Solución Distribución Normal z

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ESTADÍSTICA APLICADA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: NORMAL ESTÁNDAR I.- Calcule las siguientes probabilidades:

a) b) c) d)

P ( Z ≤ 1.96)=0.975 P( -2.00 ≤ Z ≤ 2.00) =P(Z<=2)-P(Z<=-2)=0.9772-0.0228=0.9545 P (Z ≥ 1.65 )=0.025 P( Z ≤ k ) = 0.99

Z=K=2.33

e) P( Z ≥ k ) = 0.05 1-P(Z<=K)=0.05 P(Z<=K)=0.95 Z=K=.165 f) P( 2.32 ≤ Z ≤ 3.00 ) P(Z<=3)-P(Z<=2.32) 0.9987-0.9898 0.0088 g) P( Z ≤ -1.50 ) 0.0668 h) P( Z ≥ -2.50 ) 0.0062 II.- Resuelva los siguientes ejercicios: CASO Nº 01:

En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de impresiones se puede considerar como una variable aleatoria que tiene distribución normal con  15.40 segundos y  0.48 segundos. Encuentre las probabilidades de que el tiempo que toma revelar una de las impresiones será: a) Al menos 16 segundos 



P(X>=16)=1-P(Z<=(16-15.40)/0.48)=1-P(Z<=1.25)=1-0.8944=0.1056

ESTADISTICA APLICADA

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PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 b) Cuando mucho 14.20 segundos;

P(X<=14.20)=P(Z<=(14.20-15.40)/0.48)=P(Z<=-2.50)=0.0062 c) Cualquier valor entre 15 y 15.8 segundos. P(15
CASO Nº 02 :

En un examen de estadística la puntuación promedio fue de 82 y la desviación estándar de 5. Todos los estudiantes con puntuaciones desde 88 hasta 94 obtuvieron una calificación de B. Si las puntuaciones tienen aproximadamente una distribución normal y ocho estudiantes recibieron una calificación de B. ¿Cuántos estudiantes se presentaron al examen? P (88 < X <94)=P (Z<= (94-82)/5)-P (Z<=(88-82)/5) =P (Z<=2.4)-P (Z<=1.20) =0.9918-0.8849 =0.1069 PORCENTAJE QUE OBTUVO CALIFICACIÓN B 10.69%REPRESENTA A 8 ESTUDIANTES 100% REPRESENTA A CUÁNTOS EN ESTUDIANTES

TOTAL:

N=(100*8)/10.69=74.83=75

CASO Nº 03 :

El tiempo de duración de los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tiene una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 250 horas. Determinar la probabilidad de que: a. Un foco tomado al azar se queme antes de las 990 horas de funcionamiento P(X<990)=P(Z<=(990-1000)/250)=P(Z<=-0.04)=0.484=48.4% b. Un foco sé que queme entre 980 y 1120 horas de funcionamiento. P (980
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=0.6844-0.4681 =0.2163=21.63% c. Un foco dure más de 998 horas P(X>998)=1-P (Z<=(998-1000)/250) =1-P (Z<=-0.01) =1-0.4968 = 0.5032=50.32% CASO Nº 04 :

NEUMA Perú, es una empresa que produce llantas para automóviles en nuestro país. La vida útil de estas llantas se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación estándar iguales a 32000 y 1000 millas respectivamente. Esta empresa quiere exportar estas llantas por lo que empieza a hacer ciertos cálculos acerca de la calidad de estas llantas, para lo cual se hace las siguientes preguntas: a) Cuál es la probabilidad de una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil de por lo menos 31900 millas. P(X>=31900)=1-P(Z<=(31900-32000)/1000)=1-P(Z<=-0.1) =1-0.4602=0.5398=53.98% b) Si la empresa fija una garantía de 30000 millas. ¿Qué porcentaje de esta producción necesitará ser reemplazada? P(X<30 000)=P(Z<=(30000-32000)/1000) =P(Z<=-2)=0.0228=2.28% CASO Nº 05 :

El bar “Un par más” ha instalado una máquina automática para la venta de cerveza. La

máquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que desea; sin embargo, en cualquier caso esta cantidad tendrá una distribución normal con una desviación estándar de 5.9 mililitros.

a) Si el nivel se ajusta a 304.6 mililitros, ¿Qué porcentaje de los vasos contendrán menos de 295.7 mililitros? P(X<295.7) P(Z<=(295.7-304.6)/5.9) P(Z<=-1.51) 0.0657 ESTADISTICA APLICADA

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b) ¿A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que sólo el 2.28% de los vasos contengan menos de 295.7 mililitros? P(X<295.7)=0.0228 P(Z<=(295.7-U)/5.9)=0.0228 Z=-2 ( 295.7-U)/5.9=-2 U=11.18+295.7=307.5

c) ¿A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que el 84.13% de los vasos contenga menos de 313.6 mililitros? P(X<313.6)=0.8414 P(Z<=(313.6-U)/5.9)=0.8413 Z=1 ( 313.6-U)/5.9=1 U=313.6-5.9=307.7

CASO Nº 06 :

El tiempo que se requiere para reparar cierto tipo de transmisión automotriz en un taller mecánico tiene distribución normal con media de 45 minutos y desviación estándar de 8 minutos. El gerente de servicio planea hacer que se inicie la reparación de la transmisión de los automóviles de los clientes diez minutos después de que se recibe el vehículo, y le dice al cliente que el automóvil estará listo en una hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente esté equivocado? P(X>50)

b) ¿Qué asignación de tiempo de trabajo se requiere para que haya una probabilidad ESTADISTICA APLICADA

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del 75% de que la reparación de las trasmisiones se lleve a cabo dentro de ese tiempo? P(X<=K)=0.75 P(Z<=(K-45)/8)=0.75

X=50.4MINUTOS

P(X<=K)=0.75 P(Z<=(K-45)/8)=0.75 Z=0.67 (K-45)/8=0.67 K=(0.67*8)+45 X=K=50.4 CASO Nº 07:

Sea X el número de gramos de hidrocarburos que emite un automóvil por milla recorrida. En el supuesto de que X es normal con media 1 y desviación estándar 0.25, calcule: a) La probabilidad que un automóvil seleccionado al azar emita entre 0.9 y 1.54 gramos de hidrocarburo por milla recorrida. P(0.9K)=0.05 1-P(Z<=K-1/0.25)=0.05 P(Z<=K-1/0.25)=0.95 X=1.4

P(X>K)=0.05 1-P(Z<=(K-1/0.25))=0.05 P(Z<=(K-1)/0.25)=0.95


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X=1.41

CASO Nº 08:

Los sobrecostos por actualización de computadores en su empresa tiene un promedio de 23500 dólares con desviación estándar de 9400 dólares. Como director ejecutivo de la División de Investigación, usted no desea arriesgarse a más de 34% de probabilidad que el sobrecosto en una actualización propuesta recientemente exceda de 25000. ¿Debería ejecutar la actualización? P(X>25000)<=0.34(SI EJECUTAR) P(X>25000) 1-P(Z<=(25000-23500)/9400) 1-P(Z<=0.16) 1-0.5634 0.4366<=0.34?????NO EJECUTAR LA ACTUALIZACIÓN CASO Nº 09:

Los puntajes de coeficiente intelectual (IQ) están distribuidos normalmente con una media de 100 puntos y una desviación estándar de 15 puntos. MENSA es una organización para personas con coeficiente intelectual elevado, y sólo acepta personas con un IQ mayor de 131.5 puntos. a) Si se escoge aleatoriamente a una persona, determine la probabilidad de que satisfaga el requisito de MENSA.

P(X>131.5)=1-P(Z<=(131.5-100/15)) =1-P(Z<=2.1) =1-0.9821=0.0179=1.79%mensa b) En una región representativa con 75000 habitantes, ¿cuántos son elegibles para MENSA? 0.0179*75000=1343 SON ELEGIBLES PARA MENSA


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PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 CASO Nº 10:

Los volúmenes de negociaciones diarias (millones de acciones) para las acciones comercializadas en la bolsa de New York durante 12 días en agosto y septiembre se muestran a continuación: 917 944 813 836

983 723 1057 992

1046 783 766 973

La distribución de probabilidad del volumen de negociaciones es aproximadamente normal. Calcule la media y la desviación estándar para el volumen de negociaciones diarias que se usarán como estimaciones de la media y la desviación estándar poblacional. a)

mean

902.75

sample standard deviation

114.18

¿Cuál es la probabilidad de que en un día particular el volumen de transacciones sea menor de 800 millones de acciones? b)

P(X<800)= P(Z<=(800-902.75)/114.18) P(Z<=-0.90) 0.1841=18.41%

Si la bolsa quiere emitir un comunicado de prensa en el 5% superior de los días de negociaciones, ¿Qué volumen de transacciones dará lugar a un comunicado?

P(X>K)=0.05 1-P(Z<=(K-902.75)/114.18)=0.05 P(Z<=(K-902.75)/114.18)=0.95 X=1091MILLONES DE TRANSACCIONES DIARIAS ESTADISTICA APLICADA

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PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 CASO Nº 11:

La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275cm. Y la desviación típica de 0,0125cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. A 1,29cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente. LAVADORAS NO DEFECTUOSAS: P(1.26
La administradora de una pequeña subestación postal intenta cuantificar la variación de la demanda semanal de los tubos de envío de correo. Ella decide suponer que esta demanda sigue una distribución normal. Sabe que en promedio se compran 100 tubos por semana y que, el 90% del tiempo, la demanda semanal es menor que 115. a) ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución? P(X<115)=0.90 P(Z<=(115-100)/S)=0.90 Z=1.28 (115-100)/S=1.28 15/S=1.28 S=15/1.28=11.71 b) La administradora desea almacenar suficientes tubos de envío cada semana de manera que la probabilidad de quedarse sin tubos no sea mayor que 0.05. ¿Cuál es el nivel de inventario más bajo? P(X<=K)=0.05 P(Z<=(K-100)/11.71)=0.05 Z=K=-1.64 (K-100)/11.7=80.7 CASO Nº 13:

Las piezas de pan de centeno distribuidas en las tiendas locales por cierta pastelería tienen una longitud promedio de 20 cm y una desviación estándar de 1.5 cm. Al suponer que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿Qué porcentaje de las ESTADISTICA APLICADA

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PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 piezas son: a. Entre 19.4 y 29.3 cm? P(19.4
P(Z<=29.3-20)/1.5)-P(Z<=(19.4-10)/1.5) P(Z<=6.20)-P(Z<=-0.40) 1-0.3446 0.6554 b. Si se producen en un día 18500 piezas, ¿Cuántas se espera que tengan una longitud menor a 18.9 cm? P(X<18.9) P(Z<=(18.9-10)/1.5) P(Z<=-0.73) 0.2317

18500*0.2317=4286 PIEZAS


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