x)(2x) (x2 + 3)2
=
6x2 + 18 - 12x2 (x2 + 3)2
=
18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2
18 - 6x2 = 0 - 6(x2 - 3) = 0 (x2 - 3) = 0 x2 = 3 x = √3 → x = ± √3 Tomando como referencia al 1er método de Máximos y Mínimos. Para: x = √3 = 1,732050807569. x < √3 = 1,73 . Sustituimos este valor en y'. y'= 18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2
y'(1,73) = 18 - 6(1,73)2 = 18 - 6(2,9929) = [(1,73)2 + 3]2 (2,9929 + 3)2 y'(1,73) = 18 - 17,9574 = 0,04260 = " + ". (5,9929)2 35,91485041 x > √3 = 1,74 . Sustituimos este valor en y'. y'= 18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2 y'(1,74) = 18 - 6(1,74)2 = 18 - 6(1,74)2 = 18 - 6(3,0276) = [(1,74)2 + 3]2 [(1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2 y'(1,74) = 18 -18,1656 = - = " - " . + + Como va de " + " a " - " hay un Máximo. Sustituyendo √3 en la función. y = 6x = 6(√3) = 6 √3 = 6 √3 x2 + 3 (√3)2 + 3 3 + 3 6
=
√3 = 1,732050807569 .
⇒ en x = √3, hay un Máximo = √3 . Para: x = - √3 . Primero: hacemos , x < - √3 = - 1,74. Sustituimos este valor en y'. y'= 18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2 y'(- 1,74) = 18 - 6(- 1,74)2 = 18 - 6(3,0276) = 18 - 18.1656 = - = " - " [(- 1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2 + +
Luego: hacemos , x > - √3 = - 1,72 . Sustituimos este valor en y'. y'= 18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2 y'(-1,72) = 18 - 6(-1,72)2 = 18 - 6(2,9584) = 18 - 17.7504 = +
=
"+"
[(-1,72)2 + 3]2 [2,9584 + 3]2 (5,9584)2
+
Como va de " - " a " + " hay un Mínimo. Sustituyendo - √3 en la función. y = 6x . x2 + 3 y = 6(-√3) = - 6√3 = - 6 √3 (- √3)2 + 3 3 + 3 6
=
- √3 = - 1,732050807569 . .
⇒ en x = - √3, hay un Mínimo = - √3 = - 1,732050807569 . Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión.
y'= 18 - 6x2 = 0 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2.d (18 - 6x2) - (18 - 6x2).d (x2 + 3)2 y"= dx dx . (x2 + 3)2 (x2 + 3)2(- 12x) - (18 - 6x2)(2)(x2 + 3)2-1.d (x2 + 3) y"= dx . (x2 + 3)2 y"= (x2+ 3)2(-12x) - 2(18 - 6x2)(x2+3)(2x) = (x2 + 3)2 (x2 + 3)2 y"= - (2x)(x2 + 3){6(x2 + 3) + 2(18 - 6x2) = (x2 + 3)2 y"= - (2x) (x2 + 3) {6(x2 + 3) + 2(18 - 6x2) (x2 + 3)2 2
3)
(x2 + 3) (x2 + 3)
=
(x2 +
y"= - 2x {6x2 + 18 + 36 - 12x2) = - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) (x2 + 3) - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. x = 0. ( 54 - 6x2 ) = 0. 54 = 6x2 = 54 x2 = 54 = 9 6 x = ± √9
=
± 3
Para: x = 0 . x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y". y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(- 0,1) = - 2(-0,1) [ 54 - 6(- 0,1)2] = 0,2[54 - 6(0,01)] = 2,7 - 0,06 = + = "+" [(- 0,1)2 + 3] (0,01 + 3) + +
Luego: x > 0 = 0,1 . Se sustituye este valor en y". y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(0,1) = - 2(0,1) { 54 - 6(0,1)2} = (- 0,1) { 54 - 6(0,01)} = [(0,1)2 + 3] + y"(0,1) = (- 0,1)(54 - 0,06) = ( - )( + ) = + + +
=
" - ".
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = 0 se sustituye en la función original, para calcular el valor del punto de inflexión . y = 6x . x2 + 3 y(0) =
6(0)
=
0
=
0.
(0)2 + 3
3
⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) . Para : x = 3 . x < 3 = 2,9 . Se sustituye en y". y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(2,9) = - 2(2,9) { 54 - 6(2,9)2} = (- 5,8) {54 - 6( 5,8)} = [(2,9)2 + 3] + y"= (- 5,8)(54 - 34,8) = ( - ) ( + ) = + + +
=
" - ".
Luego: x > 3 = 3,1 . Se sustituye este valor en y. y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(3,1) = - 2(3,1){54 - 6(3,1)2} = (- 6,2){ 54 - 6 (9,61)} = [(3,1)2 + 3] +
y"= (- 6,2) (54 - 57,66) = ( - ) ( - ) = + = " + ". + + + Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 3, en la función original,para calcular el valor del punto de inflexión . y = 6x . x2 + 3 y(3) =
6(3) (3)2 + 3
=
18 12
=
3. 2
⇒ en x = 3 , hay punto de inflexión ( 3 , 3/2) .
Para: x = - 3 . x < - 3 = - 3,1 .Se sustituye este valor en y". y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(-3,1) = - 2(-3,1) { 54 - 6(-3,1)2} = (6,2){54 - 6(9,61)} = [(-3,1)2 + 3] [(3,1)2 + 3] y"= (6,2) (54 - 57,66) = ( + ) ( - ) = - = " - ". + + + Luego: x > - 3 = - 2,9 . Se sustituye este valor en y". y"= - 2x ( 54 - 6x2 ) = 0. (x2 + 3) y"(- 2,9) = - 2(- 2,9){54 - 6(- 2,9)2} = (5,8){54 - 6(5,8)} = {(- 2,9)2 + 3] (5,8 + 3) y"(- 2,9) = (5,8)(54 - 34,8) = (5,8)(54 - 34,8) = ( + ) ( + ) = " + ". + + + Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = - 3 , en la función original. y = 6x . x2 + 3 y(-3) =
6(-3) (-3)2 + 3
=
- 18 9+3
=
-18 12
=
-3 . 2
⇒ en x = - 3 , hay punto de inflexión ( - 3 , - 3/2) . 7.
y = x3 + 6x2 .
y'= 3x2 + 12x . 3x2 + 12x = 0. 3x(x + 4) = 0 . x =0 . (x + 4) = 0 . x =- 4 . y"= 6x + 12 . Para: x = 0. Se sustituye este valor en y". y"= 6x + 12 . y"= 6(0) + 12 = "+". Hay un Mínimo. Sustituimos x = 0 en la función. y = x3 + 6x2 . y(0) = (0)3 + 6(0)2 = 0 . ⇒ x = 0 , existe un Mínimo = 0 . Para: x = - 4. Se sustituye este valor en y". y"= 6x + 12 . y"(- 4) = 6(- 4) + 12 = - 24 + 12 = "-". Hay un Máximo. Sustituimos x = (- 4) en la función. y = x3 + 6x2 . y(- 4) = (- 4)3 + 6(- 4)2 = - 64 + 6(16) = - 64 + 96 = 32. ⇒ x = - 4 , existe un Máximo = 32 . Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión. y"= 6x + 12 = 0. 6x + 12 = 0. 6(x + 2) = 0 . → x = - 2 . Para: x = - 2, para saber si tiene punto de inflexión . x < - 2 = - 2,1 .Se sustituye este valor en y". y"= 6x + 12 = 0. y"(- 2,1) = 6(- 2,1) + 12 = - 12,6 + 12 = " - ". Luego: x > - 2 = - 1,9 . Se sustituye este valor en y". y"= 6x + 12 = 0. y"(- 1,9) = 6(- 1,9) + 12 = - 11,4 + 12 = " + ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = - 2 , en la función original. y = x3 + 6x2 .
y( -2) = (- 2)3 + 6(- 2)2 = - 8 + 6(4) = - 8 + 24 = 16. ⇒ en x = - 2 , hay punto de inflexión ( - 2 , 16) . 8.
y = 4 + 3x - x3. y'= 3 - 3x2 . 3 - 3x2 = 0. → - 3(x2 - 1) = 0. → (x2 - 1) = 0. → x = ± 1 . x = 1 , se sustituye en y". y"= - 6x. y"(1)= - 6(1) = " - ". Hay un Máximo . x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo. y = 4 + 3x - x3. y(1) = 4 + 3(1) - (1)3 = 4 + 3 - 1 = 6. ⇒ x = 1 , existe un Máximo = 6 . Para: x = - 1. Se sustituye este valor en y". y"= - 6x. y"(- 1) = - 6(- 1) = " + ". Hay un Mínimo . x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo. y = 4 + 3x - x3. y(- 1) = 4 + 3(- 1) - (- 1)3 = 4 - 3 + 1 = 2. ⇒ x = - 1 , existe un Mínimo = 2 . Tomando la 2da derivada, para saber si hay puntos de inflexión. y"= - 6x. - 6x = 0 x =0 Para: x = 0. x < 0 = - 0,1 .Se sustituye en y". y"= - 6x. y"(- 0,1) = - 6(- 0,1) = " + ". Luego: x > 0 = 0,1 .Se sustituye este valor en y". y"= - 6x. y"(0,1) = - 6(0,1) = " - ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = 0 , en la función original.
y = 4 + 3x - x3. y(0) = 4 + 3(0) - (0)3 = 4 + 0 - 0 = 4. ⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 4) . 9.
3y = 4x3 - 18x2 + 15x . y = 4x3 - 18x2 + 15x = 4 x3 - 18x2 + 15x 3 3 3 3
=
4x3 - 6x2 + 5x . 3
y'= 4 .3x2 - 12x + 5 = 4x2 - 12x + 5 . 3 4x2 - 12x + 5 = (4x)2 - 12(4x) + 20 = 0 . (4x - 10) (4x - 2) = 2 (2x - 5). 2 (2x - 1) = (2x - 5) (2x - 1) = 0 . 2 x 2 2x2 (2x - 5) = 0 x = 5/2 . (2x - 1) = 0 . x = 1/2 . y' = 4x2 - 12x + 5 . y"= 8x - 12 . Para: x = 5/2 .Se sustituye en y". y"= 8x - 12 . y"(5/2) = 8(5/2) - 12 = 20 - 12 = " + ". Hay un Mínimo. x = 5/2 = 2,5 se sustituye en la función original. y = 4x3 -18x2 + 15x = 4(2,5)3 - 18(2,5)2 + 15(2,5) = 3 3 y = 4(15,625) - 18(6,25) + 15(2,5) . 3
y = 62,5 -112,5 + 37,5 = 100 -112,5 = -12,5 = -125/10 = - 125 = 3 3 3 3 30 y = - 25/6 . ⇒ x = 5/2 , existe un Mínimo = - 25/6 . Para: x = 1/2. Se sustituye en y". y"= 8x - 12 . y"(1/2) = 8(1/2) - 12 = 4 - 12 = " - " . Máximo . x = 1/2 = 0,5 en la función original . y = 4x3 - 18x2 + 15x = 3 y(0,5) = 4(0,5)3-18(0,5)2 + 15(0,5) = 4(0.125) -18(0,25) + 7,5 = 3 3 y(0,5) = 0,5 - 4,5 + 7,5 = 8 - 4,5 = 3,5 = 35/10 3 3 3 30 ⇒ x = 1/2 , existe un Máximo = 7/6 .
10.
=
35 6
=
7 . 3
y = (x - a)3 + b . y'= 3(x - a)3-1.d (x - a) dx y '= 3(x - a)2(1) = 3(x - a)2 = 0 3(x - a)2 = 0 (x - a)2 = 0 x =a . y"= 3(2) (x - a)2-1.d (x - a) dx y"= 6 (x - a)(1) = 6(x - a) . Sustituyendo x = a , en y" , para saber si hay un Máximo o Mínimo.
y"= 6 (x - a)
y"(a) = 6 (a - a) = 6(0) = 0. No hay ni Máximos ni Mínimos. Luego: haciendo y"= 0 , para detectar los puntos de inflexión. 6 (x - a) = 0 (x - a) = 0 x =a Tomamos un x < a = 0,9a .Reemplazamos este valor en y". y"= 6 (x - a) y"(0,9a) = 6 [0,9a - a] = 5 (- 0,1a) = " - ". Tomamos un x > a = 1,1a . Reemplazamos este valor en y". y"= 6 (x - a) y"(1,1a) = 6 (1,1a - a) = 6 (0,1a) = " + ". Hay cambio de signo; ⇒ hay punto de inflexión. x = a , en la función original , para encontrar el punto de inflexión. y = (x - a)3 + b . y(a) = (a - a)3 + b = b . ⇒ en x = a , hay punto de inflexión ( a , b) . 11.
12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 . 12.y'= 4(x - 1)4 - 1.d (x -1) - 24(2)(x -1)2-1.d (x -1) dx dx 12y'= 4(x - 1)3(1) - 48(x - 1)(1) . 12y'= 4(x - 1)3 - 48(x - 1) . 12y'= 4(x - 1)[ (x - 1)2 - 12] . y'= 4(x - 1)[ (x - 1)2 - 12] = 0 12 y'= (x - 1)[ (x - 1)2 - 12] = 0 3 (x - 1)[(x - 1)2 - 12] = 0 (x - 1)
x =1 [(x - 1)2 - 12] = 0 (x - 1)2 - (√12)2 = 0 .(Diferencia de Cuadrados) . {(x - 1) + √12} {(x - 1) - √12} = {x - 1 + √12} {x - 1 - √12} = 0 {x - 1 + √12 } = 0 x = 1 - √12 = 1 - 3,464101615138 = - 2,464101615138 . x = - 2,464101615138 . {x - 1 - √12 } = 0 x = 1 + √12 = 1 + 3,464101615138 = 4,464101615138 . x = 4,464101615138 . Luego: Veremos si hay Máximos y Mínimos . y'= (x - 1)[ (x - 1)2 - 12] = 0 3 y'= (x - 1) (x - 1)2 - 12(x - 1) = (x - 1)3 - 4(x - 1) 3 3 3 y"= 1 . 3 . (x - 1)3-1.d (x - 1) - 4.d (x - 1) = 3 dx dx y"= (x - 1)2(1) - 4(1) = (x - 1)2 - 4. x = 1. en y", para saber si hay Máximos o Mínimos. y"= (x - 1)2 - 4 . y"(1) = [(1) - 1)]2 - 4 = (1 - 1)2 - 4 = 0 - 4 = " - ". Máximo. x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo. 12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 . 12y = (1 - 1)4 - 24(1 -1)2 = 0. ⇒ x = 1 , existe un Máximo = 0 . Para: x = - 2,464101615138; se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"(-2,46…) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = + Mínimo.
x = -2,464101615138 en la función original. 12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 . 12y = (-2,464101615138 - 1)4 - 24(-2,464101615138 -1)2 . 12y = (- 3,464101615138 )4 - 24(- 3,464101615138 )2. y = 144 - 24(12) = 144 - 288 = - 144 = - 12 . 12 12 12 ⇒ x = -2,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 . x = 4,464101615138. Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"(4,46…) = (4,46 - 1)2 - 4 = (3,46)2 = " + ". Mínimo. x = 4,46…en la función original. 12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 . 12y = (4,464101615138 - 1)4 - 24(4,464101615138 -1)2 . 12y = (3,464101615138)4 - 24(3,464101615138)2 = 144 - 24(12) = 12y = 144 - 288 = - 144 . y = - 144 = - 12 12 ⇒ x = 4,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 . Ahora veremos si hay Puntos de Inflexión: Para: x = 1 . x < 1 = 0,9 .Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"(0,9) = (0,9 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - . x > 1 = 1,1 .Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"(1,1) = (1,1 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - . No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión. Para: x = -2,464101615138 . x < -2,464101615138 = - 2,47 .Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"(- 2,47) = (- 2,47 - 1)2 - 4 = ( -3,47)2 - 4 = 12,0409 - 4 = "+". x > -2,464101615138 = - 2,46 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 . y"( -2,46) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = "+". No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión. Para: x = 4,464101615138 . x < 4,464101615138 = 4,46 .Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"( 4,46) = ( 4,46 - 1)2 - 4 = ( 3,46)2 - 4 = 11.9716 - 4 = + . x > 4,464101615138 = 4,47 .Se sustituye en y". y"= (x - 1)2 - 4 . y"( 4,47) = ( 4,47 - 1)2 - 4 = ( 3,47)2 - 4 = 12.0409 - 4 = + . No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión. 12.
y = x2(9 - x2) y'= x2.d (9 - x2) + (9 - x2).d (x2) dx dx y'= x2(-2x) + (9 - x2).(2x) = - 2x[x2 - (9 - x2)] = - 2x(x2 - 9 + x2) = y'= - 2x(2x2 - 9) = - 4x3 + 18x . 3 2 = - 4x + 18x = - 2x(2x - 9) = 0 x =0 (2x2 - 9) = 0 x2 = 9/2 = 4,5 . x = ± 2,12132034356 "Los valores críticos en y" para obtener los Máximos y Mínimos".
Para: x = 0 . y"= - 12x2 + 18 . y"(0) = - 12(0)2 + 18 = 0 + 18 = + . Mínimo . x = 0 en la función original, para calcular el valor Mínimo. y = x2(9 - x2) y(0) = (0)2(9 - 02) = (0)(9) = 0 ⇒ x = 0 , existe un Mínimo = 0 . Para: x = 2,12132034356 .
x < 2,12132034356 = 2,12. Se sustituye este valor en y". y"= - 12x2 + 18 . y"(2,12) = -12(2,12)2+18 = -12(4,4944)+18 = y"(2,12) = - 53,9328 + 18 = "-". Máximo.
x = 2,12132034356 en el origen, para calcular el valor Máximo y = x2(9 - x2) y(2,12…) = (2,12…)2[9 - (2,12…)2] = 4,5(9 - 4,5) = 4,5(4,5) = 20,25 ⇒ x = 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 . .
Para: x = - 2,12132034356 . x < - 2,12132034356 = - 2,13. Se sustituye este valor en y". y"= - 12x2 + 18 . y"(- 2,13) = -12(- 2,13)2 + 18 = -12(4,5369) + 18 = y"(- 2,13) = - 54,4428 + 18 = - Máximo. x = - 2,12132034356 en la función , para calcular el valor Máximo.
13.
y = x2(9 - x2) y(- 2,12…) = (- 2,12…)2[9 - (- 2,12…)2] = y(- 2,12…) = (4,5)[9 - (4,5)] = (4,5)(4,5) = 20,25. ⇒ x = - 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 . y = 2x5 - 5x2 . y'= 10x4 - 10x = 0. 10x(x3 - 1) = 0. x =0 . (x3 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) = 0. x - 1 =0 . (x2 + x + 1) = 0 (no se puede factorizar). Para: x = 0. en y" para ver si hay Máximos y mínimos. y"= 40x3 - 10 . y"(0) = 40(0)3 - 10 = 0 - 10 = " - " . Máximo. x = 0 en la función original para detectar el valor Máximo. y = 2x5 - 5x2 . y(0) = 2(0)5 - 5(0)2 = 0. ⇒ x = 0 , existe un Máximo = 0 . Para: x = 1 . Se sustituye este valor en y" .
y"= 40x3 - 10 . y"(1) = 40(1)3 - 10 = 40 - 10 = " + ". Mínimo. x = 1 en la función original para detectar el valor Mínimo. y = 2x5 - 5x2 . y(1) = 2(1)5 - 5(1)2 = 2 - 5 = - 3 . ⇒ x = 1 , existe un Mínimo = - 3 . 14.
y = 3x5 - 5x3 . y'= 15x4 - 15x2 . 15x4 - 15x2 = 0. 15x(x2 - 1) = 0 . x =0 (x2 - 1) = (x + 1)(x - 1) = 0 . Primero veremos si hay máximos y Mínimos. Para: x = 0 se sustituye en y". y"= 60x3 - 30x y"= 60(0)3 - 30(0) = 0. Puesto que y"= 0, no hay Máximos y Mínimos. Para: x = 1. Se sustituye en y" . y"= 60x3 - 30x y"= 60(1)3 - 30(1) = 60 - 30 = " + ". Mínimo. x = 1 en la función original. y = 3x5 - 5x3 = 3(1)5 - 5(1)3 = 3 - 5 = - 2 . ⇒ x = 1 , existe un Mínimo = - 2 . Para: x = - 1. Se sustituye en y" . y"= 60x3 - 30x y"= 60(-1)3 - 30(-1) = - 60 + 30 = - . Máximo . x = - 1 en la función original para detectar el valor Máximo. y = 3x5 - 5x3 = 3(-1)5 - 5(-1)3 = 3(-1) -5(-1) = - 3 + 5 = + 2 . ⇒ x = - 1 , existe un Máximo = + 2 . Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión . y"= 60x3 - 30x . 60x3 - 30x = 0 .
30x(2x2 - 1) = 0 . x = 0. (2x2 - 1) = 0. x2 = 1/2 = ± 0,7071067811865. Para: x = 0 . x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y". y"= 60x3 - 30x . y"= 60(- 0,1)3 - 30(- 0,1) = 60(- 0,001) + 3 = - 0,06 + 3 = " + " . x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en y". y"= 60x3 - 30x . y"= 60(0,1)3 - 30(0,1) = 60(0,001) - 3 = 0,06 - 3 = " - " . Hay cambio de signo; hay punto de inflexión. x = 0 , en la función original, para saber el punto de inflexión. y = 3x5 - 5x3 . y = 3(0)5 - 5(0)3 = 0. Punto de Inflexión ( 0 , 0 ) . Para: x = 0,7071067811865 . x < 0,7071067811865 = 0,70. Se sustituye este valor en y". y"= 60x3 - 30x = 60(0,70)3-30(0,70) = 60( 0,343 ) - 21 = y"= 20,58 - 21 = "-". x > 0,7071067811865 = 0,71. Se sustituye este valor en y". y"= 60x3 - 30x . y"= 60(0,71)3 - 30(0,71) = 60(0,357911) - 21,3 = y"= 21,47466 - 21,3 = "+". Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión. x = 0,7071067811865 , en la función original. y = 3x5 - 5x3 . y = 3(0,7071067811865)5 - 5(0,7071067811865)3 = y = 3(0,1767766952966) - 5(0,3535533905933) = y = 0,5303300858899 - 1,767766952966 = -1,237436867077 Punto de Inflexión (0,7071067811865 , -1,237436867077) .
Para: x = - 0,7071067811865 . x < - 0,7071067811865 = - 0,71. Se reemplaza en y". y"= 60x3 - 30x . y"= 60(- 0,71)3 -30(- 0,71) = 60(- 21,47466) + 21,3 = y"= - 21,47466 + 21,3 = "-" x > - 0,7071067811865 = - 0,70 . Se reemplaza en y". y"= 60x3 - 30x . y"= 60(- 0,70)3 - 30(- 0,70) = 60(- 0,343) + 21 = - 20,58 + 21 = "+". Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión. x = - 0,7071067811865 , en la función original. y = 3x5 - 5x3 . y = 3(- 0,7071067811865)5 - 5(- 0,7071067811865)3 = y = 3(- 0,1767766952966) - 5(- 0,3535533905933) = y = - 0,5303300858899 + 1,767766952966 = + 1,237436867077 Punto de Inflexión (- 0,7071067811865 , + 1,237436867077). 15.
y = x5- 5x4 y'= 5x4 - 20x3 5x4 - 20x3 = 0 5x3(x - 4) = 0 x = 0. x - 4 =0 x = 4. Sustituimos estos valores críticos en y"= 20x3 - 60x2 ., para detectar los Máximos o Mínimos. Para: x = 0 . y"= 20x3 - 60x2 . y"= 20(0)3 - 60(0)2 = 0. No Hay Ni Máximos Ni Mínimos, para x = 0 . Para: x = 4 . y"= 20x3 - 60x2 . y"= 20(4)3 - 60(4)2 = 20(64) - 60(16) = 1280 - 960 = + .Mínimo . x = 4 se sustituye en la función original.
y = x5- 5x4 y = (4)5- 5(4)4 = 1024 - 1280 = - 256 . ⇒ x = 4 , existe un Mínimo = - 256 . Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión . y"= 20x3 - 60x2 . 20x3 - 60x2 = . 20x2(x - 3) = 0. x =0 . x - 3 =0 x =3 Para: x = 0 . x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y". y"= 20x3 - 60x2 . y"= 20(- 0,1)3 - 60(- 0,1)2 = 20(- 0,001) - 60(0,01) = - 0,02 - 0,6 = "-" x > 0 = 0,1 . Se reemplaza este valor en y". y"= 20x3 - 60x2 . y"= 20(0,1)3 - 60(0,1)2 = 20(0,001) - 60(0.01) = 0,02 - 0,6 = - 058 = "-".
No Hay Puntos de Inflexión, para x = 0. Para: x = 3 . x < 3 = 2,9. Se reemplaza este valor en y". y"= 20x3 - 60x2 . y"= 20(2,9)3 - 60(2,9)2 = 20(24,389) - 60(8,41) = 487,78 - 504,6 = "-". x > 3 = 3,1 . Se reemplaza este valor en y". y"= 20x3 - 60x2 .
y"= 20(3,1)3 - 60(3,1)2 = 20(29,791) - 60(9,61) = 595,82 - 576,6 = +. Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión. x = 3 , en la función original. y = x5- 5x4 y = (3)5- 5(3)4 = 243 - 5(81) = 243 - 405 = - 162.
Punto de Inflexión ( 3 , - 162) . Ecuación de la Tangente:En el punto de inflexión(3 , - 162). Primero calculamos la pendiente.
m = y'= 5x4 - 20x3 en el punto(3,-162) m = y'= 5(3)4 - 20(3)3 = 5(81) - 20(27) = 405 - 540 = - 135 . Luego, calculamos la ecuación de la tangente: y - y1 = m(x - x1) y - (-162) = - 135(x - 3) y + 162 = - 135x + 405 135x + y + 162 - 405 = 0 135x + y - 243 = 0 → Ecuación de la Tangente . Ecuación de la normal: En el punto de inflexión(3 , - 162) . y - y1 = - 1 (x - x1) m1 y - (-162) = - 1 (x - 3) . → y + 162 = (x - 3) . -135 135 135(y + 162) = x - 3 x - 3 = 135y + 135(162) . x - 135y - 135(162) = 0 . x - 135y - 21870 = 0 . → Ecuación de la Normal . 16.
y = x(x2 - 4)2 y'= x.d (x2 - 4)2 + (x2 - 4)2.d (x) dx dx y'= x(2) (x2 - 4)2-1.d (x2 - 4) + (x2 - 4)2(1) dx y'= 2x(x2 - 4)(2x) + (x2 - 4)2 = (x2 - 4)[4x2 + (x2 - 4)] = y'= (x2 - 4)[4x2 + x2 - 4] = (x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. (x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. (x2 - 4) = 0. x2 = 4 x = ± √4 = ± 2 .
(5x2 - 4) = 0. 5x2 = 4 . x2 = 4/5 . x = ± √4/5 = ± √ 0,8 = ± 0,8944271909999 . Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay Máximos o Mínimos. y'= (x2 - 4)(5x2 - 4) y"= (x2 - 4).d (5x2 - 4) + (5x2 - 4).d (x2 - 4) dx dx 2 2 y"= (x - 4)(10x) + (5x - 4)(2x) = 2x[5(x2 - 4) + (5x2 - 4)] = y"= 2x(5x2 - 20 + 5x2 - 4) = 2x(10x2 - 24) = 20x3 - 48x. y"= 20x3 - 48x. Para: x = 2 .Se reemplaza en y" . y"= 20x3 - 48x. y"= 20(2)3 - 48(2) = 20(8) - 96 = 160 - 96 = + . Mínimo . x = 2 se reemplaza en la función original . y = x(x2 - 4)2 . y = (0)[(0)2 - 4]2 = (0)(- 4) = 0 ⇒ x = 2 , existe un Mínimo = 0 . Para: x = - 2 .Se sustituye en y" . y"= 20x3 - 48x. y"= 20(-2)3 - 48(-2) = 20(- 8) - (-96) = y"= - 160 + 96 = - . Máximo . x = - 2.
Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay Máximos o Mínimos y = x(x2 - 4)2 y = (- 2)[(- 2)2 - 4]2 = (- 2)(4 - 4)2 = (- 2)(0) = 0 . ⇒ x = - 2 , existe un Máximo = 0 . Para: x = 0,8944271909999 . Se reemplaza este valor en y".
y"= 20x3 - 48x. y"= 20(0,8944271909999)3 - 48(0,8944271909999). y"= 20(0,7155417527999) - 48(0,8944271909999). y"= 14,310835056 - 42,932505168 = - . Máximo . x = 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Máximo.
y = x(x2 - 4)2 y = (0,8944271909999)[( 0,8944271909999)2 - 4]2 = y = (0,89…)(0,8 - 4)2 = (0,89…)( - 3,2)2 = y = (0,89…)(10,24) = 9,158934435839 ⇒ x = 0,8944271909999 , existe un Máximo = 9,158934435839 .
Para: x = - 0,8944271909999 .Se reemplaza este valor en y" y"= 20x3 - 48x. y"= 20(- 0,8944271909999)3 - 48(- 0,8944271909999). y"= 20(- 0,7155417527999) - 48(- 0,8944271909999). y"= - 14,310835056 + 42,932505168 = + . Mínimo .
.
x = - 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Mínimo.
y = x(x2 - 4)2 y = (- 0,8944271909999)[(- 0,8944271909999)2 - 4]2 = y = (- 0,89…)(0,8 - 4)2= (- 0,89…)( - 3,2)2 = y = (- 0,89)(10,24) = - 9,158934435839 . ⇒ x = - 0,8944271909999 , existe un Mínimo = - 9,158934435839 .
17.
ay = x2 + a4 . x2 a.y'= 2x + ( - a4) .d (x2) ( x2 )2 dx a.y'= 2x + ( - a4) (2x) = 2x - 2a4. x = 2x - 2a4 x4 x . x3 x3 ay'= 2x4 - 2a4 x3
=
.
=
2x4 - 2a4) . y'= x3 = 2x4 - 2a4 = 2x4 - 2a4 a ax3 ax3 ax3 1
=
2 x3.x - 2 a3 . a a. x3 a .x3
=
y'= 2x - 2a3 . a x3 y"= 2 .dx - (- 2a3) . d (x3) = 2(1) + (2a3)(3x2) a dx (x3)2 dx a x6
=
2 + 6a3.x2 = a x2.x4
y"= 2 + 6a3.x2 = 2 + 6a3 . a x2.x4 a x4 Para: x = a. Se reemplaza este valor en y". y"= 2 + 6a3 → 2 + 6 a3 = 2 + 6 a3 = 2 + 6 ."+". Mínimo. a x4 a a4 a a .a3 a a x = a. Se sustituye en la función original . ay = x2 + a4 . x2 ay = a2 + a4 = a2 + a2 a2
=
2a2.
y = 2a2 = 2a . a = 2a. a a. ⇒ x = a , existe un Mínimo = 2a . Para: x = - a .Se reemplaza este valor en y" . y"= 2 + 6a3 . a x4
y"= 2 + 6a3 = 2 + 6a3 a (- a)4 a a3.a
=
2 + 6 a a
=
" + " . Mínimo .
x = - a .Se sustituye en la función original. ay = x2 + a4 . x2 ay = (- a)2 + a4 = a2 + a2. a2 (- a)2 a2 y = 2a.a a
=
=
2a2 =
2a. .
⇒ x = - a , existe un Mínimo = 2a . Tomamos la 2da derivada. Para detectar Puntos de Inflexión. y"= 2 + 6a3 = 0 . a x4 2 + 6a3 = 2x4 + 6a4 = 0 . a x4 a . x4 2x4 + 6a4 = 2(x4 + 3a4) = (x4 + 3a4) = x4 = - 3a4 . x = ∜- 3a4 .
El valor es imaginario,por tanto no hay puntos de inflexión. 18.
ay = x2 + 2a3 . x a.y'= 2x + (- 2a3).dx x2 dx 2x3 - 2a3 .
=
2x - 2a3(1) = 2x - 2a3 = 2x3 - 2a3 = x2 x2 x2
y'=
x2 a
=
2x3 - 2a3 = 2 x2.x - 2a2.a a.x2 a. x2 a .x2
=
2x - 2a2 . a x2.
y'= 2x - 2a2 = 2x3 - 2a3 = 0 a x2 ax2 x = 0 ; 2x3 - 2a3 = 2(x3 - a3) = 0 ; x3 = a3 → x = a . Ahora calculamos y". y'= 2x - 2a2 . a x2. y"= 2 . dx - (- 2a2) .d (x2) = 2 + 2a2(2x) a dx (x2)2 dx a x4 y"= 2 + 4a2.x = 2 + 4a2 x a x3.x a x .x3
=
Para: x = a . Se sustituye en y". y"= 2 + 4a2. a x3 y"= 2 + 4a2 = " + " . Mínimo . a (a3) x = a en la función original. ay = x2 + 2a3 . x ay = a2 + 2. a .a2 = a2 + 2a2 = 3a2. a . y = 3a2 = 3a a
2 + 4a2. a x3
=
⇒ x = a , existe un Mínimo = 3a . La 2da derivada , para ver si hay Máximos y mínimos . y"= 2 + 4a2 = 0. a x3 2 + 4a2 = 2x3 + 4a3 = 2x3 + 4a3 a x3 a.x3 a.x3
=
2(x3 + 2a3) = 0. a.x3
x3 + 2a3 = 0 ; x3 = - 2a3 ; x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a .
x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a . Para: x = -1,259921049895a . x < -1,259921049895a = - 1,26. Se sustituye en y". y"= 2 + 4a2. a x3 y"= 2 + 4a2 a (-1,259921049895a )3 y"= 2 - 4 a 2a
=
2 - 2 a a
=
=
2 + 4a2 = 2 3 a (- 1,25…a.a )
0
No hay Puntos de Inflexión, porque y"= 0 .
Problemas - Pagina 115 Derivar cada una de las siguientes funciones 1.
2.
y = ln (ax + b) y'=
1 .d (ax + b) (ax + b) dx
y'=
1 . (a) = a . (ax + b) (ax + b)
y = ln (ax2 + b) y'=
1 .d (ax2 + b) (ax + b) dx 2
y'=
1 .(2ax) = 2ax . (ax + b) (ax2 + b) 2
3.
y = ln (ax + b)2 . y'=
1 . d (ax + b)2 (ax + b)2 dx
y'=
1 . 2(ax + b)2-1.d (ax + b) (ax + b)2 dx
y'= 2(ax + b)(a) =
2a.(ax + b)
=
2a
.
(ax + b)2 4.
(ax + b) (ax + b)
(ax + b)
y = ln ax n y'= 1 .d (ax n) ax n dx y'= 1 (n.a.x n-1) = (n.a.x n-1) = n.a.xn.x -1 = n.x-1 = n . ax n a.x n a.x n x
5.
y = ln x3 . y'= 1 .d (x3) = 1 .d (x3) x3 dx x3 dx y'= 1 (3x2) = 3x2 = 3 . x3 x2.x x
6.
y = ln 3 x[ = (ln x)3] y'= 3(ln x)3-1.d (ln x) = 3(ln x)2. 1 .d (x) = 3(ln x)2(1) = dx x dx y'= 3(ln x)2 = 3 ln2x . x x
7.
8.
y = ln (2x3 - 3x2 + 4) . y'=
1 . d (2x3 - 3x2 + 4) = 1 .(6x2 - 6x) = (2x3 - 3x2 + 4) dx (2x3 - 3x2 + 4)
y'=
(6x2 - 6x) = 6x(x - 1) = (2x3 - 3x2 + 4) (2x3 - 3x2 + 4)
y = log 2 . x
y'= log e . d (2/x) = log e.(- 2 ).dx = x. log e (- 2 ) = 2/x dx 2/x x2 dx 2 x2 y'= - 2 log e.x 2.x.x 9.
y = ln
=
- log e . x
x2 . 1 + x2 (1+x2).d (x2) - (x2).d (1 + x2) (1 + x2).d (x2) - (x2).d (1 +
x2) y'=
1 d x2 2 x dx 1 + x2 2 1+x
=
1 + x2 x2
dx
dx (1 + x2)2
y'= 1 + x2 (1 + x2)(2x) - (x2)(2x) x2 (1 + x2)2
=
(1 + x2) (2x + 2x3 - 2x3) x2 (1 + x2)2
y'= (1 + x2) (2x + 2x3 - 2x3) = (1 + x2) { 2.x } = x2 (1 + x2)2 x . x (1 + x2)2 y'= 10.
(1 + x2) ( 2. x ) x . x. (1 + x2) (1 + x2)
=
2 . x (1 + x2)
y = ln √9 - 2x2 . y = ln (9 - 2x2)1/2 . y'=
1 . d (9 - 2x2)1/2 2 1/2 (9 - 2x ) dx
y'=
1 . 1 .(9 - 2x2)1/2-1.d (9 - 2x2) (9 - 2x2)1/2 2 dx
.
y'= (9 - 2x2)-1/2(- 4x) 2(9 - 2x2)1/2 11.
=
-4x 2 .(9 - 2x2)1/2.(9 - 2x2)1/2
=
- 2x (9 - 2x2)
y = ln (ax √a + x ) . y'=
1 .d (ax √a + x ) = (ax √a + x ) dx
y'=
1 .{a[x.d (√a + x ) + (√a + x ).d (x)] } (ax √a + x ) dx dx
y'=
1 .{a[ x + (√a + x )(1)] } . (ax √a + x ) 2√a + x .
y'= {a[ x + 2(√a + x )( √a + x ) ] } = a[ x + 2(a + x)] 2.(ax √a + x ) (√a + x ) 2.a.x.(√a+x)2 y' = a .(x + 2a + 2x) = 2a + 3x . 2. a .x.(a+x) 2x(a+x) 12.
f(x) = x ln x f '(x) = x .d (ln x) + (ln x).d (x) dx dx f '(x) = x . 1 .d (x) + (ln x)(1) = 1 + ln x x dx
13.
f (x) = ln (x + √1 + x2 ) f '(x) =
1 . d [x + √(1 + x2) ] = 2 (x + √1 + x ) dx
f '(x) =
1 {1+ 2x }= 2 2 [(x + √(1 + x ) ] (2√1 + x )
=
.
14.
f '(x) =
1 . [2√1 + x2 + 2x ] = [x + √(1 + x2 ) ] (2√1 + x2)
f '(x) =
[2(√1 + x2 ) + 2x ] . [x + √(1 + x2 ) ](2√1 + x2)
f '(x) =
2 (x + √1 + x2) (x + √1 + x2 ). ( 2 .√1 + x2)
f '(x) =
1 . √1 + x2 = √1 + x2 = √1 + x2 √1 + x2 √1 + x2 (√1 + x2)2 (1 + x2) (√1 + x2)2 1 + x2
s = ln s' =
a + bt a - bt
=
ln a + bt a - bt
1/2
a + bt a - bt
1/2
1 . d a + bt 1/2 dt a - bt
=
1 = (√1 + x2)
.
s'= (a - bt)1/2 . 1 . a + bt 1/2-1.d a + bt (a + bt)1/2 2 a - bt dt a - bt s'= (a - bt)1/2 . 1 . a + bt (a + bt)1/2 2 a - bt
s'= (a - bt)1/2. a - bt 2(a + bt)1/2 a + bt
-1/2
(a - bt).d (a + bt) - (a + bt).d (a - bt) dt dt . (a - bt)2
1/2
. (a - bt)(b) - (a + bt)(- b) (a - bt)4/2
s'= (a - bt)1/2.(a - bt)1/2 ab - b2t + ab + b2t . 2(a + bt)1/2(a + bt)1/2 (a - bt)(a - bt)1/2(a - bt)1/2 s'=
1 . ab - b2t + ab + b2t 2(a + bt) (a - bt)
=
2.ab ab . = 2(a + bt)(a - bt) (a2 - b2t2)
15.
f(x) = x2 ln x2 . f '(x) = x2.d (ln x2) + ln x2.d (x2) dx dx f '(x) = x2( 1 ).d (x2) + ln x2(2x) = x2( 1 )(2x) + ln x2(2x) = 2x(1 + ln x2) . x2 dx x2
16.
y = enx .
17.
y'= enx.d (nx) = enx(n) = n enx dx y = 10nx . y'= (10nx)(ln 10).d (nx) = (10nx)(ln 10)(n) = n(10nx)(ln 10) dx 2
18.
y = ex 2
2
2
y = ex .d (x2) = e x (2x) = 2x. e x 19.
.
y= 2 . ex y'= - 2 . d (ex ) = - 2. ex.d (x) = - 2. e x.(1) = - 2 . {e x}2 dx ex. ex dx ex e x ex
20.
s = e√t s'= e√t.d (√t) = e√t . 1 dt 2√t
21.
=
e√t . 2√t
z = b2y . z'= b2y.ln b.d (2y) = 2.b2y.ln b. dy
22.
u = s es . u'= s.d (es) + es.d (s) = s. es.ds + es(1) = s. es.(1) + es = s. es + es = es(s + 1) . ds ds ds
23.
v = eu . u v'=
24.
u.d eu - eu.d (u) u.eu.du - eu.(1) u u u u u du du = du = u.e (1) - e = u.e - e = e (u - 1) . 2 2 2 2 u u u u u2
y = ln x . x x.d (ln x) - (ln x).d (x) x . 1 .dx - (ln x)(1) y'= dx dx = x dx x2 x2
25.
=
1 - ln x . x2
y = ln (x2 ex) . y'=
1 .d (x2 ex) = 1 { x2.d ( ex) + (ex).d (x2) } (x ex) dx (x2 ex) dx dx 2
y'=
1 { x2( ex).d (x) + (ex)(2x) } = { x2( ex)(1) + (ex)(2x)} = (x ex) dx dx (x2 ex) 2
y'= x2( ex) + 2x(ex) (x2 ex) 26.
=
x . e x (x + 2) x . x. e x
=
x+2 x
=
x + 2 =1 + 2 . x x x
y = ex - 1 . ex + 1 (ex + 1).d (ex - 1) - (ex - 1).d (ex + 1) y'= dx dx . (ex + 1)2 (ex + 1)( ex).d (x) - (ex - 1).(ex).d (x) y'= dx dx (ex + 1)2
.
y'= (ex + 1)( ex)(1) - (ex - 1).(ex)(1) = (ex + 1)( ex) - (ex - 1).(ex) (ex + 1)2 (ex + 1)2 y'= (ex) [(ex + 1) - (ex - 1) } = (ex) ( ex + 1 - ex + 1) (ex + 1)2 (ex + 1)2
=
=
ex(2) = 2.ex . (ex + 1)2 (ex + 1)2
27.
y = x2 e -x . y'= x2.d (e -x) + (e -x).d (x2) = x2(e-x).d (- x) + (e -x)(2x) . dx dx dx
28.
y'= x2(e-x)(- 1) + (e -x)(2x) = - x2(e-x) + (e -x)(2x) = - x(e-x)(x - 2) = -x(x - 2) ex x/a -x/a y = a (e - e ) y'= a[(ex/a).d ( x ) - (e-x/a).d ( - x ) ] dx a dx a x/a -x/a y'= a[(e )( 1 ) - (e )(- 1 ) ] a a y'=. a . (ex/a) + a . (e-x/a) = (ex/a) + (e-x/a). a a . y'= ex/a +
29.
y
=
1 = (ex/a. ex/a + 1 ) = (ex/a)2 + 1 ) = (e2x/a + 1) . ex/a ex/a ex/a ex/a
e x - e- x e x + e -x
(e x + e -x).d (e x - e -x) - (e x - e -x).d (e x + e -x) y'= dx dx . (e x + e -x)2 (e x + e -x)[(e x).d (x) - (e -x).d (-x)] - (e x - e -x)[(e x).d (x) + (e -x).d (-x)] y'= dx dx dx dx . (e x + e -x)2 y'= (e x + e -x){(e x)(1) - (e -x)(-1)} - (e x - e -x){(e x)(1) + (e -x)(-1)} (e x + e -x)2 y'= (e x + e -x)(e x + e -x) - (e x - e -x)(e x - e -x) = (e x + e -x)2 - (e x - e -x)2 (e x + e -x)2 (e x + e -x)2 y'= (e x)2 + 2 e x e -x + (e -x)2 - {(e x)2 - 2 e x e -x + (e -x)2} (e x + e -x)2
y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - {e 2x - 2 e x.e -x + e -2x} (e x + e -x)2 y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x.e -x - e -2x (e x + e -x)2 y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x.e -x - e -2x (e x + e -x)2 y'=
4 e x e -x . (e + e -x)2 x
Pero: e x e -x = e x-x = e0 = 1 ⇒ y'=
30.
4 (1) ex + 1 e -x
= 2
4 ex.e-x + 1 2 e -x
=
4 . -x 2 4 = 1 = 4(e ) 1 + 1 2 22 22 e -x (e -x)2
=
4(e -2x) 4
=
1 . e 2x
s = ln t2 . t2 (t2).d (ln t2) - (ln t2).d (t2) s'= dt dt . (t2)2 ( t2 )( 1 ).d ( t2) - (ln t2)(2t) 2 2 2 s'= . t 2 dt = 2t - 2t(ln t ) = 2. t (1 - ln t ) = 2 (1 - ln t ). 4 4 3 3 t t t.t t
31.
f(x) = ln √x2+1 - x √x2+1 + x Racionalizando el denominador: f(x) = ln (√x2+1 - x).(√x2+1 - x) = ln (√x2+1 - x)2 = (√x2+1 + x).(√x2+1 - x) (√x2+1)2 - (x)2 f(x) = ln (√x2+1 - x)2 = 2 ln (√x2+1 - x) = 2 ln (√x2+1 - x) = (√x2+1)2 - (x)2 (x2+1) - (x)2 x2 + 1 - x2 f(x) = 2 ln (√x2+1 - x) . f '(x) =2
1
2
.d (√x +1 - x)
=
2
1
d (x2 + 1) dx - dx
(√x2 + 1 - x) dx f '(x) =
2 (√x2+1 - x)
2 .x - 1 . 2 √x2 + 1
f '(x) =
2 (√x +1 - x)
x - 1 √x + 1
2 (√x +1 - x)
x - √ x2 - 1) √x2 + 1
2
f '(x) =
2
32.
(√x2 + 1 - x)
=
2
2√x2 + 1
x - (√ x2 + 1) √x2 + 1
2 (√x + 1 - x) 2
2 (√x +1 - x)
=
dx .
2
- (√ x2+1 - x) √x2 + 1
f '(x) = - 2 . √x2 + 1 x y =x y'= x.xx-1.dx + ln x . xx. dx = x.xx-1.(1) + ln x . xx. (1) = x.xx-1 + ln x . xx. dx dx y'= x.xx.x-1 + ln x . xx = x1-1.xx + ln x . xx = x0.xx + ln x . xx = (1)xx + ln x . xx = y'= xx + ln x . xx = xx (1 + ln x) .
33.
y
=
√x
x
√x - 1
√
√
√
.d (x) + ln x. x x.d (√x) dx dx
y'= √x.x
√x
y'= √x.x x.x -1.(1 ). + ln x. x x. 1 . = √x.x 2√x x √
√x
y'= 2. √x. √x. x x + x.ln x. x 2.x.√x √x
y'= x.x 34.
(2 + ln x) 2x√x
s= a t t s = at tt
.
=
√x
2x . x
√
+ ln x. x x 2√x √x
+ x.ln x. x 2.x.√x
=
(t t).d (at)-(at).d (t t) (t t ){(at)(ln a)d (t)} - (at){t(t t-1).d (t) + (ln t)(tt).d(t)} s'= dt dt = dt dt dt . (t t)2 t 2t s'= (t t ) {(at)(ln a)(1)} - (at){t.t t.t -1)(1) + (ln t)(tt)(1)} t 2t s'= (t t ) {(at)(ln a)} - (at) { t1 .t t. t -1) + (ln t)(tt)} = . t 2t s'= (t t ) {(at)(ln a)} - (at){t t) + (ln t)(tt)}. t 2t s'= (t t ) {(at)(ln a)} - (at)(t t) - (at) (ln t)(tt) = t t.t t s'= (t t ) (at){ln a - 1 - ln t} = (at){ln a - ln t - 1} t t. t t tt (at){ln a - 1} t s'= t = a t t t t 35.
ln a - 1 = a t t
t
ln a - 1. t
y = x ∛ (3x + a) √(2x + b) y = x(3x + a)1/3 .Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: (2x + b)1/2 y luego derivando. ln y = ln x(3x + a)1/3 (2x + b)1/2 ln y = ln x(3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2 ln y = ln x + ln (3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2 ln y = ln x + 1 ln (3x + a) - 1 ln (2x + b) 3 2 Derivando:
1 . dy y dx 1 . dy y dx 1 . dy y dx 1 . dy y dx
=
=
=
=
1 . dx + 1 . 1 .d (3x + a) - 1 . 1 .d (2x + b) x dx 3 (3x + a) dx 2 (2x + b) dx 1 .(1) + 1 . 1 .(3) - 1 . 1 .(2) x 3 (3x + a) 2 (2x + b) 1 + 1. 3 - 1. 2 . x 3 (3x + a) 2 (2x + b) 1 + 1. 3 - 1. 2 . x 3 (3x + a) 2 (2x + b)
1 . dy = 1 + 1 1 . y dx x (3x + a) (2x + b) dy = 1 + 1 1 y. dx x (3x + a) (2x + b) 36.
y = √(4 + x2) . x √(4 - x2) y = (4 + x2)1/2 . Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: x .(4 - x2)1/2 y luego derivando. ln y = ln
(4 + x2)1/2 . x .(4 - x2)1/2
ln y = ln (4 + x2)1/2 - ln {x .(4 - x2)1/2} ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + ln (4 - x2)1/2} 2 ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + 1 . ln (4 - x2) 2 2 ln y = 1 . ln (4 + x2) - ln x - 1 . ln (4 - x2) 2 2 1 .y'= 1 . 1 .d (4 + x2) - 1 .d (x) - 1 . 1 .d (4 - x2) 2 2 y 2 (4 + x ) dx x 2 (4 - x ) dx 1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x) y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2)
1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x) y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2) 1 .y'= x - 1 + y (4 + x2) x y'= 37.
x . (4 - x2)
x - 1 + (4 + x2) x
x (4 - x2)
y .
y = xn (a + bx)m Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: ln y = ln [xn (a + bx)m] ln y = ln xn + ln (a + bx)m ln y = n.ln x + m.ln (a + bx) . Ahora derivando: 1 .y'= n . 1 .d (x) + m. 1 .d (a + bx) y x dx (a + bx) dx 1 .y'= n . 1 .(1) + m .(b) y x (a + bx) 1 .y'= n . + mb . y x (a + bx) y'= n . + mb x (a + bx)
y
.
Problemas -Pagina 124 5.
y = sen ax y'= cos ax .d (ax) = (cos ax )(a) = a cos ax dx
4.
y = 3 cos 2x y'= 3(- sen 2x).d (2x) = (- 3 sen 2x)(2) = - 6 sen 2x . dx
5.
s = tg 3t s'= (sec23t).d (3t) = (sec23t)(3) = 3(sec23t) = 3 (sec 3t)2. dt
8.
u = 2 cot 1 v 2 u'= 2 - csc2 1 v .d 1 v 2 dv 2 u'= 2 - csc2 1 v . 1 2 2
9.
=
y = sec 4x y'= (sec 4x)(tg 4x).d (4x) dx
- csc2 1 v 2
y'= (sec 4x)(tg 4x).(4) = 4(sec 4x)(tg 4x). 10.
ϱ = a csc bθ ϱ'= a [(-csc bθ )(cot bθ ).d (bθ )] dθ ϱ'= a [(-csc bθ )(cot bθ ).(b)] = -ab [(csc bθ )(cot bθ )]
11.
y = 1 .sen2x 2 y = 1 .(sen x)2 2 y'= 1 .[2(sen x).d (sen x)] 2 dx
12.
y'= 1 .[2(sen x)(cos x)] = (sen x)(cos x) 2 s = √cos 2t s = (cos 2t)1/2 s'= 1 . (cos 2t)1/2-1.d (cos 2t) 2 dt s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).[d (2t)] = 2 dt s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).(2) = (cos 2t)-1/2.(- sen 2t). 2 s'= (- sen 2t) (cos 2t)1/2
13.
ϱ = ∛(tg 3θ ) (sec23θ ).d (3θ ) ϱ'= dθ . 2 3(∛tg 3θ )
ϱ'= (sec23θ ).(3) = (sec23θ ) . 3(∛tg 3θ )2 (∛tg 3θ )2 14.
y=
4 . √(sec x)
y=
4 . (sec x)1/2
-4 . d [(sec x)1/2] 1/2 2 [(sec x) ] dx y'= -4 . 1 . (sec x)1/2-1.d (sec x) 2/2 [(sec x) ] 2 dx y'=
y'=
-4 (sec x)
. 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x) 2 dx
y'=
-4 (sec x)
. 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x) 2 dx
y'= 15.
- 2 (tg x)(1) (sec x)1/2
=
- 2 (tg x) . (sec x)1/2
y = x cos x y'= x.d (cos x) + (cos x).d (x) dx dx y'= x.(-sen x).d (x) + (cos x)(1) dx y'= - x.(sen x)(1) + (cos x)
16.
cos x - x.sen x
f (θ ) = tg θ - θ f '(θ ) = sec2θ - 1
17.
=
=
tg2θ .
ϱ = sen θ θ
ϱ'=
θ .d (sen θ ) - (sen θ ).d (θ ) dθ dθ . θ2
ϱ'=
θ .(cos θ ).d (θ ) - (sen θ )(1) dθ . θ2
ϱ'= θ .(cos θ )(1) - (sen θ ) = θ .(cos θ ) - (sen θ ) . θ2 θ2 18.
y = sen 2x cos x y'= sen 2x .d (cos x) + (cos x).d (sen 2x) dx dx y'= sen 2x .(-sen x).d (x) + (cos x)(cos 2x).d (2x) dx dx y'= - sen 2x .(sen x).(1) + (cos x)(cos 2x)(2) . Ordenando: y'= - sen 2x .(sen x) + 2(cos 2x) (cos x) = 2(cos 2x) (cos x) - sen 2x (sen x)
19.
y = ln [sen (ax) ] y'=
1 . d [sen (ax)] sen (ax) dx
y'= cos (ax). d (ax) = cot ax .(a) sen (ax) dx 20.
=
a cot ax
y = ln √(cos 2x) y = ln (cos 2x)1/2 y = . 1 .ln (cos 2x) 2 Derivando: y'= . 1 . 1 . d (cos 2x) 2 (cos 2x) dx y'= . 1 .(-sen 2x). d (2x) 2 (cos 2x) dx y'= . 1 .(-sen 2x). (2) = . 1 .(-sen 2x). (2) 2 (cos 2x) 2 (cos 2x)
=
- tg 2x
21.
y = ϱ ax sen bx y'= ϱ ax.d (sen bx) + (sen bx).d (ϱ ax) dx dx y'= ϱ ax.(cosbx).d (bx) + (sen bx).(ϱ ax).d (ax) dx dx y'= ϱ ax.(cosbx).(b) + (sen bx).(ϱ ax).(a) = (ϱ ax)[b(cosbx) + a (sen bx)] y'= ϱ ax[a (sen bx) + b(cosbx)]
22.
s = ϱ -t cos 2t s'= ϱ -t .d (cos 2t) + (cos 2t).d (ϱ -t) dt dt s'= ϱ -t .(-sen 2t).d (2t) + (cos 2t).(ϱ -t).d (-t) dt dt s'= ϱ -t .(-sen 2t).(2) + (cos 2t).(ϱ -t).(-1) s'= - 2ϱ -t .(sen 2t) - (cos 2t).(ϱ -t). s'= - ϱ -t [ 2(sen 2t) + (cos 2t)].
23.
y = ln tg x 2 y=
y=
y=
24.
.
1 . d ( tg x ) tg x dx 2 2
= .
. sec2 x .d ( x ) tg x 2 dx 2 2 1
=
1 . tg x 2
sec2 x 2 . 1 = . 1 . sec2 x . cot2 x . tg x 2 2 2 2 2
y = ln
1 + sen x 1 - sen x
sec2 x . 1 . 2 2
y = ln 1 + sen x 1 - sen x
1/2
y = . 1 . ln 1 + sen x 2 1 - sen x y'= . 1 . 1 . d 1 + sen x . 2 1 + sen x dx 1 - sen x 1 - sen x y'= . 1 . 1 - sen x . 2 1 + sen x
(1 - sen x).d (1 + sen x) - (1 + sen x).d (1 - sen x) dx dx (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x 2 1 + sen x
(1 - sen x)(cos x) - (1 + sen x)( - cos x) (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x 2 1 + sen x
cos x - sen x cos x + cos x + sen x cos x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x 2 1 + sen x
cos x + cos x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x 2 1 + sen x
cos x + cos x (1 - sen x)2
=
=
. 1 . 1 - sen x 2 1 + sen x
2 cos x . (1 - sen x)2
. 1 . (1 - sen x) 2cos x . 2 1 + sen x (1 - sen x)(1 - sen x)
Por Algebra y Trigonometría, tenemos: (1 + sen x)(1 - senx) = 1 - sen2x = cos2x .
25.
y'=
1 1 + sen x
y'=
1 = sec x cos x
cos x (1 - sen x)
=
.
cos x = cos x 1 - sen2x cos2x
=
cos x . cos x. cos x
f (θ ) = sen(θ + a) cos(θ - a) f '(θ ) = sen(θ + a) .d [cos(θ - a)] + [cos(θ - a)] .d [sen(θ + a)]
dθ
dθ
f '(θ ) = sen(θ + a).[-sen(θ - a)].d (θ - a) + [cos(θ - a)].[cos(θ + a)].d (θ + a) dθ dθ f '(θ ) = - sen(θ + a)[sen(θ - a)](1) + [cos(θ - a)][cos(θ + a)](1) f '(θ ) = - sen(θ + a)[sen(θ - a)] + [cos(θ - a)][cos(θ + a)] , ordenando: f '(θ ) = [cos(θ - a)][cos(θ + a)] - sen(θ + a)[sen(θ - a)] . Por Trigonometría:cos(x + y) = cos x cos y - sen x sen y . [cos(θ - a)][cos(θ + a)] - sen(θ + a)[sen(θ - a)] = cos 2θ . Sustituimos en f '(θ ) . f '(θ ) = cos 2θ 26.
f (x) = sen2(π -x) . f (x) = [sen(π-x)]2 f '(x) = 2[sen(π-x)]2-1.d sen(π-x) dx f '(x) = 2[sen(π -x)] .[cos(π-x)].d (π -x) dx f '(x) = 2[sen(π -x)] .[cos(π-x)].(-1) = - 2[sen(π -x)] .[cos(π-x)].
27.
ϱ = . 1 . tg 3 θ - tg θ + θ 3 ϱ = . 1 . (tg θ )3 - tg θ + θ 3 ϱ'= . 1 . 3 . (tg θ )3-1 .d (tg θ ) - sec2θ .d (θ ) + d (θ ) 3 dθ dθ dθ ϱ'= . 1 . 3 . (tg θ )2 .(sec2 θ ).d (θ ) - sec2θ .(1) + (1) 3 dθ ϱ'= (tg θ )2 .(sec2 θ ).(1) - sec2θ + 1 ϱ'= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + 1
Pero: sec2 θ = 1 + tg2θ → sec2 θ - tg2θ = 1 ,sustituyendo en ϱ' . ϱ'= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + (sec2 θ - tg2θ ) . ϱ'= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + sec2 θ - tg2θ ) . ϱ'= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - tg2θ ) = tg2θ ( sec2 θ - 1) . Por Trigonometría: sec2 θ - 1 = tg2θ . ϱ'= tg2θ (tg2θ ) = tg4θ . 28.
y = xsenx y'= sen x . xsenx-1 .d (x)+ ln x . xsenx . d (sen x) dx dx y'= sen x . xsenx.x -1.(1) + ln x . xsenx . (cos x).d (x) dx y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x).(1). y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x). y'= . xsenx[sen x . x -1 + ln x . (cos x)]. y'= . xsenx[sen x . + ln x . (cos x)]. x
29.
y = (cos x)x y'= x.(cos x)x-1.d (cos x) + ln cos x . (cos x)x.d (x) dx dx y'= x.(cos x)x.(cos x)-1.(-senx).d (x) + ln cos x . (cos x)x.(1). dx y'= x.(cos x)x.(-senx).(1) + ln cos x . (cos x)x. (cos x) y'= - x.(cos x)xtg x. + ln cos x . (cos x)x. Ordenando: y'= ln cos x . (cos x)x - x.(cos x)xtg x.
y'= (cos x)x[ln cos x - x.tg x]. Pero : y = (cos x)x , sustituyendo en y'. y'= y [ln cos x - x.tg x]. Hallar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones: 30.
y = sen kx y'= (cos kx).d (kx) dx y'= (cos kx).(k) = k(cos kx) y'= k(cos kx) y"= k(- sen kx).d (kx) dx y"= k(- sen kx).(k) = - k2sen kx
31.
ϱ = . 1 . cos 2θ . 4 ϱ = . 1 .(-sen 2θ ).d (2θ ) 4 dθ ϱ = . 1 .(-sen 2θ ).(2) = - 1 .sen 2θ 4 2 ϱ = - 1 .(cos 2θ ).d (2θ ) 2 dθ ϱ = - 1 .(cos 2θ ).(2) = - cos 2θ . 2
32.
u = tg v . u'= sec2v.d (v) = sec2v = (secv)2 . dv u"= 2(sec v)2-1.d (sec v) = 2(sec v)(sec v)(tg v).d (v) dv dv u"= 2(sec v)(sec v)(tg v)(1) = 2(sec2v)(tg v) .
33.
y = x cos x y'= x .d (cos x) + (cos x).d (x) dx dx y'= x .(-sen x).d (x) + (cos x).(1) dx y'= - x .(sen x).(1) + (cos x) = (cos x) - x .(sen x) . y"= (-sen x).d (x) - [x .d (sen x) + (sen x).d (x)] dx dx dx y"= (-sen x).(1) - [x .(cos x).d (x) + (sen x).(1)] dx y"= (-sen x) - [x .(cos x)(1) + (sen x)] y"= -sen x - x .cos x - sen x = -2 sen x - x .cos x
34.
y = sen x x y'=
x .d (sen x) - (sen x).d (x) x .(cos x).d (x) - (sen x).(1) dx dx = dx . x2 x2
y'= x .(cos x).(1) - (sen x) x2
=
x .(cos x) - (sen x) . x2
(x2).d [x .(cos x) - (sen x)] - [x .(cos x) - (sen x)] .d (x2) y"= dx dx . (x2)2 y"=
(x2){[x .d (cos x).d (x) + cos x .d (x)] - (cos x).d (x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) dx dx dx .
x4 y"= (x2){[x (- sen x)(1) + cos x (1)] - (cos x)(1)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4 y"= (x2){[x (- sen x) + cos x ] - (cos x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4
y"= (x2){ - x sen x + cos x - cos x} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4 3 2 y"= - x sen x - 2x cos x + 2x sen x = x {- x2 sen x - 2x cos x + 2 sen x}. x4 x . x3 y"= {- x2 sen x - 2x cos x + 2 sen x}. x3 Ordenando:
35.
y"= 2 sen x - 2x cos x - x2 sen x . x3 t s = ϱ . cos t s'= ϱ t .d (cos t) + (cos t).d (ϱ t) dt dt s'= ϱ t .(- sen t).d (t) + (cos t)(ϱ t).d (t) dt dt s'= - ϱ t .(sen t)(1) + (cos t)(ϱ t)(1) s'= - ϱ t .(sen t) + (cos t)(ϱ t) = (cos t)(ϱ t) - ϱ t .(sen t) . s'= ϱ t (cos t - sen t) . s"= ϱ t .d [(cos t - sen t)] + (cos t - sen t) .d (ϱ t) dt dt s"= ϱ t [(-sen t).d (t) - (cos t).d (t)] + (cos t - sen t)(ϱ t).d (t) dt dt dt s"= ϱ t [(-sen t)(1) - (cos t)(1)] + (cos t - sen t)(ϱ t)(1) s"= - ϱ t [sen t + cos t] + (cos t - sen t)(ϱ t) s"= - ϱ t sen t - ϱ t cos t + ϱ t cos t - ϱ t sen t . s"= ϱ t { - sen t - cos t + cos t - sen t } . s"= ϱ t { - sen t - cos t + cos t - sen t } . s"= ϱ t { - sen t - sen t } = ϱ t { - 2 sen t} = - 2 ϱ t sen t .
36.
s = ϱ -t sen 2t s'= ϱ -t .d (sen 2t) + (sen 2t).d (ϱ -t) dt dt s'= ϱ -t .(cos 2t).d (2t) + (sen 2t).(ϱ -t).d (- t) dt dt s'= ϱ -t .(cos 2t)(2) + (sen 2t).(ϱ -t)(- 1) . s'= 2 ϱ -t .(cos 2t) - (sen 2t).ϱ -t s' = ϱ -t {2 cos 2t - sen 2t} s"= ϱ -t .d {2 cos 2t - sen 2t} + {2 cos 2t - sen 2t} .d (ϱ -t) dt dt s"= ϱ -t.{2(-sen 2t).d (2t) - (cos 2t).d (2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ -t).d (-t)
dt dt dt s"= ϱ -t.{- 2 (sen 2t).(2) - (cos 2t).(2)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ -t).(-1) s"= ϱ -t.{- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(- ϱ -t). s"= - ϱ -t.(-){- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ -t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ -t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ -t.{ 3 sen 2t + 4 cos 2t }. 37.
y = ϱ ax sen bx . y'= ϱ ax .d (sen bx) + (sen bx).d (ϱ ax) . dx dx y'= ϱ ax .(cos bx).d (bx) + (sen bx).(ϱ ax).d (ax) dx dx y'= ϱ ax .(cos bx).(b) + (sen bx).(ϱ ax).(a) y'= ϱ ax {b(cos bx) + a(sen bx)} . y"= ϱ ax .d {b(cos bx) + a(sen bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.d (ϱ ax) dx dx y"= ϱ ax.{b(-sen bx).d (bx)+a(cos bx).d (bx)}+{b(cos bx)+a(sen bx)}(ϱ ax).d (ax) dx dx dx
y"= ϱ ax.{- b(sen bx).(b) + a(cos bx).(b)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.(ϱ ax)(a) y"= ϱ ax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.[a ϱ ax)] y"= ϱ ax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + a[b(cos bx) + a(sen bx)]}. y"= ϱ ax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + ab(cos bx) + a2(sen bx)]}. y"= ϱ ax.{(sen bx)(a2 - b2) + 2ab(cos bx)]}. y"= ϱ ax.{ (a2 - b2) (sen bx) + 2ab(cos bx)}. Hallar dy/dx en cada una de las siguientes funciones: 38.
y = cos(x - y) . y'= [ - sen(x - y)].d (x - y) dx y'= [ - sen(x - y)].(dx - y') dx y'= [ - sen(x - y)].(1 - y') . y'= - sen(x - y) + sen(x - y).y' . sen(x - y) = sen(x - y).y' - y'. sen(x - y) = y'[sen(x - y) - 1] = sen(x - y) .
y'= 39.
sen(x - y) . [sen(x - y) - 1]
ϱ y = sen (x + y) ϱ y.y'= [cos (x + y)].d (x + y) . dx ϱ y .y'= {[cos (x + y)].[ dx + y']} . dx ϱ y .y'= {[cos (x + y)].[1 + y' } . ϱ y .y'= cos (x + y) + cos (x + y). y' . ϱ y .y' - cos (x + y). y' = cos (x + y) y'[ϱ y - cos (x + y)] = cos (x + y) y'=
40.
cos (x + y) . [ϱ y - cos (x + y)]
cos y = ln (x + y) (- sen y).y'=
1 .d (x + y) (x + y)
(- sen y).y'= (1 + y') (x + y) (- sen y).y'(x + y) = (1 + y') y'(-sen y)(x + y) = 1 + y' y'(-sen y)(x + y) - y'= 1 y'[(- sen y)(x + y) - 1] = 1 . y'=
1 1 . = [(- sen y)(x + y) - 1] - [1 + (sen y)(x + y) ] y'= -1 -1 . = [1 + (sen y)(x + y) ] [1 + (x + y) (sen y)] En los problemas 41 a 50, hallar el valor de dy/dx para el valor dado de x ( en radianes) .
41.
y = x - cos x
;
x =1
y'= 1 - (- sen x).d (x) dx y'= 1 - (- sen x).(1) = 1 + sen x. Cuando : x = 1 . y'= 1 + sen (1) = 1 + sen 1 = 1 + 0,841470984 = 1, 841470984 . 42.
y = x sen x 2
; x =2
y'= x .d ( sen x ) + ( sen x ).d (x) 2 2 dx y'= x ( cos x ).d ( x ) + ( sen x )(1) 2 2 2 y'= [x ( cos x )]( 1 ) + ( sen x ) . Cuando : x = 2 2 2 2 y'= [2( cos 2 )]( 1 ) + ( sen 2 ) . 2 2 2 y'=[2.( cos 1 )]( 1 ) + ( sen 1 ) . 2 y'= ( cos 1 ) + ( sen 1 ) = 0,5403023058681 + 0,8414709848079 . y'= 1,381773290675 . 43.
y = ln cos x . y'=
x = 0,5
l . d (cos x) cos x dx
y'= (- sen x) .d (x) cos x dx y'= - tg x .(1) = - tg x . cuando : x = 0,5 . y'= - tg 0,5 = - 0,5463024898438 .
44.
y = . ex . x x .d (ex) - (ex).d (x) y'= . dx dx x2
=
x .(ex).d (x) - (ex).(1) dx . x2
y'= x .(ex).(1) - (ex) = x .(ex) - (ex) = (ex){x - 1} . Cuando: x = - 0,5 . x2 x2 x2 y'= (e-0,5){- 0,5 - 1} = (e-0,5){- 1,5} = - 1,5 = - 1,5 . (- 0,5)2 0,25 (0,25)(e0,5) (0,25)(1,648721271) y'= 45.
-1,5 0,412180317
=
3,633705965843 .
y = sen x . cos 2x
; x = 1.
y'= sen x .d (cos 2x) + (cos 2x).d (sen x) dx dx y'= sen x .(- sen 2x).d (2x) + (cos 2x).(cos x).d (x) dx dx y'= sen x .(- sen 2x).(2) + (cos 2x).(cos x).(1) y'= - 2sen x .(sen 2x) + (cos 2x).(cos x) . y'= - 2sen (1) .{sen 2(1)} + {cos 2(1)}.(cos 1) . y'= - 2sen 1 .{sen 2} + {cos 2}.(cos 1) . Cuando: x = 1 . y'= - 2sen 1 .{sen 2} +.(cos 1) {cos 2} . y'= - 2(0,8414709848079)( 0,9092974268257) + (0,5403023058681) ( - 0,4161468365471) . y'= -1,519653293531 + 0,5403023058681 - 0,4161468365471 y'= - 1,53029480252 - 0.224845095366 46.
y = ln √tg x
;x= 1 π 4
=
- 1,755139897886
y = ln [(tg x)1/2] y'=
1 .d [(tg x)1/2] [(tg x)1/2] dx
y'=
1 . 1 .[(tg x)1/2-1.d (tg x)] [(tg x)1/2] 2 dx
y'= (tg x)-1/2.[.(sec2x).d (x)] 2[(tg x)1/2] dx y'=
[.(sec2x).(1)] . 2[(tg x)1/2.(tg x)1/2]
y'= [(sec2x)] . Cuando: x = π . 2[(tg x)] 4 y'= [(sec2π /4)] 2[(tg π/4)]
=
1 cos2 π /4 2[(tg π/4)]
1 y'= (0,7071067811865)2 2(1) 2 47.
=
=
1 . (cos 0,7853981633974)2 = 2(tg 0,7853981633974) 1
1 . 0,5 = 1 2(0,5). 1 1
y = ex sen x ; x = 2 . y'= ex .d (sen x) + (sen x).d (ex) dx dx y'= ex .(cos x).d (x) + (sen x).(ex).d (x) dx dx y'= ex .(cos x).(1) + (sen x).(ex).(1) y'= ex (cos x) + (sen x) (ex). y'= ex(sen x + cos x) . Cuando : x = 2 . y'= e2(sen 2 + cos 2) .
=
1
=
1.
y'= (7,389056099)(0,909297426 - 0,416146836) = y'= (7,389056099)(0,49315059) = 3,643956611 . 48.
y = 10 e-x cos πx ; x = 1 . y'= 10[e-x.d (cos π x) + (cos π x).d (e-x)] dx dx y'= 10[e-x.(- sen πx).d (πx) + (cos πx).(e-x).d (-x)] dx dx y'= 10[e-x.(- sen πx).(π ) + (cos π x).(e-x).(-1)] y'= 10[- π e-x sen πx - e-x cos πx] y'= -10[ e-x (π sen π x + cos πx] . Cuando: x = 1 . y'= -10{ e-1 [π sen (π )(1)] + [cos (π)(1)]} . y'= -10{ e-1 [π sen π + cos π]} . y'= -10{ e-1 [π (0) + (- 1)]} . y'= -10{ e-1 [0 - 1]} .
49.
y'= -10{ e-1 [-1]} = + 10. e-1 = 10 = 10 = 3,678794412 e1 2,718281828 y = 5 ex/2 sen π x ; x = 2 . 2 y'= 5[ex/2.d (sen π x ) + (sen π x ).d (ex/2)] . dx 2 2 dx y'= 5[ex/2.(cos π x ).d (π x) + (sen π x ).(ex/2).d (x/2)] . 2 dx 2 2 dx y'= 5[ex/2(cos π x )( π ) + (sen π x )(ex/2)( 1 )] . 2 2 2 2 y'= 5(ex/2). 1 .[ π (cos π x ) + (sen π .x )] . Cuando: x = 2 2 2 2
y'= 5(e2/2). 1 .[ π (cos π . 2 ) + (sen π . 2 )] . 2 2 2 y'= 5(e1). 1 .[ π (cos π ) + (sen π )] . 2 Pero: sen π = 0 ; cos π = - 1 . y'= 5(e)[ π (-1) + (0)] = 5(e)[- π ] = -(2,5)(2,718281828)(3,14159265359). 2 2 y'= - 21,34933555308 50.
y = 10 e-x/10 sen 3x ; x = 1 . y'= 10[e-x/10 .d (sen 3x) + (sen 3x).d (e-x/10)] dx dx y'= 10[e-x/10 .(cos 3x).d (3x) + (sen 3x).(e-x/10).d (- x/10)] dx dx y'= 10[e-x/10 .(cos 3x)(3) + (sen 3x)(e-x/10)( - 1 )] 10 y'= 10.[e-x/10] [3(cos 3x) - (sen 3x)] . Cuando: x = 1 10 y'= 10.[e-1/10] [3(cos 3.1) - (sen 3.1)] 10 y'= 10 . [3(cos 3) - (sen 3)] [e-1/10] 10 y'=
10 . [3(-0,98992496) - 0,1411200080599] 1,105170918 10
y'= (9,048374180979) [-2,969977489801 - 0,01411200080599] y'= (9,048374180979) [-2,984089490606] y'= -27.00115830053
=
- 27 .
Problemas-Pagina 133 4.
y = arc cos x . a y'= _
d(x) dx a 1- x a
y'=
-1 a √(a2 - x2) a
2
=
_ 1 a
=
1 - x2 a2
_ 1 . a
=
a2 - x2 a2
_ 1 . a . √(a2 - x2) . √a2
. =
-a a√(a2 - x2)
=
-1 √(a2 - x2)
= .
- √(a2 - x2) .
5.
y = arc sec x . a d(x) dx a
y'=
x 2- 1 a
x a y'=
6.
1 a
=
x a
=
x{√ (x2 - a2)} a√a2
x2 - a2 a2
x a
1 a
=
a . x√x2 - a2
y = arc cot x . a d x -1 y'= _ dx a = a 1 + x 2 a2 + x2 a a2 y'=
7.
x2 - 1 a2
1 . a a2 = 2 2 x√x - a . ax√x2 - a2 a.a
1 a
=
-a (a2 + x2)
y = arc sec 1 x
1 x y'=
=
-a.a a (a2 + x2)
=
= .
.
d 1 dx x
y'=
.
-1 x2
=
12-1 x
-1 x2 1 √(1 - x2) x √x2
1 x
-1 x2
=
1 -1 x2
1 x
1 - x2 x2
. =
- x2 x √(1 - x2) 2
=
- 1 . √(1 - x2)
. =
.
. =
8.
y = arc csc 2x y'= _
9.
-1 . x √ (2x)2 - 1
d (√x) 1 . dx 1 = 2√x = = √1 - (√x)2 √1 - x 2 √x √ (1 - x)
1 = 2 √x(1 - x)
1 . 2√(x - x2)
d (e2) dθ = de 2e = 2e 2e = = = de √2e2 (e2)2 √2e2 - e4 √e2(2 - e2) √e2 . √(2 - e2)
2e = e √(2 - e2)
θ = arc vers e2
dθ de 11.
=
y= arc sen √x . y'=
10.
d (2x) dx - 2 = 2x √(2x)2 - 1 2x √(2x)2 - 1
=
2e e √(2 - e2)
=
2 . √(2 - e2)
y = x arc sen 2x . y'= x.d (arc sen 2x) + (arc sen 2x).d (x) dx dx d (2x) y'= x. dx + (arc sen 2x).(1) √1 -(2x)2 y'= x.
12.
2 + (arc sen 2x) = arc sen 2x + 2x . √1 - 4x2 √1 - 4x2
y = x2 arc cos x . y'= x2.d (arc cos x) + (arc cos x).d (x2) dx dx - d (x)
y'= x2 .
dx √[1 - (x)2]
+ (arc cos x).(2x)
y'= x2 . (-1) + 2x(arc cos x) = 2x arc cos x x2 . √(1 - x2) √(1 - x2) 13.
f (u) = u √a2 - u2 + a2 arc sen u . a f '(u) = {u .d [√(a2 - u2)] + [√(a2 - u2)].d (u)} + a2{d (arc sen u )} du du a d u f '(u) = {u . (- 2u) + [√(a2 - u2)].(1)} + a2 du a 2 √(a2 - u2) 1- u
. . 2
.
a
f '(u) =
- u2 + √ (a2 - u2) + a2 2 √(a - u2)
1 a
. .
1 - u2
.
a2 f '(u) =
- u2 + √(a2 - u2) + √(a - u2) 2
f '(u) =
- u2 + √(a2 - u2) + √(a - u2) 2
f '(u) =
f '(u) =
a a2 - u2 a2 a √a2 - u2 √a2
- u2 + √(a2 - u2) + 2 √(a - u2)
a 1 √a2 - u2 a
- u2 + √(a2 - u2) + √(a - u2)
a2 √a2 - u2
2
. .
. .
. . .
f '(u) = - u2 + {√(a2 - u2)}2 + a2 = - u2 + a2 - u2)}2 + a2 √(a2 - u2) √(a2 - u2)
.
=
2a2 - 2u2 . √(a2 - u2)
f '(u) = 2 (a2 - u2) √(a2 - u2) 14.
=
2(a2 - u2)2/2 (a2 - u2)1/2
=
2 (a2 - u2)1/2 = 2 √(a2 - u2)
f(x) = √(a2 - x2) + a arc sen x . a d (a2 - x2) d x f '(x) = dx + a dx a 2 √(a2 - x2) √{1 - ( x )2} a f '(x) =
15.
-2x 2 √a2 - x2
+
a a √a2 - x2 a2
f '(x) =
-x + 1 √(a2 - x2) √(a2 - x2) a
f '(x) =
(a - x)2/2 √(a + x)(a - x)
=
-2x + a 2√(a2 - x2)
-x + 1 . √(a2 - x2) √(a2 - x2) √a2
v'=
=
-x + a a-x . = √(a2 - x2) √(a2 - x2) √(a2 - x2)
1 a - u -2u + √(a2 - u2) (1) 2 2 2 √{1-( u ) } 2√(a - u ) a a2 a
√ 1 - u2 a2
.
+
. .
.
(a - x) (a + x)
v = a2 arc sen u - u √(a2 - u2) a v'= a2{ d ( arc sen u ) } - { u .d {√(a2 - u2) + √(a2 - u2).d (u) } du a du du v'= a2
.
. =
(a - x)1/2(a - x)1/2 = (a - x)1/2 = (a + x)1/2 (a - x)1/2 (a + x)1/2
=
1 a √1 - x2 a2
2 u2 - √(a2 - u2) . 2 √(a2 - u2)
.
v'=
a + u2 - √(a2 - u2) = 2 2 2 √ a -u √(a - u ) a2 2
v' =
a + u2 - √(a2 - u2) = a + 2 2 2 √(a - u ) √(a - u2) √(a2 - u2) √a2 a
v'=
a2 + u2 - √(a2 - u2) = a2 + u2 -{√(a2 - u2)}2 . 2 2 2 2 √(a - u ) √(a - u ) √(a2 - u2)
v'= a2 + u2 - (a2 - u2) √(a2 - u2)
=
a2 + u2 - a2 + u2 √(a2 - u2)
=
u2 - √(a2 - u2) = √(a2 - u2)
2 u2 . √(a2 - u2)
