UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
“
“ AÑO
”
DEL DIÁLOGO Y LA RECONCILIACIÓN RECONCILIACIÓN NACIONAL ”
Solución de Ecuaciones Lineales ing.. CONDORI PAYTAN, ANDERSON LINCOL CATEDRÁTICO: ing ESTUDIANTES:
1. Dueñas Gaspar, kelvin
ZUASNABAR PALOMINO, Gin Jhosep
CICLO:
DEDICATORIA
PADRES…Por
1
A NUESTROS su infinito apoyo en la vida.
INTRODUCCION :
La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente, consideraremos la factorización LU sin intercambio basada en matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU.
2
Contenido INTRODUCCION ............................................................................................. ........................................... 2 RESOLUCION DE S I S T E M A S DE ECUACIONES LINEALES ............................ 4 1. 1. DESCOMPOSICIÓN LU .................................................................................................................... 5 2. MÉTODO DE JACOBI ..................................................................................................................... 10 3. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................... 14 4. CONCLUCIONES ............................................................................................................................ 15
3
1.
RESOLUCION DE S I S T E M A S DE ECUACIONES
LINEALES
4
1.
DESCOMPOSICIÓN LU
La descomposición LU consiste en encontrar dos matrices, L y U construidas de tal forma que se cumpla que: (1) Las características de las matrices L y U dependen de cada una de las versiones definidas para la descomposición:
∙ 0 00 ⋯⋯ 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋮ 0⋮ [ ⋯ ] 10 1 ⋯⋯ 0⋮ 0⋮ 1⋮ ⋯⋮ ⋮ [0 0 0 ⋯ ] 0 00 00 ∙ 10 1 0 00 00 10 (2)
(3) Un esquema inicial de una matriz A de orden 4 y después para cualquier orden.
(4) El esquema indicado en la ecuación 6 implica que la multiplicación de las matrices L y U tiene como resultado a matriz A. de tal forma, lo procedente es realizar la multiplicación termino a termino con las reglas específicas del algebra matricial. No obstante, se propone que la obtención de los términos de las matrices L y U se hagan en determinado orden con el fin de obtener valores directos y no aparezca incógnitas durante el proceso. El orden propuesto es alternar el cálculo de columnas de L con los propios de la matriz U. Siguiendo la recomendación anterior, se calcula la primera columna de la matriz L multiplicando los renglones de L por la primera columna de U:
∙ ∙ → →
(5)
Posteriormente, se hace el cálculo del primer renglón de la matriz U multiplicando el primer renglón de L por las columnas de U:
(6)
∙ → ∙ ∙ →→ ∙ ∙ ∙ → ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ → → −∙
Para la segunda columna de L multiplicando los reglones de L por la segunda columna de U: (7)
Para el segundo renglón de U se multiplica el segundo renglón de L por las columnas de U:
(8) Para el tercer renglón de L se multiplica el tercer renglón de L por la tercera columna de U:
∙ ∙ ∙ ∙ →→ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ −∙ ∙+ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
(9) Para el único elemento del tercer renglón de U se multiplica el tercer renglón de L por la cuarta columna de U:
(10) Finalmente, la última comuna de L compuesta por un único elemento, se multiplica el cuarto renglón de L por la cuarta columna de U: (11) Puede observarse que el hecho de haber calculado alternadamente comunas de L con renglones de U permite obtener los coeficientes respectivos de inmediato. A partir de los resultados obtenidos para este esquema de orden n=4 se concluye las expresiones generales: (12) Donde
(13) Donde
∑−= ∙ ≤ 1,−∑2,3, …,∙ ≤ 1,2,3, … ,
1
Con los pasos particulares para la primera comuna de L, es decir, cuando : (14) Y para el primer renglón de U, cuando :
1 3 1 4 1 127 311113 112 3 1 2 7 0,33333 1,33333 0,33333 −
(15)
Ejemplo: Sea la matriz A, obtener las matrices L y U:
De acuerdo con 14:
Realizando la alternativa propuesta, utilizando 15
Correspondiente el cálculo de la segunda columna de L con la ecuación 12:
= ∙ ∙ 1 1 ∙ 0,3333 −1,33333 = ∙ ∙ 3 2 ∙ 0,3333 −3,66666 = ∙ ∙ 1 7 ∙ 0,3333 − 3,33333 ∑=3,25 ∙ ∙ 1 1,13 3333∙ 1,33333 − ∑ ∙ ∙ 1 1 ∙ 0 , 3 3333 = 0. 5 1,33333
Haciendo lo propio con el segundo renglón de U con la ecuación 13:
Tercera columna de L:
= = ∙ ∙ ∙ = 12 ∙ 1,333333, 6 6666∙3, 2 5 8,25
= = ∙ ∙ ∙ = 1 7 ∙ 1,33333 3, 6 6666∙ 3, 2 5 −2,5 ∑ ∙ = ∙ ∙ 1 2 ∙ 0,33333 3,66666∙ 0,5 0,18,818225 = = ∙ ∙ ∙ ∙ 2 7 ∙ 0.333333,33333∙ 0,52,5 ∙ 0,18182
Tercer renglón de U:
Finalmente, la última columna de L:
5,54545
3 0 0 0 3333 8,025 00 127 1,3,3,6336666 3333 2, 5 5, 5 4545 1 0, 3 3333 1, 3 3333 0, 3 3333 000 100 3,1025 0,0,181821 5 3 43 124 27 3 2119 3 1 4 1 12 127 311113 112 × 1149
Acomodando todos los resultados, se obtiene:
Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones por el método de descomposición LU
Haciendo en la forma
A
×
Sabemos que , vimos en el anterior ejercicio La descomposición LU que consiste en encontrar dos matrices, L y U construidas de tal forma que se cumpla que:
∙
3 1 4 1 1 1 3 27 31 11 121 3 0 0 0 1 0, 3 3333 1, 3 3333 0, 3 3333 1 1, 3 3333 0 0 0 1 3, 2 5 0, 5 27 3,3,636666 × 8, 2 5 0 0 0 1 0, 1 8182 3333 2,5 5,54545 0 0 0 1 L
U
× × ̅ 12 × [ ×] 1149 × ̅ ̅ × ×12 ̅ × 1149 31 1,303333 00 00 × 124 27 3,3,636666 8, 2 5 0 9 3333 2,5 5,54545 11 3 12→ 4 1, 3 3333 4→ 6, 0 00015 27 3,3,636666 8, 2 5 9→ 2, 7 8788061 3333 2,5 5,54545 11→ 0,715843 4 6,000015 2,0,78788061 7̅ 15843 × Reemplazando en la ecuación
Haciendo cambio de variable
Hallando los valores de Z de la forma
Reemplazando L:
Resolviendo el sistema
Reemplazando los valores de Z:
Finalmente calculando los valores de X de la forma:
4 6,000015 × 2,0,78788061 715843 4 10 0,313333 1,3,3333325 0,0,333335 6,000015 00 00 10 0,181821 2,0,78788061 715843 0, 3 3333 1, 3 3333 0, 3 3333 4 → 1,38979026 3,25 0,5 6,000015 → 3,1256779 0,0,18182 2, 7 8788061 → 2, 9 1803521 715843 1,3,318979026 256779 2,0,91803521 715843 Reemplazando la matriz U
Resolviendo el sistema.
Ordenando los valores de X
2.
MÉTODO DE JACOBI
∙ ∙ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋮ ⋮ [ ⋯ ]
Sea el sistema de Ecuaciones lineales , donde A es la matriz de coeficientes, es el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. (1) En la ecuación 1 se puede sustituir a la matriz A por la suma de dos matrices: (2) En donde la matriz D es una matriz cuyos elementos son cero excepto los elementos de la diagonal que corresponde a los elementos de la matriz A y R que es una matriz con ceros en la diagonal y sus restantes elementos coinciden con los respectivos de A.
(3)
0 0 00 ⋯⋯ 00 0⋮ 0⋮ ⋮ ⋯⋮ 0⋮ [ 00 0 0 ⋯⋯ ] 0 ⋯ ⋮ ⋮ 0⋮ ⋯⋮ ⋮ [ ⋯ 0 ] ∙ : − − ∙ −− ∙ ∙ + − ∙ 0, 1 , 2 , … , +
(4)
(5)
Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1: Despejamos el término
Multiplicando por la matriz Resulta:
(6) La ecuación 6 no aporta una solución por sí misma, si se observa desde la óptica del álgebra matricial. Sim embargo, si se aplica desde una forma recursiva. (7) Para donde representa un vector solución inicial y representa una aproximación posterior a la inicial . Se puede constatar claramente que la ecuación 7 es totalmente representativa de un método de aproximaciones sucesivas. Esta ecuación 7 requiere de un breve análisis para su aplicación práctica. En principio, la matriz D, detallada en 4 sólo posee elementos diferentes de cero (que corresponden a los propios de A) en su diagonal principal. Es fácilmente comprobable que la matriz inversa también posee únicamente valores diferentes de cero en su diagonal principal y que estos valores corresponden a los recíprocos de sus valores en la matriz A, es decir, serán . Por otra parte, el resto de los elementos de cada renglón de la matriz A se encuentran en la matriz R y son restados del vector de términos independientes. En contexto, la ecuación 7 equivale, a partir del sistema de ecuaciones lineales, a despejar a la incógnita de ubicada en la diagonal principal de cada una de las ecuaciones que conforman el sistema, de la siguiente forma:
−
⋯ + ⋯ + ( ⋯ ) +
⋮ ⋮ ⋯ 1 + −
(8)
Él método de Jacobi propone que el vector inicial sea igual a cero. A partir de esta propuesta, el vector siguiente será , es decir, el elemento independiente entre el coeficiente de la diagonal principal para cada ecuación.
⋮
(9)
+ + + ⋯ + 105 103 3 145 3 10 14 ̅ 1 0 3 1 14 0 51 103 1 30 514 00 535 10 314 1410 3 10 0,0,0 Este vector se sustituye en las ecuaciones 8 obteniéndose el siguiente vector . El proceso se realiza consecutivamente hasta que la norma entre dos vectores consecutivos es menor que cierta tolerancia preestablecida. La norma se calcula como:
Ejemplo. Sea el sistema de ecuaciones
Resuelva el Sistema tolerancia de error = 0,0001
mediante el método de Jacobi, con una
;
;
Método de Jacobi.
1° Iteración
y error=0,0001
0 1,4 1 54301000 1401030 0,5 10 1,4 √ 01, 4 00, 5 01, 4 < < 2, 0 42057 < 1,4,0,5,1,4 143010,5 1,4 1,11 5 51,41031,4 1,62 5 141430, 1, 1 1 10 < √ 1, 4 1, 1 1 0, 5 1. 6 2 1 , 4 1, 1 1 < 1,192727 < 2° Iteración
y error=0,0001
no cumple
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1,4 1,11 0,803 0,9033 0,96695 0,936513 0,9242807 0,932808 0.9348917 0,9326367 0,932362 0,932930 0,932939 0,932802 0,932814 0,932845
0 0.5 1,62 1,388 1,1424 1.22264 1,27356 1,249210 1.239424 1,246247 1,247913 1,246709 1,245889 1,246344 1,246351 1,246242 1,246251
0 1,4 1,11 0,803 0.9033 0,96695 0,936513 0,9242807 0,932808 0.9348917 0,9326367 0,932362 0,932930 0,932939 0,932802 0,932814 0,932845
Error 0 2,042 1,1927 0.4922 0,2836 0,1205 0,0666 0,0298 0,0155 0,0074 0,0035 0,0018 0,00083 0,00045 0,00019 0,00011 0,000045 Error
<
3.
BIBLIOGRAFIA
METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS (3 ED.) (INCLUYE DISQUETE)
RAYMOND P. CANALEySTEVEN C. CHAPRA MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO, 1999 Resumen del libro
Familia profesional SANIDAD.
https://www.google.com.pe/search?ei=gEYkW9HPEMeSzwLly4rYAQ&q=solucion+de+ecuaci ones+lineales+metodos+numericos+monografia&oq=solucion+de+ecuaciones+lineales+metodos +numericos+monografia&gs_l=psyab.3..33i21k1j33i160k1.14411.17012.0.17321.11.11.0.0.0.0.257.1288.0j2j4.6.0....0...1.1.64.psyab..5.6.1287...0i22i30k1.0.9FJN7srqu4s# https://www.monografias.com/docs/Sistema-De-Ecuaciones-Lineales-P3C59UEJMZ
4.
CONCLUCIONES
El uso de la descomposición de matrices LU es de gran utilidad ya que permite alivianar la cantidad de operaciones para resolver un sistema. Proporciona un medio eficiente para calcular matrices inversas, y éstas poseen un importante número de aplicaciones en la práctica de la ingeniería, sin dejar de lado que dichas inversas proporcionan un medio para evaluar la condición de un sistema. El uso de descomposición LU, debido que es un proceso más abreviado, provee una ganancia de tiempo para un programador a la hora de elaborar un programa.
