KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ilmiah tentang Transformasi Z. Makalah ilmiah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat d apat memperbaiki makalah ilmiah ini. Akhir kata kami berharap semoga semoga makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.
Parepare, 17 Juli 2018
Penyusun
i
DAFTAR ISI
Kata Pengantar.................................................................................. i Daftar Isi............................................................................................. ii Bab I Pendahuluan............................................................................. 1 1.1
Latar Belakang.................................. ................................ 1
1.2
Rumusan Masalah................................. ........................... 1
1.3
Tujuan Masalah ................................................................ 2
Bab II Pembahasan............................................................................ 3 2.1
Transformasi Z.................................................................. 3
2.2
Pengaplikasian Transformasi Z dalam Kehidupan .......... 11
Bab III Penutup.................................................................................. 13 3.1
Kesimpulan................................. ...................................... 13
3.2
Saran................................................................................ 13
Daftar Pustaka................................................................................... 14
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Transformasi adalah
sebuah
proses
perubahan
secara
berangsur-angsur sehingga sampai pada tahap ultimate, perubahan yang dilakukan dengan cara memberi respon terhadap pengaruh unsur eksternal dan internal yang akan mengarahkan perubahan dari bentuk
yang
sudah
dikenal
sebelumnya
melalui
proses
menggandakan secara berulang-ulang atau melipatgandakan. Laseau 1980 yang dikutip oleh Sembiring 2006 memberikan kategori Transformasi sebagai berikut: 1.
Transformasi bersifat Tipologikal (geometri) bentuk geometri yang berubah dengan komponen pembentuk dan fungsi ruang yang sama.
2.
Transformasi dilakukan
bersifat
dengan
gramatikal
menggeser,
hiyasan
memutar,
(ornamental) mencerminkan,
menjungkirbalikkan, melipat dll. 3.
Transformasi bersifat refersal (kebalikan) pembalikan citra pada figur objek yang akan ditransformasi dimana citra objek dirubah menjadi citra sebaliknya.
4.
Transformasi
bersifat
distortion
(merancukan)
kebebasan
perancang dalam beraktifitas. Transformasi Z merupakan tools yang digunakan secara matematis untuk menjabarkan sistem waktu diskrit. Misalkan pada sinyal analog yang hendak diubah menjadi diskrit, maka sinyal tersebut dicuplik. 1.2
Rumusan Masalah 1.
Apakah defenisi dari Transformasi Z?
1
2.
1.3
Bagaimana pengaplikasian Transformasi Z dalam kehidupan?
Tujuan Masalah 1.
Mengetahui defenisi dari Transformasi Z.
2.
Mengetahui pengaplikasian Transformasi Z dalam kehidupan.
2
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Transformasi Z Transformasi Z merupakaan tolls yang digunakan secara matematis
untuk
menjabarkan
sistem
waktu
diskrit.
Berikut
penjabaran matematisnya:
Gambar 2.1 Penggambaran sinyal yang dicuplik Misalkan ada sebuah sinyal analog yang hendak diubah menjadi diskrit, maka sinyal ini dicuplik menjadi seperti gambar di sebelah kanan atas. Sinyal dicuplik untuk t = 0, t = T, t = 2T, t = 3T, dan t = 4T. Selain dari pada waktu yang dicuplik tersebut, maka y tidak memiliki harga. Bila hasil cuplikan ini dikuantisasi, maka persyaratan pencuplikannya menjadi:
3
Transformasi Z ditandai dengan perubahan dari y* menjadi Y. Perhatikan! Notasi huruf mempengaruhi apakah sinyal sudah diubah ke dalam bentuk diskrit atau belum. Notasi dengan menggunakan huruf besar biasanya untuk menyatakan bahwa sudah terjadi perubahan dari analog ke diskrit. Secara matematis, Transformasi Z dapat ditulis sebagai berikut:
Transformasi Z memainkan peran yang sama dalam analisis sinyal waktu diskret dan sistem LTI (Invarian Waktu Linear) sebagai transformasi Laplace dalam analisis waktu kontinu dan sistem LTI. Sebagai contoh, di dalam domain-Z (bidang –Z kompleks) konvolusi dua sinyal domain waktu ekivalen dengan perkalian transformasi-Z yang berhubungan. Transformasi-Z sinyal waktu diskret x(n) didefinisikan sebagai deret pangkat:
Dimana z adalah suatu variabel bilangan kompleks, yaitu z = re jΩ
Gambar 2.2 Hubungan z
4
Karena transformasi Z adalah deret pangkat tak berhingga, transformasi ini hanya berlaku untuk nilai-nilai yang deretnya konvergen. Daerah konvergensi (ROC) X(z) adalah himpunan seluruh nilai z agar X(z) mencapai nilai berhingga. Jadi setiap waktu kita menyebutkan transformasi z kita menunjukkan ROC-nya.
2.1.1 Daerah Konvergensi (ROC) Nilai z yang menyebabkan X(z )konvergen didefinisikan pada daerah Dibidang z yang disebut daerah konvergensi, region of convergence (ROC). ROC didefinisikan dalam || berupa daerah pada bidang z yang dibatasi Oleh lingkaran.
Gambar 2.3 Region of Convergence Transformasi z dapat dianggap sebagai Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari x(n)r -n,..
Bila ROC mencangkup lingkaran satuan ( |z| = 1), x(n) mempunyai TFWD (Infinite Energy Sequence).
5
Gambar 2.4 Region of Converge dengan TFWD
2.1.2 Sifat-Sifat ROC 1)
ROC dari X(z)adalah daerah yang dibatasi lingkaran pada bidang z yang berpusat pada titik nol.
2)
Transformasi Fourier dari x(n) adalah konvergen jika dan hanya jika ROC dari x(n) mencakup lingkaran satuan.
3)
Pada ROC tidak terdapat pole.
4)
Bila x(n) adalah deret dengan panjang terbatas maka ROC adalah seluruh bidang z, dengan kemungkinan pengecualian pada z = 0 atau z = ∞.
5)
Bila x(n) adalah deret sisi kananya itu deretan yang bernilai nol untuk n < N1 < ∞, ROC adalah daerah dibagian luar dari pole terluar X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z = ∞.
6)
Bila x(n)adalah deret sisi kiri yaitu deretan yang bernilai nol untuk n> N2 > -∞, ROC adalah daerah dibagian dalam dari pole terdalam X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z = 0.
7)
Bila x(n)adalah deretan dua sisi maka ROC akan berbentuk cincin yang dibatasi oleh pole terluar dan terdalam dan tidak mengandung satu pun pole pada daerah konvergensinya.
8)
Daerah konvergensi harus merupakan daerah yang terhubung.
2.1.3 Diagram Pole Zero
6
Pole dinotasikan sebagai x dan zero dengan o pada bidang kompleks:
Gambar 2.5 Diagram Pole Zero
2.1.4 Sifat Transformasi Z 1)
Linier
2)
Pergeseran Deretan
7
3)
Perkalian dengan Bilangan Eksponensial
4)
Pembalikan Waktu
5)
Turunan dalam Kawasan z
8
6)
Penjumlahan Konvolusi
7)
Perkalian Dua Deretan
8)
Teorema Parseval
9
9)
Teorema Nilai Awal
10) Teorema Nilai Akhir
11) Pasangan Transformasi Z
10
2.2
Pengaplikasian Transformasi Z dalam Kehidupan Transformasi Z digunakan untuk mengubah sinyal domain waktu diskrit menjadi sinyal domain frekuensi diskrit. Transformasi Z ini memiliki berbagai aplikasi dalam matematika dan pemrosesan sinyal
digital,
utamanya
digunakan
untuk
menganalisa
dan
memproses data digital. Misalnya untuk menganalisis gambar JPEG, lagu MP3 dan MP4, file ZIP, dll. Bentuk-bentuk
pengaplikasian
Transformasi
Z
dalam
pemrosesan sinyal digital antara lain 1)
Digunakan untuk perancangan sistem.
2)
Digunakan untuk stabilitas sistem.
3)
Digunakan untuk mernemukan respon frekuensi sinyal.
4)
Analisis sistem diskrit linear.
5)
Untuk merancang filter digital. Contoh lainnya yaitu proses pengiriman suara dan gambar via
PC/Laptop, Handphone, dll. Dari suatu pengguna ke pengguna lainnya, hal ini didasarkan pada prinsip umumnya yang mana
11
Transformasi Z ini digunakan untuk mengubah sinyal analog menjadi sinyal digital.
12
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan Pada prinsip umumnya, Transformasi Z ini digunakan untuk mengubah sinyal analog menjadi sinyal digital. Transformasi Z merupakaan
tolls
yang
digunakan
secara
matematis
untuk
menjabarkan sistem waktu diskrit. Transformasi Z memainkan peran yang sama dalam analisis sinyal waktu diskret dan sistem LTI (Invarian Waktu Linear) sebagai transformasi Laplace dalam analisis waktu kontinu dan sistem LTI.
3.2
Saran Pengetahuan tentang Transformasi Z sangat diperlukan dalam langkah-langkah pembuktian untuk menentukan bentuk perssamaan ruang keadaan waktu diskrit.
13
DAFTAR PUSTAKA
Heri, Robertus. 2003. “Metode Penentuan Bentuk Persamaan Ruang Keadaan Waktu Disktrit. Jurnal Matematika dan Komputer Vol. 6. No. 2, 97 – 109. Semarang: Universitas Dipenogoro. https://et.stei.itb.ac.id/wp-content/uploads/sites/212/.../ET3005-Bab-4Sem-I-1718-mhs.pdf (diakses pada 17 juli 2018) https://www.quora.com/What-are-some-real-life-applications-of-Ztransforms (diakses pada 17 Juli 2018) Katsuhiko Ogata, Discrete Time Control Systems, Prentice Hall Inc, 1995. R.W.Brocket, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley and Sons Inc, 1970.
14
